ĐÈ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XIV NĂM 2006 MÔN ĐẠI SỐ

Chia sẻ: Ly Tran Hiep | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

210
lượt xem 48
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi Olympic sinh viên toàn quốc năm 2006 Đề thi môn đại số. Đây là một sân chơi lớn để sinh viên có dịp gặp gỡ, trao đổi, giao lưu và thể hiện khả năng học toán, làm toán của mình.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ĐÈ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XIV NĂM 2006 MÔN ĐẠI SỐ

mt HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XIV NĂM 2006 Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút ( ) Xác đị nh các phần tử trên đường chéo chính của ma trận Câu 1: Cho ma trận ( ) . Dễ dàng tính ra Giải: Ta có vớ i => . Từ đó suy ra Do đó các phần tử trên đường chéo chính là ( ) ( ) ( ). Chứng minh rằng ( ) Câu 2: Cho ma trận Giải: Tính toán, ta thấy ma trận chéo hóa được. Do đó, tồn tại ma trận khả nghị ch sao cho ( ) l à ma trận chéo. , trong đó Suy ra ( ) ( ) ( ) => ( ) ( ) ( ) Ta có: do cả đị nh thức này đề u khác . Câu 3: Xác đị nh để hệ phương trình sau có nghi ệ m độc l ập tuyế n tính ( ) ( ) ( ) ( ) { Giải: Gọi l à ma trận hệ số của phương trình 1
mt ( ) ( ) ( ) ( )) ( Nhân dòng vớ i rồi cộng vào dòng ( ), ta được ( ) Nhân dòng vớ i rồi cộng vào dòng ( ), ta được ( ) Dễ dàng suy ra rằng hệ phương trình có nghi ệ m độc l ập tuyế n tính thì . Câu 4: Cho l à ma trận vuông cấp sao cho mỗi dòng của nó chứa đúng phần tử khác , trong đó phần tử nằm ở đường chéo chính là , phần tử còn l ại là . Chứng minh ma trận khả nghị ch. ( ) Giải: Đặt . Ta chứng minh bằng phản chứng. Gi ả sử ngược l ại, suy bi ế n. Kí hi ệ u l à cột thứ của , khi đó có thể coi các cột của l a2 vector phụ thuộc tuyế n tính trong . Đo vậy phải có một tổ hợp tuyế n tính () trong đó ít nhất một hệ số khác . Gi ả sử | | *| | | | | |+ . Đương nhiên | | . Gi ả sử ( ). Từ ( ) suy ra hai phần tử khác không của dòng thứ l à Suy ra | | | | | | mâu thẫn với cách chọn | | . V ậy khả nghị ch. Câu 5: Cho l à ma trận vuông cấp thỏa mãn các đi ề u ki ệ n và . Chứng minh rằng l à ma trận suy bi ế n. Giải: Nế u thì hi ể n nhiên Nế u , x ét ánh x ạ được xác đị nh như sau () Khi đó ( ) l à không gian con của ). Gọi * + l à một vector khác bất có số chi ề u là (do kì của ( ). Khi đó . Bằng quy nạp, ta thu được đẳng thức 2
mt ( ) ( ) Suy ra . Như vậy . Nghĩa là hệ phương trình tuyế n tính ( ) có nghi ệ m không tầm thường. V ậy l à ma trận suy bi ế n. Câu 6: Cho đa thức ( ) bậc có nghi ệ m thực phân bi ệ t l ớn hơn . Chứng minh rằng đa thức () ( )() () () ( ( )) có ít nhất nghi ệ m thực phân bi ệ t. Giải: Ta có ( ) ( ) ( ) vớ i ( ) () () () () ( ). Gọi l à các nghiệm () của ( ) và . Khi đó phương trình cũng có nghi ệ m này. Theo đị nh lí Rolle, phương trình ( ( )) hay đa thức ( ) () ( ) có nghi ệ m trong mỗi khoảng ( ) : ( ) có Mặt khác, đa thức nghi ệ m là . Lại áp dụng đị nh lí Rolle, phương trình ( ( )) hay đa thức ( ) có nghi ệ m trong mỗi khoảng ( ) nên thì đa thức ( ) có ít nhất Nế u nghi ệ m thực phân bi ệ t. Bây gi ờ, gi ả sử tồn tại sao cho Thế thì () () () () Do đó ( ) () hay ( ) . Suy ra ( ) , Như vậy đa thức ( ) có , với nghi ệ m phân bi ệ t (!). V ậy, đa thức ( ) có nghi ệ m thực phân bi ệ t. 3
