Chẩn đoán và điều trị một số khó khăn trong học Toán của học sinh Trung học phổ thông

CHẨN ĐOÁN VÀ ĐIỀU TRỊ MỘT SỐ KHÓ KHĂN<br /> TRONG HỌC TOÁN CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG<br /> TRẦN THÚY HIỀN<br /> Trường Đại học Y Dược – Đại học Huế<br /> Tóm tắt: Thực trạng dạy học toán ở các trường phổ thông cho thấy có một<br /> bộ phận học sinh học toán rất dễ dàng, đạt được những thành công trong học<br /> toán, nhưng đối với phần lớn học sinh, môn toán lại là môn học khó và nhiều<br /> em có xu thế ngày càng ít đam mê môn toán. Tiến hành chẩn đoán một số<br /> khó khăn và đề xuất biện pháp điều trị là việc làm cần thiết và hữu ích nhằm<br /> giúp học sinh tiến bộ hơn trong học toán. Trong bài báo này, chúng tôi muốn<br /> đề xuất một phương pháp chẩn đoán khó khăn, thiết kế công cụ chẩn đoán,<br /> đưa ra một số nhận định về những khó khăn, phân tích kết quả điều tra và<br /> phát hiện ra được một số nguồn gốc của những khó khăn trong học toán. Các<br /> ví dụ minh họa trong bài báo được trích dẫn từ nghiên cứu của chúng tôi về<br /> chẩn đoán khó khăn của học sinh khi học đạo hàm.<br /> <br /> 1. GIỚI THIỆU<br /> Những sai lầm của học sinh thể hiện trong học toán có thể bộc lộ những khó khăn của<br /> các em. Ở đây, chúng tôi quan tâm đến những sai lầm về khái niệm, về nhận thức, có<br /> tính bản chất, thể hiện một sự hiểu sai trong toán học. Một trong những nguyên nhân<br /> dẫn đến sai lầm của học sinh là các em có những khó khăn, cản trở về nhận thức trong<br /> quá trình học. Những khó khăn trong quá trình học toán thể hiện bản chất của hiện<br /> tượng học sinh không đủ khả năng để xây dựng được lời giải cho một bài toán, mà<br /> nguyên nhân không phải bắt nguồn từ bất kỳ một sự phát triển chậm về trí tuệ hay do có<br /> sự tổn thương ở phần nào đó của bộ não và cũng không phải bắt nguồn từ một bệnh lý.<br /> Trong bài báo này, chúng tôi muốn đề xuất một phương pháp chẩn đoán khó khăn trong<br /> học toán của học sinh.<br /> 2. CHẨN ĐOÁN VÀ ĐIỀU TRỊ<br /> Trong lĩnh vực y học, bác sĩ chẩn đoán cho bệnh nhân trước khi kê đơn thuốc điều trị.<br /> Khi một bệnh nhân nói với bác sĩ rằng tôi bị đau ở dạ dày, công việc của bác sĩ là phải<br /> tìm xem bệnh nhân bị đau ở phần nào của dạ dày và nguyên nhân của sự đau đớn đó là<br /> do đâu. Công việc thực sự mà bác sĩ cần phải làm là tìm ra nguyên nhân và loại bệnh mà<br /> bệnh nhân mắc phải, sau đó sẽ kê đơn thuốc để điều trị. Như vậy, chẩn đoán là tìm ra<br /> nguyên nhân, phân loại tính chất của sự vật, hiện tượng, nói cách khác là đi xác định<br /> bản chất của vấn đề.