Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 8: Các phép toán hình học

Chia sẻ: Lão Lão | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

52
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các phép toán hình học làm thay đổi mối quan hệ không gian giữa các đối tượng trong ảnh. Những phép toán như thế có thể được xem như di chuyển các vật khắp nơi trong ảnh. Chương này sẽ trình bày chi tiết một số phép toán hình học trong xử lý ảnh. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 8: Các phép toán hình học

CHƯƠNG 8 CÁC PHÉP TOÁN HÌNH HỌC 8.1 GIỚI THIỆU Các phép toán hình học làm thay đổi mối quan hệ không gian giữa các đối tượng trong ảnh. Những phép toán như thế có thể được xem như di chuyển các vật khắp nơi trong ảnh. Tác đọng này cũng giống như khi in ảnh lên một tấm cao su, kéo giãn tấm cao su đó và ghim nó xuống tại những điểm khác nhau. Thực ra, một phép toán hình học được hiểu theo một nghĩa rộng hơn, bởi vì một điểm bất kỳ trong ảnh đầu vào nào cũng có thể di chuyển đến bất cứ vị trí của ảnh đầu ra. Một phép toán hình học không hạn chế như thế thường làm lộn xộn nội dung ảnh, do đó các phép toán hình học thường được giới hạn để giữ được một trật tự bề ngoài nào đó. Một phép toán hình học yêu cầu phải có hai thuật giải. Trước hết phải có một thuật giải định nghĩa sự biến đổi không gian. Phép toán này định rõ "sự chuyển động" của mỗi điểm ảnh khi nó "di chuyển" từ vị trí ban đầu đến vị trí kết thúc trong ảnh. Phép nội suy mức xám cũng đòi hỏi phải có một thuật giải. Nói chung, phép toán này là cần thiết bởi vì các vị trí x, y nguyên trong ảnh đầu vào ánh xạ đến các vị trí phân số (không nguyên) trong ảnh đầu ra và ngược lại. 8.1.1 Sự biến đổi không gian Trong hầu hết các ứng dụng, người ta thường mong muốn bảo toàn tính liên tục của các đặc tuyến cong tuyến tính (curvilinear) và sự kết nối của các đối tượng trong ảnh. Một thuật giải biến đổi không gian ít hạn chế hơn có thể làm đứt đoạn các đường và các đối tượng và có khuynh hướng "làm bắn tung toé" nội dung ảnh. Người ta có thể hoàn toàn xác định được sự di chuyển của mỗi điểm ảnh trong ảnh, nhưng nó sẽ nhanh chóng trở nên khó di chuyển, thậm chí với cả những ảnh nhỏ. Để thuận tiện hơn thì ta nên xác định chính xác mối quan hệ không gian giữa các điểm trong ảnh vào và các điểm trong ảnh ra. Định nghĩa chung cho một phép toán hình học là g ( x, y )  f ( x' , y ' )  f [a ( x, y ), b( x, y )] (1) trong đó f(x,y) là ảnh đầu vàu và g(x,y) là ảnh đầu ra. Các hàm a(x,y) và b(x,y) xác định sự biến đổi không gian duy nhất. Nếu các hàm này liên tục thì tính liên kết trong ảnh sẽ được bảo toàn. 8.1.2 Phép nội suy mức xám (Gray-Level Interpolation) Yêu cầu thứ hai đối với một phép toán hình học là một thuật giải cho phép nội suy các giá trị mức xám. Trong ảnh đầu vào f(x,y), các giá trị mức xám chỉ được xác định tại các giá trị tích phân của x và y. Tuy nhiên, biểu thức (1) nói chung sẽ chỉ ra rằng giá trị mức xám đối với ảnh g(x,y) có được từ các vị trí phân số (không nguyên) kết hợp của ảnh f(x,y). Nếu một phép toán hình học được xem là một ánh xạ từ f sang g, thì các điểm ảnh trên f có thể ánh xạ tới các vị trí giữa các điểm ảnh trên g và ngược lại. Với mục đích của phần thảo luận này,chúng ta quy định rằng các điểm ảnh phải được định vị chính xác tại các tạo độ giao nhau của lưới lấy mẫu (sampling grid). 94
Để nói về sự biến đổi không gian và một thuật giải chophép nội suy mức xám, chúng ta sẽ thực hiện một phép toán hình học. Thông thường, một thuật giải nội suy mức xám được cài đặt cố định trong chương trình máy tính. Tuy nhiên, thuật giải xác định sự biến đổi không gian được định rõ duy nhất cho công việc sắp tới. Bởi vì thuật giải nội suy mức xám luôn giống nhau, hoặc một trong nhiều tuỳ chọn, nên sự biến đổi không gian là sự biến đổi không gian định nghĩa phép toán hình học cụ thể. 8.1.3 Sự thực hiện Khi thực hiện một phép toán hình học, ta có thể đi theo một trong hai hướng trên. Ta có thể xem phép toán đó như là việc chuyển các mức xám từ ảnh đầu vào sang ảnh đầu ra, lần lượt từng điểm ảnh một. Nếu một điểm ảnh đầu vào ánh xạ đến một vị trí giữa bốn điểm ảnh đầu ra, thì mức xám của nó là một trong bốn điểm ảnh ra này, tuỳ thuộc vào quy tắc của phép nội suy. Chúng ta gọi nó là cách tiếp cận mang điểm ảnh sang (pixel carry-over) hay ánh xạ tiến (forward mapping). (Xem hình 8-1.) Một sự thực hiện luân phiên, và hiệu quả hơn, được hoàn thành nhờ thuật giải lấp đầy điểm ảnh (pixel filling) hay ánh xạ lùi (backward mapping). Trong trường hợp này, các điểm ảnh đầu ra được ánh xạ ngược lại thành ảnh đầu vào, từng điểm ảnh một, để thiết lập các mức xám của chung. Nếu một điểm ảnh ra nằm giữa bốn điểm ảnh vào thì mức xám của nó được xác định bằng phép nội suy mức xám (Hình 8-1). Sự biến đổi không gian lùi là nghịch đảo của biến đổi tiến. Thuật giải ánh xạ lùi có phần lãng phí, bởi vì nhiều điểm ảnh vào có thể ánh xạ đến các vị trí bên ngoài ảnh đầu ra. Hơn nữa, mỗi điểm ảnh ra có thể được đánh địa chỉ vài lần, cùng với các điểm ảnh đầu vào tập trung thành giá trị mức xám cuối cùng của nó. Nếu sự biến đổi không gian bao gồm cả sự thu nhỏ thì có thể có nhiều hơn bốn điểm ảnh đầu vào cùng tham gia. Nếu có sự phóng to thì tất nhiên một số điểm ảnh đầu ra sẽ bị mất khi không có điểm ảnh đầu vào nào ánh xạ đến các vị trí gần chúng. Tuy nhiên, thuật giải ánh xạ lùi tạo ra ảnh đầu ra theo từng điểm ảnh một, từng dòng một. Mức xám của mối điểm ảnh được xác định duy nhất bởi một bước nội suy giữa bốn điểm ảnh (đa số là như vậy). Dĩ nhiên, ảnh đầu vào phải được truy cập một cách ngẫu nhiên theo một cách mà được xác định bâừng sự biến đổi không gian, và việc này có thể rất phức tạp. Tuy nhiên, cách tiếp cận lấp đầy điểm ảnh là thuật giải thực tiễn hơn đối với công dụng chung. HÌNH 8-1 Hình 8-1 Chuyển điểm ảnh 95
