Hạt trong hộp một chiều

Chia sẻ: Phan Thi Ngoc Giau | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

57
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hàm sóng ở trạng thái tỉnh và các mức năng lượng của hêh một hạt trong không gian một chiều có thể được xác định thông qua việc giải phương trình Schroedinger

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hạt trong hộp một chiều

H t trong h p m t chi u Lý Lê Ngày 12 tháng 7 năm 2009 Tóm t t n i dung Hàm sóng tr ng thái tĩnh và các m c năng lư ng c a h m t h t trong không gian m t chi u có th đư c xác đ nh thông qua vi c gi i phương trình Schr¨dinger sau o 2 d2 ψ (x) − + V (x)ψ (x) = Eψ (x) (1) 2m dx2 Đây là m t phương trình vi phân, nên trư c h t chúng ta s tìm hi u m t s v n đ có liên quan đ n phương trình vi phân. 1 Phương trình vi phân Phương trình vi phân là m t phương trình ch a m t hàm n và các đ o hàm c a nó. Nghi m c a m t phương trình vi phân là hàm n ch không ph i là nh ng h ng s như trư ng h p c a phương trình đ i s . Ví d d2 y (x) dy (x) − 2y (x) = 0 + dx2 dx Phương trình trên ch a hàm n y (x) và các đ o hàm c a nó y (x), y (x). Nghi m c n tìm là y (x). Đây là m t phương trình vi phân b c hai. M t cách t ng quát, b c c a phương trình vi phân là b c đ o hàm cao nh t c a hàm n. V i nh ng áp d ng c a cơ h c lư ng t vào hóa h c, chúng ta thư ng ch quan tâm đ n nh ng phương trình vi phân d ng cơ b n đó là phương trình liên quan đ n bi n đ c l p x, bi n ph thu c y (x) và đ o hàm b c nh t, b c hai, . . . , b c n c a y f (x, y, y , y , . . . , y (n) ) = 0 (2) M t d ng đ c bi t c a phương trình vi phân là phương trình vi phân tuy n tính, có d ng An (x)y (n) + An−1 (x)y (n−1) + · · · + A0 (x)y = g (x) (3) 1
v i Ai (i = 0, 1, . . . , n) là hàm thay đ i theo bi n x. N u trong (3) g (x) = 0 thì ta có phương trình vi phân tuy n tính thu n nh t. Phương trình Schr¨dinger o không ph thu c th i gian, trong không gian m t chi u là m t phương trình vi phân tuy n tính thu n nh t b c hai. B ng cách chia cho h s c a y , ta có th bi n phương trình vi phân thu n nh t tuy n tính b c hai tr thành y + P (x)y + Q(x)y = 0 (4) N u y1 và y2 là nghi m c a (4) thì y = c1 y1 + c2 y2 (5) cũng là nghi m c a (4); y1 và y2 g i là nghi m riêng; y g i là nghi m t ng quát; c1 và c2 là các h ng s . Th t v y, ta có th ch ng minh (5) là nghi m c a (4) như sau. Th (5) vào (4), ta có c1 y1 + c2 y2 + P (x)c1 y1 + P (x)c2 y2 + Q(x)c1 y1 + Q(x)c2 y2 = 0 hay c1 [y1 + P (x)y1 + Q(x)y1 ] + c2 [y2 + P (x)y2 + Q(x)y2 ] = c1 0 + c2 0 = 0 do y1 và y2 là các nghi m c a (4) nên các bi u th c trong d u [ ] ph i b ng zero [y1 + P (x)y1 + Q(x)y1 ] = [y2 + P (x)y2 + Q(x)y2 ] = 0 Thông thư ng, nghi m t ng quát c a m t phương trình vi phân b c n s ch a n h ng s . Đ tìm nh ng h ng s đó, ta s ph i áp d ng các đi u ki n biên, trong đó đưa ra các giá tr c a y ho c đ o hàm c a y t i m t đi m ho c m t s đi m mà y ph i b ng zero. Chúng ta s bàn đ n đi u ki n biên cho phương trình Schr¨dinger trong ph n sau. o M t trư ng h p quan tr ng là phương trình vi phân thu n nh t tuy n tính b c hai v i h s không đ i y + py + qy = 0 (6) v i p và q là các h ng s . Đ gi i (6), ta gi s phương trình có nghi m là y = esx . T đó, ta có y (x) = sesx ; y (x) = s2 ex (7) Th (7) vào (6), ta đư c s2 esx + psesx + qesx = 0 (8) hay s2 + ps + q = 0 (9) 2
Phương trình (9) đư c g i là phương trình b tr (auxiliary equation ) c a (6). N u (9) có hai nghi m phân bi t là s1 và s2 thì nghi m t ng quát c a (6) là y = c1 es1 x + c2 es2 x (10) Ví d : Cho phương trình vi phân y (x) + 6y (x) − 7 = 0 Ta có phương trình b tr là s2 + 6s − 7 = 0 ⇒ s1 = 1; s2 = −7 Như v y, nghi m t ng quát c a phương trình vi phân đã cho y (x) = c1 ex + c2 e−7x v i c1 và c2 là nh ng h ng s . 2 H t trong h p m t chi u H t trong h p (h t trong gi ng th vô h n) là bài toán liên quan đ n s chuy n đ ng c a m t h t trong m t gi ng th sâu vô h n. Bên trong h p, không có b t c l c nào tác d ng lên h t. Th năng bên trong h p đư c gi s b ng zero và bên ngoài h p là vô cùng. V i đi u ki n này thì h t b "nh t" hoàn toàn trong h p. Đ đơn gi n, chúng ta xét trư ng h p h t chuy n đ ng trong không gian m t chi u. V =∞ V =∞ 6 6 I II III -x x=0 x=l M t h đư c mô t như trên có v không th c t v m t v t lí, tuy nhiên chúng ta s th y r ng đây là m t mô hình có th áp d ng cho các phân t liên h p.1 Chúng ta c n xét 3 vùng. Đ i v i vùng I và vùng III , vùng có th năng b ng vô cùng, phương trình Schr¨dinger (1) cho nh ng vùng này là o d2 ψ (x) 2m + 2 [E − ∞]ψ (x) = 0 (11) dx2 1 phân t có electron π có th di chuy n trên toàn b phân t , ví d butadiene, benzene 3
B qua E so v i ∞, ta có d2 ψ = ∞ψ (12) dx2 1 d2 ψ ⇒ψ= (13) ∞ dx2 Như v y, ta k t lu n r ng ψ b ng zero t c là b tri t tiêu bên ngoài h p ψI = ψIII = 0 (14) Chúng ta không tìm th y h t bên ngoài h p vì ∗ ∗ ψI ψI = ψIII ψIII = 0 Đ i v i vùng II , x t 0 đ n l, th năng V = 0, phương trình Schr¨dinger o tr thành d2 ψ (x) 2m + 2 Eψ (x) = 0 (15) dx2 V i m là kh i lư ng c a h t và E là t ng năng lư ng c a h . Ta th y (15) là m t phương trình vi phân thu n nh t tuy n tính b c hai v i h s không đ i. Nghi m c a nó có d ng ψ (x) = esx (16) T (16) l y đ o hàm b c nh t ψ (x) r i b c hai ψ (x) và th vào (15), ta đư c [s2 + 2mE/ 2 ]esx = 0 (17) vì esx > 0 v i m i giá tr x nên (17) b ng không khi [s2 + 2mE/ 2 ] = 0 (18) Vy √ s = ± −2mE/ (19) Năng lư ng E b ng th năng c ng v i đ ng năng, v i th năng b ng zero còn đ ng năng thì l n hơn không; do đó E có giá tr dương. Như v y s có giá tr o, ta có th vi t dư i d ng √ s = ±i 2mE/ (20) V y nghi m t ng quát c a (15) là √ √ + c2 e−i( ψ = c1 ei( 2mE/ )x 2mE/ )x (21) √ Đ t θ = ( 2mE/ )x. Ta có ψ = c1 eiθ + c2 e−iθ (22) 4
