Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số vấn đề của lý thuyết Nevanlinna ứng dụng cho đa thức vi phân

VI(cid:155)N H(cid:128)N L(cid:133)M KHOA H¯C V(cid:128) C˘NG NGH(cid:155) VI(cid:155)T NAM VI(cid:155)N TO(cid:129)N H¯C

NGUY(cid:153)N VI(cid:155)T PH(cid:215)(cid:204)NG

M¸T S¨ V(cid:135)N (cid:30)(cid:151) C(cid:213)A L(cid:222) THUY(cid:152)T NEVANLINNA V(cid:128) (cid:217)NG D(cid:214)NG CHO (cid:30)A TH(cid:217)C VI PH(cid:133)N

LU(cid:138)N (cid:129)N TI(cid:152)N S(cid:158) TO(cid:129)N H¯C

H(cid:160) Nºi - 2022

VI(cid:155)N H(cid:128)N L(cid:133)M KHOA H¯C V(cid:128) C˘NG NGH(cid:155) VI(cid:155)T NAM VI(cid:155)N TO(cid:129)N H¯C

NGUY(cid:153)N VI(cid:155)T PH(cid:215)(cid:204)NG

M¸T S¨ V(cid:135)N (cid:30)(cid:151) C(cid:213)A L(cid:222) THUY(cid:152)T NEVANLINNA V(cid:128) (cid:217)NG D(cid:214)NG CHO (cid:30)A TH(cid:217)C VI PH(cid:133)N

Chuy¶n ng(cid:160)nh: To¡n gi£i t‰ch M¢ sŁ: 9 46 01 02

LU(cid:138)N (cid:129)N TI(cid:152)N S(cid:158) TO(cid:129)N H¯C

Ng(cid:247)(cid:237)i h(cid:247)(cid:238)ng d¤n khoa h(cid:229)c: PGS.TSKH. T⁄ Th(cid:224) Ho(cid:160)i An

H(cid:160) Nºi - 2022

L(cid:237)i cam (cid:31)oan

T(cid:230)i xin cam (cid:31)oan (cid:31)¥y l(cid:160) c(cid:230)ng tr…nh nghi¶n cøu cıa t(cid:230)i d(cid:247)(cid:238)i s(cid:252) h(cid:247)(cid:238)ng d¤n cıa

PGS. TSKH. T⁄ Th(cid:224) Ho(cid:160)i An. C¡c k‚t qu£ trong lu“n ¡n vi‚t chung v(cid:238)i c¡c t¡c gi£

kh¡c (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc s(cid:252) nh§t tr‰ cıa (cid:31)(cid:231)ng t¡c gi£ khi (cid:31)(cid:247)a v(cid:160)o lu“n ¡n. C¡c k‚t qu£ (cid:31)(cid:247)æc

n¶u trong lu“n ¡n l(cid:160) trung th(cid:252)c v(cid:160) ch(cid:247)a tłng (cid:31)(cid:247)æc ai c(cid:230)ng bŁ trong b§t k(cid:253) c(cid:230)ng

tr…nh n(cid:160)o kh¡c.

T¡c gi£

Nguy„n Vi»t Ph(cid:247)(cid:236)ng

L(cid:237)i c£m (cid:236)n

Lu“n ¡n (cid:31)(cid:247)æc ho(cid:160)n th(cid:160)nh d(cid:247)(cid:238)i s(cid:252) h(cid:247)(cid:238)ng d¤n cıa PGS. TSKH. T⁄ Th(cid:224) Ho(cid:160)i An,

mºt nh(cid:160) gi¡o m¤u m(cid:252)c, nh(cid:160) khoa h(cid:229)c t“n t¥m (cid:31)¢ kh(cid:230)ng ch¿ (cid:31)(cid:224)nh h(cid:247)(cid:238)ng v(cid:160) d…u d›t

t¡c gi£ tr¶n con (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng nghi¶n cøu, m(cid:160) cÆn lu(cid:230)n quan t¥m v(cid:160) d⁄y b£o cho t¡c gi£

nhœng b(cid:160)i h(cid:229)c qu(cid:254) gi¡ trong cuºc sŁng. L(cid:237)i (cid:31)ƒu ti¶n, t¡c gi£ xin (cid:31)(cid:247)æc ph†p b(cid:160)y t(cid:228)

lÆng bi‚t (cid:236)n s¥u s›c nh§t (cid:31)‚n ng(cid:247)(cid:237)i c(cid:230) (cid:31)¡ng k‰nh.

T¡c gi£ xin (cid:31)(cid:247)æc tr¥n tr(cid:229)ng c£m (cid:236)n Ban l¢nh (cid:31)⁄o Vi»n To¡n h(cid:229)c - Vi»n H(cid:160)n

l¥m Khoa h(cid:229)c v(cid:160) C(cid:230)ng ngh» Vi»t Nam, Trung t¥m (cid:31)(cid:160)o t⁄o sau (cid:31)⁄i h(cid:229)c, c¡c phÆng

chøc n«ng v(cid:160) c¡c nh(cid:160) khoa h(cid:229)c cıa Vi»n To¡n h(cid:229)c (cid:31)¢ gi(cid:243)p (cid:31)(cid:239), t⁄o (cid:31)i•u ki»n thu“n

læi nh§t cho t¡c gi£ trong qu¡ tr…nh h(cid:229)c t“p v(cid:160) nghi¶n cøu t⁄i Vi»n. T¡c gi£ c(cid:244)ng

xin tr¥n tr(cid:229)ng c£m (cid:236)n phÆng (cid:30)⁄i sŁ v(cid:160) L(cid:254) thuy‚t sŁ (cid:31)¢ t⁄o (cid:31)i•u ki»n thu“n læi (cid:31)”

t¡c gi£ (cid:31)(cid:247)æc tham gia c¡c buŒi sinh ho⁄t khoa h(cid:229)c cıa li¶n phÆng.

T¡c gi£ xin ch¥n th(cid:160)nh c£m (cid:236)n Ban Gi¡m hi»u tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c Kinh t‚ v(cid:160) Qu£n

tr(cid:224) Kinh doanh - (cid:30)⁄i h(cid:229)c Th¡i Nguy¶n, Khoa Khoa h(cid:229)c c(cid:236) b£n v(cid:160) c¡c thƒy c(cid:230) gi¡o

trong Bº m(cid:230)n To¡n (cid:31)¢ lu(cid:230)n (cid:31)ºng vi¶n v(cid:160) t⁄o (cid:31)i•u ki»n tŁt nh§t (cid:31)” t¡c gi£ ho(cid:160)n

th(cid:160)nh (cid:31)(cid:247)æc lu“n ¡n n(cid:160)y.

Nh¥n d(cid:224)p n(cid:160)y t¡c gi£ c(cid:244)ng xin gßi l(cid:237)i c£m (cid:236)n s¥u s›c t(cid:238)i PGS. TS. H(cid:160) Trƒn

Ph(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)¢ d(cid:160)nh cho t¡c gi£ nhœng t…nh c£m v(cid:160) s(cid:252) (cid:31)ºng vi¶n gi(cid:243)p (cid:31)(cid:239) qu(cid:254) b¡u.

CuŁi c(cid:242)ng, xin d(cid:160)nh m(cid:226)n qu(cid:160) tinh thƒn n(cid:160)y d¥ng t(cid:176)ng BŁ, M(cid:181), c¡c anh ch(cid:224) em

trong (cid:31)⁄i gia (cid:31)…nh th¥n y¶u, t(cid:176)ng ng(cid:247)(cid:237)i væ hi•n y¶u d§u, nhœng ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)¢ ch(cid:224)u nhi•u

kh(cid:226) kh«n v(cid:160) d(cid:160)nh h‚t nhœng t…nh c£m y¶u th(cid:247)(cid:236)ng, (cid:31)ºng vi¶n t¡c gi£ ho(cid:160)n th(cid:160)nh

k‚t qu£ nghi¶n cøu cıa m…nh. T¡c gi£

Nguy„n Vi»t Ph(cid:247)(cid:236)ng

M(cid:246)c l(cid:246)c

L(cid:237)i cam (cid:31)oan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L(cid:237)i c£m (cid:236)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i ii

M(cid:240) (cid:31)ƒu 1

1 Kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa c¡c (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh 7

1.1 Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n b(cid:224) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 L(cid:254) thuy‚t Nevanlinna cŒ (cid:31)i”n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Mºt sŁ k‚t qu£ cıa Yamanoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 (cid:215)(cid:238)c l(cid:247)æng kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh . . . 15

1.3 K‚t lu“n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Ph¥n bŁ gi¡ tr(cid:224) cıa (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh 22

2.1 Quan h» sŁ khuy‚t cıa (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh . . . . . 23

2.2 M(cid:240) rºng cıa gi£ thuy‚t Hayman cho mºt sŁ d⁄ng (cid:31)a thøc vi ph¥n . . 26 2.3 K‚t lu“n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 T‰nh duy nh§t cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp c¡c (cid:31)a

thøc vi ph¥n chung mºt h(cid:160)m nh(cid:228) 39

3.1 C¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh chung mºt h(cid:160)m nh(cid:228) . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 C¡c (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh chung mºt h(cid:160)m nh(cid:228) . . 52 3.3 K‚t lu“n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

K‚t lu“n cıa lu“n ¡n 75

T(cid:160)i li»u tham kh£o 79

iii

M(cid:240) (cid:31)ƒu

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n cıa (cid:30)⁄i sŁ n(cid:226)i r‹ng mºt (cid:31)a thøc b“c n tr¶n tr(cid:247)(cid:237)ng sŁ phøc C c(cid:226) (cid:31)(cid:243)ng n kh(cid:230)ng (cid:31)i”m. V(cid:160)o nhœng n«m cuŁi cıa th‚ k(cid:27) 18 (cid:31)ƒu th‚ k(cid:27) 19, c¡c nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c (cid:31)¢ ph¡t tri”n nhœng k‚t qu£ (cid:31)⁄t (cid:31)(cid:247)æc v• s(cid:252) ph¥n bŁ gi¡ tr(cid:224) cıa c¡c (cid:31)a thøc l¶n (cid:31)Łi t(cid:247)æng l(cid:160) c¡c h(cid:160)m nguy¶n trong m(cid:176)t phﬂng phøc. Trong th(cid:237)i gian n(cid:160)y,

Borel (cid:31)¢ th(cid:160)nh c(cid:230)ng trong vi»c k‚t hæp v(cid:160) c£i ti‚n c¡c k‚t qu£ cıa Picard, Poincar†

v(cid:160) Hadamard cho c¡c h(cid:160)m nguy¶n v(cid:160) l(cid:254) thuy‚t ph¥n bŁ gi¡ tr(cid:224) b›t (cid:31)ƒu h…nh th(cid:160)nh.

L(cid:254) thuy‚t n(cid:160)y nghi¶n cøu m“t (cid:31)º cıa c¡c (cid:31)i”m m(cid:160) t⁄i (cid:31)(cid:226) h(cid:160)m ph¥n h…nh nh“n mºt gi¡ tr(cid:224) c(cid:246) th”.

Mºt (cid:31)(cid:226)ng g(cid:226)p nŒi b“t cıa l(cid:254) thuy‚t ph¥n bŁ gi¡ tr(cid:224) cho c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh (cid:31)¢

(cid:31)(cid:247)æc nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c ng(cid:247)(cid:237)i Phƒn Lan Rolf Nevanlinna (cid:31)(cid:247)a ra. Sau n(cid:160)y, c¡c k‚t qu£

(cid:31)(cid:226) (cid:31)¢ g›n li•n v(cid:238)i t¶n tuŒi cıa (cid:230)ng v(cid:160) th(cid:247)(cid:237)ng (cid:31)(cid:247)æc nh›c (cid:31)‚n v(cid:238)i t¶n g(cid:229)i L(cid:254) thuy‚t Nevanlinna. S(cid:252) ra (cid:31)(cid:237)i cıa l(cid:254) thuy‚t n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)¡nh gi¡ l(cid:160) mºt trong nhœng th(cid:160)nh

t(cid:252)u (cid:31)(cid:181)p (cid:31)‡ v(cid:160) s¥u s›c nh§t trong ng(cid:160)nh gi£i t‰ch phøc v(cid:160) ng(cid:160)y c(cid:160)ng c(cid:226) nhi•u øng

d(cid:246)ng trong nhœng l(cid:190)nh v(cid:252)c kh¡c nhau cıa to¡n h(cid:229)c, chﬂng h⁄n nh(cid:247) l(cid:254) thuy‚t ph(cid:247)(cid:236)ng

tr…nh vi ph¥n, l(cid:254) thuy‚t h(cid:229) chu'n t›c, h…nh h(cid:229)c phøc v(cid:160) l(cid:254) thuy‚t sŁ,.... Tr£i qua gƒn mºt tr«m n«m, h(cid:247)(cid:238)ng nghi¶n cøu (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc ph¡t tri”n r§t m⁄nh m‡ v(cid:160) (cid:31)¢ chøng

ki‚n s(cid:252) (cid:31)(cid:226)ng g(cid:226)p to l(cid:238)n cıa c¡c nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c n(cid:247)(cid:238)c ngo(cid:160)i nh(cid:247) Gol’dberg, Ostrovskii,

Ahlfors, Shimizu, Drasin, Hayman, Bergweiler, Langley, Ru, Vojta, Yamanoi,... v(cid:160)

c¡c nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c trong n(cid:247)(cid:238)c nh(cid:247) L. V. Thi¶m, H. H. Kho¡i, (cid:30). (cid:30). Th¡i, S. (cid:30). Quang, T. V. T§n, T. T. H. An,.... Tuy nhi¶n, v(cid:238)i tƒm quan tr(cid:229)ng trong gi£i t‰ch

phøc, h(cid:247)(cid:238)ng nghi¶n cøu n(cid:160)y v¤n (cid:31)ang ti‚p t(cid:246)c thu h(cid:243)t (cid:31)(cid:247)æc s(cid:252) quan t¥m cıa c¡c

nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c. M(cid:246)c ti¶u cıa c¡c nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c l(cid:160) (cid:31)(cid:247)a ra c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc giœa h(cid:160)m

(cid:31)‚m, h(cid:160)m x§p x¿ v(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh, th(cid:230)ng qua c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc (cid:31)(cid:226) c(cid:226) th” xem x†t s(cid:252) ph¥n bŁ gi¡ tr(cid:224) cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh v(cid:160) t…m c¡c øng

d(cid:246)ng cıa c¡c k‚t qu£ (cid:31)(cid:226).

B(cid:160)i to¡n quan tr(cid:229)ng trong l(cid:254) thuy‚t n(cid:160)y l(cid:160) nghi¶n cøu mŁi quan h» giœa c¡c

kh(cid:230)ng (cid:31)i”m, c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa mºt h(cid:160)m v(cid:160) (cid:31)⁄o h(cid:160)m cıa h(cid:160)m (cid:31)(cid:226). N«m 1922, P(cid:226)lya [43] (cid:31)¢ chøng m…nh r‹ng n‚u h(cid:160)m ph¥n h…nh f c(cid:226) ‰t nh§t hai c(cid:252)c (cid:31)i”m th… v(cid:238)i mØi sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng k (cid:31)ı l(cid:238)n, (cid:31)⁄o h(cid:160)m c§p k cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh (cid:31)(cid:226) c(cid:226) ‰t nh§t mºt kh(cid:230)ng

(cid:31)i”m. Li¶n quan t(cid:238)i k‚t qu£ (cid:31)(cid:226), Gol’dberg [19] (cid:31)¢ (cid:31)(cid:176)t ra gi£ thuy‚t sau:

Cho f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t tr¶n C v(cid:160) k ≥ 2 l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n. Khi

(cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

(cid:1) + o(T (r, f )),

f (k)

N (r, f ) ≤ N(cid:0)r, 1 f (k)

khi r → ∞ ngo(cid:160)i mºt t“p c(cid:226) (cid:31)º (cid:31)o hœu h⁄n, trong (cid:31)(cid:226) T (r, f ) l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng Nevanlinna, N (r, f ) l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)‚m c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m kh(cid:230)ng t‰nh bºi cıa f v(cid:160) N(cid:0)r, 1 (cid:1) l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)‚m c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa (cid:31)⁄o h(cid:160)m c§p k cıa h(cid:160)m f t‰nh c£ bºi.

Gi£ thuy‚t cıa Gol’dberg ch¿ (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i c¡c (cid:31)⁄o h(cid:160)m c(cid:226) c§p ‰t nh§t l(cid:160) hai, ch(cid:243)ng ta x†t v‰ d(cid:246) (cid:31)(cid:236)n gi£n l(cid:160) h(cid:160)m f (z) = tan z, khi (cid:31)(cid:226) h(cid:160)m f c(cid:226) v(cid:230) sŁ c(cid:252)c (cid:31)i”m trong khi (cid:31)⁄o h(cid:160)m c§p mºt f (cid:48) kh(cid:230)ng c(cid:226) kh(cid:230)ng (cid:31)i”m. N«m 1986, Frank v(cid:160) Weissenborn [18] (cid:31)¢ chøng minh gi£ thuy‚t Gol’dberg b‹ng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p Wronskian (cid:31)Łi v(cid:238)i tr(cid:247)(cid:237)ng hæp h(cid:160)m ph¥n h…nh f ch¿ c(cid:226) c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m (cid:31)(cid:236)n. Sau (cid:31)(cid:226), Langley [25] (cid:31)¢ chøng minh r‹ng n‚u f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh c§p hœu h⁄n th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n (cid:31)⁄o h(cid:160)m c§p hai f (cid:48)(cid:48) c(cid:226) hœu h⁄n kh(cid:230)ng (cid:31)i”m th… f c(cid:226) hœu h⁄n c(cid:252)c (cid:31)i”m. N«m 2013, b‹ng vi»c x¥y d(cid:252)ng h(cid:160)m x§p x¿ hi»u ch¿nh v(cid:160) (cid:31)(cid:247)a ra c¡c ch(cid:176)n cho h(cid:160)m x§p x¿ (cid:31)(cid:226), Yamanoi [33]

(cid:31)¢ t⁄o ra mºt b(cid:247)(cid:238)c (cid:31)ºt ph¡ trong l(cid:254) thuy‚t Nevanlinna v(cid:238)i chøng minh ho(cid:160)n to(cid:160)n

gi£ thuy‚t Gol’dberg v(cid:160) th“m ch‰ k‚t qu£ cıa (cid:230)ng (cid:31)(cid:247)a ra cÆn m⁄nh h(cid:236)n gi£ thuy‚t ban (cid:31)ƒu. Vi»c chøng minh gi£ thuy‚t Gol’dberg c(cid:226) (cid:254) ngh(cid:190)a r§t l(cid:238)n trong l(cid:254) thuy‚t

ph¥n bŁ gi¡ tr(cid:224), n(cid:226) (cid:31)¢ gi(cid:243)p cho c¡c nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c v(cid:247)æt qua nhi•u kh(cid:226) kh«n trong

vi»c gi£i quy‚t c¡c b(cid:160)i to¡n quan tr(cid:229)ng cıa l(cid:254) thuy‚t ph¥n bŁ gi¡ tr(cid:224) cıa c¡c h(cid:160)m

(cid:1)

ph¥n h…nh.

1 f −a T (r, f )

r→∞

Gi£ sß f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh tr¶n C v(cid:160) a ∈ C. K‰ hi»u N(cid:0)r, = 1 − lim sup δ(a, f ) = lim inf r→∞ m(cid:0)r, 1 f −a T (r, f )

(cid:1)

l(cid:160) sŁ khuy‚t Nevanlinna cıa h(cid:160)m f v(cid:160)

1 f −a T (r, f )

r→∞

N(cid:0)r, Θ(a, f ) = 1 − lim sup

l(cid:160) ph¥n nh¡nh to(cid:160)n phƒn cıa f. Tł c¡c (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a tr¶n, ch(cid:243)ng ta d„ d(cid:160)ng thu (cid:31)(cid:247)æc c¡c ch(cid:176)n sau:

0 ≤ δ(a, f ) ≤ Θ(a, f ) ≤ 1.