8.2 PHÉP NỘI SUY MỨC XÁM Vì những điểm ảnh đầu ra ánh xạ đến những vị trí phân số trong ảnh đầu ra, cho nên chúng thường rơi vào khoảng giữa bốn điểm ảnh vào. Như vậy phép nội suy là cần thiết để xác định mức xám nào sẽ tương ứng với vị trí đó. 8.2.1 Phép nội suy lân cận gần nhất (Nearest Neighbor) Sơ đồ nội suy đơn giản nhất được gọi là nội suy bậc không (zero order), hay lân cận gần nhất (nearest neighbor). Trong trường hợp này, mức xám của điểm ảnh đầu ra được lấy bằng mức xám của điểm ảnh đầu vào nằm gần nhất mà điểm ảnh ra ánh xạ sang. Phép nội suy này tính toán đơn giản và tạo ra những kết quả có thể chấp nhận trong nhiều trường hợp. Tuy nhiên, phép nội suy lân cận gần nhất có thể cho ra những đồ tạo tác (ý muốn nói là trông ảnh như phiến đá tạc của người cổ) trong những ảnh mang cấu trúc tinh vi, với mức xám thay đổi đáng kể từ điểm ảnh này sang điểm khác. Hình 8-2 đưa ra một ví dụ các ảnh quay bằng phép nội suy lân cận gần nhất, với kết quả bị hiệu ứng răng cưa ở một cạnh nào đó. 8.2.2 Phép nội suy song tuyến tính (Bilinear Interpolation) Phép nội suy bậc thứ nhất (first-order), hay song tuyến tính (binear) mang lại kết quả mong muốn hơn phép nội suy bậc không, mà việc lập trình chỉ hơi phức tạp và tốn thời gian một chút. Vì việc tạo một mặt phẳng đi qua bốn điểm là vấn đề quá khó khăn, phép nội suy bậc một trên hệ toạ độ vuông góc đòi hỏi phải có hàm song tuyến tính. Đặt f(x,y) là hàm hai biến đã biết tại đỉnh của hình khối vuông góc. Giả sử ta muốn thiết lập phép nội suy giá trị hàm f(x,y) tại một điểm tuỳ ý nằm bên trong hình vuông (Hình 8-3). Chúng ta cũng có thể thực hiện như vậy bằng sự điều chỉnh hyperbolic paraboloic, xác định bởi biểu thức song tuyến tính f ( x, y )  ax  by  cxy  d (2) đi qua bốn giá trị đã biết. Bốn hệ số, a đến d, được chọn để cho hàm f(x,y) điều chỉnh các giá trị đã biết tại bốn góc. Có một thuật giải đơn giản hơn để tạo ra một hàm nội suy song tuyến tính mà có thể điều chỉnh hàm f(x,y) tại các góc. Trước hết, chúng ta nội suy tuyến tính giữa hai điểm phía trên để thiết lập giá trị của f ( x,0)  f (0,0)  x[ f (0,1)  f (0,0)] (3) Tương tự cho hai điểm ở phía dưới f ( x,1)  f (0,1)  x[ f (1,1)  f (0,1)] (4) Cuối cùng, chúng ta nội suy tuyến tính theo phương thẳng đứng để xác định giá trị của f ( x, y )  f ( x,0)  y[ f ( x,1)  f ( x,0)] (5) Thay biểu thức (3) và (4) vào biểu thức (5), khai triển, ta được f ( x, y )  [ f (1,0)  f (0,0)]x  [ f (0,1)  f (0,0)] y (6)  [ f (1,1)  f (0,0)  f (0,1)  f (1,0)]xy  f (0,0) 96
nó có cùng dạng với biểu thức (2) và vì thế nó là song tuyến tính. Khi thay vào,krõ ràng là biểu thức (6) điều chỉnh bốn giá trị đã biết của f(x,y) tại các góc của khối vuông góc. Lưu ý rằng nếu chúng ta cho x hoặc y là hằng số (không đổi) thì biểu thức (2) trở thành tuyến tính theo biến khác. Điều này làm sáng tỏ rằng hyperbolic paraboloic là một bề mặt giới hạn hai chiều; có nghĩa là nó cắt tất các mặt phẳng song song với mặt phẳng xz và tất cả các mặt phẳng song song với mặt phẳng yz theo một đường thẳng. Phép nội suy song tuyến tính có thể được thực hiện trực tiếp bằng biểu thức (6), hoặc thực hiện phép nội suy tam tuyến tính (triple linear) cho bởi biểu thức (3), (4) và (5). Vì biểu thức (6) bao gồm bốn phép nhân và tám phép cộng hoặc trừ nên các chương trình biến đổi hình học đặc thù được thực hiện sau, và nó chỉ yêu cầu ba phép nhân và sáu phép cộng hoặc trừ. Khi bốn điểm ảnh lân cận liền kề được nội suy bằng biểu thức song tuyến tính, bề mặt thu được phù hợp về độ rộng tại các đường biên lân cận, nhưng không phù hợp với độ nghiêng. Vì thế, một bề mặt được tạo bởi phép nội suy song tuyến tính là liên tục, nhưng nói chung đạo hàm của nó là không liên tục tại các biên lân cận. 8.2.3 Phép nội suy bậc cao hơn (Higher Order) Trong các phép toán hình học, hiệu ứng làm trơn (smoothing effect) của phép nội suy mức xám song tuyến tính có thể làm suy giảm những chi tiết sắc xảo trong ảnh, đặc biệt là khi phóng to. Trong các ứng dụng khác, những điểm gián đoạn độ nghiêng của phép nội suy song tuyến tính có thể tạo ra những kết quả không mong muốn. Trong cả hai trường hợp trên, những kết quả tính toán thêm của phép nội suy bậc cao hơn có thể được chứng minh là đúng. Một hàm tương tự, nhưng phức tạp hơn, biểu thức (2) và có nhiều hơn bốn hệ số được thực hiện để điều chỉnh thông qua một trong các điểm lân cận. Nếu số hệ số bằng với số điểm thì có thể tạo ra một bề mặt nội suy để điều chỉnh tại từng điểm. Nếu số điểm lớn hơn số hệ số, một thủ tục điều chỉnh đường cong hay tối thiểu hoá lỗi sẽ được sử dụng. Các ví dụ về các hàm nội suy bậc cao hơn là các khối lập phương, các hàm Legendre tập trung và hàm sin(x)/x. Hàm sau cùng đã được đề cập đến trong các chương trước. Phép nội suy bậc cao hơn thường được thực hiện bằng phép nhân chập. Phần 2 của tài liệu này sẽ đè cập đến điều này. 8.3 PHÉP BIẾN ĐỔI KHÔNG GIAN Biểu thức (1) cho ta công thức tổng quát về phép biến đổi không gian. Chúng ta cần phải xem xét một số trường hợp đặc biệt ít phức tạp hơn trước khi đi vào các phép toán hình học chung. 8.3.1 Các phép biến đổi đơn giản Nếu ta đặt a( x, y )  x b( x, y )  y (7) vào biểu thức (1), ta sẽ có phép toán số học, mà chie đơn thuần là sao chép f sang g không không thay đổi gì cả Nếu ta đặt a( x, y )  x  x0 b( x, y )  y  y 0 (8) 97
