Hình học lớp 9: Chuyên đề cực trị

Chia sẻ: Nhi Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

997
lượt xem 222
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Chuyên đề cực trị Hình học lớp 9 có lý thuyết và ví dụ minh họa giúp dễ hình dung, hy vọng tài liệu sẽ giúp ích được cho các bạn học sinh lớp 9 trong kì thi sắp tới nhé.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hình học lớp 9: Chuyên đề cực trị

CỰC TRỊ HNH HỌC A-Phng php giải bi ton cực trị hnh học. 1- Hớng giải bi ton cực trị hnh học : a) Khi tm vị tr của hnh H trn miền D sao cho biểu thức f c gi trị lớn nhất ta phải chứng tỏ ợc : +Với mọi vị tr của hnh H trn miền D thì f ≤ m ( m l hằng số ) +Xc ịnh vị tr của hnh H trn miền D sao cho f = m b) Khi tm vị tr của hnh H trn miền D sao cho biểu thức f c gi trị nhỏ nhất ta phải chứng tỏ ợc : +Với mọi vị tr của hnh H trn miền D thì f ≥ m ( m l hằng số ) +Xc ịnh vị tr của hnh H trn miền D ể f = m 2 - Cch trnh by lời giải bi ton cực trị hnh học . + Cách1 :Trong cc hnh c tnh chất của ề bi,chỉ ồi chứng minh mọi hnh khc ều c gi trị của ại lợng phải tm cực trị nhỏ hn ( hoặc lớn hn ) gi trị của ại lợng  của hnh  chỉ ra. + Cách2 :Biến ổi tng ng iều kiệ ng ny ạt cực trị bởi ại lợng khc ạt cực trị cho ến khi trả lời ợc c m ề bi yu cầu. V dụ : Cho ờng trn (O) v iểm P ong ờng tròn( P khng trng với O).Xc ịnh vị tr của dy i qua iểm P s dy  c ộ di nhỏ nhất. Giải : +Cách 1 : Gọi AB l dy vung gc vớ tại P , v dy CD l dy bất kỳ i qua P và khng trng với AB ( h.1) Kẻ OH  CD . C OHP vung tạ < OP  CD > AB O Nh vậ c dy i qua P , dây vuông góc H với OP tại P c hỏ nhất . A B P +Cách D Xt dy AB bất kỳ i qua P ( h.2). Kẻ OH  AB h .1 Theo lin hệ giữa dy v khoảng cch ến tm: AB nhỏ nhất  OH lớn nhất A Ta lại c OH ≤ OP O OH = OP  H ≡ P H Do  maxOH = OP P Khi  dy AB vung gc với OP tại P. B h .2 B-Cc kiến thức thờng dng giải bi ton cực trị hnh học. 1- Sử dụng quan hệ giữa ờng vung gc , ờng xin , hnh chiếu . a-Kiến thức cần nhớ: www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 1
A B A K a C a b A h.3 H C H B B h.4 h.5 a1) ABC vung tại A (c thể suy biến thnh oạn thẳng)  AB ≤ BC . Dấu “=” xảy ra  A ≡ C . ( h.3 ) a2) ( h.4 ) + AH  a  AH ≤ AB . Dấu “=” xảy ra  B ≡ H . + AB < AC  HB < HC a3)( h.5 ) A,K a; B, H b; a // b ; HK  a  HK ≤ AB Dấu “=” xảy ra  A ≡ K và B ≡ H . b-Cc v dụ: V dụ 1: Trong cc hnh bnh hnh c hai bằng 6 cm v 8 cm ,hnh no c diện tch lớn nhất ? Tnh diện tch lớn nh Giải : B B C O≡H C H O A D D h.6 h.7 Xét hình b có AC = 8 cm; BD = 6 cm ( h.6) Gọi O l g ờng cho . Kẻ BH  AC . Ta có : SA ABC = AC.BH Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm. Do  : SABCD ≤ 8.3 = 24 (cm2) SABCD = 24 cm2  BH ≡ BO  H ≡ O  BD AC Vậy max SABCD = 24 cm2 . Khi ó hình bình hành ABCD là hình thoi (h.7) c diện tích 24cm2. V dụ 2: Cho hnh vung ABCD . Trn cc cạnh AB,BC ,CD,DA ta lấy theo thứ tự cc iểm E,F,G,H A E K B sao cho AE = BF = CG = DH . Xc ịnh vị tr của cc iểm E, F,G,H sao cho tứ gic EFGH có chu vi F nhỏ nhất . Giải : O H HAE = EBF = FCG = GHD  HE = EF = FG = GH D C G www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 2 h.8
 EFGH là hình thoi . AHE  BEF  AHE  AEH  900  BEF  AEH  900  HEF  900  EFGH là hình vuông Gọi O l giao iểm của AC v EG . Tứ gic AECG c AE = CG, AE //CG nên là hình bình hành suy ra O l trung iểm của AC v EG , do  O l tm của cả hai hnh vuông ABCD và EFGH. HOE vuông cân : HE2 = 2OE2  HE = OE 2 Chu vi EFGH = 4HE = 4 2 OE . Do  chu vi EFGH nhỏ nhất  OE nhỏ nhất Kẻ OK AB  OE ≥OK ( OK khng ổi ) OE = OK  E ≡ K Do  minOE = OK Nh vậy , chu vi tứ gic EFGH nhỏ nhất khi v chỉ kh rung iểm của AB , BC, CD, DA. V dụ 3: Cho oạn thẳng AB c ộ dài 2a .V pha của AB cc tia Ax và By vung gc với AB . Qua trung iểm của M hai ờng thẳng thay ổi lun vung gc với nhau v cắt Ax, By theo thứ D .xc ịnh vị tr của cc iểm C,D sao cho tam gic MCD c diện t .Tnh diện tch tam gic . Giải: Gọi K l giao iểm của CM v DB x y D MA = MB ; A  B  900 , AMC  MAC = MBK  MC = M 12 Mặt khc DM  CK  DCK cân  D1 H Kẻ MH  CD C MHD = = MB = a 1 1  SMCD = H ≥ AB.MH = 2a.a= a2 A B 2 2 2 M SMCD = a2  CD  Ax khi  AMC = 450 ; K BMD =450. Vậy min SMCD = a2 . Cc iểm C,D ợc xc ịnh h.9 trên Ax; By sao cho AC = BC =a . A V dụ 4: Cho tam giác ABC có B là góc t , iểm D di chuyển trn cạnh BC . Xc ịnh vị tr của iểm D sao cho tổng cc E khoảng cch từ B v C ến ờng thẳng AD c gi trị lớn nhất . C H B D Giải: Gọi S l diện tch ABC Khi D di chuyển h.10 F www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 3
trn cạnh BC ta c : SABD + SACD = S Kẻ BE AD , CF  AD 1 1  AD.BE + AD.CF = S 2 2 2S  BE +CF = AD Do  BE + CF lớn nhất  AD nhỏ nhất hình chiếu HD nhỏ nhất Do HD ≥ HB ( do ABD >900 ) và HD = HB  D ≡ B Vậy Khi D ≡ B th tổng cc khoảng cch từ B v C ến AD c gi trị lớn nhất . 2- Sử dụng quan hệ giữa ờng thẳng v ờng gấp khc. a-Kiến thức cần nhớ: Với ba iểm A,B,C bất kỳ ta c : AC +CB ≥ AB AC +CB = AB  C thuộc oạn thẳng AB b-Các v dụ: V dụ 5:Cho góc xOy v iểm A nằm trong   Xc ịnh iểm B thuộc tia Ox, iểm C thuộc tia Oy sao cho OB = OC v tổ l nhỏ nhất . Giải: Kẻ tia Om nằm ngoi gc xOy sao m y yOm  xOA . Trn tia Om lấy iểm D D cho OD = OA . Cc iểm D v A cố ịn OD =OA, OC = OB , COD  BO C  DOC = AOB  C A Do  AC +AB = AC Mà AC +CD ≥ AD AC +AB AD O B x Xảy ra ẳ ỉ khi C AD h.11 Vậy min( =AD . Khi  C l giao iểm của y , B thuộc tia Ox sao cho OB = OC. V dụ 6:Cho hnh chữ nhật ABCD v iểm E thuộc cạnh AD . Xc ịnh vị tr cc iểm F thuộc cạnh AB , G thuộc cạnh BC , H thuộc cạnh CD sao cho tứ gic EFGH c chu vi nhỏ nhất. Giải : A F B I A F B I E K G E K G D M M C D H C h.12 H h.13 www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 4
Gọi I ,K, L theo thứ tự l trung iểm của EF, EG , EH (h.12). AEF vung tại A c AI l trung tuyến  AI =1/2EF CGH vung tại C c CM l trung tuyến  CM =1/2GH IK l ờng trung bnh của  EFG  IK = 1/2FG KM l ờng trung bnh của EGH  KM = 1/2EH Do  : chu vi EFGH = EF +FG +GH +EH =2(AI + IK + KM + MC) Ta lại c : AI + IK + KM + MC ≥ AC Suy ra chu vi EFGH ≥ 2AC ( ộ di AC khng ổi ) Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC  A,I,K,M,C thẳng hàng. Khi  ta c EH//AC,FG//AC, AEI  EAI  ADB nn EF//DB , tng tự GH//DB .Suy ra tứ gic EFGH l hnh bnh hnh c cc cạnh song song với cc ờng cho của hnh chữ nhật ABCD (h.13). 3- Sử dụng cc bất ẳng thức trong ờng trn. a-Kiến thức cần nhớ: C D C D C A H B D A B O B O C B K A A D h.14 h.15 h.16 h.17 a1) AB l ờng knh , CD l d bấ  CD ≤ AB (h.14) a2) OH,OK l cc khoảng cch t ến dy AB v CD : AB ≥ CD  OH ≤ O a3) AB,CD l cc cun ) : AB ≥ CD  AOB  COD (h.16) a4) AB,CD ủa (O) : AB ≥ CD  AB  CD (h.17) b-Cc v d V dụ 7: Cho hai ờng trn (O) v (O’) cắt nhau ở A v B . một ct tuyến chung bất kỳ CBD (B nằm giữa C v D) cắt cc ờng trn (O) v (O’) tại C v D . Xc ịnh vị tr của ct tuyến CBD ể ACD c chu vi lớn nhất. Giải: 1 1 A s C = s AmB ; s D = s AnB 2 2  số o cc gc ACD khng ổi D  ACD c chu vi lớn nhất khi một O O’ n m cạnh của n lớn nhất , chẳng hạn AC l lớn nhất. C’ D’ AC l dy của ờng trn (O) , do  AC B lớn nhất khi AC l ờng knh của ờng C h.18 www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 5
trn (O), khi  AD l ờng knh của ờng trn (O’). Ct tuyến CBD ở vị tr C’BD’ vung gc với dy chung AB. V dụ 8: Cho ờng trn (O) v một iểm P nằm trong ờng trn . Xc ịnh dy AB i qua P sao cho OAB c gi trị lớn nhất . Giải: Xt tam gic cn OAB , gc ở y OAB lớn nhất nếu gc ở ỉnh AOB nhỏ nhất . B’ 1 O AOB  s AB 2 ) Góc AOB nhỏ nhất  Cung AB nhỏ nhất  dây A B H P AB nhỏ nhất  Khoảng cch ến tm OH lớn nhất. Ta c OH ≤ OP OH =OP  H ≡ P nn max OH = OP  AB  OP h.19 Suy ra dy AB phải xc ịnh l dy A’B’ vung gc với OP tại P . 4- Sử dụng bất ẳng thức về ly thừa bậc h a-Kiến thức cần nhớ: Cc bất ẳng thức về ly thừa bậc hai ợc g i dạng : 2 2 A ≥ 0 ; A ≤ 0 Do  với m l hằng số , ta c : f =A2 + m ≥ m ; min f = m với A f =  A2 + m ≤ m ; max f = m ới 0 b-Cc v dụ: V dụ 9: Cho hnh v c cạnh bằng 4cm . A x E 4-x B Trn cc cạnh AB, BC CD eo thứ tự cc iểm E, F, G, H sao ch AE = D . Tnh ộ di AE sao 4-x F cho tứ gic EF hỏ nhất. Giải: AHE = BE C G = DGH H  HE = EF = FG = GH , HEF = 900  HEFG là hình vuông nên chu vi EFGH nhỏ nhất khi