mt HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XV NĂM 2007 Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút * + ( ) l à ma trận vuông cấp có các tính chất sau: Câu 1: Cho . Gi ải hệ phương trình đại số tuyế n tính ( ) với l à ma trận đơn vị cấp , do đó () Giải: Ta có . V ậy hệ phương trình chỉ có nghi ệ m tầm thường. Câu 2: Gi ả sử l à các ma trận vuông cấp thỏa mãn đi ề u ki ệ n trong đó l à hai số thực khác 0. Chứng minh rằng Giải: Theo gi ả thi ế t ta có: ( )( ) ( )( ) ( )( ) Suy ra hay Do đó hay . ( ) () Câu 3: Cho trong đó phần tử . Tính , - nên () Giải: Nế u thì Nế u thì 1   1 ... 1 1 1 2 ... n-1 n 2   2 ... 2 2 1 2 ... n-1 n    3   3 ... 3 3 1 2 ... n-1 n  = B1 + B2 A= +    n-1 n-1 n - 1 n - 1  n ... 1 2 ... n-1 n n n    n ... n 1 2 ... n-1 ( ) Dễ thấy => . Kí hi ệ u l à ma . / . Khi đó trận con cấp 2 nằm bên trái phía trên của , nên . V ậy nế u và nế u . Câu 4: Tìm tất cả các đa thức ( ) , - thỏa () ,( ) ( )- Giải: Ta chứng minh . Thật vậy, gi ả sử tồn tại đa thức () thỏa mãn gi ả thi ế t bài toán. Xét hệ số của ở hai vế của đẳng thức bài toán, ta thu được: ( ) => . Đi ề u này mâu thuẫn với . Trường hợp 1: ( ) , thay vào hệ thức đã cho, ta thu được 4
mt ,( ) ( ) - () Trường hợp 2: ( ) . Theo gi ả thi ế t, ta có ,( ) ( ) ( ) ( ) - . V ậy ( ) Suy ra . Thử l ại, mọi đa thức bậc hai có dạng trên đề u thỏa mãn bài Toán. ( ). Tìm tất cả các ma trận vuông Câu 5: Cho ma trận cấp sao cho . ( ) ( ) Giải: ( ) ( ) () Kí hi ệ u: ( ) ( ) ( ) ( ) Khi đó ( ) tương đương hay . Ta thấy và . Mặt khác với và ta có: . Do đó ∑ ∑ ( ) ( ) Tóm l ại, ta thu được . V ậy ma trận có dạng ( ) Ngược l ại, dễ dàng ki ể m tra được mọi ma trận có dạng như trên đề u thỏa mãn đi ề u ki ệ n bài Toán. . / l à ma trận vuông cấp Câu 6: Gi ả sử khả nghị ch. Chứng minh rằng nế u l à ma trận vuông cấp khả nghị ch thì ma trận cấp được xác đị nh bởi hệ thức . / cũng khả nghị ch. . / . / thỏa mãn hệ phương trình ./ . /. / () GIải: Gi ả sử Khi đó { Nhân phương trình đầu với , phương trình hai v ới rồi trừ vế , ta được ( ) Do khả nghị ch nên => . Lập luận tương tự ta cũng có . V ậy hệ ( ) chỉ có nghi ệ m tầm thường. Do đó l à ma trận khả nghị ch. 5
mt HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XVI NĂM 2008 Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút l à các số thực, dãy * + l ập thành cấp số cộng công sai . Tính đị nh thức của ma trận Câu 1: Cho ( ) Giải: Ta có | | | | Cộng cột đầu vào cột cuối, ta được | | ( ) | | Do Ti ế p tục nhân hàng thứ vớ i rồi cộng vào hàng cuối cùng, nhân hàng thứ vớ i rồi cộng vào hàng thứ nhân hàng 1 với rồi cộng vào hàng ta được | | | | ( ) ( )( ) | | | | Cộng hàng cuối vào các hàng còn l ại, ta được: | | ( )( ) ( )( ) | | Câu 2: Cho l à ma trận thực vuông cấp thỏa mãn đi ề u ki ệ n . Chứng minh rằng tồn tại hai số thực phân bi ệ t và hai ma trận sao cho 6