<br /> Trong giáo dục toán, trước khi bắt đầu chẩn đoán, công việc phải làm là đi tìm những<br /> sai lầm, những lỗi mà học sinh thường mắc phải, thông tin thu thập được càng nhiều,<br /> càng chân thực càng tốt và chẩn đoán là quá trình phân tích để tìm ra nguyên nhân dẫn<br /> đến những sai lầm đó. Chẩn đoán khó khăn trong học toán là một quá trình xuất phát từ<br /> Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế<br /> ISSN 1859-1612, Số 02(22)/2012: tr. 132-141<br /> <br /> CHẨN ĐOÁN VÀ ĐIỀU TRỊ MỘT SỐ KHÓ KHĂN TRONG HỌC TOÁN…<br /> <br /> 133<br /> <br /> những sai lầm mắc phải của học sinh, phân tích làm rõ xem có phải sai lầm đó là biểu lộ<br /> của khó khăn về mặt nhận thức và xác định loại khó khăn đã gây trở ngại cho học sinh<br /> trong quá trình học toán. Sau đó, đề xuất các biện pháp điều trị giúp học sinh vượt qua<br /> những khó khăn đó.<br /> 3. THIẾT KẾ CÔNG CỤ CHẨN ĐOÁN<br /> Chúng tôi xây dựng một bài kiểm tra chẩn đoán với sự kết hợp những câu hỏi có kết<br /> thúc đóng (close – ended question) và những câu hỏi có kết thúc mở (open – ended<br /> question). Những câu hỏi kết thúc đóng được dùng là những câu hỏi có nhiều lựa chọn,<br /> thiết kế dựa trên sự hoài nghi những khó khăn về nhận thức với những câu hỏi được làm<br /> thành công thức để có thể tạo ra sự hiểu sai và các lỗi; những câu hỏi có kết thúc mở tạo<br /> cơ hội cho học sinh bày tỏ sự hiểu biết của mình về toán học. Mỗi câu hỏi được biên<br /> soạn dựa trên các mức độ nhận thức của Bloom: nhận biết, thông hiểu, vận dụng và khả<br /> năng bậc cao (KNBC).<br /> Quá trình phân tích đánh giá công cụ chẩn đoán: Tính khách quan và tính hiệu quả của<br /> đề trắc nghiệm chẩn đoán được kiểm định bằng cách kiểm chứng chỉ số độ khó P và độ<br /> phân biệt D theo quy trình “phân tích câu hỏi” của Ebel R.L (1965, [1]) như sau:<br /> (1)<br /> <br /> Sắp bài làm của học sinh theo danh sách thứ tự điểm từ cao xuống thấp.<br /> <br /> (2)<br /> <br /> Theo danh sách thứ tự điểm bài làm, chọn ra 2 nhóm: nhóm trên (H) gồm 27%<br /> số bài làm ở đầu danh sách và nhóm dưới (L) gồm 27% số bài làm ở cuối danh<br /> sách theo thứ tự.<br /> <br /> (3)<br /> <br /> Với mỗi câu hỏi trắc nghiệm khách quan, chỉ số P là một đại lượng để đo lường<br /> n(H) + n(L)<br /> độ khó dễ của một câu hỏi: P =<br /> , trong đó n(H), n(L): số học sinh<br /> N<br /> trả lời đúng ở mỗi nhóm, N: tổng số học sinh của hai nhóm. Chỉ số D biểu thị<br /> mức ý nghĩa của một câu hỏi trắc nghiệm trong việc phân loại học sinh “giỏi”<br /> n(H) - n(L)<br /> và học sinh “yếu”: D = 2.<br /> .<br /> N<br /> <br /> Chúng tôi tiến hành phân tích những câu hỏi xem là đáng tin cậy (0,3 ≤ P ≤ 0,7 và D ≥<br /> 0,3).<br /> 4. QUÁ TRÌNH CHẨN ĐOÁN KHÓ KHĂN<br /> Chúng tôi sẽ phân tích những lỗi nổi trội trong sự thể hiện của học sinh nhóm (L) để tìm<br /> ra một số khó khăn trong quá trình tư duy của các em.<br /> 4.1. Phân tích các lỗi nổi trội<br /> (1) Khái niệm hàm và khái niệm đạo hàm<br /> sinx nếu x ≠ 0<br /> Câu hỏi 1. Cho hàm số f(x) =<br /> <br /> 1<br /> <br /> nếu x = 0 , đạo hàm của f(x) là:<br /> <br /> 134<br /> <br /> TRẦN THÚY HIỀN<br /> <br /> A. f ʹ′( x) = cosx nếu x ≠ 0 và f ʹ′( x) = −∞ nếu x = 0<br /> B. f ʹ′( x) = cosx nếu x ≠ 0 và hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0<br /> cosx nếu x ≠ 0<br /> C. f ʹ′( x) =<br /> <br /> - cosx nếu x ≠ 0<br /> D. f ʹ′( x) =<br /> <br /> 0<br /> <br /> nếu x = 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> nếu x = 0<br /> <br /> Phân tích<br /> Dự kiến khi xây dựng câu hỏi: Học sinh phải hiểu bản chất đạo hàm của một hàm số tại<br /> mỗi điểm chính là một quá trình lấy giới hạn và vận dụng việc hiểu đó để tìm đạo hàm<br /> của một hàm số được cho dưới dạng không quen thuộc. Học sinh phải biết trường hợp<br /> nào có thể dùng công thức, trường hợp nào phải dùng định nghĩa.<br /> Tại mọi điểm x ≠ 0 , f ( x) = s inx , áp dụng công thức tính đạo hàm cho hàm số lượng<br /> giác này ta có f ʹ′( x) = (sinx)ʹ′= cosx . Tại điểm x = 0 , áp dụng định nghĩa đạo hàm của<br /> f ( x) − f (0)<br /> s inx - 1<br /> f ( x) − f (0)<br /> hàm số tại một điểm ta có lim+<br /> = lim+<br /> =<br /> = −∞ và lim−<br /> x →0<br /> x →0<br /> x →0<br /> x−0<br /> x<br /> x−0<br /> s inx - 1<br /> lim−<br /> = +∞ , suy ra hàm số không có đạo hàm tại x = 0 nên đáp án đúng là B.<br /> x →0<br /> x<br /> Bảng 1. Kết quả tương ứng của câu hỏi 1<br /> Kỳ vọng mức<br /> độ thể hiện<br /> <br /> Nhóm (H)<br /> Nhóm (L)<br /> Chỉ số<br /> <br /> (Vận dụng) Áp dụng việc hiểu khái niệm và các kỹ năng vào các tình huống<br /> không quen thuộc: Kiểm tra sự tồn tại đạo hàm của một hàm số tại mỗi điểm<br /> Các phương án lựa chọn<br /> A<br /> B*<br /> C<br /> D<br /> Bỏ trống<br /> 0<br /> 20<br /> 3<br /> 0<br /> 0<br /> 5<br /> 2<br /> 14<br /> 2<br /> 0<br /> P = 0,48 (chấp nhận), D = 0,78 (rất tốt, chấp nhận)<br /> <br /> Chỉ số P = 0,48 có thể xem câu hỏi là tương đối khó đối với học sinh. Câu hỏi ở mức độ<br /> vận dụng nhằm đánh giá việc hiểu của học sinh về bản chất của khái niệm đạo hàm, thể<br /> hiện qua việc xét sự tồn tại đạo hàm của một hàm số tại mỗi điểm. Có 91% nhóm (L)<br /> mắc phải sai lầm khi xét đạo hàm của hàm số f ( x) cho bởi hai biểu thức. Trong số đó có<br /> đến 61% chọn C, điều đó chứng tỏ đa số các em có hướng tin rằng các hàm thường<br /> được xác định bởi một công thức đại số đơn nên với hàm số f ( x) đã cho được xem như<br /> hai hàm tách biệt và có thể áp dụng các quy tắc tính đạo hàm cho mỗi hàm. Những sai<br /> lầm đó biểu hiện khó khăn của các em trong việc hiểu khái niệm đạo hàm của một hàm<br /> số. Xét về bản chất toán học ta thấy khái niệm đạo hàm được định nghĩa dựa vào một<br /> khái niệm trừu tượng đã biết, đó là khái niệm giới hạn, ẩn chứa dưới khái niệm đạo hàm<br /> f ( x0 + Δx) − f ( x0 )<br /> là một quá trình lấy giới hạn của một tỷ số đặc biệt lim<br /> hay<br /> Δx →0<br /> Δx<br /> <br /> CHẨN ĐOÁN VÀ ĐIỀU TRỊ MỘT SỐ KHÓ KHĂN TRONG HỌC TOÁN…<br /> <br /> 135<br /> <br /> f ( x) − f ( x0 )<br /> . Ở các lớp dưới, học sinh đã quen với việc cho một khái niệm nghĩa<br /> x → x0<br /> x − x0<br /> là một mặt ta có thể mô tả được khái niệm đó (chẳng hạn, một hình vuông là một đa<br /> giác có bốn