Bai tap nguyen ham tich phann

Chia sẻ: Nguyễn đức Tâm | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

45
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

bài tập nguyên hàm tích phân và ứng dụng dùng cho học sinh lớp 12

Chủ đề:

Giới thiệu và phân loại IC số

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bai tap nguyen ham tich phann

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số. 1 x 3 3x 2 1. f(x) = x2 – 3x + ĐS. F(x) = − + ln x + C x 3 2 2x 4 + 3 2x3 3 2. f(x) = ĐS. F(x) = − +C x2 3 x x −1 1 . f(x) = 2 ĐS. F(x) = lnx + + C x x ( x 2 − 1) 2 x 3 1 4. f(x) = ĐS. F(x) = − 2x + + C x2 3 x 3 4 5 ĐS. F(x) = 2 x + 3x + 4 x + C 2 3 4 5. f(x) = x + x + x 3 4 3 4 5 1 2 6. f(x) = − ĐS. F(x) = 2 x − 33 x 2 + C x 3 x ( x − 1) 2 7. f(x) = ĐS. F(x) = x − 4 x + ln x + C x x −1 5 2 8. f(x) = 3 ĐS. F(x) = x 3 − x 3 + C x x 9. f(x) = 2 sin 2 ĐS. F(x) = x – sinx + C 2 10. f(x) = tan2x ĐS. F(x) = tanx – x + C 1 1 11. f(x) = cos2x ĐS. F(x) = x + sin 2 x + C 2 4 12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C 1 13. f(x) = ĐS. F(x) = tanx - cotx + C sin x. cos 2 x 2 cos 2 x 14. f(x) = ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C sin x. cos 2 x 2 1 15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) = − cos 3x + C 3 1 16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) = − cos 5 x − cos x + C 5 1 17. f(x) = ex(ex – 1) ĐS. F(x) = e 2 x − e x + C 2 e−x 18. f(x) = ex(2 + ) ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C cos 2 x 2a x 3 x 19. f(x) = 2ax + 3x ĐS. F(x) = + +C ln a ln 3 1 20. f(x) = e3x+1 ĐS. F(x) = e 3 x +1 + C 3 NGUYEN DUC TAM – 01645.7777.00 Trang 1
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng 1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS. f(x) = x2 + x + 3 x3 2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) = 2 x − +1 3 8 x x x 2 40 3. f’(x) = 4 x − x và f(4) = 0 ĐS. f(x) = − − 3 2 3 1 x 2 1 3 4. f’(x) = x - + 2 và f(1) = 2 ĐS. f(x) = + + 2x − x2 2 x 2 5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3 b x2 1 5 6. f’(x) = ax + , f ' (1) = 0, f (1) = 4, f (−1) = 2 ĐS. f(x) = + + x2 2 x 2 II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số. Tính I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx bằng cách đặt t = u(x)  Đặt t = u(x) ⇒ dt = u ' ( x)dx  I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx dx 1. ∫ (5 x − 1)dx 2. ∫ (3 − 2 x) 5 3. ∫ 5 − 2 x dx 4. ∫ 2x −1 x ∫ (2 x + 1) 7 xdx ∫ (x + 5) 4 x 2 dx ∫ 8. ∫ 2 2 3 5. 6. 7. x 2 + 1.xdx dx x +5 3x 2 dx ln 3 x 9. ∫ 5 + 2x3 dx 10. x (1 + x ) ∫ 2 11. ∫ x dx 12. ∫ x.e x 2 +1 dx sin x tgxdx 13. ∫ sin x cos xdx 14. ∫ 5 dx ∫ cot gxdx ∫ cos 4 15. 16. 