M(cid:176)t kh¡c, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø hai cıa Nevanlinna cho ch(cid:243)ng ta th§y tŒng t§t c£ c¡c sŁ khuy‚t cıa mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh lu(cid:230)n b(cid:224) ch(cid:176)n tr¶n b(cid:240)i 2 v(cid:160) (cid:31)¥y l(cid:160) b(cid:224) ch(cid:176)n tŁt nh§t (cid:31)Łi v(cid:238)i h(cid:160)m ph¥n h…nh khi x†t trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp tŒng qu¡t. Tuy nhi¶n, (cid:31)Łi v(cid:238)i

mºt sŁ l(cid:238)p h(cid:160)m h(cid:181)p h(cid:236)n, ch(cid:176)n tr¶n n(cid:160)y c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)æc gi£m xuŁng. Th“t v“y, v(cid:238)i ch(cid:243)

(cid:88)

(cid:254) r‹ng t§t c£ c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa (cid:31)⁄o h(cid:160)m c§p k cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh f (cid:31)•u c(cid:226) bºi ‰t nh§t l(cid:160) k + 1, Hayman [21] (cid:31)¢ ch¿ ra r‹ng, v(cid:238)i m(cid:229)i k ∈ N,

a∈C

. Θ(a, f (k)) ≤ 1 + 1 k + 1

(cid:88)

N«m 1971, Mues [41] (cid:31)¢ chøng minh d§u b‹ng trong b§t (cid:31)ﬂng thøc tr¶n x£y ra khi f l(cid:160) mºt nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh vi ph¥n Riccati v(cid:238)i c¡c h» sŁ h‹ng. (cid:30)i•u (cid:31)(cid:226) chøng t(cid:228) b§t (cid:31)ﬂng thøc tr¶n cıa Hayman l(cid:160) tŁt nh§t. Khi thay ph¥n nh¡nh to(cid:160)n phƒn Θ(a, f (k)) b(cid:240)i sŁ khuy‚t δ(a, f (k)) trong b§t (cid:31)ﬂng thøc tr¶n th… ch(cid:176)n tr¶n thu (cid:31)(cid:247)æc c(cid:226) th” l(cid:160) mºt sŁ nh(cid:228) h(cid:236)n th(cid:252)c s(cid:252). C(cid:246) th”, Mues (cid:31)¢ chøng minh r‹ng

a∈C

δ(a, f (k)) ≤ < 1 + k2 + 5k + 4 k2 + 4k + 2 1 k + 1

v(cid:238)i m(cid:229)i k ∈ N. Ngo(cid:160)i ra, (cid:230)ng (cid:31)¢ (cid:31)(cid:176)t ra gi£ thuy‚t r‹ng ch(cid:176)n tr¶n (cid:31)(cid:226) ph£i l(cid:160) 1, v(cid:160) (cid:230)ng (cid:31)¢ chøng minh (cid:31)(cid:247)æc gi£ thuy‚t (cid:31)(cid:226) v(cid:238)i k ≥ 2 v(cid:160) h(cid:160)m ph¥n h…nh f c(cid:226) ‰t c(cid:252)c (cid:31)i”m bºi. N«m 1990, Yang [36] v(cid:160) Ishizaki [23] (cid:31)¢ (cid:31)ºc l“p (cid:31)(cid:247)a ra mºt ch(cid:176)n tr¶n tŁt h(cid:236)n cho tŒng sŁ khuy‚t cıa (cid:31)⁄o h(cid:160)m cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh l(cid:160) 2k+2 2k+1. (cid:30)‚n n«m 1992, Yang v(cid:160) Wang [37] (cid:31)¢ chøng minh gi£ thuy‚t Mues (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i m(cid:229)i k ≥ K(f ), v(cid:238)i K(f ) l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng ch¿ ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o h(cid:160)m f. Sau (cid:31)(cid:226), gi£ thuy‚t n(cid:160)y (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc Wang [30] chøng minh l(cid:160) (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i m(cid:229)i k ≥ 0, ngo⁄i trł nhi•u nh§t bŁn gi¡ tr(cid:224) cıa k. Ch…a kh(cid:226)a trong c¡c chøng minh (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)a ra b(cid:240)i c¡c t¡c gi£ (cid:240) tr¶n (cid:31)•u c(cid:226) mºt (cid:31)i”m chung (cid:31)(cid:226) l(cid:160) h(cid:229) cŁ g›ng t…m ra mŁi li¶n h» giœa sŁ c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa h(cid:160)m

ph¥n h…nh v(cid:160) sŁ kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa (cid:31)⁄o h(cid:160)m cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh (cid:31)(cid:226) (cid:240) d⁄ng y‚u h(cid:236)n gi£

thuy‚t Gol’dberg. N«m 2013, Yamanoi [33] (cid:31)¢ chøng minh th(cid:160)nh c(cid:230)ng gi£ thuy‚t Gol’dberg, v(cid:160) tł (cid:31)(cid:226) (cid:230)ng thu (cid:31)(cid:247)æc gi£ thuy‚t Mues nh(cid:247) mºt h» qu£.

V§n (cid:31)• t(cid:252) nhi¶n (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t ra (cid:31)(cid:226) l(cid:160) tŒng qu¡t gi£ thuy‚t Gol’dberg v(cid:160) gi£ thuy‚t

Mues theo h(cid:247)(cid:238)ng nh(cid:247) sau:

1) T…m mŁi li¶n h» giœa sŁ c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh v(cid:160) sŁ kh(cid:230)ng (cid:31)i”m

cıa (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh (cid:31)(cid:226).

2) T…m quan h» sŁ khuy‚t cıa (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh.

Li¶n quan (cid:31)‚n v§n (cid:31)• thø hai (cid:240) tr¶n, Jiang v(cid:160) Huang [24] (cid:31)¢ x†t cho c¡c (cid:31)(cid:236)n thøc vi ph¥n cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh f c(cid:226) d⁄ng f l(f (k))n, trong (cid:31)(cid:226) l, n, k l(cid:160) c¡c sŁ nguy¶n l(cid:238)n h(cid:236)n 1. H(cid:229) (cid:31)¢ nh“n (cid:31)(cid:247)æc ch(cid:176)n tr¶n cho tŒng c¡c sŁ khuy‚t cıa (cid:31)(cid:236)n thøc vi ph¥n n(cid:160)y l(cid:160) 1 + nk+n+l . Tuy nhi¶n, ch(cid:176)n n(cid:160)y c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)æc l(cid:160)m tŁt h(cid:236)n, (cid:31)¥y l(cid:160) mºt trong nhœng m(cid:246)c ti¶u cıa lu“n v«n n(cid:160)y.

Ta n(cid:226)i r‹ng mºt gi¡ tr(cid:224) a ∈ C l(cid:160) mºt gi¡ tr(cid:224) Picard cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh f n‚u f − a kh(cid:230)ng c(cid:226) kh(cid:230)ng (cid:31)i”m. (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) Picard ch¿ ra r‹ng mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh kh¡c

h‹ng ch¿ c(cid:226) th” c(cid:226) nhi•u nh§t hai gi¡ tr(cid:224) Picard hœu h⁄n. N«m 1959, Hayman (cid:31)¢ chøng minh r‹ng (cid:31)⁄o h(cid:160)m c§p k (k ≥ 1) cıa mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh b§t k(cid:253) c(cid:226) th” c(cid:226) nhi•u nh§t mºt gi¡ tr(cid:224) Picard hœu h⁄n. (cid:30)Łi v(cid:238)i tr(cid:247)(cid:237)ng hæp h(cid:160)m nguy¶n, k‚t qu£ cıa Milloux [22] ch¿ ra r‹ng n‚u mºt h(cid:160)m nguy¶n si¶u vi»t c(cid:226) mºt gi¡ tr(cid:224) Picard hœu

h⁄n th… c¡c (cid:31)⁄o h(cid:160)m cıa n(cid:226) nh“n mØi gi¡ tr(cid:224) hœu h⁄n kh¡c kh(cid:230)ng v(cid:230) sŁ lƒn. K‚t

qu£ n(cid:160)y sau (cid:31)(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc m(cid:240) rºng cho h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t b(cid:240)i Hayman [21]. Mºt

(cid:31)i”m h⁄n ch‚ trong c¡c k‚t qu£ tr¶n (cid:31)(cid:226) l(cid:160) y¶u cƒu h(cid:160)m ph¥n h…nh c(cid:226) gi¡ tr(cid:224) Picard hœu h⁄n. Mºt c¥u h(cid:228)i t(cid:252) nhi¶n (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t ra l(cid:160) li»u gi£ thi‚t v• s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i cıa gi¡ tr(cid:224)

Picard c(cid:226) th” b(cid:228) (cid:31)i hay kh(cid:230)ng n‚u ta xem x†t mºt l(cid:238)p h(cid:160)m ph¥n h…nh n(cid:160)o (cid:31)(cid:226)?

Li¶n quan (cid:31)‚n v§n (cid:31)• n(cid:160)y, Hayman [21] (cid:31)¢ chøng minh r‹ng: Cho f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t tr¶n C v(cid:160) n ≥ 3 l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n. Khi (cid:31)(cid:226), f nf (cid:48) nh“n mØi gi¡ tr(cid:224) hœu h⁄n kh¡c kh(cid:230)ng v(cid:230) sŁ lƒn. ˘ng gi£ thuy‚t r‹ng k‚t qu£ n(cid:160)y (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ 1. N«m 1979, Mues [42] (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra chøng minh cho tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n = 2. (cid:30)‚n n«m 1995, Bergweiler v(cid:160) Eremenko [10] v(cid:160) Chen v(cid:160) Fang [14] (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra chøng minh cho tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n = 1. Thay cho vi»c ch¿ x†t b(cid:160)i to¡n cho (cid:31)(cid:236)n thøc vi ph¥n, Hayman [21] (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra c¥u h(cid:228)i: N‚u f l(cid:160) h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t tr¶n C, n ≥ 3 v(cid:160) a (cid:54)= 0 th… ϕ = f (cid:48) − af n nh“n mØi gi¡ tr(cid:224) hœu h⁄n v(cid:230) sŁ lƒn? ˘ng (cid:31)¢ chøng minh (cid:31)(cid:247)æc r‹ng khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (cid:31)(cid:226) (cid:31)(cid:243)ng khi n ≥ 5 v(cid:160) c(cid:244)ng (cid:31)(cid:247)a ra c¡c ph£n v‰ d(cid:246) (cid:31)” ch¿ ra r‹ng khﬂng (cid:31)(cid:224)nh tr¶n kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng khi n = 1 v(cid:160) n = 2. Tuy nhi¶n, Mues [42] (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra c¡c ph£n v‰ d(cid:246) (cid:31)” ch¿ ra r‹ng khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (cid:31)(cid:226) kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i n = 3, 4 b‹ng vi»c x†t h(cid:160)m f l(cid:160) nghi»m kh¡c h‹ng b§t k(cid:253) cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh vi ph¥n Riccati w(cid:48) = −(1 + 2η)(w + 1)(w + η) (v(cid:238)i η = e2πi/3) cho tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n = 3 v(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh vi ph¥n Riccati w(cid:48) = 2(w2 + 1) cho tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n = 4. N«m 1982, D(cid:4)oringer [15] (cid:31)¢ chøng minh r‹ng k‚t qu£ tr¶n (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n n‚u thay ϕ = f (cid:48) − af n b(cid:240)i ϕ = f (k) − af n khi n ≥ k + 4. M(cid:246)c ti¶u ti‚p theo (cid:31)(cid:247)æc ch(cid:243)ng t(cid:230)i nghi¶n cøu trong lu“n ¡n n(cid:160)y (cid:31)(cid:226) l(cid:160): Xem x†t ph¥n bŁ gi¡ tr(cid:224) cıa (cid:31)a thøc vi ph¥n tŒng qu¡t h(cid:236)n.

Th(cid:230)ng th(cid:247)(cid:237)ng v(cid:238)i mØi k‚t qu£ tr¶n trong l(cid:254) thuy‚t ph¥n bŁ gi¡ tr(cid:224), ch(cid:243)ng ta hy v(cid:229)ng c(cid:226) mºt k‚t qu£ t(cid:247)(cid:236)ng øng v• s(cid:252) x¡c (cid:31)(cid:224)nh duy nh§t cıa c¡c h(cid:160)m. N«m 1996, Fang v(cid:160) Hua [17] (cid:31)¢ xem x†t s(cid:252) x¡c (cid:31)(cid:224)nh duy nh§t cıa c¡c h(cid:160)m nguy¶n f th(cid:230)ng qua £nh ng(cid:247)æc cıa (cid:31)a thøc vi ph¥n f (cid:48)f n. Sau (cid:31)(cid:226), k‚t qu£ n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc Yang v(cid:160) Hua [35] m(cid:240) rºng cho tr(cid:247)(cid:237)ng hæp c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh. B(cid:160)i to¡n cho (cid:31)a thøc vi ph¥n c§p mºt f (cid:48)f n(f − 1) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh b(cid:240)i Fang v(cid:160) Hong [16] khi f l(cid:160) h(cid:160)m nguy¶n v(cid:160) b(cid:240)i Lin v(cid:160) Yi [27] khi f l(cid:160) h(cid:160)m ph¥n h…nh. N«m 2013, Boussaf v(cid:160) c¡c (cid:31)(cid:231)ng nghi»p [12] (cid:31)¢ x†t b(cid:160)i to¡n cho tr(cid:247)(cid:237)ng hæp tŒng qu¡t h(cid:236)n b‹ng vi»c (cid:31)(cid:247)a ra c¡c (cid:31)i•u ki»n th‰ch hæp v• sŁ bºi cıa c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa (cid:31)⁄o h(cid:160)m cıa (cid:31)a thøc Q(z) sao cho v(cid:238)i hai h(cid:160)m ph¥n h…nh f v(cid:160) g, n‚u (Q(f ))(cid:48) v(cid:160) (Q(g))(cid:48) chung mºt h(cid:160)m nh(cid:228) α t‰nh c£

bºi th… f = g. B¶n c⁄nh (cid:31)(cid:226) mºt sŁ t¡c gi£ kh¡c chﬂng h⁄n nh(cid:247): Bhoosnurmatha v(cid:160) Dyavanal [11], Zang [38], Xu c(cid:242)ng (cid:31)(cid:231)ng nghi»p [31],... (cid:31)¢ x†t cho tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (cid:31)a

thøc vi ph¥n c§p cao h(cid:236)n. Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng c¡c k‚t qu£ tr¶n (cid:31)•u x†t (cid:31)a thøc vi ph¥n c(cid:226) d⁄ng [f nP (f )](k) v(cid:160) k‚t lu“n r‹ng n‚u f v(cid:160) g l(cid:160) c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh th(cid:228)a m¢n [f nP (f )](k) − α v(cid:160) [gnP (g)](k) − α chung kh(cid:230)ng (cid:31)i”m, v(cid:238)i α l(cid:160) h(cid:160)m nh(cid:228) v(cid:160) n l(cid:160) sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)ı l(cid:238)n, th… f = g. Tuy nhi¶n, ch(cid:243)ng t(cid:230)i nh“n th§y c(cid:226) mºt sŁ h⁄n ch‚ li¶n quan (cid:31)‚n c¡c k‚t qu£ n(cid:160)y. C(cid:246) th”, c¡c t¡c gi£ ch¿ x†t c¡c (cid:31)a thøc c(cid:226) ‰t nh§t mºt kh(cid:230)ng (cid:31)i”m c§p (cid:31)ı cao v(cid:160) c¡c h(cid:160)m nh(cid:228) α ph£i c(cid:226) hœu h⁄n kh(cid:230)ng (cid:31)i”m v(cid:160) c(cid:252)c (cid:31)i”m. V… v“y, m(cid:246)c ti¶u ti‚p theo cıa ch(cid:243)ng t(cid:230)i l(cid:160) x†t b(cid:160)i to¡n tr¶n cho c¡c bi”u di„n tŒng

qu¡t h(cid:236)n v(cid:160) b(cid:228) qua (cid:31)i•u ki»n v• t‰nh hœu h⁄n cıa c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m v(cid:160) c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa h(cid:160)m nh(cid:228) α. (cid:30)(cid:231)ng th(cid:237)i, ch(cid:243)ng t(cid:230)i c(cid:244)ng (cid:31)(cid:247)a ra c¡c k‚t qu£ trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp c¡c (cid:31)a thøc vi ph¥n chung mºt h(cid:160)m nh(cid:228) kh(cid:230)ng t‰nh bºi.

Lu“n ¡n (cid:31)(cid:247)æc chia th(cid:160)nh ba ch(cid:247)(cid:236)ng c(cid:242)ng v(cid:238)i phƒn m(cid:240) (cid:31)ƒu, k‚t lu“n v(cid:160) t(cid:160)i li»u

tham kh£o.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1, ngo(cid:160)i phƒn (cid:31)ƒu d(cid:160)nh cho vi»c tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ kh¡i ni»m c(cid:236) b£n (cid:31)(cid:247)æc d(cid:242)ng trong lu“n ¡n, ch(cid:243)ng t(cid:230)i (cid:31)(cid:247)a ra c¡c k‚t qu£ v• c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa (cid:31)a

thøc vi ph¥n cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.2.1). (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)a ra mŁi li¶n

h» giœa sŁ c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh v(cid:160) sŁ kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa (cid:31)a thøc vi ph¥n

cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh (cid:31)(cid:226). Nh(cid:247) mºt h» qu£ cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.2.1 ch(cid:243)ng t(cid:230)i thu (cid:31)(cid:247)æc k‚t qu£ cıa Yamanoi trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (cid:31)(cid:176)c bi»t v(cid:160) m(cid:240) rºng gi£ thuy‚t Gol’dberg. K‚t

qu£ nghi¶n cøu cıa ch(cid:243)ng t(cid:230)i trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y d(cid:252)a v(cid:160)o b(cid:160)i b¡o [5].

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2 d(cid:160)nh cho vi»c nghi¶n cøu ph¥n bŁ gi¡ tr(cid:224) cıa c¡c (cid:31)a thøc vi ph¥n.

Phƒn (cid:31)ƒu cıa ch(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)a ra quan h» sŁ khuy‚t cho (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1.1). (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) n(cid:160)y l(cid:160) mºt øng d(cid:246)ng tr(cid:252)c ti‚p cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.2.1 trong

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1 v(cid:160) (cid:31)(cid:231)ng th(cid:237)i c(cid:244)ng cho ta mºt d⁄ng tŒng qu¡t h(cid:236)n cıa gi£ thuy‚t Mues cho

(cid:31)a thøc vi ph¥n cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh. Phƒn cuŁi cıa ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc d(cid:160)nh cho

vi»c nghi¶n cøu ph¥n bŁ gi¡ tr(cid:224) cıa c¡c (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh. Trong phƒn n(cid:160)y, c¡c (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.1, 2.2.5 v(cid:160) 2.2.7 l(cid:160) c¡c m(cid:240) rºng cıa gi£ thuy‚t Hayman

cho c¡c (cid:31)a thøc vi ph¥n tŒng qu¡t h(cid:236)n. Ch(cid:247)(cid:236)ng 2 (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y d(cid:252)a v(cid:160)o c¡c b(cid:160)i

b¡o [5, 7].

Ch(cid:247)(cid:236)ng 3 tr…nh b(cid:160)y c¡c k‚t qu£ v• t‰nh duy nh§t cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp c¡c (cid:31)a thøc vi ph¥n chung mºt h(cid:160)m nh(cid:228). Phƒn (cid:31)ƒu cıa ch(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)a ra

c¡c (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh chung nhau mºt h(cid:160)m nh(cid:228) trong c¡c tr(cid:247)(cid:237)ng

hæp t‰nh c£ bºi v(cid:160) kh(cid:230)ng t‰nh bºi ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.2, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.4 v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.5).

Phƒn cuŁi cıa ch(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)a ra c¡c øng d(cid:246)ng cıa c¡c (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:240) phƒn (cid:31)ƒu cho vi»c nghi¶n cøu t‰nh duy nh§t cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp c¡c (cid:31)a thøc vi

ph¥n chung nhau mºt h(cid:160)m nh(cid:228) (cid:31)(cid:247)æc th” hi»n trong nºi dung cıa c¡c (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254): (cid:30)(cid:224)nh

l(cid:254) 3.2.1 (cid:31)‚n (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.6, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.8 v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.9. K‚t th(cid:243)c phƒn n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i (cid:31)(cid:247)a ra (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh h(cid:160)m d⁄ng Q(f ) = Q(g) + c trong (cid:31)(cid:226) Q(z) l(cid:160) (cid:31)a thøc v(cid:238)i h» sŁ tr¶n C, f, g l(cid:160) c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh v(cid:160) c l(cid:160) mºt h‹ng sŁ phøc. Nºi dung cıa ch(cid:247)(cid:236)ng d(cid:252)a v(cid:160)o c¡c b(cid:160)i b¡o [6, 8, 28].

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1

Kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa c¡c (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh

Trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y ngo(cid:160)i vi»c tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ ki‚n thøc chu'n b(cid:224) cho c¡c nºi

dung ch‰nh, ch(cid:243)ng t(cid:230)i tr…nh b(cid:160)y k‚t qu£ nghi¶n cøu v• kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa c¡c (cid:31)a thøc

vi ph¥n cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh. V(cid:238)i (cid:254) t(cid:247)(cid:240)ng sß d(cid:246)ng c¡c (cid:247)(cid:238)c l(cid:247)æng th(cid:230)ng qua h(cid:160)m x§p

x¿ hi»u ch¿nh, ch(cid:243)ng t(cid:230)i (cid:31)(cid:247)a ra mŁi li¶n h» giœa sŁ c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh v(cid:160)

sŁ kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa mºt (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh (cid:31)(cid:226). Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp

(cid:31)(cid:176)c bi»t, k‚t qu£ cıa ch(cid:243)ng t(cid:230)i thu (cid:31)(cid:247)æc k‚t qu£ (cid:31)¢ bi‚t cıa Yamanoi [33] v(cid:160) gi£

thuy‚t cıa Gold’berg. K‚t qu£ nghi¶n cøu cıa ch(cid:243)ng t(cid:230)i trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y d(cid:252)a v(cid:160)o

b(cid:160)i b¡o [5]. Tr(cid:247)(cid:238)c h‚t, ch(cid:243)ng t(cid:230)i tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ ki‚n thøc c(cid:236) b£n trong l(cid:254) thuy‚t

Nevanlinna cŒ (cid:31)i”n v(cid:160) mºt sŁ k‚t qu£ cıa Yamanoi.

1.1 Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n b(cid:224)

1.1.1 L(cid:254) thuy‚t Nevanlinna cŒ (cid:31)i”n

Trong phƒn n(cid:160)y ch(cid:243)ng t(cid:230)i tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ kh¡i ni»m c(cid:236) b£n trong l(cid:254) thuy‚t

ph¥n bŁ gi¡ tr(cid:224) cŒ (cid:31)i”n d(cid:242)ng cho vi»c nghi¶n cøu c¡c nºi dung ch‰nh. C¡c kh¡i ni»m

v(cid:160) c¡c k‚t qu£ c(cid:236) b£n n(cid:160)y chı y‚u (cid:31)(cid:247)æc tham kh£o trong c¡c t(cid:160)i li»u [13, 22, 29].

