BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Thị Thanh Tuỳnh
KHẢO SÁT PHỔ PHÁT XẠ
SÓNG ĐIỀU HÒA BẬC CAO CHO
NGUYÊN TỬ Ở TRẠNG THÁI CHỒNG CHẬP
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT
Thành phố Hồ Chí Minh - 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Thị Thanh Tuỳnh
KHẢO SÁT PHỔ PHÁT XẠ
SÓNG ĐIỀU HÒA BẬC CAO CHO
NGUYÊN TỬ Ở TRẠNG THÁI CHỒNG CHẬP
Chuyên ngành: Vật lý nguyên tử
Mã số : 60 44 01 06
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. PHAN THỊ NGỌC LOAN
Thành phố Hồ Chí Minh - 2018
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của tôi thực hiện. Các số liệu và kết quả là trung thực, chưa từng được thực hiện trước đây.
Tác giả
Nguyễn Thị Thanh Tuỳnh
LỜI CẢM ƠN
Để có thể hoàn thành luận văn cũng như khóa cao học, tôi đã nhận được
rất nhiều sự quan tâm giúp đỡ từ gia đình, thầy cô, bạn bè. Tôi xin gửi làm
cảm ơn đến tất cả mọi người.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến Cô hướng dẫn
TS. Phan Thị Ngọc Loan. Cô đã nhiệt tình hướng dẫn, giúp đỡ, động viên
khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy TS. Hoàng Văn Hưng và
toàn thể thầy cô trong tổ Vật lý lý thuyết và tính toán trường Đại học Sư phạm
TP.HCM đã truyền thụ những kiến thức khoa học, luôn giúp đỡ và tạo điều
kiện tốt nhất cho tôi có thể tiếp cận nghiên cứu dễ dàng.
Tôi xin cảm ơn phòng Vật lý lý thuyết và tính toán đã cho phép tôi sử
dụng hệ tính toán của phòng để thực hiện luận văn.
Tôi xin cảm ơn quý thầy cô trong khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm
TP.HCM đã truyền đạt cho tôi những kiến thức và kỹ năng quý báu để tôi
vững tin trong nghề nghiệp của mình.
Tôi xin cảm ơn phòng Đào tạo, trường Đại học Sư phạm TP.HCM đã tận
tình hướng dẫn và hỗ trợ các thủ tục trong thời gian tôi học tập tại trường.
Xin cảm ơn!
MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các bảng
Danh mục các hình vẽ, đồ thị
LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................. 1
Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT .................................................................. 6
1.1. Lý thuyết phát xạ sóng điều hòa bậc cao và mô hình lewenstein ......... 6
1.2. Phát xạ sóng điều hòa bậc cao từ nguyên tử ở trạng thái chồng
chập ....................................................................................................... 9
Chương 2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
SCHRӦDINGER PHỤ THUỘC THỜI GIAN ...................... 13
2.1. Giải phương trình schrӧdinger không phụ thuộc thời gian cho
nguyên tử ............................................................................................. 13
2.2. Giải phương trình schrödinger phụ thuộc thời gian cho nguyên tử.
Phương pháp tính phổ HHG ............................................................... 14
2.3. Mô hình giải tích tính hhg của nguyên tử khi điện tử bị ion hóa từ
trạng thái chồng chập của trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích
thứ nhất ................................................................................................ 15
Chương 3. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN .................................................. 18
3.1. Cường độ phát xạ hhg của nguyên tử ở trạng thái chồng chập của
trạng thái cơ bản và kích thích đầu tiên .............................................. 19
3.1.1. Trường hợp hệ số đóng góp bằng nhau ...................................... 19
3.1.2. Trường hợp hệ số đóng góp khác nhau. ..................................... 24
3.2. Hiệu ứng đa điểm dừng trong phổ HHG ............................................ 27
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN .................................................. 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................... 39
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
HHG : High-order Harmonic Generation (Sự phát xạ sóng điều hòa
bậc cao)
Laser : Light Amplification Stimulated Emission of Radiation
DVR : Discrete Variable Representation
TISE : Time-Independent Schrӧdinger Equation (Phương trình
Schrӧdinger không phụ thuộc thời gian).
TDSE : Time-Dependent Schrӧdinger Equation (Phương trình
Schrӧdinger phụ thuộc thời gian).
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Giá trị năng lượng của một số trạng thái đầu tiên của nguyên
tử H thu được từ giải TISE và lý thuyết ....................................... 18
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 1.1. a) Phổ HHG phát ra từ nguyên tử H ở trạng thái cơ bản khi tương tác với xung laser có cường độ 2×1013 W/cm2, độ dài
xung 27 fs, bước sóng 1600 nm; b) Hình dáng đặc trưng của
phổ HHG . ....................................................................................... 7
Hình 1.2. Mô hình ba bước Lewenstein ......................................................... 8 Hình 1.3. (a) Phổ HHG của ion nguyên tử He+ ở trạng thái chồng chập
của trạng thái cơ bản và kích thích thứ nhất với xác suất đóng
góp bằng nhau; (b) Phổ HHG tương ứng từ trạng thái cơ bản
(đường thấp hơn) và kích thích (đường cao hơn) khi tương tác với laser có cường độ 8.85×1013 W/cm2 và bước sóng 746
nm. ................................................................................................. 10
Hình 1.4. Mô hình hệ ba mức chữ mô tả cơ chế phát xạ sóng điều
hòa bậc thứ q và bậc q+(Ip1-Ip2). Trạng thái cơ bản không
kết cặp với trạng thái kích thích , và kết cặp rất yếu với
trạng thái liên tục . .................................................................. 11
Hình 3.1. Phổ HHG của nguyên tử H ở trạng thái cơ bản n=1(P2=0%),
trạng thái kích thích thứ nhất n=2 (P2=100%), trạng thái
chồng chập của trạng thái n=1 và n=2 với xác suất đóng góp P2=50% khi tương tác với laser có cường độ a)2×1013W/cm2, b)2×1014W/cm2. ............................................................................ 19
Hình 3.2. Xác suất ion hóa của nguyên tử H khi ở trạng thái
n=1(P2=0%), n=2 (P2=100%), chồng chập của n=1 và n=2 (P2=50%) khi tương tác với laser có cường độ 2×1013W/cm2 (hình a), 2×1014W/cm2 (hinh b). ................................................... 22
Hình 3.3. Phổ HHG từ nguyên tử có Z=3 ở trạng thái kích thích thứ
nhất n=2 (P2=100%), trạng thái chồng chập của trạng thái cơ
bản và trạng thái kích thích thứ nhất với hệ số đóng góp bằng
nhau (P2=50%) khi tương tác với laser có cường độ 2×1013W/cm2. ................................................................................ 23
Hình 3.4. Phổ HHG của nguyên tử H ở trạng chồng chập của trạng thái
n=1 và trạng thái n=2 với xác suất đóng góp của trạng thái
n=2 (P2) khác nhau. ....................................................................... 24
Hình 3.5. Sự phụ thuộc của cường độ HHG bậc 5(hình a) và cường độ
HHG bậc 35(hình b) theo xác suất đóng góp của trạng thái
n=2 (P2). Đồng thời, dường biểu diễn sự phụ thuộc của
và (đường nét đứt màu đen) cũng
được biểu diễn. Trường hợp xét đến chồng chập của trạng
thái n=1 và n=2. ............................................................................ 26
Hình 3.6. Phổ HHG của nguyên tử H ở trạng thái cơ bản n=1(P2=0%),
trạng thái kích thích thứ nhất n=2 (P2=100%), trạng thái
chồng chập của trạng thái n=1 và n=2 với xác suất đóng góp P2=50% khi tương tác với laser có cường độ a)2×1013W/cm2, b)5×1013W/cm2, c)9×1013W/cm2 , d)2×1014W/cm2. ..................... 27
Hình 3.7. Sự phụ thuộc của giá trị động năng điện tử đạt được khi quay
về tái kết hợp với ion mẹ tại theo thời điểm ion hóa (chu kỳ
laser). ............................................................................................. 29
Hình 3.8. Phổ HHG của nguyên tử H (hinh a); xác suất ion hóa của
điện tử (hình b) khi nguyên tử H ở trạng thái cơ bản n=1
(P2=0%), trạng thái kích thích thứ nhất n=2 (P2=100%), trạng
thái chồng chập của trạng thái n=1 và n=2 với xác suất đóng
góp P2=50%; tốc độ ion hóa của điện tử khi nguyên tử ở trạng
thái n=2 (hình c); tốc độ ion hóa của điện tử khi nguyên tử ở
trạng thái chồng của trạng thái n=1 và n=2 với P2=50% (hình d) khi tương tác với laser có cường độ 2×1013 W/cm2. ................ 32 Hình 3.9. Tương tự hình 3.8 cho laser có cường độ 5×1013 W/cm2. ............ 34 Hình 3.10. Tương tự hình 3.8 cho laser có cường độ 9×1013 W/cm2. ............ 35 Hình 3.11. Tương tự hình 3.8 cho laser có cường độ 2×1014 W/cm2. ............ 36
1
LỜI MỞ ĐẦU
Vật lý học từ khi trở thành một ngành khoa học riêng biệt đã và đang đóng
góp nhiều thành tựu, ứng dụng to lớn cho khoa học. Cùng với sự phát triển
không ngừng của khoa học, vật lý học ngày càng mở ra nhiều hướng nghiên cứu
phong phú và mới mẻ. Trong đó phải kể đến hướng nghiên cứu các hạt vi mô và
cấu trúc động của chúng.
