CHUYÊN ĐỀ BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
0A
0B
2A B A B
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
0A
0B
A B
+ Với và thì
và thì
2A B + Với 2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
0A
0B
A B
2 A B
0A
0B
A B
2 A B
+ Với và thì
và thì
0
A B .
0B
+ Với 3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
A B
AB B
+ Với và thì
0B
4. Trục căn thức ở mẫu
A B B
A B
2
0A
A B
+ Với thì
2
C A B A B
C A B
B
C A
0A
0B
A B
+ Với và thì
A B
A
B
C
+ Với , và thì
5. Rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai Bước 1. Dùng các phép biến đổi đơn giản để đưa các căn thức bậc hai phức tạp thành căn thức bậc hai đơn giản. Bước 2. Thực hiện phép tính theo thứ tự đã biết. Để đơn giản hóa việc nhận dạng và xử lý bài toán, các em có thể tham khảo bảng dưới đây
49.5
2 7 .5
7 5
0A
0B
2A B A B
Dạng toán Ví dụ minh họa
0A
0B
2A B
A B
23 .13
3 . 13 3 13
Với và thì
2 3
2 2 .3
12
0A
0B
A B
2 A B
Với và thì
3 7
63
* Với và thì
2 3 .7
0A
0B
A B
2 A B
0x
x y
2 x y .
2 x y
;
* Với và thì * với
0
x y
xy 2 y
x y
5 7
5.7 2 7
35 7
35 7
A B .
A B
AB B
0
xy
* Với thì
0B
với
A B B
3 5 5
A B
3 5
Với thì *
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
3
3 5 2
5 2
3
3
5 2
5 2
5 2
5 2
3
5 2
2
1
5 2
2
0A
*
A B
2
C A B A B
C A B
5
Với và thì
5 7 2
7 2
5
5
7 2
7 2
7 2
7 2
2
7 2
5
3
3
*
7
3
5
3
7
3
7
5
3
7
3
5
7
7
0A
*
4
7 3
B
0B C A
A B thì
2
5
A B
A
B
C
Với , và
7
5
2
5
7
7
5
7
2
7
5
2
7
5
7
5
2
7 5
*
2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
15; 2 6; 6
; 3 2
B. CÁC DẠNG TOÁN MINH HỌA I.DẠNG BÀI MINH HỌA Dạng 1. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai các dạng cơ bản. Ví dụ 1.Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần:
1 3
b) . a) 4 3; 3 5; 5 2; 2 5 ;
Hướng dẫn giải a) Đưa các thừa số vào trong dấu căn, ta được:
4 3 48 ; 3 5 45 ;
; 5 2 50 2 5 20
. Mà 20 45 48 50
Suy ra thứ tự tăng dần là 2 5; 3 5; 4 3; 5 2 .
b) Đưa các thừa số vào trong dấu căn, ta được:
6
12
; 15 ; 2 6 24
1 3
; . 3 2 18
6
; 15; 3 2; 2 6
15 18 24 . Mà 12
1 3
Suy ra thứ tự tăng dần là
Ví dụ 2.
7
A a) Khử căn thức ở mẫu số: 59 5 3 7
3 1
3 3
2
14 2
b) Rút gọn các biểu thức sau: b1) b2)
3
7
59
3
5
7
59
3
5
7 2 15 1
A
2
60 1
2 15 1
3
5
5
59 3
Hướng dẫn giải a)
7 . 7 2 15 1
5 A
3
3 1
3
3 3
3
3 1 1 Cách 2: Trục căn thức ở mẫu.
3
3 3
3
3 3 3 1 3
2 3 2
3 1
3 3
3
3 1
3 1 3 1
b2) Cách 1: Phân tích tử thành nhân tử rồi rút gọn.
b) b1) Cách 1: Phân tích tử thành nhân tử rồi rút gọn.
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
7 7
2 1 2 1
14
14
7
Cách 2: Trục căn thức ở mẫu.
2
2
14 2
2
2
2
2
7 2 2 2
2
2 14 2 7
28 2
2 14 2 7 2 7
14
14 2
4 2
14 2 7. 2 2. 2 2 7 2 14 2 2
Ví dụ 3. Trục căn thức ở mẫu:
15 ; b) ; c) . a) 2 1 5 2 2 10 2 7 10 20 40 2 10 5
1
80 5 Hướng dẫn giải
5
5
2
2
2 2
1 5 1
2
a) Ta có:
2
2
5 1
5 1 4 5 1 2
2
2
.
15 b) 10 2 5 2 10 5 4 5 10 5 5
5
2
7
2
5
2 10
7
2
5
7
10 5 5 15 3 10 3 5 10 5 . 10 5
2
7 2 10 7
2
5
7
2 10
. c)
Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức:
3
2
3
2
2 3
A
3
2
3
2
3
2
a) ; b) B . 3 2 3 2 2 2 3 2 2 6
A
1 5
3
6
6 2
3
3
2
2
3
2
3 2
B
:
. a) Ta có: Hướng dẫn giải 1
4 2 3 2 2
4 2 3 2 2
2 6
4 2 3 2 6
B
:
3 1 2 2
3 1 2 2
2 6
3 1 2 6
b) Ta có:
4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
3 1
3 1 . 3 4
B
:
3 1 2 2
2 6
3 1 B : 3 1 3 2 2 3 4 2 6
B . 3 1 2 3 1 2 3 : 2 2 2 6 3 1 2 6 . 2 2 2 3
2
2
.
63a
,
0
0a
a b x y , ,
Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức sau bằng cách đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
xy 2 ab 3
3 4 a b 9 3 xy 8
a) b) với c) với 245.35
Hướng dẫn giải
49. 25. 7
7.5. 7
35 7
2
2
2
a 63
a 9.7.
9. 7.
a
3 7.
a
a) Biểu thức 245.35 49.5.5.7
2
a
a
a 63
3 7
a
0a
b) Biểu thức
2
2
4
.
.
Vì nên . Do đó: .
xy 2 ab 3
3 4 a b 9 3 xy 8
xy 2 ab 3
2 a a b 9 . . 2 x y y . 4.2. .
2
4
2
9.
a
.
.
a b . 2
xy 2 ab 3
y
xy
4. 2
.
2
.
a b
a
2 3. .
2 xy 3 ab
2.
2
y
xy
2
2
2
xy
3.
a b
.
y
ab 3 .2.
a xy 2
2
.
a
y
a
y
,
0
a b x y , ,
c) Biểu thức
xy 2 ab 3
3 4 a b 9 3 xy 8
2
2
2
.
bxy
.
xy 3. ab 3 .2.
ab y
a xy 2
a xy 2
Vì nên ; , ta có:
Ví dụ 6. Thực hiện phép tính.