T phương trình d ng mũ c a s ph c (cos θ + i sin θ) = eiθ (23) Ta suy ra ψ = c1 cos θ + ic1 sin θ + c2 cos θ − ic2 sin θ (24) hay ψ = (c1 + c2 ) cos θ + (ic1 − ic2 ) sin θ = A cos θ + B sin θ (25) V i A và B là nh ng h ng s m i. Như v y √ √ ψII = A cos[( 2mE/ )x] + B sin[( 2mE/ )x] (26) cũng là nghi m t ng quát c a (15). Bây gi chúng ta xác đ nh A và B b ng cách áp d ng đi u ki n biên. Trư c h t, chúng ta yêu c u hàm sóng liên t c t i m i đi m trên tr c x. N u ψ liên t c t i x = 0, thì ta có lim ψI = lim ψII (27) x→0 x→0 Vì ψI = 0, nên lim ψII = 0 (28) x→0 hay √ √ lim A cos[( 2mE/ )x] + B sin[( 2mE/ )x] = A cos 0 + B sin 0 = 0 x→0 V i cos 0 = 1 và sin 0 = 0, ta tìm đư c m t giá tr là A = 0. Ti p theo, chúng ta xác đ nh B . V i A = 0, phương trình (26) tr thành √ ψII = B sin[( 2mE/ )x] (29) Áp d ng ti p đi u ki n liên t c t i x = l, ta có √ B sin[( 2mE/ )l] = 0 (30) Giá tr B không th b ng zero, vì như th hàm sóng s b ng zero t i m i đi m, trong h p s không ch a gì c . Do đó √ sin[( 2mE/ )l] = 0 (31) √ ⇒ ( 2mE/ )l = ±nπ (32) trong đó n = 1, 2, 3, . . . Ta không nh n giá tr n = 0 vì n u n = 0 thì E = 0 d2 ψII dψII và khi đó phương trình Schr¨dinger tr thành o = 0, nên = c và 2 dx dx ψII = cx + d, v i c và d là nh ng h ng s . Đi u ki n biên cho ta ψII = 0 t i 5
x = 0 thì d = 0; đi u ki n biên cho ta ψII = 0 t i x = l thì c = 0. Như th hàm sóng s b ng zero t i m i đi m. V y E = 0 là m t giá tr năng lư ng không đư c phép. Th = h/2π vào (32), ta đư c √ [ 2mE (2π )/h]l = ±nπ (33) h2 ⇒ E = n2 (34) 8ml2 Ch nh ng giá tr năng lư ng đư c tính theo (34) m i cho phép ψ th a mãn đi u ki n biên (liên t c) t i x = l. Nhìn vào (34) ta th y giá tr năng lư ng đư c lư ng t hóa , ch nh n nh ng giá tr gián đo n ch không liên t c. Đây là đi m khác bi t rõ ràng gi a cơ h c c đi n và cơ h c lư ng t . Theo cơ h c c đi n, năng lư ng c a h t trong h p nh n m i giá tr không âm tùy ý. Chú ý là giá tr năng lư ng nh nh t c a h t luôn l n hơn zero. Tr ng thái có năng lư ng th p nh t đư c g i là tr ng thái cơ b n (ground state). Nh ng tr ng thái có năng lư ng l n hơn tr ng thái cơ b n đư c g i là tr ng thái kích thích (excited states). Ví d : M t h t có kh i lư ng 2, 00 × 10−26 g chuy n đ ng trong m t h p dài 4, 00 nm. Tính đ dài sóng c a photon mà h t này h p th khi nó chuy n t m c năng lư ng n = 2 lên n = 3. Hư ng d n: B i vì năng lư ng đư c b o toàn, nên năng lư ng E = hν c a photon b h p th ph i b ng chênh l ch năng lư ng gi a hai tr ng thái. Do đó, ta có (n2 − n2 )h2 hν = E4 − E3 = 3 2 8ml2 hay (n2 − n2 )h ν = E4 − E3 = 3 2 8ml2 Th các giá tr bài toán đã cho vào, ta đư c: (32 − 22 )(6, 626 × 10−34 Js) = 1, 29 × 10−12 s−1 ν= 8(2 × 10−29 kg )(4, 00 × 10−9 m)2 Vì v n t c c a ánh sáng c = νλ, ta suy ra λ = 2, 32 × 10−4 m. Ngư c l i, khi h t chuy n t m c năng lư ng n = 3 v m c năng lư ng n = 2 nó s phát ra m t photon có t n s là ν = 1, 29 × 10−12 s−1 . Cu i cùng, chúng ta xác đ nh giá tr B . Th (33) vào (30), ta có phương trình sóng trong vùng II như sau nπx nπx ψII = B sin(± ) = ±B sin( ) (35) l l vì sin(−θ) = − sin(θ). 6
Áp d ng đi u ki n chu n hóa ∞ ∞ |Ψ|2 dx = |ψ |2 dx = 1 (36) −∞ −∞ hay ∞ 0 l |ψI |2 dx + |ψII |2 dx + |ψIII |2 dx = 1 (37) −∞ 0 l vì ψI = ψIII = 0, nên (37) tr thành l nπx |B |2 sin2 ( )dx = 1 (38) l 0 Áp d ng 2 sin2 x = 1 − cos 2x (39) 1 cos axdx = sin ax (40) a ta tính đư c 2 B=± (41) l 2 2 và B = − Theo nguyên lí ch ng ch t, hai tr ng thái ng v i B = là l l 2 tương đương nhau. Đ đơn gi n, chúng ta ch n B = . V y phương trình l sóng trong vùng II có d ng 2 nπx ψ= sin( ) (n = 1, 2, 3, . . .) (42) l l Tóm l i, phương trình Schr¨dinger c a h t trong h p m t chi u đã đư c o gi i m t cách chính xác b ng th thu t toán h c thu n túy k t h p v i các đi u ki n biên. K t qu , năng lư ng c a h và hàm sóng mô t tr ng thái c a h đư c xác đ nh như sau 2 nπx ψn = sin( ) l l h2 En = n2 8ml2 Trong đó, n = 1, 2, 3, . . . đư c g i là s lư ng t . V i các giá tr n khác nhau, ta có nh ng hàm sóng và nh ng m c năng lư ng khác nhau. Hàm sóng có th b ng zero t i m t s đi m. Nh ng đi m này đư c g i là nodes . Khi đi qua các nodes, hàm sóng s đ i d u. Ví d , xét n = 2, ta có 2 2πx 2πx )=0 ⇒ ψ2 = sin( = kπ l l l 7
T đó, ta có x k =2× (k = 0, 1, 2, . . .) l zero. Vì x ≤ l, nên đ k Khi x = 0 và x = l thì hàm sóng hi n nhiên b ng x 1 x 1 nh n giá tr nguyên thì = . Th t v y, khi = , ta có l 2 l 2 1 k =2× =1 2 l Nghĩa là hàm sóng có m t node t i x = . Tương t , v i n = 3, ta có 2 x k =3× (k = 0, 1, 2, . . .) l x 1 x 2 Hàm sóng b ng zero t i = (k = 1) và t i = (k = 2). Như v y, khi l 3 l 3 n = 3, hàm sóng có 2 nodes. M t cách t ng quát, s nodes c a hàm sóng là (n − 1). 