HUA Nhập môn kinh tế lượng_ Chương 2

Chia sẻ: Nguyễn Thế Mạnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:62

Thêm vào BST

Báo xấu

338
lượt xem 205
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo Chương trình giảng dạy Kinh tế Fulbright, Phương pháp phân tích, nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng_ Chương " Ôn lại xác suất và thống kê"

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: HUA Nhập môn kinh tế lượng_ Chương 2

Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ CHÖÔNG 2 OÂn Laïi Xaùc Suaát vaø Thoáng Keâ Trong chöông naøy, chuùng ta toùm taét caùc khaùi nieäm cuûa xaùc suaát vaø thoáng keâ ñöôïc söû duïng trong kinh teá löôïng. Bôûi vì moät soá kieán thöùc tröôùc ñaây cuûa xaùc suaát vaø thoáng keâ cô baûn ñöôïc giaû söû trong saùch naøy, vieäc oân laïi naøy ñöôïc thieát keá ñeå phuïc vuï chæ nhö laø moät söï höôùng daãn laïi caùc chuû ñeà ñöôïc söû duïng trong caùc chöông sau naøy. Ñieàu ñoù khoâng coù nghóa laø moät söï nghieân cöùu chaët cheõ vaø troïn veïn veà chuû ñeà naøy. Vì lyù do naøy, chuùng ta trình baøy raát ít caùc chöùng minh. Ñeå thay theá, chuùng ta ñònh nghóa caùc khaùi nieäm quan troïng döôùi tieâu ñeà “Ñònh nghóa” vaø toùm taét caùc keát quaû höõu duïng döôùi tieâu ñeà “Caùc tính chaát.” Muoán coù söï thaûo luaän chi tieát cuûa caùc chuû ñeà, baïn neân tham khaûo caùc cuoán saùch tuyeät haûo ñöôïc lieät keâ trong muïc luïc saùch tham khaûo ôû cuoái chöông. Caùc phaàn ñöôïc ñaùnh daáu hoa thò (*) coù tính chaát cao caáp hôn vaø coù theå boû qua maø khoâng maát ñi yù nghóa chính cuûa noäi dung chuû ñeà: Chöông naøy oân laïi taát caû chuû ñeà coù lieân quan trong xaùc suaát vaø thoáng keâ. Neáu ñaõ coù luùc do baïn ñaõ hoïc chuû ñeà naøy roài, baïn neân löôùt nhanh qua chöông naøy ñeå gôïi nhôù laïi. Tuy nhieân, neáu baïn vöøa môùi hoaøn thaønh moät khoùa hoïc veà caùc taøi lieäu naøy, chuùng toâi ñeà nghò baïn ñoïc Phaàn 2.1 ñeán 2.5 (ñaëc bieät chuù troïng veà ñoàng phöông sai vaø söï töông quan ñöôïc thaûo luaän trong Phaàn 2.3) vaø tieáp ñeán ñi vaøo tröïc tieáp Chöông 3 hôn laø ñoïc phaàn coøn laïi cuûa chöông naøy. Baïn coù theå quay laïi ñeå oân nhöõng phaàn coù lieân quan cuûa chöông naøy khi caàn. Caùc phaàn trong Chöông 2 song song vôùi caùc phaàn trong Chöông 3, vaø söï tham khaûo cheùo naøy ñöôïc chæ ñònh nhaèm giuùp cho moät söï hoaùn ñoåi suoân seû giöõa caùc phaàn coù theå thöïc hieän ñöôïc. Ñieàu naøy cho pheùp baïn hieåu lyù thuyeát kinh teá löôïng cô baûn toát hôn vaø ñaùnh giaù ñuùng söï höõu ích cuûa xaùc suaát vaø thoáng keâ moät caùch deã daøng hôn. 2.1 Caùc Bieán Ngaãu Nhieân vaø caùc Phaân Phoái Xaùc Suaát Moät caùch ñieån hình, moät nhaø nghieân cöùu thöïc hieän moät thí nghieäm coù theå ñôn giaûn nhö tung ñoàng xu hay quay caëp suùc saéc hoaëc coù theå phöùc taïp nhö laøm moät khaûo saùt caùc taùc nhaân kinh teá hay thöïc hieän moät chöông trình ñieàu trò y hoïc thöïc nghieäm. Döïa treân keát quaû cuûa thí nghieäm, moät nhaø phaân tích coù theå ño ñöôïc caùc giaù trò cuûa caùc bieán quan taâm maø chuùng moâ taû ñaëc ñieåm cuûa keát quaû. Caùc bieán nhö vaäy ñöôïc bieát ñeán nhö bieán ngaãu nhieân vaø thöôøng kyù hieäu laø X. Caùc ví duï bao goàm nhieät ñoä taïi moät thôøi ñieåm naøo ñoù, soá cuoäc goïi ñeán qua moät toång ñaøi ñieän thoaïi trong moät khoaûng 5 phuùt, thu nhaäp cuûa moät hoä gia ñình, toàn kho cuûa moät coâng ty, vaø giaù baùn cuûa moät caên nhaø cuõng nhö caùc ñaëc ñieåm cuûa noù, nhö dieän tích sinh hoaït hay kích thöôùc loâ ñaát. Moät bieán ngaãu nhieân laø rôøi raïc neáu Ramu Ramanathan 1 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ noù chæ mang caùc giaù trò löïa choïn. Soá ñeøn ñieän töû TV theo loâ 20 vaø soá maët ngöûa trong 10 laàn tung moät ñoàng xu laø caùc ví duï cuûa caùc bieán ngaãu nhieân rôøi raïc. Moät bieán ngaãu nhieân laø lieân tuïc neáu noù coù theå mang baát kyø giaù trò naøo trong moät khoaûng soá thöïc. Khi ñöôïc ño löôøng chính xaùc, chieàu cao cuûa moät ngöôøi, nhieät ñoä taïi moät luùc rieâng bieät naøo ñoù, vaø löôïng naêng löôïng tieâu thuï trong moät giôø laø caùc ví duï cuûa caùc bieán ngaãu nhieân lieân tuïc. Quy öôùc söû duïng trong saùch naøy laø kyù hieäu moät bieán ngaãu nhieân baèng maãu töï hoa (nhö X hay Y) vaø caùc keát quaû cuï theå cuûa noù bôûi maãu töï thöôøng (nhö x hay y). Ñeå giöõ cho söï trình baøy ñöôïc ñôn giaûn, ta minh hoïa caùc khaùi nieäm khaùc nhau söû duïng haàu heát caùc bieán ngaãu nhieân rôøi raïc. Caùc meänh ñeà deã daøng môû roäng tôùi tröôøng hôïp cuûa bieán ngaãu nhieân lieân tuïc. Lieân keát vôùi moãi bieán ngaãu nhieân laø moät phaân phoái xaùc suaát [kyù hieäu bôûi haøm f(x)] noù xaùc ñònh xaùc suaát maø bieán ngaãu nhieân seõ mang caùc giaù trò trong caùc khoaûng xaùc ñònh cuï theå. Ñònh nghóa chính thöùc cuûa moät bieán ngaãu nhieân khoâng ñöôïc trình baøy ôû ñaây nhöng coù theå tìm thaáy trong moïi cuoán saùch lieät keâ trong muïc luïc saùch tham khaûo. Trong cuoán saùch naøy ta chæ thaûo luaän nhöõng phaân phoái coù söû duïng tröïc tieáp trong kinh teá löôïng. Ramanathan (1993) coù nhieàu ví duï cuûa caû caùc phaân phoái lieân tuïc vaø rôøi raïc khoâng ñöôïc trình baøy ôû ñaây. VÍ DUÏ 2.1 Nhö laø moät minh hoïa, Cuïc Thueá Noäi Boä Myõ coù thoâng tin veà toång thu nhaäp coù hieäu chænh töø taát caû tieàn thu thueá thu nhaäp caù nhaân (keå caû tính traû chung) cho toaøn nöôùc Myõ. Giaû söû ta thieát laäp caùc khoaûng thu nhaäp 1 – 10.000, 10.000 – 20.000, 20.000 – 30.000, v.v… vaø tính toaùn tyû leä tieàn thu thueá thuoäc vaøo moãi nhoùm thu nhaäp. Ñieàu naøy taïo ra moät phaân phoái taàn suaát. Tyû leä tieàn thu thuoäc vaøo nhoùm thu nhaäp 40.000 – 50.000 coù theå ñöôïc xem laø xaùc suaát maø moät khoaûn thu thueá ñöôïc ruùt ngaãu nhieân seõ coù thu nhaäp thuoäc vaøo khoaûng ñoù. Trong Hình 2.1 tyû leä cuûa tieàn thu thueá ñöôïc veõ ñoà thò döïa vaøo caùc trung ñieåm cuûa caùc khoaûng döôùi daïng bieåu ñoà thanh (ñöôïc bieát laø bieåu ñoà taàn suaát) trong ñoù dieän tích cuûa caùc hình chöõ nhaät baèng vôùi caùc tyû leä töông öùng. Neáu kích thöôùc maãu laø ñuû lôùn vaø caùc khoaûng ñuû nhoû, ta coù theå laøm gaàn ñuùng caùc taàn suaát vôùi moät ñöôøng cong trôn (nhö trình baøy trong bieåu ñoà), ñoù laø phaân phoái xaùc suaát cuûa thu nhaäp. VÍ DUÏ 2.2 Ñieåm trung bình (GPA) cuûa moät sinh vieân thay ñoåi töø 0 ñeán 4. Baûng 2.1 coù moät ví duï cuûa phaân phoái xaùc suaát cuûa GPA. Hình 2.2 laø moät söï trình baøy baèng hình veõ cuûa phaân phoái xaùc suaát. Xaùc suaát maø moät sinh vieân ñöôïc choïn ngaãu nhieân coù GPA ôû giöõa 2 vaø 2,5 laø 0,244. Söï dieãn giaûi cuûa caùc con soá khaùc laø töông töï. Baûng 2.1 Phaân Phoái Xaùc Suaát Cuûa Ñieåm Trung Bình (GPA) Ramu Ramanathan 2 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Khoaûng 0 – 0,5 0,5 – 1,0 1,0 – 1,5 1,5 – 2,0 2,0 – 2,5 2,5 – 3,0 3,0 – 3,5 3,5 – 4,0 x 0,25 0,75 1,25 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 f(x) 0 0,002 0,010 0,049 0,244 0,342 0,255 0,098 Hình 2.1 Bieåu Ñoà Taàn Suaát Ñoái Vôùi Thu Nhaäp Haøng Naêm Tyû leä tieàn thu thueá Thu nhaäp theo ngaøn 5 15 25 35 45 55 ñoâ la Hình 2.2 Phaân Phoái Xaùc Suaát Cuûa Ñieåm Trung Bình (GPA) f(x) 0,342 0,300 0,200 0,100 X 0,25 0,75 1,25 1,75 2,25 f(x) 2,75 3,25 3,75 Hình 2.3 Ñoà Thò Maät Ñoä Chuaån Chuaån Hoùa Ramu Ramanathan 3 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Ngöôøi söû duïng chöông trình GRELT neân thöû Phaàn Maùy Tính Thöïc Haønh trong Phuï luïc C. Nhöõng ngöôøi khaùc ñöôïc khuyeán khích duøng chöông trình hoài qui cuûa chính hoï ñeå thu ñöôïc phaân phoái taàn suaát cho DATA2-1 vaø DATA2-2 (xem Phuï luïc D). Phaân Phoái Chuaån Phaân phoái lieân tuïc ñöôïc duøng roäng raõi nhaát laø phaân phoái chuaån (coøn ñöôïc bieát laø phaân phoái Gaussian). Daïng ñôn giaûn nhaát cuûa noù, ñöôïc bieát ñeán laø phaân phoái chuaån chuaån hoùa (hoaëc chuaån chuaån hoùa), haøm maät ñoä xaùc suaát (PDF) cuûa phaân phoái naøy laø 1 f(x) = exp( −x 2 / 2) – ∞ < x < ∞ 2π trong ñoù exp laø haøm muõ. Maät ñoä chuaån f(x) laø ñoái xöùng xung quanh toïa ñoâï goác vaø coù hình chuoâng (xem Hình 2.3). P(a ≤ X ≤ b) ñöôïc xaùc ñònh bôûi vuøng toâ maøu giöõa a vaø b. VÍ DUÏ 2.3 Baûng Phuï luïc A.1 coù dieän tích döôùi ñöôøng cong chuaån chuaån hoùa giöõa 0 vaø ñieåm baát kyø z. Nhö vaäy, laáy ví duï, dieän tích töø 0 ñeán 1,72 laø 0,4573. Bôûi vì ñöôøng cong chuaån laø ñoái xöùng xung quanh toïa ñoä goác, dieän tích töø 0 ñeán –1,72 cuõng baèng 0,4573. Dieän tích töø 0,65 ñeán 1,44 coù ñöôïc laø ñoä cheânh leäch cuûa caùc dieän tích tính töø 0 vaø do ñoù baèng 0,4251 – 0,2422 = 0,1829. Duøng kyõ thuaät naøy vaø tính chaát ñoái xöùng, deã daøng xaùc minh raèng P(– 0,65 ≤ X ≤ 1,44) = 0,2422 + 0,4251 = 0,6673 vaø P(–1,44 ≤ X ≤ –0,65) = 0,1829. Ñeå tính Ramu Ramanathan 4 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ P(X > 1,12), ta duøng söï quan heä P(X > 1,12) = P(X> 0) – P(0 < X < 1,12) = 0,5 – 0,3686 = 0,1314. Baûng 2.2 Phaân Phoái Xaùc Suaát cho Soá Maët Ngöûa trong Ba Laàn Tung Moät Ñoàng Xu. x 0 1 2 3 f(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 Phaân Phoái Nhò Thöùc Nhö moät ví duï cuûa moät haøm xaùc suaát rôøi raïc, goïi X laø soá maët ngöûa xuaát hieän trong ba laàn tung moät ñoàng xu. X coù theå coù caùc giaù trò 0, 1, 2, hay 3. Taùm keát quaû rieâng bieät laãn nhau, moãi keát quaû coù xaùc suaát nhö nhau laø 1/8, ñöôïc xaùc ñònh bôûi (HHH), (HHT), (HTH), (THH), (HTT), (THT), TTH), vaø (TTT). Töø ñoù coù P(X=2) = P(HHT) + P(HTH) + P(THH) = 3/8. Tieán haønh theo caùch töông töï, ta coù theå thu ñöôïc caùc xaùc suaát cho moãi giaù trò coù theå coù cuûa X. Baûng 2.2 cung caáp haøm xaùc suaát f(x) cho boán giaù trò cuûa X. Phaân phoái laø moät phaàn töû cuûa moät hoï phaân phoái ñöôïc bieát ñeán nhö phaân phoái nhò thöùc. Noù phaùt sinh khi chæ coù 2 keát quaû coù theå xaûy ra ñoái vôùi moät thí nghieäm, moät ñöôïc meänh danh laø “thaønh coâng” vaø moät laø “thaát baïi”. Goïi p laø xaùc suaát cuûa thaønh coâng trong moät thí nghieäm cho tröôùc. Xaùc suaát cuûa thaát baïi laø 1 – p. Hôn nöõa giaû söû raèng xaùc suaát cuûa thaønh coâng laø nhö nhau cho moãi thí nghieäm vaø caùc thí nghieäm laø ñoäc laäp. Goïi X laø soá laàn thaønh coâng trong n thí nghieäm ñoäc laäp. Vaäy f(x) coù theå trình baøy laø [xem Freund (1992), trang 184-185] n n! f(x) =   p x q n −x = p x q n−x x = 0, 1, . . . , n x x! (n − x)! trong ñoù 1 – p = q vaø n! = n(n –1) … 1 (0! ñöôïc ñònh nghóa laø 1) VÍ DUÏ 2.4 Moät söï ñieàu trò beänh baïch haàu ñaëc bieät coù 25 phaàn traêm xaùc suaát chöõa khoûi hoaøn toaøn. Neáu 40 beänh nhaân ñöôïc choïn ngaãu nhieân ñöôïc ñem ñieàu trò, xaùc suaát ñeå coù ít nhaát 15 beänh nhaân seõ ñöôïc chöõa khoûi laø