Khóa luận tốt nghiệp đại học: Các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết và một số bài toán ứng dụng

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

32
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khóa luận gồm có 3 chương như sau: Chương 1: Định luật bảo toàn xung lượng và một số bài tập ứng dụng; Chương 2: Định luật bảo toàn mô men xung lượng và một số bài tập ứng dụng; Chương 3: Định luật bảo toàn cơ năng và một số bài tập ứng dụng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết và một số bài toán ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ TRẦN THỊ TRÀ MY CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN TRONG CƠ LÝ THUYẾT VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS.NGUYỄN THỊ HÀ LOAN HÀ NỘI, 2017
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan, người đã quan tâm chỉ bảo và nhiệt tình giúp tôi hoàn thành khóa luận này. Cô cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng cô. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè đã luôn sát cánh bên tôi, động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành khóa luận này. Hà Nội, ngày 18 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Trần Thị Trà My
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài “ Các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết và một số bài toán ứng dụng ” được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân cùng sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của cô giáo PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan. Tôi cũng xin cam đoan rằng kết quả này không trùng với kết quả của bất kì khóa luận tốt nghiệp khác. Nếu có gì không trung thực trong khóa luận tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, ngày 18 tháng 04 năm 2017. Sinh viên Trần Thị Trà My
MỤC LỤC MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 5 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 2 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................. 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2 5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2 6. Nội dung nghiên cứu ..................................................................................... 2 7. Đóng góp đề tài ............................................................................................. 2 NỘI DUNG....................................................................................................... 3 CHƯƠNG 1: ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP ỨNG DỤNG .................................................................................... 3 1.1. Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm ........................................... 3 1.1.1. Định luật biến thiên xung lượng của chất điểm. ..................................... 3 1.1.2. Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm ........................................ 4 1.2. Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm ...................................... 5 1.2.1. Định luật biến thiên xung lượng của hệ chất điểm ................................. 5 1.2.2. Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm ................................... 7 1.3. Một số bài toán ứng dụng........................................................................... 8 CHƯƠNG 2: ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔ MEN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ............................................................. 13 2.1. Định luật bảo toàn mô men xung lượng của chất điểm. .......................... 13
