BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
NGUYỄN QUANG CHUNG
——————————-
NGHIÊN CỨU RỦI RO TÀI CHÍNH
TRONG TÁI BẢO HIỂM
Chuyên ngành: Lí thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
Mã ngành: 62460106
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2018
Công trình được hoàn thành tại:
Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TS. Bùi Khởi Đàm
2. PGS. TS. Tống Đình Quỳ
Phản biện 1:................................................
Phản biện 2:................................................
Phản biện 3:................................................
Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Trường
họp tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Vào hồi........ giờ, ngày........tháng........năm.........
Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
1. Thư viện Tạ Quang Bửu- Trường ĐHBK Hà Nội
2. Thư viện Quốc gia Việt Nam
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
MỞ ĐẦU
1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài
Một trong những nghiên cứu đầu tiên về lý thuyết rủi ro trong bảo hiểm
là luận án của Filip Lundberg (1903) ở Đại học Uppsala (Thụy Điển). Sau
đó, Harald Cramér đã phát triển ý tưởng của Filip Lundberg mà ngày nay
chúng ta gọi nó là mô hình Cramér- Lundberg hay mô hình rủi ro cổ điển.
Trong mô hình này phí thu bảo hiểm được xét là hằng số và phần chi trả bảo
hiểm là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối.
Một số tác giả S. Ross [32], H. Yang [46], B. K. Đàm và N. H. Hoàng [1],
B. K. Dam và N. T. T. Hong [17] và N. T. T Hong [21] đã xét các mô hình
rủi ro với phí bảo hiểm thu được trong mỗi chu kỳ là một biến ngẫu nhiên.
Sau đó một số tác giả B. Sundt và J. L. Teugels ([38], [39]), H. Yang [46],
J. Cai ([7], [8]), J. Cai và D. C. M. Dickson [9], X. Wei và Y. Hu [43], B. K.
Dam và P. D. Quang [18], N. T. T. Hong [21] và P. D. Quang ([30], [31]) đã
đề cập tới mô hình có lãi suất. Với hai mô hình rủi ro này, các tác giả trên đã
ước lượng hoặc đưa ra được biểu thức đúng cho xác suất thiệt hại của công
ty bảo hiểm.
Tuy nhiên trong kinh doanh bảo hiểm, ngay các công ty bảo hiểm cũng
có thể gặp thiệt hại do các yêu cầu bồi thường quá lớn. Một trong những
chiến lược để giảm nguy cơ thiệt hại trực tiếp cho các công ty bảo hiểm là
hình thức tái bảo hiểm. Có thể coi K. Borch [5] là một trong những người
đầu tiên nghiên cứu về tái bảo hiểm. Ở đó, tác giả đã chỉ ra trong các phương
án tái bảo hiểm khác nhau thì tái bảo hiểm stop of loss làm cực tiểu phương
sai cho phần chi trả bảo hiểm của công ty bảo hiểm. Nghiên cứu này mở ra
các hướng nghiên cứu xung quanh tái bảo hiểm như P. Kahn [24], S. Vajda
[41], J. Ohlin [28], H. R. Waters [42], J. Cai và K. Tan [10], J. Cai, K. S. Tan,
1
C. Weng và Y. Zhang [11], R. Kaas, M. Goovaerts, J. Dhaene và M. Denuit
[23], K. S. Tan, C. Weng và Y. Zhang [40].
Trong mô hình rủi ro có tái bảo hiểm, các yêu cầu bồi thường sẽ được
chi trả bởi công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm, do đó sự thiệt hại có
thể xảy ra ở công ty bảo hiểm hoặc tái bảo hiểm. Tuy nhiên, hầu hết các
công trình nghiên cứu trong danh mục tài liệu tham khảo của luận án này,
các nghiên cứu đều được xem xét từ quan điểm một phía (công ty bảo hiểm
hoặc công ty tái bảo hiểm). Gần đây, các bài toán có sự quan tâm tới cả
hai công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm đã được một số tác giả nghiên cứu, ví
dụ: V. K. Kaishev và D. S. Dimitrova [25], Z. Li [27] và S. Salcedo-Sanz, L.
Carro-Calvo, M. Claramunt, A. Casta˜ner và M. Mármol [34]. Các nghiên cứu
về tái bảo hiểm sẽ phù hợp hơn nếu có sự quan tâm tới công ty bảo hiểm và
tái bảo hiểm. Mặc dù vậy, các nghiên cứu theo hướng này còn khá ít trong
các công trình nghiên cứu hiện nay.
Luận án này nghiên cứu mô hình rủi ro rời rạc với phần thu phí bảo hiểm
là các biến ngẫu nhiên. Các bài toán liên quan tới xác suất thiệt hại của công
ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm được xem xét. Các ước lượng (chặn trên)
cho xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm được thiết lập.
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Mục đích nghiên cứu của luận án:
Xây dựng mô hình rủi ro rời rạc với sự tác động của tái bảo hiểm
quota share và tái bảo hiểm excess of loss trong các trường hợp không
lãi suất và có lãi suất.
Xác định tỷ lệ chia sẻ tối ưu để cực tiểu xác suất thiệt hại liên kết
(xác suất xảy ra thiệt hại của công ty bảo hiểm hoặc tái bảo hiểm);
xây dựng các công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại liên kết
của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm, công thức tính chính xác cho
xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm; ước lượng (chặn trên)
cho xác suất thiệt hại trong mô hình có tái bảo hiểm.
2
• Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án:
Các xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo
hiểm trong mô hình rủi ro rời rạc có tái bảo hiểm quota share và tái
bảo hiểm excess of loss.
Các bài toán về tối ưu, bài toán về công thức tính đúng và bài
toán về ước lượng cho các xác suất thiệt hại.
3. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận án sử dụng các kiến thức của giải tích và xác suất.
Sử dụng phương pháp martingale để thiết lập các chặn trên cho các xác
suất thiệt hại của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm. Với phương pháp này
các bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức maximal và định lý về thời điểm
dừng với martingale và martingale trên được sử dụng trong quá trình chứng
minh.
Phương pháp truy hồi để xây dựng các chặn trên cho các xác suất thiệt
hại của từng công ty bảo hiểm.
4. Ý nghĩa của các kết quả của luận án
• Luận án đưa ra một số kết quả mới, có ý nghĩa về cả lý thuyết và ứng
dụng trong việc nghiên cứu các mô hình rủi ro bảo hiểm.
• Lần đầu tiên đưa ra cách xác định tỷ lệ chia sẻ (hệ số α) để cực tiểu
xác suất thiệt hại liên kết cho công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm (cực
tiểu đồng thời cả xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo
hiểm).
• Xây dựng được công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại liên kết,
xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm.
• Thiết lập được các hệ số hiệu chỉnh như là các hàm của tỷ lệ chia sẻ và
mức duy trì.
