CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………
LỚP
:………………………………………………………………….
TRƯỜNG :…………………………………………………………………
HÀ NỘI, 8/2013
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT
VẤN ĐỀ I: LŨY THỪA 1. Định nghĩa luỹ thừa
a a a
Cơ số a
Số mũ a
Luỹ thừa a α
*
a ˛ R
n N
a
a a
(n thừa số a)
α = ∈
n α = = a
a . ......
α = 0
a ≠ 0
a
α = = 0 a 1
*
α
n n N
a
α = −
∈
(
)
n −= a
=
a ≠ 0
1 n
a
*
n
m n
a > 0
α =
m Z n N ( ,
∈
∈
)
a
a
a
a
a
b
α =
=
nm (
n = ⇔ = b )
m n
*
α =
∈
∈
)
a > 0
r lim ( n
r Q n N , n
a
α =
lim nr a
2. Tính chất của luỹ thừa
• Với mọi a > 0, b > 0 ta có:
α
α
α
a
a
α β +
α β −
α β .
a
a
a
α β a a .
=
;
=
;
a (
α β )
=
;
ab (
α )
=
α α a b .
;
=
β
α
a b
a
b
α
β
α
β
a
a
α
α
β
• a > 1 : a
> ⇔ > ; 0 < a < 1 : a β
> ⇔ <
• Với 0 < a < b ta có:
m
m
m
m
a
b
a
m
b
m < ⇔ > ;
0
> ⇔ < 0
Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
3. Định nghĩa và tính chất của căn thức
• Căn bậc n của a là số b sao cho nb
a= .
• Với a, b ‡ 0, m, n ˛ N*, p, q ˛ Z ta có:
n
p
a
n
n
n
n
n
(
a
pa
a
;
m n
mn a=
n a b .
=
) ( a
> ; 0)
=
b (
> ; 0)
n
a b
b
m
n
p
q
m
Neáu
n thì a
a
a
=
a (
> ; Đặc biệt
0)
mn a=
p q = n m
ab =
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 1
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
• Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n
.
n b<
a
Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n
.
n b<
a
Chú ý:
+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu n a .
+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.
4. Công thức lãi kép
Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.
r
Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là:
C A =
(1
+
)N
VẤN ĐỀ II: LOGARIT
1. Định nghĩa
α
b a α= ⇔ =
• Với a > 0, a „ 1, b > 0 ta có: loga b
a
0,
≠
1
Chú ý: loga b có nghĩa khi
0
> a b >
b
b
b
• Logarit thập phân:
lg
=
log
=
log
10
b
b
e
(với
)
• Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln
=
=
≈
2,718281
+
loge
lim 1
n
1 n
2. Tính chất
log
b
a b
a
• log 1
0
log
log
b= ;
b b= (
> 0)
a = ;
a a = ; 1
a a
• Cho a > 0, a „ 1, b, c > 0. Khi đó:
b
c
>
b c ⇔ >
+ Nếu a > 1 thì log a
log a
b
c
>
b c ⇔ <
+ Nếu 0 < a < 1 thì log a
log a
3. Các qui tắc tính logarit
Với a > 0, a „ 1, b, c > 0, ta có:
α
b
c
bc
b
c
b
b
−
)
=
+
α=
• log ( a
log a
log a
• log a
log a
log a
• log a
log a
= b c
4. Đổi cơ số
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 2
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
Với a, b, c > 0 và a, b „ 1, ta có:
c
c
b
c
c
•
=
=
log b
hay log .log b
a
log a
b
log a log a
c
c
b
•
•
=
α (
≠ 0)
=
α
log a
log a
log a
a
1 α
1 log b
Bài tập cơ bản HT 1: Thực hiện các phép tính sau:
3
1)
2)
3)
a
log 4.log 2
log
loga
2
5
.log 9 27
1 25
1 4
log
2
3
log 3 2
log 2 9
log 27 8
4)
5)
6)
4
9+
log
8
27
4+
2 2
1/3
a
a
3
4
+
4 log
5
log a
3
81
7)
8)
9)
2 log 2 9
log 6.log 9.log 2 8
3
6
.log a 7 a
log
1 a
2
4 log 7
log 8 7
log 4 5
log 5 3
log 36 9
9
log 6 5
10)
11)
12)
+
+
81
27
3
25
49+
5 − 3
2 log 3
log
27
1 log 3 6
1 log 2 8
9
2
125
13)
14)
15)
+
+ 1 log 4 3
−+ 4
5
4+
9
log
3.log 36 3
6
HT 2: So sánh các cặp số sau:
3
vaø log
vaø log
vaø log
1)
2)
3)
log
2
0, 34
log
4
0,2
log 4 3
0,1
1 3
2 5
3 4
5 2
3 4
log
6
1
log 3 6
1 2
vaø
vaø
4)
5)
6)
vaø
log
log
2
3
log 150 13
log 290 17
1 80
15
+
2
1 3
1 2
HT 3: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
1)Cho
a= . Tính
log 32 theo a.
log 14 2
49
2)Cho
a= . Tính
log 15 theo a.
log 3 15
25
.
3)Cho lg 3
=
0, 477
. Tính lg 9000 ; lg 0, 000027 ;
1 log 100 81
4)Cho
log 28 theo a.
a= . Tính
log 2 7
1 2
HT 4: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
theo a, b.
1)Cho
a= ;
b= . Tính
log
log 7 25
log 5 2
3 5
49 8
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 3
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
2)Cho
a= ;
b= . Tính
log 1350 theo a, b.
log 3 30
log 5 30
30
3)Cho
a= ;
b= . Tính
log 28 theo a, b.
log 7 14
log 5 14
35
4)Cho
a= ;
b= ;
c= . Tính
log
63 theo a, b, c.
log 3 2
log 5 3
log 2 7
140
VẤN ĐỀ III: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
1. Khái niệm
1)Hàm số luỹ thừa y
là hằng số)
x α= (a
a a a
Tập xác định D
Số mũ a
Hàm số y
x α=
D = R
= n (n nguyên dương)
y
n x=
a
D = R \ {0}
= n (n nguyên âm hoặc n = 0)
y
n x=
a
D = (0; +¥
)
là số thực không nguyên
y
x α=
n
1 n
y
y
x n N
Chú ý: Hàm số
không đồng nhất với hàm số
.
x=
=
∈
(
*)
x
y
a
2)Hàm số mũ
a= (a > 0, a „ 1).
• Tập xác định:
D = R.
• Tập giá trị:
T = (0; +¥
).
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
• Đồ thị:
y
y
y=ax
y=ax
1
x
1
x
a>1
0 y x (a > 0, a „ 1) = loga • Tập xác định: D = (0; +¥ ). • Tập giá trị: T = R. • Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. • Nhận trục tung làm tiệm cận đứng. • Đồ thị: y y y=logax y=logax x 1 x O 1 O 0 a>1 x e x 1 ) x e • • • =
1 + 1
x
) = + = =
1 x lim(1
x
→
0 lim
x
→
0 lim
x
→
0
lim 1
→±∞ x
1
x +
ln(1
x −
x α α ′
) ′
) ′ (
x (
u αα −
x • = 1 (
x > ;
0) = αα −
1.
