zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2009

Chia sẻ: Abcdef_37 Abcdef_37 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Báo xấu

155
lượt xem 18
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong các đề thi Đại học chủ đề này rất được quan tâm vì phần này khá hay và cũng khó, đa phần học sinh thường bỏ qua câu này, nhưng với phần tài liệu này sẽ cung cấp những bài tập điển hình giúp các em đạt được điểm trọn vẹn trong phần này.Mời các bạn tham khảo nhé

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2009

www.hsmath.net Giaùo vieân Leâ Hoàng Sôn CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2009 Môn: TOÁN Chuyên đề: SỰ TƯƠNG GIAO I. MỤC ĐÍCH CHUYÊN ĐỀ - Các bạn sẽ nắm vững phương pháp làm về sự tương giao giữa hai đường cong - Giúp các bạn làm tốt bài tập về dạng này. II. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Phương pháp làm bài - Để tìm giao điểm của một đường cong y = F(x) nói chung (của lớp các hàm đa thức nói riêng) với một đường cong y = G(x) nào đó; phương pháp chung ta quy về xét sự tồn tại nghiệm của phương trình F(x) = G(x) (1). Nhìn chung (1) đều là các phương trình bậc cao (có bậc ≥ 3). Nếu có thể, các bạn tìm mọi cách hạ bậc của (1). Ta luôn sử dụng kết quả sau: Nếu x = a là một nghiệm đoán được của (1) thì (1) đưa được về dạng sau: (x - a)H(x) = 0 Trong đó phương trình H(x) = 0 có bậc giảm đi 1 so với phương trình gốc (1). - Nếu sử dụng các kết quả về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm bậc 3, ta có kết quả thông dụng sau: Xét phương trình sau: F(x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0, a ≠ 0 (2). Khi đó: 1. (2) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi F(x) có cực đại, cực tiểu và Ymax Ymin < 0. 2. . (2) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi F(x) có cực đại, cực tiểu và Ymax Ymin = 0. 3. . (2) có 1 nghiệm khi và chỉ khi: t ne - Hoặc là F(x) không có cực đại , cực tiểu. - hoặc là F(x) có cực đại, cực tiểu và Ymax Ymin > 0. h. Cần nhấn mạnh rằng với bài toán ngoài việc đòi hỏi tính giao nhau của các đường cong bậc ba at với một đường cong khác có bậc không quá ba, ta còn quan tâm đến tính chất của các giao điểm sm thì kết quả vừa dẫn ra ở trên chỉ có thể xem như một điều kiện cần. Nó chưa đủ sức mạnh để giải hoàn toàn bài toán. Để giải quyết trọn vẹn, ta cần sử dụng thêm các kiến thức khác. .h 2. Sự tương giao hàm đa thức với trục Ox. w VD1: Cho họ đường cong phụ thuộc tham số m: w y = x3 – 3(m+1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x – 4m(m+1). w Tìm m để đường cong cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ > 1. Trang 1
