Giáo trình Cơ học lượng tử nâng cao

Chia sẻ: Phan Thi Ngoc Giau | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:90

Thêm vào BST

Báo xấu

698
lượt xem 202
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Học phần cơ học lượng tử nâng cao là môn học bắt buộc đối với học viên cao học chuyên ngành Phương pháp Giảng dạy Vật lý và chuyên ngành Vật lý lý thuyết - Vật lý Toán, nó nhằm bổ sung và nâng cao một số kiến thức cơ học lượng tử như các phương pháp tính gần đúng trong cơ học lượng tử lý thuyết tán xạ lượng tử, cơ học lượng tử tương đối tính...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Cơ học lượng tử nâng cao

 Giáo trình Cơ học lượng tử
1 M ĐU M ĐU H c ph n cơ h c lư ng t nâng cao là môn h c b t bu c đ i v i h c viên cao h c chuyên ngành Phương pháp Gi ng d y V t lý và chuyên ngành V t lý Lý thuy t-V t lý Toán, nó nh m b sung và nâng cao m t s ki n th c cơ h c lư ng t như các phương pháp tính g n đúng trong cơ h c lư ng t , lý thuy t tán x lư ng t , cơ h c lư ng t tương đ i tính,... Các ki n th c này là cơ s đ h c viên ti p thu các ki n th c v V t lý th ng kê, V t lý ch t r n, Cơ s lý thuy t trư ng lư ng t ,... V i m c tiêu như trên, n i dung c a môn h c đư c xây d ng trong 4 chương. Chương I khái quát l i các cơ s c a cơ h c lư ng t (cơ s toán h c, các tiên đ c a cơ h c lư ng t , nguyên lý b t đ nh Heisenberg, phương trình Schrõdinger, s bi n đ i theo th i gian c a giá tr trung bình các đ i lư ng v t lý,...). Chương II trình bày các phương pháp g n đúng đ gi i phương trình Schrõdinger thư ng đư c s d ng trong cơ h c lư ng t . Chương III trình bày lý thuy t tán x lư ng t . Chương IV trình bày khái quát cơ h c lư ng t tương đ i tính, bao g m m t s phương trình cơ b n (Phương trình Klein-Gordon, phương trình Dirac, phương trình Pauli,...), m t s khái ni m cơ b n (M t đ xác su t tương đ i tính và m t đ dòng xác su t tương đ i tính, spin và mômen t c a h t vi mô,...). Ngoài ra, các h c viên cao h c V t lý Lý thuy t -V t lý Toán còn có 15 ti t đ kh o sát sâu hơn v c u trúc các tr ng thái nguyên t , lý thuy t lư ng t v b c x , hi u ng Zeemann d thư ng, các tr ng thái năng lư ng âm, tính b t bi n c a phương trình Dirac. Đ giúp h c viên n m ch c các ki n th c c a môn h c, s th i gian dành cho h c viên rèn luy n các k năng v n d ng và gi i các bài t p, xêmine chi m 1/4 th i lư ng c a môn h c.
2 M cl c 1 Cơ s c a cơ h c lư ng t 4 1.1 Cơ s toán h c c a cơ h c lư ng t . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Toán t : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Các phép tính trên toán t . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Hàm riêng, tr riêng và phương trình tr riêng c a toán t ............................. 6 1.1.4 Toán t t liên h p tuy n tính (toán t hermitic) . . . 6 1.1.5 Các tính ch t c a toán t hermitic . . . . . . . . . . . 8 1.2 Các tiên đ c a cơ h c lư ng t . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Tiên đ 1: Tr ng thái và thông tin . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Tiên đ 2: Các đ i lư ng đ ng l c . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Tiên đ 3: Phép đo các đ i lư ng đ ng l c . . . . . . . 10 1.2.4 Giá tr trung bình c a bi n s đ ng l c . . . . . . . . . 11 1.2.5 Tính h s phân tích ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 S đo đ ng th i hai đ i lư ng v t lý . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 S đo chính xác đ ng th i hai đ i lư ng v t lý . . . . . 12 1.3.2 Phép đo hai đ i lư ng đ ng l c không xác đ nh đ ng th i. Nguyên lý b t đ nh Heisenberg. . . . . . . . . . . 