Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 22: Xử lý ảnh ba chiều

Chia sẻ: Lão Lão | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong các chương trước, chúng ta đã đề cập đến ảnh số hai chiều. Các ảnh đó có thể coi là có các mức xám là hàm hai biến không gian. Sự tổng quát hoá dễ hiểu nhất lên ba chiều phải được thực hiện với các ảnh có các mức xám là hàm ba biến không gian. Chúng ta gọi những ảnh này là ảnh ba chiều không gian. Trong chương này, chúng ta sẽ đưa ra năm chủ đề về xử lý ảnh ba chiều. Những chủ đề này gần giống với sự xử lý dùng phần cứng và phần mềm theo hướng xử lý ảnh số hai chiều. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 22: Xử lý ảnh ba chiều

Ch¬ng 22 XỬ LÝ ẢNH BA CHIỀU 22.1. GIỚI THIỆU Trong các chương trước, chúng ta đã đề cập đến ảnh số hai chiều. Các ảnh đó có thể coi là có các mức xám là hàm hai biến không gian. Sự tổng quát hoá dễ hiểu nhất lên ba chiều phải được thực hiện với các ảnh có các mức xám là hàm ba biến không gian. Chúng ta gọi những ảnh này là ảnh ba chiều không gian. Một ví dụ điển hình là ảnh nhiệt độ nước đại dương như một hàm x, y và độ sâu; ảnh về mức độ ô nhiễm không khí như một hàm x, y và độ cao; và ảnh lực trọng trường như một hàm ba biến không gian ngoài. Một ví dụ có lẽ phổ biến hơn là các ảnh ba chiều các mẫu vật hiển vi trong suốt hay các đối tượng lớn hơn được quan sát bằng tia X quang. Trong các ảnh này, mức xám biểu diễn một tính chất cục bộ nào đó, chẳng hạn như mật độ quang học trên milimet chiều dài đường đi. Kinh nghiệm phổ biến nhất của con người là thế giới ảnh ba chiều mà chúng ta đang sống. Thực vậy, hầu hết các ảnh hai chiều mà chúng ta thấy đều thu nhận từ thế giới ảnh ba chiều này bằng các hệ thống camera sử dụng phép chiếu phối cảnh để rút số chiều từ ba xuống còn hai. Bằng cách mô phỏng phép chiếu, ta có thể thực hiện phép chiếu ngược lại để nghiên cứu thêm về đối tượng ba chiều tạo ra ảnh mà ta thu được. Tương tự, biết một mô tả toán học về đối tượng ba chiều, ta có thể tính toán ảnh sẽ thu được bằng một camera tại vị trí đã xác định rõ. Vì vậy, một chủ đề khác là xử lý ảnh ba chiều quan tâm đến việc mô phỏng các phép chiếu định hình ảnh và phép chiếu ngược của chúng. Trong chương này, chúng ta sẽ đưa ra năm chủ đề về xử lý ảnh ba chiều. Những chủ đề này gần giống với sự xử lý dùng phần cứng và phần mềm theo hướng xử lý ảnh số hai chiều. Về mặt cục bộ ma nói, những ứng dụng này xây dựng dựa trên các kỹ thuật đễ đề cập trong các chương trước. Ngược lại, đồ hoạ máy tính ba chiều có một sự khác nhau về tầm quan trọng của phần cứng và phần mềm. Để hiểu thêm về lĩnh vực hấp dẫn này, bạn đọc nên tham khảo tài liệu nói về vấn đề này. mục nhỏ dưới đây sẽ giới thiệu năm chủ đề đợc xem xét trong chương này. 22.1.1. Ảnh ba chiều không gian Xem xét một đối tượng ba chiều không hoàn toàn trong suốt, nhưng nó cho ánh sáng đi qua. Ta có thể coi như là một tính chất cục bộ phân bố khắp đối tượng theo ba chiều. tính chất này là mật độ quang học cục bộ. Nó có thể xác định theo đơn vị mật độ quang học trên milimet chiều dài đường đi. Ví dụ, nếu đối tượng là một tấm có tính chất đồng giống nhau cục bộ đặt theo hướng vuông góc với chùm tia tới, thì mật độ quang hoạc đo được của tấm tỷ lệ với cả gía trị của tính chất cục bộ lẫn độ dày của tấm. 444
Những mẫu vật mô sinh học mỏng có vẻ trong suốt dưới kính hiển vi. Trong chương này, chúng ta sẽ đề cập đến cách dùng kính hiển vi để thực hiện ảnh ba chiều. 22.1.2. Máy quét CAT Trong phạm vi tia X của phổ điện từ, nhiều chất, kể cả thân thể con người, đều là trong suốt. Chụp X quang trục nhờ máy tính (Computerized Axial Tomography- CAT) là kỹ thuật X quang tạo ra ảnh một đối tượng thuần nhất theo ba chiều. Kỹ thuật này được sử dụng trong chẩn đoán y học, để quan sát các cấu trúc nằm sâu bên trong cơ thể con người. Nó cũng được sử dụng trong việc kiểm tra nội soi (tạm dịch từ nondestructive-không phá huỷ), để kiểm tra có các vết nứt bên trong các bộ phận nguy hiểm hay không. NDT (Nondestructive Testing) được dùng trong các bộ phận động cơ máy bay, các thành phần không gian vũ trụ, các ống điều áp lò phản ứng hạt nhân và nhiều kim loại và các thành phần tổng hợp khác nhau đòi hỏi tính chính xác cao. Các máy quét CAT đã tạo ra một ảnh hưởng đáng kể về lĩnh vực chăm sóc sức khoẻ và NDT trong hai thập kỷ trước đây. CAT là một ngành chuyên môn đòi hỏi xử lý ảnh số cho mọi sự hiện hữu của nó: dữ liệu ghi nhận phải tải qua quá trình xử lý trực tiếp trước khi một ảnh bất kỳ được nhìn thấy. 22.1.3. Hình học không gian Khi một camera tạo thành ảnh của một cảnh ba chiều, nó cần phải loại bỏ bớt một số thông tin nào đó về cảnh đó. Những thông tin mất đi này là kết quả trực tiếp từ phép chiếu phối cảnh để giảm số chiều từ ba xuống còn hai. Ví dụ, một đặc trưngvề kích thước nào đấy trong ảnh có thể nhận được từ một đối tượng rất cách xa hay gần như nằm ngay bên cạnh. Sự nhập nhằng về khoảng cách này là kết quả của những thông tin bị mất trong khi chiếu ảnh. Khi một cảnh ba chiều được chụp bởi một cặp camera đặt tại các vị trí hơi khác nhau, sự nhập nhằng về khoảng cách có thể được giải quyết. Hai ảnh tạo ra được gọi là cặp ảnh hình học không gian. Một ảnh khoảng cách là một ảnh mà trong đó mức xám không biểu diễn độ sáng, mà là khoảng cách từ camera đến bề mặt phản xạ gây ra độ sáng điểm ảnh tương ứng