YOMEDIA
ADSENSE
Hình học lớp 9: Chuyên đề cực trị
995
lượt xem 221
download
lượt xem 221
download
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
Tài liệu Chuyên đề cực trị Hình học lớp 9 có lý thuyết và ví dụ minh họa giúp dễ hình dung, hy vọng tài liệu sẽ giúp ích được cho các bạn học sinh lớp 9 trong kì thi sắp tới nhé.
AMBIENT/
Chủ đề:
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Hình học lớp 9: Chuyên đề cực trị
- CỰC TRỊ HNH HỌC A-Phng php giải bi ton cực trị hnh học. 1- Hớng giải bi ton cực trị hnh học : a) Khi tm vị tr của hnh H trn miền D sao cho biểu thức f c gi trị lớn nhất ta phải chứng tỏ ợc : +Với mọi vị tr của hnh H trn miền D thì f ≤ m ( m l hằng số ) +Xc ịnh vị tr của hnh H trn miền D sao cho f = m b) Khi tm vị tr của hnh H trn miền D sao cho biểu thức f c gi trị nhỏ nhất ta phải chứng tỏ ợc : +Với mọi vị tr của hnh H trn miền D thì f ≥ m ( m l hằng số ) +Xc ịnh vị tr của hnh H trn miền D ể f = m 2 - Cch trnh by lời giải bi ton cực trị hnh học . + Cách1 :Trong cc hnh c tnh chất của ề bi,chỉ ồi chứng minh mọi hnh khc ều c gi trị của ại lợng phải tm cực trị nhỏ hn ( hoặc lớn hn ) gi trị của ại lợng của hnh chỉ ra. + Cách2 :Biến ổi tng ng iều kiệ ng ny ạt cực trị bởi ại lợng khc ạt cực trị cho ến khi trả lời ợc c m ề bi yu cầu. V dụ : Cho ờng trn (O) v iểm P ong ờng tròn( P khng trng với O).Xc ịnh vị tr của dy i qua iểm P s dy c ộ di nhỏ nhất. Giải : +Cách 1 : Gọi AB l dy vung gc vớ tại P , v dy CD l dy bất kỳ i qua P và khng trng với AB ( h.1) Kẻ OH CD . C OHP vung tạ < OP CD > AB O Nh vậ c dy i qua P , dây vuông góc H với OP tại P c hỏ nhất . A B P +Cách D Xt dy AB bất kỳ i qua P ( h.2). Kẻ OH AB h .1 Theo lin hệ giữa dy v khoảng cch ến tm: AB nhỏ nhất OH lớn nhất A Ta lại c OH ≤ OP O OH = OP H ≡ P H Do maxOH = OP P Khi dy AB vung gc với OP tại P. B h .2 B-Cc kiến thức thờng dng giải bi ton cực trị hnh học. 1- Sử dụng quan hệ giữa ờng vung gc , ờng xin , hnh chiếu . a-Kiến thức cần nhớ: www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 1
- A B A K a C a b A h.3 H C H B B h.4 h.5 a1) ABC vung tại A (c thể suy biến thnh oạn thẳng) AB ≤ BC . Dấu “=” xảy ra A ≡ C . ( h.3 ) a2) ( h.4 ) + AH a AH ≤ AB . Dấu “=” xảy ra B ≡ H . + AB < AC HB < HC a3)( h.5 ) A,K a; B, H b; a // b ; HK a HK ≤ AB Dấu “=” xảy ra A ≡ K và B ≡ H . b-Cc v dụ: V dụ 1: Trong cc hnh bnh hnh c hai bằng 6 cm v 8 cm ,hnh no c diện tch lớn nhất ? Tnh diện tch lớn nh Giải : B B C O≡H C H O A D D h.6 h.7 Xét hình b có AC = 8 cm; BD = 6 cm ( h.6) Gọi O l g ờng cho . Kẻ BH AC . Ta có : SA ABC = AC.BH Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm. Do : SABCD ≤ 8.3 = 24 (cm2) SABCD = 24 cm2 BH ≡ BO H ≡ O BD