Đề tài " Giải toán trên máy tính Casio " - Trương Ngọc Bôn

Chia sẻ: Nông Văn Sinh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:52

Thêm vào BST

Báo xấu

371
lượt xem 141
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Máy tính điện tử là một trong những công cụ tích cực trong việc dạy và học toán. Nhờ có máy tính điện tử mà nhiều vấn đề được coi là khó trong dạy học toán ( ví dụ giải phương trình bậc hai, phương trình ba, phương trình vô tỷ, chuổi số, các định lý số học...) ta có thể giảng dạy cho học sinh THCS một cách dễ dàng. Các quy trình thao tác trên máy tính điện tử bỏ túi có thể coi là bước tập dượt ban đầu để học sinh dần dần làm quen...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề tài " Giải toán trên máy tính Casio " - Trương Ngọc Bôn

Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n A. ®Æt vÊn ®Ò M¸y tÝnh ®iÖn tö lµ mét trong nh÷ng c«ng cô tÝch cùc trong viÖc d¹y vµ häc to¸n. Nhê cã m¸y tÝnh ®iÖn tö mµ nhiÒu vÊn ®Ò ® îc coi lµ khã trong d¹y häc to¸n ( vÝ dô gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai, ph¬ng tr×nh ba, ph¬ng tr×nh v« tû, chuæi sè, c¸c ®Þnh lý sè häc...) ta cã thÓ gi¶ng d¹y cho häc sinh THCS mét c¸ch dÔ dµng. C¸c quy tr×nh thao t¸c trªn m¸y tÝnh ®iÖn tö bá tói cã thÓ coi lµ b íc tËp dît ban ®Çu ®Ó häc sinh dÇn dÇn lµm quen víi thuËt to¸n vµ lËp tr×nh trªn m¸y tÝnh c¸ nh©n. Bé Gi¸o Dôc vµ §µo t¹o ®· tæ chøc cho THCS vµ THPH c¸c kú thi häc sinh giái “gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio”. Phßng Gi¸o Dôc vµ ®µo t¹o CÈm xuyªn ®· tæ chøc c¸c kú thi häc sinh giái “gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio” cÊp huyÖn vµ tham gia kú thi häc sinh giái “gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio” cÊp TÜnh song kÕt qu¶ cßn khiªm tèn so víi c¸c huyÖn m¹nh nh Can Léc,Hång lÜnh, TP Hµ TÜnh... Mét sè bµi dù thi cña häc sinh kÕt qu¶ cßn thÊp, hoÆc bµi lµm thiÕu tÝnh chÝnh x¸c, c¸ch tr×nh bµy sêi s¹c, ngÉu høng, c¸c thuËt to¸n trªn m¸y tÝnh ch a ®îc vËn dông vµo bµi lµm... Víi lý do ®ã vµ niÒm ®am mª to¸n häc trªn m¸y tÝnh vµ thùc tr¹ng qua nhiÒu n¨m gi¶ng d¹y vµ båi dìng häc sinh giái, t«i m¹nh d¹n biªn so¹n tËp tµi liÖu båi d - ìng HSG gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio nµy lu hµnh néi bé. Môc ®Ých cña tµi liÖu ngoµi híng dÉn chi tiÕt c¸c thao t¸c tÝnh to¸n, C¸c d¹ng bµi tËp to¸n gi¶i b»ng m¸y tÝnh cÇm tay mµ cßn tr×nh bµy ý nghÜa to¸n häc cña c¸c bµi to¸n.V× vËy nhiÒu kiÕn thøc to¸n häc ngoµi ch¬ng tr×nh vÉn ®îc ®a vµo.ViÖc tr×nh bµy c¸c kiÕn thøc to¸n häc, tÝnh chÝnh x¸c kÕt qu¶ trong tõng phÐp tÝnh ® îc ®Æc biÖt chó träng. Bëi ®ã lµ ®iÒu c¬ b¶n vµ cèt lái cña viÖc s÷ dông m¸y tÝnh. Ng êi viªt xin ®îc trao ®æi cïng b¹n ®äc qua ®Ò tµi: “gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio” §Ò tµi gåm ba phÇn: PhÇn I: Híng dÉn sö dông m¸y tÝnh casio Fx:500 MS vµ Fx:570 MS PhÇn II: C¸c d¹ng bµi tËp: ”Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio” PhÇn III: Mét sè ®Ò thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio ( hÖ THCS ) Trong khi biªn so¹n mÆc dï ®· rÊt cè g¾ng song kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. RÊt mong nhËn ®îc sù gãp ý ch©n thµnh cña quý thÇy c« vµ b¹n ®äc. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n CÈm xuyªn, ngµy 07/10/2010 1
Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n Tr ¬ngNgäcB«n B. néi dung PhÇn I: Híng dÉn sö dông m¸y tÝnh casio Fx:500 MS vµ Fx:570 MS A/.m¸y tÝnh casio Fx:500 MS I/ C¸c phÝm vµ c¸ch bÊm m¸y sö dông chung cho c¶ m¸y Fx:500 MS vµ Fx:570 MS : C¸c lo¹i phÝm: 1) + PhÝm tr¾ng: BÊm trùc tiÕp ( vÝ dô: 5 ta Ên 5= 5 ) + PhÝm vµng: BÊm SHIFT + PhÝm vµng (VÝ Dô: 81 , ta bÊm 4 SHIFT 4 x 81 = 4 81 ) + PhÝm ®á: BÊm ALPHA + PhÝm ®á (vÝ dô: A, ta bÊm ALPHA A 2) Më t¾t m¸y: + Më m¸y: BÊm ON + T¾t m¸y: BÊm SHIFT + OFF + Xo¸ mµn h×nh khi lµm tÝnh : - BÊm AC - BÊm SHIFT CLR 2 = - BÊm SHIFT CLR 3 = + §Ó kiÓm tra lçi ta dïng c¸c phÝm + §Ó s÷a lçi: - Dïng phÝm >< di chuyÓn. - BÊm phÝm DEL xo¸ ký tù ®ang nhÊp nh¸y - BÊm phÝm SHIFT + IN S chÌn ký tù ®¸nh sãt II/ .m¸y tÝnh casio Fx:500 MS: *) ChÕ ®é Mode: Nh»m Ên ®Þnh ngay tõ ®Çu lo¹i h×nh tÝnh to¸n, lo¹i ®¬n vÞ ®o,d¹ng sè biÓu diÔn kÕt qu¶, ch÷ sè cã nghÜa,sai sè lµm trßn...phï hîp víi gi· thiÕt cña bµi to¸n 2
Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n COMP SD REG a) BÊm Mode ( 1 lÇn) man−hinh →   1 23 → Lµm c¸c phÐp tÝnh thêng + BÊm Mode 1 + BÊm Mode 2 → Lµm thèng kª mét biÕn → Lµm thèng kª hai biÕn + BÊm Mode EQR b) BÊm Mode Mode( 2 lÇn) ( gi¶i ph¬ng tr×nh ) man −hinh →   1 + BÊm Mode Mode 1 man−hinh → UNKNO S ( Èn )   - BÊm tiÕp 2 → Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn - BÊm tiÕp 3 → Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt ba Èn + BÊm Mode Mode 1 man −hinh → Degree (bËc)   > - BÊm tiÕp 2 → Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn - BÊm tiÕp 3 → Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc ba mét Èn Deg Ded Gra c) BÊm Mode Mode Mode ( 3 lÇn) man −hinh →   1 2 3 + BÊm Mode Mode Mode 1 → Chän ®¬n vÞ ®o gãc lµ ®é + BÊm Mode Mode Mode 2 → Chän ®¬n vÞ ®o gãc lµ ra®ian + BÊm Mode Mode Mode 1 → Chän ®¬n vÞ ®o gãc lµ grad Fix Sci Norm d) BÊm Mode Mode Mode Mode ( 4 lÇn) man −hinh →   12 3 BÊm Mode Mode Mode Mode 1 → Cã chän sè sè lÎ thËp ph©n + BÊm Mode Mode Mode Mode 2 → Cã chän hiÖn sè d¹ng : a.10 n + BÊm Mode Mode Mode Mode 3 → Cã chän sè d¹ng thêng + e) BÊm Mode Mode Mode Mode Mode ( 5 lÇn) Disp BÊm tiÕp 1 man−hinh → man −hinh →     1 ab / c d / c 1 2 3
Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n + BÊm Mode Mode Mode Mode Mode 1 1 → kÕt qu¶ díi d¹ng hæn sè + BÊm Mode Mode Mode Mode Mode 1 2 → kÕt qu¶ díi d¹ng ph©n sè Dot Comma + BÊm Mode Mode Mode Mode Mode 1 > man−hinh →   1 2 + BÊm Mode Mode Mode Mode Mode 1 > 1 → Chä dÊu c¸ch ph©n nguyªn vµ phÇn thËp ph©n lµ dÊu (.) + BÊm Mode Mode Mode Mode Mode 1 > 1 → Chä dÊu c¸ch ph©n nguyªn vµ phÇn thËp ph©n lµ dÊu (,) III/. C¸ch lµm mét bµi thi “ Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio" *Quy ®Þnh: 1. Yªu cÇu c¸c em dù thi chØ dïng m¸y Casio fx 500 MS, Casio fx 570 MS, Casio fx 500 ES, Casio fx 570 ES ®Ó gi¶i. 2. NÕu kh«ng qui ®Þnh g× thªm th× c¸c kÕt qu¶ trong c¸c ®Ò thi ph¶iviÕt ®ñ 10 chö sè hiÖn trªn mµn h×nh m¸y tÝnh. 3. Tr×nh bµy bµi gi¶i theo c¸c bíc sau : - S¬ lîc lêi gi¶i ( lêi gi¶i v¾n t¾t) - Thay sè vµo c«ng thøc (nÕu cã) - ViÕt quy tr×nh Ên phÝm - KÕt qu¶ *NhËn xÐt : Qua c¸c ®Ò thi tØnh, khu vùc tæ chøc c¸c n¨m gÇn ®©y. Chóng ta cã thÓ nh×n ®Ò thi ‘ Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio theo c¸c ®Þnh híng sau ®©y : 1. Bµi thi häc sinh giái" Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " ph¶i lµ mét bµi thi Häc sinh giái to¸n cã sù trî gióp cña m¸y tÝnh ®Ó thö nghiÖm t×m ra c¸c quy luËt to¸n häc hoÆc t¨ng tèc ®é tÝnh to¸n. 2. §»ng sau c¸c bµi to¸n Gi¶i trªn m¸y tÝnh Casio Èn chøa nh÷ng ®Þnh lý, thuËt to¸n, thËm chÝ c¶ mét lý thuyÕt to¸n häc ( sè häc, d·y tru håi...) 4
Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n ` 3. Ph¸t huy ®îc vai trß tÝch cùc cña to¸n häc vµ m¸y tÝnh trong gi¶i c¸c bµi to¸n thùc tÕ PhÇn II: C¸c d¹ng bµi tËp to¸n gi¶i b»ng m¸y tÝnh cÇm tay I/. Mét sè d¹ng to¸n x¸c ®Þnh sè (sè häc): 1/ . Lo¹i 1. TÝnh chÝnh x¸c kÕt qu¶ phÐp tÝnh : .Ph¬ng ph¸p: Dùa vµo c¸c tÝnh chÊt sau: 1) Sè a1 a 2 a3 a 4 ...a 7 a8 = a1 a 2 a3 a 4 . 10 4 + a5 a 6 a 7 a8 2) TÝnh chÊt cña phÐp nh©n: ( A + B)( C + D) = AC + AD +BC + BD 3) KÕt hîp tÝnh trªn m¸y vµ lµm trªn giÊy. .Môc tiªu: Chia sè lín thµnh nh÷ngsè nhámµ kh«ng trµn mµn h×nh khi thùc hiÖn trªn m¸y vÝ dô1: tÝnh chÝnh x¸c kÕt qu¶ cña phÐp tÝnh sau: A = 12578963 x 14375 b) TÝnh chÝnh x¸c A c) TÝnh chÝnh x¸c cña sè: B = 123456789 2 d) TÝnh chÝnh x¸c cña sè: C = 1023456 3 Gi¶i: a) NÕu tÝnh trªn m¸y sÏ trµn mµn h×nh nªn ta lµm nh sau: A = 12578963.14375 = (12578.10 3 + 963).14375 = 12578.10 3.14375 + 963.14375 * TÝnh trªn m¸y: 12578.14375 = 180808750 ⇒ 12578.103.14375 = 180808750000 * TÝnh trªn m¸y: 963.14375 = 13843125 Tõ ®ã ta cã: A = 180808750000 + 13843125 = 180822593125 VËy A = 12578963 x 14375 = 180822593125 b) B =1234567892=(123450000 + 6789) 2 = (1234.104)2 + 2.12345.10 4.6789 + 67892 5
Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n TÝnh trªn m¸y: 123452 = 152399025; 2x12345x6789 = 167620410 ; 6789 2 = 46090521 VËy: B = 152399025.10 8 + 167620410.10 4 + 46090521 = 15239902500000000 + 1676204100000 46090521 = 15241578750190521 d) C = 1023456 3 = (1023000 + 456)3= (1023.103 + 456)3 = 10233.109 + 3.10232.106.456 + 3.1023.103.4562 + 4563 TÝnh trªn m¸y: 10233 3.1023 2.456 = 1431651672 = 1070599167; 3.1023.4562 = 638155584; 456 3 = 94818816 VËy (tÝnh trªn giÊy): C = 1070599167000000000 1431651672000000 + 638155584000 94818816 = 1072031456922402816 Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1 : TÝnh kÕt qu¶ ®óng cña c¸c tÝch sau: a) M = 2222255555 x 2222266666 b) N = 20032003 x 20042004 §¸p sè: a) M = 4938444443209829630 b) N = 401481484254012 Bµi 2: TÝnh kÕt qu¶ ®óng cña c¸c phÐp tÝnh sau: a) A = 1,123456789 - 5,02122003 b) B = 4,546879231 + 107,3564177895 ; c) C= 52906279178,48 : 565,432 Bµi 3: TÝnh chÝnh x¸c tæng: S =1.1! +2.2! +3.3! +4.4! +... + 16.16! * Híng dÉn: Ta cã n.n! = ( n + 1 – 1).n! =(n + 1).n! – n! = (n+1)! –n! * §¸p sè: S = 355687428095999 Bµi 4: a) TÝnh b»ng m¸y tÝnh: Q = 1 + 2 2 + 3 + . . . + 10 2 . 2 6
Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n b) Cã thÓ dïng kÕt qu¶ ®ã ®Ó tÝnh tæng : K = 2 2 +.4 2 + 6 2 + ... + .20 2 mµ kh«ng dïng m¸y tÝnh .h·y tr×nh bµy lêi gi¶i Êy. §¸p sè: a) Q = 385; b) K = 1540 2  1012 + 2  Bµi 5: TÝnh chÝnh x¸c cña sè A =   3 10k + 2 NhËn xÐt: lµ sè nguyªn cã (k - 1) ch÷ sè 3, tËn cïng lµ sè 4 3 2  10k + 2   lµ sè nguyªn gåm k ch÷ sè 1, (k - 1) ch÷ sè 5, ch÷ sè cuèi cïng  3 lµ 6 * Ta dÔ dµng CM ®îc vµ tÝnh ®îc kÕt qu¶ lµ: A = 111111111111555555555556 2/. lo¹i 2: T×m sè d cña phÐp chia cña sè a cho sè b * Ph¬ng ph¸p: 1/. §èi víi sè bÞ chia tèi ®a cã 10 ch÷ sè:  A  A Th× sè d cña A: B = A - B.   (trong ®ã   lµ phÇn nguyªn cña A cho B B 2/. Khi sè bÞ chia A lín h¬n 10 ch÷ sè: Khi sè bÞ chia A lín h¬n 10 ch÷ sè ta ng¾t ra thµnh hai nhãm. Nhãm ®Çu 9 ch÷ sè ®Çu( kÓ tõ bª tr¸i). t×m ® îc sè d nh phÇn 1). Råi viÕt tiÕp sau sè d cßn l¹i tèi ®a 9 ch÷ sè råi t×m sè d lÇn hai. NÕu cßn n÷a th× lµm liªn tiÕp nh vËy. *§Þnh lÝ: Víi hai sè nguyªn bÊt kú a vµ b, b ≠ 0, lu«n tån t¹i duy nhÊt mét a = bq + r vµ 0 ≤ r < |b| cÆp sè nguyªn q vµ r sao cho: * Tõ ®Þnh lÝ trªn cho ta thuËt to¸n lËp quy tr×nh Ên phÝm t×m d trong phÐp chia a cho b: a SHIFT STO A b SHIFT STO B a a ALPHA A ÷ ALPHA B = (   ) Χ ALPHA B - ALPHA B Χ   =(Kqu¶: r =...) b  b  VÝ dô1: a) ViÕt mét quy tr×nh Ên phÝm t×m sè d khi chia 18901969 cho b) T×m sè d trong phÐp chia: 815 cho 2004 3041975 TÝnh sè d 7
Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n Gi¶i: a) Quy tr×nh Ên phÝm: 18901969 SHIFT STO A 3041975 SHIFT STO B ÷ (6,213716089) ANPHA A ANPHA B = -6× (650119) SHIFT A B = VËy sè d lµ: r = 650119 b) Ta ph©n tÝch: 815 = 88.87 Ta cã: 88 1732(mod2004) 87 968(mod2004) ⇒ 815 1732 x 968 (mod2004) 1232(mod2004) VËy sè d lµ: r = 1232 Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1: a) ViÕt quy tr×nh Ên phÝm ®Ó t×m sè d khi chia 3523127 cho 2047. b) T×m sè d ®ã.T×m th¬ng vµ sè d trong phÐp chia: 123456789 cho 23456 Bµi 2: T×m sè d trong phÐp chia: a) 987654321 cho 123456789 r=9 §¸p sè: 3/. lo¹i 3: T×m UCLN – BCNN cña a vµ b: *Ph¬ng ph¸p: 1.Víi c¸c sè a vµ b nhá h¬n 10 ch÷ sè th× ta dïng tÝnh chÊt rót gän ph©n sè a a , .m a , = = Trong ®ã (a , ; b ) = 1. Khi ®ã UCLN (a;b) = m b b , .m b , 2. Víi c¸c sè a vµ b lín h¬n 10 ch÷ sè th× ta dïng thuËt to¸n ¥LE: T×m UCLN(a;b) víi a 〉 b ta cã thuËt to¸n sau : a = b.q 1 + r1 b = r1 .q 2 + r2 r1 = r2 q3 + r3 . .rn − 2 = rn −1 q n + rn rn −1 = rn q n +1 + 0 Sè d cuèi cïng kh¸c 0 lµ r n chÝnh lµ UCLN (a;b) hay : r n = UCLN (a;b) 8
Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n a.b * Chó ý: BCNN(a;b) = UCLN (a; b) VÝ dô 1: T×m UCLN cña hai sè: a = 24614205, b = 10719433 Gi¶i: a a , .m a , = = *C 1: +) Ta cã: Trong ®ã (a , ; b ) = 1. Khi ®ã UCLN (a;b) = m b b , .m b , +) Quy tr×nh Êm m¸y: 24614205 SHIFT STO A ALPHA A : 10719433 = (1155/503) ALPHA A : 1155 = ( 21311) VËy UCLN(a;b) = 21311 *C 2: +)Theo thuËt to¸n ¥le t×m sè d trong phÐp chia sè a cho b ta ®îc: +) quy tr×nh Êm m¸yliªn tôc: (B¹n ®äc cã thÓ dÓ dµng lµm ®îc vµ kÕt qu¶ UCLN(a, b) = 21311) 3. X¸c ®Þnh sè íc sè cña mét sè tù nhiªn n *:§Þnh lÝ : Cho sè tù nhiªn n, n > 1, gi¶ sö khi ph©n tÝch n ra thõa sè nguyªn tè ta ®îc: n = p1e1 p22 ... pk k , e e víi k, ei lµ sè tù nhiªn vµ pi lµ c¸c sè nguyªn tè tho¶ m·n: 1 < p1 < p2
Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n ¸p dông ®Þnh lÝ trªn ta cã sè c¸c íc d¬ng cña A lµ: τ (A) = 11.6.3.2.2.2 = 1584 VËy sè c¸c íc d¬ng cña sè A = 6227020800 lµ: 1584 Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1: T×m íc chung lín nhÊt vµ béi chung nhá nhÊt cña: a = 75125232 vµ b = 175429800 §¸p sè: UCLN(a, b) = ; BCNN(a, b) = Bµi 2: Cã bao nhiªu sè tù nhiªn lµ íc cña: N = 1890 x 1930 x 1945 x 1954 x 1969 x 1975 x 2004 §¸p sè: 46080 ∈ 4/. lo¹i 4: T×m ch÷ sè x cña sè n = a n a n -1 ...xa 1 a 0 M m víi m N * Ph¬ng ph¸p: 1) Dùa vµo c¸c dÊu hiÖu chia hÕt cña 2,3,4,5,6,7,8,9,11... 2) Thay x lÇn lît tõ 0 ®Õn 9 sao cho n M m VÝ dô 1: T×m sè lín nhÊt vµ sè nhá nhÊt trong c¸c sè tù nhiªn cã d¹ng 1x 2 y3z 4 chia hÕt cho 7 *S¬ lîc lêi gi¶i: - Sè lín nhÊt d¹ng 1x 2 y3z 4 chia hÕt cho 7 sÏ lµ: 19293z 4 . LÇn lît thay z = { 9;8;7;6;5;4;3;2;1;0} ta ®îc sè lín nhÊt d¹ng 1x 2 y3z 4 chia hÕt cho 7 lµ: 1929354 ,th¬ng lµ 275622 - Sè nhá nhÊt d¹ng 1x 2 y3z 4 chia hÕt cho 7 sÏ lµ: 10203z 4 . LÇn lît thay z = { 9;8;7;6;5;4;3;2;1;0} ta ®îc sè nhá nhÊt d¹ng 1x 2 y3z 4 chia hÕt cho 7 lµ: 1020334 , th¬ng lµ 145762 10
Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n N = 1235679 x 4 y chia hÕt cho 24. VÝ dô 2: T×m tÊt c¶ c¸c sè n d¹ng: *S¬ lîc lêi gi¶i: V× N M 24 ⇒ N M 3 ; N M 8 ⇒ (37 + x + y) M 3 ; x 4 y M 8. ⇒ y chØ cã thÓ lµ 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8. Dïng m¸y tÝnh, thö c¸c gi¸ trÞ x tho¶ m·n: (x + y + 1) M 3 vµ x 4 y M 8, ta cã: N1 = 1235679048 ; N2 = 1235679840 Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1: T×m sè lín nhÊt, sè nhá nhÊt trong c¸c sè tù nhiªn d¹ng: 1x 2 y3z 4 chia hÕt cho 13. Sè 2: T×m sè lín nhÊt vµ sè nhá nhÊt trong c¸c sè tù nhiªn cã d¹ng 1x 2 y3z 4 chia hÕt cho 25 Sè 3: T×m ch÷ sè a biÕt r»ng 46928381a6506 chia hÕt cho 2009 Sè 4: T×m ch÷ sè x biÕt r»ng 469 x838196506 chia hÕt cho 2009 a n a n -1 ...xa 1 a 0 víi n ∈ N * lo¹i 4: T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè n = . Ph¬ng ph¸p: (VËn dông c¸c tÝnh chÊt sau) 1) Nh÷ng sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 0;1;5;6 khi n©ng lªn bÊt kú luü thõa nµo còng cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 0;1;5;6 2) Nh÷ng sè cè ch÷ sè tËn cïng lµ: 2;4;6 khi n©ng luü thõa bËc 4 dÒu cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 6 3) Nh÷ng sè cè ch÷ sè tËn cïng lµ: 3;7;9 khi n©ng luü thõa bËc 4 dÒu cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 1 4) Luü thõa bËc bÊt k× cña c¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 25 hoÆc 76 (vµ chØ nh÷ng sè Êy) ®Òu cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 25 hoÆc 76 (cã ®u«i bÊt biÕn). 5) Mét tÝch cã mét thõa sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0 th× tÝch ®ã cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 0 11
Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n 6) Mét tÝch cã mét thõa sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ 5 vµ nh©n víi sè lÎ th× tÝch ®ã cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 5 7) Sè chÝnh ph¬ng chØ chøa c¸c sè tËn cïng lµ: 0;1;4;5;6;9 8) T×m 2 ch÷ sè tËn cña mét sè cïng th× ta t×m sè d khi chia sè ®ã cho 10 (hoÆc béi cña 10 bÐ h¬n 100) 9) T×m 3 ch÷ sè tËn cña mét sè cïng th× ta t×m sè d khi chia sè ®ã cho 100 (hoÆc béi cña 100 bÐ h¬n 1000) 10) Thö trªn m¸y lÇn lît c¸c sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n th× ta chän 10 Luü thõa bËc bÊt k× cña c¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 25 hoÆc 76 (vµ chØ nh÷ng sè Êy) ®Òu cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 25 hoÆc 76 (cã ®u«i bÊt biÕn). 12) Luü thõa bËc bÊt k× cña c¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 376 hoÆc 625 (vµ chØ nh÷ng sè Êy) ®Òu cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 376 hoÆc 625 (cã ®u«i bÊt biÕn). 13) Luü thõa bËc bÊt k× cña c¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 9376 hoÆc 0625 (vµ chØ nh÷ng sè Êy) ®Òu cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 9376 hoÆc 0625 (cã ®u«i bÊt biÕn). VÝ dô 1: T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè: a) 9 9 vµ b) 14 14 9 14 *S¬ lîc lêi gi¶i:: a) Ta thÊy 9 9 lµ sè lÎ nªn 9 9 = 2.k + 1 ⇒ 9 9 = 9 2.k +1 nªn tËn cïng lµ sè 9 9 b) ta thÊy 14 14 ch¼n nªn 14 14 =2.k ⇒ 14 14 =14 2.k =196 k nªn ch÷ sè tËn cïng lµ sè: 14 6 VÝ dô 2: T×m hai ch÷ sè tËn cïng cña sè: 14 14 14 *S¬ lîc lêi gi¶i: Ta cã: 7 4 - 1 = 2400 ⇒ 7 4.k - 1 M 100 ⇒ 7 14 - 1 M 100 ⇒ 7 14 cã 2 ch÷ sè lµ : 01 14 14 MÆt kh¸c : 14 14 = 2 14 .7 14 Nhng: 2 14 : 20 d 4 (v× : 2 12 - 1 = { (2 4 ) 3 - 1 } : (2 4 - 1) =15; ⇒ 4.(2 12 - 1 ): 20 ) Vµ : 7 14 : 20 d 9 ( v× :7 4.k - 1 : 100 ⇒ 7 12 -1 : 100 ⇒ 7 12 : 20 d 1 ⇒ 7 14 : 20 d 9 ) VËy : 14 14 : 20 d 4.9 = 36 ⇒ 14 14 : 20 d 10 ⇒ 14 14 cã 2 ch÷ sè tËn cïng lµ:16 VÝ dô 3: T×m C¸c sè x ; y sao cho xxxxx : yyyy cã th¬ng lµ 16 d r. Cßn xxxx : yyy cã th¬ng lµ 16 d r -2000 *S¬ lîc lêi gi¶i: 12
Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n (1) Theo bµi ra ta cã: xxxxx = 16. yyyy + r ( 2) xxxx = 16 . yyy + r - 2000 LÊy (1) trõ ( 2) ta ®îc : x0000 = 16. y 000 + 2000 ⇔ 10.x = 16.y + 2 5x − 1 ⇔ 5.x = 8.y + 1 ⇒ y = ( v× x; y ∈ Z ; 0  x;y ≤ 9 ) 8 ⇒ x = 5: y = 3 VÝ dô 4: T×m c¸c sè khi b×nh ph ¬ng sÏ cã tËn cïng lµ ba ch÷ sè 4. Cã hay kh«ng c¸c sè khi b×nh ph¬ng cã tËn cïng lµ bèn ch÷ sè 4 ? *S¬ lîc lêi gi¶i: Ch÷ sè cuèi cïng cña x2 lµ 4 th× ch÷ sè cuèi cïng cña x lµ 2 hoÆc 8. TÝnh trªn m¸y b×nh ph¬ng cña sè: 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98 ta chØ cã c¸c sè:12, 62, 38, 88. khi b×nh ph¬ng lªn cã tËn cïng lµ hai ch÷ sè 4. TÝnh trªn m¸y b×nh ph¬ng cña c¸c sè: 12, 112, 212, 312, 412, 512, 612, 712, 812, 912; 62, 162, 262, 362, 462, 562, 662, 762, 862, 962; 38, 138, 238, 338, 438, 538, 638, 738, 838, 938 88, 188, 288, 388, 488, 588, 688, 788, 888, 988 ta ®îc: 462, 962, 38, 538 khi b×nh ph¬ng cã tËn cïng lµ 444. * T¬ng tù c¸ch lµm trªn, ta cã kÕt luËn: kh«ng cã sè N nµo ®Ó N 2 kÕt thóc bëi bèn ch÷ sè tËn cïng lµ : 4444. Bµi tËp ¸p dông: Bµi 5: T×m tÊt c¶ c¸c sè cã 6 ch÷ sè tho· m·n: 1) Sè t¹o thµnh bëi ba ch÷ sè cuèi lín h¬n sè t¹o thµnh bëi ba ch÷ sè ®Çu 1 ®¬n vÞ 2) Lµ sè chÝnh ph¬ng. 13
Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n Bµi 6: T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn x tho¶ m·n: 10000 < x < 15000 vµ khi chia x cho 393 còng nh 655 ®Òu cã sè d lµ 210. Bµi 7: T×m c¸c ch÷ sè x, y, z ®Ó 579 xyz chia hÕt cho 5, 7 vµ 9. Bµi 8: T×m sè nguyªn d¬ng nhá nhÊt cã tÝnh chÊt sau: 1) ViÕt díi d¹ng thËp ph©n a cã tËn cïng lµ sè 6. 2) NÕu bá ch÷ sè 6 cuèi cïng vµ ®Æt ch÷ sè 6 lªn tr íc c¸c ch÷ sè cßn l¹i sÏ ®îc mét sè gÊp 4 lÇn ch÷ sè ban ®Çu. Bµi 9: T×m sè tù nhiªn n sao cho: a) 2n + 7 chia hÕt cho n + 1 b) n + 2 chia hÕt cho 7 - n Bµi 10: T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt sao cho n3 lµ mét sè cã 3 ch÷ sè ®Çu vµ 4 ch÷ sè cuèi ®Òu lµ sè 1. Bµi 11: a) T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt mµ n 2 b¾t ®Çu bëi sè 19 vµ kÕt thóc b»ng sè 89 b) T×m sè tù nhiªn n sao cho: n2 = 2525xxxxxx89 (trong ®ã xxxxxx lµ 6 sè cã thÓ kh¸c nhau). Bµi 12: Víi gi¸ trÞ tù nhiªn nµo cña n th×: 1,01n - 1 < (n - 1) vµ 1,01n > n. T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn: x 1 ; x 2 ; ... ; x 8 Sao cho x1 x 2 ...x8 = ( x1 x2 ) Bµi 13: 4 §¸p sè – Híng dÉn lêi gi¶i: Bµi 1: §¸p sè: - Sè lín nhÊt lµ 129304; - Sè nhá nhÊt lµ 1020344 Sè 2: §¸p sè: - Sè lín nhÊt lµ 2939475; - Sè nhá nhÊt lµ: 1030425 Sè 3: §¸p sè: a = Sè 4: §¸p sè: x = *S¬ lîc lêi gi¶i:: Gäi sè cÇn t×m lµ: n = a1a2 a3a4 a5a6 . Bµi 5: - §Æt x = a1a2 a3 . Khi Êy a4 a5 a6 = x + 1 vµ n = 1000x + x + 1 = 1001x + 1 = y2 hay (y - 1)(y + 1) = 7.11.13x. 14
Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n VËy hai trong ba sè nguyªn tè 7, 11, 13 ph¶i lµ íc cña mét trong hai thõa sè cña vÕ tr¸i vµ sè cßn l¹i ph¶i lµ íc cña thõa sè cßn l¹i cña vÕ tr¸i. Dïng m¸y tÝnh, xÐt c¸c kh¶ n¨ng ®i ®Õn ®¸p sè: n = 183184 ; 328329 ; 528529 ; 715716. Bµi 6: *S¬ lîc lêi gi¶i: Tõ gi¶ thiÕt, ta cã: x = 393.q 1 + 210 ⇒ x -210 chia hÕt cho 393 x = 655.q2 + 210 ⇒ x -210 chia hÕt cho 655 ⇒ x -210 chia hÕt cho BCNN (393 ; 655) = 1965 ⇒ x -210 = 1965.k ; (k = 1, 2,...) hay x = 1965k + 210 - Tõ gi¶ thiÕt 10000 < x < 15000 ⇒ 10000 < 1965k + 210 < 15000 hay 9790 < 1965k < 14790 ⇒ 5 ≤ k < 8. TÝnh trªn m¸y: Víi k = 5, ta cã: x = 1965.5 + 210 = 10035 Víi k = 6, ta cã: x = 1965.6 + 210 = 12000 Víi k = 7, ta cã: x = 1965.7 + 210 = 13965 VËy c¸c sè ph¶i t×m lµ: 10035, 12000, 13965 Bµi 7: *S¬ lîc lêi gi¶i: V× c¸c sè 5, 7, 9 ®«i mét nguyªn tè cïng nhau nªn ta ph¶i t×m c¸c ch÷ sè x, y, z sao cho 579 xyz chia hÕt cho 5.7.9 = 315. Ta cã 579 xyz = 579000 + xyz = 1838.315 + 30 + xyz ⇒ 30 + xyz chia hÕt cho 315. V× 30 ≤ 30 + xyz < 1029 nªn (Dïng m¸y tÝnh t×m c¸c béi cña 315 trong kho¶ng (30 ; 1029): - NÕu 30 + xyz = 315 th× xyz = 315 - 30 = 285 - NÕu 30 + xyz = 630 th× xyz = 630 - 30 = 600 - NÕu 30 + xyz = 945 th× xyz = 945 - 30 = 915 VËy ta cã ®¸p sè sau: 15
Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n x y z 2 8 5 6 0 0 9 1 5 Bµi 8: *S¬ lîc lêi gi¶i: - Gi¶ sö sè cÇn t×m cã n + 1 ch÷ sè. - Tõ ®iÒu kiÖn 1) sè ®ã d¹ng: a1a2 ...an 6 - Tõ ®iÒu kiÖn 2), ta cã: 6a1a2 ...an = 4. a1a2 ...an 6 (*) - §Æt a = a1a2 ...an , th×: a1a2 ...an 6 = 10a + 6 6a1a2 ...an = 6.10n + a - Khi ®ã (*) trë thµnh: 6.10 n + a = 4.(10a + 6) ⇔ 2.(10n - 4) = 13a (**) §¼ng thøc (**) chøng tá vÕ tr¸i chia hÕt cho 13. V× (2 ; 13) = 1 nªn: 10n - 4 chia hÕt cho 13. Bµi to¸n quy vÒ: T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt ®Ó (10n - 4) chia hÕt cho 13, khi ®ã t×m ra sè a vµ sè cÇn t×m cã d¹ng: 10a + 6. Thö lÇn lît trªn m¸y c¸c gi¸ trÞ n = 1; 2;... th× (10n - 4) lÇn lît lµ: 6, 96, 996, 9996, 99996,... vµ sè ®Çu tiªn chia hÕt cho 13 lµ: 99996. Khi ®ã a = 15384 ⇒ Sè cÇn t×m lµ: 153846. Bµi 9: *S¬ lîc lêi gi¶i:: a) LËp c«ng thøc (2n + 7) : (n + 1) trªn m¸y vµ thö lÇn l ît n = 0, 1, 2,... ta ® îc n = 0 vµ n = 4 th× 2n + 7 chia hÕt cho n + 1. Chøng minh víi mäi n ≥ 5, ta ®Òu cã 2n + 7 kh«ng chia hÕt cho n + 1, thËt vËy: (2n + 7) M (n + 1) ⇒ [(2n + 7) - 2(n + 1)] M (n + 1) ⇒ 5 M (n + 1) ⇒ n ≤ 5. VËy sè n cÇn t×m lµ 0 hoÆc 4. b) T¬ng tù ta cã: n = 4 hoÆc n = 6. Bµi 10: *S¬ lîc lêi gi¶i:: 16
Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n NhËn xÐt: 1) §Ó n3 cã tËn cïng lµ 11 th× n cã tËn cïng lµ sè 1. Thö trªn m¸y c¸c sè:11, 21, 31,...81, 91 ®îc duy nhÊt sè 71 khi luü thõa bËc ba cã tËn cïng lµ 11. 2) §Ó n3 cã tËn cïng lµ 111 th× n cã ph¶i tËn cïng lµ sè 471. (Thö trªn m¸y víi c¸c sè: 171, 271, 371,...871, 971 ) 3) §Ó n3 cã tËn cïng lµ 1111 th× n ph¶i cã tËn cïng lµ sè 8471. (Thö trªn m¸y víi c¸c sè: 1471, 2471, 3471,...8471, 9471 ) - Gi¶ sö m lµ sè ch÷ sè ®øng gi÷a c¸c sè 111 vµ 1111: + NÕu m = 3k, k ∈Z+, th×: 111 x 103k+4 < n3 = 111...1111 < 112 x 103k+4 ( 111000...00 0000 < 111 m...k 1111 < 112 000...00 0000 ) 1 24 { 43 1 24 { 43 { =3 4 4 3k 3k ⇒ 3 1110.10k +1 < 3 n3 = 3 111...1111 < 3 1120.10k +1 TÝnh trªn m¸y: 10,35398805 x 10k+1 < n < 10,3849882 x 10k+1 Do ®ã, víi k ≥ 1. Cho k = 1 ta ®îc n b¾t ®Çu b»ng sè 103, nghÜa lµ: n = 103...8471 ⇒ Sè nhá nhÊt trong c¸c sè ®ã lµ: n = 1038471 + NÕu m = 3k + 1 vµ m = 3k + 2, ta ®îc c¸c sè nµy ®Òu vît qu¸ sè 1038471 KÕt luËn: Sè nhá nhÊt tho· m·n yªu cÇu bµi to¸n lµ: n = 1038471 khi ®ã: (tÝnh kÕt hîp trªn m¸y vµ trªn giÊy): n3 = 1119909991289361111 Bµi 11: *S¬ lîc lêi gi¶i:: a) Tríc hÕt ta t×m sè n2 cã tËn cïng lµ 89: - V× n2 cã tËn cïng lµ 9 nªn n chØ cã thÓ cã tËn cïng lµ 3 hoÆc 7. 17
Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n - Thö trªn m¸y c¸c sè: 13, 23,..., 93 ; 17, 27,..., 97 ta t×m ®îc: ®Ó n2 cã tËn cïng lµ 89 th× n ph¶i cã 2 sè tËn cïng lµ mét trong c¸c sè sau: 17, 33, 67, 83 (*) * B©y giê ta t×m sè n2 b¾t ®Çu bëi sè 19: - §Ó n2 b¾t ®Çu bëi sè 19 th× nã ph¶i cã d¹ng: 19 x 10k ≤ n2 < 20 x 10k ⇔ (1) 19.10k ≤ n < 20.10k + NÕu k = 2m th× ta cã (1), trë thµnh: 19.10m ≤ n < 20.10m ⇔ 4,3588989.10 m ≤ n < 4,472135955.10 m (2) Trong (2) ta cho m = 0, 1, 2,... (tÝnh trªn m¸y): ta ®îc n cã thÓ lµ: 44, 436, 437, 438, 439, ... , 447 + NÕu k = 2m th× ta cã (1), trë thµnh: 190.10m ≤ n < 200.10m ⇔ 13,78404875.10 m ≤ n < 14,14213562.10 m (3) Trong (3) ta cho m = 0, 1, 2,... (tÝnh trªn m¸y): ta ®îc n cã thÓ lµ: 14, 138, 139, ... , 141 1379, 1380, 1381, ... , 1414 Tãm l¹i ®Ó n b¾t ®Çu bëi sè 19 th× n cã thÓ lµ: 14, 44, 138, 139, ..., 141, 436, 437, ... , 447, 1379, 1380, ... , 1414 (**) Tõ (*) vµ (**) ta nhËn thÊy trong c¸c sè trªn chØ cã sè 1383 tho¶ m·n bµi to¸n. 2525 x 108 ≤ x2 < 2526 x 108 b) Ta cã: ⇔ 50,24937811 x 104 ≤ x < 50,25932749 x 104 VËy : 502493 < x < 502593 Sè x tËn cïng ph¶i lµ: 17, 33, 67, 83 (theo c©u a), do ®ã c¸c sè tho¶ m·n lµ: 502517, 502533, 502567, 502583 . Bµi 12:*S¬ lîc lêi gi¶i: 1,01512 ≈ 163,133... < 512 Ta cã: 18
Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n ≈ 26612,56.. > 1024 1024 1,01 VËy: 512 < n < 1024 Thu hÑp kho¶ng c¸ch chøa n b»ng ph¬ng ph¸p chia ®«i: 521+1024 - Chia ®«i ®o¹n [512 ; 1024], ta cã: 1, 01 = 1, 01768 = 2083, 603... > 768 2 VËy l¹i cã: 512 < n < 768 Sau mét sè bíc chia ®«i nh thÕ ®i ®Õn: 650 < n < 652 1,01 651 = 650,45... < 651 Cuèi cïng ta cã: 1,01652 = 656,95.. > 652 ⇒ n = 652 * Quy tr×nh trªn MT Casio fx: 500 MS (ThuËt to¸n: XÐt hiÖu 1,01A - A , g¸n cho A c¸c gi¸ trÞ tù nhiªn: 0, 1, 2,... dõng l¹i khi hiÖu trªn chuyÓn tõ (-) sang (+)) - G¸n cho « nhí A gi¸ trÞ tù nhiªn ®Çu tiªn: 0 SHIFT STO A - LËp c«ng thøc tÝnh hiÖu 1,01 A - A vµ g¸n gi¸ trÞ « nhí bëi sè tù nhiªn kÕ tiÕp: 1,01 ∧ ANPHA A - ANPHA A : +1 ANPHA A ANPHA = ANPHA A - LÆp l¹i c«ng thøc trªn: = ... = Bµi to¸n kÕt thóc khi chuyÓn tõ n = 651 sang n = 652. Bµi 13:*S¬ lîc lêi gi¶i: Ta cã: 10.000.000 ≤ x1 x 2 ...x8 = ( x1 x 2 ) 4 ≤ 99999999 ⇔ 57 ≤ x6 x8 ≤ 99 Ta ghi lªn mµ h×nh ( 57 ) 4 = 10556001 kh«ng tho¶ m·n ë vÞ trÝ x 6 ; x 8 Dïng phÝm 〈 ®Ó söa vµ thö c¸c sè tõ 57; 58; ...;98; 99. ta ® îc 3 sè : 65; 86; 91 19
Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n VËy ta cã 3 bé sè x 1 ; x 2 ; ... ; x 8 lµ : 65 = 17850625 ; 86 4 = 54700816 ; 91 4 = 4 68574961 II. ®a thøc: * KiÕn thøc bæ rung: 1) Cho ®a thøc P (x) bËc n: P (x) = an . xn + an-1 . xn-1 + ... + a1. x +a0 (*) Trong ®ã: an ; an-1 ; ...a1; a0 /R ; an 0 Khi đã: an; an-1; an-2; an-3;... ; a1; a0 gọi c¸c hệ số N ếu x0 mµ P(x0) = 0 th× x0 lµ nghiệm của P(x) 2) Khi chia ®a thøc P (x) cho (x - α ) lu«n tån t¹i mét ®a thøc th ¬ng Q(x) vµ sè d r. Hay ta lu«n cã: P(x) = Q(x). (x - α ) + r * Chó ý: (§Þnh lý Bezout) 1) N ếu x = α lµ nghiệm của P(x) P(x) M (x - α ) 2) Nếu x0 lµ nghiệm nguyªn của P(x) th× x0 ước của a0 3) N ếu tổng c¸c hệ số bằng 0 th× P(x) = 0 cã nghiệm lµ x = 1 ( Hay P(x) M( x - 1) ) 4) NÕu tæng c¸c hÖ sè bËc ch¼n b»ng tæng c¸c hÖ sè bËc lÎ th× P(x) = 0 cã nghiÖm lµ x = -1 (Hay P(x) M( x + 1) ) * S¬ ®å Horner: (®èi víi ®a thøc mét biÕn) Khi chia ®a thøc P(x) cho ( x - α ) th¬ng lµ: bn. xn-1 + bn-1. xn-2 + ... + b2 . x + b1vµ cã sè d lµ: r . Khi ®ã ta cã s¬ ®å nh sau: an an-1 an-2 an-3 ...... a1 a0 α bn bn-1 bn-2 bn-3 ....... b1 r = b0 Trong đã: bn = an bn-1 = α . bn + an-1 bn-2 = α . bn-1 + an-2 .......................... b1 = α . bn-1 + a1 b0 = α . b1 + a0. Khi đã: 1). P ( α ) = b0 2). Nếu P ( α ) = 0 th× P(x) M (x - α ) 3). Nếu P (x) 0 th× P (x) : (x - α ) cã sè dư lµ: r = P ( α ) Vµ cã thương lµ: bn. xn-1 + bn-1. xn-2 + ... + b2 . x + b1 20