- 50 -
Ch
ng 5
ươ
Đ C TR NG HÌNH H C C A M T C T NGANG
Ọ
Ư
Ủ
Ặ
Ặ
Ắ
·
5.1. Khái ni m chung : ệ ầ
ệ ạ ớ
Xét 1 d m công xon ti ế ạ ậ ệ h) v i h > b cùng chi u ề ợ ng h p : ườ
P
P
x
x
z
ữ ị t di n n m ngang (Hình 5.1b). t di n đ đ ng (Hình 5.1a) và ti dài, cùng m t lo i v t li u, cùng ch u m t l c P nh nhau trong 2 tr ti ế t di n ch nh t có c nh (b ậ ộ ự ư ằ ộ ể ứ ệ ệ ế
(b) (a)
Hình 5.1
y
y
z
B ng tr c giác ta nh n ra là tr ng h p (a) ch u l c t ự ậ ằ ợ
ng h p (b) g p 4 l n ứ ng h p th ườ ợ ng h p (a) và ặ ườ tr ấ ở ườ ợ ị ự ố ơ ấ t h n tr tr ầ ở ườ ợ
(b). M t khác ta th y ng su t đ võng l ộ ạ ấ
ấ ứ i g p 16 l n. ầ ứ ư ậ ị ủ ữ ộ ộ ỉ
ặ ắ ộ
ủ ượ ể ệ ự ữ ặ
Nh v y rõ ràng s c ch u c a m t thanh không nh ng ch tuỳ thu c vào lo i ạ v t li u mà còn tuỳ thu c vào hình d ng c a m t c t ngang và s phân b c a ố ủ ạ ậ ệ ư v t li u trên m t c t. Nh ng y u t c th hi n trong nh ng đ c tr ng đó đ ữ ế ố ặ ắ ậ ệ c nghiên c u sau đây:. hình h c c a m t c t đ ứ ặ ắ ượ ọ ủ
y dF F
ố ớ
C
y y C
5.2. Momen tĩnh: 5.2.1. Momen tĩnh đ i v i 1 tr c: =
=
ụ S
ydF
S;
xdF
x
y
F
F ệ
(cid:242) (cid:242) Đ nh nghĩa : ị
ặ ắ Sx , Sy là moment tĩnh c a di n tích m t c t ủ x O
C
x x ứ
Hình 5.2
3. ề ng nên momen ươ ặ ng. ặ ươ
ngang đ i v i tr c x, y. ố ớ ụ Th nguyên c a S ủ x , Sy là (chi u dài) Vì x, y có th âm ho c d ể tĩnh có th có tr s âm ho c d ị ố ể
5.2.2. H qu : ệ ả
a) Khi momen tĩnh c a di n tích F đ i v i tr c nào b ng 0 thì tr c đó g i là ố ớ ụ ụ ủ ệ ằ ọ
ụ
b) Giao đi m c a 2 tr c trung tâm g i là c a m t c t . tr ng tâm tr c trung tâm . ể ủ ặ ắ ọ
ọ ủ
( v i F là di n tích m t c t ngang ) ủ G i xọ c , yc là to đ tr ng tâm c a 1 hình, ta có : S x = F.yc , Sy = F.xc ệ ụ ạ ộ ọ ớ ặ ắ
- 51 -
c
c
y F
S = = T đó suy ra to đ tr ng tâm c a m t c t : ạ ộ ọ ặ ắ ủ ừ x y, S X F
ủ ả
i , yi) đã bi
n
c) Đ tính momen tĩnh c a các hình ph ct p ta ph i chia nó thành nhi u hình c. ứ ạ i ) và to đ tr ng tâm c a chúng ( x đ n gi n mà di n tích ( F ơ ề t tr ế ướ ạ ộ ọ ể ả ủ ệ
x
n
i
i
= + = (cid:229) S ++ ... Khi đó ta có : y.F n y.F 11 y.F 22
y
n
i
=
i
y.F i = 1 n = + = (cid:229) S ++ ... x.F n x.F 11 x.F 22 x.F i 1
3
y x
i
c
y F
2
i
c
3
1
y
2
y
1
y
S (cid:229) = = x (cid:229) x To đ tr ng tâm m t c t : ạ ộ ọ ặ ắ (cid:229) = = y x (cid:229) S x F x.F i F i y.F i F i
x O
5.3. Momen quán tính c a m t c t ngang:
ặ ắ
ủ
Hình 5.3
‡
5.3.1. Momen quán tính đ i v i 1 tr c : ụ 2 dFy
ố ớ = J
x
F
(cid:242) 0
2 dFx
y
F
= ‡ J (cid:242) 0
4. Đ n v : m
4, cm4, ….