2.1.1. Định luật biến thiên mô men xung lượng của chất điểm. ..................... 13 2.1.2. Định luật bảo toàn mô men xung lượng của chất điểm. ....................... 14 2.2. Định luật bảo toàn mômen xung lượng của hệ chất điểm. ...................... 15 2.2.1. Định luật biến thiên mômen xung lượng của hệ chất điểm. ................. 15 2.2.2. Định luật bảo toàn mômen xung lượng của hệ chất điểm .................... 18 2.3. Một số bài toán ứng dụng......................................................................... 18 CHƯƠNG 3: ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ...................................................................................... 27 3.1. Định luật bảo toàn cơ năng của chất điểm ............................................... 27 3.1.1. Định luật biến thiên động năng của chất điểm ...................................... 27 3.1.2. Định luật bảo toàn cơ năng của chất điểm. ........................................... 28 3.2. Định luật bảo toàn cơ năng của hệ chất điểm. ......................................... 30 3.2.1. Định lí biến thiên động năng của hệ chất điểm: .................................... 30 3.2.2. Định luật bảo toàn cơ năng của hệ chất điểm. ...................................... 32 3.3. Một số bài toán ứng dụng......................................................................... 34 KẾT LUẬN .................................................................................................... 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 43
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Cơ học lý thuyết là khoa học nghiên cứu các quy luật về chuyển động hoặc sự cân bằng và tương tác cơ học giữa các vật thể trong không gian,theo thời gian. Sự ra đời và phát triển của cơ học lý thuyết liên quan đến các vấn đề của kĩ thuật nói riêng và thế giới tự nhiên nói chung. Vì vậy cho đến hiện nay nó vẫn là một trong các cơ sở của khoa học tự nhiên và xã hội. Động lực học là một phần của cơ học lý thuyết trong đó nghiên cứu một cách toàn diện các quy luật chuyển động cơ học của vật thể dưới tác dụng của các lực. Lý thuyết động lực học được xây dựng trên những định luật cơ bản của động lực học. Chúng là kết quả của hàng loạt các thí nghiệm và quan sát đã được kiểm nghiệm qua thực tiễn. Các định lý này phản ánh mối liên hệ cụ thể khác nhau giữa lực với chuyển động . Trong giai đoạn phát triển hiện nay của Vật lý học, các định luật bảo toàn cho phép ta hiểu được sâu sắc thêm nhiều thông tin về chuyển động của vật thể và vận dụng có hiệu quả trong việc giải các bài toán cơ học phức tạp. Trong động lực học,việc sử dụng phương pháp của phần động học trong các bài toán hệ vật là việc làm hết sức phức tạp. Hơn nữa trong phần lớn các bài toán động lực học của hệ, vấn đề chính không phải là khảo sát một cách chi tiết toàn bộ chuyển động của chất điểm thuộc hệ mà chỉ nghiên cứu các hiện tượng theo từng mặt riêng biệt. Để giải quyết các bài toán như vậy, việc sử dụng các định luật bảo toàn sẽ làm cho quá trình giải đơn giản và nhanh chóng hơn. Chính vì vậy, tôi đã chọn đề tài “ Các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết và một số bài toán ứng dụng ” 1