mt Giải: Cách 1: Đa thức đặc trưng của ( ) () Do nên => phương trình có hai nghi ệ m thực phân bi ệ t . Khi đó, đặt ( ) ( ) Suy ra V ậy Cách 2: Đa thức đặc trưng của ( ) () Do nên => phương trình có hai nghi ệ m thực phân bi ệ t hay có 2 giá trị riêng nên chéo hóa được ( ) ( ) [. ( )] / => ( ) . / . / . / . / . / Đặt . V ậy ta đã tìm được hai số thực phân bi ệ t l à hai giá trị riêng của và hai ma trận trên sao cho Câu 3: Cho l à ma trận vuông thực cấp , vế t là . Tổng các phần tử trên mỗi hàng của bằng và . Xác đị nh các giá trị riêng của Giải: Ta có và tổng các phần tử trên mỗi hàng của ma trận l à . Do đó đa thức đặc trưng của : () ( ) () Mặt khác | | | | | | ( )| | l à một giá trị riêng của . Thay vào ( ), ta được Suy ra 7
mt () | | ( )( ) V ậy ma trận có l à giá trị riêng đơn và l à giá trị riêng kép. Câu 4: Cho các số thực . Chứng minh rằng tồn tại các ma trận thực vuông cấp thỏa mãn (∑ ) ∑ Giải: Đặt . Xét các ma trận cấp sau ( ) ( ) ( ) ( ) Do đó . Mặt khác: ∑ ( ) Khai tri ể n Laplace theo cột thứ nhất, ta được: (∑ ) Câu 5: Cho l à ma trận vuông cấp khả nghị ch. Mọi phần tử của các ma trận l à số nguyên. Chứng minh rằng nế u có giá trị riêng đề u là các số thực thì | ( )| Giải: Do các phần tử của đề u là số nguyên nên cũng là số nguyên. Mặt khác | || | | | => | | | | ( ) l à đa thức đặc trưng của nó. Gọi V ới mỗi ma trận , đặt l à tất cả các giá trị riêng thực của . Khi đó ( ) ∏ ( ). Xét đa thức () ( )/ ∏. () Ta có và ( ) ∏( ( )) ∏( ) ∏( )( ) ( ) l à ước của ( ). Do () nên ( ) ( ). V ậy Từ đó suy ra rằng | | | | | || | 8
mt ( )( ) ( ) | | Câu 6: Tồn tại hay không đa thức ( ) bậc 2008 thỏa mãn đi ề u ki ệ n ( ) vớ i ? Tại sao? Giải: V ới mỗi x ét bi ể u thức () Bi ể u thức nói trên cho ta xác đị nh đa thức ( ) ( ) và đa thức này thỏa mãn yêu cầu bài Toán. Có thể gi ải theo cách khác như sau: V ớ i mỗ i đặt ( ) ( ( ))( ( )) ( ) () ( )( ) ( ( ))( ( )) ( ) Dễ dàng chứng minh đa thức () () ∑ thỏa mãn đi ề u ki ệ n bài Toán. 9
mt HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XVII NĂM 2009 Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: Cho l à các số thực thỏa mãn các đẳng thức sau: { Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên , ta có Giải: Từ các hệ thức đã cho: . Theo đị nh lí Viete, chúng là nghi ệ m của phương trình ( ) . Dễ dàng thấy rằng bộ ba số l à V ậy . Câu 2: Tồn tại hay không một ma trận thực vuông cấp sao cho . / Giải: ( ) l à đa thức đặc trưng của ma trận . Cách 1: Gi ả sử tồn tại ma trận thỏa mãn yêu cầu đề bài. Kí hi ệ u Theo đị nh lí Caley-Hamilton ta có: (1đ) Bằng quy nạp: (1đ) 1/ Xét : . Khi đó / ( ) (1đ) . / . 2/ Xét : ( ) (1đ) => () . /, từ gi ả thi ế t suy ra Đặt . V ậy (1đ) Kế t luận: không tồn tại ma trận thỏa mãn đi ề u ki ệ n bài Toán. . / (1đ). Ta có: Cách 2: Gi ả sử tồn tại ma trận thỏa mãn yêu cầu đề bài. Đặt ( ) ( ) . / (1đ) ( ) Theo gi ả thi ế t, ta có: ( ) (1đ) 1/ Xét : ( ) ( ) . / (1đ) 2/ Xét hay : khi đó 10