u
u > 0 u 1 n n ( ′
) ( ′
) x u Chú ý: . = = n −
1 vôùi x
vôùi x neáu n leû ≠ 0
neáu n chaün
n
n x n
n
n u −
1 x x u u ′
) ′
) a a (
a a • (
a ; ¢ = = ln a u
ln . u ′
)x ′
) (
e (
e ¢ x
e
= ; = u
e u
. ¢ u ; log = = • ( ′
) ( ′
) a x log
a a x a u 1
ln u
ln ¢ ( ′
) ( ′
) u ln x = (x > 0); ln = 1
x u
u ¢ x −
1 +
1
x 2) 3) x x lim
→+∞ 1) lim
x
→+∞
1
+
lim 1
x
→+∞ x
x x
2
+
1
−
2 1 x
x
+
x x +
1
3 4) 5) 6) x x x lim
→+∞ lim
→+∞ lim
→+∞
x
2
x x
x
2 x
+
1
−
1 x
+
1
−
1 x
3
x
3 −
4
+
2 x x 2 e 1 1 7) 8) i) lim
e
x
→ lim
x
→
0 ln
x −
e e
lim
x→
x
1 x
− −
x
3 e
−
−
1 x x x sin 2 sin x
− e e e 1
x x e k) l) m) x lim
x
→
0 lim
x
→
0 lim
→+∞ −
x e
−
x
sin 2 x 2 3 2 4 5 y x x y y 1) 2) 3) = + +
1 = = x
+ −
2 x
x +
− 1
1 x + 1 3 1 − x
2 y y y 5) 6) 4) 3
cot 1 = 2
x
+ = 3 sin(2
x +
1) = 3 1 + x
2 2 x x 11 3 x
+ + 1 5 9 3 4 y x y y 7) 8) 9) = 9 + 6 = = sin 2 +
4 x x
− + 1 y y y x 1) 2) 3) 2) x
e 2(
x 2(
x x
x e−
2 ) x
2 .sin x
− +
2 = = + −=
e x x 2 x x − 2 e e + x 1
3 y y y 5) 6) 4) = x e
. 2x
e += = x x 2 e e − x
3 x x cot cos y y y 7) 8) i) = x e
cos . 2 .x
e= = 2 x x
− + 1 x 2 y y y e 1) 2) 3) x
log (cos ) = x
ln(2 x
.ln(cos ) + +
3) = = 2 2 3 y y y 4) 5) 6) x
log (cos ) = = − x
cos ) x
(2 x
1)ln(3 = − x
+
) 3 x
log (
1
2 x
ln(2 + 1) 1) y x y y 7) 8) 9) (
x )2 = ln + +
1 = = x
ln(2
x
+ +
1 x
2 + 1 2 x − x 2 y xy y y y e 1) 2) = x e
. ; ′ = −
(1 2
x y
) 1) ;x
e x
= +
( ′ − = x x 4 x
− x
− − 2 ′′ ′′′ y y y e y 3) 4) = a e
. + b e
. ; + y
3 y
+ =
2 0 e
2 ; y
13 y
12 0 = + − − = x
− ( )4 ′′ ′ y e y y x y 5) 6) x
.sin ; y
2 .cos ; = + y
+ =
2
0 x
−=
e y
+ =
4
0 ¢ ¢ y = ¢ = y xy x y xy e ; ln 1) 2) = ln ; + =
1
y y
1
x 1
+ +
x x 1 ln
1
+
1
y x y 2
x y y 2
x y 3) 4) = x
sin(ln ) + cos(ln ); xy
+ ′ + ′′ =
0 = ; 2 ′ = 2 2
x y
( + 1) x 1
(1 +
− x
ln
x
ln ) 2 - ¢ 1) x
+ +
1)
3 f x
2 ( ); f x
'( ) x
e x
( f x
( ) = = 3 x x 2) f x
'( ) + f x
( ) = 0; f x
( ) = ln 1
x x x 2 1
− 1 2
− e 3) f x
'( ) = 0; f x
( ) = + e
2. x
+ −
5 7 0 x a a a Với : > 0, ≠ 1 b log
a >
b
b
= ⇔
x
= g x f x
( ) ( ) a a a a Với : > 0, ≠ 1 f x
( ) g x
( ) = ⇔ = M N a a Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: a
( 1)( ) = ⇔ − M N
− =
0 g x f x
( ) ( ) a b = ⇔ f x
( ) = ( )
b g x
. ( ) log
a t a > 0 f x
( ) , trong đó P(t) là đa thức theo t. • Dạng 1: P a
( ) = (cid:219)
0 f x
( ),
=
0 =
t
P t
( )
f x
2 ( ) f x
2 ( ) • Dạng 2: a
α β b
γ ab
( f x
( )
) + + =
0 f x
( ) t b f x
Chia 2 vế cho 2 ( ) , rồi đặt ẩn phụ = a
b f x
( ) f x
( ) f x
( ) f x
( ) a b m t a b • Dạng 3: + = , với = ⇒ ab = . Đặt
1 1
=
t f(x) = g(x) (1) Xét phương trình: • Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1). • Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất: ñoàng bieán vaø nghòch bieán (hoaëc ñoàng bieán nhöng nghieâm ngaët). c ñôn ñieäu vaø haèng soá f x
( )
f x
( ) = g x
( )
g x
( )
• Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì ( )
f u = f v
( ) u
v
⇔ = 0 0 2 2
A B • Phương trình tích A.B = 0 (cid:219) • Phương trình + = ⇔
0 0 0 =
A
=
B =
A
B
= f(x) = g(x) (1) Xét phương trình: M M ≥ = Nếu ta chứng minh được: thì (1) M M = ≤
f x
( )
g x
( )
f x
( )
⇔
g x
( )
x x 3 1
− )2 1) 2) ( 3 − 2 2 = +
3 2 2 9 x
8
2
−=
3 2 2 2 x x 5 2 7 x
− +
3
2 x
+ +
6 x
+ +
3 3) 4) 2
5 x
− −
7 x
2
5 .35 + x
7 .35 =
0 x
4 x
4 4 + = +
1 2 2 2 2 2 −
1 +
2 −
1 x− 5) x
5 4
+ =
25 x
2 x
2 x
3 x
3 + = + 6) x + 7 2 2
− x 4 3
− . = 2 2 = 7) 8) x
1
2
x
1 2
−
1
2
1
2 x x 1 1
+ 1
− 9) 10) x
3 .2 x + =
72 x
5 + 6. 5 – 3. 5 =
52 x 1
− x
x 1
−
1
+ x
x +
− 10
10 x
5
+
x
15
− ) ( ) 11) 12) ( 16 = 0,125.8 5 + 2 = 5 − 2 x x + 1
+ 2 x 2 1) 2) 3) x
5 .2 x
1
2
−
x
1
+ =
50 x
3 .2 3
x + =
6 4
2
5
3
1
=
7
x x 1
− 1
+ 2 2
− 2 5) 6) 4) x
3 .8 x
x + =
6 x
4.9 = x
2
3 2 2 x
.3 = 1, 5 x 2 2 7) 9) x
5 .3 x =
1 8) 3
2 x
2
3 = x
3 .2 x =
1 x x x x + + 1
+ 1
+ 8 5 2) 1) − =
0 x ++
1
2 − 4 4 8 x
6.2 + =
0 8 3) 4
3 − 2
4.3 + =
0 27 2 2 x x x
− x x
+ − 5) 6) x
4) 16 − 17.4 16 0 x
49 x ++
1
7 8 2 − 2
2 =
3. + = − =
0 x x x x x cos 2 2
cos + 5 1
+ ) ) 8) 7) (
7 + 4 3 (
+ +
2 3 = 6 9) 2
3 − x
36.3 + =
0 9 4 4 + =
3 2 2 2 2 x x x
+ +
2
1 x
+ +
2 +
2 −
1 −
1 10) 11) 2
3 x
28.3 9 x
4 x
9.2 8 2
3.5 x
2.5 0,2 − + =
0 − + = 12)
0 − = 2
− 2
− x 2) + − =
0
7 x
1) 25 x
).5 2(3 − − x
3.25 + x
(3 − x
10).5 x
+ − =
0 3 x 3) 3.4 x
(3 x