Th nguyên c a momen quán tính: (chi u dài ) ứ ủ ề ơ ị
2
y dF
ộ ự : 5.3.2. Momen quán tính đ c c c r=
p
2
2
‡ J dF 0 (cid:242) F y
F x + 2
= r r x y Vì nên Jp = Jx + Jy O
5.3.3. Momen quán tính ly tâm v i h tr c (x,y)
x Hình 5.4
J
ớ ệ ụ (cid:242)= dF.xy
xy
F y,x
xy
‡ £ fi ‡ £ , 0 J , 0 vì
5.3.4. Tính ch tấ : a) Khi momen quán tính ly tâm đ i v i h tr c nào đó b ng 0 thì h tr c đó
ố ớ ệ ụ ệ ụ ằ
- 52 -
c g i là đ . N u h tr c quán tính chính qua ượ ọ ệ ụ
ặ ắ
ủ ể ể ị
c m t h tr c quán tính chính.
ụ ố ứ ụ ấ
đ c g i là h tr c quán tính chính ượ ọ ệ ụ ế tr ng tâm m t c t thì đ h tr c quán tính chính trung tâm. c g i là ọ ệ ụ ượ ọ b) T i b t kỳ đi m nào trên m t ph ng c a m t c t ta cũng có th xác đ nh ạ ấ ặ ắ ẳ ặ đ ộ ệ ụ ượ ớ ụ ố c) N u m t c t có 1 tr c đ i x ng thì b t kỳ tr c nào vuông góc v i tr c đ i ế x ng đó cũng l p v i nó thành m t h tr c quán tính chính. ứ ặ ắ ậ ộ ệ ụ ớ
ả : 5.3.5. Momen quán tính c a 1 s hình đ n gi n
ủ
ố
ơ
y
y d
2
y d
=
=
=
2 dFy
2 bdy
y
J
y
x
y
x
/h
F
h
2
h
y
2 / h
y
b
(cid:242) (cid:242) - a) Hình ch nh t: (Hình 5.5a) ữ ậ + /h 3 bh 12 3 = T ng t : ươ ự J b hb 12 a) b)
Hình 5.5
b) Hình tam giác : (Hình 5.5b)
3bh 12
= J x
c) Hình tròn – hình vành khăn : - Hình tròn: (Hình 5.6a)
y y dr
r x x d
R
b) a) D
Hình 5.6
D
4
2
3
p
F
0
x = Jy , do đó ta có :
r p d r= dF 2 Vì , momen quán tính đ c c c là : ộ ự R p r= =r r dF p= 2 J d (cid:242) (cid:242) R 2
ậ ấ
4
Do tính ch t đ i x ng nên ta nh n th y ngay J ấ ố ứ Jp = Jx + Jy = 2 Jx = 2Jy.
y
x
p 2
p J = = = Suy ra : J J R 4
- 53 -
N u g i D là đ ng kính đ t l i : ế ọ ườ ứ ể ế ạ
4
4 J;D1,0
p
y
x
p = = = » J D05,0 J ng tròn thì các công th c trên có th vi ườ 4 D 32
4
4
4
- Hình vành khăn: (Hình 5.6b).
4
4
p p p
)
)4
= = h - » h - - J
( 1
p
4
D 32 d 32
4
4
p J
)
