Đ s 15ề ố
I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Ầ Ấ Ả ể
Câu I (2 đi m): Cho hàm s :ể ố
3
3= −y x x
1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s .ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
2) Tìm trên đ ng th ng y = – x các đi m k đ c đúng 2 ti p tuy n t i đ th (C).ườ ẳ ể ẻ ượ ế ế ớ ồ ị
Câu II (2 đi m): ể
1) Gi i ph ng trình.ả ươ :
3sin 2 2sin 2
sin 2 .cos
−=
x x
x x
2) Tìm m đ ph ng trình sau có nghi m: ể ươ ệ
( 1) 4( 1) 1
− + − =
−
x
x x x m
x
Câu III (1 đi m): Tínhể tích phân I=
2
2
sin 3
0
.sin .cos .
π
x
e x x dx.
Câu IV (1 đi m): Cho hình nón đ nh S, đ ng tròn đáy có tâm O và đ ng kính là AB = 2R. G iể ỉ ườ ườ ọ
M là đi m thu c đ ng tròn đáy và ể ộ ườ
ﾷ
2
α
=ASB
,
ﾷ
2
β
=ASM
. Tính th tích kh i t di nể ố ứ ệ
SAOM theo R, α và β .
Câu V (1 đi m): Cho: ể
2 2 2
1++=a b c
. Ch ng minh: ứ
II. PH N RIÊNG (3 đi m)Ầ ể
A. Theo ch ng trình chu nươ ẩ
Câu VI.a (2 đi m) ể
1) Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đ ng tròn (C): (x – 1)ặ ẳ ớ ệ ọ ộ ườ 2 + (y + 1)2 = 25 và
đi m M(7; 3). L p ph ng trình đ ng th ng (d) đi qua M c t (C) t i hai đi m A, B phânể ậ ươ ườ ẳ ắ ạ ể
bi t sao cho MA = 3MB.ệ
2) Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho các đi m A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;–2).ớ ệ ạ ộ ể
G i H là hình chi u vuông góc c a O trên m t ph ng (ABC), tìm t a đ đi m H.ọ ế ủ ặ ẳ ọ ộ ể
Câu VIIa (1 đi m) Gi i ph ng trình: ể ả ươ
2
2 2
log ( 7)log 12 4 0+ − + − =x x x x
B. Theo ch ng trình nâng caoươ
Câu VI.b (2 đi m)ể
1) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho hình bình hành ABCD có di n tích b ng 4.ặ ẳ ớ ệ ạ ộ ệ ằ
Bi t A(1;0), B(0;2) và giao đi m I c a hai đ ng chéo n m trên đ ng th ng y = x. Tìmế ể ủ ườ ằ ườ ẳ
t a đ các đ nh C và D.ọ ộ ỉ
2) Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho ớ ệ ọ ộ
∆
ABC
v i t a đ đ nh C(3; 2; 3) và ph ngớ ọ ộ ỉ ươ
trình đ ng cao AH, ph ng trình đ ng phân giác trong BD l n l t là: ườ ươ ườ ầ ượ
1
2 3 3
:1 1 2
− − −
= = −
x y z
d
,
2
1 4 3
:1 2 1
− − −
= =
−
x y z
d
.
L p ph ng trình đ ng th ng ch a c nh BC c a ậ ươ ườ ẳ ứ ạ ủ
∆
ABC
và tính di n tích c a ệ ủ
∆
ABC
.
Câu VII.b (1 đi m) Gi i ph ng trình: ể ả ươ
2008 2007 1
x x ﾠ= +
.
H ng d n Đ s 15ướ ẫ ề ố
Câu I: 2) A (2; –2) và B(–2;2)
Câu II: 1) PT ⇔
2 1 2 0
0 0
x x x
x x
( cos )(sin sin )
sin , cos
− − =
⇔
2
3
ππ
= +x k
2) Đ t ặ
( 1) 1
x
t x x
= − −
. PT có nghi m khi ệ
2
4 0t t m+ − =
có nghi m, suy ra ệ
4m
−
.
Câu III: Đ t ặ
2x tsin =
⇒
1
0
1(1 )
2
= −
t
I e t dt
=
e
2
1
Câu IV: G i OH là đ ng cao c a ọ ườ ủ
OAMD
, ta có:
. . sin
.sin sin
sin sin
α α β
βα
α α
= =
= =�
= =
SO OA cotg R cotg
AH SA R
OA R
SA
2 2 2 2
sin sin
sin
α β
α
= − = −�R
OH OA AH
.