AC Vậy max SABCD = 24 cm2 . Khi ó hình bình hành ABCD là hình thoi (h.7) c diện tích 24cm2. V dụ 2: Cho hnh vung ABCD . Trn cc cạnh AB,BC ,CD,DA ta lấy theo thứ tự cc iểm E,F,G,H A E K B sao cho AE = BF = CG = DH . Xc ịnh vị tr của cc iểm E, F,G,H sao cho tứ gic EFGH có chu vi F nhỏ nhất . Giải : O H HAE = EBF = FCG = GHD HE = EF = FG = GH D C G www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 2 h.8
- EFGH là hình thoi . AHE BEF AHE AEH 900 BEF AEH 900 HEF 900 EFGH là hình vuông Gọi O l giao iểm của AC v EG . Tứ gic AECG c AE = CG, AE //CG nên là hình bình hành suy ra O l trung iểm của AC v EG , do O l tm của cả hai hnh vuông ABCD và EFGH. HOE vuông cân : HE2 = 2OE2 HE = OE 2 Chu vi EFGH = 4HE = 4 2 OE . Do chu vi EFGH nhỏ nhất OE nhỏ nhất Kẻ OK AB OE ≥OK ( OK khng ổi ) OE = OK E ≡ K Do minOE = OK Nh vậy , chu vi tứ gic EFGH nhỏ nhất khi v chỉ kh rung iểm của AB , BC, CD, DA. V dụ 3: Cho oạn thẳng AB c ộ dài 2a .V pha của AB cc tia Ax và By vung gc với AB . Qua trung iểm của M hai ờng thẳng thay ổi lun vung gc với nhau v cắt Ax, By theo thứ D .xc ịnh vị tr của cc iểm C,D sao cho tam gic MCD c diện t .Tnh diện tch tam gic . Giải: Gọi K l giao iểm của CM v DB x y D MA = MB ; A B 900 , AMC MAC = MBK MC = M 12 Mặt khc DM CK DCK cân D1 H Kẻ MH CD C MHD = = MB = a 1 1 SMCD = H ≥ AB.MH = 2a.a= a2 A B 2 2 2 M SMCD = a2 CD Ax khi AMC = 450 ; K BMD =450. Vậy min SMCD = a2 . Cc iểm C,D ợc xc ịnh h.9 trên Ax; By sao cho AC = BC =a . A V dụ 4: Cho tam giác ABC có B là góc t , iểm D di chuyển trn cạnh BC . Xc ịnh vị tr của iểm D sao cho tổng cc E khoảng cch từ B v C ến ờng thẳng AD c gi trị lớn nhất . C H B D Giải: Gọi S l diện tch ABC Khi D di chuyển h.10 F www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 3
- trn cạnh BC ta c : SABD + SACD = S Kẻ BE AD , CF AD 1 1 AD.BE + AD.CF = S 2 2 2S BE +CF = AD Do BE + CF lớn nhất AD nhỏ nhất hình chiếu HD nhỏ nhất Do HD ≥ HB ( do ABD >900 ) và HD = HB D ≡ B Vậy Khi D ≡ B th tổng cc khoảng cch từ B v C ến AD c gi trị lớn nhất . 2- Sử dụng quan hệ giữa ờng thẳng v ờng gấp khc. a-Kiến thức cần nhớ: Với ba iểm A,B,C bất kỳ ta c : AC +CB ≥ AB AC +CB = AB C thuộc oạn thẳng AB b-Các v dụ: V dụ 5:Cho góc xOy v iểm A nằm trong Xc ịnh iểm B thuộc tia Ox, iểm C thuộc tia Oy sao cho OB = OC v tổ l nhỏ nhất . Giải: Kẻ tia Om nằm ngoi gc xOy sao m y yOm xOA . Trn tia Om lấy iểm D D cho OD = OA . Cc iểm D v A cố ịn OD =OA, OC = OB , COD BO C DOC = AOB C A Do AC +AB = AC Mà AC +CD ≥ AD AC +AB AD O B x Xảy ra ẳ ỉ khi C AD h.11 Vậy min( =AD . Khi C l giao iểm của y , B thuộc tia Ox sao cho OB = OC. V dụ 6:Cho hnh chữ nhật ABCD v iểm E thuộc cạnh AD . Xc ịnh vị tr cc iểm F thuộc cạnh AB , G thuộc cạnh BC , H thuộc cạnh CD sao cho tứ gic EFGH c chu vi nhỏ nhất. Giải : A F B I A F B I E K G E K G D M M C D H C h.12 H h.13 www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 4
- Gọi I ,K, L theo thứ tự l trung iểm của EF, EG , EH (h.12). AEF vung tại A c AI l trung tuyến AI =1/2EF CGH vung tại C c CM l trung tuyến CM =1/2GH IK l ờng trung bnh của EFG IK = 1/2FG KM l ờng trung bnh của EGH KM = 1/2EH Do : chu vi EFGH = EF +FG +GH +EH =2(AI + IK + KM + MC) Ta lại c : AI + IK + KM + MC ≥ AC Suy ra chu vi EFGH ≥ 2AC ( ộ di AC khng ổi ) Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC A,I,K,M,C thẳng hàng. Khi ta c EH//AC,FG//AC, AEI EAI ADB nn EF//DB , tng tự GH//DB .Suy ra tứ gic EFGH l hnh bnh hnh c cc cạnh song song với cc ờng cho của hnh chữ nhật ABCD (h.13). 3- Sử dụng cc bất ẳng thức trong ờng trn. a-Kiến thức cần nhớ: C D C D C A H B D A B O B O C B K A A D h.14 h.15 h.16 h.17 a1) AB l ờng knh , CD l d bấ CD ≤ AB (h.14) a2) OH,OK l cc khoảng cch t ến dy AB v CD : AB ≥ CD OH ≤ O a3) AB,CD l cc cun ) : AB ≥ CD AOB COD (h.16) a4) AB,CD ủa (O) : AB ≥ CD AB CD (h.17) b-Cc v d V dụ 7: Cho hai ờng trn (O) v (O’) cắt nhau ở A v B . một ct tuyến chung bất kỳ CBD (B nằm giữa C v D) cắt cc ờng trn (O) v (O’) tại C v D . Xc ịnh vị tr của ct tuyến CBD ể ACD c chu vi lớn nhất. Giải: 1 1 A s C = s AmB ; s D = s AnB 2 2 số o cc gc ACD khng ổi D ACD c chu vi lớn nhất khi một O O’ n m cạnh của n lớn nhất , chẳng hạn AC l lớn nhất. C’ D’ AC l dy của ờng trn (O) , do AC B lớn nhất khi AC l ờng knh của ờng C h.18 www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 5
- trn (O), khi AD l ờng knh của ờng trn (O’). Ct tuyến CBD ở vị tr C’BD’ vung gc với dy chung AB. V dụ 8: Cho ờng trn (O) v một iểm P nằm trong ờng trn . Xc ịnh dy AB i qua P sao cho OAB c gi trị lớn nhất . Giải: Xt tam gic cn OAB , gc ở y OAB lớn nhất nếu gc ở ỉnh AOB nhỏ nhất . B’ 1 O AOB s AB 2 ) Góc AOB nhỏ nhất Cung AB nhỏ nhất dây A B H P AB nhỏ nhất Khoảng cch ến tm OH lớn nhất. Ta c OH ≤ OP OH =OP H ≡ P nn max OH = OP AB OP h.19 Suy ra dy AB phải xc ịnh l dy A’B’ vung gc với OP tại P . 4- Sử dụng bất ẳng thức về ly thừa bậc h a-Kiến thức cần nhớ: Cc bất ẳng thức về ly thừa bậc hai ợc g i dạng : 2 2 A ≥ 0 ; A ≤ 0 Do với m l hằng số , ta c : f =A2 + m ≥ m ; min f = m với A f = A2 + m ≤ m ; max f = m ới 0 b-Cc v dụ: V dụ 9: Cho hnh v c cạnh bằng 4cm . A x E 4-x B Trn cc cạnh AB, BC CD eo thứ tự cc iểm E, F, G, H sao ch AE = D . Tnh ộ di AE sao 4-x F cho tứ gic EF hỏ nhất. Giải: AHE = BE C G = DGH H HE = EF = FG = GH , HEF = 900 HEFG là hình vuông nên chu vi EFGH nhỏ nhất khi HE nhỏ nhất . D C G ặt AE = x th HA = EB = 4-x h.20 