gì? Goïi X = soá laàn thaønh coâng trong 40 laàn thöû. Vaäy ta caàn P(X > 15) vôùi p = 0,25. Baûng Phuï Luïc A.6 coù xaùc suaát tích luõy caän treân mong muoán laø 0,0544. Thöû laøm Baøi taäp 2.1 ñeán 2.5 vaø nghieân cöùu caùc ñaùp aùn cho Baøi taäp 2.4 trong Phuï luïc B. Ramu Ramanathan 5 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ 2.2 Kyø Voïng, Trung Bình vaø Phöông Sai Toaùn Hoïc Xeùt thí nghieäm nhò thöùc ñaõ moâ taû tröôùc ñaây trong ñoù moät ñoàng xu ñöôïc tung ba laàn. Giaû söû ta ñöôïc traû 3$ neáu keát quaû laø ba maët ngöûa, 2$ neáu coù hai maët ngöûa, 1$ neáu chæ coù moät ngöûa, vaø khoâng coù gì heát neáu caû ba laàn tung ñeàu cho keát quaû maët saáp. Veà maët trung bình, moãi thí nghieäm tung ba laàn, ta kyø voïng thaéng bao nhieâu? Töø Baûng 2.2 ta löu yù raèng trong 8 laàn thí nghieäm ta coù theå kyø voïng, veà maët trung bình, coù moät laàn coù ba maët ñeàu ngöûa (daãn ñeán ñöôïc traû 3$), ba laàn coù hai maët ngöûa (toång tieàn ñöôïc traû laø 6$, tính 2$ cho moãi laàn), vaø ba laàn vôùi moät maët ngöûa (toång tieàn ñöôïc traû laø 3$). Vaäy ta coù theå kyø voïng toång tieàn ñöôïc traû laø 12$ (3+6+3) trong 8 laàn thöû, thaønh ra tieàn ñöôïc traû trung bình laø 1,5 $ cho moãi laàn thöû. Trung Bình Cuûa Moät Phaân Phoái Giaù trò trung bình ñöôïc tính trong phaàn tröôùc ñöôïc goïi laø trung bình cuûa phaân phoái (cuõng ñöôïc bieát ñeán nhö kyø voïng toaùn hoïc cuûa X vaø giaù trò kyø voïng cuûa X). Noù cuõng ñöôïc bieát ñeán nhö momen baäc nhaát xung quanh giaù trò goác, hay momen ñònh taâm baäc nhaát, vaø laø moät ñaïi löôïng cuûa ñònh vò. Noù ñöôïc kyù hieäu bôûi E(X) hay µ. E(X) laø moät trung bình coù troïng soá cuûa X, vôùi troïng soá laø caùc xaùc suaát töông öùng. Trong tröôøng hôïp toång quaùt, giaû söû moät bieán ngaãu nhieân rôøi raïc coù theå coù caùc giaù trò x1, x2, . . ., xn. P(X = xi) = f(xi) laø haøm xaùc suaát cuûa bieán ñoù. Neáu tieàn ñöôïc traû cho keát quaû X = xi laø xi ñoâ-la, tieàn ñöôïc traû trung bình seõ laø x1f(x1) + x2f(x2) + . . . + xnf(xn) = ∑[xif(xi)], trong ñoù ∑ kyù hieäu cho pheùp laáy toång caùc soá haïng, vôùi i = 1 ñeán n. (Xem Phuï luïc 2.A.1 veà pheùp toång.) Vaäy ta coù ñònh nghóa sau ñaây. ÑÒNH NGHÓA 2.1 (Trung Bình Cuûa Moät Phaân Phoái) Vôùi moät bieán ngaãu nhieân rôøi raïc, trung bình cuûa phaân phoái (µ) ñöôïc ñònh nghóa laø i =n µ = E(X) = ∑ [x f (x )] i =1 i i (2.1) Bôûi vì E(X) laø troïng soá theo xaùc suaát, noù coù theå khaùc vôùi trung bình soá hoïc, x = (∑xi)/n. Khoâng coù lyù do vì sao keát quaû ñöôïc moâ taû ôû treân ñöôïc giôùi haïn baèng x. Noù coù theå laø baát kyø haøm naøo cuûa x. Giaû söû keát quaû laø x2. Keát quaû trung bình seõ laø ∑[xi2f(xi)]. Ñieàu naøy ñöôïc goïi laø momen baäc hai cuûa phaân phoái cuûa X xung quanh giaù trò goác. Khaùi nieäm cuûa kyø voïng toaùn hoïc coù theå môû roäng cho baát kyø haøm soá naøo cuûa x. Vaäy, ta coù söï dieãn taû sau ñaây cho giaù trò kyø voïng cuûa moät haøm toång quaùt g(X): E[g(X)] = ∑[g(xi)f(xi)] (2.2) VÍ DUÏ 2.5 Ramu Ramanathan 6 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Ñieåm Kieåm Tra Khaû Naêng Hoïc Thuaät Veà Töø Vöïng (VSAT) ñoái vôùi moät sinh vieân noäp ñôn xin vaøo ñaïi hoïc coù giaù trò traûi töø 0 ñeán 700. Baûng 2.3 coù moät ví duï cuûa phaân phoái xaùc suaát cuûa ñieåm VSAT cho moät toång theå lôùn caùc sinh vieân ñaïi hoïc. Trung bình cuûa phaân phoái naøy ñöôïc tính laø 100 × 0 + 225 × 0,003 + … + 675 × 0,063 = 506,25. Baûng 2.3 Phaân Phoái Xaùc Suaát Cuûa Ñieåm VSAT Khoaûng x f(x) 0 – 200 100 0 200 – 250 225 0,003 250 – 300 275 0,021 300 – 350 325 0,033 350 – 400 375 0,061 400 – 450 425 0,131 450 – 500 475 0,201 500 – 550 525 0,234 550 – 600 575 0,169 600 – 650 625 0,084 650 – 700 675 0,063 Baøi Taäp Thöïc Haønh 2.1 Giaû söû coù 10.000 veù soá 1$ ñöôïc baùn vaø coù ba giaûi thöôûng ñöôïc ñöa ra: giaûi nhaát 5.000$, giaûi nhì 2.000$, vaø giaûi ba 500$. Kyø voïng thaéng giaûi laø bao nhieâu? Baøi Taäp Thöïc Haønh 2.2 Moät thôï baùnh mì coù haøm xaùc suaát nhö sau cho nhu caàu baùnh mì (tính theo taù hay 12 ñôn vò moãi ngaøy). Toàn kho trung bình neân laø bao nhieâu? x 0 1 2 3 4 5 6 hay lôùn hôn f(x) 0,05 0,10 0,25 0,30 0,20 0,10 0 Chuùng ta vieát moät soá keát quaû lieân quan ñeán giaù trò kyø voïng maø khoâng coù chöùng minh. Nhöõng keát quaû naøy ñöôïc kieán nghò neân ñöôïc nghieân cöùu kyõ löôõng bôûi vì chuùng seõ ñöôïc söû duïng thöôøng xuyeân trong caùc chöông sau. (Haõy thöû chöùng minh chuùng.) Tính chaát 2.1 a. E(X – µ) = E(X) – µ = 0. b. Neáu c laø haèng soá hay laø bieán khoâng ngaãu nhieân, E(c) = c. c. Neáu c laø haèng soá hay laø bieán khoâng ngaãu nhieân, E[cg(X)] = cE[g(x)]. Ramu Ramanathan 7 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ d. E[u(X) + v(X)] = E[u(X)] + E[v(X)]. Dieãn taû baèng töø ngöõ, giaù trò kyø voïng cuûa ñoä leäch so vôùi trung bình laø 0. Giaù trò kyø voïng cuûa moät haèng soá hay moät bieán khoâng ngaãu nhieân chính baèng noù. Giaù trò kyø voïng cuûa moät haèng soá nhaân vôùi moät bieán ngaãu nhieân baèng haèng soá nhaân vôùi giaù trò kyø voïng. Giaù trò kyø voïng cuûa toång caùc haøm soá cuûa X laø toång caùc kyø voïng. Ñaùp aùn cho Baøi taäp 2.6 trong Phuï luïc B coù chöùng minh veà Tính chaát 2.1 cho tröôøng hôïp rôøi raïc. Phöông Sai vaø Ñoä Leäch Chuaån cuûa Moät Bieán Ngaãu Nhieân Ñaët µ = E(X) laø trung bình cuûa phaân