Dao động của dầm Euler-Bernoulli bằng vật liệu xốp trong môi trường nhiệt dưới tác dụng của tải trọng di động

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

5
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết "Dao động của dầm Euler-Bernoulli bằng vật liệu xốp trong môi trường nhiệt dưới tác dụng của tải trọng di động" phân tích dao động cho dầm bằng vật liệu xốp (FGP) chịu tải trọng di động trong môi trường nhiệt theo tiếp cận giải tích, có xét đến vị trí thực của mặt trung hòa. Trên cơ sở mô hình dầm Euler-Bernoulli và nguyên lý Hamilton, các phương trình cân bằng của dầm được thiết lập. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Dao động của dầm Euler-Bernoulli bằng vật liệu xốp trong môi trường nhiệt dưới tác dụng của tải trọng di động

23 21 Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022 Dao động của dầm Euler-Bernoulli bằng vật liệu xốp trong môi trường nhiệt dưới tác dụng của tải trọng di động Chu Thanh Bình1, 2*, Trần Minh Tú1, 2, Nguyễn Văn Long1,2 và Nguyễn Tuấn Anh2,3 1 Trường Đại học Xây dựng Hà Nội, số 55 đường Giải Phóng, Hai Bà Trưng, Hà Nội 2 Nhóm nghiên cứu Cơ học vật liệu và kết cấu tiên tiến (MAMS), Đại học Xây dựng HN 3 Trường Đại học Vinh, số 182 Lê Duẩn, thành phố Vinh, Nghệ An *Email: binhct@huce.edu.vn Tóm tắt. Sử dụng lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, bài báo xây dựng lời giải giải tích để phân tích đáp ứng động của dầm bằng vật liệu xốp (functionally graded porous materials- FGPMs) trong môi trường nhiệt. Ba quy luật phân bố lỗ rỗng của vật liệu được xem xét bao gồm: phân bố đều, phân bố không đều đối xứng và phân bố không đều bất đối xứng. Hệ trục tọa độ quy chiếu gắn với mặt trung hòa được sử dụng nhằm đơn giản hóa các quan hệ nội lực-chuyển vị. Hệ phương trình chuyển động và điều kiện biên cho dầm được thiết lập trên cơ sở nguyên lý Hamilton. Đáp ứng động lực học của dầm nhận được bằng cách sử dụng phương pháp Runge-Kutta. Kết quả được kiểm chứng với các công bố của một số tác giả khác cho thấy độ tin cậy của lời giải. Ảnh hưởng của tham số vật liệu, nền đàn hồi, nhiệt độ và các tham số của tải trọng di động đến ứng xử động của dầm được khảo sát qua các ví dụ số. Từ khóa: Phân tích dao động, tải trọng di động, tải trọng nhiệt, dầm vật liệu xốp, dầm Euler-Beroulli, mặt trung hòa. 1. Mở đầu Được xem là một trong những phát kiến quan trọng nhất của vật liệu composite tiên tiến, vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally graded material-FGM) đã thu hút sự chú ý rộng rãi từ cộng đồng các nhà nghiên cứu kể từ khi lần đầu tiên được đề xuất bởi các nhà khoa học Nhật bản [1]. FGM là vật liệu composite không đồng nhất, được cấu thành từ hai hoặc nhiều hơn của các vật liệu thành phần, với tỷ phần thể tích của chúng thay đổi trơn, liên tục theo một hướng nhất định trong không gian kết cấu. Do đó, so với các vật liệu composite thông thường, FGM tránh được sự tập trung ứng suất, sự bong tách giữa các pha vật liệu thành phần, đồng thời các cơ tính của vật liệu FGM còn có thể điều chỉnh sao cho phù hợp với mục đích thiết kế [1, 2]. Vật liệu FGM xốp (functionally graded porous material - FGPM) là một biến thể của vật liệu FGM, có các lỗ rỗng trong cấu trúc, với mật độ lỗ rỗng biến thiên theo tọa độ không gian một cách liên tục theo quy luật nhất định. Sở hữu trọng lượng nhẹ, cùng với khả năng hấp thụ năng lượng tốt, nên vật liệu FGP được sử dụng để chế tạo các hệ thống hấp thụ năng lượng, tấm tường cách âm, cách nhiệt, bộ phận lọc, … [3-6]. Do được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, nên các nghiên cứu về ứng xử cơ học của kết cấu sử dụng vật liệu FGP nói chung và dầm FGP nói riêng luôn thu hút sự quan tâm của giới khoa học trong và ngoài nước [7-13]. Dưới tác dụng của tải trọng di động, kết cấu dầm thường có độ võng và ứng suất lớn hơn so với khi chịu tải trọng tĩnh có độ lớn tương đương. Các kết cấu dạng này là rất quan trọng trong các ứng dụng kỹ thuật, đặc biệt là trong các hệ thống giao thông vận tải và cơ khí. Có nhiều nghiên cứu trong lĩnh vực này đã được công bố, nhưng chủ yếu là với dầm bằng vật liệu thuần nhất [14-18], gần đây một số ít công bố về dầm FGM cũng đã được thực hiện [19- 21]. Tuy nhiên các công bố về dầm FGP chịu tải di động là rất ít [22].