13 1.4 Phương trình Schrõdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1 Phương trình Schrõdinger ph thu c th i gian . . . . . 15 1.4.2 M t đ dòng xác su t. S b o toàn s h t . . . . . . . 16 1.4.3 Phương trình Schrõdinger không ph thu c th i gian. Tr ng thái d ng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 S bi n đ i theo th i gian c a các đ i lư ng đ ng l c . . . . . 19 1.5.1 Đ o hàm c a toán t đ ng l c theo th i gian . . . . . 19 2 M t s phương pháp g n đúng trong cơ h c lư ng t 22 2.1 Nhi u lo n d ng trong trư ng h p không suy bi n . . . . . . . 23 2.2 Lý thuy t nhi u lo n d ng trong trư ng h p có suy bi n . . . 26
3 Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t 2.2.1 Lý thuy t nhi u lo n khi có hai m c g n nhau . . . . . 26 2.2.2 Lý thuy t nhi u lo n d ng khi có suy bi n: . . . . . . . 31 2.3 Hi u ng Stark trong nguyên t Hydro . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Nhi u lo n ph thu c th i gian . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5 S chuy n d i lư ng t c a h vi mô sang các tr ng thái m i dư i nh hư ng c a nhi u lo n . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.6 Nguyên t Hêli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.7 Phương pháp trư ng t h p Hartree-Fok . . . . . . . . . . . . 48 2.7.1 Nguyên lý bi n phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.7.2 Phương pháp trư ng t h p Hartree-Fok . . . . . . . . 52 3 Lý thuy t tán x lư ng t 57 3.1 Biên đ tán x và ti t di n tán x . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.1.1 Ti t di n tán x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.1.2 Biên đ tán x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.1.3 Tán x đàn h i c a các h t không có spin . . . . . . . 60 3.2 Tán x đàn h i trong phép g n đúng Born . . . . . . . . . . . 65 3.3 Phương pháp sóng riêng ph n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4 Cơ h c lư ng t tương đ i tính 74 4.1 Phương trình Klein-Gordon (K-G) . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2 Phương trình Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.3 M t đ xác su t và m t đ dòng xác su t trong lý thuy t Dirac 81 4.4 Nghi m c a phương trình Dirac đ i v i h t chuy n đ ng t do 83 4.5 Spin c a h t đư c mô t b ng phương trình Dirac . . . . . . . 85 4.6 Chuy n t phương trình Dirac sang phương trình Pauli. Mô- men t c a h t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4 Chương 1 Cơ s c a cơ h c lư ng t 1.1 Cơ s toán h c c a cơ h c lư ng t 1.1.1 Toán t : a) Đ nh nghĩa: Toán t là m t phép toán tác d ng vào m t hàm này thì bi n đ i thành m t hàm khác. ˆ Ta g i A là m t toán t n u ˆ Aψ (x) = φ(x). (1.1) Ví d : Các toán t : + Phép nhân v i x2 ˆ Aψ (x) = x2 ψ (x), ˆ trong trư ng h p này A ph thu c bi n s x. + Phép l y đ o hàm v i bi n s x: dψ (x) ˆ Aψ (x) = dx + Phép nhân v i m t s ph c C: ˆ Aψ (x) = Cψ (x), ˆ đây, A không ph thu c vào bi n x và phép l y đ o hàm theo x. Đ c bi t n u: ˆ ˆ C =0 : Aψ (x) = 0, A là toán t không, ˆ ˆ C =1 : Aψ (x) = ψ (x), A là toán t đơn v . + Phép l y liên hi p ph c: ˆ Aψ (x) = ψ ∗ (x).
