YOMEDIA
ADSENSE
Đề thi học sinh giỏi trường 07-08
206
lượt xem 41
download
lượt xem 41
download
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
Đề thi học sinh giỏi trường 07-08 là tài liệu dành cho các bạn học sinh thi học sinh giỏi rèn luyện và nâng cao kỹ năng giãi bài tập, ôn tập kiến thức, góp phần giúp ích cho các kỳ thi sắp tới.
AMBIENT/
Chủ đề:
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi trường 07-08
- TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG NĂM HỌC 2007 - 2008 Đề chính thức Môn thi : TOÁN LỚP 11 THPT Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Bài I: ( 7,0 điểm) 1. Giải phương trình : cos3x – sin3x = cosx + sinx. 3x 1. 3 2 x 2 2. Tính giới hạn hàm số : L lim x 1 x 1 Bài II: ( 6,0 điểm) u1 2006, u2 2009 1. Cho dãy số (un) có 5un 1 2un . un 2 3 , nN * a) Đặt vn un1 un . Chứng minh rằng dãy số (vn) là một cấp số nhân. b) Tính giới hạn : lim un 2 y x(1 y 2 ) 2. Giải hệ phương trình : . 3x x y (1 3x ) 3 2 Bài III: ( 7,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = 3a. Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC, H là hình chiếu vuông góc của điểm O lên mặt phẳng (SBC). a) Chứng minh rằng : H là trực tâm của tam giác SBC. b) Tính góc giữa đường thẳng OH và mặt phẳng (ABC). ………………… Hết ………………… Họ và tên thí sinh : ………………………………………………………………………..SBD:…………. 1
- ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG LỚP 11 - NĂM HỌC 2007 - 2008 Câu Nội dung Điểm I- 1 Phương pháp: Áp dụng CT biến đổi tổng thành tích. Chuyển về phương trình tích. (3,5 đ) Điều kiện: x R. Phương trình đã cho tương đương với 1,0 cosx – cos3x + sin3x + sinx = 0 2sin2x.sinx + 2sin2x.cosx = 0 2sin2x(sinx + cosx) = 0 1,0 sin2x = 0 v sinx + cosx = 0 k 2 x k . x 2 1,0 , k Z. t anx = -1 x k 4 k Kết luận: x = x v x k , k Z. 0,5 2 4 I–2 Phương pháp: Thêm bớt biểu thức trên tử. Tách ra tính hai giới hạn bằng cách (3,5 đ) nhân biểu thức liên hợp. 1,0 3x 1. 3 2 x 3x 1 3x 1 2 L lim x 1 x 1 3 2 x 1 3x 1 2 = lim 3x 1 lim x 1 x 1 x 1 x 1 1,0 ( 3 2 x 1) 3 (2 x) 2 3 2 x 1 = lim 3x 1 lim ( 3x 1 2)( 3x 1 2) ( x 1) 3 (2 x) 2 3 2 x 1 ( x 1)( 3x 1 2) x 1 x 1 (2 x 1) (3x 1 4) = lim 3x 1 lim ( x 1) 3 (2 x) 2 3 2 x 1 ( x 1)( 3x 1 2) x 1 x 1 1,0 ( 3x 1) 3 = lim lim x 1 3 (2 x) 3 2 x 1 2 x 1 ( 3x 1 2) 1 = . 12 0,5 1 Kết luận: L = . 12 II – 1a Phương pháp: Chứng minh vn1 q.vn , q không đổi, thoả mãn với n N*. (2,0 đ) 5u 2un 2 2 1,5 Ta có vn1 un 2 un1 n1 un1 un1 un vn n N*. 3 3 3 Từ định nghĩa cấp số nhân. Ta có dãy số (vn) là một cấp số nhân với số hạng đầu 2 0,5 v1 = u2 – u1 = 3 và công bội q = . 3 II – 1b Phương pháp: Tìm công thức số hạng tổng quát un thông qua cấp số nhân (vn). (2,0 đ) Áp dụng công thức lim q n 0 với |q| < 1. 2
- Từ câu a) ta có tổng n số hạng đầu của cấp số nhân (vn) là 2 n 3 1 0,5 v (1 q n ) 3 9 1 2 n Sn v1 v2 .... vn 1 1 q 2 3 1 3 Mặt khác ta có: v1 = u2 – u1. v2 = u3 – u2. v3 = u4 – u3. 0,5 ………….. vn - 2 = un - 1 – u n - 2. vn - 1 = un – un - 1. Cộng theo vế ta có v1 v2 ..... vn1 un u1 . Từ đó suy ra công thức số hạng tổng quát của dãy số (un) là: 0,5 2 n 1 un Sn 1 u1 9 1 2006. 3 2 n 1 Do đó giới hạn lim un lim 9 1 2006 9 2006 2015. 3 0,5 Kết luận: lim un = 2015. II-2 Phương pháp: Áp dụng công thức nhân đôi, công thức nhân ba đối với tan. (2,0 đ) Điều kiện: x, y R. 1 Nhận xét y = ± 1 không thoả mãn phương trình (1), x = ± , không thoả mãn 3 phương trình (2). 0,5 2y x 1 y2 (1) Vì vậy hệ phương trình tương đương với . y 3x x3 (2) 1 3x 2 Đặt y = tan với ( ; ). 2 2 2 tan Từ phương trình (1) ta có x x tan 2 . 0,5 1 tan 2 3tan 2 tan 3 2 Từ phương trình (2) ta có y = y tan 6 . 1 3tan 2 2 Từ đó ta có phương trình: tan = tan 6 k 6 = + k , k Z. 0,5 5 Do ( ; ) nên ta chọn được k = 0, k = ± 1, k = ± 2. 2 2 Vì vậy hệ phương trình cáo các nghiệm (0;0), 2 2 4 2 4 2 tan ; tan , tan ; tan , tan ; tan , tan ; tan 0,5 5 5 5 5 5 5 5 5 Kết luận: Hệ phương trình có 5 nghiệm (0;0), 2 2 4 2 4 2 tan ; tan , tan ; tan , tan ; tan , tan ; tan 5 5 5 5 5 5 5 5 3
- III-1 Phương pháp: Chứng minh SH BC, CH SB. (3,5 đ) * Gọi M là trung điểm của cạnh BC. 1,0 Do ABC đều, G là trọng tâm của ABC nên ta có AM BC. Do SA (ABC) nên AM là hình chiếu vuông góc của SM lên (ABC). Theo Định lí ba đường vuông góc ta có SM BC. Mặt khác do H là hình chiếu vuông góc của O lên (SBC) nên OH BC và OM BC Suy ra HM BC. S 1,0 Suy ra SH BC (1) * Do ABC đều nên ta có CO AB Do SA (ABC) nên SA OC. Từ đó suy ra OC (SAB). Suy ra SB OC. 1,0 Mặt khác OH (SBC) OH SB 3a K Từ đó ta có SB (COH). Suy ra CH SB (2) Từ (1) và (2) suy ra H là trực tâm của SBC. C H A M 0,5 O 2a B III-2 Phương pháp: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường (3,5 đ) thẳng d và đường thẳng d’ là hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng (P). 1,0 Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm A lên (SBC). Do đó ta có OH // AK. Ta có đường thẳng AM là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AK lên (ABC). Vì vậy góc giữa đường thẳng OH và (ABC) bằng góc giữa đường thẳng AK và 1,0 (ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng (AK, AM) bằng góc KAM Do KAM AMS 900 và ASM AMS 900 nên KAM SM A 0,5 Xét SAM vuông tại A có AM = a 3 , SA = 3a. AM 3 Suy ra tan SM A tan SM A SM 300 A AS 3 1,0 Từ đó ta có góc (OH,(ABC)) = 300. Kết luận: (OH,(ABC)) = 300. Thanh Chương, ngày 15tháng 3 năm 2008. Giáo viên Trần Đình Hiền. 4
ADSENSE
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
Thêm tài liệu vào bộ sưu tập có sẵn:
Báo xấu
LAVA
AANETWORK
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn