Giáo trình Xác suất thống kê (Ngành: Hình ảnh - Trình độ: Cao đẳng) - Trường Cao đẳng Y tế Thanh Hoá

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:87

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Xác suất thống kê" là một ngành khoa học đang giữ vị trí quan trọng trong các lĩnh vực ứng dụng rộng rãi và phong phú của đời sống con người. Giáo trình "Xác suất thống kê" trình bày một số khái niệm và tính chất mở đầu của lý thuyết xác suất; về các biến ngẫu nhiên và các kiến thức cơ bản về phần thống kê, bước đầu giúp sinh viên tập duyệt nghiên cứu khoa học, biết xử lý số liệu từ đó có thể so sánh đánh giá đúng về kết quả nghiên cứu, rút ra được những kết luận chính xác về các mẫu nghiên cứu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Xác suất thống kê (Ngành: Hình ảnh - Trình độ: Cao đẳng) - Trường Cao đẳng Y tế Thanh Hoá

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG CAO ĐẲNG Y TẾ GIÁO TRÌNH MÔN HỌC/MÔ ĐUN: XÁC SUẤT THỐNG KÊ NGÀNH/NGHỀ: HÌNH ẢNH VB2 TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG Ban hành kèm theo Quyết định số 549 /QĐ-CĐYT ngày 9 tháng 8 năm 2021 của Hiệu trưởng Trường Cao đẳng Y tế Thanh Hóa Thanh Hóa, năm 2021
TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN Tài liệu này thuộc loại sách giáo trình nên các nguồn thông tin có thể được phép dùng nguyên bản hoặc trích dùng cho các mục đích về đào tạo và tham khảo. Nghiêm cấm mọi mục đích khác mang tính lệch lạc hoặc sử dụng với mục đích kinh doanh thiếu lành mạnh .
LỜI GIỚI THIỆU Trường Cao đẳng Y tế Thanh Hóa có bề dày lịch sử đào tạo các thế hệ cán bộ Y tế đã hơn 60 năm. Hiện nay, Nhà trường đã và đang đổi mới về nội dung, phương pháp giảng dạy và đánh giá học tập của sinh viên nhằm không ngừng nâng cao chất lượng đào tạo đáp ứng nhu cầu xã hội và ngành Y tế. Do nhu cầu nâng cao chất lượng đào tạo và yêu cầu có tài liệu giảng dạy cho giảng viên, yêu cầu có tài liệu cho sinh viên học tập; Đảng ủy, Ban Giám hiệu Nhà trường chủ trương biên soạn các tập bài giảng chuyên ngành. Tập bài giảng Xác suất và thống kê được biên soạn trên cơ sở chương trình khung của Bộ Y tế, Bộ Lao động Thương binh và Xã hội và chương trình đào tạo chi tiết môn học/ học phần của Nhà trường quy định. Lý thuyết xác suất và thống kê toán học là một ngành khoa học đang giữ vị trí quan trọng trong các lĩnh vực ứng dụng rộng rãi và phong phú của đời sống con người. Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ, nhu cầu hiểu biết và sử dụng các công cụ ngẫu nhiên trong phân tích và xử lý thông tin ngày càng trở nên đặc biệt cần thiết. Các kiến thức và phương pháp của xác suất và thống kê đã hỗ trợ hữu hiệu các nhà nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau như vật lý, hóa học, sinh y học, xã hội v.v. Tập bài giảng xác suất thống kê trình bày một số khái niệm và tính chất mở đầu của lý thuyết xác suất; về các biến ngẫu nhiên và các kiến thức cơ bản về phần thống kê, bước đầu giúp sinh viên tập duyệt nghiên cứu khoa học, biết xử lý số liệu từ đó có thể so sánh đánh giá đúng về kết quả nghiên cứu, rút ra được những kết luận chính xác về các mẫu nghiên cứu. Tuy nhiên, lần đầu tiên biên soạn nên chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Tập thể biên soạn xin ghi nhận các ý kiến đóng góp xây dựng của đồng nghiệp, các thầy cô giáo, sinh viên và những người sử dụng cuốn sách này. Xin trân trọng cảm ơn!