mt . / . / (1đ) Kế t luận: không tồn tại ma trận thỏa mãn đi ề u ki ệ n bài Toán. Câu 3: Cho l à các ma trận vuông cấp sao cho giao hoán với và , (ma trận đơn vị ) và ( ) a) Chứng minh rằng ( ) ( ) b) Nế u có thêm đi ề u ki ệ n hãy chứng tỏ Giải: a) Theo gi ả thi ế t, ta có: ( ) 0 ( )1 0 ( )1 Suy ra 0 ( )1 và 0 ( )1 l à nghị ch đảo của nhau nên chúng giao hoán [( )] [ ( )] [( )] [ ( )] Nhân phân phối l ại, ta được . b) Nế u có thêm đi ề u ki ệ n thì => ( ) ( ) ( ) ( )( ) Ta có: ( ) ( ) ,( ) ( )- ( ) ( ) ,( )( )- Câu 4: Tính , trong đó ( ) Giải: Đổi chỗ các dòng, cột, ta thấy ma trận đồng dạng với ma trận ( ) Ma trận của phép bi ế n đổi tuyế n tính (không suy bi ế n) là: ( ) 11
mt ( ) Khi đó ma trận . Ta có ( ) . / Trong đó ( ) Ta có . Do đó ( ) ( Câu 5: Tìm tất cả các ma trận vuông cấp sao cho với mọi ma trận vuông cấp , ta đề u có ) Giải: ( ) => ( ) do ( ). Chọn ma trận , ta có => ( ) ( ) ( ) Gi ả sử , ta chọn ma trận tam giác trên ( ) { ( ) Khi đó ta thu được . Bằng cách đổi vị trí hàng hay cột để đưa phần tử bất kì của về vị trí góc trái trên cùng và l ặp l ại phép chứng minh trên ta được . V ậy ma trận cần tìm là ma trận . Câu 6: Thí sinh chọn một trong hai câu sau: a) Gi ải hệ phương trình:      x6   2 x1 x2 x3 2 x4 x5 1  x      x6  2 x2 2 x3 x4 x5 1  1  x1      x6   2 x2 2 x3 x4 x5 1   2 x1      x6  x2 x3 2 x4 x5 1  2 x1      2 x6  x2 x3 x4 x5 1    x1      x6   2 x2 x3 x4 2 x5 1 b) Ứng với mỗi đa thức ( ) với hệ số thực và có nhi ề u hơn một nghi ệ m thực, gọi ( ) l à khoảng cách nhỏ nhất gi ữa hai nghi ệ m thực bất kì của nó. Gi ả sử các đa thức với hệ số thực ( ) và ( ) () và có nghi ệ m thực phân bi ệ t. Chứng minh rằng ( ) () đề u có bậc Giải: a) Từ hai phương trình đầu: Từ phương trình 3, 4: => Từ phương trình 1, 3: . Từ phương trình 2, 4: => V ậy ta có => 12
mt b) Gọi nghi ệ m của ( ) l à sao cho . Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng. Gi ả sử ( ) ( ) trong đó l à hai nghi ệ m gần nhau nhất trong số các nghi ệ m của ( ) ( ). Khi đó ( ) nên không là nghi ệ m của () () () () () Đặt ( ) ( )( )( ). Suy ra () ∑ () () () nghị ch bi ế n trên từng khoảng xác đị nh của nó. Kế t hợp với ( ) suy ra Dễ dàng nhận thấy hàm số () ( ) . Khi đó tồn tại duy nhất sao cho Hay . Dễ dàng ki ể m tra được ( )( ) và do đó Như vậy, ta có () () ∑ ∑ () 13
mt HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XVIII NĂM 2010 Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: Cho l à các ma trận vuông cấp với hệ số thực sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) a) Chứng minh rằng . b) Tìm ví dụ chứng tỏ kế t l uận trên không còn đúng n ế u chỉ có ( ) ( ) ( ) Giải: a) Nhận xét rằng đị nh thức ( ) ( ) l à một đa thức bậc của có nghi ệ m nên . Đị nh thức ( ) ( ) cũng l à đa thức bậc của . Mà ( ) () () . Do đó ta cũng có ( ) . ( ) - V ới thì ( ) ( ) () - V ới thì ( ) ( ) () - V ới thì ( ) . / ./ - V ới thì ta có ( ) V ậy . ( ) b ) Ch ọ n và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Khi đó nhưng Câu 2: Cho * +* +* + l à các dãy số thực được xác đị nh bởi và { Chứng minh rằng l à số nguyên chia hế t cho . Giải: ( ) ( )( ). Ta có Đặt => () ( )( ). Do đó Đa thức đặc trưng của l à: chéo hóa được và ( )( )( ) Suy ra : Tính toán ta được . 14