Ch(cid:243)ng ta nh›c l⁄i mºt trong nhœng k‚t qu£ quan tr(cid:229)ng cıa gi£i t‰ch phøc (cid:31)(cid:226) l(cid:160)

c(cid:230)ng thøc Jensen. C(cid:230)ng thøc n(cid:160)y cho ta c¡ch t‰nh m(cid:230)(cid:31)un cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh t⁄i

gŁc th(cid:230)ng qua m(cid:230)(cid:31)un cıa h(cid:160)m t⁄i c¡c (cid:31)i”m tr¶n (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn v(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m, c(cid:252)c

(cid:31)i”m cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh trong (cid:31)(cid:190)a (cid:31)(cid:226).

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.1 (C(cid:230)ng thøc Jensen). Cho f (cid:54)≡ 0 l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh tr¶n (cid:31)(cid:190)a ¯D(r) = {z ∈ C||z| ≤ r}, (r < ∞). Gi£ sß a1, . . . , aM l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa f trong

D(r) t‰nh c£ bºi v(cid:160) b1, . . . , bN l(cid:160) c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa f trong D(r) t‰nh c£ bºi. Khi (cid:31)(cid:226),

(cid:90) 2π

M (cid:88)

N (cid:88)

n‚u f (0) (cid:54)= 0, ∞ th…

µ=1

ν=1

− log + log . log |f (0)| = log |f (reiθ)| dθ 2π r |aµ| r |bν|

Ch(cid:243) (cid:254) 1.1.2. Gi£ sß f (z) c(cid:226) kh(cid:230)ng (cid:31)i”m c§p m (v(cid:238)i m > 0) ho(cid:176)c c(cid:252)c (cid:31)i”m c§p

−m (v(cid:238)i m < 0) t⁄i z = 0. Khi (cid:31)(cid:226), ta vi‚t

f (z) = cmzm + cm+1zm+1 + . . .

trong (cid:31)(cid:226) cm l(cid:160) h» sŁ kh¡c kh(cid:230)ng (cid:31)ƒu ti¶n trong khai tri”n Laurent cıa f (z) t⁄i

z = 0.

(cid:30)(cid:176)t Ψ(z) = f (z)

rm zm . Khi (cid:31)(cid:226), ta (cid:31)(cid:247)æc Ψ(0) = rmcm (cid:54)= 0, ∞, |Ψ(z)| = |f (z)| v(cid:238)i m(cid:229)i |z| = r v(cid:160) Ψ(z) c(cid:226) c(cid:242)ng c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m v(cid:160) c(cid:252)c (cid:31)i”m kh¡c 0 v(cid:238)i f (z) trong (cid:31)(cid:190)a

(cid:90) 2π

N (cid:88)

M (cid:88)

|z| < r. Do (cid:31)(cid:226), ¡p d(cid:246)ng c(cid:230)ng thøc Jensen cho Ψ(z) ta (cid:31)(cid:247)æc

ν=1

µ=1

− log log |Ψ(0)| = log |Ψ(reiθ)|dθ + log 1 2π |aµ| r |bν| r

(cid:90) 2π

N (cid:88)

M (cid:88)

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra

ν=1

µ=1

− log − m log r. log |f (reiθ)|dθ + log log |cm| = 1 2π |aµ| r |bν| r

Ti‚p theo, ta (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a h(cid:160)m (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng, h(cid:160)m x§p x¿ v(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)‚m cıa h(cid:160)m ph¥n

h…nh tr¶n C. V(cid:238)i mØi sŁ th(cid:252)c x ≥ 0, ta k‰ hi»u:

log+ x = max{log x, 0}.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.3. Cho f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh tr¶n C v(cid:160) a l(cid:160) mºt sŁ phøc. H(cid:160)m

(cid:90) 2π

x§p x¿ cıa f (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i:

m(r, f ) = log+ |f (reiθ)|dθ, 1 2π

(cid:90) 2π

(cid:1) =

v(cid:160)

log+ m(cid:0)r, dθ. 1 f − a 1 2π 1 |f (reiθ) − a|

V• m(cid:176)t (cid:254) ngh(cid:190)a ta th§y h(cid:160)m x§p x¿ m(r, f ) (cid:31)o (cid:31)º l(cid:238)n trung b…nh cıa t“p hæp

c¡c (cid:31)i”m trong (cid:31)(cid:190)a D(r) m(cid:160) t⁄i (cid:31)(cid:226) h(cid:160)m nh“n gi¡ tr(cid:224) x§p x¿ ∞.

K‰ hi»u n(t, f ) l(cid:160) sŁ c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa f (z) trong (cid:31)(cid:190)a |z| ≤ t, trong (cid:31)(cid:226) mØi c(cid:252)c (cid:31)i”m

(cid:31)(cid:247)æc (cid:31)‚m v(cid:238)i sŁ lƒn b‹ng bºi cıa n(cid:226), n(t, f ) l(cid:160) sŁ c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa f (z) trong (cid:31)(cid:190)a

|z| ≤ t, trong (cid:31)(cid:226) mØi c(cid:252)c (cid:31)i”m ch¿ (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)‚m mºt lƒn, n(0, f ) l(cid:160) sŁ bºi cıa c(cid:252)c (cid:31)i”m

cıa f (z) t⁄i z = 0 v(cid:160)

(cid:26)0 n‚u f (0) (cid:54)= ∞; 1 n‚u f (0) = ∞.

1 f −a

(cid:1) l(cid:160) sŁ kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa f (z) − a trong (cid:31)(cid:190)a (cid:1)

n(0, f ) =

1 f −a

(cid:1) l(cid:160) sŁ bºi cıa kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa f (z) − a t⁄i z = 0 v(cid:160)

Cho a l(cid:160) mºt sŁ phøc. K‰ hi»u n(cid:0)t, |z| ≤ t, trong (cid:31)(cid:226) mØi kh(cid:230)ng (cid:31)i”m (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)‚m v(cid:238)i sŁ lƒn b‹ng bºi cıa n(cid:226), n(cid:0)t,

1 f −a

l(cid:160) sŁ kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa f (z) − a trong (cid:31)(cid:190)a |z| ≤ t, trong (cid:31)(cid:226) mØi kh(cid:230)ng (cid:31)i”m ch¿ (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)‚m mºt lƒn, n(cid:0)0,

(cid:1) =

(cid:26)0 n‚u f (0) (cid:54)= a; 1 n‚u f (0) = a.

n(cid:0)0, 1 f − a

(cid:90) r

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.4. H(cid:160)m (cid:31)‚m c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa f (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a nh(cid:247) sau:

N (r, f ) = dt + n(0, f ) log r. n(t, f ) − n(0, f ) t

(cid:90) r

H(cid:160)m (cid:31)‚m c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m kh(cid:230)ng t‰nh bºi cıa f (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i:

N (r, f ) = dt + n(0, f ) log r. n(t, f ) − n(0, f ) t

(cid:1)

(cid:90) r

H(cid:160)m (cid:31)‚m c¡c a-(cid:31)i”m cıa f (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i:

1 f −a

(cid:1) =

(cid:1) log r.

(cid:1) − n(cid:0)0, t

(cid:1)

(cid:90) r

n(cid:0)t, dt + n(cid:0)0, N(cid:0)r, 1 f − a 1 f − a

1 f −a

(cid:1) log r.

(cid:1) =

(cid:1) − n(cid:0)0, t

H(cid:160)m (cid:31)‚m c¡c a-(cid:31)i”m kh(cid:230)ng t‰nh bºi cıa f (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i: n(cid:0)t, dt + n(cid:0)0, N(cid:0)r, 1 f − a 1 f − a

(cid:1) lƒn l(cid:247)æt (cid:31)o (cid:31)º l(cid:238)n

1 f −a

V• m(cid:176)t (cid:254) ngh(cid:190)a ta th§y c¡c h(cid:160)m (cid:31)‚m N (r, f ) v(cid:160) N(cid:0)r,

cıa t“p c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m v(cid:160) t“p c¡c a-(cid:31)i”m t(cid:247)(cid:236)ng øng cıa h(cid:160)m f (z) trong (cid:31)(cid:190)a b¡n k‰nh

r t¥m t⁄i gŁc.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.5. Cho f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh tr¶n C v(cid:160) a l(cid:160) mºt sŁ phøc. H(cid:160)m

(cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng cıa h(cid:160)m f (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i

T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ),

v(cid:160)

(cid:1) = m(cid:0)r,

(cid:1) + N(cid:0)r,

(cid:1).

T (cid:0)r, 1 f − a 1 f − a 1 f − a

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.6. Cho f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng tr¶n C. Mºt h(cid:160)m ph¥n

h…nh α (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) mºt h(cid:160)m nh(cid:228) so v(cid:238)i f n‚u th(cid:228)a m¢n T (r, α) = o(T (r, f )) khi

r → +∞ c(cid:226) th” trł ra mºt t“p c(cid:226) (cid:31)º (cid:31)o hœu h⁄n.

(cid:1) ≤ (cid:80)p (cid:1) ≤ (cid:80)p (cid:1) ≤ (cid:80)p (cid:1) ≤ (cid:80)p (cid:1) ≤ (cid:80)p (cid:1) ≤ (cid:80)p

Mºt sŁ t‰nh ch§t cıa c¡c h(cid:160)m Nevanlinna (cid:31)(cid:247)æc cho trong m»nh (cid:31)• sau.

k=1 m(r, fk) + log p, k=1 m(r, fk), k=1 N (r, fk), k=1 N (r, fk), k=1 T (r, fk) + log p, k=1 T (r, fk).

k=1 fk k=1 fk k=1 fk k=1 fk k=1 fk k=1 fk

M»nh (cid:31)• 1.1.7. Gi£ sß fk v(cid:238)i k = 1, . . . , p l(cid:160) c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh trong m(cid:176)t phﬂng phøc C. Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226) 1) m(cid:0)r, (cid:80)p 2) m(cid:0)r, (cid:81)p 3) N(cid:0)r, (cid:80)p 4) N(cid:0)r, (cid:81)p 5) T (cid:0)r, (cid:80)p 6) T (cid:0)r, (cid:81)p

BŒ (cid:31)• 1.1.8. N‚u f (z) l(cid:160) h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t trong m(cid:176)t phﬂng phøc C th…

= ∞. lim r→∞ T (r, f ) log r

BŒ (cid:31)• 1.1.9 ([34]). Cho f (z) l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng v(cid:160) an((cid:54)≡ 0),

an−1, . . . , a0 l(cid:160) c¡c h(cid:160)m nh(cid:228) so v(cid:238)i f. Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

T (r, anf n + an−1f n−1 + · · · + a0) = nT (r, f ) + o(T (r, f )).

Ti‚p theo, ch(cid:243)ng t(cid:230)i nh›c l⁄i BŒ (cid:31)• (cid:31)⁄o h(cid:160)m logarit. BŒ (cid:31)• n(cid:160)y l(cid:160) ch…a kh(cid:226)a

trong chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø hai cıa Nevanlinna. Tuy nhi¶n, b¶n c⁄nh (cid:31)(cid:226)

bŒ (cid:31)• cÆn th(cid:247)(cid:237)ng xuy¶n (cid:31)(cid:247)æc sß d(cid:246)ng trong nhi•u v§n (cid:31)• kh¡c.

(cid:1) = o(T (r, f ))

BŒ (cid:31)• 1.1.10 (BŒ (cid:31)• (cid:31)⁄o h(cid:160)m Logarit). Cho f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng tr¶n C. Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

m(cid:0)r, f (cid:48) f

khi r → +∞ c(cid:226) th” trł ra mºt t“p c(cid:226) (cid:31)º (cid:31)o hœu h⁄n.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.11 ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø nh§t). Cho f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh tr¶n C

v(cid:160) a l(cid:160) mºt sŁ phøc hœu h⁄n. Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

(cid:1) = T (r, f ) + O(1),

T (cid:0)r, 1 f − a

(cid:1)+N(cid:0)r,

trong (cid:31)(cid:226) O(1) l(cid:160) (cid:31)⁄i l(cid:247)æng gi(cid:238)i nºi.

(cid:1) kh(cid:230)ng

Tł (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø nh§t ta c(cid:226) th” xem tŒng m(cid:0)r, 1 f − a 1 f − a

ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o gi¡ tr(cid:224) cıa a, ngh(cid:190)a l(cid:160) h(cid:160)m ph¥n h…nh nh“n m(cid:229)i gi¡ tr(cid:224) a v(cid:160) gi¡ tr(cid:224)

gƒn a mºt sŁ lƒn nh(cid:247) nhau. (cid:30)¥y ch‰nh l(cid:160) mºt t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n cıa (cid:31)⁄i

1 f − a

sŁ cho tr(cid:247)(cid:237)ng hæp c¡c h(cid:160)m nguy¶n v(cid:160) h(cid:160)m ph¥n h…nh. Tuy nhi¶n, trong (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) (cid:1) ta ph£i bŒ sung th¶m mºt h(cid:160)m x§p x¿ b£n thø nh§t ngo(cid:160)i h(cid:160)m (cid:31)‚m N(cid:0)r, (cid:1) m(cid:160) th(cid:252)c ch§t d(cid:242)ng (cid:31)” (cid:31)o c¡c (cid:31)i”m m(cid:160) t⁄i (cid:31)(cid:226) h(cid:160)m (cid:31)¢ cho nh“n gi¡ tr(cid:224) m(cid:0)r, 1 f − a

gƒn v(cid:238)i a. N‚u h(cid:160)m x§p x¿ qu¡ l(cid:238)n th… (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø nh§t cıa Nevanlinna tr(cid:240)

n¶n ‰t (cid:254) ngh(cid:190)a. M(cid:229)i thø (cid:31)¢ tr(cid:240) n¶n s¡ng sıa h(cid:236)n khi Nevanlinna chøng minh (cid:30)(cid:224)nh

l(cid:254) c(cid:236) b£n thø hai, (cid:31)(cid:226) l(cid:160) mºt k‚t qu£ s¥u s›c h(cid:236)n nhi•u so v(cid:238)i (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø (cid:1) n(cid:226)i chung l(cid:160) r§t nh§t. (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø hai cho th§y r‹ng (cid:31)⁄i l(cid:247)æng m(cid:0)r, 1 f − a

nh(cid:228). Nºi dung cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø hai nh(cid:247) sau.

q (cid:88)

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.12 ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø hai). Cho a1, . . . , aq (q ≥ 2) l(cid:160) q sŁ phøc ph¥n bi»t v(cid:160) f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng tr¶n C. Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226) b§t (cid:31)ﬂng thøc

j=1

m(r, f ) + m(r, ) ≤ 2T (r, f ) − N1(r) + o(T (r, f )) 1 f − aj

(cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i m(cid:229)i r c(cid:226) th” trł ra mºt t“p E ⊂ (0, +∞) c(cid:226) (cid:31)º (cid:31)o Lebesgue hœu h⁄n, trong

(cid:1) + 2N (r, f ) − N (r, f ).

(cid:31)(cid:226)

N1(r) = N(cid:0)r, 1 f (cid:48)

Nh(cid:247) (cid:31)¢ n(cid:226)i (cid:240) tr¶n, (cid:31)” c(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc s(cid:252) t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n cıa (cid:31)⁄i sŁ cho c¡c

h(cid:160)m ph¥n h…nh, ta ph£i bŒ sung th¶m h(cid:160)m x§p x¿ (cid:31)” b(cid:242) l⁄i s(cid:252) thi‚u h(cid:246)t nghi»m so

v(cid:238)i c§p t«ng cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh f. (cid:30)” (cid:31)(cid:224)nh l(cid:247)æng cho s(cid:252) thi‚u h(cid:246)t (cid:31)(cid:226), Nevanlinna

(cid:1)

(cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a v• sŁ khuy‚t nh(cid:247) sau.

1 f −a T (r, f )

r→∞

N(cid:0)r, = 1 − lim sup . δ(a, f ) = lim inf r→∞ (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.13. SŁ khuy‚t Nevanlinna (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i m(cid:0)r, 1 f −a T (r, f )

Tł (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a tr¶n ta c(cid:226) 0 ≤ δ(a, f ) ≤ 1. (cid:30)(cid:231)ng th(cid:237)i, tł (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø hai ta

(cid:88)

c(cid:226) th” d„ d(cid:160)ng nh“n (cid:31)(cid:247)æc quan h» sŁ khuy‚t sau (cid:31)¥y:

a∈C∪{∞}

δ(a, f ) ≤ 2.

Trong phƒn ti‚p theo, ch(cid:243)ng t(cid:230)i s‡ tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ k‚t qu£ cıa Yamanoi (cid:31)¢

(cid:31)(cid:247)æc c(cid:230)ng bŁ gƒn (cid:31)¥y v(cid:160) (cid:31)¢ c(cid:226) £nh h(cid:247)(cid:240)ng kh(cid:230)ng nh(cid:228) t(cid:238)i s(cid:252) ph¡t tri”n cıa l(cid:254) thuy‚t

ph¥n bŁ gi¡ tr(cid:224) cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh.

1.1.2 Mºt sŁ k‚t qu£ cıa Yamanoi

Tr(cid:247)(cid:238)c khi (cid:31)(cid:247)a ra mºt sŁ k‚t qu£ quan tr(cid:229)ng cıa Yamanoi, ch(cid:243)ng ta nh›c l⁄i c¡c

kh¡i ni»m v• kho£ng c¡ch cƒu giœa c¡c (cid:31)i”m v(cid:160) m“t (cid:31)º logarit cıa mºt t“p nh(cid:247) sau.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.14 ([22]). Kho£ng c¡ch cƒu giœa hai (cid:31)i”m z v(cid:160) w trong P1(C) (cid:31)(cid:247)æc

x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

[z, w] = |z − w| (cid:112)1 + |z|2(cid:112)1 + |w|2

n‚u z, w l(cid:160) c¡c sŁ phøc hœu h⁄n v(cid:160)

[z, ∞] = . 1 (cid:112)1 + |z|2

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.15 ([20]). Cho E l(cid:160) mºt t“p con cıa R. Khi (cid:31)(cid:226), m“t (cid:31)º logarit

(cid:90)

tr¶n v(cid:160) m“t (cid:31)º logarit d(cid:247)(cid:238)i cıa E lƒn l(cid:247)æt (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i

r→∞

[e,r]∩E

(cid:90)

, logdens(E) = lim sup 1 log r dt t

[e,r]∩E

. logdens(E) = lim inf r→∞ 1 log r dt t

(cid:90)

N‚u logdens(E) = logdens(E), th… ta (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

[e,r]∩E

logdens(E) = lim r→∞ 1 log r dt t

l(cid:160) m“t (cid:31)º logarit cıa E.

K‚t qu£ quan tr(cid:229)ng (cid:31)ƒu ti¶n ch(cid:243)ng ta cƒn n(cid:226)i (cid:31)‚n (cid:240) (cid:31)¥y (cid:31)(cid:226) l(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n

thø hai cho h(cid:160)m ph¥n h…nh v(cid:160) c¡c h(cid:160)m nh(cid:228).

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.16 ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø hai v(cid:238)i c¡c h(cid:160)m nh(cid:228), [32]). Cho a1, . . . , aq (q ≥ 3) l(cid:160) q h(cid:160)m ph¥n h…nh ph¥n bi»t tr¶n C v(cid:160) f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng tr¶n C. Gi£ sß aj l(cid:160) c¡c h(cid:160)m nh(cid:228) so v(cid:238)i f v(cid:238)i m(cid:229)i j = 1, ..., q. Khi (cid:31)(cid:226), v(cid:238)i m(cid:229)i (cid:15) > 0,

(cid:18)

(cid:19)

q (cid:88)

b§t (cid:31)ﬂng thøc

j=1

N r, , (q − 2 − (cid:15))T (r, f ) ≤ 1 f − aj

(cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i m(cid:229)i r c(cid:226) th” trł ra mºt t“p E ⊂ (0, +∞) c(cid:226) (cid:31)º (cid:31)o Lebesgue hœu h⁄n.

B¥y gi(cid:237), ch(cid:243)ng ta tr…nh b(cid:160)y mºt s(cid:252) hi»u ch¿nh cıa h(cid:160)m x§p x¿ v(cid:160) c¡c (cid:247)(cid:238)c l(cid:247)æng

cıa h(cid:160)m (cid:31)(cid:226). C¡c k‚t qu£ n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc tham kh£o trong b(cid:160)i b¡o [34].

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.17. Cho d v(cid:160) n l(cid:160) c¡c sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng. Cho f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t trong m(cid:176)t phﬂng phøc C. Khi (cid:31)(cid:226), h(cid:160)m x§p x¿ hi»u ch¿nh (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh

(cid:90) 2π

ngh(cid:190)a b(cid:240)i

log , md,n(r, f ) = max 1≤j≤n dθ 2π 1 [f (reiθ), aj(reiθ)] sup (a1,...,an)∈(Rd)n

trong (cid:31)(cid:226) Rd l(cid:160) t“p t§t c£ c¡c h(cid:160)m hœu t(cid:27) b“c nh(cid:228) h(cid:236)n ho(cid:176)c b‹ng d bao g(cid:231)m c£ ∞.

(cid:90) 2π

n (cid:88)

Ch(cid:243) (cid:254) 1.1.18. Cho a1, . . . , an ∈ C l(cid:160) c¡c sŁ phøc ph¥n bi»t. Ta c(cid:226)

(cid:1) ≤

j=1

m(cid:0)r, log + O(1) ≤ md,n(r, f ) + O(1), max 1≤j≤n dθ 2π 1 f − aj 1 [f (reiθ), aj]

1 f −aj

trong (cid:31)(cid:226) O(1) l(cid:160) (cid:31)⁄i l(cid:247)æng b(cid:224) ch(cid:176)n ch¿ ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o a1, . . . , an. V… v“y, c¡c h(cid:160)m (cid:1) b† h(cid:236)n h(cid:160)m x§p x¿ hi»u ch¿nh md,n(r, f ) sai kh¡c mºt x§p x¿ nevanlinna m(cid:0)r,

(cid:31)⁄i l(cid:247)æng b(cid:224) ch(cid:176)n.