5 Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t ˆ b) Toán t tuy n tính: Toán t A đư c g i là toán t tuy n tính n u nó tho mãn tính ch t sau: ˆ ˆ ˆ A(c1 ψ1 + c2 ψ2 ) = c1 Aψ1 + c2 Aψ2 . (1.2) Trong h th c trên, ψ1 và ψ2 là hai hàm b t kỳ, c1 và c2 là hai h ng s b t kỳ. ˆ Ví d : A = (d/dx) là toán t tuy n tính vì d dψ1 dψ2 (c1ψ1 + c2 ψ2 ) = c1 + c2 . dx dx dx Còn toán t l y liên hi p ph c không ph i là toán t tuy n tính vì ˆ ˆ ˆ A(c1 ψ1 + c2 ψ2 ) = (c1ψ1 + c2 ψ2 )∗ = c∗ ψ1 + c∗ ψ2 = c∗ Aψ1 + c∗ Aψ2 ∗ ∗ 1 2 1 2 ˆ ˆ = c1 Aψ1 + c2 Aψ2 . 1.1.2 Các phép tính trên toán t ˆˆˆ Cho ba toán t A, B, C. ta đ nh nghĩa các phép tính toán t sau: ˆ ˆˆ a) T ng hai toán t : S đư c g i là t ng c a hai toán t A, B , ký hi u là ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ S ≡ A+B n u ∀ψ (x), Sψ (x) = Aψ (x) + Bψ (x). (1.3) ˆ ˆˆ b) Hi u hai toán t : D đư c g i là hi u hai toán t A, B , ký hi u ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ D ≡ A−B n u ∀ψ (x), Dψ (x) = Aψ (x) − Bψ (x). (1.4) ˆ ˆˆ ˆ ˆ c) Tích hai toán t : P ≡ AB là tích c a hai toán t A và B n u ˆ ˆˆ ˆˆ P ψ (x) = (AB )ψ (x) = A Bψ (x) . (1.5) ˆˆ ˆˆ Tích c a hai toán t nói chung là không giao hoán, nghĩa là AB = B A. Ch ng h n, cho d ˆ ˆ A= , B=x dx thì ta có d dψ (x) ˆˆ ABψ (x) = (xψ (x)) = ψ (x) + x , dx dx còn dψ (x) dψ (x) ˆˆ ˆˆ B Aψ (x) = x = ABψ (x) = ψ (x) + x , dx dx
6 Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t ˆˆ ˆˆ ˆˆ rõ ràng B A = AB , nên A, B không giao hoán nhau. ˆ ˆ N u A = x2 , B = x thì ˆˆ ˆˆ ABψ (x) = x3 ψ (x) = B Aψ (x) ˆˆ hai toán t A, B giao hoán nhau. ˆ ˆ ˆˆ d) Giao hoán t c a hai toán t A và B đư c đ nh nghĩa là [A, B ] ≡ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ AB − B A. N u A và B giao hoán thì AB = B A, do đó giao hoán t c a ˆˆ chúng b ng không, nghĩa là [A, B ] = 0. N u hai toán t không giao hoán thì ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ [A, B ] = AB − B A = 0 hay [A, B ] = 0. 1.1.3 Hàm riêng, tr riêng và phương trình tr riêng c a toán t ˆ ˆ Xét m t toán t A, khi cho A tác d ng lên m t hàm ψ (x) nào đó, ta có th thu đư c chính hàm đó nhân v i m t h ng s : ˆ Aψ (x) = aψ (x). (1.6) (1.6) là m t phương trình, d ng c a ψ (x) có th thu đư c t vi c gi i phương trình trên. ˆ Ta b o ψ (x) là hàm riêng v i tr riêng a c a toán t A. Và vi c gi i phương trình (1.6) có th cho ta bi t các hàm riêng và tr riêng c a toán t ˆ ˆ A. N u có s hàm riêng có cùng m t tr riêng a, thì ta b o toán t A có tr riêng suy bi n b c s. Các tr riêng có th bi n thiên gián đo n ho c liên t c. Trong cơ h c lư ng t , hàm riêng ph i tho mãn các đi u ki n chu n sau: - Hàm ψ (x) ph i t n t i, xác đ nh trên toàn mi n bi n thiên c a các bi n đ c l p. - Trong mi n t n t i, hàm ψ (x) và đ o hàm b c nh t c a nó dψ (x)/dx ph i h u h n, liên t c (tr m t s đi m đ c bi t). - Hàm ψ (x) ph i xác đ nh đơn tr 1.1.4 Toán t t liên h p tuy n tính (toán t hermitic) ˆ Toán t tuy n tính A+ đư c g i là toán t liên h p tuy n tính v i toán ˆ t tuy n tính A n u: ∗ ˆ ˆ ∗ A+ ψ1 (x) ∀ψ1 (x), ψ2 (x), ψ1 (x)Aψ2 (x)dx = ψ2(x)dx. (1.7) V V
7 Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t ˆ ˆ ˆ N u A+ = A thì ta b o A là toán t t liên h p tuy n tính, hay toán t hermitic, nghĩa là: ∗ ˆ ˆ ∗ ψ1 (x)Aψ2(x)dx = Aψ1 (x) ψ2 (x)dx. (1.8) V V N u ta đưa ra ký hi u m i v tích vô hư ng hai hàm sóng ∗ ψ1 (x)|ψ2(x) = ψ1 (x)ψ2(x)dx, (1.9) V theo đó (1.8) đư c vi t l i như sau: ˆ ˆ ψ1 (x)|Aψ2 (x) = Aψ1 (x)|ψ2(x) . ˆ Ví d 1: A = (d/dx) có ph i là toán t hermitic không? Mu n bi t, ta tính +∞ +∞ dϕ ˆ ∗ ψ∗ ψ Aϕdx = dx. dx −∞ −∞ Đ t u = ψ ∗ , dv = (dϕ/dx).dx, thì +∞ +∞ dψ ∗ ˆ ψ Aϕdx = ψ ∗ ϕ|x=+∞ − ∗ ϕ dx, x=−∞ dx −∞ −∞ vì các hàm ψ (x), ϕ(x) → 0 khi x → ±∞ nên ψ ∗ ϕ|x=+∞ = 0, x=−∞ ∗ +∞ +∞ +∞ +∞ dψ ∗ dψ ∗ ˆ ˆ ∗ ψ Aϕdx = − ϕ dx = ϕ dx = Aψ ϕdx. dx dx −∞ −∞ −∞ −∞ ˆ V y A = (d/dx) không ph i là toán t hermitic. ˆ Ví d 2: A = i(d/dx) có ph i là toán t hermitic không? Ta có: ∗ +∞ +∞ +∞ +∞ dψ ∗ dψ ∗ dψ ˆ ∗ ψ Aϕdx = −i ϕ dx = ϕ −i dx = ϕi dx, dx dx dx −∞ −∞ −∞ −∞ +∞ +∞ ∗ ˆ ˆ ∗ ψ Aϕdx = Aψ ϕdx. −∞ −∞ ˆ V y A = i(d/dx) là toán t hermitic.