chúng ta sẽ có phép toán biến đổi, mà trong đó điểm x0,y0 được tịnh tiến về gốc toạ độ và các đặc điểm bên trong ảnh được chuyển đi một lượng x02  y 02 . Dùng công thức được là phối hợp đồng đều (homogeneous coordinate), chúng ta có thể xem mặt phẳng x-y là mặt phẳng z = 1 của không gian x, y, z ba chiều và viết lại biểu thức (8) dưới dạng mảtận như sau  a( x, y ) 1 0 x0   x  b( x, y )   0 1 y 0   y  (9)     1  0 0 1   1  Đặt a( x, y )  x / c b( x, y )  y / d (10) sẽ phóng to ảnh với hệ ssó c theo hướng x và hệ số d theo hướng y. Gốc toạ độ của ảnh (thường là góc trên-trái) vẫn giữ nguyên khi nảh được “mở rộng”. Theo sự phối hợp đồng đều, biểu thức (10) được viết lại như sau 1   0 x0   a ( x , y )  c   x b( x, y )    0 1 y0   y   (11)   d  1   0  0 1   1    Đặt c = -1 ta được sự lệch hướng theo trục y, a( x, y )   x b( x, y )  y (12) và tương tự với d và trục x. Cuói cùng, đặt a( x, y )  x cos( )  y sin( ) (13) và b( x, y )  x sin( )  y cos( ) (14) tạo ra một (cw rotation through) quay một góc  quanh gốc toạ độ. Biểu thức này có thể được viết theo toạ độ đồng nhất như sau  a( x, y ) cos( )  sin( ) 0  x  b( x, y )    sin( ) cos( ) 0  y  (15)       1   0 0 1  1  Rõ ràng chúng ta có thể kết hợp phép tịnh tiến với phép phóng đại để tạo ra ảnh "lớn thêm" một điểm nữa trừ gốc toạ độ. Cũng tương tự, chúng ta có thể kết hợp phép tịnh tiến với phép quay để tạo ra phép quay quanh một điểm tuỳ ý. Toạ độ đồng nhất cung cấp một cách tương tự để xác định công thức cho các phép tịnh tiến phức hợp. Ví dụ, phép quay xung quanh điểm x0, y0 được thực hiện bởi công thức 98
 a( x, y ) 1 0 x 0  cos( )  sin( ) 0 1 0  x0   x  b( x, y )   0 1 y 0   sin( ) cos( ) 0 0 1  y 0   y  (16)     1  0 0 1   0 0 1 0 0 1   1  Trước tiên ảnh được tịnh tiến sao cho điểm x0, y0 trùng gốc toạ độ, sau đó được quay với góc , và sau đó được tịnh tiến về lại gốc ban đầu của nó. Thực hiện nhân biểu thức (16) cho ra một phương trình tịnh tiến gần đúng. Các phép tịnh tiến khác cũng có thể được xây dựng tương tự. Trong cấu trúc vế phải của biểu thức, phép toán được thực hiện từ trái sang phải. Thực hiện tách rời (Separable Inplementations). Nếu một ảnh được đưa ra đẻ quay hay phóng to [biểu thức (11)], thì các toạ độ điểm ảnh ra a(x,y) và b(x,y) chỉ phụ thuộc vào x và y tương ứng. Vì thế, có khả năng, và đôi khi cúng hiệu quả hơn, để thực hiện phép toán trong hai bước. Ví dụ, đầu tiên là thực hiện theo chiều ngang, tạo ra một ảnh trung gian. Sau đó thực hiện theo chiều dọc, sử dụng ảnh trung gian như đầu vào của nó để tạo ra kết quả cuối cùng. Catmull và Smith đã cho thấy là có khả năng để thực hiện một phép quay theo thủ tục hai bước tương tự. Giải biểu thức (13) theo x ta được a( x, y )  y sin( ) x (17) cos( ) và thay vào biểu thức (14) dẫn đến a ( x, y ) sin( )  y b( x, y )  (18) cos( ) Vì thế, chúng ta có thể sử dụng biểu thức (13), biểu thức tuyến tính trong x theo dòng quét bất kỳ, theo phép kết hợp với b(x,y) = y trong phần đầu (chỉ có chiều ngang) của phép toán. Sau đó chúng ta có thể dùng biểu thức (18), biểu thức tuyến tính trong y theo cột bất kỳ với a(x,y) = x trong phần hai (chỉ có chiều dọc) của phép toán. Trong phép quay loại này, các đặc điểm của ảnh được "nén" theo chiều x bởi hệ số cos() ở bước thứ nhất, và sau đó được "bung" theo chiều y bởi hệ số sin() ở bước thứ hai. Kỹ thuật này sẽ không có kết quả với những góc là bội của 900, khi đó cosin sẽ bằng 0, và sai số sẽ hạn chế trong những góc nhỏ hơn. Đối với những ứng dụng ghi lại ảnh, góc quay yêu cầu thường nhỏ. Thậm chí điều này không phải như vậy, phép quay với góc bôi của 900 vẫn có thể thực hiện bằng cách hoán đổi hàng và cột đơn giản. Vì thế, có thể quay một ảnh theo một góc bất kỳ trong khi vẫn giữ góc quay thực sự giữa +450 và -450 và hệ số nén không nhỏ hơn 0.707. Sau đó, với giới hạn này phép tịnh tiến, phóng đại và quay có các phép thực hiên một chiều. 8.3.2 Các phép biến đổi chung Đối với các phép biến đổi không gian đơn giản có liên quan, việc sử dụng một biểu thức giải tích cho biểu thức (1) có thể là thiết thực. Tuy nhiên, trong nhiều ứng dụng xử lý ảnh, phép biến đổi không gian mong muốn có quan hệ phức tạp và không tuân theo một biểu thức toán học thích hợp nào. Hơn thế nữa, phép tịnh tiến điển ảnh thường thu được từ kích thước thực sự của ảnh và nó xác định rõ phép toán hình học trong các số hạng này chứ không phải trong một dạng hàm nào đó. Một ví dụ là sự điều chỉnh hình học của một ảnh thu bằng camera bị biến dạng hình học. Đầu tiên, một tấm lưới hình chữ nhật được số và hiển thị. Bởi vì sự biến dạng hình 99
học trong camera cho nên mô hình lưới được hiển thị sẽ không chính xác là hình chữ nhật (Xem hình 8-4). Phép biến đổi không gian cần có ở đây là làm cho mô hình lưới thành hình chữ nhật trở lại, bằng cách đó ta sẽ hiệu chỉnh được độ biến dạng do camera gây ra. Sau đó cùng một phép biến đổi không gian này có thể sử dụng trên ảnh tiếp theo được số hoá trên cùng một camera (giả thiết rằng sự biến dạng không phụ thuộc vào cảnh), bằng cách đó ta có thể tạo ra ảnh không biến dạng. HÌNH 8-4 Hình 8-4 Điều chỉnh hình học của một camẻa trên tàu vũ trụ Ranger trước đây, (a) trước điều chỉnh, (b) sau điều chỉnh 8.3.3 Xác định rõ bằng các điểm hiệu chỉnh (Specification by Control Points) Thật là thuận lợi nếu xem phép biến đổi không gian như một chuỗi các giá trị dịch chuyển cho các điểm hiệu chỉnh (control points) được chọn trong ảnh. Bở vì chỉ một phần nhỏ các điểm ảnh được chỉ rõ thực sự, dịch chuyển của những điểm không hiệu chỉnh phải được xác định bằng nội suy. Có một cách để thực hiện điều này, đó là khai triển các biểu thức hàm theo a(x,y) và b(x,y) trong biểu thức (1). Thông thường, một đa thức được sử dụng như dạng tổng quát của biểu thức biến đổi. Các tham số của nó được chọn để làm cho nó phù hợp với các điểm hiệu chỉnh và độ dịch chuyển cho trước của chúng. Điều này gọi là làm cong đa thức (polynominal warping). Nó cần thiết việc sử dụng các đa thức từ bậc năm trở xuống đối với hàm biến đổi. Trong nhiều trường hợp, giới hạn làm cong đa thức sẽ không chứa đựng phép toán phức tạp. Vì thế, một vài chương trình đối với các phép toán hình học phân rã ảnh thành những miền đa thức và sử dụng các hàm ánh xạ song tuyến tính piecewise. Người sử dụng định rõ một lưới hiệu chỉnh đầu vào từ các điểm hiệu chỉnh tạo thành những đỉnh của những tứ giác kề nhau trong ảnh vào. Lưới hiệu chỉnh đầu vào ánh xạ đến một lưới bên cạnh, hình chữ nhật nằm ngang trong ảnh ra. Các đỉnh (các điểm hiệu chỉnh đầu vào) của tứ giác ánh xạ trực tiếp đến các đỉnh của hình chữ nhật tương ứng. Tương tự, các điểm bên trong một tứ giác đầu vào ánh xạ đến những điểm bên trong hình chữ nhật đầu ra tương ứng. 100
