Tham khảo tài liệu 'chương 1 - bài 1 (dạng 5): sử dụng tính đơn điệu của hàm số cm bất đẳng thức', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Chương 1 - Bài 1 (Dạng 5): Sử dụng tính đơn điệu của hàm số CM bất đẳng thức
- D ng 5 : S d ng tính ơn i u c a hàm s CM b t ng th c.
• ưa b t ( ) ( )
ng th c v d ng f x ≥ M , x ∈ a;b .
• Xét hàm s y = f ( x ) , x ∈ (a;b ) .
• L p b ng bi n thiên c a hàm s trên kho ng a;b .( )
• D a vào b ng bi n thiên và k t lu n.
π
Ví d 1 : V i x ∈ 0; .Ch ng minh r ng :
2
1. sin x + t a n x > 2x 2 sin x
2. < 2x
π
( )
* Xét hàm s f x = sin x + t a n x − 2x liên t c trên n a kho ng 0; .
2
1 1 π
( )
* Ta có : f ' x = cos x + 2
− 2 > cos2 x + 2
− 2 > 0, ∀x ∈ 0;
cos x cos x 2
π π
( )
⇒ f x là hàm s ( ) ()
ng bi n trên 0; và f x > f 0 , ∀x ∈ 0;
2 2
π
hay sin x + t a n x > 2x , ∀x ∈ 0; ( pcm).
2
⊕ T bài toán trên ta có bài toán sau : Ch ng minh r ng tam giác ABC có ba
góc nh n thì sin A + sin B + sin C + tan A + tan B + tan C > 2π
2 sin x
2. < 0 thì < 1 (xem ví d 2 )
x
sin x π
* Xét hàm s f x = ( ) liên t c trên n a kho ng 0; .
x 2
x .cos x − sin x π
( )
* Ta có f ' x = 2
, ∀x ∈ 0; .
x 2
π
( )
* Xét hàm s g x = x . cos x − sin x liên tr c trên o n 0; và có
2
27
- π
( ) ( )
g ' x = −x . sin x < 0, ∀x ∈ 0; ⇒ g x liên t c và ngh ch bi n trên o n
2
π π
( ) ()
0; và ta có g x < g 0 = 0, ∀x ∈ 0;
2 2
( ) < 0, ∀x ∈ 0; π ⇒ f
g' x
* T ( )
ó suy ra f ' x =
x2
2
(x ) liên t c và ngh ch
π π 2 π
( )
bi n trên n a kho ng 0; , ta có f x > f = , ∀x ∈ 0; .
2 2 π 2
Bài t p tương t :
π
Ch ng minh r ng v i m i x ∈ 0; ta luôn có:
2
1. tan x > x 3. 2 sin x + tan x > 3x
x3 3
2. tan x > x + 4. x − ,∀x ∈ 0; 4.
3! 2 > cos x , ∀x ∈ 0; .
x 2
Gi i :
π
1. sin x ≤ x , ∀x ∈ 0;
2
π
* Xét hàm s f (x ) = sin x − x liên t c trên o n x ∈ 0;
2
π
* Ta có: f '(x ) = cos x − 1 ≤ 0 ,∀x ∈ 0; ⇒ f (x ) là hàm ngh ch bi n trên
2
π
o n 0; .
2
π
Suy ra f (x ) ≤ f (0) = 0 ⇔ sin x ≤ x ∀x ∈ 0; ( pcm).
2
28
- x3 π
2. sin x > x − ,∀x ∈ 0;
3! 2
x3 π
* Xét hàm s f (x ) = sin x − x + liên t c trên n a kho ng x ∈ 0; .
6 2
x2 π
* Ta có: f '(x ) = cos x − 1 + ⇒ f "(x ) = − sin x + x ≥ 0 ∀x ∈ 0; (theo
2 2
câu 1)
π π
⇒ f '(x ) ≥ f '(0) = 0 ∀x ∈ 0; ⇒ f (x ) ≥ f (0) = 0 ∀x ∈ 0;
2 2
x3 π
⇒ sin x > x − , ∀x ∈ 0; ( pcm).
3! 2
x2 x4 π
3. cos x < 1 − + , ∀x ∈ 0;
2 24 2
x2 x4 π
* Xét hàm s g (x ) = cos x − 1 + − liên t c trên n a kho ng x ∈ 0; .
2 24 2
x3 π
* Ta có: g '(x ) = − sin x + x − ≤ 0 ∀x ∈ 0; (theo câu
6 2
π
2) ⇒ g(x ) ≤ g(0) = 0 ∀x ∈ 0;
2
x2 x4 π
⇒ cos x < 1 − + , ∀x ∈ 0; ( pcm).
2 24 2
3
sin x π
4. > cos x , ∀x ∈ 0; .
x 2
x3 π
Theo k t qu câu 2, ta có: sin x > x − , ∀x ∈ 0;
6 2
3
sin x x2 sin x
3
x2 x2 x4 x6
⇒ >1− ⇒ > 1 − = 1 − + −
x 6 x 6 2 12 216
3
sin x x2 x4 x4 x2
⇒ >1− + + (1 − )
x 2 24 24 9
29
- 3
π x2 sin x x2 x4
Vì x ∈ 0; ⇒ 1 − >0⇒ >1− +
2 9 x 2 24
x2 x4 π
M t khác, theo câu 3: 1 − + > cos x ,∀x ∈ 0;
2 24 2
3
sin x π
Suy ra > cos x ,∀x ∈ 0; ( pcm).
x 2
sin x π
Nh n xét: Ta có 0 < sin x < x ⇒ 0 < < 1 ∀x ∈ (0; ) nên
x 2
α 3
sin x sin x
≥ ∀α ≤ 3 . Do ó, ta có k t qu sau
x x
α
sin x π
Ch ng minh r ng: v i ∀α ≤ 3 , ta luôn có: ≥ cos x ∀x ∈ 0; .
x 2
Bài t p tương t :
Ch ng minh r ng :
x2 x2 x4 1 1
1. 1 − < cos x < 1 − + , ∀x ≠ 0 2. x sin x > 1 − 2 , ∀x > 0
2 2 24 6x
1 1 4 π
Ví d 3 : Ch ng minh r ng < +1− , ∀x ∈ 0;
sin2 x x2 π2 2
Gi i :
1 1 π
* Xét hàm s f (x ) = − liên t c trên n a kho ng x ∈ 0; .
sin2 x x2 2
2 cos x 2 2(−x 3 cos x + sin 3 x )
* Ta có: f '(x ) = − + = .
sin 3 x x3 x 3 sin 3 x
3
sin x π
Theo k t qu câu 4 - ví d 2 , ta có: > cos x ,∀x ∈ 0;
x 2
π π
⇒ −x 3 cos x + sin 3 x > 0 ,∀x ∈ 0; ⇒ f '(x ) > 0 ,∀x ∈ 0;
2 2
π 4 π
⇒ f (x ) ≤ f = 1 − , ∀x ∈ 0;
2 π2 2
1 1 4 π
Do v y: < +1− , ∀x ∈ 0; ( pcm).
sin2 x x 2 π2 2
30
- Bài t p tương t :
4x π
1. Ch ng minh r ng : sin2 x < (π − x ) v i m i x ∈ 0; .
π2 2
2 x π
2. Ch ng minh r ng : sin x >
π
x+
12π ( )
π − 4x 2 v i m i x ∈ 0; .
2
3
π x +1
2. sin x ta n x
Ví d 4 : V i 0 ≤ x < . Ch ng minh r ng 2 +2 > 22
2
Gi i :
1
sin x + t a n x
2. sin x ta n x 2 sin x ta n x 2
* Ta có: 2 +2 ≥ 2. 2 .2 = 2.2
1 3x
sin x + t a n x
2 1 3 π
Ta ch ng minh: 2 22 ⇔ sin x +
t a n x ≥ x ∀x ∈ 0; .
≥
2 2 2
1 3x π
( )
* Xét hàm s f x = sin x + t a n x − liên t c trên n a kho ng 0; .
2 2 2
1 3 2 cos3 x − 3 cos2 x + 1
( )
* Ta có: f ' x = cos x + −
2
=
2.cos2 x 2 cos2 x
(cos x − 1)2 (2 cos x + 1) π
= ≥ 0 , ∀x ∈ 0; .
2 cos2 x 2
⇒ f (x ) ng bi n trên
π 1 3 π
[0; ) ⇒ f (x ) ≥ f (0) = 0 ⇒ sin x + tan x ≥ x , ∀x ∈ 0; ( pcm).
2 2 2 2
Ví d 5 : Ch ng minh b t ng th c sau v i m i s t nhiên n > 1
n n
n1+ n n n
+ 1−
- ( ) ( ) ( ) ()
V y f x gi m trên 0;1 nên f x < f 0 = 2, ∀x ∈ 0;1 . ( )
Ví d 6:
x z y x y z
1. Cho x ≥ y ≥ z ≥ 0 .Ch ng minh r ng : + + ≥ + +
z y x y z x
2. Cho x, y, z > 0 .Ch ng minh r ng:
x 4 + y 4 + z 4 + xyz (x + y + z ) ≥ xy(x 2 + y 2 ) + yz (y 2 + z 2 ) + zx (z 2 + x 2 )
Gi i :
x z y x y z
1 Cho x ≥ y ≥ z ≥ 0 .Ch ng minh r ng : + + ≥ + +
z y x y z x
x ≥y ≥z ≥0
x z y x y z
* Xét hàm s : f (x ) = + + − + + .
z y x y z x
1 1 y z 1 1
* Ta có: f '(x ) = ( − ) − ( − ) = (y − z )( − ) ≥ 0, ∀x ≥ 0
z y x2 x2 yz x 2
()
⇒ f x là hàm s ng bi n ∀x ≥ 0 ⇒ f (x ) ≥ f (y ) = 0 ⇒ pcm.
2. Cho x, y, z > 0 Ch ng minh r ng:
x 4 + y 4 + z 4 + xyz (x + y + z ) ≥ xy(x 2 + y 2 ) + yz (y 2 + z 2 ) + zx (z 2 + x 2 ) .
Không m t tính t ng quát ta gi s : x ≥ y ≥ z > 0 .
* Xét hàm s
f (x ) = x 4 + y 4 + z 4 + xyz (x + y + z ) − xy(x 2 + y 2 ) − yz (y 2 + z 2 ) − zx (z 2 + x 2 )
* Ta có f '(x ) = 4x 3 − 3x 2 (y + z ) + xyz + yz (x + y + z ) − (y 3 + z 3 )
⇒ f "(x ) = 12x 2 − 6x (y + z ) + 2yz
⇒ f "(x ) > 0 (do x ≥ y ≥ z ) ⇒ f '(x ) ≥ f '(y ) = z 2y − z 3 = z 2 (y − z ) ≥ 0 nên
f (x ) là hàm s ng
bi n. ⇒ f (x ) ≥ f (y ) = z 4 − 2z 3y + y 2z 2 = z 2 (z − y )2 ≥ 0 ⇒ pcm.
Ví d 7:
a b c 3
1. Cho a,b, c > 0 . Ch ng minh r ng: + + ≥ .
a +b b +c c +a 2
2. Cho 0 < a ≤ b ≤ c . Ch ng minh r ng:
2a 2b 2c (c − a )2
+ + ≤3+ .
b +c c +a a +b a(c + a )
32
- Gi i :
a b c 3
1. Cho a,b, c > 0 . Ch ng minh r ng: + + ≥
a +b b +c c +a 2
b c a
* t x = , y = , z = ⇒ xyz = 1 và b t ng th c ã cho
a b c
1 1 1 3
⇔ + + ≥ .
1+x 1+y 1+z 2
1 1 2 2 z
* Gi s z ≤ 1 ⇒ xy ≥ 1 nên có: + ≥ =
1 + x 1 + y 1 + xy 1 + z
1 1 1 2 z 1 2t 1
⇒ + + ≥ + = + = f (t ) v i
1 + x 1 + y 1 + z 1 + z 1 + z 1 + t 1 + t2
t = z ≤1
2 2t 2(1 − t )
* Ta có: f '(t ) = − ≤ ≤0
(1 + t )2 (1 + t 2 )2 (1 + t 2 )2
3
⇒ f (t ) ≥ f (1) = , ∀t ≤ 1 ⇒ pcm.
2
2a 2b 2c (c − a )2
2. Cho 0 < a ≤ b ≤ c . Ch ng minh r ng: + + ≤3+
b +c c +a a +b a(c + a )
b c
* t = α , = x ,1 ≤ α ≤ x . Khi ó b t ng th c c n ch ng minh tr
a a
2 2α 2x x2 + x + 4
thành + + ≤
α +x 1+x 1+α x +1
x +1 2x (x + 1)
⇔ x 2 + x + 1 ≥ (2 + 2α + )
α +x 1+α
x +1 2x (x + 1)
* Xét hàm s f (x ) = x 2 + x + 1 − (2 + 2α + ), 1≤α ≤x
α +x 1+α
2(2x + 1) α −1
* Ta có: f '(x ) = 2x + 1 − −2
α +1 (x + α )2
2x +1 2
f '(x ) = (α − 1) − ≥ 0, 1≤α ≤x
α +1 (x + α )2
1
Như v y hàm f (x ) là ng bi n do ó f (x ) ≥ f (α ) = α 2 − 3α + 3 −
α
33
- 1 1 1
Nhưng f '(α ) = 2α − 3 + =α +α + − 3 ≥ 3 3 α .α . −3 =0
2 2
α α α2
⇒ f (x ) ≥ f (α ) ≥ f (1) = 0 ⇒ pcm.
Bài t p t luy n:
1.
( )
Cho hàm s f x = 2 sin x + t a n x − 3x
π
a ) Ch ng minh r ng hàm s ng bi n trên n a kho ng 0; .
2
π
b ) Ch ng minh r ng 2 sin x + t a n x > 3x v i m i x ∈ 0; .
2
2.
π
a ) Ch ng minh r ng t a n x > x v i m i x ∈ 0; .
2
x3 π
b ) Ch ng minh r ng t a n x > x + v i m i x ∈ 0; .
3 2
3.
4 π
( )
Cho hàm s f x = x − t a n x v i m i x ∈ 0;
π 4
π
a ) Xét chi u bi n thiên c a hàm s trên o n 0; .
4
4 π
b ) T ó suy ra r ng x ≥ t a n x v i m i x ∈ 0; .
π 4
4.
Ch ng minh r ng các b t ng th c sau :
a ) sin x < x v i m i x > 0
b ) sin x > x v i m i x < 0
x2
c) cos x > 1 − v im i x ≠0
2
x3
d ) sin x > x − v im i x >0
6
x3
e ) sin x < x − v im i x 2x v i m i x ∈ 0; .
2
34
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