cạnh bằng nhau và một góc trong là góc vuông), mặt khác có thể cố gắng đề<br /> ra được các quy tắc (chẳng hạn, “nếu chúng ta gặp một đa giác có bốn cạnh bằng nhau<br /> và một góc trong là góc vuông thì đó là một hình vuông”). Tuy nhiên, theo Tall (2000,<br /> [3]), những tư tưởng trong định nghĩa của một khái niệm toán tiên tiến lại gây ra những<br /> cản trở cho học sinh trong học toán, bởi những định nghĩa này thường khá dài và được<br /> công thức thành một dạng của một quá trình hơn là một sự mô tả trực tiếp về các bộ<br /> phận cấu thành nên đối tượng.<br /> lim<br /> <br /> (2) Ký hiệu và tính toán trên các ký hiệu<br /> Câu hỏi 2. (Nhận biết) Cho hàm số y = 2 x − 5 , tại x0 = 1 cho số gia Δx , khi đó số gia<br /> Δy tương ứng của hàm số là:<br /> A. 2 Δx<br /> <br /> B. 2 Δx −1<br /> <br /> C. 2 Δx −2<br /> <br /> D. 2 Δx −5<br /> <br /> Phân tích<br /> Dự kiến khi xây dựng câu hỏi: Học sinh nhớ được các ký hiệu Δx , Δy quan hệ với nhau<br /> bởi công thức Δy = f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) và tính toán đúng, lựa chọn đáp án A.<br /> Chỉ số P = 0,69, D = 0,35 cho thấy câu hỏi tương đối dễ với học sinh nhưng khả năng<br /> phân biệt là tốt. Câu hỏi ở mức độ nhận biết, tuy nhiên đã có tới 48% nhóm (L) sai lầm<br /> với các ký hiệu Δx , Δy và tính toán trên các ký hiệu đó. Chứng tỏ các em không thể<br /> nhớ được mối liên quan giữa các ký hiệu Δx , Δy hoặc các em đã nhớ công thức một<br /> cách máy móc Δy = f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) cho nên khi tính toán với các ký hiệu đó đã đưa<br /> đến những kết quả sai. Trong số đó có 35% chọn B, các em đã cho rằng tìm f (1 + Δx)<br /> nghĩa là bằng cách cộng thêm 1 vào biểu thức của f (Δx) mà không phải xem 1 + Δx như<br /> là một giá trị vào của hàm f. Để có thể thao tác chuẩn xác với các ký hiệu Δx , Δy , đòi<br /> hỏi học sinh phải nắm được ý nghĩa tối thiểu của các ký hiệu này (ký hiệu Δy biểu diễn<br /> bởi một công thức) và ý nghĩa của các ký hiệu trong công thức đó lại liên quan đến cách<br /> tính giá trị ra của một hàm. Các ký hiệu toán học là hình thức, ký hiệu này được biểu<br /> diễn qua ký hiệu khác, việc xử lý các ký hiệu đó trong một chuỗi các phép toán đã gây<br /> ra những khó khăn cho học sinh.<br /> (3) Sử dụng các công thức, quy tắc tính đạo hàm để tìm đạo hàm của hàm số<br /> Câu hỏi 3. (Vận dụng) Cho hàm số f ( x) = cos2x , đạo hàm f ʹ′( x) của f ( x) là:<br /> A.<br /> <br /> sin 2 x<br /> 2 cos2x<br /> <br /> Phân tích<br /> <br /> B.<br /> <br /> − sin 2 x<br /> 2 cos2x<br /> <br /> C.<br /> <br /> − sin 2 x<br /> cos2x<br /> <br /> D.<br /> <br /> sin 2 x<br /> .<br /> cos2x<br /> <br /> 136<br /> <br /> TRẦN THÚY HIỀN<br /> <br /> Dự kiến khi xây dựng câu hỏi: Học sinh nhớ được công thức tính đạo hàm các hàm<br /> quen thuộc, áp dụng việc hiểu các quy tắc đó để tính đạo hàm hàm số hợp nhiều lần, đáp<br /> án là C.