Kinh tế lượng nâng cao - Bài giảng số 12

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

249
lượt xem 124
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo Kinh tế lượng nâng cao dùng cho sinh viên khoa toán kinh tế , Tài liệu này tiếp theo bài số 5 giới thiệu về Chuỗi thời gian không dừng

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kinh tế lượng nâng cao - Bài giảng số 12

BÀI 5 (tiếp theo) CHUỖI THỜI GIAN KHÔNG DỪNG 4. CHUỖI KHÔNG DỪNG VÀ MÔ HÌNH HỒI QUY CỔ ĐIỂN Một trong các giả thiết của OLS là các biến giải thích là phi ngẫu nhiên, chúng có giá trị xác định. Nếu trong mô hình chuỗi thời gian mà biến giải thích lại không dừng thì giả thiết của OLS bị vi phạm. Nói cách khác OLS không áp dụng được với các chuỗi không dừng. Một vấn đề khác liên quan đến tính không dừng là là vấn đề tương quan giả tạo ( Spurious correlation). Nếu như mô hình có ít nhất một biến giải thích không dừng và chứa đựng một xu thế tăng ( hoặc giảm) đồng thời biến phụ thuộc cũng chứa đựng một xu thế như vậy thì khi uoc lượng có thể thu được các uoc lượng có ý nghĩa thống kê cao và R2 cao song đó chỉ là giả tạo vì cả hai biến đều có cùng xu thế. Xét mô hình: Yt = β 1 + β 2Xt + ut Trong đó cả Yt và Xt đều không dừng. Nếu ∆Yt và ∆Xt là dừng và ta ước lượng mô hình: ∆Yt = Yt - Yt-1 = β 1 + β 2Xt + ut - β 1 - β 2Xt-1 - ut-1 ∆Yt = β 2∆Xt + vt (*) Lúc đó mô hình trên có thể nảy sinh hai vấn đề:
+ vt có tự tương quan, + Mô hình chỉ đánh giá được ảnh hưởng trực tiếp trong ngắn hạn giữa Y và X mà bỏ qua thông tin dài hạn. Vì: Với mỗi X giá trị cân bằng của Y là β 1 + β 2X. ở cuối kỳ t-1 có thể xảy ra ba trường hợp: a. Yt-1 = β 1 + β 2Xt-1 b. Yt-1 < β 1 + β 2Xt-1 c. Yt-1 > β 1 + β 2Xt-1 Như vậy mô hình (*) chỉ đúng khi cả ở kỳ t và t-1 đều có quan hệ cân bằng ( mô hình đúng với cả t và t-1). Nếu xảy ra các trường hợp b và c thì thay đổi của Y ở thời kỳ t sẽ lớn hơn ( nhỏ hơn) ∆Y. Như vậy sự thay đổi của Y ở thời kỳ t không chỉ phụ thuộc vào sự thay đổi của X ở thời kỳ đó mà còn phụ thuộc vào quan hệ của Y và X ở thời kỳ t-1, đặc biệt là mức độ cân bằng của X và Y ở thời kỳ t-1. Như vậy phương trình sai phân chỉ phản ánh quan hệ ngắn hạn mà bỏ qua quan hệ dài hạn giữa Y và X. 5.KIỂM ĐỊNH TÍNH DỪNG DỰA TRÊN LƯỢC ĐỒ TỰ TƯƠNG QUAN ( CORRELOGRAM)
Một trong những đặc trưng rất cơ bản đối với một chuỗi dừng, như đã nói ở trên, là tương quan theo k thời gian không đổi. Xét chuỗi thời gian Yt. Để kiểm định đặc trưng này, một trong các kiểm định đơn giản là kiểm định dựa trên hàm tự tương quan ρ k (autocorrelation function). γk AFC(k) = ρ k = γ o Nếu k = 0, ta có ρ 0 = 1; ∀k ta đều có -1 ≤ ρ k ≤ 1. Nếu chúng ta vẽ đồ thị của ρ k đối với k, đồ thị gọi được lược đồ tương quan tổng thể. Tuy nhiên, trên thực tế, chúng ta chưa có tổng thể, mà chỉ có một mẫu mà thôi. Vì vậy, chúng ta có thể dựa vào hàm tự tương quan mẫu γˆk ρk = ˆ γˆ0 trong đó: Cov(Yt,Yt+k) = ∑ (Y − Y )(Y t t +k −Y ) γk = ˆ n Var(Yt) = ∑(Y t −Y ) 2 γ0 = ˆ n Trong trường hợp kích thước của mẫu nhỏ thì mẫu số của γˆ k và γˆ 0 là n-1. Chúng ta dễ thấy ρ k = ρ -k ˆ ˆ Bartlett đã chỉ ra rằng, nếu chuỗi là ngẫu nhiên và dừng thì các hệ số tương quan mẫu ρ k sẽ có phân bố xấp xỉ chuẩn với kỳ vọng bằng không và phương sai ˆ bằng 1/ n (với n khá lớn).