HÌNH 8-5 Hình 8-5 Ánh xạ không gian của các điểm hiệu chỉnh 8.3.4 Làm cong đa thức (Polynominal Warping) Nếu số các số hạng trong đa thức phù hợp với số các điểm hiệu chỉnh, thì sau đó phép biến đổi có thể được thiết kế để ánh xạ chính xác đến những điểm hiệu chỉnh cho trước. Giải bài toán theo hệ số đa thức trở thành một bài tập trong các phương trình tuyến tính, và phép nghịch đảo ma trận thường sẽ tao ra những kết quả yêu cầu. (Xem phần 19.5.2) Tuy nhiên, nếu các điểm hiệu chỉnh nhiều hơn các số hạng trong đa thức thì ta pải sử dụng một thủ tục điều chỉnh để xác định các hệ số của đa thức. Trong trường hợp này, phép biến đổi không gian là thích hợp nhất để định rõ điểm hiệu chỉnh và sự ánh xạ các điểm hiệu chỉnh riêng lẻ không xảy ra chính xác như đã chỉ rõ. Những kỹ thuật cho sự điều chỉnh hàm một và hai chiều phù hợp với tập các dữ liệu điểm đã cho được đề cập đến trong phần 19.5. Kỹ thuật giả nghịch đảo (pseudoinverse) (phần 19.5.2, phụ lục 3) cho việc xác định các hệ số của hàm điều chỉnh phổ biến nhất sử dụng cho việc làm cong đa thức. Các phương pháp số học khác, như phép phân tích giá trị duy nhất và phép phân tích trực chuẩn (orthonormal) có thể chứng minh tốt hơn trong thực tế. Trước đây các hệ số của đa thức đã được xác định, thì sự thực hiện cũng giống như trước. Tuy nhiên, các phương pháp số học như sơ đồ lồng nhau của Horner, sơ đồ này có thể rút bớt số các bước tính toán yêu cầu. Dù có đúng như thế thì các công việc có thể trở nên kinh khủng khi thực hiện các trạng thái cong bậc cao trên ảnh lớn. 8.3.5 Phép nội suy lưới hiệu chỉnh (Coltrrol Grid Interpolation) Nếu việc làm cong đa thức (polynominal warping) là không thiết thực thì ảnh phải được làm cong từng phần. Trong phép nội suy phổ biến nhất, các điểm hiệu chỉnh đầu vào tạo thành một lưới, mà lưới này sẽ ánh xạ đén lưới tiếp bên cạnh, hình chữ nhật nằm ngang trong ảnh ra, như trong hình 8-5. Đa giác hiệu chỉnh đầu vào ánh xạ đến các đỉnh của hình chữ nhật tương ứng, trong khi những điểm bên trong mỗi đa giác đầu vào ánh xạ đến những điểm bên trong hình chữ nhật đầu ra tương ứng. Phép nội suy song tuyến tính là sự lựa chọn phổ biến cho phép nội suy lưới hiệu chỉnh, bởi vì nó tính toán đơn giản và tạo ra một ánh xạ trôi chảy để duy trì tính liên tục và tính liên kết. Biểu thức tổng quát cho phép biến đổi không gian song tuyến tính là G ( x, y )  F ( x' , y ' )  F (ax  by  cxy  d , ex  fy  gxy  h) (19) Phép biến đổi song tuyến tính được định nghĩa các giá trị của 8 hệ số từ a đến h. Bằng cách chỉ ra rằng bốn đỉnh của tứ giác ánh xạ đến bốn đỉnh của hình chữ nhật tương ứng, chúng ta tạo ra hai hệ bốn phương trình tuyến tính bốn ẩn. Ánh xạ từ x’ đến x tạo ra bốn phương trình theo a, b, c, d và cũng như vậy cho phép ánh xạ từ y’ sang y và các hệ số e, f, g và h. Hệ phương trình này có thể giải theo a đến h [xem lại biểu thức (6)] để 101
chỉ ra thuật giải cho phép biến đổi không gian song tuyến tính, mà áp dụng tất cả những điểm đầu ra rơi vào bên trong hình chữ nhật. Mặc dù thuật giải biến đổi không gian song tuyến tính có thể được thực hiện như biểu thức (19), nhưng có một cách thuận tiện và tính toán hiệu quả hơn sự thực hiện này. Bằng cách định nghĩa lại hệ số a và e, ta có thể viết lại biểu thức (19) như sau G ( x, y )  F [ x  dx ( x, y ), y  dy ( x, y )] (20) trong đó dx(x,y) và dy(x,y) là độ dịch chuyển điểm ảnh và là các hàm song tuyến tính của x và y. Hình 8-6 cho thấy các dịch chuyển này với tứ giác đầu vào chồng lên hình chữ nhật đầu ra mà nó ánh xạ đến. Vấn đề bây giờ là làm giảm dx và dy cho tất cả các điểm bên trong hình chữ nhật. Vì dx(x,y) và dy(x,y) là song tuyến tính theo x và y nên chúng trở thành tuyến tính trong x theo từng dòng ra. Vì thế, đối với mỗi dòng, chúng ta có thể định nghĩa một số gia, x, như là đơn vị khoảng cách điểm ảnh. d ( x  1, y )  dx( x, y )  x (21) và tương tự cho dy. Số gia x thay đổi theo dòng, nhưng có thể dễ dàng tính từ các giá trị độ dịch chuyển tại các đầu mút hình chữ nhật. Những giá trị này có thể được nội suy giữa các độ dịch chuyển đã cho tại các đỉnh. Quá trình thực hiện biểu thức (21) chỉ đòi hỏi hai phép cộng, một cho dx và một cho dy, tai từng điểm ảnh ra để tính toán toạ độ của điểm vào tương ứng. Thủ tục trước đây chỉ rõ phép biến đổi không gian cho các điểm nằm bên trong hình chữ nhật đầu ra. Một ánh xạ tứ giác-hình chữ nhật thường không đủ để định rõ các phép biến đổi không gian mong muốn, và người ta có thể chỉ rõ những tập tứ giác cạnh nhau trong ảnh vào mà chúng ánh xạ đến tập các hình chữ nhật nằm kề nhau trong ảnh ra. Tuy nhiên, điều đó là không cần thiết đối với hình chữ nhật để bao phủ hoàn toàn ảnh ra. HÌNH 8-6 Hình 8-6 Độ dịch chuyển điểm hiệu chỉnh Hình 8-7 cho thấy một ảnh ra mà trong đó định nghĩa sáu hình chữ nhật cạnh nhau. bên trong mỗi một hình chữ nhật, phép biến đổi không gian được định nghĩa như đã mô tả ở trên. Hình cũng đưa ra cho thấy phép biến đổi không gian có thể được ngoại suy (extrapolate) bên ngoài hình chữ nhật như thế nào. Những con số nằm ngoài các hình chữ nhật không định rõ (hình nét đứt) cho biết những hình chữ nhật hiệu chỉnh sử dụng các hệ số song tuyến tính. Ví dụ, phép biến đổi không gian được sử dụng hình chữ nhật phía trên bên trái của ảnh ra dùng các hệ số song tuyến tính cho hình chữ nhật 1. 102