<br /> Câu hỏi có chỉ số P = 0,52, D = 0,57. Quan tâm đến sự thể hiện của nhóm (L) cho thấy<br /> có đến 57% đã chọn B, chứng tỏ rằng mặc dù các em đã biết trật tự áp dụng các quy tắc:<br /> Đầu tiên, tính đạo hàm của hàm căn bậc 2, sau đó tính đạo hàm của hàm cos , nhưng do<br /> nắm không vững khái niệm hàm số hợp nên các em đã xem u = 2 x như là một đối số<br /> độc lập và do vậy, không nhân − sin 2x với đạo hàm của u. Xem xét sự thể hiện của học<br /> sinh với một bài toán có phần phức tạp hơn, liên quan đến tính đạo hàm của hàm số yêu<br /> cầu vận dụng các công thức tính đạo hàm các hàm số quen thuộc, các quy tắc đạo hàm<br /> của một tổng, hiệu, tích, thương, hàm số hợp theo đúng trật tự, chúng tôi nhận thấy rằng<br /> rõ ràng nhóm (L) kém xa nhóm (H) trong việc xử lý bài toán đòi hỏi vận dụng nhiều<br /> quy tắc. Nhóm (L) thực sự gặp khó khăn khi cần thiết phải phối hợp nhiều quy tắc,<br /> nhiều công thức để giải quyết bài toán.<br /> (4) Lập luận và chứng minh<br /> <br /> ʹ′<br /> x =<br /> <br /> ( )<br /> n<br /> <br /> Câu hỏi 4. (KNBC) Chứng minh rằng với mọi số lẻ n, ta luôn có<br /> <br /> n<br /> <br /> x<br /> n.x<br /> <br /> ( x ≠ 0) .<br /> <br /> Phân tích<br /> Dự kiến khi xây dựng câu hỏi: Học sinh có khả năng phân chia trường hợp để đảm bảo<br /> điều kiện có thể viết hàm số đã cho dưới dạng lũy thừa và áp dụng đúng định lý đạo<br /> hàm của hàm lũy thừa. Nếu x > 0 :<br /> n<br /> <br /> x<br /> , suy ra<br /> n.x<br /> <br /> ʹ′<br /> <br /> ( )<br /> n<br /> <br /> x<br /> <br /> n<br /> <br /> 1<br /> n<br /> <br /> x = x với mọi n nên<br /> <br /> ( x ) = ( x )ʹ′<br /> n<br /> <br /> n<br /> <br /> =<br /> <br /> x<br /> với mọi n lẻ và x > 0 (*). Nếu x < 0 :<br /> n.x<br /> 1<br /> <br /> mọi n lẻ; do − x > 0 nên<br /> <br /> n<br /> <br /> ʹ′<br /> ʹ′<br /> x = − n −x =<br /> <br /> ( ) (<br /> n<br /> <br /> )<br /> <br /> n<br /> <br /> n<br /> <br /> 1<br /> =<br /> n<br /> <br /> x<br /> <br /> n<br /> <br /> 1<br /> −1<br /> n<br /> <br /> =<br /> <br /> x chỉ có nghĩa với<br /> <br /> ( −x )ʹ′ = n.(−−xx) . (− x)ʹ′ =<br /> <br /> − x = ( − x ) n với mọi n và<br /> <br /> nên với mọi n lẻ và x < 0 ta có<br /> phải chứng minh.<br /> <br /> 1<br /> n<br /> <br /> ʹ′<br /> <br /> n<br /> <br /> −x<br /> ,<br /> n.x<br /> <br /> n<br /> <br /> x<br /> (**). Từ (*) và (**) ta có điều<br /> n.x<br /> <br /> Xây dựng câu hỏi nhằm phát hiện những sai lầm của học sinh khi vận dụng định lý đạo<br /> hàm của hàm số lũy thừa để chứng minh công thức đạo hàm của hàm số đã cho. Nắm<br /> bắt việc hiểu về khái niệm chứng minh cũng như quá trình tư duy của học sinh qua<br /> những lời giải thích, những lập luận trình bày trong chứng minh của các em.<br /> Không có học sinh nào của nhóm (L) hoàn thành được chứng minh, chỉ có 30% nhóm<br /> (H) có được một chứng minh đúng, nghĩa là các em đã có những lập luận chắc chắn,<br /> lôgic. Phần lớn học sinh sai lầm ở chỗ sử dụng luận cứ không đúng hay làm sai lệch<br /> <br />