JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE
Educational Sci. 2011, Vol. ...No.... pp...
SÛ DÖNG H THÙC LÜÑNG TRONG
TAM GIC VUÆNG VO DY HÅC GII BI TON
CU PH×ÌNG CC HNH PHDZNG V DÜNG Ç THÀ HM SÈ
Chu Trång Thanh
Tr÷íng ¤i håc Vinh
E-mail: thanhchu1951@gmail.com
Tâm tt.
Bi b¡o tr¼nh by c¡ch nh¼n nhªn c¡c h» thùc l÷ñng trong tam
gi¡c vuæng theo quan iºm c§u tróc trong Lþ thuy¸t ph¡t sinh nhªn thùc
cõa J. Piaget. Tr¶n cì sð â lm rã mèi li¶n h» giúa c¡c h» thùc ny vîi c¡c
v§n · c¦u ph÷ìng c¡c h¼nh ph¯ng v sû döng º düng ç thà cõa mët hm
sè câ li¶n quan °c bi»t vîi vîi mët hay hai hm sè ¢ cho.
1. Mð ¦u
Mët trong nhúng h» thùc l÷ñng trong tam gi¡c vuæng ÷ñ c nh¥n lo¤i bi¸t ¸n
trong thíi gian ¦u cõa giai o¤n to¡n hå c sì c§p l ành lþ Pitago. Còng vîi ành
lþ Pitago, trong mët tam gi¡c cán câ nhúng h» thùc l÷ñng kh¡c. Trong th¸ k V
tr÷î c cæng nguy¶n (TCN) c¡c nh to¡n hå c Hyl¤p ¢ nghi¶n cùu c¡c bi to¡n chia
ba mët gâ c cho tr÷î c, düng mët h¼nh vuæng câ di»n t½ch b¬ng di»n t½ch cõa mët
h¼nh vuæng cho tr÷î c v bi to¡n döng mët h¼nh lªp ph÷ìng câ thº t½ch g§p hai
l¦n thº t½ch cõa mët h¼nh lªp ph÷ìng cho tr÷î c. C£ ba bi to¡n ny ·u ÷ñ c gi£
thi¸t l ch¿ ÷ñ c sû döng th÷î c v compa. ¥y công l ba bi to¡n khæng gi£i ÷ñc
nh÷ng vi»c chùng minh t½nh khæng gi£i ÷ñ c cõa chóng m¢i tîi th¸ k¿ XVI I I v
XIX c¡c nh to¡n håc mîi thüc hi»n ÷ñc. Gi¡o vi¶n câ thº khai th¡c c¡c mèi quan
h» cõa h» thüc l÷ñng trong tam gi¡c vuæng vo vi»c t¤o t¼nh huèng gñi v§n ·, gñi
ëng cì ho¤t ëng vo vi»c tê chùc cho håc sinh ph¡t hi»n hay ùng döng cõa ành
lþ Pitago v c¡c h» thùc l÷ñng trong tam gi¡c vuæng khi d¤y hå c nhúng ki¸n thùc
ny ð tr÷íng phê thæng.
2. Nëi dung nghi¶n cùu
2.1. ành lþ Pitago
t câ mët ành lþ no trong to¡n hå c sì c§p læi cuèn ÷ñ c sü quan t¥m cõa
nhi·u ng÷ìi nh÷ ành lþ Pitago. Trong t÷ li»u làch sû to¡n cõa ng÷íi Trung Què c,
ành lþ ny cán ÷ñc gåi l ành lþ Cao Th÷ìng v ÷ñ c ghi ch²p trong s¡ch Cûu
1
ch÷ìng to¡n thuªt do nh to¡n hå c Tr¦n Sanh bi¶n soan tø n«m 152 (TCN). C¡c
t÷ li»u làch sû to¡n ·u cho r¬ng ch½nh Pitago ¢ kh¡m ph¡ v chùng minh ành lþ
ny tø th¸ k¿ VI (TCN):
"Trong mët tam gi¡c vuæng vîi ë di c¤nh huy·n l a, ë di c¡c c¤nh gâ c
vuæng l b v c ta luæn câ h» thùc
a2=b2+c2
".
Theo quan iºm c§u tróc nhªn thùc trong lþ thuy¸t cõa J. Piaget, méi biºu
thùc d¤ng
x2
ta luæn câ thº coi l sè o di»n t½ch cõa mët h¼nh vuæng c¤nh l
|x|
.