; a) 20 2 45 3 80 125 A
2 . 0, 2
B
3 4
1 3
1
3 1
5
5 1 5
5 1 3
.
b) .
Hướng dẫn giải
a) Ta có: 20 2 45 3 80 125 A
3
5
3
5
5 1 1
. A
B
.
3
4 3 3
5 5
2 .
3
5
11 5 5 1 1 b) Ta có:
1
2 5 6 5 12 5 5 5 2
5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
5
15 5 1
3
15 5 1
3
5
B
.
3 3
5 5
5 5 2 3 1
. 2
3 . . B 5 5 3
2 6 3 3 3 2 3 1 5
B 2 2 15 6 2 3 1 3 10 3. 6 15 2 3 1
2.3. 2 3 1 3. 2 3 1 5
3 3 R Ví dụ 7.Rút gọn biểu thức: 2 3 5 2 3 5
Hướng dẫn giải
Cách 1. Mỗi phân thức nhân cả tử và mẫu với 2 , ta được:
R
3 2 2
10 5 1
2
10 5 1
3 2 10 3 2 10 R 2 6 2 5 2 6 2 5
3 2 3 2 3
R 10 5 3 2 3
10 3
10 3
R
9 2 3 10 3 10 5 2 9 2 3 10 3 10 5 2 9 5
5 3 2 5 3 2 R 5 3 10 5 5 3
2 2
R
8 2 4
.
Cách 2. Nhân hai vế với , ta được: 1 2
3 5 3 5 R . 1 2 2 6 2 5 2 6 2 5
R . 1 2 2 5 1 2 3 3 5 5 1 5
2 2
R
R . 2 1 2 5 5 3 3 5 5 3 3
. Suy ra: Dạng 2.Nâng cao phát triển tư duy
3 5 3 5 P Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức: 10 3 3 5
10 5 Hướng dẫn giải
6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
3 2 10 3 2 10 P Ta có: 2 5 6 2 5 2 5 6 2 5
P 3 2 2 5 3 2 10 5 1 2 5 10 5 1
10 3 2 10 3 2 P 3 5 1
10 3 5 1
9 10 3 2 15 2
10
P
3 2 3 2 P
3 5 1 10 3 5 1 3 5 1 3 5 1 10 9 10 3 2 15 2 45 1
P
24 2 44
.
6 2 11 Ví dụ 2. Thực hiện phép tính:
b) ; B . a) A 175 2 2 8 7 3 2 2 17 12 2 3 2 2 17 12 2 1
7
Hướng dẫn giải
A
8
7 5 7 2 2
5 7 2 2
8 8 7
a) .
4 7 A
2
2
b) B 3 2 2 9 12 2 8 3 2 2 9 12 2 8 3 2 2 3 2 2 3 2 2
1
B
2
2
1 3 2 2
1 3 2 2
2 1
2 1
3 2 2 1
B 1 2 1
2 1
3
3
3
2 1 2 . B 1 2 1 2 1
B
3 1 6
2 2 6
2
6
2
6
1 2
2 2
Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức: .
Hướng dẫn giải
3 . 6
3 2
3 2
3 1 2 4 6
4 6
2 6 2 6 6 Ta có: B . 2.6 2 2
3 . 6
2 2 2 2 3 2 3 3 2 2 6 B . 2.6 2 2 2 3.4 2
7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
3 .3 2
2 6 B 2 2 2 2 2
2 2
6
6 2
2
B
2
3 6 6 2 . 2 B 2 2 2 2 2 2
0B . Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức:
1 1 A a) b) T . 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3
Hướng dẫn giải
3
3
2
2
A
2 3
2 3
2
2
3
4 2 3
4 2 3
3
A
6
2
2
3 3 1
3 1
3 1
3 1
A
2
2 2 2 2 a) Ta có: A 2 2 3 2 2 3 3 3
6
6
2 3 6
2
2
.
2 3 2 3 T b) Ta có: 4 3 4 3
3 2 3
3
5
3
5
3
3 A
2 S S . 4
A
B
5
4
5
4
2 3
2 3
B . và . Tính Ví dụ 5. Cho
3
5
3
5
A
Hướng dẫn giải
5 5 25 5
4
3 5
5 5
3
5 5 1
4
6 2 5
5
5
A
15 3 5 5 5 5 20
10 2 5 20
10
Ta có:
5 5 25 5
5 1
5
5
3 5 5 3 5 B Ta có: 3 5 5 5 4 4 5 3
B
10 2 5 20
10
. 2 3 15 3 5 5 5 5 20
8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
5 5 10.10
3
3
3
5 5 5 5 5 5 A B ; A B . Suy ra: 10 10 5 5 1 . 5
3 A
AB A B
Ta có: B 3 3. . A B 5 5 1 5 . 5 5 4 5 25
, a b biết:
a 7 b 11 . Ví dụ 6. Xác định 3 7 11 17 4 7 2 11 13
13 3 7
11 17. 4 7 2 11 Hướng dẫn giải Xét vế trái:
16.7 4.11
3 7
11
11 17 4 7 2 11 9.7 11 13 3 7 52 4.17
. 7
. 11
4
3 4
7 4
.
a
b
;
4 7 2 11 4 7 4
3 . 4
Đồng nhất hai vế ta được:
x
x 1;
0
.Chứng minh rằng
12 2 17
x x
1 1
2 Ví dụ 7. Cho . . Với 1 1 1 1 x x x x
2
2
Hướng dẫn giải
1 1 1 x x x 1 Ta có: 2 2 1 x x 2 1 2 x x 1 x
0x
2
x
2
2
1
1
2.
x
x
2
2 2 1 x
2
1
x
2.
x
1 .
2
2
2
1
x
2
x
2 2.
x
1
x
2 2
x
ĐKXĐ:
3
0 .
Bình phương hai vế, ta được:
0x nên
3
x
2 2
0
x
2 2 3
Vì .
2
1 2 2 3 Xét . 12 2 17 x x 1 1 8 9 8 12 2 9 1 2 2 3 2 2 3 1 2 2 3 2 2 3
5
Điều phải chứng minh.
36 x
M x
tại x
x . Ví dụ 8. Tính giá trị biểu thức
3 2 2 2 1 Hướng dẫn giải
2 1
3 2 2
x
2 2 2 1 8 1 2 x
3 x Ta có: 2 1 7 2 7 7
9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
3
5
x Ta có: 5 2 7
2 3. x x
29 2 41
2 1 3 2 2 3 2 2 5 2 7
x
2. x x Thay vào biểu thức M ta có:
M 2 1 0 29 2 41 6 5 2 7 . M
2
2
1 1 Ví dụ 9. Cho biểu thức: . . M 2 3 2020 1 x 2 1 2 1 1 1 x 3 x 3
a) Rút gọn M; b) Tìm giá trị lớn nhất của M. Hướng dẫn giải
2
2
1
3 3 M . . a) Ta có: 2 3 2020 x 1 3 2 x 3 2 x
1 2020 x 1
. M . 2 3 x x 1 3 4 x x 1 3 4 3 4 3 4
M . . 2 3 2020 x 1 3 4 4 x x 4 4 x x 4 3 4
1
x
x
.
.
M
1 2
1 2020 1 x
x
x
.
.
M
2 2
1
1 2
x 2 x x
x 2 1 2020 1 x
M . . 2 3 . 3 4 2020 x 1 1 x x 1 x 1 1 x
0x .
M
x
. TXĐ:
x 2020 2 x 2 x
0x
b) Ta có:
M
2020
x
1 x . Vì 1 1 2020 2020 2 x 1
1 Vậy giá trị lớn nhất của M là 2020 khi
0x .
. nên
:
0;
4
A
x
x
2
2
1 2
x 3
2
3 x
x
2 3 x
3 x
2 x
5 x
7
x 6
Ví dụ 10. Cho biểu thức
a) Rút gọn A.
A 2 x b) Tìm x để . 1
Hướng dẫn giải
2 2
1 x
2 2
3 2 x x x a) Ta có: A 7 3 x . 2 x 3 6 x x 5 1
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
3 2 x x 4 2 3 6 5 7 x . A 3 2 x x x x 2 2 x 1
x 2 x 3 3 3 2 A . x 3 2 x 1 2 x x x x 2 2
1 2
1
3 A 2 x 2 x 2 x x 3 x b) 1 1 x 1 2
1 x
1
1 4
x 3 x 1 0 x x 4 0
1 1 x x , thuộc tập xác định.
1x thì
A 2 x Vậy với . 1
11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
A B .
B³ 0;
0,
¹ khẳng định nào sau đây là
II.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ
Câu 1. Cho các biểu thức ,A B mà
AB
=
= -
=
=
đúng?
A B
AB B
A B
AB B
A B
A B
A B
B
A. . B. . C. . D. .
0A < và
2A B A B =
2A B
= -
A B
2A B
= -
B A
2A B
=
B A
Câu 2. Cho biểu thức với 0B ³ , khẳng định nào sau đây là đúng?
81(2
4 )y-
A. . B. . C. . D. .
81(2
9(2
9(2
2 )y
)y- .
Câu 3. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn ta được?
2 )y- .
2 )y- .
- - .
144(3
4 2 )a+
B. C. D. A. 9(2
12(3
4 2 )a+
144(3
2 2 )a+
-
12(3
+
2 2 )a
12(3
2 2 )a+
ra ngoài dấu căn ta được? Câu 4. Đưa thừa số
0)
. B. . C. . D. . A.
y ³ vào trong dấu căn ta được.
25y .
Câu 5. Đưa thừa số 5y y (
3 25y .
35y .
0)
x
B. C. D. 25y y . A.
x < vào trong dấu căn ta được.
- 35 x
35x-
- -
35x
Câu 6. Đưa thừa số (
2 35x .
5x
0)
A. . B. . C. 35 . D.
x < vào trong dấu căn ta được:
- 12 3 x
-
-
-
-
Câu 7. Đưa thừa số (
300 x
300 x
300 x
- 60 x
. B. . C. . D. . A.
4 5>
4 5=
4 5<
4 5³
Câu 8. So sánh hai số 5 3 và 4 5
. B. 5 3 . C. 5 3 . D. 5 3 . A. 5 3
9 7<
9 7=
9 7³
8 8<
Câu 9. So sánh hai số 9 7 và 8 8
. B. 8 8 . C. 8 8 . D. 9 7 . A. 8 8
xy
4 2 2 x y
x y> 0; 0 với > ta được Câu 10. Khử mẫu biểu thức sau
xy- .
B. C. 2 . D. 2 . A. 4 .
-
2 2x y
- 9 3 2 x y
x
x y< 0; 0 Câu 11. Khử mẫu biểu thức sau với > ta được:
- - .
. B. 6 C. 6 x . D . 6 x- . A. 6 x-
-
3xy
- xy x y< 0; 0 Câu 12. Khử mẫu biểu thức sau với < ta được 3 xy
xy- .
B. C. 3xy . D. . A. xy .
12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
1
1
)
+
a b Î . Khi đó 2a
5
+
3 2
5
-
3 2
ta được phân số tối giản ( , Câu 13. Sau khi rút gọn biểu thức a b
2
2
+
có giá trị A. 20 . B. 10 . D. 14 . C. 7 .
7
+
3 5
7
-
3 5
Câu 14. Sau khi rút gọn biểu thức là phân số tối giản
b+ có giá trị là:
a b ( , ) Î . Khi đó a
+
x 50
-
x 2 8
+
x 18
0
B. 7 . C. 8 . D. 14 . a b A. 28 .
x ³ ta được kết quả là:
với
x Câu 15. Rút gọn biểu thức 32
2 10x .
0
-
+
+
48 x
4 75 x
243 x
B. 10 2x . C. 20 x . D. A. 8 2x .
x ³ ta được kết quả là:
với Câu 16. Rút gọn biểu thức 27 x
3
2
a
-
+
ab
-
5
4 b
25 a
5 a
16
9 a
a
0, b³
B. 28 3x . C. 39 x . D. 28 x . A. 40 3x .
³ 0
Câu 17. Rút gọn biểu thức với
ta được kết quả là:
5
2
2
x
+
-
xy
-
7
11 y
36 x
2 x
16
25 x
B. 4 a . C. 8 a . D. 2 a . A. 2 2a .
Câu 18. Rút gọn biểu thức với
2
2
2
2
x y³ 0, 0 ³ ta được kết quả là:
2
-
3
-
6
2 x + 58 x y x 2 x - 58 x y x 2 x + 56 x y x 12 x + 58 x y x . B. . C. . D. . A.
a 16 3
a 27
a 4 75
là Câu 19. Giá trị của biểu thức
0
5
a
+
6
-
a
+
5
23 A. . B. . C. . D. . a 23 3 15 a 3 15 a 15 a 3 3 15
a > , ta được kết quả là:
a 4
a 4 25
4 a
với Câu 20. Rút gọn biểu thức
a 2
a
a³ 0;
4
B. 8 a . C. 6 a . D. 10 a . A. 12 a .
¹ ta được:
2
a-
Câu 21. Trong căn thức ở mẫu biểu thức với
3
a
a³ 0;
12
- a 4 a 4 a 4 a 4 - A. . B. . C. . D. . a a 2 - 4 + a a a 2 4 - - a a a 2 4 - + a a a 2 4 - + a
¹ ta được:
6
3a+
với Câu 22. Trục căn thức ở mẫu biểu thức
+ 6 12
3 a a
+
- 6 12
3 a a
+
A. . B. . C. . D. . + 6 12 3 a a - - 6 12 3 a a -
6 x y³ 0; 0 Câu 23. Trục căn thức ở mẫu biểu thức với ³ ta được x y+ 2
13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
6
x
-
y 2
6
x
+
y 2
6
x
-
y 2
6
x
+
y 2
(
)
(
)
(
)
(
)
x
-
y 4
x
-
y 2
x
-
y 2
x
+
y 2
. B. . C. . D. . A.