Tham gia biên soạn: ThS.Mai Văn Bảy (chủ biên) TS. Lê Minh Quang ThS. Trịnh Thị Phượng ThS. Lê Thị Dung
MỤC LỤC TT NỘI DUNG TRANG 1. CHƯƠNG 1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP ............ Error! Bookmark not defined. 02 2. CHƯƠNG 2. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ..................................................... 10 10 3. CHƯƠNG 3. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT ................................................... 16 16 4. CHƯƠNG 4. CÔNG THỨC CỘNG VÀ CÔNG THỨC 21 NHÂN XÁC SUẤT ................................................................................. 21 5. CHƯƠNG 5. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ 28 CÔNG THỨC BAYES ............................................................................ 28 6. CHƯƠNG 6. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN ................................................ 34 34 7. CHƯƠNG 7. HÀM PHÂN PHỐI VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG 39 CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN ........................................................... 39 8. BÀI TẬP ............................................................................................... 46 46 9 CHƯƠNG 8. MẪU VÀ THỐNG KÊ MÔ TẢ…….. 56 10. CHƯƠNG 9. CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU ............................................ 64 64 11. BÀI TẬP ............................................................................................... 73 73 12. PHỤ LỤC .............................................................................................. 77 77 13. TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................ 82 82
GIÁO TRÌNH MÔN HỌC Tên môn học : Xác suất thống kê Mã môn học : MH 01 Vị trí, tính chất và vai trò của môn học : - Vị trí: Thuộc khối kiến thức giáo dục đại cương. - Tính chất: Môn học này cung cấp một số khái niệm cơ bản về Xác suất và Thống kê trong Y học. Cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản để phân tích số liệu của vấn đề y học trong quá trình thống kê số liệu. Môn học này còn giúp cho sinh vên khả năng tư duy và suy luận liên hệ đến thực tiễn trong quá trình học chuyên ngành y. - Vai trò của môn học trong chương trình: Là môn cơ sở cho các môn chuyên ngành Mục tiêu của môn học : 1. Về kiến thức: Trình bày được các khái niệm cơ bản của lí thuyết Xác suất - Thống kê và ý nghĩa thực tế của các khái niệm đó, nhất là trong Y học. 2. Về kỹ năng: Sinh viên giải được các bài toán Xác suất - Thống kê cơ bản và bước đầu biết phân tích, tổng hợp, xử lí thông tin thu được để rút ra kết luận. 3. Năng lực tự chủ và trách nhiệm: Bước đầu có tác phong làm việc cẩn thận, khoa học, chính xác, nâng cao tư duy và suy luận. Xây dựng được ý thức tự học, tự nghiên cứu khoa học. 1
