Báo cáo khoa học: "Construction d’un modèle de répartition des arbres par classes de grosseur pour des plantations d’épicéa commun (Picea abies L Karst) en Ardenne belge"

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Article original Construction d’un modèle de répartition des arbres par classes de grosseur pour des plantations d’épicéa commun (Picea abies L Karst) en Ardenne belge P Lejeune Unité de gestion et économie forestières, Faculté des sciences agronomiques de Gembloux, passage des Déportés, 2, B-5030 Gembloux, Belgique (Reçu le 28 janvier 1993; accepté le 23 août 1993) Résumé — La construction d’un modèle de répartition d’arbres par classes de grosseur pour des peuplements d’épicéa commun (Picea abies L Karst) a été envisagée au départ de 141 placettes de 10 ares. L’influence de la distribution théorique (comparaison des distributions normale et Weibull) et de la méthode d’estimation des paramètres (pour Weibull) ont été analysés. Malgré une plus grande flexibilité de la distribution de Weibull, son utilisation ne conduit pas à une plus grande précision du modèle. La faiblesse des effectifs des échantillons utilisés semble être la cause principale de l’impré- cision fournie par les différents modèles testés. Sur la base des données utilisées, la distribution normale, plus simple à mettre en oeuvre, a été préférée pour la construction du modèle de réparti- tion des grosseurs, pour les peuplements d’épicéa commun. épicéa/ modèle de répartition / distribution normale/ distribution de Weibull Summary — Construction of a tree-size distribution model for Norway spruce (Picea abies L Karst) plantations in the Belgian Ardennes. The construction ofa girth distribution model for Nor- way spruce (Picea abies L Karst) plantations has been considered using 141 sample plots of 1 000 . 2 m The effects of the theoretical distribution (comparison of the normal and Weibull distributions) and the esimation methods have been analysed. Despite the higher flexibility of the Weibull distribu- tion, its use does not lead to a more accurate prediction of the distribution. The small number of samples measured in the plots seems to be the primary cause of the inaccuracy of the various mod- els. Considering the data analysed, the normal distribution, which is easier to use, is proving to be suitable for the creation of distribution model for such stands. more spruce / distribution model / normal distribution / Weibull distribution
INTRODUCTION Plusieurs approches permettent d’obte- nir un tel modèle (Cao et Burkhart, 1984 ; Hyink et Moser, 1983 ; Rennols et al, Malgré les évolutions importantes, obser- 1985 ; Borders et al, 1987). La plus cou- vées au niveau des techniques de modéli- rante consiste à utiliser une fonction de sation dans le domaine forestier (Houllier densité de probabilité pour représenter la et al, 1991), les modèles de type peuple- répartition des individus constituant le peu- ment, qui sont apparus les premiers plement, en classes de grosseur (Knoebel (Munro, 1974), connaissent encore de nos et al, 1986). jours une grande popularité auprès des fo- L’objectif de cette étude est d’analyser restiers. les différentes étapes de construction et de Ils sont présentés généralement sous la validation d’un tel modèle pour des planta- forme de tables de production qui décri- tions d’épicéa commun (Picea abies L vent l’évolution au cours du temps de va- Karst) en Ardenne belge. riables globales (volume par hectare, Nous présenterons d’abord la méthode nombre de tiges par hectare, circonfé- de construction du modèle, en évoquant rence moyenne, hauteur dominante,...) pour des peuplements équiennes et mono- les problèmes liés au choix de la distribu- spécifiques, en fonction du niveau de ferti- tion théorique (voir p 54), à l’estimation des lité (site index) et éventuellement du type paramètres (voir p 56) et à l’utilisation d’un