24 22 Chu Thanh Bình, Trần Minh Tú, Nguyễn Văn Long và Nguyễn Tuấn Anh Với kết cấu sử dụng vật liệu không thuần nhất, mặt trung bình hình học của kết cấu thường không trùng với mặt trung hòa. Nhiều tác giả đã sử dụng hệ trục tính toán đi qua mặt trung hòa để triệt tiêu tương tác màng-uốn trong các quan hệ nội lực-biến dạng, do vậy các phương trình chủ đạo nhận được sẽ đơn giản hơn, tiết kiện được thời gian tính toán [23-25] Mục tiêu của bài báo là phân tích dao động cho dầm bằng vật liệu xốp (FGP) chịu tải trọng di động trong môi trường nhiệt theo tiếp cận giải tích, có xét đến vị trí thực của mặt trung hòa. Trên cơ sở mô hình dầm Euler-Bernoulli và nguyên lý Hamilton, các phương trình cân bằng của dầm được thiết lập. Ba quy luật phân bố của lỗ rỗng bao gồm: phân bố đều, không đều đối xứng và không đều bất đối xứng theo chiều cao dầm sẽ được khảo sát. Các kết quả số được thực hiện nhằm đánh giá ảnh hưởng của các tham số vật liệu, tham số hình học, tham số tải di động, cũng như nhiệt độ đến đáp ứng động của dầm FGP. 2. Mô hình dầm bằng vật liệu FGP Xét dầm FGP đặt trên nền đàn hồi Pasternak, có chiều dài L, chiều rộng tiết diện b và chiều cao tiết diện h như trên Hình 1. Do có cơ tính thay đổi theo tọa độ chiều cao dầm, mặt trung hòa của dầm có thể không trùng với mặt trung bình khi phân bố lỗ rỗng không có tính đối xứng. Để chỉ rõ vị trí mặt trung hòa của dầm FGM xốp, hai mặt phẳng khác nhau được sử dụng cho tọa độ z: z tb và z th tương ứng là tọa độ tính từ mặt trung bình và mặt trung hòa (xem Hình 1). Hình 1. Mô hình dầm FGP trên nền đàn hồi dưới tác dụng của tải trọng di động Các hằng số vật liệu biến thiên theo chiều cao dầm, phụ thuộc vào hệ số rỗng theo ba quy luật [11]: • Phân bố đều - Dạng 1: 2 1 12 2  {E , G} = {E1 , G1} (1 − e0 χ ) ; ρ1 ρ =1 − e0 χ ; χ = −  1 − e0 − + 1 (1) e0 e0  π π  • Phân bố đối xứng - Dạng 2:   π z    π ztb   ={E ( ztb ), G( ztb )} {= E1 , G1} 1 − e0 cos  tb   ; ρ ( ztb ) ρ1 1 − em cos   (2)   h    h  • Phân bố bất đối xứng - Dạng 3:   π ztb π    πz π  {E ( ztb ), G( ztb )} =1} 1 − e0 cos  {E1 , G +   ; ρ ( ztb ) =em cos  tb +   ρ1 1 − (3)   2h 4    2h 4 
25 Dao động của dầm Euler-Bernoulli bằng vật liệu xốp trong môi trường nhiệt dưới 23 tác dụng của tải trọng di động Hệ số giãn nở nhiệt và hệ số Poisson được coi là không thay đổi theo tọa độ chiều cao: = const;ν ( ztb ) const . α ( ztb ) = Các tính chất của vật liệu bao gồm mô đun đàn hồi kéo nén, mô đun đàn hồi trượt, hệ số Poisson, khối lượng riêng, hệ số giãn nở nhiệt phụ thuộc nhiệt độ và có thể biểu diễn: P ( = P0 P−1T −1 + 1 + PT + P2T 2 + P3T 3 1 ) (4) Vị trí mặt trung hòa của dầm FGP trong trường hợp phân bố bất đối xứng không trùng mặt trung bình, được xác định từ điều kiện [23]: h /2  h /2   h /2  ∫ ( ztb − C ) E ( ztb )dztb = 0 ⇒ C =  ∫ ztb E ( ztb )dz  /  ∫ E ( ztb )dz  (5) − h /2  − h /2   − h /2  3. Các hệ thức và phương trình chủ đạo Đối với hệ trục tọa độ đi qua mặt trung hòa, trường chuyển vị theo lý thuyết dầm Euler- Bernoulli biểu diễn dưới dạng [19]: u ( x, zth , t ) =x ( x, t ); w( x, zth ) = u0 ( x, t ) − zth w0, w0 ( x) (6) trong đó: t là