phoái cuûa X. Moät tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa haøm g(X), maø kyø voïng cuûa noù ñöôïc ñònh nghóa trong Phöông trình (2.2), ñöôïc quan taâm ñaùng keå. Cho g(X) = (X – µ)2. X – µ laø moät ñaïi löôïng ñeå xem X leäch bao nhieâu so vôùi trung bình µ. Bình phöông ñaïi löôïng naøy seõ phoùng roäng caùc ñoä leäch vaø xöû lyù caùc ñoä leäch döông vaø aâm nhö nhau. Trung bình coù troïng soá xaùc suaát cuûa caùc ñoä leäch bình phöông naøy (hay, cuï theå hôn, kyø voïng cuûa chuùng) laø moät ño löôøng cuûa söï phaân taùn cuûa caùc giaù trò X xung quanh giaù trò trung bình µ. Noù ñöôïc goïi laø phöông sai cuûa phaân phoái (hay momen ñònh taâm baäc hai) vaø ñöôïc kyù hieäu bôûi σ2 hay Var(X). Noù laø moät ño löôøng cuûa söï phaân taùn cuûa X xung quanh µ. Moät caùch chính thöùc, ta coù ñònh nghóa sau. ÑÒNH NGHÓA 2.2 (Phöông Sai vaø Ñoä Leäch Chuaån) Phöông sai cuûa X ñöôïc ñònh nghóa laø σ2 = Var(X) = E[(X – µ)2] = ∑(xi – µ)2f(xi) (2.3) Caên baäc hai (σ) cuûa bieåu thöùc naøy ñöôïc goïi laø ñoä leäch chuaån (s.d.). Tính chaát 2.2 lieät keâ vaøi tính chaát cuûa phöông sai ñuùng cho caû phaân phoái lieân tuïc vaø rôøi raïc. Tính chaát 2.2 a. σ2 = E[(X – µ)2] = E[X2 – 2µX + µ2] = E(X2) – 2µE(X) + µ2 = E(X2) – µ2. b. Theo ñoù neáu c laø moät haèng soá hay khoâng ngaãu nhieân, Var(c) = 0. c. Neáu a vaø b laø caùc haèng soá hay khoâng ngaãu nhieân, Var(a + bX) = b2σ2. VÍ DUÏ 2.6 Haøm xaùc suaát cuûa moät bieán ngaãu nhieân rôøi raïc ñöôïc cho nhö sau: Ramu Ramanathan 8 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ x 0 1 2 3 f(x) 0,1 0,3 0,4 0,2 Haõy tính trung bình, phöông sai, vaø ñoä leäch chuaån. µ = E(X) = ∑xif(xi) = (0 × 0,1) + (1 × 0,3) + (2 × 0,4) + (3 × 0,2) = 0 + 0,3 + 0,8 + 0,6 = 1,7 E(X ) = ∑xi2f(xi) = (0 × 0,1) + (1 × 0,3) + (4 × 0,4) + (9 × 0,2) 2 = 0 + 0,3 + 1,6 + 1,8 = 3,7 Var(X) = E(X2) – µ2 = 3,7 – (1,7)2 = 0,81 σ = Var( X) = 0,9 BAØI TAÄP THÖÏC HAØNH 2.3 Haõy tính trung bình, phöông sai, vaø ñoä leäch chuaån cho caùc phaân phoái trong caùc Baûng 2.1 vaø 2.3. BAØI TAÄP THÖÏC HAØNH 2.4 Haõy chöùng toû raèng neáu bieán ngaãu nhieân X coù trung bình µ vaø ñoä leäch chuaån σ, bieán ngaãu nhieân bieán ñoåi Z = (X – µ)/σ (thöôøng tham chieáu nhö laø giaù trò z) coù trung bình 0 vaø phöông sai laø 1. Phaân Phoái Chuaån Toång Quaùt Phaân phoái chuaån ñöôïc trình baøy trong Phaàn 2.1 coù trung bình 0 vaø phöông sai ñôn vò. Moät phaân phoái chuaån toång quaùt, vôùi trung bình µ vaø phöông sai σ2, thöôøng ñöôïc vieát laø N(µ, σ2), coù haøm maät ñoä nhö sau: 1  (x − µ) 2  f(x) = exp −  –∞
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Tính chaát 2.3 Phaân phoái chuaån, vôùi trung bình µ vaø phöông sai σ2 [ñöôïc vieát laø N(µ, σ2)], coù caùc tính chaát sau: a. Ñoái xöùng xung quanh giaù trò trung bình µ vaø coù daïng hình chuoâng. b. Dieän tích döôùi ñöôøng cong chuaån giöõa µ – σ vaø µ + σ – nghóa laø trong khoaûng 1 ñoä leäch chuaån tính töø trung bình – hôi lôùn hôn 2/3(0,6826). 95,44 phaàn traêm dieän tích naèm trong khoaûng 2 ñoä leäch chuaån tính töø giaù trò trung bình – nghóa laø, giöõa µ – 2σ vaø µ + 2σ. 99,73 phaàn traêm dieän tích naèm trong khoaûng 3 ñoä leäch chuaån tính töø giaù trò trung bình. Vaäy, gaàn nhö toaøn boä phaân phoái naèm giöõa µ – 3σ vaø µ + 3σ. Hình 2.4 Ba Phaân Phoái Chuaån f(x) σ = 10 (3) σ = 15 (2) (1) σ = 20 X 10 20 30 c. Neáu X coù phaân phoái chuaån, vôùi trung bình µ vaø ñoä leäch chuaån σ, thì bieán ngaãu nhieân “chuaån hoùa” Z = (X – µ)/σ coù phaân phoái chuaån chuaån hoùa N(0,1). Bôûi tính chaát naøy, dieän tích giöõa hai ñieåm a vaø b trong N(µ, σ2) seõ baèng vôùi dieän tích giöõa caùc ñieåm muùt chuaån hoùa (a – µ)/σ vaø (b – µ)/σ trong N(0, 1). Baûng A.1 coù caùc dieän tích theo chuaån hoùa giöõa trung bình 0 vaø caùc giaù trò khaùc nhau cuûa Z. d. Neáu X ñöôïc phaân phoái theo N(µ, σ2), thì Y = a + bX, trong ñoù a vaø b laø haèng soá coá ñònh, ñöôïc phaân phoái theo N(a + bµ, b2σ2). VÍ DUÏ 2.7 Ramu Ramanathan 10 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Moät nhaø saûn xuaát loáp xe ñaõ nhaän thaáy raèng tuoåi thoï cuûa moät loaïi loáp naøo ñoù laø moät bieán ngaãu nhieân chuaån vôùi trung bình laø 30.000 daëm vaø ñoä leäch chuaån laø 2.000 daëm. Coâng ty mong muoán ñaûm baûo loáp xe ñoù cho N daëm vôùi vieäc traû laïi toaøn boä tieàn neáu loáp xe khoâng duøng ñöôïc ñeán giôùi haïn ñoù. Giaû söû coâng ty muoán ñaûm baûo raèng xaùc suaát maø moät loáp xe bò traû laïi khoâng quaù 0,10 (nghóa laø khoâng quaù 10 phaàn traêm soá loáp xe seõ ñöôïc baùn). Giaù trò N coâng ty neân choïn laø bao nhieâu? Cho X laø tuoåi thoï cuûa loáp xe. Vaäy X ñöôïc phaân phoái theo N(30.000, 2.0002). Ta  X -µ N − µ  X -µ muoán P(X ≤ N) ≤ 0,10. P(X ≤ N) = P ≤  ≤ 0,10. Cho Z = laø chuaån  σ σ  σ  N−µ chuaån hoùa. Vaäy P Z ≤ z =  ≤ 0,10. Töø Hình 2.5 ta thaáy raèng ñeå thu ñöôïc dieän tích  σ  cuûa 0,10 phía beân traùi cuûa z, ta caàn tìm ñieåm d (= – z) sao cho dieän tích giöõa 0 vaø d laø 0,40 (do tính chaát ñoái xöùng). Töø Baûng A.1 cuûa phuï luïc, ta löu yù raèng P(0 ≤ Z ≤ d = 1,282) N -µ = 0,40, nghóa laø neáu ≤ – 1,282, thì baát ñaúng thöùc treân seõ thoûa maõn. Vaäy, N ≤ µ – σ 1,282σ = 30.000 – (1,282)2.000; nghóa laø N ≤ 27.436 daëm. Hình 2.5 Ñoà Thò Maät Ñoä Chuaån Chuaån Hoùa f(Z) 40% 40% 10% 10% Z z = – 1,828 0 d = 1,828 Heä Soá Bieán Thieân Ramu Ramanathan 11 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Heä soá bieán thieân ñöôïc ñònh nghóa laø tyû soá σ/µ, trong ñoù töû soá laø ñoä leäch chuaån vaø maãu soá laø trò trung bình. Ñoù laø moät ñaïi löôïng cuûa söï phaân taùn cuûa phaân phoái töông ñoái so vôùi trò trung bình cuûa phaân phoái. Chuùng ta seõ gaëp phaûi khaùi nieäm naøy laàn nöõa trong Chöông 14 khi thöïc hieän moät döï aùn thöïc nghieäm. Ñeå coù thaûo luaän cuûa caùc ño löôøng khaùc ñaëc tröng cho moät phaân phoái, xem Ramanathan (1993, Phaàn 3.5). Phaàn Maùy Tính Thöïc Haønh 2.2 (xem Baûng Phuï luïc D.1) minh hoïa caùc khaùi nieäm naøy cho ngöôøi söû duïng GRELT, duøng döõ lieäu maãu veà ñieåm trung bình cuûa 427 sinh vieân. 