www.hsmath.net Giaùo vieân Leâ Hoàng Sôn Bài giải: Đường cong cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ > 1 khi và chỉ khi phương trình x3 – 3(m+1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x – 4m(m+1) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt > 1. Do x = 2 là nghiệm của (1), nên(1) có thể viết dưới dạng sau: (x - 2)[x2 – 3(m+1)x + 2m(m + 1)] = 0 (2) Để (2) có 3 nghiệm phân biệt > 1, thì điều kiện cần và đủ là phương trình x2 – 3(m+1)x + 2m(m + 1) = 0 có 2 nghiệm phân biệt > 1 và khác 2. Theo định lý đảo về tam thức bậc 2, điều đó xảy ra khi: ⎧Δ > 0 ⎧ m 2 − 2m + 1 > 0 ⎪af (1) > 0 ⎪ ⎧ 1 ⎪ ⎪ 2m 2 − m > 0 ⎪m > ⎪ ⎨ ⎨ ⎨s 2 ⎪2 >1 ⎪3m + ! > 2 ⎪m ≠ 1 ⎩ ⎪ ⎪2 ⎩ 2m − 4m + 2 ≠ 0 ⎪ f (2) ≠ 0 ⎩ 1 Vậy các giá trị cần tìm của m là: < m < 1 và m > 1. 2 Nhận xét: - Định lý đảo về dấu tam thức bậc hai nói chung là công cụ hữu hiệu để giải các bài toán thuộc loại này. - Tuy nhiên trong VD trên (2) có thể viết dưới dạng: (x - 2)(x – 2m)(x – m - 1) = 0 x = 2, x= 2m, x = m + 1. Vì thế ta cần có: ⎧2m > 1, 2m ≠ 2 ⎧ 1 ⎪m > ⎪ ⎨m + 1 > 1; m + 1 ≠ 2 ⎨ 2 ⎪ 2m ≠ m + 1 ⎪m ≠ 1 ⎩ ⎩ Đó là cách giải trực tiếp không thông qua định lý đảo về dấu tam thức bậc hai. VD2: Biện luận theo m số giao điểm với trục hoành của đường cong: y = x3 – 3x2 + 3(1 – m )x + 3m+1. Bài giải: 2 2 Ta có y’ = 3x – 6x + 3(1 –m ) = 3(x – 2x +1 –m ). Đường cong có cực trị PT: y’ = 3(x2 – 2x +1 –m ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt t ne Δ’ = 1 – (1 – m ) = m > 0 (1) Ta có nhận xét sau: h. x3 – 3x2 + 3(1 – m )x + 3m+1 = (x2 – 2x +1 –m )(x - 1) + 2 (-mx + 1 + m). at 1 Hay: y = y’ (x - 1) + 2 (-mx +1+m) (2) sm 3 Đẳng thức (2) chứng tỏ rằng: Nếu(x1, y1) và (x2, y2) là các điểm cực trị của hàm số thì: .h ⎧ y1 = 2(−mx1 + 1 + m) ⎨ ⎩ y2 = 2(−mx2 + 1 + m) w Bây giờ ta biện luận số giao điểm của đường cong với trục hoành như sau: w 1. Đường cong cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất khi: w a. Hoặc là đường cong không có cực đại, cực tiểu. Δ’ ≤ 0 m ≤ 0 Trang 2
www.hsmath.net Giaùo vieân Leâ Hoàng Sôn b. Hoặc là có cực đại, cực tiểu nhưng y1y2 > 0. Điều đó xảy ra khi: ⎧m > 0 ⎧m > 0 (3) ⎪ ⇔ ⎨ ⎨2 2 ⎩ y1 y2 > 0 (4) ⎪ m x1x2 − m(1 + m)( x1 + x2 ) + (1 + m) > 0 ⎩ Do x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 – 2x + 1 – m = 0, nên x1 + x2 = 2; x1x2 = 1 – m Thay vào (4) và có: ⎧m > 0 ⎪ (3),(4) ⇔ ⎨ 3 ⇔ 0 0 ⎪ ⇔⎨ 3 ⇔ m=1 ⎨ ⎩ y1 y2 = 0 ⎪−m + 1 = 0 ⎩ 3. Tương tự đường cong cắt trục hoành tại 3 điểm khi m > 1. VD3: Cho đường cong y = x3 – 3x2 +( 2m - 2 )x + m - 3. Tìm m để đường cong cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thoả mãn điều kiện: x1< -1 -m – 5 > 0 => m < -5 Vậy m < -5 là điều kiện cần để thoả mãn điều kiện đề ra. Điều kiện đủ: giả sử m < -5. Ta có: F(-1) = -m – 5 > 0 F(0) = m – 3 < 0 (Do m < -5). lim F ( x) = −∞ ,nên tồn tại Vì b0. Vì: et x →+∞ n Từ tính liên tục của F(x) và do F(b) < 0; F(-1) > 0; F(0) < 0; F(a) > 0; h. nên tồn tại x1, x2, x3 thoả mãn: x1< -1