2 cos x x x dx dx e 17. ∫ sin x 18. ∫ cos x 19. ∫ tgxdx 20. ∫ x dx e x dx e tgx dx 21. ∫ e −3x 22. ∫ cos 2 x dx 23. ∫ 1 − x 2 .dx 24. ∫ 4 − x2 dx x 2 dx dx 25. ∫ x 2 1 − x 2 .dx 26. ∫ 1+ x2 27. ∫ 1− x2 28. ∫x 2 + x +1 dx ∫ cos ∫x x − 1.dx 31. ∫ x ∫x 3 29. x sin 2 xdx 30. 32. 3 x 2 + 1.dx e +1 2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần. Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I ∫ u( x).v' ( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ v( x).u ' ( x)dx Hay NGUYEN DUC TAM – 01645.7777.00 Trang 2
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ∫ udv = uv − ∫ vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1. ∫ x. sin xdx 2. ∫ x cos xdx 3. ∫ ( x + 5) sin xdx 4 ∫ ( x + 2 x + 3) cos xdx 2 2 ∫ x sin 2 xdx ∫ x cos 2 xdx ∫ x.e dx ∫ ln xdx x 5. 6. 7. 8. ln xdx ∫ x ln xdx ∫ ln 11. ∫ ∫e 2 x 9. 10. xdx 12. dx x x ∫ cos x dx ∫ xtg ∫ sin x dx ∫ ln( x + 1)dx 2 2 13. 2 14. xdx 15. 16. ∫ e . cos xdx ∫x e 19. ∫ x ln(1 + x 20. ∫ 2 xdx x 3 x2 2 x 17. 18. dx )dx ln(1 + x) ∫ x lg xdx ∫ 2 x ln(1 + x)dx 23. ∫ x dx 24. ∫ x cos 2 xdx 2 21. 22. 2 TÍCH PHÂN I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM C Ơ BẢN: 1 e 1 1 1. ( x + x + 1)dx 2. ( x + + 2 + x 2 )dx 3 0 1 x x 3 2 2. x − 2 dx 3. x + 1dx 1 1 π 2 1 4. (2sin x + 3cosx + x)dx 5. (e x + x )dx π 0 3 1 2 6. ( x 3 + x x )dx 7. ( x + 1)( x − x + 1)dx 0 1 π 2 1 1 8. (3sin x + 2cosx + ) dx 9. (e x + x 2 + 1)dx π x 0 3 2 2 10. ( x 2 + x x + 3 x )dx 11. ( x − 1)( x + x + 1)dx 1 1 3 2 x.dx 12. ( x + 1).dx 3 13. −1 -1 x2 + 2 e2 5 7x − 2 x − 5 dx 14. dx 15. 1 x 2 x+2+ x−2 π 2 ( x + 1).dx 2 cos3 x.dx 16. 17. 1 x 2 + x ln x π 3 sin x 6 NGUYEN DUC TAM – 01645.7777.00 Trang 3
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG π 1 4 tgx .dx e x − e− x 18. 19. dx cos2 x 0 ex + e− x 0 1 2 e x .dx dx 20. 21. 0 ex + e− x 1 4x 2 + 8x π ln 3 .dx 2 dx 22. 22. 0 e + e− x x 1 + sin x 0 1 2 2 24. ∫ (2 x + x + 1)dx 25. ∫ (2 x − x − )dx 2 3 −1 0 3 2 4 ∫ x( x − 3)dx 27. ∫ ( x − 4)dx 2 26. −2 −3 2 2  1 1  x − 2x 2 28. ∫  2 + 3 dx 29. ∫ dx 1 x x  1 x3 1 e 16 dx 30. ∫ 1 x 31. ∫ 1 x .dx e e2 2 x + 5 − 7x  8 1  32. ∫ dx 33. ∫  4 x − 3 2 dx   1 x 1  3 x  II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: π π 2 2 1. sin 3 xcos 2 xdx 2. sin 2 xcos 3 xdx π π 3 3 π π 2 4 3. sin x 3. dx tgxdx 0 1 + 3cosx 0 π π 4 6 4. cot gxdx 5. 1 + 4sin xcosxdx π 0 6 1 1 6. x x + 1dx 2 7. x 1 − x 2 dx 0 0 1 1 x2 8. x 3 x 2 + 1dx 9. dx 0 0 x3 + 1 1 2 1 10. x 3 1 − x 2 dx 11. dx 0 1 x x3 + 1 1 1 1 1 12. dx 13. dx 0 1 + x2 −1 x + 2x + 2 2 NGUYEN DUC TAM – 01645.7777.00 Trang 4
