ĐẠI SỐ TỔ HỢP Chương V NHỊ THỨC NEWTON (phần 2)

Chia sẻ: Cao Thi Nhu Kieu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

1.069
lượt xem 333
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

ĐẠI SỐ TỔ HỢP Chương V NHỊ THỨC NEWTON (phần 2) Dạng 2: ĐẠO HÀM HAI VẾ CỦA KHAI TRIỂN NEWTON ĐỂ CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC – Viết khai triển Newton của (ax + b)n. – Đạo hàm 2 vế một số lần thích hợp . – Chọn giá trị x sao cho thay vào ta được đẳng thức phải chứng minh. Chú ý : k • Khi cần chứng minh đẳng thức chứa k C n ta đạo hàm hai vế trong khai triển (a + x)n.. k • Khi cần chứng minh đẳng thức chứa k(k – 1) Cn ta đạo hàm 2 lần...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ĐẠI SỐ TỔ HỢP Chương V NHỊ THỨC NEWTON (phần 2)

ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP Chöông V NHÒ THÖÙC NEWTON (phần 2) Daïng 2: ÑAÏO HAØM HAI VEÁ CUÛA KHAI TRIEÅN NEWTON ÑEÅ CHÖÙNG MINH MOÄT ÑAÚNG THÖÙC – Vieát khai trieån Newton cuûa (ax + b)n. – Ñaïo haøm 2 veá moät soá laàn thích hôïp . – Choïn giaù trò x sao cho thay vaøo ta ñöôïc ñaúng thöùc phaûi chöùng minh. Chuù yù : • Khi caàn chöùng minh ñaúng thöùc chöùa k C n ta ñaïo haøm hai veá trong khai trieån (a k + x)n.. • Khi caàn chöùng minh ñaúng thöùc chöùa k(k – 1) Cn ta ñaïo haøm 2 laàn hai veá cuûa k khai trieån (a + x)n. Baøi 136. Chöùng minh : a) C1 + 2C2 + 3C3 + ... + nCn = n2 n −1 n n n n b) C1 − 2C2 + 3C3 − ... + (−1)n −1 nCn = 0 n n n n c) 2 n −1 C1 − 2 n −1 C2 + 3.2 n −3 C3 − ... + (−1)n −1 nCn = n . n n n n Giaûi Ta coù nhò thöùc (a + x)n = C0 an + C1 an −1x + C2 an −2 x 2 + ... + Cn x n . n n n n Ñaïo haøm 2 veá ta ñöôïc : n(a + x)n-1 = C1 an −1 + 2C2 an −2 x + 3C3 an −3 x 2 + ... + nCn x n −1 n n n n a) Vôùi a = 1, x = 1, ta ñöôïc : C1 + 2C2 + 3C3 + ... + nCn = n2 n −1 n n n n b) Vôùi a = 1, x = –1, ta ñöôïc :