2.3 Caùc Xaùc Suaát Keát Hôïp, Ñoàng Phöông Sai, vaø Töông Quan Caùc haøm xaùc suaát ñöôïc xaùc ñònh vôùi moät caëp bieán ngaãu nhieân naøo ñoù (ví duï nhö bieán PRICE vaø SQFT hay bieán tieâu duøng vaø thu nhaäp) ñöôïc goïi laø phaân phoái xaùc suaát keát hôïp hay phaân phoái hai bieán. Ñeå vieäc trình baøy ñôn giaûn hôn, phaàn thaûo luaän chæ taäp trung vaøo caùc bieán ngaãu nhieân rôøi raïc. Söï khaùi quaùt hoaù ñoái vôùi tröôøng hôïp bieán lieân tuïc coù theå deã daøng suy ra. Goïi X vaø Y laø hai bieán ngaãu nhieân rôøi raïc, x vaø y laø caùc giaù trò töông öùng maø hai bieán treân coù theå ñaït ñöôïc. Xaùc suaát maø X = x vaø Y = y ñöôïc goïi laø haøm xaùc suaát keát hôïp ñoái vôùi X vaø Y vaø ñöôïc bieåu thò thoâng qua haøm fXY(x, y). Vì theá ta coù haøm fXY(x, y) = P(X = x, Y = y), coù nghóa laø P(X = x vaø Y = y). Vì haøm xaùc suaát thöôøng ñöôïc bieåu thò baèng f() neân chuùng ta duøng kyù hieäu XY ñaët ôû beân döôùi ñeå quy ñònh hai bieán ngaãu nhieân keát hôïp ñang quan saùt laø X vaø Y. VÍ DUÏ 2.8 Haõy xem xeùt cuoäc thí nghieäm thaûy moät caëp suùc saéc. Coù theå coù 36 tröôøng hôïp xaûy ra, ñöôïc bieåu thò theo (1, 1), (1, 2), …, (6, 6), trong ñoù chöõ soá ñaàu tieân laø keát quaû cuûa suùc saéc thöù nhaát vaø soá haïng thöù hai bieåu thò keát quaû cuûa suùc saéc thöù hai. Moãi keát quaû ñeàu coù khaû naêng xaûy ra nhö nhau, vaø vì vaäy xaùc suaát xaûy ra cuûa moãi keát quaû cuï theå laø 1/36. Baây giôø, ñaët bieán ngaãu nhieân X = soá laàn xuaát hieän cuûa soá 3 ôû keát quaû thu ñöôïc. Do ñoù, neâu keát quaû laø (1, 5) thì X = 0; neáu laø (3, 6) thì X = 1; vaø X = 2 khi vaø chæ khi keát quaû laø (3, 3). Giaù trò X chæ chæ coù theå laø 0, 1, vaø 2. Keá tieáp, chuùng ta ñònh nghóa bieán ngaãu nhieân Y = soá laàn xuaát hieän cuûa soá 5 xuaát hieän nôi keát quaû cuï theå, giaù trò cuûa Y cuõng chæ coù theå laø 0, 1, vaø 2. Keát quaû (1, 3) seõ töông öùng vôùi X = 1 vaø Y = 0. Deã daøng kieåm chöùng caùc giaù trò xaùc suaát keát hôïp cho trong baûng 2.4. Ví duï, bieán coá keát hôïp (X = 1, Y = 1) coù theå xaûy ra chæ khi coù keát quaû laø (3, 5) hoaëc (5, 3), moãi tröôøng hôïp ñeàu coù xaùc suaát laø 1/36. Vì theá, f(1, 1) = P(X = 1, Y = 1) = 1/36. Caùc giaù trò xaùc suaát khaùc cuõng ñöôïc tính toaùn töông töï (haõy kieåm chöùng caùc keát luaän naøy nhö laø baøi taäp thöïc haønh). Ramu Ramanathan 12 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Söï Ñoäc Laäp Thoáng Keâ Caùc bieán ngaãu nhieân rôøi raïc ñöôïc goïi laø söï ñoäc laäp thoáng keâ neáu P(X = x vaø Y = y) = P(X = x) . P(Y = y). Vì vaäy trong tröôøng hôïp naøy, xaùc suaát keát hôïp laø tích cuûa caùc xaùc suaát rieâng leû. Ñoái vôùi tröôøng hôïp bieán coù daïng lieân tuïc, chuùng ta seõ coù fXY(x, y) = fX(x). fY(y). Xaùc Suaát Coù Ñieàu Kieän Ñeå bieát theâm veà xaùc suaát cuûa nhöõng bieán coá xaûy ra keát hôïp cuûa hai bieán ngaãu nhieân X vaø Y, chuùng ta cuõng caàn neân bieát veà xaùc suaát xaûy ra cuûa bieán ngaãu nhieân cuï theå (Y) naøo ñoù cho tröôùc söï kieän ñaõ xaûy ra cuûa moät bieán (X) ngaãu nhieân khaùc. Ví duï, chuùng ta coù theå muoán bieát xaùc suaát ñeå giaù mua moät caên nhaø laø 200.000 ñoâ la, neáu cho tröôùc dieän tích sinh hoaït phaûi laø 1.500 thöôùc vuoâng Anh. Yeâu caàu naøy seõ daãn chuùng ta ñeán khaùi nieäm xaùc suaát coù ñieàu kieän, ñöôïc ñònh nghóa trong tröôøng hôïp bieán ngaãu nhieân daïng rôøi raïc nhö sau: P(X = x, Y = y) P(Y = y  X = x) = vôùi P(X = x) ≠ 0 P( X = x ) Kyù hieäu “” coù nghóa laø cho tröôùc. Haøm maät ñoä xaùc suaát coù ñieàu kieän (cho caû khi bieán ngaãu nhieân laø rôøi raïc vaø lieân tuïc) ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: fXY (x, y) fYX(x, y) = vôùi moïi giaù trò cuûa x sao cho fX(x) > 0 f X ( x) Trong ñoù fXY(x, y) laø haøm maät ñoä xaùc suaát keát hôïp cuûa X vaø Y vaø fX(x) laø haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa rieâng bieán X, thöôøng ñöôïc ñeà caäp ñeán nhö laø haøm maät ñoä caän bieân cuûa bieán X. Löu yù raèng xaùc suaát coù ñieàu kieän phuï thuoäc vaøo caû giaù trò x vaø y. Khi caû hai bieán ngaãu nhieân naøy phuï thuoäc thoáng keâ laãn nhau thì phaân phoái xaùc suaát coù ñieàu kieän trôû thaønh caùc phaân phoái caän bieân töông öùng. Ñeå hieåu ñöôïc ñieàu naøy, haõy löu yù raèng söï ñoäc laäp thoáng keâ ngaàm ñònh fXY(x, y) = fX(x) . fY(y). Ruùt ra töø keát luaän naøy, chuùng ta coù: fYX (yx) = fXY(x, y)/fX(x) = fY(y) vaø fXY (xy) = fXY(x, y)/fY(y) = fX(x) Baûng 2.4 Phaân phoái xaùc suaát keát hôïp ñoái vôùi soá laàn xuaát hieän caùc con soá 3 (X) vaø soá 5 (Y) khi moät caëp suùc saéc ñöôïc thaûy. Ramu Ramanathan 13 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ X 0 1 2 Y 0 16/36 8/36 1/36 1 8/36 2/36 0 2 1/36 0 0 VÍ DUÏ 2.9 Baûng 2.4 trình baøy caùc giaù trò xaùc suaát keát hôïp cuûa soá laàn xuaát hieän cuûa soá 3 (X) vaø soá 5 (Y) khi moät caëp suùc saéc ñöôïc thaûy. Chuùng ta haõy tính keát quaû thöù nhaát cuûa maät ñoä caän bieân cuûa bieán X vaø Y. Vì X = 0 coù theå xaûy ra khi Y = 0 hoaëc 1 hoaëc 2, P(X = 0) coù theå tính toaùn ñöôïc baèng P(X = 0, Y = 0) + P(X = 0, Y = 1) + P(X = 0, Y = 2) = 16/36 + 8/36 + 1/36 = 25/36. Tính toaùn töông töï, chuùng ta coù P(X = 1) = 10/36 vaø P(X = 2) = 1/36. Löu yù raèng toång cuûa ba giaù trò xaùc suaát treân laø baèng 1, vì ñieàu naøy laø hieån nhieân. Phaân phoái caän bieân cuûa Y cuõng ñöôïc xaùc ñònh theo trình töï tính toaùn töông töï. Baûng 2.5 trình baøy caùc giaù trò caän bieân cuûa X vaø Y ôû caùc haøng vaø coät ngoaøi cuøng töông öùng. Löu yù raèng caùc giaù trò naøy xuaát hieän vôùi caùc quy luaät gioáng nhau. Baûng 2.5 Phaân Phoái Caän Bieân Ñoái Vôùi Soá Laàn Xuaát Hieän Caùc Con Soá 3 (X) Vaø Soá 5 (Y) Khi Moät Caëp Suùc Saéc Ñöôïc Thaûy. X 0 1 2 fY(y) Y 0 16/36 8/36 1/36 25/36 1 8/36 2/36 0 10/36 2 1/36 0 0 1/36 fX(x) 25/36 10/36 1/36 1 Baûng 2.6 Phaân Phoái Coù Ñieàu Kieän Ñoái Vôùi Soá Laàn Xuaát Hieän Caùc Con Soá 5 (Y) Cho Tröôùc Soá Laàn Xuaát Hieän Cuûa Caùc Soá 3 (X) Khi Moät Caëp Suùc Saéc Ñöôïc Thaûy. X 0 1 2 Y 0 0,64 0,32 0,04 1 0,80 0,20 0,00 2 1,00 0,00 0,00 Xaùc suaát coù ñieàu kieän ñeå Y = 0 vôùi X = 0 cho tröôùc ñöôïc tính toaùn nhö sau: P(Y = 0X = 0) = P(X = 0, Y = 0)/ P(X = 0) = 16/36 ÷ 25/36 = 0,64 Ramu Ramanathan 14 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Tieán haønh töông töï, chuùng ta seõ coù ñöôïc caùc giaù trò phaân phoái coù ñieàu kieän cuûa bieán Y vôùi X cho tröôùc trình baøy trong baûng 2.6. Giaù Trò Kyø Voïng Toaùn Hoïc Trong Tröôøng Hôïp Hai Bieán Khaùi nieäm kyø voïng toaùn hoïc coù theå môû roäng deã daøng sang tröôøng hôïp caùc bieán ngaãu nhieân goàm hai bieán. Cho tröôùc haøm g(X, Y) vaø haøm xaùc suaát keát hôïp f(x, y), giaù trò kyø voïng cuûa g(X, Y) ñöôïc xaùc ñònh baèng caùch nhaân g(x, y) vôùi f(x, y) vaø coäng toång caùc giaù trò coù theå coù cuûa x vaø y. Chuùng ta coù caùc ñònh nghóa sau ñaây. ÑÒNH NGHÓA 2.3 (GIAÙ TRÒ KYØ VOÏNG) Giaù trò kyø voïng cuûa g(X, Y) ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: E[g(X, Y)] = ∑∑ g(x, y)f (x, y) x y Trong ñoù pheùp tính toång hai laàn bieåu dieãn pheùp tính toång treân taát caû caùc giaù trò coù theå coù cuûa x vaø y. (Vì vaäy giaù trò kyø voïng seõ baèng toång coù troïng soá vôùi giaù trò xaùc suaát keát hôïp ñöôïc duøng laøm troïng soá). Goïi µx laø giaù trò kyø voïng cuûa bieán ngaãu nhieân X, vaø µy laø giaù trò kyø voïng cuûa bieán ngaãu nhieân Y. Phöông sai cuûa chuùng ñöôïc xaùc ñònh töông töï nhö tröôøng hôïp ñôn bieán: σ 2 = E[(X − µ x ) 2 ] vaø σ 2 = E[(Y − µ y ) 2 ] x y (2.5) BAØI TAÄP THÖÏC HAØNH 2.5 Töø caùc giaù trò xaùc suaát keát hôïp cho trong baûng 2.4, haõy tính trò trung bình µx = E(X), µy = E(Y), vaø phöông sai σ 2 , σ 2 . Haõy kieåm chöùng raèng bieán X vaø Y laø khoâng ñoäc laäp thoáng x y keâ vôùi nhau. Giaù Trò Kyø Voïng Coù Ñieàu Kieän vaø Phöông Sai Coù Ñieàu Kieän Giaù trò kyø voïng cuûa Y vôùi X cho tröôùc ñöôïc goïi laø giaù trò kyø voïng cuûa Y vôùi X cho tröôùc. Moät caùch cuï theå hôn, ñoái vôùi moät caëp bieán ngaãu nhieân rôøi raïc, thì E(YX =x) = ∑ y fYX(x,y). Hay noùi caùch khaùc, ñoù laø giaù trò trung bình cuûa Y söû duïng giaù trò maät ñoä Y =y coù ñieàu kieän cuûa ∑ y fYX(x,y) nhö moät troïng soá. Giaù trò kyø voïng cuûa Y vôùi X cho tröôùc Y =y Ramu Ramanathan 15 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ coøn ñöôïc goïi laø giaù trò hoài quy cuûa Y theo X. Töø baûng 2.6, chuùng ta coù theå thaáy raèng E(YX = 0) = (0,64 × 0) + (0,32 × 1) + (0,04 × 2) = 0,32 + 0,08 = 0,4; E(YX = 1) = 0,2; vaø E(YX = 2) = 0. Trong moâ hình hoài quy ñôn giaûn ñöôïc trình baøy trong ví duï 1.1, chuùng ta coù PRICE = α + β SQFT + u. Neáu E(uSQFT) = 0 thì E(PRICESQFT) = α + β SQFT. Vì vaäy, phaàn xaùc ñònh cuûa moâ hình laø giaù trò kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa bieán PRICE vôùi SQFT cho tröôùc, khi E(uSQFT) = 0. Khaùi nieäm giaù trò kyø voïng coù ñieàu kieän ñaõ trình ôû treân coù theå môû roäng deã daøng ñeå tính toaùn phöông sai coù ñieàu kieän, ñöôïc xaùc ñònh nhö sau. Goïi µ*(X) laø giaù trò kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa Y cho tröôùc X, ñöôïc kyù hieäu laø E(YX). Phöông sai coù ñieàu kieän cuûa Y vôùi X cho tröôùc ñöôïc ñònh nghóa nhö sau Var(YX) = EYX [(Y – µ* )2 | X ]. Noùi caùch khaùc, coá ñònh giaù trò cuûa bieán X vaø tính toaùn giaù trò trung bình coù ñieàu kieän cuûa Y vôùi X cho tröôùc, vaø sau ñoù tính toaùn phöông sai xung quanh giaù trò trung bình naøy vôùi troïng soá laø maät ñoä coù ñieàu kieän fYX(x,y). Moät soá tính chaát cuûa giaù trò kyø voïng coù ñieàu kieän söû duïng trong moân hoïc kinh teá löôïng ñöôïc toùm taét sau ñaây. Ñeå hieåu roõ theâm veà phaàn chöùng minh, xin tham khaûo taùc giaû Ramanathan (1993, phaàn 5.2). Tính chaát 2.4 Ñoái vôùi moïi haøm u(x) thì ta luoân coù E[u(x)X] = u(x). Tính chaát naøy ngaàm ñònh raèng khi tieán ñeán giaù trò kyø voïng coù ñieàu kieän cho tröôùc X thì haøm u(X) tieán ñeán giaù trò haèng soá. Do ñoù, moät tröôøng hôïp ñaëc bieät ñöôïc suy ra laø neáu c laø haèng