CHƯƠNG 1: GIẢI TÍCH TỔ HỢP GIỚI THIỆU Trong lý thuyết xác suất, nhiều khi phải tính số phần tử của một tập hợp. Giải tích tổ hợp cho ta phương pháp tính số phần tử đó một cách nhanh chóng và chính xác nhất. Trong bài này sẽ trình bày một số vấn đề cơ bản của giải tích tổ hợp. MỤC TIÊU Sau khi học xong chương này, sinh viên phải: 1. Thực hiện được ba phép toán trên tập hợp (phép hợp, phép giao, phép trừ). 2. Trình bày được ba định nghĩa: Hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp. 3. Tính được số lượng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. NỘI DUNG CHÍNH 1. Tập hợp 1.1. Khái niệm tập hợp  Mọi người thường nói tập hợp các sinh viên, tập hợp số, tập hợp các Bác sỹ, tập hợp bệnh nhân, tập hợp các khoa trong Bệnh viện v.v. Tập hợp là khái niệm chưa xác định vì vậy để hiểu và thực hiện các phép toán với tập hợp thường thông qua cách cho một tập hợp. Khi đó tập hợp được xác định. Thường ký hiệu tập hợp bằng các chữ A, B, C, …, và các chữ x, y, z,…, để chỉ các phần tử của tập hợp. Có hai cách cho tập hợp: Hoặc liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp hoặc cho biết các đặc tính, tính chất để xác định một phần tử thuộc tập hợp. Ví dụ 1. A = {1, 2, 3, 4, 5 } (Tập các số tự nhiên từ 1 đến 5). B = 2n n   (Tập hợp các số chẵn). 2
Để chỉ x là một phần tử của tập hợp A ta dùng ký hiệu x  A ; còn để chỉ x không phải phần tử của tập hợp A ta dùng ký hiệu x  A hoặc: x  A .  Tập hợp rỗng là tập hợp không có phần tử nào, ký hiệu là . Ví dụ 2. A = x  R : x 2  1  0. B = { Bệnh nhân Đao trên 50 tuổi}. A, B là các tập hợp rỗng.  Sự bao hàm - Tập hợp con Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B. Nếu mọi phần tử của tập hợp A cũng là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là tập con của B. Ký hiệu: A  B , đọc A là tập con của B hoặc A bao hàm trong B hoặc B bao hàm A. Chú ý. Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp. Ví dụ 3. - Trong một lớp sinh viên được chia thành nhiều tổ. Khi đó, tổ sinh viên là tập hợp con của lớp, lớp là tập hợp con của khối, khối là tập hợp con của trường. - Tập hợp bệnh nhân trong khoa bao hàm trong tập hợp bệnh nhân toàn viện.  Hai tập hợp bằng nhau Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B. Nếu mọi phần tử của tập hợp A là phần tử của tập hợp B và ngược lại mọi phần tử của tập hợp B là phần tử của tập hợp A thì ta nói A và B là hai tập hợp bằng nhau. Ký hiệu: A = B. 1.2. Phép toán tập hợp  Phép giao: Cho hai tập hợp A và B, giao của hai tập hợp A và B là tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B. Ký hiệu: A  B  C (Thường viết A  B hoặc viết tắt AB). Chú ý: Phép giao có thể mở rộng cho nhiều tập hợp. A1  A2  ...  An  C (C là tập hợp gồm các phần tử thuộc tất cả các Ai với i  1, n , n N * ).  Phép hợp: Cho hai tập hợp A và B. Hợp của hai tập hợp A và B là tập hợp E gồm các phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B. Ký hiệu : A  B  E . 3
Chú ý: Phép hợp có thể mở rộng cho nhiều tập hợp A1  A2  ...  An  E (E là tập hợp gồm tất cả các phần tử Ai với i  1, n )  Phép trừ: Cho hai tập hợp A và B. Hiệu của tập hợp A và tập hợp B là tập hợp C gồm các phần tử chỉ thuộc tập hợp A mà không thuộc tập hợp B. Ký hiệu : A \ B  C . Cho A  E, E \ A  CE A  A . A được gọi là phần bù của A trong E. + Định luật De Morgan Với mọi A  E, B  E ta có : A  B  A  B; A B  A B + Một số tích chất A  B  B  A, A  A  A, A     A  B  B  A, A  A  A, A A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ) A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ) . 1.3. Tích Đecart (R.Đecart) Định nghĩa. Tích Đecart của hai tập hợp A và B là một tập mà mỗi phần tử gồm một cặp sắp thứ tự, phần tử thứ nhất thuộc A, phần tử thứ hai thuộc B. A  B  a, b a  A, b  B. Ví dụ. Cho A = (x, y,z), B= (1,2,3) Tích Đecart của A và B viết là AxB. Ký hiệu: AxB, ta có A  B  x,1, x,2,...,z,3 Như vậy, một điểm trong mặt phẳng Oxy là một phần tử của tập hợp tích R  R. M ( x, y)  R  R  R 2 . Một điểm trong không gian ba chiều Oxyz là một phần tử thuộc tập hợp tích Đecart. R  R  R. M ( x, y, z )  R  R  R  R 3 4
2. Giải tích tổ hợp Trước hết chúng ta nghiên cứu quy tắc nhân và quy tắc cộng. 2.1. Quy tắc nhân Quy tắc Nếu một công việc nào đó phải hoàn thành qua k giai đoạn liên tiếp, trong đó: Phương án thứ 1 có m1 cách thực hiện. Phương án thứ 2 có m2 cách thực hiện. ……….. Phương án thứ n có mk cách thực hiện. Khi đó, số cách để hoàn thành công việc đã cho là: n = n1.n2...nk Ví dụ. Một đội văn nghệ đã chuẩn bị được 2 vở kịch, 5 bài hát, 3 điệu múa. Hội diễn chỉ cho phép đội trình diễn một vở kịch, một bài hát và một điệu múa. Hỏi đội có bao nhiêu cách chọn chương trình biễu diễn của mình, biết rằng chất lượng các vở kịch, bài hát, điệu múa là như nhau. Bài làm. Việc chọn chương trình biểu diễn có thể được thực hiện qua 3 bước: Bước 1. Chọn 1 vở kịch trong 2 vở kịch đã chuẩn bị: Có 2 cách. Bước 2. Chọn 1 bài hát trong 5 bài hát đã chuẩn bị: Có 5 cách. Bước 3. Chọn 1 điệu múa trong 3 điệu múa đã chuẩn bị: Có 3 cách. Từ đó, áp dụng quy tắc nhân suy ra đội văn nghệ có n= 2.3.5 = 30 cách lựa chọn chương trình biễu diễn. 2.2. Quy tắc cộng Quy tắc. Nếu một công việc nào nó có thể thực hiện theo k phương án khác nhau, trong đó: Phương án thứ 1 có m1 cách thực hiện Phương án thứ 2 có m2 cách thực hiện ……….. Phương án thứ k có mk cách thực hiện Khi đó, số cách để hoàn thành công việc đã cho là : n= n1+n2+.................+ nk 5
Ví dụ. Có bao nhiêu số có các chữ số khác nhau được lập thành từ 4 chữ số1,2,3,4. Giải: Tập hợp các số cần lập có thể chia làm 4 loại Loại 1: các số có 1 chữ số. Có n1 = 4 số Loại 2: Các số có 2 chữ số khác nhau. Có n2= 4.3=12 số Loại 3: Các số có 3 chữ số khác nhau. Có n3 = 4.3.2 = 24 số. Loại 4: Các số có 4 chữ số khác nhau. Có n4 = 4.3.2.1 = 24 số. Từ đó áp dụng quy tắc cộng, suy ra số các số cần tìm là: n = 4 +12+24+24 = 64 2.3. Hoán vị Xét tập hữu hạn E có n phần tử E = {x1, x2, ..................., xn}. Định nghĩa. Một hoán vị của E là một tập gồm tất cả các phần tử của E xếp theo một thứ tự xác định. E có n phần tử thì số hoán vị là Pn = n ! = 1.2.3........…(n-1)n (Tích của n số nguyên bắt đầu từ 1 đến n). Ta có: n ! = n.(n-1)! Quy ước . 0 ! = 1. Ví dụ: Số cách sắp xếp ba bệnh nhân vào ba buồng bệnh tại khoa A là: 3! = 3.2.1 = 6 (cách). 2.4. Chỉnh hợp lặp  Định nghĩa: Cho A = {x1, x2, ...., xn} Chỉnh hợp lặp là tập hợp gồm p phần tử có lặp, có thứ tự lấy từ n phần tử của A.  Số chỉnh hợp lặp chập p của n phần tử là nk. Chú ý: Công thức vẫn đúng khi k > n. Ví dụ. Xếp tuỳ ý 5 bệnh nhân vào 3 khoa là cách xếp có lặp, có thứ tự xây dựng từ 3 khoa. Số cách xếp là 35 = 243 cách. 2.5. Chỉnh hợp không lặp  Định nghĩa. Cho A = {x1, x2, ................, xn} Chỉnh hợp không lặp là tập hợp gồm k phần tử không lặp, có thứ tự lấy từ n phần tử của A.  Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là 6
n! An  k  n(n  1)(n  2)...(n  k  1) . (n  k )! Tập hợp X có n phần tử, k là một số nguyên thoả mãn 1  k  n Ví dụ 1. Cho X= {1,2,3}. Số có hai chữ số khác nhau tạo nên từ 3 số trên là 12, 21, 23, 32, 13, 31. Ví dụ 2. Xếp ba bệnh nhân vào 5 khoa sao cho có nhiều nhất một người trong khoa. 5! A5  3  5.4.3  60 cách 2! 2.6. Tổ hợp Cho tập hợp X gồm n phần tử. Ta lấy ngẫu nhiên ra k phần tử từ tập gồm n phần tử (k  n), sao cho hai cách lấy được gọi là khác nhau nếu giữa chúng có ít nhất một phần tử khác nhau. Số cách lấy ra k phần tử như vậy gọi là tổ hợp chập k của n phần tử. Hay ta có định nghĩa sau: Định nghĩa. Một tập con k phần tử của tập hợp X (Không kể đến thứ tự) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. n!  Kí hiệu và công thức tính: Cn  k (n  k )!k! Ta có : Cn  Cnn  1, Cn  Cnn1  n 0 1  Tính chất 1. Cnk  Cnnk 2. Cnk  Cnk 1  Cnk11  Ví dụ. Chọn ngẫu nhiên ra 2 người trong nhóm 3 người A, B, C. 3! Ta có: C32   3 cách chọn là AB, AC, BC. 2!1! 2.7. Tổ hợp lặp  Định nghĩa. Cho tập hợp X gồm n phần tử. Một tập con k phần tử có lặp của tập hợp X (Không kể đến thứ tự) được gọi là một tổ hợp lặp chập k của n phần tử. (n  k  1)!  Kí hiệu và công thức tính Cn k 1  k (n  1)!k! Khi k > n công thức vẫn đúng. 7
- Đơn thức bậc 5 từ a và b là tổ hợp lặp, không thứ tự. 6! Số đơn thức là: C2551  6 1!5! - Gia đình có 4 con. Các trường hợp xảy ra về số con trai con gái 5! trong gia đình đó là C2441  5 1!4! Ngoài các khái niệm vừa giới thiệu trên còn có một số cách chọn khác, nhưng đơn giản, chẳng hạn lấy ra từng phần tử một k lần, lấy có hoàn trả lại và không hoàn trả lại. Như vậy có 4 cách lấy k phần tử từ tập gồm n phần tử. Đó là: 1- Cách lấy theo nghĩa tổ hợp. 2- Cách lấy theo nghĩa chỉnh hợp. 3- Cách lấy ra từng phần tử một không hoàn lại k lần. 4- Cách lấy ra từng phần tử một có hoàn lại k lần. Trong 4 cách này, 2 cách đầu các phần tử được lấy ra cùng một lúc, hai cách sau lấy ra từng phần tử một. Như vậy k phần tử lấy ra theo cách 4 có thể trùng nhau. Về định lượng giữa 4 cách lấy, ta có so sánh như sau: Cách 1 Cách 2 Cách 3 Cách 4 k Cn  k An  n(n  1)...(n  k  1)  nk 2.8. Nhị thức newton  Công thức nhị thức Newton được xác định : (a  b) n  a n  Cn a n1b  Cn a n2b2  .... Cn 1a bn1  bn 1 2 n Với n là số tự nhiên Khi n = 2 thì (a+b)2 = a2 + 2ab +b2. Khi n= 3 thì (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 . GHI NHỚ: + Định nghĩa: Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp và hai quy tắc ( Quy tắc cộng và quy tắc nhân ). + Các công thức tính: Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp 8
LƯỢNG GIÁ Anh/ chị hãy khoanh tròn vào đáp án đúng k! Câu 1: . Số tổ hợp chập k của n phần tử (với k  n) là: Cnk  (n  k )!n! A. Đúng B. Sai Hãy lựa chọn đáp án đúng Câu 2. Một tổ thực tập có 5 sinh viên. Bác sỹ chọn ngẫu nhiên ra 2 sinh viên tham gia trực tăng cường. Số trường hợp xảy ra để lựa chọn ra 2 sinh viên là: A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 Câu 3.Tại một khoa, xếp 12 bệnh nhân vào 3 phòng bệnh (các phòng có thể xếp tối đa 12 bệnh nhân). Tính số cách sắp xếp sao cho hai bệnh nhân A và B cùng vào ở một phòng? A. 311 B. 310 C. 312 D. 12 Câu 4. Tại một khoa, xếp 12 bệnh nhân vào 3 phòng bệnh (các phòng có thể xếp tối đa 12 bệnh nhân). Số cách sắp xếp sao cho chỉ có hai bệnh nhân A và B vào phòng 1 là: A.16 B. 210 C. 212 D. 64 Câu 5. Một ca trực có 10 bệnh nhân nhập viện. Bác sỹ chọn ra 3 bệnh nhân để giảng cho sinh viên thực tập vào sáng hôm sau. Số trường hợp xảy ra nếu chọn cố định 2 bệnh nhân A, B và một bệnh nhân tùy ý là: A. 16 B. 8 C. 56 D. 60 Câu 6. Thang máy của một tòa nhà 7 tầng xuất phát từ tầng 1 gồm có 5 bệnh nhân. Coi như các bệnh nhân chọn tầng một cách ngẫu nhiên và độc lập với nhau. Tính số cách sắp xếp mỗi bệnh nhân ra ở mỗi tầng khác nhau. A. 240 B. 720 C. 516 D. 360 Câu 7. Khoa nội có 6 bác sỹ nữ, 4 bác sỹ nam. Khoa ngoại có 8 bác sỹ nam. Lập tổ công tác ba người cần có nam, có nữ, có nội khoa, có ngoại khoa. Hỏi có bao nhiêu cách? A. 576 B. 480 C. 816 D. 360 E. Số khác 9
CHƯƠNG 2: PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ GIỚI THIỆU Trong vô số các hiện tượng liên tục xảy ra xung quanh chúng ta, tính bất định của sự xuất hiện các hiện tượng ( biến cố ) ngẫu nhiên làm nảy sinh nhu cầu nghiên cứu khả năng xuất hiện của chúng. Đây cũng chính là một trong những nguyên nhân ra đời và phát triển của lý thuyết xác suất. MỤC TIÊU Sau khi học xong chương này, sinh viên phải: 1. Trình bày được khái niệm về phép thử và các loại biến cố. 2. Xác định được quan hệ giữa các biến cố trong cùng một không gian. 1. Khái niệm phép thử và biến cố 1.1. Hiện tượng tất nhiên và ngẫu nhiên Trong vô số các hiện tượng liên tục xảy ra xung quanh, ta có thể phân chúng thành hai loại: Hiện tượng tất nhiên và hiện tượng ngẫu nhiên. Hiện tượng tất nhiên là những hiện tượng mà nếu được thực hiện trong cùng một điều kiện như nhau thì chúng cho các kết quả giống nhau. Chẳng hạn, với điều kiện áp suất bình thường của khí quyển và nhiệt độ 1000C nước chắc chắn sôi; khi cho axit clohiđric (HCl) tác dụng với natri hiđrôxit (NaOH) chắc chắn xuất hiện muối ăn và nước v.v. Hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng mà dù được thực hiện trong cùng một điều kiện chúng vẫn có thể cho các kết quả khác nhau. Chẳng hạn, gieo một đồng xu kết quả được mặt sấp hay ngửa là hiện tượng ngẫu nhiên. 1.2. Khái niệm phép thử và biến cố  Phép thử là nhóm điều kiện có thể được lặp đi lặp lại nhiều lần trong cùng điều kiện. Thường ký hiệu phép thử bởi các chữ  ,  ,  … Khi nghiên cứu, đo chiều cao, làm xét nghiệm, chẩn đoán bệnh, điều trị bệnh v.v. Hiện tượng hay biến cố là kết quả của một phép thử. Các biến cố được ký hiệu bởi các chữ A, B, C, v.v. 10
Ví dụ 1. Các biến cố hay gặp trong y học như: A= {Xét nghiệm dương tính}. B= {Chẩn đoán có bệnh}. K= {Điều trị khỏi bệnh}.  Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà kết quả là ngẫu nhiên có được (Không biết trước một cách chắc chắn). Tuy nhiên, ta có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể có của nó. Tập hợp đó được gọi là không gian các biến cố sơ cấp và được ký hiệu bởi  . Mỗi phần tử  của  sẽ được gọi là một biến cố sơ cấp (Hay biến cố ngẫu nhiên cơ bản). Vậy    với  là biến cố ngẫu nhiên cơ bản}. Khi thực hiện một phép thử, dựa vào khả năng xuất hiện chia các biến cố thành ba loại:  Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử. Với A là một biến cố ngẫu nhiên, mỗi một phần tử   A được gọi là biến cố ngẫu nhiên cơ bản thuận lợi cho việc xuất hiện A. Biến cố A xảy ra khi có ít nhất một biến ngẫu nhiên   A xảy ra.  Biến cố chắc chắn xuất hiện là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử. Ký hiệu  để chỉ biến cố chắc chắn xảy ra.  Biến cố trống, ký hiệu  , là biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Ví dụ 2. Xét nghiệm HIV cho bệnh nhân A. Biến cố chắc chắn xảy ra là: B = {dương tính, âm tính}. Ví dụ 3. Đo chiều cao cho bệnh nhân B. Biến cố không thể xảy ra là: C= {Bệnh nhân có chiều cao lớn hơn 3m}. 2. Quan hệ giữa các biến cố Trong không gian  gọi A, B là các biến cố ngẫu nhiên thuộc  . 2.1. Quan hệ kéo theo Định nghĩa. Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B và ký hiệu là A  B nếu và chỉ nếu A xảy ra thì B xảy ra. 11
Mô tả hình học của quan hệ này có thể hình dung A là tập con của B, tập A chứa trong tập B. 2.2. Quan hệ tương đương Định nghĩa. Hai biến cố A và B gọi là tương đương với nhau, ký hiệu A = B khi và chỉ khi A  B và B  A . 2.3. Tổng của hai biến cố Định nghĩa. Giả sử  là không gian các biến cố ngẫu nhiên cơ bản, A, B là 2 biến cố ngẫu nhiên của  . Tổng hai biến cố A và B là một biến cố được ký hiệu A  B , sao cho biến cố tổng A  B xảy ra khi và chỉ khi hoặc A xảy ra hoặc B xảy ra (nói cách khác khi và chỉ khi có ít nhất một trong các biến cố A và B xảy ra): A  B   |   A    B 2.4. Tích của hai biến cố Định nghĩa. Tích của hai biến cố A và B là một biến cố đươc ký hiệu A  B hoặc AB, sao cho biến cố tích AB xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B xảy ra. A  B  AB   |   A &   B  Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu AB   . Dãy các biến cố A1, A2, .., An được gọi là xung khắc đôi một nếu: AiAj =  với i  j . 2.5. Hiệu của hai biến cố A và B Định nghĩa. Hiệu của hai biến cố A và B là một biến cố được ký hiệu là A\B sao cho biến cố hiệu A\B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra nhưng B không xảy ra. Ta có: A \ B   |   A &   B 2.6. Biến cố đối lập Định nghĩa. Biến cố A được gọi là biến cố đối lập của biến cố A khi và chỉ khi A xảy ra thì A không xảy ra và ngược lại. 12
Tức là A   \ A . Chú ý: Phép tổng và tích biến cố có tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối: A( B  C)  AB  AC A  ( B  C)  ( A  B)  ( A  C) 2.7. Hệ biến cố đầy đủ Định nghĩa. Dãy các biến cố B1, B2, .., Bn (n  2 ) được gọi là hệ đầy đủ các biến cố, nếu: (i) B1 B2  ...  Bn   . (ii) Bi BJ   ,  i  j (Xung khắc đôi một). 3. Quy tắc DE MORGAN A  B  C  A.B.C ABC  A  B  C 4. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho tập hợp M= {1,2, 3, ............., 9}; A, B, C, D là các tập hợp con của M. Gọi A= {Lấy được số chẵn} B = { lấy được số lẻ} C = {Lấy được số chia hết cho 3}. D = {Lấy được số chia hết cho 5}. Xét quan hệ của các biến cố : Hướng dẫn A = {2 ; 4 ; 6 ; 8} B = {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9} C = {3 ; 9} D = {5} Khi đó: Biến cố A và biến cố B là cặp biết cố vừa xung khắc vừa đối lập. Biến cố D là biến cố kéo theo biến cố B ; biến cố C là biến cố kéo theo biến cố B v.v. Ví dụ 2. Hãy chỉ ra hệ biến cố đầy đủ trong bài toán sau: 13
Hai người vào khám bệnh tại phòng khám bệnh đa khoa của bệnh viện huyện X. Gọi Ai là biến cố người thứ i bị mắc bệnh. Khi đó: * A1 , A1 Hệ biến cố đầy đủ. * A2 , A2 Hệ biến cố đầy đủ. * A1 A2 , A1 A2 , A1 A2 , A1 A2 là hệ biến cố đầy đủ GHI NHỚ: + Định nghĩa phép thử ngẫu nhiên, biến cố ngẫu nhiên, không gian các biến cố ngẫu nhiên cơ bản. + Phân loại biến cố và mối quan hệ giữa các biến cố. LƯỢNG GIÁ Anh/ chị hãy khoanh tròn vào đáp án đúng Câu 1. Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử. A. Đúng B. Sai Câu 2. Cho A và là hai biến cố đối lập, khi đó A và lập thành hệ biến cố đầy đủ. A. Đúng B. Sai Câu 3. Cho A và B là hai biến cố xung khắc, khi đó A.B bằng: A. B. C. 0 D. 1 Câu 4. Cho A và là hai biến cố đối lập, khi đó A bằng :. A. B. C. 0 D. 1 Câu 5. Cho hệ biến cố B1; B2 ; B3 . Điều kiện để hệ biến cố là một hệ biến cố đầy đủ là:  B1  B2  B3   B1  B2  B3   A.   B.    Bi B j   ( i  j; i, j 1;3 )  Bi B j   ( i  j; i, j 1;3 )  14
B1  B2  B3   B1  B2  B3   C.   D.   Bi Bj  0 ( i  j; i, j 1;3 )  Bi Bj  0 ( i  j; i, j 1;3 )  Câu 6. Trong một ca trực có ba bệnh nhân nặng. Gọi Ai = {Bệnh nhân thứ i phải cấp cứu} với i  1,3 . Hãy diễn đạt bằng kí hiệu các biến cố sau: a. Không có bệnh nhân nào phải cấp cứu. b. Chỉ có một bệnh nhân phải cấp cứu. c. Có hai bệnh nhân phải cấp cứu. d. Cả ba bệnh nhân phải cấp cứu. e. Có ít nhất một bệnh nhân phải cấp cứu. f. Có ít nhất một bệnh nhân không phải cấp cứu. Câu 7. Kiểm tra chất lượng một lô hàng gồm ba loại thuốc trước khi nhập vào kho. Gọi Ai = {Loại thuốc thứ i đạt yêu cầu}. Hãy diễn đạt bằng lời các biến cố sau: a/ A1 A2 A3 . b/ A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 . c/ A1  A2  A3 . 15