Luận án Tiến sĩ Toán học: Về một dạng định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Nguyễn Thanh Sơn

VỀ MỘT DẠNG ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ĐƯỜNG CONG NGUYÊN VÀ ĐỊNH LÍ KHÔNG GIAN CON SCHMIDT ĐỐI VỚI SIÊU MẶT DI ĐỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2022

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Nguyễn Thanh Sơn

VỀ MỘT DẠNG ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ĐƯỜNG CONG NGUYÊN VÀ ĐỊNH LÍ KHÔNG GIAN CON SCHMIDT ĐỐI VỚI SIÊU MẶT DI ĐỘNG

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 9.46.01.05

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS Trần Văn Tấn

Hà Nội, 2022

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan các kết quả trình bày trong luận án này là mới và trung thực,

đã được đăng tải trên các tạp chí Toán học uy tín trong nước và quốc tế, được

các đồng tác giả cho phép sử dụng trong luận án và chưa từng công bố trong

công trình nào khác.

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Thanh Sơn

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc nhất của mình

tới GS. Trần Văn Tấn, người thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, động viên và

hỗ trợ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Phòng Sau đại học, Khoa Toán-Tin, Trường

Đại học Sư Phạm Hà Nội, Sở GD-ĐT Thanh Hóa, Trường THPT chuyên Lam

Sơn đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất để tôi có thể chuyên tâm học tập,

nghiên cứu. Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô, các bạn nghiên

cứu sinh của Bộ môn Hình học và Tô pô đã có những trao đổi, góp ý bổ ích về

học thuật, các đồng nghiệp trong Ban giám hiệu và tổ Toán trường chuyên Lam

Sơn đã động viên, trợ giúp tôi trong công việc để tôi có thể sớm hoàn thành

luận án này.

Cuối cùng, tôi xin gửi tặng những thành quả đạt được của mình đến gia đình

và người thân thay lời cảm ơn cho những sự hy sinh, vất vả trong suốt quá trình

học tập, nghiên cứu của tôi.

iii

Tác giả

MỤC LỤC

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

iii

Danh mục các quy ước và kí hiệu

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan

1.1 Định lí cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Định lí không gian con Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Định lí cơ bản thứ hai đối với đường cong nguyên có đạo hàm cầu

triệt tiêu trên tập tạo ảnh của một mục tiêu

2.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Các hàm cơ bản trong Lí thuyết Nevalinna . . . . . . . . . . 11

2.1.2 Toán tử Wronski và Bổ đề đạo hàm Logarit cho ánh xạ

chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.3 Họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát trên đa tạp xạ ảnh và

một số khái niệm liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.4 Đạo hàm cầu của ánh xạ chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.5 Họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính Brody của

2.2 Định lí cơ bản thứ hai và Định lí Picard cho đường cong nguyên trong

không gian xạ ảnh với đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các

siêu mặt mục tiêu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

đường cong nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Trọng Nochka ứng với một hệ vectơ . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.2 Định lí cơ bản thứ hai kiểu Nochka cho siêu mặt và Định lí

Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh có

đạo hàm triệt tiêu trên tập ảnh ngược của các siêu mặt mục tiêu . . . . 30

2.2.3 Một tiêu chuẩn Brody cho đường cong nguyên . . . . . . . . 28

2.3.1 Một số bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa

tạp đại số xạ ảnh

2.3.2 Một dạng định lí cơ bản thứ hai không ngắt bội . . . . . . . 30

3.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.1 Định giá trên trường số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.2 Chuẩn hóa định giá và công thức tích . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.3 Độ cao Logarit và các hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa tạp

đại số xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.4 Họ siêu phẳng, siêu mặt di động trên một tập chỉ số . . . . 43

3.2.1 Một số bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.2 Chứng minh Định lí 3.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Kết luận và kiến nghị

Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án 70

TÀI LIỆU THAM KHẢO

DANH MỤC CÁC QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU

(cid:136) Pn(C): không gian xạ ảnh phức n chiều.

(cid:136) ∥z∥ = (cid:0)|z1|2 + · · · + |zm|2(cid:1)1/2 với z = (z1, . . . , zm) ∈ Cm

(cid:136) ∥f ∥ = (cid:0)|f0|2 + · · · + |fn|2(cid:1)1/2 với (f0 : · · · : fn) ∈ Pn(C) là một biểu diễn rút

Các kí hiệu sau được thống nhất trong toàn bộ luận án.

(cid:136) o(r): vô cùng bé bậc cao hơn r khi r → +∞.

(cid:136) O(r): vô cùng lớn cùng bậc với r khi r → +∞.

(cid:136) O(1): hàm bị chặn đối với r.

(cid:136) log+x = max{log x, 0}, x > 0.

(cid:136) “∥ P ”: có nghĩa là mệnh đề P đúng với mọi r ∈ [0, +∞) nằm ngoài một tập

gọn của f.

E dr < +∞.

(cid:136) #S: lực lượng của tập hợp S.

(cid:136) BCN N {d1, . . . , dq}: bội số chung nhỏ nhất của các số nguyên dương d1, . . . , dq.

(cid:136) deg D: bậc của đa thức thuần nhất xác định siêu mặt D.

(cid:136) PM (k): không gian xạ ảnh M-chiều trên trường k.

(cid:136) Mk: tập tất cả các lớp tương đương các định giá trên trường k.

(cid:136) ∥.∥v: chuẩn hóa của định giá v trên k.

(cid:136) h(x): độ cao logarit của x, với x ∈ k.

(cid:136) λHj,v: hàm Weil ứng với siêu phẳng Hj và định giá v.

(cid:136) NS(Hj, x): hàm đếm (tương ứng với hàm đếm trong lí thuyết Nevanlinna).

(cid:136) f #: đạo hàm cầu của f.

(cid:136) Hol(X, Y ): tập các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y .

(cid:136) E: Hàm độ dài trên đa tạp X.

con Borel E của [0, +∞) thoả mãn (cid:82)

Mở đầu

1. Lí do chọn đề tài

Lí thuyết phân bố giá trị hay còn gọi là Lí thuyết Nevanlinna, được hình

thành từ những nghiên cứu đầu tiên của Nevanlinna [24] về sự phân bố giá trị

của hàm phân hình một biến phức công bố vào năm 1925.

Các kết quả của Nevanlinna đã nhanh chóng được nhiều nhà toán học mở

rộng sang trường hợp chiều cao và nhiều biến như: A. Bloch [6] xem xét vấn đề

với đường cong chỉnh hình trong đa tạp Abel; Cartan [7] mở rộng kết quả của

Nevanlinna tới trường hợp đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh phức;

H. Weyl , J. Weyl [44] và Ahlfors [4] đưa ra cách tiếp cận bằng hình học; Stoll

[37, 38] mở rộng sang trường hợp ánh xạ phân hình từ không gian parabolic vào

đa tạp xạ ảnh...

Nội dung chính của Lí thuyết Nevanlinna đưa ra mối quan hệ giữa hàm đặc

trưng (đo sự lan tỏa của ảnh của ánh xạ) với hàm đếm các giao điểm của ảnh

của ánh xạ với một mục tiêu. Cốt lõi của Lí thuyết Nevanlinna nằm ở hai định

lí chính thường gọi là Định lí cơ bản thứ nhất và Định lí cơ bản thứ hai. Ở đó,

Định lí cơ bản thứ nhất đưa ra một chặn dưới cho hàm đặc trưng bởi hàm đếm,

còn Định lí cơ bản thứ hai đưa ra một chặn trên cho hàm đặc trưng bởi tổng

của các hàm đếm ứng với một mục tiêu. Với Định lí cơ bản thứ nhất, ta có thể

nhìn nó như là một hệ quả của Công thức Jensen và ngày nay đã có những hiểu

biết thỏa đáng về nó. Tuy nhiên, với Định lí cơ bản thứ hai thì cho đến nay mới

chỉ được thiết lập cho không nhiều trường hợp.

Trước thập kỷ 80 của thế kỷ 20, các Định lí cơ bản thứ hai được thiết lập

chủ yếu cho các trường hợp mà mục tiêu là các siêu phẳng trong không gian xạ

ảnh phức.

Sang thập kỷ 80, một số nhà toán học đã phát hiện ra mối liên hệ sâu sắc giữa

Lí thuyết Nevanlinna với Lí thuyết xấp xỉ Diophantine mà khởi đầu là từ công

trình của Osgood [27] công bố năm 1981, sau đó được Vojta và nhiều chuyên gia

khác thuộc hai lĩnh vực này tiếp tục làm rõ thêm. Năm 1987, trong bài báo [43],

Vojta đã lập ra một bảng tương ứng giữa các khái niệm và các kết quả thuộc

hai lĩnh vực trên mà ngày nay thường gọi là từ điển Vojta. Theo đó, Định lí cơ

bản thứ hai tương ứng với Định lí không gian con Schmidt của Lí thuyết xấp xỉ

Diophantine. Không chỉ có sự tương đồng về khái niệm và kết quả, giữa hai lí

thuyết trên còn có sự bổ trợ lẫn nhau trong phương pháp giải quyết vấn đề. Sự

bổ trợ qua lại đó đã làm cho cả hai lí thuyết đạt được những thành tựu nổi bật

trong giai đoạn từ đầu thế kỷ 21 đến nay, đó là thiết lập được nhiều Định lí cơ

bản thứ hai và Định lí không gian con Schmidt cho các trường hợp mục tiêu là

các siêu mặt. Tiêu biểu là các kết quả của Corvaja-Zannier [10], Evertse-Ferretti

[15, 16], Ru [31, 32], Dethloff-Trần Văn Tấn [12, 11], Dethloff-Trần Văn Tấn-Đỗ

Đức Thái [13], Sĩ Đức Quang [29].

Trong dòng chảy sôi động đó, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: Về một

dạng Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không

2. Mục đích nghiên cứu

gian con Schmidt đối với siêu mặt di động.

Trước tiên, luận án thiết lập Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên

trong đa tạp đại số có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của mục tiêu và

ứng dụng trong việc xây dựng tính Brody của đường cong. Tiếp theo, luận án

thiết lập Định lí không gian con Schmidt ứng với họ siêu mặt di động giao đa

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

tạp đại số xạ ảnh.

Luận án nghiên cứu về Định lí không gian con Schmidt, Định lí cơ bản thứ

hai, đường cong Brody và bài toán về họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình.

Đề tài của luận án được nghiên cứu trong phạm vi các Lí thuyết xấp xỉ

Diophantine và Lí thuyết Nevanlinna cho đường cong nguyên trong không gian

4. Phương pháp nghiên cứu

xạ ảnh.

Các vấn đề đặt ra trong luận án được chúng tôi giải quyết bằng cách kế

thừa và phát triển các phương pháp của Hình học đại số, Lí thuyết xấp xỉ

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Diophantine, Giải tích phức, Hình học phức.

Các kết quả đạt được của luận án làm gia tăng tri thức về Lí thuyết Nevan-

linna và Lí thuyết xấp xỉ Diophantine cũng như các ứng dụng của Định lí cơ

bản thứ hai trong việc nghiên cứu họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình, đường

cong Brody.

Sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh nghiên cứu theo hướng này

có thể sử dụng luận án như một tài liệu tham khảo trong quá trình học tập,

6. Cấu trúc luận án

nghiên cứu.

Luận án được trình bày thành ba chương chính. Trong đó, chương thứ nhất

dành để phân tích, tìm hiểu các kết quả nghiên cứu của các tác giả trong và

ngoài nước liên quan đến nội dung đề tài. Hai chương còn lại trình bày các kiến

thức chuẩn bị và chứng minh chi tiết các kết quả mới của đề tài.

Chương I. Tổng quan.

Chương II. Định lí cơ bản thứ hai đối với đường cong nguyên có đạo hàm

cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của một mục tiêu.

Chương III. Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao

đa tạp đại số xạ ảnh.

Luận án được viết dựa theo kết quả nghiên cứu của tác giả và các đồng tác

giả công bố trong ba bài báo đăng trên các tạp chí khoa học trong nước và quốc

7. Nơi thực hiện luận án

tế.

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.

Chương 1

Tổng quan

Năm 1925, trong bài báo [24], R. Nevanlinna công bố kết quả nghiên cứu về

sự phân bố giá trị của các hàm phân hình trên mặt phẳng phức. Kết quả này

khởi đầu mở ra một trong những lí thuyết đẹp của Giải tích phức sau này mang

tên ông, còn gọi là Lí thuyết phân bố giá trị. Có thể nhìn Lí thuyết Nevanlinna

như là một sự mở rộng tinh tế các Định lí Picard bé, Borel, Weierstrass, Định

lí cơ bản của Đại số.

Lí thuyết này nhanh chóng được nhiều nhà toán học như Bloch, Cartan, H.

Weyl, J.Weyl, Ahlfors nghiên cứu mở rộng sang trường hợp chiều cao và liên tục

phát triển trong gần 100 năm qua.

Cốt lõi của Lí thuyết Nevanlinna nằm ở hai định lí nói về mối quan hệ giữa

các hàm đếm, hàm đặc trưng và hàm xấp xỉ, thường gọi là Định lí cơ bản thứ

nhất và Định lí cơ bản thứ hai. Định lí cơ bản thứ nhất nói rằng hàm đặc trưng

bằng tổng của hàm đếm và hàm xấp xỉ, từ đó cho ta một đánh giá chặn dưới

hàm đặc trưng bởi hàm đếm. Định lí cơ bản thứ hai đưa ra một đánh giá chặn

trên hàm đặc trưng bởi tổng của các hàm đếm ứng với một mục tiêu cho trước

nào đó.

Trong khi đánh giá của Định lí cơ bản thứ nhất luôn đạt được nhờ vào định

nghĩa các khái niệm thì đánh giá của Định lí cơ bản thứ hai mới chỉ đạt được

cho không nhiều trường hợp các mục tiêu. Chính vì lẽ đó, Lí thuyết Nevanlinna

vẫn tiếp tục được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu.

Không chỉ có những ứng dụng đẹp trong Giải tích phức và Hình học phức, Lí

thuyết Nevanlinna còn có mối liên hệ sâu sắc với Lí thuyết xấp xỉ Diophantine.

Mối liên hệ này được Osgood phát hiện và nêu ra trong một công trình của ông

công bố năm 1981. Điều này tiếp tục được làm rõ bởi Vojta cùng các chuyên

gia khác thuộc hai lĩnh vực này. Năm 1987, Vojta đã lập ra một bảng tương

ứng giữa các khái niệm và các kết quả thuộc hai lĩnh vực, thường gọi là từ điển

Vojta, theo đó Định lí cơ bản thứ hai tương ứng với Định lí không gian con

Schmidt của Lí thuyết xấp xỉ Diophantine.

1.1 Định lí cơ bản thứ hai

Trong suốt thế kỷ 20, các Định lí cơ bản thứ hai chủ yếu được thiết lập cho

mục tiêu là các siêu phẳng trong không gian xạ ảnh phức.

Kết quả của Nevanlinna cho trường hợp một chiều đã được Cartan [7] mở

rộng sang trường hợp chiều cao vào năm 1933 như sau.

Định lí 1.1.1 (Định lí cơ bản thứ hai Cartan). Cho f là một đường cong nguyên,

q (cid:88)

N [n]

không suy biến tuyến tính (nghĩa là ảnh của nó không thuộc bất kỳ siêu phẳng nào) trong Pn(C). Giả sử H1, . . . , Hq là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong Pn(C) (nghĩa là n + 1 siêu phẳng bất kỳ trong chúng có giao bằng rỗng). Khi đó

f (r, Hj) + o(Tf (r)).

j=1

(cid:13) (cid:13)(q − n − 1)Tf (r) ≤

Năm 1983, Nochka [25] tiếp tục mở rộng được kết quả trên của Cartan sang

trường hợp ánh xạ chỉnh hình khác hằng bất kì (thay vì không suy biến tuyến

tính).

q (cid:88)

N [k]

Định lí 1.1.2 (Định lí cơ bản thứ hai Nochka). Cho f là một đường cong nguyên khác hằng trong Pn(C). Giả sử H1, . . . , Hq là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong Pn(C), không chứa ảnh của f. Khi đó

f (r, Hj) + o(Tf (r)),

j=1

(cid:13) (cid:13)(q − 2n + k − 1)Tf (r) ≤

ở đó k là số chiều của không gian xạ ảnh nhỏ nhất chứa ảnh của f.

Định lí cơ bản thứ hai của Nochka cho ta một hệ quả quan trọng đó là định

lí kiểu Picard cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian xạ ảnh. Theo nguyên lí

Bloch, mỗi định lí kiểu Picard đều tương ứng với một tiêu chuẩn về họ chuẩn

tắc các ánh xạ chỉnh hình và các dạng Bổ đề Zalcman là công cụ quan trọng

cho phép ta thực hiện ý tưởng của Bloch.

Năm 1991, Ru-Stoll [33] đã mở rộng tiếp được kết quả của Cartan nói trên

sang trường hợp mục tiêu là các siêu phẳng di động (có nghĩa là các hệ số trong

các siêu phẳng được thay bằng các hàm chỉnh hình).

Một trong những thành tựu nổi bật mà cả hai lí thuyết nêu trên đạt được từ

đầu thế kỷ 21 đến nay là thiết lập thành công các dạng Định lí cơ bản thứ hai

và Định lí không gian con Schmidt cho các trường hợp mà mục tiêu là các siêu

mặt. Cụ thể, trong những năm đầu của thế kỉ 21, các tác giả Everste-Ferretti,

Corvaja-Zannier [15, 16, 10] đã thiết lập thành công các Định lí không gian con

Schmidt cho mục tiêu là các siêu mặt. Áp dụng cách tiếp cận của các tác giả đó,

năm 2004, Ru [31] đã mở rộng thành công Định lí cơ bản thứ hai của Cartan

sang trường hợp siêu mặt.

Định lí 1.1.3 (Định lí cơ bản thứ hai cho siêu mặt cố định, [31]). Cho f là một

q (cid:88)

Nf (r, Dj).

đường cong nguyên, không suy biến đại số (nghĩa là ảnh của nó không thuộc bất kỳ siêu mặt nào) trong Pn(C). Giả sử D1, . . . , Dq (q ≥ n + 1) là các siêu mặt ở vị trí tổng quát trong Pn(C) (nghĩa là n + 1 siêu mặt bất kỳ trong chúng có giao bằng rỗng). Khi đó, với mỗi ε > 0 ta có

1 deg Dj

j=1

(cid:13) (cid:13)(q − n − 1 − ε)Tf (r) ≤

Tiếp theo đó, các Định lí cơ bản thứ hai cho mục tiêu là các siêu mặt di động

ở vị trí tổng quát; cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh (thay cho không

gian xạ ảnh) giao các siêu mặt ở vị trí tổng quát cũng đã được Dethloff-Trần

Văn Tấn [11, 12], Ru [32] thiết lập thành công. Các Định lí cơ bản thứ hai kiểu

Nochka cho siêu mặt cũng đã được thiết lập bởi Dethloff-Trần Văn Tấn-Đỗ Đức

Thái [13], Lê Giang [19], Chen-Ru-Yan [8], Sĩ Đức Quang-Đỗ Phương An [30],

Sĩ Đức Quang [29].

Gần đây, Trần Văn Tấn [41, 42] đã thiết lập được một dạng mạnh của Định

lí cơ bản thứ hai cùng Định lí Picard tương ứng cho lớp đường cong nguyên

trong không gian xạ ảnh có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêu

phẳng mục tiêu. Đồng thời với việc đó, tác giả đã đưa ra cách tiếp cận bài toán

họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình từ bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh

hình. Hướng nghiên cứu thứ nhất của luận án nhằm mở rộng cách tiếp cận của

Trần Văn Tấn từ trường hợp siêu phẳng sang cho siêu mặt.

Chương 2 của luận án trình bày hướng nghiên cứu thứ nhất với kết quả chính

đạt được là Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh

có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập ảnh ngược của các siêu mặt mục tiêu như

sau.

j=1f −1(Dj). Khi đó,

Định lí 1.1.4 (N.T.Son - T.V.Tan, [39], 2022). Cho V ⊂ Pn(C) là một đa tạp với chiều k ≥ 1, và D1, . . . , Dq là các siêu mặt trong Pn(C), ở vị trí N-dưới tổng quát trên V (có nghĩa là N + 1 siêu mặt bất kỳ trong chúng với V có giao bằng rỗng). Gọi d là bội chung nhỏ nhất của các số deg D1, . . . , deg Dq. Xét f là một đường cong nguyên trong V , không suy biến đại số (có nghĩa là không tồn tại siêu mặt đại số trong Pn(C) chứa ảnh của f nhưng không chứa V ). Kí hiệu f # là đạo hàm cầu của ánh xạ f và HV là hàm Hilbert của đa tạp V . Giả sử V ̸⊂ Dj(j = 1, . . . , q), với f # = 0 trên ∪q

q −

Tf (r)

(cid:18) (cid:19)

(2N − k + 1)HV (d) k + 1

(cid:13) (cid:13) (cid:13)

≤

1 −

N [κ]

f (r, Dj) + o(Tf (r)),

1 deg Dj

1 (k + 1)(HV (d) − 1)

j=1

(cid:18) (cid:19) q (cid:88)

với κ = ∞ nếu HV (d) = 2 và κ = HV (d) − 1 nếu HV (d) ≥ 3.

Từ định lí trên chúng tôi đã thiết lập được Định lí Picard tương ứng như

sau.

Định lí 1.1.5 (N.T.Son - T.V.Tan, [39], 2022). Cho D1, . . . , Dq là các siêu mặt ở vị trí tổng quát trong Pn(C), n ≥ 2. Gọi d là bội chung nhỏ nhất của deg D1, . . . , deg Dq. Giả sử tồn tại đường cong nguyên khác hằng f trong Pn(C) sao cho với mỗi j ∈ {1, . . . , q}, hoặc f (C) ⊂ Dj, hoặc f # = 0 trên f −1(Dj). Khi đó q ≤ 3n(cid:0)n+d (cid:1) − n.

Sử dụng Định lí Picard trên, kết hợp với Bổ đề Zalcman, chúng tôi tiếp tục

thiết lập được một tiêu chuẩn về tính Brody cho đường cong nguyên như sau.

Định lí 1.1.6 (N.T.Son - T.V.Tan, [39], 2022). Cho f là một đường cong nguyên trong Pn(C), n ≥ 2. Giả sử các siêu mặt D1, . . . , Dq ở vị trí tổng quát trong

j=1f −1(Dj). Gọi d là bội chung nhỏ nhất của (cid:1)−n, thì f # bị chặn trên toàn C, nghĩa

Pn(C) sao cho f # bị chặn trên ∪q deg D1, . . . , deg Dq. Khi đó, nếu q > 3n(cid:0)n+d là, f là một đường cong Brody.

1.2 Định lí không gian con Schmidt

Theo từ điển Vojta, ta có Định lí không gian con Schmidt sau đây tương ứng

với Định lí cơ bản thứ hai Cartan.

q (cid:88)

(q − n − 1 − ε)h(x) ≤

NS(Hj, x),

j=1

Định lí 1.2.1 (Định lí không gian con Schmidt, [36]). Cho k là một trường số và S ⊂ Mk là một tập hữu hạn, chứa tất cả các định giá Archimedes. Cho các siêu phẳng H1, . . . , Hq trong Pn(k), ở vị trí tổng quát. Khi đó, với mỗi ε > 0 ta có

với mọi x thuộc Pn(k), ngoài một tập là hợp của hữu hạn các phẳng trong Pn(k). (Ở đây, Mk là tập tất cả các lớp tương đương các định giá không tầm thường trên k, h(x) là hàm độ cao Logarit của x, và NS(Hj, x) là hàm đếm của x ứng với S và siêu phẳng Hj.)

Định lí không gian con Schmidt ứng với Định lí cơ bản thứ hai của Nochka

cũng đã được Ru-Wong [35] thiết lập năm 1991.

Năm 1997, Ru-Vojta [34] tiếp tục thiết lập được Định lí không gian con

Schmidt cho trường hợp mục tiêu là các siêu phẳng di động (có nghĩa là hệ số

của siêu phẳng là các hàm trên một tập chỉ số). Kết quả này của Ru-Vojta tương

ứng với Định lí cơ bản thứ hai cho mục tiêu di động.