Cặp giả thiết cần kiểm định là: H0 : ρ k = 0 ( Chuỗi Yt là dừng) H1 : ρ k ≠ 0 ( Chuỗi Yt là không dừng) Zα Zα Nếu như: ρ k ∉ (− ˆ 2 ; 2 ) thì H0 bị bác bỏ. n n Các hệ số tự tương quan bậc cao ρ k , k ≥ 2 phản ánh mức độ kết hợp tuyến tính của Yt và Yt-k . Tuy nhiên, mức độ kết hợp giữa hai biến có thể còn do một số biến khác gây ra, trong trường hợp này các biến Yt-1 , Yt-2 , Yt-k+1 ảnh hưởng đến mức độ kết hợp Yt và Yt-k . Do đó, để đo mức độ kết hợp riêng rẽ giữa Yt và Yt-k , người ta còn đưa ra hệ số tự tương quan riêng ρ kk là hệ số tương quan riêng của Yt và Yt-k , ρ kk được tính theo công thức đệ quy của k −1 ρk − ∑ ρk −1 j ρk- j ˆ ˆ ˆ j =1 Durbin: ρkk = ˆ k −1 1 − ∑ ρk −1 j ρ j ˆ ˆ j =1 ρ kj = ρ k-1 j - ρ kk ρ k −1 j ˆ ˆ ˆ ˆ ; j = 1, 2, k-1 ρ11 = ρ 1 ˆ ˆ Bảng sau là kết quả tính hàm tự tương quan và hàm tự tương quan riêng cho chuỗi CPI89 của Việt Nam trong thời kỳ từ quý I/91 - IV/97. Trên bảng cũng trình bày khoảng tin cậy 95% cho các hệ số tương ứng. Đối với hệ số tự tương quan, từ trễ thứ 7 trở đi. Chúng mới xấp xỉ không, còn với hệ số tự tương quan riêng điều này nhận ra từ thành phần thứ hai.
  Khoảng tin cậy Khoảng tin cậy 95% 95% Đối với các hệ số tương quan riêng, nếu chuỗi là dừng thì các ρ kk sẽ có phân ˆ bố chuẩn N(0, 1/n). Do vậy, chúng ta có thể kiểm định giả thiết đối với các ρ kk ˆ tương tự như kiểm định giả thiết đối với các ρ k . Các kiểm định trên đây, mới đưa ra kết luận về từng hệ số tương quan. Box - Pierce đã đưa ra kiểm định về sự bằng không đồng thời đối với tất cả các hệ số tự tương quan: H0 : ρ 1 = ρ 2 = = ρ m = 0 m H1 : ∑ρ k =1 2 k ≠ 0
Giả thiết H0 được kiểm định bằng thống kê: m Q= n ∑ρ ˆ k =1 2 k Trong đó: n là kích thước mẫu, m độ dài của trễ Q có phân bố xấp xỉ χ2(m). H0 bị bác bỏ nếu Q nhận được từ mẫu lớn hơn χ2α(m). Một dạng khác của Q là thống kê Ljung-Box(LB): m ρ k2 LB= n(n+2) ∑ n − k ≈ χ2(m) k =1 Bảng trên còn cho giá trị của LB với các độ dài khác nhau của trễ và xác suất nhỏ nhất để giả thiết H0 bị bác bỏ. Khi kích thước mẫu n khá lớn, cả hai tiêu chuẩn Q và LB đều cho kết quả như nhau, song nếu mẫu nhỏ thì thống kê LB cho kết quả tốt hơn Q. Ví dụ: Kiểm định tính dừng của chuỗi GDP của Mỹ trong ví dụ trên bằng lược đồ tự tương quan. 6. QUÁ TRÌNH DỪNG SAI PHÂN VÀ QUÁ TRÌNH DỪNG XU THẾ
Hình 5: Bước ngẫu nhiên “lệch” và chuỗi số có xu thế dừng RW D TS Hình 5 biểu diễn 2 chuỗi số liệu đều có 2 đường xu hướng thẳng. Đường RWD tạo bởi Bước ngẫu nhiên "lệch" như đã mô tả trong mục trước. Đồ thị TS tạo bởi đường thẳng có xu thế xác định kết hợp với phần tử nhiễu trắng. Chúng ta sẽ xem xét theo thứ tự từng trường hợp. RWD là chuỗi không dừng - nhưng sai phân cấp 1 của chuỗi sẽ là chuỗi dừng. Chuỗi phải thực hiện phép lấy sai phân cấp 1 để tạo ra chuỗi dừng được gọi là chuỗi liên kết bậc 1, ký hiệu là I(1). Xu hướng sẽ được loại bỏ bằng cách lấy sai phân. Một chuỗi I(1) gọi là dừng sai phân và nói rằng được tạo ra bởi một phép dừng sai phân (DSP). Như vậy chuỗi dừng sai phân có dạng: ∆Xt = Xt - Xt-1 = a0 + ε t Một cách tổng quát, một chuỗi không dừng cần phải thực hiện phép lấy sai phân d lần để tạo ra một chuỗi dừng gọi là chuỗi liên kết bậc d, ký hiệu là I(d). Và rõ ràng một chuỗi dừng là chuỗi I(0). Chuỗi dừng xu thế có dạng sau : Xt = a0 + γ t + ε 1
Trong đó: a0 là một hằng số và ε t ~ iid (0, σ 2). Đường thẳng xu thế có phương trình là a0 + γ t . Nếu loại bỏ đường xu thế, sẽ cho kết quả là: Xt - a0 - γ t = ε 1 là một chuỗi dừng vì phần tử nhiễu là nhiễu trắng, mà như đã thấy ở mục trước đó là chuỗi dừng. Trong trường hợp đó, xu thế có thể được loại bỏ bằng cách tiến hành hồi quy chuỗi theo mô hình đường xu thế. Các phần dư của phép hồi quy là chuỗi dừng. Chuỗi số được xây dựng là chuỗi dừng xu thế (TSP). Chúng ta đã biết, có thể rất khó phân biệt trên thực tế chuỗi số liệu được xây dựng trên cơ sở bước ngẫu nhiên hay bước ngẫu nhiên lệch. Đồng thời cũng khó phân biệt chuỗi số được tạo nên bởi mô hình DSP hay là TSP. Mỗi chuỗi tạo nên đều có đường xu thế. Tuy nhiên, chuỗi xây dựng bằng phương pháp xu thế dừng có khuynh hướng bám theo đường xu thế sát hơn chuỗi tạo nên bởi bước ngẫu nhiên lệch. Tuy nhiên, nếu như phương sai của mô hình nhiễu trắng tạo ra chuỗi dừng xu thế mà lớn thì số liệu cũng sẽ tách xa khỏi đường xu thế. Ví dụ: trong các chuỗi ở tệp số liệu ch12bt20 chuỗi nào là dừng sai phân, chuỗi nào là dừng xu thế? 7. So sánh các số liệu tài chính Trong các mục trước ta đã sử dụng các chuỗi số liệu tự tạo nhằm mục đích nhấn mạnh các tính chất cơ bản của các chuỗi số. Chuỗi số liệu trong 4 hình sau là số liệu quan sát hàng ngày giai đoạn từ 7/11/1983 đến 5/5/1995. Mỗi biến có tất cả 3000 số liệu quan sát (5 quan sát mỗi tuần). Số liệu lấy từ Cơ sở