)4
= = = h - » h - J J D 32 ( 1
( 1D1,0 ( 1D05,0
x
y
p 2
. , v i ớ d=h D D 64
ố ớ ệ ụ
X , JY ,JXY đ i v i h tr c song song ố ớ ệ ụ
ố ớ ệ tr c Oxy. Tìm J ụ t Jế x , Jy ,Jxy đ i v i h
5.4. Momen quán tính đ i v i h tr c song song : Bi O1XY.
+= (cid:236) xX a (cid:237) Công th c chuy n tr c : ứ ụ ể += yY b (cid:238)
2
(
)
Do đó :
2 dFY
X
F
F
2
(
)
2 dFX
Y
F
(
)
F =
= = + J y b dF (cid:242) (cid:242) Y y F dF Y y = = + M J x a dF (cid:242) (cid:242)
)( + dFbya
XY
F
b
F Khai tri n và rút g n ta đ =
X
x
= + x O J XYdF x (cid:242) (cid:242) x X c : ể X a O 1 + + J J ượ bS2
+ = +
Hình 5.7
Y
J J
x aS2 +
y aS
y J
x
XY
y
x = Sy = 0, khi
ọ 2 Fb 2 Fa + = + abF J bS
xy ặ
t : N u Oxy là h tr c trung tâm, ta có S ệ ụ ế ườ ệ
ng h p đ c bi ở
2+
x
X
Tr ợ đó công th c trên ch thành: = J J Fb ứ
2+
Y
= J
y J
XY
xy
J = Fa + J abF
ấ ậ ố ớ ụ ấ ỏ
Ta nh n th y momen quán tính đ i v i tr c trung tâm là nh nh t so v i tr c ớ ụ nào // v i nó . ớ
v
ụ ớ
ệ ụ
ứ
y y F
5.5. Công th c xoay tr c v i momen quán tính – H tr c quán tính chính: dF
M v u u
x
O x Hình 5.8
- 54 -
ụ
t Jế x , Jy ,Jxy đ i v i h ố ớ ệ ụ a theo chi u d ề ộ
ng giác . Bi ố ớ ệ tr c Oxy. ợ Tìm JX , JY ,JXY đ i v i h tr c Ouv h p v i tr c x m t góc ươ ng ớ ụ l ượ
+a = a (cid:236) x cos siny u (cid:237) Công th c xoay tr c : (i) ứ ụ a - a (cid:238)
2 dFu
uv
u
v
(cid:242)= F
J dFuv J y cos 2 dFv J Theo đ nh nghĩa ta có : ; ; (j) ị = v (cid:242)= F sinx (cid:242)= F
2
2
x
y
xy
u
2
2
v
y
xy
uv
y
x
xy
x 1 2
Thay công th c xoay tr c vào (j) , khai tri n và rút g n ta đ c : ụ ứ ể ọ ượ (cid:236) = +a a a - a (cid:239) J cos J sin J2 cos J sin (cid:239) = +a a a (cid:237) J J J cos J2 cos sin (cid:239) (cid:239) +a ) sin ( = +a a - J J J 2sin J 2cos (cid:238)
Bi n đ i ta suy ra : ổ ế
)
(
)
(
x
y
x
y
u
xy
+ - (cid:236) J J J J + = a - a J 2cos J 2sin (cid:239) 2 (cid:239)
)
(
)
(
x
y
x
y
v
xy
2 + - (cid:239) J J J J = +a a - (cid:237) J 2cos J 2sin 2 2 (cid:239)
(
)
x
y
uv
xy
- (cid:239) J J = +a a J 2sin J 2cos (cid:239) 2 (cid:238)
5.5.1. H quệ ả :
y
x
+ = + J J J J
u v ệ ụ
uvJ
(cid:222) 0= a) b) H tr c quán tính chính
xy J
x
J 2 -=a (cid:219) tag 2 - J
x
y
2
+ J J
(
)
max
x
y
2 xy
y 1 2
= + + - c) J J J J4
x
y
2
2 + J J
(
)
min
x
y
2 xy
= + - - d) J J J J4 2 1 2
ụ ư ớ
x
x
Ngoài ra ta có th bi u di n MMQT c a m t hình v i 1 tr c nh sau: = (cid:222) ể ể = J i
y
= = (cid:222) J i ủ ộ F/J x F/J y
2]. )
y (ix , iy g i là bán kính quán tính [m ễ 2 F.i x 2 F.i y ọ
55
5.5.2. Ví d :ụ
Xác đ nh momen quán tính chính trung tâm c a m t c t nh hình v . ặ ắ ư ủ ẽ ị
BÀI LÀM ặ ắ ữ ậ
a) Ta phân m t c t đã cho thành m t c t ch nh t I, II, III.(Hình 5.9) ặ ắ b) Xác đ nh tr ng tâm m t c t : ọ
ả ằ ụ
I x
x
II x
0
0
0
0 +
320 a
a
= + + = S ị ặ ắ S S - Vì m t c t có 1 tr c đ i x ng y nên tr ng tâm ph i n m trên tr c này. 5 a, 52 0 ọ + .Fa.F I II ặ ắ ụ ố ứ III + S x Ta có : y 2a = = a.a.a 5
I a, 524 2 - Tung đ tr ng tâm m t c t : ộ ọ
c
0 +
a 5
x F II
a 4
C
a 5 , 2
y
II S a = = = y a + + + a.a 6 .a.a ặ ắ 20 3 a a.a 4 F III F I x 5 a.a 2 3 - Momen quán tính chính trung tâm :
0
a
x III
6a
Hình 5.9
2
3
ø Ø (cid:246) (cid:230) = + + = +
(
- (cid:247) (cid:231) œ Œ J J J J
) a5a.a2
x
I x
II x
III x
2
3
ł Ł œ Œ a.a2 12 a5 3 ß º
ø Ø (cid:246) (cid:230) + +
(
+ - (cid:247) (cid:231) œ Œ
) a5,2a.a4
2
3
ł Ł œ Œ a4.a 12 a5 3 ß º
ø Ø (cid:246) (cid:230)
(
)
+ = + (cid:247) (cid:231) œ Œ a.a6 ł Ł œ Œ a.a6 12 a5 3 ß º
4
4
3
3
3
ø Ø (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) = + + + +(cid:247) +(cid:247) (cid:247) (cid:231) (cid:231) (cid:231) a a =œ Œ ł Ł ł Ł ł Ł ß º 1 6 200 9 16 3 25 9 50 3 143 3
)
)
4
x
I y
II y
III y
= + + = + + = J J J J a19
( a2.a 12
a.a4 12 1 2 ( a6.a 12