HAE vung tại A nn : HE 2 = AE2 +AE2 = x2 + (4 x)2 = 2x2 8x +16 = 2(x 2)2 +8 ≥ 8 HE = 8 =2 2 x = 2 Chu vi tứ gic EFGH nhỏ nhất bằng 8 2 cm , khi AE = 2 cm . V dụ 10: Cho tam gic vung ABC c ộ di cc cạnh gc vung AB = 6 cm, AC = 8cm.M l iểm di chuyển trn cạnh huyền BC.Gọi D v E l chn cc ờng vung gc kẻ từ M ến AB v AC . Tnh diện tch lớn nhất của tứ gic ADME. www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 6
- Giải: ADME là hình chữ nhật . A ặt AD = x th ME = x x EM CE x CE 4 D 8- 4 x ME //AB CE x 3 AB CA 6 8 3 E 4 AE = 8 x B C 3 M h.21 4 4 2 Ta có : SADME = AD .AE = x ( 8 x ) = 8x x 3 3 4 = (x 3)2 +12 ≤ 12 3 2 SADME = 12 cm x =3 Diện tch lớn nhất của tứ gic ADME bằng 12 cm2 ,khi rung iểm của AB , M l trung iểm của BC v E l trung iểm của AC. 5- Sử dụng bất ẳng thức C-si . a-Kiến thức cần nhớ: Bất ẳng thức C-si :Với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ta có xy Dấu “=” xảy ra hi x = y Bất ẳng thức C-si thờng ợc sử i cc dạng sau : 2 2 2 + Dạng 1: x y x y Dấu “=” xảy ra khi v chỉ khi x = y 2 + Dạng 2: x y y 1 2 xy x y 4 x2 y2 1 ; 2 x y 2 Dấu “=” xảy ra khi v chỉ khi x = y + Dạng 3:Với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x +y khng ổi th xy lớn nhất khi v chỉ khi x = y + Dạng4: Với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; xy không ổi th x+y nhỏ nhất khi v chỉ khi x = y b-Cc v dụ: V dụ 11: Cho oạn thẳng AB, iểm M di chuyển trn oạn thẳng ấy . Vẽ cc ờng trn c ờng knh MA v MB . Xc ịnh vị tr của iểm M ể tổng diện tch của hai hnh trn c gi trị nhỏ nhất . Giải : A O M O’ B ặt MA =x , MB = y x y www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 7 h.22
- Ta có : x + y =AB (0 < x,y < AB) Gọi S v S’ theo thứ tự l diện tch của hai hnh trn c ờng knh l MA v MB . Ta có : 2 2 x y x2 y2 S +S’ = = . 2 2 4 2 Ta c bất ẳng thức : x y 2 2 x y nên : 2 2 S +S’ . x y AB2 = . 8 8 Dấu ẳng thức xảy ra khi v chỉ khi x = y AB2 Do min (S+S’) = . .Khi M l trung iểm củ A 8 V dụ 12: Cho iểm M nằm trn oạn thẳng AB .Vẽ pha của AB cc tia Ax v By vung gc với AB . Qua M c hai ờng ẳ ay ổi lun vung gc với nhau v cắt Ax, By theo thứ tự tại C v D . Xc của cc iểm C,D sao cho tam gic MCD c diện tch nhỏ nhất . Giải : 1 y Ta có : SMCD = MC.MD D 2 x ặt MA = a , MB = b AMC BDM C a MC = , MD = cos s 1 A a ( B SMCD = M b 2 h.23 Do a,b l n SMCD nhỏ nhất 2sin.cos lớn nhất . Theo bất ẳng thức 2xy x2 +y2 ta có : 2 2 2sin.cos sin +cos = 1 nên SMCD ≥ ab SMCD = ab sin = cos sin = sin(900) = 900 = 450 AMC và BMD vuông cân. Vậy min SMCD = ab .Khi cc iểm C,D ợc xc ịnh trên tia Ax ; By sao cho AC = AM , BD = BM . V dụ 13: Cho ABC , iểm M di ộng trn cạnh BC . Qua M kẻ cc ờng thẳng song song với AC v với AB , chng cắt AB v AC theo thứ tự ở D v E.Xc ịnh vị tr của iểm M sao cho hnh bnh hnh ADME c diện tch lớn nhất. Giải : A www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online K Page 8 D