soá thì E(cX) = c. Tính chaát 2.5 E([a(x) + b(X)Y]X) = a(X) + b(X) E(YX) Tính chaát 2.6 EXY(Y) = EX [EYX (YX)]. Tính chaát naøy coù nghóa laø giaù trò kyø voïng khoâng ñieàu kieän cuûa Y, söû duïng maät ñoä chung giöõa X vaø Y, coù theå tính toaùn ñöôïc baèng caùch tính tröôùc tieân giaù trò kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa Y vôùi X cho tröôùc (laø bieåu thöùc trong daáu ngoaëc vuoâng), sau ñoù tính giaù trò kyø voïng cuûa chuùng theo X. Tính chaát naøy ñöôïc goïi laø luaät cuûa caùc giaù trò kyø voïng laëp (law of iterated expectations). Tính chaát 2.7 Var(Y) = EX[Var(YX)] + VarX[E(YX)]. Noùi caùch khaùc, giaù trò phöông sai cuûa Y söû duïng haøm maät ñoä keát hôïp fXY(x, y) tính toaùn ñöôïc seõ töông ñöông vôùi giaù trò kyø voïng cuûa phöông sai coù ñieàu kieän cuûa bieán Y coäng vôùi phöông sai cuûa giaù trò kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa bieán Y vôùi X cho tröôùc. Ñoàng phöông sai vaø töông quan Khi gaëp phaûi hai bieán ngaãu nhieân, moät trong nhöõng vaán ñeà thöôøng thu huùt söï quan taâm laø moái quan heä giöõa hai bieán naøy nhö theá naøo? Khaùi nieäm ñoàng phöông sai vaø töông quan laø hai caùch ñeå ño löôøng möùc ñoä quan heä “chaët” giöõa hai bieán ngaãu nhieân ñoù. Ramu Ramanathan 16 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Haõy xem xeùt haøm g(X, Y) = (X – µX)(Y – µY). Giaù trò kyø voïng cuûa haøm soá naøy ñöôïc goïi laø ñoàng phöông sai giöõa X vaø Y vaø ñöôïc kyù hieäu laø σXY hay Cov(X, Y). ÑÒNH NGHÓA 2.4 (ÑOÀNG PHÖÔNG SAI) Giaù trò ñoàng phöông sai giöõa X vaø Y ñöôïc xaùc ñònh nhö sau σxy = Cov(X, Y) = E[(X – µx)(Y – µy)] = E[XY – Xµy – µxY + µxµy] (2.6) = E(XY) – µyE(X) – µxE(Y) + µxµy = E(XY) – µxµy Deã daøng suy ra töø keát luaän treân raèng Cov(X,X) = Var(X) Caùc ñònh nghóa veà phöông sai vaø ñoàng phöông sai ñeàu ñuùng trong caû hai tröôøng hôïp phaân phoái coù daïng rôøi raïc vaø lieân tuïc. Vì phöông sai chæ laø moät ñaïi löôïng ño löôøng möùc ñoä phaân taùn cuûa bieán ngaãu nhieân xung quanh giaù trò trung bình, neân ñoàng phöông sai giöõa hai bieán ngaãu nhieân seõ laø ñaïi löôïng ño löôøng möùc ñoä lieân keát chung giöõa chuùng. Giaû söû raèng hai bieán ngaãu nhieân rôøi raïc X vaø Y quan heä ñoàng höôùng vôùi nhau, vaø do ñoù khi giaù trò Y taêng thì giaù trò X cuõng taêng theo nhö bieåu dieãn treân hình 2.6. Caùc voøng troøn nhoû bieåu thò caùc caëp giaù trò cuûa X vaø Y töông öùng vôùi caùc keát quaû khaû dó giôùi haïn. Ñöôøng gaïch chaám bieåu dieãn giaù trò trung bình µx vaø µy. Baèng caùch chuyeån truïc toaï ñoä ñeán ñöôøng gaïch chaám naøy vôùi goác toaï ñoä laø (µx, µy), chuùng ta coù theå thaáy raèng Xi – µx vaø Yi – µy laø ñoä daøi tính töø goác toaï ñoä môùi, ñoái vôùi moät keát quaû naøo ñoù ñöôïc kyù hieäu baèng haäu toá i . Töø hình veõ, coù theå chöùng minh raèng caùc ñieåm naèm trong phaàn tö thöù nhaát vaø thöù ba seõ laøm cho tích (Xi – µx)(Yi – µy) luoân coù giaù trò döông, vì töøng soá haïng trong bieåu thöùc seõ cuøng döông hoaëc cuøng aâm. Khi chuùng ta tính toaùn ñaïi löôïng ñoàng phöông sai laø toång coù troïng soá caùc tích bieåu thöùc treân, keát quaû cuoái cuøng coù khuynh höôùng nhaän giaù trò döông vì coù nhieàu soá haïng döông hôn caùc soá haïng aâm. Vì vaäy, giaù trò ñoàng phöông sai coù khuynh höôùng daáu döông. Trong tröôøng hôïp caû hai bieán X vaø Y di chuyeån theo höôùng ngöôïc laïi, giaù trò Cov(X, Y) seõ coù daáu aâm. Maëc duø ñaïi löôïng ñoàng phöông sai raát coù ích trong vieäc xaùc ñònh tính chaát cuûa moái lieân keát giöõa X vaø Y nhöng noù toàn taïi moät vaán ñeà khaù nghieâm troïng laø caùc giaù trò tính baèng soá raát nhaïy ñoái vôùi giaù trò ñôn vò duøng ñeå ño bieán X vaø Y. Neáu X laø moät loaïi bieán taøi chính tính baèng ñoâ-la hôn laø tính baèng ñôn vò ngaøn ñoâ-la, ñaïi löôïng ñoàng phöông sai seõ doác ñöùng do aûnh höôûng cuûa heä soá 1.000. Ñeå traùnh vaán ñeà naøy, ngöôøi ta seõ söû duïng ñaïi löôïng ñoàng phöông sai “ñöôïc chuaån hoùa”. Ñaïi löôïng naøy coøn ñöôïc goïi laø heä soá töông quan giöõa bieán X vaø Y vaø ñöôïc kyù hieäu laø ρxy. ÑÒNH NGHÓA 2.5 (HEÄ SOÁ TÖÔNG QUAN) Ramu Ramanathan 17 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Heä soá töông quan giöõa bieán X vaø Y ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: σ xy Cov(X, Y) ρ xy = = (2.7) σxσy [Var(X)Var(Y)]1 / 2 Neáu bieán X vaø Y coù quan heä döông thì heä soá töông quan seõ coù daáu döông. Neáu bieán X vaø y coù quan heä aâm thì chuùng seõ di chuyeån theo höôùng ngöôïc laïi. Trong tröôøng hôïp naøy, giaù trò ñoàng phöông sai vaø heä soá töông quan ñeàu coù daáu aâm. Heä soá töông quan hoaøn toaøn coù theå baèng zero. Trong tröôøng hôïp naøy, chuùng ta coù theå keát luaän raèng bieán x vaø y khoâng coù töông quan. Ngöôøi ta coù theå vieát raèng ρ 2 ≤ 1 hay töông ñöông vôùi ρxy ≤ 1. xy Giaù trò ρxyseõ baèng 1 khi vaø chæ khi coù moät moái quan heä tuyeán tính chính xaùc giöõa X vaø Y theo bieåu thöùc Y – µy = β( X – µx). Neáu ρxy = 1 thì quan heä giöõa X vaø Y ñöôïc goïi laø töông quan hoaøn haûo. Neâu löu yù raèng moái töông quan hoaøn haûo chæ xaûy ra khi giöõa X vaø Y coù moái quan heä tuyeán tính moät caùch chính xaùc. Ví duï, Y coù theå xuaát hieän trong bieåu thöùc daïng Y = X2, roõ raøng laø coù bieåu hieän moái quan heä nhöng heä soá töông quan giöõa X vaø Y seõ khoâng theå baèng 1. Vì vaäy, heä soá