Bài toán về giếng lượng tử, dây lượng tử

Chia sẻ: Dương Đăng Mạnh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:65

Thêm vào BST

Báo xấu

138
lượt xem 24
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Bài toán về giếng lượng tử, dây lượng tử giới thiệu tới các bạn những bài tập và hướng dẫn cách giải về giếng lượng tử và dây lượng tử. Từ đó, giúp các bạn làm quen với những dạng bài toán này để củng cố kiến thức và học tập môn học một cách tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài toán về giếng lượng tử, dây lượng tử

Bµi 1 : X¸c ®Þnh dao ®éng tù do cña d©y h÷u h¹n, g¾n chÆt t¹i c¸c mót x 4 x(l x) = 0 vµ x = l, biÕt ®é lÖch ban ®Çu ®îc cho bëi u(x,0) = (0 x l2 l) cßn vËn tèc ban ®Çu b»ng 0. Gi¶i : Gäi u(x,t) lµ ®é lÖch cña thiÕt diÖn cã hoµnh ®é x ë thêi ®iÓm t. 2 2 u u Ta cã ph¬ng tr×nh dao ®éng cña d©y : 2 a2 t x2 (1) Theo bµi ra, ta cã : 4x l x ut 0 l2 ®iÒu kiÖn ban ®Çu : u 0 x t 0 (2) vµ ®iÒu kiÖn biªn : u x 0 0 ux l 0 (3) Theo lý thuyÕt, ta cã nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n ®iÒu k at k at k x kiÖn biªn (3) cã d¹ng : u(x,t) = u k ( x, t ) (a k cos bk sin ). sin k 1 k 1 l l l (4) Ta x¸c ®Þnh ak, bk sao cho u(x,t) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ban ®Çu (2) k x 4 x (l x ) Thay (4) vµo (2) : ut a k sin 0 k 1 l l2 (5) u k a k x bk sin 0 t t 0 k 1 l l (6) 4 x(l x) Gi¶i (5) : NhËn thÊy ak lµ hÖ sè trong khai triÓn thµnh chuçi l2 Fourier theo hµm sin trong kho¶ng (0, l). k x Nh©n 2 vÕ cña (5) víi sin råi lÊy tÝch ph©n 2 vÕ tõ 0 l ta cã : l l l 2 k x 4 x(l x) k x a k sin dx sin dx 0 l 0 l2 l (7)
k x l l 1 cos l l VT = a k sin 2 k x dx l dx ak l k x = ak ak x sin 2 0 l 0 2 2 k2 l 0 l VT = a k 2 (8) l l 4 k x k x VP = 2 l. x. sin dx x 2 . sin dx l 0 l 0 l l l l k x l k x l2 k x l2 Ta cã : I1 = x. sin dx .x. cos sin cos k 0 l k l o k2 2 l o k l l l k x l 2 k x 2l k x I2 = x 2 . sin dx .x . cos x. cos dx 0 l k l o k 0 l 3 3 3 l 2l 2l I2 = - cos k cos k k k3 3 k3 3 4 l3 2l 3 l3 2l 3 Nªn VP = 2 cos k cos k cos k l k k3 3 k k3 3 4 2l 3 2l 3 VP = cos k l2 k3 3 k3 3 (9) Thay (8) (9) vµo (7) ta cã : 8 2l 3 ak = . (1 cos k ) l3 k3 3 0 nÕu k 2n 16 = (1 cos k ) 32 (n=0,1,2...) k3 3 3 3 nÕu k 2n 1 2n 1 Tõ (6) bk = 0 do ®ã, nghiÖm cña bµi to¸n ®· cho : 32 1 (2n 1) at (2n 1) x u(x,t) = 3 3 cos sin . n 0 2n 1 l l Bµi 2 : X¸c ®Þnh dao ®éng tù do cña d©y h÷u h¹n, g¾n chÆt t¹i c¸c mót x= 0 x = 1 biÕt ®é lÖch ban ®Çu b»ng 0, vËn tèc ban ®Çu ®îc cho bëi : u v 0 cos( x cnÕu ) x c /2 ( x,0) t 0 nÕu x c /2 víi v0 lµ h»ng sè d¬ng vµ /2 c l - /2.
