Giáo trình truyền nhiệt - Chương 2

Chia sẻ: Nguyễn Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

165
lượt xem 20
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH 2.1. ĐỊNH LUẬT FOURIER VÀ HỆ SỐ DẪN NHIỆT 2.1.1. Thiết lập định luật Fourier về dẫn nhiệt Định luật Fourier là định luật cơ bản của dẫn nhiệt, nó xác lập quan hệ giữa 2 vectơ q và gr adt . Để thiết lập định luật này ta sẽ tính nhiệt lượng δ 2 Q dẫn qua mặt dS nằm giữa 2 lớp phân tử khí có nhiệt độ T1 T2, cách dS một đoạn x bằng quảng đường tự do trung bình các phân tử, trong thời gian dτ , như hình H2....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình truyền nhiệt - Chương 2

CHƯƠNG 2 DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH 2.1. ĐỊNH LUẬT FOURIER VÀ HỆ SỐ DẪN NHIỆT 2.1.1. Thiết lập định luật Fourier về dẫn nhiệt Định luật Fourier là định luật cơ bản của dẫn nhiệt, nó xác lập quan hệ giữa 2 vectơ q và gr adt . Để thiết lập định luật này ta sẽ tính nhiệt lượng δ 2 Q dẫn qua mặt dS nằm giữa 2 lớp phân tử khí có nhiệt độ T1 > T2, cách dS một đoạn x bằng quảng đường tự do trung bình các phân tử, trong Hình 2. Để tìm dòng nhiệt q thời gian dτ , như hình H2. Vì T1 và T2 sai khác bé, nên coi mật độ phân tử n0 và vận tốc trung bình ω của các phân tử trong 2 lớp là như nhau , và bằng: i d 2n = n 0 ωdSdτ 6 Lượng năng lượng qua dS từ T1 đến T2 là i 1 d 2 E 1 = E 1d 2 n = kT1 n 0 ωdSdτ và 2 6 1 1 d 2 E 2 = E 2d 2 n = kT2 n 0 ωdSdτ , 2 6 Rµ 8314 = 1,3806.10 − 23 J / K là hằng số Boltzmann, NA là số trong đó k = = NA 6,02217 phân tử trong 1 kmol chất khí (số Avogadro), I là số bậc tự do cảu phân tử chất khí. Trừ 2 đẳng thức cho nhau, sẽ thu được lượng nhiệt trao đổi qua dS, bằng: i 1 δ 2 Q = ( E 1 − E 2 )d 2 n = k (T1 − T2 ) n 0 ωdSdτ 2 6 ⎛ ∂T ⎞ Vì T1 − T2 = −⎜ ⎟2 x và ⎝ ∂x ⎠ 6
µ ⎞⎛ i R µ ⎞1 Rµ 1 ⎛ i i ⎟⎜ ⎟ = ρC v nên có: = ⎜n0 n 0k = n 0 6 N A 3 ⎜ N A ⎟⎜ 2 µ ⎟3 6 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎞ ∂T δ2Q ∂T ⎛1 1 dSdτ , ddawtj λ = ρC v ωx = q x = −λ δ 2 Q = −⎜ ρC v ωx ⎟ thì có . δSsτ ∂x ⎠ ∂x 3 ⎝3 Đây là dòng nhiệt theo phương x. Khi dS có vị trí bất kỳ, thì véctơ dòng nhiệt qua ⎛ ∂T ∂T ⎞ ∂T dS là q = −λ⎜ i + k ⎟ = −λgr adT +j ⎜ ∂x ∂z ⎟ ∂y ⎝ ⎠ 2.1.2. Phát biểu và hệ quả của định luật Fourier Định luật Fourier phát biểu, rằng vectơ dòng nhiệt q tỷ lệ thuận với véc tơ gradien nhiệt độ. Biểu thức dạng vectơ là q = −λgr adt , dạng vô hướng là q = −λgradt = −λt n (M) . Dấu (-) vì 2 vectơ ngược chiều nhau. Nhờ định luật Fourier, khi biết trường nhiệt độ t(x, y, z,τ), có thể tính được công suất nhiệt Q[W] dẫn qua mặt S [m2] theo công thức Q = ∫∫ S − λgradt.dS và tìm được lượng nhiệt Qτ [J] dẫn qua S sau thời gian τ[s] theo công thức τ Qτ = ∫ 0 ∫∫ − λgradtdSdτ , [J]. S 2.1.3. Hệ số dẫn nhiệt Hệ số dẫn nhiệt là hệ số của định luật Fourier: q q λ= = , [W/mK] ∂t gradt ∂n Vì λ tỷ lệ với q nên λ đặc trưng cho cường độ dẫn nhiệt của vật liệu. Với chất khí, theo chứng minh trên, có 8kT ⎛ kT ⎞ 2C v k 2T 1⎛ p ⎞ 1 ⎜ ⎟= λ = ρC v ωx = ⎜ ⎟C v πm ⎜ π 2d 2 p ⎟ 3Rd 2 π3 m 3 ⎝ RT ⎠ 3 ⎝ ⎠ 7
Hệ số dẫn nhiệt λ của khí lý tưởng không phụ thuộc vào áp suất p, λ tăng khi Rµ tăng nhiệt độ hoặc tăng CV, và λ giảm khi tăng hằng số chất khí, R = , tăng µ đường kính d hoặc tăng khối lượng m của phân tử chất khí. Với các vật liệu khác λ tăng theo nhiệt độ, được xác định bằng thực nghiệm và cho ở bảng hoặc công thức thực nghiệm trong các tài liệu tham khảo. Ví dụ, trị trung bình của hệ số λ của một số vật liệu thường gặp được nêu tại bảng 2. λ[W/mK] λ[W/mK] Vật liệu Vật liệu Bạc 419 Thuỷ tinh 0,74 Đồng 390 Gạch khô 0,70 Vàng 313 Nhựa PVC 0,13 Nhôm 209 Bông thuỷ tinh 0,055 Thép Cacbon 45 Polyurethan 0,035 Yhép CrNi 17 Không khí 0,026 Bảng 2. Hệ số dẫn nhiệt trung bình của các vật liệu thường dùng 2.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT 2.2.1. Nội dung và ý nghĩa của PTVPDN PTVPDN là phương trình cân bằng nhiệt cho 1 vi phân thể tích dV nằm hoàn toàn bên trong vật V dẫn nhiệt. PTVPDN là phương trình cơ bản để tìm trường nhiệt độ t(M, τ) trong V, bằng cách tính phương trình này. 2.2.2. Thiếtt lập PTVPDN Xét cân bằng nhiệt cho vi phân thể tích dV Hình 3. Cân bằng nhiệt cho dV bao quanh điểm M(x,y,z) bất kỳ bên trong vật V, có khối lượng riêng ρ, nhiệt dung riêng Cp, hệ số dẫn nhiệt λ, công suất sinh nhiệt qv , dòng nhiệt qua M là q . 8
Định luật bảo toàn năng lượng cho dV phát biểu rằng: [Độ tăng enthalpy của dV] = [hiệu số nhiệt lượng (vào - ra)dV]+ [lượng nhiệt sinh ra trong dV]. Trong thời gian 1 giây, phương trình này có dạng : ∂t ρdVC p = −divq.dV + q v dV hay ∂τ ∂t 1 = (q v − divq ) ∂τ ρC p Theo định luật Fourier q = −λgr adt , khi λ = const ta có ⎡ ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛ ∂t ⎞⎤ divq = div(−λgr adt ) = −λ ⎢ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎥ = −λ∇ 2 t ⎜⎟ ⎣ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠⎦ ⎧ ∂2t ∂2t ∂2t ⎪ 2 + 2 + 2 (Trong taûo âäü vuäng goïc (xyz)) ⎪ ∂x ∂y ∂z ⎪ ∂ t 1 ∂t ∂2t ∂2t 2 với ∇ t = ⎨ 2 + + + Trong toaû âäü truû (r, ϕ, z) 2 r ∂r r 2 ∂ϕ 2 ∂z 2 ⎪ ∂r2 ⎪ ∂ t 2 ∂t ∂2t cos θ ∂t ∂2t + + 2 2+ 2 +2 , trong toaû âäü cáöu (r, ϕ, θ) ⎪ ∂r 2 r ∂r r ∂θ r sin θ ∂θ r sin 2 θ∂ϕ 2 ⎩ gọi là toán tử Laplace của hàm t(M) PTVPDN là phương trình kết hợp 2 định luật nói trên, có dạng: ∂t λ ⎛ qv λ ⎞ ⎛q ⎞ [m2/s] gọi là hệ số khuếch = + ∇ 2 t ⎟ = a ⎜ v + ∇ 2 t ⎟ , với a = ⎜ ∂τ ρC p ⎝ λ λ ρC p ⎠ ⎝ ⎠ tán nhiệt, đặc trưng cho mức độ tiêu tán nhiệt trong vật. 2.2.3. Các dạng đặc biệt của PTVPDN [ ] ∂T 1 = q V − div(−λgr adt ) sẽ có dạng đơn Phuơng trình VPDN tổng quát ∂τ ρc P giản hơn, khi cần đáp ứng đủ các điều kiện đặc biệt sau đây: ( ) ∂t 1 = div λgr adt 1) Vật V không có nguồn nhiệt, qv = 0, thì ∂τ ρC p ∂t 2) Với λ = const, ∀M(x,y,z) ∈ V, thì = a∇ 2 t ∂τ 9
∂t = 0 ∀M∈V, thì ∇ 2 t = 0 3) Nếu nhiệt độ ổn định trong V, ∂τ 4) Khi trường t(M) là ổn định 1 chiều thì : d2t =0 t(x) trong toạ độ vuông góc tìm theo dx 2 d 2 t 1 dt + =0 t(r) trong toạ độ trụ tìm theo dr 2 r dr d 2 t 2 dt + =0 t(r) trong tạo độ cầu tìm theo dr 2 r dr 2.3. CÁC ĐIỀU KIỆN ĐƠN TRỊ Phương trình vi phân dẫn nhiệt là phương trình đạo hàm riêng cấp 2, chứa ẩn là hàm phân bố nhiệt độ t(x,y,z,τ). Nghiệm tổng quát thu được bằng cách tích phân phương trình này luôn chứa một số hằng số tuỳ ý chọn. Để xác định duy nhất nghiệm riêng của PTVPDN, cần cho trước một số điều kiện, được gọi chung là các điều kiện đơn trị. Điều kiện đơn trị là tập hợp các điều kiện cho trước , đủ để xác định duy nhất nghiệm của một hệ phương trình. 2.3.1. Phân loại các điều kiện đơn trị Theo nội dung, các điều kiện đơn trị được phân ra 4 loại sau 1) Điều kiện hình học: Cho biết mọi thông số hình học đủ để xác định hình dạng, kích thước vị trí của hệ vật V. 2) Điều kiện vật lý: Cho biết luật xác định các thông số vật lý tại mọi điểm M ∈V, tức là cho biết (ρ, λ, a, qv, …)= f(M∈V, t). 3) Điều kiện đầu: Cho biết luật phân bố nhiệt độ tại thời điểm đầu τ = 0 tại mọi điểm M∈V, tức là cho biết t(M ∈ V, τ = 0) = t(x, y, z). 4) Điều kiện biên: cho biết luật phân bố nhiệt độ hoặc luật cân bằng nhiệt tại mọi điểm M trên biên W của vật V tại mọi thời điểm khảo sát. Nếu ký hiệu dòng ∂t nhiệt dẫn trong vật V đến M ∈ W là q λ = −λ = −λt n (M) thì mô tả toán học của ∂n các điều kiện biên có dạng: 10
t w = t (M, τ) hoàûc⎫ ∀M ∈ W ∈ V ⎬ q λ = −λt n (M ) = q (M, τ, t (M ))⎭ ∀τ ∈ ∆τ xeït. Điều kiện hình học, điều kiện vật lý và điều kiện biên cần phải cho trước trong mọi bài toán. Riêng điều kiện đầu chỉ cần cho trong bài toán không ổn định, có chứa biến thời gian τ. 2.3.2. Các loại điều kiện biên. Trên các biên Wi của vật V, tuỳ theo phương thức trao đổi nhiệt với các môi trường mà V tiếp xúc, người ta có thể cho trước 7 loại điều kiện biên khác nhau. Bảng 3 sau đây sẽ tóm tắt ý nghĩa vật lý và toán học, minh hoạ hình học và các trường hợp đặc biệt của 7 loại điều kiện biên quanh vật V bất kỳ. Bảng 3. Các loại điều kiện biên. Ý nghĩa vật lý Loại Mô tả toán học mô tả hình học hay Trường hợp hay thông số ĐKB hay pt CBN đồ thị (t-x) đặc biệt cho trước tw1 = tf khi W1 Cho nhiệt độ tw1 = t(M1, τ) tiếp xúc chất 1 tW1 tại ∀M1∈W1∈V lỏng có α lớn q = const ↔γ=const Cho dòng -λtn(M2) = q(M2, q=0 ↔W2 là nhiệt q qua 2 τ) mặt đối xứng ∀M2 ∈W2∈V hoặc cách nhiệt 11
α = 0 ↔ W3 là cách nhiệt Cho mặt W3 hoặc đối xứng toả nhiệt ra α = ∞ ↔t(M3) -λtn(M3)= 3 chất lỏng nhiệt α(t(M3),tf) =tf W3 biến độ tf với hệ số thành W1. Khi α (λ,α,tf) = const ↔ R cố định t2 = const↔W4 Cho W4 tiếp − λt n ( M 4 ) = - biến thành W1 xúc vật V2 (λ1, λ2 λ2t2n(M4) 4 đứng yên, có )=const↔gó c λ2 , t2 γ=const Cho W5 hoá W5 di động với − λt n ( M 5 ) = rắn từ pha tốc độ hoá rắn ∂x 5 ρrc 5 − λ f t fn (M 5 ) lỏng có thông ∂x 5 ∂τ bằng ∂τ số (ρ, rc, λf, tf) Mặt bao chân không có nhiệt cho W6 tiếp -λTn(M6)= độ Tc. – 6 xúc chân εδ0T4(M6) λTn(M6) = không εδ0[T2(M6)- Tc2] 12
Quy ra trao đổi Cho W7 tiếp -λTn(M7)=α nhiệt phức hợp xúc chất khí -λTn(M7)=αph 7 [T(M7)- Tk]+ có thông số εδ0[T4(M7) - T4k ] [t(M7)- Tk] (Tk, ε) Mô tẳ toán học cho mỗi loại điều kiện biên là phương trình cân bằng các dòng nhiệt ra vào điểm M bất kỳ trên biên. Phương trình mô tả các điều kiện biên loại 2, 3, 4, 5 là các phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 đối với t và tn . Phương trình mô tả điều kiện biên loại 6 và 7 là những phương trình phi tuyến, chứa T4 chưa biết. 2.3.3. Mô hình bài toán dẫn nhiệt Ở dạng tổng quát, bài toán dẫn nhiệt có thể được mô tả bởi hệ phương trình vi phân (t) gồm phương trình vi phân dẫn nhiệt và các phương trình mô tả các điều kiện đơn trị như đã nêu tại mục 2.3., có dạng ⎧ ∂t ⎛ 2 qv ⎞ ⎪ ∂τ = a ⎜ ∇ t + λ ⎟, ∀M ∈ V ⎝ ⎠ ⎪ ⎪Miãön xaïc âënh vaì thäng säú váût lyï cuía ∀M ∈ V ⎪t = t (M , τ), ∀M ∈ W ⎪ W1 1 1 1 ⎪− λt n (M 2 ) = q(M 2 , τ), ∀M 2 ∈ W2 ⎪ ⎨− λt n (M 3 ) = α[ t (M 3 ) − t f ], ∀M 3 ∈ W3 ⎪ Hình 4. Mô hình tổng quát ⎪− λt n (M 4 ) = −λ 2 t n 2 (M 4 ), ∀M 4 ∈ W4 bài toán dẫn nhiệt t(x,y,z,τ) ⎪ dx 5 ⎪− λt n (M 5 ) = −λ n t n (M 5 ) + ρrc dτ , ∀M 5 ∈ W5 ⎪ ⎪− λt n (M 6 ) = εδ 0 T (M 6 ), ∀M 6 ∈ W6 4 ⎪− λt n (M 7 ) = α[ t (M 7 ) − t k ] + εδ 0 [T 4 (M 7 ) − Tk4 ], ∀M 7 ∈ W7 ⎩ Giải bài toán dẫn nhiệt là tìm hàm phân bố nhiệt độ t(M(x,y,z),τ) thoả mãn mọi phương trình của hệ (t) nói trên. Việc này gồm có 2 bước chính là tích phân phương trình vi phân dẫn nhiệt để tìm nghiệm tổng quát, sau đó xác định các hằng số theo các phương trình mô tả các điều kiện đơn trị. 13
2.4. DẪN NHIỆT QUA VÁCH PHẲNG Dẫn nhiệt ổn định qua vách phẳng là bài toán đơn giản nhất của truyền nhiệt. Tuỳ theo kết cấu vách và điều kiện biên, bài toán dãn nhiệt sẽ được phân ra các loại sau đây. 2.4.1. Vách phẳng 1 lớp có 2 biên loại 3 2.4.1.1. Phát biểu bài toán Cho 1 vách phẳng dày δ rộng vô hạn, làm bằng vật liệu đồng chất có hệ số dẫn nhiệt λ không đổi, 2 mặt bên tiếp xúc với 2 chất lỏng có nhiệt độ khác nhau tf1 > tf2 , với hệ số toả nhiệt vào ra vách là α1, α2. Hình 6. Trường t(x) trong vách Tìm phân bố nhiệt độ t(x) trong vách phẳng có 2W3 và dòng nhiệt q(x) qua vách. Theo toán học, phát biểu trên tương đương với việc tìm hàm t(x), ∀x∈[0,δ ] như là nghiệm của hệ phương trình (t) sau đây. ⎧ d2t ⎪ 2 =0 (1) ⎪ dx (t) ⎨α1 [ t f 1 − t (0)] = −λt x (0) ( 2) ⎪− λ t (δ) = α [ t ( δ) − t ] (3) ⎪ x 2 f2 ⎩ 2.4.1.2. Tìm phân bố nhiệt độ t(x). 1) Tìm nghiệm tổng quát bằng cách tích phân phương trình (1), ta có : t ( x ) = ∫∫ dx 2 = C1 x + C 2 2) Xác định C1 , C2 theo 2 điều kiện biên (2) và (3) − (t f 1 − t f 2 ) ⎧ ⎪C1 = λ , [ K / m] λ α 1 [ t f 1 − C 2 ] = − λ C1 ⎫ ⎪ +δ+ ⎬⇒⎨ α1 α2 − λC1 = α 2 [C1δ + C 2 − t f 2 ]⎭ ⎪ λ ⎪C 2 = t f 1 + C1 , [ K ] α2 ⎩ 14
t f1 − t f 2 λ (x + Phân bố nhiệt độ trong vách là t(x)= tf1 - ) λ λ α1 +δ+ α1 α2 Bằng cách thay x bằng 0 hoặc δ, ta dễ dàng tìm được nhiệt độ tại 2 mặt vách. Đồ thị t(x) là mmột đoạn thẳng đi qua 2 điểm định hướng R1(-λ/α1, tf1) và R1(δ + λ/α2, tf2) như hình H 2.4.1.3. Tìm dòng nhiệt q(x): theo định luật Fourier có t f1 − t f 2 , [W/m2] q(x) = -λgradt(x) = -λC1 = const, ∀x hay q = 1δ1 ++ α1 λ α 2 1δ1 , [m2K/W], là nhiệt trở dẫn nhiệt của vách phẳng, thì có Nếu gọi R = ++ α1 λ α 2 V − V2 t f 1 −t f 2 , tương tự như công thức tính dòng điện I = 1 q= . Rđ R 2.4.2. Vách phẳng có biên loại 1. Biên loại 1 là trường hợp đặc biệt của biên loại 3, khi mặt vách tiếp xúc với một chất lỏng thực có hệ số toả nhiệt α rất lớn. Theo phương trình cân bằng nhiệt cho biên loại 3, α(tw-tf) = -λtn ,vì qλ = -λtn là hữu hạn,nên khi α → ∞ thì (tw-tf) → 0, tức là tW = tf. khi đó chỉ cần thay tw = tf và 1/α =0 vào các kết quả nêu trên, ta có thể tìm t(x) và q(x) cho bài toán biên loại 1. Ví dụ: bài toán biên hỗn hợp (W1 + W3) và bài toán 2 biên W1 có lời giải như sau: t W1 − t f 2 ⎧ ⎪t(x) = t W1 − λ δ+ ⎪ ⎪ α2 1) Khi α1 = ∞ thç ⎨ t W1 − t f 2 ⎪ q= δ1 ⎪ + ⎪ λ α2 ⎩ t −t ⎧ t(x) = t W1 − W1 f 2 x ⎪ δ ⎪ t W1 − t f 2 2) Khi α1 = α 2 = ∞ thç ⎨ q= ⎪ δ ⎪ λ ⎩ 15
2.4.3. Vách có λ thay đổi theo nhiệt độ Phương trình cân bằng nhiệt trong vách có λ(t) phụ thuộc t sẽ có dạng dt q ( x ) = −λ ( t ) . Khi đó , có thể tìm t(x) theo phương trình tích phân dx ∫ λ(t )dt = −∫ q(x )dx Khi cho phép tính gần đúng, cố thể dùng các công thức tính t và q nêu trên, trong đó coi λ là một hằng số, bằng trị trung bình tích phân trong khoảng nhiệt độ t2 1 t 2 − t1 ∫ [t1, t2] của vách, là λ = λ( t )dt t1 Ví dụ, khi λ(t) có dạng bậc 1 và 2 thì t2 t1 + t 2 1 ∫1 (a + bt )dt = a + b 2 λ= t 2 − t1 t t2 t +t t 2 + t1t 2 + t 2 1 t 2 − t1 ∫ λ= (a + bt + ct 2 )dt = a + b 1 2 + c 1 2 2 3 t1 2.4.4. Vách phẳng n lớp 2.4.4.1. Phát biểu bài toán Cho vách phẳng n lớp, mỗi lớp i có δi , λi không đổi, hai mặt ngoài tiếp xúc chất lỏng nóng có tf1, α1 và chất lỏng lạnh có tf2, α2 không đổi. Tìm dòng nhiệt q qua vách, nhiệt độ các mặt tiếp xúc ti và phân bố nhiệt độ ti(x) trong mỗi lớp. Hình 7. Vách phẳng n lớp 2.4.4.2. Xác định q, ti, và ti(x). Khi ổn định, dòng nhiệt q qua các lớp là bất biến, do đó có hệ phương trình: t i − t i +1 q= α1(tf1 – t0) = , (∀i = 1 ÷ n ) = α( t n − t f 2 ) δi / λ i 16
Đây là hệ (n+2) phương trình bậc 1 của ấnố q và (n+1) ẩn số ti, ∀i=1÷n. Bằng cách khử các ti sẽ tìm được q, sau đó tính ti và xác định ti(x) như vách 1 lớp với 2 biên loại 1, ta có: δ ⎧ q tn = tf2 + , t i = t i +1 + i q, ∀i = (n − 1) ÷ 0 ⎪ α2 λi ⎪ t f1 − t f 2 ⎪ , [W/m 2 ] ⎨q = 1 δi 1 n +∑ + ⎪ α1 i =1 λ i α 2 ⎪ ⎪ ⎩t i ( x ) = t i − ( t i − t i +1 ) x / δ i , ∀i = 1 ÷ n Phân bố nhiệt độ trong vách phẳng nhiều lớp có dạng các đoạn thẳng gãy khúc, giống như biên loại 4 Khi vách có biên loại 1 hoặc λ phụ thuộc t, có thể thay tw = tf, 1/α = 0 hoặc λ = λ = const vào các công thức trên. 2.5. DẨN NHIỆT QUA VÁCH TRỤ VÀ VÁCH CẦU 2.5.1. Vách trụ 1 lớp có 2 biên w3 2.5.1.1. Phát biểu bài toán Cho một ống trụ đồng chất dài vô cùng, bán kính r2/r1, hệ số dẫn nhiệt λ không đổi, mặt r1 tiếp xúc chất lỏng nóng có tf1, α1 , mặt r2 tiếp xúc chất lỏng nguội hơn có tf2, α2 . Tìm phân bố nhiệt độ t(r) trong vách và lượng nhiệt qua vách. Mô tả hình học trong toạ độ trụ có dạng Hình 8. Trường t(r) trong ống trụ có 2W3 như Hình 8 Phát biểu toán học của bài này là giải hệ phương trình sau: 17
⎧ d 2 t 1 dt ⎪ 2+ =0 (1) r dr ⎪ dr ( t )⎨α 1 [ t f 1 − t (r1 )] = −λt r (r1 ) (2) ⎪− λt (r ) = α [ t (r ) − t ] (3) ⎪ r2 2 2 f2 ⎩ 2.5.1. Tìm trường nhiệt độ t(r) 1) Tích phân phương trình (1) theo các bước sau: rdu + udr d(ur ) dt du u → Phương trình (1) có dạng + = 0→ =0 → = Đổi biến u = dr dr r rdr rdr C1 dt dr → t (r ) = ∫ C1 = C1 ln r + C 2 d(ur)=0→ur=C1→ u = = r dr r 2) Xác định C1, C2 theo hệ phương trình (2), (3): − (t f 1 − t f 2 ) ⎧ C 1 ⎫ ⎪ C1 = , [K ] α1 [ t f 1 − C1 ln r1 − C 2 ] = −λ λ λ r2 ⎪⎪ + ln + r1 ⎪ ⎬⇒⎨ α 1 r1 r1 α 2 r2 C1 ⎪⎪ −λ = α 2 [C1 ln r2 + C 2 − t f 2 ] λ ⎪ ⎪C 2 = t f 1 + C1 ( − ln r1 ), [K ] r2 ⎭ α1 r1 ⎩ Phân bố nhiệt độ trong ống trụ là ⎛r λ⎞ t f1 − t f 2 ⎜ ln + ⎜ r αr ⎟ t (r ) = t f 1 − ⎟ λ λ r ⎝1 11⎠ + ln 2 + α 1 r1 r1 α 2 r2 Đồ thị t(r) có dạng logarit, tiếp tuyến tại r1 qua điểm R1(r1-λ/α1, tf1), tiếp tuyến tại r2 qua điểm R2(r2+λ/α2, tf2). 2.5.1.3. Tính nhiệt qua vách trụ 1. Dòng nhiệt qua 1m2 mặt trụ đẳng nhiệt bán kính r là q(r) = -λtr(r) = -λC1/r , [W/m2] q(r) là hàm giảm khi r tăng, không đặc trưng cho vách trụ. 2) Lượng nhiệt truyền qua 1 m dài ống trụ, ký hiệu q l , định nghĩa là: ql lượng nhiệt qua mặt trụ bán kính r dài l / chiều dài l , [W/m] = q (r ).2πrl C ql = = −λ 1 .2πr = 2πλC1 = const , ∀r r l Thay C1bởigiá trị trên, sẽ thu được: 18
t f1 − t f 2 ql = , [W/m]. r2 1 1 1 + ln + 2πr1α1 2πλ r1 2πr2 α 2 Vì q l = const, ∀r, nên q l đ ược dùng để đặc trưng cho dẫn nhiệt qua vách trụ. d 1 1 1 Đại lượng R = + ln 2 + , [mK / W ] được gọi là nhiệt trở dẫn l πd α 2πλ d πd 2 α 2 11 1 nhiệt của 1m ống trụ. 2.5.2. Vách trụ có biên hỗn hợp Khi α→∞ thì thay tw = tf và 1/α = 0 vào trên để có lời giải cho bài toán vách trụ 2 biên hỗn hợp (W1+ W3) hoăck 2 biên W1 như sau: t w1 − t f 2 ⎧ r ⎪ t ( r ) = t w1 − r ln λ r1 ln 2 + ⎪ r1 α 2 r2 ⎪ 1) Khi α1 = ∞ thì ⎨ t w1 − t f 2 ⎪q l = r 1 1 ⎪ ln 2 + ⎪ 2πλ r1 2πr2 α 2 ⎩ t −t ⎧ r t (r ) = t w1 − w1 W 2 ln ⎪ r r1 ⎪ ln 2 ⎪ r1 2) Khi α1 = α1 = ∞ thì ⎨ t −t ⎪q l = w1 f 2 r 1 ⎪ ln 2 ⎪ 2πλ r1 ⎩ 2.5.3. Vách trụ n lớp 2.5.3.1. Phát biểu bài toán Cho ống trụ n lớp, mỗi lớp i có ri / ri+1 và λi không đổi, mặt r0 tiếp xúc với chất lỏng nóng có tf1, α1, mặt rn tiếp xức với chất lỏng lạnh có tf2, α2 kh ông đổi Tìm lượng nhiệt q l , nhiệt độ ti tại các Hình 9. Trường t(r) trong ống trụ n lớ 19
mặt và phân bố ti(n) trong mỗi lớp i, ∀i = 1 ÷ n 2.5.3.2. Xác định q l , ti và ti(r) Khi ổn định, phương trình cân bằng nhiệt cho 1m ống trụ là : t i − t i +1 q l = α1[tf1 – t0]2πr1 = , (∀i = 1 ÷ n ) = α 2 ( t n − t f 2 )2πrn ri +1 1 ln 2πλ i ri Đây là hệ (n+2) phương trình bậc 1 của 1 ẩn q l và (n+1) ẩn ti. Bằng cách khử các ti để tính q l , sau đó tìm ti theo q l và xác định ti(r) như vách có 2W1, sẽ thu được: ⎧ t f1 − t f 2 ql = ⎪ r 1 1 1 n +∑ ⎪ ln i +1 + 2πr1α1 i =1 2πλ i ri 2πrn α 2 ⎪ ⎪ ql q r ⎨t 0 = t f 1 − ; t i = t i −1 − l ln i , ∀i = 1 ÷ n 2πr1α1 2πλ i ri −1 ⎪ t i − t i +1 r ⎪ t i (r) = t i − ln , ∀i = 1 ÷ n ⎪ ri +1 ri ⎪ ln ri ⎩ 2.5.4. Dẫn nhiệt qua vách cầu 2.5.4.1. Phát biểu bài toán Cho vách cầu đồng chất, bán kính r2/r1 có hệ số dẫn nhiệt λ không đổi, mặt r1 tiếp xúc chất lỏng nóng có tf1, α1 mặt r2 tiếp xúc chất lỏng lạnh có tf2, α2 không đổi. Tìm phân bố nhiệt độ t(r) và lượng nhiệt Q qua vách. Trong toạ độ cầu, trường t(r) được xác định bởi hệ phương trình (t) sau: Hình 10. Phân bố t(r) trong vách cầu 20
⎧ d 2 t 2 dt ⎪ 2+ =0 (1) r dr ⎪ dr ( t )⎨α 1 [ t f 1 − t (r1 )] = −λt r (r1 ) (2) ⎪− λt (r ) = α [ t (r − t )] (3) ⎪ r2 2 f2 2 ⎩ 2.5.4.2. Tìm phân bố t(r) dt → phương trình (1) có 1) Tìm nghiệm tổng quát theo các bước: Đổi biến u = dr du u du dr + 2 = 0 → tích phân lần 1 có lnu + 2lnr = ln(ur2) =lnC1 → +2 =0→ dạng : dr r u r C1 dt C1 C1 ∫r = → tích phân lần 2 có : t(x) = dr = − + C2 u= r 2 dr 2 r 2) Tìm C1, C2 theo 2 điều kiện biên (2) và (3): t f1 − t f 2 ⎧ C1 ⎫ ⎪C1 = [Km] ⎛ ⎞ C1 α1 ⎜ t f 1 + − C 2 ⎟ = −λ 2 ⎪ ⎪ ⎛1 1 ⎞ ⎛1 1⎞ ⎜ ⎟ λ⎜⎜ α r2 + α r2 ⎟ + ⎜ r − r ⎟ r1 ⎪ ⎪ r1 ⎝ ⎠ ⎟⎜ ⎟ ⎬⇒⎨ ⎝ 11 22⎠ ⎝ 1 2⎠ ⎛C ⎞ C − λ 21 = α 2 ⎜ − 1 + C 2 − t f 2 ⎟⎪ ⎪ ⎟⎪ ⎪C = t − C ⎛ λ + 1 ⎞ ⎜r ⎜ ⎟ [K ] r2 ⎝1 ⎠⎭ ⎪ 2 1⎜ α 1 r12 r1 ⎟ f1 ⎝ ⎠ ⎩ Phân bố nhiệt độ trong vách cầu là ⎛1 1⎞ t f1 − t f 2 1 ⎜+ ⎜ r α r2 + r ⎟ t (r ) = t f 1 − ⎟ ⎛ 1 1 ⎞⎝ λ 1 1⎠ +⎜ + ⎟ + 11 α 1 r12 α 2 r22 ⎜ r1 r2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ λ Đồ thị t(r) là đường hyperbol có tiếp tuyến tại biên qua 2 điểm R 1 ⎜ r1 − , t f 1 ⎟ ⎜ ⎟ α ⎝ ⎠ 1 ⎛ ⎞ λ và R 2 ⎜ r2 + ,tf2 ⎟ ⎜ ⎟ α2 ⎝ ⎠ 2.5.4.3. Tính công suất nhiệt Q truyền qua vỏ cầu C1 Q = q(r).π(2r2)=- λ 4πr2 = -4πλC1 = const, ∀r 2 r Thay C1 bởi giá trị nêu trên, ta có: 21
t f1 − t f 2 Q= , [W] 1⎛ 1 1⎞ 1 ⎛1 1⎞ ⎜ ⎟+ ⎜−⎟ + 4π ⎜ α 1 r12 α 2 r22 ⎟ 4πλ ⎜ r1 r2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ t W1 − t W2 Khi vách cầu có 2 biên loại W1 thì Q = ,[W ] 1 ⎛1 1⎞ ⎜−⎟ 4πλ ⎜ r1 r2 ⎟ ⎝ ⎠ Khi vách cầu có n lớp với 2 biên W3, sau khi giải hệ phương trình ( t i − t i +1 )4πλ i Q = α 1 ( t f 1 − t f 0 )4πr02 = , (∀i = 1 ÷ n ) = α 2 ( t n − t f 2 )4π 1 1 + ri ri +1 sẽ tìm được: t f1 − t f 2 Q= ,[w ] 1⎛ 1 1⎞ n 1 ⎛1 1⎞ ⎟+∑ ⎜ ⎜− ⎜r r ⎟ + ⎟ 4π ⎜ α 1 r12 α 2 r22 ⎟ i =1 4πλ i ⎝i i +1 ⎠ ⎝ ⎠ Nhiệt độ các mặt ti và trường ti(r) trong các lớp được xác định như trên. 2.6.DẪN NHIỆT QUA THANH HOẶC CÁNH CÓ TIẾT DIỆN KHÔNG ĐỔI. Để tăng cường truyền nhiệt, người ta thường gẵn các cánh lên mặt tỏa nhiệt. Nhiệt qua gốc cánh được dẫn qua chiều dài x của cánh, rồi toả ra mặt xung quanh, làm tăng lượng nhiệt truyền qua gốc. Nhiệt độ trong cánh t(x) giảm dần theo chiều dài x, còn tại mỗi tiết diện nhiệt độ được coi là phân bố đều. 2.6.1. Phát biểu bài toán Chô một thanh trụ hoặc cánh dài l, tiết diện f = const có chu vi la U, mặt xung quanh tỏa nhiệt ra chất lỏng nhiệt độ tf với hệ số tỏa nhiệt α; nhiệt độ trên mỗi tiết diện được coi là phân bố đều, tại gốc là t0 > tf , mặt x = l tỏa nhiệt ra cùng chất lỏng nhiệt độ tf với hệ số tỏa nhiệt α2. Tìm phân bố nhiệt độ t(x) trong cánh Hình 11. Bài toán t(x) trong thanh trụ và cánh phẳng có tiết diện không đổi 22
và lượng nhiệt Q0 qua gốc cánh. 2.6.2. Lập phương trình cân bằng nhiệt tìm t(x) 2.6.2.1. Lập phương trình cân bằng nhiệt tìm t(x) Vì nhiệt độ bên trong thanh đồng nhất với nhiệt độ biên W3 tức không có điểm trong, nên phương trình t τ = a∇ 2 cần được thay bằng phương trình cân bằng t nhiệt cho phân tố thay dV = fdx, khi ổn định có dạng: Hiệu các lượng nhiệt dẫn (vào – ra) dV = nhiệt tỏa ra mặt Udx Nếu gọi θ(x) = t(x) − t f thì phương trình trên có dạng: dθ dθ ⎞ d⎛ −λ f + λ ⎜ θ + ⎟f = αθUdx dx ⎝ dx ⎠ dx αU d 2θ , [m −1 ] Suy ra λf 2 − αUθ = 0 . Đặt m = λf dx d 2θ Thì phương trình cân bằng nhiệt để tìm θ( x) là − m 2θ = 0 (1) 2 dx Nghiệm tổng quát của (1) là θ(x) = C1.e mx + C 2 .e − mx 2.6.2.2 Tìm θ( x) và Q0 cho thanh dài hữu hạn 1)Các hằng số C1, C2 sẽ được tìm theo các điều kiện biên W1 tại x=0 và W3 tại x=l ⎧θ(0) = C1 + C 2 = t 0 + t f = θ0 ⎨ ⎩−λθ x (l) = α 2θ(l) → −λ (m.C1.e − m.C2 .e ) = α 2 (C1.e + C 2 .e ) − ml − ml ml ml Giải hệ phương trình bậc nhất tìm được C1,C2 rồi thay vào nghiệm tổng quát và đưa về dạng hàm hyperbol shx = (ex + ex)/2 và chx = (ex + ex)/2, thx = shx/chx, sẽ thu được α2 ch [ m(l − x) ] + sh [ m(l − x) ] m.λ θ(x) = θ0 α ch(ml) + 2 .sh(ml) m.λ Trong tính toán kỹ thuật,khi f
⎡ αU ⎤ ch ⎢(1 − x ) ⎥ ch [ m(l − x)] λf ⎦ ⎣ θ(x) = θ0 hay t(x) = tf + (t0 – tf) ⎛ αU ⎞ ch(ml) ch⎜ l ⎟ ⎜ λf ⎟ ⎝ ⎠ 2) tính nhiệt lượng dẫn qua gốc cánh Nhiệt lượng qua gốc cánh chính là nhiệt lượng tỏa ra cánh, và bằng α2 th ( ml) + mλ , W Q 0 = −λθ x (0 )f = mλfθ 0 α 1 + 2 th (ml) mλ Nếu f
2.7.1.1.Phát biểu bài toán Cho tấm phẳng dày sδ, rộng vô hạn, có λ và nguồn nhiệt trong qv= const, hai mặt ngoài tiếp xúc cùng một chất lỏng có tf, α không đổi Tìm phân bố nhiệt độ t(x) và tính nhiệt tỏa ra môi trường Mô tả hình học như Hình 12, trường t(x) trong tấm đối xứng qua mặt x=0,tại đo tx(0) = 0. Do đó theo Hình 12. Tấm phẳng có qv = const toán học, cần tìm hàm t(x) như nghiệm cảu hệ phương trình (t) như sau: ⎧ d2t q v 1 ⎪ dx 2 + λ = 0 ⎪ (t )⎪− λt x (δ ) = α[t (δ ) − t f ] 2 ⎨ ⎪ t (0 ) = 0 3 ⎪x ⎪ ⎩ 2.7.1.2.Tìm luật phân bố nhiệt độ và truyền nhiệt qua tấm 1) tích phân phương trình (1)sẽ được qv 2 q t(x) = − ∫∫ dx = − v .x 2 + C1x + C2 λ 2.λ Xác định C1,C2 theo (2),(3) ta có t x (0 ) = C1 = 0 ⎫ ⎧C1 = 0 ⎪⎪ ⎤⎬ → ⎨ ⎛ qv ⎞ ⎡ qv 2 q q − λ ⎜ δ + C1 ⎟ = α ⎢ − δ + C1δ + C 2 − tf ⎥ ⎪ ⎪C 2 = t f + v δ + v δ 2 ⎝λ ⎣ 2λ α 2λ ⎦⎭ ⎩ ⎠ qv q δ + v (δ 2 − x 2 ) có dạng đường parabol đối xứng qua x=0 Do đó t(x)= t f + α 2λ như hình 12 2)Nhiệt lượng Q2F tỏa ra từ 2 phía của tấm phẳng rộng F, ⎡ m 2 ⎤ là ⎣⎦ Q2F = 2.f.α [ t(δ) − t f ] = 2.F.q v .δ, [ W ] 25