biến thời gian; u0 , w0 tương ứng là chuyển vị theo phương dọc trục và độ võng của một điểm bất kỳ trên mặt trung hòa. Theo đó, các thành phần biến dạng bao gồm: ε x u= u0, x − zth w0, xx ; γ xzth =w, x + u, zth =0 = ,x (7) Dấu phẩy ở chỉ số dưới là ký hiệu đạo hàm riêng theo các biến tương ứng. Đối với dầm vật liệu FGM xốp, quan hệ ứng suất biến dạng: σ x = E ( zth )ε x (8) Giả sử dầm không có ứng suất khi ở nhiệt độ quy chiếu T 0 = 300 K và chịu ứng suất nhiệt do sự thay đổi nhiệt độ. Ứng suất nhiệt ban đầu do sự tăng nhiệt độ ∆T được định nghĩa bởi : = E ( zth , T )α∆T ( x, z ) σx T (9) Phương trình chuyển động cho dầm được xây dựng dựa trên nguyên lý Hamilton : T = 0 ∫ (δ U B + δ UT + δ V − δ K ) dt (10) 0 Biến phân thế năng biến dạng đàn hồi của dầm: L  L L ∂δ u0 ∂ 2δ w0 δ U B = ∫ ∫ σ xδε x dAdx − ∫ f eδ w0 dx = ∫  N x − Mx − f eδ w0  dx (11)  ∂x 2 ∂x  0A 0 0  trong đó: N x , M x là các thành phần nội lực, chúng liên hệ với các thành phần chuyển vị: h /2 −C h /2 −C N x = A11u0, x ; M x = − D11w0, xx ; A11 = b ∫ E ( zth )dzth ; D11 = b ∫ 2 zth E ( zth )dzth ; (12) − h /2 −C − h /2 −C
26 24 Chu Thanh Bình, Trần Minh Tú, Nguyễn Văn Long và Nguyễn Tuấn Anh f e là phản lực nền, được xác định bởi : f e =w0 + K P w0, xx ; K w - hệ số độ cứng uốn − KW (Winkler stiffness), K p - hệ số độ cứng cắt (shear stiffness). Biến phân thế năng biến dạng do ứng suất nhiệt ban đầu : L ∂w0 ∂δ w0 L ∂w0 ∂δ w0 =δ UT ∫ σ x ∂x ∂x dAdx ∫= ∫ N x ∂x T T dx (13) 0A 0 ∂x trong đó N x = ∫ σ T dA là lực dọc do ứng suất nhiệt ban đầu. T x A Biến phân thế năng của tải trọng di động: L L h δ V = , t )δ w( x, − C , t )dx =t )δ ( x − v0 t )δ w0 dx − ∫ p( x − ∫ P0 ( (14) 0 2 0 trong đó, tải trọng di động biểu diễn dưới dạng: P0 (t ) F cos Ωt ; F và Ω tương ứng là biên độ = và tần số của lực kích động; δ(.) là hàm Dirac delta, x là tham số tọa độ tính từ đầu trái của dầm; v 0 là vận tốc của lực. Biến phân động năng được xác định bởi: L  ∂δ w0 ∂w0    ∂w ∂δ w0    δ= ∫  I 0 ( u0δ u0 + w0δ w0 ) − I1  u0 K      + δ u0  + I 2 0   dx; 0  ∂x ∂x  ∂x ∂x  h /2 −C (15) {I 0 , I1 , I 2 } = ∫{ = } 1, zth , zth ρ ( zth )dA ∫ { } ρ(z 2 2 b 1, zth , zth th ) dzth A − h /2 −C Thay các biểu thức xác định của δ U B , δ UT , δ V và δ K từ (11)-(15) vào (10), rồi tích phân từng phần, ta được: L  ∂δ w0  0 = N xδ u0 − M x  + Vxz δ w0   ∂x 0   ∂w0   (16) L  N x , x  − I 0u0 + I1  δ u0  − ∫  ∂x   dx 0  (  + M x , xx + N x w0, xx + f e + P0 (t )δ ( x − vt ) − I 0 w0 − I1u0, x + I 2 w0, xx T    ) δ w0    ∂M x T ∂w0 ∂w trong đó: Vxz = + Nx  − I 0 u0 + I 2 0 là lực cắt hiệu dụng. ∂x ∂x ∂x Cho các hệ số của các biến phân bằng không, hệ phương trình chuyển động thu được có dạng: (17) δ u0 : N x, x = I 0u0 − I1w0, x ; δ w0 : M x, xx + N x w0, xx + f e + P0 (t )δ ( x − vt )= I 0 w0 + I1u0, x − I 2 w0, xx   T    Thay (12) vào (17), hệ phương trình theo chuyển vị nhận được như sau:   A11u= I 0 u0 − I1w0, x ; 0, xx (18) − D11w0, xxxx + N x w0, xx − KW w0 + K P w0, xx + P0 (t )δ ( x − v0 t ) = I 0 w0 + I1u0, x − I 2 w0, xx T    Các tham số điều kiện biên: chuyển vị, lực cũng có thể rút ra từ (16):