(cid:0)

(cid:30)(cid:176)t

t∈[τ,τ +θ]

τ ∈[0,2π]

(cid:1)−1(cid:9).

v(r, f, θ) := sup log |f (reit)| − inf log |f (reit)|(cid:1), sup t∈[τ,τ +θ]

λ(r) := min (cid:8)1, (cid:0) log+ T (r, f ) log r

BŒ (cid:31)• sau (cid:31)¥y cho ta (cid:247)(cid:238)c l(cid:247)æng giao (cid:31)ºng cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh tr¶n (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn

t¥m t⁄i gŁc.

BŒ (cid:31)• 1.1.19. Cho f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh trong m(cid:176)t phﬂng phøc C v(cid:160) (cid:15) > 0 b§t

k(cid:253). Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

v(r, f, λ(r)20) ≤ (cid:15)T (r, f )

v(cid:238)i m(cid:229)i r > e c(cid:226) th” trł ra mºt t“p c(cid:226) m“t (cid:31)º logarit b‹ng kh(cid:230)ng.

Ch(cid:243)ng ta thu (cid:31)(cid:247)æc c¡c (cid:247)(cid:238)c l(cid:247)æng ch(cid:176)n tr¶n v(cid:160) ch(cid:176)n d(cid:247)(cid:238)i cıa h(cid:160)m x§p x¿ hi»u

ch¿nh nh(cid:247) sau.

BŒ (cid:31)• 1.1.20. Cho f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t trong m(cid:176)t phﬂng phøc C v(cid:160)

k l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng. (cid:30)(cid:176)t

. uk := (k + 1) log+ |f | + log 1 |f (k)|

(cid:90) 2π

(cid:1)

Khi (cid:31)(cid:226), v(cid:238)i n l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng b§t k(cid:253), ta c(cid:226)

uk(reiθ) ≤ ¯mk−1,n(r, f ) + (k − 1)m(r, f ) + v(cid:0)r, f, dθ 2π

+ v(cid:0)r, f (k), 2π n (cid:1) + k log(2πr) + 2kn log 3 2π n

v(cid:238)i m(cid:229)i r > 1.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.21. Gi£ sß f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t tr¶n m(cid:176)t phﬂng phøc C, d v(cid:160) n l(cid:160) c¡c sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng v(cid:160) B ⊂ C ∪ {∞} l(cid:160) mºt t“p hœu h⁄n (cid:31)i”m. G(cid:229)i p l(cid:160)

(cid:88)

(cid:0)r,

(cid:1) ≤ (2 + (cid:15))T (r, f ) +

sŁ phƒn tß cıa B. Khi (cid:31)(cid:226), v(cid:238)i (cid:15) > 0 b§t k(cid:253), ta c(cid:226)

a∈B

T (r, f )4/5(log r)1/5 N1 ¯md,n(r, f ) + 1 f − a (p + n)17 (cid:15)4

v(cid:238)i m(cid:229)i r > 0 c(cid:226) th” trł ra mºt t“p c(cid:226) (cid:31)º (cid:31)o tuy‚n t‰nh hœu h⁄n Ef,d, trong (cid:31)(cid:226) t“p

Ef,d ch¿ ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o f v(cid:160) d.

1.2 (cid:215)(cid:238)c l(cid:247)æng kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa (cid:31)a thøc vi ph¥n

cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh

C[z]. Gi£ sß

hi(cid:89)

Cho k ≥ 1 l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n v(cid:160) Qi(z) l(cid:160) c¡c (cid:31)a thøc b“c qi, (i = 0, 1, . . . , k) trong

j=1

Qi(z) = ci (z − βij)qij

j=1 qij = qi, v(cid:238)i i = 0, 1, 2, . . . , k.

v(cid:238)i ci ∈ C∗ v(cid:160) (cid:80)hi

(cid:30)(cid:176)t

(1.1) Φ := Q0(f )Q1(f (cid:48)) . . . Qk(f (k))

v(cid:160)

q := q0 + q1 + · · · + qk.

K‚t qu£ cıa ch(cid:243)ng t(cid:230)i ph¡t bi”u nh(cid:247) sau.

(cid:88)

k (cid:88)

(cid:1) ≤ N(cid:0)r,

(cid:1) + (cid:15)T (r, f ),

(cid:0)r,

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.2.1. Cho f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t tr¶n C, k ≥ 2 l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n v(cid:160) (cid:15) > 0 b§t k(cid:253). Cho A ⊂ C l(cid:160) mºt t“p hœu h⁄n c¡c sŁ phøc. Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

ν=0

a∈A

N1 (ν − 1)qνN (r, f ) + q 1 f − a 1 Φ

v(cid:238)i m(cid:229)i r > e c(cid:226) th” trł ra mºt t“p E ⊂ (e, ∞) c(cid:226) m“t (cid:31)º logarit b‹ng kh(cid:230)ng, trong

(cid:0)r,

(cid:1) = N(cid:0)r,

(cid:1) − N(cid:0)r,

(cid:1).

(cid:31)(cid:226)

N1 1 f − a 1 f − a 1 f − a

Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n, ch(cid:243)ng ta chøng minh c¡c bŒ (cid:31)• sau

(cid:1)20

BŒ (cid:31)• 1.2.2. Cho f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t trong m(cid:176)t phﬂng phøc C v(cid:160) (cid:15) > 0 l(cid:160) mºt sŁ d(cid:247)(cid:236)ng nh(cid:228) t(cid:242)y (cid:254). Gi£ sß σ : (e, ∞) → N∗ l(cid:160) mºt h(cid:160)m sao cho

. σ(r) ∼ (cid:0) log+ T (r, f ) log r

Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

(cid:1) + v(cid:0)r, f (k+1),

(cid:1) + (k + 1) log(2πr)

v(cid:0)r, f, 2π σ(r) 2π σ(r)

+ 2(k + 1)σ(r) log 3 + o(T (r, f )) < (cid:15)T (r, f ), (1.2)

v(cid:238)i m(cid:229)i r > e c(cid:226) th” trł ra mºt t“p c(cid:226) m“t (cid:31)º logarit b‹ng kh(cid:230)ng.

Chøng minh. (cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 1.1.19, ta c(cid:226)

v(r, f, λ(r)20) < T (r, f ) (cid:15) 21

v(cid:238)i m(cid:229)i r > e c(cid:226) th” trł ra mºt t“p c(cid:226) m“t (cid:31)º logarit b‹ng kh(cid:230)ng. Tł (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

cıa h(cid:160)m σ, ta (cid:31)(cid:247)æc

< 7λ(r)20 2π σ(r)

v(cid:238)i m(cid:229)i r (cid:31)ı l(cid:238)n. Do (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

(cid:1) <

T (r, f ) v(cid:0)r, f, (1.3) 2π σ(r) (cid:15) 3

v(cid:238)i m(cid:229)i r > e c(cid:226) th” trł ra mºt t“p E1 c(cid:226) m“t (cid:31)º logarit b‹ng kh(cid:230)ng.

Tł BŒ (cid:31)• (cid:31)⁄o h(cid:160)m logarit ta d„ d(cid:160)ng nh“n (cid:31)(cid:247)æc b§t (cid:31)ﬂng thøc sau

T (r, f (k+1)) ≤ (k + 2)T (r, f ) + o(T (r, f )). (1.4)

Do (cid:31)(cid:226), tł b§t (cid:31)ﬂng thøc tr¶n v(cid:160) ti‚p t(cid:246)c ¡p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 1.1.19 ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:1)−1(cid:9).

T (r, f (k+1)) ≤ T (r, f ), v(r, f (k+1), (cid:98)λ(r)20) < (cid:15) 42(k + 2) (cid:15) 42

v(cid:238)i m(cid:229)i r > e c(cid:226) th” trł ra mºt t“p c(cid:226) m“t (cid:31)º logarit b‹ng kh(cid:230)ng, trong (cid:31)(cid:226) (cid:98)λ(r) = min (cid:8)1, (cid:0) log+ T (r, f (k+1)) log r

Tł (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a cıa λ(r), (cid:98)λ(r) v(cid:160) (1.4), ta (cid:31)(cid:247)æc λ(r)20 < 2(cid:98)λ(r)20 v(cid:238)i r (cid:31)ı l(cid:238)n. Do (cid:31)(cid:226),

ta c(cid:226)

T (r, f ) v(r, f (k+1), λ(r)20) < (cid:15) 21

v(cid:238)i m(cid:229)i r > e c(cid:226) th” trł ra mºt t“p c(cid:226) m“t (cid:31)º logarit b‹ng kh(cid:230)ng. Tł (cid:31)(cid:226) suy ra b§t

(cid:1) <

(cid:31)ﬂng thøc

T (r, f ) v(cid:0)r, f (k+1), (1.5) 2π σ(r) (cid:15) 3

v(cid:238)i m(cid:229)i r > e c(cid:226) th” trł ra mºt t“p E2 c(cid:226) m“t (cid:31)º logarit b‹ng kh(cid:230)ng.

M(cid:176)t kh¡c, v… f l(cid:160) h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t n¶n t(cid:231)n t⁄i mºt sŁ r0 > e sao cho

T (r, f ) (k + 1) log(2πr) + 2(k + 1)σ(r) log 3 + o(T (r, f )) < (1.6) (cid:15) 3

v(cid:238)i m(cid:229)i r > r0. (cid:30)(cid:176)t

E := [e, r0] ∪ E1 ∪ E2.

Khi (cid:31)(cid:226), E l(cid:160) mºt t“p c(cid:226) m“t (cid:31)º logarit b‹ng kh(cid:230)ng. K‚t hæp (1.3),(1.5) v(cid:160) (1.6), ta

nh“n (cid:31)(cid:247)æc b§t (cid:31)ﬂng thøc (1.2).

j=0 qj, v(cid:160)

BŒ (cid:31)• 1.2.3. Cho k l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng. Gi£ sß f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t v(cid:160) Qj l(cid:160) c¡c (cid:31)a thøc mºt bi‚n b“c qj v(cid:238)i j = 0, 1, . . . , k. (cid:30)(cid:176)t q := (cid:80)k

+ q(k + 2) log+ |f |. Rk := log 1 |Q0(f )Q1(f (cid:48)) . . . Qk(f (k))|

(cid:90) 2π

Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

≤ q + o(T (r, f )). Rk(reiθ) uk+1(reiθ) dθ 2π dθ 2π

Chøng minh. (cid:30)(cid:176)t Φ := Q0(f )Q1(f (cid:48)) . . . Qk(f (k)). Ta c(cid:226)

k (cid:88)

log = q log + log 1 |Φ| 1 |f (k+1)|

ν=0

j=1

k (cid:88)

hν(cid:88)

|f (k+1)|q |Φ| hν(cid:88) ≤ q log + + O(1) qνj log 1 |f (k+1)| |f (k+1)| |f (ν) − βνj|

ν=0

j=1

(cid:1) = o(T (r, f )),

(cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• (cid:31)⁄o h(cid:160)m logarit, ta (cid:31)(cid:247)æc

m(cid:0)r, f (k+1) f (ν) − βνj

(cid:90) 2π

k (cid:88)

hν(cid:88)

(cid:1) + O(1)

v(cid:238)i m(cid:229)i ν = 0, ..., k. Tł (cid:31)(cid:226) suy ra

ν=0

j=1

0 (cid:90) 2π

≤ q + qνjm(cid:0)r, Rk(reiθ) uk+1(reiθ) dθ 2π dθ 2π f (k+1) f (ν) − βνj

= q + o(T (r, f )). uk+1(reiθ) dθ 2π

Nh(cid:247) v“y, BŒ (cid:31)• 1.2.3 (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

Chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.2.1. (cid:30)(cid:176)t Φ := Q0(f )Q1(f (cid:48)) . . . Qk(f (k)), v(cid:160)

. Rk := q(k + 2) log+ |f | + log 1 |Φ|

k (cid:88)

(cid:129)p d(cid:246)ng c¡c t‰nh ch§t cıa h(cid:160)m (cid:31)‚m ta c(cid:226)

ν=0

k (cid:88)

N (r, Φ) = N (r, Qν(f (ν))) = qνN (r, f (ν))

ν=0

= qN (r, f ) + (1.7) νqνN (r, f ).

v(cid:238)i m(cid:229)i x > 0 n¶n ta c(cid:226)

+ q(k + 2) log |f | + log . (1.8) V… log x = log+ x − log+ 1 x Rk = q(k + 2) log+ 1 |f | 1 |Φ|

(cid:129)p d(cid:246)ng C(cid:230)ng thøc Jensen cho c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh f v(cid:160) Φ, v(cid:160) k‚t hæp v(cid:238)i (1.7),

(cid:90) 2π

ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:1) − N (r, f ) + O(1)

log |f (reiθ)| = N(cid:0)r, (1.9) dθ 2π 1 f

(cid:90) 2π

v(cid:160)

(cid:1) + O(1).

k (cid:88)

log = N (r, Φ) − N(cid:0)r, dθ 2π 1 Φ 1 |Φ(reiθ)|

(cid:1) + O(1).

ν=0

= qN (r, f ) + (1.10) νqνN (r, f ) − N(cid:0)r, 1 Φ

(cid:90) 2π

(cid:16)

(cid:1)(cid:17)

K‚t hæp (1.8), (1.9), (1.10) v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø nh§t, ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:1) + N(cid:0)r,

k (cid:88)

= q(k + 2) m(cid:0)r, − q(k + 1)N (r, f ) Rk(reiθ) dθ 2π 1 f 1 f

(cid:1) + O(1)

ν=0

k (cid:88)

+ νqνN (r, f ) − N(cid:0)r, 1 Φ

ν=0

= q(k + 2)T (r, f ) − q(k + 1)N (r, f ) + νqνN (r, f )

(cid:1) + O(1).

− N(cid:0)r, (1.11) 1 Φ

(cid:90) 2π

M(cid:176)t kh¡c, ¡p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 1.1.20, BŒ (cid:31)• 1.2.2 v(cid:160) BŒ (cid:31)• 1.2.3, ta c(cid:226)

≤ q + o(T (r, f )) Rk(reiθ) uk+1(reiθ) dθ 2π dθ 2π

(cid:16)

(cid:1)

≤ kq m(r, f ) + q ¯mk,σ(r)(r, f )

(cid:1) + v(cid:0)r, f (k+1),

(cid:17)

v(cid:0)r, f, + q 2π σ(r) 2π σ(r)

+ (k + 1) log(2πr) + 2(k + 1)σ(r) log 3

T (r, f ) (1.12) ≤ kq m(r, f ) + q ¯mk,σ(r)(r, f ) + (cid:15) 3

v(cid:238)i m(cid:229)i r > e c(cid:226) th” trł ra mºt t“p c(cid:226) m“t (cid:31)º logarit b‹ng kh(cid:230)ng v(cid:160) σ : (e, ∞) → N∗

l(cid:160) mºt h(cid:160)m (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a nh(cid:247) trong BŒ (cid:31)• 1.2.2.

(cid:19)1/5

V… f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t v(cid:160) b(cid:240)i (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a cıa h(cid:160)m σ, ta c(cid:226)

(cid:18) log r T (r, f )

= 0. (p + σ(r))17 lim r→∞ = lim r→∞ (p + σ(r))17T (r, f )4/5(log r)1/5 T (r, f )

Do (cid:31)(cid:226), t(cid:231)n t⁄i mºt sŁ r1 > 0 sao cho

(p + σ(r))17T (r, f )4/5(log r)1/5 < T (r, f ) (cid:15)5 3

v(cid:238)i n l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng v(cid:160) v(cid:238)i m(cid:229)i r > r1.

B¥y gi(cid:237), ta cho A ⊂ C l(cid:160) mºt t“p hœu h⁄n c¡c sŁ phøc. (cid:129)p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.21

(cid:88)

(cid:1)

(cid:0)r,

cho B = A ∪ {∞}, d = k, p = #A + 1 v(cid:160) n = σ(r), ta (cid:31)(cid:247)æc

a∈A

N1 ¯mk,σ(r)(r, f ) + N1(r, f ) + 1 f − a

(cid:1)T (r, f ) +

(cid:1)T (r, f ),

≤ (cid:0)2 + T (r, f )4/5(log r)1/5 (p + σ(r))17 q(cid:15)4

≤ (cid:0)2 + (1.13) (cid:15) 3q 2(cid:15) 3q

v(cid:238)i m(cid:229)i r > 0 c(cid:226) th” trł ra mºt t“p c(cid:226) (cid:31)º (cid:31)o tuy‚n t‰nh hœu h⁄n.

k (cid:88)

(cid:88)

(cid:0)r,

(cid:1) ≤ N(cid:0)r,

(cid:1) + (cid:15)T (r, f ),

K‚t hæp (1.11), (1.12) and (1.13), ta (cid:31)(cid:247)æc

ν=0

a∈A

(ν − 1)qνN (r, f ) + q N1 1 f − a 1 Φ

v(cid:238)i m(cid:229)i r > e c(cid:226) th” trł ra mºt t“p E c(cid:226) m“t (cid:31)º logarit b‹ng kh(cid:230)ng. (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.2.1

(cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp Q0(z) = Q1(z) = · · · = Qk−1(z) = 1 v(cid:160) Qk(z) = z, ta thu

(cid:31)(cid:247)æc k‚t qu£ trong [34] nh(cid:247) mºt tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (cid:31)(cid:176)c bi»t cıa (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) tr¶n.

H» qu£ 1.2.4. Cho f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t trong m(cid:176)t phﬂng phøc, k ≥ 2 l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n v(cid:160) (cid:15) > 0. Cho A ⊂ C l(cid:160) mºt t“p hœu h⁄n c¡c sŁ phøc. Khi (cid:31)(cid:226), ta

(cid:88)

(cid:0)r,

(cid:1) ≤ N(cid:0)r,

(cid:1) + (cid:15)T (r, f ),

c(cid:226)

a∈A

(k − 1)N (r, f ) + N1 1 f − a 1 f (k)

v(cid:238)i m(cid:229)i r > e c(cid:226) th” trł ra mºt t“p E ⊂ (e, ∞) v(cid:238)i m“t (cid:31)º logarit b‹ng kh(cid:230)ng.

H» qu£ 1.2.5 (Gi£ thuy‚t Gol’dberg). Cho f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t trong

m(cid:176)t phﬂng phøc, k ≥ 2 l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n. Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

(cid:1) + o(T (r, f )),

N (r, f ) ≤ N(cid:0)r, 1 f (k)

khi r → ∞ c(cid:226) th” trł ra mºt t“p c(cid:226) m“t (cid:31)º logarit b‹ng kh(cid:230)ng.

Chøng minh. (cid:129)p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.2.1 trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp Q0(z) = · · · = Qk−1(z) = 1,

Qk(z) = z, A = ∅ v(cid:160) (cid:15) > 0 nh(cid:228) t(cid:242)y (cid:254), ta (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)i•u ph£i chøng minh.

1.3 K‚t lu“n

B‹ng vi»c sß d(cid:246)ng c¡c k‚t qu£ cıa l(cid:254) thuy‚t Nevanlinna cŒ (cid:31)i”n v(cid:160) mºt sŁ k‚t

qu£ cıa Yamanoi (cid:31)” (cid:247)(cid:238)c l(cid:247)æng c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc, trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y, ngo(cid:160)i vi»c

tr…nh b(cid:160)y l⁄i mºt sŁ ki‚n thøc c(cid:236) b£n, ch(cid:243)ng t(cid:230)i (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra mºt mŁi li¶n h» giœa sŁ c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh tr¶n m(cid:176)t phﬂng phøc C v(cid:160) sŁ kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa (cid:31)a

thøc vi ph¥n cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh (cid:31)(cid:226) (xem (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.2.1). K‚t qu£ n(cid:160)y cho ta mºt

tŒng qu¡t h(cid:226)a cıa gi£ thuy‚t Gol’dberg v(cid:160) (cid:31)(cid:231)ng th(cid:237)i c(cid:244)ng cho ta mºt c(cid:230)ng c(cid:246) (cid:31)(cid:236)n

gi£n (cid:31)” chøng minh c¡c k‚t qu£ v• ph¥n bŁ gi¡ tr(cid:224) cıa c¡c (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa h(cid:160)m

ph¥n h…nh trong ch(cid:247)(cid:236)ng ti‚p theo cıa lu“n ¡n.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2

Ph¥n bŁ gi¡ tr(cid:224) cıa (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh

Trong phƒn gi(cid:238)i thi»u (cid:31)¢ n(cid:226)i r‹ng, Gi£ thuy‚t Mues c(cid:226) li¶n quan tr(cid:252)c ti‚p t(cid:238)i

gi£ thuy‚t Gol’dberg, mØi b(cid:247)(cid:238)c ti‚n bº trong vi»c chøng minh gi£ thuy‚t Gol’dberg

(cid:31)•u d¤n t(cid:238)i nhœng b(cid:247)(cid:238)c ti‚n m(cid:238)i trong vi»c gi£i quy‚t gi£ thuy‚t Mues. Gi£ thuy‚t Mues (cid:31)(cid:247)a ra mŁi quan h» sŁ khuy‚t cıa (cid:31)⁄o h(cid:160)m cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh tr¶n C, tł

(cid:31)(cid:226) c(cid:226) th” th§y r‹ng (cid:31)⁄o h(cid:160)m cıa mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh c(cid:226) th” b(cid:228) (cid:31)i nhi•u nh§t mºt

gi¡ tr(cid:224) phøc hœu h⁄n. C¥u h(cid:228)i t(cid:252) nhi¶n (cid:31)(cid:176)t ra l(cid:160) li»u gi£ thuy‚t Mues cÆn (cid:31)(cid:243)ng

kh(cid:230)ng n‚u ta thay (cid:31)⁄o h(cid:160)m cıa mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh b(cid:240)i mºt (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa

h(cid:160)m ph¥n h…nh (cid:31)(cid:226)? V§n (cid:31)• n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t ra (cid:31)ƒu ti¶n b(cid:240)i Hayman qua vi»c xem x†t

c¡c (cid:31)a thøc vi ph¥n d⁄ng (cid:31)(cid:176)c bi»t. Sau (cid:31)(cid:226), n(cid:226) (cid:31)¢ thu h(cid:243)t (cid:31)(cid:247)æc s(cid:252) quan t¥m cıa

nhi•u nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c kh¡c v(cid:238)i vi»c gi£i quy‚t tr(cid:229)n v(cid:181)n b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t ra b(cid:240)i Hayman v(cid:160)

nghi¶n cøu c¡c k‚t qu£ (cid:31)(cid:226) cho c¡c (cid:31)a thøc vi ph¥n tŒng qu¡t h(cid:236)n. Trong phƒn (cid:31)ƒu

cıa ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y ch(cid:243)ng t(cid:230)i ¡p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.2.1 (cid:31)” nghi¶n cøu quan h» sŁ khuy‚t

cıa (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh. Trong phƒn ti‚p theo cıa ch(cid:247)(cid:236)ng, ch(cid:243)ng

t(cid:230)i n(cid:226)i v• ph¥n bŁ gi¡ tr(cid:224) cıa mºt sŁ d⁄ng (cid:31)a thøc vi ph¥n tŒng qu¡t h(cid:236)n so v(cid:238)i c¡c

d⁄ng (cid:31)a thøc vi ph¥n (cid:31)¢ bi‚t tr(cid:247)(cid:238)c (cid:31)¥y. Nºi dung cıa ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y d(cid:252)a v(cid:160)o hai b(cid:160)i

b¡o [5, 7].

2.1 Quan h» sŁ khuy‚t cıa (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa

h(cid:160)m ph¥n h…nh

Gi£ thuy‚t Mues n(cid:226)i r‹ng: N‚u f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t tr¶n m(cid:176)t phﬂng

(cid:88)

phøc C v(cid:160) k l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng th…

a∈C

δ(a, f (k)) ≤ 1.

N«m 2016, Jiang v(cid:160) Huang [24] (cid:31)¢ m(cid:240) rºng cho c¡c (cid:31)(cid:236)n thøc vi ph¥n cıa h(cid:160)m

ph¥n h…nh c(cid:226) d⁄ng f l(f (k))n trong (cid:31)(cid:226) l, n, k l(cid:160) c¡c sŁ nguy¶n l(cid:238)n h(cid:236)n 1. Tuy nhi¶n,

ch(cid:176)n tr¶n thu (cid:31)(cid:247)æc trong k‚t qu£ cıa c¡c t¡c gi£ (cid:31)(cid:226) ch(cid:247)a ph£i l(cid:160) ch(cid:176)n tŁt nh§t c(cid:226)

th”.

Trong phƒn n(cid:160)y ch(cid:243)ng t(cid:230)i s‡ tr…nh b(cid:160)y k‚t qu£ v• quan h» sŁ khuy‚t cıa (cid:31)a thøc

vi ph¥n cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh v(cid:238)i ch(cid:176)n tr¶n tŁi (cid:247)u. Nºi dung c(cid:246) th” (cid:31)(cid:247)æc th” hi»n qua

(cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) sau.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1.1. Cho f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh v(cid:160) k l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng. V(cid:238)i Φ

(cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a nh(cid:247) trong (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.2.1. Gi£ sß mºt trong c¡c (cid:31)i•u ki»n sau (cid:31)(cid:247)æc

th(cid:228)a m¢n

(i) k ≥ 2 v(cid:160) t(cid:231)n t⁄i ν ∈ {2, ..., k} sao cho Qν(z) c(cid:226) ‰t nh§t mºt kh(cid:230)ng (cid:31)i”m bºi

‰t nh§t b‹ng 2.

(ii) k ≥ 1 v(cid:160) Φ = Qk(f (k)).

(cid:88)

Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

a∈C

δ(a, Φ) ≤ 1.

(cid:30)” chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1.1, ch(cid:243)ng ta cƒn chøng minh bŒ (cid:31)• sau.

BŒ (cid:31)• 2.1.2. Gi£ sß f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh tr¶n C, k l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng v(cid:160)

Φ (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a nh(cid:247) trong (1.1). Ta c(cid:226)

T (r, Φ) = O(T (r, f )), v(cid:160) o(T (r, Φ)) = o(T (r, f )).

k (cid:88)

Chøng minh. (cid:129)p d(cid:246)ng c¡c t‰nh ch§t cıa h(cid:160)m (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng v(cid:160) BŒ (cid:31)• 1.1.9, ta c(cid:226)

ν=0 k (cid:88)

T (r, Φ) ≤ T (r, Qν(f (ν))) + O(1)

i=0 k (cid:88)

≤ qνT (r, f (ν)) + o(T (r, f ))

i=0

≤ qν(ν + 1)T (r, f ) + o(T (r, f )).

Do (cid:31)(cid:226), ta (cid:31)(cid:247)æc

T (r, Φ) = O(T (r, f )), o(T (r, Φ)) = o(T (r, f )). v(cid:160)

Nh(cid:247) v“y, BŒ (cid:31)• 2.1.2 (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

Chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1.1. Tr(cid:247)(cid:238)c h‚t, ch(cid:243)ng ta x†t tr(cid:247)(cid:237)ng hæp f l(cid:160) mºt h(cid:160)m hœu

t(cid:27). Khi (cid:31)(cid:226), Φ c(cid:244)ng l(cid:160) mºt h(cid:160)m hœu t(cid:27) kh¡c h‹ng. Do (cid:31)(cid:226), δ(a, Φ) = 0 v(cid:238)i m(cid:229)i

a (cid:54)= Φ(∞). Nh(cid:247) v“y, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1.1 (cid:31)(cid:243)ng trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp f l(cid:160) mºt h(cid:160)m hœu t(cid:27).

Ti‚p theo, ch(cid:243)ng ta chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1.1 c(cid:244)ng (cid:31)(cid:243)ng trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp f l(cid:160)

mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t. Th“t v“y, v… f l(cid:160) h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t n¶n Φ c(cid:244)ng

l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t. Cho a1, . . . , as l(cid:160) c¡c sŁ phøc ph¥n bi»t. (cid:129)p d(cid:246)ng

s (cid:88)

(cid:1) ≤ T (r, Φ) + N (r, Φ) − N(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, Φ))

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.12 cho h(cid:160)m Φ v(cid:160) c¡c sŁ phøc a1, . . . , as, ta c(cid:226)

i=1

m(cid:0)r, 1 Φ(cid:48) 1 Φ − ai

(cid:1) + o(T (r, f ))

= T (r, Φ) + N (r, f ) − N(cid:0)r, (2.1) 1 Φ(cid:48)

v(cid:238)i m(cid:229)i r c(cid:226) th” trł ra mºt t“p E c(cid:226) (cid:31)º (cid:31)o tuy‚n t‰nh hœu h⁄n, trong (cid:31)(cid:226) (cid:31)ﬂng thøc

thø hai (cid:31)(cid:247)æc suy ra tł BŒ (cid:31)• 2.1.2 v(cid:160) N (r, Φ) = N (r, f ).

N‚u (cid:31)i•u ki»n (i) th(cid:228)a m¢n th… t(cid:231)n t⁄i ν ∈ {2, ..., k} sao cho Qν(z) c(cid:226) ‰t nh§t mºt

kh(cid:230)ng (cid:31)i”m v(cid:238)i bºi l(cid:238)n h(cid:236)n 1, gi£ sß l(cid:160) z = βνη. Khi (cid:31)(cid:226), Φ(cid:48) chia h‚t cho f (ν) − βνη.

N‚u (cid:31)i•u ki»n (ii) th(cid:228)a m¢n th… Φ(cid:48) chia h‚t cho f (k+1).

Nh(cid:247) v“y, trong c£ hai tr(cid:247)(cid:237)ng hæp ta lu(cid:230)n c(cid:226) Φ(cid:48) chia h‚t cho Q(f (i)), trong (cid:31)(cid:226)

i ≥ 2 v(cid:160)

(cid:26)f (ν) − βνη n‚u (i) th(cid:228)a m¢n, f (k+1) n‚u (ii) th(cid:228)a m¢n.

Q(f (i)) :=

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra

(cid:1) ≥ N(cid:0)r,

(cid:1).

N(cid:0)r, (2.2) 1 Φ(cid:48) 1 Q(f (i))

(cid:129)p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.2.1 cho (cid:31)a thøc vi ph¥n Q(f (i)) v(cid:160) t“p A = ∅, ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:1) + (cid:15)T (r, f ),

(i − 1)N (r, f ) ≤ N(cid:0)r, 1 Q(f (i))

v(cid:238)i m(cid:229)i (cid:15) > 0 l(cid:160) mºt h‹ng sŁ d(cid:247)(cid:236)ng nh(cid:228) t(cid:242)y (cid:254) v(cid:160) v(cid:238)i m(cid:229)i r > e n‹m ngo(cid:160)i mºt t“p

E(cid:48) c(cid:226) m“t (cid:31)º logarit b‹ng kh(cid:230)ng. K‚t hæp b§t (cid:31)ﬂng thøc tr¶n v(cid:238)i c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc

s (cid:88)

(2.1) v(cid:160) (2.2) ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:1) ≤ T (r, Φ) + (cid:15)T (r, f ) + o(T (r, f ))

i=1

m(cid:0)r, 1 Φ − ai

s (cid:88)

v(cid:238)i m(cid:229)i r > e n‹m ngo(cid:160)i mºt t“p E ∪ E(cid:48). V… (cid:15) > 0 l(cid:160) mºt sŁ nh(cid:228) t(cid:242)y (cid:254) n¶n ta (cid:31)(cid:247)æc

i=1

δ(ai, Φ) ≤ 1.

Nh(cid:247) v“y, (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (cid:31)(cid:176)c bi»t khi x†t c¡c (cid:31)(cid:236)n thøc vi ph¥n c(cid:226) d⁄ng f l(f (k))n, ch(cid:243)ng

nk+n+l

t(cid:230)i c£i ti‚n k‚t qu£ cıa Jiang v(cid:160) Huang [24] v(cid:238)i ch(cid:176)n tr¶n (cid:31)(cid:247)æc gi£m tł 1 + 1

xuŁng 1.

H» qu£ 2.1.3. Cho f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t trong m(cid:176)t phﬂng phøc C v(cid:160)

(cid:88)

k, l, n l(cid:160) c¡c sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng l(cid:238)n h(cid:236)n ho(cid:176)c b‹ng 2. Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

a∈C

δ(a, f l(f (k))n) ≤ 1.

Khi k ≥ 1 v(cid:160) Qk(z) = z ta thu (cid:31)(cid:247)æc gi£ thuy‚t Mues nh(cid:247) mºt tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (cid:31)(cid:176)c

bi»t cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1.1.

(cid:88)

H» qu£ 2.1.4 ([33]). Cho f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t trong m(cid:176)t phﬂng phøc C v(cid:160) k ≥ 1 l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng. Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

a∈C

δ(a, f (k)) ≤ 1.

2.2 M(cid:240) rºng cıa gi£ thuy‚t Hayman cho mºt sŁ

d⁄ng (cid:31)a thøc vi ph¥n

Gi£ thuy‚t Hayman n(cid:226)i r‹ng: Cho f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t tr¶n C v(cid:160)

n ≥ 1 l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n. Khi (cid:31)(cid:226), f nf (cid:48) nh“n mØi gi¡ tr(cid:224) hœu h⁄n kh¡c kh(cid:230)ng v(cid:230) sŁ

lƒn.

N«m 1959, Hayman [21] (cid:31)¢ chøng minh gi£ thuy‚t cho tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n ≥ 3. N«m

1979, Mues [42] (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra chøng minh gi£ thuy‚t tr¶n cho tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n = 2. (cid:30)‚n

n«m 1995, Bergweiler v(cid:160) Eremenko [10] v(cid:160) Chen v(cid:160) Fang [14] mºt c¡ch (cid:31)ºc l“p (cid:31)¢

(cid:31)(cid:247)a ra chøng minh cho tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n = 1. Sau (cid:31)(cid:226), v§n (cid:31)• n(cid:160)y ti‚p t(cid:246)c (cid:31)(cid:247)æc m(cid:240) rºng

cho c¡c (cid:31)⁄o h(cid:160)m c§p cao.

Trong phƒn n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i m(cid:240) rºng k‚t qu£ tr¶n cho mºt sŁ d⁄ng (cid:31)a thøc vi

ph¥n tŒng qu¡t h(cid:236)n. K‚t qu£ cıa ch(cid:243)ng t(cid:230)i nh(cid:247) sau.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.1. Cho k l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng v(cid:160) Q(z) l(cid:160) mºt (cid:31)a thøc b“c q trong C[z]. Gi£ sß l l(cid:160) sŁ kh(cid:230)ng (cid:31)i”m ph¥n bi»t cıa Q(z). Khi (cid:31)(cid:226), n‚u f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n

h…nh si¶u vi»t v(cid:160) q ≥ l + 1 th… [Q(f )](k) nh“n mØi gi¡ tr(cid:224) hœu h⁄n kh¡c kh(cid:230)ng v(cid:230) sŁ

lƒn.

Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n, (cid:31)” chøng minh (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) tr¶n ta cƒn sß d(cid:246)ng bŒ (cid:31)• sau.

(cid:1) + N(cid:0)r,

(cid:1) − N(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f )).

BŒ (cid:31)• 2.2.2 (Milloux, [22]). V(cid:238)i k ≥ 1, ta c(cid:226)

T (r, f ) ≤ N (r, f ) + N(cid:0)r, 1 f 1 f (k) − 1 1 f (k+1)

Chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.1. Gi£ sß a ∈ C, a (cid:54)= 0. Ch(cid:243)ng ta s‡ chøng minh [Q(f )](k)

nh“n gi¡ tr(cid:224) a v(cid:230) sŁ lƒn. Kh(cid:230)ng m§t t‰nh tŒng qu¡t, ta c(cid:226) th” gi£ sß r‹ng a = 1. (cid:129)p

2q , ta

d(cid:246)ng H» qu£ 1.2.4 cho h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t Q(f ), k ≥ 1, A = {0} v(cid:160) (cid:15) = 1

(cid:1) − N(cid:0)r,

(cid:1) ≤ N(cid:0)r,

(cid:1) +

c(cid:226)

(cid:1) +

kN (r, f ) + N(cid:0)r, T (r, Q(f )) 1 Q(f ) 1 Q(f )

T (r, f ) + O(1). ≤ N(cid:0)r, 1 2q 1 2 1 [Q(f )](k+1) 1 [Q(f )](k+1)

(cid:1)

(cid:1) − N(cid:0)r,

K‚t hæp b§t (cid:31)ﬂng thøc tr¶n v(cid:160) BŒ (cid:31)• 2.2.2, ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:1)

T (r, Q(f )) ≤ kN (r, f ) + N(cid:0)r, 1 Q(f )

− (k − 1)N (r, f ) + N(cid:0)r, 1 Q(f ) (cid:1) + N(cid:0)r, 1 [Q(f )](k) − 1

1 Q(f ) (cid:1) + o(T (r, f )) − N(cid:0)r,

(cid:1) +

l (cid:88)

≤ N(cid:0)r, T (r, f ) + o(T (r, f )) 1 [Q(f )](k+1) 1 (cid:1) + N(cid:0)r, Q(f ) 1 2 1 [Q(f )](k) − 1

(cid:1) + N(cid:0)r,

(cid:1) +

i=1 ≤ (cid:0)l +

(cid:1)T (r, f ) + N(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f )),

≤ N(cid:0)r, T (r, f ) + o(T (r, f )) 1 2 1 [Q(f )](k) − 1 1 f − αi

1 2 1 [Q(f )](k) − 1

trong (cid:31)(cid:226) α1, . . . , αl l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m ph¥n bi»t cıa Q(z).

(cid:1) + o(T (r, f )).

(cid:0)q − l −

(cid:1)T (r, f ) ≤ N(cid:0)r,

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra

1 2 1 [Q(f )](k) − 1

Do (cid:31)(cid:226), [Q(f )](k) = 1 c(cid:226) v(cid:230) sŁ nghi»m khi q ≥ l + 1. Nh(cid:247) v“y, [Q(f )](k) nh“n mØi

gi¡ tr(cid:224) hœu h⁄n kh¡c kh(cid:230)ng v(cid:230) sŁ lƒn.

Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (cid:31)(cid:176)c bi»t, khi x†t k = 1 v(cid:160) Q(z) = zn+1 ch(cid:243)ng ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc

Gi£ thuy‚t Hayman nh(cid:247) sau.

H» qu£ 2.2.3 (Gi£ thuy‚t Hayman [10, 21, 22, 42] ). N‚u f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh

si¶u vi»t v(cid:160) n ≥ 1 l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng th… f nf (cid:48) nh“n mØi gi¡ tr(cid:224) hœu h⁄n kh¡c

kh(cid:230)ng v(cid:230) sŁ lƒn.

Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp tŒng qu¡t h(cid:236)n, khi Q(z) = zn v(cid:160) k l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng

b§t k(cid:253), ch(cid:243)ng ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc k‚t qu£ sau (cid:31)¥y v(cid:238)i n ≥ 2 thay v… n > k nh(cid:247) trong (cid:30)(cid:224)nh

l(cid:254) 2 cıa [10].

H» qu£ 2.2.4 ([10]). N‚u f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t, n ≥ 2 v(cid:160) k l(cid:160) c¡c sŁ

nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng th… (f n)(k) nh“n mØi gi¡ tr(cid:224) hœu h⁄n kh¡c kh(cid:230)ng v(cid:230) sŁ lƒn.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.5. Cho P (z) v(cid:160) Q(z) l(cid:160) c¡c (cid:31)a thøc b“c p v(cid:160) q t(cid:247)(cid:236)ng øng, k ≥ 1 l(cid:160)

mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng. Gi£ sß l l(cid:160) sŁ kh(cid:230)ng (cid:31)i”m ph¥n bi»t cıa Q(z). Cho f l(cid:160) mºt

h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t. N‚u q ≥ (k + 1)p + l + 2 th… Q(f ) + P (f (k)) c(cid:226) v(cid:230) sŁ kh(cid:230)ng

(cid:31)i”m.

Chøng minh. (cid:30)(cid:176)t

(cid:17)

F := Q(f ) + P (f (k)), (2.3)

(cid:16) F (cid:48) F

. R(f ) := − , H(f ) := P (f (k)) − (2.4) [Q(f )](cid:48) Q(f ) F (cid:48) F [P (f (k))](cid:48) P (f (k))

Ta c(cid:226)

m(r, R(f )) = o(T (r, f )), (2.5)

Q(f )R(f ) = H(f ), (2.6)

v(cid:160)

T (r, F ) ≤ T (r, Q(f )) + T (r, P (f (k))) + o(T (r, f ))

= qT (r, f ) + pT (r, f (k)) + o(T (r, f ))

≤ (q + p(k + 1))T (r, f ) + o(T (r, f )).

Do (cid:31)(cid:226), o(T (r, F )) = o(T (r, f )).

N‚u R(f ) ≡ 0 th… tł (2.6) ta c(cid:226) H(f ) ≡ 0. Khi (cid:31)(cid:226), tł (2.3) v(cid:160) (2.4) suy ra

Q(f ) = (c − 1)P (f (k)), (2.7)

trong (cid:31)(cid:226) c (cid:54)= 0, 1 l(cid:160) mºt h‹ng sŁ. V… q ≥ (k + 1)p + l + 2 n¶n tł ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.7)

ta th§y h(cid:160)m f kh(cid:230)ng th” c(cid:226) c(cid:252)c (cid:31)i”m. M(cid:176)t kh¡c, ta c(cid:226)

qm(r, f ) = m(r, Q(f )) ≤ m(r, P (f (k))) + O(1) = pm(r, f (k)) + O(1)

(cid:1) + O(1)

≤ pm(r, f ) + pm(cid:0)r, f (k) f

= pm(r, f ) + o(T (r, f )).

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra

m(r, f ) = o(T (r, f )),

v(cid:160)

T (r, f ) = N (r, f ) + m(r, f ) = o(T (r, f )).

(cid:30)i•u n(cid:160)y m¥u thu¤n v(cid:238)i gi£ thi‚t f l(cid:160) h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t v(cid:160) do (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226)

R(f ) (cid:54)≡ 0. Tł c¡c t‰nh ch§t cıa h(cid:160)m x§p x¿ ta d„ d(cid:160)ng th§y r‹ng

(cid:1) + O(1)

(cid:1)(cid:17)

− m(r, H(f )) ≤ m(r, P (f (k))) + m(cid:0)r, F (cid:48) F

≤ pm(r, f (k)) + o(T (r, f )) ≤ p [P (f (k))](cid:48) P (f (k)) (cid:16) m(r, f ) + m(cid:0)r, + o(T (r, f )) f (k) f

= pm(r, f ) + o(T (r, f )).

(cid:1) + o(T (r, f ))

Tł (cid:31)(cid:226), ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc b§t (cid:31)ﬂng thøc sau

(cid:1) + o(T (r, f ))

qm(r, f ) = m(r, Q(f )) + o(T (r, f )) = m(cid:0)r, Q(f )R(f ) 1 R(f )

≤ m(r, Q(f )R(f )) + m(cid:0)r,

= m(r, H(f )) + m(cid:0)r, 1 R(f ) (cid:1) + o(T (r, f ))

(cid:1) + o(T (r, f )),

≤ pm(r, f ) + m(cid:0)r, 1 R(f ) 1 R(f )

do (cid:31)(cid:226), ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:1) + o(T (r, f )).

(q − p)m(r, f ) ≤ m(cid:0)r, (2.8) 1 R(f )

K‚t hæp (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø nh§t v(cid:160) (2.5), ta c(cid:226)

(cid:1) = T (r, R(f )) − N(cid:0)r,

(cid:1) + O(1)

m(cid:0)r, 1 R(f )

(cid:1) + o(T (r, f )).

= N (r, R(f )) − N(cid:0)r, (2.9) 1 R(f ) 1 R(f )

Tł (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a cıa R(f ), ta d„ d(cid:160)ng th§y r‹ng c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa R(f ) ch¿ c(cid:226)

th” x£y ra t⁄i c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa f , ho(cid:176)c t⁄i c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa Q(f ), ho(cid:176)c t⁄i c¡c

kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa F. Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng R(f ) ch¿ c(cid:226) th” c(cid:226) c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m (cid:31)(cid:236)n. B¥y gi(cid:237) ta gi£

sß z0 l(cid:160) mºt c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa f c§p s. Khi (cid:31)(cid:226), z0 l(cid:160) mºt c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa Q(f ) c§p qs v(cid:160)

l(cid:160) mºt c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa H(f ) c§p nhi•u nh§t l(cid:160) (s + k)p + 1. V… q ≥ (k + 1)p + l + 2

n¶n ta c(cid:226)

qs − (s + k)p − 1 = (q − p)s − kp − 1 > 0.

Nh(cid:247) v“y, tł (2.6) suy ra z0 ph£i l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa R(f ) v(cid:238)i c§p ‰t nh§t l(cid:160)

qs − ((s + k)p + 1) = (q − p)s − kp − 1.

l (cid:88)

(cid:1)

(cid:1) + N(cid:0)r,

(cid:1) ≤ N(cid:0)r,

(cid:1) +

Do (cid:31)(cid:226), ta (cid:31)(cid:247)æc

i=1

N(cid:0)r, N (r, R(f )) ≤ N(cid:0)r, 1 Q(f ) 1 F 1 F 1 f − αi

(cid:1) + lT (r, f ) + O(1),

≤ N(cid:0)r, (2.10) 1 F

trong (cid:31)(cid:226) α1, . . . , αl l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m ph¥n bi»t cıa Q(z), v(cid:160)

(cid:1) ≥ (q − p)N (r, f ) − (kp + 1)N (r, f ).

N(cid:0)r, (2.11) 1 R(f )

K‚t hæp c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc tł (2.8) (cid:31)‚n (2.11) v(cid:160) ¡p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø nh§t,

ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:1) + lT (r, f ) + (kp + 1)N (r, f ) + o(T (r, f ))

≤ N(cid:0)r,

(cid:1) + (l + kp + 1)T (r, f ) + o(T (r, f )).

≤ N(cid:0)r, (q − p)T (r, f ) = (q − p)N (r, f ) + (q − p)m(r, f ) 1 F 1 F

Do (cid:31)(cid:226),

(cid:1) + o(T (r, f )).

(q − (k + 1)p − l − 1)T (r, f ) ≤ N(cid:0)r, 1 F

Nh(cid:247) v“y, khi q ≥ (k + 1)p + l + 2 ta c(cid:226) F = Q(f ) + P (f (k)) nh“n mØi gi¡ tr(cid:224) hœu

h⁄n v(cid:230) sŁ lƒn.

Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (cid:31)(cid:176)c bi»t khi x†t P (z) = z v(cid:160) Q(z) = −azn +b trong (cid:31)(cid:226) a (cid:54)= 0, b

l(cid:160) c¡c h‹ng sŁ, ch(cid:243)ng ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc k‚t qu£ cıa Hayman nh(cid:247) mºt tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (cid:31)(cid:176)c

bi»t cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.5 (cid:240) tr¶n.

H» qu£ 2.2.6 ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 9, [21]). N‚u f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t, n ≥ 5 v(cid:160)

a (cid:54)= 0 th… φ = f (cid:48)(z) − af (z)n nh“n mØi gi¡ tr(cid:224) hœu h⁄n v(cid:230) sŁ lƒn.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.7. Cho f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t v(cid:160) k l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng.

Cho

Φ = Q0(f )Q1(f (cid:48)) . . . Qk(f (k))

(cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a nh(cid:247) trong (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.2.1. Gi£ sß mºt trong c¡c (cid:31)i•u ki»n sau (cid:31)(cid:247)æc

th(cid:228)a m¢n

i) k ≥ 1 v(cid:160) Q0 c(cid:226) kh(cid:230)ng (cid:31)i”m bºi ‰t nh§t 3 ho(cid:176)c c(cid:226) hai kh(cid:230)ng (cid:31)i”m ph¥n bi»t bºi

‰t nh§t 2.

ii) k ≥ 2, Q0 c(cid:226) ‰t nh§t mºt kh(cid:230)ng (cid:31)i”m bºi v(cid:160) t(cid:231)n t⁄i ν ∈ {2, ..., k} sao cho

Qν(z) c(cid:226) ‰t nh§t mºt kh(cid:230)ng (cid:31)i”m bºi.

Khi (cid:31)(cid:226), Φ nh“n mØi gi¡ tr(cid:224) hœu h⁄n kh¡c kh(cid:230)ng v(cid:230) sŁ lƒn.

Cho f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh trong m(cid:176)t phﬂng phøc C, k, n l(cid:160) c¡c sŁ nguy¶n

j=0 nj l(cid:160) b“c cıa M [f ]. Cho Mj[f ] l(cid:160) (cid:31)(cid:236)n thøc vi ph¥n cıa f b“c γMj v(cid:160) aj(z) l(cid:160) c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh nh(cid:228) so v(cid:238)i f v(cid:238)i j = 1, . . . , n,

d(cid:247)(cid:236)ng v(cid:160) n0, n1, . . . , nk l(cid:160) c¡c sŁ nguy¶n kh(cid:230)ng ¥m. Ta g(cid:229)i M [f ] = f n0(f (cid:48))n1 . . . (f (k))nk l(cid:160) (cid:31)(cid:236)n thøc vi ph¥n cıa f, v(cid:160) γM = (cid:80)k

n (cid:88)

ta (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a:

j=1

P [f ] = ajMj[f ]

l(cid:160) mºt (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa f c(cid:226) b“c l(cid:160) γP = max1≤j≤n{γMj }, v(cid:238)i c¡c h» sŁ aj(z).

N‚u c¡c h» sŁ aj(z) ch¿ th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n m(r, aj) = o(T (r, f )) th… P [f ] (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i

l(cid:160) (cid:31)a thøc t(cid:252)a vi ph¥n cıa f.

Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n, (cid:31)” chøng minh (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) tr¶n ch(cid:243)ng ta cƒn sß d(cid:246)ng c¡c bŒ (cid:31)• sau.

BŒ (cid:31)• 2.2.8 (BŒ (cid:31)• 2, [15]). Cho f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng v(cid:160) P1[f ], P2[f ]

l(cid:160) c¡c (cid:31)a thøc t(cid:252)a vi ph¥n cıa f th(cid:228)a m¢n P2[f ] (cid:54)≡ 0. Cho Q l(cid:160) mºt (cid:31)a thøc kh¡c

h‹ng b“c q th(cid:228)a m¢n Q(f )P1[f ] = P2[f ]. N‚u γP2 ≤ q th…

m(r, P1[f ]) = o(T (r, f )).

BŒ (cid:31)• 2.2.9. Cho f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t v(cid:160) k l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng.

(cid:30)(cid:176)t

Φ := Q0(f )Q1(f (cid:48)) . . . Qk(f (k))

(cid:1) + o(T (r, f )).

(cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a nh(cid:247) trong (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.2.1. Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

(q0 − h0 − 1)T (r, f ) ≤ N(cid:0)r, 1 Φ − 1

Chøng minh. (cid:30)(cid:176)t P [f ] = Q1(f (cid:48)) . . . Qk(f (k)). Khi (cid:31)(cid:226), Φ = Q0(f )P [f ]. Ta c(cid:226)

Φ(cid:48) = [Q0(f )](cid:48)P [f ] + Q0(f )P (cid:48)[f ],

dw . Do (cid:31)(cid:226), ta (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)ﬂng thøc sau

trong (cid:31)(cid:226) P (cid:48)[w] = dP [w]

[Q0(f )](cid:48)P [f ] + Q0(f )P (cid:48)[f ] = (Q0(f )P [f ] − 1). Φ(cid:48) Φ − 1

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra

, (2.12) Q0(f )G[f ] = − Φ(cid:48) Φ − 1

(cid:19)

trong (cid:31)(cid:226)

(cid:18)[Q0(f )](cid:48) Q0(f )

G[f ] := − P [f ] + P (cid:48)[f ]. (2.13) Φ(cid:48) Φ − 1

B¥y gi(cid:237), ta chøng minh r‹ng G[f ] (cid:54)≡ 0. Th“t v“y, gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i G[f ] ≡ 0. Khi

Φ−1 ≡ 0, tł (cid:31)(cid:226) suy ra Φ ≡ C v(cid:238)i C l(cid:160) mºt h‹ng sŁ. Do (cid:31)(cid:226),

(cid:31)(cid:226), tł (2.12) ta c(cid:226) Φ(cid:48)

(2.14) Q0(f )P [f ] ≡ C.

(cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.2.8 cho (cid:31)ﬂng thøc (2.14), ta (cid:31)(cid:247)æc m(r, P [f ]) = o(T (r, f )). Khi (cid:31)(cid:226),

(cid:1) + O(1)

tł (2.14) v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø nh§t ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:1) + O(1)

m(r, Q0(f )) ≤ m(cid:0)r, 1 P [f ]

= N (r, P [f ]) + m(r, P [f ]) − N(cid:0)r,

1 P [f ] (cid:1) + o(T (r, f )) = N (r, P [f ]) − N(cid:0)r,

1 P [f ] ≤ N (r, P [f ]) + o(T (r, f )). (2.15)

Hi”n nhi¶n c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa P [f ] ch¿ c(cid:226) th” x£y ra t⁄i c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa f. M(cid:176)t

kh¡c, c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa f c(cid:244)ng l(cid:160) c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa Q0(f ) v(cid:160) do (cid:31)(cid:226) ph£i l(cid:160) c(cid:252)c (cid:31)i”m

cıa (cid:31)a thøc vi ph¥n (cid:240) v‚ tr¡i cıa (cid:31)ﬂng thøc (2.14). Tuy nhi¶n, (cid:31)i•u n(cid:160)y l(cid:160) kh(cid:230)ng

th” x£y ra v… v‚ ph£i cıa (2.14) l(cid:160) h‹ng sŁ n¶n kh(cid:230)ng c(cid:226) c(cid:252)c (cid:31)i”m. V… v“y, f kh(cid:230)ng

th” c(cid:226) c(cid:252)c (cid:31)i”m v(cid:160) do (cid:31)(cid:226) P [f ] c(cid:244)ng kh(cid:230)ng c(cid:226) c(cid:252)c (cid:31)i”m. Tł (cid:31)(cid:226) suy ra

q0T (r, f ) = T (r, Q0(f )) + O(1) = m(r, Q0(f )) + N (r, Q0(f )) + O(1)

≤ N (r, P [f ]) + q0N (r, f ) + o(T (r, f )) = o(T (r, f )).

(cid:30)i•u n(cid:160)y m¥u thu¤n v(cid:238)i gi£ thi‚t f l(cid:160) h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t. V… v“y, G[f ] (cid:54)≡ 0.

(cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.2.8 cho (cid:31)ﬂng thøc (2.12), ta (cid:31)(cid:247)æc m(r, G[f ]) = o(T (r, f )). Do

(cid:1) + m(cid:0)r,

(cid:1) + O(1)

(cid:31)(cid:226), tł (2.12) v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø nh§t suy ra

m(r, Q0(f )) ≤ m(cid:0)r, Φ(cid:48) Φ − 1 1 G[f ]

(cid:1) + o(T (r, Φ))

= N (r, G[f ]) + m(r, G[f ]) − N(cid:0)r,

= N (r, G[f ]) − N(cid:0)r, 1 G[f ] (cid:1) + o(T (r, f )). (2.16) 1 G[f ]

Tł (2.13)ta th§y c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa G[f ] ch¿ c(cid:226) th” x£y ra t⁄i c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa

Q0(f ), c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m Φ − 1 v(cid:160) c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa f. M(cid:176)t kh¡c, n‚u z0 l(cid:160) mºt c(cid:252)c

(cid:31)i”m cıa f c§p s ≥ 1, th… z0 ph£i l(cid:160) c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa Q0(f ) c§p q0s. Do (cid:31)(cid:226), tł (2.12)

suy ra z0 ph£i l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa G[f ] c§p q0s − 1. Tł (2.13) ta th§y G[f ] ch¿

(cid:1) + N(cid:0)r,

(cid:1) − q0N (r, f ) + N (r, f ) + o(T (r, f ))

c(cid:226) c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m (cid:31)(cid:236)n. Tł nh“n x†t tr¶n v(cid:160) (2.16), suy ra

h0(cid:88)

m(r, Q0(f )) ≤ N(cid:0)r, 1 Φ − 1 1 Q0(f )

(cid:1) + N(cid:0)r,

(cid:1) − q0N (r, f )

j=1

≤ N(cid:0)r, 1 Φ − 1 1 f − β0j

+ N (r, f ) + o(T (r, f )).

Do (cid:31)(cid:226), ta (cid:31)(cid:247)æc

h0(cid:88)

q0T (r, f ) = T (r, Q0(f )) + O(1) = m(r, Q0(f )) + q0N (r, f ) + O(1)

(cid:1) + N (r, f ) + o(T (r, f ))

(cid:1) + N(cid:0)r,

j=1

(cid:1) + o(T (r, f )).

N(cid:0)r, ≤ 1 Φ − 1 1 f − β0j

≤ (h0 + 1)T (r, f ) + N(cid:0)r, 1 Φ − 1

(cid:1) + o(T (r, f )).

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra

(q0 − h0 − 1)T (r, f ) ≤ N(cid:0)r, 1 Φ − 1

Nh(cid:247) v“y, BŒ (cid:31)• 2.2.9 (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

BŒ (cid:31)• 2.2.10. Cho f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t v(cid:160) k l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng.

Cho

Φ = Q0(f )Q1(f (cid:48)) . . . Qk(f (k))

(cid:1) + N(cid:0)r,

(cid:1) − N(cid:0)r,

(cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a nh(cid:247) trong (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.2.1. Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

q0T (r, f ) ≤ N (r, f ) + N(cid:0)r, 1 Φ − 1 1 Φ(cid:48) ) + o(T (r, f )). 1 Q0(f )

hi(cid:89)

(cid:1)qij

Chøng minh. (cid:30)(cid:176)t

(cid:0)f − βij

j=1

Ui(f ) := ci zi i!

j=1 qij = qi, v(cid:238)i i = 1, 2, . . . , k, v(cid:160)

v(cid:238)i ci ∈ C∗ v(cid:160) (cid:80)hi

U (f ) := Q0(f )U1(f ) . . . Uk(f ).

Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226) U (f ) l(cid:160) mºt (cid:31)a thøc cıa f b“c q = q0 + q1 + · · · + qk v(cid:238)i h» sŁ l(cid:160) c¡c

h(cid:160)m nh(cid:228) so v(cid:238)i f. (cid:129)p d(cid:246)ng c¡c t‰nh ch§t cıa h(cid:160)m x§p x¿ v(cid:160) BŒ (cid:31)• (cid:31)⁄o h(cid:160)m logarit

hi(cid:88)

ta c(cid:226)

(cid:1) ≤

(cid:1) + O(1) = o(T (r, f )),

j=1

m(cid:0)r, qijm(cid:0)r, Qi(f (i)) Ui(f ) f (i) − βij zi f − βij i!

v(cid:238)i m(cid:229)i i = 1, 2, . . . , k. Do (cid:31)(cid:226), ti‚p t(cid:246)c ¡p d(cid:246)ng c¡c t‰nh ch§t cıa h(cid:160)m x§p x¿, ta

k (cid:88)

(cid:31)(cid:247)æc

(cid:1) ≤

(cid:1) + O(1) = o(T (r, f )).

i=1

m(cid:0)r, m(cid:0)r, (2.17) Φ U (f ) Qi(f (i)) Ui(f )

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra

(cid:1) = m(cid:0)r,

(cid:1) ≤ m(cid:0)r,

(cid:1) + m(cid:0)r,

(cid:1) + O(1)

m(cid:0)r, · 1 U (f ) 1 Φ Φ U (f )

≤ m(cid:0)r, 1 Φ (cid:1) + o(T (r, f )). (2.18) Φ U (f ) 1 Φ

M(cid:176)t kh¡c, ¡p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø hai cho h(cid:160)m Φ v(cid:160) c¡c gi¡ tr(cid:224) 0, 1, ∞, ta

(cid:31)(cid:247)æc

(cid:1) − N(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f ))

(cid:1) + N(cid:0)r,

(cid:1) − N(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f )).

T (r, Φ) ≤ N (r, Φ) + N(cid:0)r,

≤ N (r, f ) + N(cid:0)r, (2.19) 1 Φ 1 (cid:1) + N(cid:0)r, Φ 1 Φ − 1 1 Φ − 1 1 Φ(cid:48) 1 Φ(cid:48)

Tł (2.19) v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø nh§t ta c(cid:226)

(cid:1) = T (r, Φ) − N(cid:0)r,

m(cid:0)r, 1 Φ 1 Φ

(cid:1) − N(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f )).

(cid:1) + O(1) 1 Φ − 1

≤ N (r, f ) + N(cid:0)r, (2.20) 1 Φ(cid:48)

K‚t hæp c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc (2.18) v(cid:160) (2.20), ta suy ra b§t (cid:31)ﬂng thøc sau

(cid:1) ≤ N (r, f ) + N(cid:0)r,

(cid:1) − N(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f )).

m(cid:0)r, (2.21) 1 U (f ) 1 Φ − 1 1 Φ(cid:48)

(cid:1) + N(cid:0)r,

(cid:1) + O(1)

(cid:129)p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø nh§t v(cid:160) BŒ (cid:31)• 1.1.9, ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:1) + N(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f ))

qT (r, f ) = T (r, U (f )) + O(1) = m(cid:0)r,

k (cid:88)

(cid:1)

1 U (f ) (cid:1) − N(cid:0)r, ≤ N (r, f ) + N(cid:0)r, 1 Φ − 1 1 Φ(cid:48) 1 U (f ) 1 U (f )

(cid:1) +

(cid:1) + N(cid:0)r,

i=1

≤ N (r, f ) + N(cid:0)r, N(cid:0)r, 1 Φ − 1 1 Q0(f ) 1 Ui(f )

(cid:1) + o(T (r, f ))

k (cid:88)

(cid:1)

(cid:1) +

− N(cid:0)r, 1 Φ(cid:48)

i=1

(cid:1) + o(T (r, f )).

≤ N (r, f ) + N(cid:0)r, qiT (r, f ) + N(cid:0)r, 1 Φ − 1 1 Q0(f )

− N(cid:0)r, 1 Φ(cid:48)

(cid:1) + N(cid:0)r,

(cid:1) − N(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f )).

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra b§t (cid:31)ﬂng thøc sau

q0T (r, f ) ≤ N (r, f ) + N(cid:0)r, 1 Φ − 1 1 Φ(cid:48) 1 Q0(f )

Ch(cid:243)ng ta ho(cid:160)n th(cid:160)nh chøng minh cıa BŒ (cid:31)• 2.2.10.

Chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.7. Gi£ sß a (cid:54)= 0 l(cid:160) mºt sŁ phøc b§t k(cid:253). Ch(cid:243)ng ta s‡ chøng

minh Φ nh“n gi¡ tr(cid:224) a v(cid:230) sŁ lƒn. Th“t v“y, gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i Φ − a c(cid:226) hœu h⁄n kh(cid:230)ng

(cid:1) = O(log r).

(cid:31)i”m. Kh(cid:230)ng m§t t‰nh tŒng qu¡t, ta gi£ sß r‹ng a = 1. Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

N(cid:0)r, (2.22) 1 Φ − 1

N‚u (cid:31)i•u ki»n i) th(cid:228)a m¢n th… q0 ≥ h0 + 2. Do (cid:31)(cid:226), k‚t hæp (2.22) v(cid:160) BŒ (cid:31)• 2.2.9,

(cid:1) + o(T (r, f ))

ta (cid:31)(cid:247)æc

(q0 − h0 − 1)T (r, f ) ≤ N(cid:0)r, 1 Φ − 1

= O(log r) + oT ((r, f )) = o(T (r, f )).

B§t (cid:31)ﬂng thøc n(cid:160)y m¥u thu¤n v(cid:238)i gi£ thi‚t f l(cid:160) h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t.

N‚u (cid:31)i•u ki»n ii) th(cid:228)a m¢n th… Q0(z) c(cid:226) ‰t nh§t mºt kh(cid:230)ng (cid:31)i”m, gi£ sß l(cid:160)

z = β01, bºi l(cid:238)n h(cid:236)n 1, v(cid:160) t(cid:231)n t⁄i ν ∈ {2, . . . , k} sao cho Qν(z) c(cid:226) ‰t nh§t mºt kh(cid:230)ng

(cid:31)i”m, gi£ sß l(cid:160) z = βν1, bºi l(cid:238)n h(cid:236)n 1. Khi (cid:31)(cid:226), Φ(cid:48) chia h‚t cho f − β01 v(cid:160) f (ν) − βν1.

(cid:1) + N(cid:0)r,

(cid:1) ≤ N(cid:0)r,

(cid:1).