Năm 1960, nguồn laser đầu tiên ra đời tạo bởi nhà vật lý T. H. Maiman tại
phòng thí nghiệm Hughes đã tạo nên một bước ngoặt to lớn trong khoa học kỹ
thuật [14]. Kể từ đây một cuộc chạy đua nhằm tăng cường độ, rút ngắn xung
laser thu hút nhiều sự chú ý từ các nhà khoa học và đạt được nhiều thành tựu
đóng vai trò quan trọng. Laser cường độ cao, xung ngắn trở thành công cụ đắc
lực cho các nhà khoa học nghiên cứu các quá trình siêu nhanh như chuyển động
quay của các phân tử trong khoảng thời gian pico giây (1ps = 10-12 s), sự dao
động của các nguyên tử trong phân tử diễn ra trong thang thời gian femto giây
(1fs = 10-15 s), chuyển động quanh hạt nhân của điện tử ở mức atto giây (1as =
10-18 s)…
Bằng cách cho nguyên tử, phân tử tương tác với laser cường độ cao, xung
cực ngắn, các nhà khoa học đã quan sát được nhiều hiệu ứng phi tuyến và phi
nhiễu loạn xảy ra như phát xạ sóng điều hòa bậc cao (High-order Harmonic
Generation-HHG) [8,12], hiệu ứng ion hóa vượt ngưỡng (Above-Threshold
Ionization-ATI) [3], hiệu ứng ion hóa hai lần không liên tiếp (Nonsequential -
Double-Ionization) [16]. Trong đó sự phát xạ sóng điều bậc cao đã và đang trở
thành một hướng nghiên cứu sôi động cả trong lý thuyết lẫn thực nghiệm. Sóng
HHG chính là các photon phát ra khi cho laser cường độ cao tương tác với
nguyên tử, phân tử. Các photon này có tần số bằng bội số nguyên lần tần số của
laser chiếu tới. Hình dáng phổ HHG có dáng điệu rất đặc trưng: ở vùng tần số
thấp, cường độ HHG giảm nhanh; sau đó cường độ HHG gần như không thay
đổi trong một miền của tần số gọi là miền phẳng (plateau) và kết thúc tại điểm
2
dừng (cutoff); sau điểm dừng, cường độ HHG giảm mạnh [4,12]. Năm 1994,
M. Lewenstein và cộng sự đề ra mô hình ba bước bán cổ điển để giải thích cho
sự hình thành phổ HHG [12]. Theo đó, ở bước đầu tiên, trường laser chiếu vào
làm biến dạng thế Coulomb của nguyên tử, phân tử, do đó, điện tử dễ dàng ion
hóa xuyên hầm ra miền liên tục; ở bước tiếp theo, điện tử trong gần đúng trường
mạnh được xem như một hạt tự do, được gia tốc và tích năng lượng dưới tác
dụng của trường laser; cuối cùng, khi trường điện đổi chiều, điện tử bị kéo quay
ngược trở về tái kết hợp với ion mẹ và phát ra photon chính là HHG. Vì được
phát ra ở bước cuối cùng, HHG được xem là một nguồn cung cấp dữ liệu hữu
ích về thông tin cấu trúc nguyên tử, phân tử [10], theo dõi động học phân tử
[11], theo dõi quá trình đồng phân hóa [21],…
Đặc biệt, HHG là một trong những công cụ đắc lực để tạo xung laser cường
độ cao có độ dài xung cực ngắn, cỡ atto giây. Muốn rút ngắn độ dài xung atto
giây, cần phải tạo được phổ HHG có năng lượng photon lớn với cường độ cao
[26,30]. Do đó, một trong những mục tiêu lớn của thực nghiệm vật lý atto giây
chính là mở rộng miền phẳng phổ HHG, đồng thời nâng cao hiệu suất phát xạ
phổ HHG. Từ khi quan sát được cho đến nay, hầu hết các nghiên cứu về phát xạ
HHG thường chỉ xét trong trường hợp nguyên tử, phân tử được chuẩn bị ở trạng
thái cơ bản vì đây là trạng thái có xác suất điện tử chiếm đóng lớn nhất. Để mở
rộng miền phẳng HHG với hiệu suất cao, laser cường độ cao thường được sử
dụng để tương tác với nguyên tử, phân tử [11,12]. Tuy nhiên, nếu cường độ laser
quá cao sẽ gây ra hiệu ứng suy giảm trạng thái làm giảm cả năng lượng photon
HHG và hiệu suất HHG [22]; một phương pháp khác là kích thích điện tử lên
trạng thái kích thích, sẽ tăng cường độ HHG, tuy nhiên, điều này lại làm giảm vị
trí của điểm dừng do thế ion hóa bị giảm [22].
Năm 1995, lần đầu tiên ý tưởng tính HHG xét đến trạng thái là sự chồng
chập của hai trạng thái liên kết được đề xuất bởi nhóm của F. I. Gauthey [6] . Từ
ý tưởng này, J. B.Watson và cộng sự đã tính toán HHG phát ra từ ion He+ bằng
3
cách giải phương trình Schrӧdinger phụ thuộc vào thời gian (TDSE) khi He+ ở
trạng thái chồng chập của trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích thứ nhất với
một vài cặp hệ số đóng góp khác nhau [31]. Kết quả cho thấy phổ HHG này có
hiệu suất phát xạ lớn và miền phẳng mở rộng so với trường hợp phổ HHG phát
ra từ từng trạng thái riêng lẻ. Tiếp sau đó, hàng loạt các công trình nghiên cứu cả
lý thuyết và thực nghiệm liên quan đến phát xạ HHG từ nguyên tử ở trạng thái
chồng chập được đưa ra [18,19,27,28]. Đặc biệt, năm 2005, B. Wang và cộng sự
đã tổng quát hóa tính toán của nhóm J. B. Watson với hệ số đóng góp bằng nhau
cho ba vùng cường độ laser khác nhau và thấy rằng phổ HHG có những đặc
trưng nhất định [29].
Trong những công trình nghiên cứu trên, các tác giả chỉ xét đến sự chồng
chập trạng thái của trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích thứ nhất [6,31] hoặc
trạng thái kích thích thứ hai [29] với một vài cặp hệ số đóng góp khác nhau.
Tính toán HHG cho nguyên tử khi điện tử ở chồng chập của hai trạng thái với hệ
số đóng góp bất kỳ chưa được nghiên cứu đến. Trong khi đó, kiểm soát hệ số
đóng góp của các trạng thái trong thực nghiệm là một vấn đề phức tạp. Xác định
mức độ ảnh hưởng của hệ số đóng góp trạng thái lên hiệu suất phát xạ HHG là
một bài toán cấp thiết. Ngoài ra, trong công trình [29], Wang và cộng sự đã chỉ
ra có sự xuất hiện của nhiều miền phẳng trong phổ HHG của nguyên tử ở trạng
thái chồng chập. Tuy nhiên, hiện tượng này vẫn chưa được giải thích một cách
định lượng. Do đó, trong đề tài này chúng tôi sẽ giải thích quy luật xuất hiện
hiệu ứng đa miền phẳng một cách chi tiết. Hơn nữa, sử dụng laser bước sóng dài
cũng là một phương pháp nhằm mở rộng miền phẳng [13] và sẽ được sử dụng
trong luận văn này. Do đó, chúng tôi chọn đề tài “Khảo sát phổ phát xạ sóng
điều hòa bậc cao cho nguyên tử ở trạng thái chồng chập”.
Mục tiêu của luận văn là khảo sát phổ HHG phát ra từ nguyên tử đang ở
trạng thái chồng chập của hai trạng thái với hệ số đóng góp khác nhau tương tác
với laser hồng ngoại bước sóng tầm trung.
4
Từ mục tiêu nghiên cứu, chúng tôi đề ra các nội dung cần thực hiện: Tính
toán HHG của nguyên tử ở trạng thái chồng chập của trạng thái cơ bản và trạng
thái kích thích với các hệ số đóng góp khác nhau bằng phương pháp TDSE. Tiếp
theo, chúng tôi khảo sát đặc tính của phổ HHG trong trường laser bước sóng dài
với cường độ khác nhau. Cuối cùng chúng tôi sử dụng mô hình ba bước bán cổ
điển để giải thích các kết quả vật lý thu được, cụ thể là quy luật xuất hiện hiệu
ứng đa điểm dừng.
Để tính toán phát xạ HHG từ nguyên tử, chúng tôi sử dụng phương pháp giải
số TDSE. Chương trình tính toán TDSE được lập trình bằng ngôn ngữ Fortran,
được phát triển bởi TS. Hoàng Văn Hưng, giảng viên khoa Vật lý, Trường Đại
học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh.
Bố cục của luận văn gồm có ba chương, chưa kể phần mở đầu và kết luận.
Chương 1, chúng tôi trình bày tổng quan về quá trình phát xạ HHG và mô hình
ba bước Lewentein. Chương 2, chúng tôi trình bày phương pháp giải TDSE cho
nguyên tử khi tương tác với laser cường độ cao, xung cực ngắn. Chương 3,
chúng tôi trình bày kết quả tính toán phổ HHG từ nguyên tử ở trạng thái chồng
chập của trạng thái cơ bản và kích thích thứ nhất với hệ số đóng góp khác nhau.