27 Dao động của dầm Euler-Bernoulli bằng vật liệu xốp trong môi trường nhiệt dưới 25 tác dụng của tải trọng di động L L ∂δ w0 L 0 =xδ u0 N − Mx + Vxz δ w0 (19) 0 ∂x 0 0 Theo đó, các biểu thức điều kiện biên, tại x = 0 và x = L: ∂δ w0 = 0; Vxz δ w0 0; = 0 N xδ u0 = Mx (20) ∂x 4. Lời giải giải tích Xét dầm chữ nhật FGP liên kết hai đầu khớp, chịu tác dụng của tải trọng di động P 0 (t). Các điều kiện biên của bài toán được thể hiện như sau: Tại x = 0 và x = L: u, x 0; w0 0; = 0 = = w0, xx (21) Chọn dạng nghiệm Navier để thoả mãn các điều kiện biên trong (21): ∞ mπ x ∞ mπ x = ∑ U (t ) cos u0 ( x, t ) = ∑ W (t ) sin ; w0 ( x, t ) ; (22) = 1= 1 m L m L trong đó m = 1, 2,3; U ,W là biên độ của chuyển vị dọc trục và độ võng. Thay (22) vào (18) và áp dụng phương pháp Galerkin, ta được: − A11α 2U = − I1αW ; I 0U  mπ vt ( ) ( ) L (23) D11α 4 + α 2 N x + KW + α 2 K P W + I 0 + I 2α 2 W − I1αU  =t ) sin T   P0 ( 2  L Từ đó, ta có biểu thức xác định các thành phần gia tốc theo chuyển vị:  mπ vt  mπ vt U = l11U + l12W + c1 P0 (t ) sin ; W = l21U + l22W + c2 P0 (t ) sin (24) L L trong đó: l11 = ( − A11α 2 I 0 + I 2α 2 ) ; l12 = ( − I1α D11α 4 + α 2 N x + KW + α 2 K P T ); ( 2 I0 + I 0 I 2α 2 − I12α 2 ) ( 2 I0 I0 + I 0 I 2α 2 − I12α 2 ) l21 = − I1α 3 A11 ; l22 = ( − I 0 D11α 4 + α 2 N x + KW + α 2 K P T ); 2 I0 + I 0 I 2α 2 − I12α 2 2 I0 + I 0 I 2α 2 − I12α 2 2 I1 2I0 =c1 = ; c2 ( L I 0 + I 0 I 2α − I1 α 2 2 2 2 ) ( L I 0 + I 0 I 2α 2 − I12α 2 2 ) 4.1. Dao động riêng Cho P 0 = 0, ta xác định được tần số dao động riêng của dầm FGP từ việc giải định thức: l11 + ω 2 l12 =0 (25) l21 l22 + ω 2 Nghiệm nhỏ nhất thu được từ (25) với mỗi giá trị (m) chính là các tần số dao động riêng ωm cần tìm; từ đó ta xác định được tần số dao động cơ bản ω0 = min {ωm } . 4.2. Đáp ứng động lực học
28 26 Chu Thanh Bình, Trần Minh Tú, Nguyễn Văn Long và Nguyễn Tuấn Anh Xét dầm FGP dưới tác dụng của tải trọng di động điều hòa P0 (t ) F cos Ωt . Hệ phương = trình (24) thu về dạng:  mπ vt  mπ vt U = l11U + l12W + c1 F cos Ωt sin ; W = l21U + l22W + c2 F cos Ωt sin (26) L L Sử dụng (26), ta xác định được đáp ứng động lực học phi tuyến của dầm FGP. Đáp ứng động học của dầm được xác định sử dụng sử dụng phương pháp Runge-Kutta với các điều   kiện ban đầu U (0) W (0) 0;U (0) W (0) 0. = = = = 5. Khảo sát số và thảo luận Dựa trên lời giải giải tích được xây dựng ở trên, các tác giả đã lập code chương trình trên nền Matlab để phân tích đáp ứng động cho dầm FGP trong môi trường nhiệt, liên kết hai đầu khớp, đặt trên nền đàn hồi. Vật liệu bọt kim loại (metal foam SUS304) với các hệ số phụ thuộc nhiệt độ được cho trong Bảng 1. Bảng 1. Các hệ số phụ thuộc nhiệt độ của vật liệu thuần nhất Vật liệu Hằng số P 0 P -1 P1 P2 P3 P (T = 300 K) SUS304 E (Pa) 201,04e+9 0 3,079e-4 -6,534e-7 0 207,7877e+9 α (1/K) 12,330e-6 0 8,086e-4 0 0 15,321e-6 Để thuận tiện, các công thức không thứ nguyên sau đây được sử dụng: L  w0  , t  (27)  2 = ω L I10 ; K  ;ω L4 L2 bh3 * v0 t * FL3 ( L /2 ) w= ˆ = KW = K P = = = 0 ; J0 ;I ;t ;w w* A110 E1 I E1 I 12 L 48 E1 I trong đó I 0 , A11 tương ứng có giá trị là I 0 , A11 của dầm khi hệ số lỗ rỗng e 0 = 