HẠNG CỦA MA TRẬN &
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Tác giả: Phạm Gia Hưng
Bộ môn Toán - Khoa KHCB
I. Mục đích.
Việc giải bài toán hệ phương trình tuyến tính có một ý nghĩa rất to lớn
trong nghiên cứu khoa học cũng như trong thực tế. Lý thuyết hạng của ma
trận nhằm để giải quyết bài toán: Khi nào thì hệ phương trình tuyến tính
có nghiệm?
Trong các tài liệu giảng dạy môn Toán Cao Cấp ở các trường Đại Học,
thông thường, người ta dùng các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng hoặc
các cột của ma trận đưa ma trận về dạng hình thang để xác định được
hạng của ma trận. Điều này sẽ tăng khối lượng tính toán. Hơn nữa điều
chủ yếu đáng nói ở đây là vấn đề logic trình bày. Khi giải hệ phương trình
tuyến tính bằng phương pháp Gauss khi ta chỉ dùng các phép biến đổi sơ
cấp trên các hàng của ma trận đưa ma trận về dạng bậc thang và khi nhìn
vào ma trận bậc thang này sinh viên sẽ dễ lúng túng khi xác định hạng
của ma trận hệ số cũng như ma trận mở rộng và từ đó khó lòng biện luận
được số nghiệm của hệ phương trình.
Đề tài đưa ra là nhằm để khắc phục vấn đề nói trên. Xin cám ơn sự
đóng góp ý kiến của anh em đồng nghiệp.
II. Tài liệu tham khảo.
[1] Nguyễn Đình Trí (Chủ Biên): Toán Cao Cấp, Tập II. NXB Giáo Dục
2000.
[2] Phạm Gia Hưng: Bài Giảng Toán Cao Cấp C2. Nha Trang 2004.
III. Nội dung.
1. Hạng của ma trận.
Định nghĩa 1. Cho A∈Mat(m×n). Ta gọi
(i) Định thức con cấp k của A là định thức được suy từ A bằng cách bỏ đi
m - k hàng và cột. kn −
(ii) Hạng của A là cấp cao nhất trong các định thức con khác 0 của A,
ký hiệu
r(A) = rank(A)
và quy ước coi hạng của ma trận không là bằng 0.
1
Nhận xét. Nếu mọi định thức con cấp k của A đều bằng không, thì mọi
định thức con có cấp cao hơn k của A cũng đều bằng không. Từ định nghĩa
suy ra
• r(A) = r ⇔ A tồn tại có ít nhất một định thức con cấp r khác 0 và mọi
định thức con cấp r+1 đều bằng 0.
• Nếu A∈Mat(m×n), A
≠
O, thì
(
)
{
}
.,min0 nm
A
r
≤
<
• Nếu A∈Mat(n×n), thì r(A) = n ⇔ detA ≠ 0 hay r(A) < n ⇔ detA =0.
Định lý 1. Hạng của ma trận không thay đổi qua các phép biến đổi sơ
cấp. Nói cách khác, nếu với ma trận A ta thực hiện một số phép biến đổi
sơ cấp để tới ma trận T thì
(
)
(
)
Trr
A
=
.
Chứng minh. Dựa vào định nghĩa hạng của ma trận và các tính chất của
định thức.
Định nghĩa 2. Ma trận bậc thang là ma trận có hai tính chất như sau
(i) Các hàng khác 0 luôn ở trên các hàng bằng 0.
(ii) Trên hai hàng khác 0 thì phần tử khác 0 đầu tiên ở hàng dưới bao
giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử khác 0 đầu tiên ở hàng trên.
Ví dụ. Các ma trận sau đây là ma trận bậc thang
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
0000
1000
2210
1111
; ; .
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
00000
00000
154610
50231
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
0100
4220
3121
Nhận xét.
(n1) Hạng của ma trận bậc thang bằng số hàng khác 0 của nó.
(n2) Dựa vào định lý trên, ta có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp trên
các hàng của ma trận để đưa ma trận A về ma trận bậc thang.
Ví dụ. Tìm hạng của ma trận A bằng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
(v1)
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−
⎯⎯⎯⎯→⎯
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
=−→ −→ −→
2210
3210
2210
1111
4412
4301
1121
1111
144
133
122
2HHH
HHH
HHH
A
T
HHH
HHH
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
⎯⎯⎯⎯→⎯+→ +→
0000
1000
2210
1111
244
233
.
Vậy r(A) = r(T) = 3.
(v2)
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎯⎯⎯⎯→⎯
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
=−→ +→ −→
154610
154610
27500
50231
204841
54252
127962
50231
144
133
122 2
2
HHH
HHH
HHH
A
2
T
HHH
HH
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎯⎯⎯⎯→⎯−→
↔
00000
27500
154610
50231
244
32
.
Vậy r(A) = r(T) = 3.
2. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính.
Xét hệ phương trình tuyến tính
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
..........................................
...
...
2211
22222121
11212111
(*)
trong đó ),1;,1( , njmiba iij == là các hằng số cho trước thuộc K (K=R,C). Ký
hiệu
,
21
22221
11211
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
L
MLMM
L
L
,
21
222221
111211
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
A
L
MMLMM
L
L
,
2
1
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
n
x
x
x
XM
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
m
b
b
b
BM
2
1
.
Ta gọi A là ma trận hệ số,
A
là ma trận mở rộng của hệ (*). Khi đó
hệ (*) có thể viết dưới dạng ma trận
AX = B.
Định nghĩa 3. Phép biến đổi sơ cấp trên một hệ phương trình tuyến tính
là một trong các phép biến đổi sau
(p1) Đổi chỗ hai phương trình của hệ cho nhau.
(p2) Nhân một phương trình của hệ với một số khác không.
(p3) Cộng vào một phương trình với một phương trình khác của hệ.
Dễ thấy rằng, việc thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên một hệ
phương trình, ta đi tới một hệ phương trình tương đương với hệ đã cho.
Định lý 2.
(i) Hệ (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
(
)
(
)
.aån soá== ArAr
(ii) Hệ (*) có vô số nghiệm khi và chỉ khi
(
)
(
)
. aån soá<= ArAr
(iii) Hệ (*) vô nghiệm khi và chỉ khi
(
)
)
.ArAr <
Nhận xét. Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hệ phương trình tuyến
tính thực chất là thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma
trận mở rộng
A
của hệ. Việc thực hiện đó sẽ đưa
A
về một ma trận bậc
thang và tương ứng với ma trận này là hệ phương trình tương đương với
hệ ban đầu nhưng dễ giải hơn.
Ví dụ. Giải hệ phương trình (trong trường hợp có tham số m, hãy giải và
biện luận)
3
(v1)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=−+
=−++−
−=+−+
=−+−
81033
5322
3533
2432
tzx
tzyx
tzyx
t
z
y
x
(v2)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=++−
−=+−+
=−−−
=−++
11232
5223
2322
1232
tzyx
tzyx
tzyx
t
z
y
x
(v3)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=−++
=−++
−=+−+
=+−+
47432
5253
122133
1532
tzyx
tzyx
tzyx
t
z
y
x
(v4)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=++
=++
1
1
1
mzyx
zmyx
zymx
Lời giải.
(v1) Ta có
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−
−
−−
⎯⎯⎯⎯→⎯
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−
−
−−
=−→ +→ −→
2
9
9
2
2660
11830
131490
4321
8
5
3
2
10303
3212
1533
4321
144
133
122
3
2
3
HHH
HHH
HHH
A
T
HHHHHH
HHH
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−−
⎯⎯⎯⎯→⎯
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−−
⎯⎯⎯⎯→⎯−→−→ +→
6
18
9
2
0000
201000
131490
4321
24
18
9
2
201000
201000
131490
4321
344244
233 23
3
.
Ma trận T ứng với một hệ phương trình tương đương với hệ phương
trình ban đầu; hệ phương trình này vô nghiệm vì
(
)
(
)
ArAr =<= 43 .
(v2) Ta có
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−−
−−
−
⎯⎯⎯⎯→⎯
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−−−
−
=−→ −→ −→
9
8
0
1
5470
81040
1850
2321
11
5
2
1
1232
2123
3212
2321
144
133
122
2
3
2
HHH
HHH
HHH
A
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−
−
⎯⎯⎯⎯→⎯
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−
−
⎯⎯⎯⎯→⎯−→
−→
−→ −→
35
20
0
1
90000
18900
1850
2321
45
40
0
1
183600
361800
1850
2321
344
33
244
233 4
2
1
75 45
HHH
HH
HHH
HHH
.
Hệ phương trình đã cho tương đương với
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=
=
−=
=
⇔
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=
=−
=+−−
=−++
18/7
18/26
18/43
18
/
12
3590
20189
085
1232
t
z
y
x
t
tz
tzy
t
z
y
x
.
Ta thấy hệ phương trình có duy nhất nghiệm vì
(
)
(
)
=== 4ArAr số ẩn.
(v3) Ta có
4
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−−
−
−
⎯⎯⎯⎯⎯→⎯
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
=−→ −→ −→
2
2
2
1
171010
171010
171010
5321
4
5
1
1
7432
2153
221331
5321
144
133
122
2
3
HHH
HHH
HHH
A
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
⎯⎯⎯⎯⎯→⎯+→ +→
0
0
2
1
0000
0000
171010
5321
244
233 HHH
HHH
.
Hệ phương trình đã cho tương đương với
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
−−=
++−=
⇔
⎩
⎨
⎧
−=+−
=+−+
yùtuyø ,
21710
52917
21710
15 3 2
tz
tzy
tzx
tzy
tzyx .
Hệ phương trình có vô số nghiệm vì
(
)
(
)
<== 2ArAr số ẩn.
(v4) Ta có
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎯⎯⎯→⎯
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=↔
1
1
1
11
11
11
1
1
1
11
11
11
31
m
m
m
m
m
m
AHH
1
21
0
1
110
110
11
133
122
A
mmm
mm
m
mHHH
HHH
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−−⎯⎯⎯⎯⎯→⎯−→ −→
.
• Th1: Nếu m = 1 thì ma trận A1 tương ứng với hệ phương trình có vô
số nghiệm
⎩
⎨
⎧
−
−−=
⇔=++ yù tuøy, zy
z
y
x
zyx 1
1
và
(
)
(
)
<== 1ArAr số ẩn.
• Th2: Nếu m ≠ 1thì
()( )
21
1
0
1
2100
110
11
233 A
mmm
mm
m
AHHH =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−+−
−−⎯⎯⎯⎯→⎯+→
* Th2a: Nếu m = -2 thì hệ đã cho vô nghiệm vì ứng với hàng thứ 3
của A2 là phương trình vô nghiệm 3000
=
+
+
z
y
x
hay nói cách khác do
(
)
(
)
ArAr =<= 32 .
* Th2b: Nếu m ≠ -2 thì hệ đã cho tương đương với hệ phương trình có
duy nhất nghiệm sau đây
()()
()
.
2
1
12
011
1
m
zyx
zm
zmym
mzyx
+
===⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=−+−
=++
và
()
()
=== 3ArAr số ẩn.
5