Nh¼n nhªn v§n · nh÷ vªy th¼ h» thùc
a2=b2+c2
câ ngh¾a l tçn t¤i mët h¼nh
vuæng câ di»n t½ch b¬ng têng di»n t½ch cõa hai h¼nh vuæng cho tr÷î c. N¸u vi¸t l¤i
h» thùc tr¶n d÷îi d¤ng
a2−b2=c2
chóng ta l¤i câ thº nâi ¸n sü tçn t¤i mët h¼nh
vuæng câ di»n t½ch b¬ng hi»u di»n t½ch cõa hai h¼nh vuæng cho tr÷î c. Vîi c¡ch vi¸t
¯ng thùc
a2−b2=c2
thnh
c2= (a−b).(a+b)
, ta l¤i câ thº nâi ¸n sü tçn t¤i
cõa mët h¼nh vuæng câ di»n t½ch b¬ng di»n t½ch mët h¼nh chú nhªt cho tr÷îc. ành
lþ Pitago khæng ch¿ kh¯ng ành sü tçn t¤i cõa h¼nh vuæng nh÷ vªy m cán ch¿ ra
c¡c c¤nh cõa c¡c h¼nh vuæng ny lm thnh 3 c¤nh cõa mët tam gi¡c vuæng.
Nh¼n nhªn v§n · nh÷ vªy, c¡c h» thùc
a2=b2+c2
v
a2−b2=c2
ny câ
nëi dung l bi to¡n c¦u ph÷ìng mët têng hay hi»u (di»n t½ch) cõa hai h¼nh vuæng
cho tr÷î c. Ch½nh vi»c chùng minh ành lþ Pitago ¢ thüc hi»n theo c¡ch quan ni»m
ny. Chóng ta công câ thº mð rëng v§n · cho bi to¡n: Düng mët h¼nh vuæng câ
di»n t½ch b¬ng têng di»n t½ch cõa n h¼nh vuæng cho tr÷î c. Rã rng câ thº sû döng
ành lþ Pitago n-1 l¦n ta i ¸n líi gi£i. Công câ thº chùng minh chi ti¸t i·u ny
b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p to¡n hå c.
C¡ch chùng minh ÷ñc xem l cõa Pitago công r§t ëc ¡o: ct gh²p c¡c h¼nh
v dòng cæng thùc t½nh di»n t½ch cõa c¡c h¼nh ìn gi£n º suy ra h» thùc trong tam
gi¡c vuæng:
a2=b2+c2
, trong â a l sè o c¤nh huy·n,
b, c
l sè o hai c¤nh gâc
vuæng cõa còng mët tam gi¡c vuæng. C¡ch chùng minh cõa Pitago ngy ny ÷ñ c
giîi thi»u trong h¦u h¸t c¡c s¡ch gi¡o khoa to¡n trung håc cì sð (xem [1]). i·u
¡ng nâi l ngoi c¡ch chùng minh cõa Pitago ng÷íi ta ¢ thèng k ÷ñ c 370 c¡ch
chùng minh kh¡c cõa ành lþ ny. â qu£ l mët k¿ löc! Công c¦n nâi th¶m r¬ng
ành lþ Pitago cán giú mët sè k¿ löc kh¡c nh÷:
- Thíi gian loi ng÷íi t¼m ki¸m th¶m c¡c chùng minh l¥u nh§t: tø th¸ k VI
(TCN) ¸n th¸ k¿ XX sau cæng nguy¶n (n«m 1917).
- Thnh ph¦n nhúng ng÷íi tham gia t¼m ki¸m c¡ch chùng minh a d¤ng nh§t:
câ c¡c nh to¡n håc nh÷ Pitago, Ìclit, câ nhúng ng÷íi lao ëng ch¥n tay, c£ håa
s¾ løng danh Leonard de Vinci v câ c£ ch½nh trà gia nêi ti¸ng l têng thèng James
Garfield cõa n÷î c Mÿ.
- Ph÷ìng ph¡p chùng minh sì c§p nh§t v ÷ñ c sû döng l°p l¤i nhi·u l¦n
nh§t: trong sè 370 c¡ch chùng minh h¦u h¸t ·u dòng ph÷ìng ph¡p ct gh²p h¼nh.
V¼ vªy vi»c t¼m l¤i nhúng c¡ch ct gh²p h¼nh vuæng t÷ìng ùng vîi c¡c c¡ch
chùng minh ành lþ Pitago s³ l i·u thó và v húu ½ch khi d¤y hå c sinh kh¡m ph¡
ành lþ ny.
2.2. H» thùc l÷ñng trong tam gi¡c vuæng v c¡c bi to¡n c¦u
ph÷ìng c¡c h¼nh ph¯ng
Còng vîi ành lþ Pitago, trong tam gi¡c vuæng ABC vîi c¤nh huy·n a, c¤nh
gâ c vuæng b, c, ÷íng cao thuë c c¤nh huy·n l h, h¼nh chi¸u cõa b, c l¶n c¤nh huy·n
t÷ìng ùng l b' v c', ta cán câ mët sè h» thùc l÷ñng kh¡c nh÷:
b2=a.b0
(2.1)
c2=a.c0
(2.2)
h2=b0.c0
(2.3)
...
Thüc ch§t c¡c h» thùc ny t÷ìng tü nh÷ nhau n¶n ch¿ c¦n quan t¥m mët h»
thùc l ÷ñ c, ch¯ng h¤n ta x²t (2.3). Theo quan iºm c§u tróc trong lþ thuy¸t cõa
J. Piaget, câ thº nh¼n h» thùc (2.3) nh÷ l
h:b0=c0:h
; công câ thº nh¼n nhªn h»
thùc (2.3) vîi þ ngh¾a ë di cõa mët trong ba o¤n th¯ng (
h
) l trung b¼nh nh¥n
cõa ë di hai o¤n kia (
b0
v
c0
); l¤i công câ thº nh¼n nhªn (2.3) vîi þ ngh¾a di»n
t½ch cõa h¼nh vuæng c¤nh h b¬ng di»n t½ch h¼nh chú nhªt c¤nh
b0
v
c0
. Méi c¡ch
nh¼n nhªn tr¶n ¥y cho ta mët sü thº hi»n cõa c§u tróc nhªn thùc ùng vîi h» thùc
(2.3).
Sau ¥y chóng tæi sû döng c¡ch nh¼n nhªn thù ba vøa n¶u ð tr¶n º x²t bi
to¡n c¦u ph÷ìng mët sè h¼nh ph¯ng.
Bi to¡n 1.
Düng mët h¼nh vuæng câ di»n t½ch b¬ng di»n t½ch cõa mët h¼nh
chú nhªt cho tr÷î c.
Sû döng h» thùc (2.3) s³ câ ÷ñ c líi gi£i bi to¡n ny. Khi coi c¡c c¤nh cõa
h¼nh chú nhªt cho tr÷îc l b' v c' th¼ sû döng (2.3) ta câ c¤nh h¼nh vuæng c¦n
düng ch½nh l ÷íng cao h trong tam gi¡c vuæng câ c¤nh huy·n l
a=b0+c0
v
b0, c0
l h¼nh chi¸u cõa c¡c c¤nh gâ c vuæng l¶n c¤nh huy·n.
Bi to¡n 2.
Düng mët h¼nh vuæng câ di»n t½ch b¬ng di»n t½ch cõa mët tam
gi¡c cho tr÷î c.
Rã rng vîi tam gi¡c câ c¤nh ¡y a v ÷íng cao t÷ìng ùng l h ta câ di»n
t½ch
S
cõa nâ ÷ñ c t½nh theo cæng thùc
S=ah
2=ah
2=a
2h
. Nh÷ vªy công câ thº
coi
S
l di»n t½ch cõa mët h¼nh chú nhªt câ c¡c c¤nh l
a
v
h
2
ho°c c¤nh l
a
2
v
c¤nh kia l
h
. Theo c¡ch di¹n ¤t ny bi to¡n c¦u ph÷ìng mët h¼nh tam gi¡c ÷a
v· bi to¡n düng h¼nh chú nhªt câ di»n th½ch b¬ng di»n t½ch h¼nh tam gi¡c ¢ cho
v bi to¡n c¦u ph÷ìng mët h¼nh chú nhªt.
Bi to¡n 3.
Düng mët h¼nh vuæng câ di»n t½ch b¬ng di»n t½ch mët h¼nh a
gi¡c cho tr÷î c.