0. * * 4.1. Ví dụ kiểm chứng Xét dầm FGP trong môi trường bình thường, với hai quy luật phân bố lỗ rỗng là: Phân bố không đều đối xứng và phân bố không đều bất đối xứng: E 1 = 200 GPa, ρ 1 = 7850 kg/m3, ν = 1/3, e 0 = 0,5. Bảng 2 bao gồm tần số dao động cơ bản không thứ nguyên ω của dầm với các ˆ tỷ số kích thước dầm khác nhau: L/h = 20 và L/h = 50. Các kết quả tính toán theo lời giải giải tích trong bài báo được kiểm chứng với nghiệm bán giải tích theo lý thuyết dầm Timoshenko của tác giả Chen và cs. [11] sử dụng phương pháp Ritz cho thấy sự tương đồng (sai số lớn nhất về tần số dao động giữa kết quả trong bài báo so với kết quả của Chen và cs. chỉ là 1,81%). Bảng 2. Kiểm chứng tần số dao động cơ bản không thứ nguyên ω của dầm FGP ˆ Phân bố lỗ rỗng L/h Nguồn Sai số (%) Chen và cs [11]. Bài báo Không đều đối xứng 20 0,1422 0,1428 0,41 50 0,0571 0,0572 0,12 Không đều bất đối 20 0,1318 0,1297 1,56 xứng 50 0,0529 0,0519 1,81 Tiếp đến, các tác giả xem xét dầm đẳng hướng có: E = 200 GPa, ν = 1/3, ρ = 7850 kg/m3; h = 0,1 m, b/h = 0,5; L/h = 50, K 0 = J 0 = 0; v 0 = 10 m/s, Ω = 0. Hình 2 là đồ thị so sánh đáp ứng động của dầm dưới tác dụng của tải trọng di động theo lời giải giải tích xây dựng
29 Dao động của dầm Euler-Bernoulli bằng vật liệu xốp trong môi trường nhiệt dưới 27 tác dụng của tải trọng di động trong bài báo với nghiệm giải tích của Chopra [26] sử dụng lý thuyết dầm Euler-Bernoulli theo công thức: ∞ = w0 ( L / 2) ∑ Φ n ( L / 2)qn (t ) (28) n =1 nπ x 2F 1  nπ v0 t nπ v0  trong đó: Φ n ( x ) sin = = ; qn (t )  sin − sin ωn t  ; L γ L ωn − ( nπ v0 / L )2 2  L ωn L  n 2π 2 EI ωn = 2 ; γ = ρ A; A = bh. L m Các kết quả cho thấy, các đường cong đáp ứng độ võng-thời gian theo hai phương pháp tính gần như trùng khớp. 1.2 Chopra [26] Bài báo 1 0.8 0.6 0.4 0.2 3 E = 200 GPa, = 1/3, = 7850 kg/m ; L/h = 50, b/h = 0,5; K =J = 0; 0 0 0 v = 10 m/s, = 0; ∆T = 0 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 * t Hình 2. Kiểm chứng đáp ứng dao động của dầm đẳng hướng dưới tác dụng của tải trọng di động Như vậy, với hai ví dụ kiểm chứng chỉ ra ở trên, có thể thấy rằng lời giải giải tích và chương trình máy tính sử dụng trong bài báo có độ tin cậy. 4.2. Khảo sát đáp ứng động của dầm FGP Hình 3 là đồ thị mô tả quan hệ giữa độ võng tại giữa dầm theo thời gian với ba quy luật phân bố lỗ rỗng: Phân bố đều, phân bố không đều đối xứng và phân bố không đều bất đối xứng.. 2 3 e = 0,5; L/h = 50, b/h = 0,5; K =J = 0; Phân bố bất đối xứng: 0 0 0 v = 10 m/s, = 0; L/h = 50, b/h = 0,5; 2.5 0 K = J = 0; ∆T = 0 0 0 1.5 v = 10 m/s, 2 0 = 0; ∆T = 0 1.5 1 1 0.5 0.5 e = 0,1, = 56,6884 rad/s 0 0 Phân bố đều, = 51,8432 rad/s 0 e = 0,3, = 54,8385 rad/s 0 0 Phân bố đối xứng, = 57,6736 rad/s 0 0 e = 0,5, = 52,4031 rad/s 0 0 Phân bất đối xứng, = 52,4031 rad/s 0 0 e = 0,8, = 46,0960 rad/s -0.5 0 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 * * t t Hình 3. Ảnh hưởng của quy luật phân bố lỗ rỗng Hình 4. Ảnh hưởng của hệ số lỗ rỗng lên đường lên đường cong độ võng-thời gian của dầm FGP cong độ võng-thời gian của dầm FGP
