PHÂN 1: M ĐÂU Ơ
1. Li do chon đê tai
Cac bai toan tô h p (hay con goi la cac bai toan vê giai tich tô h p) chiêm ơ ơ
môt vi tri quan trong trong viêc phat triên t duy, tinh sang tao cua hoc sinh. Do ư
s ly thu cua cac bai toan nay nên chung luôn xuât hiên trong cac ki thi hoc sinh ư
gioi, thi tuyên sinh vao cac tr ng Đai hoc va Cao đăng. Trong nôi dung nay, co ươ
bai toan tinh cac tông liên quan đên sô tô h p. Khi g p bài toán thu c lo i này, ơ ặ ộ ạ
h c sinh th ng r t ng i tìm cách gi i, có tâm lí s và r t d có t t ng bọ ườ ấ ạ ả ợ ấ ễ ư ưở ỏ
qua bài toán. B ng kinh nghi m gi ng d y, tôi rút ra đc m t s nguyênằ ệ ả ạ ượ ộ ố
nhân sau đây d n đn các em h c sinh có tâm lí s các bài toán v tinh cac ẫ ế ọ ợ ề
tông liên quan đên sô tô h p: ơ
- Vi th i l ng danh cho nôi dung nay qua it, nên hoc sinh chi m i đc lam ơ ươ ơ ươ
quen v i môt sô bai toan m c đô đn gian. ơ ơ ư ơ
- Cac tai liêu viêt vê tô h p trinh bay nhiêu cach giai bai toan nay, trong đo co ơ
cach kêt h p kiên th c tô h p v i đao ham hoăc tich phân. Điêu đo tao ra s ơ ư ơ ơ ư
kho khăn nhât đinh cho hoc sinh vi li do kiên th c vê tô h p đc hoc hoc ki ư ơ ươ ơ
I, con đao ham đc trinh bay cuôi hoc ki II cua l p 11, tich phân đc hoc ươ ơ ơ ươ
cuôi ch ng trinh l p 12. ơ ươ ơ
- H th ng bài t p minh ho cho m i ph ng pháp tinh cac tông liên quan đên ệ ố ậ ạ ỗ ươ
sô tô h p ch a phong phú, ch a đa các em t i nhi u tình hu ng. ơ ư ư ư ớ ề ố
- Các bài t p mà các em đc ti p c n ch a ph n ánh đc b n ch t và d uậ ượ ế ậ ư ả ượ ả ấ ấ
hi u c a m i ph ng pháp tinh cac tông liên quan đên sô tô h p. ệ ủ ỗ ươ ơ
- Khi d y h c sinh tìm l i gi i bài toán tinh cac tông liên quan đên sô tô h p, ạ ọ ờ ả ơ
các th y cô giáo ch a h ng d n h c sinh ho t đng m t cách tích c c, ch aầ ư ướ ẫ ọ ạ ộ ộ ự ư
phát huy đc tính t giác, năng l c sáng t o c a h c sinh.ượ ự ự ạ ủ ọ
Trong giai đo n hi n nay, vi c đi m i ph ng pháp d y h c toán ạ ệ ệ ổ ớ ươ ạ ọ ở
tr ng trung h c ph thông ch y u theo h ng phát huy cao đ n l c cáườ ọ ổ ủ ế ướ ộ ỗ ự
nhân h c sinh, cá nhân hoá vi c d y h c, tích c c hoá ho t đng h c t p c aọ ệ ạ ọ ự ạ ộ ọ ậ ủ
h c sinh. M t trong nh ng ho t đng quan tr ng c a h c sinh trong quá trìnhọ ộ ữ ạ ộ ọ ủ ọ
gi i toán đó là ho t đng nh n d ng và th hi n, ho t đng phân lo i các bàiả ạ ộ ậ ạ ể ệ ạ ộ ạ
toán, ho t đng tìm tòi, suy nghĩ l i gi i các bài toán nh m n m v ng các kháiạ ộ ờ ả ằ ắ ữ
ni m, các tính ch t, các ph ng pháp, các thu t toán, cac công th c. ệ ấ ươ ậ ư
Vân đê đăt ra đây la nêu chi dung kiên th c tô h p thuân tuy thi co giai ơ ư ơ
đc cac bai toan tinh cac tông liên quan đên sô tô h p không. Sau nhiêu trăn ươ ơ
tr , tim toi, tôi đa co câu tra l i: Co môt công th c đn gian liên quan đên sô tô ơ ơ ư ơ