Gi¶i : Gäi u(x,t) lµ ®é lÖch cña d©y cã hoµnh ®é x ë thêi ®iÓm t .Ta cã ph¬ng 2 2 u u tr×nh dao ®éng cña d©y : 2 a2 trong miÒn (0
1 k k cos 1 c c cos 1 c c k l 2 l 2 1 l v0 1 k c k 2 k c k 2 = cos cos k a k l 2l 2 l 2l 2 1 l 1 k c k 2 k c k 2 cos cos k l 2l 2 l 2l 2 1 l v0 1 k c k 2 k c k 2 1 k c k 2 k c k 2 sin sin sin sin k a k l 2l l 2l k l 2l l 2l 1 1 l l 4v 0 1 k c k 2 v0 1 1 k c k 2 . 2 2 sin . cos = 2 sin cos = k a k l 2l k a k k l 2l 1 1 1 l2 l l 4v0 k c k 2 . sin . cos bk = k a 1 k 2 2 l 2l 2 l Do ®ã nghiÖm cña bµi to¸n ®· cho lµ : k c k 2 sin . cos 4v 0 l 2l sin k at sin k x . u(x,t) = . a k 1 k 2 2 l l k 1 2 l Bµi 3 : X¸c ®Þnh dao ®éng däc cña thanh nÕu 1 mót g¾n chÆt cßn 1 mót u tù do, biÕt c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu : u t f ( x) , F ( x) 0 t t 0 Gi¶i : Gäi u(x,t) lµ ®é lÖch cña thiÕt diÖn cã hoµnh ®é x ë thêi ®iÓm t 2 2 u u Ph¬ng tr×nh : 2 a2 t x2 (1) u Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu : u t f ( x) , F ( x) 0 t t 0 (2)
u Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn : u x 0 , 0 0 x x l (3) NghiÖm cña ph¬ng tr×nh cã d¹ng : U(x,t) = X(x).T(t) (4) Tõ (1) vµ (4) ta cã : X" X 0 (5) 2 T" a T 0 (6) Tõ (3)&(4) X(0) = 0 ; X’(l) = 0 (7) Gi¶i (5) : * = - c2 X(x) = c1.e-cx + c2.ecx nªn theo (7) : X(x) = c1 + c2 = 0 c1 + c2 = 0 c1 = 0 X’(l) = -c.c1.e-cl + c.c2.ecl = 0 c2.ecl – c1e-cl = 0 c2 = 0 (lo¹i) X 0 c1 0 * =0 X(x) = c1 + c2x Theo (7) : X ' l c2 0 (lo¹i) * = c2 X(x) = c1cos cx + c2sin cx X (0) c1 0 Tõ (7) X ' (l ) c2 c cos cl 0 2 2k 1 2k 1 §Ó c2 = Ak cos cl = 0 cl k c = 2 2l 2l NghiÖm cña ph¬ng tr×nh (5) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn (7) lµ : 2k 1 x Xk x Ak sin 2l 2k 1 at 2k 1 at Gi¶i (6) : Tk t Bk cos Dk sin 2l 2l Nªn nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh (1) lµ : 2k 1 at 2k 1 at 2k 1 x u ( x, t ) ak cos bk sin sin k 0 2l 2l 2l (8) 2k 1 x Tõ (2) ta cã : u t a k sin f ( x) 0 k 0 2l (9)
u 2k 1 a 2k 1 x bk sin F ( x) t t 0 k 0 2l 2l (10) NhËn thÊy ak lµ hÖ sè trong khai triÓn chuçi Fourier nh©n 2 vÕ cña (8) víi l l 2k 1 x 2 2k 1 x 2k 1 x sin nªn : a k sin dx f ( x) sin dx 2l o 2l o 2l l l ak 2k 1 x ak l 2k 1 x ak 1 cos dx x sin l 2 o l 2 2k 1 l 0 2 l 2 2k 1 x ak f ( x ) sin dx l o 2l (11) l l 2k 1 a 2k 1 x 2k 1 x (10) bk sin 2 F ( x ) sin dx 2l o 2l o 2l l 2k 1 a 2k 1 x a 2k 1 bk 1 cos dx bk F ( x) 2l o 2l 4 l 4 2k 1 x bk F ( x) sin dx 2k 1 a o 2l (12) VËy (8) lµ nghiÖm cña bµi to¸n trong ®ã ak vµ bk ®îc x¸c ®Þnh tõ (11), (12) Bµi 4 : Còng nh bµi 3 nhng c¶ 2 mót ®Òu tù do Gi¶i : 2 2 u u Ta cã ph¬ng tr×nh dao ®éng cña d©y 2 a2 t x2 (1) u Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu : u t f ( x) , F ( x) 0 t t 0 (2) u Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn : u x 0 , 0 0 x x l (3) NghiÖm cña (1) cã d¹ng : U(x,t) = X(x).T(t)
X" X 0 (4) Nªn '' 2 T a T 0 (5) Gi¶i(4) : u c c1 c c2 0 x x 0 c1 0 * =-c2 X(x)= c1.e-cx+c2.ecx c2 0 u cl c c1 e c c 2 e cl 0 x x l u c c1 c c2 0 x x 0 c2 0 * =0 X(x) = c1.x + c2 c1 0 u c c1 c c2 0 x x l c 2 = A0 øng víi trÞ riªng = 0 th× ta cã hµm riªng t¬ng øng X0(x) = A0 (5) cã nghiÖm : T0(t) = B0.t + D0 u0(x,t) = a0 + b0t b0 A0 B0 a0 A0 D0 u * =c2 X(x) = c1cos cx + sin cx c.c 2 0 x x 0 u c.c1 . sin cl 0 x x l k §Ó cã nghiÖm kh«ng tÇm thêng th× sin cl = 0 cl = k c= khi ®ã l k x c1=Ak nªn X ( x) Ak cos l k at k at vµ T (t ) Bk cos Dk sin l l do ®ã nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh (1) : k at k at k x u k x, t a k cos bk sin cos l l l k at k at k x nghiÖm cña pt (1) : u ( x, t ) a0 b0 t a k cos l bk sin l cos l k 1 k x Tõ (2) ut 0 a0 a k cos f ( x) k 0 l (6) u k a k x b0 bk cos F ( x) t t 0 k 0 l l (7)
k a NhËn thÊy a0, ak vµ b0, bk lµ c¸c h»ng sè trong khai triÓn f(x),F(x) thµnh l chuçi Fourier theo hµm cosin trong kho¶ng (0,l). l l l k x Tõ (6) a 0 dx a k cos dx f ( x)dx 0 0 l 0 l l l k a k x (7) b0 dx bk cos dx F ( x )dx 0 0 l l 0 u 0 x,0 f ( x) V× u0(x,t) lµ 1 nghiÖm riªng cña (1) nªn u0 x,0 F ( x) t l l l 1 a 0 dx f ( x)dx a0 f ( x)dx 0 0 l0 (8) l l l 1 b0 dx F ( x)dx b0 F ( x)dx 0 0 l0 (9) u k x,0 f x T¬ng tù uk(x,t) lµ nghiÖm riªng cña (1) uk x,0 F ( x) t l l l k x k x 2 k x a k cos 2 dx f ( x) cos dx ak f ( x ) cos dx 0 x 0 x l 0 l (10) l l l k a k x k x 2 k x bk cos 2 dx F ( x) cos dx bk F ( x ) cos dx 0 l l 0 l k a0 l (11) VËy nghiÖm cña bµi to¸n : k at k at k x u(x,t) = a0 + b0t + a k cos bk sin cos . k 1 l l l Trong ®ã : a0, b0 , ak , bk ®îc x¸c ®Þnh bëi (8) , (19) , (10) , (11) Bµi 5 : Mét thanh ®ång chÊt cã ®é dµi 2l bÞ nÐn cho nªn ®é dµi cña nã cßn l¹i lµ 2l(1- ). Lóc t = 0, ngêi ta bu«ng ra. Chøng minh r»ng ®é lÖch cña thiÕt diÖn cã hoµnh ®é x ë thêi ®iÓm t ®îc cho bëi: 8l ( 1) n 1 (2n 1) x (2n 1) at u ( x, t ) 2 2 sin cos nÕu gèc hoµnh ®é ®Æt ë t©m n 0 ( 2n 1) l l cña thanh.
Gi¶i: Chän hÖ trôc to¹ ®é cã gèc trïng víi t©m cña thanh . Trôc ox däc theo thanh Theo bµi ra, thanh ®ång chÊt cã ®é dµi 2l bÞ nÐn th× ®é dµi cßn l¹i cña nã lµ 2l(1- ) Do ®ã khi trôc dÞch chuyÓn 1 ®o¹n lµ x th× thanh bÞ nÐn x(1- ) ®é lÖch u(x,0) = x(1- ) – x = - x Gäi u(x,t) lµ ®é lÖch cña mÆt c¾t x ë thêi ®iÓm t XÐt tiÕt diÖn cã hoµnh ®é x, do thanh ®ång chÊt nªn ë thêi ®iÓm t nã bÞ nÐn ®Õn vÞ trÝ x(1 - ) vµ cã ®é lÖch u(x,0) = - .x = f(x). 2 2 u u Ph¬ng tr×nh dao ®éng cña thanh : 2 a2 t x2 (1) Theo bµi ra, t¹i thêi ®iÓm t = 0 ngêi ta bu«ng ra tøc vËn tèc ban ®Çu = 0 chøng tá hai ®Çu mót cña thanh ®Òu tù do u u ta cã ®iÒu kiÖn biªn : 0; 0 x x 0 x x l (2) u vµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu : u t .x f ( x) ; 0 0 t t 0 (3) T×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) díi d¹ng u(x,t) = X(x).T(t) (4) X" x X ( x) 0 (5) Tõ (4) vµ (1) ta cã : 2 T" t a T (t ) 0 ( 6) B©y giê ta ®i t×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (5) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : X’(- l) = 0 ; X’(l) = 0 (7) Gi¶i (5) : §Æt X = erx ta cã ph¬ng tr×nh ®Æc trng cña (5) : r2 + = 0 = -c2 X(x) = c1e-cx + c2ecx Tõ (7) c1 = c 2 = 0 (lo¹i) = 0 X(x) = c1x + c2 X ' ( l) c1 0 Theo (7) : c2 0 vµ c2 = A0 X ' (l ) c1 0 Nªn X0(x) = A0 øng víi trÞ riªng = 0 th× (6) cã nghiÖm : T0(t) = B0t + D0
nªn ta cã nghiÖm riªng cña (1) u0(x,t) = a0 + b0t (a0 = A0D0; b0= A0B0) (8) = c2 X(x) = c1cos cx + c2sin cx Theo (7) : u c1cc sin( cl ) cc 2 cos( cl ) 0 x x l c1 sin cl c 2 cos cl 0 c1 sin cl 0 u c1 sin cl c 2 cos cl 0 c 2 cos cl 0 cc1c sin( cl ) cc 2 cos(cl ) 0 x x l §Ó (4) cã nghiÖm kh«ng tÇm thêng th× sincl = 0 hoÆc coscl = 0 k + XÐt sincl = 0 cl = k c= vµ c1 = Ak l k x ph¬ng tr×nh (5) cã nghiÖm : X k x Ak sin l 2 k øng víi k ph¬ng tr×nh (6) cã nghiÖm tæng qu¸t : l k at k at Tk t Bk cos Dk sin l l Ta cã nghiÖm riªng cña (1) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn (2) : k at k at k x ak Ak Bk u k x, t ak cos bk sin cos l l l bk Ak Dk (9) (2n 1) (2n 1) + XÐt coscl = 0 cl c 2 2l (2n 1) x 2n 1 at 2n 1 at Xn x An sin vµ Tn t Bn cos Dn sin 2l 2l 2l Nªn nghiÖm riªng cña (1) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn (2) : (2n 1) at (2n 1) at (2n 1) x an An Bn u n x, t an cos bn sin sin 2l 2l 2l bn An Dn (10) Tõ (8),(9),(10) ta cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn (2) chÝnh lµ tæng cña c¸c nghiÖm riªng cña u(x,t) : k at k at k x u ( x, t ) a0 b0 t a k cos bk sin cos k 1 l l l 2n 1 at 2n 1 at 2n 1 x a n cos bn sin sin n 0 2l 2l 2l Tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu (3) : k x (2n 1) x ut a0 a k cos a n sin .x 0 k 1 l n 0 2l (11)
u k a k x (2n 1) a (2n 1) x b0 bk cos bn sin 0 t t 0 k 1 l l n 0 2l 2l (12) Tõ (12) b0 = bk = bn = 0 (13) LÊy tÝch ph©n 2 vÕ cña (11) theo x cËn tõ (-l l) l l l l k x (2n 1) x a 0 dx a k cos dx a n sin dx .xdx l l l l 2l l v× b0 = 0 u0(x,t) = a0 v× u0(x,t) lµ 1 nghiÖm riªng nªn u0(x,o) = - x l l a0 = - x lÊy tÝch ph©n 2 vÕ a0 dx xdx l l l l x2 a0 x 2a0l = (l2 - l2) = 0 a0 = 0 l 2 l 2 (14) k at k x v× bk = 0 uk(x,t) = akcos cos l l v× uk(x,t) lµ 1 nghiÖm riªng cña (1) nªn uk(x,0) = - x k x Nh©n 2 vÕ víi cos vµ lÊy tÝch ph©n 2 vÕ cËn tõ (-l l) l l l k x k x a k cos 2 dx .x cos dx l l l l l l a k2 x ak l k2 VT = k (1 cos )dx x sin ak l l 2 l 2 2k l l l l l k x l k x l k x VP = x. cos dx = x sin sin dx l l k l l k l l l l2 k x l2 cos cos k cos k 0 ak 0 k2 2 l l k2 2 (15) 2n 1 at 2n 1 x V× bn = 0 u n x, t a n cos sin 2l 2l
V× un(x,t) lµ 1 nghiÖm riªng cña (1) nªn un(x,0) = - .x l l ( 2n 1) x 2 (2n 1) x a n sin dx .x sin dx l 2l l 2l l l a (2n 1) x an l (2n 1) x VT = n 1 cos dx x sin 2 l 2l 2 (2n 1) 2l l an l l l sin( 2n 1) l sin( 2n 1) 2 (2n 1) (2n 1) => VT = an.l l 2n 1 x VP = x sin 2l dx l l l 2l (2n 1) x 2l ( 2n 1) x VP x cos cos dx (2n 1) 2l l (2n 1) l 2l l 2l ( 2n 1) ( 2n 1) 4l 2 (2n 1) x l cos l cos sin (2n 1) 2 2 (2n 1) 2 2 2l l 4l 2 (2n 1) ( 2n 1) 8l 2 (2n 1) sin sin sin (2n 1) 2 2 2 2 (2n 1) 2 2 2 n 8l 2 VP = 1 (2n 1) 2 2 8. .l 2 n 1 8. .l an l ( 1) n an 1 (2n 1) 2 2 (2n 1) 2 2 (16) Tõ (14), (15), (16) ta cã nghiÖm cña (1) : 8. .l ( 1) n 1 (2n 1) at (2n 1) x u ( x, t ) 2 2 cos sin n 0 ( 2n 1) 2l 2l Bµi 6 : B»ng ph¬ng ph¸p t¸ch biÕn, t×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : 2 4 u u 2 a2 0 tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn biªn vµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu sau : t x4
ux 0 0 ux l 0 ut 0 Ax(l x) 2 u 0 ; u x2 x 0 0 t t 0 2 u 0 x2 x l Gi¶i : 2 4 u u Ta t×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : 2 a 2 0 t x4 (1) ux 0 0 ux l 0 2 u tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn biªn : 0 x2 x 0 2 u 0 x2 x l (2) ut 0 Ax(l x) vµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu : u 0 t t 0 (3) díi d¹ng : u(x,t) = X(x).T(t) (4) Thay (4) vµo (1) : T”(t).X(x) + a2X(4)(x).T(t) = 0 T " (t ) X ( 4) ( x) a 2T (t ) X ( x) T " (t ) a 2 T (t ) 0 (5) X ( 4 ) ( x) X ( x) 0 (6)
X (0) X (l ) 0 Tõ (2) vµ (4) ta cã : X " (0) X " (l ) 0 (7) Gi¶i (6) : §Æt X(x) = erx th× ph¬ng tr×nh (6) r4 – =0 r4 = *NÕu =0 X(4)(x) = 0 X(x) = c1x3 + c2x2 + c3x + c4 Nªn tõ (7) ta cã : X (0) c4 0 X (l ) l (c1l 2 c 2 l c3 ) 0 c1 = c2 = c 3 = c4 = 0 X " (0) 2c 2 0 X " (l ) 6c1l 0 * NÕu 0 r4 = : ph¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm : r1 4 ; r2 4 ; r3 i.4 ; r4 i.4 §Æt 4 th× nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh (6) : x x X x c1e c2 e c3 cos x c 4 sin x ' x x X x c1e c2 e c3 sin x c 4 cos x 2 x 2 x 2 2 X " ( x) c1e c2 e c3 cos x c 4 sin x Tõ (7) ta cã hÖ 4 ph¬ng tr×nh : X(0) c1 c2 c3 0 l l X (l ) c1e c2 e c3 cos cl c 4 sin cl 0 2 2 2 X " (0) c1 c2 c3 0 2 l 2 l 2 2 X " (l ) c1e c2 e c3 cos cl c 4 sin cl 0 c1 c2 c3 0 c 4 sin cl 0 4 k k §Ó c4 0 sin cl = 0 c= = (k = 1,2 ...) l l k x ph¬ng tr×nh (6) cã nghiÖm : Xk x Ak sin l (8)
4 k k2 2 a2 Thay = vµo ph¬ng tr×nh (5) : T " t T t 0 l l2 k2 2 at k2 2 at Tk t Bk cos 2 Dk sin 2 l l (9) Thay (8), (9) vµo (4) ta cã : k2 2 at k2 2 at k x u ( x, t ) a k cos 2 bk sin 2 sin k 1 l l l (10) Víi ak = Ak.Bk ; bk = Ak.Dk Tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu (3) : k x ut a k sin Ax(l x) 0 k 1 l (11) u k 2 2a k x bk 2 sin 0 t t 0 k 1 l l (12) NhËn thÊy ak lµ hÖ sè trong khai triÓn Ax(l - x) thµnh chuçi Fourier theo l k x l k x hµm sin nªn : a k 0 sin 2 dx A x(l x) sin dx l 0 l l k x l k x a k sin 2 dx A x(l x) sin dx 0 l 0 l l l k x l 2k x l l k x Ta cã : I x (l x ) sin dx (lx x ) cos (l x ) cos dx 0 l k l 0 k 0 l l l l k x 2l 2 k x = (l 2 x ) sin 2 2 cos k l 0 k l 0 0 nÕu k=2n 2l 3 I cos k 1 4l 3 k3 3 3 3 nÕu k=2n+1 2n 1
8l 2 A ak ( 2n 1) 3 3 (13) Tõ (10, (12), (13) ta cã nghiÖm cña bµi to¸n : (2n 1) 2 2 at (2n 1) x 2 cos sin 8l A l 2 l u ( x, t ) 3 3 n 0 (2n 1) Bµi 7 : XÐt dao ®éng tù do cña mét d©y g¾n chÆt ë c¸c mót x = 0, x = l trong 1 m«i trêng cã søc c¶n tû lÖ víi vËn tèc, biÕt c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu : u ut f ( x) ; F ( x) 0 t t 0 Gi¶i : Gäi u(x,t) lµ ®é lÖch cña thanh cã hoµnh ®é x t¹i thêi ®iÓm t. Do d©y g¾n chÆt t¹i 2 mót chÞu 1 lùc t¸c dông g(x,t) nªn ph¬ng tr×nh dao ®éng cña d©y cã d¹ng: 2 2 u u 2 a2 g ( x, t ) t x2 (1) u V× trong m«i trêng cã søc c¶n tØ lÖ víi vËn tèc nªn g(x,t) = k t u 2 u u 2 u 0 x l ®Æt k = 2h g(x,t) = 2h nªn (1) 2h a2 víi 0 t T t t2 t t2 (1’) B©y giê ta t×m nghiÖm cña (1’) u Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu : ut f ( x) ; F ( x) 0 t t 0 (2) Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn : ux 0 0; u x l 0 (3)
Ta t×m nghiÖm díi d¹ng u(x,t) = X(x).T(t) (4) thay (4) vµo (1’) ta cã :T”(t).X(x) + 2hT’(t).X(x) = a 2X”(x).T(t) T " (t ) T ' (t ) X " ( x) Chia 2 vÕ cho T(t).X(x) : T (t ) 2h a2 T (t ) X ( x) T " (t ) 2 h T ' (t ) X " ( x) T " (t ) 2hT ' (t ) a 2T (t ) 0 (5) a 2T (t ) a 2 T (t ) X ( x) X " ( x) X ( x ) 0 (6) Tõ (3) vµ (4) ®Ó cã nghiÖm kh«ng ®ång nhÊt b»ng 0 th× X x 0 X x l 0 (7) Ta ph¶i t×m nghiÖm cña (6) tho¶ m·n (7) X ( x) c1 c2 0 c1 0 * = - c2 X(x) = c1e-cx + c2ecx cl cl c2 0 (lo¹i) X (l ) c1e c2 e 0 X (0) c2 0 c1 0 * =0 X(x) = c1x + c2 X (l ) c1l 0 c2 0 (lo¹i) X (0) c1 0 c2 Ak * = c2 X(x) = c1cos cx + c2sin cx X (l ) c 2 sin cl 0 sin cl 0 k ®Ó cã nghiÖm kh«ng tÇm thêng th× cl k c l k x pt (6) cã nghiÖm : X ( x) Ak sin l vµ gi¶i (5) : §Æt T = e t th× (5) cã pt ®Æc trng : 2 + 2h + a2 = 0 Ta cã : 2 2 2 k a k a 2 2 k a 2 ’=h – a =h– 2 = h .i ' i h2 l l l =-h ' =-h qk.i ht nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (5) lµ : T (t ) e c1 cos q k t c 2 sin q k t 2 k a víi q k h2 l ht k x Nªn nghiÖm riªng cña (1) : u k x, t e a k cos q k t bk sin q k t sin k 1 l k x Tõ ®iÒu kiÖn ®Çu ut 0 a k sin f ( x) k 1 l (8)
u k x ha k bk q k sin F ( x) t t 0 k 1 l (9) NhËn thÊy ak lµ hÖ sè trong khai triÓn hµm f(x) thµnh chuçi Fourier nªn l l k x k x k x nh©n 2 vÕ cña (8) víi sin ®îc : a k sin 2 dx f ( x) sin dx l 0 l 0 l l l l l ak k2 x k x ak l k2 x k x 1 cos dx f ( x) sin dx x sin f ( x) sin dx 2 0 l 0 l 2 2k l 0 0 l l 2 k x ak f ( x ) sin dx l 0 l (10) l l k x 2 k x (9) ha k bk q k sin dx F ( x) sin dx 0 l 0 l l l l k x 2 k x ha k bk q k F ( x) sin dx ha k bk q k F ( x) sin dx 2 0 l l 0 l l ha k 2 k x bk F ( x) sin dx qk lq k 0 l (11) VËy nghiÖm cña bµi to¸n : ht k x u ( x, t ) e a k cos q k t bk sin q k t sin k 1 l trong ®ã ak ,bk ®îc x¸c ®Þnh bëi (10) vµ (11) 2 2 u u a2 bshx Bµi 8: T×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh t 2 x2 Víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu ban ®Çu b»ng 0 vµ ®iÒu kiÖn biªn u x 0 0; u x l 0 Gi¶i : 2 2 u u Ta cã ph¬ng tr×nh : 2 a2 bshx t x2 (1) u tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : u t 0; 0 0 t t 0 (2)
vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn : u x 0 0; u x l 0 (3) Ta t×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) díi d¹ng : u(x,t) = V(x) + W(x,t) (4) 2 2 W W Trong ®ã : W(x,t) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh a2 t2 x2 (5) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn W x 0 0; W x l 0 (6) 2 V V(x) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh a 2 bshx x2 (7) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn V x 0 0; V x l 0 (8) b b Gi¶i (7) : V " x shx V ' ( x) chx c1 a2 a2 b V ( x) shx c1 x c 2 a2 Tõ (8) ta cã : V x 0 c2 0 c2 0 b b V shl c1l 0 c1 shl x l a2 a 2l b x V(x) = ( shl – shx) a2 l (9) b x V shl shx t 0 a2 l ®iÒu kiÖn ban ®Çu cña (7) V 0 t t 0 (10)
mµ theo lý thuyÕt ph¬ng tr×nh (5) cã nghiÖm : k at k at k x W ( x, t ) a k cos bk sin sin k 1 l l l (11) b x W V shl shx t 0 t 0 a2 l Tõ (2), (4), (10) W 0 t t 0 k x b x a k sin shl shx k 1 l a2 l k a k x bk sin 0 bk 0 k 1 l l (12) 2b l x k x l k x 2b Ta cã a k shl. sin dx shx. sin dx I1 I2 la 2 0 l l 0 l la 2 (13) l x k x víi I 1 shl sin dx 0 l l l l l k x l2 k x l2 ( 1) k 1 l 2 I1 x. cos sin cos k k l 0 k2 2 l 0 k k k 1 2 1 l I1 k (14) l k x vµ I 2 shx sin dx 0 l l l k x l l k x l2 l I2 shx. cos chx cos dx shl cos k I3 k l 0 k 0 l k k l k x mµ I 3 chx cos dx 0 l