de sylviculture (Dagnelie et al, 1988). test d’appréciation de la qualité du modèle (voir p 57). Nous décrirons ensuite les don- Le caractère synthétique des informa- nées utilisées pour cette étude (voir p 58). tions présentes dans ces tables constitue Les résultats de nos analyses seront dé- cependant un des inconvénients majeurs taillés p 58. Un exemple concret d’applica- de ce genre d’outil. La dimension et plus tion du modèle de répartition des tiges particulièrement la grosseur des arbres est sera proposé (voir p 63) avant de tirer en effet déterminante quant aux possibili- quelques conclusions (voir p 64). tés d’utilisation de ces produits. La connaissance de la répartition des tiges d’un peuplement par classes de grosseur MODÈLE CONSTRUCTION D’UN est donc une information très précieuse RÉPARTITION DE DE TIGES tant pour le gestionnaire forestier que pour l’industriel devant s’assurer un approvi- sionnement en produits ligneux de dimen- Choix d’une distribution sions bien définies. Une amélioration technique permet de De nombreuses distributions théoriques Il s’agit de créer un pallier cette carence. ont été utilisées pour caractériser la modèle de répartition des tiges par structure de peuplements forestiers. Parmi classes de grosseur, utilisant comme va- les principales, il convient de citer les dis- riables explicatives certains paramètres tributions normale, log-normale, gamma, descriptifs du peuplement, fournis par la table de production (tels que circonférence beta, Sb de Johnsson et Weibull (Borders moyenne, site index [il s’agit de la hauteur et al, 1987). Nous avons choisi de compa- dominante supposée atteinte à l’âge de 50 rer les performances de la distribution de ans et qui est fonction de la hauteur domi- Weibull, qui constitue la référence dans ce nante observée et de l’âge du peuplement genre d’applications, et la distribution nor- (Dagnélie et al, 1988)], âge...). male dont la mise en &oelig;uvre est très
modèle de répartition de dans simple, un tiges. Distribution de Weibull La distribution de Weibull est celle qui de- puis une vingtaine d’années connaît et continue de connaître le plus de succès, essentiellement pour 2 raisons (Bailey et Dell, 1973) : une grande flexibilité et l’exis- tence d’une forme explicite de sa fonction de répartition. Compte tenu des moyens de calcul disponibles actuellement, ce der- nier argument n’a cependant plus beau- coup de valeur. La fonction de densité de probabilité et la fonction de répartition de la distribution de Weibull sont décrites ci-dessous (équations Distribution normale [1] et [2]). Les 3 paramètres apparaissant dans ces relations sont respectivement : La distribution normale est moins fréquem- a) le paramètre de localisation, donnant la ment utilisée dans la construction de mo- valeur minimum de la distribution ; dèles de répartition des grosseurs b) le paramètre d’échelle ; d’arbres. Elle est caractérisée par une forme unimodale symétrique qui ne permet c) le paramètre de forme, qui détermine la pas une aussi grande flexibilité que la dis- dissymétrie de la distribution, celle-ci étant tribution de Weibull. Gérard (1975) et Ron- ou droite selon que c est supérieur gauche deux (1973) l’ont cependant utilisé pour ca- inférieur à 3,6. Pour une valeur de c=1 ou ractériser la distribution des tiges de la distribution prend l’allure d’une exponen- peuplements d’épicéa commun issus de tielle décroissante ; pour une valeur de 3,6 plantations. celle d’une distribution normale. La fonction de densité de probabilité et la fonction de répartition de cette distribu- tion correspondent aux équations [3] et [4]. La figure 1 donne un aperçu de la forme Cette distribution est définie par 2 para- que peut revêtir une telle distribution en mètres qui sont m, la moyenne arithméti- fonction des valeurs prises par les para- que, et σ, l’écart type de la population. mètres.