3
y
12
y
12
y
12
y
4 x ³ 0; y ³ 0; x ¹ y Câu 24. Trục căn thức ở mẫu biểu thức với ta được: 4 9 3 x y+ 2
x x 9
- -
2 y 4
x x 3
- 8 + 2 y
+ 8 + 4 y
x x 9
- 8 - 4 y
-
-
7
15
1
5
+
:
. B. . C. . D. . A.
2
1
3
7
5
-
-
æ 14 ç ç ç ç ç - 1 è
x x 9 ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø
Câu 25. Tính giá trị của biểu thức .
+
-
10
2 10
30
6
1
+
:
A. 3- . B. 2- . C. 2 . D. 3 .
+
-
-
5
2
5
1
2 5
6
æ ç ç ç ç ç è
ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø
Câu 26. Tính giá trị biểu thức
6
+
2
-
4
A. 28 . B. 14 . C. 14- . D. 15 .
2 3
3 2
3 2
Câu 27. Giá trị biểu thức là giá trị nào sau đây?
=
x y
+
y x Q x x
;
;
A. C. B. 6 . . . D. . 6 2 6 6 6 3
R x
y
x
-
y
x
+
y
y y + )(
)
P = = - . Biểu thức nào bằng với biểu thức ( ,x y không âm.
Câu 28. Cho ba biểu thức
với
B. Q . C. R . D. P Q- . A. P .
Câu 29. Cho ba biểu thức
M
=
x
+
;
y
P
=
x
-
x
+
y
y
(
)2
(
)(
)
,x y x ,
+
xy
y
x x - y y N = ; . x - y
+ với
y¹ không âm
Biểu thức nào bằng với biểu thức x
.M N .
24 x
B. N . C. P . D. A. M .
x 2 2
29 x
3 3 x
4 - là
Câu 30. Số nghiệm của phương trình A. 1 . B. 0 . - = 9 C. 3 . 3 + là: D. 2 .
B. 0 .
16 - = C. 3 .
x
1
x 9
- - 9
x 16
- + 16
27
D. 2 . Câu 31. Số nghiệm của phương trình A. 1 .
= 4
2 3
- 81
1 4
Câu 32. Phương trình
2
x
2
18
8
4 x
8 - -
+
9 x
có mấy nghiệm? A. 1 . B. 0 . C. 3 . D. 2 .
- = có nghiệm là?
- 4
8
x = . 2
Câu 33. Phương trình
x = . 6
x = .
x = . 4
D.
A. C. B. 14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
+
-
2
3 20
1 60
là: Câu 34. Giá trị của biểu thức
a
a
A. 1 . B. 0 . D. 2 .
1 15 C. 3 . a
+
-
-
5 a
1
5
5
+
-
Câu 35. Rút gọn biểu thức ta được:
5
A. 2a . B. a .
2 3 - C. 3a .
D. 12a .
15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
HƯỚNG DẪN
B³ 0;
¹ 0,
khi B
>
0
AB B
ta có
=
A B
AB B |
|
0
khi B
<
AB B
,A B mà ìïïï ïï = í ïïï- ïïî
Câu 1. Đáp án A. Khử mẫu của biểu thức lấy căn A B . Với các biểu thức
,A B mà
Câu 2. Đáp án B. Với hai biểu thức 0B ³ ta có
2 A B
³ 0 = | A B | = . A B khi A < 0 ìïïïí A B khi A ïïïî -
2
81(2
-
y
4 )
=
-
y
2 )
= - (2
y
2 )
81
=
9(2
-
y
2 )
Câu 3. Đáp án C.
é 81. (2 ê ë
ù ú û
Ta có: .
2
144(3
+
4 a 2 )
=
+
2 a 2 )
=
12. (3
+
2 a 2 )
=
12(3
+
2 a 2 )
Câu 4. Đáp án D.
é 2 12 . (3 ê ë
ù ú û
Ta có:
3
=
=
=
2 (5 ) y y
2 25 . y y
25 y
Câu 5. Đáp án B.
Ta có: 5y y .
2
x
= -
x
.
= - -
x 35
Câu 6. Đáp án B.
- 35 x
- 35 x
Ta có:
Câu 7. Đáp án C.
2
5x
2 x (5 ) .
- 12 3 x
- x 25 = - = = - Ta có 12 - x 300 x 12 - 3 x æ ç ç ç çè ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø
Câu 8. Đáp án D.
2 5 .3
=
=
=
4 5
2 4 .5
16.5
80
<
<
80
5 3
4 5
5 3 = = 25.3 = 75 Ta có
.
75 80 Vì 75 < Câu 9. Đáp án A.
=
=
=
8 8
2 8 .8
64.8
512
9 7
=
2 9 .7
=
81.7
=
567;
<
<
<
567
8 8
9 7
Ta có
512 567 512 Câu 10. Đáp án D.
4
xy
xy
.
xy
.
=
=
2 = .
2 xy
4 2 2 x y
2 2 x y
x y> 0; 0 Vì > nên 0 xy > . Từ đó ta có
Câu 11. Đáp án B.
16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
2 x y 2
2 x y 2
-
2 2x y
- 9 3 2 x y
3 2 x y 9 3 2 x y
-
23 .
.
x x y
2.3
). x y
=
2.
=
= - - 6 x
- y = - = - x y< 0; 0 Vì > nên ta có: . x x - 9 . 3 2 x y - ( )
xy
- - ( x xy
.
0 x 0 Câu 12. Đáp án D. y< 0; Vì < nên xy > .
1
1
5
5
- xy = - xy . = - xy 3 Từ đó ta có: . 3 xy 3 xy xy
+
=
+
=
=
=
25
18
10 7
10 -
2
5
3 2
5
3 2
+
-
3 2
3 2
-
+
+
-
5
3 2
-
3 2 - )( 3 2 5
( 5
)
( 5
3 2 + )( 3 2 5
)
10 (
)2
a
=
10;
b
= =
a 2
7
2.10
Câu 13. Đáp án A. Ta có
= . 20
Suy ra
Câu 14. Đáp án C.