h p co thê giup ta giai đc loai toan nay khi kêt h p no v i nhi th c Niu-t n, ơ ươ ơ ơ ư ơ
co thê vi von công th c nay giông nh môt “bao bôi” cua ng i giai toan tô ư ư ươ
h p. No se đc đê câp trong phân 2, muc I.3. Đê giup hoc sinh vân dung công ơ ươ
th c nay môt cach linh hoat, giao viên cân giup cac em nhân dang đc nh ng ư ươ ư
bai toan nao dung đc công th c đo. Cân giup cac em nhin nhân, biên đôi ươ ư
công th c đo d i nhiêu hinh th c khac nhau đê giai đc nhiêu bai toan kho ư ươ ư ươ
1
h n, la h n. Cân co môt hê thông bai tâp phong phu, phân loai đê hoc sinh ơ ơ
đc ren luyên ky năng. T đo gop phân phát tri n cho hoc sinh năng l c tìm ươ ư ể ự
tòi, suy nghĩ l i gi i các bài toán tinh cac tông liên quan đên sô tô h p, b i vì ờ ả ơ ở
m c đích c a vi c gi i toán không ch n m v ng t ng ki u bài toán, th m chíụ ủ ệ ả ỉ ắ ữ ừ ể ậ
t ng bài t p mà rèn luy n kh năng gi i bài t p nói chung đ có th ng phóừ ậ ệ ả ả ậ ể ể ứ
v i nh ng tình hu ng m i m , không ph thu c vào khuôn m u có s n. ớ ữ ố ớ ẻ ụ ộ ẫ ẵ
Vì nh ng lí do trên, tôi ch n đ tài nghiên c u c a sáng ki n kinhữ ọ ề ứ ủ ế
nghi mệ
nh sau: ưDung kiên th c tô h p thuân tuy ư ơ h ng dân hoc sinh giai bai ươ
toan tinh tông cac sô tô h p. ơ
2. Muc đich nghiên c u ư
Tìm hi u nhu câu va nh ng khó khăn c a h c sinh khi cac bai toán tinh ể ư ủ ọ
tông cac sô t h p. T đó nghiên c u, đ xu t ph ng phap kh c ph c nh ng ổ ợ ừ ứ ề ấ ươ ắ ụ ư
kho khăn đo, góp ph n nâng cao ch t l ng d y va h c môn toán trong tr ng ầ ấ ượ ạ ọ ườ
trung h c ph thông.ọ ổ
3. Đôi t ng nghiên c u ươ ư
Cac bai toan tinh tông cac sô tô h p dung kiên th c tô h p thuân tuy đê ơ ư ơ
giai quyêt.
4. Ph ng phap nghiên c u ươ ư
a) Ph ng phap nghiên c u xây d ng c s ly thuyêt: Nghiên c u sách giáo ươ ứ ư ơ ơ ứ
khoa, nh ng tài li u v ph ng pháp d y h c toán, các tài li u v tâm lý h c,ữ ệ ề ươ ạ ọ ệ ề ọ
giáo d c h c, các công trình nghiên c u có liên quan đn đ tài c a m t s tácụ ọ ứ ế ề ủ ộ ố
gi , các sách tham kh o…ả ả
b) Ph ng phap đi u tra khao sat th c tê: Ti n hành tìm hi u v các s li u ươ ề ư ế ể ề ố ệ
thông qua giáo viên toán các tr ng ph thông, qua bài ki m tra h c sinhở ườ ổ ể ọ
tr ng THPT Vinh Lôc. ươ
c) Ph ng phap thông kê, x ly sô liêu: Ti n hành day th c nghi m m t s ươ ư ế ự ệ ộ ố
buôi tr ng THPT Vinh Lôc. ở ườ
PHÂN 2: NÔI DUNG SANG KIÊN KINH NGHIÊM
I. C S LÝ LU N C A SANG KIÊN KINH NGHIÊM Ơ Ở Ậ Ủ
1. Công th c nh th c Niu-t nứ ị ứ ơ
2
0 1 1
0
( ) ... ...
n
n n n k n k k n n k n k k
n n n n n
k
a b C a C a b C a b C b C a b
− − −
=
+ = + + + + =
2. Môt sô khai triên va công th c suy ra t công th c nhi th c Niu-t n ư ư ư ư ơ
0 1 2 2 3 3
(1 ) ...