• Đưa ra ước lượng trên dạng Cramér- Lundberg cho các xác suất thiệt
của từng công ty bảo hiểm bởi phương pháp martingale và phương pháp truy
3
hồi.
• Chứng minh được sự tồn tại tỷ lệ chia sẻ α để cả hai xác suất thiệt hại
của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm đều nhỏ hơn một ngưỡng bé
tùy ý cho trước.
5. Cấu trúc và kết quả của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia
làm bốn chương:
• Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho luận án.
• Chương 2 nghiên cứu bài toán tối ưu cho xác suất thiệt hại liên kết
của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm, xây dựng công thức tính chính
xác cho các xác suất thiệt hại liên kết.
• Chương 3 ước lượng cho xác suất thiệt hại trong mô hình tái bảo hiểm
bằng phương pháp martingale.
• Chương 4 ước lượng cho xác suất thiệt hại trong mô hình tái bảo hiểm
bằng phương pháp truy hồi.
Nội dung chính của luận án dựa trên bốn bài báo được liệt kê ở
"Danh mục công trình đã công bố của luận án", trong đó các
bài [1], [2], [4] đăng ở nước ngoài, bài [3] đăng ở tạp chí trong nước.
Luận án đã được báo cáo tại:
– Seminar " Đánh giá sự ảnh hưởng của tái bảo hiểm đối với chặn
trên của xác suất thiệt hại trong mô hình rủi ro rời rạc" Trường
Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên, tháng 8 năm 2017.
– Seminar "Xác suất thiệt hại trong mô hình rủi ro với tái bảo hiểm",
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tháng 10 năm 2017.
4
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Một số quá trình ngẫu nhiên ứng dụng
trong lý thuyết rủi ro
Xét ξ là một biến ngẫu nhiên xác định trong không gian xác suất (Ω, F, P).
Định nghĩa 1.1.1. ([6]) Cho ξ là biến ngẫu nhiên khả tích và A là σ− trường
con của F. Khi đó, kỳ vọng có điều kiện của ξ đối với A là một biến ngẫu nhiên, ký hiệu E(ξ | A) và thỏa mãn các điều kiện sau:
- E(ξ | A) là A− đo được;
A
A
- Với mỗi A ∈ A (cid:90) (cid:90) E(ξ | A)dP = ξdP.
1.1.1 Quá trình Markov
Cho {ξt}t∈T có tính Markov và E là tập hữu hạn hoặc đếm được, thì {ξt}t∈T được gọi là xích Markov. Như vậy, về phương diện toán học, trong trường hợp này tính Markov có thể định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.1.2. Ta nói rằng {ξt}t∈T có tính Markov nếu:
P (cid:0)ξtn+1 = j | ξt0 = i0, ..., ξtn−1 = in−1, ξtn = i(cid:1) = P (cid:0)ξtn+1 = j | ξtn = i(cid:1) ,
với bất kỳ t0 < t1 < ... < tn < tn+1 < ... và i0, ..., in−1, i, j ∈ E.
5
1.1.2 Martingale với tham số rời rạc
Định nghĩa 1.1.3. ([45])
Một dãy {ξn, An, n ∈ N} được gọi là một martingale, nếu (i) ξn đo được với An, n ∈ N, (ii) E(|ξn|) < ∞, ∀n ∈ N, (iii) E(ξn | An−1) = ξn−1, n ≥ 1.
Tương tự, một dãy {ξn, An, n ∈ N} là martingale trên (supermartingale), nếu
(i) ξn đo được với An, n ∈ N, (ii) E(|ξn|) < ∞, ∀n ∈ N, (iii’) E(ξn | An−1) ≤ ξn−1, n ≥ 1
và một dãy {ξn, An, n ∈ N} là martingale dưới (submartingale), nếu
(i) ξn đo được với An, n ∈ N, (ii) E(|ξn|) < ∞, ∀n ∈ N, (iii") E(ξn | An−1) ≥ ξn−1, n ≥ 1.
1.2 Một số mô hình rủi ro cổ điển
Chúng ta ký hiệu u0 là vốn ban đầu của công ty bảo hiểm. Các đại lượng Xn, Yn và In tương ứng là phần chi trả bảo hiểm, phần thu bảo hiểm và lãi suất của công ty bảo hiểm ở chu kỳ thứ n.
- Mô hình rủi ro không lãi suất mà lợi nhuận Un ở chu kỳ thứ n (n =
n (cid:88)
n (cid:88)
1, 2, ...) của công ty bảo hiểm được xác định
i=1
i=1
(1.1) Un = u0 + Yi − Xi.
- Mô hình rủi ro có lãi suất trong đó lợi nhuận ở chu kỳ thứ n (n = 1, 2, ...)
của công ty bảo hiểm là
(1.2) (cid:101)Un = (cid:101)Un−1(1 + In) + Yn − Xn.
6
1.3 Tái bảo hiểm
Định nghĩa 1.3.1. ([19]) Tái bảo hiểm quota share là một loại tái bảo hiểm
mà công ty bảo hiểm sẽ giữ lại một khoản từ việc thu phí bảo hiểm của
khách hàng và chi trả bảo hiểm cho khách hàng với cùng một tỷ lệ, ký hiệu
α (α ∈ [0, 1]). Phần thu và chi bảo hiểm còn lại sẽ được thực hiện bởi công ty
tái bảo hiểm. Ta gọi α là tỷ lệ chia sẻ.
Khi có tái bảo hiểm quota share ta có các mô hình rủi ro
- Trường hợp không có lãi suất lợi nhuận của công ty bảo hiểm và tái bảo
n và V (1)
n , được xác định:
n (cid:88)
n (cid:88)
hiểm ở chu kỳ n tương ứng U (1)
n = u0 + α
i=1
i=1
U (1) (1.3) Yi − α Xi
n (cid:88)
n (cid:88)
và
i=1
i=1
(1.4) Yi − (1 − α) Xi V (1) n = v0 + (1 − α)
với n = 1, 2, ..., .
n
- Trường hợp có lãi suất lợi nhuận ở chu kỳ thứ n của công ty bảo hiểm
n và (cid:101)V (1)
và tái bảo hiểm là (cid:101)U (1)
n = (cid:101)U (1) (cid:101)U (1)
n−1
(cid:16) (cid:17) (1.5) + α(Yn − Xn) 1 + I (1) n
n = (cid:101)V (1) (cid:101)V (1)
n−1
và (cid:16) (cid:17) (1.6) + (1 − α)(Yn − Xn) 1 + I (2) n
n và I (2) trong đó I (1) n tái bảo hiểm ở chu kỳ thứ n.
là lãi suất tương ứng của công ty bảo hiểm và công ty
Định nghĩa 1.3.2. ([15],[19]) Tái bảo hiểm excess of loss là một hợp đồng
bảo hiểm mà phần thu phí bảo hiểm từ người mua bảo hiểm sẽ được chia cho
công ty bảo hiểm với một tỷ lệ α, phần còn lại được chia cho công ty tái bảo
7
hiểm. Ở mỗi chu kỳ nếu tổng số chi trả bảo hiểm vượt quá M thì công ty bảo
hiểm chi trả M , phần còn lại được chi trả bởi công ty tái bảo hiểm, trái lại
công ty bảo hiểm sẽ chi trả toàn bộ số tiền yêu cầu bồi thường.