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1 1 1 1 14. dx 15. dx 0 x2 + 1 0 (1 + 3x 2 ) 2 π π 2 2 sin x cosx 16. e cosxdx 17. e sin xdx π π 4 4 π 1 2 2 +2 18. ex xdx 19. sin 3 xcos 2 xdx 0 π 3 π π 2 2 20. esin x cosxdx 21. e cosx sin xdx π π 4 4 π 1 2 2 +2 22. ex xdx 23. sin 3 xcos 2 xdx 0 π 3 π π 2 2 24. sin xcos xdx 2 3 25. sin x dx π 0 1 + 3cosx 3 π π 4 4 26. tgxdx 27. cot gxdx π 0 6 π 1 6 28. 1 + 4sin xcosxdx 29. x x 2 + 1dx 0 0 1 1 30. x 1 − x dx 2 31. x 3 x 2 + 1dx 0 0 1 2 1 x 32. dx 33. x 3 1 − x 2 dx 0 x +13 0 2 e 1 1 + ln x 34. dx 35. dx x x +1 1 3 1 x e e sin(ln x) 1 + 3ln x ln x 36. dx 37. dx 1 x 1 x e 2ln x +1 e2 e 1 + ln 2 x 38. dx 39. dx 1 x e x ln x e2 2 1 x 40. dx 41. dx e cos (1 + ln x) 2 1 1+ x −1 1 1 x 42. dx 43. x x + 1dx 0 2x +1 0 NGUYEN DUC TAM – 01645.7777.00 Trang 5
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1 1 1 1 44. dx 45. dx 0 x +1 + x 0 x +1 − x 3 e x +1 1 + ln x 46. dx 46. dx 1 x 1 x e e sin(ln x) 1 + 3ln x ln x 47. dx 48. dx 1 x 1 x e 2ln x +1 e2 e 1 + ln 2 x 49. dx 50. dx 1 x e x ln x 1 e2 1 51. dx 52. x 2 x 3 + 5dx e cos (1 + ln x) 2 0 π 4 2 53. ( sin 4 x + 1) cos xdx 54. 4 − x 2 dx 0 0 4 1 dx 55. 4 − x 2 dx 56. 0 0 1 + x2 0 1 57. ∫ e 58. ∫ e dx 2 x +3 −x dx −1 0 1 1 x x 59. ∫ (2x + 1)3dx 60. ∫ dx 0 0 2x + 1 1 1 4x + 11 61. ∫ x 1− xdx 62. ∫ x2 + 5x + 6dx 0 0 1 3 2x − 5 x3 63. ∫ x2 − 4x + 4dx 64. ∫ x2 + 2x + 1dx 0 0 π π 6 2 3 65. ∫ (sin6 x + cos6 x)dx 66. ∫ 4sin x dx 0 0 1+ cosx π π 67. ∫ 1+ sin2xdx 4 2 2 68. ∫ cos4 2xdx 0 cos x 0 π 1 1+ sin2x + cos2x 2 1 69. ∫ dx 70. ∫ ex + 1dx . π sinx + cosx 0 6 π π 72. ∫ cos 2 x dx 4 4 71. ∫ (cos 4 x − sin 4 x)dx 0 0 1 + 2 sin 2 x NGUYEN DUC TAM – 01645.7777.00 Trang 6
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG π π 73. ∫ sin 3x dx cos x 2 2 74. ∫ dx 0 2 cos 3 x + 1 0 5 − 2 sin x 0 2x + 2 1 dx 75. ∫ 2 dx 76. ∫ 2 −2 x + 2x − 3 −1 x + 2x + 5 π π 2 2 77. ∫ cos3 xsin2 xdx 78. ∫ cos xdx 5 0 0 π 1 4 79. ∫ sin4x dx 80. ∫ x 1− x dx 3 2 0 1+ cos2 x 0 π π 2 4 81. ∫ sin2x(1+ sin2 x)3dx 82. 1 0 ∫ cos xdx 0 4 π e 1+ lnx 4 1 83. ∫ 1 x dx 84. ∫ cosxdx 0 e 1 1+ ln x 2 ∫ 86. ∫ x (1− x ) dx 5 3 6 85. dx 1 x 0 π 3 6 cosx tg4x 87. ∫ 6− 5sinx + sin2 xdx 88. ∫ 0 cos2x dx 0 π π 89. ∫ cos x + sin x dx sin 2 x 4 2 90. ∫ dx 0 3+ sin2x 0 cos 2 x + 4 sin 2 x π ln 5 dx 2 sin 2 x 91. ∫ x −x 92. ∫ dx ln 3 e + 2e −3 0 ( 2 + sin x ) 2 π π ln(tgx ) 3 4 93. ∫ dx 94. ∫ (1 − tg 8 x)dx π sin 2 x 0 4 π π 2 sin x − cos x 96. ∫ sin 2 x + sin x dx 2 95. π ∫ dx 1 + sin 2 x 0 1 + 3 cos x 4 π π 97. ∫ sin 2 x cos x dx 2 2 98. ∫ (e sin x + cos x) cos xdx 0 1 + cos x 0 2 x e 1 + 3 ln x ln x 99. ∫ dx 100. ∫ dx 11+ x −1 1 x π 1 101. ∫ 1 − 2 sin x dx 2 ∫ 1− x2 dx 4 102. 0 1 + sin 2 x 0 1 1 1 1 103. ∫ 1+ x2 dx 104. ∫ dx 0 0 4 − x2 NGUYEN DUC TAM – 01645.7777.00 Trang 7