HÌNH 8-7 Hình 8-7 Ngoại suy lưới hiệu chỉnh Rõ ràng là từ thảo luận trước đây, phép biến đổi song tuyến tính là liên tục và duy nhất tại tại các đỉnh và cạnh của hình chữ nhật đầu ra. Tại mỗi cạnh, phép biến đổi song tuyến tính thoái hoá thành phép nội suy song tuyển tính giữa hai điểm cuối. Khi xác định rõ các hình chữ nhật gần kề nhau, người ta phải làm cho các đỉnh của chúng trùng khớp nhau. Tương tự, các tứ giác kề nhau trong ảnh vào phải có các đỉnh trùng khớp nhau. Tuy nhiên, các tứ giác không nằm kề nhau là không bắt buộc và thậm chí có thể nằm đè lên. Các đối tượng bên trong các vùng mà các tứ giác chồng lên nhau trở thành nhân đôi trong ảnh ảnh ra. 8.4 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TOÁN HÌNH HỌC 8.4.1 Điều chỉnh hình học (Geometric Calibration) Một ứng dụng quan trọng của phép toán hình học là loại bỏ khỏi ảnh số những biến dạng hình học do camera. Ví dụ cho trong hình 8-4. Điều chỉnh hình học đã chứng tỏ tầm quan trọng trong việc rút ra kích thước không gian định lượng từ tính đa dạng của ảnh số. Một số ảnh nào đó, chẳng hạn như thu từ vệ tinh và ra đa quan sát trên không, là chủ đề cho nhiều biến dạng hình học. Những ảnh này thường yêu cầu điều chỉnh hình học trước khi nội suy. 8.4.2 Sửa chữa ảnh (Image Rectification) Một vài hệ thống xử lý ảnh không sử dụng hệ toạ độ điểm ảnh vuông góc. Trước khi được số hoá với hệ thống như trên, ảnh có thể được quan sát hoàn toàn trong các hệ thống bình thường, chúng phải được sửa chữa, tức là, biến đổi sang hệ toạ độ điểm ảnh vuông góc. Ví dụ, tàu vũ trụ Viking Lander đã dùng một camera quét góc (angle scanning) thiết kế cho việc số hoá các bức ảnh toàn cảnh Martian. Nó sử dụng hệ toạ độ toạ cầu với các dòng quét đặt tại các góc nâng (elevation) bằng nhau, và khoảng cách điểm ảnh của nó được biểu diễn bằng các số gia (increment) góc phương vị (azimuth). Hình 8-8(a) trình bày sự biến dạng trên toạ độ hiển thị vuông góc của thiết kế này, đặc biệt đối với những đối tượng gần camera. HÌNH 8-8 103
Hình 8-8 Hiệu chỉnh camera Viking Lander; (a) trước khi hiệu chỉnh; (b) sau khi hiệu chỉnh Sửa chữa các ảnh quét góc đối với toạ độ hiển thị vuông góc gồm phép chiếu một bề mặt hình cầu lên mặt phẳng tiếp xúc. Các đường chiếu bắt nguồn từ tâm hình cầu và chiếu các điểm trên mặt cầu lên mặt phẳng. Quan hệ giữa vị trí điểm ảnh ra và vào được đề cập trong chương 14. Hình 8-8(a) đã được sửa chữa thành toạ độ hiển thị vuông góc trong hình 8-8(b). Lưu ý rằng các cạnh bàn có vẻ thẳng trong ảnh đã sửa chữa. Một rô bôt tự hành (free-roaming), giống như một con người, yêu cầu tầm nhìn lập thể (stereoscopic), góc nhìn rộng để điều hướng (navigate) giữa các chướng ngại vật (obstacle), chẳng hạn như đi qua các cánh cửa. Một thấu kính mắt cá có thể thu nhận một vùng với góc nhìn xấp xỉ 1800, nhưng nó không làm được như vậy với sự biến dạng nhiều. Một phép toán hình học được thiết kế hoàn chỉnh có thể sửa chữa một ảnh như trên thành một hệ toạ độ vuông góc (Hình 8-9c, d) sao cho các kỹ thuật sắp xếp lập thể (đề cập đến trong chương 22) có thể định vị các đối tượng xung quanh theo ba chiều. Trong ví dụ này, một đa thức cong bậc năm, được thực hiện trong hệ toạ độ cực, để sửa chữa ảnh. HÌNH 8-9 Hình 8-9 Sửa chữa hình học một ảnh được chụp bằng thấu kính mắt cá; (a) bản kiểm tra; (b) ảnh mắt cá; (c) ảnh ban đầu; (d) ảnh hành lang đã sửa chữa 8.4.3 Ghi nhận ảnh (Image Registering) Một ứng dụng khác của các phép toán hình học là ghi nhận các ảnh giống nhau với mục đích so sánh. Ứng dụng này được đặc trưng bởi phép trừ ảnh để phát hiện sự dịch chuyển hay thay đổi. Như đã chỉ ra trong chương 7, nếu các ảnh giống nhau được dịch chuyển một chút và được trừ, thì ảnh hiệu sẽ có một phần khá lớn thành phần đạo hàm. Thành phần này có thể dễ dàng che đi những phần cần giữ lại trên ảnh hiệu. Nếu ảnh của một đối tượng tĩnh (stationary) có thể được số hoá từ một camera đặt cố định, thì có thể ghi nhận lại chúng. Tuy nhiên, nếu không đúng như thế thì có vẻ thích hợp để ảnh sẽ phải được ghi nhận trước khi thực hiện phép trừ. Trong khi phép tịnh tiến đơn giản được hoàn thành một cách dễ dàng, thì phép quay hay phép biến đạng phức tạp hơn dòi hỏi một phép toán hình học. Ghi nhận film của các ảnh quét có thể bao gồm phép tịnh tiến và phép quay. Ví dụ, các mắt xích liên tiếp của chuỗi phân tử (biological tissue), được cắt ra từng miếng mỏng (slice) trên một thiết bị vi phẫu (microtome) và được chụp thông qua kính hiển vi là đối tượng cho nhiều phép 104
biến dạng hình học. Trong các trường hợp như vậy, phép tịnh tiến và phép quay là không thích hợp. Thay vào đó, một ảnh như trên có thể được chụp với một chuẩn tham chiếu và những chuẩn biến dạng khác để làm cho nó phù hợp. Các đặc điểm nhỏ được trên khắp ảnh và sử dụng để xác định điểm hiệu chỉnh. Chương 7 trình bày những ví dụ về phép trừ ảnh với yêu cầu ghi nhận cẩn thận. 8.4.4 Chuyển đổi khuôn dạng ảnh (Image Format Conversion) Các phép toán hình học đôi khi cũng được sử dụng để đưa ảnh vào một dạng thích hợp hơn cho việc thể hiện. Hình 8-10(a) cho thấy ảnh chụp bản đồ nhiễm sắc thể (chromosome) của một loài ruồi giấm (drosophila). Bản đồ này được bằng cách dán những ảnh nhiễm sắc thể được chụp qua kính hiển vi. Các nhà di truyền học phân tích mô hình các dải nhiễm sắc thể để suy luận ra những mô hình của sự tiến hoá. Các vùng được đánh số để tham khảo. Hình 8-10(b) trình bày kết quả của việc sử dụng phép toán hình học để bản đồ các nhiễm sắc thể dạng thẳng. Trong ảnh đầu vào, mỗi nhiễm sắc thể được một lưới các hình tứ giác hiệu chỉnh đặt chồng lên, mỗi tứ giác có hai cạnh song song với trục của nhiễm sắc thể. Chúng được ánh xạ đến những chuỗi hình chữ nhật nằm ngang trong ảnh ra. Để ngăn chặn sự biến dạng trục nhiễm sắc thể, cạnh dài của mỗi hình chữ nhật phải bằng trung bình của hai cạnh song song trong tứ giác tương ứng. Các con số phía dưới nhiễm sắc thể thứ 3 ít bị biến dạng hơn những cái khác vì hàng các tứ giác thứ hai xác định bên dưới nhiễm sắc thể này. Thực tế chúng là những hình bình hành (parallelogram) với các cạnh song song với trục nhiễm sắc thể. Chúng ánh xạ đến hàng thứ hai của nghiên cứu hình chữ nhật bên dưới những cái xác định nhiễm sắc thể thẳng. 