Chúng tôi thu được một số kết quả đáng chú ý. Thứ nhất, hiệu suất phát xạ HHG
cao hơn so với khi nguyên tử được chuẩn bị ở các trạng thái riêng lẻ, đồng thời
miền phẳng được mở rộng. Thứ hai, cường độ phổ HHG rất nhạy với sự đóng
góp của trạng thái kích thích thứ nhất, chỉ cần đóng góp rất nhỏ của trạng thái
kích thích đã làm tăng hiệu suất phát xạ và miền phẳng phổ HHG đáng kể. Thứ
ba, với laser mạnh và trung bình, trong phổ HHG xuất hiện nhiều điểm dừng do
hiệu ứng suy giảm của trạng thái kích thích, chúng tôi đề xuất đại lượng tốc độ
ion hóa và giải thích được thành công sự xuất hiện của các điểm dừng trong phổ
HHG. Cuối cùng là phần kết luận, trong phần này chúng tôi tóm tắt lại những
kết quả đã đạt được, và nêu lên hướng phát triển của đề tài.
5
Kết quả của luận văn đã được báo cáo tại Hội nghị khoa học quốc tế “The
10th Asian Symposium on Intense Laser Science – ASILS10” tại Các tiểu
vương quốc Ả Rập Thống nhất.
- Ngoc-Loan T. Phan, Thanh-Tuynh T. Nguyen, Van-Hung Hoang,
"Multicutoff effect in high-order harmonic generation from two-state hydrogen
atom". Book of Abstracts. The 10th Asian Symposium on Intense Laser Science
(ASILS10), March 10-13, 2018, Sharjah, United Arab Emirates.
6
Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày sơ lược một số vấn đề liên quan
đến phát xạ HHG. Đầu tiên, chúng tôi trình bày mô hình nguyên tử ở trạng thái
cơ bản và kích thích. Tiếp theo, chúng tôi trình bày sơ lược về HHG và mô hình
ba bước bán cổ điển Lewenstein nhằm phác họa bức tranh về quá trình hình
thành phát xạ HHG. Cuối cùng, chúng tôi trình bày một số kết quả nghiên cứu
HHG khi nguyên tử được chuẩn bị ở trạng thái chồng chập của hai trạng thái
liên kết.
1.1. Lý thuyết phát xạ sóng điều hòa bậc cao và mô hình Lewenstein
Khi cho nguyên tử, phân tử tương tác với laser cường độ cao xung cực ngắn
sẽ dẫn đến nhiều hiệu ứng phi tuyến. Trong đó, hiệu ứng phát xạ sóng điều hòa
bậc cao là một trong những hiệu ứng đã và đang được quan tâm rất lớn từ cộng
đồng khoa học. Phát xạ sóng điều hòa bậc cao được biết đến chính là các photon
phát ra khi cho laser cường độ cao, xung cực ngắn tương tác với nguyên tử hoặc
phân tử. Các photon này có tần số bằng bội số nguyên lần tần số của laser tương
tác. Hình dáng phổ phát xạ HHG có đặc điểm rất đặc trưng: ở vài bậc đầu tiên,
cường độ HHG giảm nhanh; sau đó cường độ HHG gần như không đổi trong
một miền tần số gọi là miền phẳng (plateau) và kết thúc tại điểm dừng (cutoff);
sau điểm dừng, cường độ HHG giảm mạnh (hình 1.1.).
7
) 0 1 g o l
g n a h t (
Miền phẳng
Điểm dừng
G H H ộ đ g n ờ ư C
Bậc HHG
Bậc HHG
Hình 1.1. a) Phổ HHG phát ra từ nguyên tử H ở trạng thái cơ bản khi tương tác
với xung laser có cường độ 2×1013W/cm2 , độ dài xung 27 fs, bước sóng
1600nm; b) Hình dáng đặc trưng của phổ HHG [12].
Năm 1961, lần đầu tiên sóng điều hòa bậc thấp (bậc hai) có bước sóng 347
nm được phát hiện khi P. A. Franken và cộng sự dùng laser Ruby có bước sóng
694 nm chiếu vào tinh thể thạch anh [5]. Năm 1987, nhờ sự cải tiến trong kỹ
thuật laser, sóng điều hòa bậc cao HHG lần đầu tiên được quan sát bằng thực
nghiệm đến bậc 17 bởi A. McPherson và cộng sự khi cho laser xung cực ngắn
cường độ cao tương tác với khí neon [15]. Cho đến nay, sóng điều hòa bậc cao
có tần số lên đến hàng nghìn lần tần số laser chiếu vào đã được quan sát [24].
Sau khi thực nghiệm quan sát được, các lý thuyết cũng được đưa ra để giải
thích cơ chế phát xạ HHG [12]. Năm 1994, M. Lewenstein và cộng sự đã đề
xuất mô hình ba bước để giải thích cơ chế phát xạ HHG [12] và được sử dụng
rộng rãi cho đến nay. Để giải thích cơ chế tác giả dựa trên các mô tả lượng tử, áp
dụng các giả thuyết trong gần đúng trường mạnh như sau:
(i) Trong quá trình tương tác với laser, chỉ có trạng thái cơ bản của nguyên tử là
đóng góp đáng kể, đóng góp từ các trạng thái kích thích được bỏ qua;
(ii) Sự suy giảm của trạng thái cơ bản theo thời gian được bỏ qua;
8
(iii) Trong miền liên tục, điện tử được xem như hạt tự do chuyển động trong
trường laser và chỉ chịu tác dụng của trường laser gây ra;
Mô hình ba bước Lewenstein là mô hình bán cổ điển mà theo đó sự hình thành
phát xạ HHG được mô tả theo quy trình ba bước (hình 1.2):
(i) Đầu tiên, trường laser bắn vào làm biến dạng thế Coulomb của nguyên tử,
điện tử ion hóa xuyên hầm ra miền liên tục;
(ii) Tiếp theo, điện tử được xem như hạt tự do, được gia tốc trong miền liên tục
dưới tác dụng của trường laser với vận tốc ban đầu bằng không;
(iii) Cuối cùng, sau nửa chu kỳ quang học, vectơ điện trường đổi chiều, kéo điện
tử quay trở về tái kết hợp với ion mẹ và phát ra HHG.
Hình 1.2. Mô hình ba bước Lewenstein [18]
Nếu giả sử rằng vận tốc ban đầu ngay khi điện tử bứt ra khỏi liên kết bằng
không thì động năng cực đại điện tử thu được khi quay trở về tái kết hợp với ion
mẹ là 3.17Up, với là thế trọng động – động năng trung bình điện
tử tích lũy trong một chu kỳ laser; E0,ω lần lượt là cường độ điện trường cực
đại, tần số của laser chiếu vào. Khi quay về tái kết hợp với ion mẹ có thế ion hóa
Ip, phát ra photon, theo định luật bảo toàn năng lượng, năng lượng cực đại của
photon phát ra có giá trị [12]
(1.1)
9
1.2. Phát xạ sóng điều hòa bậc cao từ nguyên tử ở trạng thái chồng chập
HHG là nguồn tạo ra xung atto giây, có ứng dụng rất quan trọng trong việc
thăm dò các quá trình chuyển động cực nhanh như chuyển động của điện tử
trong phân tử, phản ứng hóa học…[1,15]. Để có được xung atto giây mạnh thì
phổ HHG phải có cường độ mạnh, muốn rút ngắn độ dài xung thì phổ HHG phải
có năng lượng lớn [2,23]. Do đó điều cấp thiết là phải mở rộng miền phẳng và
nâng cao hiệu suất của phổ HHG. Theo hệ thức (1.1), muốn tăng tần số điểm
dừng ta có thể tăng giá trị của , tức tăng cường độ và bước sóng của laser,
tuy nhiên, việc tăng cường độ dễ dẫn đến sự suy giảm trạng thái [22]. Để tránh
sự suy giảm trạng thái, ta có thể giảm cường độ và tăng bước sóng, tuy nhiên,
điều này lại làm giảm cường độ phát xạ HHG với hệ số giảm xấp xĩ [9].
bằng cách sử dụng ion nguyên
Cũng theo hệ thức (1.1), ta có thể tăng giá trị
cao hơn, tuy nhiên, hiệu suất phát xạ HHG thấp [30].
tử do có thế ion hóa
Dùng nguyên tử ở trạng thái kích thích làm tăng cường độ HHG do tăng xác
suất ion hóa, tuy nhiên, điều này làm giảm giá trị điểm dừng [22].
Năm 1995, lần đầu tiên tính toán lý thuyết phổ phát xạ phát ra từ nguyên tử
ở trạng thái chồng chập của hai trạng thái được thực hiện bởi F. I. Gauthey [6]
và cộng sự. Nguyên tử ban đầu được chuẩn bị ở trạng thái chồng chập của trạng
thái cơ bản và trạng thái kích thích với hệ số đóng góp bằng nhau nhưng hệ số
pha khác nhau (pha của hàm sóng trạng thái). Sau đó, năm 1996, từ ý tưởng của
nhóm F. I. Gauthey, nhóm của J. B. Watson bằng cách giải phương trình
Schrӧdinger phụ thuộc thời gian tính toán phổ phát xạ HHG từ ion nguyên tử
He+ ở trạng thái chồng chập của hai trạng thái cơ bản và kích thích thứ nhất, đã
chỉ ra rằng phát xạ HHG từ chồng chập hai trạng thái có hiệu suất cao hơn khi
xét ở từng trạng thái riêng lẻ. Thêm vào đó, với laser có cường độ thích hợp, phổ
HHG bị chia thành hai vùng miền phẳng tách biệt với cường độ khác nhau.
Miền phẳng thứ nhất có điểm dừng ứng với năng lượng , miền
10
phẳng thứ hai bắt đầu từ và có điểm dừng tại , trong đó,
lần lượt là thế ion hóa của trạng thái cơ bản, trạng thái kích thích (hình
1.3) [31].
Hình 1.3. (a) Phổ HHG của ion nguyên tử He+ ở trạng thái chồng chập của trạng
thái cơ bản và kích thích thứ nhất với xác suất đóng góp bằng nhau; (b)Phổ
HHG tương ứng từ trạng thái cơ bản (đường thấp hơn) và kích thích (đường cao
hơn) khi tương tác với laser có cường độ 8.85×1013 W/cm2 và bước sóng 746
nm [31].
Nhóm tác giả [31] giải thích về quá trình hình thành hai miền phẳng này
bằng mô hình hệ ba mức chữ . Theo mô hình này, điện tử ở trạng thái kích
thích chịu trách nhiệm cho sự ion hóa. Khi trở về có thể tái kết hợp về trạng thái
kích thích cho miền phẳng thứ nhất hoặc có thể tái kết hợp về trạng thái cơ bản
cho miền phẳng thứ hai (hình 1.4).
11
|
Bậc thứ q
Bậc thứ q + (Ip1-Ip2)
Hình 1.4. Mô hình hệ ba mức chữ mô tả cơ chế phát xạ sóng điều hòa bậc thứ
q và bậc q+(Ip1-Ip2). , , kí hiệu lần lượt cho trạng thái cơ bản, kích
thích thứ nhất và trạng thái liên tục[31].
Năm 2005, nhóm của B. Wang [30] đã tổng quát tính toán phổ HHG của
nhóm J. B. Watson cho ion nguyên tử He+, khi nguyên tử được chuẩn bị ở trạng
thái chồng chập của trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích thứ hai. Các tác giả
đã chỉ ra rằng theo mức độ ion hóa của điện tử ở trạng thái kích thích mà có thể
chia cường độ laser thành ba miền cường độ khác nhau, trong đó phổ HHG biểu
hiện những nét đặc trưng khác nhau. Trong miền cường độ laser yếu, phổ HHG
của chồng chập trạng thái cho thấy hai miền phẳng rõ rệt, tương tự kết quả tính
toán trước đó của nhóm J. B. Watson. Trong miền cường độ laser trung bình,
phổ HHG của chồng chập trạng thái chỉ cho một miền phẳng. Để giải thích các
tác giả đã tính toán xác suất của các trạng thái theo chu kỳ laser. Trong miền
cường độ laser cao, phổ HHG thu được biểu hiện miền phẳng đôi, ba. Bên cạnh
tính toán xác suất của các trạng thái, các tác giả đã biến đổi Wavelet phổ HHG
và phát hiện ra, có nhiều quỹ đạo điện tử quay về tái kết hợp với ion mẹ, đóng
góp năng lượng vào phổ HHG, đồng thời chỉ ra các điểm dừng tương ứng với
các miền phẳng.
12
Song song đó, phân tích phổ phát xạ HHG từ nguyên tử ở trạng thái chồng
chập của hai trạng thái cũng đã được nghiên cứu cho các bài toán tương tác với
laser phức tạp hơn như laser hai màu, ba màu [7,32].
Những năm gần đây, với kỹ thuật tạo nguyên tử ở trạng thái kích thích phát
triển, mô hình nguyên tử Rydberg với điện tử nằm trên trạng thái kích thích cao
(trạng thái Rydberg) đã được ứng dụng trong việc tạo HHG [32,34,35]. Sử dụng
nguyên tử ở trạng thái chồng chập của trạng thái cơ bản và trạng thái Rydberg
đã mở rộng miền phẳng của phổ HHG rất đáng kể, thậm chí còn vượt xa cả dự
đoán của mô hình ba bước (công thức 1.1). Những phổ HHG với năng lượng lớn
và hiệu suất cao này được kỳ vọng là nguồn tạo ra xung atto giây có độ dài xung
cực ngắn (< 50 as) [33].
Như vậy, chồng chập các trạng thái là phương pháp hiệu quả nhằm nâng cao
hiệu suất phát xạ và miền phẳng HHG. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên
cứu chi tiết ảnh hưởng của hệ số đóng góp các trạng thái lên phổ phát xạ HHG;
đồng thời nghiên cứu tính chất phổ HHG của nguyên tử H khi tương tác với
laser bước sóng dài.
13
Chương 2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
SCHRӦDINGER PHỤ THUỘC THỜI GIAN
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các bước tính toán cần thiết để có
thể thu được phổ HHG. Để thu được phổ HHG, chúng tôi giải TDSE khi nguyên
tử tương tác với trường laser. Bước đầu tiên là giải TISE bằng phương pháp
phân tích DVR, sau đó là giải TDSE bằng phương pháp tách toán tử, cuối cùng
là tính HHG.
2.1. Giải phương trình Schrӧdinger không phụ thuộc thời gian cho nguyên
tử
Phương trình Schrӧdinger không phụ thuộc thời gian có dạng:
(2.1)
với là Hamiltonian cho nguyên tử. Khi nguyên tử chưa tương tác với laser,
Hamiltonian có dạng:
(2.2)
với nguyên tử H, thế năng nguyên tử .
Xét trong tọa độ cầu, vì V(r) là thế xuyên tâm chỉ phụ thuộc vào tọa độ bán
kính, nên nghiệm của (2.1) có sự phân ly biến số:
(2.3)
trong đó, hàm bán kính , ,được giải bằng
phương pháp DVR với hệ hàm cơ sở là đa thức Laguerre trong khoảng r:
0→rmax. Hàm cầu chính là tích của hai hàm
(2.4)
là hàm sóng ban đầu khi khi chưa tương tác với
laser.
14
2.2. Giải phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian cho nguyên tử.
Phương pháp tính phổ HHG
Hamiltonian cho nguyên tử khi tương tác với laser phân cực thẳng viết trong
hệ đơn vị nguyên tử có dạng:
(2.5)
Thế năng tương tác Hi(t) giữa trường laser với nguyên tử viết trong gần đúng
định chuẩn dài như sau:
(2.6)
với laser phân cực thẳng có dạng:
(2.7)
trong đó, E0, τ, ω, φ lần lượt là cường độ điện trường cực đại, độ dài xung, tần số
và pha ban đầu của laser. Trong công trình này chúng tôi sử dụng laser bước
sóng 1600nm, φ=00.
Phương trình Schrӧdinger phụ thuộc thời gian có dạng:
(2.8)
Trước khi cho tương tác với laser, nguyên tử được chuẩn bị ở trạng thái
. Hàm sóng của hệ tại thời điểm t khi tương tác với laser
được giải bằng cách khai triển trong hệ hàm riêng của H0 trong
khoảng r: 0 → rmax. Khi đó, nghiệm của phương trình (2.8) là hàm sóng theo thời
gian có dạng:
(2.9)
Để tính hàm sóng theo thời gian chúng tôi sử dụng phương pháp tách toán tử.
Chúng tôi tìm hàm sóng bằng phương pháp tách toán tử:
(2.10)
15
Khi hàm sóng phụ thuộc thời gian được xác định. Ta có thể tính toán được
gia tốc lưỡng cực theo phương z:
(2.11)
Sau đó, biến đổi Fourier gia tốc lưỡng cực này từ không gian thời gian sang
không gian tần số ta sẽ thu được cường độ phát xạ HHG:
(2.12)
Xác suất ion hóa được tính theo công thức
(2.13)
Để tránh sự phản xạ do sự hữu hạn của r trong tính toán, chúng tôi sử dụng hàm
hấp thụ có dạng với r ≥ rcut để lọc ra bó sóng
miền biên. Bài toán này chúng tôi chọn rmax=180, rcut=120 và 600 điểm DVR
2.3. Mô hình giải tích tính HHG của nguyên tử khi điện tử bị ion hóa từ
trạng thái chồng chập của trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích thứ
nhất
Khi nguyên tử được chuẩn bị ở trạng thái chồng chập giữa trạng thái cơ bản
và kích thích, cường độ HHG tăng vượt trội so với khi chỉ có các trạng thái riêng
lẻ [29]. Để giải thích điều này, mô hình phân tích giải tích đã được Watson [31]
đưa ra. Trong phần này, chúng tôi sẽ mô tả chi tiết mô hình giải tích này.
Giả sử tại thời điểm ban đầu , trước khi tương tác với laser, điện tử
của nguyên tử được chuẩn bị ở trạng thái chồng chập của trạng thái cơ bản (n=1)
và trạng thái kích thích thứ nhất (n=2) với hệ số đóng góp khác nhau C1, C2. Khi
đó,
(2.14)
Trong đó, lần lượt là hàm sóng của trạng thái n=1 và n=2
.
tại thời điểm ban đầu
16
Sau đó, khi nguyên tử tương tác với laser, hàm sóng phụ thuộc thời gian có thể
được viết dưới dạng:
(2.15)
trong đó, lần lượt là hàm sóng tiến hóa theo thời gian của trạng
thái n=1 và n=2. Để đơn giản chúng tôi chọn trạng thái 1s và 2s với l=0, m=0.
Nếu chúng tôi giả định rằng trạng thái cơ bản và kích thích không kết cặp với
bất kỳ trạng thái liên kết khác trong suốt quá trình tương tác thì các hàm sóng
có thể được khai triển như sau:
(2.16)
(2.17)
trong các khai triển này, và lần lượt ký hiệu cho hàm sóng trạng thái cơ
bản, kích thích thứ nhất và trạng thái liên tục. C1, C2 là hệ số đóng góp ban đầu
của từng trạng thái n=1, n=2 và phải thỏa mãn điều kiện . là
biên độ phụ thuộc thời gian của các trạng thái n=1, n=2. là biên độ
phụ thuộc thời gian của các trạng thái liên tục.
Từ công thức (2.16), (2.21) và (2.22) gia tốc lưỡng cực được tính theo công
thức:
(2.18)
trong đó
(2.29)
(2.20)
(2.21)
(2.22)
17
Thành phần (i.) mô tả gia tốc lưỡng cực khi điện tử bị ion hóa từ trạng thái cơ
bản quay về kết hợp với trạng thái cơ bản; thành phần (ii.) mô tả gia tốc lưỡng
cực khi điện tử bị ion hóa từ trạng thái kích thích thứ nhất quay về kết hợp với
trạng thái kích thích thứ nhất; và thành phần (iii.) và (iv) lần lượt là thành phần
giao thoa mô tả gia tốc lưỡng cực khi điện tử bị ion hóa từ trạng thái kích thích
thứ nhất quay về kết hợp với trạng thái cơ bản, và ngược lại.
Như vậy, trong trường hợp nguyên tử với chồng chập hai trạng thái tương
tác với laser, gia tốc lưỡng cực được tách ra thành bốn thành phần khác nhau.
Các thành phần này có vai trò và đóng góp khác nhau trong phổ HHG phát ra từ
nguyên tử ở trạng thái chồng chập khi tương tác với laser [29,31].
18
Chương 3. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN
Trong phần này chúng tôi trình bày kết quả tính toán phổ HHG phát ra từ
nguyên tử ở trạng thái cơ bản n=1, trạng thái kích thích thứ nhất n=2, trạng thái
chồng chập của trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích thứ nhất. Laser với độ
dài 27 fs (5 chu kỳ quang học), bước sóng 1600 nm được sử dụng trong suốt quá
trình tính toán. Chúng tôi ký hiệu P1, P2 lần lượt là xác suất đóng góp của trạng
thái n=1, n=2.
Đầu tiên, để cho thấy độ đáng tin cậy của code mà chúng tôi sử dụng để tính
toán. Chúng tôi đưa ra bảng số liệu 3.1 cho kết quả năng lượng của một vài
trạng thái đầu tiên của nguyên tử H khi giải phương trình Schrödinger dừng. Kết
quả tính được so sánh với giá trị lý thuyết. Như được thấy ở cột 4 bảng 3.1 sai số
tương đối vô cùng nhỏ.
Bảng 3.1. Giá trị năng lượng của một số trạng thái đầu tiên của nguyên tử
H thu được từ giải TISE và từ giá trị lý thuyết
1
0.4999999999998961
0.5
< 0.3×10-10
2
0.1249999999999330
0.125
< 0.6×10-10
3
0.05555555555543222
1/18
< 0.3×10-9
4
0.03124999999975439
1/32
< 0.8×10-9
Trạng thái (n) TISE Chính xác Sai số tương đối (%)
Trong phần tiếp theo, chúng tôi kiểm chứng kết quả tính phổ HHG của
nguyên tử ở chồng chập hai trạng thái cơ bản và kích thích. Tuy nhiên, chúng tôi
tính cho nguyên tử H và bước sóng dài, trong khi các công trình trước [6,29,31]
đều tính cho He+ và bước sóng 800 nm. Sau đó, chúng tôi sẽ thảo luận cụ thể
ảnh hưởng của đóng góp trạng thái kích thích lên cường độ phát xạ phổ HHG.
Cuối cùng, chúng tôi chỉ ra hiệu ứng đa điểm dừng khi thay đổi cường độ laser
tương tác.
19
3.1. Cường độ phát xạ HHG của nguyên tử ở trạng thái chồng chập của
trạng thái cơ bản và kích thích đầu tiên
3.1.1. Trường hợp hệ số đóng góp bằng nhau
Hình 3.1. Phổ HHG của nguyên tử H ở trạng thái cơ bản n=1(P2=0%), trạng thái
kích thích thứ nhất n=2 (P2=100%), trạng thái chồng chập của trạng thái n=1 và
n=2 với xác suất đóng góp P2=50% khi tương tác với laser có cường độ
a)2×1013W/cm2, b)2×1014W/cm2.
Chúng tôi lần lượt xét các trường hợp trước khi cho tương tác với laser,
nguyên tử H được chuẩn bị ở trạng thái n=1 (P1=100%, P2=0%), trạng thái n=2
(P1=0%, P2=100%), trạng thái chồng chập của trạng thái n=1 và n=2 với hệ số
đóng góp bằng nhau (P1=P2=50%). Laser tương tác lần lượt có cường độ là
2×1013 W/cm2, 2×1014 W/cm2. Kết quả tính toán HHG được minh họa trên hình
3.1. Nhìn chung, các phổ HHG thu được đều có đặc trưng cơ bản: cường độ
giảm nhanh ở những bậc đầu tiên, tiếp theo là miền phẳng kết thúc ở điểm dừng,
và sau đó giảm mạnh.
20
Trước tiên, chúng tôi quan tâm đến cường độ phát xạ HHG từ nguyên tử H ở
trạng thái chồng chập của trạng thái n=1 và n=2 (đường màu đen trên hình 3.1)
với xác suất đóng góp bằng nhau, tức P1=P2=50%. Phổ phát xạ từ trạng thái cơ
bản (đường chấm màu xanh) và trạng thái kích thích (đường màu đỏ) cũng được
biểu diễn trong hình 3.1. Dễ dàng nhận thấy rằng, cường độ phát xạ HHG từ
nguyên tử H ở trạng thái chồng chập khi tương tác với các xung laser cường độ
khác nhau đều cho miền phẳng có cường độ cao hơn khi nguyên tử H ở các
trạng thái riêng lẻ. Cụ thể, với xung laser cường độ 2×1013W/cm2, cường độ
HHG phát ra từ nguyên tử H ở trạng thái chồng chập lần lượt cao hơn khoảng
106 và 102 lần so với trường hợp nguyên tử ở trạng thái n=1, n=2 lần lượt. Với
cường độ 2×1014W/cm2 giá trị cường độ cao hơn khoảng 102 và 105 lần.
Để giải thích hiện tượng tăng đáng kể của cường độ HHG từ nguyên tử H khi
ở chồng chập các trạng thái so với trường hợp chỉ xét các trạng thái riêng lẻ,
chúng tôi sử dụng các phân tích giải tích đã được trình bày trong mục 2.3. Gia
tốc lưỡng cực thu được từ nguyên tử ở trạng thái chồng chập hai trạng thái được
chia thành bốn thành phần. Để ước lượng thành phần nào trội hơn trong việc
đóng góp vào phổ phát xạ. Chúng tôi đã tính xác suất điện tử bị ion hóa từ trạng
thái cơ bản, trạng thái kích thích; và xác xuất ion hóa điện tử từ trạng thái chồng
chập, kết quả được biểu diễn ở hình 3.2. Trong vùng laser có cường độ yếu như
2x1013W/cm2, điện tử rất ít bị ion hóa từ trạng thái cơ bản, nhưng từ trạng thái
kích thích gần như hoàn toàn trong một vài chu kỳ đầu tiên (hình 3.2a). Do dó,
biên độ phụ thuộc thời gian và hầu hết thời gian. Sử
dụng các phương trình (2.26) đến (2.29), ta có .
Điều này có nghĩa là, thành phần đóng góp chính vào phát xạ HHG là từ
. Nói cách khác, khi xét đến chồng chập các trạng thái, phổ HHG
phát ra chủ yếu do điện tử bị ion hóa từ trạng thái kích thích, rồi quay trở về tái
21
kết hợp về trạng thái cơ bản và kích thích của ion mẹ. Tỉ lệ giữa hai thành phần
(3.1)
gia tốc này:
Thêm vào đó, chúng ta có tỉ lệ [26], trong bài
toán này của chúng tôi tỉ lệ này có giá trị bằng 32. Rõ ràng, . Như
vậy, với laser có cường độ thấp; thành phần đóng góp chủ yếu trong phổ
HHG của trạng thái chồng chập. Động năng cực đại của điện tử thu được trong
trường laser khi trở về gặp ion mẹ bằng [14]; do đó, phổ HHG từ trạng
thái chồng chập gồm có hai miền phẳng: một là, khi điện tử quay về tái kết hợp
về trạng thái kích thích sẽ phát ra photon có năng lượng từ đến
do đóng góp của ; hai là, khi điện tử quay về tái kết hợp về trạng thái cơ
bản sẽ phát ra photon có năng lượng từ đến do đóng góp của
. Hai miền phẳng này sẽ bị phân tách nếu như [18]. Để
minh họa cho điều này, chúng tôi cũng đã tính toán phổ HHG của Li2+ có thế ion
hóa cơ bản và kích thích thứ nhất thỏa (hình 3.3). Trên hình
3.3 cho thấy miền phẳng thứ nhất trải dài đến bậc 30, còn miền phẳng thứ hai
bắt đầu từ bậc 100 kết thúc tại bậc 150. Đối với nguyên tử H vì
nên hai miền phẳng bị xen phủ nhau, nên không quan sát
được rõ trên hình 3.1a.
22
Hình 3.2. Xác suất ion hóa của nguyên tử H khi ở trạng thái chồng chập của
trạng thái n=1 và n=2 (P1= P2=50%) khi tương tác với laser có cường độ
2×1013W/cm2 (hình a), 2×1014W/cm2 (hình b).
Trong vùng laser mạnh hơn như 2×1014W/cm2 điện tử ở trạng thái cơ bản đã
bị ion hóa đáng kể (hình 3.2b). Trong khi đó, điện tử bị ion hóa sạch từ trạng
thái kích thích ngay trong gần 1 chu kỳ đầu tiên. Do đó, thành phần gia tốc
lưỡng cực gây ra do sự ion hóa từ trạng thái cơ bản trở nên trội hơn so với hai
. Như được thấy từ hình
thành phần còn lại, tức
3.2b điện tử ở trạng thái kích thích bị ion hóa gần như hoàn toàn trước 1 chu kỳ
trước khi laser đạt đỉnh, nên biên độ trạng thái rất nhỏ.
