Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 06 sẽ giới thiệu tới các bạn 9 câu hỏi tự luận có kèm đáp án và hướng dẫn giải chi tiết dành cho các bạn học sinh các khối A, A1, B, D. Cùng tìm hiểu để nắm bắt nội dung thông tin tài liệu.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 06
- Facebook: Dangquymaths ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2015
NĐQ 0982473363 Môn: TOÁN; Khối A, A1, B, D
Đề số 06 Thời gian làm bài 180 phút
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y x 3 m 1 x 12mx m 4 (Cm)
3 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m 0 .
b) Gọi A và B lần lượt là điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số (Cm). Tìm m để khoảng
cách giữa hai đường tiếp tuyến tại A và B bằng 4.
cos2 x x
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: sin x tan x tan 1 1
cos x 2
12 x 8
Câu 3 (1,0 điểm). Giải bất phương trình: 2x 4 2 2 x
9 x 2 16
2 2
Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình: 2log 3 x 2 9 2 log3 x 3 log 3 x 3 3
Câu 5 (1,0 điểm). Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được các số tự nhiên có 4 chữ số
khác nhau đôi một. Lấy ngẫu nhiên một trong các số được lập. Tính xác suất để lấy được số
sao cho 6 và 9 không đứng cạnh nhau.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, hình chiếu
vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của cạnh AB. Đường trung tuyến
AM của tam giác ACD có độ dài a 3 , góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 300 . Tính thể tích
khối chóp S.ABCD và xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC theo a.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Đường tròn đường
kính AM cắt cạnh BC tại B, M 5;7 và cắt đường chéo BD tại N 6; 2 . Đỉnh C có hoành
độ nguyên và thuộc đường thẳng 2 x y 7 0 . Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD,
biết đỉnh A có hoành độ nhỏ hơn 2.
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:
2 x 2 2 xy y 2 2 6 y 7 2 2 x 3
2 2 2 2 x; y R
7 x 2 xy 4 y 4 x 2 xy 7 y 3 x y
Câu 9 (1,0 điểm). Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức.
a2 b2 3
P 2
2
( a b) 2
(b c) 5bc (c a ) 5ca 4
---------- HẾT ----------
- Facebook: Dangquymaths
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y x 3 m 1 x 12mx m 4 (Cm)
3 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m 0 .
b) Gọi A và B lần lượt là điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số (Cm). Tìm m để khoảng
cách giữa hai đường tiếp tuyến tại A và B bằng 4.
a) HS tự làm
b) Ta có y ' 3x 6 m 1 x 12m
2
2
y ' 0 x 2 2 m 1 x 4m 0 có ' m 1
Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì m 1 , khi đó:
x 2 y 2 13m
x 2m
y 2m 4m 12m m 4
3 2
Do tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm cực trị song song với trục Ox nên:
m 0
4m3 12 m2 12m 4 4 thỏa mãn.
m 2
Vậy m 0; m 2
cos2 x x
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: sin x tan x tan 1 1
cos x 2
x
Điều kiện: cos x.cos 0
2
cos2 x x
PT sin x 1 tan x tan 2sin x 1
cos x 2
cos2 x sin x
2sin x 1 cos2 x sin 2 x cos x sin x
cos x cos x
cos 2 x cos x
4 4
x k 2
k 2 k Z
x
6 3
- Facebook: Dangquymaths
12 x 8
Câu 3 (1,0 điểm). Giải bất phương trình: 2x 4 2 2 x
9 x 2 16
6x 4 12 x 8
Điều kiện: 2 x 2 ; BPT
2x 4 2 2 x 9 x 2 16
3 x 2 9 x 2 16 2
2x 4 2 2 x 0
2
3 x 2 9 x 2 16 4 2x 4 2 2 x 0
3 x 2 9 x 2 8 x 32 16 8 2 x 2 0
3 x 2 8 x 16 8 2 x 2 x 2 4 8 2 x 2 0
3 x 2 8 x 2 8 2 x 2 x 2 8 2 x 2
x 2
8 2x2 0
2
2 x 3
3x 2 x 2 8 2 x 2 0
4 3
3 x 2
2 2
Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình: 2log 3 x 2 9 2 log3 x 3 log 3 x 3 3
+ Điều kiện: x 3; x 3
2 2 2
log3 x 3 2 log3 x 3 3 Đặt t log 3 x 2 0
2 x 3 3 2
PT t 2t 3 t 1 log3 x 3 1 x 3 3
2
x 3 3
+ So sánh điều kiện ta có x 3 3
Câu 5 (1,0 điểm). Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được các số tự nhiên có 4 chữ số
khác nhau đôi một. Lấy ngẫu nhiên một trong các số được lập. Tính xác suất để lấy được số
sao cho 6 và 9 không đứng cạnh nhau.
+ Số phần tử của không gian mẫu là số các số có 4 chữ số khác nhau đôi một được lập từ 9
chữ số đã cho : A94
+ Gọi A là biến cố: “ Số lấy được thỏa mãn chữ số 6 và 9 không đứng cạnh nhau”
Số các số có 4 chữ số khác nhau đôi một có 6, 9 đứng cạnh nhau: abcd
Có 3 cách xếp cặp 6, 9 vào 4 vị trí, mỗi trường hợp lại có 2 hoán vị giữa 6 và 9
Có A72 cách chọn 2 chữ số từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 vào 2 vị trí còn lại
Ta có số các số các số có 4 chữ số khác nhau đôi một có 6, 9 đứng cạnh nhau 3.2.A72
Số phần tử của không gian biến cố A: A A94 6 A72
A A94 6 A72
+ Xác suất cần tìm: P A
A94
- Facebook: Dangquymaths
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, hình chiếu
vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của cạnh AB. Đường trung tuyến
AM của tam giác ACD có độ dài a 3 , góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 300 . Tính thể tích
khối chóp S.ABCD và xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC theo a.
AM 3
+ Ta có: sin
ADC ADC đều
AD 2
HC AM a 3 và HC CD CD SHC S
300
Góc giữa (SCD) và (ABCD) là SCH
+ SH HC.tan 300 a
2
+ S ABCD AB.CH 2a 3
A
+ Thể tích khối chóp: D
1 2a 3 3
VS . ABCD SH .S ABCD
3 3
(đvtt) H
G S
+ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
2a B
Ta có GA GB GC C
3
Do HS HA HB a nên GHA , GHB , GHS là các tam giác vuông bằng nhau, nên
ta được GS GA GB GC
2a
+ Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có tâm G và bán kính GC
3
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Đường tròn đường
kính AM cắt cạnh BC tại B, M 5;7 và cắt đường chéo BD tại N 6; 2 . Đỉnh C có hoành
độ nguyên và thuộc đường thẳng 2 x y 7 0 . Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD,
biết đỉnh A có hoành độ nhỏ hơn 2.
+ Gọi O là tâm đường tròn đường kính AM, I là tâm hình vuông ABCD.
+ Ta thấy:
ABD
AMN 450 ;
ANM 900 AMN vuông cân tại N NA NM
Mà NA NC NA NC NM B M C
Do đó A, C, N thuộc đường tròn tâm N có bán kính NM
O
I
N
A D
- Facebook: Dangquymaths
+ Phương trình đường thẳng: MN : 5 x y 32 0 và MN 26
+ Phương trình đường thẳng: AN : x 5 y 4 0
2 2
+ Phương trình đường tròn tâm N, bán kính NM: x 6 y 2 26
x 5 y 4 x 1; y 1
+ Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: 2 2 x 11; y 3 A 1;1 ,
x 6 y 2 26
do x A 2
+ Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:
2 x y 7 0 x 7; y 7
C 7; 7 Vì xC Z
2 2
x 6 y 2 26 x 9 ; y 13
5 5
+ Phương trình đường thẳng đi qua C và M: BC : y 7 0
+ Phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC: AB : x 1 0
+ Tọa độ điểm B 1; 7 D 7;1
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:
2 x 2 2 xy y 2 2 6 y 7 2 2 x 3
2 2 2 2 x; y R
7 x 2 xy 4 y 4 x 2 xy 7 y 3 x y
Điều kiện: 2 x 3 0;6 y 7 0; x y 0
2 2 2 2 2
Ta có 7 x 2 xy 4 y 2 x y 3 x y 2 x y
7 x 2 2 xy 4 y 2 2 x y 2 x y
2 2 2 2 2
Tương tự 4 x 2 xy 7 y x 2 y 3 x y x 2 y
4 x 2 2 xy 7 y 2 x 2 y x 2 y
Do đó: 7 x 2 2 xy 4 y 2 4 x 2 2 xy 7 y 2 3 x y
Dấu bằng xảy ra khi x y 0
Thay y x vào phương trình đầu của hệ phương trình ta được:
x 2 2 6 x 7 2 2 x 3 với x 0
x 2 2 x 3 x 2 6 x 7 x 3 2 2 x 3 0
- Facebook: Dangquymaths
1 1
x 2 2 x 3 1 0
x 2 6x 7 x 3 2 2x 3
1 1
x 2 2 x 3 1 0
x 2 6 x 7 x 3 2 2 x 3
x 1
x2 2 x 3 0 ; Nghiệm x 1 không thỏa mãn
x 3
Với x 3 y 3 ;
Vậy nghiệm của hệ phương trình x; y 3;3
Câu 9 (1,0 điểm). Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức.
a2 b2 3
P 2
2
( a b) 2
(b c) 5bc (c a ) 5ca 4
a2 a2 4a 2
Ta có (b c ) 2 5bc 2
5
(b c) 2 (b c) 2 9(b c)
4
b2 4b 2
Tương tự
(c a )2 5ca 9(c a ) 2
2
a2 b2 4a 2 4b 2 2 a b
Do đó 2
2
2
2
(b c) 5bc (c a ) 5ca 9(b c ) 9(c a) 9bc ca
2
a b 2 2
2 2 2 ca b 2 a b 2 4c a b
2 a b c a b 2 2 2
9 ab c a b c 2 9 a b 2 9 a b 2 4c a b 4c 2
c a b c2
4
Mà a b c 1 a b 1 c
2 2
2 2 1 c 4c 1 c 3 2
2 8 2 3 2
P 1 c 1 1 c
9 1 c 2 4c 1 c 4c 2 4 9 c 1 4
2
8 2 3
Xét hàm số f c 1
2
1 c với c 0;1
9 c 1
4
f ' c 0 c 1 64 3c 3
3
0 c 13
1 1
Lập bảng biến thiên ta có P f c f
3 9
1 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi a b c
9 3
CHÚC CÁC EM THI TỐT!
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