) 3 5
) 3 5
( - 3 5 2 7 )( 3 5 7
)
( + 3 5 2 7 )( 3 5 7
)
( 7
( 7
-
14
14
14
6 5
=
=
+
=
=
2
2
6 5 49
+ + 14 - 9.5
28 4
7 1
2
2
-
-
7
3 5
3 5
7
- ( a
6 5 ) b 7;
=
+ ( a
1
7
1
8
b
2 2 + + = Ta có: + - 7 3 5 7 3 5 - + - +
6 5 ) = + = + = .
Suy ra
+
x 50
-
x 2 8
+
x 18
x Ta có 32
=
+
-
+
=
+
-
+
16.2 x
25.2 x
2 4.2 x
9.2 x
2 4 .2 x
2 5 .2 x
2 2 2 .2 x
2 3 .2 x
Câu 15. Đáp án A.
= x 4 2 + x 5 2 - x 4 2 + x 3 2 = x 2 (4 + - + = 4 3) 5 x 8 2 .
=
x 9.3
-
x 16.3
+
x 4 25.3
+
x 81.3
-
+
+
48 x
4 75 x
243 x
Câu 16. Đáp án B.
=
-
+
+
2 3 .3 x
2 4 .3 x
2 4 5 .3 x
2 9 .3 x
Ta có 27 x
= x 3 3 - x 4 3 + x 4.5 3 + x 9 3 = x 3 (3 - + + = 20 9) 4 x 28 3
3
2
a
-
+
ab
-
5
4 b
25 a
5 a
16
9 a
Câu 17. Đáp án D.
2
=
a
-
3 2 a b
+
-
a
5
4 25
5 16
2 . ab a
9.
2 a=
=
a
-
3 2 a b
+
3 2 a b
-
a
5
4 25.
5 16.
3
Ta có:
3 2 a b
3 3 a b
( 5
)
= a - 3 a - 4.5 - 5.4
(
)
5
2
2
2
2
2
x
+
-
xy
-
=
x
+
-
xy
-
x
7
11 y
36 x
2 x
16
25 x
7
11 y
2 6
4 . x x
2 x
4
2 5
2
2
2
Câu 18. Đáp án A.
2 x 2 .4.
= 7 x + y x 11 .6 x - y x - 5 x = 7 x + 66 x y x - x y x 8 - 5 x
17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
2
x
5
-
=
+
x
x y x
-
x y x 8
=
2
x
+
58
x y x
( 7
)
)
.
( 66 Câu 19. Đáp án A.
-
-
=
-
-
2
3
6
2 2 4 .
3
6
a 16 3
a 4 75
a 3
a 1 . 9 3
a 4 . 25 3
a 27
=
2.4
-
3.
-
6.
.
2 5
a 3
a 3
1 3
.
=
1 - -
=
=
=
a 3
23 5
a 3
23 5
3 a 3
23 3 a 15
12 5
æ ç . 8 ç ç çè
a 3 ö÷ ÷ ÷ ÷ ø
.
5
a
+
6
-
a
+
5
=
5
a
+
6
a .
-
a
4.
+
5
a .
Câu 20. Đáp án B.
a 4
4 a
a 4 25
1 4
1 a
4 25
Ta có
2 2 .
=
5
a
+
6.
a
-
a 2
+
5.
a
1 2
1 a
2 5
2 æ ö 1 ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç 2 è ø
2 æ ö 2 ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç 5 è ø
= + - + 5 a 6 a . a 5 a . 1 a
= 5 a + 3 a - a 2 + 2 a = 5 a + 3 a - 2 a + 2 a = 8 a . a a
Câu 21. Đáp án C.
)
( a 2 2 a
)
a a 2 a 4 = = . Ta có a a 2 4 - + a 2 - a - + a + )( 2
( 2 Câu 22. Đáp án D.
a 3
-
a 3
)
( 3 6
)
3
=
=
=
=
2
( 3 6 36
-
a 3
- 6 12
a 3 a
-
2
6
+
a 3
( 3 6 a 3
+
-
a 3
6
-
a 3
- )( 6
)
- (
) a 3 )
Ta có .
( 6 Câu 23. Đáp án C.
(
(
)
) -
(
)
6 x y 2 6 x - y 2 6 = = Ta có x - y 2 x y+ 2 x + y 2 x y 2 - )(
2
x
y
x
y
( 4 3
12
y
Câu 24. Đáp án D.
=
=
=
2
2
x 9 x
8 - 4 y -
3
3
2
x
y
x
y
( 4 3 2 +
) -
3
x
y
-
(
- )(
)
(
)
2 - ( 2
) )
4 . Ta có 3 x y+ 2
7
15
5
1
2. 7
7
5. 3
5
1
-
-
-
-
+
+
:
:
Câu 25. Đáp án B.
-
-
-
-
-
2
1
3
7
5
1
2
1
3
7
5
æ 14 ç ç ç ç ç - 1 è
æ ç ç= ç ç ç è
ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø
ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø
Ta có
18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
-
7
2
3
5
) 1
-
=
+
7
5
.
= - -
7
7
-
5
)
(
(
) ( 5 .
)
( - 1
2
( - 1
3
æ ç ç ç ç ç ç ç è
ö÷ ) - ÷ 1 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø
= -
7
+
5
7
-
5
2
) = - - = - . 5
( 7
(
)(
)
10
+
2 10
30
-
6
1
:
+
Câu 26. Đáp án B.
+
-
-
5
2
5
1
2 5
6
ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø
æ ç ç ç ç ç è
+
20
5
2
6.
5
)
1
100
-
40
5. 6
-
5
1
=
+
:
+
:
+
-
-
2
( 5
( 5
1
2 5
6
+
-
-
5
2
5
1
2 5
6
ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø
æ ç ç= ç ç ç è
æ ç ç ç ç ç ç ç è
ö÷ ) - ÷ 1 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø
2
2
=
+
-
6
=
-
6
14
20
= - = 6
( 2 5
)( 6 2 5
)
( 2 5
)
(
)
Ta có
6
2
4
6
2.
4
6
+
-
=
+
-
=
+ - =
Câu 27. Đáp án A.
3 2
2 3
3 2
3 2
6 3
6 2
3 2
2 3
4 2
6 6
æ ç ç ç çè
ö÷ ÷ ÷ ÷ ø
Ta có
2
2
Câu 28. Đáp án C.
3
3
) =
) +
P = x y + y x = x = x + y x y +
(
)
2
2
( ( -
) ) y
xy y = Q x x +
( xy )( y x +
x
+
y
R
=
-
y
x
y ( = - y y x R x = - = y x x ( + ) - ) + x )( y y ( = )
( ) y ( x )
)(
Vậy
( Câu 29. Đáp án B.