8.4.5 Phép chiếu bản đồ (Map Projection) Môt ứng dụng chủ yếu khác của các phép toán hình học là việc chiếu ảnh phục vụ cho việc ánh xạ. Ví dụ, cần tạo ra các bản đồ ảnh khảm (tạm dịch từ photomosaic) trái đất, mặt trăng và các hành tinh sử dụng các ảnh truyền từ tàu vũ trụ. Các mép ảnh camera trên tàu vũ trụ chiếu lên bề mặt hành tinh, tạo thành một "dấu chân" với bốn cạng cong tuyến tính [Hình 8-11(a)]. Bề mặt cầu của hành tinh được chiếu lên một phẳng tạo ra một bản đồ [Hình 8-11(b)]. "Dấu chân" cũng chiếu lên bản đồ tạo thành một hình bốn cạnh biến dạng hơn nữa. Một phép toán hình học có thể biến đổi ảnh camera từ tàu vũ trụ thành dạng nó có trên bản đồ. Nhiều ảnh được xử lý theo cách này có thể kết hợp với việc khảm để tạo thành ảnh bản đồ hành tinh. Công việc xác định các điểm hiệu chỉnh có phần bao hàm đối với phép chiếu ảnh. Chương trình phải có được hình ảnh hình học quan sát từ tàu vũ trụ và các tham số chiếu bản đồ (cartographic) mong muốn và tạo ra lưới hiệu chỉnh đầu vào và đầu ra. Quá trình xác định phép biến đổi không gian giữa đầu vào và ảnh được chiếu là một quá trình gồm hai bước. Phần mềm sử dụng trong chương trình không gian giải bài toán này bằng cách làm việc ngược lại từ ảnh đầu ra đến ảnh đầu vào. kỹ thuật chiếu bản đồ đã cho trước sẽ định nghĩa mối quan hệ giữa các điẻm trong ảnh đầu và các điểm trên bề mặt hành tinh. Hình ảnh hình học quan sát từ tàu vũ trụ xác định mối quan hệ không gian giữa các điểm trên bề mặt hành tinh với các vị trí điểm ảnh trong camera ảnh. Chương trình phủ đè một lưới hiệu chỉnh uông góc lên ảnh đầu ra và ảnh xạ nó ngược trở lại thông qua phép chiếu bản đồ ảnh hình học từ tàu vũ trụ để phủ đè nó lên ảnh vào. Phần dưới sẽ phác thảo kỹ thuật này. 105
Nghiên cứu bản đồ (cartography). Khoa học nghiên cứu bản đồ là sự liên quan đến việc tạo ra các bản đồ hai chiều của hình cầu hay khối elipxoit. điều này không phải là chuyện đơn giản, bởi vì không thẻ san phẳng bề mặt hình cầu mà không bị biến dạng. Các nhà nghiên cứu bản đồ giải quyết vấn đề bằng cách chiếu bề mặt hình cầu lên một mặt phẳng hoặc một hình trụ hay hình nón mà có thể "trải ra" để tạo thành một bề mặt bằng phẳng. HÌNH 8-11A HINH 8-11B Hình 8-11 Ánh xạ ảnh chụp: (a) "dấu chân" camera tàu vũ trụ; (b) phép chiếu bản đồ Các tính chất bản đồ (Map Properties). Có ba tính chất quan trọng mà một bản đồ đặc biệt có thể có hoặc không, tuỳ thuộc vào thế hệ.Một bản đồ được gọi là cách đều (equidistant) nếu tỷ lệ được duy trì theo các dòng nào đó. Điều này có nghĩa khoảng cách theo các dòng đó tỷ lệ với khoảng cách giữa các điểm tơng ứng trên mặt phẳng. Một bản đồ có tính chất tương đương(equivalence) nếu diện tích của một miền được bảo toàn trong phép chiếu. Các bản đồ kể trên có thể có thể sử dụng để so sánh diện tích của những đặc trưng khác nhau. Một bản đồ là hình thức (tạm dịch từ conformal) hay đồng dạng (tạm dịch từ orthomophic) nếu các góc được bảo toàn trong phép chiếu - tức là, nếu các dòng trên bề mặt giao nhau với cùng một góc như phép chiếu của trên bảm đồ. Một bản đồ phù hợp cũng bảo toàn hình dạng tại một điểm. Điều này có nghĩa là hình dạng của các đặc trưng nhỏ chỉ bị biến dạng không đáng kể lắm. Các phép chiếu theo thuật vẽ bản đồ (Cartographic Projections). Có ba loại bề mặt mà trên đó các đặc trưng bề mặt có thể được chiếu để tạo thành bản đồ hai chiều: 106
mặt phẳng, hình trụ và hình nón. Hai bề mặt cuối phải được cắt theo một đường song songvới trục và "trải ra" để tạo thành một bản đồ phẳng. Có thể xem hình nón như trường hợp tổng quát, vì mặt phẳng có thể được xem như một hình nón với góc đỉnh 1800 và hình trụ là hình nón với góc đỉnh là 00. Trong khi nhiều kiểu phép chiếu được xác định và sử dụng trong suốt bề dày lịch sử thuật vẽ bản đồ thì có bốn phép chiếu quan trọng nhất là: trực giao (orthographic), vẽ nổi (stereographic), Mercator và hình nón hình thức Lambert. Những phép chiếu này khác nhau về kỹ thuật tao ra chúng và những tính chất của chúng. Chúng được mô tả trong hình 8-12. HÌNH 8-12 Hình 8-12 Các phép chiếu theo thuật vẽ bản đồ Trong phép chiếu trực giao, các đặc trưng bề mặt được chiếu lên một mặt phẳng tiếp xúc với hình cầu tại một điểm gọi là tâm chiếu (center of projection). Các đặc trưng được chiếu theo những đường song song đến mặt phẳng. Khi tâm chiếu là điểm cực thì tỷ lệ theo vĩ tuyến chạy song song là hằng số. Có một sự biến dạng nhỏ của các đặc trưng gần tâm chiếu. Chiếu song song với vĩ tuyến như các đường tròn đồng tâm có tâm trên điểm cực và phép chiếu kinh tuyến (meridian) như các đường thẳng giao nhau tại điểm cực. Phép chiếu vẽ nổi (stereographic) tương tự như phép chiếu trực giao, ngoại trừ các tia chiếu bắt nguồn từ một điểm phối cảnh (perspective point) định vị trực tiếp đối nhau với tâm chiếu. Trong trường hợp có cực, chiếu song song với vĩ tuyến như các đường tròn đồng tâm có tâm tại cực và chiếu kinh tuyến như các đường xuyên tâm giao nhau tại điểm cực. Tỷ lệ theo chiếu song song và theo chiếu kinh tuyến tăng dần từ cực. Tuy nhiên, chúng tăng một cách cân xứng để cho tại bất kỳ điểm nào các tỷ lệ kinh tuyến và vĩ tuyến là như nhau. Điều này khiến cho phép chiếu vẽ nổi là hình thức (conformal) và hình dạng được bảo toàn một cách cục bộ. Có một sự biến dạng nhỏ cho các đặc thông trưng gần tâm chiếu. Phép chiếu Mercator ánh xạ các đặc trưng bề mặt lên một hình trụ tròn xoay tiếp xúc với hình cầu tại xích đạo (equator). Trục hình trụ là cùng đương thẳng với trục cực của hình cầu. Các kinh tuyến ánh xạ đến các đường dọc cách đều và các đường chạy song song ánh xạ thành các đường tròng trên hình trụ, mà khi mở ra sẽ tạo tahnhs các đường ngang trên bản đồ. Tỷ lệ theo các đường vĩ tuyến tăng cùng với khoảng cách từ xích đạo. Phép chiếu được thiết kế sao cho điểm phối cảnh chuyển lên trục với việc tăng vĩ tuyến, giữ cho các tỷ lệ vĩ tuyến và kinh tuyến bằng nhau và vì thế làm cho bản đồ có vẻ hình thức. Càng xa xích đạo, tỷ lệ càng được phóng đại, và các đặc trưng gần cực trở nên rất lớn. Bản thân các cực không thể tự ánh xạ. 107
Vị trí các đường vĩ tuyến ngang được cho bởi    y  R ln  tan(45  ) (22)  2  trong đó R là bán kính hành tinh trên bản đồ và  là vĩ độ. Về phương diẹn lịch sử, phép chiếu Mercator đã được sử dụng đối với ngành hàng hải bởi vì hướng la bàn chiếu thành một đường thẳng trên bản đồ. Trong phép chiếu hình nó hình thức Lambert, các đặc trưng bề mặt được chiếu lên một hình nón có cùmg trục với hành tinh. Hình nón giao với hình cầu tại hai đường song song gọi là đường song song tiêu chuẩn. Các kinh tuyến ánh xạ thành các đường thẳng còn các đường song song ánh xạ thành các đường tròn bên trong hình nón. Khi hình nón được trải ra, các đường song song trở thành các cung và các kinh tuyến đồng qui tại điểm cực. Khoảng cách giữa các đường song song được điều chỉnh để hoàn thành hình thức. Hai đường song song tiêu chuẩn chiếu theo tỷ lệ thực: tỷ lệ giảm bớt giữa chúng và được phóng đại bên ngoài chúng. 8.4.5.1 Thực hiện 1. Các bước cần thiết để chiếu một ảnh từ tàu vũ trụ đối với mục đíc vẽ bản đồ: 2. Thiết lập hình ảnh hình học của camera trên tàu vũ trụ. 3. xác định một biểu thức cho vị trí camera giống như một hàm vĩ độ và kinh độ của điểm tương ứng trên bề mặt hành tinh. 4. Chọn các tham số chiếu bản đồ (kiểu chiếu, tâm chiếu,...) và thiết lập các cạnh của ảnh ra trên bản đồ. 5. xác định một biểu thức cho vĩ độ và kinh độ của một điểm trên mặt hành tinh bằng các toạ độ điểm ảnh của điểm tương ứng trên bản đồ. 6. Kết hợp kết quả của bước 2 và 4 để mang lại một biểu thức cho vị trí điểm ảnh camera giống như một hàm vị trí trên bản đồ đầu ra. 7. Phủ chồng một lưới hiệu chỉnh thẳng (reclinear) lên trên bức tranh đầu ra. 8. Sử dụng biểu thức của bước 5 để ánh xạ các điểm hiệu chỉnh đầ ra thành ảnh đầu vào, theo cách đó mà thiết lập lưới hiệu chỉnh đầu vào. 9. Sử dụng kết quả của bước 7 trong phép toán hình học để thực hiện phép chiếu. Hình ảnh hình học từ tàu vũ trụ có thể đợc thiết lập với tham khảo trong hình 8-13. Trong hình này, tàu vũ trụ được định vị cách tâm hành tinh một khoảng RS. ngay điểm vĩ độ S và kinh độ S trên đầu. Điểm C là điểm phối cảnh biểu diễn cho điểm nút (tâm) thấu kính camera. Điểm p nằm trong ảnh camera và tương ứng với điểm p', điểm có kinh độ  và vĩ độ  trên mặt hành tinh. Hằng số f biểu diễn tiêu cự thấu kính và được phóng đại cho dễ nhìn trong hình. Vec tơ Q trải dài từ C đến p'. Chú ý rằng vec tơ xp  P   y p  (23)  f  có các thành phần xp và yp là các toạ độ vị trí điểm ảnh camera. Vì P và Q là cùng nằm trên đường thẳng nên chúng liên quan với nhau bởi hệ số tỷ lệ:  f  P   Q (24)  Qz  108
HÌNH 8-13 Hình 8-13 Hình ảnh hình học từ tàu vũ trụ Từ hình 8-13, chúng ta thấy rằng Q  RS (25) mà chúng ta có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau Q x   R cos  cos   RS cos  S cos  S  Q   M  R cos  sin   R cos  sin   (26)  y  S S S   Q z   R sin   R S sin  S  trong đó [M] là ma trân 33 biến đổi tâm hành tinh thành toạ độ tàu vũ trụ. Cuối cùng, biểu thức (24) cho thấy rằng  f   f  x p   Q x vµ y p   Q y (27)  Qz   Qz  Vài tài liệu nghiên cứu bản đồ trình bày các phương trình tính vị trí bản đồ bằng vĩ độ và kinh độ trên bề mặt. Tuy nhiên, vì chúng ta phải làm ngược lại từ bản đồ đến hành tinh nên yêu cầu các đảo của các phương trình. Ảnh từ tàu vũ trụ thường đòi hỏi cả hai phép hiệu chỉnh hình học và chiếu bản đồ, xem như là hai phép toán hình học liên tiếp. Tuy nhiên, phép nội suy điểm ảnh thực hiện hai lần làm giảm chi tiết trong ảnh, hai phép toán hình học thương được kết hợp vào một hành động đến nỗi mà cả hai đều có thể hiệu chỉnh và chiếu ảnh. 8.4.5.2 Ví dụ về phép chiếu bản đồ Hình 8-14 minh hoạ các bước sử dụng trong quá trình tạo ra một ảnh bản đồ. Phần (a) là ảnh Sao Thuỷ (Mercury) từ Mariner 10 trước khi hiệu chỉnh quang trắc và độ biến dạng hình học. Trong (b), ảnh đợc áp dụng phép toán hình học để tạo ra một phép chiếu trực giao. Trong (c), vài phép chiếu trực giao lân cận cũng được kết hợp để tạo thành một hình nổi. Cuối cùng, trong (d), một lưới vĩ tuyến và kinh tuyến được chồng lên hình nổi trực giao đó. HÌNH 8-14 109