10).2 3 x
4) 9 x
2( x
2).3 x
2 + − x
+ − =
0 + − + − =
0
5 x x 2 2 −
2 −
2 x 6) 5) x
4 .3 +
1
3 x
x
2.3 . 6 x
3.25 x
(3 x
10).5 3 + + = x
+ +
2 + − x
+ − =
0 x 8) x
x
7) 4 +( 8 2 +12 2 1 – ) – x
( x
4 9
). x
5 3
). x =
0 + x
− +
( + =
0 2 2 2 2 9) x
−
10) 9 x
−
2).3 x
2( 4) x
− +
( − + =
0 x
4 + x
( x
7).2 − + −
12 x
4 =
0 x x 3) x
= 2) 3.16 x
1) 64.9 x
27.16 x
84.12 x
2.81 + − + 0 = x
5.36 2
6.3 − x
13.6 + 2
6.2 =
0 x x x x +
1 4) x
25 + x
10 = 2
2 5) 27 + 12 = 2.8 x
6) 3.16 + x
2.81 = x
5.36 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 7) 8) 9) 6.9 13.6 6.4 −
4 −
6 −
9 6 9 2.4 − + =
0 + = 1
x
+ = x x x ( ) ) ) 10) (
7 + 5 2 + 2 − )(
5 3 + 2 2 (
3 1 + + 2 + −
1 2 =
0. x x x x ) ) 2) ( ) ( ) 1) (
2 − 3 (
+ +
2 3 =
14 2 + 3 + 2 − 3 =
4 x x 3 ) ) 4) (
5 − 21 (
7 5 + + 21 = x +
2 3) (2 + x
3) + +
(7 4 3)(2 − x
3) = 4(2 + 3) x x 7 7 ) ) 6) 5) (
5 + 24 (
+ −
5 24 =
10 = 8 +
3 5
2 −
3 5
2
x
+
7
x
2 x x x x − ( 2
1) x
2
1
− − 4 ) ) 7) ( ) ( ) = 8) (
2 + 3 (
+ −
2 3 2 − 3 6 − 35 + 6 + 35 =
12 x x x x 3 ) ) ) ) 9) ( 10) ( (
16 3 x +
2 (
+ −
3 x
7.2 x x x x 3 3 ) ) 12) ( ) ( ) 11) (
7 3 + 5 + − 5 = 3 + 5 5 − =
0 (
3 2 + 4 3 − − 3 + =
0 2 3 + 8 + 3 − 8 =
6. x x x x x x ) ) ) ( ) ( ) 2) ( 1)(
2 (
+ +
2 3 − 2 + 3 + 2 = 10 x x 3 x
) x
) ) ) 3) ( 4) ( − 3 3 =
4 (
+ −
3 x
=
6 (
16. 3 x +
2 x x x 5) 6) ( ) ( ) x
2 3 + 2 2 2 2 3 + 5 + − 5 = x
=
2 7
5 + =
3
5 2 x x −
1 9) 7) 2 + + = x
5 x
3 x
10 x
8) 2 x
+ =
5 x
3 2 + 3 + 2 − 3 x
x
−−
2 2
= −
1) x
( x x 12) x
10) 3 5 x
11) 2 x
12 x
4 x
= −
2 = −
3 + − = −
1 2 2) x
1) 8.3 + x
3.2 = + 24 x
6 x
12.3 + x
3.15 − x +
1
5 =
20 x
− 3 x x 3) 8 − x
.2 + 2 − =
0 x
4) 2 x
+ = +
1
6 x
3 2 2 2 2 2 x x 5 x
2. 7 x
− +
3
2 x
+ +
6 x
+ +
3 + )2
1
+ 5) 6) 4 x
1
−+
2 (
x
2 = +
1 x
4 x
4 4 + = +
1 3 2 −
1 −
1 x 7) 2
x 8) 2
x x
.3 x
3 (12 x
7 ) x
8 x
19 x
.3 x
(3 x
2 ) x
2(2 x
3 ) + − x
= − + − +
12 + − = − 2 2 2 2 y x x ) x
+ x
+ sin xy 9) 10) 4 1 sin
+−
2 cos( ) + 2 =
0 x
2(
2 x
−
1
2 x
2(
2 x
−
1
)
.2 1 + − − =
0 x x 10 4 x x 1) với x ‡ 0 2) 3) x
3 x
6 2 6
− + = − + −
2
x
6 x
2 = cos , sin3 = cos 2 3 2 x sin x x 1 x 2 5) 6) 4) 2 x x
−
2 = 2.cos 3 x
−
3 = +
+
x −
x
2 2 2 7) 8) x
3 x π = cos x
5 1 3) = x
cos 2 = x
cos 3 x
4 x m
+ + =
3
0 xm+
3 x
2) 9 x
1) 9 − = 1 0 x
+−
2 m
= x x
m− x m 4) 23 x
2.3 x
3).2 0 1).2 x
6) 25 2.5 0 + m
− +
( x
= 5) 2 m
+ +
( + =
0 − − − =
2 x m 7) x
8) 25 + xm
.5 + −
1 m
2 =
0 x
16 2
1).2 m
− −
( + − =
0
1 2 2 2 x x sin −
4 2 + x m
= 9) 10) 81 2
c
os
81 3 x
−
2
2.3 m
2 3 0 − + − = x x x + +
1 3 x
− + +
1 3 − m 11) 4 14.2 8 − + = 2 x
+ −
1 1 12) x
9 2
x
+ − − x
8.3 m m m
+ = 4 2) 1) − = x
−+
2 x
.16 x
2.81 x
.2 + 0 5 = x
5.36 x x 7 7 ( 3) ( 4) )
1 )
1 x
=
2 = 8
x
+
m
x
+
3 5
2 −
3 5
2 x 3 5) 4 3 x
+−
2 m
+ = x
6) 9 xm+
3 + =
0 1 x 2 +
1 m m m 1) m + 5 − 5 + x
1).4 m
3 m
( (3 1 x
49 1).7 2 + =
0 + + − − m
+ −
( + − =
0 x m m m m x
3) 9 3( x
1).3 m
5 2 4) ( x
3).16 (2 1).4 + − − + =
0 + + − + + =
1
0 m 5) x
6) 4 6 x
4 2 8 x
2
− + m
= . − + − =
0 (
m )
x
1 2 +3 m 1) có 2 nghiệm dương phân biệt. x
5.36 x
.16 = + x x m m m có 3 nghiệm phân biệt. x
2) 16 .8 (2 1).4 x
.2 − + − = 2 m 3) x
4 6 2 2
x
+−
2 + = có 3 nghiệm phân biệt. 2 2 x m 4) x
4.3 − 9 8 + = có 3 nghiệm phân biệt. b Với a > 0, a „ 1: a x a b log x
= ⇔ = = g x
( ) Với a > 0, a „ 1: f x
( ) = g x
( ) log
a log
a f x
( )
f x
( ) > 0 ( hoaëc g x
( ) > 0)
⇔
log a f x
( ) a Với a > 0, a „ 1: log b
= ⇔ b
a
= a f x
( ) Chú ý: • Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa. c a log
b log
b a • Với a, b, c > 0 và a, b, c „ 1: c= x 2) 1) 1) + − =
1 log 1 log
2 2 3) 4) 1) − +
3) − =
3 x x
(
− =
1)
x
log (
2 x
log (
2 1/8 5) 1) 2 + −
3) − = − x
6) lg( − +
2) x
lg( − = − 3) 1 lg 5 x
log (
4 x
log (
4 log 8
4 x 7) − −
2) − = 3) x
8) lg 5 − +
4 lg + = + 2 1 lg 0,18 x
2 log (
8 x
log (
8 2
3 2 9) 10) 1 / log 2 + +
3) − =
1) − −
2) 6.log x
3 − =
2 5 x
log (
2 x
log (
2 x
log (
2 5 x x 12) 11) log + − =
)
2 − =
6) − +
1
2) x
log (
3 x
log (
3 4 log (10
4 1/5 − −
1) log x
( + =
0 2) x
log (
5 13) 1 26) 2 − +
1) + =
3) − 14) + −
8) + + =
0 x
log (
2 x
log (
2 log 10
2 x
log (
9 x
log (
3 2 2 2) 1) x x x x
lg( 1 1) x
lg( 2 lg(1 + − + − + =
1) x
−
) 1/3 3 3 2 2 =
6 log log log + + 3) 4) 2 x
lg(4 1) x
4 x
lg( 19) 2 lg(1 x
2 ) + − + − + = − 8 1/16 4 x x x 5) 6) log log log + + =
11 log x
( − +
1) log x
( + = + 1) 1 log (7 x
−
) 4 8 2 1/2 1/2 1/ 2 x x x x 7) 8) = = log log
2 2 log log
3 3 log log
2 3 log log
3 2 x x x x x 9) 10) log log log log log log + = = log log
2 3 log log
3 2 log log
3 3 2 3 4 4 3 2 x x x log + log + log =
5 x x 2) 1) x
2 ) x
log (3
3 = − − 3 − = −
2 8) log (9
2 3) 4) x
−+
7 ) − − = −
1
1 x
log (4.3
3 ) x
− log (3
5 5) 6) x
2 ) 5 − = x = + 1 x
2 1) log (6
7 log (9
2 x
log (3.2
2 − − − = x
2 1) 1 0 8) 7) x
2 ) x−
3 ) 9) 10) 1
+ − x
25 ) x − = − 5 = 2 log (12
2 log (26
5 1
+ − =
x x
log (5
2 x
log (3.2
4 x x 11) 12) log (5 1
+ − x
25 ) = − 2 log (6 1
+ − x
36 ) = −
2 1 1 6 5 2 2 2) 1) = 2 5) x 5 1 x x
(
− − 2 3 2 3) 4) x
− +
2 =
2 65) log log x
( − + =
5) 1 x +
1 5) log 1) 6) log ( − =
2 x x x + =
2)
2 x−
(
3 2 2 x− + =
2 3) 8 log x
(2 + x
2 − + =
1) x
3 3 x
log (5
x 7) 8) x x x
log (
2 3 + 2 2 9) 10) x x− + =
2 6) 5 log x
( − =
1 ) 2 2 11) 12) x− +
7 12) = 2 x− − = 4) 3 2 x
log (2
x x
log (2
x x x − =
1 x x
log (
2 2 2 13) x− + = 6) 5 2 log ( 2) x x 3 5 2 + 16) 15) log = − 2 log x
(9 + + = 14) x
8 2) 2 log + =
1 1) x+
(
4 x 15
x
−
2 1 x−
2 ) = 1 log (3
2
x 2 17) 18) 2 x x 3 + x− + =
4) 5 2 log x
( + =
1 3) x
log (2
x 2 x x x x x 1) 2) log + 3 log + log =
2 log log 1 0 + + − =
5 2 1/2 2
3 2
3 2 2 x 3) 4) − log + =
0 log 2
x 4 2 7
6 2
log 4
1
2 2 x x x 5) 6) log + 3 log + log =
0 x + log =
8 x
8 2 1/2 2 7) 8) log x − log =
2 log x − log =
2 5 7 1
5x 1
7x x 9) 10) 2 log x − =
2 log 3 log − =
0 5 2 x
log 4
2 1
5x 3 3 x x x 12) 11) 3 log − − = 1 0 log + log = 4 / 3 3 x
log 3
3 2 2 3 3 x x x 13) 14) log − log = − 2 / 3 log + 2 log =
0 2 2 2
2 4 1
x + =
3 log 64
x
2 log 16
2
x x 15) 16) x
− −
) 8 log (2 − =
5 ) 2
5 25 2
log (2
2 1/4 x log + x
4 log 5 − =
0 5 17) 18) log 5 + 5 log x x
log 5
x 2
x 9 9
= +
4 19) 20) + = 1 + = 1 x x x x 1
−
lg 4 2
+
lg 2 1
−
lg 5 3
+
lg 3 2 3 x x x 21) log 14 log 40 log − + =
0 x x 2 x
16 4 x + log =
1 log 3
2
x x 2 log
2 log 6
2 x x 1) 2) 12)log 11 0 x
+ −
( x
+ − = 3 2
log
3 6.9 + x
6. = x
13. 3) 4) 2
2 2 2
2 2 2 x x x x x .log − x
2( + 1).log + =
0 4 log x
+ −
( 1)log x
= −
2 6 5) 2 x
− x x 8) 7) x x
( + + +
1) x
4( + + − = 6)
16 1) 0 x
+ +
) log =
2 x
2)log (
3 x
1)log (
3 log (2
2
x 4 log − −
1 log =
4 2
x
log (
3 3 3 2 2 9) + + − 1) x
( x
+ − + =
2
0 1) 6 x
5)log (
3 + + + 2) x
3 x
+ +
7 12) = +
3 x
log (
2 x
log (
2 log 3
2 x x 2) 1) log 2) = +
2) − +
3) − =
2 7 log (
3 x
log (
2 x
log (
3 x log )6 (
x x 3) 4) 1) + +
1) + =
2 log + 3 = log x
log (
3 x
log (2
5 2 6 log + (
x )
3 7 ) x x 5) 6) + = log 4 x
= (
log 1
2 3 x log 9
2 log
2 log 3
2 x x x 7) = 2.3 − 2 8) 2
x
4 ) x x 3 7 2 3 + + 2 2 2 (
x x (
x x (
x x 9) )
1 .log log − − + )
− =
1 − )
−
1 log
2 3 6 log (9 + x
12 + + log x
(6 + x
23 + 21) =
4 x x log log log 3
2 2 2 2 1) 2) 2
x + log 5 (
x 3) 4) 3) 3 )x x
+ = − x
− = x
log (
5 log (3
2 x log 2 2 x x x 3 = 5 + = >
0) 5) 6) 7) x x − − + =
6) + +
4 2) x + 2.3 =
3 x
log (
2 x
log (
2 x x x x x x x x 1) x
4( − − +
3) x
15( + 1) x
2) log (
2 x
log (
3
2)
− =
2.log .log .log 3.log = +
2 + + =
3 + 7 2 7 log
2 log
2 3 3 log
2 2 x x x ( 2 log = log .log 2 + −
1 )
1 3) ( ) 9 3 3 3 2 2 (
x x x 1) 2) )
1 2
ln(sin ) 1 sin − + =
0 2 8 x x 1
+ 3) 2
2 3 2
−+
2 = 2 4) x
4
− + x
log (4
3 x x log + − = − 1 x 1) 1 x m
− = + có 2 nghiệm phân biệt. (
log 4
2 2) 3 2
3 2 2 2 2 x log x m
−
( + 2).log + m
3 1 0 − = có 2 nghiệm x1, x2 thoả x1.x2 = 27. 3) có 2 nghiệm x1, x2 thoả 4 2
1 2
x+ > .
2 3 x x 4) log m
2 1 0 + + −
1 − = có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
1; 3
.
2
3 2
log
3 mx x x
2 log (2 x
− + m
2 − m
4 ) = + − m
2 ) 1 x
log (
2 5) ( )2 2 2 x x m 4 log + log + = có nghiệm thuộc khoảng (0; 1). 0 Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như: • Phương pháp thế. • Phương pháp cộng đại số. • Phương pháp đặt ẩn phụ. • ……. 5 y
4 1) 2) 1 y
32 + =
y
x
2
y
− =
x
2
=
x
2
x
=
4 y −
1 8 4) 3) 2 =
6
− y
2 19 = 4 − =
y
x
3
1
y
+ =
x
3
x
x
7 1) 2) = 144 = 6 − =
x
y
4
3
x y
4 .3
+ =
x
y
2
3
17
x
y
−
3.2
2.3
y + x + 2 + 2 x
2.3 y
2
2 = 17 4) 3) =
56
y
1
+ + +
1
+ + y
3.2 = 8 x
3 87 + =
2
3
x
2.3
+
x
2
x
3.2
2 2 x x x +
1 2( − 1) y
− = −
2 4 − 4.4 y
−
1
.2 + y
2
2 = 1 5) 6) 2 x x +
1 +
1 − − y
2 = − 1 3.4 y
1.
