Định lí kiểu Bernstein trong R42 với định thức Jacobi bị chặn

Chia sẻ: Tony Tony | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

41
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài báo này, chúng tôi phát biểu và chứng minh một định lí kiểu Bernstein cho mặt cực đại 2-chiều trong không gian Minkowski R 4 2 với điều kiện hàm số xác định mặt có định thức Jacobi bị chặn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Định lí kiểu Bernstein trong R42 với định thức Jacobi bị chặn

Nguyen Le Tram/ Định lí kiểu Bernstein trong R42 với định thức Jacobi bị chặn ĐỊNH LÍ KIỂU BERNSTEIN TRONG R42 VỚI ĐỊNH THỨC JACOBI BỊ CHẶN Nguyen Le Tram Khoa Khoa học tự nhiên, Trường Đại học Quảng Bình Ngày nhận bài 23/12/2016, ngày nhận đăng 26/6/2017 Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi phát biểu và chứng minh một định lí kiểu Bernstein cho mặt cực đại 2-chiều trong không gian Minkowski R42 với điều kiện hàm số xác định mặt có định thức Jacobi bị chặn. 1 Mở đầu Mặt cực tiểu [11] được giới thiệu lần đầu bởi Lagrange năm 1762, đó là đồ thị của các hàm trơn xác định trong một miền mở, liên thông trên R2 thỏa mãn phương trình (1 + fy2 )fxx − 2fx fy fxy + (1 + fx2 )fyy = 0. (1) Sau đó mặt cực tiểu được một số nhà toán học quan tâm nghiên cứu, trong đó đáng chú ý nhất là công trình của S.Bernstein. Định lí 1.1 (S. Bernstein [11] ). Cho f là nghiệm của (1), nếu f xác định trên toàn R2 thì đồ thị của f là mặt phẳng. Định lí này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, việc mở rộng định lí cho các siêu mặt cực tiểu [11] trong các không gian với số chiều lớn hơn được nghiên cứu rất nhiều trong thập niên 60 của thế kỉ XX, tiêu biểu là Federer, Fleming, de Giogi, Almgren và Simon. Tổng hợp các kết quả này ta được: nếu f : Rn −→ R là nghiệm của phương trình siêu mặt cực tiểu trong Rn+1 thì f là hàm affine khi n ≤ 7, còn với n > 7 thì định lí không còn đúng. Với mong muốn phát biểu một định lí tương tự đúng với mọi n, nhiều nhà toán học đưa ra các định lí kiểu Bernstein với hàm số f thỏa mãn một số điều kiện cụ thể. Định lí 1.2 (J. Moser [9]). Cho z = f (x1 , x2 , ..., xn ) xác định trên Rn có đồ thị là một siêu mặt cực tiểu trong Rn+1 . Nếu | 5 f | ≤ β < +∞ thì f là hàm affine hay đồ thị của nó là một siêu phẳng. Định lí 1.3 (J. C. C.Nitscher và Ecker - Huisken [4]). Cho z = f (x1 , x2 , ..., xn ) xác định trên Rn có đồ thị là một siêu mặt cực tiểu trong Rn+1 . Nếu p | 5 f (x)| = o |x|2 + |f (x)|2 , ∀x ∈ Rn thì f là hàm affine. 1) 80 letram07st@gmail.com (N. L. Tram). Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 46, Số 2A (2017), tr. 80-90 Trong trường hợp mở rộng đối chiều cao, cho f : Rn −→ Rm , n ≥ 2, m ≥ 2, f (x1 , ..., xn ) = có đồ thị (f 1 (x1 , ...xn ), ..., f m (x1 , ..., xn )) Gf := {(x1 , ..., xn , f 1 (x1 , ...xn ), ..., f m (x1 , ..., xn )) : (x1 , ..., xn ) ∈ Rn }, nếu Gf là mặt cực tiểu n-chiều thì Gf có phải là n-phẳng hay không. Câu trả lời là không. Ta có thể xét ví dụ đơn giản trong trường hợp n = 2, m = 2; cho f (x1 , x2 ) = (x1 −x2 , 2x1 x2 ) thì theo hình học định cỡ [6] Gf là một đường cong phức nên là mặt cực tiểu và tất nhiên Gf không phải là mặt phẳng. Trong trường này các điều kiện cụ thể của f cũng đã được thêm vào để có thể mở rộng thành các định lí kiểu Bernstein đối chiều cao. Định lí 1.4 (Hildebrandt-Jost-Widmen [8]). Cho f (x1 , ..., xn ) = (f 1 (x1 , ...xn ), ..., f m (x1 , ..., xn )) là hàm số khả vi cấp 2 trên Rn có đồ thị là mặt cực tiểu. Giả sử tồn tại hằng số β sao cho ( 1 nếu s = 1 π √ β < cos−1 ,K = , s = min(m, n) 2 nếu s = 2 2 sK và với mọi x ∈ Rn có 1 ∆f (x) = {det(δij + fxsi (x)fxsj (x))} 2 ≤ β thì f 1 , ..., f m là các hàm affine hay Gf là n-phẳng trong Rn+m . Định lí 1.5 (Hasanis-Halilaj-Vlachos [7]). Cho f : R2 −→ R2 là các hàm trơn sao cho đồ thị Gf là mặt cực tiểu trong R4 . Nếu định thức Jacobi Jf của f bị chặn thì Gf là mặt phẳng. 2 Mặt cực đại 2-chiều trong Rnn−2 Trên Rn , n ≥ 3, ta xác định một dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến, ký hiệu h·, ·ik , k = 1, 2, ..., n cho bởi hx, yik = n−k P xi yi − i=1 n P xi yi , i=n−k+1 trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn . Không gian vectơ Rn cùng với dạng song tuyến tính h·, ·ik được gọi là không gian Minkowski Rnk . h·, ·ik xác định dạng toàn phương Γ, Γ(x) = n−k X i=1 x2i − n X x2j . (2) j=n−k+1 Một vectơ x trong Rnk được gọi là: • vectơ kiểu không gian (spacelike) nếu hx, xik > 0, hoặc x = 0; 81 Nguyen Le Tram/ Định lí kiểu Bernstein trong R42 với định thức Jacobi bị chặn • vectơ kiểu thời gian (timelike) nếu hx, xik < 0; • vectơ kiểu ánh sáng (lightlike) nếu x 6= 0, hx, xik = 0. Một mặt tham số 2-chiều được gọi là mặt kiểu không gian nếu vectơ tiếp xúc tại mọi điểm là vectơ kiểu không gian. Với p là một điểm bất kì của M , đặt Tp M = {v ∈ Rnk v là vectơ tiếp xúc của M }, Np M = {u ∈ Rnk u là vectơ pháp tuyến của M }. Bổ đề 2.1. Cho M là mặt tham số (n − k)-chiều kiểu không gian trong Rnk . Khi đó ∀p ∈ M, ∀v ∈ Np M, v 6= 0 thì v là vectơ kiểu thời gian. Chứng minh. Vì v 6= 0 nên ta có thể bổ sung thêm k − 1 vectơ v2 , ..., vk của Np M sao cho {v1 = v, v2 , ..., vk } là một cơ sở của Np M . Bằng phương pháp trực giao hóa Gram - Schmidt ta có thể giả thiết {v1 , v2 , ..., vk } là một hệ trực giao. Nếu {u1 , ..., un−k } là một cơ sở trực giao của Tp M thì vì Tp M ⊕ Np M = Rn nên {u1 , ...un−k , v1 , ..., vk } là cơ sở trực giao của Rn . Giả sử đối với cơ sở này Γ có dạng chính tắc là n P Γ(x) = ai x2i , i=1 ta có ∀i = 1, ..., n − k, ai = Γ(ui ) = hui , ui ik > 0, nên theo định lí về chỉ số của dạng toàn phương và (2) ta có aj < 0, ∀j = n − k + 1, ..., n hay hvj , vj ik < 0, ∀j = 1, ..., k. Vậy, v là vectơ kiểu thời gian. 2 Cho M là mặt tham số 2-chiều trong Rnn−2 , n ≥ 3 cho bởi X:D −→ Rnn−2 (x1 , x2 ) 7−→ (f 1 (x1 , x2 ), ..., f n (x1 , x2 )), với D là tập mở, liên thông trong R2 và f i : D −→ R, i = 1, ..., n là các hàm trơn. ∂X ∂X Với mọi điểm p ∈ M, M được gọi là chính quy tại p nếu các vectơ X1 = ∂x (p), X2 = ∂x (p) 1 2 độc lập tuyến tính. M được gọi là mặt tham số chính quy nếu M chính quy tại mọi điểm. Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất của M tại p xác định bởi 82 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 46, Số 2A (2017), tr. 80-90 E = hX1 , X1 in−2 , F = hX1 , X2 in−2 , G = hX2 , X2 in−2 . Nếu M là mặt kiểu không gian thì E > 0, G > 0, hơn nữa, ∀(a, b) 6= (0, 0) ta có haX1 + bX2 , aX1 + bX2 in−2 > 0 ⇔ a2 E + 2abF + b2 G > 0, do đó EG − F 2 > 0. Tham số hoá X(x1 , x2 ) được gọi là trực giao nếu E = G, F = 0. Cho p là điểm bất kì trên M , ∀N ∈ Np M thỏa mãn hN, N in−2 = −1, các hệ số của dạng cơ bản thứ hai của M tại p ứng với vectơ pháp N xác định bởi bij (N ) = hN, Xij in−2 , i, j = 1, 2, (3) khi đó ta có độ cong trung bình của M tại p theo pháp tuyến N là H(N ) = b11 (N )G − 2b12 (N )F + b22 (N )E . 2(EG − F 2 ) (4) Theo (3) thì bij (N ) tuyến tính theo N nên từ (4) ta có H(N ) là một hàm tuyến tính theo → − N , tức là tồn tại vectơ H ∈ Np M , được gọi là vectơ độ cong trung bình, sao cho → − H(N ) = h H , N in−2 . (5) Cho {e3 , ..., en } là một cơ sở trực chuẩn của Np M ta có n P → − ai ei . H = k=3 Do đó H(ei ) = −ai , i = 3, ..., n hay n P → − H =− H(ek )ek . k=3 Định nghĩa 2.1. Mặt tham số chính quy kiểu không gian M trong Rnn−2 được gọi là mặt cực đại nếu vectơ độ cong trung bình bằng không tại mọi điểm. Nếu M có tham số hóa kiểu đồ thị, hay f 1 (x1 , x2 ) = x1 , f 2 (x1 , x2 ) = x2 . Ta có X1 = (1, 0, f13 , ..., f1n ), E = 1 − |f1 |2 , X2 = (0, 1, f23 , ..., f2n ), F = −hf1 , f2 i, G = 1 − |f2 |2 , trong đó f = (f 3 , ..., f n ), h, i là tích vô hướng chính tắc trên Rn−2 . ∀N ∈ Np M, N = (N1 , ..., Nn ) ta có hN, N in−2 = −1, bij (N ) = − n P k=3 fijk Nk , i, j = 1, 2. Bổ đề 2.2. Cho M là mặt tham số chính quy kiểu không gian trong Rnn−2 , ∀p ∈ M, ∀N3 , ..., N4 ∈ R, tồn tại N1 , N2 ∈ R sao cho 83 Định lí kiểu Bernstein trong R42 với định thức Jacobi bị chặn Nguyen Le Tram/ N = (N1 , ..., Nn ) ∈ Np X. Chứng minh. Đặt N1 = n P f1k Nk , N2 = k=3 n P f2k Nk ta có hN, Xi in−2 = 0, i = 1, 2 hay k=3 2 N = (N1 , ..., Nn ) ∈ Np X. Nếu M là mặt cực đại thì từ (4) ta có ! ! ! n n n X X X k k k (1 − |f2 |2 ) f11 N k + 2hf1 , f2 i f12 N k + (1 − |f1 |2 ) f22 Nk = 0 k=3 k=3 h k=3 i k k k ⇔ (1 − |f2 |2 )f11 + 2hf1 , f2 if12 + (1 − |f1 |2 )f22 Nk = 0, ∀k = 3, ..., n. Theo Bổ đề 2.2 thì N3 , ..., Nn được lấy tùy ý nên ta có (1 − |f2 |2 )f11 + 2hf1 , f2 if12 + (1 − |f1 |2 )f22 = 0. (6) Phương trình (6) gọi là phương trình Lagrange cho mặt cực đại 2-chiều kiểu đồ thị trong Rnn−2 . √ Đặt p = f1 , q = f2 , W = EG − F 2 ta có W 2 = 1 − |p|2 − |q|2 + |p|2 .|q|2 − hp, qi2 . Khi đó phương trình (6) trở thành (1 − |q|2 ) ∂p + hp, qi ∂x1 ∂q ∂p + ∂x1 ∂x2 + (1 − |p|2 ) ∂q = 0. ∂x2 Ta có ∂ ∂x1 1 − |q|2 W ∂ + ∂x2 hp, qi W 1 ∂p 2 [hp, qiq + (1 − |q| )p] (1 − |q|2 ) = W ∂x1 ∂q ∂p ∂q 2 + hp, qi + +(1 − |p| ) ∂x1 ∂x2 ∂x2 = 0. Thay thế vai trò của các cặp (x, y), (p, q) ta có 1 − |q|2 W ∂ ∂x1 hp, qi − , W (7) ∂ ∂x1 1 − |p|2 hp, qi ∂ − = . W ∂x2 W (8) ∂ = ∂x2 Cho p là điểm bất kì trên mặt M , {e3 , ..., en } là cơ sở của Np M ta có. 84