V y: ậ
3
2 2
.3
1 cos sin
. . . sin sin
3 3sin
α β α β
α
= = −
S AOM
R
V SO AH OH
.
Câu V: T gt ừ⇒
21a
⇒ 1 + a ≥ 0. T ng t , 1 + b ươ ự ≥ 0, 1 + c ≥ 0
⇒
(1 )(1 )(1 ) 0abc+ + +
⇒
1 0a b c ab ac bc abc
+ + + + + + +
. (a)
M t khác ặ
2 2 2 2
1(1 ) 0
2
a b c a b c ab ac bc a b c+ + + + + + + + = + + +
. (b)
C ng (a) và (b) ộ⇒ đpcm
Câu VI.a: 1)
/( )
27 0= >
M C
P
M n m ngoài (C). (C) có tâm I(1;–1) và R = 5.ằ
M t khác: ặ
2
/( )
. 3 3 3= = = =� �
uuur uuur
M C
P MA MB MB MB BH
2 2
4 [ ,( )]= − = =�IH R BH d M d
Ta có: pt(d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a2 + b2 > 0).
2 2
0
6 4
[ ,( )] 4 4 12
5
=
− −
= =� � = −
+
a
a b
d M d a b
a b
.
V y (d): y – 3 = 0 ho c (d): 12x – 5y – 69 = 0.ậ ặ
2) Ph ng trình mp(ABC): 2x + y – z – 2 = 0. ươ
2 1 1
3 3 3
H; ;
� �
−
� �
� �
Câu VII.a: Đ t ặ
2
logt x=
. PT ⇔
2(7 ) 12 4 0t x t x− − + − =
⇔ t = 4; t =3 – x ⇔ x = 16; x = 2
Câu VI.b: 1) Ta có:
( )
1; 2 5AB AB= − =�
uuur
. Ph ng trình AB: ươ
2 2 0x y+ − =
.
( )
( ) : ;=� �I d y x I t t
. I là trung đi m c a AC và BD nên: ể ủ
(2 1; 2 ), (2 ; 2 2)− −C t t D t t
M t khác: ặ
. 4= =
ABCD
S AB CH
(CH: chi u cao) ề
4
5
=�CH
.
Ngoài ra:
( ) ( ) ( )
4 5 8 8 2
; , ;
| 6 4 | 4 3 3 3 3 3
;5 5 0 1;0 , 0; 2
� � � �
=
−� � � �
= =� � � � � �
= − −�
t C D
t
d C AB CH
t C D
V y ậ
5 8 8 2
; , ;
3 3 3 3
� � � �
� � � �
� � � �
C D
ho c ặ
( ) ( )
1;0 , 0; 2− −C D
2) G i mp(P) qua C và vuông góc v i AH ọ ớ
1
( ) ( ) : 2 1 0⊥ + − + =� �P d P x y z
2
( ) (1;4;3)=��B P d B
⇒ ph ng trình ươ
{
: 1 2 ; 4 2 ; 3= + = − =BC x t y t z
G i mp(Q) qua C, vuông góc v i dọ ớ 2, (Q) c t dắ2 và AB t i K và M. Ta có:ạ
( ) : 2 2 0 (2;2;4) (1;2;5)− + − = ��Q x y z K M
(K là trung đi m c a CM).ể ủ
1 4 3
:0 2 2
− − −
= =�−
x y z
ptAB
, do
1
1
(1;2;5) , 2 3
2
∆
� �
= = =��� � �
uuur uuur
ABC
A AB d A S AB AC
.
Câu VII.b: PT ⇔
2008 2007 1 0= − − =
x
f x x( ) * *
v i x ớ
(–
; +
)
2
2008 2008 2007 2008 2008 0
x x
f (x) f x xﾠ .ln ﾠ ; ﾠ ( ) ﾠ ln ﾠ ,
= − = > ∀
⇒ f
′
( x ) luôn luôn đ ng bi n. ồ ế
Vì f (x) liên t c và ụ
2007
x x
f x f xlim ( ) ; lim ( )
− +
= − = +
∃x0 đ ểf
′
' ( x0 ) = 0
Từ BBT c a ủf(x)
f(x) = 0 không có quá 2 nghi m. ệ
V y PT có 2 nghi m là x = 0; x = 1ậ ệ
H ng ướ