2
2
2
+
2
x
.
y
+
= + x
2
xy
y
M
=
x
+
y
=
x
+ y
(
)
(
)
3
3
y
x
xy
y
x
-
-
+
+
(
)
(
)
( (
x x
y y
-
xy
y
N
=
= + x
+
=
=
y
y
x
-
)( y x - x
-
2
2
P
=
x
-
y
x
+
=
x
-
y
y
x
y
= -
(
(
)
(
)
) ) x )
y )(
xy
= + x
+ . y
Vậy N
2
2
4 x
9 - =
4(2 x
3) +
4 x
9 - =
8 x
24 x
Câu 30. Đáp án D.
12 +
- = 9 x 2 2 Ta có + 3
x 8
9
24 x
24 x
x 8 + ³ ³ - 0 12 x 3 2 Điều kiện:
- = + 12
- = 9 x 8 Với điều kiện trên ta có + 12
19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
- - = x 8
21
x 4
0
x 4
+ - 6 x
x 14
- = 21
0
7 2
+ =
x x 2 2 (
+ - 3 )
x 7 2 (
+ = - 0
x 2 (
) 3
x 7 2 )(
) 3
0
TM (
)
0 0
é - = 2 x 7 ê ê + = x 2 3 êë
é ê = x ê ê -ê 3 ê 2 ë
Vậy phương
x ; trình đã cho có hai nghiệm phân biệt = - 7 x= 2 3 2
2
2
9 x
16 - =
9(3 x
4) -
9 x
16 - =
27 x
29 x
16 - =
3 3 x
Câu 31. Đáp án D.
4 -
36 -
Ta có:
2
2
2
27 x - ³ ³ 0 36 x 4 3 Điều kiện:
29 - x x x ( 3 3
- x 15 - - ) 5
x 3 (
x 4 3 )(
- = 5 )
0
TM (
)
4 5
0 0
é - = x 3 ê ê - = x 3 êë
4 3 5 3
20 + = 12 0 x - = - x ) 5 ( 0 4 3 é ê = x ê ê ê x =ê ë
x 9 16 - = 27 x x - - = 9 36 16 27 x - - 36 x 9 27 x 20 + = 0 Với điều kiện trên ta có:
x ; Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: 4 x= 3 5 = . 3
- ³ 9 0 0 - ³ ) 1
x x 0 16 0 1 0 1 Điều kiện
1
x
27
4
9 x
9 - -
16 x
16 - +
=
2 3
1 4
- 81
- ³ 1 ì ï x ( 9 ï ï ï - ³ - ³ ³ x ( ) 1 16 í ï ï - ³ x 1 0 ï ïî ³ 0 Câu 32. Đáp án A. ìïï ï x 9 ï ï ï x 16 í ï ï - x ï ï ïïî 81
x 9(
- - 1)
x 16(
- + 1)
27
x .(
- = 1)
4
2 3
1 4
1 81
Ta có
.3 x - - 1 .4 x - + 1 27. . x - = 1 4 2 3 1 4 1 9
2
x
x
3
x
4
1
- - 1
- + 1
x 4
- =
TM
)
1
x - = 1 1
2
- = 4 2( x = x = .
1
x - = 1 Vậy phương trình có một nghiệm Câu 33. Đáp án D.
0
- ³ 8
0
- ³ ) 2
0
2
0
x
x
2
0
ì ï 4 x ï ï ï x 9 0 18 - ³ í ï ï x 24 0 - ³ ï ï î
ì ï x ( 4 ï ï ï x ( ) 2 9 - ³ - ³ ³ í ï ï 2 x - ³ ï ï î
Điều kiện:
20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
x
2
x 4
- - 8
2
+
x 9
- = 18
8
4
2
.
9.
8
( x
) - - 2
( x
) - + 2
( x
) - = 2
- 4
1 4
Ta có:
2
x
x
3
x
8
2
- - 2
- + 2
- =
4
x
2
8
2
2
4
6
x
x
6
- = - = - = = (TM) x 2 x = .
2 x - - 2 2. x - + 2 3 x - = 2 8 1 2
+
-
2
+
-
=
Vậy phương trình có một nghiệm Câu 34. Đáp án B.
3 20
1 60
1 15
3.20 20
60 60
2 15 15
Ta có
3 60 + - 4. 4.15 4 60 4 60 = = = 0. - 60 60 60
a
a
+
-
5 a
-
1
5
2
5
3
+
-
Câu 35. Đáp án B. a Ta có
(
5 ( -
) 1 +
- ( -
) 2 +
) -
(
) 1
(
)
) 2
(
a - a a 5 3 + = - - a 5 5 5 5 5 5 3 + + )( 5 3
(
) 2
)
(
5 - a 5 + 3 a + 5 a 5 )( 1 ) 1 + 5 )( 2 ( + - - a 5 = 4 1 4
)
(
) - + 1
( a 4 2
(
)
5 5 + - a 3 + 5 - a 4 5 a = 4
(
)
a - + + - 5 8 1 4 5 - - 3 5 4 5 = = = a 4 a 4 4
21. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
III.BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
500.162
49.360
2
2
125a
0a
225
a
b) a)
1 3
d) với a tùy ý c) với
5 2
2 5
Bài 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn:
x
0x
x
0;
y
0
x
b) a)
37 x
13 xy
c) với d) với
27; 6
; 2 28; 5 7
5 2; 2 5; 2 3; 3 2
Bài 3: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:
1 3
3 6; 2 7; 39; 5 2
4 2; 37; 3 7; 2 15
a) b)
d) c)
Bài 4: So sánh:
105
101
101
97
15
14
13
14
b) và
18
và a) Bài 5: Rút gọn các biểu thức:
3
27 2 507
a)
3 2 4 8 1 3
0a
a 25
a
b)
0b
b 36
b 54
b 150
c) với
49 1 3
a 64 1 5
d) với
Bài 6: Giải các phương trình:
5 12
4 3
14
x
x
x
4
x
20
x
9
x
45
4
5
a)
2 48 1 3
3
5
2
7
1
x
b)
x 2
x 3
36
x
x
2
72 15
c)
4 5
x 2 25
d)
Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
3
3
15 3 5
2
1
1
a
1a
1
a
a)
3
3
2
a
b
2 a b
ab
a
0
0; b
b) với
2
3
a
0
x
xy
y
b 0;
y
c) với
d) với
Bài 8: Khử mẫu của các biểu thức dưới dấu căn và rút gọn (nếu có thể được):
22. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
3
2
2
3 7
7 20
11 12
3
a) b) d) c)
xy
x
y
0x
0;
0
Bài 9: Khử mẫu của các biểu thức dưới dấu căn và rút gọn (nếu có thể được):
y x
33 x 35
a
x
y
0
0;
0
0; b
7xy
a) với b) với
3 xy
35 a b 49
c) với d) với
1
a
0a
Bài 10: Trục căn thức ở mẫu
2 3 3 6
2
a
1 3
1 2 2 3 3
a) b) c) d) với
Bài 11: Trục căn thức ở mẫu
5 1 5 1
37 7 2 3
4
0a
a
a) b)
2 10 5 10 4
1 2
a a
c) d) với ;
27
3
5
Bài 12: Rút gọn các biểu thức sau:
2
5 60.3 15 15 50.2 18
x
xy
2
x
2
x
x
y
0;
0
a) b)
2
x
y
4
4
x
x
c) với d) với
3
3
2
2
2 3 2 4
2 3 2 4
1
a) b) Bài 13: Thực hiện phép tính: 1
3 3
5 5
3 3
3 2 2 3 3
3 2 2 3 3
c) d)
5 5 Bài 14: Giải các phương trình:
2
3
11 3
2
x 1
2 1
x
a) b)
38
5
x 5
3 2
x
3
d)
x
4
x
x
y
4
xy
2
1
2x
c) Bài 15: Tính giá trị của các biểu thức sau:
1
1
x
2
2 xy
1
x y
2
3
4
y
x
.