2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết. - Sử dụng các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết để giải một số bài tập cơ lý thuyết. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Các định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn mô men xung lượng và định luật bảo toàn cơ năng. - Áp dụng các định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn mô men xung lượng và định luật bào toàn cơ năng để giải một số bài tập cơ lý thuyết. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn mô men xung lượng, định luật bảo toàn cơ năng và vận dụng các định luật bảo toàn đó để giải một số bài tập cơ lý thuyết. 5. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp vật lý lý thuyết - Phương pháp giải tích. 6. Nội dung nghiên cứu Chương 1: Định luật bảo toàn xung lượng và một số bài tập ứng dụng. Chương 2: Định luật bảo toàn mô men xung lượng và một số bài tập ứng dụng. Chương 3: Định luật bảo toàn cơ năng và một số bài tập ứng dụng. 7. Đóng góp đề tài - Vận dụng các định luật bảo toàn trong cơ lí thuyết để giải một số bài tập về chuyển động phức tạp của vật rắn. - Là tài liệu tham khảo cho sinh viên khi nghiên cứu về cơ học lý thuyết. 2
NỘI DUNG CHƯƠNG 1 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 1.1. Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm. 1.1.1. Định luật biến thiên xung lượng của chất điểm. a. Xung lượng của chất điểm. Tích giữa khối lượng m của chất điểm và vận tốc v ⃗ của nó được gọi là xung lượng ⃗P của chất điểm ⃗ = mv P ⃗ (1.1) b. Định luật biến thiên xung lượng của chất điểm. Khối lượng của chất điểm không thay đổi trong quá trình chuyển động nên đạo hàm hai vế của (1.1) theo thời gian t, ta được: ⃗ dP dv ⃗ =m = mω⃗⃗ ( → ω là gia tốc của chất điểm ) dt dt →̇ → Hay P = F Đây là công thức biểu diễn định luật biến thiên xung lượng của chất điểm. Định luật biến thiên xung lượng của chất điểm được phát biểu như sau: “ Đạo hàm của véc tơ xung lượng theo thời gian t bằng tổng các lực tác dụng lên chất điểm ” →̇ → P =F (1.2) ⃗ là xung lượng của chất điểm Trong đó: P ⃗F là lực tác dụng lên chất điểm 3
1.1.2. Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm. Nếu chất điểm là cô lập ( không có lực tác dụng ) hoặc tổng hợp lực tác → dụng lên chất điểm bằng 0, nghĩa là F = 0 →̇ → Biểu thức P = F trở thành: ⃗Ṗ = 0 Hay ⃗P = ⃗⃗⃗ P0 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ const Khi đó xung lượng của chất điểm được bảo toàn. Nếu thành phần của lực trên một trục cố định nào đó bằng không tại mọi thời điểm thì thành phần của xung lượng trên trục đó được bảo toàn. Ví dụ: Nếu Fz = 0 thì Pz bảo toàn Pz = Pz0 = const Chú ý: Nếu thành phần của lực trên một trục di động bằng 0 thì chưa thể suy ra thành phần xung lượng trên trục đó bảo toàn. Ví dụ: Giả sử thành phần của lực trên trục ρ trong hệ toạ độ cực bằng 0 nhưng thành phần của xung lượng trên trục đó lại không bảo toàn. Thật vậy: mωρ = Fρ m(ρ̈ − ρφ̇2 ) = Fρ (1.3) Ta biết Pρ = mρ̇ là thành phần xung lượng trên trục ρ. Do đó (1.3) có thể viết dưới dạng: Ṗρ − mρφ̇2 = Fρ Như vậy, nếu Fρ = 0 thì Ṗρ = mρφ̇2 nghĩa là Pρ vẫn không bảo toàn. Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm được phát biểu như sau: “ Nếu chất điểm là cô lập ( không có lực tác dụng ) hoặc tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm bằng 0 thì xung lượng của chất điểm được bảo toàn. ” ⃗Ṗ = 0 hay ⃗P = ⃗⃗⃗ P0 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ const (1.4) 4