dữ liệu. Hình 6: Chỉ số trung bình Dow Jone thị trường Nikkei - Tokyo (225 quan sát) Hình 6 biểu diễn chỉ số Nikkei (225 chỉ số) của thị trường chứng khoán Nhật Bản. Chuỗi số liệu thể hiện rõ là bước ngẫu nhiên và I(1). Hình 7 biểu diễn tỉ giá hối đoái của đồng đô la Mỹ với Bảng Anh, số liệu thể hiện là chuỗi không dừng và I(1). Hình 7: Tỉ giá đô la Mỹ và bảng Anh
Hình 8 biểu diễn lãi suấ t - đó là mức lãi cho vay liên ngân hàng qua đêm. Chuỗ i này không dễ nhậ n dạng. Ở đây có s ự biến độ ng hàng ngày tươ ng đố i lớ n. Lãi suấ t cao 50% không phả i là mộ t sai số mà nó tươ ng ứng vớ i thờ i kỳ bấ t ổn đ ịnh khi Anh là còn là thành viên của EU. Hình 8: Lãi suất cho vay qua đêm liên ngân hàng
Hình 9: Chỉ số chứng khoán tổng hợp Standard và Poor của thị trường NewYork Hình 9 biểu diễn chỉ số chứng khoán Standard và Poor của thị trường chứng khoán New York. Lưu ý rằng, chuỗi chỉ số này có đường xu thế và hoàn toàn ngược với chỉ số thị trường chứng khoán Tôkyô cùng một thời kỳ. Trong thời kỳ này, chỉ số giá chứng khoán thị trường New York I(0) và là chuỗi xu thế dừng theo kết quả kiểm định sẽ nêu trong mục sau. Một số số liệu tài chính không phải là chuỗi dừng nhiễu trắng hoặc AR(1) như chúng ta đã xét trong mục 2 và một số chuỗi là không dừng. Tiếp tục so sánh 2 chuỗi số có thể tiến hành thông qua xem xét hàm tự tương quan của chúng. Đồ thị tương quan biểu diễn quan hệ giữa ρ k và k. Đồ thị tương quan rất tiện lợi trong việc thể hiện tương quan giữa các giá trị trong một chuỗi quan sát đơn. Đối với một quá trình hoàn toàn ngẫu nhiên nhiễu trắng, hàm tự tương quan ACF bằng 0 ở bất kỳ độ trễ nào lớn hơn không. Đối với chuỗi số liệu không dừng, hàm ACF giảm dần khi độ trễ k tăng. Để minh họa các đồ thị tương quan của chuỗi nhiễu trắng, bước ngẫu nhiên cùng với đồ thị tương quan đối với chỉ số chứng khoán thị trường Tôkyô và lãi suất của ngân hàng Anh được trình bày dưới đây:
Hình 10a: Đồ thị tương quan chuỗi Nhiễu trắng Hình 10b: Đồ thị tương quan bước ngẫu nhiên So sánh 2 đồ thị trên, đối với chuỗi dừng nhiễu trắng ACF xấp xỉ giá trị 0 với mọi độ trễ lớn hơn không và chuỗi không dừng bước ngẫu nhiên có ACF giảm đều đặn và ở độ trễ 25 vẫn đạt giá trị lớn hơn 0,5. Đồ thị ACF đối với chỉ số Nikkei (225) giảm đều đặn theo đúng như mong đợi đối với một chuỗi động. Sau khoảng chừng 2,5 năm quan sát, hàm tự tương quan đối với chỉ số Nikkei (chuỗi 225 quan sát) chuyển sang dấu âm. Dạng của đồ thị tương quan đối với lãi suất của Anh cũng tương tự nhưng ACF giảm rất nhanh xuống 0,58.