HE nhỏ nhất . D C G ặt AE = x th HA = EB = 4-x h.20 HAE vung tại A nn : HE 2 = AE2 +AE2 = x2 + (4  x)2 = 2x2  8x +16 = 2(x  2)2 +8 ≥ 8 HE = 8 =2 2  x = 2 Chu vi tứ gic EFGH nhỏ nhất bằng 8 2 cm , khi  AE = 2 cm . V dụ 10: Cho tam gic vung ABC c ộ di cc cạnh gc vung AB = 6 cm, AC = 8cm.M l iểm di chuyển trn cạnh huyền BC.Gọi D v E l chn cc ờng vung gc kẻ từ M ến AB v AC . Tnh diện tch lớn nhất của tứ gic ADME. www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 6
Giải: ADME là hình chữ nhật . A ặt AD = x th ME = x x EM CE x CE 4 D 8- 4 x ME //AB      CE  x 3 AB CA 6 8 3 E 4  AE = 8  x B C 3 M h.21 4 4 2 Ta có : SADME = AD .AE = x ( 8  x ) = 8x  x 3 3 4 =  (x  3)2 +12 ≤ 12 3 2 SADME = 12 cm  x =3 Diện tch lớn nhất của tứ gic ADME bằng 12 cm2 ,khi  rung iểm của AB , M l trung iểm của BC v E l trung iểm của AC. 5- Sử dụng bất ẳng thức C-si . a-Kiến thức cần nhớ: Bất ẳng thức C-si :Với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ta có xy Dấu “=” xảy ra hi x = y Bất ẳng thức C-si thờng ợc sử i cc dạng sau : 2 2 2 + Dạng 1: x  y   x  y  Dấu “=” xảy ra khi v chỉ khi x = y 2 + Dạng 2:   x  y  y  1 2 xy  x  y 4 x2  y2 1  ; 2   x  y 2 Dấu “=” xảy ra khi v chỉ khi x = y + Dạng 3:Với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x +y khng ổi th xy lớn nhất khi v chỉ khi x = y + Dạng4: Với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; xy không ổi th x+y nhỏ nhất khi v chỉ khi x = y b-Cc v dụ: V dụ 11: Cho oạn thẳng AB, iểm M di chuyển trn oạn thẳng ấy . Vẽ cc ờng trn c ờng knh MA v MB . Xc ịnh vị tr của iểm M ể tổng diện tch của hai hnh trn c gi trị nhỏ nhất . Giải : A O M O’ B   ặt MA =x , MB = y x y www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 7 h.22
Ta có : x + y =AB (0 < x,y < AB) Gọi S v S’ theo thứ tự l diện tch của hai hnh trn c ờng knh l MA v MB . Ta có : 2 2  x  y x2  y2 S +S’ =        = .  2  2 4 2 Ta c bất ẳng thức : x  y 2 2   x  y nên : 2 2 S +S’  .  x  y AB2 = . 8 8 Dấu ẳng thức xảy ra khi v chỉ khi x = y AB2 Do  min (S+S’) = . .Khi  M l trung iểm củ A 8 V dụ 12: Cho iểm M nằm trn oạn thẳng AB .Vẽ pha của AB cc tia Ax v By vung gc với AB . Qua M c hai ờng ẳ ay ổi lun vung gc với nhau v cắt Ax, By theo thứ tự tại C v D . Xc của cc iểm C,D sao cho tam gic MCD c diện tch nhỏ nhất . Giải : 1 y Ta có : SMCD = MC.MD D 2 x ặt MA = a , MB = b  AMC  BDM  C a MC = , MD = cos s 1 A a ( B SMCD = M b 2 h.23 Do a,b l n SMCD nhỏ nhất  2sin.cos lớn nhất . Theo bất ẳng thức 2xy  x2 +y2 ta có : 2 2 2sin.cos  sin  +cos  = 1 nên SMCD ≥ ab SMCD = ab  sin = cos  sin = sin(900)   = 900   = 450  AMC và BMD vuông cân. Vậy min SMCD = ab .Khi  cc iểm C,D ợc xc ịnh trên tia Ax ; By sao cho AC = AM , BD = BM . V dụ 13: Cho ABC , iểm M di ộng trn cạnh BC . Qua M kẻ cc ờng thẳng song song với AC v với AB , chng cắt AB v AC theo thứ tự ở D v E.Xc ịnh vị tr của iểm M sao cho hnh bnh hnh ADME c diện tch lớn nhất. Giải : A www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online K Page 8 D
SADME SADME lớn nhất  lớn nhất SABC Kẻ BK  AC cắt MD ở H. SADME = MD . HK 1 SABC = AC . BK 2 SADME MD HK  2. . SABC AC BK ặt MB = x , MC = y , MD BM x HK MC y MD//AC ta có :   ;   AC BC x  y BK BC x  y xy 1 SADME 2xy Theo bất ẳng thức  2     x  y 4 SABC Dấu ẳng thức xảy ra khi x = y 1 Vậy maxSADME = SABC khi  M l trun BC. 2 V dụ 14: Cho  ABC vuông cân c cạnh = a . Gọi D l trung iểm của AB. iểm E di chuyển trn cạnh AC theo thứ tự l chn cc ờng vung gc kẻ từ D, E ến BC . Tnh diện nhất của hnh thang DEKH . Khi  hnh thang trở thnh hnh g ? Giải: Ta có : 2SDEKH = (DH +EK).HK KC ) .HK M (BH + KC) +HK ng ổi a Nên (BH KC) H t BH + KC) = HK = 2 Do  : a2 B max SDEKH = . .  2 2 2 8 a H Khi  ờng cao HK = suy ra : 2 a a a D K KC = BC BH –HK = a   = 2 2 4 a a Do  DH = HB = , EK = KC = . 4 4 C Hnh thang DEKH l hnh chữ nhật , E l trung A E iểm của AC. h.25 www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 9
6- Sử dụng tỉ số lợng gic. a-Kiến thức cần nhớ: B Hệ thức giữa cạnh v gc trong tam gic vung a c + b = a.sinB = a.cosC + b = c.tgB = c.cotgC A b C h.26 b-Cc v dụ: V dụ 15: Chứng minh rằng trong cc tam gic cn c cng diện tch tam gic c cạnh y nhỏ hnlà tam gic c gc ở ỉnh nhỏ hn. Giải: Xt cc tam gic ABC cn tại A c cng A diện tch S. Kẻ ờng cao AH . ặt BAC =  AHC vung tại H, ta c :  HAC  , B H C 2  1  h.27 AH = HC .cotg = BC.cotg 2 2 2 1 1 1  Do  : S = BC.AH = BC. BC.c C 2cotg 2 2 2 4 2 4S   BC =  2 S.t g  2 cot g 2 Do S khng ổi nn :   BC nhỏ nhất  tg nhỏ nhất   nhỏ nhất  BAC nhỏ nhất 2 V dụ 16: hật ABCD. Trn cc cạnh BC,CD lần lợt lấy cc iểm K,M sao cho B = 4 : 1, CM : MD = 4 : 1.Tm tỉ số AB : BC ể số o góc KAM lớn nhất . t gx  t gy ( Cho cng thức biến ổi tg( x +y )= ) A B 1  t gx.t gy x Giải: y 0 ặt BAK  x , DAM  y ( x + y < 90 ) K KAMlớn nhất  BAK + DAM nhỏ nhất D M C  x + y nhỏ nhất  tan (x + y) nhỏ nhất Giả sử AB : BC = 1 : m ( m> 0) h.28 BK BK BC 4m tg x =  .  AB BC AB 5 www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 10
DM DM DC 1 tg y =  .  AD DC AD 5m tgx  t gy  4m 1   4m 1  25  4m 1  tg( x +y )= =   :1  . =    1  t gx.tgy  5 5m   5 5m  21  5 5m  4m 1 tg (x + y) nhỏ nhất   nhỏ nhất 5 5m Theo bất ẳng thức C-si ta có: 4m 1 4m 1 4  ≥ 2 .  5 5m 5 5m 5 4m 1 1 Dấu ẳng thức xảy ra    m= 5 5m 2 1 Vậy x + y nhỏ nhất khi v chỉ khi m = 2 Do  KAM lớn nhất khi v chỉ khi AB : BC = 2 : 1 www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 11