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1 1 1 x 105. ∫ x2 − x + 1dx 106. ∫ x4 + x2 + 1dx 0 0 π 2 2 107. 1 108. 2 x2 ∫ 1+ cos x + sin x dx 0 ∫ 1− x2 dx 0 2 2 3 109. ∫ x 4− x dx 1 2 2 110. 1 ∫x 2 x2 − 1 dx 1 3 9 + 3x2 1− x 101. ∫ x2 dx 112. ∫ 0 (1+ x )5 dx 1 2 π 1 ∫ 2 113. dx 114. cos x 2 x x2 −1 ∫ 0 7+ cos2x dx 3 1 π 1+ x 4 cos x 115. ∫ 1+ x 6 dx 116. ∫ dx 0 0 1+ cos2 x 0 dx 1 dx 117. ∫ 2 118. ∫ −1 x + 2x + 2 0 1 + 1 + 3x 8 x x −1 2 1 119. ∫ dx 120. ∫ dx 1 x−5 3 x x +1 2 7 3 x3 ∫ ∫x 1+ x 2 dx 5 121. dx 122. 0 3 1+ x 2 0 7 ln2 1 3 x +1 123. ∫ e +2 x dx 124. ∫ dx 0 0 3 3x + 1 2 2 3 dx 125. ∫ x x + 1dx 2 3 126. ∫ 0 5 x x2 + 4 II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b b b Công thức tích phân từng phần : �x)v'(x)dx = u ( x)v( x) a − �x)u '( x)dx u( v( a a Tich phân cac ham số dễ phat hiên u và dv ́ ́ ̀ ́ ̣ � ax � sin β � � ̣ @ Dang 1 f ( x) � cosax � dx α �ax � e � � � = f ( x) u � = f '( x)dx du � � � � ax � sin � � ax � sin � � � � � � � = � ax � dv cos dx � = � v cosax � dx � �ax �e � �ax � e � � � � � � NGUYEN DUC TAM – 01645.7777.00 Trang 8
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG β ̣ @ Dang 2: f ( x) ln(ax)dx α dx u = ln(ax ) du = ̣ Đăt � � x dv = f ( x)dx v = f ( x)dx β ax � ax � sin ̣ @ Dang 3: e . � � dx cosax α � � Ví dụ 1: tinh cac tich phân sau ́ ́ ́ 1 u = x 2e x 3 u = x5 x 2e x 8 x dx a/ dx đăt ̣ dx b/ ̣ đăt x3 dx 0 ( x + 1) 2 dv = ( x 4 − 1)3 dv = ( x + 1) 2 2 ( x 4 − 1)3 1 1 1 1 dx 1 + x2 − x2 dx x 2 dx c/ � 2 2 = � dx = � 2 − � 2 2 = I1 − I 2 0 (1 + x ) 0 (1 + x 2 ) 2 0 1 + x 0 (1 + x ) 1 dx Tinh I1 = ́ băng phương phap đôi biên số ̀ ́ ̉ ́ 0 1 + x2 1 u=x x 2 dx ́ Tinh I2 = băng phương phap từng phân : đăt ̀ ́ ̀ ̣ x (1 + x 2 )2 dv = dx 0 (1 + x 2 ) 2 Bài tập e 3 e ln x 1. dx 2. x ln xdx 1 x3 1 1 e 3. x ln( x 2 + 1)dx 4. x 2 ln xdx 0 1 e 3 e ln x 5. dx 6. x ln xdx 1 x3 1 1 e 7. x ln( x 2 + 1)dx 8. x 2 ln xdx 0 1 π e 2 1 9. ( x + cosx) s inxdx 10. ( x + ) ln xdx 1 x 0 π 2 3 11. ln( x 2 + x)dx 12. x tan 2 xdx 1 π 4 NGUYEN DUC TAM – 01645.7777.00 Trang 9
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG π 2 ln x 2 13. dx 14. x cos xdx 1 x5 0 π 1 2 15. xe x dx 16. e x cos xdx 0 0 Tính các tích phân sau π π π 1 2 6 2 1) ∫ x.e dx 3x 2) ∫ ( x − 1) cos xdx 3) ∫ (2 − x) sin 3xdx 4) ∫ x. sin 2 xdx 0 0 0 0 e e 3 1 ∫ x ln xdx ∫ (1 − x ∫ 4 x. ln x.dx ∫ x. ln(3 + x 2 2 5) 6) ). ln x.dx 7) 8) ).dx 1 1 1 0 π π 2 π 2 2 ∫ (x + 1).e .dx ∫ x. cos x.dx 2 x 9) 10) 11) ∫x 2 . cos x.dx 12) ∫ (x 2 + 2 x ). sin x.dx 1 0 0 0 π 2 1 π2 lnx 2 13) ∫ 5 dx 14) 15) ∫ e sinxdx ∫ sin x 16) xdx ∫ xcos xdx 2 1 x 0 0 0 π π e π 18) ∫ x + sinxdx 3 4 17) ∫ xln xdx 19) ∫ xsinxcos xdx 2 2 2 20) ∫ x(2cos2 x − 1)dx 1 0 cos x 0 0 π 2 1 e ln(1+ x) 2 21) ∫ 22) ∫ (x + 1) e dx 23) ∫ (xlnx) dx 2 2x 2 dx 24) ∫ cosx.ln(1+ cosx)dx 1 x2 0 1 0 e ln x 1 25) ∫ (x + 1)2 dx 1 1 26) ∫ xtg xdx 2 27) ∫ ( x − 2)e dx 28) ∫ x ln(1 + x )dx 2x 2 1 0 0 0 e π e ln x 2 3 31) ∫ (2 x + 7) ln( x + 1)dx 32) ∫ ln( x 2 − x)dx 2 29) ∫ dx 30) ( x + cos 3 x) sin xdx 1 x ∫ 0 2 0 III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 5 b 2x −1 1 1. ∫ 2 dx 2. ∫ ( x + a)( x + b) dx 3 x − 3x + 2 a 1 1 x + x +1 3 x3 + x + 1 3. ∫ dx 4. ∫ dx 0 x +1 0 x2 +1 1 1 x2 1 5. ∫ dx 6. ∫ ( x + 2) dx 0 (3 x + 1) ( x + 3) 2 3 2 0 2 0 1− x 2008 2x 3 − 6x 2 + 9x + 9 7. ∫ x(1 + x 2008 ) dx 1 8. ∫ x 2 − 3x + 2 dx −1 NGUYEN DUC TAM – 01645.7777.00 Trang 10