Hình 12: Đồ thị tương quan Tokyo Nikke (225) Hình 13: Đồ thị tương quan - lãi suất qua đêm tại Anh 8. KIỂM ĐỊNH BẬC LIÊN KẾT DICKEY - FULLER Bên cạnh kiểm định bằng hệ thống đồ thị rất hữu ích về mặt trực quan, thực hiện các phép kiểm định thông dụng cho tính chất của chuỗi số liệu cũng rất quan trọng. Kiểm định được sử dụng rộng rãi nhất cho giả thuyết H0: 'chuỗi số I(1)' là kiểm định Dickey - Fuller (DF) (còn gọi là kiểm định nghiệm đơn vị). Chúng ta nghiên cứu về chuỗi không dừng tập trung vào dạng: có đường xu thế - bước ngẫu nhiên lệch và chuỗi dừng có xu thế - và dạng không có xu thế - dạng bước ngẫu nhiên. Chúng ta sẽ xem xét 2 phép kiểm định chính; một loại áp dụng đối với chuỗi có đường xu thế và một loại không có. Trong trường hợp
còn có nghi ngờ không rõ chuỗi có đường xu thế hay không, ta vẫn giả sử là có xu thế và áp dụng kiểm định như loại "chuỗi có xu thế". 8.1. Chuỗi có xu thế Xét mô hình dừng xu thế: Xt = a0 + γ t + u1 (1) Giả sử sai số ngẫu nhiên thoả mãn điều kiện: ut = ρ ut-1 + vt (2) Nếu như |ρ| < 1 thì ut là chuỗi dừng AR(1). Do đó, Xt là tổng của đường xu thế xác định và một chuỗi dạng dừng AR(1) và vì vậy, Xt là chuỗi dừng có xu thế. Trước tiên, chúng ta loại bỏ những phần tử nhiễu không quan sát được ut và sau đó, từ phương trình nhận được cho thấy nếu ρ = 1 thì Xt là chuỗi bước ngẫu nhiên lệch. Hai phương trình này sẽ tiến hành biến đổi theo 3 bước cần thiết. Bước 1: Phần tử nhiễu ut có thể biểu diễn theo Xt bằng cách chuyển vế phương trình (1): u1 = Xt - a0 - γ t Nhân cả 2 vế với ρ và trễ thêm 1 kỳ, ta có: ρut-1 = ρXt -1 - ρa0 - ργ (t-1) (3) Bước 2: Thay phương trình (2) vào (1) và thay phương trình (3) vào kết quả, ta có: Xt = a0 + γ t + ρXt - 1 - ρa0 - ργ (t-1) + v1
Biến đổi và rút gọn, ta có: Xt = a0 (1-ρ) + ρ γ + γ (1-ρ) t + ρ Xt - 1 + v1 (4) Bước 3: Trừ cả 2 vế cho Xt - 1 , ta có: ∆Xt = a0 (1-ρ) + ρ γ + γ (1-ρ) t + (ρ -1) Xt - 1 + v1 (5) Hay: ∆Xt = µ + βt + α Xt – 1 + v1 (6) Trong đó: µ = a0 (1-ρ) + ρ γ β = γ (1-ρ) Và: α = (ρ - 1) Phương trình (6) là mô hình tổng quát để thực hiện phép kiểm định. Nếu ρ = 1, khi đó µ = γ , β = α = 0 và mô hình tổng quát sẽ rút gọn thành: ∆ Xt = µ + v1 Hay: Xt = µ + Xt -1 + v1 là dạng bước ngẫu nhiên lệch, vì vậy, chúng ta có thể xác định giả thuyết H0 và H1 như sau: H0 : ρ = 1, hay tương đương với α = 0, nghĩa là Xt là "chuỗi bước ngẫu nhiên lệch" và do đó có kết hợp bậc 1 hay I(1); H1 : ρ < 1, hay tương đương với α < 0, nghĩa là Xt là chuỗi dừng xu thế, I(0).
Tiến hành ước lượng phương trình (6) và kiểm định thống kê t đối với Xt -1 . αˆ tα = Seα ) ˆ Tuy nhiên, nếu như giả thuyết H0 đúng thì Xt là chuỗi không dừng và kiểm định thống kê của chuỗi mặc dù theo đúng cách thức của kiểm định thống kê t thì cũng không theo phân phối T-Student, thống kê này phân phối DF (Dickey- Fuller). Do đó, với mức ý nghĩa 5% có thể sử dụng bảng giá trị của thống kê này. Nếu giá trị thống kê tính được nhỏ hơn giá trị tới hạn thì giả thuyết H0: X có kết hợp bậc 1, I(1) bị bác bỏ. 8.2. Chuỗi không có đường xu thế Chúng ta xét lại trường hợp chuỗi được biểu diễn bằng 2 phương trình (1) và (2): Xt = a0 + γ t + u1 ut = ρ ut-1 + vt Trong trường hợp không có đường xu thế, γ = 0. Nếu như ρ 1 thì ut là < chuỗi dừng AR(1) và Xt là một chuỗi dừng AR(1). Đồng thời, trong trường hợp không có đường xu thế với γ = 0. Mô hình tổng quát dưới dạng phương trình (5): ∆Xt = a0 (1-ρ) + ρ γ + γ (1-ρ) t + (ρ -1) Xt -1 + v1 Sẽ được biến đổi thành: ∆Xt = a0 (1-ρ) + (ρ -1) Xt -1 + v1
Hay: ∆Xt = µ + α Xt–1 + v1 (7) Trong đó: µ = a0 (1-ρ) Và: α = (ρ - 1) Nếu ρ = 1, khi đó µ = 0, α = 0 và mô hình tổng quát (7) sẽ rút gọn thành: ∆Xt = v1 Hay: Xt = Xt -1 + v1 là bước ngẫu nhiên. Do đó, chúng ta có thể xác định giả thuyết H0 và H1 như sau: H0 : ρ = 1 hay tương đương với α = 0, nghĩa là Xt là bước ngẫu nhiên và do đó có kết hợp bậc 1 hay I (1); H1 : ρ < 1 hay tương đương với α < 0, nghĩa là Xt là chuỗi dừng, I(0). Tiến hành ước lượng phương trình (7) và xác định kiểm định thống kê t đối với Xt -1 . αˆ tα = Seα ) ˆ Nếu giá trị thống kê tính được nhỏ hơn giá trị tới hạn thì giả thuyết H0 : X có kết hợp bậc 1: I(1) bị bác bỏ. Vì những lý do lý thuyết và thực hành, tiêu chuẩn DF có thể được áp dụng cho các các mô hình sau đây (δ =ρ-1): ∆Xt = δ Xt-1t-1 + ut (i) ∆Xt = β 1 + δ Xt-1 + ut (ii)
∆Xt = β 1 + β 2t + δ Xt-1 + ut (iii) Đối với các mô hình trên, giả thiết H0 đều là δ = 0 ( tức là có nghiệm đơn vị hay chuỗi là không dừng). Dạng (ii) và (iii) chỉ khác dạng (i) ở chỗ là ta đã đưa thêm vào hệ số chặn và biến xu thế. 8.3. Các kiểm định bổ sung Các kiểm định nói trên đặt giả thiết là phần tử nhiễu không tự tương quan. Trong thực tế, rất ít xảy ra trường hợp đó, do vậy, người ta thêm vào phương trình ước lượng phần tử trễ ∆Xs coi như là biến hồi quy bổ sung cho trường hợp có tự tương quan. Chúng ta có phương trình sau đây cho phép kiểm định Dickey - Fuller bổ sung (ADF): ∆Xt = µ + βt + α Xt -1 + δ 1∆Xt -1 + δ 2∆Xt -2 + ... + δ m∆Xt -m +v1 và ∆Xt = µ + α Xt -1 + δ 1∆Xt -1 + δ 2∆Xt -2 + ... + δ m∆Xt -m + v1 Trên thực tế, các giá trị m = 1 hoặc 4 hoặc 12 thường được sử dụng tương ứng cho các chuỗi số hàng năm, hàng quý và hàng tháng. Quá trình kiểm định giống như trường hợp ban đầu, giả thiết không và giả thiết đối cũng tương tự như vậy, giá trị kiểm định thống kê cũng tính giống hệt như trên và đối với mẫu lớn cũng có phân phối như vậy với giả thuyết H0 giống như trường hợp trên đã trình bày. Đến lúc này, ta đã thực hiện kiểm định đối với chuỗi có kết hợp bậc I(1) với giả thuyết đối là I(0). Đối với phần lớn các chuỗi số liệu kinh tế thì thế là đủ. Tuy nhiên, rất có thể có trường hợp có chuỗi có kết hợp bậc 2 - I(2), trong trường hợp đó cần tìm sai phân cấp 2 để tạo ra chuỗi dừng I(0). Phép kiểm định giả thuyết chuỗi là kết hợp bậc 2 với giả thuyết đối là chuỗi I(1) có thể thực
hiện theo cách kiểm định đã giới thiệu ở mục 2 và 3 cho chuỗi không xu thế. Ví dụ: ∆Xt = µ + ρ Xt -1 + ω 1 Trừ cả 2 vế cho ∆Xt -1 , ta có : ∆Xt - ∆Xt -1 = µ + (ρ-1) ∆Xt -1 + ω 1 ∆ 2Xt = µ + α∆Xt -1 + ω 1 H0 : ρ = 1 hay tương đương với α = 0, nghĩa là ∆Xt là chuỗi I(1) và do đó Xt là chuỗi I(2). H1 : ρ < 1, hay tương đương với α < 0, nghĩa là ∆Xt là chuỗi I (0) và Xt là chuỗi I(1). Kiểm định thống kê, giá trị tới hạn v.v... thực hiện như phần trước cho trường hợp không có xu thế. Ví dụ: Dùng kiểm định DF và ADF để kiểm định tính dừng của chuỗi GDP.