1.2. Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm. 1.2.1. Định luật biến thiên xung lượng của hệ chất điểm. Xét hệ chất điểm gồm N chất điểm M1 , M2 , … , MN Lực tác dụng lên chất điểm của hệ chia thành nội lực và ngoại lực a) Nội lực: là lực do các chất điểm của hệ tương tác với nhau. Tổng nội lực tác dụng lên các chất điểm của hệ là : N →in ⃗ iin F = ∑F i=1 Trong đó ⃗Fiin là nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i. b) Ngoại lực: là lực do các vật thể ở ngoài hệ tương tác lên các chất điểm trong hệ Tổng ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ là : N →e ⃗ ie F = ∑F i=1 Trong đó ⃗Fie là ngoại lực tác dụng lên chất điểm thứ i. Ký hiệu xung lượng của hệ chất điểm là ⃗P thì theo định nghĩa: N N ⃗P = ∑ ⃗Pi = ∑ mi v ⃗i i=1 i=1 Trong đó Pi  mi vi là xung lượng của chất điểm thứ i. Nghĩa là xung lượng của hệ chất điểm bằng tổng xung lượng của các chất điểm trong hệ. Đạo hàm hai vế của phương trình trên theo thời gian, ta được: N ⃗ dP dv ⃗i = ∑ mi dt dt i=1 N ⃗ dP = ∑ mi . ω ⃗⃗ i (1) dt i=1 5
Trong đó ω ⃗⃗ i là gia tốc của chất điểm thứ i Lại có: N N ∑ mi . ω ⃗ iin + F ⃗⃗ i = ∑(F ⃗ ie ) (2) i=1 i=1 Ta có: N N N ⃗ iin = ∑ ∑ F ∑F ⃗ ij i=1 i=1 j=1 j≠i N N N N N ∑ ⃗Fiin = ∑ ∑ ⃗Fij + ∑ ∑ ⃗Fij i=1 i=1 j=1 i=1 j=1 ji N N N N N ∑ ⃗Fiin = ∑ ∑ ⃗Fij + ∑ ∑ ⃗Fji i=1 i=1 j=1 i=1 j=1 j
⃗̇ = F Hay P ⃗e (1.5) Biểu thức (1.5) biểu diễn định luật biến thiên xung lượng của hệ chất điểm được phát biểu như sau: “ Đạo hàm véc tơ xung lượng của hệ chất điểm theo thời gian bằng tổng ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ.” ⃗Ṗ = ⃗F e Trong đó: ⃗P là xung lượng của hệ chất điểm ⃗ e là tổng ngoại lực tác dụng lên hệ chất điểm F Ý nghĩa: định luật biến thiên xung lượng cho ta biết mối liên hệ giữa gia tốc, lực và thời gian. Nó giúp ta xác định được một trong ba đại lượng khi biết hai đại lượng còn lại. Định luật biến thiên xung lượng còn được áp dụng trong nghiên cứu lý thuyết va chạm. 1.2.2. Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm. Nếu thành phần của tổng ngoại lực tác dụng lên hệ trên một trục cố định nào đó bằng không tại mọi thời điểm thì thành phần của xung lượng của hệ trên trục đó bảo toàn Ví dụ: Nếu Fze = 0 thìPz = Pz0 = const với Pz0 là thành phần của Pz ở thời điểm ban đầu. Trong trường hợp cơ hệ kín là hệ mà trong đó các chất điểm của hệ ⃗ e = 0. Từ (1.5) suy ra: không chịu một ngoại lực nào tác dụng lên chúng hay F ⃗ dP = ⃗F e = 0 dt ⃗P = ⃗P0 = const ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Như vậy, đối với hệ kín thì xung lượng của hệ được bảo toàn. Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm được phát biểu như sau: “ Đối với hệ kín, xung lượng của hệ được bảo toàn ” 7
⃗P = ⃗P0 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ const (1.6) 1.3. Một số bài toán ứng dụng. Bài 1: Hãy tìm vận tốc sau va chạm đàn hồi tuyệt đối của hai quả cầu giống nhau, chuyển động gặp nhau với vận tốc v1 và v2. Giải: 𝑣1 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣 ⃗⃗⃗⃗2 O x Hình 1.1 Chọn trục Ox ( như hình vẽ ) Giả sử sau va chạm vận tốc của hai quả cầu là v⃗⃗⃗1′ và ⃗⃗⃗⃗ v2′ Áp dụng định luật bảo toàn xung lượng cho hai quả cầu : ⃗Ptrước = ⃗Psau mv ⃗⃗⃗⃗2 = mv⃗⃗⃗1′ + mv ⃗⃗⃗1 + mv ⃗⃗⃗⃗′ 2 v2 = v⃗⃗⃗1′ + ⃗⃗⃗⃗ → v⃗⃗⃗1 + ⃗⃗⃗⃗ v2′ (1) Chiếu (1) lên Ox, ta được: v1 − v2 = −v ′1 + v ′ 2 (2) Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho hai quả cầu: 1 1 1 ⃗⃗⃗′ ) + 1 m (v 2 ⃗⃗⃗⃗′ ) 2 m(v⃗⃗⃗1 )2 + m(v ⃗⃗⃗⃗2 )2 = m (v 1 2 (3) 2 2 2 2 Chiếu (2) lên Ox, ta được: 1 1 1 1 mv12 + mv22 = mv′12 + mv′22 2 2 2 2 → v12 + v22 = v′12 + v′22 (4) Từ (2) và (4), ta có hệ phương trình: 8