của cảnh. Mỗi một điểm ảnh trong ảnh số có thể coi như phép chiếu một hình nón mảnh xuyên qua một thấu kính ảnh (hình 22-1). Trong ảnh độ sáng, mức xám của một ảnh riêng biệt cho biết lượng ánh sáng phản xạ lại bề mặt thứ nhất phân cắt bởi nón điểm ảnh (pixel cone). Trong ảnh khoảng cách, mức xám biểu diễn cho chiều dài nón điểm ảnh. Sự kết hợp một ảnh độ sáng với một ảnh khoảng cách sẽ khôi phục nhiều thông tin bị mất trong khi chiếu ảnh. Tuy nhiên, đây không phải là một miêu tả đầy đủ ảnh ban đầu, vì những bề mặt trong ảnh có thể bị mờ. Dù sao, đối với nhiều mục đích, ảnh khoảng cách cũng là có lợi cho ảnh độ sáng. Hình học không gian là kỹ thuật thu nhận một ảnh khoảng cách từ một cặp ảnh độ sáng lập thể. Từ lâu nó đã được sử dụng như kỹ thuật thủ công để tạo những bản đồ độ cao của bề mặt trái đất. Phần sau của chương này, chúng ta sẽ đề cập đến hình học không gian thực hiện nhờ máy tính. 22.1.4. Hiển thị hình học không gian Nếu có thể tính một ảnh khoảng cách từ một cặp ảnh lập thể, thì cũnh phải có khả năng tạo ra một cặp ảnh lập thể dựa vào một ảnh độ sáng và một ảnh khoảng cách đơn lẻ. Thực tế, kỹ thuật này có khả năng tạo ra sự hiển thị hình học không gian căn 445
cứ vào cảm giác về chiều sâu của người xem. Nếu một cặp ảnh hình học không gian được thể hiện cho người xem theo cách mà mỗi con mắt nhìn thấy một trong hai ảnh, thì cảm nhận hình ảnh về chiều sâu có thể gấp đôi cảm nhận từ việc quan sát ảnh ban đầu. Kỹ thuật hiển thị lập thể có thể làm tăng thông tin sẵn có nhờ hiển thị có máy tính điều khiển. 22.1.5. Hiển thị bề mặt khuất Chúng ta thường mong muốn tạo ra một ảnh phẳng hay một cặp ảnh lập thể của một đối tượng ba chiều mà chỉ tồn tại như một miêu tả toán học. Bằng phương pháp mô phỏng hệ thống ảnh, ta có thể tính ảnh số kết quả nếu đối tượng đã tồn tại và nếu nó được số hoá bởi phương tiện quy ước. Hiển thị bề mặt khuất phát sinh ra từ lĩnh vực đồ hoạ máy tính và đã phát triển nhanh chóng trong mấy năm qua. Nó được thực hiện phổ biến trên các hệ thống phần cứng được thiết kế cho việc xử lý ảnh số hai chiều và vì thế nó cũng gần đúng cho thảo luận ở đây. 22.2. ẢNH BA CHIỀU Trong phần này, ta sẽ đề cập đến những ảnh định nghĩa trong không gian ba chiều. Tính chất cục bộ (độ sáng, mật độ) được định nghĩa suốt toàn bộ phần đặc. Tổng quát từ hai chiều lên ba chiều là tuyệt đối, nhưng những yêu cầu trình bày dữ liệu trong không gian ba chiều khắt khe hơn rất nhiều. 22.2.1. Phân chia quang học Kính hiển vi quang học là công cụ được sử dụng phổ biến trong nghiên cứu mô và vi phẫu (microanatomy). Phạm trù này được xem xét bằng cấu trúc và chức năng của các mẫu vật sinh lý học theo thang tỷ lệ cực nhỏ. Tuy nhiên, các mẫu vật là ba chiều và đây là những bài toán phân tích bằng kính hiển vi quang học quy ước. Đầu tiên, chỉ những cấu trúc nằm trong hay gần mặt phẳng tiêu là có thể nhìn thấy. Hơn nữa, các cấu trúc nằm ngoài mặt phẳng tiêu cũng có thể nhìn thấy, nhưng rất mờ. Các cấu trúc càng xa mặt phẳng tiêu thì càng khó có khả năng nhìn thấy, những chúng cũng góp phần trong ảnh thu nhận. Hiệu ứng ba chiều có thể khắc phục bằng cách phân chia liên tiếp, một kỹ thuật bao gồm việc cắt mỏng mẫu vật để tạo ra một loạt các phần mỏng có thể nghiên cứu riêng lẻ để trình bày sự hiểu biết về cấu trúc ba chiều của mẫu vật. Phân chia liên tiếp có hai điều bất lợi chính: một mất mát về sự ghi nhận khi các phần trở thành tách biệt sau khi cắt mỏng và sự biến dạng hình học không thể tránh khi xử lý các lát mỏng. Xử lý bao gồm phác hoạ, uốn quăn, gập, xé lẻ các phần mỏng. Trong nhiều ứng dụng, nó rất thuận lợi cho hiển thị các mẫu vật sinh học trong không gian ba chiều. Hiển thị ba chiều quan trọng bởi vì sự thể hiện không thích hợp của các ảnh hai chiều đã dẫn đến nhiều nhận thức sai lầm về cấu trúc. Hiển thị ba chiều được tạo ra bằng cách số hoá mẫu vật với mặt phẳng tiêu đặt ở các mức khác nhau dọc theo trục quang học và sau đó xử lý từng ảnh kết quả để loại bỏ hay giảm những thông tin không liên quan từ những cấu trúc nằm trên các mặt phẳng lân cận. Trong phần này, chúng ta sẽ đưa ra ích lợi của xử lý ảnh số trong việc làm rõ các ảnh phân chia quang học và trong hiển thị ba chiều mẫu vật được phân chia. 22.2.2. Mô phỏng mẫu vật dày Hình 22-2 là sơ đồ hệ thống quang học mô phỏng ảnh hiển vi một mẫu vật có độ dày T. Hệ toạ độ ba chiều có gốc tại đáy mẫu vật và trục z trùng với trục quang học 446
của kính hiển vi. Khoảng cách từ thấu kính đến mặt phẳng ảnh di là cố định và mặt phẳng chứa tiêu điểm nằm tại z = z’, khoảng cách df dưới tâm thấu kính. Mặt phẳng ảnh có hệ toạ độ (x’, y’) của riêng nó với gốc toạ đọ nằm trên truc z. Tiêu cự của vật kính xác định khoảng cách df đến mặt phẳng tiêu từ biểu thức thấu kính 1 1 1   (1) di d f f Biểu thức này xác định độ lớn, hay hệ số phóng đại, của vật kính: di M  (2) df HÌNH 22-2 Hình 22-2 Mô phỏng mẫu vật dày Bởi vì khoảng cách ảnh di và tiêu cự f là cố định, nên mặt phẳng tiêu có thể đặt bất kỳ nơi nào trong phạm vi mẫu vật đơn giản bằng cách di chuyển mẫu vật lên hay xuống. Do đó, ta có thể đặt mặt phẳng tiêu tại mức z’ nào đó mong muốn. Tiêu cự của vật kính có liên quan đến các thông số hiển vi khác theo di M did f f   df  (3) M 1 M 1 di  d f và khoảng cách từ tâm thấu kính đến mặt phẳng tiêu là di M 1 fd i df   f  (4) M M di  f Với phân tích như vậy, chúng ta giả sử rằng mẫu vật đã được nhuộm thuốc nhuộm huỳnh quang và điều này tạo ra một sự phân bố ba chiều về độ sáng khắp toàn bộ mẫu vật. Phân tích mẫu vật hấp thu ánh sáng cũng tương tự. Chúng ta có thể miêu tả sự phân bố cường độ (độ sáng hay mật độ quang học) bằmg hàm f(x, y, z). Ta ký hiệu ảnh (hai chiều) nhận được khi mặt phẳng tiêu được định vị tại z’ là g’(x’, y’, z’). Các chiều quan tâm là các chiều của mẫu vật, không phải các chiều của ảnh phóng đại. Vì dù sao ta cũng sẽ xử lý ảnh số, nên sẽ thuận tiện hơn nếu ta quy tất cả các hệ 447
số tỷ lệ (khoảng cách điểm ảnh, tần số không gian,…) vào hệ toạ độ thay vì quy vào mặt phẳng ảnh. Điều này cũng đơn giản hoá ký hiệu. Ta định nghĩa một phép chiếu lý tưởng (không biến dạng) từ mặt phẳng ảnh quay ngược lại mặt phẳng tiêu. Phép chiếu này biến g’(x’, y’, z’) thành g(x, y, z’) làm mất tác dụng phóng đại và phép quay 1800 được đưa vào bởi phép chiếu ảnh và nó đặt ảnh lên hệ toạ độ của mẫu vật. Vì thế, một điểm tại x, y, z trong mẫu vật ánh xạ thành một điểm tại x, y, z’ trong mặt phẳng tiêu. Chúng ta bỏ qua sự thay đổi độ phóng đại không đáng kể do sự phân tán tạo ra. Bây giờ chúng ta muốn tạo ra mối liên hệ giữa hàm của ảnh g(x,y,z’) và hàm của mẫu vật f(x,y,z). Hình 22-3 minh hoạ trường hợp đơn giản, khi mẫu vật có cường độ bằng 0, trừ tại mặt phẳng đối tượng tại z = zi; tức là f  x, y, z   f 1  x, y   z  z1  (5) Điều này tương ứng với việc tạo ảnh hai chiều mà đối tượng nằm ngoài tiêu điểm một khoảng zi - z’. Vì một thấu kính phân kỳ vẫn là một hệ tuyến tính, ta có thể viết quan hệ chập g  x, y, z '  f  x, y, z1   h x, y , z1  z ' (6) trong đó h(x,y,zi-z’) là PSF của hệ thống quang học, phân kỳ một lượng zi-z’. Ta có thể mô phỏng mẫu vật ba chiều như là một sự xếp chồng các mặt phẳng đối tượng đặt tại các khoảng cách nhau z dọc theo trục z, tức là HÌNH 22-3 Hình 22-3 Mô phỏng một mẫu vật có mặt phẳng N  f ( x, y, iz )z i 1 (7) trong đó N T (8) z Chồng ảnh này có được với mặt phẳng tiêu tại z’ là tổng của các ảnh mặt phẳng riêng biệt; tức là N g  x, y, z '   f  x, y, iz   h x, y, z 'iz z (9) i 1 448
Nếu ta thay z = iz và lấy giới hạn khi z tiến đến 0 (và N tiến đến vô cùng), thì tổng trên trở thành tích phân, và biểu thức (9) trở thành T g  x, y, z '   f  x, y, iz   h x, y, z ' z dz (10) 0 Nếu ta biết rằng f(x,y,z) bằng 0 ngoài trường quan sát và ngoài khoảng 0  z  T, và ta chép lại toàn bộ tích chập hai chiều, ta được    g  x, y, z '     f  x' , y ' , z h x  x ' , y  y ' , z ' z dx ' dy ' dz (11)     Vì vậy, ảnh qua kính hiển vi của một mẫu vật dày có liên quan đến tích chập ba chiều của hàm mẫu vật và PSF. 22.2.3. Giải mờ cho ảnh mặt cắt quang học Bây giờ ta tìm một cách để loại bỏ phần phân tán trong ảnh mặt cắat quang học. Nói một cách khác, ta muốn khôi phục hàm f(x,y,z) từ một loạt các hàm ảnh g(x,y,z’) có được từ nhiều mức mặt phẳng tiêu z’ khác nhau. Mặc dù cách này gặp phải giới hạn về lý thuyết, nhưng nó là một công cụ quan trọng trong nghiên cứu sinh học, đặc biệt là trong hiển vi huỳnh quang. 22.2.3.1. Giải chập Ta có thể khôi phục hàm mẫu vật bằng giải chập ba chiều, nhưng cách này gặp phải khó khăn do các số 0 trong hàm truyền đạt. Biến đổi biểu thức (11) tạo ra quan hệ trong miền tần số G u , v, w  F u, v, w H u , v, w (12) Trong đó u,v và w là các biến tần số theo các chiều x, y, z tương ứng. Phổ của hàm mẫu vật là F u , v, w  G u , v, wH ' u, v, w  (13) Trong đó 1 H ' u , v, w  (14) H u , v, w Biến đổi trở lại miền phổ ta có f  x, y, z   g  x, y, z   h x, y , z  (15) Viết lại toàn bộ thành phần z của tích phân chập ta được  f  x, y, z    g  x, y , z '  h'  x, y , z  z 'dz ' (16)  trong đó z’ là một biến giả của tích phân. Nếu ta rời rạc hoá trục z bằng cách chia nó thành các khoảng cách nhau z bằng cách đặt z = jz, z’ = iz và dz’ = z, thì biểu thức (16) trở thành  f  x, y, iz    g x, y, iz   h' x, y, jz  iz z (17) i   449
Khi mặt phẳng tiêu di chuyển ra khỏi mẫu vật (i < 0 hay i > N), thì nội dung thông tin có trong ảnh được tạo ra có phần ít hơn (chỉ trừ tại tần số thấp, sẽ nói sau). Vì vậy, ta có thể ước lượng biểu thức (17) bằng tổng hữu hạn N M f  x, y, iz    g  x, y, iz   h'  x, y, jz  iz z (18) i M trong đó M là một số nguyên dương. Việc này làm cho sự khôi phục của mỗi mặt đối tượng trở thành một tổng hữu hạn các tích chập hai chiều. Mặc dù sự giải chập ba chiều có thể dẫn đến sự khôi phục hàm mẫu vật f(x,y,z), nó cũng gặp rất nhiều khó khăn. Trước tiên, tính toán phổ của PSF ba chiều là rất phức tạp. Thứ hai, cần phải tính h’(x,y,z), phép chuyển đổi ba chiều ngược của biểu thức (14). Cuối cùng, biểu thức (18) cũng cần phải tính toán rất lớn, đặc biệt là khi z là nhỏ và nếu N + 2M phải lớn để bao được mẫu vật. 22.2.3.2. Các biểu thức đồng thời Để tiếp cận theo cách thứ hai, ta hãy ước lượng mẫu vật một lần nữa bằng một chồng các mặt phẳng đối tượng tách biệt nhau một khoảng z dọc theo trục z. Ta tạo ra một loạt các ảnh mặt cắt quang học bằng cách số hoá mẫu vật khi di chuyển mặt phẳng tiêu theo trục z từng đoạn z. Ta thay z’=jz ijN dz = z (19) và có được ảnh mặt cắt thứ j từ biểu thức (9); đó là N g  x, y, iz    f  x, y , iz   h x, y, jz  iz z (20) i 1 trong đó h(x,y,z) được giả thiết là gần đối xứng trên z. Ta có thể đơn giản các ký hiệu bằng cách tạm thời bỏ x, y và z xem như đã biết và viết i, j như là chỉ số dưới. Với cách viết này biểu thức (20) trở thành N N j g j   f i  hi  j  f i j  hi (21) i 1 i 1 j Điều này nói lên rằng ảnh mặt cắt thứ j là tổng của các tích chập của nhiều mặt phẳng mẫu vật khác nhau với các PSF phân kỳ thích hợp. (Nhớ rằng (i - j)z là khoảng cách phân kỳ) Chúng ta có thể đơn giản hoá hơn nữa bằng cách biến đổi Fourier hai chiều biểu thức (21). Việc này đưa ta từ miền phổ sang miền tần số, trong đó tích chập tương ứng với phép nhân. Bằng cách định nghĩa G j  g  x, y, jz  Fi   f  x, y, jz  H i'  h x, y, jz  (22) Và biểu thức (21 ) trở thành Nj Gj  F i 1 j i j Hi (23) Cho một tập các ảnh mặt cắt quang học, Gj , với i  j  N, biểu thức (23) biểu diễn một tập N biểu thức tuyến tính đồng thời trong N chưa biết. Vậy chúng ta có khả năng thứ hai để khôi phục hàm mẫu vật f (x,y,z); có thể dùng quy tắc Cramer hay các cách khác để giải hệ phương trình (23) với các ẩn Fj. Tuy nhiên, mức độ tính toán 450
trong trường hợp này, thật là kinh khủng. Thực tế, Fj, Gj , và Hj là hàm hai chiều của tần số. Do đó, hệ phương trình phải được giải với mỗi điểm mẫu trong miền tần số (hai chiều). Mặc dù có thể làm được (miễn là tồn tại một nghiệm) nhưng câu hỏi đặt ra là liệu kết quả đạt được có xứng với chi phí tính toán hay không. 22.2.3.3. Một phương pháp xấp xỉ Thay vì giải một cách chính xác để có được hàm mẫu vật hoàn chỉnh, phương pháp xấp xỉ mang tính thực tế hơn và cải thiện đáng kể tình hình với một chi phí hợp lý. Bây giờ ta bỏ các ký hiệu theo cách giải chính xác (và do đó đồng thời) để tìm một cách khác đơn giản hơn nhưng hiệu quả. Hãy loại bỏ tất cả các số hạng có i = 0 trong biểu thức (21), còn lại hai tổng, một cho i dương và một cho i âm. Ta có 1 N j g j  f j  h0  f i 1 j i j  hi   f i  j  hi i 1 (24) Có thể sắp xếp lại như sau 1 N j f j  h0  g j   i 1 j f i  j  hi   f i  j  hi i 1 (25) Trong đó h0 là PSF trong tiêu điểm (in-focus) của kính hiển vi. Biểu thức này cho thấy rằng mẫu vật tại mức j, nhân chập với PSF trong tiêu điểm, được cho bởi ảnh tại mức j trừ đi tổng của các mặt phẳng đối tượng liền kề mà đã được làm mờ đi bởi hi PSF ngoài tiêu điểm(out of fucus). Trong tổng này, i biểu diễn khoảng cách giữa mặt phẳng tiêu và mặt đối tượng. Biểu thức (25 ) cũng chỉ ra rằng ta có thể tái tạo lại mẫu vật tại mức j bằng cách trừ đi từ ảnh mức j, một dãy các mặt mẫu vật lân cận làm mờ bởi hàm truyền đạt phân kỳ. Ta chưa có các mặt mẫu vật lân cận fi+j, nhưng chúng ta lại có ảnh mặt lân cận gi+j. Ta thấy từ biểu thức (24) rằng mỗi ảnh chứa mặt phẳng mẫu vật tương ứng với một tổng các mặt mẫu vật liền kề phân kỳ. Do hàm truyền đạt phân kỳ có xu hướng phân biệt những tần số phổ cao (chi tiết nhỏ), nhưng lại cho qua các thông tin tần số thấp, nên ta có thể phát biểu tổng quát là phổ ảnh Gj bao gồm phổ mẫu vật Fj và thông tin tần số thấp dư thừa từ các mặt phẳng liền kề. Mặt càng ở xa thì thông tin trong vùng tần số trung bình càng ít tập trung, nhưng chính sự những tần số thấp nhất lại tích luỹ, trong ảnh , từ tất cả các mặt phẳng. Chúng ta có thể xấp xỉ hoá mẫu vật fi bằng một bản sao đã lọc thông cao của ảnh gi; tức là, f j  g j  k0 (26) trong đó k0 là một bộ lọc thông cao nào đó được xác định heuristic bằng một hàm truyền đạt nhận giá trị 0 tại tần số 0 và 1 tại các tần số cao đang quan tâm. Điều này sẽ loại bỏ một lượng lớn những thông tin tần số thấp dư thừa và tạo sự xấp xỉ hợp lý. Hơn nữa, nếu chúng ta bỏ quả hiệu quả làm mờ của PSF trong tiêu điểm, chúng ta có thể viết biểu thức gần đúng với biểu thức (25) như sau 1 N j fj  gj   g i j  k 0  hi   g i j  k 0  hi i 1 j i 1 (27) 451
Có thể nó chỉ cần sử dụng một lượng M nhỏ các mặt phẳng liền kề để loại bỏ hầu hết những thông tin phân kỳ phiền toái. Khi đó biểu thức (27) trở thành M f j  f j  g j   g j i  hi  g j  i  hi   k 0 (28) i 1 Biểu thức này gợi ý rừng chúng ta có thể loại bỏ từng phần các cấu trúc phân kỳ bằng cách trừ 2M ảnh mặt phẳng liền kề mà đã được nhân chập với PSF phân kỳ thích hợp và một bộ lọc thông cao k0. Bộ lọc và số lượng M mặt phẳng liền kề phải được lựa chọn để cho kết quả hợp lý. Trong khi chúng ta không thể mong đợi kỹ thuật này khôi phục chính xác hàm mẫu vật, thì nó lại cải tiến các ảnh mặt cắt quang học với chi phí khiêm tốn nhất. Hình 22-4 minh hoạ các kết quả thuật toán giải mờ đơn giản đề cập ở trên đối với các mặt cắt quang học. Thuật giải này chỉ có hai ảnh mặt phẳng liền kề (M = 1) và là  f j  5 g j  2g j 1  g j 1   h1 (29) Trong đó h1 là một PSF mà xấp xỉ hàm làm mờ do phân kỳ một lượng z. Hình 22-4(a) đến (c) đưa ra ba ảnh mặt cắt quang học đã số hoá của một tế bào Golgi nằm ngang đã nhuộm (thấm muối bạc) trong võng mạc cá trê (z = ). Các ảnh mặt phẳng thấp hơn và cao hơn ảnh mờ xuất hiện trong hình 22-4(d) và (f). Kết quả của quá trình giải mờ hình 22-4(b) cho trong hình 22-4(e). Lưu ý rằng các cấu trúc chỉ xuất hiện trong hình 22-4(d) được đảo ngược hoàn toàn độ tương phản, trong khi các cấu trúc phân kỳ từ các mặt phẳng liền kề bị loại bỏ. Các cấu trúc nhìn thấy trong cả ba mặt phẳng đều bị mất một sự tương phản nào đấy bởi vì thông tin tần số thấp dư thừa không bị loại bỏ từ các ảnh mặt phẳng liền kề (chẳng hạn, biểu thức (26) không được sử dụng). Những mở rộng của kỹ thuật này đã biến thành công dụng phổ biến và sẵn có trên một vài hệ thống thương mại. Thuận lợi chính của chúng là chúng cải thiện đáng kể các ảnh ba chiều mà chỉ cần thời gian xử lý chừng một giây. HÌNH 22-4 Hình 22-4 Giải mờ các mặt cắt quang học: (a), (b), (c) các ảnh mặt cắt quang học đã số hoá; (d), (f) các ảnh mặt phẳng liền kề bị mờ; (e) ảnh đã giải mờ 22.2.3.4. Giải chập lặp có ràng buộc Vấn đề tái tạo ba chiều có thể được tiếp cận theo một cách khác nữa: tái tạo lặp đi lặp lại một hàm tổng hợp mà, khi làm mờ bằng PSF, cho ta một ảnh gần giỗng ảnh đã 452