Estimation des paramètres La méthode du maximum de vraisem- blance consiste en la résolution de ma- nière itérative d’un système de 3 équations Il est de distinguer dans le pro- important à 3 inconnues (équations [5], [6] et [7]) de construction d’un modèle de ré- cessus partition des grosseurs de tiges, la phase (Jonhson et Kotz, 1970). d’estimation des paramètres et la phase de prédiction des paramètres. La phase d’estimation consiste à calcu- ler par une méthode adaptée les para- mètres d’une distribution théorique définie pour un échantillon de population donné. Cette opération est répétée pour un cer- tain nombre de placettes d’échantillonnage représentatives de situations aussi di- n, l’effectif de l’échantillon ; x la cir- avec , i verses que possible et les paramètres conférence de l’arbre i. ainsi définis sont mis en relation (par ré- La méthode des moments non centrés gression) avec des variables caractérisant proposée par Burk et Newberry (1984) est le peuplement. qui ont construit un système de 3 équa- tions à 3 inconnues basé sur les 3 pre- La prédiction des paramètres est l’opé- miers moments non centrés de la distribu- ration qui consiste à utiliser ces relations tion des circonférences (équations [8], [9] pour définir les paramètres d’une distribu- et [10]. Ce système doit également être ré- tion qui servira à établir la répartition sup- solu de manière itérative. posée des tiges du peuplement auquel on s’intéresse. L’estimation des paramètres d’une dis- tribution de Weibull peut s’avérer difficile (Zarnoch et Dell, 1985). Plusieurs dé- marches existent, dont la méthode du maximum de vraisemblance qui est la plus utilisée et qui nécessite d’importants cal- culs itératifs. D’autres approches, plus simples, font appel aux percentiles (John- son et Kotz, 1970) ou aux moments non centrés (Burk et Newberry, 1984). Une méthode plus récente utilise les moments où est la fonction gamma. r(.) pondérés (Grender et al, 1990). Nous nous limiterons dans cette étude La méthode des moments pondérés se à la comparaison des méthodes du maxi- différencie de la précédente par le fait que mum de vraisemblance, des moments non les moments qui y sont utilisés donnent un centrés et des moments pondérés. poids plus important à la partie droite de la
distribution devant être représentée (cor- Les trois méthodes d’estimation des pa- respondant aux arbres de grosses dimen- ramètres de la distribution de Weibull ont été intégrées dans un programme informa- sions). L’équation [11]donne une définition théorique des moments pondérés à droite, tique (Weib3) écrit en basic et fonctionnant alors que la relation [12] permet de calcu- sur PC. ler ces mêmes moments dans le cas L’estimation des paramètres d’une distri- d’échantillons dont les observations sont bution normale s’effectue sans problème. Il classées par ordre décroissant de gros- s’agit en effet de la moyenne et de l’écart seurs. L’estimation des paramètres a, b et type estimés de la population qui sont don- c découle alors de la résolution du sys- nés par les relations [16] et [17]. tème constitué des relations [13], [14] et [15]. où le moment d’ordre l et de degré M est l,j j ; x(F), la forme inverse de la fonction de répartition F(x). Appréciation de la qualité du modèle de répartition des grosseurs où x est la i observation de l’échantillon e [i] classé par ordre décroissant de grosseurs Il est important de pouvoir apprécier si la et distribution théorique que l’on utilise donne une bonne représentation de la distribution des tiges d’un peuplement. Ce test de conformité peut être utilisé à différents stades de la construction du modèle de ré- partition. Au moment de l’estimation des paramètres, il est nécessaire de tester la concordance entre les distributions théori- ques et observées au niveau de chaque placette. On aura ainsi une idée de l’apti- tude de la famille de distribution choisie à représenter le type de peuplements concerné par le modèle. Ce test de confor- mité est surtout appliqué lors de l’utilisation finale du modèle lorsque les paramètres de la distribution théorique sont prédits à partir de variables descriptives du peuple- ment. L’utilisation des tests de conformité clas- siquement utilisés statistique en cer- pose