Định lí 1.2.2 (Ru-Vojta [34], 1997). Cho k là một trường số và S là một tập

(i) x không suy biến tuyến tính ứng với họ siêu phẳng H (nghĩa là, với bất kỳ tập con A ⊂ Λ nhất quán tương ứng với họ siêu phẳng H thì x0|A, . . . , xM |A là độc lập tuyến tính trên RA,H),

con hữu hạn các định giá của k, chứa tất cả các định giá Archimedes. Cho Λ là một tập chỉ số gồm vô hạn phần tử và H := {H1, . . . , Hq} là họ các siêu phẳng di động trong PM (k), đánh chỉ số trên Λ. Cho x = [x0 : · · · : xM ] : Λ → PM (k) là một điểm di động. Giả sử

(ii) Giả sử với mỗi j ∈ {1, . . . , q}, ta có h(Hj(α)) = o(h(x(α))), theo nghĩa, với mọi δ > 0 bất kỳ, h(Hj(α)) ≤ δh(x(α)) với mọi α ∈ Λ, ngoại trừ một tập con hữu hạn.

Khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại tập con vô hạn chỉ số A ⊂ Λ sao cho bất đẳng

thức sau đúng với mọi α ∈ A,

λHj(α),v(x(α)) ≤ (M + 1 + ε)h(x(α)).

max K

j∈K

v∈S

(cid:88) (cid:88)

Ở đây, giá trị lớn nhất được lấy trên tất cả các tập con K của {1, . . . , q}, #K = M + 1 sao cho các siêu phẳng Hj(α), j ∈ K, là độc lập tuyến tính trên k với mỗi α ∈ Λ; λHj(α),v là hàm Weil ứng với đa thức Hj(α).

Định lí không gian con Schmidt ứng với Định lí cơ bản thứ hai của Dethloff-

Trần Văn Tấn [11] đã được Lê Giang [18], Chen-Ru-Yan [9] thiết lập vào năm

2015. Các Định lí cơ bản thứ hai và Định lí không gian con Schmidt cho mục

tiêu là các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát (thay vì ở vị trí tổng quát) trong

không gian xạ ảnh được Sĩ Đức Quang nghiên cứu trong [29, 28]. Các Định lí

không gian con Schmidt này đều được xét trong trường hợp siêu mặt di động

trong không gian xạ ảnh.

Hướng nghiên cứu thứ hai của chúng tôi trong luận án này là thiết lập Định

lí không gian con Schmidt cho trường hợp siêu mặt di động trong đa tạp đại số

xạ ảnh và là định lí ứng với Định lí cơ bản thứ hai của Dethloff-Trần Văn Tấn

[12].

Chương 3 của luận án trình bày hướng nghiên cứu này với kết quả chính thu

được như sau.

(i) Họ các siêu mặt Q ở vị trí tổng quát trên V , và x là V -không suy biến đại

Định lí 1.2.3 (N.T.Son-T.V.Tan-N.V.Thin [40], 2018). Cho k là một trường số và S ⊂ Mk là một tập con hữu hạn chứa tất cả các định giá Archimedes. Cho x = [x0 : · · · : xM ] : Λ → V là một điểm di động. Giả sử

(ii) h(Qj(α)) = o(h(x(α))) với mọi α ∈ Λ và j = 1, . . . , q (nghĩa là với mọi

δ > 0, h(Qj(α)) ≤ δh(x(α)) với mọi α ∈ Λ, ngoài một tập con hữu hạn).

số ứng với Q (các khái niệm này được định nghĩa chi tiết trong Chương 3);

Khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại tập con vô hạn chỉ số A ⊂ Λ sao cho

q (cid:88)

λQj(α),v(x(α)) ≤ (n + 1 + ε)h(x(α))

1 dj

j=1

v∈S

(cid:88)

đúng với mọi α ∈ A.

Đặc biệt, khi V = Pn(k), kết quả trên trùng với kết quả của Lê Giang [18], Chen-Ru-Yan [8]. Trong [28], Sĩ Đức Quang đã mở rộng kết quả của Lê Giang,

Chen-Ru-Yan từ trường hợp siêu mặt ở vị trí tổng quát sang vị trí dưới tổng

quát. Cũng trong [28] và trong [29], Sĩ Đức Quang đã đề xuất kỹ thuật ước

lượng (đánh giá) để quy trường hợp các siêu mặt mục tiêu ở vị trí dưới tổng

quát về trường hợp các siêu mặt ở vị trí tổng quát. Kết hợp kỹ thuật của chúng

tôi với kỹ thuật của Sĩ Đức Quang, bất đẳng thức trong định lí trên có thể dễ

dàng thay thế bởi bất đẳng thức sau trong trường hợp họ các siêu mặt Q ở vị

trí m-dưới tổng quát trên V (tức là, tại hầu hết các phần tử thuộc tập chỉ số,

theo nghĩa, ngoài một tập hữu hạn chỉ số, m + 1 siêu mặt bất kì trong họ Q đều

có giao bằng rỗng trên V )

q (cid:88)

λQj(α),v(x(α)) ≤ ((m − n + 1)(n + 1) + ε)h(x(α)).

1 dj

j=1

v∈S

(cid:88) (1.1)

Khi V = Pn(k), bất đẳng thức trên chính là kết quả của Sĩ Đức Quang [28]. Quan sát các Định lí cơ bản của Nochka và của Eremenko-Sodin cho mục tiêu

lần lượt là các siêu phẳng, siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát, chúng tôi tin rằng,

trong tương lai, (1.1) cũng như đánh giá trong Định lí cơ bản thứ hai tương ứng

sẽ có thể được thay thế bởi những đánh giá tốt hơn đáng kể.

Về phương pháp giải quyết vấn đề, điểm khác biệt lớn nhất giữa kết quả

của chúng tôi (cho trường hợp đa tạp xạ ảnh) so với kết quả của Lê Giang

[19], Chen-Ru-Yan [8], Sĩ Đức Quang [28] (cho trường hợp không gian xạ ảnh)

nằm ở chỗ, với đa tạp xạ ảnh tổng quát, vành tọa độ nói chung không là vành

Cohen-Macauley như đối với trường hợp đặc biệt là không gian xạ ảnh.

Chương 2

Định lí cơ bản thứ hai đối với đường cong nguyên có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của một mục tiêu

Chương này được viết dựa trên kết quả của các bài báo [2] và [3] (trong mục

Các công trình đã công bố liên quan đến luận án).

2.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Lí thuyết phân bố giá trị được trình bày trong nhiều tài liệu chuyên khảo,

2.1.1 Các hàm cơ bản trong Lí thuyết Nevalinna

phần này được viết dựa trên các tài liệu [17, 26, 1, 2, 3].

a) Hàm đếm của hàm phân hình và công thức Jensen.

ν(z).

N (r, ν) =

dt, (r > 1), ở đó n(t, ν) :=

n(t, ν) t

|z|

Định nghĩa 2.1.1 (Hàm đếm của một divisor). Cho ν là một divisor trên mặt phẳng phức C. Hàm đếm của ν được định nghĩa bởi r (cid:90) (cid:88)

Với k là một số nguyên dương (hoặc k = +∞), hàm đếm của ν với bội được ngắt

r (cid:90)

bởi k được định nghĩa bởi

N [k](r, ν) =

min{ν(z), k}.

dt, (r > 1), ở đó n[k](t, ν) :=

n[k](t, ν) t

|z|

(cid:88)

N (r, ν) = N [+∞](r, ν).

Khi k = +∞, để đơn giản ta bỏ đi kí hiệu [k] trong hàm đếm, như vậy

f. Ta gọi Nf (r) := N (r, (f )0) và N [k] không điểm của f với bội được tính đầy đủ và bội được ngắt bởi k.

Cho f là một hàm phân hình trên C, kí hiệu (f )0 là divisor không điểm của f (r) := N [k](r, (f )0) lần lượt là hàm đếm các

2π (cid:90)

log|f (reiθ)|dθ −

log|f (eiθ)|dθ.

(r) =

Nf (r) − N 1

1 2π

Định lí 2.1.2 (Công thức Jensen cho hàm phân hình). Cho f là một hàm phân hình (không đồng nhất 0 và ∞) trên C. Khi đó, với mọi r > 1, ta có

b) Các hàm cơ bản cho ánh xạ chỉnh hình trong không gian xạ ảnh. Cho f : C −→ Pn(C) là một ánh xạ chỉnh hình. Trong Pn(C) ta cố định một mục tiêu xạ ảnh và giả sử (f0 : · · · : fn) là một biểu diễn rút gọn của f ứng với mục tiêu đó. Gọi D là một siêu mặt trong Pn(C) xác định bởi đa thức thuần nhất Q(x0, . . . , xn) ∈ C[x0, . . . , xn], deg Q = deg D. Giả sử D không chứa ảnh của f (tức là f (C) ̸⊂ D hay Q(f ) := Q(f0, . . . , fn) ̸≡ 0).

Định nghĩa 2.1.3. Hàm đếm các giao điểm của siêu mặt D với ảnh của f có

f (r, D) := N [k] N [k]

Q(f )(r) = N [k](r, (Q(f0, . . . , fn))0).

bội được ngắt bởi số nguyên dương k (hoặc +∞) định nghĩa là

Khi k = +∞ ta bỏ kí hiệu [k] trong hàm đếm.

2π (cid:90)

log∥f (reiθ)∥dθ −

log∥f (eiθ)∥dθ, (r > 1),

Tf (r) :=

1 2π

Định nghĩa 2.1.4. Hàm đặc trưng của ánh xạ f được định nghĩa bởi

∥f ∥ = (|f0|2 + · · · + |fn|2)

{|f0|, . . . , |fn|}.

2 hoặc ∥f ∥ = max 0≤i≤n

ở đó chuẩn được tính theo một trong hai dạng tương đương sau

Định nghĩa 2.1.5. Hàm xấp xỉ của ánh xạ f ứng với siêu mặt D được định

deg Q

2π (cid:90)

∥f (reiθ)∥

∥Q∥

log

dθ,

mf (r, D) :=

1 2π

|Q(f (reiθ))|

nghĩa bởi

ở đó ∥Q∥ là tổng của mô-đun các hệ số của Q.

Từ các định nghĩa hàm đếm, hàm đặc trưng và từ công thức Jensen đối với

hàm đếm, ta có đẳng thức sau, thường gọi là Định lí cơ bản thứ nhất.

deg D.Tf (r) = Nf (r, D) + mf (r, D) + O(1).

Định lí 2.1.6 (Định lí cơ bản thứ nhất đối với ánh xạ chỉnh hình). Cho f là một ánh xạ chỉnh hình từ C vào Pn(C) và D là một siêu mặt trong Pn(C) không chứa ảnh của f. Khi đó,

Nf (r, D) ≤ deg D.Tf (r) + O(1).

2.1.2 Toán tử Wronski và Bổ đề đạo hàm Logarit cho ánh xạ

chỉnh hình

Nhận xét 2.1.7. Do mf (r, D) ≥ 0 nên từ đẳng thức trong định lí trên ta thu được bất đẳng thức sau, cũng được gọi là Định lí cơ bản thứ nhất

Để mở rộng Bổ đề đạo hàm Logarit tới trường hợp ánh xạ chỉnh hình, ta cần

định nghĩa sau.

. . .

′ n

′ 0

W (g0, . . . , gn) :=

g ... . . . . . . g(n) n

Định nghĩa 2.1.8. Với g0, . . . , gn là các hàm phân hình trên C, ta gọi là toán tử Wronski của g0, . . . , gn, kí hiệu bởi W (g0, . . . , gn), xác định như sau

g ... g(n) 0

′ g 1 ... g(n) 1

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Nhận xét. Toán tử Wronski có các tính chất sau.

1) W (hg0, . . . , hgn) = hn+1W (g0, . . . , gn) với h là một hàm phân hình tùy ý. 2) W (H0(g0, . . . , gn), . . . , Hn(g0, . . . , gn)) = det(aji).W (g0, . . . , gn), với mọi dạng

tuyến tính Hj(x0, . . . , xn) = aj0x0 + · · · + ajnxn ∈ C[x0, . . . , xn], j = 0, 1, . . . , n.

Với f : C −→ Pn(C) là một ánh xạ chỉnh hình có biểu diễn rút gọn (f0 : · · · : fn). Ta kí hiệu W (f ) := W (f0, . . . , fn) và gọi là toán tử Wronski của f. Nếu ta thay biểu diễn rút gọn (f0 : · · · : fn) của f bởi một biểu diễn rút gọn khác (uf0 : · · · : ufn) (trong đó u là một hàm nguyên không có không điểm), thì toán tử Wronski của f thay đổi một hệ số nhân là un+1. Nếu ta thay mục tiêu xạ ảnh

trong Pn(C) bởi một mục tiêu xạ ảnh khác thì toán tử Wronski của f thay đổi một hằng số nhân bằng định thức của ma trận đổi cơ sở. Tuy có sự phụ thuộc

như trên vào việc chọn biểu diễn rút gọn nhưng các kết luận về toán tử Wronski

ở đây áp dụng được cho mọi biểu diễn rút gọn.

Định nghĩa 2.1.9. Ánh xạ chỉnh hình f : C −→ Pn(C) gọi là suy biến tuyến tính nếu tồn tại siêu phẳng H trong Pn(C) chứa ảnh của f. Trong trường hợp ngược lại, ta nói f là không suy biến tuyến tính.

Mệnh đề sau cho ta một dấu hiệu nhận biết sự suy biến tuyến tính của ánh

xạ chỉnh hình.

Mệnh đề 2.1.10. Ánh xạ chỉnh hình f : C −→ Pn(C) suy biến tuyến tính khi và chỉ khi W (f ) ≡ 0.

Định nghĩa 2.1.11. Ta gọi họ các siêu mặt D1, . . . , Dq (q ≥ n + 1) là ở vị trí tổng quát trong Pn(C) nếu mỗi bộ n + 1 siêu mặt bất kỳ trong chúng đều có giao bằng rỗng.

Lưu ý.

+ Từ định nghĩa trên suy ra, họ các siêu phẳng H1, . . . , Hq (q ≥ n + 1) trong Pn(C) gọi là ở vị trí tổng quát khi và chỉ khi mọi ma trận vuông con cấp n + 1 của ma trận hệ số các phương trình xác định siêu phẳng có định thức khác 0.

+ Trường hợp số siêu mặt không vượt quá n, n ≤ q, nếu tồn tại n + 1 − q siêu mặt Dq+1, . . . , Dn+1 sao cho giao của các siêu mặt D1, . . . , Dn+1 bằng rỗng thì ta cũng nói họ siêu mặt D1, . . . , Dq ở vị trí tổng quát.

Ta có Bổ đề đạo hàm Logarit mở rộng sau cho ánh xạ chỉnh hình vào không

gian xạ ảnh.

Bổ đề 2.1.12 (Bổ đề đạo hàm Logarit cho ánh xạ chỉnh hình). Cho f : C −→ Pn(C) là một ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính và (f0 : · · · : fn) là một biểu diễn rút gọn của f. Với H0, . . . , Hn là n + 1 siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong Pn(C) ta có

= o(Tf (r)).

(cid:18) (cid:19)

W (f ) H0(f ) . . . Hn(f )

(cid:13) (cid:13) (cid:13) m

Để ý rằng, công thức Jensen khá thuận tiện cho việc tính toán hàm đếm

nhưng nó có hạn chế là chỉ áp dụng được cho trường hợp hàm đếm không được

ngắt bội (bội được tính đủ). Để thiết lập Định lí cơ bản thứ hai với hàm đếm

được ngắt bội người ta thường sử dụng mệnh đề sau (được coi là công thức

Jensen mở rộng).

Mệnh đề 2.1.13. Cho f : C −→ Pn(C) là một ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính và q siêu phẳng H1, . . . , Hq (q ≥ n + 1) ở vị trí tổng quát trong Pn(C). Khi đó,

2π (cid:90)

q (cid:88)

N [n]

log

f (r, Hj) ≥

(cid:81)q (cid:81)q

1 2π

j=1 Hj(f ) W (f )

1 2π

j=1 Hj(f ) W (f )

j=1

2.1.3 Họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát trên đa tạp xạ ảnh

và một số khái niệm liên quan

(cid:12) (reiθ) (cid:12) (cid:12)dθ − (cid:12) (eiθ) (cid:12) (cid:12)dθ. (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

cũng là một C-không gian vectơ. Cho V ⊂ Pn(C) là một đa tạp xạ ảnh k chiều, D1, . . . , Dq (q ≥ k + 1) là các siêu mặt trong Pn(C). Giả sử f là một đường cong nguyên trên V , có biểu diễn rút gọn f = (f0 : · · · : fn) trong Pn(C). Kí hiệu I(V ) là ideal nguyên tố trong C[x0, ..., xn] xác định V và C[x0, ..., xn]m là C-không gian vectơ các đa thức thuần nhất bậc m (gồm cả đa thức 0) trong C[x0, ..., xn]. Đặt I(V )m := C[x0, ..., xn]m ∩ I(V ). Khi đó, C[x0, ..., xn]m I(V )m

Định nghĩa 2.1.14. Các siêu mặt D1, . . . , Dq (q ≥ k + 1) trong Pn(C) được gọi là ở vị trí tổng quát trên V nếu mỗi bộ gồm k + 1 siêu mặt trong chúng đều không

có điểm chung trên V .

i=0Dji) = ∅, với mọi 1 ≤ j0 < · · · < jN ≤ q.

Định nghĩa 2.1.15. Với hai số nguyên q, N thỏa mãn q ≥ N + 1, N ≥ k. Các siêu mặt D1, . . . , Dq trong Pn(C) được gọi là ở vị trí N-dưới tổng quát trên V nếu V ∩ (∩N

Định nghĩa 2.1.16. Đường cong nguyên f trong V được gọi là suy biến đại số nếu tồn tại siêu mặt đại số trong Pn(C), chứa ảnh của f nhưng không chứa V .

HV (m) := dim

Định nghĩa 2.1.17. Ta gọi hàm Hilbert HV của đa tạp V là hàm số được định nghĩa bởi

C[x0, ..., xn]m I(V )m

2.1.4 Đạo hàm cầu của ánh xạ chỉnh hình

Định nghĩa 2.1.18. Ta gọi là trọng Hilbert thứ m của V ứng với bộ số c = (c0, . . . , cn) ∈ Rn+1, kí hiệu là SV (m, c) và được định nghĩa bởi SV (m, c) := max ai.c, ở đó giá trị lớn nhất được lấy trên tập tất cả các đơn thức xa1, . . . , xaHV (m) sao cho chúng lập nên một cơ sở của không gian véc tơ và ai.c là tích C[x0, ..., xn]m I(V )m vô hướng chính tắc.

, trong đó kí hiệu ⟨., .⟩ là tích Hermitian

Kí hiệu Π : Cn+1 \ {0} −→ Pn(C) là ánh xạ chiếu chính tắc. Nếu ω = Π(ζ) với ζ = (ζ0, . . . , ζn) thì ta viết ω = (ζ0 : · · · : ζn) và gọi ζj là các tọa độ thuần nhất của ω. Metric Fubini - Study trên Pn(C) trong hệ tọa độ thuần nhất trên được xác

⟨dζ, dζ⟩ ⟨ζ, ζ⟩ − | ⟨ζ, dζ⟩ |2 ⟨ζ, ζ⟩2

định bởi ds2 =

chính tắc trong Cn+1.

Đạo hàm của đường cong chỉnh hình f vào Pn(C) theo metric Fubini-Study có chuẩn được kí hiệu là f # và được gọi gọn là đạo hàm cầu của f. Giả sử f có biểu diễn rút gọn (f0, . . . , fn). Khi đó

0≤i

(cid:88)

|fif ′ i|2 j − fjf ′ (|f0|2 + · · · + |fn|2)2 .

(cid:0)f #(cid:1)2

|f ′| 1 + |f |2 .

2.1.5 Họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính Brody của

đường cong nguyên

Để ý rằng, khi n = 1, ta có f # =

Định nghĩa 2.1.19. Một họ F các ánh xạ chỉnh hình từ đa tạp phức X vào đa

tạp phức Y được gọi là chuẩn tắc nếu nó là compact tương đối trong không gian

tôpô compact-mở Hol(X, Y ) các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y.

Cho D là một miền trong mặt phẳng phức C. Ta gọi mỗi ánh xạ chỉnh hình f : D −→ Pn(C) là một đường cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh Pn(C). Khi D = C ta gọi f là một đường cong nguyên trong Pn(C).

Định nghĩa 2.1.20. Đường cong nguyên f được gọi là đường cong Brody nếu

đạo hàm cầu của nó bị chặn.

Kết quả sau của Eremenko cho ta mối liên hệ giữa tính Brody của đường

cong với điều kiện chuẩn tắc của họ các ánh xạ chỉnh hình.

Mệnh đề 2.1.21 (Eremenko [14]). Đường cong nguyên f là đường cong Brody khi và chỉ khi F := {fa(z) = f (z + a) : a ∈ C} là một họ chuẩn tắc.

2.2 Định lí cơ bản thứ hai và Định lí Picard cho đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh với đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêu mặt mục tiêu

2.2.1 Trọng Nochka ứng với một hệ vectơ

Các kết quả dưới đây được trình bày dựa theo [17] và được sử dụng để chứng

minh Định lí cơ bản thứ hai kiểu Nochka cho siêu mặt ở tiểu mục tiếp theo.

Bổ đề 2.2.1 ([17], Định lí 2.4.11). Cho S là một không gian vectơ phức k + 1

0 < ωj ≤ Θ ≤ 1 với mọi j ∈ {1, . . . , q}; (i) (ii) (cid:80)q j=1 ωj ≤ Θ(q − 2N + k − 1) + k + 1; 2N −k+1 ≤ Θ ≤ k+1 k+1 (iii) N +1; (iv) Nếu R ⊂ {1, . . . , q} và #R = N + 1, thì (cid:80)

j∈R ωj ≤ k + 1.

chiều và N, q là các số nguyên dương thỏa mãn N ≥ k, q ≥ 2N − k + 1. Cho v1, . . . , vq là hệ các vectơ khác không trong S. Giả sử mỗi tập con N + 1 vectơ của hệ {v1, . . . , vq} đều có hạng k + 1. Khi đó, tồn tại các hằng số ω1, . . . , ωq và Θ thỏa mãn các điều kiện sau

Định nghĩa 2.2.2. Ta gọi các hằng số ωj (1 ≤ j ≤ q) và Θ thỏa mãn các tính chất (i) đến (iv) trong Bổ đề 2.2.1 là các trọng số Nochka và hằng số Nochka ứng với hệ vectơ vj.