thu nhận. Sự hội tụ của kỹ thuật được cải tiến nếu một hay nhiều ràng buộc được lợi dụng để giải quyết. Các ràng buộc phổ biến nhất là hàm mẫu vật phải không âm. Ở đây, chúng ta không còn có một hệ thống tuyến tính nữa và sự tuân theo các ràng buộc trên có khả năng dẫn đến độ phân giải vượt quá giới hạn nhiễu xạ (xen lại phần 16.3).  Xuất phát từ một xấp xỉ khởi đầu, f 0 x, y, z  , sai số còn lại sau lần lặp thứ i là  ei  x, y , z   g  x, y , z   f i  x, y , z   h x, y, z  (30)  trong đó f i  x, y, z  là xấp xỉ thứ i của hàm mẫu vật, g(x, y, z) là ảnh thu nhận được và h(x, y, z) là PSF ba chiều (đã biết). Sau mỗi bước lặp, sự đánh giá được cập nhật bởi một quá trình nào đó dựa trên cơ sở hàm sai số. Ví dụ, một sự hiệu chỉnh thêm vào là   f i 1  x, y , z   f  x, y , z    i 1  x, y, z  (31) trong đó  i 1  x, y, z  là lượng cập nhật. Sau đó sử dụng các ràng buộc. Trong trường hợp này,  f i 1  x, y , z   0 (32) là một giới hạn gần đúng đối với đánh giá của hàm mẫu vật. Agard, người khác đã sử dụng  i 1  x, y , z     x, y, z ei  x, y, z  (33) để cập nhật, trong đó 2    f i  x, y , z   h x, y , z   A  i  x, y , z   1  (34) A2 là một hàm tỷ lệ và A là hằng số. Tuy nhiên, các kết quả hội tụ nhanh hơn khi sử dụng một bản sao của ei đã lọc thông cao đối với việc cập nhật trong biểu thức (33). Chúng ta có thể thấy tại sao điều này đúng bằng cách chuyển sang mìên tần số và thiết lập sai số sau lần lặp thứ i + 1 về 0. Ta có   Ei 1 u, v, w  G u, v, w   F i u , v, w   i 1 u, v, w  H u, v, w  0 (35)   biểu thức này có thể giải theo Ei u , v, w  i 1 u , v, w  (36) H u , v, w Đây chỉ là một bản sao đã giải chập của hàm sai số còn lại của bước trước đó. Dĩ nhiên, quá trình giải chập hàm sai số không dễ dàng hơn việc giải bài toán ban đầu. Nhưng kết quả chỉ ra rằng cách sử dụng lọc thông cao đúng đắn, có thể xấp xỉ giải chập yêu cầu, sẽ giảm số lần hiệu chỉnh cần phải được áp dụng. 453
Phương pháp này đã tái tạo thành công trong nhiều nghiên cứu sinh học. Nó đòi hỏi thời gian xử lý là một tiếng đồng hồ. Giải chập lặp bình phương cực tiểu có ràng buộc. Một phương pháp tự nhiên để  đề ra bài toán tái tạo ba chiều là đi tìm hàm mẫu vật f i  x, y, z  nhỏ nhất. 2   g i, j ,k ijk   f  h   ijk (37) trong đó i, j và k là các toạ độ điểm ảnh của dữ liệu ảnh ba chiều thu được và *  biểu diễn cho tích chập ba chiều. như trước, hàm f i  x, y, z  được cải tiến lặp đi lặp lại. Mô phỏng ba chiều cần thiết cho một quá trình lọc thông thấp (làm mờ) nhiễu. Với nhiễu được đưa vào sau khi làm mờ. Các nguồn ảnh nhiễu cũng có thể đưa vào các thành phần tần số cao mà không tương ứng với bất kỳ thành phần vật lý (bị mờ) có khả năng xảy ra nào của mẫu vật. Tình trạng này có thể thúc đẩy một quá trình lặp với các thành phần tần số cao nhân tạo trong mẫu vật được tái tạo. Ví dụ, nhiễu xung trong g(x, y, z) có thể tương ứng với các thành phần vật lý tần số cao không thể xảy  ra trong f i  x, y, z  . Kết hợp với việc cắt bớt (và thường dưới lấy mẫu)-đặc biết theo chiều z- sự tái tạo bình phương cực tiểu có thể dẫn đến các kết quả không chính xác.  Biện pháp sửa chữa đối với các vấn đề này bao gồm việc làm trơn f i  x, y, z  giữa các lần lặp và kết thức quá trình tái tạo trước khi các các thành phần nhân tạo tần số cao hình thành. Quy tắc lặp có ràng buộc. Một bài toán ước lượng đề ra tốt là bài toán ước lượng mà trong đó một lời giải (a) tồn tại, (b) là duy nhất và (c) phụ thuộc vào dữ liệu đàu vào dưới dạng liên tục. Đối với những nguyên nhân đã đề cập, bài toán bình phương cực tiểu đề ra là quá tồi. Quy tắc là thủ tục tìm kiếm một giải pháp tiếp cận sự phân bố đầu vào thực sự khi lượng nhiễu giảm và khi ảnh được lấy mẫu tốt hơn với số lượng lớn hơn. Được áp  dụng vào bài toán nghiên cứu ở đây, nó tìm kiếm hàm f  x, y, z  không âm nhằm tối thiểu hoá 2   2 g ijk   f  h      f  x, y, y  dxdydz (38) i, j ,k   ijk  trong đó  là hằng số. Số hạng thứ hai áp đặt sự làm trơn lên f  x, y, z  để tránh nhiễu trong gijk do việc đưa vào những dao động không được phép. Giá trị của  xác định khối lượng làm trơn. Nếu  quá nhỏ, chúng ta sẽ đối mặt với các bài toán giống  như với giải chập bình phương cực tiểu. Nếu nó quá lớn, f  x, y, z  sẽ quá trơn để có thể đưa ra những chi tiết cần thiết. Carrington đã đưa ra một phương pháp lặp cho việc tối thiểu hoá biểu thức (38) để tạo ra những sự tái tạo đầy ấn tượng. Thời gian xử lý yêu cầu cho một trạm làm việc đồ hoạ khoảng chừng một tiếng đồng hồ. 454
22.2.4. OTF phân kỳ Kỹ thuật giải mờ trước đây đòi hỏi một sự nhận thức về PSF ba chiều của hệ thống ảnh. Bây giờ chúng ta nghiên cứu hoạt động của hàm truyền đạt của một hệ thống quang học phân kỳ. 22.2.4.1. Ống kính vuông Nhắc lại chương 15 là OTF của một hệ thống quang học dưới sự chiếu sáng không cố kết là hàm con ngươi tự tương quan của hệ thống. Đối với ống kính vuông có chiều rộng l, hàm con ngươi phân kỳ trở thành  x  y P x, y       e jx  /  x  y  2 2 (39) l l trong đó thành phần mũ phức biểu diễn sự nhiễu loạn pha do sai số chiều dài đường đi quang học gây ra từ sự phân kỳ. Sai số phân kỳ là 1 1 1 z     (40) d i d 0 f d f d f  z  Thành phần trục z của OTF mặt phẳng ảnh là u    u  u T u,0   sinc l 2 1    (41)  fc     f c  f c  Trong đó 1 sin  x  fc  vµ sinc  x   (42) d i x Ta được kết quả OTF mặt phẳng đối tượng nếu thay df và di trong biểu thức (42). Chú ý rằng biểu thức (41) là một hàm sinc trong một đường bao là OTF trong tiêu điểm. Với  = 0 (không phân kỳ), đối số của sinc bằng 0, cho ta OTF trong tiêu điểm. Cũng lưu ý rằng đối số là bậc hai theo biến tần số u. Điều này ảnh hưởng đến sự điều biến tần của sinc. “Tần số” của sinc giảm tuyến tính về 0 khi đi từ 0 đến fc. 22.2.4.2. Ống kính tròn Đối với một hệ thống quang học với ống kính tròn có bán kính là A, hàm con ngươi phân kỳ trở thành  r  jkwr 2 / A2 2 Pr     e k r 2  x2  y 2 (43)  2A  trong đó sự phân kỳ được xác định bằng sai số chiều dài đường đi cực đại A  w   d i  z cos   d i2  2d i z  z 2 cos 2   1/ 2   arctan di (44) và ảnh được thu nhận trên một mặt phẳng đặt tại di + z đằng sau thấu kính. Hopkins đã chứng minh rằng việc thu nhận OTF mặt phẳng của một hệ thống quang học phân kỳ được cho bởi 455
n 1 sin 2 n    1  TH s   4 cos as  J 1 a     1 J 2 n1 a   J 2 n1 a  a  2   n 1 2n  (45) 4 1   n sin 2n  1   sin  as   1 J 2 n a   J 2n 2 a  a  2  n  0 2n  1 trong đó q 2q 2A a  2kws   cos 1 s q2  u2  v2 fc  (46) fc fc d i Stokseth đã xuất phát từ một xấp xỉ của dạng   s  s   Ti s   1  0.69 s  0.0076 s 2  0.043s 3 jinc 4kw1    2  2  (47)   Trong đó J 1 x  jinc  2 vµ s 2 (48) x Các hệ số của đa thức bậc ba trong biểu thức (47) được chọn để tạo xấp xỉ chính xác tại các giá trị lớn của phân kỳ (w  5). Tại phân kỳ 0 (w = 0), số hạng jinc bằng 1, và đa thức chỉ hơi khác OTF trong tiêu điểm. Trong viêch giải mờ các mặt cắt quang học, chúng ta đã quan tâm chủ yếu đến các mặt phẳng liền kề, ở đó độ phân kỳ tương đối nhỏ. Ta có thể tạo sự xấp xỉ chính xác hơn đối với độ phân kỳ nhỏ bằng cách thay OTF trong tiêu điểm vào đa thức. Tạo ra 1   q  H w, q   2   sin 2   jinc 2kw1   q  (49)    f c  f c  Chú ý sự tương đồng giữa OTF xấp xỉ đối với ống kính tròn trong biểu thức (49) và OTF đối với ống kính vuông trong biểu thức (41). Sự xấp xỉ này chính xác tại phân kỳ 0 và bất đồng ít hơn 1% so với xấp xỉ Stokseth tại w = 2. Hình 22-5 minh hoạ kết quả của sự phân kỳ trên OTF. Các đường cong được tính từ biểu thức (49) cho giá trị phân kỳ w nào đó. Như mong muốn, OTF thu hẹp độ phân kỳ rõ rệt. Các OTF đối xứng vòng tròn có thể được biến đổi Fourier ngược để tạo ra các PSF phân kỳ cần thiết đối với sự tái tại ba chiều. Việc sử dụng biến đổi Hankle làm đơn giản hoá công việc này. HÌNH 22-5 456
Hình 22-5 OTF phân kỳ 22.2.5. Độ phân kỳ kính hiển vi Biểu thức (49) cho phép ta tính OTF kính hiển vi đối với nhiều giá trị phân kỳ khác nhau. Hình 22-6 cho thấy một nguồn điểm ngoài tiêu điểm đặt các xa mặt phẳng tiêu của kính hiển vi một khoảng z. Mặc dù nó tính một ảnh ngoài tiêu điểm trên mặt phẳng ảnh, nhưng nó lại tạo ra một ảnh trong tiêu điểm tại điểm z phía trước mặt phẳng ảnh. Như di và df, hai khoảng cách này phải thoả mãn phương trình thấu kính 1 1 1   (50) f d f   z d i  z Do đó, f d f  z  z  d i  (51) d f  z  f và f d i  z  z  df (52) d i  z  f liên quan đến các khoảng cách ngoài tiêu điểm trên cả hai mặt thấu kính. Cho trước giá trị phân kỳ z của một mẫu vật không gian, ta có thể tính z tương ứng để sử dụng trong biểu thức (44), bởi vì bây giờ nó là vị trí của mặt phẳng ảnh trong tiêu điểm. Khi đó biểu thức (49) cho biết OTF phân kỳ. Có thể nhận được PSF phân kỳ bằng một phép biến đổi Fourier ngược. 22.2.5.1. Độ phóng đại cao Làm việc với độ phóng đại cao (M >> 1) và độ phân kỳ nhỏ (z
fd i  fz  d i d f  zd f  fd f z  (56) d i  z  f Mẫu số bị di chi phối, vì vậy ta có thể bỏ mặc hai số hạng kia. Khi thực hiện, kết quả có thể được viết như sau d f f  fd f z  z    f  df (57)  di di  di Sử dụng các quan hệ trong phần 15.2.1, ta có thể chứng minh rằng ba số hạng cuối cùng trong biểu thức (57) có tổng bằng 0, trong khi số hạng đầu rút gọn thành z 1 / M  1 / M  1 , sao cho 1 1  z z  z     (58)  M M  1 M M  1 hay, do M lớn nên z z  (59) M2 Bây giờ chúng ta có các biểu thức đơn giản liên kết các khoảng cách phân kỳ mặt phẳng đối tượng với mặt phẳng ảnh [biểu thức (59)] và sai số độ dài đường phân kỳ với khoảng cách phân kỳ của mặt phẳng ảnh [biểu thức (55)]. Thay biểu thức (59) vào biểu thức (53), ta được NA 2 w  z (60) 2 biểu thức này liên kết sai số độ dài đường đi phân kỳ với khoảng cách phân kỳ của không gian mẫu vật. Lưu ý rằng các giá trị xấp xỉ đề cập trình bày trên đưa các sai số theo 1/M, hay khoảng 1% tại độ phóng đại 100 lần. Ngoại trừ xấp xỉ dẫn đến biểu thức (53). Hiệu quả của nó được minh hoạ ở phần tiếp theo. 22.2.5.2. Ví dụ Xem xét một vật kính 100, 1.2NA nhúng trong dầu (n = 1.6) trong ánh sáng màu lục ( = 0.55 ). Ta đi xác định khoảng cách phân kỳ không gian đối tượng để tạo ra một sai số phân kỳ một phần tư bước sóng và để xác định OTF và PSF phân kỳ kết quả. Giả thiết rằng chiều dài ống quang học di = 200 mm và sử dụng các phương trình trong phân 15.5.3, chúng ta tìm được các giá trị cho trong bảng 22-1. Bước sóng một phần tư của sai số tập trung (w = /4) mang lại z = 0.191  đối với khoảng cách phân kỳ tương ứng. Hình 22-7 minh hoạ tác tộng của phân kỳ của sóng một phần tư lên OTF và PSF. Hình 22-8 cho thấy, dưới tập điều kiện này, mối quan hệ giữa khoảng cách phân kỳ không gian mẫu vật z với sai số phân kỳ w, sử dụng cả biểu thức chính xác [biểu thức (44)] lẫn biểu thức xấp xỉ [biểu thức (60)] đối với w. Mặc dù w < 0 với z < 0, nhưng OTF phân kỳ đối xứng theo w và dấu không có tác dụng. Chú ý biểu thức xáp xỉ đối với w là đối xứng theo z, trái lại biểu thức chính xác thi không. Đâu là kết quả của sự xấp xỉ [biểu thức (53)] mà chuẩn bị cho sự đơn giản hoá đáng kể biểu thức chính xác. Cũng nên lưu ý rằng, đối với những lượng phân kỳ nhỏ, có chừng 458