Như vậy, trong phần này chúng tôi đã tính toán được HHG phát ra từ nguyên
tử H được chuẩn bị ở các trạng thái: trạng thái cơ bản, trạng thái kích thích thứ
nhất và trạng thái chồng chập của hai trạng thái trên với xác suất đóng góp bằng
nhau. Kết quả của chúng tôi tương tự cho trường hợp He+ tương tác với laser
bước sóng 800nm [31,33]. Kết quả đã cho thấy rằng, hiệu suất phát xạ từ trạng
23
thái chồng chập các trạng thái với hệ số bằng nhau cho một miền phẳng có
cường độ cao hơn so với xét từng trạng thái riêng lẻ. Ngoài ra, trong phổ HHG
có tồn tại nhiều miền phẳng.
Hình 3.3. Phổ HHG từ ion Li2+ ở trạng thái kích thích thứ nhất n=2 (P2=100%),
trạng thái chồng chập của trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích thứ nhất với
hệ số đóng góp bằng nhau (P1= P2=50%) khi tương tác với laser có cường độ
2×1013W/cm2.
24
3.1.2. Trường hợp hệ số đóng góp khác nhau.
Trong phần này, chúng tôi trình bày kết quả tính toán phổ HHG từ nguyên tử
H ở trạng thái chồng chập của trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích thứ nhất
với xác suất đóng góp khác nhau. Laser tương tác có cường độ 2×1013W/cm2.
Hình 3.4. Phổ HHG của nguyên tử H ở trạng chồng chập của trạng thái n=1 và
trạng thái n=2 với xác suất đóng góp của trạng thái n=2 (P2) khác nhau.
Trên hình 3.4 biểu diễn cường độ HHG của nguyên tử H ở chồng chập trạng
thái n=1 và n=2 với hệ số đóng góp khác nhau. Phổ HHG đã được làm
mượt để dễ quan sát. Cường độ HHG (xét vùng miền phẳng) khi nguyên tử H ở
trạng thái chồng chập với P2=48% cao hơn khoảng 7 bậc so với phổ HHG khi
nguyên tử ở trạng thái n=1 và cao hơn khoảng 3 bậc so với phổ HHG khi
nguyên tử ở trạng thái n=2. Dễ dàng nhận thấy là khi nguyên tử ở trạng thái
chồng chập với hệ số đóng góp bất kỳ đều cho vùng miền phẳng cao hơn so với
25
khi ở từng trạng thái riêng lẻ. Khi tăng dần xác suất đóng góp của trạng thái n=2,
hiệu suất phát xạ tăng dần. Tuy nhiên, khi tăng đến giá trị P2=50% thì hiệu suất
phát xạ bắt đầu giảm dần (hình 3.4). Trong hình 3.5, chúng tôi biểu diễn sự phụ
thuộc của cường độ HHG tại bậc HHG 5 (trong miền phẳng thứ nhất) và HHG
35 (trong miền phẳng thứ hai) vào xác suất đóng góp của trạng thái n=2 khi
nguyên tử H tương tác với xung laser cường độ 2×1013W/cm2. Hình 3.5a cho ta
thấy hiệu suất phát xạ HHG ở miền phẳng thứ nhất , cụ thể hiệu suất phát xạ
HHG bậc 5 tăng lên khi tăng xác suất đóng góp của trạng thái n=2 và đạt cực đại
khi P2=100%. Với HHG bậc 35 (hinh 3.5b) chúng tôi thấy rằng hiệu suất phát xạ
HHG tăng dần khi tăng xác suất đóng góp P2, và đạt cực đại khi P2=50%, sau đó
giảm dần khi tiếp tục tăng P2. Một điều đáng chú ý, hiệu suất của miền phẳng
thứ hai, cụ thể là HHG bậc 35 rất nhạy với sự đóng góp của trạng thái kích thích
thứ nhất. Chỉ với P2=1%, cường độ HHG đã tăng lên khoảng 5 bậc so với trường
hợp chỉ có trạng thái n=1. Sau đó cường độ HHG tăng chậm khi tăng dần P2. Để
giải thích điều này, chúng ta dựa vào phân tích giải tích (mục 2.3). Miền phẳng
thứ nhất được hình thành từ thành phần gia tốc lưỡng cực với hệ số ,
còn miền phẳng thứ hai đóng góp phần lớn từ thành phần gia tốc với hệ số
. Trên hình 3.5, chúng tôi cũng biểu diễn sự phụ thuộc của
và vào xác suất đóng góp của trạng thái n=2 . Dễ dàng
nhận thấy các đường lý thuyết này trùng khớp với kết quả HHG tính từ phương
pháp TDSE. Điều này khẳng định lần nữa rằng cường độ HHG từ trạng thái
chồng chập ở những bậc thấp (miền phẳng thứ nhất) được đóng góp từ thành
phần gia tốc , còn ở những bậc cao (miền phẳng thứ hai) được đóng góp
phần lớn từ thành phần gia tốc . Kết quả thu được tương tự cho các cường
độ còn lại.
26
Hình 3.5. Sự phụ thuộc của cường độ HHG bậc 5(hình a) và cường độ HHG bậc
35(hình b) theo xác suất đóng góp của trạng thái n=2 (P2). Đồng thời, dường
biểu diễn sự phụ thuộc của và (đường nét đứt màu
đen) cũng được biểu diễn. Trường hợp xét đến chồng chập của trạng thái n=1 và
n=2.
Như vậy, phổ HHG rất nhạy với sự có mặt của trạng thái kích thích. Chỉ cần
một sự đóng góp rất nhỏ của trạng thái kích thích cũng làm cường độ phát xạ
của phổ HHG tăng lên đáng kể. Sự nhạy của HHG với đóng góp của trạng thái
kích thích thứ nhất đã được chỉ ra trong [25] cho trường hợp He+. Trong luận
văn này, chúng tôi đã chỉ ra chi tiết khuynh hướng của cường độ HHG khi tăng
dần đóng góp của trạng thái kích thích.
27
3.2. Hiệu ứng đa điểm dừng trong phổ HHG
Hình 3.6. Phổ HHG của nguyên tử H ở trạng thái n=1(P1=100%, P2=0%), trạng
thái n=2 (P1=0%, P2=100%), trạng thái chồng chập của trạng thái n=1 và n=2
với xác suất đóng góp P2=50% khi tương tác với laser có cường độ
a)2×1013W/cm2 , b)5×1013W/cm2, c)9×1013W/cm2 , d)2×1014W/cm2.
Trong phần này, chúng tôi quan tâm đến phổ HHG của nguyên tử H ở trạng
thái n=1, n=2, trạng thái chồng chập của trạng thái n=1 và n=2 tương tác với các
xung laser có cường độ khác nhau. Chúng tôi nhận thấy xảy ra hiệu ứng đa điểm
dừng trong phổ HHG với một số cường độ laser thích hợp. Hình 3.6 biểu diễn
phổ HHG của nguyên tử H ứng với các trạng thái riêng lẻ n=1, n=2 và chồng
chập của chúng với hệ số đóng góp như nhau (vì theo trong mục 3.1.2
28
P1=P2=50% sẽ cho cường độ HHG lớn nhất). Laser tương tác có cường độ lần
lượt là 2×1013W/cm2, 5×1013W/cm2, 9×1013W/cm2, 2×1014W/cm2. Chúng tôi
thấy rằng khi tăng cường độ laser tương tác trong phổ HHG khi có chồng chập
các trạng thái xuất hiện các cấu trúc phức tạp. Sự xuất hiện của nhiều miền
phẳng dẫn đến có nhiều điểm dừng mà chúng tôi gọi là hiệu ứng đa điểm dừng.
Cụ thể, khi nguyên tử H tương tác với laser cường độ thấp 2×1013 W/cm2 (hình
3.6a), phổ HHG có miền phẳng với điểm dừng ứng với tần số là 39ω0, trùng với
điểm dừng của phổ HHG của nguyên tử H ở trạng thái n=1. Điểm dừng này tuân
theo quy luật bán cổ điển (1.1). Với laser có cường độ cao hơn 5×1013 W/cm2
(hình 3.6b), khi xét đến chồng chập các trạng thái, phổ HHG có điểm dừng với
tần số là 60ω0, trong khi trạng thái n=1 có điểm dừng là 69ω0. Hệ thức (1.1)
không được thỏa mãn cho trường hợp chồng chập trạng thái. Với cường độ laser
9×1013W/cm2, 2×1014W/cm2 phổ HHG của nguyên tử H ở trạng thái chồng chập
có điểm dừng trùng khớp với điểm dừng của phổ HHG từ trạng thái n=1 và tuân
theo đúng hệ thức (1.1). Tuy nhiên, cường độ HHG phát ra từ trạng thái kích
thích lại thấp hơn trạng thái cơ bản và điểm dừng miền phẳng cũng không tuân
. Hơn nữa, chúng tôi còn nhận thấy
thủ theo hệ thức (1.1): hiệu ứng đa điểm dừng của phổ HHG từ trạng thái chồng chập. Cụ thể, sự xuất
hiện ba điểm dừng ứng với tần số là 78ω0, 81ω0, 106ω0 trong trường hợp cường
độ laser 9×1013 W/cm2 (hình 3.6c). Với cường độ laser 2×1014 W/cm2 đối với
trạng thái chồng chập, phổ HHG có cấu trúc hai miền phẳng rõ rệt với điểm
dừng có tần số lần lượt 143ω0, 213ω0 (hình 3.6d).