3 Tính chu n hóa và tr c giao c a hàm sóng Tùy thu c vào giá tr c a s lư ng t n, ta s có m t b các hàm sóng; m i hàm sóng có m t giá tr năng lư ng tương ng và đư c đ c trưng b i s lư ng t n. Đ t ψi là hàm sóng ng v i giá tr ni , và ψj là hàm sóng ng v i giá tr nj . Trong vùng 0 < x < l, ta có nj πx 2 ni πx 2 ψi = sin( ) ψj = sin( ) (43) l l l l Ta có ∞ l nj πx 2 ni πx 2 ∗ ψi ψj dx = sin( ) sin( )dx (44) l l l l −∞ 0 n u i = j thì ∞ l 2 ni πx 2 ni πx ∗ ψi ψi dx = sin( ) sin( )dx = 1 (45) l l l l −∞ 0 Khi i = j , ta có ∞ l nj πx 2 ni πx 2 ∗ ψi ψj dx = sin( ) sin( )dx (46) l l l l −∞ 0 πx Đ tt= , ta có khi x = 0 thì t = 0; khi x = l thì t = π ; và l π l dx ⇒ dx = dt dt = l π 8
Do đó, (46) tr thành ∞ π 2l ∗ ψi ψj dx = sin(ni t) sin(nj t)dt (47) lπ −∞ 0 Áp d ng công th c 1 1 cos[(ni − nj )t] − cos[(ni + nj )t] sin(ni t) sin(nj t) = (48) 2 2 ta đư c ∞ π π 2 1 2 1 ∗ cos[(ni − nj )t]dt − ψi ψj dx = cos[(ni + nj )t]dt = 0 (49) π 2 π 2 −∞ 0 0 vì sin(kπ ) = 0 v i m i giá tr nguyên k . Như v y, khi i = j , thì ∞ ∗ ψi ψj dx = 0 (50) −∞ Ta nói r ng ψi và ψj tr c giao v i nhau khi i = j . K t h p (45) và (50), ta đư c ∞ ∗ ψi ψj dx = δij (51) −∞ Kí hi u δij đư c g i là hàm Kronecker delta (Kronecker là tên m t nhà toán h c); nó b ng 1 khi i = j và b ng zero khi i = j . 0 n ui=j δij = (52) 1 n ui=j Nh ng hàm tuân theo phương trình (52) đư c g i là hàm tr c chu n , nghĩa là v a tr c giao v a chu n hóa. Hàm sóng c a h t trong h p đã đư c ch ng minh là chu n hóa và tr c giao. Tính tr c chu n c a các hàm sóng s đư c ch ng minh m t cách t ng quát hơn trong nh ng ph n sau. 4 Ph electron c a phân t liên h p M t cách g n đúng khá thô sơ, chúng ta có th xem các electron π trong nh ng phân t liên h p như đang chuy n đ ng trong h p m t chi u. Chi u dài c a h p và c a phân t g n b ng nhau. Theo nguyên lý Pauli, m i "h p" ch a t i đa hai electron v i spin ngư c nhau. Khi b kích thích, ví d b i ánh sáng, electron s di chuy n t "h p" có năng lư ng th p lên "h p" có năng lư ng cao hơn. Năng lư ng c n cung c p đ đưa m t electron t m c năng lư ng En lên m c năng lư ng En+1 là ∆E = En+1 − En h2 h2 = (n + 1)2 − n2 8ml2 8ml2 2 h = [(n + 1)2 − n2 ] 8ml2 9
D a vào s chênh l ch năng lư ng trên, ta có th tính đư c đ dài sóng c a photon đã b h p th . Chúng ta l y phân t CH2 = CH − CH = CH2 làm ví d minh h a. Ta th y phân t có hai liên k t π . Như v y, có t t c b n electron π chuy n đ ng trên toàn b phân t có chi u dài là l. Theo th c nghi m, chi u dài c a phân t là 7, 0 ˚ A. tr ng thái cơ b n, b n electron π này s đư c phân b vào hai "h p" ng v i n = 1 và n = 2. V y, "h p" có năng lư ng ti p theo không ch a electron ng v i n = 3. Khi b kích thích, m t electron s di chuy n t m c năng lư ng n = 2 lên m c năng lư ng n = 3. Năng lư ng c n cung c p cho s di chuy n này là h2 ∆E = [32 − 22 ] 8ml2 6, 63 × 10−34 Js = 5× [8 × 9, 11 × 10−31 kg ] × [(7, 0 × 10−10 m)2 ] = 6, 15 × 10−19 