một bước sóng của một sai số phân kỳ trên một micron của khoảng cách phân kỳ không gian mẫu vật. HÌNH 22-7 Hình 22-7 Tác động của sự phân kỳ lên PSF và OTF: (a) trong tiêu điểm; (b) phân kỳ 1/4 sóng; (c) phân kỳ 3/4 sóng BẢNG 22-1 TÍNH TOÁN CHO VÍ DỤ PHÂN KỲ CỦA KÍNH HIỂN VI BẢNG 22-1 HÌNH 22-8 Hình 22-8 Sai số độ dài đường đi phân kỳ và khoảng cách phân kỳ trong không gian mẫu vật, các công thức chính xác và xấp xỉ (vật kính 100, 1.2 NA) 459
22.2.5.3. Độ sâu của tiêu điểm OTF phân kỳ 1/4 sóng trong hình 22-5 có thể là do sự hạn chế của việc sử dụng độ phân giải kính hiển vi phân kỳ. Nếu ta thiết lập bước sóng 1/4 của sai số phân kỳ như một giới hạn độ sâu tiêu điểm của vật kính, thì theo biểu thức (60), độc sâu của tiêu điểm là    DOF  z    2 (61)  4  2 NA 22.2.5.4. Những nghiên cứu thực tiễn Chú ý trong biểu thức (49) và hình 22-5 rằng OTF trở nên hẹp hơn khi lượng phân kỳ tăng, nhưng không làm mất biên độ tại tần số 0. Vì thế, khi một nguồn điểm ra khỏi tiêu điểm, ảnh của nó trở nên lớn hơn và mờ hơn, nhưng độ sáng tích hợp của nó còn lại xấp xỉ như nhau. Điều này có thể được chứng minh trong kính hiển vi huỳnh quang với các hạt huỳnh quang. Hiện tượng này đem lại một bài toán về sự cắt trục z, ảnh hưởng đến các tần số không gian thấp. Nếu hàng loạt các phần quang học ít hơn toàn bộ khối mẫu vật, thì các cấu trúc bên ngoài vùng ảnh sẽ tập trung thông tin (tần số thấp) về ảnh. Thuật giải tái tạo có thể bị thông tin này gây ảnh hưởng. Đối với nhiều ứng dụng các tần số thấp nhất ít được quan tâm, và các sai sót như vậy trong quá trình tái tạo là có thể bỏ qua được. Bởi vì nhiễu có xu hướng chiếm ưu thế ở các tần số cao, nên thông tin tần số trung bình được tái tạo chính xác nhất. Ta cũng có thể định nghĩa PSF ba chiều qua thực nghiệm trong kính hiển vi ánh sáng huỳnh quang bằng cách số hoá một loạt các ảnh phân kỳ của một hạt huỳnh quang. Mặc dù đây là mục tiêu đối với nhiễu và các ràng buộc lấy mẫu, nhưng nó tránh được những xấp xỉ vốn có trong lý thuyết nhiễu xạ và nó giải thích cho bất kỳ tính không đối xứng và quang sai nào trong hệ thống quang học. Thực hiện một cách cẩn thận, cách tiếp cận như vậy có thể mang lại hiệu quả tái tạo chất lượng cao. 22.3. CHỤP X QUANG TRỤC NHỜ MÁY TÍNH Mô sinh vật học, kể cả cơ thể người, là chắn ánh sáng trong phổ nhìn thấy, ngoại trừ trong các phần rất mỏng. Tuy nhiên, mô sinh vật học trong suốt đối với tia X. Một vài cấu trúc trong cơ thể - ví dụ, xương - hấp thu tia X nhiều hơn các cấu trúc khác. Kỹ thuật chụp X quang thông thường (hình 22-9) tạo ra một ảnh mà trong đó các cấu trúc ba chiều trong cơ thể người được chiếu lên một mặt phẳng và đătl lên trên một mặt phẳng khác. Trong kỹ thuật chụp X quang, không cần đến các thấu kính, nhưng thay vào đó các đối tượng đặt giữa một nguồn diểm và phim ghi nhận. Các cấu trúc trong cơ thể in bóng lên phim. Điều này gây ra sự khó khăn trong việc thể hiện nhiều ảnh xếp chồng của các cấu trúc khác nhau. Các bác sĩ X quang thường dùng nhiều cách nhìn (chụp X quang từ các độ khác nhau) để giải quyết những sự nhập nhằng. HÌNH 22-9 460
Hình 22-9 Kỹ thuật chụp X quang thông thường 22.3.1. Chụp X quang Sự chụp X quang thông thường là một kỹ thuật phân tách các đối tượng trong một mặt phẳng nào đó (hình 22-10). Quá trình chụp X quang dùng một nguồn và phim chuyển động trong suốt quá trình chiếu rọi. Trong hình 22-10, nguồn di chuyển xuống dưới trong khi phim di chuyển lên theo cách mà một điểm P bất kỳ trong mặt phẳng đang xét luôn luôn nằm trên một đường nối nguồn với điểm P’ tương ứng trên phim. Các cấu trúc bên ngoài mặt phẳng đang xét trở nên mờ dần do các ảnh của chúng trên phim di chuyển trong suốt quá trình chiếu rọi. Các đối tượng gần mặt phẳng ít bị mờ hơn các đối tượng ở xa. Kỹ thuật này hữu ích khi chi tiết ảnh cần thiết thuộc các cấu trúc bên trong, ví dụ như cấu trúc tai giữa. Một điều bất tiện là liều lượng tia X yêu cầu thường cao hơn trong kỹ thuật chụp X quang thông thường. 22.3.2. Chụp X quang trục (Axial Tomography) Chụp X quang trục nhờ máy tính (Computerized axial tomography-CAT) là kỹ thuật hợp nhất quá trình xử lý ảnh số để đạt được các ảnh ba chiều. Các thiết bị phức tạp, được gọi chung là các máy quét CAT, nhằm tái tạo ảnh ba chiều của đối tượng hấp thụ tia X. HÌNH 22-10 Hình 22-10 Chụp X quang thông thường Kỹ thuật đợc minh hoạ trong hình 22-11. Một chùm tia X hai chiều xuyên qua vật thể và cường độ chùm được truyền được đo bằng một mảng tuyến tính các bộ phát hiện tia X. Việc này tạo ra hàm cường độ truyền cho trong hình. Một chuỗi các hàm cường độ như vậy được ghi nhận khi thiết bị quay một góc nhỏ xung quanh vật thể giữa mỗi lànchiếu rọi. Một loạt đầy đủ sẽ quay đủ 1800 theo từng bước từ 20 đến 60. HÌNH 22-11 461
