Chương 1: Tích phân bội (Multiple Integrals)

Chia sẻ: Quý HT | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

209
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 1: Tích phân bội (Multiple Integrals) cung cấp cho các bạn những kiến thức về tích phân kép trên hình chữ nhật (double integrals over rectangles); tích phân lặp (iterated integrals); tích phân kép trên miền tổng quát (double integrals over general regions);tích phân kép trong tọa độ cực (double integrals in polar coordinates).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 1: Tích phân bội (Multiple Integrals)

Chương 1: TÍCH PHÂN BỘI (MULTIPLE INTEGRALS) 1.1 TÍCH PHÂN KÉP TRÊN HÌNH CHỮ NHẬT (DOUBLE INTEGRALS OVER RECTANGLES) CÁC ĐƯỜNG BẬC HAI VÀ MẶT BẬC HAI (QUADRATIC CURVES & SURFACES) Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, đường bậc hai là đường có phương trình dạng: ax 2  2bxy  cy 2  dx  ey  f  0 trong đó a, b, c, d, e, f là các số thực. Trong hệ tọa độ vuông góc Oxyz, mặt bậc hai là mặt có phương trình dạng: ax 2  by 2  cz 2  2dxy  2exz  2 fyz  gx  hy  kz  m  0 trong đó a, b, c, d, e, f, g, h, k, m là các số thực. Sau đây ta nhắc lại các đường và mặt bậc hai cơ bản: x2 y2 (1) 2  2  1 (đường elip) a b x2 y 2 (2)  1 (đường hyperbol) a2 b2 (3) y 2  2 px (đường parabol) x2 y 2 z 2 (4) 2  2  2  1 (mặt elipcoid) a b c x2 y 2 z 2 (5)   1 (mặt hyperbolid 1 tầng) a 2 b2 c 2 x2 y 2 z 2 (6) 2  2  2  1 (mặt hyperbolid 2 tầng) a b c x2 y 2 (7)  p q  2z  p, q    *  (mặt parabolid eliptic) x2 y 2 (8)  p q  2z  p, q    *  (mặt parabolid hyperbol) x2 y 2 z 2 (9)   0 (mặt nón) a 2 b2 c 2 (10) Các mặt trụ bậc hai: elip, hyperbol, parabol. THỂ TÍCH VÀ TÍCH PHÂN KÉP (VOLUMES AND DOUBLE INTEGRALS) Xét hàm hai biến f trên hình chữ nhật đóng: R   a, b   c, d    x, y    2 / a  x  b, c  y  d  và giả sử f  x, y   0 . Đồ thị của f là mặt có phương trình: z  f  x, y  Gọi S là khối nằm trên R và nằm dưới đồ thị của f : TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang1
S   x, y, z    3 / 0  f  x, y   z,  x, y   R Để tìm thể tích của S, trước tiên ta chia hình chữ nhật R thành các hình chữ nhật con, bằng cách chia khoảng  a, b thành m khoảng con  xi 1 , xi  ba có chiều rộng cùng bằng x  , và chia m khoảng  c, d  thành n khoảng con  yi 1 , yi  có d c chiều rộng cùng bằng y  . n Bằng cách vẽ các đường thẳng song song với các trục tọa độ qua các điểm biên của các khoảng con này ta sẽ thu được các hình chữ nhật: Rij   xi 1 , xi    yi 1 , yi    x, y  / xi 1  x  xi , yi 1  y  yi  Mỗi hình chữ nhật có diện tích là A  x.y . Chọn điểm mẫu  xij * , yij *   Rij , xấp xỉ phần của S nằm trên mỗi Rij bởi một hình hộp chữ nhật có đáy là Rij và chiều cao là f  xij * , yij *  . Thể tích của mỗi hộp này là f  xij * , yij *  A . Xấp xỉ của tổng thể tích V của S là: m n V   f  xij * , yij *  A i 1 j 1 Khi m và n càng lớn thì xấp xỉ này càng tốt, vậy: m n V  lim m , n   f  x i 1 j 1 ij * , yij *  A ĐỊNH NGHĨA: Tích phân kép (double integral) của hàm số f trên hình chữ nhật R là m n  f  x, y  dA  lim m , n   f  x i 1 j 1 ij * , yij *  A , nếu giới hạn này tồn tại. R Khi đó ta nói f khả tích (integrable). Điểm mẫu  xij * , yij *  có thể được chọn ở bất kì đâu trên hình chữ nhật Rij , nhưng nếu chọn các điểm mẫu tại góc trên, bên phải của Rij (điểm ( xi , yi ) ) thì tích phân kép sẽ đơn giản hơn: m n  f  x, y  dA  lim  f  x , y  A R m ,n i 1 j 1 i j Vậy: Nếu f ( x, y )  0 thì thể tích V của khối nằm trên hình chữ nhật R và nằm dưới mặt z  f  x, y  là: V   f  x, y  dA R TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang2