.2 = 4
3
3
4
−
y
2
2
2 2 y x
− y x )2 = 1 = 7) 8) 2 y
− 2 = y
3
y
2 y
+ =
) x
6
2cot
x
cos
+
x
(
x
9(
x 77 y
( x xy
)( + 2) 10) 9) 2 2 2 − =
y
23
2
x
y
− =
3
2
7
− = −
y
x
2
2
+ =
x
y
y 1 11 1) 2) x 1 11 = +
x
y
3
2
y
= +
x
3
2
+ = +
x
x
3
2
y
+ = +
y
3
2
x −
1 y
= −
6 5 4) 3) y y
2 2 −
1 y 3 x
= −
6 5 − = −
y
x
x
2
2
+ + =
x
xy
7
7
x 6 log = 2 y 1) 2) x y log = 3 6 2 2 + =
x
y
log
+
x y
+
log
x
y
+ =
2 2 y log 4 3) 4) =
y 2
log = 2 2 (
x )
y
− = 3 5 +
x
x
−
2
y log
2 + 2 = 3 3 5) 6) = 4 9 =
xy
32
x
log
y
x
log
y
=
x x y + log ) = 5 x y 1 2 x 8) 7) 1
3 y
8 log − = 3 3
2(log
xy
= − + − =
2
x
y
3 log (9 )
9 2 log 1 − =
x
y
3
(
)
y
x
+ −
log
− log = 0 3 3 9) 10) 3 3
12
3 2 x log = 1 y
2 0
1
x
y
log
2
+ − =
x
y
+ = 2 −
y
y
=
x 1) 2) + y
4 )
x
4 ) = 2 + = 2 )
)
x
log (6
x
y
log (6
y 2 y 2 log − = − 2 + y
3 = 2
(
x
log 3
x
(
x
log 2
y 2 3) 4) y x
x y − log = 1 x y 4
x
y
log
+ = 4 4 3
2 3
2
log 1
2
log
y x 2 2 log
2 log
2 y + + = 4 6 y − log = 1
log
log
2 5) 6) y + = 16 (
x
x y )
=
1 + log 2 2 3 3
log
log
y x y x log log log
2 log
2 3 3 + y
2. = 10 x y log 2 − =
x
log
7) 8) 2 + y
2. = 27 x y + log = 2 3 3 4 2
x
3.
log
= 4 2 y x log 1 − =
x
log
9) 10) y + − = 2 2 )
2
) 2 (
)
xy
x
=
y
log
log
x + − = 2 2
(
x
log 2
x
(
y
log 2
y y 1) 2) lg + 4 = 6 −
y
x
2
x
(
x
4
x = 1000 − y
2 + log = 9 36
)
x
lg
y
lg
x
x y lg lg y x
− 4 y )3 = 3) 4) =
lg 4 lg 3 = y
(3 ) 5
27
x y y + = − )
3
x
(4 )
+
x
(
x
3 log (
5 2 x x y − 2 log + =
5 0 5) 2
1
y
= 32
2 log
xy
− y
2 x y − x log 4 2 y ) 3 1) 2) x y =
− log = 1 2 2 4 (
x x
1
=
3
)
y
+ +
log (
x )
y
− =
2
log
2 2
(
log
y x log log = 18 8 8 3) 4) y 1 log (
x )
+ = − y + = 4 4 4 1
3
y
x
3 .2
y
−
2 x y
− y
x x
y 3 x y − log = 1
x
log
6) = (
x (
x ) x
1
=
3
y
+ +
) y
− =
) 4 3 3 x
log (
2 +
4
log
5) (
)
x
log (
2 972 = 7) 8) 2 2 =
(
x )
y
− = 1152
)
y
+ = (
x 3 5
y
x
3 .2
log
−
y
x
3 .2
log
x y xy log 3 xy
( log 2
)
3 y y 10) 2 y y
3 12 )
− (
x
= −
y
log = )
1 2 2
= +
2
4
+ − − =
2
x
x
3
+
9) (
x
x
log
2 y x log log 3 3 x = log y y 1 log + 32
)
− = − y 11) 12) xy
x x
2 log
y y
2 = 27 y
= +
4 3 3 3
log
y
x +
y log − log = 1
x
• Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ. 1 g x
( ) g x f x
( ) ( ) a a > a 1
g x
( ) >
a
f x
( )
>
⇔ < <
0
f x
<
( )
• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ: – Đưa về cùng cơ số. – Đặt ẩn phụ. – …. Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: M N a a M N a
( 1)( > ⇔ − − >
0
) 6 x x 32
x − +
1 − x 1 x
− − 2 x x 2 − 1) 2) 3 ≥
1
2 1
1
<
2 1
3 x x + 2 + 3 + 4 + 1 + 2 1 2 − − x 3) 4) x
2 x
2 − x
2 − x
5 > x
5 − 2 2 x x x
− +
3
2 x
− +
3 2 3 3 + + −
1 5) 2
6 < x
2 7
.3 x
9 − x
6 <
0 6) 2 2 2 1 + x 2 2 2 2 3 + 3 − 3 <
11 7) 8) x
.2 x
3.2 x
.2 x
6. + x
x
3 . + +
1
3 < x
x
2.3 . x
+ +
3
9 x x +
1 +
2 +
1 +
2 3 4 2 +
1 + + + 9) x
7.3 x x x
4 + + > + + 12 x
8 x
5 x
3 x
5 x
9 + x
9 + x
9 x
< +
4 4 + 4 10) 2 1 2 + + + − 11) 12) x
2 x
5 x
5 x
2 x
3 36 + x
2
< + 1
. 2
+ > x +
1 x x
x x
x −
3
−
1 +
1
+
3 x
−
1 ) ( ) ( 13) ( 14) ( 10 + 3 < 10 − 3 2 + )
1 ≥ 2 − )
1 1
− 1
x 2 −
1 15) 16) ≤ x
2 1
x
+≥
3
1
2 2 1
2 x x 2
− 2 + ≤ + 1 2 − − x 1
x 1
x 2) 1) 2.14 x
3.49 x
− ≥
0 − x
( 2) 4 − 1) x x x x + 2
3 4) 3) x
4 x
2(
2 − + 8 >
52 8.3 41
++
9 > 9 + 4 4 − 2 − ≤ 0 3 x + + 1 1 6) x
5) 25.2 − x
10 + >
25 x
5 2
5 x
6 + > +
30 x
x
5 .30 x x x x
7) 6 x
2.3 x
3.2 8) 27 + 12 > 2.8 x 1
+ 1
x 1
x 1
x 2 9) 10) − − + ≥
0 6 x
3 x
2
1
+−
2 − 12 <
0 2 x x x x x
+ + + 4 4 2
− +
1 2
− +
1 x x
− 11) x x
2
25 + 2
9 ≥ 2
34.25 12) 2
3 − x
8.3 − 9.9 >
0 x x + − 1 + − +
1 1 x
) ( x
) 13) 14) ( 49 − 35 ≤ 25 x
4 x
5.2 − + ≥ 16 0 x 1 + 1 1
x 15) 16) − 128 ≥ 0 3 + 2 + 3 − 2 ≤
2 2
1
x
3 3
1
4 x −
1
−
8 + 1 − 2 1
x 1
x 3 12 + >
1
3 17) 18) (
x
2
2 + −
1 x
9.2 )
4 . 2
2 + 2 <
9 x + + − ≥
0
3 x
2 12 1 1) 2) x
x < +
2
2
3
1 ≤ 0 x
x
− − +
2
− x
2 1 x
2.3 x x + + 4 2 4 4) 3) 3 + 2 >
13 ≤ 1 x
3 x
+−
2
2
x
−
2 23 3 x
2 x
3 x
+ − 4 5) 6) ≥ 0 > 0 2 x x
− + −
x
−
2 4 x
− − 6 2 2 x 7) 3x 2x x
3 .2x 3x − − + + >
2 x
5 − − + + x
5 2 )2
2x 3 ( x m m xm
.2 1) 4 x
2) 9 xm
.3 2 x x 2 1
− ( m 4) ( x
3) 2 + + ≤
0
3 − − + + ≤
3
0 x
2 )
1 2 + + 2 − )
1 + =
0 m m 1
m+ + +
7 m
− ≤ 2 + < , " x > 0.
0 x
1).12 + −
(2 1) (3 x
).6 x
3 + m
( − x
1)4 + x
2 + + > , " x.
1 0 x m 2
m+ 3) [0; 1]. 4) x
.9 (
m
2 )
x
1 6 x
.9 m
+ −
( x
1).3 + − > , " x. 0 1 x x cos cos x 2 m m m − + + .4 ≤ , " x ˛
0 5) 6) 4 + (
2 2 + )
1 2 + m
4 − < , " x.
0 3 x
3.2 x x m (0; 1) 7) 4 m+
1 4 − − ≥ , " x.
0 x
8) 3 x m
3 x m 0. 10) x
9) 2.25 − (2 + x
1).10 m
+ +
( 2).4 ≥ , " x ‡
0 x
14 xm− −
.(2 + > , " x.
0 1) − − ≥ , " x ˛ 2 0 + +
3 5 − ≤ , " x. + 1 1
x 2
x +
1 2
x 1
x > 12 + 3 (1) > 2 8 (1) 1) 2) 2 − < mx m
2 − −
( 2
1) 0 (2)
1
3
2 x (
m x m −
2
x
4
2
)
2 − 3 − )
6 − − < 1 0 (2)
1
3
−
(
m
• Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit. 1 g x
( ) > 0 f x
( ) > g x
( ) log
a log
a a 1 < g x
( ) >
a
f x
( )
>
⇔ < <
0
f x
<
0
( )
• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit: – Đưa về cùng cơ số. – Đặt ẩn phụ. – …. Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: A log
a B B > ⇔ − A
( 0 1)( − >
0 1) log > ⇔ − a
( 0 1)( − > ; 1) 0 a B B log
a 1) 2) ) (
log 1
2 9 x < +
1 +
1) x
2 ) − − 2 log <
1 log (1
5 ( 4) 3) log log log x >
0 log 5 x
− < log 3 )
−
x 2 5 1
3 1
3 1
3 2 x 6) (
x 0 ) > )
4 log − >
0 2 log (log
1
3 1
2 x x log log 2 2
6 6 (
x 7) 8) 0 4
log log
1 x
+
1
2
x
+
1
− >
)
5
3 x x )2 log
2 log
2 9) (
2 x+ 6 x+ ≤
12 (
x )
+ ≥ + (
x )
−
1 2 2 x 12) 11) 0 − +
2) 3) log 1 3 log 2
− >
3
log log
3
≥
1
2 x
log (
1
8 2 2 x x x x 13) ( ( + +
1 > + −
1 5
)
log log
1
3 1
5
log log
3
)
2 (
x (
x 3
)
1 lg 2 1) 2) < 1 2
)
1
2 )
−
1
)
x (
x
(
lg 1 − 3
4 2 ) lg 2 x x log − 5 log 2 log
x 2 2 log + − log + > 0 x x
− −
3 4) 3) > 2 2 x x x log > 0 log .log < log + log x 3 2 3 2 (
x
x
3
− +
x
lg
+
lg 2
x
−
3
1
2 x
4 x + 1 x x + − <
0 18 x 5)
7) x
log (log (2 2 x 4 3 2 2 ) ) 10) 9) log x− + <
6
1 5 log x− +
8 16 ≥
0 x x
−
(
x x
2 (
x x
5 11) 12) log log 0 2 (
x )
+ >
1 (
x )
+
1 log
x x 1
− 2 6 log
x 1
− x
x
−
1
>
+
2
+
3 x 2 14) 13) − 4)) ≤
1 log (3 − >
)
1 x
12.2 2 ) (
x 1) 2) − x
2 < +
1 log )
+
1 (4 − + x
32).log (2 − ≤
0 1) + − x
(4 x
16 − >
0 3) − ≤
0 2 log 4 x + x (
log 1
5 log
2 5 4) 3) 2 log x − <
1 x
7).log (
3
HT 51: Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ):
3 log 125
x 5 2 x x 6) 5) x >
1 log + log <
0 x log 2.log 2.log 4
x
2 2 2
1
2 1
4 x x log log 8) + ≤ 1 + > x x x x 4 + 1
log 2 − 2
log 1 − 2
log 4
log 1 + x 2
log 1 − 2 2 2 2 2
2 + ≥
3 log 64
x
2 log 16
2
x x x x x x 10) 9) log − 6 log + ≤
0 8 log − 4 log + ≥
9 2 log −
3 2 2
3 3 3 2
1
2 2 2 11) 12) + + + >
2) x
4 1 x
+ +
4
2) < 1 + x
log (3
9 x
log (3
3 x x 1
log 5 − 2
log 1 + 5 5 x x x 14) 13) − log >
0 1 − 9 log > −
1 4 log log 100
x 100 1
2 2
1
8 1
8 x 1 + log 2
3 16) 15) log 2.log 2 > > 1 x x 1
x x log − 6 1 + log 2 3 16 x x 2) 1) + ≥ 5)log x
(2 x
( 1) + + + 6 0 x
log (2
2 2
x
log0,5 0,5 lg 3) 4) < 0 > x
+
5
x
−
5
x
− +
3 x
2 1 log log + + 2 3 3
(
x )
1 )
1 + +
1) + ≤
2 2) log (4
3 2 ) (
x 2) 1) − >
0 log 100
x log 100
m 1/2 1
2 log x m
− +
2 > −
3 x 1 + log 2
m 3) 4) + < 1 > 1 x x x 5 − 1
log 1 + 2
log 1 + log m m m 2 2 x m x 5) 6) log + > log x m
− x m
− 2 2 x log x
( − >
1) log x
( + −
2) 2 2 ) (
mx a) )
+ ≥
7 + + , " x
x m
4 (
x
log 7
2 log
2 2 2 x b) , " x ˛ [0; 2] x m
− +
2 + x m
− +
2 ≤ 5 log
2 4 log
2 (
x )
2 2 , " x. c) 2 mx 1 + + ≥
1) x m
+ +
4 ) x
log (
5 log (
5 d) , " x 1
2 1
2 1
2 x x − log − + log − + log > 0 m m m m
+ m
+ m
+ 1 1 1
2 1
2 1
2
x x +
1 2
2 x 3 −
1 1) 2) 9 x
−=
8
2
3 =
64 −
1
.4
x
−
1 8 2 11 x
+ −
2 +
1 0,5 + x
0,2 3) 4) = x
x
5
3 9
5
=
3 x
(0, 04)
25 5 x x x x x 2 + +
1 −
1 2 7,2
− x 5) 6) ( 7 − .7 − 14.7 + 2.7 =
48 x
3 3,9
+ − )
9 3 lg(7 − =
)
0 1
7 2 1 x 1
− x + x 7) 8) 3 2
) = 4 xx
5 . 8 x − =
1 500
2(2
2 x lg −
1 .
9
25 2 1
3 xx
lg 9) 10) = x
1000 3 lg 5 x log −
1 3 x +
5 lg x
+
3 ) 1 x = 100 x 11) 12) ( = 10 x =
3 2 2 2 2 x x x 2
+ 2
+ − −
5 − −
1 −
5 1) 2) x
12.2 x
4 − x
9.2 + =
0 8 + 3 1
x 3
x 4) x
3) 64.9 − x
84.12 + x
27.16 =
0 64 − 2 + =
0 12 4 − + =
0 8 2 2 x x + + 1
− 3
− 8 5 5) 6) 4
3 − 2
4.3 + =
28 2 x
9 − x
36.3 + =
0 3 2 log
2 x x x x x 2 1) +
1 + + 8) ( ) ( ) 7) 2
3 x
3 2(
3 2 x x x x x lg lg lg 2 +
1 + 3 3 9) 10) +
1 log
9 +−
1 log
3 − 210 =
0 = + −
1 6.3 + 5 + 24 + 5 − 24 =
10 2 x x x sin 2
cos lg(tan ) x +
lg(cot ) 1 11) 12) 2 + 4.2 =
6 3 − 2.3 =
1 4 − 6 − 2.3 =
0 1
− x
−
6 5
x
+
2 5 − 1 1) 2) < 2 1
+ x
2
x
2 + 1 x x x − 2lg 3 lg 2 x x 3) 4) x
.5 +−
2
5 <
0 1
+ > 1000 x x 4 4 5) 6) ≤ 2 8. x
2
+ −
x
−
1
2
> +
1
3 x
−
23
x
x
−
2
3 1) 2
x − log (
2 2 3 4 2 + + + +
1 + 7) 8) x
2 − x
2 − x
2 > x
5 − x
5 <
2
5 25
4 x 1 2
+ −
x
2 +
2
x − 1 9) 10) > > 9 x
21
3
1
3 27 3 11) > 1
1
2 x
+
2
1
11
x
−
5 −
1
>
5 x
12) 72 1
3 .
3 x
1
>
3 x x x
− . 1 1) 2) x
− +
1
5 >
0 2
2.5 x
10 − − 4 − 2 x x lg +
2 lg + 5 1
x 1
x 1
x 3) 4) −
5.6 + −
4.9 < 9.4 3 < 3 −
2 x 2 3 + x x +
1 5) 6) 25 − ≥
50 + −
1 x
16 2
2 − 21. + ≥
2 0 4
1
2 x −
2 3 x
2( − 2) x −
4 3 3 7) 8) 3 − 35. + ≥
6 0 x
4 x
−−
2(
1)
2 + 8 >
52
1
3 2 9) x
10) 9 x
+ − ≥ −
3 x
3 4 < 2 log 8 x
9 x
+−
3 > − 9 x
3 2 9 2 2) 1) x x
log (3
3 5 x x
(
− − = −
2 log x
− +
2 65) =
2 3) 4) x
log (2
7 x
log (2
7 x
log (2
3 x log (1 2 ) 2 3 x x 6) 5) x
− = 9 x
5 −
5 log lg
3
3 − lg + 2
lg − =
0 3 x log −
1 5 ) − +
1) − =
1 7) + − 7)) =
1 log (1
3 7) 1 lg
x 8) ( x
+ = x
10 2 2 x x lg + −
2 lg 7 x lg +
1 x
+
4 x x =
5 9) 10) = 10 lg
x 11) 12) x
9 = x
2 2 log + =
1 log 9 3 3
log log
3
x
x x
x −
− 3
7 −
− 3
1 1
+ +
2 x x 2) log − 3 log + =
0 2 x lg =
x
lg
2 2 log 3 log − 5 5 + =
0 1 1) ( x x 1/3 1/3 x x 3) 4) + − =
0 2 3 + 2 log 3 = +
1) x 2
log
2 2 log
2 x
2 log (
3 +
1 )2 x x 5) 6) .log x = 4 − 3 log (
x
log 9
x 1/2 2
3 (
2
log log
3
1/2 )
+ =
2
5 2 2 2 x x x 7) 8) x
log (2 ).log (16 ) = log x
lg (100 ) − x
lg (10 ) + 2
lg =
6 2 2 2
2 9
2 x x +
1 9) 10) x
2.3 ) x
log (9
3 x
log 2
2 x + = + 9) − + =
4) + −
3) log (28
3 log (4
2 log (2
2 2 1) 2) log > 0 x− + > −
6)
1 5 7 x
log (
0,5 x
2
x
2 −
− 6
1 x
3 2 3c) 4) log ≥ −
1 1/3 3 3 −
x 2 5) 6) x x log − log − <
0 3 log (2 x
− >
) log 1/3 1/4 1/4 x 2
+ 1 2 + 1) x 7) 8h) < 0 > 0 −
4
2 x
log (
2
x − 1 − 1) x
log (
1/2 log 2 1/3 x x x x
( log
2 − 9) 10) 2 + + <
8
15)
1 (0,5) x
5
+
2
+ >
3
1 log 0 x
log (
4
− >
5)
x y
+ 2
− −
1
) = 128 = 1 2) 3) 1) x 3 3 4
y
− −
2 12 1 = x y
+
5 125 =
5
x y
(
4
x 5 + =
x
y
2
2
y
+ =
x x
2.3 = 2, 75 y
16 = 0 4) 5) 6) = 972 +
x
2 y
− = −
3 0, 75 y
49 = 0
x
3.2
−
7
x
−
4
2 x 2 x
y y x
−
5
y y x
−
2 = 1 77 ) 3.4 = 16 7) 8) 9) 2 /2 2 y
− 7 9 x
6 )
y
+ = x − y
2 = 12 − 8 − =
y
2
3
2
x
y
−
3
=
2
+
(
y
x
(
x
−
4
2
y
x
3 .2
y
x
log (
− =
)
3 y
− =
) 2 1) 2) 3) 2
+ =
4 x y − log = x 4 7
6
x
log (
3
log
y log log 2
x 5 x y log = 0 = 2 −
2 y
5 0 = 20
log
4
2
−
x
yx
lg
xy
y = 2 4) 6) 5) x log 7 x = 3 3
3
log 3
y
2
2 2 = x y 2 log = 3 +
4 16 y + = +
1 2
15
log
log
2
2
+ =
y
x
log 5
3 − =
1
1
x
y
x
log
y
2 9
8 7) 9) 8) 8
x y + log ) = 5 y ) y x =
xy
2(log
y x log = 3 x
+ 2 2 +
x
2
y
log
+ x x
y y
x y
− =
3 15 = 32 10) 11) 12) +
1 +
y
+ −
) 1
− =
x
lg( lg13
y
− =
) 3 lg 2
x
lg(
x
lg(
x x = 2 log + y
3 2 2 y y 1 ) ) − = − +
2 log
2
y
3 .log
x
log (
3
4
x
log (
3 576
x
− =
) 4
y
x
3 .2
=
y
log (
2 2 x x 2 5 − −
1 − x x 5 12.2 − − − x x x + =
8 0 2) 1) x
4 log 4 3 2
3 2 2 x x x x x 4) 3) ( + 1)log − − =
0 16 x
2 ) 2
− +
1) + =
4) x
−
) log (
2 log (3
2 1
2 log (
1
2 2 3 2 x x x x x x x 5) 6) log x
.log = log + log + + = 1) 2 + log (
3 log (
2 3 3 5 5 2 3 x x x+
1 x x 7) 8) 3 − 2 = + −
1) log log (
2 log .log − log log 2 2 3 3 2 3
x 1
= +
2 3 x 2 x x x 10) 9) 3 + = log − log + log = x log 4x 2
0,5 2 x 1
log 89
2 25
x
2
32 x x x 11) + 2
2) − =
3 − 3
) + 3
+
6) 3
2 log (
1
4 log (4
1
4 log (
1
4 x x 12) + 1).log (2 + =
6 2) log (2
2 2
1) x
− + 3
) 2 + + =
2 log 4 + log (
4 log (4
8 x x x x x 2) 3) =
3 = ; =
3 = − 11; = − +
1 14 ; 9
x=
4 1
81 x 4) 5) Đánh giá 6) x =
1 x=
1; =
15 x 7) 8) 9) x=
1; = x = log 3
2 3
8 5
8 x x x x x x 10) 12) = = 11)
2 x=
2; = ; ; = −
1 33 = −
2 24; =
2 1
4 x = − ± 1 3 x log x log )2 2 2 1) 2) 2 log x − <
1 (
2 x+ ≤
4 log 125
x 5 x x + 2
3) − + 2
3) 2 2 2 x x x 2 2 +
1 log (
1
2 log (
1
3 x x 4) 3) > 0 4 + x
.2 + 3.2 > .2 x
+ +
12 8 x + 1 x log + 3 x x 2
2 5) 6) 8 + +
1
2 x
− +
4 +
1
2 >
5 > 2 x log + 3 2 x 3 1 x x x x x 7) 8) − 1)log ( + 1)log + (2 + 5).log + ≥
0 6 log (3
4 −
16 3
≤
4 1
4 1
2 1
2 1 9) + > 0 2 − 1) x log x
− +
3 2 2 1
x
log (2
1
2 x 2) 3) ∈ 0; ∪ x ∈ +∞ (0; ) 2; 3 (
1;5 5 ) )
x ∈ − − ∪
2; 1 ( ( ) 1
5
6) 4) ( 2; 1) − − 5) (0;2] 1 1
;
8 2
13 1 3 5 8) 9) ; 7)(0;1) ∪ +∞ (3; ) (0;2] ∪ +∞ [
4; ) +
6 +
2
;1
∪
+∞
xy ) 2 2 log (
2 x y xy + ) 5 = +
3 2.( log 3
)
2 2) 1) 2 2 =
y x + log = 4 x 3 y
+ +
3 6 4 2
log (
2
2 log
9
+ =
x
y
x y
− x x x y
−
2 y y + 2 log = 5 log 2 + 7. − =
6 0 4) 3) y 5 = 2
2
log
2 +
2
x
+
4
2
2
3
y
x
+ −
)
lg( y
− +
) 4 lg 2 = 0
2
2
3.
3
x
lg(3
x y + 3 3 − log = 5 y
x x
y 3 5) 6) x y − −
1 log = − 1 =
x 32
y x y 2 3 − = − 1 ) + )
log
2
3 log
log (
3 +
4
log (
3 ∓ 5 17 17 5
; 3) (2; 4);(4;2) 2) ( )4; 4 ±
2 2
5)(4; 81) 6) (2;1) )2;2
4)( 2 x x x − ) + log 1 + + − − = 2 1 x
0 ( ∈ ℝ Đ/s:
) x =
0 log (8
2 ) ( 1
2 ℝ Đ/s: x ∈ ) x − =
1)
2
1
−
1;
2
2 x y
( , y
3 2 0 y x
4 ℝ Đ/s: (3;1) ∈ ) 0 2)
− − = 2 2 2 y xy + ) = +
1 ) log (
2 x y
( , y ℝ Đ/s: (2;2),( 2; 2)
− − x y
( , ) ∈ 2 2 81 =
y
log (3
2
x
+ =
4
2
− + + =
x
x
2 log (
log
2
x
log (
2
xy y
x
− +
3
2 2 x log + − + 1) log − 2
1) = Đ/s:
4 x x 2 −
1 +
1 5
4 =
x
=
x 2 x
(2 x
(2 Đ/s:( 4; 3) − − ∪ +∞
) (8; log log 0 6 0,7 x
x +
x
<
+
4
2 2 x − ∪ (2;2 + 2) log 0
≥ Đ/s: 2
2;1
1
2 x
− +
3
x x
2 log (4 − +
3) + ≤ Đ/s:
2 3) x< ≤
3 3 3
4 x
log (2
1
3 x x 2 − + 2 + − 2 2 = Đ/s: 0 x = ±
1 Đ/s: + x
15.2 + 27) + 2 log = 0 x = log 3
2 x
log (4
2 2 1
x
4.2 − 3 x x x x
4.12 − 18 − 2.27 = Đ/s:
0 +
x x =
1
x −
2 4 log 2 144) − + < +
1 1) + Đ/s: 2 x< <
4 5 log (2
5 hệ có nghiệm duy nhất: 0>a x y ln(1 ln(1 + ) − =
e
e
− =
y
a
x
log = 1 4 1
y y x
+ −
) Đ/s: (3;4) 2 2 25
y
x
log (
− −
)
1
4
+ =
x
y
2 2 1 x
− x x
+ − x
2 − 2
2 = Đ/s: 3 x x log + −
1 m
2 − = (Với m là tham số) 0 1 = −
x
=
x
2
2
+
log
3 2
3 3 a. Giải phương trình với ±=
3 2m = Đ/s: x 3 b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn Đ/s: 0 2m≤ ≤
1; 3
− ≤ Đ/s:
1 x< ≤
2 x 3 log 73
9 (
x
log log (9 )
72)BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 4
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
3)Hàm số logarit
2. Giới hạn đặc biệt
3. Đạo hàm
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 5
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 6
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
Bài tập cơ bản
HT 5: Tính các giới hạn sau:
(
)
−
1
HT 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
HT 7: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
HT 8: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
x
HT 9: Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 7
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 10: Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:
HT 11: Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số được chỉ ra:
VẤN ĐỀ IV: PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ bản:
2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
1) Đưa về cùng cơ số:
2) Logarit hoá:
3) Đặt ẩn phụ:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 8
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
4) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
5) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt
6) Phương pháp đối lập
Bài tập cơ bản
HT 12: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá):
HT 13: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá):
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 9
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 14: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):
HT 15: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):
x
2
HT 16: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 2):
HT 17: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 3):
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 10
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 18: Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
HT 19: Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):
HT 20: Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):
HT 21: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 11
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 22: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất:
HT 23: Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu:
x
2)
2).2
HT 24: Tìm m để các phương trình sau:
x
2.81
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 12
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
VẤN ĐỀ V: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương trình logarit cơ bản
2. Một số phương pháp giải phương trình logarit
1) Đưa về cùng cơ số
2) Mũ hoá
3) Đặt ẩn phụ
4) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
5) Đưa về phương trình đặc biệt
6) Phương pháp đối lập
Bài tập cơ bản
HT 25: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
x
log (
2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 13
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 26: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
x
2
HT 27: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
HT 28: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
x
4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 14
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 29: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
HT 30: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
HT 31: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 15
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 32: Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
HT 33: Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):
2)
log
HT 34: Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):
HT 35: Tìm m để các phương trình sau:
)
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 16
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
VẤN ĐỀ VI: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
HT 36: Giải các hệ phương trình sau:
HT 37: Giải các hệ phương trình sau:
HT 38: Giải các hệ phương trình sau:
HT 39: Giải các hệ phương trình sau:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 17
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 40: Giải các hệ phương trình sau:
y
2
HT 41: Giải các hệ phương trình sau:
=
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 18
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 42: Giải các hệ phương trình sau:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 19
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
VẤN ĐỀ VII: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
HT 43: Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số):
HT 44: Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ):
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 20
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 45: Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
HT 46: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm:
HT 47: Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với:
2)
HT 48: Tìm m để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của bất phương trình (2):
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 21
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
VẤN ĐỀ VIII: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
HT 49: Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số):
x
log (
5
5)
10)
x
2 log (
8
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 22
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 50: Giải các bất phương trình sau:
6)
8)
7)
HT 52: Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
2
(
x
HT 53: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 23
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 54: Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với:
ÔN TẬP
HT 55: Giải các phương trình sau:
HT 56: Giải các phương trình sau:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 24
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 57: Giải các bất phương trình sau:
HT 58: Giải các bất phương trình sau:
HT 59: Giải các phương trình sau:
8)
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 25
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 60: Giải các phương trình sau:
)2
HT 61: Giải các bất phương trình sau:
HT 62: Giải các hệ phương trình sau:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 26
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 63: Giải các hệ phương trình sau:
HT 64: Giải các phương trình sau:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 27
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
Đ/s: 1)
1
2
HT 65: Giải các bất phương trình sau:
Đ/s: 1)
HT 66: Giải các hệ phương trình sau:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 28
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
Đ/s: 1)
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 29
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
TUYỂN TẬP ĐỀ THI CÁC NĂM
HT 67: (D – 2011)
HT 68: (B – 2010)
HT 69: (D – 2010)
HT 70: (A – 2009)
HT 71: (A – 2008)
HT 72: (B – 2008)
HT 73: (D – 2008)
HT 74: (A – 2007)
HT 75: (B – 2007) (
)
1
(
)
1
HT 76: (D – 2007)
HT 77: (A – 2006) 3.8
HT 78: (B – 2006)
log (4
5
HT 79: (D – 2006) Chứng minh rằng với mọi
HT 80: (A – 2004)
HT 81: (D – 2003)
HT 82: (A – 2002) Cho phương trình
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 30
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 83: (B – 2002)
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 31