Bổ đề 2.2.3 ([17], Mệnh đề 2.4.15). Cho S là một không gian vectơ phức k + 1

chiều và N, q là các số nguyên dương thỏa mãn N ≥ k, q ≥ 2N − k + 1. Cho v1, . . . , vq là hệ các vectơ khác không trong S. Giả sử mỗi tập con gồm N + 1 vectơ của hệ {v1, . . . , vq} đều có hạng k + 1. Gọi ω1, . . . , ωq là các trọng số Nochka ứng với hệ v1, . . . , vq. Xét E1, . . . , Eq là các hằng số thực không âm tùy ý. Khi đó,

ωjEj ≤

Ej.

j∈R

j∈R′

2.2.2 Định lí cơ bản thứ hai kiểu Nochka cho siêu mặt và Định

lí Picard

với mỗi tập con R của {1, . . . , q} mà #R = N + 1, tồn tại tập con R′ ⊂ R sao cho {vj, j ∈ R′} là một cơ sở của S và (cid:88) (cid:88)

Như đã nói trong phần Tổng quan, Định lí cơ bản thứ hai kiểu Nochka cho

siêu mặt dưới đây là kết quả chính theo hướng nghiên cứu thứ nhất mà chúng

tôi đã đạt được.

j=1f −1(Dj). Khi đó,

Định lí 2.2.4 (N.T.Son - T.V.Tan, [39], 2022). Cho V ⊂ Pn(C) là một đa tạp với chiều k ≥ 1, và D1, . . . , Dq là các siêu mặt trong Pn(C), ở vị trí N-dưới tổng quát trên V . Gọi d là bội chung nhỏ nhất của các số deg D1, . . . , deg Dq. Xét f là một đường cong nguyên trong V , không suy biến đại số. Giả sử V ̸⊂ Dj(j = 1, . . . , q), với f # = 0 trên ∪q

q −

Tf (r)

(cid:19) (cid:18)

(2N − k + 1)HV (d) k + 1

(cid:13) (cid:13) (cid:13)

≤

1 −

N [κ]

f (r, Dj) + o(Tf (r)),

1 deg Dj

1 (k + 1)(HV (d) − 1)

j=1

(cid:18) (cid:19) q (cid:88)

ở đó, κ = ∞ nếu HV (d) = 2 và κ = HV (d) − 1 nếu HV (d) ≥ 3.

d deg Dj nhất xác định Dj, deg Gj = deg Dj và đặt Qj = G . Khi đó deg Qj = d, với j mọi j ∈ {1, . . . , q}. Giả sử (f0, . . . , fn) là một biểu diễn rút gọn của f, ta đặt Qj(f ) := Qj(f0, . . . , fn). Ta có

N [p]

Chứng minh. Với mỗi j ∈ {1, . . . , q}, gọi Gj ∈ C[x0, . . . , xn] là đa thức thuần

N [p](r, (Qj(f ))0) ≤

f (r, Dj),

d deg Dj

(2.1)

. Do V ̸⊂ Dj nên ta có Q1, . . . , Qq là các véc tơ khác không trong V. Với mỗi R ⊂ {1, . . . , q}, #R = N + 1, vì (∩j∈RDj) ∩ V = ∅ nên ta có

Kí hiệu V := trong đó p là một số nguyên hoặc vô hạn. C[x0,...,xn]d I(V )d

{Qj, j ∈ R} có hạng không nhỏ hơn k + 1 trong C-không gian véc tơ V.

(2.2)

(cid:10)v1,...,vHV (d)−k−1

Kí hiệu E là tập hợp tất cả các tập con J ⊂ {1, . . . , q0} sao cho 1 ≤ #J ≤ k+1 và các véc tơ Qj, j ∈ J là độc lập tuyến tính trong V. Khi đó ∪E∈E E = {1, . . . , q0}. Dễ thấy, tồn tại tập con {v1, . . . , vHV (d)−k−1} ⊂ C[x0, . . . , xn]d sao cho với mọi J ∈ E, các véc tơ v1, . . . , vHV (d)−k−1, Qj, j ∈ J độc lập tuyến tính trong V. Ở đó, (cid:11) nếu HV (d) = k + 1, ta chọn {v1, . . . , vHV (d)−k−1} = ∅. Kí hiệu (cid:10)v1, . . . , vHV (d)−k−1 là không gian con của V sinh bởi v1, . . . , vHV (d)−k−1. Khi đó Q1, . . . , Qq0 là các (cid:11) . Hơn véc tơ khác không trong không gian véc tơ (k + 1) chiều nữa, theo (2.2), với mỗi R ⊂ {1, . . . , q0} mà #R = N + 1, tồn tại tập con R′ ⊂ R, #R′ = k + 1 sao cho Qj, j ∈ R′ lập thành một cơ sở trong (cid:11) . (cid:10)v1,...,vHV (d)−k−1

(cid:10)v1,...,vHV (d)−k−1

Theo Bổ đề 2.2.1 và Bổ đề 2.2.3, tồn tại các trọng số và hằng số Nochka (cid:11). Xét các đa ω1, . . . , ωq0, Θ ứng với hệ các véc tơ Q1, . . . , Qq0 trong thức P1, . . . , PHV (d) trong C[x0, . . . , xn]d sao cho chúng tạo thành một cơ sở của V = C[x0,...,xn]d . Kí hiệu W là toán tử Wronski của P1(f0, . . . , fn), . . . , PHV (d)(f0, . . . , fn). I(V )d

Do f không suy biến đại số nên W ̸≡ 0.

|Qj(f (z)| ≥ c∥f (z)∥d.

max j∈J

Mặt khác, do các siêu mặt D1, . . . , Dq0 ở vị trí N-dưới tổng quát trên V nên tồn tại hằng số dương c sao cho với mọi J ⊂ {1, . . . , q}, #J = N + 1, và với mọi z ∈ C, ta có

Với mỗi z ∈ C, ta lấy Kz ⊂ {1, . . . , q0}, #Kz = q0 − n − 1 sao cho |Qj(f (z))| ≥ c∥f (z)∥d với mọi j ∈ Kz, và đặt Jz := {1, . . . , q0} \ Kz. Khi đó, tồn tại các hằng số dương c1, c2 sao cho với mọi z ∈ C

log

= log

|Qj(f (z))|ωj − log|W (z)|

j=1 |Qj(f (z))|ωj |W (z)|

j∈Kz

(cid:81)q0 (cid:89)

+ log

|Qj(f (z))|ωj

j∈Jz

≥ (ω1 + · · · + ωq0)log∥f (z)∥d − log|W (z)| − c1

(cid:89)

j∈Jz

− log

(cid:81)

∥f (z)∥dωj |Qj(f (z))|ωj

j∈Jz

≥ d(ω1 + · · · + ωq0)log∥f (z)∥ − log|W (z)| − c2

(cid:81)

log

−

j∈Jz

(cid:19)ωj (cid:88) (2.3) (cid:18)∥f (z)∥d∥Qj∥ |Qj(f (z))|

trong đó ∥Qj∥ là tổng của mô-đun các hệ số của Qj. Theo Bổ đề 2.2.3, tồn tại tập con Tz ⊂ Jz, #Tz = k + 1 sao cho các đa thức Qj(j ∈ Tz) lập thành một cơ sở của (cid:11), và (cid:10)v1,...,vHV (d)−k−1

log

≤

log

(cid:19)ωj (cid:88) (cid:88)

∥f (z)∥d∥Qj∥ |Qj(f (z))|

j∈Jz

j∈Tz

C[x0,...,xn]d I(V )d

(cid:18) ∥f (z)∥d∥Qj∥ |Qj(f (z))|

C[x0,...,xn]d I(V )d

và Qj, j ∈ Tz độc lập tuyến tính , nên tồn tại tập con τz ⊂ {1, . . . , HV (d)} với #τz = HV (d) − (k + 1) . Khi đó, theo

Vì P1, . . . , PHV (d) là một cơ sở của trong sao cho Pi, Qj (i ∈ τz, j ∈ Tz) lập thành một cơ sở của (2.3), tồn tại hằng số dương c3 sao cho với mọi z ∈ C ta có

log

≥ d(ω1 + · · · + ωq0)log∥f (z)∥ − log|W (z)| − c2

j=1 |Qj(f (z))|ωj |W (z)|

(cid:81)q0

−

log

∥f (z)∥d∥Qj∥ |Qj(f (z))|

j∈Tz

≥ d(ω1 + · · · + ωq0)log∥f (z)∥ − c3

− log

(cid:88)

|W (z)| · ∥f (z)∥dHV (d) |Qj(f (z))| · (cid:81)

|Pj(f (z))|

j∈τz

j∈Tz

≥ d(ω1 + · · · + ωq0 − HV (d))log∥f (z)∥ − c3

(cid:81)

−

log+

|W (z)| j∈T |Qj(f (z))| · (cid:81)

i∈τ |Pi(f (z))|

(T,τ )

(cid:88) (2.4) (cid:81)

Trong đó, tổng cuối cùng được lấy trên tất cả các cặp (T, τ ) thỏa mãn các điều

kiện sau

;

C[x0,...,xn]d I(V )d ii) τ ⊂ {1, . . . , HV (d)}, #τ = Hd(V ) − (k + 1) và Pi, Qj (i ∈ τ, j ∈ T ) lập thành

i) T ⊂ {1, . . . , q0}, #T = k + 1, và Qj, j ∈ T là độc lập tuyến tính trong

C[x0,...,xn]d I(V )d

một cơ sở của

Lấy tích phân hai vế của (2.4) rồi sử dụng các Bổ đề 2.2.1, Bổ đề Jensen và

q0 (cid:88)

ωjN (r, (Qj(f ))0) − N (r, (W )0)

Bổ đề đạo hàm Logarit, ta được

j=1

≥ d (Θ[q0 − 2N + k − 1] + k + 1 − HV (d)) Tf (r) − o(Tf (r))

(cid:13) (cid:13) (cid:13)

≥ dΘ

q0 −

Tf (r) − o(Tf (r)).

[2N − k + 1]HV (d) (k + 1)

(cid:18) (cid:19) (2.5)

j=1f −1(Dj). Do D1, . . . , Dq0 ở vị trí N-dưới tổng quát nên tồn tại tập con Ra ⊂ {1, . . . , q0}, #Ra = N + 1, sao cho f (a) ̸∈ Dj với mọi j ∈ {1, . . . , q0} \ Ra. Khi đó,

Để ước lượng vế trái của (2.5) ta xét tùy ý một điểm a ∈ ∪q0

(Qj(f ))0(a) = 0

(2.6)

q0 (cid:88)

ωj max{(Qj(f ))0(a) − HV (d) + 1, 0}

j=1

với mọi j ∈ {1, . . . , q0} \ Ra. Theo Bổ đề 2.2.3, tồn tại tập con {j0, . . . , jk} ⊂ Ra sao cho Qj0, . . . , Qjk lập thành một cơ sở của (cid:11) và (cid:10)v1,...,vHV (d)−k−1

ωj max{(Qj(f ))0(a) − HV (d) + 1, 0}

j∈Ra

k (cid:88)

≤

(cid:88)

max{(Qji(f ))0(a) − HV (d) + 1, 0}.

i=0

(2.7)

C[x0,...,xn]d I(V )d

W1 = cW.

Kí hiệu W1 là toán tử Wronski của v1(f0, . . . , fn), . . . , vHV (d)−k−1(f0, . . . , fn), Qj0(f0, . . . , fn), . . . , Qjk(f0, . . . , fn). Vì v1, . . . , vHV (d)−k−1, Qj0, . . . , Qjk là cơ sở của V = nên có hằng số c khác không sao cho

Theo giả thiết f #(a) = 0 nên ta có

(f0(a) : · · · : fn(a)) = (f ′

0(a) : · · · : f ′

n(a)).

(2.8)

Xét hai trường hợp sau. Trường hợp 1. HV (d) = 2 (khi đó d = k = 1 và W1 là Wronski của Qj0(f ), Qj1(f )). Với mỗi j ∈ {1, . . . , q0}, nếu Qj(f (a)) = 0 thì theo (2.8) ta có (Qj(f ))′(a) = 0.

Vì vậy, với mỗi j ∈ {1, . . . , q0}, ta có

(Qj(f ))0(a) = 0 hoặc (Qj(f ))0(a) ≥ 2.

(2.9)

j=1f −1(Dj), ta có

q (cid:88)

ωj(Qj(f ))0(a) − (W )0(a)

j=1

Từ (2.6), (2.9) và Bổ đề 2.2.1, (iv), với bất kỳ a ∈ ∪q

ωj(Qj(f ))0(a) − (W1)0(a)

j∈Ra (cid:88)

(cid:88)

≤

ωj(Qj(f ))0(a) −

max{(Qji(f ))0(a) − 1, 0}

j∈Ra (cid:88)

i=0,1 (cid:88)

≤

ωj(Qj(f ))0(a) −

ωj max{(Qj(f ))0(a) − 1, 0}

j∈R

j∈Ra (cid:88)

ωj min{(Qj(f ))0(a), 1}

j∈Ra (cid:88)

≤

(Qj(f ))0(a)

ωj 2

(cid:88)

j∈Ra q (cid:88)

1 −

(Qj(f ))0(a)

ωj

1 (k + 1)(HV (d) − 1)

j=1

(cid:19) (cid:18)

(Để ý rằng k = 1, HV (d) = 2). Do đó

q (cid:88)

1 −

ωj

ωjN (r, (Qj(f ))0) − N (r, (W )0) ≤

N (r, (Qj(f ))0).

1 (k + 1)(HV (d) − 1)

j=1

(cid:18) (cid:19)

(2.10)

Từ (2.5), (2.10), ta có

q −

Tf (r) − o(Tf (r))

(cid:18) (cid:19)

(2N − k + 1)HV (d) k + 1

(cid:13) (cid:13) (cid:13) dΘ

q (cid:88)

≤

1 −

N (r, (Qj(f ))0)

ωj

1 (k + 1)(HV (d) − 1)

(cid:19) (cid:18)

j=1 q (cid:88)

1 −

N (r, Dj).

dωj deg Dj

1 (k + 1)(HV (d) − 1)

j=1

(cid:18) (cid:19)

Do đó, từ Θ ≥ ωj, ta có

q −

Tf (r) − o(Tf (r))

(cid:18) (cid:19)

(2N − k + 1)HV (d) k + 1

(cid:13) (cid:13) (cid:13)

≤

1 −

N (r, Dj).

1 deg Dj

1 (k + 1)(HV (d) − 1)

j=1

(cid:19) q (cid:18) (cid:88)

Trường hợp 2. HV (d) ≥ 3.

Để thuận tiện, ta đặt vHV (d)−k+i := Qji, i = 0, 1, . . . , k. Theo (2.8) và công

thức Euler, ta có

n (cid:88)

(f (a)) · f ′

s(a) : · · · :

s(a)

∂v1 ∂xs

∂vHV (d) ∂xs

s=0 (cid:32) n

(cid:0)(v1(f ))′(a) : · · · : (vHV (d)(f ))′(a)(cid:1) (cid:32) n (cid:33) (cid:88)

s=0 n (cid:88)

(f (a)) · fs(a) : · · · :

(f (a)) · fs(a)

∂v1 ∂xs

∂vHV (d) ∂xs

s=0

(cid:33) (cid:88)

= (cid:0)v1(f (a)) : · · · : vHV (d)(f (a))(cid:1) .

(2.11)

Vì vậy

(W1)0(a) ≥ 1.

(2.12)

· · ·

v1(f ) (v1(f ))′ ·

v2(f ) (v2(f ))′ ·

· · ·

vHV (d)(f ) (vHV (d)(f ))′ ·

W1 =

· · ·

. . .

· · ·

· (v1(f ))(HV (d)−1)

· (v2(f ))(HV (d)−1)

Theo định lí khai triển Laplace, ta có

· (vHV (d)(f ))(HV (d)−1)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(−1)t+ℓ (cid:0)vt(f )(vℓ(f ))′ − vℓ(f )(vt(f ))′(cid:1) det Wt,ℓ

1≤t<ℓ≤HV (d)

1≤s+1,i≤HV (d)

(cid:88) (2.13)

HV (d) (cid:88)

trong đó W(t,ℓ) là ma trận thu được từ ma trận (cid:0)vi(f )(s)(cid:1) bằng cách bỏ đi hai hàng đầu tiên và các cột thứ t, ℓ. Với mỗi 1 ≤ t < ℓ ≤ HV (d), rõ ràng ta có

max{(vi(f ))0(a) − HV (d) + 1, 0}.

(det W(t,ℓ))0(a) ≥

i∈{1,...,HV (d)}\{t,ℓ}

(2.14)

Bây giờ ta chứng minh với mọi 1 ≤ t ̸= ℓ ≤ HV (d) thì

(a) ≥ max{(vt(f ))0(a) − HV (d) + 1, 0}

t(f )(cid:1)

ℓ(f ) − vℓ(f )v′

(cid:0)vt(f )v′

+ max{(vℓ(f ))0(a) − HV (d) + 1, 0} + 1.

(2.15)

Thật vậy.

Nếu (vt(f ))0(a) ≤ HV (d) − 1, (vℓ(f ))0(a) ≤ HV (d) − 1, thì vế phải của (2.15)

bằng 1, nhưng theo (2.12) vế trái của (2.15) không nhỏ hơn 1.

(a)

Nếu (vt(f ))0(a) ≥ HV (d) hoặc (vℓ(f ))0(a) ≥ HV (d), không mất tính tổng quát,

ℓ(f ) − vℓ(f )v′

0 ≥ [(vt(f ))0(a) − HV (d) + 1] + (vℓ(f ))0(a) + 1

= max{(vt(f ))0(a) − HV (d) + 1, 0} + (vℓ(f ))0(a) + 1

≥ max{(vt(f ))0(a) − HV (d) + 1, 0} + max{(vℓ(f ))0(a) − HV (d) + 1, 0} + 1.

(cid:0)vt(f )v′ giả sử (vt(f ))0(a) ≥ HV (d). Do, HV (d) ≥ 3, ta có t(f )(cid:1)

Từ đó ta có (2.15).

(W )0(a) = (W1)0(a)

HV (d) (cid:88)

≥

max{(vs(f ))0(a) − HV (d) + 1, 0} + 1

s=1

HV (d) (cid:88)

≥

max{(vs(f ))0(a) − HV (d) + 1, 0} + 1

s=HV (d)−k

k (cid:88)

≥

Từ (2.13), (2.14) và (2.15), ta có

max{(Qji(f ))0(a) − HV (d) + 1, 0} + 1.

i=0

(2.16)

j=1f −1(Dj), ta có

q (cid:88)

ωj(Qj(f ))0(a) − (W )0(a)

j=1

k (cid:88)

Từ (2.6), (2.7), (2.16), và Bổ đề 2.2.1, (iv), với mỗi a ∈ ∪q

≤

ωj(Qj(f ))0(a) −

max{(Qji(f ))0(a) − HV (d) + 1, 0} − 1

i=0 (cid:88)

j∈Ra (cid:88)

≤

ωj(Qj(f ))0(a) −

ωj max{(Qj(f ))0(a) − HV (d) + 1, 0} − 1

j∈R

j∈Ra (cid:88)

ωj min{(Qj(f ))0(a), HV (d) − 1} − 1

(cid:88)

j∈Ra (cid:88)

≤

ωj

min{(Qj(f ))0(a), 1}

min{(Qj(f ))0(a), HV (d) − 1} −

1 k + 1

j∈Ra

(cid:16) (cid:17)

≤

1 −

ωj

min{(Qj(f ))0(a), HV (d) − 1}

1 (k + 1) (HV (d) − 1)

(cid:18) (cid:19) (cid:88)

j∈Ra q (cid:88)

1 −

ωj

min{(Qj(f ))0(a), HV (d) − 1}.

1 (k + 1) (HV (d) − 1)

j=1

(cid:18) (cid:19)

q (cid:88)

ωjN (r, (Qj(f ))0) − N (r, (W )0)

j=1

Từ đó suy ra,

q (cid:88)

1 −

≤

ωj

N [HV (d)−1](r, (Qj(f ))0).

1 (k + 1) (HV (d) − 1)

j=1

(cid:18) (cid:19)

Kết hợp với (2.1), (2.5) và bởi ωj ≤ Θ (Bổ đề 2.2.1), ta được

q −

Tf (r)

(cid:18) (cid:19)

(2(N − k + 1)HV (d) (k + 1)

(cid:13) (cid:13) (cid:13)d

q (cid:88)

≤

1 −

N [HV (d)−1](r, (Qj(f ))0) + o(Tf (r))

1 (k + 1) (HV (d) − 1)

(cid:18) (cid:19)

j=1 q (cid:88)

≤

N [HV (d)−1]

1 −

(r, Dj) + o(Tf (r)).

deg Dj

1 (k + 1) (HV (d) − 1)

j=1

(cid:18) (cid:19) d

Vậy

q −

Tf (r)

(cid:18) (cid:19)

(2N − k + 1)HV (d) (k + 1)

(cid:13) (cid:13) (cid:13)

≤

1 −

N [HV (d)−1]

(r, Dj) + o(Tf (r)).

1 deg Dj

1 (k + 1) (HV (d) − 1)

j=1

(cid:18) (cid:19) q (cid:88) (2.17)

Từ Định lí cơ bản thứ hai trên chúng tôi đã thiết lập được Định lí Picard

sau cho lớp các đường cong nguyên có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh

của các siêu mặt ở vị trí tổng quát. Định lí này đóng vai trò quan trọng trong

việc thiết lập tiêu chuẩn nhận biết đường cong Brody được trình bày ở tiểu mục

tiếp theo.

Định lí 2.2.5 (N.T.Son - T.V.Tan, [39], 2022). Cho D1, . . . , Dq là các siêu mặt ở vị trí tổng quát trong Pn(C), n ≥ 2. Gọi d là bội chung nhỏ nhất của

deg D1, . . . , deg Dq. Giả sử tồn tại đường cong nguyên khác hằng f trong Pn(C) sao cho với mỗi j ∈ {1, . . . , q}, hoặc f (C) ⊂ Dj, hoặc f # = 0 trên f −1(Dj). Khi đó q ≤ 3n(cid:0)n+d

(cid:1) − n.

Chứng minh. Gọi V là đa tạp đại số nhỏ nhất trong Pn(C) chứa f (C), khi đó k := dim V ≥ 1. Không mất tính tổng quát, giả sử f (C) ̸⊂ Dj với mọi j ∈ {1, . . . , q0} và f (C) ⊂ Dj với mọi j ∈ {q0 + 1, . . . , q}, với q0 ≤ q nào đó. Do D1, . . . , Dq ở vị trí tổng quát trong Pn(C) nên ta có q − q0 + k ≤ n và D1, . . . , Dq0 ở vị trí n − (q − q0)-dưới tổng quát trên V. Trường hợp 1. HV (d) = 2 (khi đó d = k = 1).

Áp dụng Định lí 2.2.4, ta có

q0 (cid:88)

q0 −

Tf (r) − o(Tf (r)) ≤

Nf (r, Dj)

(cid:18) (cid:19)

4(n − (q − q0)) 2

1 2

j=1

≤

Tf (r) + O(1).

q0 2

(cid:13) (cid:13) (cid:13)

(cid:1) − n.

Vì vậy, 2q0 − 4(n − (q − q0)) ≤ q0, suy ra, q ≤ 4n − 3(q − q0) ≤ 4n < 3n(cid:0)n+d Trường hợp 2. HV (d) ≥ 3.

j=1f −1(Dj), đặt

Cz := {(c0, . . . , cn) ∈ Cn+1 : c0f0(z) + · · · cnfn(z) = 0}.

Với mỗi z ∈ ∪q0

Lấy điểm b = (b0 : · · · : bn) ∈ V và đặt Bb := {(c0, . . . , cn) ∈ Cn+1 : c0b0 +· · ·+cnbn = 0}. Do Cz, Bb là các không gian véc tơ con n chiều trong Cn+1 và do ∪q0 j=1f −1(Dj) nhiều nhất là đếm được nên tồn tại

(c0, . . . , cn) ∈ Cn+1 \

(∪z∈∪q

j=1f −1(Dj)Cz) ∪ Bb

(cid:16) (cid:17)

Đặt γ0 := c0x0 + · · · + γnxn ∈ C[x0, . . . , xn]1. Khi đó γ0 ̸≡ 0 trên V, và vì thế, tồn tại γ1, . . . , γk trong C[x0, . . . , xn]1 sao cho γ0, . . . , γk không có các không điểm chung trên V (chú ý rằng V bất khả quy và dim V = k). Bởi cách chọn (c0, . . . , cn), ta có

{z : γ0(f0(z), . . . , fn(z)) = 0} ∩ (∪q0

j=1f −1(Dj)) = ∅.

(2.18)

j=1f −1(Dj) nên ta có

(f0 : · · · : fn) = (f ′

0 : · · · : f ′

n) trên ∪q0

j=1 f −1(Dj).

Đặt F := (γ0(f ) : · · · : γk(f )) : C −→ Pk(C). Khi đó, F không suy biến tuyến tính và TF (r) = Tf (r) + O(1). Do f # triệt tiêu trên ∪q0

j=1f −1(Dj), ta có

Vì vậy, với mỗi z ∈ ∪q0

(γ0(f (z)) : · · · : γk(f (z))) = (cid:0)(γ0(f ))′(z) : · · · : (γk(f ))′(z)(cid:1) .

(2.19)

Lại do F không suy biến tuyến tính nên tồn tại t ∈ {1, . . . , k} sao cho

̸≡ 0.

det

̸≡ 0, vì thế,

(cid:32) (cid:33) (cid:19)′

γ0(f ) (γ0(f ))′

γt(f ) (γt(f ))′

(cid:18) γt(f ) γ0(f )

Từ (2.18) và (2.19), ta có

= 0 trên ∪q0

j=1 f −1(Dj).

(cid:19)′ (2.20) (cid:18) γt(f ) γ0(f )

Từ Định lí cơ bản thứ nhất và Bổ đề đạo hàm Logarit của Lí thuyết Nevanlinna

cho hàm phân hình dễ suy ra

(cid:17)(r) + o

(cid:17)(r)

(cid:17)′(r) ≤ 2T(cid:16) γt(f ) γ0(f )

T(cid:16) γt(f ) γ0(f )

≤ 2TF (r) + o (TF (r)) = 2Tf (r) + o (cid:0)Tf (r)(cid:1) .

(cid:18) (cid:19)

q0 (cid:88)

N [1]

(cid:17)′(r)

f (r, Dj) ≤ (n − q + q0)N(cid:16) γt(f )

γ0(f )

j=1

(cid:17)′(r) + O(1)

≤ (n − q + q0)T(cid:16) γt(f ) γ0(f )

= 2(n − q + q0)Tf (r) + o(Tf (r)).

Mặt khác, với mỗi z0 ∈ C, do D1, . . . , Dq0 ở vị trí n − (q − q0)-dưới tổng quát trên V nên có nhiều nhất n − (q − q0) siêu mặt trong số chúng đi qua f (z0). Vì vậy, từ (2.18) và (2.20), ta có

Kết hợp với Định lí 2.2.4, ta có

q0 −

Tf (r)

(cid:18) (cid:19)

(2(n − q + q0) − k + 1)HV (d) k + 1

(cid:13) (cid:13) (cid:13)

≤

1 −

N [HV (d)−1]

(r, Dj) + o(Tf (r))

1 deg Dj

1 (k + 1)(HV (d) − 1)

j=1

(cid:18) (cid:19) q0 (cid:88)

≤

N [1]

HV (d) − 1 −

f (r, Dj) + o(Tf (r))

1 (k + 1)

1 deg Dj

j=1

(cid:18) (cid:19) q0 (cid:88)

≤ 2(n − q + q0)

HV (d) − 1 −

Tf (r) + o(Tf (r)).

1 (k + 1)

(cid:18) (cid:19)

q = q0 + (q − q0)

Vì vậy,

≤

+ 2(n − q + q0)

HV (d) − 1 −

(2(n − q + q0) − k + 1)HV (d) k + 1

1 (k + 1)

= (2n − 1)HV (d) +

(cid:18) (cid:19)

− (q − q0)

+ 2(HV (d) − 1)

2(n + 1)HV (d) − 2n k + 1 (cid:18)2HV (d) − 2 k + 1

≤ (2n − 1)HV (d) +

2(n + 1)HV (d) − 2n k + 1 2(n + 1)HV (d) − 2n 2

(cid:19)

≤ 3n

− n.

≤ (2n − 1)HV (d) + (cid:18)n + d n

(cid:19)

2.2.3 Một tiêu chuẩn Brody cho đường cong nguyên

Định lí 2.2.5 được chứng minh.

Như đã nói trong phần Tổng quan, với Định lí Picard đạt được ở trên, kết

hợp với các Bổ đề kiểu Zalcman dưới đây, chúng tôi đã đạt được một tiêu chuẩn

Brody cho đường cong nguyên là Định lí 2.2.8.

Bổ đề 2.2.6 (Aladro-Krantz [5], Định lí 3.1). Cho D là một miền trong Cn và (M, E) là một đa tạp phức Hermite compact. Khi đó, họ F ⊂ Hol(D, M ) không

gk(ζ) := fk(zk + ρkξkζ), ζ ∈ C

chuẩn tắc trên D nếu và chỉ nếu tồn tại tập con compact K của D, các dãy {zk} ⊂ K, {fk} ⊂ F, {ρk} ⊂ R với ρk → 0+, và {ξk} ⊂ Cn với ∥ξk∥ = 1, sao cho

hội tụ đều trên các tập con compact của C tới một đường cong nguyên khác hằng g.

Bổ đề trên được phát biểu lại cho trường hợp miền D là C như sau.

Bổ đề 2.2.7. Cho F là một họ các ánh xạ chỉnh hình từ C vào Pn(C). Nếu họ F không chuẩn tắc thì tồn tại các dãy {zk} ⊂ C với zk → z0 ∈ C, {fk} ⊂ F, {ρk} ⊂ R với ρk → 0+, sao cho gk(ζ) := fk(zk + ρkζ) hội tụ đều trên các tập con compact của C đến ánh xạ chỉnh hình khác hằng g từ C vào Pn(C).

(cid:1) − n, trong đó d là bội chung nhỏ nhất của deg D1, . . . , deg Dq. Định lí 2.2.8 (N.T.Son - T.V.Tan, [39], 2022). Cho f là một đường cong nguyên trong Pn(C), n ≥ 2. Giả sử các siêu mặt D1, . . . , Dq ở vị trí tổng quát trong Pn(C) sao cho f # bị chặn trên ∪q j=1f −1(Dj). Khi đó f là một đường cong Brody nếu q > 3n(cid:0)n+d n

Chứng minh. Gọi (f0, . . . , fn) là một biểu diễn rút gọn của f. Giả sử f không là đường cong Brody. Khi đó, theo Mệnh đề 2.1.21, họ F := {fa(z) := f (a + z) : a ∈ C} là không chuẩn tắc. Theo Bổ đề 2.2.7, tồn tại các dãy {zk} ⊂ C với zk → z0 ∈ C, {ak} ⊂ C, {ρk} ⊂ R với ρk → 0+, sao cho gk(ζ) := fak(zk + ρkζ) = f (ak + zk + ρkζ) hội tụ đều trên các tập con compact của C đến ánh xạ chỉnh hình khác hằng g từ C vào Pn(C).

f #(ak + zk + ρkξk) ≤ M.

Với mỗi j0 ∈ {1, . . . , q} thỏa mãn g(C) ̸⊂ Dj0, ta sẽ chứng minh g#(ξ) = 0 với mọi ξ ∈ g−1(Dj0). Thật vậy, xét một điểm tùy ý ξ0 ∈ g−1(Dj0). Theo Định lí Hurwitz có các giá trị {ξk} (với mọi k đủ lớn), ξk → ξ0 sao cho ξk ∈ g−1 k (Dj0), và như vậy, ak + zk + ρkξk ∈ f −1(Dj0). Theo giả thiết, tồn tại hằng số dương M sao cho với mọi k đủ lớn,

g# k (ξk)

g#(ξ0) = lim k→∞

ρkf #(ak + zk + ρkξk)

= lim k→∞

= 0.

Khi đó

Từ đó, với mỗi j ∈ {1, . . . , q}, hoặc g(C) ⊂ Dj, hoặc g# = 0 trên g−1(Dj). Vì vậy, (cid:1) − n, theo Định lí 2.2.5 ta có g là một đường cong hằng, với n ≥ 2 và q > 3n(cid:0)n+d điều này không thể xảy ra. Vậy f phải là một đường cong Brody.

2.3 Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh có đạo hàm triệt tiêu trên tập ảnh ngược của các siêu mặt mục tiêu

2.3.1 Một số bổ đề

Để chứng minh một kết quả nghiên cứu đạt được ở tiểu mục tiếp theo, chúng

tôi cần sử dụng các bổ đề dưới đây, được trình bày dựa theo [29] và [13].

Bổ đề 2.3.1 (Bổ đề 3.1, [29]). Cho V là một đa tạp con xạ ảnh k chiều của Pn(C). Với Q1, . . . , QN +1 là các siêu mặt trong Pn(C) có cùng bậc d ≥ 1, sao cho

∩ V = ∅.

i=1

(cid:33) (cid:32)N +1 (cid:92)

N −k+t (cid:88)

Pt =

ctjQj, ctj ∈ C, t = 2, . . . , k + 1,

j=2

Khi đó tồn tại k siêu mặt P2, . . . , Pk+1 có dạng

t=1 Pt

≥

sao cho (cid:0)∩k+1 (cid:1) ∩ V = ∅, trong đó P1 = Q1.

ci.

SV (m, c) ≥

(ci0 + · · · + cin) −

max 1≤i≤M

1 (n + 1)

(2n + 1)△ m

1 mHV (m)

2.3.2 Một dạng định lí cơ bản thứ hai không ngắt bội

Bổ đề 2.3.2 (Bổ đề 3.2, [13]). Cho V ⊂ PM (C) là một đa tạp đại số n chiều và có bậc △, số nguyên m > △ và bộ số c = (c0, . . . , cM ) ∈ RM +1 . Với tập con {i0, . . . , in} của {0, . . . , M } sao cho (cid:8)x = (x0 : · · · : xM ) ∈ PM (C) : xi0 = · · · = xin = 0(cid:9) ∩ V = ∅. Khi đó

Áp dụng kỹ thuật thay thế các siêu mặt của Sĩ Đức Quang [29] và kỹ thuật

tính bội trong trường hợp đạo hàm triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêu mặt

mục tiêu được nêu trong mục 2.2.2, chúng tôi thiết lập Định lí cơ bản thứ hai

sau.

Định lí 2.3.3 (N.T.T.Hang - N.T.Son - V.V.Truong, [20], 2020). Cho V ⊂ Pn(C) là một đa tạp xạ ảnh phức k chiều (1 ≤ k ≤ n) và Q1, . . . , Qq là các siêu

q (cid:88)

Nf (r, Qj),

mặt trong Pn(C) ở vị trí N-dưới tổng quát trên V , deg Qj = dj, ở đó N ≥ k, q > (N − k + 1)(k + 1). Gọi d là bội chung của các dj. Giả sử f là một đường cong nguyên đại số trong V thỏa mãn f∗,z = 0 với mọi z ∈ ∪q j=1f −1(Qj). Khi đó, với mỗi ϵ > 0,

M 2 − M − 1 M 2 − M

1 dj

j=1

(cid:13) (cid:13) (cid:13) (q − (N − k + 1)(k + 1) − ϵ) Tf (r) ≤

trong đó M = k + dk deg V (cid:0)[(2k + 1)(N − k + 1)2(k + 1)2dk−1 deg V ϵ−1] + 1(cid:1)k . Ở đây, kí hiệu f∗,z là ánh xạ tiếp xúc tại z ∈ C của f và kí hiệu [x] := max{t ∈ Z : t ≤ x} là phần nguyên của số thực x.

So với Định lí 2.2.4, định lí trên có đánh giá bên trái tốt hơn (dẫn tới một

mức chặn tốt cho tổng các số khuyết), nhưng ở vế phải các hàm đếm không

được ngắt bội. Trên thực tế, nếu dựa vào kĩ thuật ngắt bội mà các tác giả đi

trước đã sử dụng, chúng tôi cũng có thể đưa ra một mức chặn bội cho hàm đếm

ở vế phải. Tuy nhiên, mức chặn bội này sẽ khá lớn và phụ thuộc vào bậc của đa

tạp, điều đó gây ra những khó khăn cho việc tìm kiếm các ứng dụng của định lí

thiết lập được.

N −k+s (cid:88)

Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh định lí cho trường hợp tất cả các siêu mặt Qj có cùng bậc d. Kí hiệu I là tập tất cả các hoán vị của tập {1, . . . , q}. Ta có n0 := #I = q!. Ta viết I = {I1, . . . , In0} với Ii = (Ii(1), . . . , Ii(q)) và I1 < I2 < · · · < In0 theo thứ tự từ điển. Do Q1, . . . , Qq ở vị trí N-dưới tổng quát trên V , ta có QIi(1) ∩ · · · ∩ QIi(N +1) ∩ V = ∅ với mọi i ∈ {1, . . . , n0}. Vì vậy, theo Bổ đề 2.3.1, với mỗi Ii ∈ I, tồn tại các tổ hợp tuyến tính của QIi(1), . . . , QIi(N +1) có dạng sau

(2 ≤ s ≤ k + 1, bsj ∈ C)

Pi,1 := QIi(1), Pi,s :=

bsjQIi(j)

j=2 sao cho Pi,1 ∩ · · · ∩ Pi,k+1 ∩ V = ∅.

(2.21)

(ℓ := n0(k + 1)) cho bởi

Φ(x) = (P1,1(x) : · · · : P1,k+1(x) : · · · : Pn0,1(x) : · · · : Pn0,k+1(x)).

Ta định nghĩa ánh xạ Φ : V −→ Pℓ−1(C)

△ := deg Y ≥ dk deg V.

Khi đó Φ là một cấu xạ hữu hạn trên V . Ta có Y := ImΦ là một đa tạp xạ ảnh phức trong Pℓ−1(C) và dim Y = k,

C[y1,1,...,y1,k+1,...,yn0,1,...,yn0,k+1]u I(Y )u

Gọi (cid:98)f = (f0, . . . , fn) là một biểu diễn rút gọn của f. Với mỗi số nguyên dương u, ta lấy v1, . . . , vHY (u) trong C[y1,1, . . . , y1,k+1, . . . , yn0,1, . . . , yn0,k+1]u sao cho chúng lập nên một cơ sở của không gian véc tơ . Xét đường cong nguyên F trong PHY (u)−1(C) với một biểu diễn rút gọn

(cid:98)F (z) = (v1(Φ( (cid:98)f (z))), . . . , vHY (u)(Φ( (cid:98)f (z)))).

(q − (N − k + 1)(k + 1)) Tf (r)

Do f không suy biến đại số nên ta có F là không suy biến tuyến tính. Theo (3.12) trong [29], với mọi ϵ′ > 0 (mà ta sẽ chọn sau) ta có

q (cid:88)

≤

Nf (r, Qj) −

1 d

(N − k + 1)(k + 1) duHY (u)

j=1

(cid:16) (cid:17) N (r, (W ( (cid:98)F ))0) − ϵ′duTf (r)

mf (r, Pi,j).

(N − k + 1)(2k + 1)(k + 1)△ ud

1≤i≤n0,1≤j≤k+1

(cid:88) (2.22)

Với mỗi i ∈ {1, . . . , HY (u)}, ta có

n (cid:88)

s(z).

vi(Φ( (cid:98)f (z))

( (cid:98)f (z)) · f ′

∂(viΦ) ∂xs

(cid:16) (cid:17)′ (2.23)

s=0 j=1f −1(Qj), nên ta có

(f0(z) : · · · : fn(z)) = (f ′

0(z) : · · · : f ′

n(z))

j=1f −1(Qj). Vì vậy, từ (2.23) và theo công thức Euler (cho các đa

Mặt khác, do f∗,z = 0 với mọi z ∈ ∪q

j=1f −1(Qj) ta có

với mọi z ∈ ∪q thức thuần nhất vi(Φ(x)) ∈ C[x0, . . . , xn]), với mọi z ∈ ∪q

: · · · :

v1(Φ( (cid:98)f (z)))

vHY (u)(Φ( (cid:98)f (z)))

(cid:18)(cid:16) (cid:17)′ (cid:16) (cid:17)′(cid:19)

n (cid:88)

s(z) : · · · :

s(z)

( (cid:98)f (z)) · f ′

∂(v1Φ) ∂xs

∂(vHY (u)Φ) ∂xs

s=0 (cid:32) n

(cid:32) n (cid:33) (cid:88)

s=0 n (cid:88)

( (cid:98)f (z)) · fs(z) : · · · :

( (cid:98)f (z)) · fs(z)

∂(v1Φ) ∂xs

∂(vHY (u)Φ) ∂xs

s=0

(cid:33) (cid:88)

s=0 (cid:17)

v1(Φ( (cid:98)f (z))) : · · · : vHY (u)(Φ( (cid:98)f (z)))

j=1f −1(Qj) (nếu tập này không rỗng). Khi đó, tồn tại

(cid:16) (2.24)

Xét phần tử tùy ý a ∈ ∪q Ip ∈ I sao cho

(QIp(1)( (cid:98)f ))0(a) ≥ (QIp(2)( (cid:98)f ))0(a) ≥ · · · ≥ (QIp(q)( (cid:98)f ))0(a).

(2.25)

Vì Q1, . . . , Qq ở vị trí N-dưới tổng quát trên V nên

(QIp(j)( (cid:98)f ))0(a) = 0 với mọi j ∈ {N + 1, . . . , q}.

(2.26)

C[y1,1,...,y1,k+1,...,yn0,1,...,yn0,k+1]u I(Y )u

HY (u) (cid:88)

ai · c,

SY (u, c) =

i=1

. Ta có

Đặt ct,s := (Pt,s( (cid:98)f ))0(a) và c := (c1,1, . . . , c1,k+1, . . . , cn0,1, . . . , cn0,k+1). Khi đó, có các ai = (ai1,1, . . . , ai1,k+1, . . . , ain0,1, . . . , ain0,k+1), i = 1, 2, . . . , HY (u), sao cho ya1, . . . , yaHY (u) lập thành một cơ sở của không gian véc tơ và

= P

ở đó y = (y1,1, . . . , y1,k+1, . . . , yn0,1, . . . , yn0,k+1). Do đó, tồn tại các dạng độc lập tuyến tính L1, . . . , LHY (u) (trên C) sao cho yai = Li(v1, . . . , vHY (u)) trong C[y1,1,...,y1,k+1,...,yn0,1,...,yn0,k+1]u I(Y )u

ai1,1 1,1 ( (cid:98)f ) · · · P

Li( (cid:98)F ) = Li(v1(Φ( (cid:98)f )), · · · , vHY (u)(Φ( (cid:98)f ))) ain0,1 n0,1 ( (cid:98)f ) · · · P

ai1,k+1 1,k+1 ( (cid:98)f ) · · · P

ain0,k+1 n0,k+1 ( (cid:98)f ),

(2.27)

với mọi i ∈ {1, 2, . . . HY (u)}. Khi đó, với mọi i ∈ {1, 2, . . . HY (u)} ta có

ait,s(Pit,s( (cid:98)f ))0(a) = ai · c.

(Li( (cid:98)F ))0(a) =

1≤u≤n0,1≤v≤k+1

(cid:88)

HY (u) (cid:88)

Vì vậy,

ai · c = SY (u, c).

(Li( (cid:98)F ))0(a) =

i=1

(2.28)

Từ (2.24), ta có

(L1( (cid:98)F (a)) : · · · : LHY (u)( (cid:98)F (a))) = ((L1( (cid:98)F ))′(a) : · · · : (LHY (u)( (cid:98)F ))′(a))

(2.29)

Theo định lí khai triển Laplace, ta có

W (L1( (cid:98)F )) : · · · : LHY (u)( (cid:98)F )) =

. . .

L1( (cid:98)F ) (L1( (cid:98)F ))′ ·

L2( (cid:98)F ) (L2( (cid:98)F ))′ ·

· · ·

LHY (u)( (cid:98)F ) (LHY (u)( (cid:98)F ))′ ·

· · ·

· (L1( (cid:98)F ))(HY (u)−1)

· (L2( (cid:98)F ))(HY (u)−1)

· (LHY (u)( (cid:98)F ))(HY (u)−1)

(−1)1+s+t

det Ast,

Ls( (cid:98)F ) Lt( (cid:98)F ) Ls( (cid:98)F )′ Lt( (cid:98)F )′

1≤s

(cid:88) (2.30) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

. . . (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Li( (cid:98)F )(v)(cid:17)

1≤i,v+1≤HY (u)

(cid:16) bằng cách trong đó Ast là ma trận thu được từ ma trận

HY (u) (cid:88)

bỏ đi hai hàng đầu tiên và hai cột thứ s và t. Với mỗi 1 ≤ s < t ≤ HY (u), rõ ràng ta có

(det Ast)0 ≥

max{(Lv(f ))0 − HY (u) + 1, 0}.

v∈{1,...,HY (u)}\{s,t}

(2.31)

Ta sẽ chứng minh

Ls( (cid:98)F ) · Lt( (cid:98)F )′ − Lt( (cid:98)F ) · Ls( (cid:98)F )′(cid:17)

(a) ≥ max{(Ls( (cid:98)F ))0(a) − HY (u) + 1, 0}

(cid:16)

+ max{(Lt( (cid:98)F ))0(a) − HY (u) + 1, 0} + 1.

(2.32)

Thật vậy, xét các trường hợp. Trường hợp 1. (Ls( (cid:98)F ))0(a) ≤ HY (u) − 1 và (Hit( (cid:98)F ))0(a) ≤ HY (u) − 1.

Khi đó, vế phải của (2.32) bằng 1, nhưng theo (2.29), vế trái của (2.32) không

nhỏ hơn 1, vậy (2.32) đúng. Trường hợp 2. (Ls( (cid:98)F ))0(a) > HY (u) − 1 và (Lt( (cid:98)F ))0(a) > HY (u) − 1.

(a) +

(a) − 1

Ls( (cid:98)F )

(cid:16) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)

(a) ≥ 0 (cid:16)

Lt( (cid:98)F ) (cid:17)

+ 1

≥

(Ls( (cid:98)F ))0(a) − HY (u) + 1

(Lt( (cid:98)F ))0(a) − HY (u) + 1

= max{(Ls( (cid:98)F ))0(a) − HY (u) + 1, 0} + max{(Lt( (cid:98)F ))0(a) − HY (u) + 1, 0} + 1.

Ta có Ls( (cid:98)F ) · (Lt( (cid:98)F ))′ − Lt( (cid:98)F ) · (Ls( (cid:98)F ))′(cid:17) (cid:17) (cid:16)

(a) ≥ (Ls( (cid:98)F ))0(a) − 1

Vậy (2.32) đúng trong trường hợp này. Trường hợp 3. (Ls( (cid:98)F ))0(a) > HY (u) − 1 và (Lt( (cid:98)F ))0(a) < HY (u) − 1 (và tương tự đối với trường hợp (Ls( (cid:98)F ))0(a) < HY (u) − 1 và (Lt( (cid:98)F ))0(a) > HY (u) − 1).

≥

+ 1

(Ls( (cid:98)F ))0(a) − HY (u) + 1

= max{(Ls( (cid:98)F ))0(a) − HY (u) + 1, 0} + max{(Lt( (cid:98)F ))0(a) − HY + 1, 0} + 1.

Ta có (cid:16) Ls( (cid:98)F ) · (Lt( (cid:98)F ))′ − Lt( (cid:98)F ) · (Ls( (cid:98)F ))′(cid:17) (cid:17) (cid:16)

Như vậy (2.32) được chứng minh.

Từ (2.30), (2.31) và (2.32), ta có

(a)

(W ( (cid:98)F ))0(a) =

W (L1( (cid:98)F ), . . . , LHY (u)( (cid:98)F ))

HY (u) (cid:88)

≥

max{(Li( (cid:98)F ))0(a) − HY (u) + 1, 0} + 1

(cid:17) (cid:16)

i=1 HY (u) (cid:88)

max{(Li( (cid:98)F ))0(a) − HY (u) + 1, 0} +

1 HY (u)

i=1

HY (u) (cid:88)

≥

(Li( (cid:98)F ))0(a)

1 HY (u)(HY (u) − 1)

i=1

z ≥ 1

yz x với mọi x ≥ 0, y, z > 1). Kết hợp với (2.28),

(cid:19) (cid:18)

(chú ý rằng max{x − y, 0} + 1 ta được

SY (u, c).

(W ( (cid:98)F ))0(a) ≥

1 HY (u)(HY (u) − 1)

(2.33)

ct,s

SY (u, c) ≥

(cp,1 + · · · + cp,k+1) −

(2k + 1)△ u

max 1≤t≤n0,1≤s≤k+1

1 uHY (u)

Từ định nghĩa của Pi,j, ta có Pp,1 ∩ · · · ∩ Pp,k+1 ∩ V = ∅, khi đó, theo Bổ đề 2.3.2 (hoặc Định lí 2.1 và Bổ đề 3.2 trong [32]), ta có

1 (k + 1) k+1 (cid:88)

(Pt,s( (cid:98)f ))0(a). (2.34)

(Pp,s( (cid:98)f ))0(a) −

1 (k + 1)

(2k + 1)△ u

s=1

1≤t≤n0,1≤s≤k+1

(cid:88)

(Pp,s( (cid:98)f ))0(a) ≥ (QIp(N −k+s)( (cid:98)f ))0(a)

Từ (2.21) và (2.25), ta có (Pp,1( (cid:98)f ))0(a) = (QIp(1)( (cid:98)f ))0(a) và

với mọi s ∈ {1, . . . , k + 1}.

q (cid:88)

N +1 (cid:88)

(Qj( (cid:98)f ))0(a) =

(QIp(t)( (cid:98)f ))0(a)

t=1

j=1

N +1 (cid:88)

≤ (N − k + 1)(QIp(1)( (cid:98)f ))0(a) +

(QIp(t)( (cid:98)f ))0(a)

t=N −k+2

k+1 (cid:88)

≤ (N − k + 1)(Pp,1( (cid:98)f ))0(a) +

(Pp,s( (cid:98)f ))0(a)

s=2

k+1 (cid:88)

≤ (N − k + 1)

(Pp,s( (cid:98)f ))0(a).

s=1

Từ đó, theo (2.25), (2.26), ta có

q (cid:88)

SY (u, c) ≥

(Qj( (cid:98)f ))0(a)

1 (k + 1)(N − k + 1)

1 uHY (u)

j=1 (cid:88)

−

(Pt,s( (cid:98)f ))0(a).

(2k + 1)△ u

1≤t≤n0,1≤s≤k+1

Vì vậy, từ (2.34), ta có

SY (u, c)

(W ( (cid:98)F ))0(a) ≥

(N − k + 1)(k + 1) duHY (u)

(N − k + 1)(k + 1) duH 2 Y (u)(HY (u) − 1)

q (cid:88)

≥

(Qj( (cid:98)f ))0(a)

1 dHY (u)(HY (u) − 1)

j=1

Kết hợp với (2.33) ta được

−

(Pt,s( (cid:98)f ))0(a)

(2k + 1)(N − k + 1)(k + 1)△ duHY (u)(HY (u) − 1)

1≤t≤n0,1≤s≤k+1

q (cid:88)

≥

(Qj( (cid:98)f ))0(a)

1 dHY (u)(HY (u) − 1)

j=1

(cid:88)

−

(Pt,s( (cid:98)f ))0(a),

(2k + 1)(N − k + 1)(k + 1)△ du

1≤t≤n0,1≤s≤k+1

(cid:88)

j=1f −1(Qj).

với mọi a ∈ ∪q

q (cid:88)

Nf (r, Qj)

N (r, W ( (cid:98)F ))0) ≥

(N − k + 1)(k + 1) duHY (u)

1 dHY (u)(HY (u) − 1)

j=1

Từ đó suy ra

−

N (r, Pt,s( (cid:98)f ))0).

(2k + 1)(N − k + 1)(k + 1)△ du

1≤t≤n0,1≤s≤k+1

(cid:88)

q (cid:88)

Nf (r, Qj)

Kết hợp với (2.22) ta được

1 d

j=1

q (cid:88)

−

Nf (r, Qj) +

Tf (r)

1 dHY (u)(HY (u) − 1)

(N − k + 1)(k + 1)ϵ′ HY (u)

j=1

(cid:13) (cid:13) (cid:13) (q − (N − k + 1)(k + 1)) Tf (r) ≤

(N (r, Pt,s( (cid:98)f ))0) + mf (r, Pi,j))

(2k + 1)(N − k + 1)(k + 1)△ du

1≤i≤n0,1≤j≤k+1

q (cid:88)

≤

Nf (r, Qj)

1 d

j=1

(cid:88)

Tf (r).

(2k + 1)(N − k + 1)(k + 1)△ du

HY (u)(HY (u) − 1) − 1 HY (u)(HY (u) − 1) (cid:18)(N − k + 1)(k + 1)ϵ′ HY (u)

] + 1, và ϵ′ :=

dϵ

(N −k+1)(k+1) − (2k+1)(N −k+1)(k+1)△

(cid:19) (2.35)

HY (u0) ≤ k + deg Y uk 0

≤ k + dk deg V (cid:0)[(2k + 1)(N − k + 1)2(k + 1)2dk−1 deg V ϵ−1] + 1(cid:1)k

= M,

Với mỗi ϵ > 0, ta chọn u = u0 := [ (2k+1)(N −k+1)2(k+1)2△ Khi đó, ta có

q (cid:88)

Nf (r, Qj).

(chú ý rằng deg Y = △ ≤ dk deg V ). Vì vậy, từ (2.35), ta có

M (M − 1) − 1 M (M − 1)

1 d

j=1

(cid:13) (cid:13) (cid:13) (q − (N − k + 1)(k + 1) − ϵ) Tf (r) ≤

Chương 3

Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh

Các kết quả trong Chương 3 được viết dựa theo bài báo [1] (trong mục Các

công trình đã công bố liên quan đến luận án).

3.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Trong mục này chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả của Lí thuyết

xấp xỉ Diophantine dựa theo [21, 26, 40, 2], để chuẩn bị cho việc phát biểu và

chứng minh Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa

3.1.1 Định giá trên trường số

tạp đại số xạ ảnh ở phần tiếp theo của luận án.

Cho k là một trường số.

Định nghĩa 3.1.1. Một hàm số thực |.| : k −→ R+ thỏa mãn các tính chất sau được gọi là một định giá trên k, và cặp (k, |.|) (hay đơn giản là k) được gọi là

trường định giá.

(i) |x| = 0 nếu và chỉ nếu x = 0,

(ii) |xy| = |x|.|y|, với mọi x, y ∈ k,

(iii) |x + y| ≤ C max{|x|, |y|}, với mọi x, y ∈ k và C > 0 là một hằng số.

(cid:136) Định giá có điều kiện (iii) được thỏa mãn với C = 1 gọi là định giá không

(cid:136) Định giá thỏa mãn |x| = 1 với mọi x ̸= 0 và |0| = 0 trên k được gọi là định

Archimedes, ngược lại gọi là định giá Archimedes.

giá tầm thường.

2, với mọi x ∈ k.

Định nghĩa 3.1.2. Hai định giá |.|1 và |.|2 được gọi là tương đương nếu tồn tại hằng số c > 0 để |x|1 = |x|c

Định lí 3.1.3.

(i) Hai định giá |.|1 và |.|2 tương đương khi và chỉ khi điều kiện sau được thỏa

|x|1 < 1 ⇐⇒ |x|2 < 1.

mãn

(ii) Với một định giá bất kỳ luôn có một định giá tương đương thỏa mãn bất

đẳng thức tam giác, nghĩa là |x + y| ≤ |x| + |y|, với mọi x, y ∈ k.

k , M 0

k ∪ M ∞ k .

Kí hiệu Mk là tập tất cả các lớp tương đương các định giá không tầm thường k tương ứng là tập các lớp tương đương của các định giá

(cid:136) Hàm giá trị tuyệt đối thông thường |x| = max{x, −x} thỏa mãn Định nghĩa 3.1.1 (iii) với C = 2 nên nó là một định giá Archimedes và gọi là định giá Archimedes chính tắc, kí hiệu |.|∞.

(cid:136) Với p là một số nguyên tố và x ∈ Q, khi đó x được biểu diễn được duy nhất thành x = pr a (r ∈ Z; a, b ∈ Z và không chia hết cho p). Đặt |x|p = p−r, khi b đó hàm |.|p xác định một định giá không Archimedes trên Q gọi là định giá p-adic.

trên k và M ∞ Archimedes và không Archimedes trong Mk. Ta có Mk = M 0 Trong trường hợp k = Q là trường số hữu tỉ, ta thấy.

Định lí 3.1.4. Mỗi định giá không tầm thường trên Q tương đương với hoặc định giá Archimedes chính tắc hoặc một định giá p-adic.

Rõ ràng ta có MQ = {p > 1, p là số nguyên tố} ∪ {∞}.

Trên một trường k tùy ý, mỗi định giá v xác định một khoảng cách và do đó

xác định một tôpô trên k. Định lí 3.1.3(i) cho thấy hai định giá là tương đương

nếu và chỉ nếu chúng cùng xác định một tôpô trên k. Trường k với khoảng cách

xác định bởi v là đầy thì v được gọi là định giá đầy và cặp (k, v) (hay đơn giản

hơn là k) được gọi là trường định giá đầy. Trường hợp ngược lại (v không đầy) ta kí hiệu kv là bao đầy của k ứng với định giá v. Ta có tính chất sau.

Định lí 3.1.5.

(i) Nếu v khác tầm thường thì kv là một trường và v được mở rộng duy nhất tới định giá ˆv trên kv sao cho ˆv(x) = v(x), ∀x ∈ k. Nếu v trên k là không Archimedes thì ˆv trên kv cũng là không Archimedes

(ii) Nếu v là không Archimedes và k là trường đóng đại số thì kv cũng là trường

đóng đại số.

k và k′ sao cho v′|k = v thì ta nói v′ nằm trên v và viết v′|v.

Nếu k′ là một mở rộng trường của k, v và v′ tương ứng là các định giá trên

Định lí 3.1.6. Giả sử (k, v) là một trường định giá đầy và k′ là trường mở rộng hữu hạn của k. Khi đó, mỗi định giá v được mở rộng duy nhất đến định giá v′ trên k′. Hơn nữa, (k′, v′) cũng là một trường định giá đầy.

3.1.2 Chuẩn hóa định giá và công thức tích

Giả sử v là một định giá không Archimedes không tầm thường trên k. Kí hiệu ˆv là định giá mở rộng trên bao đầy kv. Theo định lí trên, ˆv được mở rộng tới định giá ˆv trên bao đóng đại số kv của kv.

Giả sử trường số k có bậc d. Trên k, mỗi định giá v được chuẩn hóa như sau.

j=1 là tập các phép nhúng k vào C trên Q (d = [k : Q]). Ngoài các phép nhúng thực (ảnh vào R) các phép nhúng còn lại chia thành các cặp phức liên hợp. Mỗi phép nhúng thực và mỗi cặp nhúng phức liên hợp xác định một

+) Nếu v là Archimedes. Gọi {σj}d

|x|σj := |σj(x)|, x ∈ k.

lớp định giá

∥x∥v := |x|

dσj d σj

Mỗi định giá Archimedes tương đương với một trong các định giá |.|σj nói trên. Giả sử định giá Archimedes v tương đương với |.|σj với j nào đó. Khi đó, ta chuẩn hóa định giá này bởi

ở đó dσj = 1 nếu σj là nhúng thực và dσj = 2 nếu σj là nhúng phức.

1 dv |x|v := |Nkv/Qp(x)| p

+) Nếu v là không Archimedes. Khi đó v là một mở rộng của một định giá p-adic |.|p trên Q, ứng với số nguyên tố p nào đó. Kí hiệu Qp là bao đầy của Q ứng với định giá p - adic |.|p. Với x ∈ k, xét tự đồng cấu tuyến tính µx của Qp-không gian véc tơ kv, cho bởi µx(y) = xy. Định thức Nkv/Qp(x) của tự đồng cấu tuyến tính này là một phần tử thuộc Qp và được gọi là chuẩn của x. Khi đó, mở rộng bậc dv = [kv : Qp] của v cho bởi

dv d

1 d

∥x∥v := |x|

p .

v = |Nkv/Qp(x)|

và v được chuẩn hóa bởi

Định lí 3.1.7. Dạng chuẩn ∥.∥v của v thỏa mãn các tính chất sau.

(i) ∥x∥v ≥ 0, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0;

(ii) ∥xy∥v = ∥x∥v · ∥y∥v, với mọi x, y ∈ k;

v · max{∥x1∥v; . . . ; ∥xn∥v} với mọi x1; . . . ; xn ∈ k, n ∈ N, trong đó nv = dv/d , Bv = 1 nếu v là không Archimedes và Bv = n nếu v là Archimedes.

(iii) ∥x1 + · · · + xn∥v ≤ Bnv

Lưu ý rằng trong trường hợp k = Q, do MQ = {p > 1, p là số nguyên tố}∪{∞}

và do định nghĩa |.|p, |.|∞ ta có công thức sau gọi là công thức tích.

|x|v = 1, x ∈ Q∗.

v∈MQ

(cid:89)

Mở rộng sang trường số k bất kỳ với định giá được chuẩn hóa như trên ta cũng

có công thức tích sau.

∥x∥v = 1 với mỗi x ∈ k \ {0}.

v∈Mk

3.1.3 Độ cao Logarit và các hàm cơ bản

(cid:89)

Với v ∈ Mk, ta cũng mở rộng định giá ∥.∥v tới bao đóng đại số kv của k.

Với x ∈ k \ {0}, độ cao Logarit của x được định nghĩa bởi

h(x) :=

log+∥x∥v,

v∈Mk

(cid:88)

trong đó log+∥x∥v = log max{∥x∥v, 1}.

Với mỗi x = [x0 : · · · : xM ] ∈ PM (k) là một điểm trong không gian xạ ảnh trên trường k, ta đặt ∥x∥v := max0≤i≤M ∥xi∥v. Hàm độ cao Logarit của x được định nghĩa bởi

h(x) :=

log∥x∥v.

v∈Mk

(cid:88) (3.1)

Do công thức tích, biểu thức trên không phụ thuộc vào cách chọn tọa độ thuần nhất của x ∈ PM (k) và khái niệm này tương ứng với khái niệm hàm đặc trưng trong Lí thuyết Nevanlinna.

Td := (cid:8)(i0, . . . , iM ) ∈ NM +1 : i0 + · · · + iM = d(cid:9).

aI xI, trong đó xI = xi0

0 . . . xiM

I∈Td

Với mỗi số nguyên dương d, đặt

Giả sử Q là một đa thức thuần nhất bậc d trong k[x0, . . . , xM ] có biểu diễn Q = (cid:80) M với x = (x0, . . . , xM ) và I = (i0, . . . , iM ). Đặt ∥Q∥v := maxI ∥aI ∥v. Độ cao Logarit của Q được định nghĩa bởi

h(Q) :=

log∥Q∥v.

v∈Mk

(cid:88)

Với mỗi v ∈ Mk, hàm Weil ứng với đa thức Q, kí hiệu λQ,v được định nghĩa

∥x∥d

v · ∥Q∥v

, x ∈ PM (k) sao cho Q(x) ̸= 0.

λQ,v(x) := log

∥Q(x)∥v

bởi

Trong định nghĩa trên, hàm λQ,v cũng không phụ thuộc vào cách chọn tọa độ thuần nhất của x ∈ PM (k).

Với S ⊂ Mk là một tập hữu hạn, chứa tất cả các lớp định giá Archimedes. Ta gọi là hàm xấp xỉ và hàm đếm ứng với đa thức thuần nhất Q, lần lượt kí hiệu mS(Q, x), NS(Q, x) và được định nghĩa bởi

λQ,v(x), NS(Q, x) :=

mS(Q, x) :=

λQ,v(x), x ∈ PM (k) sao cho Q(x) ̸= 0.

v∈S

v̸∈S

(cid:88) (cid:88)

Hàm xấp xỉ và hàm đếm định nghĩa như trên tương ứng với khái niệm hàm xấp

xỉ và hàm đếm trong Lí thuyết Nevanlinna. Từ công thức tích và các định nghĩa

trên, ta có công thức sau, tương ứng với Định lí cơ bản thứ nhất trong Lí thuyết

d.h(x) = mS(Q, x) + NS(Q, x) + O(1),

Nevanlinna

3.1.4 Họ siêu phẳng, siêu mặt di động trên một tập chỉ số

với mọi x ∈ PM (k) sao cho Q(x) ̸= 0

Giả sử Λ là một tập các chỉ số gồm vô hạn phần tử. Ta gọi mỗi ánh xạ x : Λ −→ PM (k) là một họ các điểm di động x(α) trong

PM (k) với α ∈ Λ.

I∈Td

Ta gọi mỗi ánh xạ H : Λ −→ (PM (k))∗ (không gian đối ngẫu) là một siêu phẳng di động trên Λ, hay nói cách khác mỗi siêu phẳng di động H trên Λ chính là một họ các siêu phẳng H(α) trong PM (k), α ∈ Λ.

Ta gọi mỗi họ đa thức thuần nhất {Q(α)}α∈Λ bậc d trong k[x0, . . . , xM ] là một siêu mặt di động Q trong PM (k) có bậc d, được đánh chỉ số trên Λ. Mỗi siêu mặt di động Q có thể viết dưới dạng Q = (cid:80) aI xI với các hệ số aI là hàm trên Λ nhận giá trị trong k và không có không điểm chung.

Xét họ Q := {Q1, . . . , Qq} các siêu mặt di động trong PM (k), được đánh chỉ

số trên Λ. Ta biểu diễn

Qj =

aj,I xI (j = 1, . . . , q) với dj = deg Qj.

I∈Tdj

}, ở đó (cid:1). Một tập con gồm vô hạn phần tử A ⊂ Λ được gọi là nhất quán , . . . , xq,1, . . . , xq,Mdq ] thuần

(cid:88)

(α))

(α), . . . , aq,Iq,1(α), . . . , aq,Iq,Mdq

P (a1,I1,1(α), . . . , a1,I1,Md1

(với j ∈ {1, . . . , q}), thì Định nghĩa 3.1.8. Với mỗi j ∈ {1, . . . , q}, ta viết Tdj = {Ij,1, . . . , Ij,Mdj Mdj := (cid:0)dj+M đối với họ Q nếu với mọi đa thức P ∈ k[x1,1, . . . , x1,Md1 nhất đối với mỗi bộ các biến xj,1, . . . , xj,Mdj

hoặc triệt tiêu tại mọi α ∈ A hoặc triệt tiêu tại hữu hạn α ∈ A.

Ta có kết quả sau mà cách chứng minh hoàn toàn tương tự cách chứng minh

của Bổ đề 1.1 trong [34].

Bổ đề 3.1.9. Tồn tại tập con vô hạn A ⊂ Λ nhất quán đối với họ Q.

A bằng cách coi mỗi phần tử của k là một hàm hằng.

Cho A ⊂ Λ là một tập chỉ số vô hạn. Với mỗi tập con C ⊂ A có phần bù hữu hạn trong A ta kí hiệu ánh xạ a : C −→ k bởi cặp (C, a). Với C1, C2 ⊂ A là các tập con của A có phần bù hữu hạn, hai cặp (C1, a1) và (C2, a2) được gọi là tương đương nếu tồn tại tập con C ⊂ C1 ∩ C2 có phần bù hữu hạn trong A và a1|C = a2|C. Kí hiệu R0 A là tập các lớp tương đương của các cặp (C, a) với quan hệ tương đương trên. Ta thấy R0 A có cấu trúc tự nhiên của một vành. Hơn nữa, có thể nhúng k vào R0

aj,I aj,Ij

Giả sử A ⊂ Λ là một tập nhất quán đối với họ siêu mặt di động Q. Với mỗi j ∈ {1, . . . , q}, ta cố định một chỉ số Ij ∈ Tdj sao cho aj,Ij ̸≡ 0 (theo nghĩa aj,Ij (α) ̸= 0 với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn), khi đó xác định

A với mọi I ∈ Tdj , đó là

{α ∈ A : aj,Ij (α) ̸= 0} −→ k, α (cid:55)→

aj,I (α) aj,Ij (α)

một phần tử thuộc R0

Do tính nhất quán của A nên vành con của R0 A sinh ra trên k bởi các phần tử nói trên là một miền nguyên (xem p.3, [22]). Gọi RA,Q là trường các thương của miền nguyên này. Ta có nhận xét sau.

Nhận xét 3.1.10. Giả sử B ⊂ A ⊂ Λ là hai tập con vô hạn các chỉ số. Khi đó,

nếu A nhất quán đối với họ các siêu mặt Q thì B cũng nhất quán đối với họ siêu mặt đó, và RB,Q ⊂ RA,Q

Gọi A là tập các hàm {α ∈ A : aj,Ij (α) ̸= 0} −→ k, α (cid:55)→

i=1 cni

m=1 tm

(cid:81)s

aj,I (α) và kQ là tập aj,Ij (α) i , trong đó tm ∈ k, ci ∈ A, ni ∈ N. Q mà (cid:98)c(α) ̸= 0 với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn, ta (α) := (cid:98)b(α) : {α : (cid:98)c(α) ̸= 0} −→ k, α (cid:55)→ (cid:98)b . Gọi (cid:98)RA,Q là tập tất cả (cid:98)c(α) (cid:98)c các hàm như vậy. Khi đó, mỗi phần tử a ∈ RA,Q là lớp của một hàm (cid:98)a thuộc (cid:98)RA,Q. Ta gọi (cid:98)a là một đại diện đặc biệt của a. Rõ ràng, với hai đại diện đặc biệt bất kỳ (cid:98)a1, (cid:98)a2 của cùng một phần tử a ∈ RA,Q, ta có (cid:98)a1(α) = (cid:98)a2(α) với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn. Với đa thức thuần nhất P := (cid:80) I aI xI ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ], và với mỗi I giả sử (cid:98)aI là một đại diện đặc biệt của aI , khi đó (cid:98)P := (cid:80) I (cid:98)aI xI được gọi là một đại diện đặc biệt của P. Với mỗi α ∈ A sao cho tất cả các hàm (cid:98)aI

các tổng hình thức có dạng (cid:80)s Với mỗi cặp ((cid:98)b, (cid:98)c) ∈ k2 xác định hàm (cid:98)b (cid:98)c

xác định tại α, đặt (cid:98)P (α) := (cid:80) I (cid:98)aI (α)xI ∈ k[x0, . . . , xM ] và nói rằng (cid:98)P xác định tại α. Lưu ý rằng mỗi đại diện đặc biệt (cid:98)P của P được xác định với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn, và nếu (cid:98)P1, (cid:98)P2 cùng là đại diện đặc biệt của P thì (cid:98)P1(α) = (cid:98)P2(α) với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn.

Cho V ⊂ PM (k) là một đa tạp đại số xạ ảnh n chiều sinh bởi ideal thuần

nhất I(V ).

V ) nếu với mỗi tập nhất quán A ⊂ Λ ứng với Q, không tồn tại đa thức thuần nhất P ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ] \ IA,Q(V ) sao cho (cid:98)P (α)(x0(α), . . . , xM (α)) = 0 với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn, với một (và cũng là với mọi) đại diện đặc biệt (cid:98)P của P, trong đó IA,Q(V ) là ideal của RA,Q[x0, . . . , xM ] sinh bởi I(V ).

Định nghĩa 3.1.11. Một điểm di động x = [x0 : · · · : xM ] : Λ −→ V được gọi là V -không suy biến đại số ứng với Q (hay còn gọi là không suy biến đại số trên

Qji(α)(x0, . . . , xM ) = 0, 0 ≤ i ≤ n,

Định nghĩa 3.1.12. Họ các siêu mặt di động Q = {Qj}q j=1, (q ≥ n + 1) được gọi là ở vị trí tổng quát trên V (hay còn gọi là V -chấp nhận được) nếu với mỗi bộ 1 ≤ j0 < · · · < jn ≤ q, hệ phương trình

không có nghiệm (x0, . . . , xM ) thỏa mãn (x0 : · · · : xM ) ∈ V (k) với mọi α ∈ Λ, ngoài một tập con hữu hạn, trong đó k là bao đóng đại số của k.

3.2 Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt

di động giao đa tạp đại số xạ ảnh

Mục này trình bày kết quả chính sau của Chương 3.

(i) Họ các siêu mặt Q ở vị trí tổng quát trên V , và x là V -không suy biến đại

Định lí 3.2.1 (N.T.Son-T.V.Tan-N.V.Thin [40], 2018). Cho k là một trường số và S ⊂ Mk là một tập con hữu hạn chứa tất cả các định giá Archimedes. Cho x = [x0 : · · · : xM ] : Λ −→ V là một điểm di động. Giả sử

(ii) h(Qj(α)) = o(h(x(α))) với mọi α ∈ Λ và j = 1, . . . , q (nghĩa là với mọi

δ > 0, h(Qj(α)) ≤ δh(x(α)) với mọi α ∈ Λ, ngoài một tập con hữu hạn).

số ứng với Q;

Khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại tập con vô hạn chỉ số A ⊂ Λ sao cho

q (cid:88)

λQj(α),v(x(α)) ≤ (n + 1 + ε)h(x(α))

1 dj

j=1

v∈S

(cid:88) (3.2)

đúng với mọi α ∈ A.

d dj

Nhận xét 3.2.2.

j , với d = BCNN{d1, . . . , dq}, trong giả thiết của

xI, trong giả thiết của

(i) Bằng cách thay Qj bởi Q

aj,I xI bởi Q′

j = (cid:80)

I∈Td

(ii) Bằng cách thay Qj = (cid:80) Định lí 3.2.1 có thể giả sử thêm Q1, . . . , Qq có cùng bậc d. ajI ajIj

Định lí 3.2.1 cũng có thể giả sử thêm Qj ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ].

q (cid:88)

(q − n − 1 − ε)h(x(α)) ≤

NS (Qj(α), x(α)) .

1 dj

j=1

(iii) Bất đẳng thức (3.2) còn có thể viết dưới dạng

Để chứng minh định lí trên, chúng tôi dành mục sau cho việc chuẩn bị các

3.2.1 Một số bổ đề

ajI xI , (j = 1, . . . , q). Gọi

bổ đề bổ trợ.

Theo nhận xét 3.2.2 (i), ta có thể giả sử Qj = (cid:80) I∈Td

A ⊂ Λ là một tập vô hạn nhất quán ứng với Q. Với mỗi j ∈ {1, . . . , q}, ta cố định một chỉ số Ij ∈ Td sao cho aj,Ij ̸≡ 0 (theo nghĩa aj,Ij (α) ̸= 0 với mọi α ∈ A, ngoài A với mỗi I ∈ Td. một tập con hữu hạn), khi đó

ajI ajIj

xác định một phần tử của R0

Q′

xI , j = 1, . . . , q.

j =

ajI ajIj

I∈Td

Đặt (cid:88)

Xét t = (. . . , tjI , . . . ) là một họ các biến, đặt

tjI xI ∈ k[t, x].

I∈Td

(α), . . . , x0, . . . , xM ) = Q′

(cid:88) (cid:101)Qj =

j(α)(x0, . . . , xM ) với mọi α ∈ A, ngoài

ajI ajIj

Ta có (cid:101)Qj(. . . ,

một tập con hữu hạn.

Giả sử ideal I(V ) xác định V được sinh bởi các đa thức P1, . . . , Pm. Do Q ở vị trí tổng quát trên V nên với mỗi J := {j0, . . . , jn} ⊂ {1, . . . , q} tồn tại tập con AJ ⊂ A với phần bù hữu hạn sao cho với mỗi α ∈ AJ ta có: ajIj (α) ̸= 0 với mọi (α), . . . , Q′ j ∈ J; các đa thức P1, . . . , Pm, Q′ (α) ∈ k[x0, . . . , xM ] không có nghiệm j0 jn M +1 chung khác tầm thường trong k

Kí hiệu k[t](P1, . . . , Pm, (cid:101)Qj0, . . . , (cid:101)Qjn) là ideal trong vành đa thức với các biến x0, . . . , xM và hệ số trong k[t] sinh bởi các đa thức P1, . . . , Pm, (cid:101)Qj0, . . . , (cid:101)Qjn. Ta gọi đa thức (cid:101)R trong k[t] là dạng khởi đầu của các đa thức P1, . . . , Pm, (cid:101)Qj0, . . . , (cid:101)Qjn nếu tính chất sau được thỏa mãn: Tồn tại số tự nhiên s để với mọi i = 0, . . . , M

xs i · (cid:101)R ∈ k[t](P1, . . . , Pm, (cid:101)Qj0, . . . , (cid:101)Qjn)

thì

(xem [45]). Rõ ràng tập các dạng khởi đầu I của các đa thức P1, . . . , Pm, (cid:101)Qj0, . . . , (cid:101)Qjn là một ideal trong k[t].

Pi(x0, . . . , xM ), (cid:101)Qj(. . . , tjI , . . . , x0, . . . , xM ), i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ J

Như đã biết, (m + n + 1) đa thức thuần nhất

jI :=

t0 jI của tjI nếu và chỉ nếu tồn tại một dạng khởi đầu (cid:101)R jI J jI , . . . ) ̸= 0 (xem [45], trang 254). Với mỗi α ∈ AJ , chọn (cid:101)Rα J ∈ I (α). Đặt Rα J :=

ajI ajIj

, . . . ), khi đó Rα

không có nghiệm chung khác tầm thường đối với các biến x0, . . . , xM tại một giá trị đặc biệt t0 sao t0 J (. . . , t0 cho (cid:101)R jI là một dạng khởi đầu như vậy tương ứng với giá trị tα

J (. . . ,

J là một đại diện đặc biệt của một phần tử RA,Q. Do

ajI ajIj

(cid:101)Rα

Rα

cách định nghĩa, ta có

J (α) ̸= 0 với mọi α ∈ AJ

(3.3)

(và vì vậy cũng thỏa mãn điều kiện đúng với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu

ℓ ∈ k[t]. Ta có Gα

ℓ (cid:101)RJℓ, (cid:101)Gα

ℓ=1 (cid:101)Gα

hạn).

, . . . ) và RJℓ := (cid:101)RJℓ(. . . ,

ℓ (. . . ,

ajI ajIj

Do k[t] là vành Noether nên I được sinh bởi hữu hạn phần tử là các đa J = (cid:80)s ℓ := , . . . ) là những đại diện đặc biệt của các

ajI ajIj J = (cid:80)s

ℓ RJℓ trên AJ . Vì vậy, từ (3.3) ta có

ℓ=1 Gα s (cid:88)

Gα

0 ̸= Rα

J (α) =

ℓ (α)RJℓ(α)

ℓ=1

thức (cid:101)RJ1, . . . , (cid:101)RJν . Với mỗi α, ta viết (cid:101)Rα (cid:101)Gα phần tử thuộc RA,Q. Rõ ràng Rα

(α) ̸= 0 với mọi α ∈ A′, ngoài một tập con hữu hạn.

với mọi α ∈ AJ . Do đó, tồn tại ℓ0 ∈ {1, . . . , s} và một tập con vô hạn A′ ⊂ AJ sao cho

RJℓ0

(3.4)

Bằng cách thay A′ bởi các tập con vô hạn của nó, sau một số hữu hạn bước, ta có thể chọn được một tập con vô hạn A′ ⊂ A chung cho mọi tập con J ⊂ {1, . . . , q}, #J = n + 1. Vì ta có thể thu hẹp A nên có thể giả sử điều trên đúng

với mọi α ∈ A.

n (cid:88)

m (cid:88)

· xs

Từ định nghĩa dạng khởi đầu, tồn tại số tự nhiên s và các đa thức thuần nhất bijk, biℓ ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ] hoặc bằng không, hoặc có bậc deg bijk = s − d, deg biℓ = s − deg Pℓ sao cho

biℓ · Pℓ,

bijk · Q′

i =

jk +

RJℓ0

k=0

ℓ=1

(3.5)

với mọi 0 ≤ i ≤ M.

1 a

Định nghĩa 3.2.3. Cho x : Λ −→ V ⊂ PM (k) là một điểm di động. Phần tử (C, a) ∈ R0 A được gọi là nhỏ so với x nếu và chỉ nếu h(a(α)) = o(h(x(α))), theo nghĩa, với mỗi ε > 0, tồn tại một tập con Cε ⊂ C với phần bù hữu hạn sao cho h(a(α)) ≤ εh(x(α)) với mọi α ∈ Cε.

1 ∥a(α)∥v

Kí hiệu Kx là tập tất cả các phần tử nhỏ so với x. Khi đó Kx là một vành con của R0 A. Vành này không phải là một miền nguyên nhưng với mỗi (C, a) ∈ Kx mà a(α) ̸= 0 với mọi α ∈ C, ngoài một tập con hữu hạn, thì ta có (C \ {α : a(α) = 0}, ) ∈ Kx. Gọi Cx là tập tất cả các hàm thực g nhận giá trị dương, xác định trên một tập con của Λ với phần bù hữu hạn sao cho log+(g(α)) = o(h(x(α))). Khi đó Cx là một vành. Hơn nữa, nếu (C, a) ∈ Kx \ {0}, thì với mọi v ∈ Mk, hàm ∥a∥v : C −→ R+ cho bởi α (cid:55)→ ∥a(α)∥v thuộc Cx. Ngoài ra, nếu (C, a) ∈ Kx và a(α) ̸= 0 với mọi α ∈ C, ngoài một tập con hữu hạn, thì hàm g : {α | a(α) ̸= 0} (cid:55)→ cũng thuộc Cx.

Với các giả thiết như của Định lí 3.2.1 kết hợp với Nhận xét 3.2.2, từ (3.4),

(3.5) ta có kết quả sau mà cách chứng minh tương tự như chứng minh của Bổ

đề 2.2 trong [18].

ℓ2,v(α)∥x(α)∥d

∥Qj(α)(x(α))∥v ≤ ℓ1,v(α)∥x(α)∥d v,

v ≤ max j∈J

Bổ đề 3.2.4. Cho A ⊂ Λ là một tập con nhất quán ứng với Q. Khi đó, tồn tại tập con gồm vô hạn phần tử A′ của A sao cho với mỗi J ⊂ {1, . . . , q}, #J = n + 1, tồn tại các hàm ℓ1,v, ℓ2,v ∈ Cx thỏa mãn

với mọi α ∈ A′ và mọi v ∈ S.

Chứng minh. Theo trên ta thấy, với mỗi tập con nhất quán A ⊂ Λ bất kì luôn

tồn tại một tập con vô hạn (mà ta vẫn kí hiệu là A) sao cho (3.4) và (3.5) đạt được. Khi đó, với mỗi j ∈ J = {j0, . . . , jn}, áp dụng Định lí 3.1.7 ta có

∥Qj(x(α))∥v = ∥

aj,I (α)xI (α)∥v

I∈Td

∥aj,I (α)(xI (α))∥v

≤ c1 max I∈Td (cid:88)

≤ c1

∥aj,I (α)∥v∥(x(α))∥d v

I∈Td

(cid:88)

với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn, trong đó c1 là một hằng số dương, không phụ thuộc vào α. Đặt ℓ1,v là hàm xác định trên tập con của A với phần bù hữu hạn cho bởi

ℓ1,v(α) = c1

∥aj,I (α)∥v

I∈Td

(cid:88)

ta nhận được bất đẳng thức thứ hai của Bổ đề.

n (cid:88)

m (cid:88)

· xs

biℓ · Pℓ,

bijk · Qjk +

i =

RJℓ0

k=0

ℓ=1

Theo (3.5), tồn tại số nguyên dương s và các đa thức thuần nhất bijk, biℓ ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ] hoặc bằng không, hoặc có bậc deg bijk = s − d, deg biℓ = s − deg Pℓ sao cho

với mọi 0 ≤ i ≤ M.

Lấy (cid:98)bijk là một đại diện đặc biệt của bijk. Khi đó, theo Định lí 3.1.7, tồn tại

n (cid:88)

· xs

∥Qjk(α)∥v

∥(cid:98)bijk(x(α))∥v

∥RJℓ0

i ∥v ≤ c2 max k=0,...,n

k=0

hằng số dương c2 để với mọi i = 0, 1, . . . , n, ta có

∈ RA,Q.

γI ijk

xI, với γI ijk

I∈Ts−d

với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn. Ở đây, lưu ý rằng x(α) ∈ V.

ijk

. Khi đó, với mọi i = 0, 1, . . . , n, ta có là một đại diện đặc biệt của γI ijk Ta biểu diễn bijk dưới dạng bijk = (cid:80) Gọi (cid:98)γI

(α)∥v · ∥xs

∥Qjk(α)∥v

ijk∥v∥(x(α))∥s−d

∥RJℓ0

∥(cid:98)γI

i (α)∥v ≤ c2 max k=0,...,n

k,I

(cid:88)

với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn.

Do đó, với mọi i = 0, 1, . . . , n, ta có

≤ c2 max

∥Qjk(α)∥v

k=0,...,n

∥xi(α)∥s v ∥(x(α))∥s−d

∥(cid:98)γI ∥v ijk (α)∥v ∥RJℓ0

i,k,I

(cid:88)

với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn.

Do ∥(x(α))∥v = max{∥(x0(α))∥v, . . . , ∥(xn(α))∥v}, ta suy ra tồn tại i ∈ {0, . . . , n}

thỏa mãn ∥(x(α))∥v = ∥(xi(α))∥v. Từ đó

∥x(α)∥d

∥Qjk(α)∥v

v ≤ c2 max k=0,...,n

∥(cid:98)γI ∥v ijk (α)∥v ∥RJℓ0

i,k,I

(cid:88)

với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn.

Đặt ℓ2,v là hàm xác định trên một tập con của A với phần bù hữu hạn cho

ℓ2,v(α) =

bởi

i,k,I

∥(cid:98)γI ∥v ijk (α)∥v ∥RJℓ0

(cid:80)

ta nhận được bất đẳng thức còn lại của Bổ đề.

Với mỗi số nguyên dương ℓ và mỗi không gian vectơ con W của k[x0, . . . , xM ] (hay của RA,Q[x0, . . . , xM ]), kí hiệu Wℓ là không gian vectơ con gồm các đa thức thuần nhất thuộc W với bậc ℓ (bao gồm cả đa thức không).

Định nghĩa 3.2.5. Cho W là một không gian vectơ con của RA,Q[x0, . . . , xM ]. Với mỗi phần tử α ∈ A, đặt

W (α) :=

{ (cid:98)P (α) : (cid:98)P là một đại diện đặc biệt nào đó của P, xác định tại α}.

P ∈W

(cid:91)

Rõ ràng W (α) là một không gian vectơ con của k[x0, . . . , xM ].

(i) Tồn tại γj ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N , j = 1, . . . , H sao cho γj(α), . . . , γH (α) lập thành một cơ sở của W (α), với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn (có nghĩa là với mỗi đại diện đặc biệt (cid:98)γj của γj, thì {(cid:98)γj(α), . . . , (cid:98)γH (α)} là một cơ sở của W (α), với mọi, trừ một tập gồm hữu hạn các α ∈ A)). Đặc biệt, số chiều của

W (α) không phụ thuộc vào α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn.

(ii) Giả sử {hj}K

j=1 là một cơ sở của W. Khi đó, {hj(α)}K j=1 là một cơ sở của W (α), với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn (có nghĩa là với mỗi đại diện (cid:98)hj của hj, thì {(cid:98)hj(α)}K j=1 tạo nên một cơ sở của W (α), với mọi, trừ một tập con hữu hạn các α ∈ A). Đặc biệt, dimRA,Q W = dimk W (α) với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn.

Bổ đề 3.2.6. Cho W là một không gian vectơ con của RA,Q[x0, . . . , xM ]N . Khi đó,

Chứng minh. Đặt H := maxα∈A dim W (α) và lấy α0 ∈ A sao cho dim W (α0) = H. Khi đó, tồn tại các phần tử γj ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N (j = 1, . . . , H) và các đại diện đặc biệt (cid:98)γj tương ứng của γj (j = 1, . . . , H) sao cho {(cid:98)γ1(α0), . . . , (cid:98)γH (α0)} là một cơ sở của W (α0).

j=1. Khi đó, B(α0) có hạng H. Vì vậy, tồn tại ma trận vuông con B1 của B với cấp H sao cho det B1(α0) ̸= 0. Do tính nhất quán của A nên tồn tại tập con A1 của A với phần bù là tập gồm hữu hạn phần tử, sao cho det B(α) ̸= 0 và các hệ số (cid:98)γj xác định tại α, với mọi α ∈ A1. Khi đó, {(cid:98)γ1(α), . . . , (cid:98)γH (α)} độc lập tuyến tính, với mọi α ∈ A1. Mặt khác, dim W (α) ≤ H. Vì vậy, {(cid:98)γ1(α), . . . , (cid:98)γH (α)} là một cơ sở của W (α) với mọi α ∈ A1. Mặt khác, với j của γj (j = 1, . . . , H), ta có (cid:98)γ′ mỗi đại diện đặc biệt (cid:98)γ′ j(α) = (cid:98)γj(α) với mọi, trừ 1(α), . . . , (cid:98)γ′ một tập gồm hữu hạn các α ∈ A. Do đó, (cid:98)γ′ H (α) cũng tạo nên một cơ sở của W (α) với mọi, trừ một tập con gồm hữu hạn các α ∈ A. Như vậy kết luận

Gọi B là ma trận các hệ số của {(cid:98)γj}H

(i) đúng.

j=1. Do {hj}K

j=1 là độc lập tuyến tính, nên tồn tại ma trận vuông con C của (cij) với bậc K mà det C ̸≡ 0. Gọi (cid:98)cij là một đại diện đặc biệt của cij. Kí hiệu (cid:98)C là ma trận được tạo nên từ C bằng cách thay cij bởi (cid:98)cij. Khi đó, det (cid:98)C là một đại diện đặc biệt của det C, và vì thế det (cid:98)C ̸≡ 0. Do tính nhất quán của A, det (cid:98)C(α) ̸= 0 và tất cả hệ số của (cid:98)hj xác định tại mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn. Từ kết luận (i), tồn tại γj ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N , j = 1, . . . , H sao cho {(cid:98)γ1(α), . . . , (cid:98)γH (α)} là một cơ sở của

Gọi (cij) là ma trận các hệ số của {hj}K

W (α) với mọi, trừ một tập con hữu hạn các α ∈ A, ở đây (cid:98)γj là một đại diện đặc biệt của γj. Ta viết γs = (cid:80)K j=1 tsjhj với tsj ∈ RA,Q. Gọi (cid:98)tsj là một đại diện đặc biệt của tsj (s ∈ {1, . . . , H}, j ∈ {1, . . . , K}). Lấy đại diện (cid:98)hj bất kì của hj. Khi đó (cid:80)K

j=1 (cid:98)tsj(cid:98)hj là một đại diện đặc biệt của γs. Do đó

K (cid:88)

j=1

(cid:98)tsj(α)(cid:98)hj(α) (s = 1, . . . , H) (cid:98)γs(α) =

với mọi, trừ một tập con gồm hữu hạn α ∈ A. Kết hợp với (i), ta có {(cid:98)hj(α)}K j=1 là một hệ sinh của W (α) với mọi, trừ một tập con gồm hữu hạn α ∈ A. Mặt khác, do det (cid:98)C(α) ̸= 0 và do các phần tử (cid:98)hij xác định tại mọi α, trừ một tập con hữu hạn, nên hệ {(cid:98)h1(α), . . . , (cid:98)hK(α)} là độc lập tuyến tính, tại mọi, trừ một tập gồm hữu hạn các α ∈ A. Từ đó, {(cid:98)h1(α), . . . , (cid:98)hK(α)} là một cơ sở của W (α), với mọi, trừ một tập gồm hữu hạn các α ∈ A.

Gọi IA,Q(V ) là ideal thuần nhất trong RA,Q[x0, . . . , xM ] được sinh bởi I(V ). Rõ ràng IA,Q(V ) cũng là không gian vectơ con được sinh bởi I(V ) trong không gian RA,Q[x0, . . . , xM ].

i1 + · · · + in.

Sử dụng thứ tự từ điển trên Nn và với mỗi I = (i1, . . . , in) ta đặt ∥I∥ :=

Định nghĩa 3.2.7. Với mỗi I = (i1, · · · , in) ∈ Nn và N ∈ N thỏa mãn N ≥ d∥I∥, kí hiệu LI N là tập các đa thức γ ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N −d∥I∥ sao cho ta có thể biểu diễn

Qi1

Qe1

n γ −

n γE ∈ IA,Q(V )N

1 · · · Qin

1 · · · Qen

E=(e1,...,en)>I

(cid:88)

với γE ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N −d∥E∥ nào đó.

N ≥d∥I∥ LI N .

Gọi LI là ideal thuần nhất trong RA,Q[x0, . . . , xM ] được sinh bởi (cid:83)

Nhận xét 3.2.8.

N là một RA,Q- không gian vectơ con của RA,Q[x0, . . . , xM ]N −d∥I∥, và N , với (I(V ), Q1, . . . , Qn) là ideal trong vành đa thức

(I(V ), Q1, . . . , Qn)N −d∥I∥ ⊂ LI RA,Q[x0, . . . , xM ] sinh bởi I(V ) ∪ {Q1, . . . , Qn}.

i) LI

N và P ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]k, ta có γ · P ∈ LI

N +k.

ii) Với mỗi γ ∈ LI

N .

iii) LI ∩ RA,Q[x0, . . . , xM ]N −d∥I∥ = LI

RA,Q[x0, . . . , xM ] LI

iv) là một mô-đun phân bậc trên vành phân bậc RA,Q[x0, . . . , xM ].

Với định nghĩa và các nhận xét trên, ta có Bổ đề sau.

k=1, tiếp theo, lấy dãy con ir12 ≤ ir22 ≤ ir32 ≤ · · · của dãy {iqk2}∞

Bổ đề 3.2.9. Tập {LI : I ∈ Nn} gồm hữu hạn ideal.

Chứng minh. Giả sử #{LI : I ∈ Nn} = ∞. Khi đó tồn tại một dãy vô hạn {LIk}∞ k=1 gồm các ideal đôi một phân biệt. Viết các bộ đa chỉ số dưới dạng Ik = (ik1, . . . , ikn). Do các thành phần ikℓ là các số nguyên dương, nên tồn tại dãy tăng các chỉ số p1 < p2 < p3 < · · · sao cho ip1ℓ ≤ ip2ℓ ≤ ip3ℓ ≤ · · · , với mọi ℓ = 1, . . . , n. Thật vậy, để có được dãy trên, trước tiên lấy dãy con iq11 ≤ iq21 ≤ iq31 ≤ · · · của {ik1}∞ k=1. Ta tiếp tục quá trình này cho tới khi đạt được dãy ip1n ≤ ip2n ≤ ip3n ≤ · · · .

Ta có

LIp1 ⊂ LIp2 ⊂ LIp3 ⊂ · · · ⊂ RA,Q[x0, . . . , xM ].

(3.6)

Ipk N , ta có

Thật vậy, với N, k thỏa mãn N − ∥Ipk∥ ≥ 0 và với mỗi γ ∈ L

Qe1

· · · Q

ipk n n γ −

n γE ∈ IRA,Q(V )N ,

1 · · · Qen

ipk 1 1

E=(e1,...,en)>Ipk

(cid:88)

với γE ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N −d∥E∥ nào đó. Khi đó, do ipk+11 − ipk1, . . . , ipk+1n − ipkn là các số nguyên không âm nên

γ −

en+(ipk+1n−ipk n) · · · Q n

ipk+1n · · · Q n

γE ∈ IRA,Q(V )N .

ipk+11 Q 1

e1+(ipk+11−ipk 1) Q 1

E=(e1,...,en)>Ipk

Ipk N ⊂ L

Ipk+1 N −d∥Ipk ∥+d∥Ipk+1 ∥. Do đó, L

(cid:88)

Mặt khác, từ E = (e1, . . . , en) > Ipk ta có (e1 + ipk+11 − ipk1, . . . , en + ipk+1n − ipkn) > Ipk+1 Ipk+1. Vì vậy, γ ∈ L N −d∥Ipk ∥+d∥Ipk+1 ∥ với mọi k, N. Vậy, LIpk ⊂ LIpk+1 với mọi k, nghĩa là (3.6) đúng.

. Với mỗi số nguyên dương N,

Ta lại có, do RA,Q[x0, . . . , xM ] là vành Noether nên dãy lồng nhau các ideal (3.6) phải dừng (từ một chỉ số nào đó), điều này trái với giả thiết ban đầu. Vậy, tập {LI : I ∈ Nn} hữu hạn.

N := dimRA,Q

RA,Q[x0, . . . , xM ]N −d∥I∥ LI N

Đặt mI

gọi τN là tập tất cả các I := (i0, . . . , in) ∈ Nn thỏa mãn N − d∥I∥ ≥ 0. Xét

∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N −d∥I∥ sao cho chúng lập thành một cơ sở của

γI1, . . . , γImI

RA,Q-không gian vectơ

RA,Q[x0, . . . , xM ]N −d∥I∥ LI N

], I = (i1, . . . , in) ∈ τN } là

n · γI1], . . . , [Qi1

n · γImI

1 · · · Qin

Bổ đề 3.2.10. {[Qi1

1 · · · Qin RA,Q[x0, . . . , xM ]N IA,Q(V )N

một cơ sở của RA,Q-không gian vectơ

{[Qi1

Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh hệ các vectơ

], I = (i1, . . . , in) ∈ τN }

n · γI1], . . . , [Qi1

n · γImI

1 · · · Qin

(3.7)

là độc lập tuyến tính.

N }) sao

Thật vậy, giả sử với mỗi tIℓ ∈ RA,Q, (I = (i1, . . . , in) ∈ τN , ℓ ∈ {1, . . . , mI

cho

](cid:1) = 0.

[Qi1

n · γI1] + · · · + tImI

n · γImI

1 · · · Qin

I∈τN

(cid:88) (cid:0)tI1[Qi1

Khi đó

Qi1

γImI

1 · · · Qin n

I∈τN

γI ∗mI∗

∈ LI ∗ N ,

N , và từ (3.8), ta có tI ∗1γI ∗1 + · · · + tI ∗mI∗

(cid:88) (3.8) (cid:1) ∈ IA,Q(V )N . (cid:0)tI1γI1 + · · · + tImI

} là một cơ sở của

Từ định nghĩa của họ LI trong đó I ∗ là phần tử nhỏ nhất của τN .

RA,Q[x0, . . . , xM ]N −d∥I ∗∥ LI ∗ N

nên Mặt khác, do {γI ∗1, . . . , γI ∗mI∗

= 0.

ta có

tI ∗1 = · · · = tI ∗mI∗

(3.9)

Vậy, từ (3.8) suy ra

Qi1

γImI

1 · · · Qin n

I∈τN \{I ∗}

(cid:88) (cid:1) ∈ IA,Q(V )N . (cid:0)tI1γI1 + · · · + tImI

= 0, với ˜I là phần tử nhỏ nhất của τN \ {I ∗}. Tiếp tục quá trình trên, ta được tIℓ = 0 với mọi I ∈ τN và ℓ ∈ {1, . . . , mI

N }, và do đó ta nhận được (3.7).

Tương tự (3.9), ta có t ˜I1 = · · · = t ˜Im ˜I

{Qi1

, I = (i1, . . . , in) ∈ τN }.

n · γI1, . . . , Qi1

n · γImI

1 · · · Qin

Gọi L là không gian vectơ con của RA,Q[x0, . . . , xM ]N được sinh bởi

Qi1

Ta sẽ chứng minh, với mỗi I = (i1, . . . , in) ∈ τN thì

n · γI ∈ L + IA,Q(V )N ,

1 · · · Qin

(3.10)

n) := max{I : I ∈

với mọi γI ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N −d∥I∥. Thật vậy, đặt I ′ = (i′

τN }. Do γI ′1, . . . , γI ′mI′

1, . . . , i′ RA,Q[x0, . . . , xM ]N −d∥I∥ LI ′ N

lập thành một cơ sở của nên với

mI′ N(cid:88)

mỗi γI ′ ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N −d∥I ′∥ ta có

γI ′ =

tI ′ℓ · γI ′ℓ + hI ′ℓ, trong đó hI ′ℓ ∈ LI ′

N và tI ′ℓ ∈ RA,Q.

ℓ=1

n · hI ′ℓ ∈ IA,Q(V )N (để ý rằng I ′ =

1 · · · Qi′

N ta có Qi′

(3.11)

mI′ N(cid:88)

tI ′ℓQi′

n · γI ′ =

n · γI ′ℓ + Qi′

n · hI ′ℓ ∈ L + IA,Q(V )N .

Qi′ 1 · · · Qi′

1 · · · Qi′

ℓ=1

Mặt khác, từ định nghĩa LI ′ max{I : I ∈ τN }). Do đó,

Vậy (3.10) đúng cho trường hợp I = I ′.

n). Ta chứng minh (3.10) cũng

1, . . . , i∗

Giả sử (3.10) đúng với mọi I > I ∗ = (i∗

đúng với I = I ∗.

mI∗ N(cid:88)

γI ∗ =

tI ∗ℓ · γI ∗ℓ + hI ∗ℓ, trong đó hI ∗ℓ ∈ LI ∗

N và tI ∗ℓ ∈ RA,Q.

ℓ=1

Thật vậy, tương tự (3.11), với mỗi γI ∗ ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N −d∥I ∗∥, ta có

mI∗ N(cid:88)

Khi đó,

tIsℓQi∗

n · γI ∗ℓ + Qi∗

n · hI ∗ℓ.

n · γI ∗ =

1 · · · Qi∗

Qi∗ 1 · · · Qi∗

ℓ=1

(3.12)

N , nên

Do hI ∗ℓ ∈ LI ∗

Qe1

n · hI ∗ℓ =

n · gE,

Qi∗ 1 · · · Qi∗

1 · · · Qen

E=(e1,...,en)>I ∗

(cid:88)

n · hI ∗ℓ ∈ L + IA,Q(V )N .

Qi∗ 1 · · · Qi∗

với gE ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N −d·∥E∥ nào đó. Theo giả thiết quy nạp, ta có

n · γI ∗ ∈ L + IA,Q(V )N ,

Qi∗ 1 · · · Qi∗

Vậy, từ (3.12), ta suy ra

tức là (3.10) đúng với I = I ∗.

n · Q, Khi đó, theo

1 · · · Q0

Theo nguyên lý quy nạp ta có (3.10) đúng. Với mỗi Q ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N , ta biểu diễn Q = Q0

{[Qi1

], I = (i1, . . . , in) ∈ τN }

n · γI1], . . . , [Qi1

n · γImI

1 · · · Qin

(3.10), ta có Q ∈ L + IA,Q(V )N , và như vậy,

. Kết hợp với (3.7), Bổ đề 3.2.10 được

RA,Q[x0, . . . , xM ]N IA,Q(V )N

là một hệ sinh của

chứng minh.

Định lí Hilbert - Serre về đa thức Hilbert (xem [21], Định lí 7.5) khẳng định

HV (N ) := dimk

= deg V.

+ O(N n−1).

= dimk

N n n!

k[x0, . . . , xM ]N I(V )N k[x0, . . . , xM ]N I(V (k))N

rằng với mọi số nguyên dương N đủ lớn ta có

Trong đó, I(V (k)) là ideal trong k[x0, . . . , xM ] xác định đa tạp V (k) và I(V (k))N := k[x0, ..., xM ]N ∩I(V (k)) với k[x0, ..., xM ]N là k - không gian vectơ các đa thức thuần nhất bậc N (gồm cả đa thức 0) trong k[x0, ..., xM ]N .

Từ Bổ đề 3.2.6 và kết quả trên cùng với Bổ đề 3.2.9, ta thu được kết quả sau.

= c với mọi I ∈ Nn, N ∈ N thỏa mãn

Bổ đề 3.2.11. Tồn tại các số tự nhiên n0, c và c′ sao cho:

RA,Q[x0, . . . , xM ]N −d∥I∥ (I(V ), Q1, . . . , Qn)N −d∥I∥

N − d∥I∥ ≥ n0.

i) dimRA,Q

N với mọi N ∈ N

ii) Với mỗi I ∈ Nn tồn tại số tự nhiên mI sao cho mI = mI

thỏa mãn N − d∥I∥ ≥ n0.

N ≤ c′, với mọi I ∈ Nn và N ∈ N thỏa mãn N − d∥I∥ ≥ 0.

iii) mI

Chứng minh. Gọi (I(V ), Q1, . . . , Qn) là ideal trong RA,Q[x0, . . . , xM ] sinh bởi I(V )∪ {Q1, . . . , Qn}. Với mỗi α thuộc A sao cho các hệ số của các đa thức Qi đều xác định tại α, ta kí hiệu (I(V ), Q1(α), . . . , Qn(α)) là ideal trong k[x0, . . . , xM ] được sinh bởi I(V ) ∪ {Q1(α), . . . , Qn(α)}.

Ta có

(I(V ), Q1(α), . . . , Qn(α)) ⊂ (I(V ), Q1, . . . , Qn)(α).

(3.13)

mk(cid:88)

n (cid:88)

gjk · γjk}K

Qi · Rik +

{hk :=

k=1,

j=1

i=1

Thật vậy, với mỗi P ∈ (I(V ), Q1(α), . . . , Qn(α)), ta viết P = G + Q1(α) · P1 + · · · + Qn(α) · Pn, ở đó G ∈ I(V ), và Pi ∈ k[x0, . . . , xM ]. Lấy P ′ ∈ (I(V ), Q1, . . . , Qn) là phần tử nhận (cid:98)P ′ := G + Q1 · P1 + · · · + Qn · Pn là một đại diện đặc biệt. Rõ ràng P = (cid:98)P ′(α) ∈ (I(V ), Q1, . . . , Qn)(α). Vậy (3.13) đúng. Giả sử I là một phần tử bất kì trong τN . Lấy

n (cid:88)

mk(cid:88)

là một cơ sở của (I(V ), Q1, . . . , Qn)N −d∥I∥, trong đó gjk ∈ I(V ) và Rik, γjk, ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ] thỏa mãn deg(Qi · Rik) = deg(γjk · gjk) = N − d∥I∥. Gọi (cid:98)Rik và (cid:98)γjk lần lượt là những đại diện đặc biệt nào đó của Rik và γjk. Khi đó

Qi · (cid:98)Rik +

gjk · (cid:98)γjk

i=1

j=1

(cid:98)hk :=

là một đại diện đặc biệt của hk. Từ Bổ đề 3.2.6 và do Q ở vị trí tổng quát trên V nên tồn tại α ∈ A sao cho

a) {(cid:98)hk(α)}K k=1 là một cơ sở của (I(V ), Q1, . . . , Qn)N −d∥I∥(α), b) tất cả các hệ số của Qj, (cid:98)Rjk, (cid:98)γjk, gjk đều xác định tại α, c) các đa thức thuần nhất Q0(α), . . . , Qn(α) ∈ k[x0, . . . , xM ] không có không

điểm chung trong V (k).

Mặt khác, (cid:98)hk(α) ∈ (I(V ), Q1(α), . . . , Qn(α)), với mọi k = 1, . . . , K. Do đó, từ

(I(V ), Q1(α), . . . , Qn(α))N −d∥I∥ = (I(V ), Q1, . . . , Qn)N −d∥I∥(α).

(3.13) và a), ta có

dimRA,Q(I(V ), Q1, . . . , Qn)N −d∥I∥ = dimk(I(V ), Q1, . . . , Qn)N −d∥I∥(α)

= dimk(I(V ), Q1(α), . . . , Qn(α))N −d∥I∥.

Khi đó,

= dimk

dimRA,Q

RA,Q[x0, . . . , xM ]N −d∥I∥ (I(V ), Q1, . . . , Qn)N −d∥I∥

k[x0, . . . , xM ]N −d∥I∥ (I(V ), Q1(α), . . . , Qn(α))N −d∥I∥

= dimk

k[x0, . . . , xM ]N −d∥I∥ (I(V (k)), Q1(α), . . . , Qn(α))N −d∥I∥

Suy ra,

(3.14)

Mặt khác, theo Định lí Hilbert-Serre (Định lí 7.5, [21]), tồn tại các số nguyên

= c,

dimk

k[x0, . . . , xM ]N −d∥I∥ (I(V (k)), Q1(α), . . . , Qn(α))N −d∥I∥

dương n1, c sao cho

= c,

với mọi I ∈ Nn và N ∈ N thỏa mãn N − d∥I∥ ≥ n1. Kết hợp với (3.14), ta được

dimRA,Q

RA,Q[x0, . . . , xM ]N −d∥I∥ (I(V ), Q1, . . . , Qn)N −d∥I∥

(3.15)

với mọi I ∈ Nn và N ∈ N thỏa mãn N − d∥I∥ ≥ n1.

(I(V ),Q1,...,Qn). Do (I(V ), Q1, . . . , Qn) ⊂ LI , nên ta có hI ≤ h. Mặt khác, theo kết quả quen thuộc về hàm Hilbert (chẳng hạn, xem Matsumura [23], Định lí 14) thì hI (k) là đa thức biến k với k đủ lớn từ một lúc nào đó, trong khi theo (3.14), ta có h(k) = c với mọi k ≥ n1. Do đó, hI cũng là hàm hằng đối với k khi k đủ lớn, nghĩa là tồn tại các N = hI (N − d∥I∥) = mI hằng số mI, n2 sao cho hI (k) = mI với mọi k ≥ n2. Vậy mI với mọi N ∈ N thỏa mãn N − d∥I∥ ≥ n2. Theo Bổ đề 3.2.9, ta có thể chọn n2 chung cho tất cả các I. Lấy n0 := max{n1, n2}, ta được các kết luận i) và ii) của Bổ đề 3.2.11. Ta có mI

N = hI (N − d∥I∥) ≤ h(N − d∥I∥) ≤ max{c, h(k) : k = 0, . . . , n0}. Vì vậy,

và RA,Q[x0,...,xM ] Gọi hI và h lần lượt là các hàm Hilbert của RA,Q[x0,...,xM ]

lấy c′ := max{c, h(k) : k = 0, . . . , n0}, ta được kết luận iii) của Bổ đề 3.2.11.

cho N0 − d∥I0∥ ≥ n0 và mI0 N0 gọi τ 0 Đặt m := minI∈Nn mI . Ta cố định I0 = (i01, . . . , i0n) ∈ Nn và N0 ∈ N sao = m. Với mỗi số nguyên dương N chia hết cho d, N là tập tất cả các bộ I = (i1, . . . , in) ∈ τN thỏa mãn N − d∥I∥ ≥ n0 và

ik ≥ max{i01, . . . , i0n} với mọi k ∈ {1, . . . , n}. Ta có (cid:19)

+ O(N n−1),

#τN =

d + n n

1 dn ·

N n n!

#{I ∈ τN : N − d∥I∥ ≤ n0} = O(N n−1),

i0ℓ, với k nào đó } = O(N n−1),

#{I = (i1, . . . , in) ∈ τN : ik < max 1≤ℓ≤n

+ O(N n−1).

#τ 0

(cid:18) N

N =

1 dn ·

N n n!

(3.16)

N = deg V · dn, với mọi số nguyên dương N đủ lớn, chia hết

Từ các Bổ đề 3.2.10, Bổ đề 3.2.11 và (3.16), ta có bổ đề sau.

, ta có

Bổ đề 3.2.12. mI cho d và I ∈ τ 0 N .

Chứng minh. Với mỗi γ ∈ LI0 N0

Qe1

T := Qi01

n γE ∈ IA,Q(V )N0

n γ −

1 · · · Qen

1 · · · Qi0n

E=(e1,...,en)>I0

N , ta

(cid:88)

với γE ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N −d∥E∥ nào đó. Khi đó, với mỗi I = (i1, . . . , in) ∈ τ 0 có

Qe1+i1−i01

Qi1

γE

· · · Qen+in−i0n n

n γ −

1 · · · Qin

E=(e1,...,en)>I0

(cid:88)

· T ∈ IA,Q(V )N0.

· · · Qin−i0n n

= Qi1−i01 1

N và E > I0 ta có (e1 + i1 − i01, . . . , en + in − i0n) > I. Nên từ

(3.17)

γ ∈ LI

N0+d∥I∥−d∥I0∥.

Mặt khác, với I ∈ τ 0 (3.17) ta có

⊂ LI

N0+d∥I∥−d∥I0∥.

LI0 N0

Điều này đẫn đến

= dimRA,Q

m = mI0 N0

RA,Q[x0, . . . , xM ]N0−d∥I0∥ LI0 N0

RA,Q[x0, . . . , xM ]N0+d∥I∥−d∥I0∥

≥ dimRA,Q

N0+d∥I∥−d∥I0∥

= mI

Khi đó,

N0+d∥I∥−d∥I0∥.

(3.18)

Mặt khác, do (N0 + d∥I∥ − d∥I0∥) − d∥I∥ = N0 − d∥I0∥ ≥ n0, và N − ∥I∥ ≥ n0

N ), nên theo Bổ đề 3.2.11, ta có

mI = mI

N0+d∥I∥−d∥I0∥ = mI N .

(để ý rằng I ∈ τ 0

N . Bởi tính nhỏ nhất của m, ta thu được

Do đó, từ (3.18) ta có m ≥ mI = mI

N = m với mọi I ∈ τ 0 N .

(3.19)

Bây giờ ta chứng minh

dimRA,Q IA,Q(V )N = dimk I(V )N .

(3.20)

Thật vậy, lấy {P1, . . . , Ps} là một cơ sở của k - không gian vectơ I(V )N . Rõ ràng IRA,Q(V )N là một không gian vectơ trên RA,Q được sinh bởi I(V )N . Do đó, {P1, . . . , Ps} cũng là một hệ sinh của IA,Q(V )N . Vì vậy, để có (3.20) ta chỉ cần chứng minh, nếu t1, . . . , ts ∈ RA,Q thỏa mãn

t1 · P1 + · · · + ts · Ps ≡ 0,

(3.21)

thì t1 = · · · = ts ≡ 0. Ta viết (3.21) dưới dạng

C ·

  

                         0         0

ở đó C ∈Mat((cid:0)M +N (cid:1) × s, RA,Q).

Nếu hệ trên có nghiệm không tầm thường thì rank RA,QC < s. Khi đó, rank kC(α) < s với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn. Lấy a ∈ A sao cho rank kC(a) < s. Khi đó, hệ phương trình tuyến tính

C(a) ·

  

                         0         0

có nghiệm không tầm thường (t1, . . . , ts) = (α1, . . . , αs) ∈ ks \ {0}. Vậy α1 · P1 + · · · + αs · Ps ≡ 0. Điều này không thể xảy ra do {P1, . . . , Ps} là một cơ sở của k - không gian vectơ I(V )N . Vì vậy ta có (3.20).

Theo Bổ đề 3.2.10 và (3.20), ta có

= dimk

N = dimRA,Q

RA,Q[x0, . . . , xM ]N IA,Q(V )N

k[x0, . . . , xM ]N I(V )N

I∈τN

= dimk

= deg V ·

+ O(N n−1),

(cid:88)

k[x0, . . . , xM ]N I(V (k))N N n n!

(3.22)

với mọi N đủ lớn.

Kết hợp với (3.19), ta có

m · #τ 0

+ O(N n−1).

N +

N = deg V ·

N n n!

I∈τN \τ 0 N

N , ta có mI

N ≤ c′. Do đó, từ (3.16)

(cid:88) (3.23)

m = deg V · dn.

Mặt khác, theo Bổ đề 3.2.11, với mọi I ∈ τN \ τ 0 ta có

N = deg V · dn

Kết hợp với (3.19), ta được

với mọi I ∈ τ 0 N .

Từ Bổ đề 3.2.12, ta có bổ đề sau.

Bổ đề 3.2.13. Với mỗi s ∈ {1, . . . , n} và với mọi số nguyên dương N đủ lớn,

chia hết cho d, ta có

N n+1 − O(N n).

N · is ≥

deg V d · (n + 1)!

I=(i1,...,in)∈τN

N thì một hoán vị bất N . Mặt khác, từ Bổ đề 3.2.12, ta có

(cid:88)

N = deg V · dn với mọi I ∈ τ 0

N . Vì vậy, từ (3.16) ta có

Chứng minh. Trước tiên ta thấy, nếu I = (i1, . . . , in) ∈ τ 0 kì I ′ = (iσ(1), . . . , iσ(n)) của I cũng thuộc τ 0 mI

N · in

N · i1 = · · · =

I=(i1,...,in)∈τ 0 N

= deg V · dn ·

I=(i1,...,in)∈τ 0 N ∥I∥ (cid:88) n

(cid:88) (cid:88)

I∈τ 0 N 

−

= deg V · dn ·

∥I∥ n

I∈τN

I∈τN \τ 0 N

 (cid:88) (cid:88)  

d(cid:88)

≥ deg V · dn

− (cid:0)#τN − #τ 0

N nd

k n

k=0

  (cid:19) (cid:1) ·   (cid:18)k + n − 1 n − 1

d(cid:88)

− O(N n−1) ·

= deg V · dn

  (cid:19)

N nd

k n

k=0

  (cid:18)k + n − 1 n − 1

d(cid:88)

− O(N n)

= deg V · dn

(cid:19)

k=1 (cid:18) N

(cid:18)k + n − 1 n

= deg V · dn

− O(N n)

d + n n + 1

≥

N n+1 − O(N n).

deg V d · (n + 1)!

(cid:19)

Do đó, với mỗi s ∈ {1, . . . , n}, ta có

N · is ≥

N · is

I=(i1,...,in)∈τN

N n+1 − O(N n).

≥

I=(i1,...,in)∈τ 0 N deg V d · (n + 1)!

(cid:88) (cid:88)

+ O(N n−1).

= HV (N ) = deg V ·

dimRA,Q

N n n!

RA,Q[x0, . . . , xM ]N IA,Q(V )N

Nhắc lại rằng, theo (3.22), với số nguyên dương N đủ lớn ta có

Kết hợp Bổ đề 3.2.10 và Bổ đề 3.2.13 ta có bổ đề sau.

Bổ đề 3.2.14. Với mọi số nguyên dương N đủ lớn, chia hết cho d, tồn tại các đa thức thuần nhất φ1, . . . , φHV (N ) trong RA,Q[x0, . . . , xM ]N sao cho chúng lập nên

, và

RA,Q[x0, . . . , xM ]N IA,Q(V )N

HV (N ) (cid:89)

φj − (Q1 · · · Qn)

deg V ·N n+1 d·(n+1)! −u(N ) · P ∈ IA,Q(V )N ,

j=1

một cơ sở của RA,Q-không gian vectơ

+ u(N ) =

+ O(N n).

N · HV (N ) −

n · deg V · N n+1 (n + 1)!

deg V · N n+1 (n + 1)!

3.2.2 Chứng minh Định lí 3.2.1

trong đó u(N ) là một hàm thỏa mãn u(N ) ≤ O(N n) và P ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ] là một đa thức thuần nhất có bậc bằng

Chứng minh. Theo Bổ đề 3.1.9, tồn tại một tập chỉ số vô hạn A ⊂ Λ nhất quán ứng với họ siêu mặt Q. Theo Nhận xét 3.2.2, ta có thể giả sử các đa thức Qj có cùng bậc d ≥ 1 và hệ số của chúng thuộc trường RA,Q. Theo Nhận xét 3.1.10, nếu B là một tập con của A thì B cũng nhất quán ứng với Q và RB,Q ⊂ RA,Q, vì vậy trong chứng minh ta có thể chuyển từ tập A sang một tập con chứa vô

hạn phần tử nhưng vẫn dùng kí hiệu là A.

Từ giả thiết, với mỗi a ∈ RA,Q và v ∈ Mk ta có

log∥a(α)∥v ≤

log+∥a(α)∥v = h(a(α)) ≤ o(h(x(α))).

v∈Mk

(cid:88) (3.24)

với mọi α ∈ A.

ℓ2,v(α)∥x(α)∥d

∥Qj(α)(x(α))∥v ≤ ℓ1,v(α)∥x(α)∥d v,

v ≤ max j∈I

∼

hv = (cid:81)(1 + ℓ2,v) với ℓ2,v chạy khắp các sự với mọi v ∈ S và mọi α ∈ A. Đặt lựa chọn ℓ2,v trong Bổ đề 3.2.4 ứng với các tập J(v, α). Do ℓ2,v ∈ Cx, nên ta có ∼ hv ∈ Cx.

Theo Bổ đề 3.2.4, tồn tại tập con vô hạn của A mà ta vẫn kí hiệu bởi A, sao cho với mỗi tập con I ⊂ {1, . . . , q}, #I = n + 1 tồn tại các hàm ℓ1,v, ℓ2,v ∈ Cx thỏa mãn

Với mỗi v ∈ S và α ∈ A, tồn tại tập con J(v, α) = {j1(v, α), . . . , jn(v, α)} ⊂

{1, . . . , q} sao cho

0 < ∥Qj1(v,α)(α)(x(α))∥v

≤ . . .

≤ ∥Qjn(v,α)(α)(x(α))∥v

≤

∥Qj(α)(x(α))∥v.

min j /∈{j1(v,α),...,jn(v,α)}

q (cid:89)

n (cid:89)

Khi đó, ta có

log

∥Qj(α)(x(α))∥v = log

∥Qj(α)(x(α))∥v + log

∥Qji(v,α)(α)(x(α))∥v

i=1

j=1

j̸∈J(v,α)

≥ (q − n)dlog∥x(α)∥v − log

∼ hv(α)

n (cid:89)

+ log

(cid:89)

∥Qji(v,α)(α)(x(α))∥v.

i=1

, . . . , φJ(v,α)

(3.25)

Theo Bổ đề 3.2.14, tồn tại các đa thức thuần nhất φJ(v,α) HV (N ) (phụ thuộc vào J(v, α)) trong RA,Q[x0, . . . , xM ]N và các hàm u(N ), v(N ) (có thể chọn chung cho tất cả J(v, α)) sao cho {φJ(v,α) } lập thành một cơ sở của RA,Q-không gian

RA,Q[x0, . . . , xM ]N IA,Q(V )N

deg V ·N n+1

HV (N ) (cid:89)

d(n+1)! −u(N )PJ(v,α) ∈ IA,Q(V )N ,

− (Qj1(v,α) . . . Qjn(v,α))

φJ(v,α) ℓ

ℓ=1

(n+1)! + v(N ).

vectơ và

d(n+1)! −u(N )

ở đó PJ(v,α) ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ] là một đa thức thuần nhất bậc deg V ·N n+1 Vì vậy, với mọi x(α) ∈ V (k), ta có

HV (N ) (cid:89)

(α)(x(α)) =

PJ(v,α)(α)(x(α)).

Qji(v,α)(α)(x(α))

φJ(v,α) ℓ

i=1

ℓ=1

(cid:17) deg V ·N n+1 (cid:16) n (cid:89)

deg PJ(v,α) ∥PJ(v,α)(α)(x(α))∥v ≤ ∥(x(α))∥ v

hJ(v,α)(α)

deg V ·N n+1

(n+1)! +v(N )

= ∥(x(α))∥

hJ(v,α)(α).

Mặt khác, dễ thấy tồn tại các hàm hJ(v,α) ∈ Cx sao cho

Vì vậy,

n (cid:89)

HN (V ) (cid:89)

− u(N )

· log∥

log

(α)(x(α))∥v ≤

Qji(v,α)(α)(x(α))∥v

∥φJ(v,α) ℓ

(cid:17)

i=1

ℓ=1

(cid:16)deg V.N n+1 d(n + 1)!

+ v(N )

log∥x(α))∥v

+ log+hJ(v,α)(α) +

(cid:17)

(cid:16) deg V.N n+1 (n + 1)!

N ) sao cho

Suy ra, tồn tại các hàm ω1(N ), ω2(N ) ≤ O( 1

n (cid:89)

HN (V ) (cid:89)

log∥

· log

(α)(x(α))∥v

Qji(v,α)(α)(x(α))∥v ≥

∥φJ(v,α) ℓ

(cid:17)

ω1(N ) N n+1

i=1

ℓ=1

− log+

(cid:16) d(n + 1)! deg V.N n+1 −

∼ hJ(v,α)(α) − (d + ω2(N ))log∥x(α))∥v,

(3.26)

∼ hJ(v,α) ∈ Cx nào đó. Từ (3.25) và (3.26), ta có

q (cid:89)

log

∼ hv(x(α))

∥Qj(α)(x(α))∥v ≥ (q − n − 1)dlog∥x(α)∥v − log+

j=1

với

HN (V ) (cid:89)

· log

(α)(x(α))∥v

∥φJ(v,α) ℓ

(cid:17)

ω1(N ) N n+1

ℓ=1

− log+

(cid:16) d(n + 1)! deg V.N n+1 −

∼ hJ(v,α)(α) − ω2(N )log∥x(α))∥v.

(3.27)

. Khi

Ta cố định các đa thức thuần nhất Φ1, . . . , ΦHN (V ) ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N sao

RA,Q[x0, . . . , xM ]N IA,Q(V )N

cho chúng tạo nên một cơ sở của RA,Q-không gian vectơ

, . . . , LJ(v,α)

LJ(v,α) 1

HN (V ) ∈ RA,Q[y1, . . . , yHV (N )]

đó, tồn tại các đa thức thuần nhất bậc nhất

(Φ1, . . . , ΦHN (V )) ∈ IA,Q(V )N ,

− LJ(v,α) ℓ

φJ(v,α) ℓ

(β)) = o(h(x(β))) với

ℓ

sao cho chúng độc lập tuyến tính trên RA,Q và

ℓ=1

với mọi ℓ = 1, . . . , HV (N ). Rõ ràng lúc này ta có h(LJ(v,α) mọi β ∈ A và A là nhất quán ứng với {Lℓ}HN (V )

HV (N ) (cid:89)

HN (V ) (cid:89)

Ta có,

(α)(x(α))∥v =

(Φ1, . . . , ΦHV (N ))(α)(x(α))∥v.

∥φJ(v,α) ℓ

∥LJ(v,α) ℓ

ℓ=1

(3.28)

HV (N ) (cid:88)

gℓsys,

gℓs ∈ RA,Q.

(y1, . . . , yHV (N )) =

LJ(v,α) ℓ

s=1

, . . . , LJ(v,α)

(β), . . . , LJ(v,α)

Ta viết

Do LJ(v,α) HN (V ) độc lập tuyến tính trên RA,Q nên ta có det(gℓs) ̸= 0 ∈ RA,Q. 1 Vì vậy, từ tính nhất quán của A, ta có det(gℓs)(β) ̸= 0 với mọi β ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn của A. Bằng cách chuyển qua một tập con vô hạn nếu cần thiết, ta có thể giả sử LJ(v,α) HN (V )(β) độc lập tuyến tính trên k với mọi β ∈ A.

Xét điểm di động F (α) = [Φ1(x(α)), . . . , ΦHN (V )(x(α))] từ A vào PHV (N )−1(k) và , . . . , LJ(v,α) các siêu phẳng di động L := {LJ(v,α) HN (V )} trong PHV (N )−1(k), được đánh chỉ số trên A. Ta có F không suy biến tuyến tính ứng với L. Thật vậy, giả sử trái lại, khi đó tồn tại dạng tuyến tính L ∈ RB,L[y1, . . . , yHN (V )] với tập con vô hạn B ⊂ A nhất quán ứng với họ L sao cho L(F )|B ≡ 0. Điều này không thể xảy ra vì x không suy biến đại số ứng với Q.

Theo Định lí 1.2.2, với mỗi ϵ > 0, tồn tại một tập con gồm vô hạn phần tử A

(α)∥v

HV (N ) (cid:89)

(chung cho mọi J(v, α)), cũng kí hiệu là A, sao cho

ℓ

log

≤ (HV (N ) + ε)h(F (α)),

(α)(F (α))∥v

v∈S

ℓ=1

∥F (α)∥v∥LJ(v,α) ∥LJ(v,α) ℓ

(cid:88) (3.29)

với mọi α ∈ A.

Kết hợp với (3.27) và (3.28) ta có

q (cid:88)

log

∥x(α)∥d v ∥Qj(α)(x(α))∥v

j=1

v∈S

(cid:88)

≤ (n + 1)d

log∥x(α)∥v + ω2(N )

log∥x(α))∥v

v∈S

(α)∥v

HN (V ) (cid:89)

(cid:88) (cid:88)

ℓ

log

ω1(N ) N n+1

(α)(x(α))∥v

∥F (α)∥v∥LJ(v,α) ∥LJ(v,α) ℓ

ℓ=1 (cid:17) (cid:88)

log∥F (α)∥v

− HV (N )

(cid:17) (cid:88) (cid:16) d(n + 1)! deg V · N n+1 −

v∈S ω1(N ) N n+1

v∈S

+ o(h(x(α))).

(cid:16) d(n + 1)! deg V · N n+1 −

(3.30)

x(α) nên ta có thể chọn sao cho các thành phần tọa độ của nó là S-nguyên. Khi

Do bất đẳng thức trên không phụ thuộc vào việc chọn các tọa độ (xạ ảnh) của

đó,

log∥x(α)∥v = h(x(α)), và

v∈S (cid:88)

(cid:88)

log∥F (α)∥v = h(F (α)) ≤ N h(x(α)) + o(h(x(α))).

v∈S

(3.31)

Kết hợp (3.31) với (3.30) và (3.29), ta được

q (cid:88)

log

≤ (n + 1)dh(x(α)) + ω2(N )h(x(α))

∥x(α)∥d v ∥Qj(α)(x(α))∥v

j=1

v∈S

(cid:88)

(HV (N ) + ε)h(F (α))

(cid:17)

ω1(N ) N n+1

h(F (α))

− HV (N )

(cid:16) d(n + 1)! deg V · N n+1 − (cid:17)

ω1(N ) N n+1

+ o(h(x(α)).

(cid:16) d(n + 1)! deg V · N n+1 −

Vì vậy

q (cid:88)

log

≤ (n + 1)dh(x(α)) + ω2(N )h(x(α))

∥x(α)∥d v∥Qj(α)∥v ∥Qj(α)(x(α))∥v

j=1

v∈S

(cid:88)

+ ϵ

h(F (α)) + o(h(x(α))).

(cid:17)

ω1(N ) N n+1

(cid:16) d(n + 1)! deg V.N n+1 −

(3.32)

Ở đây lưu ý rằng h(Qj(α)) = o(h(x(α))).

Kết hợp với (3.31) và cách chọn ω1, ω2 với N đủ lớn, chia hết cho d, ta được

q (cid:88)

≤ (n + 1 + ε)dh(x(α)),

log

∥x(α)∥d v∥Qj(α)∥v ∥Qj(α)(x(α))∥v

j=1

v∈S

(cid:88)

với mọi α ∈ A. Định lí 3.2.1 được chứng minh.

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Kết luận

Luận án nghiên cứu về Định lí cơ bản thứ hai và Định lí không gian con

(cid:136) Định lí cơ bản thứ hai và Định lí Picard tương ứng đối với đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh, có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo

Schmidt cho trường hợp siêu mặt và đạt được một số kết quả chính sau đây:

(cid:136) Định lí chỉ ra tính bị chặn của đạo hàm cầu của đường cong nguyên trên toàn cục được rút ra từ tính bị chặn trên tập tạo ảnh của một hợp đủ

ảnh của các siêu mặt mục tiêu (Định lí 2.2.4 và Định lí 2.2.5 ).

(cid:136) Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa tạp đại

nhiều các siêu mặt ở vị trí tổng quát (Định lí 2.2.8)

số xạ ảnh (Định lí 3.2.1).

Kiến nghị

Trong quá trình nghiên cứu các vấn đề của luận án, chúng tôi suy nghĩ về

(cid:136) Cho tới nay, các kết quả về Định lí cơ bản thứ hai cho trường hợp đường cong nguyên khác hằng giao các siêu mặt di động còn yếu (hoặc không

một số hướng nghiên cứu tiếp theo như sau.

chặn được bội, hoặc chặn trên của tổng các số khuyết còn lớn). Việc cải

tiến các Định lí cơ bản thứ hai trong trường hợp này là một vấn đề thực

(cid:136) Thông qua ánh xạ Gauss, tiêu chuẩn cho đường cong Brody đã được thiết lập trong luận án có sự tương tự nào tới điều kiện bị chặn cho độ cong

sự có ý nghĩa.

Gauss của siêu mặt cực tiểu.

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

[1] N. T. Son, T. V. Tan, and N. V. Thin (2018), Schmidt’s subspace theorem

for moving hypersurface targets, J. Number Theory 186, 346–369.

[2] N. T. T. Hang, N. T. Son, and V. V. Truong (2020), A second main theorem

for entire curves in a projective variety whose derivatives vanish on inverse

image of hypersurface targets, HNUE journal of science, Natural Science, 65,

31–40.

[3] N. T. Son, T. V. Tan (2022), A property of the spherical derivative of an

entire curve in complex projective space, Complex Anal. Synerg. 8,

(https://doi.org/10.1007/s40627-021-00090-z).

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Sĩ Đức Quang (2019), Lí thuyết phân bố giá trị cho ánh xạ phân hình và một

số vấn đề liên quan, NXB Đại học Sư phạm.

[2] Trần Văn Tấn (2017), Lí thuyết phân bố giá trị đối với đường cong nguyên

trong không gian xạ ảnh, NXB Đại học Sư phạm.

[3] Trần Văn Tấn (2020), Ánh xạ chỉnh hình vào không gian xạ ảnh dưới điều

kiện về tạo ảnh của một mục tiêu, NXB Đại học Sư phạm.

[4] L. V. Ahlfors (1941), The theory of meromorphic curves, Acta Soc. Sci. Fen-

nicae, Nova Ser. A, 3, 3–31.

[5] G. Aladro and S. G. Krantz (1991), A criterion for normality in Cn, J.

Math. Anal. Appl., 161, 1-8.

[6] A. Bloch (1926), Sur les système de fonctions uniformes satisfaisant à

l’équantion d’une variétés algébrique dont l’irrégularité dépasse la dimension,

J. Math. Pures Appl. 5, 19–66.

[7] H. Cartan (1933), Sur les zéroes des combinaisons linéaires de p funtions

holomorphes données, Mathematica. 7, 80–103.

[8] Z. Chen, M. Ru, Q.Yan (2012), The degenerated second main theorem and

Schmidt’s subspace theorem, Science China, 7, 1367–1380.

[9] Z. Chen, M. Ru, Q.Yan (2015), Schmidt’s subspace theorem with moving

hypersurfaces, Int. Math. Res. Notices 15, 6305–6329..

[10] P. Corvaja and U. Zannier (2004), On the general Thue’s equation, Amer.

J. Math, 126, 1033–1055.

[11] G. Dethloff and T.V. Tan (2011), A second main theorem for moving hy-

persurface targets, Houston. J. Math, 37, 79–111.

[12] G. Dethloff and T. V. Tan (2020), Holomorphic curves into alge-

braic varieties intersecting moving hypersurface targets, Acta Math Vietnam.

https://doi.org/10.1007/s40306-019-00336-3.

[13] G. Dethloff and T.V. Tan and D. D. Thai (2011), An extension of the

Cartan-Nochka second main theorem for hypersurfaces, Internat. J. Math, 22,

863–885.

[14] A. Eremenko (2010), Brody curves omitting hyperplanes, Ann. Acad. Sci.

Fenn. Math. 35, 565-570.

[15] J. H. Evertse and R. G. Ferretti (2002), Diophantine inequalities on projec-

tive varieties, Internat. Math. Res. Notices 25, 1295–1330.

[16] J. H. Evertse and R. G. Ferretti (2008), A generalization of the subspace

theorem with polynomials of higher degree, Developments in Mathematics 16,

175–198, Springer-Verlag, NewYork.

[17] H. Fujimoto (1993), Value distribution theory of the Gauss map of minimal

surfaces in Rm, Vieweg-Verlag, Braunschweig.

[18] L. Giang (2015), Schmidt’s subspace theorem for moving hypersurface tar-

gets, International Journal of Number Theory. Vol 11. No 1, 139–158.

[19] L. Giang (2016), An explicit estimate on multiplicity truncation in the de-

generated second main theorem, Houston J. Math. 42, 447-462.

[20] N. T. T. Hang, N. T. Son, and V. V. Truong (2020), A second main theorem

for entire curves in a projective variety whose derivatives vanish on inverse

image of hypersurface targets, HNUE journal of science, Natural Science, Vol-

ume 65, Issue 6, pp. 31-40.

[21] R. Hartshorne (1977), Algebraic Geometry, Grad. Texts in Math. vol 52,

Springer-Verlag, New York.

[22] A. Levin (2014), On the Schmidt subspace theorem for algebraic points, Duke

Math. J. Vol 163.No 15, 2841-2885.

[23] H. Matsumura (1980), Commutative Algebra, Benjamin/Cummings Publi-

cation Company, Massachusetts.

[24] R. Nevanlinna (1925), Zur theorie der meromorphen funktionen, Acta.

Math. 46, 1–99.

[25] E. I. Nochka (1983), On the theory of meromorphic functions, Sov Math

Dokl, 27: 377–81.

[26] J. Noguchi and Winkelmann (2014). Nevanlinna Theory in Several Complex

Variables and Diophantine Approximation, Grundlehren der mathematischen

Wissenschaften 350, Springer Japan.

[27] C. F. Osgood (1981), A number theoretic-differential equations approach to

generalizing Nevanlinna theory, India J. Math. 23, 1–15.

[28] S. D. Quang (2019), Schmidt’s subspace theorem for moving hypersurfaces

in subgeneral position, Int. J. Number Theory,

https://doi.org/10.1142/S1793042118500082.

[29] S. D. Quang (2019), Degeneracy second main theorems for meromorphic

mappings into projective varieties with hypersurfaces, Trans. Amer. Math.

Soc., 371, 2431-2453.

[30] S. D. Quang and D. P. An (2017), Second main theorem and unicity of

meromorphic mappings for hypersurfaces in projective varieties, Acta Math.

Vietnam., 42, 455-470.

[31] M. Ru (2004), A defect relation for holomorphic curves intersecting hyper-

surfaces, Amer. J. Math, 126, 215–226.

[32] M. Ru (2009), Holomorphic curves into algebraic varieties, Ann. Math. 169,

255–267.

[33] M. Ru and W. Stoll (1991), The second main theorem for moving targets,

J. Geom. Anal. 1, 99–138.

[34] M. Ru and P. Vojta (1997), Schmidt’s subspace theorem for moving targets,

Inventiones Mathematicae. 127, 51–65.

[35] M. Ru and P-M. Wong (1991), Integral points of Pn − {2n + 1} hyperplanes

in general position, Invent. Math. 106, 195–216.

[36] W. M. Schmidt (1975), Simultaneous approximation to algebraic numbers

by elements of a number fiel, Monatsh. of Math. 79, 55–66.

[37] W. Stoll (1953), Die beiden Hauptsatze der Wertverteilungstheorie bei Punk-

tionen mehrerer komplexen Veranderlichen, I,, Acta Math. 90, 1–15.

[38] W. Stoll (1954), Die beiden Hauptsatze der Wertverteilungstheorie bei Punk-

tionen mehrerer komplexen Veranderlichen, II,, Acta Math. 92, 55–169.

[39] N. T. Son, T. V. Tan (2022), A property of the spherical derivative

of an entire curve in complex projective space, Complex Anal. Synerg. 8,

https://doi.org/10.1007/s40627-021-00090-z

[40] N. T. Son, T. V. Tan, and N. V. Thin (2018), Schmidt’s subspace theorem

for moving hypersurface targets, J. Number Theory. 186, 346–369.

[41] T. V. Tan (2021), Higher dimensional generalizations of some theorems on

normality of meromorphic functions, to appear in Michigan. Math. J, DOI:

10.1307/mmj/20195842.

[42] T. V. Tan (2021), A normality criterion for families of holomorphic map-

pings under a condition of uniform boundedness of their tangent mappings,

Bull. Sci. Math. 170, https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2021.102994.

[43] P. Vojta (1987), Diophantine Approximations and Value Distribution The-

ory, Lecture Notes in Math. 1239, Springer-Verlag.

[44] H. Weyl and J. Weyl (1938), Meromorphic curves, Ann. Math. 39, 516–538.

[45] O. Zariski (1937), Generalized weight properties of the resultant of n + 1

polynomials in n indeterminates, Trans. AMS, 41, 249-265.

Luận án Tiến sĩ Toán học: Về một dạng định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động

LỜI CAM ĐOAN

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

Mở đầu

Chương 1

Tổng quan

1.1 Định lí cơ bản thứ hai

1.2 Định lí không gian con Schmidt

Chương 2

Định lí cơ bản thứ hai đối với đường cong nguyên có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của một mục tiêu

2.1 Một số kiến thức chuẩn bị

2.2 Định lí cơ bản thứ hai và Định lí Picard cho đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh với đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêu mặt mục tiêu

2.3 Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh có đạo hàm triệt tiêu trên tập ảnh ngược của các siêu mặt mục tiêu

Chương 3

Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh

3.1 Một số kiến thức chuẩn bị

3.2 Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt

di động giao đa tạp đại số xạ ảnh

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Kết luận

Kiến nghị

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Có thể bạn quan tâm

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu các yếu tố ảnh hưởng đến sự phát triển nguồn nhân lực du lịch trong các cơ sở lưu trú tại Hà Nội

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu các yếu tố ảnh hưởng đến sự phát triển nguồn nhân lực du lịch trong các cơ sở lưu trú tại Hà Nội

Luận án Tiến sĩ: Giáo dục đạo đức sinh thái cho sinh viên các trường đại học tại Thành phố Hồ Chí Minh hiện nay

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Giáo dục đạo đức sinh thái cho sinh viên các trường đại học tại Thành phố Hồ Chí Minh hiện nay

Luận án Tiến sĩ: Công tác hoằng pháp và hoạt động của đạo tràng Phật giáo tỉnh Lào Cai hiện nay

Luận án Tiến sĩ: Hành vi nguy cơ ảnh hưởng đến sức khỏe tâm thần của học sinh trung học phổ thông tại Hà Nội hiện nay

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Hành vi nguy cơ ảnh hưởng đến sức khỏe tâm thần của học sinh trung học phổ thông tại Hà Nội hiện nay

Luận án Tiến sĩ: Đảng bộ tỉnh Đồng Nai lãnh đạo công tác bảo tồn và phát huy giá trị các di tích lịch sử - văn hóa từ năm 1996 đến năm 2015

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Đảng bộ tỉnh Đồng Nai lãnh đạo công tác bảo tồn và phát huy giá trị các di tích lịch sử - văn hóa từ năm 1996 đến năm 2015

Luận án Tiến sĩ: Thực hiện Pháp lệnh thực hiện dân chủ ở xã, phường, thị trấn vùng dân tộc thiểu số tỉnh Quảng Nam hiện nay

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Thực hiện Pháp lệnh thực hiện dân chủ ở xã, phường, thị trấn vùng dân tộc thiểu số tỉnh Quảng Nam hiện nay

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Công tác hoằng pháp và hoạt động của đạo tràng Phật giáo tỉnh Lào Cai hiện nay

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu chất lượng dịch vụ viễn thông di động tại Tổng công ty viễn thông Viettel

Luận án Tiến sĩ: Nâng cao chất lượng cơ sở vật chất các trường đại học tư thục trên địa bàn thành Hà Nội

Luận án Tiến sĩ: Năng lực cạnh tranh của doanh nghiệp nhỏ và vừa trên địa bàn tỉnh Phú Thọ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu các yếu tố ảnh hưởng tới sự thành công trong khởi sự kinh doanh của phụ nữ khu vực miền Bắc

Luận án Tiến sĩ: Kiểm soát nội bộ tại Tập đoàn xăng dầu Việt Nam

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Kiểm soát nội bộ tại Tập đoàn xăng dầu Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu giải pháp phát triển trung tâm logistics quốc tế cho khu vực kinh tế trọng điểm phía Bắc

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu các nhân tố ảnh hưởng đến mức độ công bố thông tin trên báo cáo thường niên của các ngân hàng thương mại Việt Nam

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng thuật toán thích nghi và học tăng cường cấu trúc Actor - Critic điều khiển bám quỹ đạo cho robot di động đa hướng mecanum

Luận án Tiến sĩ: Cơ cấu bệnh tim mạch và chất lượng cuộc sống của người cao tuổi mắc suy tim, rung nhĩ điều trị tại Bệnh viện Thống Nhất, thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng giải pháp đảm bảo an toàn thông tin cho quá trình học liên kết dựa trên mật mã

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phát triển năng lực đánh giá công nghệ cho học sinh trong dạy học môn Công nghệ 11 ở trường trung học phổ thông

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phân loại chi cầu diệp – Bulbophyllum Thouars (Orchidaceae) ở vùng Tây Nguyên bằng phương pháp hình thái và phân tử

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đặc điểm phân bố và dinh dưỡng của các loài lưỡng cư ở Vườn Quốc gia Bến En và Khu bảo tồn thiên nhiên Pù Luông, tỉnh Thanh Hóa

Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp luật dẫn và điều khiển cho một lớp tên lửa đối hải trên cơ sở ứng dụng mạng nơ ron và hệ mờ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hệ điều khiển góc Pitch tua bin gió trong điều kiện có nhiễu tác động

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hóa học lipid của hai loài san hô thủy tức Millepora dichotoma và Millepora platyphylla ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu kiểm soát phân phối công suất kéo trên cầu chủ động của ô tô con bằng ABS

Luận án Tiến sĩ: Ứng dụng phản ứng Domino vào tổng hợp các dẫn xuất Podophyllotoxin, Pyrimidine và đánh giá hoạt tính sinh học của các chất tổng hợp được

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và một số hoạt tính sinh học của cây chùm ngây (Moringa oleifera)

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và ứng dụng ức chế ăn mòn cho thép của cao chiết xuất từ cây Lộc vừng thuộc họ Lecythidaceae

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098