Hình 8-14 Ví dụ vè phép chiếu bản đồ của Mariner 10: (a) ảnh gốc; (b) chiếu trực giao; (b) làm nổi với nhiều phép chiếu; (d) lưới bản đồ phủ chồng Hình 8-15 đưa ra một cực trong phép chiếu trực giao ảnh Sao Hoả (Mars) chụp từ Mariner 6 và Mariner 7. Hình nổi có độ phân giải cao, các ảnh góc hẹp được chèn vào hình nổi góc rộng, các ảnh phân giải thấp. Hình 8-16 trình bày quả cầu đường kính 4 foot (khoảng 1.2 mét) với 2,000 phép chiếu trực giao của ảnh Sao Hoả từ Mariner 9. 8.4.6 Phép biến hình (Morphing-viết tắt của metamorphosing) Vài kết quả đặc biệt mà đã trở nên phổ biến trong công nghiệp ảnh chuyển động và TV đựa trên các phép toán hình học. Phép biến hình (morphing) là một kỹ thuật cho phép một đối tượng biến đổi từ từ thành đối tợng khác. Giả sử chúng ta có hai ảnh mà chúng ta muốn tạo ra một chuỗi các khung film. Chuỗi đó miêu tả phép biến đổi một đối tượng trong cảnh thứ nhất thành đói tượng của cảnh thứ hai. Một ví dụ là quá trình biến đổi khuôn mặt một con mèo thành mặt con hổ. Trong sự mờ chồng (dissolve), ảnh thứ nhất được làm mờ dần khi đưa ảnh thứ hai vào dần. Kỹ thuật này hiếm khi tạo ra phép biến đổi trông có vẻ thực tế. Tuy nhiên, biến hình trong lúc làm mờ các điểm trên đối tượng làm tăng thêm độ biến dạng từ tư thế ban đầu thành tư thế cuối cùng của chúng, tạo ra một kết quả gây ấn tượng hơn. Hình 8-17 đưa ra bốn khung hình từ chuỗi biến hình. Hình 8-17a và 8-17d ảnh ban đầu và ảnh cuối cùng. Hình 8-17b và 8-17c thể hiện 40% và 70% tương ứng trong chuỗi. Tại mỗi một bước trong chuỗi, cả ảnh đầu lẫn ảnh cuối được làm biến dạng sao cho các điểm hiệu chỉnh của chúng ánh xạ thành các vị trí trung gian giữa vị trí đầu và vị trí cuối. Bước này tạo ra hai chuỗi đánh dấu các đặc trưng di chuyển dần dần từ các vị trí ban đầu sang các vị trí cuối cùng. Sự mờ chồng giữa hai chuỗi này làm cho phép toán biến hình trọn vẹn. HÌNH 8-15 Hình 8-15 Bản đồ chiếu trực giao cực Sao Hoả Quá trình biến hình cũng có thể được thực hiện giữa hai chuỗi phim. Ở đây, vì các đối tượng chuyển động nên các điểm hiệu chỉnh phải được thiết kế riêng cho từng khung hình trong từng chuỗi. Phổ biến nhất là các điểm hiệu chỉnh chỉ đươck định rõ cho một vài khung hình nào đó cung cấp cho nó phép nội suy không gian. Tại mỗi khung trong chuỗi, hai ảnh đươc biến dạng sao cho các điểm hiệu chỉnh có thể sắp thẳng hàng. Vị trí của cặp điểm hiệu chỉnh được ánh xạ xuất phát gần vị trí ảnh ban đầu và di chuyển dần dần về phía vị trí ảnh cuối cùng. 110
Trong thực tiễn, thường chỉ có một đối tượng trong một cảnh được biến đổi thực sự, với phần còn lại phía sau không thay đổi. Đối tượng quan tâm được làm mờ đi tương phản với nền đen. Chuỗi biến hình kết thúc sau khi chèn vào một cảnh chứa nền thích hợp. HÌNH 8-16 Hình 8-16 Ảnh Sao Hỏa nổi từ Mariner 9 HÌNH 8-17 Hình 8-17 Chuỗi ảnh biến hình: (a) ảnh ban đầu; (b) 40% điểm; (c) 70% điểm: (d) ảnh cuối cùng 8.5 TỔNG KẾT NHỮNG ĐIỂM QUAN TRỌNG 1. Phép toán hình học cần có công cụ để xác định phép biến đổi không gian và một thuật toán nội suy mức xám. 2. Phép toán hình học có thể được xem như một ánh xạ giữa một điểm ảnh đầu ra với điểm ảnh đầu vào tương ứng, trong đó giá trị mức xám được xác định bằng phép toán nội suy. 3. Phép toán nội suy mức xám song tuyến tính thông thường lớn hơn phép nội suy lân cận lớn nhất. 4. Một phép biến đổi không gian có thể được định rõ bởi một cặp lưới hiệu chỉnh, một cái được định nghĩa trong ảnh vào và một cái được định nghĩa trong ảnh ra. 5. Các điểm hiệu chỉnh đầu vào ánh xạ đến các điểm hiệu chỉnh đầu ra tương ứng. 6. Giữa các điểm hiệu chỉnh, phép biến đổi không gian thu được từ phép nội suy. 111
7. Nội suy song tuyến tính thường sử dụng cho phép nội suy điểm không hiệu chỉnh. 8. Các phép toán hình học thường được sử dụng cho phép điều chỉnh bộ số hoá, phép sửa chữa hiển thị, ghi nhận ảnh, phép chiếu bản đồ, định dạng lại ảnh đối với hiển thị và các hiệu ứng thị giác đặc biệt. BÀI TẬP 1. Đặt F(221,396) = 18, F(221,397) = 45, F(222,396) = 52 và F(222,397) = 36. F(221.3,396.7) thu được từ phép nội suy lân cận gần nhất bằng bao nhiêu? bằng nội suy song tuyến tính? Viết biểu thức song tuyến tính (biểu thức (2)), đưa ra giá trị các hệ số. Vẽ đồ thị tương tự hình 8-3. 2. Đặt F(109,775) = 113, F(109,776) = 109, F(110,775) = 105 và F(110,776) = 103. F(110.27,776.44) thu được từ phép nội suy lân cận gần nhất bằng bao nhiêu? bằng nội suy song tuyến tính? Viết biểu thức song tuyến tính (biểu thức (2)), đưa ra giá trị các hệ số. Vẽ đồ thị tương tự hình 8-3. 3. Viết phép toán hình học yêu cầu để quay ảnh một góc 330 ngược chiều kim đồng hồ (counter-clockwise) quang điểm x, y = 207.421. Giả sử rằng 0.0 là điểm trê bên trái. 4. Giả sử bạn có hai ảnh số hoá vách núi chụp cách nhau 100 năm và bạn muốn phát hiện những thay đổi do xói mòn bằng phép trừ ảnh. bạn thấy một cục đá tại vị trí 303, 467 trong ảnh thứ nhất và tại vị trí 316, 440 trong ảnh thứ hai, và một gốc cây tại vị trí 298, 227 trong ảnh thứ nhất và tại vị trí 311, 200 trong ảnh thứ hai. Có bất kỳ (a) phép tịnh tiến, (b) phép quay, và (c) tỷ lệ thay đổi nào không? Có bao nhiêu? viết phép toán hình học cần thiết để ghi nhận ảnh thứ hai với ảnh thứ nhất rước khi trừ. Giả sử rằng không có sự biến dạng hình học nào ngoại trừ phép tịnh tiến, phép quay và tỷ lệ thay đổi. DỰ ÁN Những dự án này yêu cầu một trạm xử lý ảnh với việc số hoá và phép biến đổi hình học tổng quát tương thích. 1. Số hoá ảnh một người bạn chụp bằng thấu kính mắt cá có góc trông rộng. Phát triển phương trình mô tả sự biến dạng và sử dụng phép làm cong đa thức để hiệu chỉnh nó. 2. Số hoá ảnh một người bạn chụp bằng thấu kính mắt cá. Sử dụng các đối tượng tuyến tính như chuẩn đánh dấu và sử dụng phép biến đổi hình học để hiệu chỉnh ảnh. 3. Số hoá ảnh một người bạn chụp bằng thấu kính mắt cá. Chụp một ảnh lưới thứ hai từ camera cùng một vị trí, và sử dụng phép toán hình học để hiệu chỉnh ảnh. 4. Số hoá ảnh hành lang hình cầu và sử dụng phép biến đổi hình học để sửa chữa ảnh. Sử dụng các đối tượng tuyến tính trong ảnh như các dấu hiệu chuẩn. 5. Phát triển một chương trình xử lý ảnh có thể sử dụng để dự đoán kết quả giải phẫu thẩm mỹ và phẫu thuật khôi phục. Sử dụng chương trình để xác định phẫu thuật thẩm mỹ có thể cải thiện diện mạo của bạn hay của một người bạn hoặc một nhân vật nổi tiếng. 6. Soạn một chuỗi ảnh để sử dụng phương pháp biến hình một ảnh khuôn mặt bạn thành khuôn mặt một nhân vật nổi tiếng. 112