Do (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

N(cid:0)r, (2.23) 1 Φ(cid:48) 1 f − β01 1 f (ν) − βν1

2, ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:129)p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.2.1 cho (cid:31)a thøc vi ph¥n f (ν) − βν1, t“p A = ∅ v(cid:160) (cid:15) = 1

(cid:1) +

(ν − 1)N (r, f ) ≤ N(cid:0)r, T (r, f ), (2.24) 1 2 1 f (ν) − βν1

v(cid:238)i m(cid:229)i r > e n‹m ngo(cid:160)i mºt t“p E c(cid:226) m“t (cid:31)º logarit b‹ng kh(cid:230)ng. K‚t hæp c¡c b§t

(cid:31)ﬂng thøc (2.23) v(cid:160) (2.24), ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:1) −

(cid:1),

(ν − 1)N (r, f ) + N(cid:0)r, T (r, f ) ≤ N(cid:0)r, (2.25) 1 2 1 Φ(cid:48) 1 f − β01

v(cid:238)i m(cid:229)i r > e n‹m ngo(cid:160)i mºt t“p E c(cid:226) m“t (cid:31)º logarit b‹ng kh(cid:230)ng. K‚t hæp (2.22),

(cid:1) + N(cid:0)r,

(cid:1) − N(cid:0)r,

(2.25) v(cid:160) BŒ (cid:31)• 2.2.10, ta c(cid:226)

h0(cid:88)

(cid:1)

q0T (r, f ) ≤ N (r, f ) + N(cid:0)r, 1 Φ − 1 1 Φ(cid:48) ) + o(T (r, f )) 1 Q0(f )

(cid:1) − (ν − 1)N (r, f ) − N(cid:0)r,

j=1

≤ N (r, f ) + q0jN(cid:0)r, 1 f − β01 1 f − β0j

T (r, f ) + O(log r) + o(T (r, f )) + 1 2

h0(cid:88)

(cid:1) +

j=2

T (r, f ) + o(T (r, f )) ≤ (q01 − 1)N(cid:0)r, q0jN(cid:0)r, 1 2 1 f − β01 1 f − β0j

)T (r, f ) + o(T (r, f )). ≤ (q0 − 1 2

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra

T (r, f ) ≤ o(T (r, f )). 1 2

B§t (cid:31)ﬂng thøc n(cid:160)y d¤n (cid:31)‚n m¥u thu¤n v(cid:238)i gi£ thi‚t f l(cid:160) h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t.

Do (cid:31)(cid:226), Φ − 1 c(cid:226) v(cid:230) sŁ kh(cid:230)ng (cid:31)i”m. Nh(cid:247) v“y, chøng t(cid:228) Φ nh“n mØi gi¡ tr(cid:224) hœu

h⁄n kh¡c kh(cid:230)ng v(cid:230) sŁ lƒn.

Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (cid:31)(cid:176)c bi»t, khi x†t c¡c (cid:31)(cid:236)n thøc vi ph¥n c(cid:226) d⁄ng f l(f (k))n, ch(cid:243)ng

t(cid:230)i thu l⁄i k‚t qu£ cıa Jiang v(cid:160) Huang [24] nh(cid:247) sau.

H» qu£ 2.2.11 ([24]). Cho f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t trong m(cid:176)t phﬂng phøc C v(cid:160) k, l, n l(cid:160) c¡c sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng l(cid:238)n h(cid:236)n ho(cid:176)c b‹ng 2. Khi (cid:31)(cid:226), f l(f (k))n nh“n mØi

gi¡ tr(cid:224) hœu h⁄n kh¡c kh(cid:230)ng v(cid:230) sŁ lƒn.

2.3 K‚t lu“n

Phƒn thø nh§t cıa ch(cid:247)(cid:236)ng nghi¶n cøu v• quan h» sŁ khuy‚t cıa (cid:31)a thøc vi ph¥n

cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh. B‹ng vi»c sß d(cid:246)ng k‚t qu£ cıa Ch(cid:247)(cid:236)ng 1, ch(cid:243)ng t(cid:230)i (cid:31)¢ chøng

minh (cid:31)(cid:247)æc r‹ng tŒng t§t c£ c¡c sŁ khuy‚t cıa mºt (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa h(cid:160)m ph¥n

h…nh b(cid:224) ch(cid:176)n tr¶n b(cid:240)i gi¡ tr(cid:224) 1 (xem (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1.1). K‚t qu£ n(cid:160)y cho ta mºt tŒng

qu¡t h(cid:226)a cıa Gi£ thuy‚t Mues m(cid:160) (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc chøng minh ho(cid:160)n to(cid:160)n b(cid:240)i Yamanoi.

Phƒn thø hai cıa ch(cid:247)(cid:236)ng nghi¶n cøu ph¥n bŁ gi¡ tr(cid:224) cıa c¡c (cid:31)a thøc vi ph¥n.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.1 (cid:31)(cid:247)a ra (cid:31)i•u ki»n v• b“c cıa (cid:31)a thøc v(cid:160) sŁ nghi»m ph¥n bi»t cıa (cid:31)a

thøc (cid:31)(cid:226) (cid:31)” khﬂng (cid:31)(cid:224)nh r‹ng (cid:31)a thøc vi ph¥n c(cid:226) d⁄ng [Q(f )](k) nh“n mØi gi¡ tr(cid:224) hœu

h⁄n kh¡c kh(cid:230)ng v(cid:230) sŁ lƒn. (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.5 (cid:31)(cid:247)a ra (cid:31)i•u ki»n v• b“c cıa c¡c (cid:31)a thøc, sŁ

nghi»m ph¥n bi»t cıa c¡c (cid:31)a thøc (cid:31)(cid:226) v(cid:160) c§p cıa (cid:31)⁄o h(cid:160)m (cid:31)” khﬂng (cid:31)(cid:224)nh r‹ng (cid:31)a

thøc vi ph¥n c(cid:226) d⁄ng P (f ) + Q(f (k)) c(cid:226) v(cid:230) sŁ kh(cid:230)ng (cid:31)i”m. CuŁi c(cid:242)ng, v(cid:238)i c¡c (cid:31)i•u

ki»n th‰ch hæp v• b“c v(cid:160) sŁ kh(cid:230)ng (cid:31)i”m bºi cıa c¡c (cid:31)a thøc, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.7 khﬂng

(cid:31)(cid:224)nh r‹ng (cid:31)a thøc vi ph¥n c(cid:226) d⁄ng Φ = Q0(f )Q1(f (cid:48)) . . . Qk(f (k)) nh“n mØi gi¡ tr(cid:224)

hœu h⁄n kh¡c kh(cid:230)ng v(cid:230) sŁ lƒn. C¡c k‚t qu£ n(cid:160)y cho ch(cid:243)ng ta c¡c m(cid:240) rºng cıa c¡c

gi£ thuy‚t (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t ra b(cid:240)i Hayman m(cid:160) (cid:31)‚n nay (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc chøng minh ho(cid:160)n to(cid:160)n cho

tr(cid:247)(cid:237)ng hæp c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 3

T‰nh duy nh§t cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp c¡c (cid:31)a thøc vi ph¥n chung mºt h(cid:160)m nh(cid:228)

T(cid:247)(cid:236)ng øng v(cid:238)i c¡c k‚t qu£ v• ph¥n bŁ gi¡ tr(cid:224) cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh, ch(cid:243)ng ta c(cid:226)

th” thu (cid:31)(cid:247)æc c¡c k‚t qu£ v• s(cid:252) x¡c (cid:31)(cid:224)nh duy nh§t cıa c¡c h(cid:160)m th(cid:230)ng qua £nh ng(cid:247)æc

cıa c¡c h(cid:160)m (cid:31)(cid:226). Trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i tr…nh b(cid:160)y c¡c k‚t qu£ v• t‰nh duy nh§t

cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh khi c¡c (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh (cid:31)(cid:226) chung

mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh nh(cid:228). — (cid:31)¥y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i x†t c¡c (cid:31)a thøc vi ph¥n (cid:240) d⁄ng tŒng qu¡t

h(cid:236)n so v(cid:238)i c¡c k‚t qu£ (cid:31)¢ bi‚t tr(cid:247)(cid:238)c (cid:31)(cid:226) v(cid:160) (cid:31)(cid:231)ng th(cid:237)i c(cid:244)ng kh(cid:230)ng cƒn (cid:31)(cid:176)t ra c¡c h⁄n

ch‚ th¶m v• c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh nh(cid:228). Nºi dung cıa ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc x¥y d(cid:252)ng d(cid:252)a

v(cid:160)o c¡c b(cid:160)i b¡o [6, 8, 28].

Phƒn (cid:31)ƒu cıa ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i nghi¶n cøu v§n (cid:31)• c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh chung

mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh nh(cid:228). (cid:30)(cid:231)ng th(cid:237)i, v§n (cid:31)• n(cid:160)y c(cid:244)ng l(cid:160) ch…a kh(cid:226)a quan tr(cid:229)ng trong

chøng minh c¡c k‚t qu£ (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y (cid:240) phƒn sau cıa ch(cid:247)(cid:236)ng.

3.1 C¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh chung mºt h(cid:160)m nh(cid:228)

Ta nh›c l⁄i, cho f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng tr¶n C. Mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh

α (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) mºt h(cid:160)m nh(cid:228) so v(cid:238)i f n‚u th(cid:228)a m¢n T (r, α) = o(T (r, f )) khi r → +∞

c(cid:226) th” trł ra mºt t“p c(cid:226) (cid:31)º (cid:31)o hœu h⁄n.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 3.1.1. Hai h(cid:160)m ph¥n h…nh f v(cid:160) g tr¶n C (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) chung mºt h(cid:160)m

α t‰nh c£ bºi n‚u f − α v(cid:160) g − α c(cid:226) chung c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m v(cid:238)i c(cid:242)ng sŁ bºi.

Hai h(cid:160)m ph¥n h…nh f v(cid:160) g tr¶n C (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) chung mºt h(cid:160)m α kh(cid:230)ng t‰nh bºi

n‚u f − α v(cid:160) g − α c(cid:226) chung c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m.

Cho f, g v(cid:160) α l(cid:160) c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh tr¶n C, p l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng. Ta k‰

hi»u:

Np)(r, f ) l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)‚m c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa f c(cid:226) bºi nhi•u nh§t b‹ng p, trong (cid:31)(cid:226) mØi

c(cid:252)c (cid:31)i”m (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)‚m v(cid:238)i sŁ lƒn b‹ng bºi cıa n(cid:226), N(p(r, f ) l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)‚m c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m

cıa f c(cid:226) bºi ‰t nh§t b‹ng p, trong (cid:31)(cid:226) mØi c(cid:252)c (cid:31)i”m (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)‚m v(cid:238)i sŁ lƒn b‹ng bºi

cıa n(cid:226), N p)(r, f ) v(cid:160) N (p(r, f ) l(cid:160) c¡c h(cid:160)m (cid:31)‚m kh(cid:230)ng t‰nh bºi t(cid:247)(cid:236)ng øng v(cid:160) Np(r, f )

l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)‚m c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m bºi ch(cid:176)n c§p p cıa f, trong (cid:31)(cid:226) mºt c(cid:252)c (cid:31)i”m bºi m (cid:31)(cid:247)æc

(cid:0)r,

(cid:31)‚m m lƒn n‚u m ≤ p v(cid:160) p lƒn n‚u m > p.

1 f −α

(cid:0)r,

(cid:1) l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)‚m c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa f − α c(cid:226) bºi nhi•u nh§t b‹ng p, (cid:1) l(cid:160) h(cid:160)m

Np)

1 f −α

(cid:0)r,

trong (cid:31)(cid:226) mØi kh(cid:230)ng (cid:31)i”m (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)‚m v(cid:238)i sŁ lƒn b‹ng bºi cıa n(cid:226), N(p

(cid:1) v(cid:160) N (p

1 f −α

(cid:0)r,

(cid:31)‚m v(cid:238)i sŁ lƒn b‹ng bºi cıa n(cid:226), N p)

1 f −α

(cid:31)‚m c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa f − α c(cid:226) bºi ‰t nh§t b‹ng p, trong (cid:31)(cid:226) mØi kh(cid:230)ng (cid:31)i”m (cid:31)(cid:247)æc (cid:1) l(cid:160) c¡c h(cid:160)m (cid:31)‚m kh(cid:230)ng (cid:1) l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)‚m c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m bºi ch(cid:176)n c§p p cıa t‰nh bºi t(cid:247)(cid:236)ng øng v(cid:160) Np

f − α, trong (cid:31)(cid:226) mºt kh(cid:230)ng (cid:31)i”m bºi m (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)‚m m lƒn n‚u m ≤ p v(cid:160) p lƒn n‚u

(cid:0)r,

m > p.

(cid:0)r,

N1)

(cid:0)r,

(cid:31)i”m cıa α, N1)

f −α |α = 0(cid:1) l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)‚m c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m (cid:31)(cid:236)n cıa f − α m(cid:160) c(cid:244)ng l(cid:160) kh(cid:230)ng f −α |α = ∞(cid:1) l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)‚m c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m (cid:31)(cid:236)n cıa f − α m(cid:160) f −α |α (cid:54)= 0, α (cid:54)= ∞(cid:1) l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)‚m c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m

c(cid:244)ng l(cid:160) c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa α v(cid:160) N1)

(cid:0)r,

(cid:1) l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)‚m c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m chung kh(cid:230)ng t‰nh bºi cıa f − α v(cid:160)

(cid:31)(cid:236)n cıa f − α nh(cid:247)ng kh(cid:230)ng ph£i l(cid:160) kh(cid:230)ng (cid:31)i”m v(cid:160) c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa α.

1 f −α

(cid:0)r,

1 f −α

(cid:0)r,

N L

(2 E

1 f −α

g − α, trong (cid:31)(cid:226) sŁ bºi cıa kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa f − α l(cid:238)n h(cid:236)n sŁ bºi cıa kh(cid:230)ng (cid:31)i”m (cid:1) l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)‚m c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m (cid:31)(cid:236)n chung cıa f − α v(cid:160) g − α, cıa g − α, N 1) E f −α |α = 0(cid:1) l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)‚m c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m (cid:31)(cid:236)n chung cıa f − α v(cid:160) g − α m(cid:160) N 1) E f −α |α = ∞(cid:1) l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)‚m c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m (cid:31)(cid:236)n c(cid:244)ng l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa α, N 1) E f −α |α (cid:54)= 0; α (cid:54)= ∞(cid:1) (cid:0)r, chung cıa f − α v(cid:160) g − α m(cid:160) c(cid:244)ng l(cid:160) c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa α, N 1) E l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)‚m c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m (cid:31)(cid:236)n chung cıa f − α v(cid:160) g − α m(cid:160) kh(cid:230)ng ph£i l(cid:160) c¡c (cid:1) l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)‚m kh(cid:230)ng t‰nh bºi cıa c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m v(cid:160) c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa α v(cid:160) N

kh(cid:230)ng (cid:31)i”m chung v(cid:160) l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m bºi cıa f − α v(cid:160) g − α v(cid:238)i sŁ bºi b‹ng

nhau. T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252), ta c(cid:244)ng c(cid:226) c¡c k‰ hi»u t(cid:247)(cid:236)ng øng cho h(cid:160)m g.

Trong phƒn n(cid:160)y ch(cid:243)ng t(cid:230)i (cid:31)(cid:247)a ra (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh khi ch(cid:243)ng

chung mºt h(cid:160)m nh(cid:228). (cid:30)(cid:176)c tr(cid:247)ng n(cid:160)y (cid:31)(cid:226)ng vai trÆ quan tr(cid:229)ng trong chøng minh b(cid:160)i

to¡n v• t‰nh duy nh§t cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh khi c¡c (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa c¡c h(cid:160)m

ph¥n h…nh (cid:31)(cid:226) chung mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh nh(cid:228). Tr(cid:247)(cid:238)c h‚t, ch(cid:243)ng t(cid:230)i x†t c¡c (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng

(cid:31)(cid:226) trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh chung mºt h(cid:160)m nh(cid:228) t‰nh c£ bºi.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.2. Gi£ sß f v(cid:160) g l(cid:160) c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng v(cid:160) α l(cid:160) mºt h(cid:160)m

ph¥n h…nh kh¡c kh(cid:230)ng nh(cid:228) so v(cid:238)i f v(cid:160) g. N‚u f v(cid:160) g chung α t‰nh c£ bºi th… mºt

trong c¡c tr(cid:247)(cid:237)ng hæp sau l(cid:160) (cid:31)(cid:243)ng

f ) + N2(r, 1

g ) + o(T (r, f )) + o(T (r, g)), v(cid:160)

(i) T (r, f ) ≤ N2(r, f ) + N2(r, g) + N2(r, 1

b§t (cid:31)ﬂng thøc t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i T (r, g); ho(cid:176)c

(ii) f ≡ g; ho(cid:176)c

(iii) f g ≡ α2.

(cid:30)” chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.2 ch(cid:243)ng ta cƒn sß d(cid:246)ng bŒ (cid:31)• sau (cid:31)¥y.

BŒ (cid:31)• 3.1.3 ([39]). Cho f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng, p v(cid:160) k l(cid:160) hai sŁ nguy¶n

(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f )),

d(cid:247)(cid:236)ng. Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

(cid:1) ≤ T (r, f (k)) − T (r, f ) + Np+k

(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f )).

Np 1 f

(cid:1) ≤ kN (r, f ) + Np+k

Np 1 f 1 f (k) 1 f (k)

(cid:1) + o(T (r, f )).

H(cid:236)n nœa, n‚u f (k) (cid:54)≡ 0 th…

(cid:1) ≤ kN (r, f ) + N(cid:0)r,

N(cid:0)r, 1 f 1 f (k)

Chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.2. (cid:30)(cid:176)t

F := , G := , (3.1) g α f α

v(cid:160)

− . H := (3.2) F (cid:48)(cid:48) F (cid:48) − 2 F (cid:48) F − 1 G(cid:48)(cid:48) G(cid:48) + 2 G(cid:48) G − 1

Gi£ sß z0 (cid:54)∈ {z : α(z) = 0} ∪ {z : α(z) = ∞} l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng (cid:31)i”m (cid:31)(cid:236)n chung cıa

f − α v(cid:160) g − α. Khi (cid:31)(cid:226), tł (3.1) suy ra z0 l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng (cid:31)i”m (cid:31)(cid:236)n chung cıa F − 1 v(cid:160)

G − 1. B‹ng t‰nh to¡n (cid:31)(cid:236)n gi£n qua khai tri”n Laurent cıa c¡c h(cid:160)m F v(cid:160) G trong

l¥n c“n cıa (cid:31)i”m z0 ta th§y H(z0) = 0.

(cid:1)

(cid:0)r,

Gi£ sß H (cid:54)≡ 0. V… f v(cid:160) g chung α t‰nh c£ bºi n¶n ta c(cid:226)

(cid:1) = N1)

(cid:0)r,

N1) 1 g − α

|α = 0(cid:1) = N1) |α (cid:54)= 0, α (cid:54)= ∞(cid:1) + N1) 1 f − α

(cid:0)r,

(cid:1) + N(cid:0)r,

(cid:1) + N (r, α)

|α = ∞(cid:1) + N1)

≤ N1) 1 α

≤ N(cid:0)r, 1 f − α 1 f − α 1 (cid:0)r, f − α 1 F − 1 1 (cid:1) + o(T (r, f )) H

≤ T (r, H) + o(T (r, f ))

≤ N (r, H) + o(T (r, f )) + o(T (r, g)). (3.3)

Gi£ sß z1 (cid:54)∈ {z : α(z) = 0} ∪ {z : α(z) = ∞} l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng (cid:31)i”m bºi chung cıa f − α

v(cid:160) g − α. Khi (cid:31)(cid:226), tł (3.1) ta c(cid:226) z1 l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng (cid:31)i”m bºi chung cıa F − 1 v(cid:160) G − 1,

b‹ng t‰nh to¡n (cid:31)(cid:236)n gi£n ta (cid:31)(cid:247)æc H(z1) (cid:54)= ∞. Tł (3.2) suy ra r‹ng c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m (cid:31)(cid:236)n

cıa F v(cid:160) G kh(cid:230)ng ph£i l(cid:160) c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa H. Do (cid:31)(cid:226), (3.2) cho ta th§y c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m

cıa H ch¿ c(cid:226) th” x£y ra t⁄i c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m bºi cıa F , ho(cid:176)c c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m bºi cıa

G, ho(cid:176)c c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m bºi cıa F ; ho(cid:176)c c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m bºi cıa G; ho(cid:176)c c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m

ho(cid:176)c c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa α; ho(cid:176)c c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa F (cid:48) m(cid:160) kh(cid:230)ng ph£i l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng

(cid:31)i”m cıa F (F − 1); ho(cid:176)c c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa G(cid:48) m(cid:160) kh(cid:230)ng ph£i l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m

cıa G(G − 1). Th¶m nœa, tł (3.2) ta th§y r‹ng h(cid:160)m H ch¿ c(cid:226) th” c(cid:226) c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m

(cid:31)(cid:236)n.

(cid:0)r, 1 F (cid:48)

K‰ hi»u N0

(cid:1).

kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa F (F − 1), v(cid:160) N 0

(cid:1) l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)‚m c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa F (cid:48) m(cid:160) kh(cid:230)ng ph£i l(cid:160) c¡c (cid:1) l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)‚m r(cid:243)t g(cid:229)n t(cid:247)(cid:236)ng øng. T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252), (cid:1) v(cid:160) N 0

(cid:0)r, 1 F (cid:48) (cid:0)r, 1 G(cid:48)

(cid:0)r, 1 G(cid:48)

ta c(cid:226) (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a cho c¡c h(cid:160)m N0

(cid:1)

(cid:0)r,

Nh(cid:247) v“y, tł (3.1), (3.2) v(cid:160) c¡c nh“n x†t tr¶n, ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:1) ≤ N (2(r, F ) + N (2(r, G) + N (2

(cid:1) + N (2

N1) 1 f − α

(cid:0)r,

(cid:1) + N 0

1 F (cid:1) + N (r, α) + N(cid:0)r, + N 0 1 G 1 (cid:1) α 1 F (cid:48)

(cid:1)

(cid:0)r,

1 G(cid:48) + o(T (r, f )) + o(T (r, g))

(cid:0)r,

(cid:1) + N (2 (cid:1) + o(T (r, f )) + o(T (r, g)).