C1 − 2C2 + 3C3 − ... + (−1)n −1 nCn = 0 n n n n c) Vôùi a = 2, x = –1, ta ñöôïc : 2 n −1 C1 − 2 n −1 C2 + 3.2 n −3 C3 − ... + (−1)n −1 nCn = n . n n n n Baøi 137. Cho (x – 2)100 = a0 + a1x + a2x2 + … + a100x100 . Tính : a) a97 b) S = a0 + a1 + … + a100 c) M = a1 + 2a2 + 3a3 + … + 100a100 Ñaïi hoïc Haøng haûi 1998 Giaûi Ta coù : (x – 2)100 = (2 – x)100 = C100 2100 − C100 2 99.x + ... + C100 2100 − k (−x)k + ... + C100 x100 0 1 k 100 a) ÖÙng vôùi k = 97 ta ñöôïc a97. Vaäy a97 = C100 23 (−1)97 97 100 ! −8 × 100 × 99 × 98 = –8. = = – 1 293 600 3!97! 6 b) Ñaët f(x) = (x – 2)100 = a0 + a1x + a2x2 + … + a100x100 Choïn x = 1 ta ñöôïc S = a0 + a1 + a2 + … + a100 = (–1)100 = 1. f ′(x) = a1 + 2a2x + 3a3x2 + … + 100a100x99 c) Ta coù : Maët khaùc f(x) = (x – 2)100 f ′(x) = 100(x – 2)99 ⇒ 100(x – 2)99 = a1 + 2a2x + 3a3x2 + … + 100a100x99 Vaäy Choïn x = 1 ta ñöôïc M = a1 + 2a2 + … + 100a100 = 100(–1)99 = –100. Baøi 138. Cho f(x) = (1 + x)n vôùi n ≥ 2. a) Tính f // (1)
b) Chöùng minh 2.1.C2 + 3.2.C3 + 4.3.C4 + ... + n(n − 1)Cn = n(n − 1)2 n −2 . n n n n Ñaïi hoïc An ninh 1998 Giaûi a) Ta coù : f(x) = (1 + x)n f ′(x) = n(1 + x)n – 1 ⇒ f // (x) = n(n – 1)(1 + x)n – 2 ⇒ f // (1) = n(n – 1)2n – 2 . Vaäy b) Do khai trieån nhò thöùc Newton f(x) = (1 + x)n = Cn + C1 x + C2 x 2 + C3 x 3 + Cn x 4 + ... + Cn x n 0 4 n n n n f ′(x) = n(1 + x)n - 1 = C1 + 2xC2 + 3x 2 C3 + 4x 3C4 + ... + nx n −1Cn ⇒ n n n n n f ′′(x) = n(n – 1)(1 + x)n - 2 = 2C2 + 6xC3 + 12x 2 C4 + ... + n(n − 1)x n −2 Cn n ⇒ n n n Choïn x = 1 ta ñöôïc n(n – 1)2n – 2 = 2C2 + 6C3 + 12C n + ... + n(n − 1)C n . 4 n n n Baøi 139. Chöùng minh 2 n −1 C1 + 2 n −1 C2 + 3.2 n −3 C3 + 4.2 n − 4 C4 + ... + nCn = n3n −1 . n n n n n Ñaïi hoïc Kinh teá Quoác daân 2000 Giaûi Ta coù : (2 + x)n = C0 2 n + C1 2 n −1 x + C2 2 n −2 x 2 + C3 2 n −3 x 3 + ... + C n x n n n n n n Ñaïo haøm 2 veá ta ñöôïc n(2 + x)n – 1 = C1 2 n −1 + 2xC2 2 n −2 + 3x 2 C3 2 n −3 + ... + nx n −1Cn n n n n Choïn x = 1 ta ñöôïc n3n – 1 = 2 n −1 C1 + 2 n −1 C2 + 3C3 2 n −3 + ... + nCn . n n n n Baøi 140. Chöùng minh C1 3n −1 + 2C2 3n −2 + 3C3 3n −3 + ... + nCn = n4 n −1 . n n n n Ñaïi hoïc Luaät 2001
Giaûi Ta coù : (3 + x)n = C0 3n + C1 3n −1 x + C2 3n −2 x 2 + C3 3n −3 x 3 + ... + Cn x n n n n n n Ñaïo haøm 2 veá ta ñöôïc n(3 + x)n – 1 = C1 3n −1 + 2xC2 3n −2 + 3x 2 C3 3n −3 + ... + nCn x n −1 n n n n Choïn x = 1 n4n – 1 = C1 3n −1 + 2C2 3n −2 + 3C3 3n −3 + ... + nCn . n ⇒ n n n Baøi 141. Tính A = C1 − 2C2 + 3C3 − 4C4 + ... + (−1)n −1 nCn n n n n n Ñaïi hoïc Baùch khoa Haø Noäi 1999 Giaûi Ta coù : (1 – x )n = C0 − C1 x + C2 x 2 − C3 x 3 + ... + (−1)n Cn x n n n n n n Laáy ñaïo haøm hai veá ta ñöôïc –n(1 – x)n – 1 = −C1 + 2xC2 − 3x 2 C3 + ... + (−1)n nCn x n −1 n n n n Choïn x = 1 ta coù : 0 = −C1 + 2C2 − 3C3 + ... + (−1)n nCn n n n n A = C1 − 2C2 + 3C3 + ... + (−1)n −1 nCn = 0 n ⇒ n n n Baøi 142. Chöùng minh vôùi n ∈ N vaø n > 2 11 (Cn + 2C2 + 3C3 + ... + nCn ) < n! (*) n n n n Giaûi (1 + x)n = C0 + xC1 + x 2 C2 + ... + x n Cn Ta coù : n n n n Laáy ñaïo haøm theo x hai veá ta ñöôïc : n(1 + x)n – 1 = C1 + 2xC2 + ... + nx n −1Cn n n n Choïn x = 1 ta ñöôïc n2n – 1 = C1 + 2C2 + ... + nCn n n n
1 2n – 1 < n! Vaäy (*) (n.2 n −1 ) < n! (**) ⇔ ⇔ n Keát quaû (**) seõ ñöôïc chöùng minh baèng qui naïp (**) ñuùng khi n = 3. Thaät vaäy 4 = 22 < 3! = 6 Giaû söû (**) ñuùng khi n = k vôùi k > 3 nghóa laø ta ñaõ coù : k! > 2k – 1 (k + 1)k! > (k + 1)2k – 1 Vaäy (k + 1)! > 2 . 2k – 1 = 2k (do k > 3 neân k + 1 > 4 ) ⇔ Do ñoù (**) ñuùng khi n = k + 1. Keát luaän : 2n – 1 < n! ñuùng vôùi ∀ n ∈ N vaø n > 2. Baøi 143. Chöùng minh a) 1.2C2 + 2.3C3 + ... + (n − 1)nCn = n(n − 1)2 n −2 n n n b) 1.2C2 − 2.3C3 + ... + (−1)n −2 (n − 1)nC n = 0 n n n c) 2 n −1 C2 + 3.2 n −2 C3 + 3.4.2 n − 4 C n + ... + (n − 1)nCn = n(n − 1)3n −2 4 n n n d) 2 n −1 C2 − 3.2 n −2 C3 + 3.4.2 n − 4 Cn − ... + (−1)n −2 (n − 1)nC n = n(n − 1) . 