Khi có tái bảo hiểm excess of loss ta có các mô hình rủi ro mà lợi nhuận
của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm ở chu kỳ thứ n được cho:
n (cid:88)
n (cid:88)
- Trường hợp không có lãi suất
n = u0 + α
i=1
i=1
U (2) (1.7) Yi − min {Xi, M }
n (cid:88)
n (cid:88)
và
i=1
i=1
(1.8) Yi − max {Xi − M, 0} V (2) n = v0 + (1 − α)
- Trường hợp có lãi suất
n = (cid:101)U (2) (cid:101)U (2)
n−1
(cid:16) (cid:17) (1.9) + αYn − min{Xn, M } 1 + I (1) n
n = (cid:101)V (2) (cid:101)V (2)
n−1
và (cid:17) (cid:16) (1.10) + (1 − α) Yn − max{Xn − M, 0} 1 + I (2) n
Kết luận Chương 1
Trong chương này, ngoài việc giới thiệu tổng quan về lĩnh vực nghiên cứu
của luận án, kiến thức và khái niệm được sử dụng sau này trong luận án, tác
giả đã mở rộng một số mô hình rủi ro bởi xét các hợp đồng tái bảo hiểm lên
các quá trình lợi nhuận của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm.
8
Chương 2
XÁC SUẤT THIỆT HẠI LIÊN KẾT TRONG MÔ
HÌNH RỦI RO VỚI TÁI BẢO HIỂM
2.1 Tối ưu cho xác suất thiệt hại liên kết
Các định lý sau đây là lời giải bài toán tối ưu (cực tiểu) xác suất thiệt
hại liên kết.
a. Trường hợp không có lãi suất
u0+v0
Định lý 2.1.1. Cho các quá trình lợi nhuận (1.3) và (1.4) trong đó α ∈ (0, 1). (cid:0)u0, v0, α(cid:1) đạt giá Khi đó, với mỗi u0 và v0 thì xác suất thiệt hại liên kết ψn trị bé nhất tại α∗ = u0 .
b. Trường hợp có lãi suất
k (cid:89)
n (cid:89)
n (cid:88)
Xét các quá trình lợi nhuận
n =
j=1
k=1
k=1
(cid:1)−1(cid:105) (cid:1)(cid:104) (cid:1) (2.1) (cid:0)1 + Ik (cid:0)Yk − Xk u0 + α (cid:0)1 + Ij (cid:101)U (1)
n (cid:89)
k (cid:89)
n (cid:88)
và
j=1
k=1
k=1
(cid:1)(cid:104) (cid:1)−1(cid:105) (cid:1) (2.2) (cid:0)1 + Ik v0 + (1 − α) (cid:0)1 + Ij (cid:0)Yk − Xk (cid:101)V (1) n =
Định lý 2.1.2. Cho các quá trình lợi nhuận (2.1) và (2.2) trong đó α ∈ (0, 1). Khi đó, (cid:101)ψn(u0, v0, α, is) đạt giá trị bé nhất tại α∗ = u0 với mỗi u0, v0 và u0+v0 mọi s = 0, 1, ..., N0.
9
2.2 Công thức tính chính xác cho xác suất
thiệt hại liên kết trong mô hình với tái
bảo hiểm quota share
Với giả thiết 2.1 và 2.2 (xem trong luận án) về phần thu bảo hiểm và phần
chi trả bảo hiểm, chúng ta có các công thức tính chính xác cho xác suất thiệt
hại liên kết trong các trường hợp không có lãi suất và có lãi suất:
2.2.1 Mô hình rủi ro không có lãi suất
Định lý 2.2.1. Cho quá trình lợi nhuận (1.3) và (1.4) thỏa mãn các giả thiết
N3(cid:88)
N3(cid:88)
N3(cid:88)
G(1) 1(cid:88)
G(1) 2(cid:88)
G(1) n(cid:88)
2.1 và 2.2. Khi đó, với mỗi α ∈ [0, 1] thì
m1=1
m2=1
mn=1
l1=1
l2=1
ln=1
... ... ψn(u0, v0, α) = 1 − qm1qm2...qmn pl1pl2...pln
(2.3)
ở đây
ym1ym2 ...ymk xl1 xl2...xlk−1
ym1ym2 ...ymk xl1 xl2 ...xlk−1
k = max lk=0,N4
(cid:111) (cid:110) G(1) , (1 − α)xlk < W lk : αxlk < Z
với k = 1, 2, ..., n quy ước x0 = 0.
2.2.2 Mô hình rủi ro có lãi suất
N2(cid:88)
N2(cid:88)
N1(cid:88)
N1(cid:88)
N1(cid:88)
N2(cid:88)
Định lý 2.2.2. Cho quá trình lợi nhuận (1.5) và (1.6) thỏa mãn các giả thiết 2.1, 2.2 và dãy lãi suất I (1), I (2) là độc lập với nhau. Khi đó, với mỗi α ∈ [0, 1]; s = 0, 1, ..., N1 và t = 0, 1, ..., N2 thì
cn−1cn
cn=0
c1=0
c2=0
k1=0
k2=0
kn=0
... ...r(1) ... ψn (u0, v0, α, is, jt) = 1 − r(1) sc1 r(1) c1c2 r(2) tk1 r(2) k1k2
10
N3(cid:88)
N3(cid:88)
N3(cid:88)
G(2) 1(cid:88)
G(2) 2(cid:88)
G(2) n(cid:88)
kn−1kn
hn=1
h1=1
h2=1
l1=1
l2=1
ln=1
...r(2) ... ... qh1qh2...qhn pl1pl2...pln
(2.4)
trong đó
yh1yh2,...,yhm xl1,xl2 ,...,xlm−1 ,ic1,ic2 ,...,icm
m = max lm=0,N4
(cid:110) G(2) lm : αxlm < Z và (1 − α)xlm <
yh1yh2,...,yhm xl1 ,xl2,...,xlm−1,jk1,jk2,...,jkm
(cid:111) W
với m = 1, 2, ..., n và quy ước x0 = 0.
2.3 Công thức tính chính xác cho xác suất
thiệt hại liên kết trong mô hình với tái
bảo hiểm excess of loss
Tương tự như Mục 2.2 chúng ta cũng thiết lập các công thức tính chính
xác cho các xác suất thiệt hại liên kết trong trường hợp không có lãi suất và
có lãi suất.
