intTypePromotion=1
ADSENSE

Điều khiển dòng chất lưu trong tấm phẳng Poiseuille 2D với phương pháp phản hồi hình ảnh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

8
lượt xem
0
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Điều khiển dòng chất lưu trong tấm phẳng Poiseuille 2D với phương pháp phản hồi hình ảnh giới thiệu điều khiển với phương pháp phản hồi hình ảnh áp dụng cho dòng chất lưu trong tấm phẳng Poiseuille 2D nhằm mục đích hiệu chỉnh dòng chất lưu từ chảy rối thành chảy tầng. Trong kỹ thuật hàng không, chảy tầng là trạng thái mà lực ma sát nhỏ nhất.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Điều khiển dòng chất lưu trong tấm phẳng Poiseuille 2D với phương pháp phản hồi hình ảnh

  1. ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 11(96).2015, QUYỂN 1 47 ĐIỀU KHIỂN DÒNG CHẤT LƯU TRONG TẤM PHẲNG POISEUILLE 2D VỚI PHƯƠNG PHÁP PHẢN HỒI HÌNH ẢNH FLUID FLOW CONTROL OF 2D POISEUILLE PLANES BY VISUAL SERVOING Đào Xuân Quy1, Trần Tiến Đạt2, Nguyễn Duy Ngân3 1 Trường Đại học Quảng Bình; xuanquy.dao@gmail.com 2 Sinh viên Khoa Công nghệ Thông tin, Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng 3 Công ty Viễn thông MobiFone Tóm tắt - Bài báo giới thiệu điều khiển với phương pháp phản hồi hình Abstract - The paper introduces the visual servoing control applied to ảnh áp dụng cho dòng chất lưu trong tấm phẳng Poiseuille 2D nhằm mục 2D Poiseuille planes in order to maintain laminar state from turbulence. đích hiệu chỉnh dòng chất lưu từ chảy rối thành chảy tầng. Trong kỹ thuật In aerospace technology, laminar flow has minimun drag. Therefore, hàng không, chảy tầng là trạng thái mà lực ma sát nhỏ nhất. Do đó, chảy laminar flow is used to ecomonize energy. Due to the growth of kinetic tầng được áp dụng để tiết kiệm năng lượng. Do sự tăng trưởng của động energy density, transition from laminar tstate to turbulence appears. năng, chất lưu trong tấm phẳng Poseuille 2D trở thành chảy rối, vì vậy, Thus, the goal of control law is to minimize the kinetic energy density. cần thiết áp dụng điều khiển để giảm thiểu động năng. Phương trình mô The governing equation of 2D Poiseuille planes is the Navier Stokes tả chất lưu trong tấm phẳng Poiseuille 2D là phương trình vi phân đạo partial differential equations which become a state space hàm riêng Navier Stokes. Sử dụng đa thức Chebyshev, phương trình representation using Chebyshev polynomials. A control law is Navier Stokes được mô tả bằng phương trình trạng thái. Áp dụng điều designed based on the state space representation to minimize the khiển lên phương trình trạng thái với mục đích giảm thiểu động năng, kinetic energy density and the flow becomes laminar from turbulence. dòng chất lưu trở thành chảy tầng từ trạng thái chảy rối. The simulation results have validated our approach. Từ khóa - phương trình Navier Stokes; chất lưu Poiseuille; động Key words - Navier Stokes equations; Poiseuille flow; kinetic năng; điều khiển với phản hồi hình ảnh; điều khiển chất lưu. energy density; visual servoing control; flow control. 