a) với b) với
2
xy 2
y
3 x y x
y
2 2 x y 2 xy
2 1
x y
c) với
23. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
49.360
49.36.10
49. 36. 10
7.6. 10
42 10
a) Biểu thức
42 10
Vậy biểu thức có giá trị là
500.162
100.5.81.2
100. 81. 10
10.9. 10
90 10
b) Biểu thức
90 10
2
2
2
a 125
a 25.5.
25.
a
. 5
5
a
. 5
Vậy biểu thức có giá trị là
2
a
a 125
5
a
a 5
0a
c) Biểu thức
2
2
225
a
225.
a
.15.
a
5
a
với nên . Vậy
1 3
1 3
1 3
5 a
d) Biểu thức
Vậy biểu thức có giá trị là
5 2
2 5 .2
50
Bài 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn:
2 5
2 2 .5
20
a)
2
x
y
0;
0
x
x
.
b)
13 xy
13 xy
13 x y
2
x
x
x
.
37
0x
c) với
37 x
37 x
d) với
5 2
50; 2 5
20; 2 3
12; 3 2
18
Bài 3: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:
a) Ta có:
12
18
20
50
Vì
2 5
5 2
2 3 3 2
27; 6
12; 2 28
112; 5 7
175
Do đó:
1 3
b)
12
27
112
175
6
27 2 28 5 7
Vì
1 3
4 2
32; 37; 3 7
63; 2 15
60
Do đó:
32
37
60
63
c) Ta có:
4 2
37
2 15
3 7
Vì
3 6
54; 2 7
28; 39; 5 2
50
Do đó:
d) Ta có:
28
39
50
54
2 7
39
3 6
Vì
5 2
Do đó: Bài 4: So sánh:
24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
14
14
13
15 a) Ta có:
15
14
15
14
15
14
và
15
14
2
2
15
14
14
14
15 14 15
15
14
15 1
14
13
14
13
14
13
*
14
13
2
2
14
13
13
13
14 13 14
14
13
14 1
*
15
14
14
13
15
14
14
13
1
1
15
14
14
13
Vì
Vậy
105
101
97
105
101
105
101
101
105
101
b) và
2
2
101
105
101
101
101
105 101 105
101
105 105 4
101
101
97
97
101
97
2
2
101
97
105 101
97
97
101 97 101
101
97
97 101 4
105
101
101
97
Ta có:
105
101
101
97
1
1
105
101
Vì
Vậy 97 101 Bài 5: Rút gọn các biểu thức:
18
3 2 4.2 2 3 2
3 2 4 8
3 2 8 2 3 2
8 2
a) Biểu thức
25. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
8 2
3
27 2 507
3
.3 3 2.13 3
Biểu thức rút gọn là:
1 3
1 3
3
3 26 3
26 3
b) Biểu thức
26 3
49
64
5
7
8
a 25
a
a
a
a
a
0a
Biểu thức rút gọn là:
4
a
a
5 7 8
với c) Biểu thức
b 36
b 54
b 150
6
b
.3 6
a
b .5 6
Biểu thức rút gọn là:
1 3
1 5
4 a 1 3
1 5
0b
d) Biểu thức
b
b 6
b 6
b
6
6
6 b
với
Biểu thức rút gọn là: Bài 6: Giải các phương trình:
5 12
2 48
14
x
x
x 4 3 0x
a)
5 12
4 3
2 48
14
x
x
x
8 3
14
x
x
x
3
14
x
10 3 10 4 8
4 3
14 3
14
x
3
x
1
3
1
x
x
Điều kiện: Phương trình biến đổi về dạng:
1 3
4
x
20
x
9
x
45
4
5
(thỏa mãn điều kiện)
1 3
5x
b)
4
x
20
x
9
x
45
2
x
x
.3
x
4
5
4
5
5
5
1 3
1 3
4
x 2
5
Điều kiện:
5 4
2
5
9
x
x
x
9x
(thỏa mãn điều kiện)
7
3
5
2
x
1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
x 2
0x
c)
x 3
3
5
2
7
x
1
x 2
x
5
x
7
x 3
3 3
2 2
x
1
6
x
5
x
7
6
x
3 3
2 2
1
Điều kiện:
26. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
9
x
x
x
6
15 4
14 6
9
x
4
x
6
x
15 14 6
x
5
x
x
25
5
25
(thỏa mãn điều kiện)
x
x
2
36
72 15
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
x
4 5
2 x 25
2x
d)
x
x
36
2
72 15
4 5
2 x 25
6
x
2 15.
x
x
2
2
20 4
1 5
6
x
2 3
x
2 4
x
20
2
20
x
2
2
20
x
VT
x
x
VP
2
0;
20 0
2
Điều kiện:
3
3
5
3 3
Ta có: Phương trình vô nghiệm.