2.3.1 Mô hình rủi ro không có lãi suất
Định lý 2.3.1. Cho quá trình lợi nhuận (1.7) và (1.8) thỏa mãn các giả thiết
G(3) 1(cid:88)
G(3) 2(cid:88)
N3(cid:88)
N3(cid:88)
N3(cid:88)
G(3) n(cid:88)
2.1 và 2.2. Khi đó, với mỗi cặp (α, M ) thì
m1=1
m2=1
mn=1
l1=1
l2=1
ln=1
... ... φn(u0, v0, α, M ) = 1 − qm1qm2...qmn pl1pl2...pln
(2.5)
trong đó
ym1ym2 ...ymk xl1xl2...xlk−1
ym1ym2 ...ymk xl1 xl2 ...xlk−1
k = max lk=0,N4
(cid:110) (cid:111) G(3) lk : min{xlk, M } < Z , max{xlk−M, 0} < W
với k = 1, 2, ..., n và quy ước x0 = 0.
11
2.3.2 Mô hình rủi ro có lãi suất
N1(cid:88)
N1(cid:88)
N1(cid:88)
N2(cid:88)
N2(cid:88)
N2(cid:88)
Định lý 2.3.2. Cho quá trình lợi nhuận (3.5) và (3.6) thỏa mãn các giả thiết 2.1, 2.2 và dãy lãi suất I (1), I (2) độc lập với nhau. Khi đó, với mỗi (α, M ); s = 0, 1, ..., N1 và t = 0, 1, ..., N2 thì
cn−1cn
c2=0
cn=0
kn=0
k2=0
N3(cid:88)
c1=0 N3(cid:88)
N3(cid:88)
k1=0 G(4) 2(cid:88)
G(4) 1(cid:88)
G(4) n(cid:88)
...r(1) ... ... ψn (u0, v0, α, M, is, jt) = 1 − r(1) sc1 r(1) c1c2 r(2) k1k2 r(2) tk1
kn−1kn
hn=1
h1=1
h2=1
l1=1
l2=1
ln=1
...r(2) ... ... qh1qh2...qhn pl1pl2...pln
(2.6)
trong đó
yh1yh2 ,...,yhm xl1 ,xl2 ,...,xlm−1,ic1 ,ic2,...,icm
m = max lm=0,N4
(cid:110) và G(4) lm : min{xlm, M } < Z
yh1 yh2,...,yhm xl1 ,xl2 ,...,xlm−1,jk1 ,jk2 ,...,jkm
(cid:111) max{xlm − M, 0} < W
với m = 1, 2, ..., n và quy ước x0 = 0.
Kết luận Chương 2
Trong chương này, chúng tôi đã:
• chỉ ra được cách xác định tỷ lệ chia sẻ, dựa trên vốn ban đầu của hai
công ty bảo hiểm mà tỷ lệ chia sẻ này làm cực tiểu xác suất thiệt hại liên kết
của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm.
• thiết lập được các công thức tính chính xác cho các xác suất thiệt hại
liên kết của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm, xác suất thiệt hại của từng
công ty bảo hiểm trong các mô hình rủi ro với tái bảo hiểm quota share và
tái bảo hiểm excess of loss.
Nội dung của chương này dựa vào bài báo [2], [3] trong Danh mục công
trình đã công bố của luận án.
12
Chương 3
ƯỚC LƯỢNG CHO XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG
MÔ HÌNH CÓ TÁI BẢO HIỂM BẰNG PHƯƠNG
PHÁP MARTINGALE
Trong chương này chúng tôi trình bày các ước lượng trên dạng mũ cho
xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm.
3.1 Mô hình rủi ro không có lãi suất
3.1.1 Trường hợp với tái bảo hiểm quota share
Bổ đề sau cho ta thiết lập các hệ số hiệu chỉnh là các hàm số của α.
Bổ đề 3.1.1. Giả sử
essup(X1) < +∞, essup(Y1) < +∞, E(Y1) > E(X1) và P (X1 − Y1 > 0) > 0.
(cid:16) E Khi đó, với mỗi α (α ∈ (0, 1)) tồn tại duy nhất R(1)(α) và R(2)(α) sao cho eαR(1)(α)(X1−Y1)(cid:17) = 1 (3.1)
và (cid:16) E e(1−α)R(2)(α)(X1−Y1)(cid:17) = 1 (3.2)
Sau đây là các bất đẳng thức dạng mũ cho xác suất thiệt hại của công ty
bảo hiểm và tái bảo hiểm.
13
Định lý 3.1.2. Cho các quá trình lợi nhuận (1.3) và (1.4) thỏa mãn các điều
kiện trong Bổ đề 3.1.1. Khi đó, với mỗi α (α ∈ (0, 1)) thì
n (u0, α) ≤ e−u0R(1)(α) ψ(1)
(3.3)
và
n (v0, α) ≤ e−v0R(2)(α) ψ(2)
n (u0, α) ≤ (cid:15)
(3.4)
n = 1, 2, ... Hệ quả 3.1.3. Với mỗi (cid:15) ∈ L1 đều tồn tại α ∈ (0, 1) sao cho ψ(1) và ψ(2) n (v0, α) ≤ (cid:15). Trường hợp riêng, (cid:15) = e−(u0+v0)R0 thì α = u0 . u0+v0
Hệ quả 3.1.3 là phương pháp để dung hòa xác suất thiệt hại của cả hai
công ty bảo hiểm. Bởi chứng minh được sự tồn tại mức chia sẻ để cả hai
xác suất thiệt hại của hai công ty bảo hiểm không vượt quá một ngưỡng cho
trước.
3.1.2 Trường hợp với tái bảo hiểm quota share −(α, β)
n (cid:88)
n (cid:88)
Lợi nhuận cho công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm sẽ có dạng
n = u0 + α
i=1
i=1
(3.5) U (1) Yi − β Xi
n (cid:88)
n (cid:88)
và
i=1
i=1
(3.6) Yi − (1 − β) Xi V (1) n = v0 + (1 − α)
với n = 1, 2, ...
Tương tự, Bổ đề 3.1.1 chúng ta thiết lập sự phụ thuộc của các hệ số hiệu
chỉnh vào các tỷ lệ α và β.
Bổ đề 3.1.4. Giả sử essup{X1} < +∞, essup{Y1} < +∞, αE(Y1) > βE(X1) và P (βX1 − αY1 > 0) > 0 với mỗi (α, β). Khi đó, tồn tại duy nhất (cid:98)R(1)(α, β) ( (cid:98)R(1)(α, β) > 0) sao cho
(cid:16) (cid:1)(cid:17) E e (cid:98)R(1)(α,β)(cid:0)βX1−αY1 = 1. (3.7)
14
Bổ đề 3.1.5. Giả sử essup{X1} < +∞, essup{Y1} < +∞, (1 − α)E(Y1) > (1 − β)E(X1) và P ((1 − β)X1 − (1 − α)Y1 > 0) > 0 với mỗi (α, β). Khi đó, tồn tại duy nhất (cid:98)R(2)(α, β)( (cid:98)R(2)(α, β) > 0) sao cho (cid:1)(cid:17) (cid:16) E e (cid:98)R(2)(α,β)(cid:0)(1−β)X1−(1−α)Y1 (3.8) = 1.
Định lý 3.1.6. Cho các quá trình lợi nhuận (3.5) và (3.6) thỏa mãn các điều
kiện trong Bổ đề 3.1.4 và Bổ đề 3.1.5. Khi đó, với mỗi (α, β) thì
n (u0, α, β) ≤ e−u0 (cid:98)R(1)(α,β) (cid:98)ψ(1)
(3.9)
và
n (v0, α, β) ≤ e−v0 (cid:98)R(2)(α,β) (cid:98)ψ(2)
(3.10)
n = 1, 2, ..., .
Chú ý 3.1.7. Khi α = β thì kết quả trong Định lý 3.1.6 trở thành các kết
quả được phát biểu trong Định lý 3.1.2.
3.1.3 Trường hợp với tái bảo hiểm excess of loss
Bổ đề 3.1.8. Giả sử
essup{X1} < +∞, essup{Y1} < +∞, αE(Y1) > E (min {X1, M })
và P (min {X1, M } − αY1 > 0) > 0 với mỗi (α, M ). Khi đó, tồn tại duy nhất R(1)(α, M )(R(1)(α, M ) > 0) sao cho
(cid:16) (cid:1)(cid:17) E eR(1)(α,M )(cid:0) min{X1,M }−αY1 = 1. (3.11)
Bổ đề 3.1.9. Giả sử
essup{X1} < +∞, essup{Y1} < +∞, (1 − α)E(Y1) > E (max{X1 − M, 0})
và
P (max{X1 − M, 0} − (1 − α)Y1 > 0) > 0 với mỗi (α, M ).
15
Khi đó, tồn tại duy nhất R(2)(α, M )(R(2)(α, M ) > 0) sao cho
(cid:16) E eR(2)(α,M )(max{X1−M,0}−(1−α)Y1)(cid:17) = 1. (3.12)
Định lý 3.1.10. Cho quá trình lợi nhuận (1.7) và (1.8) thỏa mãn các giả
thiết trong Bổ đề 3.1.8 và Bổ đề 3.1.9. Khi đó, với mỗi (α, M )
n (u0, α, M ) ≤ e−u0R(1)(α,M ) φ(1)
(3.13)
và
n (v0, α, M ) ≤ e−v0R(2)(α,M ). φ(2)
(3.14)
n=1,2,...,.
i=1,N4:xi≥u0
(cid:16) (cid:91) (cid:17) . (3.15) Đặt: (X1 = xi) (cid:15)0 = P (Y1 ≤ xN4 − u0 − v0) P
Định lý sau là một phương pháp để dung hòa đồng thời xác suất thiệt hại
của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm. Tuy nhiên, chúng ta chỉ xét ở chu kỳ
n = 1.
Định lý 3.1.11. Cho các quá trình lợi nhuận (1.7) và (1.8) thỏa mãn giả thiết (2.2) và xN4 − u0 − v0 > 0. Khi đó, với mỗi (cid:15) ≥ (cid:15)0 đều tồn tại (α, M ) để
(3.16) φ(1) 1 (u0, α, M ) ≤ (cid:15)
và
(3.17) φ(2) 1 (v0, α, M ) ≤ (cid:15).
3.2 Mô hình rủi ro có lãi suất
3.2.1 Trường hợp với tái bảo hiểm quota share
Bổ đề 3.2.1. Giả sử E(X1) < E(Y1); P(X1 − Y1 > 0) > 0; essup{X1} < +∞; essup{Y1} < +∞. Khi đó với mỗi I (1) = is, I (2) = jt và α ∈ (0, 1) đều
16
(α) để (α) và R(2) jt
1 )−1
is (α)(X1−Y1)(1+I (1)
0 = is
(cid:17) E = 1 (3.18) tồn tại duy nhất R(1) is (cid:16) eαR(1) | I (1)
(α)(X1−Y1)(1+I (2)
1 )−1
jt
0 = jt
và (cid:16) (cid:17) E e(1−α)R(2) | I (2) = 1 (3.19)
Định lý 3.2.2. Xét quá trình lợi nhuận (1.5) và (1.6) với các điều kiện
của Bổ đề 3.2.1 được thỏa mãn. Khi đó, với mỗi α ∈ (0, 1) và mọi s = 0, 1, ..., N1, t = 0, 1, ..., N2, ta có
n (u0, α, is) ≤ e−u0 (cid:101)R(1)(α) (cid:101)ψ(1)
(3.20)
và
n (v0, α, jt) ≤ e−v0 (cid:101)R(2)(α) (cid:101)ψ(2)
(3.21)
n (u0, α, is) ≤ n (v0, α, js) ≤ (cid:15), với mọi s = 0, 1, ..., N1 và t = 0, 1, ..., N2. Đặc biệt,
n = 1, 2, ...,.
u0R1+v0R2
. Hệ quả 3.2.3. Nếu (cid:15) ∈ L2 thì tồn tại tỷ lệ chia sẻ α ∈ (0, 1) để (cid:101)ψ(1) (cid:15) và (cid:101)ψ(2) nếu (cid:15) = e−u0R1−v0R2 thì α = u0R1
3.2.2 Trường hợp với tái bảo hiểm excess of loss
Sau đây ta thiết lập các hệ số hiệu chỉnh như các hàm của α và M .
Bổ đề 3.2.4. Giả sử
essup{X1} < +∞, essup{Y1} < +∞, αE(Y1) > E (min {X1, M })
(α, M ) > 0) sao cho và P (min {X1, M } − αY1 > 0) > 0 với mỗi (α, M ). Khi đó, tồn tại và duy nhất R∗ is (α, M )(R∗ is
is(α,M )(min{X1,M }−αY1)(1+I (1)
1 )−1(cid:12) (cid:12)I (1) (cid:12) 0 = is
(cid:17) (cid:16) E = 1 (3.22) eR∗
với mỗi s = 0, 1, ..., N1.
17
(α, M ) > 0) sao cho Bổ đề 3.2.5. Giả sử essup{X1} < +∞, essup{Y1} < +∞, (1 − α)E(Y1) > E (max {X1 − M, 0}) và P (max {X1 − M, 0} − (1 − α)Y1 > 0) > 0 với mỗi (α, M ). Khi đó, tồn tại duy nhất R(cid:63) jt
(α,M )(max{X1−M,0}−(1−α)Y1)(1+I (2)
jt
(cid:17) (cid:16) E = 1. (3.23) eR(cid:63) (α, M )(R(cid:63) jt 1 )−1(cid:12) (cid:12)I (2) (cid:12) 0 = jt
với mỗi t = 0, 1, ..., N2.
Chặn trên dạng mũ cho xác suất thiệt hại với tái bảo hiểm excess of loss.
Định lý 3.2.6. Cho quá trình lợi nhuận (1.9) và (1.10) thỏa mãn các giả
thiết của Bổ đề 3.2.4 và Bổ đề 3.2.5. Khi đó, với mỗi (α, M ) thì
n (u0, α, M, is) ≤ e−u0 (cid:101)R(1)(α,M ) (cid:101)φ(1)
(3.24)
và
n (v0, α, M, jt) ≤ e−v0 (cid:101)R(2)(α,M ) (cid:101)φ(2)
(3.25)
với mọi n = 1, 2, ..., s = 0, 1, ..., N1 và t = 0, 1, ..., N2.
Kết luận Chương 3
Trong chương này chúng tôi đã đạt được kết quả sau:
• Đưa ra các điều kiện cho sự tồn tại của các hệ số hiệu chỉnh. Các điều
kiện này đều hoàn toàn phù hợp với thực tế như: trong mỗi một chu
kỳ số tiền thu phí bảo hiểm, chi trả bảo hiểm đều là hữu hạn; trung
bình thu phí bảo hiểm lớn hơn trung bình chi trả bảo hiểm; có xuất
hiện trường hợp mà trong một chu kỳ số tiền thu bảo hiểm bé hơn số
tiền chi trả bảo hiểm.
• Thiết lập được các hệ số hiệu chỉnh của công ty bảo hiểm và công ty
tái bảo hiểm như các hàm của tỷ lệ chia sẻ và mức duy trì.
18
• Đưa ra được các chặn trên cho các xác suất thiệt hại của cả hai công ty
bảo hiểm. Hệ quả 3.1.3 và Hệ quả 3.2.3 là phương pháp gợi ý để chúng
ta xác định α để dung hòa xác suất thiệt hại của cả hai công ty bảo
hiểm.
• Với mô hình rủi ro có tái bảo hiểm excess of loss bài toán xác định
(α, M ) để dung hòa xác suất thiệt hại của cả hai công ty bảo hiểm là
bài toán khó. Tuy nhiên, trong Định lý 3.1.11 chúng tôi đề xuất cách
xác định (α, M ) để dung hòa xác suất thiệt hại của cả hai công ty với
chu kỳ n = 1 trong đó một số điều kiện hạn chế lên phần thu và chi trả
bảo hiểm. Kết quả này cho ta cách đánh giá xác suất thiệt hại ở các
chu kỳ tiếp theo nếu số vốn ở chu kỳ ngay trước đó của công ty bảo
hiểm và tái bảo hiểm lớn hơn không.
Nội dung của chương này dựa vào bài báo [1], [2], [3], [4] trong Danh
mục công trình đã công bố của luận án.
19
Chương 4
ƯỚC LƯỢNG CHO XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG
MÔ HÌNH TÁI BẢO HIỂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP
TRUY HỒI
4.1 Trường hợp không có lãi suất
Sau đây chúng ta thiết lập các phương trình truy hồi cho xác suất thiệt
hại của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm
Bổ đề 4.1.1. Với mỗi α ∈ (0, 1), ta có:
n+1(u0, α) =
0 (cid:90) ∞
(cid:19) (cid:90) ∞ H dF (y) ψ(1) (u0 + αy)
n (u0 + α(y − x), α)dH(x)dF (y),
0
(cid:90) 1 (cid:18) 1 α α (u0+αy) + ψ(1) (4.1)
0 (cid:90) ∞
n+1(v0, α) =
(cid:19) (cid:18) 1 H ψ(2) dF (y) (v0 + (1 − α)y)
0 (cid:90) ∞
n (v0 + (1 − α)(y − x), α)dH(x)dF (y).
0
0
(cid:90) 1 1 − α 1−α (v0+(1−α)y) ψ(2) +
(4.2)
n = 1, 2, ...
Đặc biệt,
1 (u0, α) =
(cid:19) (cid:90) ∞ ψ(1) H dF (y), (4.3) (u0 + αy)
0 (cid:90) ∞
1 (v0, α) =
0
(cid:19) (cid:18) 1 α (cid:18) 1 ψ(2) H dF (y) (4.4) (v0 + (1 − α)y) 1 − α
20
Chặn trên cho xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm được thiết
lập sau đây.
Định lý 4.1.2. Cho quá trình lợi nhuận (1.3) và (1.4) thỏa mãn các điều
kiện của Bổ đề 3.1.1. Khi đó, với mỗi α (α ∈ (0, 1) thì
n (u0, α) ≤ γe−u0R(1)(α) ψ(1)
(4.5)
và
(4.6)
n (v0, α) ≤ γe−v0R(2)(α) ψ(2) (cid:82) ∞ z eR0xdH(x) eR0zH(z)
và n = 1, 2, ... trong đó γ−1 = inf z≥0
Các chặn trên (4.5) và (4.6) bé hơn các chặn trên tương ứng trong (3.3)
n (u0, α) ≤ (cid:15) và
và (3.4).
. Hệ quả 4.1.3. Nếu (cid:15) ∈ L3 thì tồn tại α ∈ (0, 1) sao cho ψ(1) ψ(2) n (v0, α) ≤ (cid:15). Đặc biệt, nếu (cid:15) = γe−(u0+v0)R0 thì α = u0 u0+v0
4.2 Trường hợp có lãi suất
Tương tự Mục 4.1 chúng ta thiết lập các công thức truy hồi và các chặn
trên cho các xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm.
Bổ đề 4.2.1. Với mỗi α ∈ (0, 1), s = 0, 1, ...N1 và t = 0, 1, ..., N2, ta có:
N1(cid:88)
0
(cid:90) ∞ (cid:17) H dF (y) (u0(1 + ik) + αy) (cid:101)ψ(1) n+1(u0, α, is) = r(1) sk (cid:16) 1 α
k=0 α (u0(1+ik)+αy)
N1(cid:88)
n (u0(1 + ik) + α(y − x), α, ik)dH(x)dF (y),
0
0
k=0
(cid:90) ∞ (cid:90) 1 + ψ(1) r(1) sk
(4.7)
N2(cid:88)
0
k=0
(cid:90) ∞ (cid:17) (cid:16) 1 H dF (y) (v0(1 + jk) + (1 − α)y) (cid:101)ψ(2) n+1(v0, α, jt) = r(2) tk 1 − α
21
1−α (v0(1+jk)+(1−α)y)
N2(cid:88)
n (v0(1 + jk) + (1 − α)(y − x), α, jk)
0
0
k=0
(cid:90) ∞ (cid:90) 1 ψ(2) + r(2) tk
(4.8) dH(x)dF (y).
n = 1, 2, ...
Đặc biệt
N1(cid:88)
0
k=0
(cid:90) ∞ (cid:17) H dF (y), (4.9) (u0(1 + ik) + αy) (cid:101)ψ(1) 1 (u0, α, is) = r(1) sk (cid:16) 1 α
N2(cid:88)
0
k=0
(cid:90) ∞ (cid:17) (cid:16) 1 H dF (y) (4.10) (v0(1 + jk) + (1 − α)y) (cid:101)ψ(2) 1 (v0, α, jt) = r(2) tk 1 − α
Sử dụng các phương trình truy hồi trên chúng ta có định lý sau:
Định lý 4.2.2. Xét quá trình lợi nhuận (1.5) và (1.6) sao cho các giả thiết trong Bổ đề 3.1.1 đều thỏa mãn. Khi đó với mỗi α ∈ (0, 1), s = 0, 1, ..., N1 và t = 0, 1, ..., N2 thì
1 ) | I (1)
n (u0, α, is) ≤ γE (cid:101)ψ(1)
0 = is
(cid:16) (cid:17) e−u0R(1)(α)(1+I (1) (4.11)
1 ) | I (2)
0 = jt
và (cid:17) (cid:16) (4.12) e−v0R(2)(α)(1+I (2)
n (v0, α, jt) ≤ γE (cid:101)ψ(2) (cid:82) ∞ z eR0xdH(x) eR0zH(z)
, (0 < γ ≤ 1) và n = 1, 2, ... ở đó γ−1 = inf z≥0
Từ các chặn trên trong (4.11) và (4.12) cho ta cách xác định α để dung
hòa xác suất thiệt hại của cả hai công ty bảo hiểm. Điều này được thể hiện
trong Hệ quả 4.2.3.
u0(1+i∗) u0(1+i∗)+v0(1+j∗).
Hệ quả 4.2.3. Nếu (cid:15) ∈ L4 thì tồn tại α ∈ (0, 1) để (cid:101)ψ(1) n (u0, α, is) ≤ (cid:15) và (cid:101)ψ(2) n (v0, α, jt) ≤ (cid:15) với mỗi s = 0, 1, ..., N1 và t = 0, 1, .., N2. Đặc biệt, nếu (cid:15) = γe−u0R0(1+i∗)−v0R0(1+j∗) thì α =
22
Kết luận Chương 4
Trong chương này chúng tôi đã đạt được kết quả sau:
• Thiết lập được các công thức truy hồi cho các xác suất thiệt hại trong
trường hợp không lãi suất và có lãi suất.
• Đưa ra các chặn trên cho các xác suất thiệt hại. Các chặn trên này
không có dạng mũ. Tuy nhiên, các chặn trên trong Định lý 4.1.2 là bé
hơn các chặn trên dạng mũ trong Định lý 3.1.2.
• Chúng tôi giới thiệu cách xác định tỷ lệ chia sẻ, để cân bằng xác suất
thiệt hại của hai công ty bảo hiểm. Các kết quả này trình bày trong
các Hệ quả 4.1.3 và Hệ quả 4.2.3.
Nội dung của chương này dựa vào bài báo [2] và [3], trong Danh mục công
trình đã công bố của luận án.
23
KẾT LUẬN
Luận án nghiên cứu mô hình rủi ro trong tái bảo hiểm. Kết quả chính
luận án đạt được là:
• Xây dựng được các mô hình rủi ro có xét tới tái bảo hiểm. Các mô hình
này được mở rộng lên từ các mô hình nghiên cứu trước đó trong [46]
và [9];
• Thiết lập được công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại liên kết.
Xác định tỷ lệ chia sẻ để cực tiểu xác suất thiệt hại liên kết; Giới thiệu
phương pháp để hài hòa xác suất thiệt hại cho cả hai công ty bảo hiểm;
• Xây dựng các điều kiện cho sự tồn tại hệ số hiệu chỉnh của công ty bảo
hiểm, công ty tái bảo hiểm và thiết lập các hệ số này như các hàm của
đối số tỷ lệ chia sẻ và mức duy trì;
• Đối với xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm, luận án giới thiệu
3 phương pháp để đánh giá các xác suất này, cụ thể: công thức tính
chính xác; ước lượng trên bởi phương pháp martingale; ước lượng trên
bởi phương pháp quy nạp. Công thức tính đúng trong luận án là kết
quả tổng quát công thức tính đúng trong [21] và [30]. Kết quả về ước
lượng trên tổng quát hơn các kết quả trong [32], [46] và [9]
Luận án có thể tiếp tục theo một số chủ đề sau:
• Nghiên cứu xác suất thiệt hại trong mô hình rủi ro rời rạc với tái bảo
hiểm kết hợp quota share và excess of loss;
• Nghiên cứu các bài toán với các tiêu chuẩn tối ưu về xác suất thiệt hại
trong mô hình rủi ro với thời gian rời rạc hoặc thời gian liên tục xét tới
tái bảo hiểm.
24
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tài liệu tiếng Việt
[1] Bùi Khởi Đàm và Nguyễn Huy Hoàng (2008), Ước lượng xác suất thiệt
hại trong một số mô hình rủi ro, thời gian rời rạc với dãy biến ngẫu
nhiên phụ thuộc, Tạp chí Ứng dụng Toán học, 6(2), 49-64.
[2] Nguyễn Xuân Liêm (2016), Giải tích hàm, Nhà xuất bản Giáo dục.
[3] Nguyễn Duy Tiến (2005), Các mô hình xác suất và ứng dụng, Nhà xuất
bản Đại học Quốc gia Hà Nội, Phần III.
[4] Nguyễn Duy Tiến và Vũ Viết Yên (2004), Lý thuyết Xác suất, Nhà xuất
bản Giáo dục.
Tài liệu tiếng Anh
[5] K. Borch (1960), An attempt to determine the optimal amount of stop
loss insurance, Transactions of the XVIth International Congress of Ac-
tuaries, 1, 597-610.
[6] Z. Brze´znial and T. Zastawniak (2002), Basic Stochastic Processes, 4th
ed, Springer- Verlag London Berlin Heidelerg.
[7] J. Cai (2002a), Ruin Probabilities with Dependent Retes of Interest,
Journal of Applied Probability, 39(2), 312-323.
[8] J. Cai (2002b), Discrete Time Risk Model Under Rates of Interest, Prob-
ability in the Engineering and Informational Sciences, 16(3), 309-324.
25
[9] J. Cai and D. C. M. Dickson (2004), Ruin Probabilities With a Markov
Chain Interest Model, Insurance: Mathematics and Economics, 35(3),
513-525.
[10] J. Cai and K. S. Tan (2007), Optimal Retention for a Stop- Loss Rein-
surance under the VaR and CTE Risk Measures, Astin Bulletin, 37(1),
93- 112.
[11] J. Cai, K. S. Tan, C. Weng and Y. Zhang (2008), Optimal Retention
for a Stop- Loss Reinsurance under the VaR and CTE Risk Measures,
Insurance: Mathematics and Economics, 43(1), 185- 196.
[12] M. L. Centeno (1997), Excess of loss reinsurance and the probability of
ruin in finite horizon, ASTIN Bulletin, 27, 59-70.
[13] M. L. Centeno (2002), Measuring the effects of reinsurance by the adjust-
ment coefficient in the Sparre Anderson model, Insurance: Mathematics
and Economics, 30(1), 37-49.
[14] M. L. Centeno (2002), Excess of loss reinsurance and Gerber’s inequality
in the Sparre Anderson model, Insurance: Mathematics and Economics,
31(3): 415-427.
[15] A. Charpentier (2010), Reinsurance, Ruin and Solvency Issues: Some
Pitfalls. École Polytechnique.
[16] Y. S. Chow and H. Teicher (1988), Probability Theory: Independence,
Interchangeability, Martingales, Springer- Verlag, Berlin and New York.
[17] B. K. Dam and N. T. T. Hong (2014), Finite time ruin probabilities for
risk models with sequences of independent and continuously distributed
random variables, Journal of Statistics Applications & Probability Let-
ters, 1(3), 87 – 93.
26
[18] B. K. Dam and P. D. Quang (2014), Finite- Time Ruin Probability in a
Generalized Risk Processes under Interest Force, Mathematica Aeterna,
4(4), 351- 369.
[19] D. C. M. Dickson (2006), Insurance Risk and Ruin, Cambridge Univer-
sity Press.
[20] M. Goovaerts and D. Vyncke (2004), Reinsurance forms: Encyclopedia
of Actuarial Science, Vol. III, Wiley.
[21] N.T.T. Hong (2013), On finite- time ruin probabilities for general risk
models, East- West joural of Mathematics, 15(1), 86-101.
[22] Z. Hu and B. Jiang (2013), On Joint Ruin Probabilities of a Two-
Dimensional Risk Model with Constant Interest Rate, Journal of Applied
Probability, 50(2), 309-322.
[23] R. Kaas, M. Goovaerts, J. Dhaene and M. Denuit (2008), Modern Actu-
arial Risk Theory, Second Edition, Springer-Verlag Berlin Heidelberg.
[24] P. M. Kahn (1961), Some remarks on a recent paper by Borch. The
ASTIN Bulletin, 1(5) 265–272.
[25] V. K. Kaishev and D. S. Dimitrova (2006), Excess of Loss Reinsur-
ance under Joint Survival Optimality, Insurance: Mathematics and Eco-
nomics, 39(3), 376- 389.
[26] C. Lefèvre and S. Loisel (2008), On finite- time ruin probabilities for
Clasical Risk Models, Scandinavian Actuarial Journal, 2008(1), 41-60.
[27] Z. Li (2008), Optimal Reinsurance Retentions under Ruin- Related Op-
timization Criteria, PhD Thesis, University of Waterloo, Waterloo, On-
tario, Canada.
27
[28] J. Ohlin (1969), On a class of measures of dispersion with application to
optimal reinsurance, The ASTIN Bulletin, 5(2), 249- 266.
[29] P. Picard and C. Lefèvre (1997), The Probability of Ruin in Finite- Time
with Discrete Claim Size Distribution, Scandinavian Actuarial Journal,
1997(1), 58-69.
[30] P. D. Quang (2014), Ruin Probability in a Generalised Risk Process
under Rates of Interest with Homogenous Markov Chain, East Asian
Journal on Applied Mathematics, 4(3), 283-300.
[31] P. D. Quang (2014), Upper Bounds for Ruin Probability in a Generalised
Risk Process under rates of interest with homogenous Markov chain
claims and homogenous Markov chain premiums, Applied Mathematical
Sciences, 8(29), 1445-1454.
[32] S. Ross (1996), Stochastic processes, New York: John Wiley & Sons.
[33] I. V. Rotar (2006), Actuarial models: the mathematics of insurance,
Chapman & Hall/CRC.
[34] S. Salcedo-Sanz, L. Carro-Calvo, M. Claramunt, A. Casta˜ner and M.
Mármol (2014), Effectively Tackling Reinsurance Problems by Using
Evolutionary and Swarm Intelligence Algorithms, Risks, 2(2), 132-145.
[35] K. D. Schmidt (1995), Lectures on Risk Theory, Technische Universitat
Dresden.
[36] A. N. Shiryaev (1996), Probability, Second Edition, Springer-Verlag, New
York.
[37] H. Sun, C. Weng and Y. Zhang (2017), Optimal multivariate quota-
share reinsurance: A nonparametric mean-CVaR framework, Insurance:
Mathematics and Economics, 72, 197-217.
28
[38] B. Sundt and J. L. Teugels (1995), Ruin estimates under interest force,
Insurance: Mathematics and Economics, 16(1), 7-22.
[39] B. Sundt and J. L. Teugels (1997), The adjustment function in ruin
estimates under interest force, Insurance: Mathematics and Economics,
19(2), 85-94.
[40] K. S. Tan, C. Weng and Y. Zhang (2011), Optimality of general rein-
surance contracts under CTE risk measure, Insurance: Mathematics and
Economics, 49(2), 175–187.
[41] S. Vajda (1962), Minimum variance reinsurance, The ASTIN Bulletin,
2(2), 257- 260.
[42] H. R. Waters (1979), Excess of Loss Reinsurance Limits, Scandinavian
Actuarial Journal, 1979(1), 37-43.
[43] X. Wei and Y. Hu (2008), Rui probabilities for discrete time risk models
with stochastic rates of interest, it Statistics & Probability Letters, 78(6),
707-715.
[44] C. Weng, Y. Zhang and K. S. Tan (2009), Ruin probabilities in a dis-
crete time risk model with dependent risks of heavy tail, Scandinavian
Actuarial Journal, 2009(3), 205-218.
[45] D. Williams (1991), Probability with Martingales, Cambridge University
Press.
[46] H. Yang (1999), Non-exponential Bounds for Ruin Probability with In-
terest Effect Included, Scandinavian Actuarial Journal, 1999(1), 66-79.
29
DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ
CỦA LUẬN ÁN
1. B. K. Dam and N. Q. Chung (2016), The Martingale Method for
Probability of Ultimate Ruin Under Quota −(α, β) Reinsur-
ance Model, Journal of Statistics Applications & Probability,
5(3), 411- 419.
2. B. K. Dam and N. Q. Chung (2017), On Finite- Time Ruin
Probabilities in a Risk Model under Quota Share Reinsurance
Contract, Applied Mathematical Sciences, 11(35), 2609-2629.
3. Nguyễn Quang Chung (2017), Xác suất thiệt hại trong mô hình
rủi ro tổng quát với tái bảo hiểm quota-share, Tạp chí Ứng
dụng Toán học, 15(1).
4. N. Q. Chung (2017), Effect of an Excess of Loss Reinsurance on
Upper Bounds of Ruin Probabilities, Journal of Mathematical
Finance, 7(4), 958-974.