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG x 2 n −3 3 1 x4 9. ∫ ( x 2 − 1) 2 dx 10. ∫ (1 + x 2 ) n dx 0 2 2 2 x2 − 3 1 11. ∫ dx 12. ∫ x(1 + x dx 1 x ( x + 3 x + 2) 4 2 4 1 ) 2 1 1 x 13. ∫4+ x 0 2 dx 14. ∫1+ x 0 4 dx 2 1 1 x 15. ∫ 2 dx 16. ∫ (1 + x dx 0 x − 2x + 2 0 2 3 ) 4 3 1 3x 2 + 3 x + 3 17. ∫ 3 dx 18. ∫ x 3 − 3x + 2 dx 2 x − 2x + x 2 2 2 1 1− x2 1 19. ∫ 1 + x 4 dx 20. ∫1+ x 0 3 dx 1 1 1 x6 + x5 + x4 + 2 2 − x4 21. ∫ dx 22. ∫ dx 0 x6 + 1 0 1+ x 2 1 1 23. 1 + x dx 4 24. 4 x + 11 ∫ 1 + x6 dx 0 0 x + 5x + 6 2 1 dx 3 x+2 25. x2 + x + 1 26. ∫ x − 1 dx 2 0 1  2x − 2 0   x−2  27. ∫  − 3 dx 28. ∫  − 2 x + 1dx 0 x +1  −1 2x − 1  2 1  3x − 1  x 2 + 2x + 3 29. ∫  − x − 1dx 30. ∫ dx 0 x+2  0 x+3  x2 + x +1 0   2x 2 + x − 2 1  31. ∫   x − 1 − 2 x + 1dx  32. ∫   − x + 1dx  −1  0 x +1  1 dx 33. ∫x 0 2 + 4x + 3 IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: π π 2 2 ∫ 1. sin 2 x cos 4 xdx 2. ∫ sin 2 x cos 3 xdx 0 0 π π 2 2 3. sin 4 x cos 5 xdx 4. (sin 3 x + cos 3 ) dx ∫ 0 ∫ 0 NGUYEN DUC TAM – 01645.7777.00 Trang 11
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG π π 2 2 5. cos 2 x(sin 4 x + cos 4 x)dx 6. (2 sin 2 x − sin x cos x − cos 2 x) dx ∫ 0 ∫ 0 π π 2 1 2 7. ∫ dx 8. (sin 10 x + cos10 x − cos 4 x sin 4 x)dx π sin x ∫ 0 3 π π 2 2 9. dx 10. 1 ∫ 2 − cos x 0 ∫ 2 + sin x dx 0 π π 3 2 sin 3 x dx 11. ∫ 1 + cos 2 x dx 12. ∫ π sin 4 x. cos x 0 6 π π 4 2 13. dx 14. cos x ∫ sin 0 2 x + 2 sin x cos x − cos 2 x ∫ 1 + cos x dx 0 π π 2 2 15. cos x 16. sin x ∫ 2 − cos x dx 0 ∫ 2 + sin x dx 0 π π 17. 2 cos 3 x 18. 2 1 ∫ 1 + cos x dx 0 ∫ sin x + cos x + 1 dx 0 π π 2 cos xdx 2 sin x − cos x + 1 19. ∫ π (1 − cos x ) 2 20. ∫π sin x + 2 cos x + 3 dx − 3 2 π π 4 4 ∫ cot g 3 xdx ∫ 21. tg 3 xdx 0 22. π 6 π π 3 4 23. ∫ tg xdx 1 4 24. π ∫ 1 + tgx dx 0 4 π π 4 dx sin x + 7 cos x + 6 ∫ 2 25. 26. 0 π cos x cos( x + ) ∫ 4 sin x + 5 cos x + 5 dx 0 4 π 2π 4 27. ∫ 1 + sin x dx 28. ∫ 2 sin x + 3 cos x + dx 0 0 13 π π 30. 1 + cos 2 x + sin 2 x dx 4 3 2 29. 4 sin x ∫ 1 + cos 0 4 x dx ∫ sin x + cos x 0 NGUYEN DUC TAM – 01645.7777.00 Trang 12