29
Động năng Trường điện
) p U
r e s a l
(
g n ă n g n ộ Đ
g n ờ ư r t n ệ i Đ
Thời điểm ion hóa (chu kỳ)
Hình 3.7. Sự phụ thuộc của giá trị động năng điện tử đạt được khi quay về tái
kết hợp với ion mẹ tại theo thời điểm ion hóa (chu kỳ laser).
Cấu trúc phổ phức tạp này đã được nhóm của B. Wang quan sát cho nguyên
tử ion He+[17]. Bằng phép biến đổi Wavelet các tác giả [17] đã chỉ ra rằng, điện
tử sau khi bị ion hóa có thể chuyển động trên nhiều quỹ đạo khác nhau trước khi
trở về tái kết hợp với ion mẹ. Với mỗi quỹ đạo điện tử sẽ tích lũy được năng
lượng khác nhau và khi tái kết hợp với ion mẹ sẽ phát ra bức xạ có tần số và
cường độ khác nhau. Tuy nhiên, trong [17] các tác giả chưa giải thích chi tiết cơ
chế hình thành các điểm dừng này. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ thảo luận
chi tiết cơ chế hình thành hiệu ứng đa điểm dừng bằng mô hình cổ điển.
Vị trí điểm dừng được tiên đoán bằng công thức Lewenstein với tần số tương
ứng . Tuy nhiên, mô hình ba bước của Leweinstein sử dụng giả thiết
rằng trạng thái của điện tử không suy giảm theo thời gian. Trong trường laser
mạnh, đặc biệt với trạng thái kích thích, điện tử bị ion hóa 100% sau khi bật
30
laser một thời gian. Do đó, giả thiết này không còn đúng nữa. Hình 3.7 biểu diễn
sự phụ thuộc của giá trị động năng của điện tử đạt được khi trở về tái kết hợp
với ion mẹ theo chu kỳ của laser. Kết quả được chúng tôi mô phỏng từ mô hình
cổ điển chuyển động của điện tử trong điện trường. Kết quả cho thấy, điện tử sẽ
đạt động năng cực đại 3.17Up khi bị ion hóa gần trước -0.47 chu kỳ so với thời
điểm điện trường laser đạt cực đại. Nếu điện tử bị ion hóa hóa trước -0.98 chu
kỳ thì động năng cực đại của điện tử thu được chỉ là 2.67Up. Rõ ràng, động
năng cực đại của điện tử phụ thuộc chặt chẽ vào thời điểm ion hóa.
Bây giờ, chúng tôi tính xác suất ion hóa theo thời gian của nguyên tử H và
biểu diễn đại lượng trong hình 3.8b, 3.9b, 3.10b, 3.11b. Chúng cho thấy rằng,
với cường độ laser yếu như 2×1013 W/cm2, 5×1013 W/cm2 (hình 3.8b, 3.9b), điện
tử ion hóa rất yếu từ trạng thái cơ bản, trong khi điện tử được giải phóng khá
nhiều từ trạng thái kích thích. Xác suất ion hóa nhanh chóng đạt đến gần 100%
trước 0.47 chu kỳ laser trước khi laser đạt đỉnh. Đối với laser cường độ cao
9×1013 W/cm2, 2×1014W/cm2, điện tử ở trạng thái kích thích bị ion hóa gần như
hoàn toàn tại 0.98 chu kỳ laser trước khi laser đạt đỉnh. Xét cho trạng thái chồng
chập, xác suất ion hóa có sự tăng lên tại 0.98 chu kỳ laser trước khi laser đạt
đỉnh, trong khi nó ổn định và bằng 0.5 cho cường độ laser thấp 2×1013 W/cm2,
5×1013 W/cm2 tại 0.47 chu kỳ laser trước khi laser đạt đỉnh trở về sau. Với laser
cường độ cao, xác suất ion hóa từ trạng thái cơ bản tăng lên và đóng góp vào
trạng thái chồng chập.
Để tính đại lượng thể hiện số lượng điện tử bị ion hóa tại từng thời điểm,
chúng tôi đề xuất đại lượng:
, (3.2)
tức đạo hàm xác suất ion hóa của điện tử theo thời gian. Đại lượng này chúng tôi
gọi là tốc độ ion hóa.
Đầu tiên, chúng tôi thảo luận trường hợp cường độ laser yếu 2×1013 W/cm2
(hình 3.8). Từ hình 3.8c, 3.8d mô tả tốc độ ion hóa khi nguyên tử chỉ ở trạng thái
31
n=2; và khi ở chồng chập các trạng thái. Rõ ràng, tốc độ ion hóa tại thời điểm -
0.47 chu kỳ lớn hơn không, do đó, kết hợp với hình 3.7, điện tử quay về sẽ có
động năng cực đại bằng 3.17Up. Khi điện tử quay về tái kết hợp với ion mẹ phát
ra photon với năng lượng cực đại , lần
lượt cho phổ HHG từ trạng thái n=2 và trạng thái chồng chập. Kết quả này trùng
với kết quả thu được từ phổ HHG tính bằng mô phỏng TDSE (hình 3.8a)
32
Hình 3.8. Phổ HHG của nguyên tử H (hình a); xác suất ion hóa của điện tử (hình
b) khi nguyên tử H ở trạng thái n=1 (P2=0%), trạng thái n=2 (P2=100%), trạng
thái chồng chập của trạng thái n=1 và n=2 với xác suất đóng góp P2=50%; tốc
độ ion hóa của điện tử khi nguyên tử ở trạng thái n=2 (hình c); tốc độ ion hóa
của điện tử khi nguyên tử ở trạng thái chồng chập của trạng thái n=1 và n=2 với
P2=50% (hình d) khi tương tác với laser có cường độ 2×1013W/cm2.
33
Tiếp theo, chúng tôi xét cho cường độ 5 ×1013 W/cm2 . Từ hình 3.9b, ta dễ
dàng nhận thấy rằng điện tử ở trạng thái n=2 bị ion hóa gần như hoàn toàn trước
0.5 chu lỳ so với lúc điện trường laser đạt cực đại. Điều đó dẫn tới tốc độ ion
hóa tại hầu như bằng 0. Như vậy, không còn điện tử quay trở về tái
kết hợp có động năng cực đại . Chỉ có điện tử quay về với động năng cực
đại . Do đó mà điểm dừng của miền phẳng từ trạng thái n=2 bây giờ
không trùng khớp với dự đoán của định luật điểm dừng Lewenstein
mà sẽ là (hình 3.8). Đối với phổ
HHG từ H ở trạng thái chồng chập, tốc độ ion hóa tại gần như bằng
0, trong khi tại tốc độ ion hóa khác 0. Do đó, điện tử quay về có động
năng cực đại 2.67Up, điểm dừng của miền phẳng trong trường hợp này là
(hình 3.9a)
34
Hình 3.9. Tương tự hình 3.8 cho laser có cường độ 5×1013 W/cm2.
35
Tương tự như với cường độ 5×1013 W/cm2, đối với cường độ laser
9×1013W/cm2, do điện tử ở trạng thái n=2 bị ion hóa hết trước thời điểm - 0.47
chu kỳ laser, nên vị trí tần số điểm dừng của phổ HHG từ trạng thái n=2 là
thay vì là (hình 3.10). Với trường hợp
phổ HHG từ H ở trạng thái chồng chập xuất hiện ba vị trí điểm dừng khác nhau
, . Điều này là do
điện tử bị ion hóa tại -0.47 và -0.98 chu kỳ laser và khi trở về có thể tái kết hợp
về trạng thái n=2 hoặc về trạng thái n=1 gây ra phổ có nhiều điểm dừng. Tuy
nhiên cường độ HHG tại điểm dừng 106ω0 yếu hơn rất nhiều so với phổ HHG
tại hai điểm dừng còn lại. Kết quả mô phỏng HHG cũng cho ba điểm dừng
78ω0, 91ω0, 106ω0, phù hợp với kết quả giải thích trên (Hình 3.10a).
a)
b)
c)
d)
Hình 3.10. Tương tự hình 3.8 cho laser có cường độ 9×1013 W/cm2.
36
b)
a)
d)
c)
Hình 3.11. Tương tự hình 3.8 cho laser có cường độ 2×1014 W/cm2.
Cuối cùng, khi laser tương tác có cường độ 2×1014W/cm2. Với cường độ
laser này, điện tử ở trạng thái n=2 bị ion hóa gần như hoàn toàn trước -1.0 chu
kỳ laser và điện tử ở trạng thái n=1 đã bắt đầu ion hóa đáng kể (hình 3.10b). Từ
hình 3.11c, tốc độ ion hóa của trạng thái n=2 gần như bằng không tại -0.98 chu
kỳ laser, do đó mà điểm dừng có tần số là 143ω0 thay vì là bằng
. Đối với trạng thái chồng chập, xuất hiện hai điểm dừng:
điểm dừng thứ nhất trùng với điểm dừng của phổ HHG từ trạng thái kích thích,
điểm dừng thứ hai trùng khớp với điểm dừng của phổ HHG từ trạng thái cơ bản
37
và lại tuân theo công thức Hình 3.11d cho thấy, ở những chu kỳ
đầu tiên tốc độ ion hóa lớn. Đây là giai đoạn điện tử ở trạng thái kích thích bị
ion hóa mạnh đóng góp vào miền phẳng có điểm dừng 143ω0, bắt đầu từ -1.0
chu kỳ laser trở đi điện tử ở trạng thái n=1 đã bắt đầu ion hóa đáng kể (hình
3.10b), và đóng góp vào tốc độ ion hóa của trạng thái chồng chập. Trong khi đó
trạng thái kích thích đã bị suy biến hoàn toàn và không đóng góp vào tốc độ ion
hóa của điện tử từ trạng thái chồng chập. Các điện tử này khi trở về có động
năng cực đại 3.17Up, đóng góp vào miền phẳng thứ hai với điểm dừng
Ip1+3.17Up=213ω0.
Như vậy, trong phần này chúng tôi đã chỉ ra quy luật xuất hiện hiệu ứng đa
điểm dừng của phổ HHG phát ra từ nguyên tử H ở trạng thái chồng chập giữa
n=1 và n=2 vào cường độ laser. Đồng thời, chúng tôi cũng đã đề xuất đại lượng
tốc độ ion hóa và giải thích được thành công sự xuất hiện của những điểm dừng
này.
38
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN
Trong luận văn này, chúng tôi đã nghiên cứu phổ HHG của nguyên tử H, Li2+
được chuẩn bị ở chồng chập hai trạng thái cơ bản và kích thích trước khi tương
tác với laser. Kết quả đã chỉ ra:
Hiệu suất phát xạ HHG cao hơn so với khi nguyên tử được chuẩn bị ở các
trạng thái riêng lẻ, đồng thời miền phẳng rộng. Kết quả này xác nhận lại kết
quả của công trình [6,25,29,31];
Cường độ phổ HHG rất nhạy với sự đóng góp của trạng thái kích thích thứ
nhất. Chỉ cần đóng góp rất nhỏ của trạng thái kích thích đã làm tăng hiệu suất
phát xạ và miền phẳng phổ HHG đáng kể;
Với laser mạnh và trung bình, trong phổ HHG xuất hiện nhiều điểm dừng do
hiệu ứng suy giảm của trạng thái kích thích;
Đề xuất đại lượng tốc độ ion hóa và giải thích được thành công sự xuất hiện
của các điểm dừng trong phổ HHG.
Bài toán này có thể tiến hành mở rộng nghiên cứu cho các nguyên tử và phân tử
phức tạp hơn hoặc xét đến hiệu ứng dao động hạt nhân. Trong tương lai gần,
chúng tôi sẽ nghiên cứu bài toán này với trạng thái kích thích cao hơn, tức trạng
thái Rydberg.
39
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Baker S., Robinson J. S., Haworth C. A., Teng H., Smith R. A., Chirilă C.
C., Lein M., Tisch J. W. G., Marangos J. P. (2006), “Probing proton
dynamics in molecules on an attosecond timescale”, Science 312, 424.
2. Chen J. G.,Yang Y. J,Zeng S. L.,Liang H. Q. (2011), “Generation of intense
isolated sub-40-as pulses from a coherent superposition state by quantum
path control in the multicycle regime”, Phys. Rev. A 83, 023401.
3. Chen Z., Le A.T., Morishita T., Lin C.D. (2009), “Quantitative rescattering
theory for laser-induced high-energy plateau photoelectron spectra” Phys.
Rev. A 79,033409.
4. Corkum P. B. (1993), “Plasma Perspective on Strong-Field Multiphoton
Ionization”, Phys. Rev. Lett. 71, 1994.
5. Franken P. A., Hill A. E., Peters C. W., Weinreich G. (1961), “Generation of
optical harmonics”, Phys. Rev.Lett. 7, 118.
6. Gauthey F. I., Keitel C. H., Knight P. L., Maquet A. (1995), “Role of initial
coherence in the generation of harmonics and sidebands from a strongly
driven two-level atom”, Phys. Rev. A 52, 525.
7. Jooya H. Z. , Li P. C. , Liao S. L., Chu S. I. (2016), “Generation of
isolated ultra-short attosecond pulses by coherent control of the
population of excited states”, Phys. Rev. A 380, 316.
8. Krause J. L., Schafer K. J., Kulander K. C. (1992), “High-Order Harmonic
Generation from Atoms and Ions in the High Intensity Regime”,
Phys.Rev.Lett. 68, 3535.
9. Le A.-T., Wei H. , Jin C. ,Lin C. D. (2016), “Strong-field approximation
and its extension for high-order harmonic generation with mid-infrared
lasers,” J. Phys. B At. Mol. Opt. Phys., vol. 49, 53001.
40
10. Le V. H., Le A. T., Xie R. H., Lin C. D. (2007) “Theoretical analysis of
dynamic chemical imaging with lasers using high-order harmonic
generation”, Phys. Rev. A 76, 013414.
11. Lein M., Hay N., Velotta R., Marangos J. P., Knight P. L. (2002),
“Interference effects in high-order harmonic generation with molecules”,
Phys. Rev. A 66, 023805.
12. Lewenstein M., Balcou Ph., Ivanov M. Yu., Anne L. H., Corkum P. B.
(1994), “Theory of high-harmonic generation by low-frequency laser fields”,
Phys. Rev. A 49, 2117.
13. Li P. C., Laughlin C. ,Chu S. I. (2014), “Generation of isolated sub-20-
attosecond pulses from He atoms by two-color midinfrared laser fields,”
Phys. Rev. A 89, 023431.
14. Maiman T. H. (1960), “Stimulated optical radiation in ruby”, Nature 187,
493.
15. McPherson A., Gibson G., Jara U., Johann H., Luk T. S., McIntyre I. A.,
Boyer K., Phodes C. K. (1987), “Studies of multiphoton production of
vacuum-ultraviolet radiation in rare gase”, J. Opt. Soc. Am. B. 4, 595.
16. Micheau S., Chen Z., Le A. T., Lin C. D. (2009), “Quantitative rescattering
theory for nonsequential double ionization of atoms by intense laser pulses”,
Phys. Rev.A 79, 013417.
17. Midorikawa K. (2011), “Ultrafast dynamic imaging”, Natrure Photonics
5, 640.
18. Milosevic D. B. (2006),“Theoretical analysis of high-order harmonic
generation from a coherent superposition of states”, JOSA B 23(2), pp. 308-
317.
19. Mohebbi M., Batebi S. (2013), “Two states hydrogenlike model for high-
order harmonic generation and an isolated attosecond pulse generation in a
He+ ion”, Optics Communications 296, 113.
41
20. Muller H. G. (1999), “Numerical simulation of high-order above-
thresholdionization enhancement in argon,” Phys. Rev. A, vol. 60, pp. 1341–
1350.
21. Nguyen N. T., Tang B. V., Le V. H. (2010), “Tracking molecular
isomerization process with high harmonic generation by ultrashort laser
pulses”, J. Mol. Struct. (Theochem) 949, 52.
22. Phan T. N. L., Tran P. H., Hoang V. H., (2016), “Laser-intensity dependence
of high-order harmonic from excited hydrogen molecular ion”, Journal of
Science HCMC UP, 12, 12(90), 5.
23. Paul P. M.,Toma E. S. , Breger P. , Mullot G.,Auge F. ,Balcou Ph. , Muller
H. G.,Agostini P. (2001), “Observation of a Train of Attosecond Pulses from
High Harmonic Generation”,Science. 292, 1689.
24. Popmintchev, Tenio, et al. (2012), “Bright coherent ultrahigh harmonics in
the keV X-ray regime from mid-infrared femtosecond lasers”, Science. 336,
1287.
25. Sanpera A. , Watson J. B. ,Lewenstein M. ,Burnett K. (1996),"Harmonic-
generation control", Phys. Rev. A 54, 4320.
26. Schnürer M., Spielmann Ch.,Wobrauschek P.,Streli C.,Burnett N.H.,Kan
C.,Ferencz K.,Koppitsch R.,Cheng Z.,Brabec T., Krausz F.
(1998),"Coherent 0.5-keV X-Ray Emission from Helium Driven by a Sub-
10-fs Laser", Phys. Rev. Lett. 80, 3236
27. Vewinger F., Heinz M., Fernandez R. G., Vitanov N. V., Bergmann K.
(2003), “Creation and measurement of a coherent superposition of quantum
states”, Phys. Rev. Lett. 91, 213001.
28. Vitanov N. V., Suominen K. A., Shore B. W. (1999), “Creation of coherent
atomic superpositions by fractional stimulated Raman adiabatic passage”,
J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys 32, 4535.
42
29. Wang B., Cheng T., Li X., Fu P., Chen S., Liu J. (2005),“Pulse-duration
dependence of high-order harmonic generation with coherent superposition
state”, Phys. Rev. A 72, 063412.
30. Wang X. ,Chini M. ,Zhang Q. ,Zhao K. ,Wu Y. ,Telnov D. A. ,Chu S.I.,
Chang Z. (2012), “Mechanism of quasi-phase-matching in a dual-gas
multijet array”, Phys. Rev. A 86, 021802(R).
31. Watson J. B., Sanpera A., Chen X., Burnett K. (1996), “Harmonic
generation from a coherent superposition of states”, Phys. Rev. A 53, R1962.
32. Zhai Z., Chen J., Yan Z. C., Fu P., Wang B. (2010), “Direct probing of
electronic density distribution of a Rydberg state by high-order harmonic
generation in a few-cycle laser pulse”, Phys. Rev. A 82, 043422.
33. Zhai Z., Yu R. F., Liu X. S., Yang Y. J. (2008), “Enhancement of high-order
harmonic emission and intense sub-50 - as pulse generation”, Phys. Rev. A
78, 041402.
34. Zhai Z., Zhu Q., Chen J.,Yan Z. C., Fu P., Wang B. (2011), “High-order
harmonic generation with Rydberg atoms by using an intense few-cycle
pulse”, Phys. Rev. A 83, 043409.
35. Zhang G. T., Liu X. S. (2009), “Generation of an extreme ultraviolet
supercontinuum and isolated sub-50 as pulse in a two-colour laser field”, J.
Phys. B: At. Mol. Opt. Phys 42, 125603.
