SỞ GD-ĐT HẢI DƯƠNG Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi ĐỀ THI NĂNG KHIẾU LẦN THỨ BA NĂM HỌC 2020-2021 Môn: Toán 11 Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. (3 điểm)
a) Giải phương trình với .
b) Tính nguyên hàm .
c) Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là trung điểm
. Xét mặt phẳng qua và song song với đường thẳng Tìm thiết diện
của và hình chóp .
Câu 2. (1,5 điểm) Cho dãy số thực xác định bởi với mọi
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 3. (2,5 điểm)
a) Tìm các hàm số thỏa mãn điều kiện:
b) Cho trước số nguyên dương Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho
và .
Câu 4. (2 điểm)
Cho tứ giác lồi nội tiếp . Giả sử tia cắt tại , tia cắt tại ,
cắt đường thẳng tại . Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt
đường thẳng lại tại khác
đi qua trung điểm của .
a) Chứng minh rằng b) Giả sử lần lượt cắt , đường tròn ngoại tiếp tam giác tại .
Chứng minh rằng .
Câu 5. (1 điểm) Trong mặt phẳng cho 5 điểm. Những đường thẳng nối những điểm này không song song, không vuông góc và không trùng nhau. Qua mỗi điểm đã cho, kẻ những đường vuông góc với tất cả các đường thẳng đi qua 2 điểm trong 4 điểm còn lại. Tìm số lượng lớn nhất những điểm cắt nhau của những đường hạ vuông góc, không tính 5 điểm đã cho.
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1:
a)
Biến đổi phương trình (1) ta được (được tách do )
Xét hàm số với . Ta có
Như vậy (loại)
Vậy phương trình vô nghiệm.
;ta có:
b) Theo công thức nguyên hàm từng phần với
c)
song song với ; cắt ở và ở . Nối cắt ở và Kẻ
ở . Khi đó thiết diện là . cắt
Câu 2:
Bằng quy nạp ta chứng minh được và
Ta có và
theo
nguyên lý quy nạp.
Như vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên bởi 5; suy ra dãy có giới hạn hữu hạn.
Đặt ta có .
Bình phương hai lần (hoặc sử dựng liên hợp) ta được .
Câu 3:
a) (1)
Từ (1) thay ta được (2)
Giả sử , thay vào (2) ta được . Như vậy là đơn ánh
tồn tại sao cho . suy ra f là toàn ánh, dẫn tới f là song ánh. Vì
thế tồn tại sao cho Từ (1) cho được
Từ (1) cho ta được
Vậy mà là đơn ánh nên
(3) Từ (1) cho ta dược
Từ (1) thay x bởi , thay bởi và sừ dụng (3) ta có:
(4)
Từ cho sừ dụng và dặt ta được
Thay vào (3) và đồng nhất ta được
a) Ta sẽ chứng minh
+) Thật vậy, đầu tiên ta chứng minh thỏa mãn điều kiện đồng dư.
Ta có: (định lý Euler),
Với
Và
Ta cũng có
Vì vậy
và
+) Ta chứng minh là số nhỏ nhất.
là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho Gọi
và là số nhỏ nhất nên Vì
với (ta cần 5 ở vì : 11).
Để ý rằng:
Vì
thì
Làm tương tự đến
Để chia hết cho
Làm tương tự trong trường hợp , ta có kết quả: . Nhưng thỏa mãn cả
hai điều kiện và .
Như vậy phải bằng và ta có đpcm.
Câu 4:
a)
Giả sử tại , ta chứng minh là trung điểm EF
+) nên
Dẫn tới
+) Ta có là điểm Miquel của tứ giác toàn phần do thuộc
nên Từ đó, ta được
nên dần tối hay
b)
Gọi là giao điểm của . theo định lý Brocard, nên yêu cầu bài toán
tương đương chứng Gọi là trung điểm A C. Do nên
nên tứ giác nội tiếp. Suy ra
- Do là giao điểm của nên tồn tai phép vị tự quay tâm sao cho
mà M;I là trung diểm AC; EF nên dẫn tới Suy ra
- Do nên nên tứ giác KDGH nội
tiếp. Suy ra hay cân tai
Câu 5:
Bốn điểm xác định định đường thẳng. Suy ra từ mỗi điểm trong những đã cho có thể kẻ
được 6 đường vuông góc, vậy tổng cộng là 30 đường vuông góc. Số lượng những điểm cắt nhau những đường vuông góc này là Số lượng này phải trừ đi những điểm sau:
- Số lượng những điểm không tính trong mỗi cặp năm điểm đã cho, nghĩa là (điểm).
- Từ hai điểm hạ đường vuông góc xuống cùng một đường đường thẳng thì chúng song song với nhau và không cắt nhau, ta gọi những điểm này là những điểm bị mất. Số lượng những điểm bị mất từ những đường thẳng song song và vuông góc với các đường thẳng đi qua
(điểm) còn lại. Suy ra mất đi (điểm). Vậy tổng mất đi (điểm).
- Căp năm điểm đã cho lấy theo bộ ba xác định (tam giác). Tại mỗi trực tâm mất đi hai
điểm hay là tổng số mất đi 20 điểm.
Suy ra số lượng lớn nhất những điểm cắt nhau là