8 Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t 1.1.5 Các tính ch t c a toán t hermitic a) Tr riêng c a toán t hermitic là s th c. ˆ Gi thi t toán t hermitic A có tr riêng gián đo n v i phương trình tr riêng ˆ Aψn = anψn . ˆ ˆ ˆ Ta có: ψn |Aψn = Aψn |ψn vì A hermitic, nghĩa là: an ψn |ψn = a∗ ψn |ψn =⇒ (an − a∗ ) ψn |ψn = 0. n Vì ψn |ψn = 0 nên an = a∗ : an là s th c. n b) Hàm riêng tương ng v i hai tr riêng phân bi t thì tr c giao v i nhau. Th c v y, theo đ nh nghĩa c a toán t hermitic thì: ˆ ˆ ψ1 |Aψ2 = Aψ1 |ψ2 =⇒ a2 ψ1 |ψ2 = a1 ψ1 |ψ2 , =⇒ (a2 − a1) ψ1 |ψ2 = 0, vì a2 = a1 nên (a2 − a1) = 0. V y: ψ1 |ψ2 = 0 : ψ1 , ψ2 tr c giao v i nhau. ˆ Tóm l i, n u các hàm riêng c a toán t hermitic A đư c chu n hoá thì ta có: Ph tr riêng gián đo n : ψm |ψn = δmn , (1.10) Ph tr riêng liên t c : ψa |ψa = δ (a − a). (1.11) Trong đó, δmn , δ (a − a) là các hàm Dirac. c) Các hàm riêng c a toán t hermitic l p thành m t h hàm cơ s tr c giao và đ trong không gian Hilbert các hàm sóng, nghĩa là v i m t hàm sóng b t kỳ ψ (x) trong không gian Hilbert, ta có: Đ i v i ph tr riêng gián đo n : ψ (x) = cn ψn (x). (1.12) n Đ i v i ph tr riêng liên t c : ψ (x) = ca ψa (x)da. (1.13) a
9 Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t 1.2 Các tiên đ c a cơ h c lư ng t Trong cơ h c lư ng t , h t không đư c hình dung như là m t ch t đi m chuy n đ ng theo m t qu đ o xác đ nh mà nó đư c hình dung như là m t bó sóng đ nh x trong m t mi n c a không gian t i m t th i đi m và bó sóng thay đ i theo th i gian. T i m t th i đi m ta ch có th nói v xác su t đ tìm th y h t trong m t ph n t th tích c a không gian, hay nói khác đi là xác xu t đ to đ c a h t có giá tr n m trong kho ng nào đó. Nói chung v các bi n s đ ng l c khác cũng v y, ta ch có th nói v xác su t đ m t bi n s đ ng l c có giá tr n m trong kho ng nào đó ch không th nói v giá tr xác đ nh c a bi n s đ ng l c t i m t th i đi m như trong cơ h c c đi n. Vì có s khác bi t nói trên nên trong cơ h c lư ng t bi n s đ ng l c không ph i đư c mô t b ng m t s như trong cơ h c c đi n. Chúng ta ph i tìm m t cách mô t khác th hi n đư c nh ng đ c tính c a các quy lu t lư ng t . Nh ng nghiên c u v toán t cho th y có th dùng công c toán h c này đ mô t bi n s đ ng l c trong cơ h c lư ng t . Chúng ta th a nh n m t s gi thi t v n i dung cách mô t như nh ng tiên đ . Nh ng tiên đ y không có mâu thu n nhau và cho các k t qu phù h p v i th c nghi m. 1.2.1 Tiên đ 1: Tr ng thái và thông tin " Tr ng thái v t lý c a m t h lư ng t thì tương ng v i m t hàm sóng chu n hoá." Ta ký hi u ψ (x, t) là hàm sóng c a h lư ng t th i đi m t và t i v trí to đ x ( hay ng v i bi n đ ng l c x). Hàm sóng đư c chu n hoá khi ψ (x, t)∗ ψ (x, t)dx = 1. ψ (x, t)|ψ (x, t) = (1.14) V Như v y, ψ (x, t) và cψ (x, t) cùng chung m t tr ng thái n u c∗ c = |c|2 = 1. 1.2.2 Tiên đ 2: Các đ i lư ng đ ng l c " Tương ng v i m t đ i lư ng đ ng l c A trong cơ h c lư ng t là m t ˆ toán t hermitic A."