n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x+ = + + + + +
0 1 2 2 3 3
(1 ) ... ( 1)
n n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x− = − + − + + −
2 0 1 2 2 3 3 2 2
2 2 2 2 2
(1 ) ...
n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x+ = + + + + +
2 0 1 2 2 3 3 2 1 2 1 2 2
2 2 2 2 2 2
(1 ) ...
n n n n n
n n n n n n
x C C x C x C x C x C x
− −
− = − + − + − +
2 1 0 1 2 2 3 3 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
(1 ) ...
n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
+ + +
+ + + + +
+ = + + + + +
2 1 0 1 2 2 3 3 2 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
(1 ) ...
n n n n n
n n n n n n
x C C x C x C x C x C x
+ + +
+ + + + + +
− = − + − + + −
2 2
0 2 2 4 4 2 2
2 2 2 2
(1 ) (1 ) ...
2
n n
n n
n n n n
x x C C x C x C x
+ + − = + + + +
2 2
1 3 3 2 1 2 1
2 2 2
(1 ) (1 ) ...
2
n n
n n
n n n
x x C x C x C x
− −
+ − − = + + +
2 1 2 1
0 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1
(1 ) (1 ) ...
2
n n
n n
n n n
x x C C x C x
+ +
+ + +
+ + − = + + +
2 1 2 1
1 3 3 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
(1 ) (1 ) ...
2
n n
n n
n n n
x x C x C x C x
+ + + +
+ + +
+ − − = + + +
0 1 2 3
... 2
n n
n n n n n
C C C C C+ + + + + =
0 1 2 3
... ( 1) 0
n n
n n n n n
C C C C C− + − + + − =
0 2 4 1 3 5 1
... ... 2
n
n n n n n n
C C C C C C
−
+ + + = + + + =
.
3. Công th c quan trong dung trong đê tai ứ
1
1
k
n
k
n
nCkC
*
( , 2; 1, 2,..., )n n k n=γ ﾥ
(I)
k
n
k
n
CnCk )1()1(
1
1
*
( ; 0,1,..., )n k n=�ﾥ
(II)
1
1
1
1
1
1
k
n
k
n
C
n
C
k
*
( ; 0,1,..., )n k n=�ﾥ
(III)
Chu y .
- Cac công th c nay t ng đng nhau, chi khac nhau vê hinh th c viêt. Đê dê ư ươ ươ ư
nh , chung ta chi cân nh công th c (I). Tuy viêc ap dung vao bai toan cu thê, ơ ơ ư
co thê t công th c (I) biên đôi thanh cac công th c (II), (III) đê s dung cho ư ư ư ư
phu h p.ơ
- Công th c (I) đc ch ng minh hêt s c đn gian nh sau ư ươ ư ư ơ ư
V i ơ
*
, 2n nγ ﾥ
va
1, 2,...,k n=
ta co
1
1
! . .( 1)! ( 1)!
. .
!( )! ( 1)!( )! ( 1)!( )!
k k
n n
n k n n n
kC k n nC
k n k k k n k k n k
−
−
− −
= = = =
− − − − −
(đpcm)
Trong công th c (I), thay ư
n
b i ơ
1n
+
va thay
k
b i ơ
1k+
ta thu đc công th cươ ư
(II).
Công th c (III) co đc t công th c (II) băng cach chia ca hai vê cho ư ươ ư ư
( 1)( 1)n k+ +
.
3
4. D u hi u nh n bi t dùng cac công th c (I), (II), (III) đê đa môt tông ấ ệ ậ ế ư ư
liên quan đên sô tô h p vê môt tông quen thuôc ơ
S d ng cac công th c (I), (II), (III) cho chung ta m t ph ng pháp hay ử ụ ư ộ ươ
và r t có hi u qu đ giai bai toan tinh tông liên quan đên sô tô h p. Các bài ấ ệ ả ể ơ
toán tinh tông liên quan đên sô tô h p có th áp d ng đc ph ng pháp này, ơ ể ụ ượ ươ
n u nh sô hang tông quat cua các tông đó co thê biên đôi thanh biêu th c vê ế ư ư ơ
trai cua môt trong cac công th c (I), (II), (III). Cac b c th c hiên tinh tông ư ươ ư
liên quan đên cac sô tô h p băng cach dung cac công th c (I), (II), (III): ơ ư
- Xac đinh sô hang tông quat cua tông cân tinh.
- Biên đôi sô hang tông quat đo đê lam xuât hiên biêu th c vê trai cua môt ư ơ
trong cac công th c (I), (II), (III). ư
- Dung cac công th c (I), (II), (III) đa tông đa cho vê cac tông quen thuôc. ư ư
Chu y . Chung ta cân chu y đên đăc điêm nôi bât cua cac công th c (I), (II), (III) ư
đê co nh ng đinh h ng quan trong trong giai toan. ư ươ
Trong cac công th c (I), (II), (III), ư
k
thay đôi con
n
cô đinh. Nh vây, khi ap ư
dung cac công th c nay, ta co muc đich biên đôi đai l ng thay đôi ư ươ
k
vê đai
l ng cô đinh ươ
n
. T t ng chung nay giup ta biên đôi tông cân tinh thanh môt ư ươ
tông quen thuôc.
II. TH C TR NG C A V N ĐỰ Ạ Ủ Ấ Ề
Toán h c là môn h c mà khi d y bao gi cũng g n li n gi a lí thuy tọ ọ ạ ờ ắ ề ữ ế
v i bài t p áp d ng. Trong ch ng trình sách giáo khoa, ki n th c và bài t pớ ậ ụ ươ ế ứ ậ
áp d ng cac công th c (I), (II), (III) h u nh không có. Vì th các em h c sinh ụ ư ầ ư ế ọ
r t lúng túng và có tâm lí lo s khi g p d ng toán tinh tông co liên quan đên sô ấ ợ ặ ạ
tô h p, d n đn vi c b qua bài toán nay th ng xu t hi n trong các k thi ơ ẫ ế ệ ỏ ườ ấ ệ ỳ
vào Đi h c và Cao đng, thi h c sinh gi i.ạ ọ ẳ ọ ỏ
S d ng cac công th c (I), (II), (III) là m t ph ng pháp hay và r t có ử ụ ư ộ ươ ấ
hi u qu đ giai bai toán tinh tông co liên quan đên sô tô h p, t o nên s đc ệ ả ể ơ ạ ự ộ
đáo, ng n g n và sáng t o trong l i gi i c a bài toán. Qua th c t d y h c, tôiắ ọ ạ ờ ả ủ ự ế ạ ọ
th y r ng h c sinh đang còn thi u kinh nghi m trong vi c áp d ng cac côngấ ằ ọ ế ệ ệ ụ
th c (I), (II), (III) đ gi i toán nói chung và gi i các bai toán tinh tông co liên ư ể ả ả
quan đên sô tô h p nói riêng. ơ
Khi s d ng cac công th c (I), (II), (III) gi i các bài toán tinh tông co ử ụ ư ả
liên quan đên sô tô h p h c sinh còn g p nhi u khó khăn nh sau: ơ ọ ặ ề ư
- Đng tr c nh ng tông co liên quan đên sô tô h p nào có th l a ch n s ứ ướ ữ ơ ể ự ọ ử
d ng cac công th c (I), (II), (III) đ gi i và n u dùng đc cac công th c đo ụ ư ể ả ế ượ ư
thì băt đâu t đâu đê biên đôi đc tông đo. Khó khăn đó n y sinh do h th ng ư ươ ả ệ ố
các bài t p trong sách giáo khoa ch a đa d ng, phong phú đ kh c sâu ph ngậ ư ạ ể ắ ươ
pháp s d ng cac công th c (I), (II), (III) trong viêc gi i các bài toán tinh tông ử ụ ư ả
co liên quan đên sô tô h p. ơ
4
- Vi c đnh h ng đúng, xác đnh đúng đng l i đ gi i cũng nh ch n l aệ ị ướ ị ườ ố ể ả ư ọ ự
đúng ph ng pháp và công c đ gi i là m t yêu c u phát tri n trí tu choươ ụ ể ả ộ ầ ể ệ
h c sinh.ọ
Vi c rèn luy n gi i cac bai toán tinh tông co liên quan đên sô tô h p ệ ệ ả ơ
b ng ph ng pháp s d ng cac công th c (I), (II), (III) s góp ph n phát tri n ằ ươ ử ụ ư ẽ ầ ể
cho h c sinh năng l c tìm tòi, suy nghĩ l i gi i các bài toán, b i vì m c đíchọ ự ờ ả ở ụ
c a vi c gi i toán không ch n m v ng t ng ki u bài toán, th m chí t ng bàiủ ệ ả ỉ ắ ữ ừ ể ậ ừ
t p mà rèn luy n kh năng gi i bài t p nói chung đ có th ng phó v iậ ệ ả ả ậ ể ể ứ ớ
nh ng tình hu ng m i m , không ph thu c vào khuôn m u có s n.ữ ố ớ ẻ ụ ộ ẫ ẵ
Các tài li u vi t v ph ng pháp s d ng cac công th c (I), (II), (III) ệ ế ề ươ ử ụ ư
ch a nhi u, ch a đi sâu nghiên c u các bài toán tinh tông co liên quan đên sô ư ề ư ứ
tô h p giai đc b ng ph ng pháp s d ng cac công th c (I), (II), (III) nên ơ ươ ằ ươ ử ụ ư
ch a th c s thu n l i cho th y và trò trong vi c d y và h c v loai toan nay, ư ự ự ậ ợ ầ ệ ạ ọ ề
ch a xây d ng đc h th ng các bài t p đa d ng, phong phú đ kh c sâuư ự ượ ệ ố ậ ạ ể ắ
ph ng pháp s d ng cac công th c (I), (II), (III), đ h c sinh có c h i rèn ươ ử ụ ư ể ọ ơ ộ
luy n kĩ năng gi i toán, t o nên s nh y bén trong nhi u tình hu ng h c t p.ệ ả ạ ự ạ ề ố ọ ậ
III. GI I PHÁP VÀ T CH C TH C HI NẢ Ổ Ứ Ự Ệ
Vi c nghiên c u các bài toán trong toán h c s c p b ng cách ghépệ ứ ọ ơ ấ ằ
thành nh ng nhóm bài toán gi i đc b ng cùng m t ph ng pháp là m tữ ả ượ ằ ộ ươ ộ
vi c làm h t s c c n thi t và có ý nghĩa. Trên c s lý thuy t và bài t p sáchệ ế ứ ầ ế ơ ở ế ậ
giáo khoa môn toán ph thông và m t s sách toán khác, ng i giáo viên b ngổ ộ ố ườ ằ
ki n th c và kinh nghi m c a mình có th s d ng các ph ng pháp phânế ứ ệ ủ ể ử ụ ươ
lo i các bài toán, v ch ra s khác bi t gi a các bài toán theo t ng ki u đạ ạ ự ệ ữ ừ ể ể
giúp ích cho h c sinh khi gi i toán.ọ ả
Đ góp ph n nâng cao ch t l ng d y và h c, tôi đã áp d ng đ tài t iể ầ ấ ượ ạ ọ ụ ề ạ
các l p 12Aớ2, 12A3 trong hai năm h c 2014-2015, 2015-2016. Khi đc ti pọ ượ ế
c n v i chuyên đ này, h c sinh h c t p r t h ng thú và có hi u qu . B ngậ ớ ề ọ ọ ậ ấ ứ ệ ả ằ
cách ki m tra, đi ch ng tôi nh n th y chuyên đ này đã góp ph n nâng caoể ố ứ ậ ấ ề ầ
kĩ năng gi i toán cho các em h c sinh, giúp các em nh y bén trong vi c sả ọ ạ ệ ử
d ng cac công th c (I), (II), (III). ụ ư
Đê thây đc vai tro quan trong cua cac công th c trên, sau đây tôi xin ươ ư
trình bày m t s ví d v n d ng. Cac vi du nay đc trich t cac đê thi Đai ộ ố ụ ậ ụ ươ ư
hoc (vi du 7, 9, 17), thi th đai hoc, thi hoc sinh gioi va đêu đc giai chi tiêt, ư ươ
kem theo nh ng phân tich va nhân xet đê hoc sinh thây đc ng dung rông rai, ư ươ ư
cai hay, cai đep cua cac công th c (I), (II), (III). ư
Ví d 1. ụTinh tông
1 2 3 1
1 2 3 ... ( 1)
n n
n n n n n
S C C C n C nC
−
= + + + + − +
.
L i giai.ơ Tông cân tinh hêt s c quen thuôc. Sau đây tôi xin đa ra 3 cach giai ư ư
bai toan nay, trong đo co cach giai s dung công th c ư ư
1
1
k k
n n
kC nC
−
−
=
. T đo co thê ư
binh luân vê u nh c điêm cua t ng cach. ư ươ ư
5