m n Tổng  f  xij , yij  A gọi là tổng Riemann kép (double Riemann sum). * * i 1 j 1 Ví dụ 1: Ước lượng thể tích khối phía trên hình vuông R   0, 2   0, 2 và nằm dưới elliptic 2 2 paraboloid z  16  x  2 y . Chia R thành bốn hình vuông bằng nhau và chọn điểm mẫu ở góc trên bên phải mỗi hình vuông Rij . 2 2 Giải: Paraboloid là đồ thị của z  16  x  2 y và diện tích của mỗi hình chữ nhật là 1. Xấp xỉ thể tích bằng tổng Riemann với m  n  2 : 2 2 V   f  xi , y j  A i 1 j 1  f 1,1 A  f 1, 2  A  f  2,1 A  f  2, 2  A  13.1  7.1  10.1  4.1  34 Ví dụ 2: Cho R   x, y  / 1  x  1,  2  y  2 . Tính tích phân:  1  x 2 dA. R 2 2 2 Giải: Vì z  1  x  0  x  z  1 và z  0 Ta tính tích phân kép như là thể tích của khối S nằm dưới 2 2 hình trụ tròn x  z  1 và trên hình chữ nhật R. Vậy: 1 2  1  x 2 dA   1 .4  2 R 2 QUY TẮC TRUNG ĐIỂM (THE MIDPOINT RULE) QUY TẮC TRUNG ĐIỂM CHO TÍCH PHÂN KÉP: (MIDPOINT RULE FOR DOUBLE INTEGRALS) m n  f  x, y  dA   f xi , y j A i 1 j 1   R Trong đó, xi là trung điểm của  xi1 , xi  , yi là trung điểm của  yi 1 , yi  . Ví dụ 3: Áp dụng quy tắc trung điểm với m  n  2 để ước lượng giá trị các tích phân sau:   x  3 y  dA với R   x, y    / 0  x  2, 1  y  2 2 2 R 1 3 5 7 1 Giải: Ta có x1  , x2  , y1  , y2  . Diện tích mỗi hình chữ nhật con là A  . 2 2 4 4 2 Do đó 2 2   x  3 y  dA   f  x , y  A 2 i j R i 1 j 1 1 5 1 7 3 5 3 7  f  ,  A  f  ,  A  f  ,  A  f  ,    11,875 2 4 2 4 2 4 2 4 TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang3
GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH (AVERAGE VALUE) Giá trị trung bình của hàm hai biến f xác định trên hình chữ nhật R được định nghĩa: 1 f ave  f  x, y  dA với A(R) là diện tích của R A  R   R Nếu f (x,y)  0, phương trình A  R   f ave   f  x, y  dA có nghĩa hình hộp với đáy R, chiều R cao fave có cùng thể tích với khối nằm dưới đồ thị hàm f. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN KÉP (PROPERTIES OF DOUBLE INTEGRALS) Giả sử tất cả các tích phân là tồn tại: 1.   f  x, y   g  x, y  dA   f  x, y  dA R R 2.  cf  x, y  dA  c  f  x, y  dA R R (c là hằng số) 3. Nếu f  x, y   g  x, y  ,   x, y   R thì  f  x, y  dA   g  x, y  dA. R R 1.2 TÍCH PHÂN LẶP (ITERATED INTEGRALS) Giả sử f là hàm hai biến khả tích trên hình chữ nhật R   a, b   c, d  . d Kí hiệu  f  x, y  dy c là tích phân riêng (partial integral) theo biến y (cố định x trong hàm d f  x, y  , lấy tích phân theo biến y từ y  c đến y  d ). Khi đó  f  x, y  dy phụ thuộc vào x, c ta xem: d A  x    f  x, y  dy c Lấy tích phân hàm A  x  theo biến x từ x = a đến x = b ta được: b b d  a A  x  dx  a  c  f  x , y  dy  dx  Tích phân bên phải của phương trình trên gọi là tích phân lặp (iterated integrals). Ta có thể viết: b d b d    f  x, y  dydx     f  x, y  dy  dx a c ac  Tương tự, tích phân lặp d b d b    f  x, y  dxdy     f  x, y  dx  dy c a ca  Ví dụ 1: Tính các tích phân lặp sau: 3 2 2 3 2 2 (a) x 0 1 ydydx (b) x 1 0 ydxdy TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang4
2 2  2 y2  3 2 Giải: (a) Xem x như hằng số, ta có  x ydy   x   x2 . 1  2 1 2 3 2 3 3 2 2 2  3 3 2  x3  27 Vậy: 0 1 x ydydx  0  1 x ydy dx  0 2 x dx   2   2 0 2 3 2 x 3 2 3 2  2  x3 y  2 27 (b) Tương tự:   x ydxdy     x ydx dy     dy   9 ydy  . 1 0 1 0  1  3  x 0 1 2 ĐỊNH LÍ FUBINI (FUBINI’S THEOREM): Nếu f liên tục trên hình chữ nhật R   a, b   c, d    x, y  / a  x  b, c  y  d  thì: b d d b  f  x, y  dA    f  x, y  dydx    f  x, y  dxdy R a c c a Điều này vẫn đúng cho trường hợp f bị chặn trên miền R, f chỉ gián đoạn tại một số hữu hạn điểm trên đường cong trơn và các tích phân lặp tồn tại.   x  3 y  dA với R   x, y  / 0  x  2, 1  y  2 . 2 Ví dụ 2: Tính tích phân kép R Giải: Sử dụng định lý Fubini: 2 2 2 y 2 2   x  3 y  dA     x  3 y  dydx    xy  y 2 2 3  dx    x  7  dx  12 R 0 1 0 y 1 0 Ví dụ 3: Tính thể tích khối S bị chặn bởi elliptic paraboloid x 2  2 y 2  z  16 , các mặt phẳng x = 2 , y = 2 và ba mặt phẳng tọa độ. 2 2 Giải: Ta có S là khối nằm dưới mặt z  16  x  2 y và trên hình chữ nhật R = [0, 2]  [0, 2]. Ta có: 2 2 V   16  x  2 y dA    16  x 2  2 y 2 dxdy  48 2 2 R 0 0 Đặc biệt, nếu f  x, y   g  x  h  y  và R   a, b    c, d  thì: b d  f  x, y  dA   g  x  dx  h  y  dy R a c     Ví dụ 4: Cho R   0,   0,  , f  x, y   sin x cos y . Tính  sin x cos ydA .  2  2 R   2 2   Giải:  sin x cos ydA   sin xdx  cos ydy    cos x 02 .sin y 02  1.1  1 R 0 0 TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang5
1.3 TÍCH PHÂN KÉP TRÊN MIỀN TỔNG QUÁT (DOUBLE INTEGRALS OVER GENERAL REGIONS) Một miền phẳng D gọi là loại I nếu nó nằm giữa hai đồ thị của hai hàm liên tục theo biến x: D   x, y  / a  x  b, g1  x   y  g 2  x  với g1  x  , g 2  x  là các hàm liên tục trên  a, b  Để tính  f  x, y  dA với D là miền loại I, ta chọn hình chữ nhật D  f  x, y  ,  x , y   D R   a, b    c, d  chứa D và đặt F  x, y    .  0,  x, y   R \ D b d Ta có:  f  x, y  dA   F  x, y  dA    F  x, y  dydx. D R a c Vì F  x , y   0 với y  g1  x  hay y  g 2  x  nên d g2  x  g2  x   F  x, y  dy   F  x, y  dy   f  x, y  dy c g1  x  g1  x  (vì F  x , y   f  x , y  , g1  x   y  g 2  x  ) Nếu f liên tục trên miền D loại I: D   x, y  / a  x  b, g1  x   y  g 2  x  thì: b g2  x  f  x, y  dA    f  x, y dydx D a g1  x  Các miền phẳng loại II là các miền biểu diễn dưới dạng D   x, y  / c  y  d , h1  y   x  h2  y  Tương tự ta có: Nếu f liên tục trên miền D loại II D   x, y  / c  y  d , h1  y   x  h2  y  d h2  y  thì  f  x, y  dA    f  x, y dxdy D c h1  y  TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang6
Ví dụ 1: Tính   x  2 y  dA , D 2 2 với D là miền bị chặn bởi y  2 x và y  1  x . 2 2 Giải: Giao điểm của các parabola: 2 x  1  x  x  1. Miền D là miền loại I được xác định: D   x, y  /  1  x  1, 2 x 2  y  1  x 2  Khi đó: 1 1 x 2 1 1 y 1 x 2 32   3x  x3  2 x 2  x  1 dx  2 4   x  2 y  dA     x  2 y dydx    xy  y D 1 2 x 2 1  2 dx  y 2 x 1 15 2 2 Ví dụ 2: Tính thể tích khối nằm dưới paraboloid z  x  y và ở phía trên miền D thuộc mặt phẳng Oxy bị chặn bởi đường thẳng y  2 x và parabola y = x2. Giải: Miền D là miền loại II, được xác định:  1  D   x, y  / 0  y  4, y  x  y  2  4 y 216 Thể tích cần tìm: V    x  y  dA   2 2  x 2  y 2 dxdy  . D 0 1y 35 2 Lưu ý: Với bài toán này, ta có thể xem miền D là miền loại I được xác định: D   x, y  / 0  x  2, x 2  y  2 x . Khi đó thể tích cần tìm là: 2 2x 216 V    x  y  dA     x 2  y 2 dydx  2 2 D 0 x2 35 Nhận xét: Khi tính tích phân kép, không phải lúc nào ta cũng luôn có thể tùy ý áp dụng cả hai cách tính như ví dụ trên. Đôi khi ta phải vận dụng linh hoạt cả hai công thức theo nghĩa: đổi thứ tự lấy tích phân sao cho miền lấy tích phân vẫn biểu diễn được và các tích phân lặp được tính dễ hơn. ĐỔI THỨ TỰ LẤY TÍCH PHÂN Nếu f liên tục trên miền D, trong đó D vừa là miền loại I vừa là miền loại II: D   x, y  / a  x  b, g1  x   y  g 2  x    x, y  / c  y  d , h1  y   x  h2  y  b g2  x  d h2  y  thì   f  x, y dydx    f  x, y dxdy a g1  x  c h1  y  TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang7
1 1   sin  y  dydx . 2 Ví dụ 3: Tính tích phân lặp 0 x 1 1   sin  y  dydx   sin  y  dA , với miền D được xác định như sau 2 2 Giải: 0 x D D   x, y  / 0  x  1, x  y  1  sin  y  dy 2 Nhưng vì tích phân không phải là hàm cơ bản nên ta có thể viết miền D thành miền loại II: D   x, y  / 0  y  1, 0  x  y 1 1 1 y Khi đó:   sin  y  dydx   sin  y  dA    sin  y  dxdy 2 2 2 0 x D 0 0 1 x y 1 1 1 1    x sin  y   2 dy   y sin  y  dy   cos  y 2   1  cos1 2 0 x 0 0 2 0 2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN KÉP (PROPERTIES OF DOUBLE INTEGRALS) 1.   f  x, y   g  x, y  dA   f  x, y  dA   g  x, y  dA D D D 2.  cf  x, y  dA  c  f  x, y  dA , với c là hằng số. D D 3. Nếu f  x, y   g  x, y  ,   x, y   D thì D f  x, y  dA  D g  x, y  dA . 4. Nếu D  D1  D2 , trong đó D1 và D2 không chồng lên nhau:  f  x, y  dA   f  x, y  dA   f  x, y  dA D D1 D2 5. 1dA  A  D  , A(D) là diện tích của miền D. D 6. Nếu m  f  x, y   M ,   x, y   D thì ta có: mA  D    f  x, y  dA  MA  D  D sin x cos x Ví dụ 4: Ước lượng tích phân  e dA , với D là đĩa có tâm tại gốc và bán kính là 2. D Giải: Vì 1  sin x  1,  1  cos y  1   1  sin x cos y  1  e1  esin x cos x  e1  e Ta có: A  D    22  4 , nên: 4 e1.4   esin x cos x dA  e.4    esin x cos x dA  4 e D e D TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang8
1.4 TÍCH PHÂN KÉP TRONG TỌA ĐỘ CỰC (DOUBLE INTEGRALS IN POLAR COORDINATES) Hình chữ nhật cực (polar rectangle) là miền có dạng R   r ,  / a  r  b,       . ĐỔI TỌA ĐỘ CỰC TRONG TÍCH PHÂN KÉP (CHANGE TO POLAR COORDINATES IN A DOUBLE INTEGRALS): Nếu f liên tục trên hình chữ nhật cực R: 0  a  r  b,       b với 0      2 thì  f  x, y  dA    f  r cos , r sin   rdrd . R a   3x  4 y  dA , với R là miền thuộc nửa mặt phẳng trên 2 Ví dụ 1: Tính R 2 2 2 2 và bị chặn bởi các đường tròn x  y  1 và x  y  4 . Giải: Miền R được mô tả như sau: R   x, y  / y  0,1  x 2  y 2  4 . Biểu diễn hình chữ nhật cực: R   r ,  / 1  r  2, 0      .  2   3x  4 y  dA     3r cos   4r  2 2 sin 2  rdrd R 0 1  2  2 15  3 2     3r cos   4r sin  drd    r 3 cos   r 4 sin 2   d  2 1 2 0 1 0 Ví dụ 2: Tính thể tích khối bị chặn bởi mặt phẳng z  0 và paraboloid z  1  x 2  y 2 . Giải: Giao của paraboloid với mặt phẳng Oxy là đường tròn x 2  y 2  1 . Vậy khối nằm dưới paraboloid và trên đĩa tròn D có pt: x 2  y 2  1 . Trong tọa độ cực: D   r ,  / 0  r  1, 0    2  . Vì 1  x 2  y 2  1  r 2 nên thể tích là: 2 1  V   1  x  y 2 2  dA    1  r  rdrd  2 2 D 0 0 Nếu f liên tục trên miền cực có dạng D   r ,   /      , h1    r  h2    h2   thì  f  x, y  dA    f  r cos , r sin   rdrd h1  R  Đặc biệt, nếu f  x, y   1, h1    0, h2    h   ta có diện tích miền D giới hạn bởi  h    1 2    ,    , r  h   là A  D    1dA    rdrd    h    d . D  0  2 TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang9
Ví dụ 3: Dùng tích phân kép tính diện tích một cánh của hình hoa hồng bốn cánh (four-leaved rose) với phương trình trong tọa độ cực: r  cos 2 . Giải: Ta có một cánh của hoa hồng xác định trên miền:   4  D   r ,   /     , 0  r  cos 2 4   /4 cos2  Diện tích: A  D    dA    rdrd  . D  /4 0 8 Ví dụ 4: Tính thể tích khối nằm dưới paraboloid z  x 2  y 2 , trên mặt phẳng Oxy và bên trong hình trụ x 2  y 2  2 x . Giải: Khối nằm trên đĩa D, đường tròn biên của nó có phương trình: 2 x2  y2  2x   x  1  y2  1 Trong tọa độ cực ta có x2  y 2  r 2 và x  r cos , biên của đường tròn trở thành r  2cos  . Vậy đĩa D:     D   r ,  /     1, 0  r  2cos    2 2  Thể tích cần tìm là  2 2 cos 3 V    x 2  y 2  dA    r 2 rdrd  D 0 2  2 1.5 ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN KÉP (CHANGE VARIABLE IN DOUBLE INTEGRALS) Xét một phép biến đổi (transformation) T từ (Ouv) đến (Oxy): T (u, v) = (x, y) với x = g(u,v), y = h(u,v) T là phép biến đổi C1 nếu g và h có các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục. T là một hàm có miền xác định và miền giá trị đều là tập con của  2 . Nếu T  u1 , v1    x1 , y1  thì  x1 , y1  gọi là ảnh của  u1 , v1  . Nếu không có hai điểm có cùng ảnh thì T gọi là 1-1 (one to one). Miền R là ảnh của miền S nếu R gồm ảnh của tất cả các điểm trong S. Nếu T là 1-1 thì T có phép biến đổi ngược (inverse transformation) T-1 từ (Oxy) đến (Ouv), ta có thể giải tìm u, v theo x, y: u = G(x,y) và u = H(x,y). Ví dụ 1: Cho phép biến đổi xác định bởi hệ phương trình: x  u 2  v 2 , y  2uv . Tìm ảnh của hình vuông: S   u, v  / 0  u  1, 0  v  1 . Giải: Tìm ảnh các biên của hình vuông: Biên S1 : v  0, 0  u  1  x  u 2 , y  0  0  x  1 . Vậy ảnh của S1 là đoạn thẳng nối (0, 0) và (1, 0) trong (Oxy). TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang10