töông quan seõ ño löôøng phaïm vi cuûa moái lieân keát tuyeán tính giöõa hai bieán. Neáu bieán X vaø Y laø hai bieán ñoäc laäp thì fXY(x, y) = fX(x) . fY(y), coù nghóa laø xaùc suaát keát hôïp chính laø tích cuûa caùc xaùc suaát rieâng leû. Trong tröôøng hôïp naøy, neân löu yù töø ñònh nghóa cuûa σxy, chuùng ta coù σ xy = ∑∑ (x − µ x )(y − µ y )fx (x)f y (y) x y Vì bieán x vaø y baây giôø coù theå taùch rôøi nhau neân chuùng ta coù    σ xy = ∑ (x − µ x )f x (x) ∑ (y − µ y )fy (y)  x  y  = E ( X − µ x ) E (Y − µ y ) Nhöng do E(X – µx) = E(X) – µx = 0 (xin xem tính chaát 2.1a), neân σxy = 0 vaø ρxy = 0 neáu hai bieán ngaãu nhieân naøy laø ñoäc laäp. Hay noùi caùch khaùc, neáu bieán X vaø Y laø hai bieán ñoäc laäp thì chuùng seõ khoâng töông quan nhau. Keát luaän ngöôïc laïi coù theå khoâng coøn chính xaùc (nghóa laø moái töông quan zero seõ khoâng ngaàm ñònh tính chaát ñoäc laäp), vaø coù theå kieåm chöùng thoâng qua caùc ví duï sau. Ñaët fXY(x, y) töông töï nhö trong baûng 2.7. Ramu Ramanathan 18 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ Cov(X, Y) = E(XY) – E(X) E(Y) E(X) = (1 × 0,4) + (2 × 0,2) + (3 × 0,4) = 2 E(Y) = (6 × 0,4) + (8 × 0,2) + (10 × 0,4) = 8 E(XY) = (6 × 1 × 0,2) + (6 × 3 × 0,2) + (8 × 2 × 0,2) + (10 × 1 × 0,2) + (10 × 3 × 0,2) = 16 Vì vaäy, Cov(X, Y) = 0. Nhöng bieán X vaø Y laø khoâng ñoäc laäp vì P(X = 2, Y = 6) = 0, P(X = 2) = 0,2, vaø P(Y = 6) = 0,4. Do ñoù, xaùc suaát keát hôïp seõ khoâng theå baèng tích cuûa caùc xaùc suaát rieâng leû. BAØI TAÄP THÖÏC HAØNH 2.6 Söû duïng caùc bieán X vaø Y vôùi xaùc suaát keát hôïp cho trong baûng 2.4, haõy tính giaù trò Cov(X, Y) vaø ρxy (löu yù raèng baïn ñaõ tính giaù trò trung bình vaø phöông sai trong baøi taäp 2.5) + BAØI TAÄP THÖÏC HAØNH 2.7 Giaû söû bieán ngaãu nhieân X chæ coù theå nhaän caùc giaù trò 1, 2, 3, 4, vaø 5, moãi giaù trò öùng vôùi xaùc suaát baèng nhau vaø baèng 0,2. Cho Y = X2. Haõy tính heä soá töông quan giöõa X vaø Y vaø chöùng minh raèng heä soá naøy khoâng baèng 1, cho duø giöõa bieán X vaø Y coù moái quan heä chính xaùc. Baûng 2.7 Ví Duï Cho Thaáy Ñoàng Phöông Sai Baèng Khoâng Khoâng Nhaát Thieát Phaûi Laø Ñoäc Laäp Y 6 8 10 FX(x) X 1 0,2 0 0,2 0,4 2 0 0,2 0 0,2 3 0,2 0 0,2 0,4 FY(y) 0,4 0,2 0,4 1 Tính chaát 2.8 lieät keâ moät soá tính chaát lieân quan ñeán hai bieán ngaãu nhieân. Tính chaát 2.8 a. Neáu a vaø b laø haèng soá thì Var(aX + bY) = a2Var(X) + b2Var(Y) + 2abCov(X,Y). Moät tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa tính chaát naøy laø Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y). Töông töï, Var(X – Y) = Var(X) + Var(Y) – 2Cov(X, Y). b. Heä soá töông quan ρxy naèm trong khoaûng – 1 ñeán + 1. Ramu Ramanathan 19 Thuïc Ñoan/Haøo Thi
Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ c. Neáu X vaø Y laø hai bieán ñoäc laäp thì σxy = Cov(X, Y) = 0; coù nghóa laø, X vaø Y khoâng töông quan nhau. Trong tröôøng hôïp naøy, keát hôïp (a) vaø heä quaû ruùt ra töø tính chaát naøy, ta coù Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) vaø Var(X – Y) = Var(X) + Var(Y). d. Giaù trò ρxy seõ baèng 1 khi vaø chæ khi toàn taïi moái quan heä tuyeán tính chính xaùc giöõa X vaø Y theo bieåu thöùc Y – µy = β( X – µx). e. Giaù trò töông quan giöõa bieán X vaø chính noù baèng 1. f. Neáu U = a0 + a1X, V = b0 + b1Y, vaø a1b1 > 0 thì ρuv = ρxy; nghóa laø heä soá töông quan seõ thay ñoåi trong tröôøng hôïp ñôn vò ño ñöôïc ñieàu chænh theo tyû leä. Neáu a1b1 < 0 thì ρuv = – ρxy. Tuy nhieân, neáu U = a0 + a1X + a2Y, V = b0 + b1X + b2Y thì ρuv ≠ ρxy. Ñieàu naøy coù nghóa laø giaù trò töông quan khoâng thay ñoåi trong tröôøng hôïp coù söï bieán ñoåi tuyeán tính toång quaùt (ai vaø bi ñöôïc giaû thieát coù giaù trò khaùc zero). g. Neáu giaù trò a1, a2, b1 vaø b2 laø coá ñònh thì Cov(a1X + a2Y, b1X + b2Y) = a1b1Var(X) + (a1b2 + a2b1)Cov(X, Y) + a2b2Var(Y). Phaân Phoái Nhieàu Bieán * Trong phaàn naøy, caùc khaùi nieäm vöøa trình baøy ôû treân seõ ñöôïc môû roäng cho tröôøng hôïp coù nhieàu hôn hai bieán ngaãu nhieân. Goïi x1, x2, …, xn töông öùng vôùi n soá bieán ngaãu nhieân. Vaø haøm maät ñoä xaùc suaát keát hôïp cuûa chuùng laø fX(x1, x2, …, xn). Töông töï nhö tröôùc ñaây, chuùng laø ñoäc laäp neáu haøm maät ñoä xaùc suaát PDF chung laø tích cuûa moãi PDF rieâng leû. Vì vaäy, chuùng ta coù fX(x1, x2, …, xn) = fX1(x1) . fX2(x2) . . . fXn(xn) Trong tröôøng hôïp ñaëc bieät khi moãi giaù trò x ñöôïc phaân phoái gioáng nhau vaø ñoäc laäp laãn nhau (ñöôïc kyù hieäu laø iid – independently and idetically distributed), chuùng ta coù fX(x1, x2, …, xn) = fX (x1) . fX (x2) . . . fX (xn) Trong ñoù fX(x) laø haøm phaân phoái chung cuûa moãi giaù trò x. Moät soá keát quaû ñaùng quan taâm veà phaân phoái ña bieán ñöôïc trình baøy trong tính chaát 2.9. Tính chaát 2.9 a. Neáu a1, a2, …, an laø haèng soá hoaëc khoâng ngaãu nhieân thì E[a1x1 + a2x2 + . . . + anxn] = a1E(x1) + a2E(x2) + . . . + anE(xn). Vì vaäy, giaù trò kyø voïng cuûa moät toå hôïp tuyeán tính caùc soá haïng baèng toå hôïp tuyeán tính cuûa moãi giaù trò kyø voïng rieâng leû. Trong kyù hieäu pheùp laáy toång, ta coù E[Σ(aixi)] = ΣE(aixi) = ΣaiE(xi). b. Neáu moãi xi ñeàu coù giaù trò trung bình baèng nhau thì E(xi) = µ, chuùng ta coù E(Σai xi) = µΣai. Ñaëc bieät, neáu taát caû heä soá ai ñeàu baèng nhau vaø baèng 1/n thì chuùng ta seõ coù Ramu Ramanathan 20 Thuïc Ñoan/Haøo Thi