v1 − v2 = −v ′1 + v ′ 2 { 2 v1 + v22 = v′12 + v′22 v′ = v1 →{ 1 v′2 = v2 Vậy sau va chạm hai quả cầu trao đổi vận tốc cho nhau. Bài 2: Hai quả cầu đàn hồi tuyệt đối giống nhau va chạm với các vận tốc v bằng nhau về độ lớn. Trước khi va chạm quả cầu bên trái có vận tốc hướng về bên phải theo đường nối tâm hai quả cầu, còn quả cầu bên phải có vận tốc hợp với đường nối tâm một góc α ( hình 1.2 ). Hãy tìm vận tốc của các quả cầu sau khi va chạm. ⃗ v ⃗ v 𝛼 O1 O2 Hình 1.2 Giải: y ⃗ v 𝛼 ⃗v x O1 O2 Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. Gọi vận tốc của quả cầu thứ nhất và thứ hai trước và sau va chạm lần lượt là ⃗ 1, v v ⃗ 1′ , v ⃗ 2, v ⃗ 2′ . Áp dụng định luật bảo toàn xung lượng cho hệ hai quả cầu trước và sau va chạm: ⃗Ptrước = ⃗Psau mv ⃗⃗⃗⃗2 = mv⃗⃗⃗1′ + mv ⃗⃗⃗1 + mv ⃗⃗⃗⃗′ 2 (1) 9
Chiếu (1) lên Ox: ′ ′ mv1 − mv2 cosα = mv1x + mv2x ′ ′ → v1 − v2 cosα = v1x + v2x Mà v1 = v2 = v ′ ′ → v − vcosα = v1x + v2x (2) Chiếu (1) lên Oy: ′ ′ mv2 sinα = mv1y + mv2y Mà v2 = v ′ ′ → vsinα = v1y + v2y (3) Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho các quả cầu trước và sau va chạm: 1 1 1 ⃗⃗⃗′ ) + 1 m (v 2 ⃗⃗⃗⃗′ ) 2 ⃗⃗⃗1 )2 + m(v m(v ⃗⃗⃗⃗2 )2 = m (v 1 2 2 2 2 2 → v12 + v22 = v′12 + v′22 → 2v 2 = v′12 + v′22 Mà v′12 = v′1x 2 2 + v′1y ; v′22 = v′22x + v′22y 2 2 2 → 2v 2 = v′1x + v′1y + v′22x + v ′ 2y (4) ′ Giả sử sau va chạm quả cầu thứ nhất bật ngược trở lại. Khi đó v1y = 0, thay vào (3), ta được: ′ v2y = vsinα Từ (4): 2 → 2v 2 = v′1x + v′22x + v 2 sin2 α → v′21x + v′22x = 2v2 − v2 sin2 α (5) ′ ′ Kết hợp với (2) → v1x = v − vcosα − v2x , thay vào (5), ta được phương trình: v′22x − v(1 + cosα)v2x ′ − v 2 . cosα = 0 Suy ra: 10
′ v2x = −vcosα < 0 (loại) ′ v2x = v (thỏa mãn) ′ v1x = v − vcosα − v = −vcosα Vậy vận tốc của hai quả cầu sau va chạm là: v′12 = v′1x 2 2 + v′1y = v 2 cos 2 α → v1′ = vcosα v′22 = v′22x + v′22y = v 2 + v 2 sin2 α → v′2 = v√1 + sin2 α 11
Kết luận chương 1 Các định luật bảo toàn mà chúng ta nhận được trong chương này đều xuất phát từ phương trình chuyển động của Niu Tơn. Vì thế các định luật đó liên hệ chặt chẽ với các tính chất của thời gian và không gian trong cơ học cổ điển. Định luật bảo toàn xung lượng liên hệ với tính đồng nhất của không gian, do tính chất này mà các tính chất cơ học của một hệ kín không thay đổi với mọi dịch chuyển song song của hệ trong toàn bộ. Đối với một số bài tập cơ học thỏa mãn định luật bảo toàn thì có thể giải bằng các định luật bảo toàn và cũng có thể giải bằng phương trình tổng quát của động lực học nhưng giải bằng các định luật bảo toàn sẽ đưa kết quả nhanh chóng hơn. Khi áp dụng định luật bảo toàn xung lượng và định luật biến thiên xung lượng của cơ hệ, ta lần lượt làm theo thứ tự sau: - Xác định trạng thái của cơ hệ khảo sát ( hệ kín hay hệ không kín ...), từ đó xác định hướng giải của bài toán sẽ áp dụng định luật bảo toàn xung lượng hay định luật biến thiên xung lượng của hệ. - Xác định các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ. Chọn hệ trục tọa độ tương ứng. - Xác định xung lượng của cơ hệ - Áp dụng biểu thức của định luật, từ đó giải các phương trình vi phân để tìm các đại lượng cần thiết theo yêu cầu của đề bài. 12