www.hsmath.net Giaùo vieân Leâ Hoàng Sôn Điều kiện cần: Giả sử đường cong chắn trên trục hoành hai đoạn bằng nhau, tức là đường cong cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho: BA = BC Giả sử x1, x2, x3 tương ứng là hoành độ của A, B, C Khi đó ta có: x2 - x1 = x3 - x2 => x3 + x1 = 2x2 => x1 + x2 + x3 = 3 x2 Vì x1, x2, x3 là 3 nghiệm của phương trình bậc 3 x3 - 3mx2 + 2m(m - 4)x + 9m2 - m = 0 (1) nên theo định lý Viet với (1), và có x1 + x2 + x3 = 3 m Từ đó có 3m = 3x2 => x2 = m Do m là nghiệm của (1), nên thay vào (1) ta có m3 - 3m3 + 2m2(m - 4) + 9m2 - m = 0 m2 - m = 0 ⎡m = 0 ⎢m = 1 ⎣ Vậy điều kiện cần là: m = 0 hoặc m = 1 Điều kiện đủ: -Nếu m = 0 => đường cong trở thành y = x3 Rõ ràng y = x3 chỉ cắt trục hoành tại một điểm => loại trường hợp này - Nếu m = 1 => y = x3 - 3x2 - 6x + 8 Từ y = 0 (x - 1) (x2 - 2x - 8) = 0 x1 = 1, x2 = -2, x3 = 4 Rõ ràng đường cong cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ x1, x2, x3 sao cho: x2 - x1 = x3 - x2 , tức là chắn trên trục hoành 3 đoạn bằng nhau. Vậy m = 1 là giá trị của tham số m cần tìm. 3. Sự tương giao của hàm phân thức. Các bài toán thuộc loại này thường có dạng sau: Tìm điều kiện để đường cong (C) biểu diễn hàm phân thức và một đường (C’) cho trước cắt nhau và hoành độ các giao điểm thỏa mãn t một điều kiện cho trước nao đó. Hãy xét các thí dụ sau đây: ne x2 + 2 x Thí dụ 1. Chứng minh rằng đường cong y = và đường thẳng y = -x - 3 cắt nhau tại 2 h. x +1 at điểm phân biệt đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x . sm x2 + 2 x = - x - 3 với điều kiện x ≠ −1 Giải: Xét phương trình x +1 .h x2 + 2x = - x2 - 4x = 3 2x2 + 6x + 3 = 0 (1) w Rõ ràng (1) có hai nghiệm phân biệt (vì Δ ' = 3 > 0) w Gọi M1 (x1, -x1 - 3) và M2 (x2, -x2 - 3) là hai giao điểm của hai đường trên. w Đường thẳng qua M1M2 có hệ số góc (− x2 − 3) − ( − x1 − 3) = −1 k= . x2 − x1 Trang 4
www.hsmath.net Giaùo vieân Leâ Hoàng Sôn Vì vậy, M1M2 nằm trên đường thẳng vuông góc với y = x x + x2 x0 = 1 2 Gọi I là trung điểm M1M2, thì toạ độ (x0, y0) của I là (− x1 − 3) + (− x2 − 3) = −1 y0 = x2 − x1 Do x1, x2 là hai nghiệm của (1), nên theo định lí Viet, ta có x1 + x2 = - 3 . 3 Thay vào (2) ta có: x0 = y0 = − 2 Điều đó chứng tỏ rằng I nằm trên đường thẳng y = x Nói cách khác, M, N đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x. Đó là đ.pc.m. x2 + 3 Thí dụ 2. Cho y = (C) x +1 2 Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2, ) sao cho (d) và (C) cắt nhau tại hai 5 điểm phân biệt A và B, sao cho M là trung điểm của AB. x2 + 3 Giải : Vì y = là đường cong thuần tuý (ứng vưói một x chỉ có một y tương ứng), x +1 nên đường thẳng x = 2 không thể cắt (C) tại hai điểm phân biệt, cho nên đường thẳng cần tìm 2 phải có dạng y = k(x - 2) + (d) 5 Trước hết ta tìm k để (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Muốn vậy xét phương trình: x2 + 3 2 = k(x - 2) + x +1 5 2 5(1 - k)x + (5k - 2) + 10k + 13 = 0 (1) ( do x=-1 không phải là nghiệm của x 2 + 3 ). Để (1) có hai