Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán năm 2020-2021 có đáp án - Sở GD&ĐT Điện Biên

Chia sẻ: Phạm Vĩ Kỳ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi chuyên Toán vào lớp 10 năm 2020 có đáp án tỉnh Điện Biên là tài liệu luyện thi tuyển sinh vào lớp 10 hiệu quả dành cho các bạn học sinh lớp 9. Cùng tham khảo và tải về đề thi để ôn tập kiến thức, rèn luyện nâng cao khả năng giải đề thi để chuẩn bị thật tốt cho kì thi sắp tới nhé. Chúc các bạn thi tốt!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán năm 2020-2021 có đáp án - Sở GD&ĐT Điện Biên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TỈNH ĐIỆN BIÊN NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: Toán (Chuyên) Đề chính thức Ngày thi: 15/7/2020 (Có 01 trang) Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ BÀI Câu 1. (2,0 điểm). a2 − a 2a + a 2(a − 1) 1. Cho biểu thức: P = − + ( với a > 0, a ≠ 1 ). a + a +1 a a −1 a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P .  1  2 x − 1 + =1  y+3 2. Giải hệ phương trình:  4 x − 1 − 3 = 7  y+3 Câu 2. (2,0 điểm). Cho phương trình: x 2 − 5mx − 4m = 0 ( với m là tham số). a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm đó. b) Chứng minh rằng khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thì: x12 + 5mx2 + m 2 + 14m + 1 > 0 . Câu 3. (2,0 điểm). a) Một con Robot được thiết kế có thể đi thẳng, quay một góc 900 sang phải hoặc sang trái. Robot xuất phát từ vị trí A đi thẳng 2m quay sang trái rồi đi thẳng 3m , quay sang phải rồi đi thẳng 5m đến đích tại vị trí B . Tính khoảng cách giữa đích đến và nơi xuất phát của Robot. a 2 + b2 b) Cho hai số a, b thỏa mãn a > b > 0 và a.b = 1. Chứng minh: ≥2 2. a −b Câu 4. (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) . Đường cao AD, BE cắt nhau tại H . Kéo dài BE , AO cắt đường tròn (O) lần lượt tại F và M . a) Chứng minh ∆HAF cân. b) Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh ba điểm H , I , M thẳng hàng và AH = 2OI . c) Khi BC cố định, xác định vị trí của A trên đường tròn (O) để DH .DA lớn nhất. Câu 5. (1,0 điểm). yz xz xy a) Cho xy + yz + xz = 0 và xyz ≠ 0 . Chứng minh rằng: + + 3. = x2 y 2 z 2 b) Cho n là số nguyên dương. Biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 là hai số chính phương. Chứng minh rằng n chia hết cho 40 . .................. Hết ...................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TỈNH ĐIỆN BIÊN Năm học : 2020 - 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM (Hướng dẫn chấm có 04 trang) MÔN TOÁN CHUYÊN Câu Hướng dẫn Điểm a2 − a 2a + a 2(a − 1) Cho biểu thức: P = − + a + a +1 a a −1 a) Rút gọn P. 3 a ( a − 1) a (2 a + 1) 2( a − 1)( a + 1) Với a > 0, a ≠ 1 ⇒ P = − + 0,25 a + a +1 a a −1 1.1 a ( a − 1)(a + a + 1) P= − (2 a + 1) + 2( a + 1) = a − a + 1 0,25 (1,0đ) a + a +1 b) Tính giá trị nhỏ nhất của P . 2  1 3 3 P = a − a += 1  a −  + ≥ (Với ∀a > 0, a ≠ 1 ) 0,25  2 4 4 3 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P = khi a = . 0,25 4 4  1  2 x −1 + y + 3 =1  Giải hệ phương trình:  4 x − 1 − 3 = 7  y+3 x ≥ 1 Điều kiện:  0,25  y ≠ −3 1.2 = u x −1   2= u+v 1 = u 1 Đặt  1 (điều kiện u ≥ 0 ) ⇒  ⇔ (thỏa mãn) 0,5  v = y+3 4u − 3v = 7 −1 v =   x −1 =1   x=2 ⇒ 1 ⇔ (thỏa mãn). Vậy HPT có 1 nghiệm (2; −4) 0,25 y+3 = −1  y = −4  Phương trình: x 2 − 5mx − 4m = 0. a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm đó. Ta có:=∆ 25m 2 + 16m 0,25  m=0 2.a Để phương trình có nghiệm kép thì ∆ = 0 ⇔ 25m 2 + 16m = 0 ⇔  0,25  m = − 16 (1,0đ)  25 5m 0 nghiệm kép là x= +) m = 1 x= 2 = 0 0,25 2 16 5m 8 +) m = − nghiệm kép là x1 = x2 = = − 0,25 25 2 5
b) Chứng minh rằng khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì x12 + 5mx2 + m 2 + 14m + 1 > 0 . PT có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì=∆ 25m 2 + 16m > 0 0,25 2.b và x12 − 5mx1 − 4m =0 ⇔ x12 =5mx1 + 4m và x1 + x2 = 5m 0,25 (1,0đ) Xét P = x12 + 5mx2 + m 2 + 14m + 1 = 5mx1 + 4m + 5mx2 + m 2 + 14m + 1 0,25 = 5m( x1 + x2 ) + m 2 + 18m + 1 = 26m 2 + 18m + 1 Suy ra P = 25m 2 + 16m + m 2 + 2m + 1 = ∆ + (m + 1) 2 > 0 (vì ∆ > 0 ). Đpcm. 0,25 a) Một con Robot được thiết kế có thể đi thẳng, quay một góc 900 sang phải hoặc sang trái. Robot xuất phát từ vị trí A đi thẳng 2m quay sang trái rồi đi thẳng 3m , quay sang phải rồi đi thẳng 5m đến đích tại vị trí B . Tính khoảng cách giữa đích đến và nơi xuất phát của Robot. Học sinh vẽ được hình minh họa 5 B 0,25 3 3.a A 2 (1,0đ) Kẻ AC ⊥ BC như hình vẽ: 5 B 3 0,25 A C 2 Ta có:= AC 7;= BC 3 0,25 ⇒ AB = 7 2 + 33 = 58 0,25 Vậy khoảng cách giữa đích đến và nơi xuất phát của Robot là 58 a 2 + b2 b) Chứng minh: ≥ 2 2 . Với a > b > 0 và a.b = 1. a −b a 2 + b 2 ( a − b) 2 + 2 2 Vì a.b =1 ⇒ = =(a − b) + 0,25 a −b a −b ( a − b) 2 2 Do a > b > 0 ⇒ (a − b) + ≥ 2 (a − b). =2 2 (BĐT AM-GM) 0,25 ( a − b) ( a − b) 3.b 2 (1,0đ) Dấu bằng xẩy ra khi: (a − b) = ⇔ ( a − b) 2 = 2 ⇔ a − b = 2 ( a − b)  2+ 6 a = (t / m) 0,25 1 2 6− 2 ⇔ a− = 2⇔ ⇒ b= a  2− 6 2 a = ( Loai )  2 a 2 + b2 6+ 2 6− 2 Vậy ≥ 2 2 . Dấu bằng xẩy = ra khi a = ;b 0,25 a −b 2 2
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) . Đường cao AD, BE cắt nhau tại H . Kéo dài BE , AO cắt đường tròn (O) lần lượt tại F và M . a) Chứng minh ∆HAF cân. Vẽ hình đúng đến câu 4.a F A E 4.a H O 0,25 (1,0đ) B C D I M Ta có:  AHF =  ) ACB (cùng phụ với DAE 0,25 Lại có  ACB =  AFB (cùng chắn cung AB ) 0,25   AFB Suy ra AHF   AHF cân tại . 0,25 A b) Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh ba điểm H , I , M thẳng hàng và AH = 2OI . Ta có BH / / CM (cùng vuông AC ), HC / / BM (cùng vuông AB ). 0,25 4.b ⇒ BHCM là hình bình hình . 0,25 (1,0đ) Mà I là trung điểm của BC ⇒ I cũng là trung điểm của HM ⇒ ba điểm H , I , M thẳng hàng. 0,25 ⇒ OI là đường trung bình của ∆AHM ⇒ AH = 2OI 0,25 c) Khi BC cố định, xác định vị trí của A trên đường tròn (O) để DH .DA lớn nhất.   AFB Theo câu 1 ta có AHF   BHD   ACB  DAC  DBH (g . g) 0,25 DA DB 4.c Suy ra   DA.DH  DB.DC 0,25 (1,0đ) DC DH 2 2  BD  CD   BC  Ta có DB.DC     DB.DC    2   2  0,25 Dấu bằng xẩy ra khi BD  DC . Vậy để DH .DA lớn nhất thì A là điểm chính giữa cung lớn BC . 0,25 yz xz xy a) Cho xy + yz + xz = 0 và xyz ≠ 0 . Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2 = 3 x y z 5.a (0,5đ) 1 1 1 Vì: xy + yz += xz 0; xyz ≠ 0 ⇒ + += 0 x y z 0,25 Chứng minh được nếu: a + b + c = 0 ⇒ a 3 + b3 + c3 = 3abc
1 1 1 1 1 1 3 Áp dụng công thức trên ta có: + + = 0 ⇒ 3 + 3 + 3 = x y z x y z xyz 0,25 yz xz xy 1 1 1 Lại có: 2 + 2 + = xyz  3+ 3+ =  3 . (Đpcm) x y z2 x y z3  b) Cho n là số nguyên dương. Biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 là hai số chính phương. Chứng minh rằng n chia hết cho 40 . Đặt 2n + 1 = x 2 ⇒ x lẻ ⇒ 2n =( x − 1)( x + 1) 4 vì x − 1; x + 1 chẵn ⇒ n chẵn Đặt 3n + 1= y 2 ⇒ y lẻ (do n chẵn) và 3n = ( y − 1)( y + 1)8 vì y − 1; y + 1 là 0,25 5.b hai số chẵn liên tiếp mà (3;8) = 1 ⇒ n8 (1) . (0,5đ) Ta có một số chính phương chia cho 5 dư 0 hoặc 1 hoặc 4. Mặt khác x 2 + y 2 = 5n + 2 ⇒ x 2 , y 2 chia cho 5 dư 1 0,25 Nên n = ( 3n + 1) − ( 2n + 1) = (y 2 − x 2 )5 (2). Từ (1), (2) và (5;8) = 1 ⇒ n 40 . Đpcm. (Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)