Hình 22-11 Chụp X quang trục Tập kết quả của các hàm cường độ một chiều được sử dụng để tính ảnh mặt cắt chéo (cross-sectional) hai chiều của vật thể với mức độ chùm tia. Quá trình trình này được lặp lại khi khối phát hiện chùm tia di chuyển xuống phía dưới vật thể theo từng bước nhỏ, tạo thành một tập các ảnh mặt cắt chéo mà có thể “xếp chồng” để tạo ra một ảnh ba chiều. Quá trình chiếu được miêu tả theo cách phân tích bằng biến đổi Radon, được cho bởi   d r  p ,      d x, y  x cos   y sin    sdxdy (62) trong đó d(x, y) là hàm phân bố mật độ của đối tượng trên mặt phẳng tại mức z và hướng chùm tạo thành một góc  với trục y (hình 22-12). Đối với p và  bất kỳ, giá trị của dr(p, ) là giá trị thực của mật độ nằm dọc theo trục nămg ngang trong phạm vi khoảng cách p và tạo thành một góc  với trục y. Với  bất kỳ, dr(p, ) là phép chiếu (một chiều) của d(x, y) lên một đường tạo với trục x một góc . 22.3.3. Tái tạo ảnh Hình 22-12 minh hoạ kỹ thuật biến đổi Fourier đối với việc tái tạo ảnh CAT. Hàm cường độ truyền được sử dụng để tính hàm mật độ được chiếu d(p, ) sử dụng  I  d r  p,   log  0  (63)  I  p ,   trong đó I0 là cường độ chùm tia tới và I(p, ) là cường độ truyền tại vị trí p theo mảng phát hiện tuyến tính. Với các tính chất tương tự của biến đổi Fourier hai chiều (xem chương 10), ta có thể viết d r  p,   Dr  p,  (64) trong đó  là góc được đo theo trục u, q  u2  v2 (65) và D u, v   d  x, y  (66) Vì thế, mỗi hàm mật độ chiếu dr(p, ) cho ta một hàm Dr(q, ) là mặt nghiêng xuyên tâm nhờ biến đổi Fourier hai chiều của đối tượng. Một tập Dr(q, i), trong đó i quay đủ 1800 theo các bước nhỏ, có thể được nội suy để xác định D(u, v) một cách gần đúng. Hàm này có thể đực biến đổi ngược để được d(x, y). Thực hiện trên phạm vi của z, kỹ thuật này tạo ra d(x, y, z), ảnh mật độ tia X ba chiều của đối tượng. Một vài máy quét CAT sử dụng các thuật giải đơn giản hơn mặc dù ít chính xác hơn để giảm khối lượng công việc tính toán. Thuật giải đơn giản nhất là phép chiếu ngược. Hoạt động của phép chiếu ngược là  b x, y    d r x cos   y sin  ,  d (67) 0 462
Bằng kỹ thuật này, mỗi hàm mật độ chiếu dr(, p) được khai triển (chiếu ngược lại) theo trục của chùm tia để tạo thành ảnh hai chiều chứa các thanh song song với trục. Khi tất cả các ảnh như vậy tại một mức z được chồng lên (cộng vào), ta được một sự tái tạo gần đúng của một mặt cắt chéo tại mức đó. Hàm tái tạo b(x, y) thực chất là hàm d(x, y) bị làm mờ bởi một PSF có dạng 1 h x , y   (68) x  y2 2 Trong khi phép chiếu ngược đơn giản được sử dụng trong các máy quét CAT đầu tiên, thì các dụng cụ hiện nay sử dụng các phương pháp chính xác hơn. Những phương pháp thường được thực hiện bằng cách lọc thông cao từng phép chiếu (một chiều) trước khi chiếu ngược. Việc sử dụng một bộ lọc với một MTF tăng tuyến tính theo tần số từ 0 sẽ tạo ra biến đổi Radon ngược, tái tạo d(x, y). Độ chính xác hay độ phân giải thu được từ một máy quét CAT tuỳ thuộc vào nhiều thông số, bao gồm (1) hàm mật độ chiếu được lấy mẫu chi tiết như thế nào, (2) nó được lượng tử hoá tốt như thế nào, (3) thuật giải tái tạo nào được sử dụng, (4) phương pháp nội suy nào được sử dụng, (5) độ dày của chùm tia và (6) khoảng cách lấy mẫu theo hướng z. Giống như trong các kỹ thuật chụp X quang khác, nhiễu là một vấn đề trong chụp X quang trục. Nguồn nhiễu chủ yếu là do sự phân bố ngẫu nhiên của các phô tôn trong chùm tia tới. Hiệu ứng này gọi là nhiễu lượng tử (quantum mottle) trong kỹ thuật chụp X quang. Đây là kết quả do mức độ chiếu rọi bệnh nhân thấp dưới mức cần thiết và nó giống với nhiễu quang điện tử, đã đề cập trong chương 16. Lọc thông thấp hay lọc trung vị ảnh mặt cắt chéo được tái tạo sẽ đối xử phân biệt với nhiễu ngẫu nhiên, nhưng lại phải trả giá cho độ phân giải. Vì thế, trong mỗi trường hợp, đều có một sự thoả hiệp giữa nhiễu và độ phân giải. Những kỹ thuật đã đề cập đến trong chương 16 có thể áp dụng một cách tổng quát. Tình trạng nhiễu cũng có thể được cải thiện bằng năng lượng cao hơn của chùm tia. Tuy nhiên, mặc dù điều này rất thực tiễn trong việc kiểm tra sự hỏng hóc của các thành phần cơ khí, như vẫn có một sự thoả hiệp đơn giản giữa ảnh nhiễu và liều lượng tia X đối với những bộ phận trên cơ thể người. 22.4. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Hình học không gian là một kỹ thuật mà nhờ nó ta có thể suy ra hình dạng ba chiều của một đối tượng từ một cặp ảnh lập thể. Để làm được điều này, ta phải mô phỏng hình học sự tạo thành ảnh. Hình 22-1 là một biểu đồ của một đối tượng, một nguồn sáng và một hệ thống camera. Chúng ta lập một hệ toạ độ ba chiều có gốc tại tâm quang học của hệ thống thấu kính. Trục quang học của camera trùng với trục z. Đối tượng quan tâm là một bề mặt chắn sáng đặt trước camera. Tuỳ thuộc vào hệ số phản xạ của bề mặt đó, một phần ánh sáng đập vào nó được phản xạ lại, toả theo tất cả các hướng. Một phần nào đó của ánh sáng xuyên qua thấu kính và tạo thành một ảnh của một đối tượng tại mặt phẳng ảnh của camera. Nếu một ảnh đã đực số hoá, ta có thể coi mặt phẳng ảnh như được bao bọc bởi một mảng các điểm ảnh. Trong hình 22-1, một trong những điểm ảnh được chiếu ngược qua thấu kính để tạo thành ảnh của điểm đó trên đối tượng. Phép chiếu điểm ảnh tạo thành một nón điểm (pixel cone), mở rộng ra từ đỉnh của nó tại tâm thấu kính cho đến khi nó bắt gặp bề mặt chắn sáng. 463