30 28 Chu Thanh Bình, Trần Minh Tú, Nguyễn Văn Long và Nguyễn Tuấn Anh Các kết quả trên đồ thị cho thấy, phân bố đối xứng có tần số dao động riêng cơ bản lớn hơn, đồng thời có độ võng lớn nhất tại giữa dầm wmax ( L /2) bé hơn so với hai quy luật phân bố còn lại. Cụ thể là: phân bố đối xứng có wmax ( L /2) = 1,3078 trong khi phân bố bất đối xứng và phân bố đều có kết quả độ võng tương ứng là 1,6297 và 1,6728. Phân bố đối xứng mang lại hiệu quả cao trong việc làm tăng độ cứng kết cấu dầm, góp phần giảm thiểu độ võng khi chịu tải trọng di động Ảnh hưởng của hệ số rỗng lên đáp ứng động của dầm FGP phân bố bất đối xứng được thể hiện qua đồ thị trên Hình 4. Khi tăng hệ số rỗng e 0 , rõ ràng là độ cứng kết cấu dầm giảm, làm cho tần số dao động giảm và đáp ứng độ võng tăng. Chẳng hạn như, khi e 0 = 0,1 dầm có wmax ( L /2) = 1,1297 và khi tăng hệ số rỗng lên e 0 = 0,8 thì wmax ( L /2) = 2,7644 (tăng 144,7%). 2 6 Phân bố bất đối xứng: Phân bố bất đối xứng: e = 0,5; L/h = 50, e = 0,5; L/h = 50, b/h = 0,5; 0 0 5 b/h = 0,5; 1.5 v = 10 m/s, = 0; 0 K = J = 0; 0 0 ∆T = 0 4 v = 10 m/s, 0 =0 1 3 2 0.5 1 ∆T = 0, = 52,4031 rad/s 0 0 ∆T = 5 K, = 45,8093 rad/s 0 K =J = 0, = 52,4031 rad/s 0 0 0 0 -1 ∆T = 10 K, = 38,0423 rad/s K = 100, J = 0, = 83,1567 rad/s 0 0 0 0 ∆T = 15 K, = 28,1481 rad/s K = 100, J = 10, = 105,0220 rad/s 0 -0.5 0 0 0 -2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 * * t t Hình 5. Ảnh hưởng của nhiệt độ lên đường cong Hình 6. Ảnh hưởng của nền đàn hồi lên độ võng-thời gian của dầm FGP đường cong độ võng-thời gian của dầm FGP Ảnh hưởng của bước tăng nhiệt độ (đều) lên đáp ứng động của dầm FGP phân bố bất đối xứng được thể hiện qua đồ thị trên Hình 5. Khi có thêm ảnh hưởng của nhiệt độ, rõ ràng là tần số dao động cơ bản của dầm giảm nhanh và độ võng tăng rất nhanh (độ võng tăng từ wmax ( L /2) = 1,1297 lên wmax ( L /2) = 5,9228 khi nhiệt độ tăng từ ∆T = 0 lên ∆T = 15 K). Đáp ứng động của dầm FGP phân bố bất đối xứng với các hệ số nền đàn hồi khác nhau được thể hiện qua đồ thị trên Hình 6. Có thể thấy rằng, dầm không có nền đàn hồi luôn có độ võng w( L /2) lớn nhất (tần số dao động nhỏ nhất), sau đó đến trường hợp dầm trên nền Winkler; dầm trên nền Paternak luôn có độ võng nhỏ nhất (tần số dao động lớn nhất); các giá trị độ võng wmax ( L /2) tương ứng là 1,6297; 0,6311 và 0,3973. Các đường cong mô tả quan hệ giữa độ võng lớn nhất tại giữa dầm wmax ( L /2) và vận tốc di chuyển v0 của lực kích thích, với các bước tăng nhiệt độ khác nhau của dầm FGP được thể hiện trên đồ thị ở Hình 7. Kết quả từ đồ thị cho thấy, với các mức tăng nhiệt độ khác nhau, khi tăng dần tốc độ di chuyển của lực kích động, độ võng biến thiên rất phức tạp; khi v0 đạt tới một giá trị nhất định, độ võng wmax ( L /2) đơn điệu tăng, đạt cực trị rồi lại giảm dần. Tải trọng nhiệt ảnh hưởng lớn tới độ võng wmax ( L /2) của dầm; bước tăng nhiệt độ ∆T càng lớn thì độ võng của dầm càng tăng. Ảnh hưởng của tần số lực di động lên đáp ứng của dầm FGP phân bố bất đối xứng được thể hiện bằng đồ thị ở Hình 8. Lưu ý rằng, hai tần số dao động riêng đầu tiên của dầm với các thông số đầu vào như trên là ω 1 = 52,4031 rad/s và ω 2 = 209,5081 rad/s.