nghiệm phân biệt ta cần có (5k - 2)2 + - 20(1- k) (10k + 3)> 0 (2) Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và hai giao điểm của (C) với (d) là 2 2 I(x 1, k(x1 - 2) + ) và J(x2, k(x2 - 2) + et 5 5 Rõ ràng M, I, J cùng nằm trên (d), do đó M là trung điểm của IJ nếu như n h. 5k − 2 2xM = xI + xJ 4 = x1 + x2 4= 5(k − 1) at 6 20k - 20 = 5k - 2 k= (3) sm 5 6 .h Thay (3) vào (2) thấy đúng. Vậy k = là giá trị duy nhất của tham số m thoả mãn yêu 5 w cầu đề ra. x2 + x − 1 w Thí dụ 3: Cho y = (C) x −1 w Trang 5
www.hsmath.net Giaùo vieân Leâ Hoàng Sôn Tìm m để (C) cắt y = -x + m tại hai điểm phân biệt A và B. Chứng minh rằng khi ấy A, B thuộc cùng 1 nhánh của đồ thị (C). Giải : Để y = -x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt, điều kiện là phương trình: x2 + x − 1 = -x + m có hai nghiệm phân biệt ≠ 1. Vì x = 1 không phải là nghiệm của x2 + x −1 x - 1, nên điều đó xảy ra khi phương trình x2 + x - 1 = (x - 1)(-x + m) (1) có hai nghiệm phân biệt. Ta có thể viết lại (1) dưới dạng sau : f(x) = 2x2 - mx + m - 1 = 0 (2) . (1) có hai nghiệm phân biệt khi Δ = m2 - 8m + 8 > 0 m < 4 - 2 2 hoặc m > 4 + 2 2 (3) Với điều kiện (3) ta có: af(1) = 2 > 0 . Vậy 1 ∉ [ x1, x2 ] , ở đây x1, x2 là hai nghiệm của (2). Điều này chứng tỏ rằng cả hai giao điểm A, B giữa (C) và y = -x + m nằm về cùng một phía của đường thẳng x = 1, tức là A, B thuộc cùng một nhánh của đồ thị của (C) => đpcm. III. CỦNG CỐ KIẾN THỨC x 2 + mx − 8 Bài tập 1: Cho y = (Cm) x−m Tìm m để Cm cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B sao cho các tiếp tuyến với (Cm) tại A và B vuông góc với nhau. Giải : Đường cong (Cm) và trục hoành Ox cắt nhau tại hai điểm phân biệt (mà ta sẽ gọi là A, B) khi và chỉ khi hệ sau x 2 + mx − 8 =0 x−m x ≠m có hai nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi hệ f(x) = x2 + mx - 8 = 0 f((m) ≠ 0 t có hai nghiệm phân biệt , tức là: Δ = m2 + 32 > 0 . (1) ne Từ (1) suy ra với mọi m, Cm và Ox luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi x1, x2 h. tương ứng là hoành độ của A và B thì x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình : at x2 + mx - 8 = 0 . (2) 2 2 2 sm x − 2mx + 8 − m 8 − 2m Ta có y’ = =1+ . ( x − m) 2 ( x − m) 2 .h Tiếp tuyến với (Cm) tại A, B tương ứng có hệ số góc là w 8 − 2m 2 k1= 1 + w ( x1 − m) 2 w 8 − 2m 2 k2 = 1 + . ( x2 − m)2 Trang 6
www.hsmath.net Giaùo vieân Leâ Hoàng Sôn Để hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau, ta cần có ⎡ ⎤ (8 − 2m 2 ) 2 1 1 k1, k2 = - 1 ⇔ 1 + (8 - 2m2) ⎢ + ⎥+ 2 ( x2 − m)2 ⎥ ( x1 − m) 2 ( x2 − m)2 ⎢ ( x1 − m) ⎣ ⎦ x 2 + x1 − 1m( x1 + x2 ) + 2m2 2 (8 − 2m 2 )2 ⇔ 1 + (8 - 2m2) 1 + . [( x1 − m)( x2 − m)]2 ⎡( x − m)( x − m)2 ⎤ ⎣1 2 ⎦ Áp dụng định lý Viet với (2), ta có x1 + x2 = - m; x1x2 = - 8, suy ra 2 2 x1 + x2 = (x1+ x2)2 - 2x1x2 = m2 + 16 , (x1 - m) (x2 - m) = x1x2 - m (x1 + x2) + m2 = - 8 + 2m2 . Thay lại vào trên và có m 2 + 16 + 4m 2 (8 − 2m 2 ) 2 k1k2 = - 1 ⇔ 1 + (8 - 2m2) + = -1 (2m 2 − 8)2 (2m 2 − 8) 2 5m 2 + 16 ⇔ 3- =0 ⇔ m= ± 40 . 2m 2 − 8 Vậy có hai giá trị cần tìm của tham số m là m = ± 2 10 . Bài tập 2: (Đại học, Cao đẳng khối D năm 2003) x2 − 2 x + 4 Tìm m để đường thẳng y = mx + 2 - 2m cắt đường cong y = tại hai điểm phân x−2 biệt. Bài giải x2 − 2 x + 4 Đường cong y = và y = mx + 2 - m cắt tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi x−2 x2 − 2 x + 4 = m + 2 − m có hai nghiệm phân biệt, tức là phương trình phương trình: m−2 x2 - 2x + 4 = (m - 2) (mx + 2 - m) (m - 1) (x - 2)2 = 4 có hai nghiệm phân biệt ≠ 2 Điều đó xảy ra khi và chỉ khi m - 1 > 0 m>1 Bài tập 3: (Đại học, Cao đẳng khối A - 2004) t − x 2 + 3x − 3 ne Cho y = (C) 2( x − 1) h. Tìm m để đường thẳng y = m cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1 at Bài giải sm − x2 + 3x − 3 =m Xét phương trình (1) 2( x − 1) .h Do x = 1 không phải là nghiệm của - x2 + 3x - 3, nên w - x2 + 3x - 3 = 2m(x-1) (1) x2 + (2m -3)x + 3 - 2m = 0 (2) w Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của (2). Để có điều này ta cần có w Δ = (2m - 3)2 - 4(3 - 2m) > 0 3 hoặ c m > 1 (3) 4m2 - 4m - 3 > 0 2 2 Trang7
www.hsmath.net Giaùo vieân Leâ Hoàng Sôn Ta có giao điểm A, B là A (x1, m) . B (x2, m) x2 − x1 = 1 Từ đó AB = 1 (x2 - x1)2 = 1 (x2 + x1)2 - 4x1x2 = 1 (4) Áp dụng định lí Viet đối với (2), thì x1 + x2 = 3 - 2m, x1x2 = 3 - 2m Thay lại vào (4) ta có: (3 - 2m)2 - 4 (3 - 2m) = 1 m2 - m - 1 = 0 1± 5 m= (5) 2 1± 5 Kết hợp (3), (5) suy ra m = 2 Vậy có hai giá trị của tham số m thoả mãn đầu bài . IV. BÀI TẬP VỀ NHÀ 1 Bài tập 1. Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng y = x - m luôn cắt (c) tại hai điểm phân 2 biệt A và B. Tìm m sao cho AB là nhỏ nhất. Đáp số: nên AB = 10 khi m = -2 − x2 + x + m Bài tập 2. Tìm m để (C) : y = cắt đường thẳng (d) y = x - 1 tại 2 điểm phân biệt. x+m Đáp số: m < - 6 - 4 2 hoặc m > - 6 + 4 2 (vì m ≠ 0) x 2 + mx − 1 Bài tập 3 :Tìm m để đồ thị hàm số y = cắt y = m tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho x +1 −1 ± 5 AB ⊥ OB . Đáp số: m = 2 Bài tập 4:Cho đường cong y = x3 - x2 + 18mx - 2m Tìm m để đường cong cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2,x3 ,sao cho x1 < 0 < x2 < x3. Đáp số: m < 0 Bài tập 5: Cho hàm số y = 2 x3 − 3x 2 − 1 . Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm M(0;-1) và có hệ et số góc là k. Tìm k để đường thẳng (d) cắt (C) tạo 3 điểm phân biệt. x2 − 2 x + 4 n Bài tập 6: Cho hàm số : y = (1) và đường thẳng (d): y = mx+2-2m. Tìm m để đường h. x−2 at thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt sm .h w w w Trang 8

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.03: Bộ 400 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2021

400 tài liệu

955 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.