1. Giới thiệu Có hai cách thực hiện điều khiển dòng chất lưu: bị động Mục đích của điều khiển với phương pháp phản hồi và chủ động (pasive and active controls) [8]. Điều khiển hình ảnh (visual servoing control - VSC) là điều khiển sự chất lưu bị động không yêu cầu cung cấp năng lượng và chuyển động của một robot bằng cách sử dụng dữ liệu không có vòng lặp điều khiển (no loop control) [9]. Phần (data) cung cấp bởi cảm biến tầm nhìn (vision sensor) [1], lớn kỹ thuật bị động là tối ưu hóa hình học khí động lực [2]. Đây là một kỹ thuật phổ biến trong cộng đồng điều học, ví dụ cánh của máy bay được thiết kế để giảm lực ma khiển robot. VSC áp dụng vào điều khiển chất lưu được sát và tăng lực nâng. Ngược với kỹ thuật điều khiển bị giới thiệu bởi nhóm các tác giả [3], [4], [5]. Trong [3], biến động, điều khiển chủ động cần cung cấp năng lượng và trạng thái được quan sát thông qua camera, đo đó không vòng lặp điều khiển (loop control) [10], [11]. Năng lượng cần bộ quan sát (LQE). Bằng cách dùng bộ điều khiển với cung cấp có thể là năng lượng của bộ chấp hành (actuator) phương pháp phản hồi hình ảnh từng phần (partitioned tác động vào dòng chất lưu. Kỹ thuật điều khiển bị động visual servoing control - PVSC), ma sát theo thời gian giảm đơn giản, tiết kiệm chi phí thiết kế và sản xuất, dễ dàng duy theo hàm mũ, nhưng động năng chưa được điều khiển giảm trì hơn kỹ thuật chủ động. Do đó, kỹ thuật điều khiển bị theo hàm mũ [4]. Do đó, bài báo này trình bày phương pháp động thường được áp dụng vào những ứng dụng thực tế, điều khiển động năng giảm theo hàm mũ thông qua điều đặt biệt trong kỹ thuật hàng không. Tuy nhiên, kỹ thuật khiển với phương pháp phản hồi hình ảnh. Hơn thế nữa, điều khiển bị động chỉ áp dụng cho dòng chất lưu đơn giản kết quả được so sánh với kết quả trước đó (LQR) để chứng và bị giới hạn khi phần lớn dòng chất lưu chuyển động phức minh rằng với phương pháp phản hồi hình ảnh, chúng ta có tạp và không ổn định. Nguyên nhân này làm cho kỹ thuật được một kết quả tốt hơn. điều khiển chủ động được chú ý nhiều hơn điều khiển bị động trong thời gian gần đây. Điều khiển dòng chất lưu có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như kỹ thuật hàng không, ôtô, tàu thủy,… Ứng dụng Bài báo đề cập đến điều khiển vòng kín (closed-loop của điều khiển dòng chất lưu trong kỹ thuật hàng không là control) trong điều khiển chủ động. Để thực hiện điều khiển tăng lực nâng, giảm lực ma sát, giảm tiếng ồn… Hiện tại, vòng kín, luật điều khiển cần lấy thông tin từ các cảm biến Airbus mong muốn đến năm 2020 giảm 50% khí thải CO2 (sensor). Thật sự, các cảm biến đó tại một thời điểm phải so với năm 2000. Trong đó, 20% của sự giảm này là giảm chính xác và tương thích với thời gian và không gian của ma sát của khí động lực học và kết cấu trọng lực trong máy hiện tượng mà chúng ta muốn điều khiển. Tuy nhiên, phần bay [6]. Thật sự, trong giảm ma sát của khí động lực học, lớn các phép đo của cảm biến thường dựa trên ứng suất điều khiển dòng chất lưu như kỹ thuật điều khiển chất lưu trượt (shear stress) từ thiết bị vi cơ điện tử (Micro Electro chảy tầng và kỹ thuật điểu khiển chất lưu chảy rối - phân Mechanical Systems - MEMS) [12]. Thật không may, số ly (turbulence & separation) có thể giảm 15% ma sát [7]. lượng cảm biến MEMS đo ứng suất trượt bị giới hạn do số Thông thường, chất lưu chảy tầng có ma sát nhỏ nhất. Do lượng điểm đặt bị giới hạn. Do đó, tác giả đề nghị sử dụng đó, mục đích của điều khiển dòng chất lưu là chuyển đổi cảm biến tầm nhìn để giải quyết vấn đề giới hạn số lượng chất lưu từ chảy rối sang chảy tầng. điểm đặt của cảm biến. Hơn nữa, điều khiển với phương pháp phản hồi hình ảnh mang lại kết quả tốt hơn trong việc
  2. 48 Đào Xuân Quy, Trần Tiến Đạt, Nguyễn Duy Ngân giảm thiểu ma sát và động năng so với điều khiển LQR này, điều kiện biên không đồng nhất Dirichlet là tín hiệu bằng cách điều khiển ma sát và động năng theo thời gian điều khiển. giảm theo hàm mũ. Sơ đồ nguyên lý điển khiển phương trình vi phân đạo hàm Bài báo được trình bày như sau: Mục 2 trình bày cơ bản riêng Navier Stokes (Partial Differential Equations - PDE) về dòng chất lưu Poiseuille 2D và mô hình hóa các đại được minh họa trong Hình 2. Luật điều khiển được thiết kế lượng vật lý thành các biến điều khiển; mục 3 giới thiệu trong không gian Fourier. Đầu tiên, sử dụng điều khiển với điều khiển với phương pháp phản hồi hình ảnh áp dụng cho phương pháp phản hồi hình ảnh, vận tốc trong không gian vật dòng chất lưu Poiseuille 2D; mục 4 so sánh kết quả của lý của chất lưu được tính bởi kỹ thuật dòng quang học (optical điều khiển với phương pháp phản hồi hình ảnh với các flow). Tiếp theo, vận tốc trong không gian Fourier được tính phương pháp khác; kết luận được trình bày trong mục 5. thông qua biến đổi Fourier. Các biến điều khiển được tính từ vận tốc. Dựa trên mục tiêu điều khiển, luật điều khiển được 2. Mô hình điều khiển thiết kế. Tín hiệu điều khiển là hàm của biến điều khiển. Điều 2.1. Dòng chất lưu Poiseuille 2D kiện biên trong không gian Fourier tính từ tín hiệu điều khiển. Dòng chất lưu Poiseuille 2D là dòng chất lưu giữa hai Sau đó, điều kiện biên trong không gian vật lý tính bằng biến tấm phẳng vô hạn bởi gradient áp suất. Hình 1 minh họa đổi Fourier ngược. Cuối cùng, điều kiện biên tác động để thay trạng thái ổn định (steady state) của profile vận tốc (biểu đổi dòng chất lưu. đồ vận tốc), trục Ox là trục hoành độ (streamwise direction), trục Oy là trục tung độ (wall normal direction). Hình 1. Chất lưu Poiseuille 2D: profile vận tốc tại điểm M Phương trình không thứ nguyên Navier Stokes áp dụng cho chất lưu không nén được trong tấm phẳng Poiseuille 2D tại điểm M được đưa bởi [13]. Hình 2. Sơ đồ điều khiển [5]  x V  y V 0  Để thiết kế bộ điều khiển, mô hình trạng thái được giới  1 (1) t V  ( V. ) V P  V thiệu trong mục tiếp theo.  R 2.3. Mô hình trạng thái Trong đó, V(x, y, t ) = (U , V ) là vận tốc của chất lưu tại điểm M, U là vận tốc theo phương Ox và V là vận tốc theo Dòng chất lưu Poiseuille 2D được xem xét xung quanh điểm cân bằng, sai số giữa trạng thái hiện tại và trạng thái phương Oy;  x là đạo hàm riêng theo trục hoành;  y là đạo cân bằng v  ( u , v )  V  Ve với u là thành phần của v(x,y,t) hàm riêng theo trục tung;  t là đạo hàm riêng theo thời gian theo Ox, v là thành phần v(x,y,t) theo Oy. 2 2 2 t;    x   y là toán tử gradient;     x2   y2 là toán Đầu tiên, phương trình vi phân đạo hàm riêng Navier tử Laplace; P là áp suất và R là số Reynolds. Stokes được tuyến tính hóa xung quanh điểm cân bằng. Sau Điều kiện biên của chất lưu Poiseuille 2D là điều kiện đó, bằng cách sử dụng biến đổi Fourier và biểu thức Chebyshev - điểm Gauss-Lobatto [13]. đồng biên nhất Neumann  yV ( x, y  1, t )  0 và điều kiện N st N st N v( x , y , t )=  v ( y , t ) e jn st  x     n ( y ) a v, n (t) e jn st  x (3) biên đồng nhất Dirichlet V ( x, y  1, t )  0. n st 1 n st 1 n  0 Khi chất lưu ở trạng thái ổn định, vận tốc V e và áp suất Trong đó:  số sóng (wavenumber); n st , N st chỉ số của Pe tại điểm cân bằng được xác định bởi: biến đổi Fourier; v(  y , t ) vận tốc trong không gian Fourier;  n ( y ) biểu thức Chebyshev; a v, n (t) vận tốc tại điểm Gauss-   t Ve  0  , (2) Lobatto; n , N chỉ số của biểu thức Chebyshev, phương   t Pe  0 trình đạo hàm riêng biến đổi thành phương trình vi phân Áp dụng vào phương trình (1), trạng thái cân bằng của (Ordinary Differential Equations - ODE; xem [3], [5], [13], dòng chất lưu là ( Ve , Pe )  (1 - y 2 , 0, 2 x / R ) . [14] cho biến đổi chi tiết). Cuối cùng, phương trình trạng thái của chất lưu Poiseuille 2D được thể hiện: Mục tiếp theo giới thiệu nguyên lý điều khiển chất lưu Lx (t )  Ax(t )  Bu(t )  Eu (t ) (4) Poiseuille 2D. Trong đó: L, A là ma trận trạng thái; B, E là ma trận 2.2. Điều khiển biên điều khiển; x(t) là biến trạng thái, liên quan đến a v, n ( t ) ; u ( t ) Chất lưu Poiseuille 2D được điều khiển thông qua điều là tín hiệu điều khiển, liên quan đến điều kiện biên - biên khiển biên, có thể áp dụng lên biên trên (y=+1) và biên dưới trên v(x,y=+1,t) và biên dưới v(x,y=-1,t). (y=-1) của dòng chất lưu [13], [14], [15]. Trong trường hợp
  3. ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 11(96).2015, QUYỂN 1 49 Tiếp theo, động năng của chất lưu Poiseuille 2D được lưu thay đổi trạng thái từ chảy rối thành chảy tầng. Kết quả định nghĩa: minh họa sự khác nhau giữa dòng chất lưu không được điều 1 2 khiến với dòng chất lưu được điều khiển. Tuy nhiên, cách  (t )   v( x, y,t ) dVo (5) thức giảm thiểu động năng bằng điểu khiển LQR (tương tự 2VO PID, H 2 / H) không giảm thiểu theo hàm mũ. Động năng với VO là thể tích được tính [14]. Mô hình hóa  ( t ) theo tăng và đạt giá trị lớn nhất sau đó giảm về zero (Hình 4(b)). hàm của biến trạng thái x(t) và tín hiệu điều khiển u(t): T T T  ( t )  x ( t ) Q 11 x ( t )  2 x ( t ) Q 12 u ( t )  u ( t ) Q 22 u ( t ) (6) Trong đó: xT là chuyển vị của x; Qij là ma trận hệ số [5]. Ma sát của chất lưu được định nghĩa [15]: d(t )    yu( x,1,t ) yu( x,1,t )dx (7) Mô hình hóa d(t) theo hàm của biến trạng thái x(t) và tín hiệu điều khiển u(t) [5]: (a) t=8 (b) t=16 d (t )  D1x (t )  D 2 u (t ) (8) Tiếp theo, chúng ta xem xét sự phát triển của dòng chất lưu khi không có điều khiển với R=10.000 và  1. Kết quả mô phỏng dòng chất lưu được viết trên phần mền Matlab dựa trên code cung cấp bởi McKernan [14]. Hình 3(a) - 3(d) mô tả quá trình phát triển của chất lưu không có tín hiệu điều khiển theo thời gian t(s). Trong Hình 3(a), hình bên trái phía trên là động năng, chấm đỏ là động năng tại thời điểm t, hình bên trái phía dưới là profile vận tốc tại O, (c) t=32 (d) t=100 hình bên phải là trường vận tốc của chất lưu. Do tăng Hình 4. Dòng chất lưu theo thời gian t với điều khiển LQR trưởng của động năng  ( t ) , dòng chất lưu thành chảy rối, (điều khiển biên trên và dưới) kết quả minh họa trong Hình 3(a) - 3(d). Trường vận tốc trong Hình 3(d) rất nhiễu loạn, động năng tiến tới vô cùng. Trong điều khiển chất lưu, chúng ta mong muốn động Do đó, cần một luật điều khiển để giảm thiểu động năng. năng được giảm thiểu theo hàm mũ. Trong [15], phương pháp dựa trên hàm Lyapunov áp dụng trực tiếp vào phương trình vi phân đạo hàm riêng Navier Stokes đạt được giảm thiểu của động năng theo hàm mũ. Tuy nhiên, phương pháp này chỉ áp dụng cho số Reynolds nhỏ R
  4. 50 Đào Xuân Quy, Trần Tiến Đạt, Nguyễn Duy Ngân Trong đó: u(t) là tín hiệu điều khiển và Le(t) là ma trận với N x là số điểm pixels của camera,e x ( t ) liên quan đến tương tác hoặc ma trận hình ảnh Jacobi liên kết sự thay đổi nhiễu của phép đo [3]. Bằng cách sử dụng camera, chúng theo thời gian của đặc trưng thị giác đến sự thay đổi theo thời ta không cần phải xây dựng bộ điều khiển LQE để tính ước gian của tín hiệu điều khiển tác động lên hệ thống.  t e (t ) thể lượng của véc tơ trạng thái (chi tiết xem [3]). Thật sự, điều hiện sự thay đổi của véc tơ sai số e(t) do chuyển động tự do khiển với phương pháp phản hồi hình ảnh đã giải quyết vấn của đặc trưng thị giác. Mục đích điều khiển là hiệu chỉnh véc đề điểm đặt và giới hạn số lượng cảm biến. tơ sai số e(t) về zero. Luật điều khiển xây dựng từ (9) sử dụng Mục tiếp theo trình bày giảm thiểu động năng theo hàm mũ ma trận đã biết Le(t) hoặc ma trận gần đúng Lˆ e ( t ) của ma trận khi áp dụng điều khiển với phương pháp phản hồi hình ảnh. hình ảnh Jacobi. Chúng ta mong muốn tại thời điểm hiện tại 3.3.2. Giảm thiểu ma sát và động năng đảm bảo giảm thiểu theo hàm mũ của véc tơ sai số e(t): Đặc điểm thị giác được chọn là véc tơ trạng thái, áp e (t )  e(t ) (10) dụng luật điều khiển với phương pháp phản hồi thị giác, Từ (8) và (9), tín hiệu điều khiển được tính bằng: kết quả mô phỏng theo thời gian của e(t), u(t),  ( t ) và d(t)   u(t )  Lee(t )  Let e(t ) được minh họa trong Hình 6. (11)  với L e là nghịch đảo Moore - Penrose của ma trận L e . 3.2. Áp dụng Hình 5 minh họa nguyên lý áp dụng. Camera (cảm biến tầm nhìn) được sử dụng để đo trường vận tốc. Thông qua vận tốc, áp suất và động năng được tính. Để thiết kết luật điều khiển, động năng là hàm mục tiêu cần phải giảm thiểu. Phương pháp tính vận tốc từ hình ảnh camera được trình (a) e(t) theo t (b) u(t) theo t bày chi tiết trong [3]. (c)  ( t ) theo t (d) d(t) theo t Hình 6. Kết quả của điều khiển với phương pháp phản hồi hình ảnh: (a) véc tơ sai số; (b) tín hiệu điều khiển; (c) động năng; (d) ma sát Tất cả các biến điều khiển giảm theo hàm mũ, kết quả này đảm bảo dòng chất lưu chuyển từ trạng thái chảy rồi sang chảy tầng theo hàm mũ, minh họa trong Hình 7. Hình 5. Điều khiển với phương pháp phản hồi hình ảnh So sánh kết quả Hình 4 và Hình 7, điều khiển với Để động năng giảm theo hàm mũ ε(  t )= - 2ε(t ), từ phương pháp phản hồi hình ảnh đạt được kết quả tốt hơn phương trình (4), (6) và (7), chúng ta nhận thấy rằng chỉ điều khiển LQR: động năng theo thời gian luôn giảm theo cần x (t )    x (t ). Viết lại (4) theo (9) bằng cách sử dụng hàm mũ, tốc độ hội tụ thay đổi đơn giản với tham số λ. biến trạng thái mới z ( t ) =x (t ) -L-1 Eu ( t ) , chúng ta có: -1 -1 -1 -1 z ( t ) =L Az ( t ) +(L B+L AL E)u ( t ) (12) Đặc trưng thị giác s(t) được chọn là véc tơ trạng thái z(t). Phương trình (12) tương đương với (9), trong đó  t e ( t ) =L Az ( t ) và L e ( t ) = (L B + L A L E ). Một cách đơn giản, -1 -1 -1 -1 luật điều khiển được đưa bởi (11) dựa trên giảm thiểu động năng theo hàm mũ (10). (a) t=1 (b) t=3 3.3. Kết quả so sánh 3.3.1. Ước lượng sai số đặc trưng thị giác Trong thực tế, tín hiệu điều khiển là hàm số của ước lượng sai số của đặc trưng thị giác. u(t )  L ˆ (t )eˆ (t )  L ˆ (t) eˆ (t ) (13) e e t   ˆ (t) là ma trận xấp xỉ của L (t). Ước lượng Trong đó: L e e sai số được tính: (c) t=22.5 (d) t=30 1 Hình 7. Dòng chất lưu theo thời gian t với điều khiển bằng eˆ (t )  e(t )  e (t ) (14) Nx x phương pháp phản hồi hình ảnh (điểu khiển biên dưới)
  5. ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 11(96).2015, QUYỂN 1 51 4. Kết luận Control Conference (ACC), 2012 (pp. 4084-4089). IEEE. [5] Dao, X. Q. (2014). Fluid flow control by visual servoing. Doctoral Bằng cách sử dụng điều khiển với phương pháp phản dissertation, Université Rennes 1. hồi hình ảnh lên dòng chất lưu Poiseuille 2D, ma sát và [6] Flaig, A. (2008, July). Eco-efficient by design. In Challenges for động năng theo thời gian giảm theo hàm mũ. Đây là kết aerodynamics engineers for future aircraft design, 8th World quả tốt hơn so với các loại điều khiển PID, LQR, H 2 / H. Congress on Computational Mechanics. Bộ điều khiển này luôn đảm bảo chất lưu chuyển từ trạng [7] Schrauf, G., Wood, N., & Gölling, B. (2006). Key aerodynamic technologies for aircraft performance improvement. 5th Community thái chảy rối thành chảy tầng. Aeronautics Days. Trong nghiên cứu tiếp theo sẽ mở rộng nghiên cứu chất [8] Gad-el-Hak, M. (2000). Flow Control: Passive, Active, and Reactive lưu Poiseuille 3D (dòng chất lưu thực) và mở rộng ảnh Flow Management. Cambridge University Express. hưởng của nhiệt độ (bảo toàn năng lượng) hoặc ảnh hưởng [9] Bushnell, D. M. (1990). Viscous drag reduction in boundary layers. AIAA. của trường điện từ (lực Lorentz) lên chất lưu Poiseuille. [10] Moin, P., & Bewley, T. (1994). Feedback control of turbulence. Applied mechanics reviews, 47(6S), S3-S13. [11] Kral, L. D. (2000). Active flow control technology. ASME FED, TÀI LIỆU THAM KHẢO Technical Brief, 1-28. [1] Hutchinson, S., Hager, G. D., & Corke, P. I. (1996). A tutorial on [12] Gad-el-Hak, M. (Ed.). (2010). The MEMS handbook. CRC press. visual servo control. Robotics and Automation, IEEE Transactions [13] Joshi, S. S., Speyer, J. L., & Kim, J. (1997). A systems theory on, 12(5), 651-670. approach to the feedback stabilization of infinitesimal and finite- [2] Chaumette, F., & Hutchinson, S. (2006). Visual servo control. I. Basic amplitude disturbances in plane Poiseuille flow. Journal of Fluid approaches. Robotics & Automation Magazine, IEEE, 13(4), 82-90. Mechanics, 332, 157-184. [3] Fomena, R. T., & Collewet, C. (2011). Fluid flow control: a vision- [14] McKernan, J. (2006). Control of plane Poiseuille flow: a theoretical and based approach. International Journal of Flow Control, 3(2), 133-170. computational investigation. Doctoral dissertation, Cranfield University [4] Dao, X. Q., & Collewet, C. (2012, June). Drag reduction of the plane [15] Aamo, O. M., Krstić, M., & Bewley, T. R. (2003). Control of mixing by poiseuille flow by partitioned visual servo control. In American boundary feedback in 2D channel flow. Automatica, 39(9), 1597-1606. (BBT nhận bài: 16/07/2015, phản biện xong: 22/11/2015)
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2