ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng - Bộ Môn Toán
Đề Thi/CQ
(Đề thi 20 câu / 2 trang)
ĐỀ THI GHK HK2-2015
Môn : Giải tích 2
Thời gian làm bài: 45 phút - Ngày thi: 25 /04/2015
CA 1
Đề 4255
Câu 1. Cho f(x, y) = x2+yarctan (y−2x). Khai triển Maclaurin cấp 3 của flà:
Af(x, y) = y2−2x3+x2y+R3
Bf(x, y) = y−2x−2xy +y2−2x3+x2y+R3
Cf(x, y)=2xy +y2−2x3+x2y+R3
Df(x, y) = −2xy +y2−2x3+x2y+R3
Câu 2. Cho g=f(x) = √x2+ 1 trong đó, x=e2u2−3uv. Tính g0
u(0,1).
Ag0
u(0,1) = −1
√2
Bg0
u(0,1) = −3
√2
Cg0
u(0,1) = e−1
√3
Dg0
u(0,1) = e−1
√2
Câu 3. Giá trị nhỏ nhất của f(x, y) = x+y2trên miền D: 1 ≤x≤2, x ≤y≤2là:
A5
B1
C3
D2
Câu 4. Mặt bậc hai xác định bởi phương trình x2+ 2y2−y+z−3 = 0 là một
AEllipsoid
BParaboloid Elliptic
CTrụ Elliptic
DNón
Câu 5. Miền các định của hàm số f(x, y) = ln ( y
x2+ 1) là:
APhần mặt phẳng nằm phía trên parabol y=−x2
BToàn mặt phẳng bỏ đi trục Oy.
CToàn mặt phẳng bỏ đi parabol y=−x2
DPhần mặt phẳng nằm phía dưới parabol y=−x2
Câu 6. Tính tích phân I=RRD−2dxdyvới Dlà miền giới hạn bởi y= 2x, y =x
2, y = 2.
AI=−3
BI=−6
CI= 2
DĐáp số khác
Câu 7. Cho Clà giao tuyến của mặt cong z=x3−xy2−5yvà mặt phẳng y=−1. Tìm hệ số góc tiếp tuyến kcủa đường
cong Ctại điểm x0=−2.
Ak=−9
Bk=−6
Ck= 6
Dk= 11
Câu 8. Tìm f00
xy(1,−1), trong đó f(x, y)=(y+ 1)exy+y2.
Af00
xy = 2
Bf00
xy = 0
Cf00
xy =−1
Df00
xy = 3
Câu 9. Cho g=f(x, y) = ln x+2
y2, trong đó y=3
√x3+ 1. Tính g0(x)tại x= 0.
Ag0(0) = 1
2
Bg0(0) = −1
6
Cg0(0) = 5
2
DCác câu khác sai.
Câu 10. Khi đổi tích phân sau đây sang tọa độ Descartes : I=
0
R
−π
4
dϕ
√2
R
0
r2.cos ϕdr, kết luận nào dưới đây là đúng?
AI=
0
R
−1
dy
√2−y2
R
−y
xpx2+y2dx
BI=
0
R
−1
dy
√2−y2
R
−y
xdx
CI=
0
R
−1
dy
√2
R
0
xdx
DI=
0
R
−1
dy
1
R
0
xdx
Câu 11. Tính vi phân cấp hai tại (1,1) của f(x, y) = ye x
y.
Adf(1,1) = dx2−2dxdy
Bdf(1,1) = edx2−edxdy+edy2
Cdf(1,1) = edx2+ 2edxdy+edy2
Ddf(1,1) = edx2−2edxdy+edy2
Câu 12. Cho hàm số f(x, y) = a3x2+y2−2ax −4y. Tìm tất cả các giá trị a6= 0 để P(1,2) là điểm cực tiểu của f.
Aa=−1
Ba= 1
Ca=±1
DKhông tồn tại a
1
Câu 13. Cho miền phẳng D:x2+y2≤2x, y ≥x, y ≤ −x. Nếu dựa trên tính đối xứng, diện tích miền Dđược tính theo công
thức nào dưới đây?
AS(D)=2
π
4
R
0
dϕ
2 cos ϕ
R
0
rdr
BS(D) = 2
π
2
R
0
dϕ
2 cos ϕ
R
0
rdr
CS(D)=2
π
2
R
π
4
dϕ
2
R
0
rdr
DS(D) = 2
π
2
R
π
4
dϕ
2 cos ϕ
R
0
rdr
Câu 14. Cho f(x, y) = x2+ 2xy, vector ~a nào dưới đây thỏa ∂f
∂~a (1,1) = 0?
A~a = (1,2)
B~a = (1,−2)
C~a = (2,1)
D~a = (2,0)
Câu 15. Đổi tích phân sau sang tọa độ cực: I=RRDypx2+y2dxdy, trong đó Dcho bởi:
x2+y2≤2y, y ≤ −√3x.
AI=
π
R
2π
3
dϕ
2 sin ϕ
R
0
r3sin ϕdr
BI=
2π
3
R
0
dϕ
2 sin ϕ
R
0
r2sin ϕdr
CI=
π
R
π
3
dϕ
2 sin ϕ
R
0
r3sin ϕdr
DI=
4π
3
R
0
dϕ
1
R
0
r3sin ϕdr
Câu 16. Tính tích phân I=
1
R
0
dx
x2
R
x2
4
x
√ydy.
AI=1
3
BI=1
2
CI=1
6
DI= 1
Câu 17. Cho hàm số f(x, y) = x3−3y2+ 6xy −15x+ 6y, kết luận nào sau đây là đúng về cực trị tự do của f?
A(−3,−2) không là điểm dừng của f
Bfkhông đạt cực trị tại (−3,−2)
Cfđạt cực đại tại (−3,−2)
Dfđạt cực tiểu tại (−3,−2).
Câu 18. Cho f(x, y) = x+yarctan x2
y. Giá trị biểu thức A=f0
x(0,1) −3f0
y(0,1) là:
AA= 1
BA=−2
CA= 2
DA= 0
Câu 19. Phương trình √x2−1 + y= 0 biểu diễn một phần của mặt bậc hai nào dưới đây?
ATrụ Elliptic
BNón
CCác câu khác sai
DTrụ hyperbolic
Câu 20. Cho hàm ẩn z=z(x, y)xác định bởi phương trình (z2+ 2) sinh (x−z+ 1) + 3y= 3. Biết z(0,1) = 1, tìm dz(0,1).
Adz(0,1) = dx+ 3dy
Bdz(0,1) = dx
3+ dy
Cdz(0,1) = dx+ dy
Ddz(0,1) = 3dx+ 3dy
CN Bộ môn
PGS.TS. Nguyễn Đình Huy
2
Đề 4255 ĐÁP ÁN
Câu 1.
D
Câu 2.
B
Câu 3.
D
Câu 4.
B
Câu 5.
A
Câu 6.
B
Câu 7.
D
Câu 8.
C
Câu 9.
A
Câu 10.
B
Câu 11.
D
Câu 12.
B
Câu 13.
D
Câu 14.
B
Câu 15.
A
Câu 16.
A
Câu 17.
C
Câu 18.
A
Câu 19.
D
Câu 20.
C
1
ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng - Bộ Môn Toán
Đề Thi/CQ
(Đề thi 20 câu / 2 trang)
ĐỀ THI GHK HK2-2015
Môn : Giải tích 2
Thời gian làm bài: 45 phút - Ngày thi: 25 /04/2015
CA 1
Đề 4256
Câu 1. Tính tích phân I=RRD−2dxdyvới Dlà miền giới hạn bởi y= 2x, y =x
2, y = 2.
AĐáp số khác
BI=−3
CI=−6
DI= 2
Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của f(x, y) = x+y2trên miền D: 1 ≤x≤2, x ≤y≤2là:
A2
B5
C1
D3
Câu 3. Phương trình √x2−1 + y= 0 biểu diễn một phần của mặt bậc hai nào dưới đây?
ATrụ hyperbolic
BTrụ Elliptic
CNón
DCác câu khác sai
Câu 4. Miền các định của hàm số f(x, y) = ln ( y
x2+ 1) là:
APhần mặt phẳng nằm phía dưới parabol y=−x2
BPhần mặt phẳng nằm phía trên parabol y=−x2
CToàn mặt phẳng bỏ đi trục Oy.
DToàn mặt phẳng bỏ đi parabol y=−x2
Câu 5. Tìm f00
xy(1,−1), trong đó f(x, y)=(y+ 1)exy+y2.
Af00
xy = 3
Bf00
xy = 2
Cf00
xy = 0
Df00
xy =−1
Câu 6. Cho f(x, y) = x2+ 2xy, vector ~a nào dưới đây thỏa ∂f
∂~a (1,1) = 0?
A~a = (2,0)
B~a = (1,2)
C~a = (1,−2)
D~a = (2,1)
Câu 7. Cho g=f(x) = √x2+ 1 trong đó, x=e2u2−3uv. Tính g0
u(0,1).
Ag0
u(0,1) = e−1
√2
Bg0
u(0,1) = −1
√2
Cg0
u(0,1) = −3
√2
Dg0
u(0,1) = e−1
√3
Câu 8. Mặt bậc hai xác định bởi phương trình x2+ 2y2−y+z−3 = 0 là một
ANón
BEllipsoid
CParaboloid Elliptic
DTrụ Elliptic
Câu 9. Đổi tích phân sau sang tọa độ cực: I=RRDypx2+y2dxdy, trong đó Dcho bởi:
x2+y2≤2y, y ≤ −√3x.
AI=
4π
3
R
0
dϕ
1
R
0
r3sin ϕdr
BI=
π
R
2π
3
dϕ
2 sin ϕ
R
0
r3sin ϕdr
CI=
2π
3
R
0
dϕ
2 sin ϕ
R
0
r2sin ϕdr
DI=
π
R
π
3
dϕ
2 sin ϕ
R
0
r3sin ϕdr
Câu 10. Cho hàm số f(x, y) = a3x2+y2−2ax −4y. Tìm tất cả các giá trị a6= 0 để P(1,2) là điểm cực tiểu của f.
AKhông tồn tại a
Ba=−1
Ca= 1
Da=±1
Câu 11. Cho f(x, y) = x2+yarctan (y−2x). Khai triển Maclaurin cấp 3 của flà:
Af(x, y) = −2xy +y2−2x3+x2y+R3
Bf(x, y) = y2−2x3+x2y+R3
Cf(x, y) = y−2x−2xy +y2−2x3+x2y+R3
Df(x, y)=2xy +y2−2x3+x2y+R3
Câu 12. Cho g=f(x, y) = ln x+2
y2, trong đó y=3
√x3+ 1. Tính g0(x)tại x= 0.
ACác câu khác sai.
Bg0(0) = 1
2
Cg0(0) = −1
6
Dg0(0) = 5
2
1
Câu 13. Khi đổi tích phân sau đây sang tọa độ Descartes : I=
0
R
−π
4
dϕ
√2
R
0
r2.cos ϕdr, kết luận nào dưới đây là đúng?
AI=
0
R
−1
dy
1
R
0
xdx
BI=
0
R
−1
dy
√2−y2
R
−y
xpx2+y2dx
CI=
0
R
−1
dy
√2−y2
R
−y
xdx
DI=
0
R
−1
dy
√2
R
0
xdx
Câu 14. Cho hàm ẩn z=z(x, y)xác định bởi phương trình (z2+ 2) sinh (x−z+ 1) + 3y= 3. Biết z(0,1) = 1, tìm dz(0,1).
Adz(0,1) = 3dx+ 3dy
Bdz(0,1) = dx+ 3dy
Cdz(0,1) = dx
3+ dy
Ddz(0,1) = dx+ dy
Câu 15. Cho f(x, y) = x+yarctan x2
y. Giá trị biểu thức A=f0
x(0,1) −3f0
y(0,1) là:
AA= 0
BA= 1
CA=−2
DA= 2
Câu 16. Cho hàm số f(x, y) = x3−3y2+ 6xy −15x+ 6y, kết luận nào sau đây là đúng về cực trị tự do của f?
Afđạt cực tiểu tại (−3,−2).
B(−3,−2) không là điểm dừng của f
Cfkhông đạt cực trị tại (−3,−2)
Dfđạt cực đại tại (−3,−2)
Câu 17. Tính tích phân I=
1
R
0
dx
x2
R
x2
4
x
√ydy.
AI= 1
BI=1
3
CI=1
2
DI=1
6
Câu 18. Cho Clà giao tuyến của mặt cong z=x3−xy2−5yvà mặt phẳng y=−1. Tìm hệ số góc tiếp tuyến kcủa đường
cong Ctại điểm x0=−2.
Ak= 11
Bk=−9
Ck=−6
Dk= 6
Câu 19. Tính vi phân cấp hai tại (1,1) của f(x, y) = ye x
y.
Adf(1,1) = edx2−2edxdy+edy2
Bdf(1,1) = dx2−2dxdy
Cdf(1,1) = edx2−edxdy+edy2
Ddf(1,1) = edx2+ 2edxdy+edy2
Câu 20. Cho miền phẳng D:x2+y2≤2x, y ≥x, y ≤ −x. Nếu dựa trên tính đối xứng, diện tích miền Dđược tính theo công
thức nào dưới đây?
AS(D)=2
π
2
R
π
4
dϕ
2 cos ϕ
R
0
rdr
BS(D) = 2
π
4
R
0
dϕ
2 cos ϕ
R
0
rdr
CS(D)=2
π
2
R
0
dϕ
2 cos ϕ
R
0
rdr
DS(D) = 2
π
2
R
π
4
dϕ
2
R
0
rdr
CN Bộ môn
PGS.TS. Nguyễn Đình Huy
2