4 n n n Giaûi Ta coù nhò thöùc (a + x)n = C0 an + C1 an −1x + C2 an −2 x 2 + ... + Cn x n . n n n n Ñaïo haøm 2 veá 2 laàn , ta ñöôïc : n(n – 1)(a + x)n – 2 = 1.2C2 an −2 + 2.3C3 an −3 x + ... + (n − 1)nCn x n −2 n n n a) Vôùi a = 1, x = 1, ta ñöôïc : 1.2C2 + 2.3C3 + ... + (n − 1)nCn = n(n − 1)2 n −2 n n n b) Vôùi a = 1, x = – 1, ta ñöôïc : 1.2C2 − 2.3C3 + ... + (−1)n −2 (n − 1)nC n = 0 n n n c) Vôùi a = 2, x = 1, ta ñöôïc : 1.2.2 n −2 C2 + 2.3.2 n −3 C3 + ... + (n − 1)nCn = n(n − 1)3n −2 n n n 2 n −1 C2 + 3.2 n −2 C3 + 3.4.2 n − 4 C 4 + ... + (n − 1)nCn = n(n − 1)3n −2 ⇔ n n n n d) Vôùi a = 2, x = –1, ta ñöôïc :
1.2.2 n −2 C2 − 2.3.2 n −3 C3 + 3.4.2 n − 4 C 4 − ... + (−1)n −2 (n − 1)nCn = n(n − 1) n n n n 2 n −1 C2 − 3.2 n −2 C3 + 3.4.2 n − 4 C4 − ... + (−1)n −2 (n − 1)nC n = n(n − 1) . ⇔ n n n n Baøi 144. Chöùng minh : a) 3C0 + 4C1 + ... + (n + 3)Cn = 2 n −1 (6 + n) . n n n b) 3C0 − 4C1 + ... + (−1)n (n + 3)C n = 0 . n n n Giaûi Ta coù nhò thöùc (a + x)n = C0 an + C1 an −1x + C2 an −2 x 2 + ... + Cn x n n n n n Nhaân 2 veá vôùi x3, ta ñöôïc : x3(a + x)n = C0 an x 3 + C1 an −1x 4 + C2 an −2 x 5 + ... + Cn x n +3 . n n n n Ñaïo haøm 2 veá, ta ñöôïc : 3x2(a + x)n + nx3(a + x)n – 1 = 3C0 an x 2 + 4C1 an −1x 3 + ... + (n + 3)Cn x n + 2 . n n n a) Vôùi a = 1, x = 1, ta ñöôïc : 3C0 + 4C1 + ... + (n + 3)Cn = 3.2 n + n2 n −1 = 2 n −1 (6 + n) . n n n b) Vôùi a = 1, x = –1, ta ñöôïc : 3C0 − 4C1 + ... + (−1)n (n + 3)C n = 0 . n n n ----------------------------------------- Daïng 3: TÍCH PHAÂN HAI VEÁ CUÛA NHÒ THÖÙC NEWTON ÑEÅ CHÖÙNG MINH MOÄT ÑAÚNG THÖÙC + Vieát khai trieån Newton cuûa (ax + b)n. + Laáy tích phaân xaùc ñònh hai veá thöôøng laø treân caùc ñoaïn : [0, 1], [0, 2] hay [1, 2] ta seõ ñöôïc ñaúng thöùc caàn chöùng minh. Chuù yù : Cn k Caàn chöùng minh ñaúng thöùc chöùa ta laáy tích phaân vôùi caän thích hôïp hai veá • k +1 trong khai trieån cuûa (a + x)n.
1 Caàn chöùng minh ñaúng thöùc chöùa C n ta laáy tích phaân vôùi caän thích hôïp k • k + m +1 hai veá trong khai trieån cuûa xm(a + x)n. Baøi 145. Cho n ∈ N vaø n ≥ 2. 1 ∫ x (1 + x ) dx a) Tính I = 2 3n 0 1011 12 1 2 n +1 − 1 b) Chöùng minh : . Cn + Cn + Cn + ... + Cn = n 3 6 9 3(n + 1) 3(n + 1) Ñaïi hoïc Môû 1999 Giaûi 1 1 1 ∫ x (1 + x ) dx ∫ (1 + x ) d(x a) Ta coù : I = = + 1) 2 3n 3n 3 3 0 0 1 1 (1 + x 3 )n +1 ⎤ 1 I= . ⎥ = 3(n + 1) ⎡2 − 1⎤ . n +1 ⎣ ⎦ 3 n + 1 ⎦0 b) Ta coù : (1 + x3)n = C0 + C1 x 3 + C2 x 6 + ... + Cn x 3n n n n n x2(1 + x3)n = x 2 C0 + x 5C1 + x 8C2 + ... + x 3 n + 2 Cn ⇒ n n n n Laáy tích phaân töø 0 ñeán 1 hai veá ta ñöôïc : 1 ⎡ x3 x6 x9 x 3n +3 ⎤ I = ⎢ C0 + C1 + C2 + ... + 3n + 3 ⎥ 0 n n n ⎣3 6 9 ⎦ 2 n +1 − 1 1 0 1 1 1 2 1 Vaäy : = C n + Cn + Cn + ... + Cn n 3(n + 1) 3 6 9 3n + 3 2 n +1 − 1 Cn k n ∑ k +1 n +1 Baøi 146. Chöùng minh = k =0 Ñaïi hoïc Giao thoâng Vaän taûi 2000 Giaûi Ta coù : (1 + x)n = C0 + C1 x + C2 x 2 + ... + Cn x n n n n n ∫ (1 + x) dx = ∫ ( C + C1 x + C2 x 2 + ... + Cn x n ) dx 1 1 Vaäy n 0 n n n n 0 0 1 1 ⎡ (1 + x)n +1 ⎤ x2 x3 x n +1 ⎤ ⎡ = ⎢ C0 x + C1 + C2 + ... + Cn ⇔ ⎢ n +1 ⎥ n + 1⎥0 n n n n 2 3 ⎣ ⎦0 ⎣ ⎦
1 1 1 2 n +1 − 1 = C0 + C1 + C2 + ... + Cn ⇔ n n n n n +1 2 3 n +1 Cn 2 n +1 − 1 k n ∑ k +1 = ⇔ n +1 k =0 2 2 − 1 1 23 − 1 2 2 n +1 − 1 n Baøi 147. Tính : C0 + Cn + Cn + ... + Cn . n 2 3 n +1 Tuyeån sinh Ñaïi hoïc khoái B 2003 Giaûi Ta coù : (1 + x)n = C0 + C1 x + C2 x 2 + C3 x 3 + ... + Cn x n n n n n n ∫ (C + C1 x + C2 x 2 + C3 x 3 + ... + C n x n ) dx 2 2 ∫ Vaäy (1 + x )n dx = 0 n n n n n 1 1 2 2 ⎡ (1 + x)n +1 ⎤ x2 x3 x4 x n +1 ⎤ ⎡ = ⎢ C0 x + C1 + C 2 + C3 + ... + Cn ⇔ ⎢ n +1 ⎥ n + 1 ⎥1 n n n n n 2 3 4 ⎣ ⎦1 ⎣ ⎦ 3n +1 2 n +1 1 1 1 2 2 2 = C0 [x]1 + C1 ⎡ x 2 ⎤ + C2 ⎡ x 3 ⎤ + ... + Cn ⎡ x n +1 ⎤ 2 ⇔ − n⎣ ⎦1 3 n⎣ ⎦1 n⎣ ⎦1 n n +1 n +1 2 n +1 3n +1 − 2 n +1 1 2 −1 2 2 −1 n2 −1 2 3 n +1 = Cn + Cn + Cn + ... + Cn 0 ⇔ n +1 2 3 n +1 Baøi 148. Chöùng minh : 1 1 (−1)n n +1 n 1 + (−1)n 2C0 − 22.C1 + 23.C2 + ... + 2 Cn = n n n 2 3 n +1 n +1 Ñaïi hoïc Giao thoâng Vaän taûi 1996 Giaûi Ta coù : (1 – x)n = C0 − C1 x + C2 x 2 + ... + (−1)n Cn x n n n n n ∫ (C − C1 x + C2 x 2 + ... + (−1)n C n x n ) dx 2 2 ∫ Vaäy (1 − x)n dx = 0 n n n n 0 0 2 2 ⎡ (1 − x)n +1 ⎤ 1 x3 (−1)n x n +1 n ⎤ ⎡ = ⎢C0 x − x 2 C1 + C2 + ... + Cn ⎥ ⇔ − ⎢ n + 1 ⎥0 ⎣ n n n 2 3 n +1 ⎣ ⎦ ⎦0 (−1)n +1 − 1 2 2 1 23 2 (−1)n 2 n +1 n = 2Cn − Cn + Cn + ... + Cn 0 ⇔ − n +1 2 3 n +1 1 + (−1)n 2 2 1 23 2 (−1)n 2 n +1 n = 2Cn − Cn + Cn + ... + Cn 0 ⇔ n +1 2 3 n +1
Baøi 149. Chöùng minh : 11 1 (−1)n a) (−1) C + (−1) Cn + ... + Cn = n 0 n −1 n n n +1 2 n +1 1 1 1 b) C0 − C1 + ... + (−1)n . Cn = n n n 2 n +1 n +1 Giaûi Ta coù nhò thöùc (a + x)n = C0 an + C1 an −1x + C2 an −2 x 2 + ... + Cn x n . n n n n ∫ (a + x) dx = ∫ ( C a + C1 an −1x + ... + C n x n ) dx 1 1 Vaäy : n 0n n n n 0 0 1 1 (a + x)n +1 1 1 ⎛ ⎞ = ⎜ C0 an x + C1 an −1x 2 + ... + Cn x n +1 ⎟ ⇔ n n n n +1 2 n +1 ⎝ ⎠0 0 (a + 1)n +1 − an +1 1 1 = C0 an + C1 an −1 + ... + Cn . ⇔ n n n n +1 2 n +1 a) Vôùi a = –1 , ta ñöôïc : 1 1 −(−1)n +1 (−1)n (−1)n C0 + (−1)n −1 C1 + ... + Cn = = n n n 2 n +1 n +1 n +1 b) Ta coù nhò thöùc (a + x)n = C0 an + C1 an −1x + C2 an −2 x 2 + ... + Cn x n . n n n n ∫ (C a + C1 an −1x + ... + C n x n ) dx −1 −1 ∫ Vaäy (a + x)n dx = 0n n n n 0 0 −1 −1 (a + x)n +1 1 1 ⎛ ⎞ = ⎜ C0 an x + C1 an −1x 2 + ... + Cn x n +1 ⎟ ⇔ n n n n +1 2 n +1 ⎝ ⎠0 0 (a − 1)n +1 − an +1 1 1 = −C0 an + C1 an −1 − ... + (−1)n +1 Cn . n ⇔ n n n +1 2 n +1 Vôùi a = 1, ta ñöôïc : 1 1 −1 −C0 + C1 − ... + (−1)n +1 Cn = . n n n 2 n +1 n +1 1 1 1 . C0 − C1 + ... + (−1)n Cn = ⇔ n n n 2 n +1 n +1
1 ∫ Baøi 150. Tính x(1 − x)19 dx 0 10 11 12 1 1 Ruùt goïn S = C19 − C19 + C19 + ... + C18 − C19 19 19 2 3 4 20 21 Ñaïi hoïc Noâng nghieäp Haø Noäi 1999 Giaûi Ñaët t=1–x dt = –dx • ⇒ Ñoåi caän x 0 1 t 1 0 1 0 ∫ ∫ Vaäy I= x(1 − x)19 dx = (1 − t)t19 (−dt) 0 1 1 1 1 1 1 20 1 21 ⎤ 1 I = ∫ (t − t )dt = t− t⎥= = 19 20 ⇔ − 21 ⎦ 0 20 21 420 20 0 Ta coù : (1 – x)19 = C19 − C1 x + C19 x 2 + ... + C18 x18 − C19 x19 0 2 • 19 19 19 x(1 – x)19 = xC19 − C1 x 2 + C19 x 3 + ... + C19 x19 − C19 x 20 0 2 18 ⇒ 19 19 1 ⎡ x 2 0 x3 1 x 20 18 x 21 19 ⎤ 1 I = ∫ x(1 − x) dx = ⎢ C19 − C19 + ... + Vaäy C19 − C19 ⎥ 19 ⎣2 3 20 21 0 ⎦0 1 10 11 1 1 = C19 − C19 + ... + C18 − C19 ⇔ 19 19 420 2 3 20 21 1 Vaäy S= . 420 Baøi 151. 1 ∫ a) Tính x(1 − x 2 )n dx 0 1011 1213 (−1)n n 1 b) Chöùng minh C n − C n + C n − C n + ... + Cn = 2 4 6 8 2n + 2 2(n + 1) Ñaïi hoïc Baùch khoa Haø Noäi 1997 Giaûi