º gi£i bi to¡n ny ta c¦n dòng c¡c ÷íng ch²o cõa h¼nh a gi¡c ¢ cho º
ph¥n chia mi·n trong cõa a gi¡c thnh hñp cõa c¡c mi·n tam khæng ± l¶n nhau
(tùc l khæng câ iºm trong chung). Khi â di»n t½ch cõa a gi¡c b¬ng têng cõa
di»n t½ch c¡c tam gi¡c ÷ñc t¡ch ra trong ph²p ph¥n chia tr¶n. Bi to¡n c¦u ph÷ìng
h¼nh a gi¡c ¢ cho ÷a v· bi to¡n düng h¼nh vuæng câ di»n t½ch b¬ng têng di»n
t½ch cõa c¡c tam gi¡c ¢ cho. V¼ vi»c c¦u ph÷ìng méi tam gi¡c thüc hi»n ÷ñ c nhí
Bi to¡n 2 ð tr¶n n¶n bi to¡n c¦u ph÷ìng mët a gi¡c l¤i trð thnh v§n · düng
h¼nh vuæng câ di»n t½ch b¬ng têng di»n t½ch cõa c¡c h¼nh vuæng cho tr÷îc. V§n ·
ny ÷ñ c gi£i quy¸t b¬ng c¡ch sû döng ành lþ Pitago còng vîi lªp luªn quy n¤p
to¡n hå c nh÷ ¢ tr¼nh by ð tr¶n.
V§n · ti¸p theo cõa bi to¡n c¦u ph÷ìng s³ l gi? Câ l³ bi to¡n c¦u ph÷ìng
h¼nh trán ¢ xu§t hi»n trong sü cè gng sû döng c¡c h» thùc l÷ñng trong tam gi¡c
vuæng º gi£i quy¸t c¡c bi to¡n c¦u ph÷ìng ìn gi£n ð tr¶n. Tuy nhi¶n khi chuyºn
tø bi to¡n c¦u ph÷ìng mët a gi¡c sang bi to¡n c¦u ph÷ìng mët h¼nh trán (t÷ðng
t÷ñng h¼nh trán nh÷ më a gi¡c câ væ sè c¤nh!) v§n · ¢ trð n¶n khâ kh«n g§p
nhi·u l¦n. Khâ kh«n ¸n néi m¢i cuèi th¸ k XVI II loi ng÷íi mîi nhªn ra r¬ng nâ
khæng gi£i ÷ñc vîi c¡c cæng cö th÷îc v compa.
2.3. H» thùc l÷ñng trong tam gi¡c vuæng v v§n · düng ç thà
cõa mët sè hm sè câ li¶n quan vîi mët hm sè cho tr÷î c
Chóng ta l¤i ti¸p töc t¼m c¡ch ùng döng h» thùc (2.3) ð tr¶n vo mët sè t¼nh
huèng kh¡c. T÷î c h¸t, ta t¼m c¡ch chu©n hâa h» thùc (2.3) b¬ng c¡ch chia 2 v¸ cho
h2
º câ
1 = b0
h.c0
h
. °t
u=b0
h
v
v=c0
h
, ta câ
u.v = 1
hay
v
l nghàch £o cõa
u
.
Ð ¥y ta l¤i câ mët c§u tróc nhªn thùc kh¡c ùng vîi (2.3). Ta s³ khai th¡c (2.3)
theo quan iºm c§u tróc ny vo mët l¾nh vüc kh¡c. T¼nh huèng lóc ny ÷ñ c °t
ra trong bi to¡n sau:
Bi to¡n 4.
Gi£ sû trong mët h» tåa ë trüc chu©n Oxy ¢ câ ç thà cõa
mët hm sè
y=f(x)
(a). H¢y düng ç thà cõa hm sè
y=1
f(x)
(b). B¬ng c¡c cæng cö thæng th÷íng khi nâi ¸n v³ ç thà cõa hm sè ta ch¿
câ thº x¡c ành ÷ñ c nhúng iºm cõa ç thà m thæi. º câ ç thà ¦y õ (t÷ìng
èi ch½nh x¡c thæi) ta ph£i ch§p nhªn düng mët sè iºm cõa ç thà â v sû döng
c¡c thuëc t½nh cõa hm sè º nèi c¡c iºm â l¤i thnh ÷íng (ç thà). Vîi c¡ch
°t v§n · nh÷ vªy ta ÷a v§n · c¦n gi£i quy¸t v· bi to¡n sau: Cho bi¸t iºm
M(x0, f(x0))
thuë c ç thà cõa hm sè (a), h¢y düng iºm
M0(x0,1
f(x0))
tr¶n m°t
ph¯ng tåa ë
Oxy
(vîi h» tåa ë trüc chu©n).
Tr÷î c h¸t ta nhªn c¡c giao iºm cõa ç thà (a) vîi tröc honh khæng thuë c ç
thà (b) v¼ t¤i â
f(x)
tri»t ti¶u. Vîi c¡c gi¡ trà
x0
m
f(x0)6= 0
ta luæn câ
1
f(x0)6= 0
Sû döng h» thùc lüñng trong tam gi¡c vuæng vo d¤y håc gi£i bi to¡n c¦u ph÷ìng...
v còng d§u vîi
f(x0)
. i·u ny câ ngh¾a l
M
v
M0
n¬m v· còng mët nøa m°t
ph¯ng tåa ë so vîi tröc
Ox
. V§n · cán l¤i l x¡c ành
|1
f(x0)|
khi bi¸t
|f(x)|
. Ð
¥y ta câ
|1
f(x0)|.|f(x)|= 1
, câ d¤ng h» thùc (2.3). Do â
M0
düng ÷ñ c b¬ng c¡ch:
K½ hi»u
K
l iºm tr¶n
Ox
câ tåa ë
(x0,0)
. Düng iºm
A
tr¶n tröc honh câ tåa
ë
(x0−1,0)
ho°c
(x0+ 1,0)
. Khi â ta câ ë di
AK = 1
. Düng tam gi¡c vuæng
câ ¿nh gâ c vuæng t¤i
A
v mët c¤nh gâ c vuæng i qua iºm
M
. K½ hi»u giao iºm
cõa c¤nh gâ c vuæng kia vîi
MK
l
N
. Khi â ë di
KN =|1
f(x0)|
. iºm
M0
c¦n
düng ch½nh l
N
hay iºm èi xùng vîi
N
qua
Ox
tòy thuëc iºm
M
n¬m nûa d÷îi
hay nûa tr¶n cõa m°t ph¯ng tåa ë so vîi tröc honh.
Công theo c¡ch sû döng h» thùc l÷ñng (2.3) trong tam gi¡c vuæng, ta câ thº
gi£i bi to¡n li¶n quan ¸n vi»c düng ç thà hm sè
y=p|f(x)g(x)|
khi bi¸t ç thà
c¡c hm sè
y=f(x)
v
y=g(x)
.
3. K¸t luªn
Thæng qua vi»c t¼m hiºu t÷ li»u làch sû to¡n v nh¼n nhªn mët sè ki¸n thùc
mæn to¡n theo quan iºm c§u tróc nhªn thùc cõa J. Piaget, câ thº ành h÷îng vi»c
tê chùc cho håc sinh c¡c ho¤t ëng ph¡t hi»n ki¸n thùc, kh¡m ph¡ ki¸n thùc mîi
v ùng döng ki¸n thùc vo c¡c chõ · kh¡c nhau trong d¤y hå c mæn to¡n ð tr÷íng
phê thæng.
REFERENCES
[1] Howard Eves, 1993.
Giîi thi»u làch sû to¡n
. Cæng ty s¡ch thi¸t bà tr÷íng hå c
TP. Hç Ch½ Minh.
[2] G. Polia, 1997.
S¡ng t¤o to¡n håc
. Nxb Gi¡o döc.
[3] Chu Trång Thanh, 2009.
Sû döng c¡c kh¡i ni»m cæng cö trong lþ thuy¸t ph¡t
sinh nhªn thùc cõa J. Piaget vo mæn to¡n
. T¤p ch½ Gi¡o döc sè 207, tr. 37, 38
v 9.
ABSTRACT
Use tael relation in right-angled triangle to teaching plane figures
quadrature task and build the diagaram of function
This paper presents the views of tael relations in right-angled triangle accord-
ing to term of structure in J. Piaget's cognitive development theory. On the basis to
clarify the relationship b etween tael relation with plane figures quadrature task and
uses to build the diagaram of function related sp ecifically to one or two functions
given.
5