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG π π 2 2 dx 31. sin 3x ∫ 1 + cos x dx 32. ∫ π sin 2 x − sin x 0 4 π π 33. 4 sin 3 x 2 34. sin 2 x(1 + sin 2 x) 3 dx ∫ cos 2 x dx 0 ∫ 0 π π 3 3 sin 3 x − sin x 35. ∫ cos x sin xdx 0 36. ∫ π sin 3 xtgx dx 4 π π 2 2 37. dx 38. dx ∫ 1 + sin x + cos x 0 ∫ 2 sin x + 1 0 π π 2 4 39. ∫ cos x sin xdx sin 4 xdx 3 5 40. π ∫ 1 + cos 0 2 x 4 π π 6 2 dx 41. dx ∫ 5 sin x + 3 2. ∫ π sin 4 x cos x 0 6 π π 3 3 dx dx 43. ∫ π 4. ∫ π π sin x sin( x + ) π sin x cos( x + ) 6 6 4 4 π π 3 2 sin xdx 3 π 45. ∫ π cos 6 x 46. ∫ tgxtg ( x + )dx π 6 4 6 π 0 sin 2 x 47. 3 4 sin xdx 48. ∫π (2 + sin x) ∫ (sin x + cos x) 3 2 − 0 2 π π 2 2 49. sin 3 x dx 50. ∫ ∫x 2 cos xdx 0 0 π π 2 51. sin 2 x.e 2 x +1 dx 52. 2 1 + sin x ∫ ∫ 1 + cos x e x dx 0 0 π π 4 sin 3 x sin 4 x 2 53. ∫ dx 54. sin 2 xdx π tgx + cot g 2 x ∫ sin 0 2 x − 5 sin x + 6 6 π 2 3 ln(sin x ) 55. ∫ cos(ln x )dx 56. π ∫ cos 2 x dx 1 6 NGUYEN DUC TAM – 01645.7777.00 Trang 13
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG π π 2 ∫ x sin x cos 2 57. (2 x − 1) cos xdx 58. xdx ∫ 2 0 0 π π 4 60. ∫ e sin xdx 2x 2 59. ∫ xtg 2 xdx 0 0 π π 2 4 ∫ 61. e sin 2 x sin x cos 3 xdx 0 62. ∫ ln(1 + tgx)dx 0 π π 4 dx 2 (1 − sin x ) cos x 63. ∫ (sin x + 2 cos x) 0 2 64. ∫ (1 + sin x)(2 − cos 0 2 x) dx π π 2 2 65. sin 2 x sin 7 xdx 66. cos x(sin 4 x + cos 4 x) dx π − 0 2 π π 2 2 3 4sin x 67. dx 68. ∫π cos 5 x. cos 3xdx 0 1 + cos x − 2 π π 2 4 69. ∫π sin 7 x. sin 2 xdx 70. ∫ sin x cos xdx − 0 2 2 π 4 71. ∫ sin 2 xdx 0 V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: b ∫ R( x, f ( x))dx a Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng: a−x π +) R(x, ) §Æt x = a cos2t, t ∈ [0; ] a+x 2 +) R(x, a 2 − x 2 ) §Æt x = a sin t hoÆc x = a cos t ax + b ax + b +) R(x, n ) §Æt t = n cx + d cx + d 1 +) R(x, f(x)) = Víi ( αx 2 + βx + γ )’ = k(ax+b) (ax + b) αx + β x + γ 2 1 Khi ®ã ®Æt t = αx 2 + βx + γ , hoÆc ®Æt t = ax + b NGUYEN DUC TAM – 01645.7777.00 Trang 14
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG π π +) R(x, a 2 + x 2 ) §Æt x = a tgt , t ∈ [− ; ] 2 2 a π +) R(x, x 2 − a 2 ) §Æt x = , t ∈ [0; π ] \ { } cos x 2 +) R ( n1 n2 ni ) x ; x ;...; x Gäi k = BCNH(n1; n2; ...; ni) §Æt x = tk 2 2 3 dx 1. ∫ dx 2. ∫ x x2 −1 5 x x2 + 4 2 3 1 2 2 dx dx 3. ∫ (2 x + 3) 1 4 x 2 + 12 x + 5 4. ∫x 1 x3 + 1 − 2 2 2 dx 5. ∫ x 2 + 2008dx 6. ∫ 1 x 2 + 2008 1 1 1 7. ∫ x 1 + x dx ∫ (1 − x 2 ) 3 dx 2 2 8. 0 0 2 3 x2 +1 2 1+ x 9. ∫x 2 x2 +1 dx 10. ∫ dx 1 0 1− x 2 1 dx 2 11. ∫ (1 + x 2 ) 3 12. ∫ dx 0 0 (1 − x 2 ) 3 2 1 2 x 2 dx ∫ 1 + x dx 2 13. 14. 0 ∫ 0 1− x2 π π 2 2 15. cos xdx 16. ∫ sin x cos x − cos 2 x dx ∫ 0 7 + cos 2 x 0 π π 18. ∫ sin 2 x + sin x dx 2 2 17. cos xdx ∫ 0 2 + cos x 2 0 1 + 3 cos x 7 3 x 3 dx ∫ 20. ∫ x 10 − x dx 3 2 19. 0 3 1+ x 2 0 1 1 xdx x 3 dx 21. ∫ 0 2x + 1 22. ∫ x+ 0 x2 +1 7 1 dx ∫ 24. ∫ x 1 + 3x dx 15 8 23. 2 2x + 1 + 1 0 NGUYEN DUC TAM – 01645.7777.00 Trang 15