11 1 ∫0 (1 − x ) d(1 − x ) ∫ a) Ta coù : I = x(1 − x 2 )n dx = − 2n 2 2 0 1 1 1 ⎡ (1 − x 2 )n +1 ⎤ I= − ⎢ ⎥ = − 2(n + 1) ⎡ 0 − 1 ⎤ n +1 ⇔ ⎣ ⎦ 2 ⎣ n + 1 ⎦0 1 I= . ⇔ 2(n + 1) b) Ta coù : (1 – x2)n = C0 − C1 x 2 + C2 x 4 − C3 x 6 + ... + (−1)n Cn x 2n n n n n n x(1 – x2)n = xC0 − C1 x 3 + C2 x 5 − C3 x 7 + ... + (−1)n Cn x 2n +1 ⇒ n n n n n 1 ⎡ x2 x4 x6 x8 (−1)n 2n + 2 n ⎤ 1 I = ∫ x(1 − x ) dx = ⎢ C0 − C1 + C2 − C3 + ... + Vaäy x Cn ⎥ 2n n n n n ⎣2 4 6 8 2n + 2 0 ⎦0 1 1 1 1 1 (−1)n n = C0 − C1 + C2 − C3 + ... + Cn ⇔ n n n n 2(n + 1) 2 4 6 8 2n + 2 Baøi 152* .Chöùng minh : 1011 1 2 n +1 (n 2 + n + 2) − 2 . Cn + C n + ... + Cn = n 3 4 n+3 (n + 1)(n + 2)(n + 3) Giaûi a) Ta coù nhò thöùc (a + x)n = C0 an + C1 an −1x + ... + C n x n n n n Suy ra : x2(a + x)n = C0 an x 2 + C1 an −1x 3 + ... + Cn x n + 2 n n n ∫ (C a x + C1 an −1x 3 + ... + C n x n + 2 )dx 1 1 ∫ Vaäy x 2 (a + x)n dx = 0n 2 n n n 0 0 1 0 n 1 1 n −1 1 = Cn a + Cn a + ... + Cn n 3 4 n+3 Ñeå tính tích phaân ôû veá traùi, ñaët t=a+x dt = dx ⇒ Ñoåi caän : x 0 1 t a a+1
Suy ra : 1 a +1 ∫ ∫ x 2 (a + x)n dx = (t − a)2 t n dt 0 a a +1 ⎛ t n +3 2at n + 2 a2 t n +1 ⎞ a +1 ∫ (t − 2at + a t )dt = ⎜ = n +2 n +1 2n − + ⎟ ⎝ n+3 n+2 n +1 ⎠ a a (a + 1)n +3 − an +3 2a ⎡(a + 1) − a ⎤ a2 ⎡(a + 1)n +1 − a n +1 ⎤ n+2 n +2 −⎣ ⎦+ ⎣ ⎦ = n+3 n+2 n +1 Vôùi a = 1, ta ñöôïc : 2 n +3 − 1 2(2 n + 2 − 1) 2 n +1 − 1 1 ∫ x 2 (a + x)n dx = − + n+3 n+2 n +1 0 ⎛4 4 1⎞⎛2 1 1⎞ = 2 n +1 ⎜ − + ⎟+⎜ − − ⎟ ⎝ n + 3 n + 2 n +1⎠ ⎝ n + 2 n + 3 n +1⎠ n2 + n + 2 2 = 2 n +1 − (n + 1)(n + 2)(n + 3) (n + 1)(n + 2)(n + 3) 2 n +1 (n 2 + n + 2) − 2 = (n + 1)(n + 2)(n + 3) 1011 1 2 n +1 (n 2 + n + 2) − 2 Suy ra : . Cn + Cn + ... + Cn = n 3 4 n+3 (n + 1)(n + 2)(n + 3) PHAÏM HOÀNG DANH - NGUYEÃN VAÊN NHAÂN - TRAÀN MINH QUANG (Trung taâm Boài döôõng vaên hoùa vaø luyeän thi ñaïi hoïc Vónh Vieãn)