J N u năng lư ng đư c cung c p dư i d ng ánh sáng thì hc hc ⇒λ= ∆E = hν = = 323 nm λ ∆E Ánh sáng này thu c vùng t ngo i. Ta có th k t lu n h p ch t này không màu. T bi u th c h2 hc ∆E = [(n + 1)2 − n2 ] = 2 8ml λ ta th y khi l càng l n thì năng lư ng c a photon b h p th càng nh và do đó đ dài sóng λ càng l n. Khi m ch liên h p càng dài, ánh sáng b h p th s càng g n v i vùng kh ki n hơn ho c cũng có th thu c vùng kh ki n. Khi đó h p ch t có th có màu. Xác su t tìm th y h t và s lư ng t n 5 Xét m t h t trong h p chi u dài l đang tr ng thái đư c mô t b i hàm sóng 2 nπx ψn = sin l l Xác su t tìm th y h t trong vùng (0 ≤ x ≤ l/4) đư c tính như sau l/4 2 nπx 2 P= sin dx (53) l l 0 Ta có 1 sin2 x = (1 − cos 2x) 2 10
Do đó 2 l/4 1 2nπx 1 − cos P = dx l0 2 l 2x l 2nπx l/4 − = sin l 2 4nπ l 0 1 1 nπ − = sin 4 2nπ 2 Như v y, xác su t tìm th y h t ph thu c vào s lư ng t n. n P 1 1 1 1 − ×1= − 1 4 2π 4 2π 1 1 1 − ×0= 2 4 4π 4 1 1 1 1 − × (−1) = + 3 4 6π 4 6π 1 1 1 − ×0= 4 4 8π 4 1 1 1 1 − ×1= − 5 4 10π 4 10π 1 1 1 − × (0) = 6 4 6π 4 1 1 1 1 − × (−1) = + 7 4 14π 4 14π 1 1 1 − × (0) = 6 4 8π 4 Ta th y, xác su t tìm th y h t l n nh t khi n = 3. Khi n càng l n thì xác 1 su t càng g n v i . Nghĩa là cơ h c lư ng t và cơ h c c đi n g n như 4 gi ng nhau trong gi i h n c a s lư ng t n l n.2 2 Nguyên lý tương ng Bohr 11
Bài t p 1. Tìm nghi m t ng quát c a phương trình y (x) + y (x) − 2y (x) = 0. 2. Cho phương trình y + P (x)y + Q(x)y = 0 Đ t y = esx . N u s1 = s2 = s thì chúng ta ch m i tìm đư c m t nghi m là y = esx . Ch ng t r ng trong trư ng h p này y = xesx là nghi m th hai và nghi m t ng quát là y = esx + xesx . 3. M t h t trong h p đang tr ng thái 2 nπx ψn = sin( ) (n = 1, 2, 3, . . .) a a a) Tính xác su t tìm th y h t trong đo n 0, 5a ≤ x ≤ 0, 75a; v i a là chi u dài c a h p. b) Gi s các tr ng thái ψs và ψa c a h t đư c mô t như sau ψs = cs (ψ1 + ψ2 ) 1 ψa = ca (ψ1 − √ ψ2 ) 2 D a vào đi u ki n chu n hóa và tr c giao c a ψn , ψs và ψa hãy xác đ nh các h s cs và ca . 4. Xét m t electron di chuy n trong m t h p dài 1,0 ˚ Cho bi t chênh l ch A. năng lư ng gi a hai m c th p nh t? Tính đ dài sóng c a photon có năng lư ng đúng b ng năng lư ng chênh l ch này. Photon này n m trong vùng nào c a sóng đi n t ? 5. M t cách g n đúng chúng ta có th xem các electron π trong các h p ch t liên h p gi ng như h t trong h p. Áp d ng mô hình h t trong h p, d đoán đ dài sóng c a ánh sáng b h p th khi m t electron π b kích thích − và di chuy n lên m c năng lư ng g n nh t cho anion CH2 CHCHCHCH2 . Chúng ta có th tính chi u dài c a h p d a vào đ dài các liên k t C = C là 1,35; C − C là 1,54; và C − H là 0,77 ˚ A. 12