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG π ln 3 25. 2 26. dx ∫ 6 1 − cos x sin x cos xdx 3 5 ∫ 0 ex +1 0 1 ln 2 dx e 2 x dx 27. ∫1+ x + −1 x2 +1 28. ∫ 0 ex +1 1 e 1 + 3 ln x ln x 29. ∫ 12 x − 4 x 2 − 8dx 30. ∫ dx 5 1 x 4 3 4 x5 + x3 31. ∫ 1+ x 2 dx 32. ∫ 0 x 3 − 2 x 2 + x dx 0 0 ln 3 ln 2 x ∫ x(e + 3 x + 1)dx ∫ 2x 33. 34. dx −1 ln 2 x ln x + 1 π cos 2 x ln 2 + 2 3tgx e x dx 35. 3 ∫ cos 2 x dx 36. ∫ (e x + 1) 3 0 cos 2 x 0 π π 3 2 37. cos xdx 38. cos xdx ∫ 0 2 + cos 2 x ∫ 0 1 + cos 2 x 7 2a x+2 39. ∫ 0 3 x+3 dx 40. ∫ 0 x 2 + a 2 dx VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT: Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [-a; a], khi ®ã: a a ∫ −a f ( x )dx = ∫ [ f ( x) + f (− x)]dx 0 3π 3π VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn [- ; ] tháa m·n f(x) + f(-x) = 2 2 2 − 2 cos 2 x , 3π 2 TÝnh: ∫π f ( x)dx 3 − 2 1 x 4 + sin x +) TÝnh ∫ −1 1 + x 2 dx a Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lÎ trªn [-a, a], khi ®ã: ∫ f ( x)dx −a = 0. π 1 2 VÝ dô: TÝnh: ∫ ln( x + 1 + x 2 )dx ∫π cos x ln( x + 1 + x 2 )dx −1 − 2 NGUYEN DUC TAM – 01645.7777.00 Trang 16
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG a Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [-a, a], khi ®ã: ∫ f ( x)dx −a =2 a ∫ f ( x)dx 0 π 2 1 x dx x + cos x VÝ dô: TÝnh ∫x −1 4 − x2 +1 4 − sin 2 x dx π − 2 Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn [-a, a], khi ®ã: a a f ( x) ∫a1 + b x dx = ∫ f ( x)dx (1 ≠ b>0, ∀ a) − 0 π 3 x +1 2 2 sin x sin 3 x cos 5 x VÝ dô: TÝnh: ∫1+ 2 −3 x dx ∫π 1+ ex dx − 2 π π π 2 2 Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0; ], th× ∫ f (sin x) = ∫ f (cos x)dx 2 0 0 π π VÝ dô: TÝnh 2 sin 2009 x 2 sin x ∫ sin 2009 x + cos 2009 x dx 0 ∫ 0 sin x + cos x dx π ππ Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [-1; 1], khi ®ã: ∫ xf (sin x)dx = ∫ f (sin x)dx 0 20 π π x x sin x VÝ dô: TÝnh ∫ 1 + sin x dx 0 ∫ 2 + cos x dx 0 b b b b Bµi to¸n 6: ∫ f (a + b − x)dx = ∫ f ( x)dx a a ⇒ ∫ f (b − x)dx = ∫ f ( x)dx 0 0 π π x sin x 4 VÝ dô: TÝnh ∫ 1 + cos 0 2 x dx ∫ sin 4 x ln(1 + tgx)dx 0 Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×: a +T T nT T ∫ a f ( x)dx = ∫ f ( x)dx 0 ⇒ ∫ 0 f ( x) dx = n ∫ f ( x)dx 0 2008π VÝ dô: TÝnh ∫ 0 1 − cos 2 x dx C¸c bµi tËp ¸p dông: π 1 1− x 2 4 x7 − x5 + x3 − x + 1 1. ∫ 1+ 2x dx 2. ∫π cos 4 x dx −1 − 4 NGUYEN DUC TAM – 01645.7777.00 Trang 17
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG π 1 dx 2 x + cos x 3. ∫ (1 + e x )(1 + x 2 ) 4. ∫π 4 − sin 2 x dx −1 − 2 1 2π 2 1− x 5. ∫ cos 2 x ln( )dx 6. ∫ sin(sin x + nx)dx 1 1+ x 0 − 2 π tga cot ga 2 sin 5 x xdx dx 7. ∫ dx ∫ 1+ x2 + 8. 1 ∫ x(1 + x 2 ) =1 (tga>0) −π 1 + cos x 1 2 e e VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 3 2 ∫ x 2 − 1dx ∫x − 4 x + 3 dx 2 1. 2. −3 0 π 1 2 3. ∫ x x − m dx 4. ∫π sin x dx 0 − 2 π π 3 5. − ∫π 1 − sin x dx 6. ∫ π tg 2 x + cot g 2 x − 2dx 6 3π 4 2π 7. ∫ sin 2 x dx π 8. ∫0 1 + cos x dx 4 5 3 9. ∫ ( x + 2 − x − 2 )dx ∫2 − 4 dx x 10. −2 0 π 3 4 11. ∫ cos x cos x − cos x dx ∫x − 3x + 2dx 3 2 12. 2) π −1 − 2 2 5 1 13. ∫ ( x + 2 − x − 2)dx 14. ∫ 1 x2 + x2 − 2dx −3 2 3 π ∫2 − 4dx ∫ 1+ cos2xdx x 15. 16. 0 0 2π 2 ∫ 1+ sinxdx 18. ∫ x − x dx 2 17. 0 0 NGUYEN DUC TAM – 01645.7777.00 Trang 18
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x=4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 π Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x=4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 π Bµi 1: Cho (p) : y = x2+ 1 vµ ®êng th¼ng (d): y = mx + 2. T×m m ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®êng trªn cã diÖn tÝch nhá nhÈt Bµi 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) T×m m ®Ó h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (c) vµ 0x cã diÖn tÝch ë phÝa trªn 0x vµ phÝa díi 0x b»ng nhau Bµi 3: X¸c ®Þnh tham sè m sao cho y = mx chia h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi x − x 3  y = o ≤ x ≤ 1 y = 0  Cã hai phÇn diÖn tÝch b»ng nhau Bµi 4: (p): y2=2x chia h×nh ph¼ng giíi bëi x2+y2 = 8 thµnh hai phÇn.TÝnh diÖn tÝch mçi phÇn  x 2 + 2ax + 3a 2  y=  1+ a4 Bµi 5: Cho a > 0 TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi   y = a − ax 2   1+ a4 T×m a ®Ó diÖn tÝch lín nhÊt Bµi 6: Tính diện tích của các hình phẳng sau:   −3x − 1 x2  y= y = 4−  y = x2 − 4x + 3 x−1  4   1) (H1):  2) (H2) :  3) (H3):  y= 0 y = x + 3 2 y = x  x = 0   4 2   NGUYEN DUC TAM – 01645.7777.00 Trang 19
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG  y = x2  y = x   y2 + x − 5 = 0 4) (H4):  5) (H5):  6) (H6):  x = −y x + y − 3 = 0 2 y = 2− x 2    lnx y = 2 x   3 3  y = x2 − 2x y = x + x − 2   7) (H7): y = 0 8) (H8) :  9) (H9):  2 2  y = − x + 4x 2 x = e  y = x   x = 1  (C ) : y = x (C ) : y = e x  y − 2y + x = 0 2   10) (H10):  11) (d ) : y = 2 − x 12) (d ) : y = 2 x + y = 0 (Ox) (∆) : x = 1   y = x  y 2 = 2x + 1 y = − 4 − x2   13)  14)  2 15) x + y − 2 = 0 y = x −1 x + 3 y = 0  y = 0   x2  y=  y = ln x, y = 0  2  y 2 = 2x  16  17  18)  1 y = 1  y = x, y = 0, y = 3 x = e , x = e    1+ x 2  1 1  y = sin 2 x ; y = cos 2 x  19.  20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp tuyÕn cña (p) ®i qua π x = ; x = π   6 3 M(5/6,6) y = x  y = x − 4x + 5 2  y = −x + 6x − 5 2    y = 1  21)  y = −2 x + 4 22)  y = − x + 4 x − 3 2 23)  x  y = 4 x − 11  y = 3 x − 15 y = 0    x = e   y = / x 2 −1/  y = x 3  y = −3 x 2 − / x / + 2 24)  25)  2 26)   y = / x /+ 5 y = x  y = 0  y = x 2 − 2x + 2 y = x + 2 2   y = / x 2 −1/  28)  y = x + 4 x + 5 2 27)  29)  y = 4 − x y = 1  y = −x 2 + 7   y = x3  y = sin x − 2 cos x  2   y = x + 3 + 30)  y = 0 31)  y = 3 32)  x  x = −2; x = 1  x = 0; x = π y = 0    NGUYEN DUC TAM – 01645.7777.00 Trang 20