mt Câu 3: a) Chứng minh rằng ứng với mỗi số nguyên dương, bi ể u thức có thể bi ể u di ễ n dưới dạng đa thức ( ) bậc không quá của các bi ế n . ( ). b) Hãy tìm tổng các hệ số của đa thức Giải: a) Ta chứng minh đẳng thức ( ) ( ) ( ) ( ) l à đa thức bậc không quá của các bi ế n :( ) - V ới ( ) - V ới : :( ) - V ới - Gi ả sử đẳng thức đúng với , ta chứng minh nó cũng đúng v ới , tức là ( ) ( ) ( ) ( ) Thật vậy, từ gi ả thi ế t quy nạp, ta có các đa thức ( ) ( ) ( ) bậc không ( ) l à các đa thức bậc không quá quá của các bi ế n . Suy ra của các bi ế n . ( ) ( ) tức là tìm b) Ta có . Ta tìm tổng các hệ số của ( ). Từ đị nh lí Viete, l à nghi ệ m của phương trình . Từ đó chỉ vi ệ c ( ) chọn , ta được . Câu 4: Xác đị nh các đa thức thực ( ) thỏa mãn đi ề u ki ệ n ()( ) ( ) Giải: Ta nhận thấy đa thức hằng ( ) và ( ) thỏa mãn bài Toán. Ta ch ứng minh các đa thức bậc dương không thỏa. Chú ý rằng đẳngthức trong bài Toán cũng đúng v ới giá trị phức. l à một nghi ệ m (thực hoặc phức) của ( ) . Nế u thì ( ) ( ) , trong đó () Gi ả sử Thế vào đi ề u ki ệ n đã cho, ta thu được: ()( ) ( ) ( ) Đi ề u này mâu thuẫn ( ) | có giá trị l ớn nhất trong các nghi ệ m của ( ). Khi đó . Ta có thể gi ả thi ế t modulo | V ậy và √( ) cũng là nghi ệ m. Do đó | | | | và |√( ) | √ √ Đặt : | | | | ( ) ( ) () Thay vào ti ế p, ta l ại có |√( ) √| ,( ) - ( )( ) ( ) () 15
mt Theo ( ), ta có: *( ) + Mâu thuẫn với ( ). Câu 5: Chọn một trong hai câu sau: 5a) Cho l à ma trận thực, vuông cấp , có vế t là và . Tìm đa thức đặc trưng và đa thức tối ti ể u của . 5b) Cho l à các ma trận thực, vuông cấp , trong đó khả nghị ch và đồng thời giao hoán . Gi ả sử ( ) . Chứng minh giao hoán với nhau. Giải: 5a) Cách 1: Tính trực ti ế p Vì nên tồn tại vector khác sao cho các vector dòng còn l ại đề u bi ể u di ễ n tuyế n tính được qua nó. Do đó ma trận có dạng sau: ( ) Đặt . ( ) ( ) Khi đó và ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) • Ta có V ậy đa thức tối ti ể u của l à ( ) . () ( ) • Tính đị nh thức | | | | | | | | | | | | 16
mt | | | | | | | | ( ) Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp rằng: ( ) ( ) là ( ) ( ) V ậy đa thức đặc trưng của Cách 2: V ì hay ( ) nên có đúng vector riêng ứng với . Do vậy mà giá trị riêng còn l ại là một số thực. Từ đó chéo hóa được và trên đường chéo chỉ có một phần rử khác l à .Suy ra ngay đa thức đặc trưng và đa thức tối ti ể u. ( ) ( )( ) 5b) Từ gi ả thi ế t, suy ra hay ( )( ) ( ) ( ) Do khả nghị ch và đồng thời giao hoán cả nên Suy ra ( ) ( ) l à nghị ch đảo của nhau nên ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) V ậy ( ) ( ) tức . 17