10 Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t Vì giá tr b ng s c a bi n đ ng l c là th c nên tr riêng c a toán t tương ng v i bi n đ ng l c đó ph i th c, do đó toán t tương ng v i bi n ˆ đ ng l c ph i hermitic. Toán t A hermitic nên có m t h đ các vectơ riêng tr c giao chu n hoá {ψi (x, t)} tương ng v i ph các tr riêng th c {ai }, i = 1, 2, ..., n. Theo đó, m t tr ng thái b t kỳ c a h lư ng t s đư c khai tri n theo các hàm riêng như sau: n ψ (x, t) = ci ψi (x, t). (1.15) i=1 1.2.3 Tiên đ 3: Phép đo các đ i lư ng đ ng l c N u h lư ng t tr ng thái bi u di n b i hàm sóng ψ (x) thì xác su t đ khi đo bi n đ ng l c A thu đư c giá tr ai s là |ci |2 = pi . Rõ ràng n n | ci | 2 = 1 pi = (1.16) i=1 i=1 đư c suy t tính ch t tr c giao, chu n hoá c a các hàm riêng. Như v y phép đo làm nhi u lo n tr ng thái. N u ψ (x) = ψi (x), ta có ˆ ˆ | c i | 2 = pi = 1 . Aψ (x) = Aψi (x) = ai ψi (x) v i xác su t Chú ý r ng theo tiên đ 3 thì (i) Không th tiên đoán chính xác k t qu phép đo m t đ i lư ng đ ng l c c a h vi mô có tr ng thái ψ (x) hoàn toàn xác đ nh. (ii) N u ti n hành hai phép đo riêng bi t nhưng gi ng nhau trên cùng m t h có tr ng thái ban đ u trư c m i l n đo là ψ (x) hoàn toàn gi ng nhau thì k t qu hai l n đo này không nh t thi t ph i trùng nhau. Ta ch p nh n “ tính không tiên đoán đư c ” và tính “ không đ ng nh t ” c a quá trình đo như là m t thu c tính v n có c a t nhiên. Trong trư ng h p ph tr riêng liên t c thì ψ (x) = c(a)ψa (x)da (1.17) a và xác su t dW (a) đ đ i lư ng A có giá tr trong kho ng t a đ n a + da là dW (a) = |c(a)|2da. (1.18)
11 Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t 1.2.4 Giá tr trung bình c a bi n s đ ng l c ˆ Xét bi n s đ ng l c A có toán t hermitic tương ng A, tr trung bình A c a nó tr ng thái ψ (x) ng v i trư ng h p ph tr riêng gián đo n {ai } n n ˆ ai |ci |2 = ψ ∗ (x)Aψ (x)dx A= pi ai = (1.19) V i=1 i=1 vì ˆ ˆ ψ ∗ (x)Aψ (x)dx = c∗ ψi (x)Acj ψj (x)dx ∗ i V V i j ˆ c∗ cj ∗ = ψi (x)Aψj (x)dx i V i j c∗ cj aj ∗ = ψi (x)ψj (x)dx i V i j c∗ cj aj δij = i i j |ci |2 ai . = i Trư ng h p ph tr riêng liên t c, ta có |c(a)|2ada A= adW (a) = a a 1.2.5 Tính h s phân tích ci Theo tiên đ 3, mu n tính xác su t đ đo A đư c giá tr ai thì ta ph i xác đ nh cho đư c h s phân tích ci . Mu n v y, ta nhân lư ng liên hi p ph c ∗ c a hàm riêng ψi (x) là ψi (x) v i hàm sóng ψ (x) r i l y tích phân theo bi n s x, ta đư c ∗ ∗ ψi (x)ψ (x)dx = ψi (x)ck ψk (x)dx = ck δik = ci , (1.20) V V k k giá tr này c a ci hoàn toàn xác đ nh v i sai kém h ng s nhân.
12 Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t 1.3 S đo đ ng th i hai đ i lư ng v t lý 1.3.1 S đo chính xác đ ng th i hai đ i lư ng v t lý ˆ Xét hai bi n s đ ng l c L và M đư c bi u di n b i hai toán t L và ˆ M. H tr ng thái đư c bi u di n b i hàm sóng ψ mà đây đ cho đ rư m rà ta hi u ng m là hàm theo bi n s x. Chúng ta s xét trong đi u ki n nào hai bi n đ ng l c có th đo đư c chính xác đ ng th i. Theo tiên đ 3, mu n ˆ cho bi n đ ng l c L có giá tr xác đ nh thì ψ = ψL,k là hàm riêng c a L ng v i tr riêng Lk . Nghĩa là ˆ ˆ Lψ = LψL,k = Lk ψL,k . Ta đo đ ng th i đ i lư ng M v i L, t c là lúc h tr ng thái ψ = ψL,k . ˆ Mu n cho M cũng có giá tr xác đ nh Mk thì ψ ph i là hàm riêng c a M , nghĩa là ψ = ψM,k . Theo đó ˆ ˆ Mψ = MψM,k = Mk ψM,k . ˆ ˆ Như v y, hai toán t L và M ph i có chung hàm riêng: ψ = ψL,k = ψM,k . Đây chính là đi u ki n đ đ ng th i đo đư c chính xác hai đ i lư ng đ ng l c L và M . Và ta có th rút ra đ nh lý sau: “ Đi u ki n t có và đ đ hai đ i lư ng đ ng l c đo đư c đ ng th i là toán t tương ng c a chúng giao hoán v i nhau.” Chúng ta s ch ng minh đ nh lý này sau đây. ˆˆ a) Đi u ki n t có: N u L, M có chung hàm riêng ψk thì hai toán t ˆˆ L, M giao hoán đư c v i nhau. Ta có ˆˆ ˆˆ ˆ LMψk = L Mψk = Mk Lψk = Mk Lk ψk , ˆˆ ˆˆ ˆ M Lψk = M Lψk = Lk Mψk = Lk Mk ψk . Suy ra ˆˆ ˆˆ LMψk = M Lψk , hay ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ LM − M L ψk = 0 =⇒ LM − M L = 0 =⇒ LM = M L.
13 Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t ˆ ˆ Rõ ràng L và M giao hoán v i nhau. a) Đi u ki n đ : N u hai toán t giao hoán thì chúng có chung hàm riêng. ˆ G i ϕ là hàm riêng c a L, nghĩa là ˆ Lϕ = Lϕ, ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ M L ϕ = M Lϕ = M (Lϕ) = L Mϕ . ˆ ˆ Vì M và L giao hoán nên ˆˆ ˆˆ ˆ M L ϕ = LM ϕ = L Mϕ . ˆ ˆ Rõ ràng ψ ≡ Mϕ là m t hàm riêng c a toán t L v i tr riêng L. Như ˆ v y, ψ và ϕ đ u là hàm riêng c a L v i cùng tr riêng L. Khi không có suy bi n thì chúng trùng nhau, nhưng vì hàm riêng c a các toán t hermitic đư c xác đ ng sai kém nhau m t h ng s nhân nên ψ = h ng s .ϕ, ˆ ˆ hay Mϕ = h ng s .ϕ = M.ϕ, nghĩa là ϕ cũng là hàm riêng c a toán t M . 1.3.2 Phép đo hai đ i lư ng đ ng l c không xác đ nh đ ng th i. Nguyên lý b t đ nh Heisenberg. ˆˆ Trong trư ng h p t ng quát n u hai toán t L, M theo th t bi u di n hai đ i lư ng đ ng l c L, M không giao hoán đư c v i nhau thì không th đo đư c chính xác đ ng th i L và M . Bây gi ta xét xem n u đo đ ng th i hai bi n đ ng l c y thì đ chính xác đ t đ n m c nào. ˆ ˆ Do L và M là nh ng toán t hermitic không giao hoán đư c v i nhau nên ˆˆ ˆ L, M = iP , (1.21) ˆ ˆ trong đó P là m t toán t hermitic, P = 0. G i L và M là tr trung bình c a L và M tr ng thái ψ (x). Xét đ l ch ∆L = L − L; ∆M = M − M (1.22) Nh ng đ i lư ng này theo th t đư c bi u di n b i các toán t hermitic ˆ ˆ ∆L = L − L; ∆M = M − M (1.23)
14 Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t Ta có giao hoán t ˆ ˆ ˆˆ ˆ ∆L, ∆M = L − L, M − M = L, M = iP . (1.24) Xét tích phân: | α∆L − i∆M ϕ|2 dx ≥ 0 I (α) = (1.25) V trong đó α là m t thông s th c, tích phân l y trong toàn b mi n bi n thiên V c a x. ∗ I (α) = (α∆L − i∆M )ϕ (α∆L − i∆M )ϕdx V ϕ∗ (α∆L − i∆M )+ (α∆L − i∆M )ϕdx = V + + ∆M = ∆M , do đó (α∆L − i∆M )+ = vì tính ch t hermitic, ∆L = ∆L , α∆L + i∆M , nên ϕ∗ α∆L + i∆M )(α∆L − i∆M ϕdx I (α) = V 2 2 ϕ∗ α2 ∆L − iα ∆L∆M − ∆M ∆L + ∆M I (α) = ϕdx V 2 2 ϕ∗ α2 ∆L − iα ∆L, ∆M + ∆M I (α) = ϕdx V theo (1.24), thì 2 2 ˆ ϕ∗ α2 ∆L + αP + ∆M ϕdx, I (α) = suy ra V I (α) = α2 ∆L2 + αP + ∆M 2 ≥ 0. Mu n cho I (α) ≥ 0 thì tam th c b c hai theo α trên ph i có bi t th c 2 ∆ = P − 4 ∆L2 ∆M 2 ≤ 0, nghĩa là 2 ˆˆ L, M 2 P ∆L2 ∆M 2 ∆L2 ∆M 2 ≥ ≥ hay . (1.26) 4 4
15 Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t Đây là công th c cho đ b t đ nh khi đo đ ng th i hai bi n đ ng l c L và M , nó đư c g i là h th c b t đ nh Heisenberg. Đ t ∆L2, ∆M = ∆M 2 , ∆L = (1.27) h th c b t đ nh có th vi t dư i d ng khác ˆˆ L, M P ∆L.∆M ≥ hay , ∆L.∆M ≥ . (1.28) 2 2 ˆˆ Ví d : N u ch n L = x = x : toán t to đ , ∂ ˆ M = px = −i ˆ : toán t xung lư ng theo phương x. ∂x thì [ˆ, px ] = i , xˆ suy ra h th c b t đ nh Heisenberg cho to đ và xung lư ng ∆x.∆px ≥ . (1.29) 2 Như v y ta không th đ ng th i đo chính xác to đ và xung lư ng c a m t h t vi mô. Sai s m c ph i khi đo tuân theo h th c b t đ nh Heisenberg (1.29). Ý nghĩa v t lý: Vi c không đo đư c chính xác đ ng th i to đ và xung lư ng c a h t vi mô ch ng t r ng nó lư ng tính sóng h t. H t vi mô không có qu đ o xác đ nh. Đó là m t th c t khách quan do b n ch t c a s v t ch không ph i vì kh năng hi u bi t s v t c a ta b h n ch ho c máy đo kém chính xác. Và h th c b t đ nh là bi u th c toán h c c a lư ng tính sóng h t c a h t vi mô. 1.4 Phương trình Schrõdinger 1.4.1 Phương trình Schrõdinger ph thu c th i gian Trong cơ h c lư ng t , do lư ng tính sóng h t c a các đ i tư ng vi mô nên tr ng thái c a h t đư c đ c trưng b i hàm sóng ψ (r, t).Vì v y, c n có phương trình mô t di n bi n c a hàm tr ng thái theo th i gian. Phương
16 Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t trình này đư c Schrõdinger đưa ra năm 1926 và đư c g i là phương trình Schrõdinger ph thu c th i gian ∂ ψ (r, t) ˆ i = Hψ (r, t), (1.30) ∂t ˆ trong đó H là Hamiltonian c a h 2 ˆ ˆˆ 2 H =T +U =− + U (r, t) (1.31) 2m Đây là phương trình vi phân h ng hai theo không gian và h ng nh t theo th i gian. V nguyên t c đ tìm nghi m c a phương trình, ta ph i bi t đư c hàm sóng t i th i đi m t0 (đi u ki n đ u) và bi t đư c hai đi u ki n biên liên quan đ n to đ ψ (x0 , t0 ) = ψ0 , và dψdx ) x=x0 = ψ0 . (x,t 1.4.2 M t đ dòng xác su t. S b o toàn s h t Đ đơn gi n, ta s vi t t t ψ, ψ ∗ theo th t thay cho ψ (r, t), ψ ∗ (r, t). T phương trình (1.30), ta suy ra phương trình liên hi p ph c c a nó ∂ ψ∗ ˆ ˆ ˆ = Hψ ∗ H = H+ . −i (1.32) ∂t Nhân ψ ∗ cho hai v c a (1.30) v phía trái và nhân ψ cho hai v c a (1.32) cũng v phía trái r i tr cho nhau v theo v , ta đư c ∂ψ ∗ ∗ ∂ψ ˆ ˆ = ψ ∗ Hψ − ψ Hψ ∗ . i ψ +ψ (1.33) ∂t ∂t ˆ ˆ 2 2 + U và lưu ý (∂/∂t)(ψ ∗ ψ ) = ψ ∗ (∂ψ/∂t)+ ψ (∂ψ ∗/∂t), Thay H = − /2m ta có 2 ∂ (ψψ ∗ ) = − ψ∗ 2 2 ψ∗ , i ψ−ψ (1.34) ∂t 2m mà (ψ ∗ ψ − ψ ψ ∗ ) = ψ∗ ψ + ψ∗ 2 ψ ψ∗ − ψ 2 ψ∗, ψ− nên ta có th vi t l i (1.34) như sau ∂ i (ψψ ∗ ) + (ψ ψ ∗ − ψ ∗ ψ ) = 0. (1.35) ∂t 2m Đt ρ ≡ ψ ∗ ψ = |ψ |2 (1.36)
17 Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t là m t đ xác su t tìm th y h t to đ r t i th i đi m t. Và i (ψ ψ ∗ − ψ ∗ ψ ) j (r, t) = (1.37) 2m là vectơ m t đ dòng xác su t. Đ l n c a j (r, t) có ý nghĩa như là dòng h t trung bình qua m t đơn v di n tích đ t vuông góc v i phương chuy n đ ng trong m t đơn v th i gian. Theo đó phương trình (1.35) có d ng c a phương trình liên t c mô t đ nh lu t b o toàn s h t vi mô: ∂ρ j+ = 0. (1.38) ∂t 1.4.3 Phương trình Schrõdinger không ph thu c th i gian. Tr ng thái d ng. ˆ Ta xét m t h t vi mô chuy n đ ng trong trư ng th U (r ) không bi n thiên theo th i gian và do đó có năng lư ng không thay đ i theo th i gian. G i E là giá tr năng lư ng c a h t và ta ký hi u ψE (r) là hàm sóng ng v i tr ng thái có năng lư ng E . Ta có th vi t phương trình tr riêng c a năng lư ng như sau ˆ HψE (r) = EψE (r ) (1.39) ˆ ˆ v i H = (− 2 /2m) 2 + U (r) nên ta có th vi t (1.39) dư i d ng khác: 2 ˆ 2 − + U (r ) ψE (r) = EψE (r ) (1.40) 2m Trong trư ng h p này hàm sóng ψE (r, t) = ψE (r).f (t) đư c vi t dư i ˆ d ng phân ly bi n s . Theo đó, phương trình Schrõdinger (1.30), v i lưu ý H không ph thu c tư ng minh vào th i gian t, đư c vi t l i i ∂f ˆ ∂f HψE (r ) ˆ ∂t ψE (r )i = f (t)HψE (r ) ⇔ = = E, ∂t f (t) ψE (r) Như v y, ta có hai phương trình đ c l p ∂f i = E.f (t), (1.41) ∂t ˆ HψE (r ) = E.ψE (r ). (1.42)
18 Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t Phương trình (1.41) cho ta nghi m i f (t) = Ce− Et . (1.43) Còn (1.42) chính là phương trình cho ta hàm riêng và tr riêng c a toán t năng lư ng. Gi s năng lư ng c a h có giá tr gián đo n En , n = 0, 1, 2, ..., lúc đó ta vi t l i (1.42) như sau ˆ Hψn (r) = En .ψn (r). (1.44) trong đó ψn (r ) là vi t t t c a ψEn (r ). Như v y, nghi m riêng đ y đ c a h t vi mô ng v i tr ng thái d ng có năng lư ng hoàn toàn xác đ nh En là i ψn (r, t) = ψn (r )e− Ent . (1.45) Nghi m t ng quát c a phương trình Schrõdinger tr ng thái d ng trong trư ng h p ph gián đo n i i cn e− Ent Cn (t) ≡ cn e− Ent ψ (r, t) = ψn (r ) = Cn (t)ψn(r ), vi . n n (1.46) Trư ng h p ph tr riêng liên t c, hàm sóng có d ng i i cE e− Et CE (t) ≡ cE e− Et ψ (r, t) = ψE (r )dE = CE (t)ψE (r )dE, vi . (1.47) Các h s cn , cE có th đư c xác đ nh t đi u ki n đ u. Nói tóm l i, m t h lư ng t tr ng thái d ng có các tính ch t sau: a) Hàm sóng ph thu c th i gian c a tr ng thái d ng xác đ nh đơn tr b i giá tr năng lư ng c a tr ng thái đó. b) tr ng thái d ng, m t đ xác su t và m t đ dòng xác su t không ph thu c vào th i gian. c) tr ng thái d ng, tr trung bình c a m t đ i lư ng đ ng l c có toán t tương ng không ph thu c rõ r t vào th i gian thì không đ i theo th i gian. d) Xác su t đo giá tr c a m t đ i lư ng đ ng l c tr ng thái d ng không ph thu c th i gian. Nghi m c a phương trình Schrõdinger không ph thu c th i gian có các tính ch t cơ b n sau: a) Hàm ψ (r, t) ph i đơn tr .
19 Cơ h c lư ng t nâng cao Ch.1: Cơ s c a cơ h c lư ng t b) Hàm ψ (r, t) ph i liên t c. Trong trư ng h p th năng U (r ) gián đo n thì hàm sóng ψ (r, t) và đ o hàm c a nó v n liên t c t i nh ng đi m gián đo n đó. Tuy nhiên, nh ng mi n mà th năng U → ∞ thì hàm sóng và đ o hàm c a nó gián đo n. c) N u th năng U không ti n đ n vô cùng thì hàm sóng ψ (r ) ph i h u h n trong toàn b không gian. Đi u này cũng đư c tho mãn trong trư ng h p U → ∞ t i m t đi m nào đó nhưng không quá nhanh (U ∼ r1s , s ≤ 2). 1.5 S bi n đ i theo th i gian c a các đ i lư ng đ ng lc 1.5.1 Đ o hàm c a toán t đ ng l c theo th i gian Ta có tr trung bình c a m t đ i lư ng đ ng l c L tr ng thái ψ (x) ˆ ψ ∗ (x)Lψ (x)dx, L= (1.48) trong đó x bao g m t t c các bi n s kh dĩ và ψ (x) đã đư c chu n hoá. ˆ Toán t L có th ph thu c th i gian nên L cũng có th ph thu c th i gian. Ta tính đ o hàm c a tr trung bình L theo th i gian ˆ ∂ ψ ∗ (x) ˆ dL ∂L ˆ ∂ψ (x) dx. (1.49) ∗ ψ ∗ (x)L = ψ (x) ψ (x)dx + Lψ (x)dx + dt ∂t ∂t ∂t Lưu ý r ng, theo phương trình Schrõdinger (1.30), ta có ∂ψ ∗ (x) ∂ψ (x) iˆ iˆ = Hψ ∗ (x), = − Hψ (x) và (1.50) ∂t ∂t do đó phương trình (1.49) có th vi t l i ˆ dL ∂L iˆ ∗ iˆ ˆ ˆ ∗ ψ ∗ (x)L − Hψ (x) dx, = ψ (x) ψ (x)dx+ Hψ (x) Lψ (x)dx+ dt ∂t ˆ dL ∂L i ∗ ˆ ˆ ˆˆ ψ ∗ (x) ψ ∗ (x)LHψ (x)dx , = ψ (x)dx + Hψ (x) Lψ (x)dx − dt ∂t ˆ dL ∂L i ˆˆ ˆˆ ψ ∗ (x) ψ (x)dx + ψ ∗ (x) H L − LH ψ (x)dx , = dt ∂t