3
15 3 5 3 1
3
5
3 a) Biểu thức 3 1 3 1 1
5. 3
2
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 3 1
1
1
a
1
a
a
a
1
1
1a
1
b) Biểu thức
1
a
1
a
1
a
3
3
2
a
b
2 a b
ab
a
0
0; b
với
3
2
3
a
ab
2 a b
b
c) Biểu thức với
2
2
2
2
a
b
b
a
a
b
b
a b
b
a
a
b
a
b
b a b
a a b
a
b
a
b
2
2
3
x
y
y
0; y
0
x
x
y
y x
y y
a xy
d)
với
27. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y
y
Bài 8: Khử mẫu của các biểu thức dưới dấu căn và rút gọn (nếu có thể được):
3 7
21 7
3 7
3. 7 7. 7
a) Biểu thức
7 20
35 10
7 20
7 2 5
7. 5 2 5. 5
b) Biểu thức
11 12
33 6
11 12
2
2
3
2
3
11. 3 2 3. 3 2
11 2 3
c) Biểu thức
3
3
3
2
3
3
2
3
6
3
3. 3
3
d) Biểu thức
xy
xy
xy .
xy
Bài 9: Khử mẫu của các biểu thức dưới dấu căn và rút gọn (nếu có thể được):
y x
xy 2 x
1 x
x
y
0;
0
xy
y xy
.xy
a) Biểu thức
1 x
3
2
0x
với
x
x
.
.
105
105
3 x 35
3 .x .35 x 2 35
x 35
x 35
3
a
0
0; b
b) Biểu thức với
ab
ab
. 5
. 5
5 a 49 b
2 5 . a ab 2 49 b
a 7 b
a 7 b
3
xy
xy
xy
7
7 . xy
3
7
c) Biểu thức với
1 xy
3 xy
xy
xy 2
3
7 3
xy 7 .
xy
xy
x
y
0;
0
d) Biểu thức
1 xy
2
6
3
2 6
18
với
Bài 10: Trục căn thức ở mẫu
18
2 6 3 2 18
2 3 3 6
3 6. 6
2
3
a)
2
3
1
2
3
2
3
3
3
3
2
2
2 1
2
3
2 2
b)
1 2 2 3 3
2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3
c)
28. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
2
2 2 3 3 8 27
3 3
2 2
2 2 3 3 2 2 3 3 19
a
a
1
a
1
0a
a a a
a
a a .
d) với
5 1 5 1
5 1 5 1
2
3
5
2
6 2 5 4
2
5
1
5 1
a) Biểu thức Bài 11: Trục căn thức ở mẫu 5 1 5 1
37 7 2 3
37 7 2 3 7 2 3 7 2 3
37 7 2 3
7 2 3
2
2
37
2 3
7
37 7 2 3
b) Biểu thức
2 10 5 10 4
4
10
2 10 5 4 10 4
10
8 10 20 20 5 10
2
2
10 2
4
10
a
a
c) Biểu thức
a a
1 2
a
a
2
2
a
2
4
0a
a
d) Biểu thức
2
3 10 6 2 a a a
1 2 2 3 4
2
a
a a 2
với ;
Bài 12: Rút gọn các biểu thức sau:
2.15 2.10.3
15 60.15 30 50.18
4.15.15 2 50.2.9
2
a) Biểu thức
27
3
5
5
3 3.
5
3
5 60.3 15 15 50.2 18
1 2
y
x
x
x
xy
3 3. 3
x
y
x
y
0;
0
x
b) Biểu thức
x
y
x
y
2
2
x
x
2x
c) Biểu thức với và
2
2
2 2
x x
4
4
x
x
2
x
d) Biểu thức với
29. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
x
2
x
x
1
2
2x
2
2 2
x x
x 2 x 2
4
4
x
x
2
x
1
2
2
x
x
2x
Nếu thì , ta có:
2
2 2
2 2
x x
x x
4
4
x
x
Nếu thì , ta có:
3
2
Bài 13: Thực hiện phép tính:
3
3
2
2
1
1
3
2
2 3 2 3
6 7
6 9 2
2 3
2
6
2
a) Biểu thức
6 7
2
2
2 3 2 4
Vậy biểu thức có giá trị là:
3 2 4 3 2 4
3 2 4 3 2 4
2 3 2 4
8
2
16 18 16
3 2
4
6 2 8 6 2 8 2
b) Biểu thức
2
2
3
5
Vậy biểu thức có giá trị là: 8
5 5
3 3
5 5
3 3
5
3
5
3
5
3
8
2
2
16 2
16 5 3
3
5
5 2 15 3 5 2 15 3 Vậy biểu thức có giá trị là: 8
2 2 3 3
3.
c) Biểu thức
3 2 2 3 3
3 2 2 3 3
2 2 3 3 2 2 3 3
2 2 3 3
3.
3.
2
18 3 19
6 3 8 27
3 3
2 2
6 3 2
d) Biểu thức
18 3 19
Vậy biểu thức có giá trị là:
x
Bài 14: Giải các phương trình:
1 2
a) Điều kiện:
x
x
2
2 1
1
1
2
2 2 1
1 3 2 2
2
x
2
2
x
Biến đổi phương trình về dạng:
2
x 2
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là: 30. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
x
11 3
b) Điều kiện:
x
x
3
11 3
3
11
3
2
2
2
x
11 11 6 2
2 2
3
x
Biến đổi phương trình về dạng:
2 2
x
(thỏa mãn điều kiện)
VT
x
VP
x 5
0,
5
3 2 0
Vậy nghiệm của phương trình là: x 5 c) Điều kiện:
Ta có: với mọi giá trị của thì
5 x
3 2
vô nghiệm.
x
x
x
Suy ra, phương trình 38 d) Điều kiện:
38
3
38
3
5
5
2
(thỏa mãn điều kiện)
38 14 6 5
x
x
24 6 5
x
2
x
x
x
x
x
4
4
1 2
1
Biến đổi phương trình về dạng:
x
x
1
1
a) Biểu thức
24 6 5 Vậy nghiệm của phương trình là: Bài 15: Tính giá trị của các biểu thức sau: 2
2
2
x
x
x
1 2
1
x
1
1
1
x
x
2x
1
2
x
1
1
2
2
2
y
x
xy
x
y
xy
xy
4
2
4
Với , thay vào biểu thức đã rút gọn ta được:
2x 2
xy
1
1
2
2
2
x
xy
y
y
x
2
xy
xy
xy
1
1
2
2
x
y
2
1
Vậy biểu thức có giá trị là khi b) Biểu thức
2 1
1
2
2 1 2
1
x y
2
1
2
Với , thay vào biểu thức đã rút gọn ta được:
1
x y
2
4
3
y
x
.
Vậy biểu thức có giá trị là khi
2
xy 2
y
3 x y x
y
2
2
2
xy
x
xy
y
2
y
x
x
y
2 x y 2 xy 2
y x
y
.
.
x x
2
2
y
xy
y
x
y
2
2
3 2
y
c) Biểu thức
x x
2 2 1
1
x y
Với , thay vào biểu thức đã rút gọn ta được:
31. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
3 2
2 1
x y
Vậy biểu thức có giá trị là khi
------------------------- Toán Học Sơ Đồ -------------------------