- SADME SADME lớn nhất lớn nhất SABC Kẻ BK AC cắt MD ở H. SADME = MD . HK 1 SABC = AC . BK 2 SADME MD HK 2. . SABC AC BK ặt MB = x , MC = y , MD BM x HK MC y MD//AC ta có : ; AC BC x y BK BC x y xy 1 SADME 2xy Theo bất ẳng thức 2 x y 4 SABC Dấu ẳng thức xảy ra khi x = y 1 Vậy maxSADME = SABC khi M l trun BC. 2 V dụ 14: Cho ABC vuông cân c cạnh = a . Gọi D l trung iểm của AB. iểm E di chuyển trn cạnh AC theo thứ tự l chn cc ờng vung gc kẻ từ D, E ến BC . Tnh diện nhất của hnh thang DEKH . Khi hnh thang trở thnh hnh g ? Giải: Ta có : 2SDEKH = (DH +EK).HK KC ) .HK M (BH + KC) +HK ng ổi a Nên (BH KC) H t BH + KC) = HK = 2 Do : a2 B max SDEKH = . . 2 2 2 8 a H Khi ờng cao HK = suy ra : 2 a a a D K KC = BC BH –HK = a = 2 2 4 a a Do DH = HB = , EK = KC = . 4 4 C Hnh thang DEKH l hnh chữ nhật , E l trung A E iểm của AC. h.25 www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 9
- 6- Sử dụng tỉ số lợng gic. a-Kiến thức cần nhớ: B Hệ thức giữa cạnh v gc trong tam gic vung a c + b = a.sinB = a.cosC + b = c.tgB = c.cotgC A b C h.26 b-Cc v dụ: V dụ 15: Chứng minh rằng trong cc tam gic cn c cng diện tch tam gic c cạnh y nhỏ hnlà tam gic c gc ở ỉnh nhỏ hn. Giải: Xt cc tam gic ABC cn tại A c cng A diện tch S. Kẻ ờng cao AH . ặt BAC = AHC vung tại H, ta c : HAC , B H C 2 1 h.27 AH = HC .cotg = BC.cotg 2 2 2 1 1 1 Do : S = BC.AH = BC. BC.c C 2cotg 2 2 2 4 2 4S BC = 2 S.t g 2 cot g 2 Do S khng ổi nn : BC nhỏ nhất tg nhỏ nhất nhỏ nhất BAC nhỏ nhất 2 V dụ 16: hật ABCD. Trn cc cạnh BC,CD lần lợt lấy cc iểm K,M sao cho B = 4 : 1, CM : MD = 4 : 1.Tm tỉ số AB : BC ể số o góc KAM lớn nhất . t gx t gy ( Cho cng thức biến ổi tg( x +y )= ) A B 1 t gx.t gy x Giải: y 0 ặt BAK x , DAM y ( x + y < 90 ) K KAMlớn nhất BAK + DAM nhỏ nhất D M C x + y nhỏ nhất tan (x + y) nhỏ nhất Giả sử AB : BC = 1 : m ( m> 0) h.28 BK BK BC 4m tg x = . AB BC AB 5 www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 10
- DM DM DC 1 tg y = . AD DC AD 5m tgx t gy 4m 1 4m 1 25 4m 1 tg( x +y )= = :1 . = 1 t gx.tgy 5 5m 5 5m 21 5 5m 4m 1 tg (x + y) nhỏ nhất nhỏ nhất 5 5m Theo bất ẳng thức C-si ta có: 4m 1 4m 1 4 ≥ 2 . 5 5m 5 5m 5 4m 1 1 Dấu ẳng thức xảy ra m= 5 5m 2 1 Vậy x + y nhỏ nhất khi v chỉ khi m = 2 Do KAM lớn nhất khi v chỉ khi AB : BC = 2 : 1 www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 11
ADSENSE
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
Thêm tài liệu vào bộ sưu tập có sẵn:
Báo xấu
LAVA
AANETWORK
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn