Chương 3: Nội suy và xấp xỉ hàm số

Chia sẻ: Hoàng Danh Long | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:34

Thêm vào BST

Báo xấu

408
lượt xem 90
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo bài thuyết trình 'chương 3: nội suy và xấp xỉ hàm số', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 3: Nội suy và xấp xỉ hàm số

Chương 3 Nội suy và xấp xỉ hàm số 1
3.1. Số gia hữu hạn Cho giá trị của hàm số ƒ(x) tại các điểm mốc xi = x0 + ih, i = − m,− m,...,0,1,..., m Là f ( x− m ), f ( x−m +1 ), …, f ( xm ), 1. Số gia hữu hạn tiến - Số gia hữu hạn tiến bậc 1 của hàm ƒ(x) tại điểm x là ∆f ( x) = f ( x + h) − f ( x) 2
- Số gia hữu hạn tiến bậc 2 và bậc cao hơn: ∆2 f ( x) = ∆f ( x + h) − ∆f ( x) = f ( x + 2h) − f ( x + h) − f ( x + h) + f ( x ) = f ( x + 2h) − 2 f ( x + h) + f ( x ) ………………………………………………………. ∆k f ( x) = ∆( k −1) f ( x + h) − ∆( k −1) f ( x) = f ( x + kh) − kf ( x + (k − 1)h) + k (k − 1) f ( x + (k − 2)h) + ... + (−1) k f ( x) 2! k=1,2,… 3
Hoặc k −i  k  k ∆ f ( x) = ∑ (−1) k   f ( x + ih) i (3.1) i =0   k k  = ∑ (−1)   f ( x + (k − i )h) i i i =0    k  là một số (hệ số binôm)   i    k  k   k  k (k −1)   = 1,   = k ,   = 0 1  2 ,...,       2!  k  k (k −1)(k − 2)...( k − i +1)  = i  ,i ≤ k   i! 4
2. Số gia hữu hạn lùi Số gia hữu hạn lùi bậc 1, 2 và bậc cao hơn của hàm ƒ(x) tại điểm x ∇f ( x) = f ( x) − f ( x − h) ∇2 f ( x) = ∇f ( x) − ∇f ( x − h) = f ( x ) − 2 f ( x − h) + f ( x − 2h) ……………………………………………………………… k k  ∇ f ( x) = ∑ (−1)   f ( x − (k − i )h), k k −i i (3.2) i =0   ik  k = ∑ (−1)   f ( x − ih) i i =0   5
3. Số gia hữu hạn trung tâm Số gia hữu hạn trung tâm bậc 1, 2 và bậc cao hơn của hàm ƒ(x) tại điểm x δf ( x) = f ( x + h / 2) − f ( x − h / 2) δ 2 f ( x) = δf ( x + h / 2) − δf ( x − h / 2) = f ( x + h) − 2 f ( x ) + f ( x − h) …………………………………………………… k k  δ f ( x) = ∑ (−1)   f ( x + (k / 2 − i )h), k k −i i (3.3) i =0   k ⇒ ∆ f ( x) = ∇ f ( x + kh) = δ f ( x + h) k k k (3.4) 2 6
3.2. Các bảng số gia Bảng số gia hữu hạn tiến 7
Bảng số gia hữu hạn lùi 8
9
3.3. Các phương pháp nội suy 1. Nội suy với mốc cách đều xét cách biểu diễn một đa thức theo số gia hữu hạn • Nếu thay cho việc dùng biến x khi các mốc cách đều ta dùng biến x − x0 u= , h = xi +1 − xi h • Thì các mốc được thay thế bằng u = -m , -m+1, … , 0 , 1 , … , m 10
Nội suy GregoryNewton tiến Ta dùng một loại đa thức được gọi là đa thức giai thừa u [ 0] = 1, u [1] = u, u [ 2] = u (u − 1), .......... .......... .......... . u [ k ] = u (u − 1)(u − 2)...(u − k + 1), 11
Khi đó, theo định nghĩa (3.1), số gia hữu hạn tiến bậc 1 của u[k] ∆u [ k ] = (u + 1) k − u [ k ] = (u + 1)u [ k −1] − (u − k + 1)u [ k ] = ku [ k −1] Tương tự ∆2u [ k ] = k (k − 1)u [ k − 2] ∆k u [ k ] = k! 12
13
14
• Nếu |ƒ(N+1)(x)|
Nội suy GregoryNewton lùi Ta dùng một loại đa thức được gọi là đa thức giai thừa u[ 0 ] = 1, u[1] = u , u[ 2 ] = u (u + 1), .......... .......... .......... . u[ k ] = u (u + 1)(u + 2)...(u + k − 1), 16
Khi đó, theo định nghĩa (3.2), số gia hữu hạn lui bậc 1 của u[k] ∇u[ k ] = u[ k ] − (u − 1)[ k ] = (u + k − 1)u[ k −1] − (u − 1)u[ k −1] = ku [ k −1] Tương tự ∇ 2u[ k ] = k ( k − 1)u[ k −2 ] ∇ k u [ k ] = k! Ta nhận thấy 1 [1] 17
giai thừa u , i = 1, 2, …, k và do N N 0 PN ( x) = c0 u [ N ] + c1u [ N −1] + ... + c N −1u [1] + c N u [ 0 ] PN ( x0 ) = c0 0[ N ] + c1 0[ N −1] + ... + c N −1 0[1] + c N 0[ 0 ] = c N ∇PN ( x) = Nc0u[ N −1] + ( N − 1)c1u[ N −2 ] + ... + cN −1u[ 0 ] ⇒ ∇PN ( x0 ) = cN −1 ∇ 2 PN ( x) = N ( N − 1)c0u[ N − 2] + ( N − 2)( N − 1)c1u[ N −3] + ... + 2 × 1 × c N − 2 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ ∇ N PN ( x ) = N !c0 18
⇒ PN ( x0 ) = cN , ∇PN ( x0 ) = cN −1 , ∇ 2 PN ( x0 ) = cN −2 2! .......... .......... ..... ∇ N PN ( x0 ) = c0 N! Như vậy: ∇ N PN ( x0 ) [ N ] PN ( x) = u + .... + ∇PN ( x0 )u [1] + PN ( x0 ) N! hay ∇ i PN ( x0 )u [ i ] N PN ( x) = ∑ i =0 i! 19
• Nếu |ƒ(N+1)(x)|