mt HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XIX NĂM 2011 Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: Xét không gian trên trường số thực , chứng minh rằng tập hợp * + độc l ập tuyế n tính trong không gian các hàm liên tục ( ) Giải: Gi ả sử ta có hệ thức tuyế n tính: (2đ) Chia 2 vế cho và l ấy gi ới hạn suy ra Quy nạp được . (3đ) Bài 2: Cho 3 dãy số * +* +* + x ác đị nh như sau: và { . Tính . ( ) ( ) Khi đó Giải: Đặt (1đ) là ( ) ( )( )( ) nên Đa thức đặc trưng của có 3 gtr (1đ) () () Cách 1: suy ra (1đ) ( Lập hpt cho bằng cách thay các giá trị đặc bi ệ t của t và gi ải ta tìm được ) (1đ) ( ) Suy ra (1đ) Cách 2: Chéo hóa kèm ma trận bi ế n đổi cơ sở (2đ) Tính (1đ) Bài 3: Cho các ma trận thực vuông cùng cấp . Đặt . Chứng minh rằng nế u ma trận giao hoán với cả hai ma trận và thì tồn tại số nguyên dương sao cho ( vớ i l à ma trận không cấp ) Giải: ( ) (2đ) * Chứng minh quy nạp V ới : ok ( ) Gi ả sử ta có , ta chứng minh Thật vậy ( ) ( ) ( ) ( ) * Lấy ( ) l à đa thức bậc bất kì. () ( ) Ta có Từ ( ) suy ra () () ( ) ( ) (1đ) 18
mt Xét đa thức đặc trưng của : ( ) ( ) Ta có ( ) (2đ) () () () () Theo ( ) ta có Lại chọn ( ) ( ) và nhờ vào tính giao hoán của , ta có () () () ( ) Ti ế p tục quá trình này ta được: . sao cho nế u đa thức ( ) bậc Bài 4: Tìm đi ề u ki ệ n cần và đủ đối với các tham số có n nghi ệ m thực (kể cả bội) thì đa thức ( ) () ( ) cũng có nghi ệ m thực. Giải: * Đi ề u ki ệ n cần: l ấy ( ) ⁄ (1đ) ⁄ suy ra hoặc Qua gi ới hạn suy ra (1đ) * Đi ề u ki ệ n đủ: bổ đề ( ) () ( ) có đủ nghi ệ m thực (1đ) Để chứng minh, xét ( ) ( ) cũng có ( ) có nghi ệ m thực nên ( ) có nghi ệ m thực, nên nghi ệ m thực. (1đ) Áp dụng l ần nữa, ( ) ( ) có nghi ệ m thực từ đó chọn thích hợp để l à đi ề u ki ệ n đủ. (1đ) Bài 5: Hai sinh viên A và B chơi trò chơi như sau: Cho m ột bảng vuông ô, . Mỗi lượt, A chọn một số nguyên đi ề n vào vị trí ( ) nào đó (tùy chọn nhưng không l ặp l ại). Sau đó B được quyề n chỉnh sửa giá trị đó bằng cách gi ữ nguyên hoặc thêm bớt 1 đơn vị . Trò chơi kế t thúc sau khi đi ề n xong bảng để nhận được ma trận . B khẳng đị nh luôn có cách để nhận được ma trận khả nghị ch và không có đi ể m bất động (tức là không có vector để ). Khẳng đị nh của B đúng hay sai? Hãy chứng minh nhận đị nh của bạn. ( ) ( ) Giải: B chọn . (2đ) || ( )( ) (1đ) nên vector đồng dư ̅ Nế u có vector riêng tương ứng với 1 thì có thể chọn ( tức là các phần tử đề u l ấy mod 3) là vector riêng (1đ) Nhưng | | chỉ có giá trị riêng là . (1đ) Bài 6: Thí sinh chọn một trong hai câu sau: 6a. Tìm đi ề u ki ệ n của các tham số để hệ phương trình sau có nghi ệ m duy nhất ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) {( ) ( ) ( ) ( ) . /. Hãy tính 6b. Cho ma trận 19
mt Giải: 6a) Đị nh thức tương ứng bằng ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) , ( )( )( )( )- => Trong đó đôi một phân bi ệ t (1đ) √( ) (2đ) => ( ) (2đ) √ 6b) Cách 1: => (1đ) Cách 2: . / . / => . / Đặt Khi đó: ( ) /( ) . . / √ . /. / √ ( ) => 20