tains problèmes. Les tables de valeurs cri- pondération (ici le volume individuel) ; F(x), tiques relatives au test de Kolmogorov- la fonction de répartition de la distribution Smirnov ne prévoient pas le cas de distri- estimée ; F*(x), la fonction de répartition bution telle que Weibull où 3 paramètres de la distribution observée. doivent être estimés (Dagnelie, 1968). L’utilisation du test &2 de Pearson impose, chi; MATÉRIEL quant à lui, de regrouper certaines classes DESCRIPTION DU EXPÉRIMENTAL extrêmes d’effectifs insuffisants en cas (Dagnelie, 1975). Nous utilisons dans cette étude les don- Nous avons finalement appuyé nos nées relatives à 141 placettes de 10 ares comparaisons sur l’utilisation d’un indice relevant d’une expérimentation destinée à créé par Reynolds et al (1988), qui corres- comparer différentes modalités d’échan- pond à la sommation des différences ab- tillonnage. Ces placettes ont été implan- solues entre les effectifs prédits et obser- tées de manière pseudo-aléatoire dans di- vés au sein de classes de grosseur vers peuplements purs d’épicéa commun définies pour chaque distribution. Ces dif- âgés de 28 à 110 ans et traités en futaie férences sont en outre pondérées par le régulière (Laurent et Rondeux, 1982). Le volume des individus représentés dans les tableauI reprend les principales caractéris- 2 distributions (équation [18]). Cet indice tiques dendrométriques des peuplements peut être exprimé de manière relative en échantillonnés. le divisant par le volume total correspon- dant à la distribution observée (équation [19]). RÉSULTATS Estimation des paramètres Nous estimé, pour les 141 placettes avons disponibles, les paramètres a, b et c de la distribution de Weibull par les 3 méthodes décrites p 55, à l’aide du programme où N est l’effectif total ; k, le nombre de Weib3. Sauf dans quelques cas d’échan- classes ; l la j classe ; w(x), le facteur de tillons de faibles effectifs, les procédures je ,
itératives utilisées pour l’estimation des pa- tribution normale donnent les meilleurs ré- ramètres convergent rapidement vers une sultats. solution. Les paramètres m et σ de la dis- tribution normale ont également été esti- més pour ces mêmes placettes. Prédiction des paramètres L’indice e’ (équation [19]) a été défini pour chaque modalité d’estimation des pa- Pour prédire les paramètres de Weibull ré- ramètres de la distribution de Weibull et sultant d’une des 3 méthodes proposées, pour la distribution normale. Deux sys- et ceux de la distribution normale, nous tèmes de classification par catégories de avons cherché à ajuster, aux valeurs des grosseur ont été envisagés : des classes paramètres estimées pour les 141 pla- de circonférence de 10 cm d’amplitude et cettes, des équations mettant en &oelig;uvre des classes correspondant aux catégories les variables définies au tableau I, ainsi commerciales en vigueur pour l’épicéa (ca- que les variables résultant de la transfor- tégories commerciales utilisées, de circon- mation de ces dernières par application férences à 1,5 m : moins de 40, 40-69, des opérateurs log (), () et () Une pro- 2 0,5 . 70-89, 90-119, 120-149, 150-179, 180 et cédure progressive (stepwise) a été utili- plus). Les colonnes 1 et 2 du tableau II sée pour définir les équations présentant donnent les valeurs moyennes de e’ pour une variabilité résiduelle minimale tout en chaque modalité d’estimation et pour cha- affichant des distributions de résidus ac- que type de classes de grosseur. ceptables (tableau III). Une analyse de la variance de e’à 2 cri- D’une manière générale, on observe tères (méthode d’estimation et placette) que, d’une part, seules les variables cmoy fait apparaître des différences significa- et age interviennent dans la prédiction des tives, voire hautement significatives, entre paramètres et que, d’autre part, la variabili- les méthodes d’estimations des distribu- té résiduelle est importante, voire très im- tions théoriques, quel que soit le type de portante, dans tous les cas. classes de grosseurs envisagé. Dans les 2 L’utilisation de ces équations a permis cas, la distribution de Weibull estimée par prédire la distribution des tiges pour les les moments non centrés ainsi que la dis- de
141 placettes et de calculer ainsi l’indice e’ passe de la classification décimétrique à la pour les 2 classifications déjà utilisées au classification commerciale plus grossière. paragraphe précédent (e’ pour les 1 Il est intéressant de noter également classes de 10 cm et e’ pour les classes 2 que, dans le cas des classes de 10 cm «marchandes»). Les colonnes 3 et 4 du ta- d’amplitude, malgré la faible efficacité des bleau II donnent les valeurs moyennes de équations de régressions (R < 0,50), la 2 ces indices pour les différentes méthodes. part de l’imprécision des modèles liée à la phase de prédiction des paramètres est Les analyses de la variance opérées beaucoup moins importante que celle qui sur ces données démontrent que, quelles découle de la phase d’estimation. Si l’on que soient les classes de grosseur envisa- considère l’ensemble des méthodes, on gées, il existe des différences hautement passe en effet d’un indice e’ moyen de significatives entre les méthodes de pré- 32,0% (pour l’estimation) à 35,6% (pour la diction distributions théoriques. des prédiction), soit une augmentation de Comme dans le cas de l’estimation des 3,6%. L’augmentation est un peu plus éle- paramètres, la distribution normale ainsi vée dans le cas des classes «marchandes» que la distribution de Weibull définie par pour lesquelles on passe de 14,0% (pour les moments non centrés ont donné les l’estimation) à 20,3% (pour la prédiction) meilleurs résultats. soit une augmentation de 6,3%. La dimension des classes utilisées pour Cette observation nous conduit à penser la répartition des tiges influence fort logi- que la plus grande part de l’imprécision du e’. Si l’on quement la valeur de l’indice modèle de répartition des tiges trouve son considère l’ensemble des méthodes étu- origine dans l’estimation des paramètres. diées, celui-ci diminue de 32,0% à 14,0% dans le cas de l’estimation des paramètres La figure 2 qui représente l’évolution de et de 35,6% à 20,3% dans le cas de la l’indice e’ relatif à la phase d’estimation 1 prédiction des paramètres, quand on (valeurs moyennes) en fonction de l’effectif
des échantillons confirme cette hypothèse. La précision de l’estimation des para- mètres apparaît étroitement liée à l’effectif de l’échantillon contenu dans la placette, quelle que soit la méthode utilisée. Le modèle mettant en &oelig;uvre la distribu- tion normale nécessite la connaissance d’une seule variable qui est la circonfé- rence moyenne. L’utilisation de ce modèle permet une représentation tabulaire simple de la répartition des tiges par classes de grosseur pour différentes valeurs de la cir- conférence moyenne (tableau IV). En outre, l’utilisation conjointe d’un tarif de cu- Fig 2. Évolution de l’indice e’ relatif à l’estima- 1 bage à une entrée permet de présenter tion des paramètres (valeurs moyennes pour des classes de 10 cm d’amplitude) en fonction sous la même forme la répartition du vo- de l’effectif des placettes. lume par classes de grosseur (tableau V). leurs de l’indice e’sont également données EXEMPLE D’UTILISATION DU MODÈLE pour chaque méthode et pour les 2 types DE RÉPARTITION DES TIGES de classes de grosseurs. Si l’on considère des classes de 10 cm d’amplitude, les dif- PAR CLASSES DE GROSSEURS férents modèles de distribution présentent des erreurs de distribution (e’ qui vont de ) 1 L’utilisation d’un modèle de répartition des 10,6% pour le modèle Weibull - maximum tiges doit s’envisager en complément d’un de vraisemblance à 18,2% pour le modèle modèle plus général, tel qu’une table de Weibull - moments pondérés. Le modèle production classique. Celle-ci est à même utilisant la distribution normale présente de fournir les informations permettant de des performances comparables au premier définir les paramètres de la distribution (e’= 11,6%). 1 théorique utilisée. Dans l’exemple qui va suivre, nous utili- les données relatives à l’inventaire serons CONCLUSIONS complet d’un peuplement, de manière à comparer les valeurs fournies par les diffé- Dans cette étude, nous avons envisagé la rents modèles aux effectifs réellement obs- construction d’un modèle de répartition des ervés. Il s’agit d’un peuplement d’épicéa grosseurs d’arbres pour des plantations commun dont les caractéristiques sont les d’épicéa commun. suivantes : Deux types de distributions théoriques 55 ans; âge : - ont été testées : la distribution de Weibull surface : 1,92 ha; - dont les paramètres ont été estimés par 3 circonférence moyenne : 119 cm; méthodes différentes (maximum de vrai- - semblance, moments non centrés et mo- nombre de tiges par ha : 380. - ments pondérés) et la distribution normale. Le tableau V contient les effectifs ob- La qualité des différents modèles testés servés et les effectifs estimés par les 4 été appréciée, tant en phase d’estimation méthodes présentées auparavant. Les va- a
qu’en phase de prédiction à l’aide d’un in- retenue. Cette constatation est à théorique dice mettre en relation avec la liaison étroite proposé par Reynolds et al (1988). que l’on observe entre la précision de cette Sur la base des données dont nous dis- estimation et le nombre d’individus pré- posions (141 placettes de 10 ares), la distri- sents dans les différents échantillons. bution normale a donné des résultats aussi satisfaisants que la distribution de Weibull, La construction des équations de prédic- et ce malgré une flexibilité moindre. Pour tion des paramètres à partir de données cette dernière, la méthode d’estimation des «peu précises» explique les coefficients de paramètres par les moments non centrés détermination assez bas que l’on a obtenus. s’est révélée être la meilleure. Semblable étude devrait pouvoir être Du fait de la mise en &oelig;uvre plus reconduite en disposant d’échantillons simple, la distribution normale semble de- beaucoup plus étoffés (au moins une cen- voir être retenue pour la construction du taine d’arbres par placette), ce qui permet- modèle final. trait de juger les capacités réelles des 2 La phase d’estimation des paramètres types de distribution à représenter les peu- constitue la source la plus importante d’im- plements pour lesquels on aurait une précision dans la construction d’un modèle image suffisamment représentative de la de répartition quelle que soit la distribution structure.
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