CHƯƠNG 2 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔ MEN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 2.1. Định luật bảo toàn mô men xung lượng của chất điểm. 2.1.1. Định luật biến thiên mô men xung lượng của chất điểm. Xét một chất điểm tự do có khối lượng m chuyển động dưới tác dụng → của lực F . Theo định luật II Niu tơn, ta có: ⃗⃗ = ⃗F ( ω m. ω ⃗⃗ : gia tốc của chất điểm ) dv ⃗ → m. = ⃗F dt Nhân hữu hướng với r về bên trái, ta được: dv ⃗ [r. m. ] = [r. ⃗F] dt ⃗ ] được gọi là mô men lực của chất điểm, ký hiệu là L Tích hữu hướng [r. F ⃗ dv ⃗ ⃗L = [r. m. ] dt d dr d → ⃗L = [r. m. v ⃗ ] − [ . m. v ⃗ ] = [r. m. v ⃗ ] − [v ⃗] ⃗ . m. v (2.1) dt dt dt Vì [v ⃗ ] = 0 nên có thể biến đổi vế trái của phương trình (2.1) thành dạng: ⃗.v ⃗⃗⃗ dM =L ⃗⃗⃗̇ = L ⃗⃗ → M ⃗ ( 2.2 ) dt Trong đó ⃗M ⃗⃗ = [r. m. v ⃗ ] = [r. ⃗P] được gọi là mô men xung lượng của chất điểm Biểu thức ( 2.2 ) biểu diễn định luật biến thiên mô men xung lượng của chất điểm được phát biểu như sau: “ Đạo hàm véc tơ của mô men xung lượng của chất điểm theo thời gian bằng mô men lực tác dụng lên chất điểm đó ” 13
⃗⃗⃗̇ = L M ⃗ Trong đó: ⃗M ⃗⃗ = [r. m. v ⃗ ] = [r. ⃗P]: mô men xung lượng của chất điểm ⃗ = [r. F L ⃗ ] : mô men lực của chất điểm 2.1.2. Định luật bảo toàn mô men xung lượng của chất điểm. Nếu thành phần mô men lực trên một trục cố định nào đó tại mọi thời điểm bằng 0 thì thành phần của mômen xung lượng của chất điểm trên trục đó được bảo toàn. Ví dụ: Nếu Lz = 0 thì Mz bảo toàn Mz = Mz0 = const (2.3) Nhận xét: Mô men lực (hay các thành phần của nó trên các trục nào đó) bằng không khi lực tác dụng lên chất điểm bằng không. Nhưng cũng có thể xẩy ra trường hợp, lực tác dụng lên chất điểm khác không mà mô men lực lại bằng không Ví dụ 1: Cho trước lực tác dụng lên chất điểm có hướng luôn cố định, ta chọn trục Oz thế nào để nó cộng tuyến với hướng của lực đó. Từ đây, ta có (hình 2.1a) Fx = Fy = 0 ; Fz ≠ 0 Lx ≠ 0 ; Ly ≠ 0 ; Lz = xFy − yFx = 0 Mà Lz = 0 thì Mz bảo toàn. Mz = m(xẏ − yẋ ) = Mz0 (2.4) z z O y O y x x a) b) Hình 2.1 14
Ví dụ 2: Lực xuyên tâm, đó là lực có đường tác dụng luôn đi qua một điểm cố định – tâm của lực (đường tác dụng của lực là đường thẳng mà vectơ lực nằm trên đó). Trong trường hợp này mô men lực bằng không. Thật vậy: Chọn điểm cố định O làm gốc toạ độ (Hình 2.1 b) khi đó: ⃗F = Fγ n ⃗ γ ; ⃗L = 0 ⃗M ⃗⃗ = m[r. v ⃗ ] = ⃗M ⃗⃗ 0 (2.5) Nghĩa là mô men xung lượng của chất điểm đối với tâm của lực bảo toàn. Định luật bảo toàn mô men xung lượng của chất điểm được phát biểu như sau: “ Trong hệ quy chiếu quán tính mà tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm bằng 0 hoặc lực tổng hợp cộng tuyến với bán kính vectơ xác định vị trí của chất điểm thì mô men xung lượng của chất điểm bảo toàn ” ⃗M ⃗⃗ = ⃗M ⃗⃗ 0 = const ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (2.6) Trong đó: ⃗M ⃗⃗ = [r. m. v ⃗ ]: mô men xung lượng của chất điểm ⃗M ⃗⃗ 0 : mô men xung lượng ban đầu của chất điểm 2.2. Định luật bảo toàn mômen xung lượng của hệ chất điểm. 2.2.1. Định luật biến thiên mômen xung lượng của hệ chất điểm. Phương trình chuyển động của chất điểm thứ i của hệ chất điểm có dạng: mi . ω ⃗ iin + F ⃗⃗ i = F ⃗ ie dv ⃗i ↔ mi . ⃗ iin + F =F ̅̅̅̅̅ ⃗ ie ( i = 1, N) dt Nhân hữu hướng với ri về bên trái: dv ⃗i [ri . mi . ] = [ri . ⃗Fiin ] + [ri . ⃗Fie ] dt 15