Con lắc đơn - Trần Quang Thanh

Chia sẻ: Dinh Tuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

123
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Con lắc đơn do Trần Quang Thanh biên soạn cung cấp cho các bạn những kiến thức về cách chứng minh công thức tính vận tốc và sức căng dây của con lắc đơn; biến thiên chu kì của con lắc đơn theo nhiệt độ, độ cao và vị trí trên trái đất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Con lắc đơn - Trần Quang Thanh

trÇn quang thanh-k15-ch-lý-®h-vinh-8-2008 PHÇN I C¸CH CHøNG MINH C¤NG THóC TÝNH VËN TèC Vµ SøC C¡NG D¢Y CñA CON L¾C §¥N PH¦¥NG PH¸P: 1. C«ng thøc tÝnh vËn tèc t¹i vÞ trÝ bÊt kú: I Do con l¾c chuyÓn ®éng trong tr−êng träng lùc nªn c¬ n¨ng b¶o toµn Chän mèc thÕ n¨ng h=o t¹i vÞ trÝ c©n b»ng O. ¸p dông ®Þnh luËt B¶o toµn c¬ n¨ng cho 2 vÞ trÝ A vµ B ta cã m.v 2 B ααO αO A . WA=WB hay : mghA = mghB + (1) H 2 A Chó ý : con l¾c ®¬n ®−îc th¶ kh«ng vËn tèc ban ®Çu tõ vÞ trÝ A Nªn vA=O B Trong ®ã hA = IO − IH = l − l.co.s (α o ) B hB = IO − IB = l − l.co.s (α ) O Nªn thay vµo biÓu thøc (1) ta cã: m.v 2 B mg[l − lco.s (α o )] = mg[l − lco.s (α )] + 2 T−¬ng ®−¬ng : vB = 2.g .l [ co.s (α ) − co.s (α o ) ] (2) Tõ ®ã ta cã c¸c tr−êng hîp sau x¶y ra : a. T¹i vÞ trÝ c©n b»ng gãc α = o0 cos(oo)=1 suy ra vma. x = 2.g .l [1 − co.s (α o ) ] (3) ( T¹i VTCB vËn tèc ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i ) 1
trÇn quang thanh-k15-ch-lý-®h-vinh-8-2008 0 0 N Õu g ã c α ≤ 10 , α ≤ 10 o ta sö dông c«ng thøc gÇn ®óng : 2 α α2 co.s (α ) = 1 − 2.sin ≈ 1− 2 2 2 α0 α 02 Vµ co.s(α 0 ) = 1 − 2.sin ≈ 1− Thay tÊt c¶ vµo (2) ta cã : 2 2 vB = g.l α 20 − α 2  (4) Vµ c«ng thøc vËn tèc cùc ®¹i lóc nµy lµ : thay vµo (3) :  2 α0   2 α0  vma. x = 2.g .l 1 − (1 − 2.sin )  = 2.g.l  2.sin  2   2  α 20 2 α0 α 20 vma. x ≈ 2.g.l.2. = α 0 . g .l sin ≈ 4 (5) Do 2 4 T¹i vÞ trÝ biªn α = α0 nªn vB.min = o 2.C«ng thøc tÝnh søc c¨ng d©y T t¹i vÞ trÝ bÊt kú : xÐt t¹i vÞ trÝ biªn A ta cã c¸c lùc t¸c dông lªn vËt m lµ søc c¨ng sîi d©y T vµ träng lùc P. Theo ®Þnh luËt II NIUT¥N ta cã : P + T = m.a (6) 2
trÇn quang thanh-k15-ch-lý-®h-vinh-8-2008 ChiÕu (6) lªn ph−¬ng sîi d©y h−íng vµo ®iÓm treo I chiÒu v2B − Pco.s (α ) + T = m. d − ¬ n g n h − h × n h vÏ : l ( 7) T ha y (2 ) v µ o ( 7) : T = mg [3.co.s (α ) − 2.co.s (α 0 ) ] (8) 0 T ¹i V T C B α = o cos(oo)=1 nªn : I Tma. x = mg [3 − 2.co.s (α 0 ) ] (9) αO A α T H A T¹i vÞ trÝ hai biªn α = α0 nªn : T B B Tmin = mg [ co.s (α 0 ) ] = mg.co.s (α ) (10) O α 0 0 N Õu g ã c α ≤ 10 , α o ≤ 10 ta sö dông c«ng thøc gÇn ®óng : P PX 2 α α2 co.s (α ) = 1 − 2.sin ≈ 1− 2 2 2 α0 α 02 Vµ co.s(α 0 ) = 1 − 2.sin ≈ 1− 2 2 Suy ra :  α2 α 20   α2 2  T ≈ mg 3(1 − ) − 2.(1 − )  = mg . 1 − 3. + α 0   2 2   2  T¹ i V TC B α = o0 cos(oo)=1 nªn : (11) 3
trÇn quang thanh-k15-ch-lý-®h-vinh-8-2008  α 20  Tma. x = mg [3 − 2.co.s (α 0 )] = mg. 3 − 2.(1 − )  2  H ay : Tma . x = mg  1 + α 2  0  (12) T¹i vÞ trÝ hai biªn α = α0 nªn : α 20 α2 Tmin = mg [ co.s (α 0 )] = mg .co.s (α ) ≈ mg.(1 − ) = mg .(1 − ) 2 2 PHÇN 2 ( 13) BiÕn thiªn chu kú cña con l¾c ®¬n theo nhiÖt ®é, ®é cao vµ vÞ trÝ trªn tr¸i ®Êt PH¦¥NG PH¸P: Dùa vµo c«ng thøc : l l0 (1 + α .t ) T = 2π . = 2.π g g Trong ®ã : lo : lµ chiÒu dµI d©y treo con l¾c ë t0 = 0 0 c l : lµ chiÒu dµI d©y treo con l¾c ë t 0c α : lµ hÖ sè në dµI ë 00C Bµi to¸n 1: X¸c ®Þnh thêi gian con l¾c ch¹y sai trong mçi chu kú . TH1: Khi ë ®é cao nhÊt ®Þnh (cïng ®« cao ) cã g=const vµ nhiÖt ®é kh¸c nhau ( t1 ≠ t2 ) Con l¾c ch¹y ®óng ë nhiÖt ®é t1 , ta cã chu kú T1 4
trÇn quang thanh-k15-ch-lý-®h-vinh-8-2008 l0 (1 + α .t1 ) T1 = 2.π g Vµ chu ký T2 l0 (1 + α .t2 ) T1 1 + α .t1 T2 = 2.π = g Suy ra : T2 1 + α .t2 (14) H ay : ¸p dông c«ng thóc gÇn ®óng : víi 0 < ε ≤ 1 th× : 1 + ε1 ε ε ≈ 1+ 1 − 2 1+ ε2 2 2 (15 ) T1 α (t1 − t2 ) ≈ 1+ thay (15) vµo (14) ta cã T2 2 T1 α (t1 − t2 ) T1 − T2 α (t1 − t2 ) −1 ≈ ⇔ ≈ H ay T 2 2 T2 2 (16) NHËN XÐT: +)NÕu t1>t2 suy ra T1>T2 chu kú gi¶m ®ång hå ch¹y nhanh. +)NÕu t1
trÇn quang thanh-k15-ch-lý-®h-vinh-8-2008 TH2: kh¸c ®é cao ( khi g# const , nhiÖt ®é vµ chiÒu dµi = const) l l .R 2 T0 = 2π . = 2π . + ) ë m Æ t ® Ê t ® å n g h å c h ¹y ® ó n g : g0 G.M ( 19) Trong ®ã g0 lµ gia tèc r¬i tù do ë gÇn mÆt ®Êt . M, R lµ khèi l−îng vµ b¸n kÝnh tr¸i ®Êt . l lµ chiÒu dµi d©y treo con l¾c. a) ë ® é c a o h chu kú cña con l¾c l l.( R + h) 2 Th = 2π . = 2π . gh G.M (20) G.M g0 = 2 Gia tèc träng tr−êng ë mÆt ®Êt R (2 1) G.M gh = Gia tèc träng tr−êng ë ®é cao h : ( R + h ) 2 (2 2) ë ®©y ta coi tr¸i ®Êt h×nh cÇu, b¸n kÝnh R, khèi l−îng M , vËt ®øng c¸ch mÆt ®Êt mét kho¶ng h tÝnh tõ mÆt ®Êt. Tõ (19), (20), (21) , ( 22) T0 gh R h = =
trÇn quang thanh-k15-ch-lý-®h-vinh-8-2008 ∆T h θ = 86400. = 86400. Th R+h ( 23) b) ë ®é sau h’(so víi mÆt ®Êt) chu kú cña qu¶ l¾c : l l.( R − h ') 2 Th ' = 2π . = 2π . gh ' G.M ' (24) Trong ®ã gh’ lµ gia tè G.M ' gh ' = träng tr−êng ë ®é s©u h’ ( R − h ') 2 (25) M’ lµ khèi l−îng cña phÇn tr¸i ®Êt giíi h¹n bëi mÆt cÇu cã b¸n kÝnh (R-h’) G.M g0 = 2 Gia tèc träng tr−êng ë mÆt ®Êt : R (26) Tõ(25) vµ (26) suy ra 4 2 .π ( R − h ')3 .ρ gh '  R  M ' 3 R 2 =  . = .( ) g0  R − h '  M 4 R − h' .π .R 3 .ρ 3 (ë ®©y v× tr¸i ®Êt h×nh cÇu nªn khèi l−îng ®−îc tÝnh nh− trªn) gh ' R − h ' = H ay g0 R (2 7) lÊy (19) chia ch0 (24) vÕ theo v Õ v µ ® Ó ý ® Õn ( 2 7 ) ta cã : T0 gh' G.M ' R 2 R − h' h' h' = = .( ) = = 1− ≈ 1−
trÇn quang thanh-k15-ch-lý-®h-vinh-8-2008 1 ε 1 ± ε = (1 ± ε ) ≈ 1 ± 2 ( D o ¸ p d ô n g c« n g t h ø c g Çn ® ó n g : 2 Suy ra T1