y2 Biên S2: u  1, 0  v  1  x  1  v 2 , y  2v  x  1  , 0  x  1 : một phần của parabola. 4 Biên S3 : v  1, 0  u  1 y2  x  u 2  1, y  2u  x   1, -1  x  0 : 4 đây là một phần của parabola. Biên S4 : u  0, 0  v  1  x   v 2 , y  0   1  x  0 : đây là đoạn thẳng nối (-1, 0) và (0, 0). ĐỊNH NGHĨA: Định thức Jacobi của phép biến đổi T cho bởi x = g(u,v), y = h(u,v) là x x   x, y  u v x y x y J      u, v  y y u v v u u v ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN KÉP (CHANGE OF VARIABLES IN A DOUBLE INTEGRAL): Giả sử:  T là phép biến đổi C1 có định thức Jacobi khác 0 biến miền S trong (Ouv) thành miền R trong (Oxy).  f liên tục trên R và R, S là các miền phẳng loại I hoặc loại II.  T là 1-1, có thể trừ trên biên của S thì   x, y   f  x, y  dA   f  x  u, v  , y  u, v     u, v  dudv R S 2 2 Ví dụ 2: Đổi biến x  u  v , y  2uv để tính tích phân R ydA , trong đó R là miền bị chặn 2 2 bởi trục Ox và các parabola y  4  4 x, y  4  4 x, y  0 . Giải: Tính định thức Jacobi: x x   x, y  u v 2u 2v J    4u 2  4v 2  0   u , v  y y 2v 2u u v 1 1 1  ydA   2uv J dA  8   u v  uv  dudv    2v  4v  dv  2 3 3 3 Vậy: R S 0 0 0 x y x y Ví dụ 3: Tính tích phân  e R dA , trong đó R là hình thang (trapezoid) có các đỉnh (vertex) là (1, 0), (2, 0), (0, -2) và (0, -1). TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang11
Giải: Dùng phép biến đổi: T: (Ouv)  (Oxy): u = x + y, v = x  y Phép biến đổi ngược: T-1: (Oxy)  (Ouv): 1 1 x u  v  , y  u  v  2 2 Tính định thức Jacobi: x x 1 1   x, y  u v 2 1 J   2   u , v  y y 1 1 2  u v 2 2 Để tìm miền S trong (Ouv) tương ứng với miền R, ta để ý biên của R nằm trên các đường thẳng: y  0, x  y  2, x  0, x  y  1 Các đường thẳng ảnh trong (Ouv) là: u  v, v  2, u  v, v  1 . Vậy S là hình thang với các đỉnh: (1, 2), (2, 2), (-2, 2) và (-1, 1): S   u, v  /1  v  2, - v  u  v x y u 2 v 2 1 uv 1 3 Vậy: R e x y dA   e J dudv    e dudv    e  e1  vdv   e  e1  . v S 1 v 2 21 4 1.6 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN KÉP (APPLICATIONS OF DOUBLE INTEGRALS) DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG (AREA OF DOMAIN) Từ định nghĩa tích phân kép ta có công thức tính diện tích miền D như sau: A( D )   dxdy D THỂ TÍCH VẬT THỂ (VOLUME OF SOLID) Thể tích hình trụ cong giới hạn trên bởi mặt z  f ( x, y )  0 , giới hạn dưới bởi mặt z = 0 và giới hạn xung quanh bởi mặt trụ song song trục Oz và đường chuẩn là biên miền D được tính bởi công thức: V   f ( x, y )dxdy D Thể tích miền E giới hạn trên bởi mặt z  f 2 ( x, y ) , giới hạn dưới bởi mặt z  f1 ( x, y ) (với f1 ( x, y )  f 2 ( x, y) ), giới hạn xung quanh bởi mặt trụ song song trục Oz và đường chuẩn là biên miền D được tính bởi công thức: V ( E )    f 2 ( x, y )  f1 ( x, y )  dxdy D TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang12
DIỆN TÍCH MẶT CONG (SURFACE AREA) Diện tích mặt cong S có phương trình z  f ( x, y) và có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là miền D được tính bởi công thức: 2 2 S   1  f x'      f y' dxdy D KHỐI LƯỢNG CỦA MẢNH PHẲNG (MASS OF LAMINA) Khối lượng của mảnh phẳng D trong mặt phẳng Oxy có khối lượng riêng  ( x, y ) được tính bởi công thức: M    ( x, y ) dxdy D TRỌNG TÂM CỦA MẢNH PHẲNG (CENTERS OF MASS) Nếu D là mảnh phẳng có khối lượng riêng  ( x, y ) thì tọa độ trọng tâm của D được tính bởi công thức:  x ( x, y ) dxdy D  y ( x, y ) dxdy D x0  ; y0    ( x, y ) dxdy D   ( x, y ) dxdy D 1.7 TÍCH PHÂN BA LỚP (TRIPLE INTEGRALS) Ta xét trường hợp đơn giản nhất với hàm 3 biến f xác định trên hình hộp chữ nhật: B   x, y, z  / a  x  b, c  y  d , r  z  s Đầu tiên, ta chia B thành các hình hộp con bằng cách chia  a, b  thành l đoạn con  xi 1 , xi  có độ dài bằng x , chia  c, d  thành m đoạn con có chiều rộng y , chia  r , s  thành n đoạn con có chiều rộng z . Mặt phẳng đi qua các điểm cuối của những đoạn con này song song với các mặt phẳng tọa độ, chia hình hộp B thành lmn hình hộp con Bijk   xi1 , xi    yi1 , yi    zi1 , zi  Mỗi hình hộp con có thể tích là: V = xyz. l m n Tổng Riemann bội ba là:  f  x i 1 j 1 k 1 ijk * , yijk * , zijk * V ,  * * * với điểm mẫu xijk , yijk , zijk  Bijk .  ĐỊNH NGHĨA: Tích phân ba lớp của f trên hình hộp B là l m n  f  x, y, z  dV  lim l , m , n   f  x i 1 j 1 k 1 ijk * , yijk * , zijk * V B nếu giới hạn này tồn tại. TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang13
Ta có thể chọn điểm mẫu một cách tùy ý trong mỗi hình hộp con, nhưng nếu ta chọn điểm mẫu là  xi , y j , zk  (ở góc trên, bên phải) thì ta sẽ có biểu diễn tích phân ba lớp đơn giản hơn l m n  f  x, y , z  dV  lim l , m , n   f  x , y , z V i 1 j 1 k 1 i j k B ĐỊNH LÍ FUBINI CHO TÍCH PHÂN BA LỚP (FUBINI’S THEOREM FOR TRIPLE INTEGRALS) Nếu f là hàm số liên tục trên hình hộp chữ nhật B   a, b    c, d    r , s  thì: s d b  f  x, y, z  dV     f  x, y, z  dxdydz B r c a Lưu ý: Ta có thể thay đổi thứ tự lấy tích phân của các biến x, y, z. 2 Ví dụ 1: Tính tích phân ba lớp  xyz dV , với B là hình hộp chữ nhật cho bởi: B B   x, y, z  / 0  x  1,  1  y  2, 0  z  3 Giải: Ta chọn tích phân với x, rồi y, rồi z, ta có 3 2 1 3 2 3 2 2 yz 2 3z 2 27  xyz dV  0 1 0 xyz dxdydz  0 1 2 dydz  0 4 dz  B 4 Bây giờ, ta định nghĩa tích phân ba lớp trên một miền bị chặn tổng quát E trong không gian 3 chiều. Chọn hình hộp chữ nhật B chứa E. Ta định nghĩa hàm F bằng f trên E và bằng 0 trên B\E. Ta có:  f  x, y, z  dV   F  x, y, z  dV E B Một khối E gọi là loại I nếu nó nằm giữa đồ thị của hai hàm liên tục theo x và y: E   x, y, z  /  x, y   D, u1  x, y   z  u2  x, y  với D là hình chiếu của E lên (Oxy). Khi đó:  u2  x , y    f  x, y, z  dV     f  x, y, z  dz  dA E D  u1  x , y   Đặc biệt, nếu hình chiếu D của E lên (Oxy) là miền phẳng loại I thì: E   x, y, z  / a  x  b, g1  x   y  g 2  x  , u1  x, y   z  u2  x, y  Phương trình trên sẽ trở thành b g 2  x  u2  x , y   f  x, y, z  dV     E a g1  x  u1  x , y  f  x, y , z  dzdydx TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang14
Nếu D là miền phẳng loại II, thì E   x, y, z  / c  y  d , h1  y   x  h2  y  , u1  x, y   z  u2  x, y  Và ta có: d h2  y  u2  x , y   f  x, y, z  dV     E c h1  y  u1  x , y  f  x, y , z  dzdxdy Ví dụ 2: Tính  zdV , với E là khối tứ diện E (tetrahedron) bị chặn bởi bốn mặt phẳng: x  0, y  0, z  0, và x  y  z  1 Giải: Để tính tích phân bội 3 ta cần vẽ 2 miền: miền E và hình chiếu D của E lên (Oxy). Biên dưới của tứ diện là mặt phẳng z = 0 và biên trên là mặt phẳng z = 1 – x – y. Vậy u1  x, y   0, u2  x, y   1  x  y và lưu ý giao của hai mặt phẳng z = 0 và mặt phẳng z = 1 – x – y là đường thẳng x + y = 1. Hình chiếu của E là miền tam giác. Ta có: E   x, y, z  / 0  x  1, 0  y  1  x, 0  z  1  x  y E là miền loại I nên: 1 1 x 1 x  y 1 1 x 1 1 2 1 3 1  zdV     zdzdydx    1  x  y  dydx   1  x  dx  E 0 0 0 20 0 60 24 Khối E là loại II nếu nó có dạng: E   x, y, z  /  y, z   D, u1  y, z   x  u2  y, z   u2  y , z   Khi đó ta có  f  x, y, z  dV     f  x, y, z  dx  dA E D  u1  y , z   với D là hình chiếu của E trên (Oyz). Khối E là loại III nếu nó có dạng: E   x, y, z  /  x, z   D, u1  x, z   y  u2  x, z   u2  x , z   Khi đó ta có  f  x, y, z  dV     f  x, y , z  dy  dA E D  u1  x , z   với D là hình chiếu của E trên (Oxz). TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang15
Ví dụ 3: Tính  x 2  z 2 dV , trong đó E là miền bị chặn bởi E 2 2 paraboloid y  x  z và mặt phẳng y  4 . Giải: Nếu ta xem khối E là loại I, ta cần xét hình chiếu D1 của nó lên (Oxy) là parabolic y = x2. 2 2 2 Vì y  x  z  z   y  x nên mặt biên dưới của E là z   y  x 2 và mặt trên là z  y  x 2 . Do đó miền E: E  x, y, z  /  2  x  2, x 2  y  4,  4  x 2  z  4  x 2  Tích phân cần tính được viết dưới dạng: 2 4 y  x2  x 2  z 2 dV    x 2  z 2 dzdydx E 2 x 2  y  x 2 Tích phân này rất khó để tính. Bây giờ ta xét E là loại III, hình chiếu D3 của E lên (Oxz) là đĩa x 2  z 2  4 . Biên trái của E là paraboloid y  x 2  z 2 và biên phải là mặt phẳng y = 4. Lấy u1  x, z   x 2  z 2 , u2  x, z   4 , ta có:  4   x  z dV     x 2  z 2 dy dA    4  x 2  z 2  x 2  z 2 dA 2 2 E  x2  z2 D3   D3 Chuyển sang tọa độ cực trong (Oxz) với x  r cos  và z  r sin  ta được: 2 4  x2  x  z dV    4  x  z 2 2 2 2  2 x  z dA 2   4  x 2  z 2  x 2  z 2 dzdx E D3 2  4  x 2 2 2 2 2 128    4  r  rrdrd   d   4r  r 4 dr  2 2  0 0 0 0 15 1.8 TÍCH PHÂN BA LỚP TRONG TỌA ĐỘ TRỤ (TRIPLE INTEGRALS IN CYLINDRICAL COORDINATES) TỌA ĐỘ TRỤ (CYLINDRICAL COORDINATES) Trong tọa độ trụ, điểm P trong không gian 3 chiều được xác định bởi bộ ba có thứ tự  r , , z  , với r, là tọa độ cực của hình chiếu của P lên (Oxy) và z là khoảng cách từ (Oxy) đến P. Để chuyển từ tọa độ trụ sang tọa độ vuông góc ta sử dụng công thức x  r cos , y  r sin  , zz Ngược lại, muốn chuyển tọa độ vuông góc sang tọa độ trụ ta sử dụng công thức y r 2  x2  y 2 , tan   , zz x TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang16
Ví dụ 1: (a) Vẽ điểm có tọa độ trụ là  2, 2 3 , 1 và tìm tọa độ vuông góc của nó. (b) Tìm tọa độ trụ của điểm có tọa độ vuông góc là  3,  3,  7  . Giải: 2 2 (a) x  2 cos  1, y  2sin  3, z 1 3 3 Tọa độ vuông góc là 1, 3, 1 .   2 2 3 7 (b) r  x  y  3 2 , tan    1     2 k  , z  7 3 4 Tọa độ trụ là: 3 2,  7 4 , 7  và 3 2,  4  ,7 . TÍNH TÍCH PHÂN BA LỚP VỚI TỌA ĐỘ TRỤ (EVALUATING TRIPLE INTEGRALS WITH CYLINDRICAL COORDINATES): Giả sử f liên tục, khối E là loại I: E   x, y, z  /  x, y   D, u1  x, y   z  u2  x, y  E có hình chiếu D lên (Oxy) được mô tả trong tọa độ cực: D   r ,  /      , h1    r  h2   Ta đã biết:  u2  x , y    f  x, y, z  dV     f  x, y, z  dz  dA E D  u1  x , y   Chuyển tích phân kép sang tọa độ cực ta được công thức tích phân ba lớp trong tọa độ trụ:  h2   u2  r cos  , r sin    f  x, y, z  dV    h1   f  r cos  , r sin  , z  rdzdrd E  u1  r cos  , r sin   2 4 x 2 2  x  y 2  dzdydx . 2 Ví dụ 2: Tính   2  4 x 2 x2  y 2 Giải: Đây là tích phân ba lớp trên khối E được xác định như sau: E  x, y, z  / 2  x  2,  4  x2  y  4  x2 , x2  y2  z  2  Hình chiếu của E trên (Oxy) là đĩa x2  y 2  4 . Khối E được biểu diễn đơn giản hơn trong tọa độ trụ: E   r , , z  / 0    2 , 0  r  2, r  z  2 Theo công thức tích phân ba lớp trong tọa độ trụ ta có: 2 4 x2 2 2 2 2 2 2 16  x  y  dzdydx  2 2 2 3   2  4  x 2    r rdzdrd  0 0 r  d  r  2  r  dr  0 0 5 x2  y2 TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang17
1.9 TÍCH PHÂN BA LỚP TRONG TỌA ĐỘ CẦU (TRIPLE INTEGRALS IN SPHERICAL COORDINATES) TỌA ĐỘ CẦU (SPHERICAL COORDINATES) Điểm P trong không gian có tọa độ cầu P   ,  ,   với   OP ,  giống như góc trong tọa độ trụ, và là góc giữa trục dương Oz với đoạn thẳng OP. Lưu ý:   0 và 0     . Liên hệ giữa tọa độ vuông góc và tọa độ cầu: Ta có: z   cos  , r   sin  , x  r cos  , y  r sin  Vậy: x   sin  cos , y   sin  sin  , z   cos  ,  2  x 2  y 2  z 2 Ví dụ 1: (a) Cho điểm  2, 4 , 3  trong tọa độ cầu. Vẽ điểm đó và tìm tọa độ vuông góc của nó.   (b) Cho điểm 0, 2 3,  2 trong tọa độ vuông góc. Tìm tọa độ cầu của điểm đó. Giải:   3 a. Ta có: x   sin  cos   2sin cos  3 4 2   3 y   sin  sin   2sin sin  3 4 2  z   cos   2 cos 1 3  3 3  Vậy tọa độ vuông góc là  , , 1 .  2 2  2 2 2 b. Ta có:   x  y  z  4 . z 1 2 x  cos        , cos   0     2 3  sin  2   2  Vậy tọa độ cầu là  4, , .  2 3  TÍNH TÍCH PHÂN BA LỚP VỚI TỌA ĐỘ CẦU (EVALUATING TRIPLE INTEGRALS WITH SPHERICAL COORDINATES) Nếu khối E được biểu diễn trong tọa độ cầu: E    ,  ,   / a    b,      , c    d  . Công thức tích phân ba lớp trong tọa độ cầu: d  b 2  f  x, y, z  dV     f   sin  cos ,  sin  sin  ,  cos    E c a sin  d d d với E    ,  ,   / a    b,      , c    d  TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang18
3/2 x y 2 2  z2  Ví dụ 2: Tính  e dV , với B là hình cầu đơn vị: B B   x, y , z  / x 2  y 2  z 2  1 . Giải: Biểu diễn B trong tọa độ cầu: B    ,  ,   / 0    1, 0    2 , 0      với x 2  y 2  z 2   2 3/2  2 1 3/2 2 1 x 2  y2  z2  dV     2 2  2 4 3  B e   0 0 0  e  sin  d  d d   sin  d  d  e  d     e  1 0 0 0 3 ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT TRONG TÍCH PHÂN BA LỚP (CHANGE OF VARIABLES IN TRIPLE INTEGRALS) ĐỊNH NGHĨA: Định thức Jacobi của phép biến đổi T cho bởi x = g(u,v,w), y = h(u,v,w), z = k(u,v,w) là x x x u v w   x, y, z  y y y J    u, v, w  u v w z z z u v w ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BA LỚP: Giả sử:  T là phép biến đổi C1 có định thức Jacobi khác 0 biến khối S trong (uvw) thành khối R trong (xyz).  f liên tục trên R và R, S là các khối loại I hoặc loại II hoặc loại III.  T là 1-1, có thể trừ trên biên của S thì   x, y , z   f  x, y, z  dV   f  x  u, v, w  , y  u , v, w  , z (u , v, w)  dudvdw R S   u , v, w  x2 y2 z 2 Ví dụ 3: Tính thể tích của elipcoid    1 , trong đó a, b, c là các số thực dương. a 2 b2 c2 TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang19
Giải: Đặt x  au, y  bv, z  cw . Phương trình elipcoid trong không gian (uvw) có dạng: u 2  v 2  w2  1 Tính định thức Jacobi của phép biến đổi: x x x u v w a 0 0   x, y, z  y y y J   0 b 0  abc  0   u, v, w u v w 0 0 c z z z u v w Thể tích cần tìm: V   dxdydz   abc dudvdw . x2 y2 z 2 u 2  v 2  w2 1   1 a 2 b2 c 2 Đổi sang tọa độ cầu: x   sin  cos , y   sin  sin  , z   cos  ,  2  x 2  y 2  z 2 . Hình cầu đơn vị trong tọa độ cầu: B    ,  ,   / 0    1, 0    2 , 0      với x 2  y 2  z 2   2 Jacobi của phép biến đổi: J   2 sin  . Vậy:  2 1  2 1 2 4 V  abc    sin  d  d d  abc  sin  d  d   2 d    abc 0 0 0 0 0 0 3 1.10 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BA LỚP (APPLICATIONS OF TRIPLE INTEGRALS) THỂ TÍCH VẬT THỂ (VOLUME OF SOLID) Từ định nghĩa tích phân ba lớp ta có công thức tính thể tích khối E như sau: V ( E )   dxdydz E KHỐI LƯỢNG CỦA VẬT THỂ (MASS OF OBJECT) Khối lượng của vật thể E có khối lượng riêng  ( x, y, z ) được tính bởi công thức: M    ( x, y , z ) dxdydz E TRỌNG TÂM CỦA VẬT THỂ (CENTERS OF MASS) Nếu E là vật thể trong không gian Oxyz có khối lượng riêng  ( x, y, z ) thì tọa độ trọng tâm của E được tính bởi công thức:  x ( x, y, z ) dxdydz E  y ( x, y, z ) dxdydz E  z ( x, y, z ) dxdydz E x0  ; y0  ; z0    ( x, y, z ) dxdydz E   ( x, y, z ) dxdydz E   ( x, y, z ) dxdydz E TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang20