Luận án Tiến sĩ Toán học: Dáng điệu nghiệm của một số mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

TRẦN QUỐC TUẤN

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA MỘT SỐ α-MÔ HÌNH

NGẪU NHIÊN TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2023

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

TRẦN QUỐC TUẤN

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA MỘT SỐ α-MÔ HÌNH

NGẪU NHIÊN TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số: 9 46 01 03

Người hướng dẫn khoa học

GS. TS Cung Thế Anh

Hà Nội, 2023

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan rằng đây là kết quả nghiên cứu của tôi dưới sự chủ trì của

GS.TS Cung Thế Anh. Các kết quả trong công trình là hoàn toàn mới và chưa

từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Nghiên cứu sinh

Trần Quốc Tuấn

1

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tác giả trân trọng sự hướng dẫn và giúp đỡ của thầy GS. TS Cung

Thế Anh. Thầy đã hướng dẫn tôi làm quen với nghiên cứu khoa học từ lúc ban

đầu với nhiều bỡ ngỡ tới lúc hoàn thiện luận án.

Tác giả xin gửi lời cảm tạ tới Seminar Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin,

Trường ĐHSP Hà Nội vì đã mang lại cho tôi môi trường học thuật tràn đầy

năng lượng, một không khí khoa học và thân thiện.

Tôi cũng xin được biết ơn Ban Giám hiệu Trường THPT Chuyên Biên Hòa

(Hà Nam) và các đồng nghiệp đã tạo điều kiện cho tôi trong thời gian nghiên

cứu.

Tác giả cũng xin cảm tạ người thân và bạn bè đã luôn động viên, hỗ trợ để

tác giả hoàn thành luận án này.

2

Mục lục

LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1. Tổng quan vấn đề nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

6 2. Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

5. Kết quả của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Cấu trúc của luận án. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

7

9 Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 1.1. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1. Không gian hàm và toán tử với miền mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.2. Không gian hàm và toán tử với điều kiện biên tuần hoàn . . . .

10

1.2.1. Một số khái niệm cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Các kết quả về Giải tích ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2. Không gian hàm của các quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.3. Tích phân ngẫu nhiên trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.4. Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3. Các bổ đề thường dùng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1

Chương 2. DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ LERAY-α

BA CHIỀU NGẪU NHIÊN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2. Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng của hệ Leray-α 3D tất

định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3. Tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ mũ . . . . . . . . . . . . 21

2.4. Tính ổn định hầu chắc chắn theo tốc độ mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5. Ổn định hóa nghiệm dừng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5.1. Ổn định hóa bằng nhiễu nhân tính Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.5.2. Ổn định hóa bằng điều khiển phản hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Chương 3. DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA HỆ N-S-V BA CHIỀU

NGẪU NHIÊN CÓ TRỄ VÔ HẠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2. Tính ổn định bình phương trung bình địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3. Tính ổn định mũ của nghiệm dừng trong trường hợp trễ phân phối .

40

3.3.1. Tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ mũ . . . . . . .

40

3.3.2. Tính ổn định hầu chắc chắn theo tốc độ mũ . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.4.1. Tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ đa thức. . . 47

3.4. Tính ổn định đa thức của nghiệm dừng trong trường hợp trễ tỉ lệ 47

3.4.2. Tính ổn định hầu chắc chắn theo tốc độ đa thức . . . . . . . . . . . .

50

Chương 4. BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU LIÊN TỤC CHO HỆ LERAY-α

BA CHIỀU VỚI DỮ LIỆU

CÓ NHIỄU NGẪU NHIÊN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2

4.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2. Hệ Leray-α ba chiều tất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3. Số hạng chứa nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4. Thuật toán đồng hóa dữ liệu liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.4.1. Tính đặt đúng của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

4.4.2. Định lí về sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

MỞ ĐẦU

1. Tổng quan vấn đề nghiên cứu

Nhiều quá trình của thực tế được mô tả bằng các phương trình đạo hàm

riêng ngẫu nhiên (SPDEs). Vì giá trị khoa học và thực tế của nó, nên các nhà

nghiên cứu đã và đang theo đuổi nhiều hướng nghiên cứu về nó như sau

• Nghiên cứu tính đặt đúng;

• Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm;

• Nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm;

• Nghiên cứu vấn đề giải số nghiệm: đề xuất các thuật toán và chứng minh

sự hội tụ, đánh giá sai số.

Các vấn đề trên đang là những hướng nghiên cứu rất thời sự của lí thuyết các

SPDEs.

Hệ Navier-Stokes có vai trò đặc biệt quan trọng. Mặc dù đã được nghiên

cứu nhiều, có rất nhiều nỗ lực của nhiều nhà toán học lớn nhưng các kết quả

đạt được vẫn còn khá khiêm tốn, đặc biệt là trong trường hợp 3D (trường hợp

có ý nghĩa thực tiễn nhất). Nói riêng, tính đặt đúng toàn cục vẫn là vấn đề mở

rất lớn trong trường hợp 3D. Ngoài ra, khi hệ số nhớt nhỏ thì việc tính toán

số trực tiếp nghiệm của hệ Navier-Stokes 3D là vấn đề không khả thi ngay cả

với các thuật toán và máy tính tốt nhất hiện nay. Chính vì những nguyên nhân

trên, các nhà toán học đã chỉnh hóa hệ Navier-Stokes để phục vụ cho mục đích

tính toán số hoặc để thu được tính đặt đúng toàn cục. Các hệ chỉnh hóa quan trọng và được sử dụng thường xuyên là các α-mô hình chúng bao gồm: hệ Navier-Stokes-α [38], hệ Leray-α [23], hệ Leray-α cải biên [42] và hệ Bardina

đơn giản hóa [41], hệ Navier-Stokes-Voigt (N-S-V), hệ chất lưu loại hai [59],

. . . .Xem thêm [41] về một số kết quả tiêu biểu đối với lớp mô hình này trong

4

trường hợp tất định. Sau đây ta tập trung giới thiệu hệ Leray-α ngẫu nhiên và

hệ N-S-V ngẫu nhiên.

• Hệ phương trình Leray-α tất định đã được đưa ra trong [23]. Một số vấn đề khác liên quan đến hệ Leray-α như tính chính quy, xấp xỉ số, tốc độ

hội tụ và dáng điệu tiệm cận của các nghiệm đã được nghiên cứu trong [30, 36, 37]. Độ lệch lớn, sự tồn tại và sự hội tụ nghiệm của hệ Leray-α

ngẫu nhiên đã được khảo sát rộng rãi trong [24, 39, 48, 49]. Trong bài

báo [11, 12, 22] đã chỉ ra được việc ổn định nghiệm của PDEs bằng nhiễu

ngẫu nhiên hoặc bằng các điều khiển phản hồi. Tuy nhiên, kết quả dáng điệu nghiệm của hệ Leray-α 3D ngẫu nhiên, khi coi nghiệm dừng cũng là

nghiệm của hệ ngẫu nhiên và khảo sát sự hội tụ của nghiệm ngẫu nhiên

tới nghiệm dừng khi thời gian đủ lớn, khi nghiệm dừng không ổn định

thì ổn định hóa nó vẫn chưa được nghiên cứu đầy đủ.

• Đồng hóa dữ liệu là một phương pháp luận để nghiên cứu và dự báo xu

hướng của các quá trình, chẳng hạn như thời tiết, các mô hình đại dương

và khoa học môi trường. Ý tưởng của đồng hóa dữ liệu là kết hợp dữ

liệu quan sát với các nguyên tắc động liên quan đến mô hình toán học

cơ bản. Phương pháp đồng hóa dữ liệu cổ điển là chèn dữ liệu quan sát

trực tiếp vào một mô hình vì mô hình này đang được tích hợp kịp thời,

xem [33, 47] và các tham chiếu trong đó. Tuy nhiên, thuật toán này bộc

lộ một số khó khăn khi các phép đo được thu thập từ một tập hợp các

điểm nút rời rạc, vì không thể tính toán chính xác giá trị của các đạo hàm

không gian có trong mô hình. Trong công trình tiên phong [9], các tác

giả đã giới thiệu một phương pháp mới cho vấn đề đồng hóa dữ liệu, đó

là thuật toán điều khiển phản hồi [10], phương pháp này đã giải quyết

được những hạn chế của phương pháp cổ điển. Trong thuật toán mới này,

thay vì chèn trực tiếp các phép đo vào mô hình, một tham số di chuyển

và các phép đo quan sát được sử dụng để thiết lập một mô hình mới mà

nghiệm gần đúng của nó hội tụ tới nghiệm chưa biết của mô hình ban

5

đầu. Cách tiếp cận như vậy đã được phát triển sau đó để đồng hóa dữ

liệu cho nhiều phương trình quan trọng, xem [4, 7, 8, 37, 43]. Một thuật

toán đồng hóa dữ liệu tương tự cho dữ liệu có nhiễu ngẫu nhiên đã được

giới thiệu trong [13], trong đó xét bài toán đối với hệ Navier-Stokes hai chiều. Gần đây, đồng hóa dữ liệu cho hệ Leray-α 3D đã được nghiên cứu

trong [1, 37], trong cả hai trường hợp dữ liệu rời rạc và dữ liệu liên tục.

Có thể nhận thấy rằng trong hai công trình này, dữ liệu quan sát không

có sai số đo lường. Tuy nhiên, hiện nay vẫn chưa có kết luận cho bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ Leray-α 3D có nhiễu ngẫu nhiên.

• Oskolkov đưa ra hệ phương trình N-S-V trong [57] như một mô hình

chuyển động của một số chất lỏng nhớt đàn hồi tuyến tính. Hệ phương

trình này cũng được đề xuất bởi Cao, Lunasin và Titi (trong [26]) như là

một hệ chỉnh hóa của phương trình Navier-Stokes 3D với các giá trị nhỏ α, để phục vụ cho việc mô phỏng số trực tiếp. Trong những năm qua,

sự tồn tại và dáng điệu của nghiệm, sự tồn tại tập hút của phương trình

N-S-V 3D đã được nghiên cứu (xem [4, 21, 44]). Hệ phương trình N-S-V

với trễ hữu hạn, vô hạn hoặc có nhớ đã được nghiên cứu gần đây trong

[2, 17, 40, 54, 61]. Trong [3], tác giả C.T. Anh và cộng sự đã chỉ ra sự tồn

tại và sự ổn định của nghiệm dừng đối với trường hợp ngẫu nhiên nhưng

không có trễ. Tuy nhiên, theo những gì chúng tôi biết, trường hợp trễ vô

hạn chưa được nghiên cứu đối với hệ N-S-V 3D ngẫu nhiên.

Căn cứ những phân tích trên, chúng tôi chọn vấn đề "Dáng điệu nghiệm của một số α-mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng" làm đề tài của

luận án.

2. Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu dáng điệu nghiệm và bài toán đồng hóa dữ liệu của một số

6

α-mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu dáng điệu nghiệm và bài toán đồng hóa

dữ liệu của một số α-mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng.

• Phạm vi nghiên cứu:

Nội dung 1: Tìm hiểu dáng điệu nghiệm của hệ Leray-α 3D ngẫu nhiên.

Nội dung 2: Tìm hiểu dáng điệu nghiệm của hệ N-S-V 3D ngẫu nhiên có

trễ vô hạn.

Nội dung 3: Tìm hiểu bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ Leray-α

3D với dữ liệu có nhiễu ngẫu nhiên.

4. Phương pháp nghiên cứu

• Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm: Phương pháp xấp xỉ Galerkin, phương pháp

compact và các công cụ của Giải tích ngẫu nhiên (xem [52, 60]).

• Nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu của hệ có nhiễu ngẫu nhiên và dáng

điệu nghiệm của hệ ngẫu nhiên: Kết hợp các ý tưởng và kĩ thuật của Giải tích

ngẫu nhiên và Lí thuyết điều khiển toán học (xem [13, 52]).

5. Kết quả của luận án

Các kết quả nhận được trong luận án bao gồm:

• Đối với hệ Leray-α 3D ngẫu nhiên: Chứng minh được tính đặt đúng. Thiết

lập được điều kiện đủ cho tính ổn định của nghiệm dừng. Sử dụng nhiễu nhân

tính Itô hoặc điều khiển phản hồi ổn định hóa được nghiệm dừng.

• Đối với hệ N-S-V 3D ngẫu nhiên có trễ vô hạn: Thiết lập được điều kiện

đủ cho tính ổn định của nghiệm dừng. Chỉ ra được sự hội tụ của nghiệm yếu

7

tới nghiệm dừng dưới ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhiên có trễ vô hạn.

• Đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ Leray-α 3D với dữ liệu có nhiễu ngẫu

nhiên: Thiết lập được phương trình đồng hóa dựa trên các dữ liệu quan sát

được có nhiễu ngẫu nhiên. Khẳng định được tính đặt đúng của bài toán này

và ước lượng được sai số tiệm cận của hiệu giữa nghiệm của hệ đồng hóa và

nghiệm của hệ gốc ban đầu.

Những kết quả thu được trong luận án là mới, có ý nghĩa khoa học và đóng

góp hoàn thiện nghiên cứu về dáng điệu nghiệm và bài toán đồng hóa dữ liệu.

Các kết quả chính đã được công bố trong 02 bài báo đăng trên các tạp chí

quốc tế uy tín và 01 bài báo gửi đăng và được trình bày tại Seminar của Bộ

môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.

6. Bố cục của luận án

Luận án ngoài các phần Mở đầu, Kết luận, Kiến nghị, Danh mục các công

trình công bố và Danh mục tài liệu tham khảo thì luận án có 4 chương chính

như sau:

• Chương 1. Kiến thức cơ sở.

• Chương 2. Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ Leray-α 3D ngẫu nhiên.

• Chương 3. Dáng điệu nghiệm của N-S-V 3D ngẫu nhiên có trễ vô hạn.

• Chương 4. Đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ Leray-α 3D với dữ liệu có

8

nhiễu ngẫu nhiên.

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong phần này, sẽ đề cập đến các định nghĩa và kết quả liên quan đến

không gian hàm, Giải tích ngẫu nhiên và Bổ đề thường dùng.

1.1. Các không gian hàm

1.1.1. Không gian hàm và toán tử với miền mở

Cho (cid:79) là một miền bị chặn trong (cid:82)3 có biên ∂ (cid:79) trơn. Đặt

(cid:86) = (cid:166) (cid:169) ((cid:79) ))3 sao cho ∇ · u = 0 , u ∈ (C ∞ 0

((cid:79) ))3, V = bao đóng (cid:86) trong (H 1 0

H = bao đóng (cid:86) trong (L2((cid:79) ))3.

Xét phép chiếu Leray P : (L2((cid:79) ))3 → H. Gọi A : V → V (cid:48) là toán tử Stokes.

Ta biết rằng Au = −P∆u và D(A) = (H 2((cid:79) ))3 ∩ V.

j

1

2

≤ λ Theo [58], toán tử A có các giá trị riêng 0 < λ ≤ . . . , λ

i

j → +∞; các vectơ riêng tương ứng {ψ → +∞ khi }, i = 1, 2, . . . lập thành cơ sở trực giao

của H. Đặc biệt,

1

(1.1) (cid:107)u(cid:107)2 ≥ λ |u|2, u ∈ V.

Tiếp theo, ta định nghĩa

B(m, n) = P((m · ∇)n), m, n ∈ V.

Ta có.

Bổ đề 1.1 ([60]). Toán tử B thỏa mãn các bất đẳng thức sau:

|m|1/4 (cid:107)m(cid:107)3/4 (cid:107)n(cid:107) |q|1/4 (cid:107)q(cid:107)3/4, ∀m, n, q ∈ V ; (cid:12) (cid:12)(cid:10)B(m, n), q(cid:11)(cid:12) (cid:12) ≤ C1

9

(1.2) (cid:107)m(cid:107) (cid:107)n(cid:107) (cid:107)q(cid:107), ∀m, n, q ∈ V. (cid:12) (cid:12)(cid:10)B(m, n), q(cid:11)(cid:12) (cid:12) ≤ C1 λ−1/4 1

Hơn nữa,

(cid:10)B(m, n), q(cid:11) = − (cid:10)B(m, q), n(cid:11) , ∀m, n, q ∈ V,

và đặc biệt

〈B(m, n), n〉 = 0, m, n ∈ V.

1.1.2. Không gian hàm và toán tử với điều kiện biên tuần hoàn

per là tập hợp gồm các đa thức

Cho L > 0, gọi hình hộp (cid:79) = [0, L]3. Gọi C ∞

lượng giác tuần hoàn với chu kì L. Gọi (cid:86) là không gian hàm

(cid:79)

(cid:168) (cid:171) (cid:90) (cid:86) = )3 : ∇ · m = 0, md x = 0 . m ∈ (C ∞ per

Đặt:

H = bao đóng của (cid:86) trong [L2((cid:79) )]3,

V = bao đóng của (cid:86) trong [H 1((cid:79) )]3,

tương ứng với tích vô hướng là

3 (cid:88)

(cid:79)

i=1

(cid:90) (m, n) := mi ni d x,

3 (cid:88)

(cid:79)

i=1

(cid:90) ((m, n)) := ∇mi · ∇ni d x,

và các chuẩn liên kết lần lượt là |n|2 := (n, n) và (cid:107)n(cid:107)2 := ((n, n)).

Cho ϕ ∈ L1, khi đó giá trị trung bình là

(cid:79)

(cid:90) 〈ϕ〉 = ϕ(x) d x, 1 L3

và với mọi tập con Z ⊂ L1, ta định nghĩa ˙Z = {ϕ ∈ L1 : 〈ϕ〉 = 0}.

10

Gọi P : [˙L2((cid:79) )]3 → H là phép chiếu trực giao Leray và toán tử Stokes A với miền D(A) = [ ˙H 2((cid:79) )]3 ∩ V được định nghĩa Am = −P∆m = −∆m.

D(A) = |Am|, ∀m ∈ D(A). Khi đó tồn tại các vectơ riêng

j

j

j và

j

Chuẩn trong D(A) là (cid:107)m(cid:107) {ψ = λ ψ ⊂ H, là cơ sở trực chuẩn của H sao cho Aψ }∞ j=1

j

1

2

= λ ≤ λ ≤ · · · , λ → +∞ khi j → +∞. 4π2 L2

Bất đẳng thức Poincaré (xem [27, 60])

|m|2, ∀m ∈ H,

V (cid:48) ≤ λ−1 (cid:107)m(cid:107)2 1 |m|2 ≤ λ−1 (cid:107)m(cid:107)2, ∀m ∈ V, 1

(1.3)

Cho b(·, ·, ·) : V × V × V → (cid:82) được xác định như sau

3 (cid:88)

i, j=1

(cid:79)

(cid:90) b(m, n, q) = mi q j d x, ∀m, n, q ∈ V. ∂ n j ∂ xi

Như đã biết, tồn tại toán tử song tuyến tính B(·, ·) : V × V → V (cid:48) là toán tử song

tuyến tính sao cho

V (cid:48),V

〈B(m, n), q〉 = b(m, n, q), ∀m, n, q ∈ V.

Bổ đề 1.2 ([27, 60]). Ta có

〈B(m, n), q〉 = −〈B(m, q), n〉 và 〈B(m, n), n〉 = 0, ∀m, n, q ∈ V.

Hơn nữa

|m|1/4 (cid:107)m(cid:107)3/4 (cid:107)n(cid:107)|q|1/4 (cid:107)q(cid:107)3/4, ∀m, n, q ∈ V, |〈B(m, n), q〉| ≤ CL

và

(1.4) (cid:107)m(cid:107) (cid:107)n(cid:107)1/2 |An|1/2 |q|, ∀m ∈ V, n ∈ D(A), q ∈ H. |〈B(m, n), q〉| ≤ CL

1.2. Các kết quả về Giải tích ngẫu nhiên

1.2.1. Một số khái niệm cơ bản

Các khái niệm sau được tham khảo trong ([31]). "Xét không gian Banach

11

khả ly X . Gọi (cid:66)(X ) là σ-đại số Borel trên X ."

Định nghĩa 1.1. "Xét không gian xác suất (Ω, (cid:70) , (cid:80)). Đặt

(cid:77) = {A : A ⊂ Ω, ∃M ⊂ (cid:70) , (cid:80)(M ) = 0 và A ⊂ M } ,

t

} là tập hợp các tập có xác suất 0. Không gian xác suất (Ω, (cid:70) , (cid:80)) được gọi là đủ t≥0 gọi là một họ các σ-trường không giảm của (cid:70) , nếu nếu (cid:77) ⊂ (cid:70) . Họ {(cid:70)

i

j, với 0 ≤ i ≤ j.

(cid:70) ⊂ (cid:70)

i, ∀t ∈ [0, +∞) thì (cid:70)

i>t

t

t được gọi là liên tục phải."

= ∩ (cid:70) Nếu (cid:70)

Trong luận án này, (Ω, (cid:70) , (cid:80)) luôn được giả thiết là không gian xác suất đủ

t là liên tục phải.

và (cid:70)

Định nghĩa 1.2. ([31]) [Phần tử ngẫu nhiên] "Một phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong X là một ánh xạ u : Ω → X đo được Borel, tức là

u−1(A) ∈ (cid:70) , với mọi A ∈ (cid:66)(X ).”

Định nghĩa 1.3. ([31]) [Quá trình ngẫu nhiên]

i) "Với mỗi t ∈ [0, T ], ánh xạ u(t) : Ω → X là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong X . Khi đó, họ u = {u(t), t ∈ [0, T ]} được gọi là một quá trình

ngẫu nhiên nhận giá trị trong X ."

t-đo được, thì u được gọi

ii) "Nếu ∀t ∈ [0, T ], phần tử ngẫu nhiên u(t) là (cid:70)

là tương thích."

iii) "Quá trình ngẫu nhiên u được gọi là đo được theo tiến trình nếu với mọi

t ∈ [0, T ], ánh xạ

[0, t] × Ω → X , (s, ω) (cid:55)→ u(s, ω)

t-đo được, nghĩa là, ∀B ∈ (cid:66)(X ),

là (cid:66)([0, t]) × (cid:70)

t.”

12

{(s, ω) ∈ [0, t] × Ω|u(s, ω) ∈ B} ∈ (cid:66)([0, t]) × (cid:70)

1.2.2. Không gian hàm của các quá trình ngẫu nhiên

Các định nghĩa về không gian hàm được tham khảo trong ([31]).

Định nghĩa 1.4. ([31])

(cid:70)

t, (cid:80), L2(0, T ; X )) (hoặc ta sẽ dùng kí hiệu L p

t

i) "Kí hiệu L p(Ω, (cid:70)

t

t∈[0,T ] và thỏa mãn

) (0, T ; X ) t, (cid:80)) được xác định) là không gian tất cả các quá trong ngữ cảnh (Ω, (cid:70) trình ngẫu nhiên (cid:70) × (cid:66)([0, T ])-đo được, u : Ω × [0, T ] → X tương thích với bộ lọc ((cid:70)

X d t

L p(Ω,(cid:70)

t ,(cid:80),L2(0,T ;X )) := (cid:69)

0

(cid:33)p/2 (cid:32)(cid:90) T (cid:107)u(cid:107)p (cid:107)u(t)(cid:107)2 < ∞.”

t, (cid:80), L∞(0, T ; X )) là không gian tất cả các quá trình ngẫu nhiên (cid:70) × (cid:66)([0, T ])−đo được u : Ω × [0, T ] → X tương thích với bộ lọc {(cid:70)

ii) "Kí hiệu L∞(Ω, (cid:70)

t

t∈[0,T ] và bị chặn với (ω, t) hầu khắp nơi."

}

t, (cid:80), C([0, T ]; X )) là không gian tất cả các quá trình {u(t); 0 ≤

iii) "Kí hiệu L p(Ω, (cid:70)

t-đo được liên tục và thỏa mãn

t ≤ T } nhận giá trị trong X , liên tục, (cid:70)

L p(Ω,(cid:70)

t ,(cid:80),C([0,T ];X )) := (cid:69) sup t∈[0,T ]

(cid:107)u(cid:107)p < ∞.” (cid:107)u(t)(cid:107)p X

1.2.3. Tích phân ngẫu nhiên trong không gian Hilbert

i :

Kiến thức sau được tham khảo trong [31]. "Xét không gian xác suất (Ω, (cid:70) , (cid:80)) và không gian Hilbert khả ly K với tích vô hướng 〈·, ·〉. Xét một toán tử tuyến tính Q : K → K đối xứng xác định dương và Tr(Q) < ∞. Khi đó tồn tại một cơ sở trực chuẩn đầy đủ {ei }+∞ i=1 của K và dãy các số thực không âm bị chặn µ

i ei, i = 1, 2, . . .

= µ Qei

n, ..."

1, µ

2, ..., µ

Ta có thể coi toán tử Q như là một ma trận đường chéo ∞ × ∞ với các phần tử trên đường chéo chính là µ

13

Định nghĩa 1.5. ([31]) "Quá trình Wiener với toán tử phương sai Q là một quá trình ngẫu nhiên W = {W (t), t ∈ [0, +∞)} nhận giá trị trong K thỏa mãn:

• W (0) = 0;

• W là quá trình liên tục, tức là các quỹ đạo của W là liên tục (cid:80)-hầu chắc

chắn;

• W là quá trình có gia số độc lập;

• W (i) − W ( j), i ≥ j, là biến ngẫu nhiên Gauss trên không gian K với trung

bình 0 và phương sai (i − j)Q."

Ta có thể gọi quá trình này là quá trình Q-Wiener.

Tiếp theo, ta giới thiệu một định lí quan trọng về biểu diễn của quá trình

Wiener.

}+∞ i=1 . Một quá trình Wiener nhận giá trị trong K được biểu diễn dưới

+∞ (cid:88)

iWi

i=1

Định lí 1.1. [31] Cho không gian Hilbert khả ly K có một cơ sở trực chuẩn đầy đủ là {ei dạng (cid:112) µ (1.5) W (t) = (t)ei,

i

i

n

ở đây  (cid:11) , µ > 0,  (cid:10)W (t), ei (cid:112) µ (t) := Wi  µ 0, = 0,

(t) = 0, (cid:69)Wi

i

(t)Wi µ (t) ∼ (cid:78) (0, t), (s)) = min{s, t}. Chuỗi vô hạn (1.5) hội < ∞. Từ biểu diễn này ta cũng có W (t) là

là các chuyển động Brown độc lập chuẩn vô hướng, tức là, Wn (cid:69)Wi (t)2 = t và (cid:69)(Wi tụ trong L2(Ω) nếu Tr(Q) = (cid:80)+∞ i=1 quá trình Wiener trong không gian K0 := Q1/2K và 1 (cid:107)W (t)(cid:107) = 0, (cid:80)-hầu chắc chắn. lim t→+∞ t

0 với W (t) là Q-Wiener trên không gian K với bộ lọc tương thích (cid:70) t := σ(W (s) : s ≤ t) là σ−đại số sinh bởi W (s), 0 ≤ s ≤ t và Φ(t, ω) là lớp hàm được xác

Tiếp theo, ta mô tả tích phân (cid:90) T Φ(t, ω) dW (t),

14

định như sau:

= (cid:112) µ • Đặt K0 := Q1/2K, với Q1/2 là một toán tử được xác định bởi Q1/2ei i ei. Khi đó, K0 là một không gian Hilbert với tích vô hướng

(u, v) 0 = (Q−1/2u, Q−1/2v), ∀u, v ∈ K0.

0 là kí hiệu chuẩn trong K0. Một Φ ∈ (cid:76) (K0, H) được gọi là Hilbert-

Đặt (cid:107)·(cid:107)

+∞ (cid:88)

Schmidt nếu

i=1 với mọi cơ sở trực chuẩn {e0 } của K0. Theo [31], "kí hiệu L2(K0, H) là tất i cả các toán tử tuyến tính Hilbert-Schmidt từ K0 vào H, và L2(K0, H) là không gian Hilbert khả ly với tích vô hướng

+∞ (cid:88)

< ∞, (cid:107)2 H (cid:107)Φe0 i

H, Φ, Ψ ∈ L2(K0, H).”

i , Ψe0

i

L2(K0;H) =

i=1

) (Φe0 (Φ, Ψ)

i ei

(cid:112) µ } là trực chuẩn đầy đủ. Khi đó, chuẩn trong

Hơn nữa, K0 có cơ sở { L2(K0, H) là

+∞ (cid:88)

i

L2(K0;H)

i=1

(cid:112) (cid:107)Φ(cid:107)2 (cid:107) µ = Tr (cid:104)(cid:128)ΦQ1/2(cid:138) (cid:128)ΦQ1/2(cid:138)∗(cid:105) = Φei (cid:107)2 H.

• Bây giờ, ta xét Φ : [0, T ] × Ω → L2(K0, H) có các tính chất sau:

t;

i) Φ là đo được và tương thích với bộ lọc (cid:70)

ii) Φ là khả tích cấp hai theo nghĩa sau

T ;H := (cid:69)

L2(K0,H)ds

0 (cid:90) T

(cid:90) T (cid:107)Φ(cid:107)2 (1.6) (cid:107)Φ(s, ·)(cid:107)2

0

= (cid:69) Tr ds < ∞. (cid:104)(cid:128)Φ(s, ·)Q1/2(cid:138) (cid:128)Φ(s, ·)Q1/2(cid:138)∗(cid:105)

Theo như kết quả trong Định lí 1.1, W (t) có biểu diễn

+∞ (cid:88)

iWi

i=1

(cid:112) µ W (t) = (t)ei

} là các quá trình Wiener tiêu chuẩn, vô hướng và độc lập. Khi đó với {Wi

+∞ (cid:88)

i

0

0

i=1

15

(cid:90) T (cid:90) T (cid:112) µ Φ(t, ω)dW (t) := (t). Φ(t, ω)ei dWi

1.2.4. Công thức Itô

Định lí 1.2 ([31]). "Cho H là một không gian Hilbert khả ly, b : H → H và Φ : H → L2(K0, H) là khả tích cấp hai theo nghĩa (1.6); W (t) là quá trình Wiener nhận giá trị trong K. Xét phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên

du = b(u)d t + Φ(u)dW (t), u(0) = u0,

có nghiệm u. Giả sử rằng F : [0, +∞) × H → (cid:82) là ánh xạ trơn. Khi đó, công thức

Itô dạng tích phân như sau

0

(cid:90) t F (t, u(t)) =F (0, u(0)) + (s, u(s))(Φ(u(s)))dW (s) Fu

(cid:90) t (cid:26) + (s, u(s))(b(u(s))) Ft (s, u(s)) + Fu

0 1

(cid:27) (cid:148) + Tr (s, u(s))(Φ(u(s))Q1/2)(Φ(u(s))Q1/2)∗(cid:151) ds, Fuu 2

ở đây Fu và Fuu là đạo hàm Fréchet, Ft là đạo hàm riêng theo biến t và ∗ là kí hiệu toán tử liên hợp."

1.3. Các bổ đề thường dùng

Bổ đề 1.3 ( Bất đẳng thức Markov). ([15], trang 80)

(cid:80){|X | > (cid:34)} ≤ , 0 < p < ∞, (cid:34) > 0. (cid:69)|X |p (cid:34) p

Bổ đề 1.4 (Bất đẳng thức Burkholder-Davis-Gundy). ([31]) "Cho p > 0, t ∈ [0, T ], Φ ∈ L2(K 0, H). Khi đó,

p

2p

t (cid:90)

s (cid:90)

   

L2(K0;H)ds

0

0

H

(cid:69) (cid:107)Φ(s)(cid:107)2 , ≤ cp       (cid:69) sup s∈[0,t]         (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) Φ(τ)dW (τ) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

> 0." trong đó cp

) < (cid:80)(Ak } ⊂ (cid:70) và (cid:80)∞ i=1

Bổ đề 1.5 (Bổ đề Borel-Cantelli). ([56, Bổ đề 2.4]) Nếu {Ak +∞, thì

16

) = 0. Ak (cid:80)(lim sup k→+∞

0

) = 1 và một số nguyên k0 sao cho với

0, thì ω /∈ Ak với k ≥ k0

17

Tức là, tồn tại một tập Ω mọi ω ∈ Ω ∈ (cid:70) với (cid:80)(Ω 0 (ω).

Chương 2

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ LERAY-α BA CHIỀU NGẪU NHIÊN

Trong chương này, chúng ta xét hệ Leray-α 3D ngẫu nhiên với điều kiện

biên Dirichlet trên miền bị chặn và nhiễu ngẫu nhiên nhân tính. Chúng ta chỉ

ra tính đặt đúng của bài toán và sự tồn tại duy nhất nghiệm dừng. Sau đó,

chúng ta nghiên cứu tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ mũ và

hầu chắc chắn theo tốc độ mũ của nghiệm dừng. Khi nghiệm dừng không ổn

định, chúng ta ổn định hóa nó bằng nhiễu nhân tính Itô hoặc bằng điều khiển

phản hồi. Chương này được viết dựa theo công trình [CT1].

2.1. Đặt bài toán

Xét (cid:79) ⊂ (cid:82)3 là miền bị chặn với biên trơn ∂ (cid:79) . Xét hệ phương trình Leray-α

3D ngẫu nhiên có dạng

 d v + [−ν∆v + (u · ∇)v + ∇p]d t = f (x)d t + h(v)dW (t), x ∈ (cid:79) , t > 0,

∇ · u = 0, v = (I − α2∆)u, x ∈ (cid:79) , t > 0,

u(x, t) = 0, v(x, t) = 0, x ∈ ∂ (cid:79) , t > 0,

(x), x ∈ (cid:79) ,   u(x, 0) = u0

(2.1) ở đó u là vectơ vận tốc và p hàm áp suất cần tìm, ν > 0 là hệ số nhớt, α > 0 và f (x) là ngoại lực, u0 là vận tốc ban đầu, h(v)W (t) là nhiễu ngẫu nhiên và W (t) là một quá trình Wiener.

18

Ta viết lại hệ (2.1) dưới dạng phương trình toán tử như sau

 d v + [νAv + B(u, v)]d t = f (x)d t + h(v)dW (t), x ∈ (cid:79) , t > 0,

x ∈ (cid:79) , t > 0, v = (I + α2A)u, (2.2) x ∈ ∂ (cid:79) , t > 0, u(x, t) = 0, v(x, t) = 0,

x ∈ (cid:79) . (x),   u(x, 0) = u0

Ta có các giả thiết sau

(1) v0 := (I + α2A)u0 là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong

0-đo được thỏa mãn (cid:69)|v0

Giả thiết 2.1. H, (cid:70) |4 < ∞;

(2) f ∈ H;

(3) h : H → L2 (K0, H) là ánh xạ đo được thỏa mãn

0

(K0,H) ≤ γ

|2, ∈ H. (2.3) (cid:107)h(w1 ) − h(w2 |w1 − w2 γ 0 > 0, ∀w1, w2 )(cid:107)2 L2

Định nghĩa 2.1. Quá trình ngẫu nhiên u = u(x, t, ω) trên khoảng (0, T ) gọi là

nghiệm yếu của hệ (2.2) nếu

1. u là đo được theo tiến trình;

2. v := (I + α2A)u thuộc không gian C([0, T ]; H) ∩ L2(0, T ; V ) hầu chắc

chắn;

3. Với mọi t ∈ [0, T ], với mọi hàm thử φ ∈ V và (cid:80)− hầu chắc chắn

0

(cid:90) t (cid:90) t (v(t), φ) + ν ((v(s), φ))ds + (cid:10)B(u(s), v(s)), φ(cid:11) ds

0 (cid:90) t

0

0

(cid:90) t (2.4) ( f , φ)ds + (cid:10)φ, h(v(s))dW (s)(cid:11) . = (v0, φ) +

Tính đặt đúng của hệ (2.2) đã được khẳng định trong [24].

19

Định lí 2.1. ([24]) Nếu Giả thiết 2.1 được thỏa mãn thì hệ (2.2) được đặt đúng trên (0, T ).

2.2. Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng của

hệ Leray-α 3D tất định

Xét hệ Leray-α 3D tất định.

t v + νAv + B(u, v) = f

∂ (2.5) trong V (cid:48) ,

α u và Nα = (I + α2A)−1.

ở đó v = (I + α2A)u = N −1

Định nghĩa 2.2. Giả sử f ∈ H. Hàm u∗ ∈ V gọi là nghiệm dừng của (2.5) nếu

νAv∗ + B(u∗ trong V (cid:48) , v∗) = f ,

hoặc tương đương với

(2.6) ν (cid:10)Av∗ , φ(cid:11) + b(u∗ , v∗ , φ) = ( f , φ) ∀φ ∈ V,

ở đó v∗ = (I + α2A)u∗.

Định lí 2.2. Nếu f ∈ H thì (2.5) có ít nhất một nghiệm dừng u∗ thỏa mãn

(2.7) (cid:107)v∗(cid:107) ≤ , | f | νλ1/2 1

ở đó, v∗ = (I + α2A)u∗. Hơn nữa, nếu

(cid:198) ν > µ = (2.8) | f |, C1 λ−3/4 1

ở đó C1 hằng số trong bất đẳng thức (1.2), thì nghiệm dừng u∗ là duy nhất và ổn định mũ toàn cục, nghĩa là, với mọi u(t) thỏa mãn (2.5) tồn tại λ > 0 :

|v(t) − v∗|2 ≤ e−λt|v(0) − v∗|2, t > 0.

Chứng minh. Bằng lập luận tương tự như Bổ đề 3.2 trong [16], thì hệ (2.5) có nghiệm u∗. Ta cần các đánh giá tiên nghiệm cho u∗ để sử dụng cho các chứng minh sau. Từ (2.6) ta chọn φ = v∗ và sử dụng tính chất b(u∗, v∗, v∗) = 0, ta thu

được

20

ν(cid:107)v∗(cid:107)2 = ( f , v∗).

, ta nhận được (2.7). Bởi vì ( f , v∗) ≤ | f ||v∗| ≤ | f | (cid:107)v∗(cid:107) λ1/2 1

Giả sử u(t) là nghiệm bất kì của (2.5). Gọi m(t) = v(t) − v∗, ta có

d (m(t), φ) + ν((m(t), φ)) + b(u, v, φ) − b(u∗ , v∗ , φ) = 0. d t

Ta chọn φ = eλt m(t), sử dụng tính chất

b(u, v, m) − b(u∗ , v∗ , v∗ , m) , m) = b(Nαv, v, m) − b(Nαv∗ , m) = b(Nαl, v∗

L(H) ≤ 1, ta suy ra

và (cid:107)Nα(cid:107)

d (eλt|m(t)|2) d t

(cid:107)Nαm(t)(cid:107) (cid:107)m(t)(cid:107) (cid:107)v∗(cid:107))

L(H)(cid:107)m(t)(cid:107) (cid:107)m(t)(cid:107) (cid:107)v∗(cid:107))

(cid:107)Nα(cid:107) ≤eλt(λ|m(t)|2 − 2ν(cid:107)m(t)(cid:107)2 + 2b(Nαm(t), m(t), v∗)) ≤eλt(λ|m(t)|2 − 2ν(cid:107)m(t)(cid:107)2 + 2C1 ≤eλt(λ|m(t)|2 − 2ν(cid:107)m(t)(cid:107)2 + 2C1 λ−1/4 1 λ−1/4 1

− 2ν + )(cid:107)m(t)(cid:107)2. ≤eλt(λλ−1 1 2µ2 ν

Bởi vì ν > µ, nên tồn tại λ > 0 đủ nhỏ để hệ số ở vế phải của bất đẳng thức

trên là âm và khi đó d (eλt|m(t)|2) < 0. d t

2.3. Tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ

mũ

Ta sẽ khảo sát sự hội tụ của nghiệm u về nghiệm dừng u∗ khi coi u∗ cũng là một nghiệm của hệ Leray-α 3D ngẫu nhiên (2.2). Để làm điều này, ta giả sử điều kiện mạnh hơn là h(u∗) = h(v∗) = 0.

Định lí 2.3. Nếu Giả thiết 2.1 thỏa mãn, h(v∗) = 0 và

21

+ 16µ2 γ 0 λ−1 1 λ−2 1 ν > (2.9) , + (cid:112)γ2 0 4

với γ 0 là hằng số dương trong (2.3) thì mọi nghiệm u(t) của hệ phương trình ngẫu nhiên (2.2) hội tụ tới nghiệm dừng u∗ theo nghĩa bình phương trung bình với tốc độ mũ. Tức là, ∃a > 0, T (a) > 0 :

(cid:69)|v(t) − v∗|2 ≤ (cid:69)|v(0) − v∗|2e−at, ∀t ≥ T (a).

Chứng minh. Từ hệ (2.2) và (2.6), ta suy ra

d(v(t)− v∗)+ (νA(v(t)− v∗)+ B(u, v)− B(u∗ , v∗))d t = (h(v(t))− h(v∗))dW (t).

Áp dụng công thức Itô cho hàm eat|v(t) − v∗|2, ta được

0

(cid:90) t aeas|v(s) − v∗|2ds eat(cid:69)|v(t) − v∗|2 ≤(cid:69)|v(0) − v∗|2 + (cid:69)

(K0,H)ds

0

0 (cid:90) t

(cid:90) t (cid:90) t eas(cid:107)v(s) − v∗(cid:107)2ds + (cid:69) − 2ν(cid:69) eas(cid:107)h(v(s))(cid:107)2 L2

0

(2.10) eas b(u(s) − u∗ − 2(cid:69) , v∗ , v(s) − v∗)ds.

Ta có

0

(cid:90) t eas b(u(s) − u∗ − 2(cid:69) , v∗ , v(s) − v∗)ds

0 (cid:90) t

(cid:90) t eas b(u(s) − u∗ = 2(cid:69) , v(s) − v∗ , v∗)ds

0

= 2(cid:69) , v∗)ds eas b(Nα(v(s) − v∗), v(s) − v∗

0

(cid:90) t (cid:69) eas(cid:107)v(s) − v∗(cid:107)2 (cid:107)v∗(cid:107)ds ≤ 2C1 λ−1/4 1

0

(cid:90) t µ2 (cid:69) (2.11) eas(cid:107)v(s) − v∗(cid:107)2ds. ≤ 2 ν

Áp dụng điều kiện (2.3) và h(v∗) = 0, ta được

0

0

0 (cid:90) t

(cid:90) t (cid:90) t (cid:69) (cid:69) eas|v(s) − v∗|2ds eas(cid:107)h(v(s))(cid:107)2 L2

(K0,H)ds ≤ γ γ 0 λ

1

0

22

≤ (cid:69) (2.12) eas(cid:107)v(s) − v∗(cid:107)2ds.

Từ điều kiện (2.9), ta chọn a > 0 đủ nhỏ sao cho

1

1

+ − 2ν + < 0. a λ 2µ2 ν γ 0 λ

Kết hợp (2.10), (2.11), (2.12), ta có

eat(cid:69)|v(t) − v∗|2

1

1

0

(cid:90) t (cid:19) + (cid:69) eas(cid:107)v(s) − v∗(cid:107)2ds ≤(cid:69)|v(0) − v∗|2 + − 2ν + (cid:18) a λ 2µ2 ν γ 0 λ

≤(cid:69)|v(0) − v∗|2.

Vì vậy,

(cid:69)|v(t) − v∗|2 ≤ (cid:69)|v(0) − v∗|2e−at, ∀t ≥ T (a).

2.4. Tính ổn định hầu chắc chắn theo tốc độ mũ

Định lí 2.4. Nếu Giả thiết 2.1, (2.9) được thỏa mãn và h(v∗) = 0 thì mọi nghiệm u(t) của (2.2) hội tụ tới nghiệm dừng u∗ hầu chắc chắn theo tốc độ mũ.

Chứng minh. Giả sử N là số nguyên dương và t ≥ N . Sử dụng công thức Itô cho hàm |v − v∗|2, ta có

N

N

(cid:90) t (cid:90) t b(u − u∗ |v − v∗|2 ≤|v(N ) − v∗|2 − 2ν (cid:107)v(s) − v∗(cid:107)2ds − 2 , v∗ , v − v∗)ds

(K0,H)ds.

N

N

(cid:90) t (cid:90) t (v(s) − v∗ + 2 , h(v(s))dW (s)) + (cid:107)h(v(s))(cid:107)2 L2

Theo Bổ đề 1.4, ta có

1/2

(cid:153) (cid:150) (cid:90) t (v(s) − v∗ 2(cid:69) , h(v(s))dW (s))

N (cid:90) N +1

1

(K0,H)ds

N

1/2

sup N ≤t≤N +1   (cid:112) η (cid:69) ≤ 2   |v(s) − v∗|2(cid:107)h(v(s))(cid:107)2 L2

1

(K0,H)ds

N ≤t≤N +1

N

23

 (cid:90) N +1 (cid:112) η (cid:69) |v(t) − v∗|2 ≤ 2   sup  (cid:107)h(v(s))(cid:107)2 L2

1

(K0,H)ds +

N

(cid:150) (cid:153) (cid:90) N +1 1 (cid:69) (cid:69) |v(t) − v∗|2 ≤ 2η , (cid:107)h(v(s))(cid:107)2 L2 2 sup N ≤t≤N +1

1 là số thực dương. Mặt khác, sử dụng tính chất

với η

b(u, v, v − v∗) − b(u∗ , v∗ , v − v∗) , v − v∗) = b(Nα(v − v∗), v∗

L(H) ≤ 1, ta thu được

và (cid:107)Nα(cid:107)

, v∗) −2b(Nα(v − v∗), v∗ , v − v∗) = 2b(Nα(v − v∗), v − v∗

≤ 2(cid:107)Nα(v − v∗)(cid:107) (cid:107)v∗(cid:107) (cid:107)v − v∗(cid:107)

L(H) (cid:107)v∗(cid:107) (cid:107)v − v∗(cid:107)2

(cid:107)Nα(cid:107) λ−1/4 1

≤ (cid:107)v − v∗(cid:107)2. ≤ 2C1 2µ2 ν

Từ các điều trên, ta được

N ≤t≤N +1

N

(cid:90) N +1 1 |v(t) − v∗|2 ≤(cid:69)|v(N ) − v∗|2 + ( (cid:107)v(s) − v∗(cid:107)2ds (cid:69) sup − 2ν)(cid:69) 2

1

(K0,H)ds.

N

2µ2 ν (cid:90) N +1 + (2η + 1)(cid:69) (cid:107)h(v(s))(cid:107)2 L2

Sử dụng điều kiện (2.3), (2.9) và Định lí 2.3, ta có

N ≤t≤N +1

|v(s) − v∗|2 (cid:69) sup

1

N

(cid:90) N +1 |v(s) − v∗|2ds ≤ 2(cid:69)|v(N ) − v∗|2 + 2(2η + 1)(cid:69) γ 0

1

N

(cid:90) N +1 e−at ds − v∗|2e−N t + 2(2η ≤ 2(cid:69)|v0 + 1)(cid:69)|v0 − v∗|2 γ 0

1

(cid:130) (cid:140) (2η (1 − e−a) − v∗|2 e−aN 1 + ≤ 2(cid:69)|v0 + 1)γ 0 a

≤ M e−aN , ∀N > T (a)

(1−e−a)

1

+1)γ 0 a

(cid:17) − v∗|2 (cid:16) 1 + (2η . Theo Bổ đề 1.3, ta có với M = 2(cid:69)|v0

N

− a−2ε 4

24

(cid:171) (cid:168) (cid:80) |v(t) − v∗| > e ≤ M e−εN , ω : sup N ≤t≤N +1

− (a−2ε)N 4

ở đó N ≥ T (a) và ε ∈ (0, a/2). Theo Bổ đề 1.5, suy ra tồn tại số nguyên dương n0 := n0 (ω) > T (a) sao cho với mọi N ≥ n0,

|v(t) − v∗| ≤ e , hầu chắc chắc. sup N ≤t≤N +1

2.5. Ổn định hóa nghiệm dừng

2.5.1. Ổn định hóa bằng nhiễu nhân tính Itô

Nếu điều kiện (2.9) không thỏa mãn thì nghiệm dừng u∗ có thể không ổn định. Trong mục này, ta ổn định hóa nghiệm dừng u∗ của (2.5) bằng cách thêm

vào một nhiễu nhân tính Itô có cường độ đủ lớn. Bên cạnh Giả thiết 2.1 được

thỏa mãn, ta cần thêm giả thiết mạnh hơn về nhiễu như sau.

γ 0 2

∞ (cid:88)

) : Giả thiết 2.2. Tồn tại ρ ∈ (0,

i , v(t) − v∗)2 ≥ ρ|v(t) − v∗|4, ∀v ∈ V, hầu chắc chắn.

i=1

(2.13) (h(v)e0

Định lí 2.5. Nếu Giả thiết 2.1, (2.13) điều kiện (2.8) thỏa mãn, h(v∗) = 0 và

1

bất đẳng thức sau (cid:140) (cid:130) λ (2.14) 2ν − + 2ρ > γ 0 2µ2 ν

được thỏa mãn thì nghiệm u∗ là ổn định hóa được theo cấp độ mũ hầu chắc chắn.

Nghĩa là, 1 hầu chắc chắn. log |v(t) − v∗|2 < 0, t lim sup t→∞

Chứng minh. Sử dụng công thức Itô cho hàm số log |v(t) − v∗|2, ta có

log |v(t) − v∗|2

0

(cid:90) t (cid:107)v(s) − v∗(cid:107)2ds − v∗|2 − 2ν = log |v0 1 |v(s) − v∗|2

0

25

(cid:90) t 1 , v∗ , v(s) − v∗)ds − 2 |v(s) − v∗|2 b(u(s) − u∗

i , v(t) − v∗)2

∞ (cid:80) i=1

(K0,H)ds − 2

0

0 (cid:90) t

(h(v)e0 (cid:90) t (cid:90) t + ds (cid:107)h(v(s))(cid:107)2 L2 |v(s) − v∗|4 1 |v(s) − v∗|2

0

(2.15) (v(s) − v∗ + 2 , h(v(s))dW (s)). 1 |v(s) − v∗|2

Ta có

2b(Nα(v − v∗), v − v∗ , v∗) ≤ 2(cid:107)Nα(v − v∗)(cid:107) (cid:107)v∗(cid:107) (cid:107)v − v∗(cid:107)

L(H) (cid:107)v∗(cid:107) (cid:107)v − v∗(cid:107)2

(cid:107)Nα(cid:107) λ−1/4 1

≤ (2.16) (cid:107)v − v∗(cid:107)2. ≤ 2C1 2µ2 ν

Do giả thiết (2.3), nên

(K0,H)

0 t.

0

(cid:90) t (2.17) ds ≤ γ (cid:107)h(v(s)) − h(v∗)(cid:107)2 L2 |v(s) − v∗|2

Sử dụng giả thiết (2.3) và lập luận tương tự Bổ đề 2.1 [51], ta có

0

(cid:90) t (cid:20) (cid:26) (cid:80) 2 (v(s) − v∗, h(v(s))dW (s)) |v(s) − v∗|2 ω : sup 0≤t≤w

i , v(t) − v∗)2

∞ (cid:80) i=1

0

(h(v)e0 (cid:90) t (cid:21) (cid:27) β − > ≤ ds 2 log k β |v(s) − v∗|4 2 1 k2 ,

(ε, ω) ∈ (cid:90)+ thỏa

ở đó 0 < β < 1, w = kε và k = 1, 2, 3, . . . . Theo Bổ đề 1.5, ∃ k0 mãn

i , v(t) − v∗)2

∞ (cid:80) i=1

0

0

(h(v)e0 (cid:90) t (cid:90) t β ≤ + 2 ds, 2 log k β |v(s) − v∗|4 2 (v(s) − v∗, h(v(s))dW (s)) |v(s) − v∗|2

(2.18)

(ε, ω). Sử dụng các bất

(ε) ∈ (cid:90)+ : đúng với hầu hết ω ∈ Ω, với mọi 0 ≤ t ≤ kε, k ≥ k0 đẳng thức từ (2.15) đến (2.18), suy ra ∃k1

log |v(t) − v∗|2

0

26

(cid:90) t ) − v∗|2 + (−2ν + ≤ log |v0 2µ2 ν (cid:107)v(s) − v∗(cid:107)2 |v(s) − v∗|2 ds

i , v(t) − v∗)2

∞ (cid:80) i=1

0 t +

(h(v)e0 (cid:90) t − + γ ds 2 log k β |v(s) − v∗|4 4 − β 2

1 t +

0 2µ2 ν

1

0

(cid:90) t + (cid:1)λ − − v∗|2 + (cid:0) − 2ν + ρds, ≤ log |v0 γ 0 λ 2 log k β 4 − β 2

(ε). Từ kết quả trên và điều

hầu chắc chắn, với mọi (k − 1)ε ≤ t ≤ kε, k ≤ k1 kiện (2.13), ta có

1 t −

1

+ (cid:1)λ ρt + − v∗|2 + (cid:0) − 2ν + , log |v(t) − v∗|2 ≤ log |v0 2µ2 ν γ 0 λ 2 log k β 4 − β 2

khi t đủ lớn. Do đó

1

1

1 (cid:1)λ − + log |v(t) − v∗|2 ≤ (cid:0) − 2ν + ρ. 2µ2 ν γ 0 λ t 4 − β 2 lim sup t→∞

Cho β → 0 và áp dụng (2.14), ta nhận được

1

1 (cid:1)λ − 2ρ < 0, hầu chắc chắn. log |v(t) − v∗|2 ≤ (cid:0) − 2ν + + γ 0 2µ2 ν t lim sup t→∞

2.5.2. Ổn định hóa bằng điều khiển phản hồi

Ta nghiên cứu hệ Leray-α 3D ngẫu nhiên có điều khiển sau

0

 d v + [−ν∆v + (u · ∇)v + ∇p − f ]d t = 1(cid:79) X d t + h(v)dW (t), x ∈ (cid:79) , t > 0,

∇ · u = 0, v = (I − α2∆)u, x ∈ (cid:79) , t > 0,

u(x, t) = 0 = v(x, t), x ∈ ∂ (cid:79) , t > 0,

(x), x ∈ (cid:79) ,   u(x, 0) = u0

(2.19)

0 là miền con mở của (cid:79) với biên trơn, 1(cid:79)

0

t

là hàm đặc trưng của (cid:79)

27

ở đó (cid:79) 0 và (cid:9) . Ta cần thiết kế X = X (x, t) điều khiển tương thích với bộ lọc tự nhiên (cid:8)(cid:70) điều khiển phản hồi X = F (v) sao cho nghiệm dừng u∗ của hệ (2.1) là nghiệm ổn định của hệ (2.19), tức là ta đã sử dụng điều khiển phản hồi X = F (v) để ổn định hóa được nghiệm u∗.

Ta định nghĩa các tập hợp

1

(cid:79) = (cid:79) \(cid:79)

1

0, y ∈ (C ∞ 0

((cid:79) = (cid:166) (cid:169) ))3 : ∇ · y = 0 . (cid:86) 1

((cid:79) ))3, tương ứng,

Kí hiệu H1 và V1 là bao đóng của (cid:86) 1 trong (L2((cid:79) ))3 và (H 1 0 1 và (cid:107) · (cid:107) với chuẩn tương ứng là | · | 1.

1. Gọi λ∗

1

1

((cid:79) ) là giá trị riêng đầu Đặt A1 là toán tử Stokes định nghĩa trên (cid:79)

tiên của A1 cho bởi

3 (cid:88)

i

1

(cid:79)

(cid:79)

i=1

1

1

(cid:41) (cid:90) (cid:90) (cid:40) 3 (cid:88) ((cid:79) |∇ϕ ) = inf = 1 |2d x : ϕ ∈ V1, ϕ2 i λ∗ 1

i=1 (cid:166)(A1

1 : |ϕ|2 1

(cid:169) = inf ϕ, ϕ) = 1 .

Trong phương trình đầu tiên của hệ phương trình (2.19), ta quan tâm tới

điều khiển phản hồi có dạng

X = −η(v − v∗), η > 0,

và hệ điều khiển tương ứng

0

(2.20) (v − v∗))d t = P(h(v)dW (t)). d v + [νAv + B(u, v) − f ]d t + ηP(1(cid:79)

Ta nhắc lại kết quả sau.

0

0

= η ((cid:34)) ∈ (cid:82) : Bổ đề 2.1. [12] Với mỗi (cid:34) > 0 cho trước, ∃η

1

0.

0

((cid:79) ) y, y ) − (cid:34))| y|2, ∀ y ∈ V, ∀η ≥ η (cid:172)νAy + ηP(1(cid:79) (cid:182) ≥ (νλ∗ 1

1

Định lí 2.6. Nếu µ2 + ν > (2.21) , ν ) γ 0 λ∗ ((cid:79) 1

0 đủ lớn nhưng độc lập với v0 thì nghiệm u của hệ

∈ H và η ≥ η

và với mỗi v0 (2.20) với nghiệm ban đầu u(0) = u0 thỏa mãn

0

28

(cid:90) +∞ (2.22) eγt(cid:69)|v(t) − v∗|2 + − v∗|2, eγs(cid:69)|v(t) − v∗|2ds ≤ C(cid:69)|v0

và

(2.23) eγt(|v(t) − v∗|2) = 0, (cid:80)-hầu chắc chắn, lim t→∞

0.

với γ > 0 và C > 0. Đặc biệt, hệ (2.19) là ổn định hóa được bằng điều khiển có giá bên trong miền (cid:79)

Chứng minh. Ta xét hệ

0

d v + (νA(v − v∗) + B(u, v) − B(u∗ (v − v∗))d t = P(h(v)dW (t)). , v∗))d t + ηP(1(cid:79)

Áp dụng công thức Itô cho hàm eγt|v(t) − v∗|2, ta được

eγt|v(t) − v∗|2

0

(cid:90) t γeγs|v(s) − v∗|2ds =|v(0) − v∗|2 +

(K0,H)ds

0

0 (cid:90) t

(cid:90) t (cid:90) t eγs(cid:107)v(s) − v∗(cid:107)2ds + − 2ν eγs(cid:107)h(v(s))(cid:107)2 L2

0

0

(cid:172) ds − 2η (v(s) − v∗)), v(s) − v∗(cid:182) P(1(cid:79)

0

0

(cid:90) t (cid:90) t eγs b(u(s) − u∗ eγs(v(s) − v∗ − 2 , v∗ , v(s) − v∗)ds + 2 , h(v(s))dW (s)),

tương đương với

0

(cid:90) t 1 1 (2.24) eγt|v(t) − v∗|2 + I(s)ds = |v(0) − v∗|2 + K(t), 2 2

ở đó

(K0,H) −

0

(cid:18) γ 1 |v(s) − v∗|2 ν(cid:107)v(s) − v∗(cid:107)2 − I(s) :=eγs (cid:107)h(v(s))(cid:107)2 L2 2 2 (cid:19) + η (cid:172) (v(s) − v∗)), v(s) − v∗(cid:182) + b(u(s) − u∗ , v∗ , v(s) − v∗) , P(1(cid:79)

0

(cid:90) t eγs(v(s) − v∗ K(t) := , h(v(s))dW (s)), t ≥ 0.

Tính toán tương tự (2.11), ta có

29

µ2 γ + γ 0 (ν − )(cid:107)v(s) − v∗(cid:107)2 − ( )|v(s) − v∗|2 I(t) ≥eγs ν (cid:18) 1 2 2

0

(cid:184) µ2 (ν − + )A(v(s) − v∗), v(s) − v∗ ν (cid:174)1 2 (cid:19) + η (cid:172) (v(s) − v∗)), v(s) − v∗(cid:182) . P(1(cid:79)

0 := η

0

Áp dụng Bổ đề 2.1, với (cid:34) > 0 đủ nhỏ, tồn tại η (ε) :

0

1

0.

(cid:29) µ2 (ν − (v(s) − v∗)), v(s) − v∗ )A(v(s) − v∗) + ηP(1(cid:79) (cid:28)1 2 ν µ2 1 ≥ ((cid:79) ((ν − ) − ε)|v(s) − v∗|2, ∀η ≥ η )λ∗ 1 ν 2

Như vậy

1

(cid:140) µ2 γ + γ 0 (ν − ((cid:79) ) − ε − (2.25) I(s) ≥ eγs |v(s) − v∗|2. )λ∗ 1 ν (cid:130)1 2 2

0,

Từ (2.25),và (2.21), bằng cách chọn ε, γ đủ nhỏ, ta có với ε

0eγt|v(t) − v∗|2, ∀t > 0, (cid:80)-hầu chắc chắn.

I(t) ≥ ε

Từ (2.24), ta có

0

0

(cid:90) t 1 1 eγs(cid:69)|v(s) − v∗|2ds ≤ |v(0) − v∗|2, ∀t > 0. eγt(cid:69)|v(t) − v∗|2 + ε 0 2 2

Do t (cid:55)→ (cid:82) t I(s)ds := M (t) là quá trình ngẫu nhiên không giảm (hầu chắc chắn), eγt|v(t) − v∗|2 là semi-martigale không âm và t (cid:55)→ K(t) là martingale

địa phương liên tục, áp dụng Định lí 7 trang 139 trong [50] ta suy ra rằng

(eγt|v(s) − v∗|2) < ∞, (cid:80)-hầu chắc chắn lim t→+∞

và

M (t) = M (∞) < ∞, lim t→+∞

Các điều trên kết hợp với với (2.24) suy ra (2.22) và (2.23).

Chú ý 2.1. Điều kiện (2.21) được biến đổi thành

1

30

((cid:79) ) > . λ∗ 1 γ 0 ν − µ2 ν

Theo bất đẳng thức Poincaré, ta có

1

(cid:140)−2 (cid:130) ((cid:79) ) ≥ C dist(x, ∂ (cid:79) ) . λ∗ 1 sup x∈(cid:79) 1

1

1

0

((cid:79) = (cid:79) \(cid:79) ) có thể làm cho đủ lớn tùy ý miễn là miền vành khăn (cid:79) Từ đây λ∗ 1

đủ "mỏng". Như vậy, Định lí 2.6 nói rằng sự ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhiên

trong hệ (2.19) có thể được bù bởi điều khiển phản hồi với giá đủ lớn.

Kết luận Chương 2. Trong chương này, ta nghiên cứu hệ Leray-α 3D ngẫu

nhiên. Các kết quả đạt được là

• Chỉ ra tính đặt đúng của hệ ngẫu nhiên (Xem Định lí 2.1) và của hệ tất

định (Xem Định lí 2.2).

• Khẳng định được tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ mũ và

hầu chắc chắn theo tốc độ mũ của nghiệm dừng (Xem Định lí 2.3, Định

lí 2.4).

• Nếu nghiệm dừng là không ổn định, chỉ ra có thể ổn định hóa được nó

bằng điều kiện về cường độ của nhiễu (Xem Định lí 2.5) hoặc bằng cách

31

thiết kế một điều khiển phản hồi (Xem Định lí 2.6).

Chương 3

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA HỆ N-S-V BA CHIỀU

NGẪU NHIÊN CÓ TRỄ VÔ HẠN

Trong chương này, chúng ta nghiên cứu N-S-V 3D ngẫu nhiên có trễ vô hạn.

Trước hết, chúng tôi khẳng định được sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm dừng

của phương trình tất định. Sau đó, chúng tôi khảo sát tính ổn định bình phương

trung bình địa phương của nghiệm dừng đối với trễ vô hạn tổng quát. Trong

trường hợp trễ phân phối, chứng minh được tính ổn định bình phương trung

bình theo tốc độ mũ và hội tụ hầu chắc chắn theo tốc độ mũ. Trong trường hợp

trễ tỉ lệ, chứng minh được tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ đa

thức và tính ổn định hầu chắc chắn theo tốc độ đa thức. Chương này được viết

dựa theo công trình [CT2].

3.1. Đặt bài toán

Cho (cid:79) ⊂ (cid:82)3 là miền bị chặn với biên ∂ (cid:79) đủ trơn. Xét hệ phương trình N-S-V

3D ngẫu nhiên với trễ vô hạn có dạng

 d(u − α2∆u) + (cid:2)−ν∆u + (u · ∇)u + ∇p(cid:3) d t

)dW, (0 + ∞) × (cid:79) , (t, ut (t, ut = (cid:2) f + g1 )(cid:3) d t + g2

(3.1) ∇ · u = 0, (0 + ∞) × (cid:79) ,

u = 0 (0, +∞) × ∂ (cid:79) ,

  u(s, x) = φ(s, x) (−∞, 0] × (cid:79) ,

ở đó u = u(t, x) là vectơ vận tốc cần tìm, ut là hàm được định nghĩa như sau (s) = u(t + s), s ∈ (−∞, 0], p là áp suất chưa biết, ν > 0 là hằng số nhớt, ut α > 0 là tham số đặc trưng cho tính đàn hồi của chất lỏng, f là hàm ngoại lực đã cho, g1, g2 là các số hạng chứa trễ, φ là trường vectơ ban đầu được xác định trên (−∞, 0] và {W (t) : t ≥ 0} là quá trình ngẫu nhiên Wiener.

32

Để thuận tiện, ta nêu lại bất đẳng thức Poincaré

1

(3.2) (cid:107)m(cid:107)2 ≥ λ |m|2, ∀m ∈ V.

Hơn nữa:

(3.3) (cid:128)|m|2 + α2(cid:107)m(cid:107)2(cid:138) , (cid:107)m(cid:107)2 ≥ d0

ở đó

1

= (3.4) . d0 λ 1 1 + α2λ

Theo [53], ta chọn không gian pha để xử lý độ trễ vô hạn. Không gian Banach

(cid:167) (cid:170) eγsm(s) tồn tại trong V m ∈ C((−∞, 0]; V ) : , ở đó γ > 0, Cγ(V ) = lim s→−∞

gọi là không gian pha và chuẩn được xác định:

Cγ(V ) = sup

s∈(−∞,0]

(cid:107)m(cid:107) eγs(cid:107)m(s)(cid:107).

Các giả thiết cho ngoại lực (không chứa trễ) và số hạng chứa trễ:

(F) f ∈ V (cid:48); φ ∈ Cγ(V ).

(G) Cho g1 : (cid:82) × Cγ(V ) → V (cid:48) và g2 : (cid:82) × Cγ(V ) → L2(K0, H) thỏa mãn:

(·, η) là đo được, i = 1, 2, ∀η ∈ Cγ(V ); (G1) gi

> 0 : (G2) Tồn tại L g1

Cγ(V ), ∀t ∈ (cid:82), ∀η, ξ ∈ Cγ(V );

V (cid:48) ≤ L g1

(cid:107)η − ξ(cid:107) (t, ξ)(cid:107) (cid:107)g1 (t, η) − g1

> 0 : (G3) Tồn tại L g2

Cγ(V ), ∀t ∈ (cid:82), ∀η, ξ ∈ Cγ(V ).

L2(K0,H) ≤ L g2

(cid:107)η−ξ(cid:107) (t, ξ)(cid:107) (cid:107)g2 (t, η)−g2

Sau đây, ta đưa ra hai ví dụ cho các hàm chứa trễ gi, i = 1, 2.

Ví dụ 1 (Trễ biến thiên không bị chặn). Xét gi, (i = 1, 2) được cho như sau

33

(3.5) (ζ(−h(t))), i = 1, 2, gi (t, ζ) = Gi

ở đó G1 : V → V (cid:48), G2 : V → L2(K0, H), là các hàm liên tục Lipschitz, nghĩa là

V (cid:48) ≤ LG1

(ξ)(cid:107) (3.6) (cid:107)η − ξ(cid:107), (cid:107)G1 (η) − G1

L2(K0,H) ≤ LG2

(ξ)(cid:107) (3.7) (cid:107)η − ξ(cid:107), (cid:107)G2 (η) − G2

và h ∈ C 1([0, ∞)), h(t) ≥ 0 và h∗ = supt≥0 h(cid:48)(t) < 1. Khi đó, phần chứa trễ (u(t − h(t))). Ta kiểm tra được các hàm nêu ra thỏa mãn các điều gi ) = Gi (t, ut

kiện (G1), (G2) và (G3).

(i = 1, 2) được gọi là trễ tỉ lệ. Đặc biệt khi h(t) = (1 − q)t, 0 < q < 1, thì gi

Ví dụ 2 (Trễ phân phối). Xét gi, (i = 1, 2) được cho như sau

−∞

(cid:90) 0 (3.8) (t, ζ) = (s, ζ(s))ds, gi Ti

ở đó T1 : (−∞, 0] × V → V (cid:48) và T2 : (−∞, 0] × V → L2(K0, H) là các hàm đo được và chúng là các hàm liên tục Lipschitz theo biến thứ hai, tức là, tồn tại (·)e−(γ+ρ)· ∈ L2(−∞, 0), với ρ > 0 (·) ∈ L2(−∞, 0), (i = 1, 2) và LTi

các số LTi nào đó, sao cho với mọi s ∈ (−∞, 0] và η, ξ ∈ V,

(3.9) (s, ξ)(cid:107) (s)(cid:107)η − ξ(cid:107),

V (cid:48) ≤ LT1 L2(K0,H) ≤ LT2

(3.10) (s, η) − T1 (s, ξ)(cid:107) (s)(cid:107)η − ξ(cid:107). (cid:107)T1 (s, η) − T2 (cid:107)T2

Ta kiểm tra được các hàm nêu ra thỏa mãn các điều kiện (G1), (G2) và (G3).

d[u(t) + α2Au(t)] + [νAu(t) + B(u, u)] d t

(3.11) )dW, ∀t > 0, (t, ut (t, ut )(cid:3) d t + g2

Ta viết lại hệ (3.1) dưới dạng toán tử:    = (cid:2) f + g1 s ∈ (−∞, 0]. u(τ + s) = φ(s),

Định nghĩa 3.1. Quá trình ngẫu nhiên u xác định trên (cid:82) được gọi là nghiệm

yếu của hệ phương trình (3.11) nếu

u ∈ L2(Ω, (cid:70) , (cid:80), C([0, T ]; V )), ∀T > 0,

u(s) = φ(s), ∀s ≤ 0 và (cid:80)-hầu chắc chắn

0

0

34

(cid:90) t (cid:90) t (u(t), e) + α2((u(t), e)) + ν 〈Au(s), e〉 ds + 〈B(u(s), u(s)), e〉 ds

0

(cid:90) t =(φ(0), e) + α2((φ(0), e)) + ), e(cid:11) ds (s, us (cid:10) f + g1

0

(cid:90) t + )dW (s), e), với mọi t ≥ 0 và e ∈ V. (s, us (g2

Phương trình tất định tương ứng của phương trình (3.11) là

d (3.12) ). (t, ut (u + α2Au) + νAu + B(u, u) = f + g1 d t

Trước hết, ta định nghĩa nghiệm dừng của hệ phương trình tất định (3.12).

Định nghĩa 3.2. Nghiệm dừng của (3.12) là hàm u∞ ∈ V :

(3.13) (t, u∞), ∀t ≥ 0, νAu∞ + B(u∞, u∞) = f + g1

hoặc

(t, u∞), β(cid:11) , ∀β ∈ V, ∀t ≥ 0. ν (cid:10)Au∞, β(cid:11) + (cid:10)B(u∞, u∞), β(cid:11) = (cid:10) f , β(cid:11) + (cid:10)g1

Chú ý, nếu u∞ ∈ V thì u∞ ∈ Cγ(V ) cho bởi u∞ : (−∞, 0] → V sao cho (t, u∞) với ζ(s) = u∞, ∀s ≤ 0, ∀ζ ∈ (t, ζ) = gi

u∞(s) = u∞, ∀s ≤ 0. Tức là, gi Cγ(V ).

(t, u∞) = 0. Trong chương này, ta luôn giả sử rằng g2

Chứng minh tương tự Định lí 4.1 trong [2] ta có

thì (3.12) có nghiệm

Định lí 3.1. Nếu các giả thiết (F), (G) thỏa mãn và ν > L g1 dừng u∞ thỏa mãn

(3.14) . (cid:107)u∞(cid:107) ≤ (cid:107) f (cid:107)∗ ν − L g1

Hơn nữa nếu

4 (cid:107) f (cid:107)∗,

λ− 1 (3.15) (cid:138)2 > C1 (cid:128)ν − L g1

ở đó C1 là hằng số tốt nhất trong (1.2) và (cid:107) f (cid:107)∗ là chuẩn của f trong không gian V (cid:48), thì nghiệm dừng u∞ là duy nhất.

Khảo sát sự ổn định của nghiệm dừng u∞ của phương trình tất định (3.12),

35

khi giả thiết nó cũng là nghiệm của hệ ngẫu nhiên (3.11) là mục đích của

chương này. Do đó ta giả thiết rằng với mọi φ ∈ Cγ(V ), hệ (3.11) có duy nhất nghiệm yếu u(t). Để chỉ ra các kết quả của chương này, ta vận dụng cách tiếp

cận và các kĩ thuật đánh giá trong bài báo gần đây của T. Caraballo và cộng sự

(xem [62]).

3.2. Tính ổn định bình phương trung bình địa phương

Trong mục này ta nghiên cứu tính ổn định bình phương trung bình địa

phương của nghiệm dừng của phương trình (3.12) với số hạng chứa trễ tổng

quát, sau đó ta đưa ra các kết quả cụ thể cho các trường hợp trễ đặc biệt.

> 0 (i = 1, 2) : Định lí 3.2. Giả sử các giả thiết (F) và (G) thỏa mãn. Giả sử ∃Cgi

V (cid:48) ds ≤ C 2 g1

−∞

0

(cid:90) t (cid:90) t )(cid:107)2 (cid:107)u(s) − v(s)(cid:107)2ds, ∀t ≥ 0, (3.16) (s, us (s, vs (cid:107)g1 ) − g1

g2

L2(K0,H)ds ≤ C 2

−∞

0

(cid:90) t (cid:90) t )(cid:107)2 (cid:107)u(s) − v(s)(cid:107)2ds, ∀t ≥ 0, (3.17) (s, us (s, vs (cid:107)g2 ) − g2

− 1 4

và

1

(cid:107) f (cid:107)∗ 2C1 (3.18) . 2ν ≥ + 2Cg1 + C 2 g2 λ ν − L g1

Lúc đó với mọi nghiệm u(t) của (3.11) và u∞ của (3.12), ta có

(cid:69) (cid:128)|u(t) − u∞|2 + α2(cid:107)u(t) − u∞(cid:107)2(cid:138) ≤ (cid:69) (cid:128)|φ(0) − u∞|2 + α2(cid:107)φ(0) − u∞(cid:107)2(cid:138)

−∞

(cid:17) (cid:90) 0 + (cid:16) (cid:69)(cid:107)φ(s) − u∞(cid:107)2ds. Cg1 + C 2 g2

(3.19)

Chứng minh. Gọi m(t) = u(t) − u∞ thì m(t) thỏa mãn

dm = (I + α2A)−1 (cid:2)−νAm(t) − B(u(t), u(t)) + B(u∞, u∞)(cid:3) d t

(3.20) (t, u∞)dW (t). (t, ut (t, ut + (I + α2A)−1(g1 ) − g1 (t, u∞) + g2 ) − g2

Áp dụng công thức Itô cho hàm |m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2, ta có

36

|m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2 = |m(0)|2 + α2(cid:107)m(0)(cid:107)2

0 (cid:90) t

(cid:90) t + 2 (cid:10)−νAm(s) − B(u(s), u(s)) + B(u∞, u∞), m(s)(cid:11) ds

0 (cid:90) t

+ 2 (s, u∞), m(s)(cid:11) ds (s, us (cid:10)g1 ) − g1

0

+ 2 (s, u∞))dW (s), m(s)) (s, us ((g2 ) − g2

L2(K0,H)ds.

0

(cid:90) t + (3.21) (s, u∞)(cid:107)2 (s, us (cid:107)(g2 ) − g2

Từ (3.21) và theo định lí Fubini, ta suy ra

0

(cid:90) t (cid:69)(cid:107)m(s)(cid:107)2ds (cid:69) (cid:128)|m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2(cid:138) + 2ν

0

(cid:90) t = (cid:69) (cid:128)|l(0)|2 + α2(cid:107)l(0)(cid:107)2(cid:138) − 2 (cid:69) (cid:10)B(u(s), u(s)) − B(u∞, u∞), m(s)(cid:11) ds

0

(cid:90) t + 2(cid:69) (s, u∞), m(s)(cid:11) ds (s, us (cid:10)g1 ) − g1

L2(K0,H)ds.

0

(cid:90) t + (3.22) (s, u∞)(cid:107)2 (s, us (cid:69)(cid:107)(g2 ) − g2

Do (1.2) và (3.14) ta có

− 1 4

(cid:11) − (cid:10)B(u(s), u(s)) − B(u∞, u∞), m(s)(cid:11) = (cid:10)B(m(s), m(s)), u∞

1 − 1 4

λ (cid:107)m(s)(cid:107)2 (cid:107)u∞(cid:107) ≤ C1

1

(cid:107) f (cid:107)∗ C1 ≤ (cid:107)m(s)(cid:107)2. λ ν − L g1

Vì vậy,

0

− 1 4

(cid:90) t − 2 (cid:69) (cid:0)(cid:10)B(u(s), u(s)) − B(u∞, u∞), m(s)(cid:11)(cid:1) ds

1

0

(cid:90) t (cid:107) f (cid:107)∗ 2C1 ≤ (3.23) (cid:69)(cid:107)m(s)(cid:107)2ds. λ ν − L g1

0 sẽ được chọn thích hợp sau, ta có

Ta sẽ đánh giá lần lượt hai số hạng cuối của (3.22). Sử dụng điều kiện (3.16) và bất đẳng thức Young, với hằng số (cid:34)

0

37

(cid:90) t 2(cid:69) (s, u∞), m(s)(cid:11) ds (s, us (cid:10)g1 ) − g1

V (cid:48) (cid:107)m(s)(cid:107))ds

0 (cid:90) t

(cid:90) t ≤ 2 (s, u∞)(cid:107) (s, us (cid:69)((cid:107)g1 ) − g1

0C 2 g1

0 (cid:90) t

−∞ (cid:32)(cid:90) 0

0C 2 g1

−∞

0

0

(cid:90) t ≤ (cid:69)(cid:107)m(s)(cid:107)2ds + (cid:34) (cid:69)(cid:107)m(s)(cid:107)2ds 1 (cid:34) 0 (cid:33) (cid:90) t ≤ (cid:69)(cid:107)m(s)(cid:107)2ds + (cid:34) (cid:69)(cid:107)m(s)(cid:107)2ds . (cid:69)(cid:107)φ(s) − u∞(cid:107)2ds + 1 (cid:34) 0

Mặt khác, do giả thiết (3.17), ta suy ra

L2(K0,H)

0

(cid:90) t (cid:17) ds (s, u∞)(cid:107)2 (s, us ) − g2

−∞

0

(cid:33) (cid:69) (cid:16)(cid:107)(g2 (cid:32)(cid:90) 0 (cid:90) t (cid:69)(cid:107)m(s)(cid:107)2 . (cid:69)(cid:107)φ(s) − u∞(cid:107)2ds + ≤ C 2 g2

Từ tất cả các bất đẳng thức trên, ta có

(cid:69) (cid:128)|m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2(cid:138)

0C 2 g1

(cid:17) (cid:90) 0 ≤ (cid:69) (cid:128)|l(0)|2 + α2(cid:107)l(0)(cid:107)2(cid:138) + (cid:16)(cid:34) (cid:69)(cid:107)φ(s) − u∞(cid:107)2ds + C 2 g2

−∞ 

− 1 4

1

0C 2 g1

0

 (cid:90) t (cid:107) f (cid:107)∗ 2C1 + + + (cid:34) (3.24) − 2ν (cid:69)(cid:107)m(s)(cid:107)2ds. + C 2 g2     1 (cid:34) 0 λ ν − L g1

0C 2 g1

+ (cid:34) = C −1 g1 . Do giả thiết (3.18), ta suy ra đạt giá trị nhỏ nhất là 2Cg1 Để giá trị của vế phải của bất đẳng thức (3.24) là nhỏ nhất, ta chọn (cid:34) 0 sao cho 1 (cid:34) 0 được bất đẳng thức (3.19).

Sau đây ta đưa ra hai hệ quả cho định lí trên tương ứng với trễ biến thiên

không bị chặn và với trễ phân phối.

Hệ quả 3.1. Giả sử các giả thiết (F) và (G) thỏa mãn. Số hạng chứa trễ biến (u(t − h(t))), (i = 1, 2) thỏa mãn (3.6) và (t, ut ) = Gi

− 1 4

thiên không bị chặn gi (3.7). Ta giả sử rằng

1

(cid:107) f (cid:107)∗ 2C1 + + (3.25) 2ν ≥ 2LG1(cid:112) 1 − h∗

L2 λ G2 1 − h∗ . ν − L g1 Khi đó với mọi nghiệm u(t) của (3.11) và u∞ là của (3.12):

38

(cid:69) (cid:128)|u(t) − u∞|2 + α2(cid:107)u(t) − u∞(cid:107)2(cid:138)

−∞

(cid:32) (cid:33) (cid:90) 0 + + (3.26) (cid:69)(cid:107)φ(s) − u∞(cid:107)2ds. ≤ (cid:69) (cid:128)|φ(0) − u∞|2 + α2(cid:107)φ(0) − u∞(cid:107)2(cid:138) L2 G2 1 − h∗ LG1(cid:112) 1 − h∗

1−h(cid:48)(s) d¯h ≤ 1

1−h∗ d¯h. Khi đó,

Chứng minh. Đặt ¯h = s − h(s), ta suy ra rằng ds = 1

do (3.6) ta có

V (cid:48) ds =

V (cid:48) ds

0

0

(cid:90) t (cid:90) t )(cid:107)2 (v(s − h(s)))(cid:107)2 (s, us (s, vs (cid:107)g1 ) − g1 (cid:107)G1 (u(s − h(s))) − G1

0

(cid:90) t (cid:107)u(s − h(s)) − v(s − h(s))(cid:107)2ds ≤ L2 G1

−∞

(cid:90) t ≤ (cid:107)u(¯h) − v(¯h)(cid:107)2d¯h

−∞

1−h∗ . Một cách

(cid:90) t ≤ (3.27) (cid:107)u(s) − v(s)(cid:107)2ds. L2 G1 1 − h∗ L2 G1 1 − h∗

= LG2(cid:112) Vì thế, từ (3.27) ta suy ra (3.16) được thỏa mãn với Cg1 tương tự, điều kiện (3.17) cũng thỏa mãn với Cg2 = LG1(cid:112) 1−h∗ > 0. Đặt

+ , = 2Cg1 + C 2 g2 L2 G2 (1 − h∗) 2LG1(cid:112) 1 − h∗

khi đó, điều kiện (3.25) cũng thỏa mãn (3.18) và (3.15). Do các giả thiết của

Định lí 3.1 và Định lí 3.2 thỏa mãn ta thu được (3.26).

−∞ Ti

) = (cid:82) 0 Hệ quả 3.2. Giả sử các giả thiết (F) và (G) thỏa mãn. Số hạng chứa trễ phân (s, u(s + t))ds, (i = 1, 2) thỏa mãn (3.9) và (3.10). Giả (t, ut

− 1 4

phối gi sử rằng

1

L2(−∞,0) + (cid:107)LT2

(cid:107) f (cid:107)∗ 2c0 (cid:107) (3.28) 2ν ≥ + 2(cid:107)LT1 (cid:107)2 L2(−∞,0). λ ν − L g1

Khi đó với mọi nghiệm u(t) của (3.11) và u∞ là nghiệm (3.12):

L2(−∞,0) + (cid:107)LT2

L2(−∞,0)

−∞

39

(cid:69) (cid:128)|u(t) − u∞|2 + α2(cid:107)u(t) − u∞(cid:107)2(cid:138) ≤ (cid:69) (cid:128)|φ(0) − u∞|2 + α2(cid:107)φ(0) − u∞(cid:107)2(cid:138) (cid:19) (cid:90) 0 (cid:18) (cid:107) (cid:107)2 + (3.29) (cid:69)(cid:107)φ(s) − u∞(cid:107)2ds. (cid:107)LT1

(cid:107) = (cid:107)LTi

Chứng minh. Theo các điều kiện (3.9)-(3.10) suy ra tồn tại các hằng số dương L2(−∞,0) (i = 1, 2) sao cho (3.16) và (3.17) thỏa mãn và khi đó từ Cgi điều kiện (3.28) suy ra điều kiện (3.15) và (3.18) thỏa mãn. Do đó Định lí 3.1

và Định lí 3.2 thỏa mãn nên ta thu được (3.29).

3.3. Tính ổn định mũ của nghiệm dừng trong trường

hợp trễ phân phối

3.3.1. Tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ mũ

Trong trường hợp có trễ phân phối, ta không những khẳng định được tính

ổn định địa phương của nghiệm dừng (Xem Hệ quả 3.1) mà ta có thể chỉ ra

được tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ mũ (Xem Định lí 3.3)

và hầu chắc chắn theo tốc độ mũ (Xem Định lí 3.4).

−∞ Ti

) = (cid:82) 0 Định lí 3.3. Giả sử các giả thiết như Định lí 3.1 và Định lí 3.2 thỏa mãn. Giả (s, u(t + s))ds, i = 1, 2 đáp ứng điều kiện (t, ut

− 1 4

sử số hạng chứa trễ gi (3.9)-(3.10) và có hằng số 0 < ρ < 2γ :

1

L2(−∞,0)

2 (cid:107)LT1

(cid:107) f (cid:107)∗ 2c0 (·)e−(γ+ρ)·(cid:107) 2ν ≥ + 2(2ρ)− 1

L2(−∞,0).

+ (3.30) (·)e−(γ+ρ)·(cid:107)2 (cid:107)LT2 λ ν − L g1 ρ 1 + 2ρ d0

Lúc đó với mọi nghiệm u(t) của (3.11) và u∞ của (3.12), ta có

Cγ(V ),

(3.31) (cid:69) (cid:128)|u(t) − u∞|2 + α2(cid:107)u(t) − u∞(cid:107)2(cid:138) ≤ e−ρtC(cid:69)(cid:107)φ − u∞(cid:107)2

Cγ(V ) ≤ e−ρt max{1, C}(cid:69)(cid:107)φ − u∞(cid:107)2

Cγ(V ),

(3.32) − u∞(cid:107)2 (cid:69)(cid:107)ut

với

L2(−∞,0)

C =d −1 0

2 (cid:107)LT1 (cid:19)

(cid:18) + (·)e−(γ+ρ)·(cid:107) (2ρ) 1 1 2ρ(2γ − ρ)

L2(−∞,0)

(·)e−(γ+ρ)·(cid:107)2 , + (cid:107)LT2

40

ở đó d0 được định nghĩa trong (3.4).

Chứng minh. Gọi m(t) = u(t) − u∞. Theo công thức Itô cho hàm

eρt (cid:128)|m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2(cid:138) ,

với ρ ∈ (0, 2γ), ta có

eρt (cid:128)|m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2(cid:138)

0

(cid:90) t ds eρs (cid:128)|m(s)|2 + α2(cid:107)m(s)(cid:107)2(cid:138) = |m(0)|2 + α2(cid:107)m(0)(cid:107)2 + ρ

0 (cid:90) t

(cid:90) t + 2 eρs (cid:10)−νAm(s) − B(u(s), u(s)) + B(u∞, u∞), m(s)(cid:11) ds

0 (cid:90) t

−∞ (cid:18) (cid:90) 0

(cid:28) (cid:90) 0 (cid:29) eρs ds + 2 (r, u∞))d r, m(s) (T1 (r, u(s + r)) − T1

−∞

0

(cid:19) eρs dW (s) + 2 (r, u∞))d r, m(s) (T2 (r, u(s + r)) − T2

−∞

0

L2(K0,H)

(cid:90) t (cid:90) 0 + (3.33) eρs ds. (r, u∞))d r (T2 (r, u(s + r)) − T2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

Áp dụng (3.3), ta có

(cid:69) (cid:128)|m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2(cid:138)

0

0 (cid:90) t

(cid:90) t (cid:90) t ≤ (cid:69) (cid:128)|φ − u∞|2 + α2(cid:107)φ − u∞(cid:107)2(cid:138) ρ (cid:69) (cid:128) (cid:69) (cid:128) eρs(cid:107)m(s)(cid:107)2(cid:138) ds + eρs(cid:107)m(s)(cid:107)2(cid:138) ds − 2ν d0

0 (cid:90) t

− 2 (cid:69) (cid:0)eρs (cid:10)B(u(s), u(s)) − B(u∞, u∞), m(s)(cid:11)(cid:1) ds

−∞

0 (cid:90) t

(cid:29) (cid:28) (cid:90) 0 eρs ds + 2(cid:69) (r, u∞))d r, m(s) (T1 (r, u(s + r)) − T1

−∞

0

L2(K0,H)

(cid:90) 0 + (cid:69) (3.34) eρs ds. (r, u∞))d r (T2 (r, u(s + r)) − T2 (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

Do (3.23), ta thu được

0 − 1 4

(cid:90) t − 2 (cid:69) (cid:0)eρs (cid:10)B(u(s), u(s)) − B(u∞, u∞), m(s)(cid:11)(cid:1) ds

1

0

41

(cid:90) t (cid:107) f (cid:107)∗ 2c0 (cid:69) (cid:128) ≤ (3.35) eρs(cid:107)m(s)(cid:107)2(cid:138) ds. λ ν − L g1

> 0 được chọn sau, ta có Từ (3.9) và bất đẳng thức Young với tham số (cid:34) 1

0 (cid:90) t

−∞ (cid:18) (cid:90) 0

(cid:90) t (cid:28) (cid:90) 0 (cid:29) eρs ds 2(cid:69) (r, u∞))d r, m(s) (T1 (r, u(s + r)) − T1

(cid:19) eρs (r)(cid:107)m(s + r)(cid:107)d r (cid:107)m(s)(cid:107)ds ≤ 2(cid:69) LT1

0 (cid:90) t

−∞ (cid:18) (cid:90) 0

−∞

0

0

(cid:90) t (cid:19)2 (cid:69) (cid:69) eρs (r)(cid:107)m(s + r)(cid:107)d r ds + eρs(cid:107)m(s)(cid:107)2ds. (3.36) ≤ (cid:34) 1 LT1 1 (cid:34) 1

Vận dụng bất đẳng thức H¨older, ta có

0

(cid:90) t (cid:18) (cid:90) 0 (cid:19)2 (cid:69) eρs (r)(cid:107)m(s + r)(cid:107)d r ds LT1

−∞ (cid:18) (cid:90) 0

Cγ(V )d r

−∞

(cid:90) t (cid:19)2 ≤ (cid:69) (cid:107) eρs ds (r) e−γr (cid:107)ws LT1

0 (cid:32)(cid:90) t

Cγ(V )

−∞

(cid:33) (cid:19)2 (cid:18) (cid:90) 0 (cid:107)2 ≤ (cid:69) (r) e−(γ+ρ)r eρr d r ds eρs(cid:107)ws LT1

0 (cid:18) (cid:90) t

Cγ(V )

−∞

0

(cid:90) 0 (cid:18) (cid:90) 0 (cid:19) (cid:19) ≤ (cid:69) (cid:107)2 (r) e−2(γ+ρ)r d r e2ρr d r ds eρs(cid:107)ws L2 T1

−∞ (cid:19)

L2(−∞,0)

0

(cid:18) (cid:90) t ≤ (cid:69) (3.37) (·)e−(γ+ρ)·(cid:107)2 . eρs(cid:107)ws (cid:107)LT1 (cid:107)2 Cγ(V )ds 1 2ρ

Sử dụng định nghĩa của Cγ(V ) và ρ − 2γ < 0, ta có

(cid:18) (cid:90) t (cid:19) (cid:69) eρs(cid:107)ws (cid:107)2 Cγ(V )ds

0 (cid:90) t

0 (cid:90) t

(cid:171) (cid:168) ≤ (cid:69) e2γϑ(cid:107)m(s + ϑ)(cid:107)2 ds eρs max e2γϑ(cid:107)m(s + ϑ)(cid:107)2, sup ϑ≤−s sup ϑ∈[−s,0]

Cγ(V ) + sup ϑ∈[−s,0]

(cid:18) (cid:19) (cid:166) ≤ (cid:69) e(2γ−ρ)ϑ eρ(s+ϑ)(cid:107)m(s + ϑ)(cid:107)2(cid:169) ds e−(2γ−ρ)s(cid:107)φ − u∞(cid:107)2

Cγ(V ) + (cid:69)

0 1 2γ − ρ

0

(cid:90) t (cid:166) ≤ (3.38) eρr(cid:107)m(r)(cid:107)2(cid:169) ds. (cid:69)(cid:107)φ − u∞(cid:107)2 sup r∈[0,s]

Kết hợp các bất đẳng thức (3.38), (3.37) và (3.36) ta suy ra được

−∞

0

(cid:90) t (cid:28) (cid:90) 0 (cid:29) eρs ds 2(cid:69) (r, u∞))d r, m(s) (T1 (r, u(s + r)) − T1

Cγ(V )

L2(−∞,0)

42

≤ (·)e−(γ+ρ)·(cid:107)2 (cid:69)(cid:107)φ − u∞(cid:107)2 (cid:107)LT1 (cid:34) 1 2ρ(2γ − ρ)

L2(−∞,0)

0

(cid:90) t (cid:19) (cid:166) + + (cid:69) (3.39) eρr(cid:107)m(r)(cid:107)2(cid:169) (·)e−(γ+ρ)·(cid:107)2 ds. (cid:107)LT1 (cid:18) (cid:34) 1 2ρ sup r∈[0,s] 1 (cid:34) 1

2 (cid:107)LT1

L2(−∞,0), khi đó

(·)e−(γ+ρ)·(cid:107)−1 = (2ρ) 1 Ta chọn (cid:34) 1

L2(−∞,0).

2 (cid:107)LT1

L2(−∞,0)

(cid:27) + (·)e−(γ+ρ)·(cid:107)2 (·)e−(γ+ρ)·(cid:107) = 2(2ρ)− 1 (cid:107)LT1 min >0 (cid:34) 1 (cid:26) (cid:34) 1 2ρ 1 (cid:34) 1

Do đó (3.39) trở thành

−∞

0

(cid:90) t (cid:28) (cid:90) 0 (cid:29) eρs ds 2(cid:69) (r, u∞))d r, m(s) (T1 (r, u(s + r)) − T1

L2(−∞,0)(cid:69)(cid:107)φ − u∞(cid:107)2

Cγ(V )

2 (2γ − ρ)

L2(−∞,0)(cid:69)

2 (cid:107)LT1

0

1 ≤ (·)e−(γ+ρ)·(cid:107) (cid:107)LT1 (2ρ) 1 (cid:90) t (cid:166) (3.40) (·)e−(γ+ρ)·(cid:107) eρr(cid:107)m(r)(cid:107)2(cid:169) + 2(2ρ)− 1 ds. sup r∈[0,s]

Sử dụng (3.10) và lập luận tương tự trong (3.37)-(3.38), ta có

−∞

0

L2(K0,H)

(cid:90) 0 (cid:90) t (cid:69) eρs ds (r, u∞))d r (T2 (r, u(s + r)) − T2 (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

−∞

0

(cid:90) t (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:18) (cid:90) 0 (cid:19)2 ≤ (cid:69) eρs (r)(cid:107)m(s + r)(cid:107)d r ds LT2

Cγ(V )

L2(−∞,0)

L2(−∞,0)

0

≤ (·)e−(γ+ρ)·(cid:107)2 (cid:69)(cid:107)φ − u∞(cid:107)2 (cid:107)LT2 1 2ρ(2γ − ρ) (cid:90) t (cid:166) + (cid:69) (3.41) (·)e−(γ+ρ)·(cid:107)2 eρr(cid:107)m(r)(cid:107)2(cid:169) ds. (cid:107)LT2 1 2ρ sup r∈[0,s]

Kết hợp (3.35), (3.40) và (3.41) vào (3.34), ta có

− 1 4

(cid:69)eρt (cid:128)|m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2(cid:138) ≤ (cid:69) (cid:128)|φ − u∞|2 + α2(cid:107)φ − u∞(cid:107)2(cid:138)

1

L2(−∞,0)

2 (cid:107)LT1

(cid:107) f (cid:107)∗ (cid:18) 2c0 + (·)e−(γ+ρ)·(cid:107) + 2(2ρ)− 1

L2(−∞,0)

0

(cid:19) (cid:90) t ρ (cid:166) + + (·)e−(γ+ρ)·(cid:107)2 eρr(cid:107)m(r)(cid:107)2(cid:169) ds − 2ν (cid:107)LT2 (cid:69) sup r∈[0,s] d0

L2(−∞,0)

+ (cid:128)(2ρ)−1/2(cid:107)LT1 λ ν − L g1 1 2ρ 1 2ρ(2γ − ρ)

Cγ(V ).

L2(−∞,0)

43

(3.42) (·)e−(γ+ρ)·(cid:107)2 (·)e−(γ+ρ)·(cid:107) (cid:17) (cid:69)(cid:107)φ − u∞(cid:107)2 +(cid:107)LT2

0 E(cid:107)φ −u∞(cid:107)2

Cγ(V ). Khi

Sử dụng (3.3), suy ra (cid:69) (cid:128)|φ − u∞|2 + α2(cid:107)φ − u∞(cid:107)2(cid:138) ≤ d −1 đó (3.42) trở thành

− 1 4

(cid:69)eρt (cid:128)|m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2(cid:138)

1

L2(−∞,0)

2 (cid:107)LT1

0 E(cid:107)φ − u∞(cid:107)2

Cγ(V ) +

L2(−∞,0)

0

(cid:107) f (cid:107)∗ (cid:18) 2c0 ≤ d −1 (·)e−(γ+ρ)·(cid:107) + 2(2ρ)− 1 λ ν − L g1 (cid:19) (cid:90) t ρ (cid:166) + + ds eρr(cid:107)m(r)(cid:107)2(cid:169) (·)e−(γ+ρ)·(cid:107)2 − 2ν (cid:107)LT2 (cid:69) sup r∈[0,s] d0

L2(−∞,0)

+ (cid:128)(2ρ)−1/2(cid:107)LT1 1 2ρ 1 2ρ(2γ − ρ)

Cγ(V ).

L2(−∞,0)

(·)e−(γ+ρ)·(cid:107)2 (·)e−(γ+ρ)·(cid:107) (cid:17) (cid:69)(cid:107)φ − u∞(cid:107)2 +(cid:107)LT2

Như vậy, áp dụng điều kiện (3.30) ta thu được (3.31) từ bất đẳng thức trên.

Từ (3.31) và 0 < ρ < 2γ, suy ra e(2γ−ρ)ϑ ≤ 1 ở đó ϑ ≤ 0, ta nhận thấy với

mọi t ≥ 0 thì

Cγ(V ) = (cid:69) sup (cid:107)2 ϑ≤0

e2γϑ(cid:107)m(t + ϑ)(cid:107)2 (cid:69)(cid:107)wt

Cγ(V ),

Cγ(V ), e−ρtC(cid:69)(cid:107)φ − u∞(cid:107)2

Cγ(V )

(cid:171) (cid:168) e2γϑ(cid:107)m(t + ϑ)(cid:107)2 = (cid:69) max e2γϑ(cid:107)φ(t + ϑ) − u∞(cid:107)2, sup ϑ∈(−∞,−t] sup ϑ∈[−t,0] (cid:171) (cid:168) e2γϑ(cid:107)m(t + ϑ)(cid:107)2 = (cid:69) max e−2γt(cid:107)φ − u∞(cid:107)2 sup ϑ∈[−t,0] (cid:26) (cid:27) ≤ max e−ρt(cid:69)(cid:107)φ − u∞(cid:107)2

Cγ(V ).

≤ e−ρt max{1, C}(cid:69)(cid:107)φ − u∞(cid:107)2

3.3.2. Tính ổn định hầu chắc chắn theo tốc độ mũ

Định lí 3.4. Nếu các giả thiết của Định lí 3.1 và Định lí 3.3 thỏa mãn thì mọi nghiệm u(t) của (3.11) hội tụ tới nghiệm dừng u∞ trong V hầu chắc chắn theo

tốc độ mũ.

44

Chứng minh. Xét N ∈ (cid:90)+ tùy ý và xét t ≥ N . Gọi m(t) = u(t) − u∞ thỏa mãn

(3.20), sử dụng công thức Itô cho hàm |m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2, ta có

|m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2

N

(cid:90) t = |m(N )|2 + α2(cid:107)m(N )(cid:107)2 + 2 (cid:10)−νAm(s) − B(u(s), u(s)) + B(u∞, u∞), m(s)(cid:11) ds

N (cid:90) t

−∞ (cid:18) (cid:90) 0

(cid:43) (cid:90) t (cid:42)(cid:90) 0 ds + 2 (r, u∞))d r, m(s) (T1 (r, u(s + r)) − T1

−∞

(cid:19) dW (s) + 2 (r, u∞))d r, m(s) (T2 (r, u(s + r)) − T2

−∞

N

N (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

L2(K0,H)

(cid:90) t (cid:90) 0 + (r, u∞))d r ds. (T2 (r, u(s + r)) − T2 (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

Theo Bổ đề 1.4 và (3.3), ta có

N ≤t≤N +1

−∞

N

 (cid:90) t (cid:18) (cid:90) 0 (cid:19) dW (s) 2(cid:69) (r, u∞))d r, m(s) (T2 (r, u(s + r)) − T2    sup

1 2

−∞

L2(K0,H)

N (cid:20)

  (cid:90) 0 (cid:90) N +1 ds ≤ 8(cid:69) (cid:107)u(s) − u∞(cid:107)2 (r, u∞))d r (T2 (r, u(s + r)) − T2     (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

1 2 0

(cid:69) (cid:128)|m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2(cid:138) ≤ 8d

2

−∞

N

(cid:90) 0 (cid:90) N +1 (cid:21) 1 × ds (r, u∞))d r (T2 (r, u(s + r)) − T2 sup N ≤t≤N +1 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

−∞

N

L2(K0,H) (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

L2(K0,H)

(cid:90) N +1 (cid:90) 0 (cid:69) ds (r, u∞))d r ≤ 32d0 (T2 (r, u(s + r)) − T2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:150) 1 (cid:69) + (cid:153) (cid:128)|m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2(cid:138) . 2 sup N ≤t≤N +1

Do giả thiết (3.10), ta có

−∞

L2(K0,H)

(cid:90) 0 (cid:90) N +1 (cid:69) ds (r, u∞))d r (T2 (r, u(s + r)) − T2 (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

N (cid:90) N +1

−∞ (cid:18) (cid:90) 0

(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) N (cid:90) N +1 (cid:18) (cid:90) 0 (cid:19)2 ≤ (cid:69) (r)(cid:107)m(s + r)(cid:107)d r ds LT2

Cγ(V )d r

−∞

N

45

(cid:19)2 ≤ (cid:69) (cid:107) ds (r) e−γr (cid:107)ws LT2

Cγ(V )

(cid:90) N +1 (cid:18) (cid:90) 0 (cid:19)2 ≤ (cid:69) (cid:107)2 (r) e−(γ+ρ)r eρr d r ds (cid:107)ws LT2

N (cid:90) N +1

−∞ (cid:18) (cid:90) 0

Cγ(V )

−∞

−∞

N

(cid:90) 0 (cid:19) ≤ (cid:69) (cid:107)2 (r) e−2(γ+ρ)r d r e2ρr d r ds (cid:107)ws L2 T2

L2(−∞,0)

N

(cid:90) N +1 ≤ (cid:69) (·)e−(γ+ρ)·(cid:107)2 (cid:107)ws (cid:107)LT2 (cid:107)2 Cγ(V )ds. 1 2ρ

Ta có

−∞

(cid:43) (cid:90) t (cid:42)(cid:90) 0 ds 2(cid:69) sup (r, u∞))d r, m(s) (T1 (r, u(s + r)) − T1

−∞

N ≤t≤N +1 N (cid:12) (cid:42)(cid:90) 0 (cid:90) N +1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:32)(cid:90) 0

N (cid:90) N +1

ds ≤ 2(cid:69) (r, u∞))d r, m(s) (T1 (r, u(s + r)) − T1 (cid:43)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:33)

(r)(cid:107)m(s + r)(cid:107)d r (cid:107)m(s)(cid:107)ds ≤ 2(cid:69) LT1

N (cid:90) N +1

−∞ (cid:32)(cid:90) 0

Cγ(V )(cid:107)m(s)(cid:107)ds

−∞

(cid:33) (cid:107) (r)e−(γ+ρ)r eρr d r ≤ 2(cid:69) (cid:107)ws LT1

2

2 (cid:32)(cid:90) 0

N (cid:32)(cid:90) 0

−∞

−∞

N

(cid:33) 1 (cid:33) 1 (cid:90) N +1 (cid:69) e2ρr d r (r)e−2(γ+ρ)r d r ≤ 2 (cid:107)ws (cid:107)2 Cγ(V )ds L2 T1

L2(−∞,0)(cid:69)

N

(cid:90) N +1 (·)e−(γ+ρ)·(cid:107) (cid:107)ws ≤ 2(2ρ)−1/2(cid:107)LT1 (cid:107)2 Cγ(V )ds.

Lập luận tương tự như (3.23), ta có

(cid:130) (cid:140) (cid:90) t −2 (cid:69) (cid:0)(cid:10)B(u(s), u(s)) − B(u∞, u∞), m(s)(cid:11)(cid:1) ds

− 1 4

N (cid:90) N +1

1

1

N

N

sup N ≤t≤N +1 − 1 4 (cid:90) N +1 (cid:107) f (cid:107)∗ (cid:107) f (cid:107)∗ 2c0 2c0 ≤ (cid:69)(cid:107)m(s)(cid:107)2ds ≤ (cid:69)(cid:107)ws (cid:107)2 Cγ(V )ds. λ ν − L g1 λ ν − L g1

Từ các ước lượng ở trên và (3.32), ta có

N ≤t≤N +1

1 (cid:128)|m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2(cid:138) (cid:69) sup 2

≤ (cid:69) (cid:128)|m(N )|2 + α2(cid:107)m(N )(cid:107)2(cid:138)

− 1 4

1

L2(−∞,0)

46

 (cid:107) f (cid:107)∗ 2c0 + (·)e−(γ+ρ)·(cid:107) + 2(2ρ)−1/2(cid:107)LT1   λ ν − L g1

L2(−∞,0)

N

(cid:90) N +1 (cid:19) (cid:69) + + (·)e−(γ+ρ)·(cid:107)2 (cid:107)ws (cid:107)LT2 (cid:107)2 Cγ(V )ds 16d0 ρ

1 2ρ ≤ M e−N ρ ,

− 1 4

ở đó

1

L2(−∞,0)

(cid:107) f (cid:107)∗ (cid:18) 2c0 M = (·)e−(γ+ρ)·(cid:107) + 2(2ρ)−1/2(cid:107)LT1

Cγ(V ).

L2(−∞,0)

(cid:19) + (·)e−(γ+ρ)·(cid:107)2 max{1, C}(cid:69)(cid:107)φ − u∞(cid:107)2 (cid:107)LT2 λ ν − L g1 + 1 32d0 2ρ

Theo Bổ đề 1.3, ta có

(cid:27) (cid:26) (cid:80) (cid:128)|m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2(cid:138) > e−(ρ−(cid:34))N ≤ 2M e−(cid:34)N , ω : sup N ≤t≤N +1

= N (ω) ∈ (cid:90)+ sao cho, ∀N ≥ N0, ta

ở đó (cid:34) ∈ (0, ρ). Theo Bổ đề 1.5 tồn tại N0 có

(cid:128)|m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2(cid:138) < e−(ρ−(cid:34))N , hầu chắn chắc. sup N ≤t≤N +1

3.4. Tính ổn định đa thức của nghiệm dừng trong

trường hợp trễ tỉ lệ

3.4.1. Tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ đa thức

Ta nghiên cứu phương trình (3.11) trong trường hợp đặc biệt của trễ chứa (u(qt)), 0 < q < 1, i = 1, 2. (t, ut ) = Gi

biến thiên không bị chặn là trễ tỉ lệ gi Ta tìm ra một điều kiện đủ để u∞ ổn định bình phương trung bình theo tốc độ

đa thức. Xét phương trình pantograph (xem [6], [45], [46]):

˙y(t) = a y(t) + b y(qt), ∀t ≥ 0, q ∈ (0, 1).

Bổ đề 3.1. [6, Bổ đề 3.6 (i)] Cho a < 0, b > 0, q ∈ (0, 1). Giả sử Y ∈ C((cid:82)+, (cid:82)+)

thỏa mãn

47

D+Y (t) ≤ aY (t) + bY (qt), t ≥ 0,

với Y (0) > 0 và ở đó D+Y kí hiệu là đạo hàm Dini của Y tại t theo nghĩa sau

δ↓0

D+Y = lim sup . Y (t + δ) − Y (t) δ

Khi đó tồn tại số thực C = C(a, b, q) > 0 :

Y (t) ≤ C Y (0)(1 + t)µ , ∀t ≥ 0,

ở đó số µ thỏa mãn a + bqµ = 0.

Ta không chỉ khẳng định được sự ổn định của u∞ mà còn có thể chứng minh

được nó ổn định bình phương trung bình theo tốc độ đa thức.

Định lí 3.5. Giả định các giả thiết như Định lí 3.1 và Định lí 3.2 thỏa mãn. Xét (u(qt)), 0 < q < 1, i = 1, 2, ở đó Gi thỏa mãn số hạng chứa trễ là gi ) = Gi (t, ut

− 1 4

(3.6)-(3.7). Giả sử rằng

1

(cid:107) f (cid:107)∗ (cid:17) (cid:16) 2c0 + (3.43) . + d0 2ν > LG1 LG1 + L2 G2 λ ν − L g1

Khi đó với mọi nghiệm u(t) của (3.11) và u∞ của (3.12), đặt m(t) = u(t) − u∞,

ta có

(3.44) (cid:69) (cid:128)|m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2(cid:138) ≤ C(cid:69) (cid:128)|m(0)|2 + α2(cid:107)m(0)(cid:107)2(cid:138) (1 + t)µ ,

ở đó µ được cho như sau

− 1 4

1

  (cid:107) f (cid:107)∗ 2c0 − + 2ν d −1 0 − LG1     λ ν − L g1 < 0. µ = logq LG1 + L2 G2

Chứng minh. Với bất kì số δ > 0, áp dụng công thức tích phân Itô cho hàm |m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2 và lấy kì vọng, ở đó m(t) thỏa mãn (3.20) ta thu được

t

t

48

(cid:69) (cid:128)|m(t + δ)|2 + α2(cid:107)m(t + δ)(cid:107)2(cid:138) − (cid:69) (cid:128)|m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2(cid:138) (cid:90) t+δ (cid:90) t+δ = − 2ν (cid:69)(cid:107)m(s)(cid:107)2ds − 2 (cid:69) (cid:10)B(u(s), u(s)) − B(u∞, u∞), m(s)(cid:11) ds

t (cid:90) t+δ

(cid:90) t+δ + 2 (u∞), m(s)(cid:11) ds (cid:69) (cid:10)G1 (u(qs)) − G1

L2(K0,H)ds.

t

+ (3.45) (u∞)(cid:107)2 (cid:69)(cid:107)(G2 (u(qs)) − G2

Do (1.2) và (3.14) ta suy ra rằng

t − 1 4

(cid:90) t+δ − 2 (cid:69) (cid:10)B(u(s), u(s)) − B(u∞, u∞), m(s)(cid:11) ds

1

t

(cid:90) t+δ (cid:107) f (cid:107)∗ 2c0 ≤ (3.46) (cid:69)(cid:107)m(s)(cid:107)2ds. λ ν − L g1

Ta sẽ đánh giá lần lượt hai số hạng cuối của (3.45). Từ điều kiện (3.16), ta có

t (cid:90) t+δ

(cid:90) t+δ 2(cid:69) (u∞), m(s)(cid:11) ds (cid:10)G1 (u(qs)) − G1

V (cid:48) (cid:107)m(s)(cid:107)ds

t

(u∞)(cid:107) ≤ 2(cid:69) (cid:107)G1 (u(qs)) − G1

t (cid:90) t+δ

(cid:90) t+δ (cid:69) (cid:107)m(qs)(cid:107)(cid:107)m(s)(cid:107)ds ≤ 2LG1

t

t

(cid:90) t+δ (3.47) (cid:69)(cid:107)m(qs)(cid:107)2ds. ≤ LG1 (cid:69)(cid:107)m(s)(cid:107)2ds + LG1

Mặt khác, do (3.7) nên

G2

L2(K0,H)ds ≤ L2

t

t

(cid:90) t+δ (cid:90) t+δ (3.48) (cid:69)(cid:107)m(qs)(cid:107)2ds. (u∞)(cid:107)2 (cid:69)(cid:107)(G2 (u(qs)) − G2

Thế (3.46), (3.47) và (3.48) vào (3.45), ta thu được

− 1 4

1

t

 (cid:69) (cid:128)|m(t + δ)|2 + α2(cid:107)m(t + δ)(cid:107)2(cid:138) − (cid:69) (cid:128)|m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2(cid:138)  (cid:90) t+δ (cid:107) f (cid:107)∗ 2c0 ≤ (cid:69)(cid:107)m(s)(cid:107)2ds − 2ν + LG1     λ ν − L g1

t

(cid:17) (cid:90) t+δ + (cid:16) (3.49) (cid:69)(cid:107)m(qs)(cid:107)2ds. LG1 + L2 G2

Áp dụng (3.3) và điều kiện (3.43) vào (3.49), ta có

49

(cid:69) (cid:128)|m(t + δ)|2 + α2(cid:107)m(t + δ)(cid:107)2(cid:138) − (cid:69) (cid:128)|m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2(cid:138)

− 1 4

1

t

  (cid:90) t+δ (cid:107) f (cid:107)∗ 2c0 ds (cid:128)|m(s)|2 + α2(cid:107)m(s)(cid:107)2(cid:138) − 2ν + LG1 ≤ d −1 0     λ ν − L g1

t

(cid:17) (cid:90) t+δ + (cid:16) (3.50) (cid:69) (cid:128)|m(qs)|2 + α2(cid:107)m(qt)(cid:107)2(cid:138) ds. LG1 + L2 G2

, từ (3.50) ta có Đặt Y (t) = (cid:69) (cid:128)|mt)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2(cid:138)

− 1 4

1

  (cid:107) f (cid:107)∗ (cid:17) 2c0 Y (t) + (cid:16) Y (qt). (3.51) − 2ν LG1 + LG1 D+Y (t) ≤ d −1 0 + L2 G2     λ ν − L g1

− 1 4

(cid:107) f (cid:107)∗

2c0

1

λ ν−L g1

(cid:130) (cid:140) và − 2ν Khi đó, sử dụng Bổ đề 3.1 vào (3.51) với a = d −1 0 + LG1

ta có (3.44). b = LG1 + L2 G2

3.4.2. Tính ổn định hầu chắc chắn theo tốc độ đa thức

− 1 4

Định lí 3.6. Nếu các giả thiết của Định lí 3.1, Định lí 3.5 thỏa mãn và

1

(cid:107) f (cid:107)∗ (cid:16) (cid:17) 2c0 + + (3.52) , LG1 2ν > LG1 + L2 G2 d0 q λ ν − L g1

thì mọi nghiệm u(t) của (3.11) hội tụ tới u∞ trong V hầu chắc chắn theo tốc độ

đa thức.

Chứng minh. Cho N ∈ (cid:90)+ và với bất kì t ≥ N . Sử dụng công thức Itô cho hàm số |m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2, ở đó m(t) = u(t) − u∞ thỏa mãn (3.20), ta có

|m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2 = |m(N )|2 + α2(cid:107)m(N )(cid:107)2

N (cid:90) t

(cid:90) t + 2 (cid:10)−νAm(s) − B(u(s), u(s)) + B(u∞, u∞), m(s)(cid:11) ds

N (cid:90) t

+ 2 (u∞), m(s)(cid:11) ds (cid:10)G1 (u(qs)) − G1

N

+ 2 (u∞), m(s)(cid:1) dW (s) (cid:0)G2 (u(qs)) − G2

L2(K0,H) ds.

N

50

(cid:90) t + (u∞))(cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13)G2 (u(qs)) − G2

N

(cid:150) (cid:153) Theo Bổ đề 1.4 và (3.3) ta có (cid:90) t 2(cid:69) (u∞), m(s)(cid:1) dW (s) (cid:0)G2 (u(qs)) − G2 sup N ≤t≤N +1

1 2

L2(K0,H) ds

N (cid:20)

  (cid:90) N +1 (cid:107)m(s)(cid:107)2 (cid:13) ≤ 8(cid:69) (u∞)(cid:13) 2 (cid:13) (cid:13)G2 (u(qs)) − G2  

1 ≤ 8d 2 0

(cid:69) (cid:128)|m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2(cid:138) × sup N ≤t≤N +1

2

L2(K0,H) ds

N

(cid:90) N +1 (cid:21) 1 × (u∞)(cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13)G2 (u(qs)) − G2

L2(K0,H) ds

N

(cid:90) N +1 (cid:69) (u∞)(cid:13) 2 (cid:13) ≤ 32d0 (cid:13) (cid:13)G2 (u(qs)) − G2

N ≤t≤N +1

1 + (cid:128)|m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2(cid:138) (cid:69) sup . 2

Áp dụng (3.7) vào đánh giá trên, ta có

G2

L2(K0,H) ds ≤ L2

N

N

(cid:90) N +1 (cid:90) N +1 (cid:69) (cid:69) (cid:107)m(qs)(cid:107)2ds. (u∞)(cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13)G2 (u(qs)) − G2

Theo (3.6), ta có

N

N ≤t≤N +1 (cid:90) N +1

(cid:90) t 2(cid:69) sup (u∞), m(s)(cid:11) ds (cid:10)G1 (u(qs)) − G1

N (cid:90) N +1

≤ 2(cid:69) (u∞), m(s)(cid:11)(cid:12) (cid:12) ds (cid:12) (cid:12)(cid:10)G1 (u(qs)) − G1

(cid:107)m(qs)(cid:107)(cid:107)m(s)(cid:107)ds ≤ 2(cid:69) LG1

N (cid:90) N +1

N

N

(cid:90) N +1 (cid:69) (cid:69) (cid:107)m(s)(cid:107)2ds. ≤ LG1 (cid:107)m(qs)(cid:107)2ds + LG1

Tương tự (3.23), ta có

(cid:130) (cid:140) (cid:90) t −2 (cid:69) (cid:0)(cid:10)B(u(s), u(s)) − B(u∞, u∞), m(s)(cid:11)(cid:1) ds

N (cid:90) N +1

1

N

sup N ≤t≤N +1 − 1 4 (cid:107) f (cid:107)∗ 2c0 ≤ (cid:69)(cid:107)m(s)(cid:107)2ds.

λ ν − L g1 Từ các đánh giá trên và (3.44), ta có

N ≤t≤N +1

51

1 (cid:128)|m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2(cid:138) (cid:69) sup 2

− 1 4

1

N

  (cid:90) N +1 (cid:107) f (cid:107)∗ 2c0 (cid:69) ≤ (cid:69) (cid:128)|m(N )|2 + α2(cid:107)m(N )(cid:107)2(cid:138) + (cid:107)m(s)(cid:107)2ds + LG1     λ ν − L g1

N

(cid:90) N +1 + (cid:16) (cid:17) (cid:69) (cid:107)m(qs)(cid:107)2ds LG1 + 32d0 L2 G2

≤ M (qN + 1)µ ,

ở đó

− 1 4

1

  (cid:107) f (cid:107)∗ 2c0 . 1 + M = C(cid:69)(|φ − u∞|2 + α2(cid:107)φ − u∞(cid:107)2) + 2LG1 + 32d0 L2 G2     λ ν − L g1

Theo Bổ đề 1.3, ta suy ra

(cid:27) (cid:26) (cid:80) ≤ 2M (1 + qN )µ−(cid:34) , ω : (cid:128)|m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2(cid:138) > (1 + qN )(cid:34) sup N ≤t≤N +1

= N (ω) ∈ (cid:90)+ : ở đó (cid:34) < 0 sao cho µ − (cid:34) < −1. Do điều kiện (3.44) nên µ < −1. Áp dụng Bổ đề 1.5 suy ra ∃N0

(cid:128)|m(t)|2 + α2(cid:107)m(t)(cid:107)2(cid:138) < (1 + qN )(cid:34) , ∀N ≥ N0, hầu chắc chắn. sup N ≤t≤N +1

Kết luận Chương 3. Trong chương này, ta thu được các kết quả đối với hệ

N-S-V 3D ngẫu nhiên có trễ vô hạn như sau

• Tính ổn định bình phương trung bình địa phương với trễ tổng quát (Xem

Định lí 3.2).

• Trong trường hợp số hạng có trễ phân phối: chứng minh được tính ổn

định bình phương trung bình theo tốc độ mũ (Xem Định lí 3.3) và hội tụ

hầu chắc chắn theo tốc độ mũ (Xem Định lí 3.4).

• Trong trường hợp số hạng có trễ tỉ lệ: chứng minh được tính ổn định bình

phương trung bình theo tốc độ đa thức (Xem Định lí 3.5) và tính ổn định

52

hầu chắc chắn theo tốc độ đa thức (Xem Định lí 3.6).

Chương 4

BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU LIÊN TỤC CHO HỆ LERAY-α BA CHIỀU VỚI DỮ LIỆU CÓ NHIỄU NGẪU NHIÊN

Trong chương này, chúng ta tìm hiểu bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục cho hệ Leray-α 3D với dữ liệu có nhiễu ngẫu nhiên. Trước hết chúng ta xây dựng

mô hình đồng hóa dữ liệu từ các dữ liệu quan sát được. Từ đó, chúng ta chỉ ra

tính đặt đúng của bài toán đó. Cuối cùng, chúng ta đánh giá sai số tiệm cận

của hiệu giữa nghiệm của hệ đồng hóa và nghiệm của hệ gốc ban đầu. Chương

này được viết dựa trên công trình [CT3].

4.1. Đặt bài toán

Trong mục này, ta tìm hiểu thuật toán đồng hóa dữ liệu liên tục cho hệ

Leray-α 3D trên miền (cid:79) = [0, L]3 với dữ liệu có nhiễu ngẫu nhiên



− ν∆v + (u · ∇)v + ∇p = f ,  ∂ v ∂ t (4.1)  ∇ · u = ∇ · v = 0,

ở đó u − α2∆u = v,vectơ vận tốc u = (u1, u2, u3 ) và p = p(x, t) là hàm áp suất cần tìm, ν > 0 là hệ số nhớt, α > 0 và f (x) là ngoại lực. Giả sử giá trị ban đầu v(x, 0) = v0 (x), u(x + L bi, t) = u(x, t) trong ∂ (cid:79) × [0, T ] và hàm ngoại lực f = f (x) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ L với trung bình tích phân bằng

không.

Ta mô tả vấn đề đồng hóa dữ liệu sẽ được nghiên cứu trong mục này. Gọi v(t) là một nghiệm nằm trên tập hút toàn cục của (4.1). Kí hiệu (cid:73) (v(t)), với h t ≥ 0, các phép đo quan sát chính xác mà không có sai số của nghiệm chính h : V → (cid:82)D là một toán tử tuyến tính, D là xác v tại thời điểm t. Ta giả sử (cid:73)

53

cấp của (L/h)3, L là độ dài cạnh của hình hộp của miền được quan tâm, h là

(v(t)) nội suy của dữ liệu quan sát, tức là độ phân giải và kí hiệu Rh

h

h

◦ (cid:73) (v(t)) = (cid:76) (v(t)), Rh

h

ở đó (cid:76) ∈ L((cid:82)D, V ) bị chặn. Xét toán tử nội suy Rh thỏa mãn

L2, với mọi w ∈ V.

(4.2) (cid:107)w − Rh ≤ c1h2(cid:107)∇w(cid:107)2 (w)(cid:107)2 L2

Phép chiếu trực giao Fourier hoặc phần tử thể tích hữu hạn là các ví dụ về toán

tử nội suy Rh (xem thêm [7, 9]).

Trong trường hợp đo lường không có sai số, năm 2014, Titi (xem [9]) đưa

ra thuật toán đồng hóa dữ liệu như sau: xây dựng nghiệm gần đúng z từ các

(v(t)) và z là nghiệm hệ phương trình sau nội suy của dữ liệu quan sát Rh



(v)), − ν∆z + (w · ∇)z +∇p = f − µ(Rh (z) − Rh  ∂ z ∂ t (4.3)  ∇ · z = 0,

(z) và Rh

với z = w − α2∆w và điều kiện ban đầu tùy ý w(0) = w0. Ở đây µ > 0 tham số (v) là nội suy của dữ liệu giãn sẽ được chọn sau. Với f là ngoại lực, Rh (v(t)) quan sát tương ứng với z, v. Trong thực tế phép đo quan sát chính xác (cid:73) h

(v(t)) như sau sẽ luôn có một vài nhiễu ngẫu nhiên. Do đó, các phép đo quan sát được dùng cho bài toán đồng hóa là các phép đo quan sát có nhiễu ˜(cid:73) h

(4.4) (v(t)) + (cid:69) (t), ˜(cid:73) h (v(t)) = (cid:73) h

ở đó (cid:69) : [0, +∞) → (cid:82)D đại diện cho lỗi đo lường, chẳng hạn như do lỗi thiết bị. Điều đó nói rằng nội suy của dữ liệu quan sát của v(t) chứa lỗi ngẫu nhiên

được cho bởi

h

h

h

(v(t)) = (cid:76) ( ˜(cid:73) (v(t))) = (cid:76) (v(t))) + (cid:76) (v(t)) + ξ(t), (4.5) ˜Rh ((cid:73) h ((cid:69) (t)) = Rh

54

ở đó vectơ ngẫu nhiêu ξ(t) thuộc miền giá trị của Rh. Khi đó, ta sẽ áp dụng lược đồ đồng hóa dữ liệu cho hệ (4.3) khi nội suy của dữ liệu quan sát không (v(t)). Trong trường hợp này, theo (v(t)) được thay thế bằng ˜Rh có nhiễu Rh

kết quả tổng quát của [13], thuật toán xây dựng z(t) từ các phép đo quan sát (v(t)) được đưa ra bởi hệ phương trình tiến hóa ngẫu nhiên sau đây ˜(cid:73) h 

(v)]d t + µξd t, dz + [−ν∆z + (w · ∇)z + ∇p]d t = f d t − µ[Rh (z) − Rh 

 ∇ · z = 0,

(4.6) ở đó z = w − α2∆w và giá trị ban đầu z(0) = z0. Mục đích của ta ở đây là tìm các điều kiện rõ ràng về tham số giãn µ và độ phân giải h đảm bảo các dáng

điệu tiệm cận rõ ràng, khi thời gian đến vô cùng, sai số giữa nghiệm xấp xỉ z

và nghiệm chính xác v tương ứng với các phép đo này, về phương sai của nhiễu

trong phép đo.

Áp dụng phép chiếu trực giao Leray vào hệ Leray-α (4.1) thu được hệ

phương trình tiến hóa sau  d v + νAv + B(u, v) = f ,  (4.7)  d t v(0) = v0,

∈ H. Tương tự, phương trình đồng hóa chứa nhiễu

ở v = u + α2Au, f ∈ H và v0 ngẫu nhiên (4.6) trở thành

(4.8) (z − v)]d t + µdW, dz + [νAz + B(w, z)]d t = [ f − µPRh

ở đó z = w + α2Aw và dW (t) = Pξ(t)d t là số hạng chứa nhiễu.

Ta nhắc lại các kết quả cho hệ Leray-α 3D tất định.

4.2. Hệ Leray-α ba chiều tất định

là số Grashof cho không gian 3D. Cho f ∈ H, gọi G r = | f | ν 2λ3/4 1

Ta nhắc lại kết quả trong [23].

∈ H thì với bất kì T > 0, hệ (4.7) có nghiệm

Định lí 4.1. [23] Nếu f ∈ H và v0 yếu duy nhất v thỏa mãn

55

d v và ∈ L2(0, T ; V (cid:48)). v ∈ C([0, T ]; H) ∩ L2(0, T ; V ) d t

Ngoài ra, nửa nhóm liên kết S(t) : H → H có tập hút toàn cục (cid:65) trong H. Khi

đó

0 :=

(4.9) |v|2 ≤ M 2 , ∀v ∈ (cid:65) . 2ν 2Gr 2 λ1/2 1

4.3. Số hạng chứa nhiễu

h trong (4.4) theo chuyển động Brown bằng cách sử dụng

Bây giờ, ta đi mô tả số hạng chứa nhiễu (cid:69) : [0, +∞) → (cid:82)D được cho trong

h

= (cid:76) ◦ ˜(cid:73) có được số hạng chứa nhiễu dW trong (4.8). quan sát có nhiễu ˜(cid:73) ˜Rh

d

Cho (Ω, (cid:70) , (cid:80)) là không gian xác suất, trên đó xác định một dãy các chuyển (t), d = 1, 2, . . . , D, tương thích với bộ lọc

t

động Brown một chiều độc lập β ((cid:70) ) :

d

(cid:69)(β (t)) = cho t ≥ 0. (t)) = 0 và (cid:69)(β 2 d tσ2 3

Phép đo sai số được cho bởi

D

1

2

(4.10) (cid:69) (t)d t = (dβ (t), dβ (t), . . . , dβ (t)).

(v(t)) giống

Chú ý rằng σ là số thực được chọn sao cho đơn vị của phép đo (cid:73) h đơn vị đo của (cid:69) .

h : (cid:82)D → [ ˙H 1((cid:79) )]3 như sau

D (cid:88)

Biểu diễn toán tử tuyến tính (cid:76)

h

d

d

d

d=1

(cid:76) (ζ)(·) = ζ (cid:96) (4.11) (·), ζ ∈ (cid:82)D và (cid:96) ∈ [ ˙H 1((cid:79) )]3.

D (cid:88)

Số hạng chứa chứa nhiễu trong (4.8) là quá trình Wiener có dạng

d,

d

d

d.

d=1

β γ (4.12) W (t) = (t)γ = P(cid:96)

d là cơ sở trực giao hoặc là cơ sở độc lập tuyến tính.

Ta không giả sử γ

Ta nhận thấy W là một chuyển động Q-Brown nhận giá trị trong [˙L2((cid:79) )]3

với (cid:69)(W (t)) = 0. Theo [32] (tham khảo thêm [31]), ta có

D (cid:88)

d

d

p

p

d,p=1

56

 β ⊗ β tQ = Cov(W (t)) = (cid:69) (t)γ (t)γ   . 

Chú ý Q là toán tử với vết hữu hạn, không âm, đối xứng. Tham khảo [13],

ta tính được

D (cid:88)

d

d=1

σ2 |γ Tr(Q) = |2 < ∞. 3

h :

Tiếp sau đây, ta trình bày ví dụ về toán tử nội suy quan sát được xây

dựng theo đơn vị thể tích. Giả sử phép đo quan sát trên đơn vị thể tích (cid:73) [ ˙H 1((cid:79) )]3 → (cid:82)3N được cho bởi

3n−2

 

1, ¯ϕ

2, . . . , ¯ϕ

3N

Qn

Qn

3n

(cid:90) (cid:90) = Φ(x)d x = (Φ) = ( ¯ϕ ), ở đó Φ(x)d x, (cid:73) h | N L3 1 |Qn         ¯ϕ ¯ϕ 3n−1 ¯ϕ

h

h : (cid:82)3N → [˙L2((cid:79) )]3 với (cid:76)

h

| = . Định nghĩa và có thể tích |Qn (4.13) cho n = 1, . . . , N , ở đó miền (cid:79) = [0, L]3 được chia bởi N = K 3 khối lập phương L (cid:112) 3 N = (cid:76) ◦ (cid:73) L3 N (ζ) là hàm tuần hoàn với chu đơn vị phân biệt Qn với độ dài cạnh h, ở đó (cid:76)

Rh kì L trên miền (cid:79) được cho bởi

3n−2

N (cid:88)

h

Qn

n=1

3n−1 ζ

3n

  ζ (cid:140) (cid:130) (cid:76) χ ζ (ζ)(x) = (x) − . h3 L3        

Gọi

Qn

    χ (x) − h3/L3 0

Qn

χ (x) = (x) = , , (x) − h3/L3 0 (cid:96) 3n−1 (cid:96) 3n−2                 0 0 (4.14)   0

3n

Qn

và (cid:96) (x) = , 0         χ (x) − h3/L3

d giống như (4.14)

với n = 1, 2, . . . , N . Từ đó, suy ra D = 3N hàm cần cho biểu diễn (4.11).

57

Mệnh đề 4.1. Cho W (t) là quá trình Wiener trong (4.12), ở đó (cid:96) cho d = 1, . . . , 3N . Khi đó W là chuyển động Q-Brown nhận giá trị trong [˙L2((cid:79) )]3

với toán tử hiệp phương sai Q thỏa mãn

Tr(Q) ≤ σ2 L3.

Chứng minh. Ta có

N (cid:88)

3N (cid:88)

3N (cid:88)

d

d

Qn

n=1

d=1

d=1

(cid:68)

(cid:90) σ2 σ2 = σ2 |γ |2 ≤ |(cid:96) d x Tr(Q) = (cid:12) (cid:12)χ (x) − h3/L3(cid:12) 2 (cid:12) |2 L2 3 3

N (cid:88)

(x) +

Qn

n=1

(cid:68)

(cid:90) (cid:20) (cid:21) = σ2 (cid:1)χ (cid:0)1 − 2 d x ≤ σ2(L3 − h3) ≤ σ2 L3. h3 L3 h6 L6

4.4. Thuật toán đồng hóa dữ liệu liên tục

Cho v là một nghiệm yếu của hệ Leray-α 3D (4.7) được cho bởi Định lí 4.1

và Rh là toán tử nội suy thỏa mãn (4.2). Giả sử, ta chỉ biết v từ nội suy của dữ (v(t)) + ξ(t) và nội suy của dữ liệu quan sát này liệu quan sát được có nhiễu Rh được ghi lại liên tục theo thời gian t ∈ [0, T ].

Mục tiêu đầu tiên của ta chỉ là ra phương trình (4.8) có nghiệm xấp xỉ z và

nghiệm đó là đặt đúng toàn cục. Mục tiêu thứ hai của ta là chứng minh rằng z

nghiệm của phương trình đồng hóa dữ liệu (4.8) xấp xỉ tới nghiệm chưa biết v của (4.7), khi t → +∞, với sai số tùy thuộc vào sai số trong các quan sát.

4.4.1. Tính đặt đúng của bài toán

Trong mục này, ta chỉ ra được tính đặt đúng toàn cục của phương trình ngẫu ∈ H và z = w + α2Aw, ở đó

nhiên (4.8) với điều kiện ban đầu bất kỳ z(0) = z0 dW (t) = Pξ(t)d t là số hạng chứa nhiễu.

t∈[0,T ] là nghiệm yếu của (4.8)

Định nghĩa 4.1. Quá trình ngẫu nhiên (z(t))

nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau :

58

(i) z là đo được theo tiến trình;

(ii) z = w + α2Aw thuộc vào C([0, T ]; H) ∩ L2(0, T ; V ) hầu chắc chắn;

(iii) (cid:80)-hầu chắc chắn, ∀t ∈ [0, T ], ∀ϕ ∈ V

0

0 (cid:90) t

(cid:90) t (cid:90) t (z(t), ϕ) + ν (cid:10)Az(s), ϕ(cid:11) ds + 〈B(m(s), z(s)), ϕ〉ds

0

0

0

(cid:90) t (cid:90) t ( f , ϕ)ds − µ (z(s) − v(s)), ϕ)ds + µ (dW (s), ϕ). (Rh = (z0, ϕ) +

Định lí sau đây chứng minh tính đặt đúng của hệ (4.8).

L M0

Định lí 4.2. Cho toán tử nội suy Rh : ( ˙H 1((cid:79) ))3 → (˙L2((cid:79) ))3 thỏa mãn (4.2) và

∈ H và T > 0 cho trước, tồn tại . Khi đó bất kì z0

23/2C 2 2µc1h2 ≤ ν với µ ≥ να3 duy nhất z ∈ C([0, T ]; V ) thỏa mãn (4.8). Ngoài ra ,

(cid:130) (cid:140) (cid:69) (4.15) (|z(t)|2) < ∞, sup 0≤t≤T

T (cid:90)

và  

0

(cid:69) (4.16) (cid:107)z(t)(cid:107)2d t < ∞.      

Chứng minh. Ta nghiên cứu quá trình bổ trợ y, được coi là nghiệm của bài

toán sau 

d y + νAy d t = µdW,  (4.17)  y(0) = 0.

t (cid:90)

Ta biết rằng, hệ (4.17) có nghiệm dừng ergodic (xem [32])

0

y(t) = µ e−νA(t−τ)dW (τ),

với quỹ đạo liên tục nhận giá trị trong H. Đặc biệt, ta có

(cid:69)(| y(t)|2) ≤ Tr(Q). µ2 2ν

Thật vậy, ta có các biểu diễn

+∞ (cid:88)

+∞ (cid:88)

+∞ (cid:88)

d

d, j

j=1

j=1

j=1

d=1

59

(cid:33) (cid:32) D (cid:88) = γ β y = và W = y j e j Wj e j e j,

d, e j

d, j

t (cid:90)

t (cid:90)

D (cid:88)

j

j

= 〈γ 〉 và γ 〉. Khi đó ở đó y j (t) = 〈 y(t), e j

(t−τ)dβ

d

(t−τ)dWj

d, j

d=1

0

0

(τ) = µ γ e−νλ e−νλ (t) = µ (τ). y j

d và công thức đẳng cự Itô, ta có được điều sau

t (cid:90)

D (cid:88)

j

Do tính độc lập của β

(t−τ)dβ

d

d, j

d=1

0

t (cid:90)

(cid:69) γ2 e−νλ (t)|2 = µ2 (cid:69)| y j (cid:12) 2 (cid:12) (τ) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

D (cid:88)

j

(t−τ)dτ

d, j

d=1

0

t (cid:90)

D (cid:88)

j

µ2σ2 = γ2 e−2νλ 3

(t−τ)d(−2νλ

j

d, j

j

d=1

0

= γ2 e−2νλ (t − τ)) µ2σ2 6νλ

D (cid:88)

D (cid:88)

d, j

d, j

j

j

d=1

d=1

(cid:33) (cid:32)σ2 ≤ γ2 = γ2 . µ2σ2 6νλ µ2 2νλ 3

Vì thế, ta có

D (cid:88)

D (cid:88)

+∞ (cid:88)

+∞ (cid:88)

+∞ (cid:88)

j

j

d, j

d, j

j

j=1

j=1

j=1

d=1

d=1

  (cid:33) γ2 = γ2 λ |2 ≤ λ (cid:69)| y(t)|2 = (cid:69)| y j   (cid:32)µ2σ2 6νλ µ2σ2 6ν

D (cid:88)

+∞ (cid:88)

d, j

j=1

d=1

 σ2 ≤ γ2 Tr(Q).    = µ2 2ν 3 µ2 2ν

Bây giờ, sử dụng phép đổi biến ˜z = z − y, ta nhận được ˜z là nghiệm của phương

trình với hệ số ngẫu nhiên sau

d (4.18) (˜z + y) = ˜f , ˜z + νA˜z + B(w, ˜z + y) + µPRh d t

(v). Do v ∈ C([0, T ]; H) và Rh là toán tử tuyến = z0, ˜f = f + µPRh

với ˜z(0) = ˜z0 tính bị chặn nên

(v)| ≤ C|v|, |PRh

(v) ∈ C([0, T ]; H). Vì vậy, ˜f ∈ C([0, T ]; H). điều đó suy ra PRh

60

Với mọi ω ∈ Ω, (4.18) có nghiệm yếu ˜z duy nhất và nghiệm này phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu ˜z(0) = z0 trong H. Để chứng minh tính đặt đúng

ta áp dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin và áp dụng các bổ đề compact phù

hợp. Chứng minh này là hoàn toàn tiêu chuẩn, vì thế ở đây ta chỉ chứng minh

một số ước lượng cần thiết cho mục sau. Để tiện theo dõi, ta nhắc lại các ước

lượng liên quan tới u và v.

Xét v = u + α2Au, v ∈ H, ta có

|v|2 = |u|2 + 2α2(cid:107)u(cid:107)2 + α4|Au|2.

Kết hợp với (1.3) suy ra

(4.19) (cid:107)u(cid:107) ≤ |Au| ≤ |u| ≤ |v|, |v|, |v|. 1 α2 1 21/2α

Từ (4.18), ta suy ra

d 1 (˜z + y), ˜z〉 + ( ˜f , ˜z). |˜z|2 + ν(cid:107)˜z(cid:107)2 = −〈B(w, ˜z + y), ˜z〉 − µ〈PRh d t 2

Ta đi ước lượng các số hạng ở vế phải. Sử dụng Bổ đề 1.2 và (4.19),

|〈B(w, ˜z + y), ˜z〉| = |〈B(w, y), ˜z〉|

≤ CL ≤ CL2 ν ≤ | y|2|z|2 (cid:107)˜z(cid:107)2 +

4 ν ≤ (cid:107)˜z(cid:107)2 + | y|2(|˜z|2 + | y|2). |w|1/2|Aw|1/2| y|(cid:107)˜z(cid:107) −1/4α−3/2| y||z|(cid:107)˜z(cid:107) C 2 L 21/2να3 21/2C 2 L να3 4

Tiếp theo, do (4.2), ta có

(˜z), ˜z〉 −µ〈PRh (˜z + y), ˜z〉 = −µ〈Rh ( y), ˜z〉 − µ〈Rh

H

( y)| (˜z), ˜z〉 − µ|˜z|2 ≤ µ| y − Rh |˜z| + µ| y||˜z| + µ〈˜z − Rh µ ≤ ( y)|2) |˜z|2 + µ(| y|2 + | y − Rh 2 µ µ + (˜z)|2 + |˜z|2 − µ|˜z|2 |˜z − Rh 2

(cid:107)˜z(cid:107)2, + c1h2)(cid:107) y(cid:107)2 + ≤ µ(λ−1 1 2 c1h2µ 2

và

1

1

61

ν | ˜f |(cid:107)˜z(cid:107)2 ≤ | ˜f |2 + ( ˜f , ˜z) ≤ | ˜f ||˜z| ≤ λ−1/2 (cid:107)˜z(cid:107)2. 1 ν λ 4

Do đó, nếu ta chọn h và µ sao cho ν ≥ 2c1h2µ thì

1

ν d |˜z|2 + (cid:107)˜z(cid:107)2 ≤ | ˜f |2. + c1h2)(cid:107) y(cid:107)2 + | y|2(|˜z|2 + | y|2) + µ(λ−1 1 1 ν λ 21/2C 2 L να3 d t 4

Do ˜f ∈ C([0, T ]; H) và y ∈ C([0, T ]; V ), theo Bổ đề Gronwall (xem [58]), ta

có

|˜z(t)|2 ≤ C. sup t∈[0,T ]

0

Ta suy ra (cid:90) T (cid:107)˜z(s)(cid:107)2ds ≤ C.

Do z = ˜z + y, ta có z ∈ C([0, T ]; H) ∩ L2(0, T ; V ), (cid:80)-hầu chắc chắn. Tiếp theo, ta chứng minh (4.15). Áp dụng công thức Itô cho hàm |z|2, ta có

d|z|2 + 2 〈νAz + B(w, z), z〉 d t − 2( f , z)d t

(z − v), z)d t. = 2(dW (t), z) + µ2Tr(Q) + 2µ(Rh

Đẳng thức trên suy ra

0

(cid:90) T (cid:107)z(τ)(cid:107)2dτ |z(t)|2 + 2ν sup 0≤t≤T

0

0

(cid:90) T (cid:90) T |2 + 2 ( f , z(τ))dτ − 2µ (z(τ) − v(τ)), z)dτ (Rh = |z0

0

(cid:90) t (dW (τ), z(τ))dτ + µ2Tr(Q)T. + 2µ sup 0≤t≤T

2

Áp dụng Bổ đề 1.4, ta có

0

0

(cid:140) 1 (cid:130) (cid:140) (cid:130)(cid:90) t (cid:90) t |z(τ)|2dτ Tr(Q)(cid:69) 2µ(cid:69) (dW (τ), z(τ))dτ ≤ 2µ(cid:112) sup 0≤t≤T

|z(t)|(cid:112) T Tr(Q) ≤ 2µ(cid:69) sup 0≤t≤T 1 ≤ |z(t)|2 + 2µ2T Tr(Q). 2 (cid:69) sup 0≤t≤T

Do điều kiện (4.2) và bất đẳng thức Poincaré, ta có

L2|z|

L2|z| − 2µ|z|2 + 2µ(cid:107)Rh

62

(v)(cid:107) (z)(cid:107) −2µ(Rh (z − v), z) ≤ 2µ(cid:107)z − Rh

+ |v|2(cid:1)

1

(v)(cid:107)2 L2 )(cid:107)v(cid:107)2, ≤ 2µc1h2(cid:107)z(cid:107)2 − µ|z|2 + 2µ(cid:0)(cid:107)v − Rh ≤ 2µc1h2(cid:107)z(cid:107)2 − µ|z|2 + 2µ(c1h2 + λ−1

và theo bất đẳng thức Cauchy,

2( f , z) ≤ µ|z|2 + | f |2. 1 µ

Do 2µc1h2 ≤ ν, kết hợp các ước lượng thu được ở trên và Bổ đề Gronwall, ta có (cid:140) (cid:130) (cid:69) (|z(t)|2) ≤ C, sup 0≤t≤T

0

từ đó (cid:33) (cid:32)(cid:90) T (cid:69) (cid:107)z(t)(cid:107)2d t < C.

4.4.2. Định lí về sự hội tụ

Gọi m = w − u, φ = z − v với z = w + α2Aw, v = u + α2Au và φ = m + α2Am.

Như vậy, từ (4.7) và (4.8) ta có

(φ)d t +µdW (t), (4.20) dφ+[νAφ+B(m, φ)+B(m, v)+B(u, φ)]d t = −µPRh

0

với φ ∈ V được chọn tùy ý.

Định lí 4.3. Giả sử rằng v là nghiệm của (4.7) và Rh : ( ˙H 1((cid:79) ))3 → (˙L2((cid:79) ))3 là toán tử nội suy thỏa mãn (4.2). Giả sử µ là đủ lớn và h là đủ nhỏ sao cho

L M 2

0

µ ≥ ≥ (4.21) , 2c1 ν 23/2c1C 2 ν 2α3 1 h2

ở đó c1, CL là các hằng số cho trong (4.2) và (1.4), tương ứng. Khi đó nghiệm z của phương trình đồng hóa (4.8) thỏa mãn

(4.22) (cid:69) (cid:128)|z(t) − v(t)|2(cid:138) ≤ µTr(Q), lim sup t→+∞

t+T (cid:90)

và

t

63

ν µ (4.23) (cid:69)((cid:107)z(s) − v(s)(cid:107)2)ds ≤ Tr(Q) + µ2Tr(Q). T T lim sup t→+∞

Chứng minh. Áp dụng công thức tích phân Itô cho hàm |φ|2, ta có

d|φ(t)|2 = 2〈φ(t), dφ(t)〉 + µ2Tr(Q)d t.

Đẳng thức trên tương đương với

d|φ|2 + 2ν(cid:107)φ(cid:107)2

(φ), φ)d t + 2µ(dW (t), φ) + µ2Tr(Q)d t. (4.24) = − 2〈B(m, v), φ〉d t − 2µ(Rh

Theo Bổ đề 1.2, (4.19), (4.9) và bất đẳng thức Young, ta có

−2b(m, v, φ) ≤ 2CL

(cid:107)m(cid:107)1/2|Am|1/2|v|(cid:107)φ(cid:107) (cid:107)m(cid:107)1/2|Am|1/2(cid:107)φ(cid:107)

−1/4CL

|φ|(cid:107)φ(cid:107)

L M 2

0

≤ 2CL M0 ≤ 2.2 = (cid:128) |φ|(cid:138) (cid:128) α−3/2M0 α−3/2ν −1/2M0 21/2ν 1/2(cid:107)φ(cid:107)(cid:138) (cid:140) ≤ |φ|2 + 2ν(cid:107)φ(cid:107)2 21/4CL (cid:130)21/2C 2 1 α3ν

= (4.25) |φ|2 + ν(cid:107)φ(cid:107)2. 2 L M 2 C 2 0 21/2να3

Do (4.2), ta thu được

(φ), φ) −2µ(φ, Rh

(φ)||φ| (φ)) = −2µ|φ|2 + 2µ(φ − Rh ≤ −2µ|φ|2 + 2µ|φ − Rh (cid:18) (cid:19) 1 (φ)|2 + |φ|2 ≤ −2µ|φ|2 + 2µ |φ − Rh 4 µ (φ)|2 + |φ|2 = −2µ|φ|2 + 2µ|φ − Rh 2

≤ − |φ|2 + 2µc1h2(cid:107)φ(cid:107)2

≤ − (4.26) |φ|2 + ν(cid:107)φ(cid:107)2, 3µ 2 3µ 2

ở đó ta sử dụng giả thiết 2µc1h2 ≤ ν và giả thiết (4.21). Do đó, từ (4.24), (4.25) và (4.26) ta suy ra rằng

L M 2 C 2 0 21/2να3

64

(cid:140) − d|φ|2 + |φ|2d t ≤ 2µ(dW (t), φ) + µ2Tr(Q)d t. (cid:130)3µ 2

L M 2 C 2 0 21/2να3 (cid:90) t

µ − Chú ý rằng ≤ 0 và giả thiết (4.21), ta có 2

t0

t0

t0

(cid:90) t (cid:90) t |φ(t)|2 + µ )|2 + 2µ (φ(s), dW (s)) + µ2Tr(Q)ds. |φ(s)|2ds ≤ |φ(t0

Bất dẳng thức trên suy ra

t0

t0

(cid:90) t (cid:90) t )|2 + (cid:69)µ2 (cid:69)(|φ(t)|2) + µ(cid:69) Tr(Q)ds, |φ(s)|2ds ≤ (cid:69)|φ(t0

Theo Bổ đề Gronwall, ta có

) + µ2Tr(Q)

t0 (cid:90) t

(cid:90) t e−µ(t−s)ds (cid:69)(|φ(t)|2) ≤ (cid:69)(|φ(0)|2)e−µ(t−t0

) + µTr(Q)

t0

e−µ(t−s)d(µ(t − s)) = (cid:69)(|φ(0)|2)e−µ(t−t0

) + µTr(Q).

≤ (cid:69)(|φ(0)|2)e−µ(t−t0

Vì vậy

(cid:69)(|φ(t)|2) ≤ µTr(Q), lim sup t→+∞

hoặc

(cid:69)(|z(t) − v(t)|2) ≤ µTr(Q), lim sup t→+∞

đây là ước lượng cần có cho (4.22). Ta ước lượng (4.23) bằng các đánh giá sau

−2〈B(m, v), φ〉 ≤ 2CL

−1/4CL

|φ|(cid:107)φ(cid:107)

≤ CL M0 ≤ 2.2 = (cid:128)

0

|φ|(cid:138) (ν 1/2(cid:107)φ(cid:107)) (cid:153) (cid:107)m(cid:107)1/2|Am|1/2|v|(cid:107)φ(cid:107) (cid:107)m(cid:107)1/2|Am|1/2(cid:107)φ(cid:107) α−3/2M0 α−3/2ν −1/2M0 L M 2 ≤ |φ|2 + ν(cid:107)φ(cid:107)2 23/4CL (cid:150) 23/2C 2 1 α3ν

L M 2

0

ν = |φ|2 + (cid:107)φ(cid:107)2, 2 21/2C 2 να3 2

và

65

(φ), φ) −2µ(φ, Rh (φ)) = −2µ|φ|2 + 2µ(φ − Rh

(φ)||φ|

(φ)|2 + |φ|2(cid:138)

(φ)|2

≤ −2µ|φ|2 + 2µ|φ − Rh ≤ −2µ|φ|2 + µ (cid:128)|φ − Rh = −µ|φ|2 + µ|φ − Rh ≤ −µ|φ|2 + µc1h2(cid:107)φ(cid:107)2 ν ≤ −µ|φ|2 + (cid:107)φ(cid:107)2. 2

Từ hai bất đẳng thức trên và (4.24), ta có

L M 2

0

(cid:140) − µ d|φ|2 + ν(cid:107)φ(cid:107)2d t ≤ |φ|2d t + 2µ(dW (t), φ) + µ2Tr(Q)d t (cid:130)21/2C 2 να3

(4.27) ≤ 2µ(dW (t), φ) + µ2Tr(Q)d t.

Từ (4.27), ta suy ra

t

(cid:90) t+T (cid:69)(|φ(t + T )|2) + ν (cid:69)((cid:107)φ(s)(cid:107)2)ds ≤ (cid:69)(|φ(t)|2) + µ2T Tr(Q).

t

Do đó, (cid:90) t+T ν (cid:69)((cid:107)φ(s)(cid:107)2)ds ≤ µTr(Q) + µ2T Tr(Q), lim sup t→+∞

điều trên tương đương với

t

d là

0

(cid:90) t+T ν (cid:69)((cid:107)z(s) − v(s)(cid:107)2)ds ≤ µTr(Q) + µ2T Tr(Q). lim sup t→+∞

να3

, và

Hệ quả 4.1. Giả sử rằng các phép đo quan sát được cho bởi các phần tử thể tích hữu hạn (4.13) và có thêm số hạng chứa nhiễu như trong (4.10), ở đó mỗi β chuyển động Brown độc lập một chiều với phương sai σ2/3. Gọi µ = 21/2C 2 L M 2 chọn N = K 3 đủ lớn sao cho

(cid:114) ν L ≤ h = . µ K 2c1

Khi đó nghiệm z của phương trình đồng hóa (4.8) thỏa mãn

66

k1 (cid:69) (cid:128)|z(t) − v(t)|2(cid:138) ≤ , ν Gr 2σ2 L4 α3 lim sup t→+∞

và

t

(cid:140) (cid:90) t+T ν (cid:130) k1 k2 1 + (cid:69)((cid:107)z(s) − v(s)(cid:107)2)ds ≤ σ2 L4, ν 2Gr 4 L α6 T ν Gr 2 α3T lim sup t→+∞

= . ở đó k1 21/2C 2 L π

Chứng minh. Theo Mệnh đề 4.1 và cách chọn µ và h, ta có

L M 2

0

ν Gr 2 k1 σ2 L3 = σ2 L3 = µTr(Q) ≤ µσ2 L3 = , 21/2C 2 να3 ν Gr 2σ2 L4 α3 23/2C 2 L α3λ1/2 1

tương tự, ta cũng thu được

L M 2

0

0

(cid:129) µ (cid:139) (cid:139) (cid:129) µ + µ2 + µ2 σ2 L3 Tr(Q) ≤ T T (cid:140) = + σ2 L3 2C 4 L M 4 ν 2α6

2ν 2Gr 2 λ1/2 1

 

22ν 4Gr 4 2C 4 λ L 1 ν 2α6

= + σ2 L3     (cid:130)21/2C 2 να3T 21/2C 2 L να3T

(cid:140) ν Gr 2 L 2C 4 L = + σ2 L3 (cid:130)21/2C 2 L α3πT ν 2Gr 4 L2 α6π2 (cid:140) (cid:130) k1 k2 1 = + σ2 L4, ν 2Gr 4 L α6 ν Gr 2 α3T

1

= ở đó ta sử dụng λ . = 4π2/L2 và k1 21/2C 2 L π

Chú ý 4.1. Nếu quan sát bị chặn trên thì sai số cho trong Hệ quả 4.1 là độc lập

với độ phân giải h. Đặc biệt, nếu tăng mật độ của phép đo thì cũng không tăng

được tính chính xác của nghiệm xấp xỉ. Vì việc tăng độ phân giải của các quan

sát không dẫn đến bất kỳ sự giảm độ sai số của phép đo có trong các quan sát nội suy ˜Rh được cho bởi (4.5). Ta khắc phục khiếm khuyết này ở mục liền sau.

67

Hệ quả 4.2. Giả sử rằng phép đo quan sát được cho bởi các phần tử thể tích hữu hạn trong (4.13) và có thêm số hạng chứa nhiễu (4.10), ở đó β d là một chuyển độc Brown độc lập một chiều với phương sai σ2/3. Cho µ là hằng số trong Hệ

quả 4.1 và ε ∈ (0, 1). Khi đó tồn tại nội suy của dữ liệu quan sát dựa trên các

phần tử thể tích với mật độ quan sát h sao cho

ε ≤ ≤ , c(cid:48)G r 3 L3 h3 max{ε, 64c(cid:48)Gr 3} L3

(cid:139)3/2 và ở đó c(cid:48) = (cid:129) 25/2c1C 2 L L3 2π1/2α3

(4.28) (cid:69)(|z(t) − v(t)|2) ≤ µσ2 L3ε. lim sup t→+∞

Chứng minh. Nếu µ) ≥ L thì ta có thể lấy h = L trong Định lí 4.3. (cid:112)ν/(2c1

1 ở đó K1

Trong trường hợp này v là nghiệm ổn định và không cần dữ liệu quan sát để ≥ 3 là số nguyên duy nhất thỏa phục hồi v. Nếu không, đặt M = K 3

m là khối lập phương với độ dài cạnh h(cid:48), ở đó m = 1, . . . , M . Chọn h =

mãn (cid:114) ν ≤ < h(cid:48) = . µ L − 1 L K1 K1 2c1

Gọi Q(cid:48) h(cid:48)/q, ở đó q là số nguyên thỏa mãn

(4.29) q3 ≥ > (q − 1)3. 1 ε

Với cách chọn K1 và q ở trên , ta có

(cid:114) (cid:114) µ µ = ≤ ≤ , < 2 2c1 ν 2c1 ν 1 h(cid:48) K1 L 2(K1 − 1) L

và

ε−1/3 ≤ q = (q − 1) + 1 ≤ ε−1/3 + 1 ≤ 2ε−1/3,

hoặc ε1/3 1 ≤ ≤ ε1/3. q 2

Vì thế (cid:114) ν (cid:114) ν ≤ ε1/3 ≤ h = ε1/3, µ µ h(cid:48) q 32c1 2c1

điều trên tương đương với

68

(cid:19)3/2 (cid:19)3/2 µ µ ε ≤ ≤ . (cid:18) 2c1 ν (cid:18) 32c1 ν h3

L M 2

0

να3

ν Gr 2 α3

Bởi vì µ = 21/2C 2 , ta có = 23/2C 2 L λ1/2 1

(cid:32) (cid:33)3/2 (cid:32) (cid:33)3/2 ε ν Gr 2 ≤ ≤ . h3 ν G r 2 α3 25/2c1C 2 L νλ1/2 1 16.25/2c1C 2 L νλ1/2 α3 1

Do đó, ta thu được ε ≤ ≤ , c(cid:48)G r 3 L3 h3 64c(cid:48)Gr 3 L3

(cid:139)3/2 ở đó c(cid:48) = . (cid:129) 25/2c1C 2 L L3 2π1/2α3

Cho Qm là khối lập phương với cạnh h, ở đó m = 1, . . . , N và N = L3/h3 =

q3M . Định nghĩa toán tử trung bình (cid:65) : (cid:82)3N → (cid:82)3M như sau

3n−2

3m−2

    ϕ (cid:65) (ϕ)

3m−1

Qn

⊆Q(cid:48) m

3n−1 ϕ

3n

3m

h, ở đó (cid:73)

h(cid:48) = (cid:65) ◦ (cid:73)

h

m. Cho ˜(cid:73)

(cid:88) = ϕ (cid:65) (ϕ) với m = 1, 2, . . . , M . 1 q3                 (cid:65) (ϕ)

h là các phép đo quan sát không có nhiễu h(cid:48) phép đo quan sát tương tự (v(t)) là phép đo quan sát có nhiễu được xác định bởi (4.4), ở đó h(cid:48)(v(t))+(cid:70) (t),

(v(t)) = (cid:73) Ta chú ý rằng (cid:73) với phần tử thể tích cho trong (4.13) cho Qn và (cid:73) Q(cid:48) (cid:69) (t) được cho trong (4.10). Điều đó kéo theo (cid:65) ◦ ˜(cid:73) h

ở đó

1

2

3M

(cid:70) (t)d t = (dβ (t)) (t), dβ (t), . . . , dβ

j là các chuyển động Brown độc lập một chiều sao cho

và β

j

và E(β (t)) = t j = 1, 2, . . . , 3M . (t)) = 0 (cid:69) (β 2 j σ2 3q3 ,

Do đó, bằng cách lấy giá trị trung bình của các phần tử thể tích, ta đã giảm

được phương sai của số hạng chứa nhiễu của các phép đo. Đặc biệt, từ (4.29), số hạng chứa nhiễu tương đương với một chuyển động Q(cid:48)-Brown nhận giá trị trong [˙L2]3 với

Tr(Q(cid:48)) ≤ σ2 L3/q3 ≤ σ2 L3ε.

Ta định nghĩa toán tử nội suy

h(cid:48) ◦ (cid:65) ◦ (cid:73) h.

69

Rh(cid:48) = (cid:76)

Vì Rh(cid:48) thỏa mãn (4.2) với các hằng số đã cho ở trên, áp dụng Định lí 4.3 ta có (4.28).

Kết luận Chương 4. Các kết luận đạt được trong chương là

• Thiết lập được phương trình đồng hóa dựa trên các dữ liệu quan sát được

có nhiễu ngẫu nhiên.

• Chỉ ra được tính đặt đúng toàn cục của bài toán đồng hóa (Xem Định lí

4.2).

• Đánh giá được sai số tiệm cận của hiệu giữa nghiệm của hệ đồng hóa và

70

nghiệm của hệ gốc ban đầu (Xem Định lí 4.3).

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1. Các kết quả đạt được

Các kết quả đạt được của luận án là:

• Đối với hệ Leray-α 3D ngẫu nhiên: Chỉ ra được tính đặt đúng của hệ ngẫu

nhiên và của hệ tất định. Khẳng định được sự ổn định bình phương trung

bình theo tốc độ mũ và hầu chắc chắn theo tốc độ mũ của nghiệm dừng.

Sử dụng điều kiện về cường độ của nhiễu hoặc bằng cách thiết kế một

điều khiển phản hồi có giá đủ lớn bên trong miền ta ổn định hóa nghiệm

dừng nếu nó không ổn định.

• Đối với hệ N-S-V 3D ngẫu nhiên có trễ vô hạn: Khẳng định được tính ổn

định bình phương trung bình địa phương của nghiệm dừng trong trường

hợp trễ tổng quát. Khẳng định được tính ổn định bình phương trung bình

theo tốc độ mũ và hội tụ hầu chắc chắn theo tốc độ mũ của nghiệm dừng

trong trường hợp số hạng có trễ phân phối. Trong trường hợp số hạng có

trễ tỉ lệ, chứng minh được tính ổn định bình phương trung bình theo tốc

độ đa thức và hội tụ hầu chắc chắn theo tốc độ đa thức của nghiệm dừng.

• Đối với bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ Leray-α 3D với dữ

liệu có nhiễu ngẫu nhiên: Thiết lập được phương trình đồng hóa dựa trên

các dữ liệu quan sát được có nhiễu ngẫu nhiên. Chỉ ra được tính đặt đúng

toàn cục của phương trình đồng hóa. Đánh giá được sai số tiệm cận của

hiệu giữa nghiệm của hệ đồng hóa và nghiệm của hệ gốc ban đầu.

71

2. Đề xuất một số chủ đề cho nghiên cứu trong tương lai.

Một số hướng nghiên cứu tiếp theo:

• Tìm hiểu bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục cho một số α-mô hình ngẫu

nhiên khác hoặc trong trường hợp toán tử nội suy loại 2.

• Tìm hiểu vấn đề tốc độ hội tụ nghiệm theo tham số α của các mô hình

72

ngẫu nhiên tới nghiệm của hệ Navier-Stokes ngẫu nhiên.

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN LUẬN ÁN

[CT1]. N. V. Thanh and T. Q. Tuan (2022), "Asymptotic behavior of solu- tions to the three-dimensional stochastic Leray-α model", Random Oper.

Stoch. Equ. 30 , no. 2, 137-148. DOI: 10.1515/rose-2022-2077.

[CT2]. C. T. Anh, V. M. Toi and T. Q. Tuan (2023), Stability analysis of

stochastic 3D Navier-Stokes-Voigt equations with infinite delay, submitted.

[CT3]. B. K. My and T. Q. Tuan (2023), "Continuous data assimilation for the three-dimensional Leray-α model with stochastically noisy data",

Bull. Korean Math. Soc. 60 , no.1, 93-111. DOI: 10.4134/BKMS.b210919.

73

Tài liệu tham khảo

[1] C. T. Anh and B. H. Bach, Discrete data assimilation algorithm for the three- dimensional Leray-α model, Bull. Pol. Acad. Sci. Math. 66 (2018), 143-156.

[2] C. T. Anh and D. T. P. Thanh, Existence and long-time behavior of solutions

to Navier-Stokes-Voigt equations with infinite delay, Bull. Korean Math. Soc.

55 (2018), 379-403.

[3] C. T. Anh and N. V. Thanh, On the existence and long-time behavior of

solutions to stochastic three-dimensional Navier-Stokes-Voigt equations,

Stochastics 91 (2019), 485-513.

[4] C. T. Anh and P. T. Trang, Pull-back attractors for three dimensional Navier-

Stokes-Voigt equations in some unbounded domain, Proc. Royal Soc. Edin-

burgh Sect. A 143 (2013), 223-251.

[5] C. T. Anh and N. T. Da, The exponential behaviour and stabilizability of

stochastic 2D hydrodynamical type systems, Stochastics 89 (2017), 593-

618.

[6] J. A. D. Appleby and E. Buckwar, Sufficient conditions for polynomial

asymptotic behaviour of the stochastic pantograph equation, Proc. 10’th

Coll. Qualitative Theory of Diff. Equ., Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ.

2016 (2016), 1-32.

[7] A. F. Albanez, H. J. Nussenzveig Lopes and E. S. Titi, Continuous data assimilation for the three-dimensional Navier-Stokes-α model, Asymptot.

Anal. 97 (2016), 139-164.

[8] A. F. Albanez and M. J. Benvenutti, Continuous data assimilation algorithm

for simplified Bardina model, Evol. Equ. Control Theory. 7 (2018), 33-52.

[9] A. Azouani, E. Olson and E. S. Titi, Continuous data assimilation using

general interpolant observables, J. Nonlinear Sci. 24 (2014), 277-304.

74

[10] A. Azouani and E. S. Titi, Feedback control of nonlinear dissipative sys-

tems by finite determining parameters-a reaction-diffusion paradigm, Evol.

Equ. Control Theory 3 (2014), 579-594.

[11] V. Barbu, Note on the internal stabilization of stochastic parabolic equa-

tions with linearly multiplicative Gaussian noise, ESAIM Control Optim.

Calc. Var. 19 (2013), 1055-1063.

[12] V. Barbu and C. Lefter, Internal stabilizability of the Navier-Stokes equa-

tions, Syst. Control Lett. 48 (2003), 161-167.

[13] H. Bessaih, E. Olson and E.S. Titi, Continuous data assimilation with

stochastically noisy data, Nonlinearity 28 (2015), 729-753.

[14] F. Boyer and P. Fabrie, Mathematical Tools for the Study of the Incompress-

ible Navier-Stokes Equations and Related Models, Applied Mathematical Sci-

ences 183, Springer, New York, 2013.

[15] P. Billingsley, Probability and Measure, 3rd ed. New York: John Wiley-Sons,

1995.

[16] T. Caraballo, J.A. Langa and T. Taniguchi, The exponential behaviour

and stabilizability of stochastic 2D-Navier-Stokes equations, J. Differential

Equations 179 (2002), 714-737.

[17] T. Caraballo, A.M. Márquez-Durán, Long time dynamics for functional

three-dimensional Navier-Stokes-Voigt equations, AIMS Math. 5 (2020),

5470-5494.

[18] T. Caraballo and J. Real, Navier-Stokes equations with delays, R. Soc.

Lond. Proc. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 457 (2001), 2441-2454.

[19] T. Caraballo and J. Real, Asymptotic behaviour of Navier-Stokes equations

with delays, R. Soc. Lond. Proc. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 459 (2003),

75

3181-3194.

[20] H. Chen, Asymptotic behavior of stochastic two-dimensional Navier-

Stokes equations with delays, Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci. 122 (2012),

283-295.

[21] M. Coti Zelati and C.G. Gal, Singular limits of Voigt models in fluid dy-

namics, J. Math. Fluid Mech. 17 (2015), 233-259.

[22] T. Caraballo, K. Liu and X. Mao, On stabilization of partial differential

equations by noise, Nagoya Math. J. 161 (2001), 155-170.

[23] A.A. Cheskidov, D.D. Holm, E. Olson and E.S. Titi, On a Leray-α model

of turbulence, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 461 (2005),

629-649.

[24] I. Chueshov and A. Millet, Stochastic 2D hydrodynamical type systems:

well posedness and large deviations, Appl. Math. Optim. 61 (2010), 379-

420.

[25] I. Chueshov and A. Millet, Stochastic two-dimensional hydrodynamic sys-

tem: Wong-Zakai approximation and support theorem, Stoch. Anal. Appl.

29 (2011), 570-611.

[26] Y. Cao, M.E. Lunasin and E.S. Titi, Global well-posedness of the three-

dimensional viscous and inviscid simplified Bardina turbulence models,

Commun. Math. Sci. 4 (2006), 823-848.

[27] P. Constantin and C. Foias, Navier-Stokes Equations, The University of

Chicago Press, Chicago, 1988.

[28] T. Caraballo, J. Real and T. Taniguchi, On the existence and uniqueness

of solutions to stochastic three dimensional Lagrangian averaged Navier-

Stokes equations, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A 462 (2006), 459-479.

76

[29] I. Chueshov and S. Kuksin, Stochastic 3D Navier-Stokes equations in a thin domain and its α-approximation, Phys. D 237 (2008), 1352-1367.

[30] A. A. Dunca, Estimates of the modeling error of the α-models of turbu-

lence in two and three space dimensions, J. Math. Fluid Mech. 20 (2018),

1123-1135.

[31] J. Duan and W. Wang, Effective Dynamics of Stochastic Partial Differential

Equations, Elsevier Insights. Elsevier, Amsterdam, 2014.

[32] G. Da Prato and J. Zabczyk, Stochastic Equations in Infinite Dimensions,

Cambridge University Press, Cambridge, 1992.

[33] R. Daley, Atmospheric Data Analysis, Cambridge Atmospheric and Space

Science Series, Cambridge University Press, 1991.

[34] G. Deuguoe and M. Sango, On the strong solution for the 3D stochastic

Leray-α model, Bound. Value Probl. (2010), 535-565.

[35] G. Deugoue and M. Sango, Weak solutions to stochastic 3D Navier-Stokes- α model of turbulence: α-asymptotic behavior, J. Math. Anal. Appl. 384

(2011), 49-62.

[36] A. Farhat, M. Jolly and E. Lunasin, Bounds on energy and enstrophy for the 3D Navier-Stokes-α and Leray-α models, Commun. Pure Appl. Anal. 13

(2014), 2127-2140.

[37] A. Farhat, E. Lunasin and E.S. Titi, A data assimilation algorithm: the paradigm of the 3D Leray-α model of turbulence, Partial differential equa-

tions arising from physics and geometry, London Math. Soc. Lecture Note

Ser., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 450 (2019), 253-273.

[38] C. Foias, D.D. Holm and E.S. Titi, The three dimensional viscous Camassa-

Holm equations, and their relation to the Navier-Stokes equations and tur-

bulence theory, J. Dynam. Differential Equations 14 (2002), 1-35.

[39] D. Gabriel and S. Mamadou, On the strong solution for the 3D stochastic

77

Leray-alpha model, Bound. Value Probl. 2010, Art. ID 723018, 31 pp.

[40] C.G. Gal and T.T. Medjo, A Navier-Stokes-Voight model with memory,

Math. Methods Appl. Sci. 36 (2013), 2507-2523.

[41] M. Holst, E. Lunasin and G. Tsogtgerel, Analysis of a general family of

regularized Navier-Stokes and MHD models, J. Nonlinear Sci. 20 (2010),

523-567.

[42] A. Ilyin, E.M. Lunasin and E.S. Titi, A modified-Leray−α subgrid scale

model of turbulence, Nonlinearity 19 (2006), no. 4, 879-897.

[43] M.S. Jolly, V.R. Martinez and E.S. Titi, A data assimilation algorithm for

the subcritical surface quasi-geostrophic equation, Adv. Nonlinear Stud. 17

(2017), 167-192.

[44] V.K. Kalantarov and E.S. Titi, Global attractors and determining modes for

the 3D Navier-Stokes-Voight equations, Chin. Ann. Math. Ser. B 30(2009),

697-714.

[45] T. Kato, Asymptotic behavior of solutions of the functional differential equation y(x) = a y(λx) + b y(x), in: Delay and Functional Differential

Equations and Their Applications, Proc. Conf., Park City, Utah, 1972, Aca-

demic Press, New York, 1972, pp. 197-217.

[46] T. Kato and J.B. McLeod, The functional-differential equation y(x) =

a y(λx) + b y(x), Bull. Amer. Math. Soc. 77 (1971), 891-937.

[47] P. Korn, Data assimilation for the Navier-Stokes-α equations, Phys. D 238

(2009), 1957-1974.

[48] S. Li, W. Liu and Y. Xie, Large deviations for stochastic 3D Leray-α model

with fractional dissipation, Commun. Pure Appl. Anal. 18 (2019), 2491-

2510.

[49] S. Li, W. Liu and Y. Xie, Ergodicity of 3D Leray-α model with fractional

dissipation and degenerate stochastic forcing, Infin. Dimens. Anal. Quan-

78

tum Probab. Relat. Top. 22 (2019), no. 1, 1950002, 20 pp.

[50] R.S. Liptser and A.N. Shiryayev, Theory of Martingales, Kluwer Academic

Publishers Group, Dordrecht, 1989.

[51] K. Liu, Exponential stability of non-linear stochastic evolution equations,

Stoch. Proc. Appl. 78 (1998), 173-193.

[52] W. Liu and M. R¨ockner, Stochastic partial differential equations: an intro-

duction , Universitext, Springer, Cham, 2015, vi+266 pp.

[53] L. Liu and T. Caraballo, Analysis of a stochastic 2D-Navier-Stokes model

with infinite delay, J. Dynam. Differential Equations 31 (2019), 2249-2274.

[54] H. Li and Y. Qin, Pullback attractors for three-dimensional Navier-Stokes-

Voigt equations with delays, Bound. Value Probl. 2013 (2013), 17 pp.

[55] K. Liu, On stability for a class of semilinear stochastic evolution equations,

Stochastic Process. Appl. 70 (1997), 219-241.

[56] X. Mao , Stochastic Differential Equations and Applications, Horwood,

Chichester, 1997.

[57] A.P. Oskolkov, The uniqueness and solvability in the large of boundary

value problems for the equations of motion of aqueous solutions of poly-

mers. Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Math. Inst. Steklov. (LOMI),

38(1973), 98-136.

[58] J. C. Robinson, Infinite-Dimensional Dynamical Systems: An Introduction to

Dissipative Parabolic PDEs and the Theory of Global Attractors, Cambridge

Texts in Applied Mathematics, Series Number 28, 2001.

[59] P.A. Razafimandimby and M. Sango, Convergence of a sequence of solu-

tions of the stochastic two-dimensional equations of second grade fluids,

Asymptot. Anal. 79 (2012), no. 3-4, 251-272.

[60] R. Temam, Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, 2nd

79

edition, Amsterdam, North-Holland, 1979.

[61] V. M. Toi, Stability and stabilization for the three-dimensional Navier-

Stokes-Voigt equations with unbounded variable delay, Evol. Equ. Control

Theory 10 (2021), 1007-1023

[62] G. Yang, S. Li, Q. Zhang, T. Caraballo, Stability analysis of stochastic 3D

Lagrangian-averaged Navier-Stokes equations with infinite delay, J. Dy-

nam. Differential Equations (2023). https://doi.org/10.1007/s10884-022-

80

10244-0.