31 Dao động của dầm Euler-Bernoulli bằng vật liệu xốp trong môi trường nhiệt dưới 29 tác dụng của tải trọng di động 7 15 Phân bố bất đối xứng: ∆T = 0 =0 e = 0,5; L/h = 50, b/h = 0,5; ∆T = 5 K = 30 rad/s 6 0 ∆T = 10 K 10 = 50 rad/s K =J = 0; =0 0 0 ∆T = 15 K = 200 rad/s 5 5 4 0 3 -5 2 Phân bố bất đối xứng: e = 0,5; L/h = 50, b/h = 0,5; 0 1 -10 K =J = 0; v = 10 m/s; ∆T = 0 0 0 0 = 52,4031 rad/s; = 209,5081rad/s 1 2 0 -15 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 v [m/s] * 0 t Hình 7. Ảnh hưởng của vận tốc di chuyển lực Hình 8. Đường cong đáp ứng độ võng theo thời kích thích và nhiệt độ lên đáp ứng của dầm FGP gian với các tần số của lực kích thích khác nhau Có thể nhận thấy, khi tần số lực kích thích tiến gần tới tần số dao động cơ bản của dầm, độ võng wmax ( L /2) của dầm đặc biệt tăng nhanh, độ võng là lớn nhất khi xảy ra hiện tượng cộng hưởng. Ví dụ như, khi tần số dao động của lực kích thích Ω = 0, Ω = 30 rad/s, Ω = 50 rad/s, Ω = 200 rad/s, độ võng lớn nhất của dầm có giá trị tương ứng là wmax ( L /2) = 1,6297, wmax ( L /2) = 2,8175, wmax ( L /2) = 10,7942, wmax ( L /2) = 0,1093. 6. Kết luận Bài báo xây dựng mô hình giải tích tính toán tần số dao động riêng và đáp ứng động lực học của dầm FGP trong môi trường nhiệt, dưới tác dụng của tải trọng điều hòa di động. Nghiệm giải tích được thiết lập cho dầm trên cơ sở mô hình dầm Euler-Bernoulli, có kể đến vị trí thực của mặt trung hòa; Sau khi kiểm chứng chương trình tính viết trên nền Matlab, các khảo sát số được thực hiện cho phép đánh giá ảnh hưởng của các tham số vật liệu, nền đàn hồi, tải trọng nhiệt, tốc độ di chuyển và tần số lực kích thích di động đến đáp ứng động của dầm. Các kết quả nhận được cho thấy: - Quy luật phân bố không đều đối xứng có ưu điểm phát huy được độ cứng kết cấu, cho tần số dao động riêng lớn hơn và độ võng động bé hơn so với hai quy luật phân bố còn lại: Phân bố đều và phân bố không đều bất đối xứng khi chịu tải di động; - Khi tăng hệ số rỗng, độ cứng của kết cấu giảm, làm cho tần số dao động riêng giảm, độ võng động của dầm tăng; - Khi tăng nhiệt độ của môi trường, tần số dao động riêng của dầm giảm, đáp ứng độ võng của dầm tăng; - Khi tăng các hệ số độ cứng của nền đàn hồi, độ cứng của kết cấu tăng, làm cho tần số dao động riêng tăng và đáp ứng độ võng giảm; Tài liệu tham khảo 1. Delfosse, D., Fundamentals of Functionally Graded Materials| S. Suresh and A. Mortensen IOM Communications Ltd, 1998 ISBN: 1-86125-063-0. 1998, Elsevier. 2. Rafiee, M., J. Yang, and S. Kitipornchai, Large amplitude vibration of carbon nanotube reinforced functionally graded composite beams with piezoelectric layers. Composite Structures, 2013. 96: p. 716-725. 3. Ashby, M.F., et al., Metal foams: a design guide. 2000: Elsevier. 4. Badiche, X., et al., Mechanical properties and non-homogeneous deformation of open-cell nickel foams: application of the mechanics of cellular solids and of porous materials. Materials Science
32 30 Chu Thanh Bình, Trần Minh Tú, Nguyễn Văn Long và Nguyễn Tuấn Anh and Engineering: A, 2000. 289(1-2): p. 276-288. 5. Banhart, J., Manufacture, characterisation and application of cellular metals and metal foams. Progress in materials science, 2001. 46(6): p. 559-632. 6. Smith, B., et al., Steel foam for structures: A review of applications, manufacturing and material properties. Journal of Constructional Steel Research, 2012. 71: p. 1-10. 7. Ait Atmane, H., A. Tounsi, and F. Bernard, Effect of thickness stretching and porosity on mechanical response of a functionally graded beams resting on elastic foundations. International Journal of Mechanics and Materials in Design, 2017. 13(1): p. 71-84. 8. Akbaş, Ş.D., Forced vibration analysis of functionally graded porous deep beams. Composite Structures, 2018. 186: p. 293-302. 9. Barati, M.R. and A.M. Zenkour, Investigating post-buckling of geometrically imperfect metal foam nanobeams with symmetric and asymmetric porosity distributions. Composite Structures, 2017. 182: p. 91-98. 10. Chen, D., S. Kitipornchai, and J. Yang, Nonlinear free vibration of shear deformable sandwich beam with a functionally graded porous core. Thin-Walled Structures, 2016. 107: p. 39-48. 11. Chen, D., J. Yang, and S. Kitipornchai, Free and forced vibrations of shear deformable functionally graded porous beams. International journal of mechanical sciences, 2016. 108: p. 14- 22. 12. Tran, T.T., Q.-H. Pham, and T. Nguyen-Thoi, Dynamic analysis of functionally graded porous plates resting on elastic foundation taking into mass subjected to moving loads using an edge- based smoothed finite element method. Shock and Vibration, 2020. 2020. 13. Chinh, T.H., et al., Static flexural analysis of sandwich beam with functionally graded face sheets and porous core via point interpolation meshfree method based on polynomial basic function. Archive of Applied Mechanics, 2021. 91(3): p. 933-947. 14. Frýba, L., Vibration of solids and structures under moving loads. Vol. 1. 2013: Springer science & business media. 15. Lin, Y.-H. and M. Trethewey, Finite element analysis of elastic beams subjected to moving dynamic loads. Journal of sound and vibration, 1990. 136(2): p. 323-342. 16. Henchi, K., et al., Dynamic behaviour of multi-span beams under moving loads. Journal of sound and vibration, 1997. 199(1): p. 33-50. 17. Abu-Hilal, M. and M. Mohsen, Vibration of beams with general boundary conditions due to a moving harmonic load. Journal of Sound and Vibration, 2000. 232(4): p. 703-717. 18. Michaltsos, G., Dynamic behaviour of a single-span beam subjected to loads moving with variable speeds. Journal of sound and vibration, 2002. 258(2): p. 359-372. 19. Şimşek, M. and T. Kocatürk, Free and forced vibration of a functionally graded beam subjected to a concentrated moving harmonic load. Composite Structures, 2009. 90(4): p. 465-473. 20. Khalili, S., A. Jafari, and S. Eftekhari, A mixed Ritz-DQ method for forced vibration of functionally graded beams carrying moving loads. Composite Structures, 2010. 92(10): p. 2497-2511. 21. Şimşek, M., Vibration analysis of a functionally graded beam under a moving mass by using different beam theories. Composite structures, 2010. 92(4): p. 904-917. 22. Wang, Y., et al., Transient response of a sandwich beam with functionally graded porous core traversed by a non-uniformly distributed moving mass. International Journal of Mechanics and Materials in Design, 2020. 16(3): p. 519-540. 23. Larbi, L.O., et al., An efficient shear deformation beam theory based on neutral surface position for bending and free vibration of functionally graded beams#. Mechanics Based Design of Structures and Machines, 2013. 41(4): p. 421-433. 24. Phuong, N.T.B., et al., Bending analysis of functionally graded beam with porosities resting on elastic foundation based on neutral surface position. Journal of Science and Technology in Civil Engineering (STCE)-HUCE, 2019. 13(1): p. 33-45. 25. Li, J., et al., Meshless analysis of bi-directional functionally graded beam structures based on physical neutral surface. Composite Structures, 2021. 259: p. 113502. 26. Chopra, A.K., Dynamics of structures. 2010, Pearson Prentice Hall.