1 F 1 G

(cid:1), ta c(cid:226)

(3.4) ≤ N (2(r, F ) + N (2(r, G) + N (2 (cid:1) + N 0 + N 0 1 F (cid:48)

(cid:0)r,

(cid:1) ≤ N(cid:0)r,

(cid:1).

(cid:0)r,

M(cid:176)t kh¡c, tł (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a cıa h(cid:160)m (cid:31)‚m N0 1 G(cid:48) (cid:0)r, 1 G(cid:48)

(cid:1) + N(2

(cid:1) + N (2

(cid:1) − N (2

(3.5) N 0 1 G(cid:48) 1 G − 1 1 G(cid:48) 1 G 1 G

(cid:0)r,

(cid:1) ≤ N (r, G) + N(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, g)).

(cid:0)r,

K‚t hæp (3.5) v(cid:160) BŒ (cid:31)• 3.1.3, ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:1) + N (2

N 0 1 G(cid:48) 1 G − 1 1 G

(cid:1)

(cid:0)r,

Do (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

(cid:1) = N 0

(cid:1) + N (2

(cid:1)

(cid:0)r,

N 0 1 G(cid:48) 1 g − α 1 α(G − 1)

(cid:1) + N (2 (cid:1) + o(T (r, g)).

≤ N 0 1 G − 1 1 α

(3.6) 1 G(cid:48) 1 (cid:1) + N (2 G(cid:48) 1 ≤ N (r, G) + N(cid:0)r, G

(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f )).

(cid:129)p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø hai cho h(cid:160)m F v(cid:160) 0, ∞ v(cid:160) 1, ta c(cid:226)

(cid:1) + N(cid:0)r,

(cid:1) − N0

T (r, F ) ≤ N (r, F ) + N(cid:0)r, (3.7) 1 F 1 F − 1 1 F (cid:48)

V… α l(cid:160) h(cid:160)m nh(cid:228) so v(cid:238)i f v(cid:160) g; f v(cid:160) g chung α t‰nh c£ bºi n¶n ta c(cid:226)

(cid:1) ≤ N(cid:0)r,

(cid:1) + N (r, α)

(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f ))

N(cid:0)r, 1 F − 1

(cid:1) + N (2

(cid:1) + o(T (r, f )).

(cid:0)r,

≤ N1)

(cid:1) + N (2

= N1) 1 f − α 1 f − α 1 f − α 1 f − α 1 g − α

(cid:1)

(cid:0)r,

K‚t hæp b§t (cid:31)ﬂng thøc tr¶n v(cid:238)i (3.1), (3.4), (3.6), (3.7), ta (cid:31)(cid:247)æc

T (r, F ) ≤ N2(r, F ) + N2(r, G) + N2 1 F

(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f )) + o(T (r, g))

(cid:1)

(cid:0)r,

+ N2 1 G

(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f )) + o(T (r, g)),

≤ N2(r, f ) + N2(r, g) + N2 1 f

(3.8) + N2 1 g

(cid:0)r,

(cid:1) ≤ N2(r, f ) + o(T (r, f )),

trong (cid:31)(cid:226) b§t (cid:31)ﬂng thøc thø hai (cid:31)(cid:247)æc suy ra tł c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc sau

(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f )),

N2(r, F ) ≤ N2(r, f ) + N2 1 α

(cid:1) ≤ N2

(cid:1) + N2(r, α) ≤ N2

N2 1 F 1 f 1 f

(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, g)).

v(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252)

(cid:1) ≤ N2

N2(r, G) ≤ N2(r, g) + o(T (r, g)), N2 1 G 1 g

M(cid:176)t kh¡c, ta l⁄i c(cid:226)

(cid:1) ≥ T (r, f ) − T (r, α) + O(1).

T (r, F ) = T (cid:0)r, (3.9) f α

Tł c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc (3.8) v(cid:160) (3.9) suy ra khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (i) th(cid:228)a m¢n.

Gi£ sß H ≡ 0. Tł (3.2) suy ra

, F = (b + 1)G + a − b − 1 bG + a − b

trong (cid:31)(cid:226) a, b l(cid:160) c¡c sŁ phøc hœu h⁄n v(cid:160) a (cid:54)= 0.

N‚u b (cid:54)= 0, −1 th…

= − . F − b + 1 b a b(bG + a − b)

b , ta c(cid:226)

(cid:1) + o(T (r, f ))

(cid:129)p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø hai cho h(cid:160)m F v(cid:160) 0, ∞ v(cid:160) b+1

(cid:1) + N(cid:0)r,

T (r, F ) ≤ N (r, F ) + N(cid:0)r, 1 F − b+1 b

≤ N (r, F ) + N (r, G) + N(cid:0)r, 1 F (cid:1) + o(T (r, f )). 1 F

Do (cid:31)(cid:226), ta (cid:31)(cid:247)æc

T (r, f ) ≤ T (r, F ) + S(r, f )

(cid:1) + o(T (r, f )) + o(T (r, g)).

≤ N (r, f ) + N (r, g) + N(cid:0)r, 1 f

Tł b§t (cid:31)ﬂng thøc tr¶n suy ra khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (i) th(cid:228)a m¢n.

N‚u b = 0 th… F = G+a−1 . N‚u a = 1 th… F = G v(cid:160) tł (cid:31)(cid:226) suy ra khﬂng (cid:31)(cid:224)nh

(ii). N‚u a (cid:54)= 1 th… b‹ng c¡ch ¡p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø hai cho h(cid:160)m F v(cid:160) 0, ∞

a , ta c(cid:226)

(cid:1) + o(T (r, f ))

(cid:1) + N(cid:0)r,

v(cid:160) a−1

1 F (cid:1) + o(T (r, f )) ≤ N (r, F ) + N (r,

≤ N (r, f ) + N (r, T (r, f ) ≤ T (r, F ) + o(T (r, f )) 1 ≤ N (r, F ) + N(cid:0)r, F − a−1 a 1 1 ) + N(cid:0)r, F G 1 1 (cid:1) + o(T (r, f )) + o(T (r, g)). ) + N(cid:0)r, f g

Tł b§t (cid:31)ﬂng thøc tr¶n suy ra khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (i) th(cid:228)a m¢n.

a+1−G. N‚u a (cid:54)= −1 th… b‹ng c¡ch ¡p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n

N‚u b = −1 th… F = a

a+1, ta c(cid:226)

(cid:1) + o(T (r, f ))

(cid:1) + N(cid:0)r,

thø hai cho h(cid:160)m F v(cid:160) 0, ∞ v(cid:160) a

1 F (cid:1) + o(T (r, f )) ≤ N (r, F ) + N (r,

≤ N (r, f ) + N (r, T (r, f ) ≤ T (r, F ) + o(T (r, f )) 1 ≤ N (r, F ) + N(cid:0)r, F − a a+1 1 1 ) + N(cid:0)r, F G 1 1 (cid:1) + o(T (r, f )) + o(T (r, g)). ) + N(cid:0)r, f g

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (i) th(cid:228)a m¢n. N‚u a = −1 th… F G ≡ 1 v(cid:160) tł (cid:31)(cid:226) suy ra

khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (iii) th(cid:228)a m¢n.

N‚u gi£ thi‚t th¶m r‹ng f v(cid:160) g chung c(cid:252)c (cid:31)i”m kh(cid:230)ng t‰nh bºi th… ch(cid:243)ng ta s‡

nh“n (cid:31)(cid:247)æc mºt ch(cid:176)n tr¶n tŁt h(cid:236)n cho c¡c h(cid:160)m (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng T (r, f ) v(cid:160) T (r, g) trong

khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (i) cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.2. C(cid:246) th” ch(cid:243)ng t(cid:230)i nh“n (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng sau (cid:31)¥y.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.4. Cho f v(cid:160) g l(cid:160) hai h(cid:160)m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng v(cid:160) α l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n

h…nh kh¡c kh(cid:230)ng nh(cid:228) so v(cid:238)i f v(cid:160) g. N‚u f v(cid:160) g chung α t‰nh c£ bºi v(cid:160) chung ∞

kh(cid:230)ng t‰nh bºi th… mºt trong ba tr(cid:247)(cid:237)ng hæp sau th(cid:228)a m¢n:

g ) + 3N (r, f ) + o(T (r, f )) + o(T (r, g)), b§t (cid:31)ﬂng thøc

f ) + N2(r, 1 t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) (cid:31)(cid:243)ng cho T (r, g);

(i) T (r, f ) ≤ N2(r, 1

(ii) f ≡ g;

(iii) f g ≡ α2.

Chøng minh. Chøng minh cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.4 tłng b(cid:247)(cid:238)c t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) chøng minh

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.2.

Ti‚p theo, ch(cid:243)ng t(cid:230)i s‡ (cid:31)(cid:247)a ra (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh trong tr(cid:247)(cid:237)ng

hæp c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh (cid:31)(cid:226) chung mºt h(cid:160)m nh(cid:228) kh(cid:230)ng t‰nh bºi.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.5. Cho f v(cid:160) g l(cid:160) hai h(cid:160)m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng v(cid:160) α l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n

h…nh kh¡c kh(cid:230)ng nh(cid:228) so v(cid:238)i f v(cid:160) g. N‚u f v(cid:160) g chung α kh(cid:230)ng t‰nh bºi th… mºt trong

ba tr(cid:247)(cid:237)ng hæp sau th(cid:228)a m¢n

g ) + 2(cid:0)N (r, f ) + N (r, 1

f ) + N2(r, 1

(i) T (r, f ) ≤ N2(r, f ) + N2(r, g) + N2(r, 1

f )(cid:1) + g ) + o(T (r, f )) + o(T (r, g)), v(cid:160) b§t (cid:31)ﬂng thøc t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) c(cid:244)ng (cid:31)(cid:243)ng

N (r, g) + N (r, 1

v(cid:238)i T (r, g);

(ii) f ≡ g;

(iii) f g ≡ α2.

Chøng minh. (cid:30)(cid:176)t

F := , G := (3.10) f α g α

and

H := − . (3.11) F (cid:48)(cid:48) F (cid:48) − 2 F (cid:48) F − 1 G(cid:48)(cid:48) G(cid:48) + 2 G(cid:48) G − 1

Gi£ sß z0 (cid:54)∈ {z : α(z) = 0} ∪ {z : α(z) = ∞} l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng (cid:31)i”m (cid:31)(cid:236)n chung

cıa f − α v(cid:160) g − α. Khi (cid:31)(cid:226), tł (3.10) suy ra z0 l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng (cid:31)i”m (cid:31)(cid:236)n chung cıa

F − 1 v(cid:160) G − 1. B‹ng t‰nh to¡n (cid:31)(cid:236)n gi£n qua khai tri”n Laurent cıa c¡c h(cid:160)m F v(cid:160)

G trong l¥n c“n cıa (cid:31)i”m z0 ta th§y H(z0) = 0.

(cid:0)r,

Gi£ sß H (cid:54)≡ 0. V… f v(cid:160) g chung α kh(cid:230)ng t‰nh bºi n¶n ta c(cid:226)

(cid:1) = N 1) E

|α = 0(cid:1) N 1) E |α (cid:54)= 0, α (cid:54)= ∞(cid:1) + N 1) E 1 f − α 1 f − α

(cid:1) + N(cid:0)r,

(cid:1) + N (r, α)

(cid:0)r,

|α = ∞(cid:1) + N 1) E

1 α

1 f − α 1 (cid:0)r, f − α 1 F − 1 (cid:1) + o(T (r, f )) ≤ N 1) E ≤ N(cid:0)r, 1 H

≤ T (r, H) + o(T (r, f ))

≤ N (r, H) + o(T (r, f )) + o(T (r, g)). (3.12)

M(cid:176)t kh¡c, tł (3.11) ta th§y h(cid:160)m H ch¿ c(cid:226) c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m (cid:31)(cid:236)n. Gi£ sß z1 l(cid:160) mºt

kh(cid:230)ng (cid:31)i”m bºi chung cıa F − 1 v(cid:160) G − 1 v(cid:238)i sŁ bºi b‹ng nhau. Khi (cid:31)(cid:226), tł khai tri”n

Laurent cıa c¡c h(cid:160)m F − 1 v(cid:160) G − 1 trong l¥n c“n cıa (cid:31)i”m z1 ta (cid:31)(cid:247)æc H(z1) (cid:54)= ∞.

Th¶m nœa, b‹ng t‰nh to¡n (cid:31)(cid:236)n gi£n ta d„ d(cid:160)ng suy ra tł (3.11) r‹ng c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m

(cid:31)(cid:236)n cıa F v(cid:160) G kh(cid:230)ng ph£i l(cid:160) mºt c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa H. Do (cid:31)(cid:226), (3.11) cho ta th§y c¡c

c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa H ch¿ c(cid:226) th” x£y ra t⁄i c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa F (cid:48) m(cid:160) kh(cid:230)ng ph£i l(cid:160) c¡c

kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa F (F − 1); ho(cid:176)c c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa G(cid:48) m(cid:160) kh(cid:230)ng ph£i l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng

(cid:31)i”m cıa G(G − 1); ho(cid:176)c c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m bºi ho(cid:176)c c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m bºi cıa F ho(cid:176)c

G; ho(cid:176)c c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m chung cıa F − 1 v(cid:160) G − 1 v(cid:238)i sŁ bºi kh¡c nhau; ho(cid:176)c c¡c

K‰ hi»u N0 kh(cid:230)ng (cid:31)i”m ho(cid:176)c c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa α. (cid:0)r, 1 F (cid:48)

(cid:1).

kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa F (F − 1), v(cid:160) N 0

(cid:0)r, 1 F (cid:48) (cid:0)r, 1 G(cid:48)

(cid:0)r, 1 G(cid:48)

ta c(cid:226) (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a cho c¡c h(cid:160)m N0

(cid:1)

(cid:0)r,

Nh(cid:247) v“y, tł c¡c nh“n x†t tr¶n, ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:0)r, N (r, H) ≤ N (2(r, F ) + N (2(r, G) + N (2 1 (cid:0)r, G − 1

1 G (cid:1) + N 0 1 (cid:1) + N (2 F (cid:0)r, (cid:1) + N 0 + N L 1 F − 1 1 G(cid:48)

(cid:1) + N L 1 α

(cid:1)

(cid:0)r,

(cid:0)r, 1 F (cid:48) (cid:1) + o(T (r, f )) + o(T (r, g)) 1 1 (cid:1) + N (2 G F (cid:1) + N 0 (cid:0)r, (cid:1) + N 0

(cid:1) + N L

+ N (r, α) + N(cid:0)r,

(cid:0)r, 1 F (cid:48)

(cid:0)r, ≤ N (2(r, F ) + N (2(r, G) + N (2 1 1 G − 1 F − 1

+ N L 1 G(cid:48)

+ o(T (r, f )) + o(T (r, g)). (3.13)

Gi£ sß z2 (cid:54)∈ {z : α(z) = 0} ∪ {z : α(z) = ∞} l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng (cid:31)i”m bºi chung cıa f − α

v(cid:160) g − α v(cid:238)i sŁ bºi b‹ng nhau. Khi (cid:31)(cid:226), tł (3.10) suy ra z2 l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng (cid:31)i”m bºi

(cid:0)r,

chung cıa F − 1 v(cid:160) G − 1 v(cid:238)i sŁ bºi b‹ng nhau. Do (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

(cid:1) ≤ N

(2 E

|α = 0(cid:1) N |α (cid:54)= 0, ∞(cid:1) + N 1 f − α 1 f − α

(2 E

(cid:0)r,

+ N |α = ∞(cid:1)

(2 E

(cid:0)r,

≤ N |α (cid:54)= 0, ∞(cid:1) + N (r, ) + N (r, α) 1 α

(cid:1) + o(T (r, f )).

(2 E

≤ N 1 f − α 1 (cid:0)r, f − α 1 f − α 1 F − 1

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252), n‚u z2 (cid:54)∈ {z : α(z) = 0} ∪ {z : α(z) = ∞} l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng (cid:31)i”m chung cıa

f − α v(cid:160) g − α v(cid:238)i sŁ bºi cıa f − α l(cid:238)n h(cid:236)n sŁ bºi cıa g − α ho(cid:176)c sŁ bºi cıa f − α

nh(cid:228) h(cid:236)n sŁ bºi cıa g − α th… tł (3.10) ta c(cid:244)ng suy ra z2 l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng (cid:31)i”m chung

cıa F − 1 v(cid:160) G − 1 v(cid:238)i sŁ bºi cıa F − 1 l(cid:238)n h(cid:236)n sŁ bºi cıa G − 1 ho(cid:176)c sŁ bºi cıa

F − 1 nh(cid:228) h(cid:236)n sŁ bºi cıa G − 1 t(cid:247)(cid:236)ng øng. Tł (cid:31)(cid:226), ta (cid:31)(cid:247)æc c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc sau

(cid:0)r,

(cid:1) ≤ N L

| α = 0(cid:1) N L | α (cid:54)= 0, ∞(cid:1) + N L 1 f − α 1 f − α

(cid:0)r,

(cid:1) + N(cid:0)r,

(cid:1) + N (r, α)

| α = ∞(cid:1) + N L

(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f )),

≤ N L 1 α

≤ N L 1 f − α 1 (cid:0)r, f − α 1 F − 1 1 F − 1

(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, g)).

v(cid:160)

(cid:1) ≤ N L

N L 1 g − α 1 G − 1

(cid:1)

(cid:0)r,

V… f v(cid:160) g chung α kh(cid:230)ng t‰nh bºi v(cid:160) tł c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc tr¶n, ta c(cid:226)

(cid:1) + N

(cid:0)r,

(2 E

(cid:1) = N 1) E

(cid:1)

(cid:0)r,

N(cid:0)r, 1 f − α

(cid:1) + N L

(cid:1)

(cid:0)r,

(cid:1) + N

(cid:0)r,

(cid:1) + N L

(2 E

+ N L

≤ N 1) E 1 f − α 1 f − α 1 f − α 1 f − α 1 g − α 1 F − 1 1 F − 1

(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f )) + o(T (r, g)).

(cid:1) d„ d(cid:160)ng suy ra b§t (cid:31)ﬂng thøc sau

(3.14) + N L 1 G − 1

(cid:0)r, 1 G(cid:48)

(cid:1)

(cid:0)r,

(cid:1) + N

(cid:0)r,

M(cid:176)t kh¡c, tł (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a cıa h(cid:160)m (cid:31)‚m N0

(cid:1) ≥ N0

(cid:1) + N L

(2 E

N(cid:0)r, 1 G(cid:48) 1 G − 1

(cid:1) − N (2

1 G(cid:48) (cid:0)r, (3.15) + N(2 1 G 1 F − 1 1 (cid:1). (cid:0)r, G

(cid:1)

(cid:0)r,

K‚t hæp (3.15) v(cid:160) BŒ (cid:31)• 3.1.3, ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:1) ≥N

(cid:0)r,

(cid:1) + N L

(2 E

(cid:1) + o(T (r, g)).

N (r, G) + N(cid:0)r, 1 G 1 G − 1

(3.16) + N0 1 F − 1 1 (cid:0)r, G(cid:48)

F (cid:48) ch¿ x£y ra t⁄i c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa F (cid:48) m(cid:160) kh(cid:230)ng

H(cid:236)n nœa, v… c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa F

(cid:1)(cid:1)

ph£i l(cid:160) kh(cid:230)ng (cid:31)i”m bºi cıa F n¶n ta c(cid:226)

(cid:1) = N(cid:0)r,

N(cid:0)r, F F (cid:48)

(cid:1) − (cid:0)N(2 (cid:1) − (cid:0)N(cid:0)r,

(cid:0)r, 1 F

= N(cid:0)r, 1 F (cid:1)(cid:1). (3.17) 1 F (cid:48) 1 F (cid:48) 1 (cid:1) − N (2 (cid:0)r, F 1 (cid:1) − N(cid:0)r, F

Theo (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø nh§t ta c(cid:226)

(cid:1) + O(1)

(cid:1) ≤ T (cid:0)r,

(cid:1) = T (cid:0)r,

N(cid:0)r, F F (cid:48) F (cid:48) F

(cid:1) + o(T (r, f ))

= N(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f )).

F F (cid:48) F (cid:48) F = N (r, F ) + N(cid:0)r, (3.18) 1 F

Tł (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a cıa h(cid:160)m (cid:31)‚m c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa F (cid:48) ta c(cid:226)

(cid:1) − N(cid:0)r,

(cid:1) + N(cid:0)r,

(cid:1) − N(cid:0)r,

(cid:1) ≤ N(cid:0)r,

(cid:1).

N(cid:0)r, (3.19) 1 F − 1 1 F − 1 1 F 1 F 1 F (cid:48)

(cid:1)

(cid:0)r,

(cid:1) ≤ N(cid:0)r,

(cid:1) − N(cid:0)r,

K‚t hæp (3.17),(3.18) v(cid:160) (3.19) ta (cid:31)(cid:247)æc

N L 1 F − 1 1 F − 1

(cid:1) + N (r, F ) + o(T (r, f )).

≤ N(cid:0)r, (3.20) 1 F − 1 1 F

(cid:0)r,

(cid:1) ≤ N(cid:0)r,

(cid:1) + N (r, G) + o(T (r, g)).

Chøng minh t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) tr¶n ta c(cid:226)

(3.21) N L 1 G − 1 1 G

M(cid:176)t kh¡c, ta c(cid:226)

(cid:1) ≤ N(cid:0)r,

(cid:1) + N (r, α) ≤ N(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f )).

N(cid:0)r, (3.22) 1 F − 1 1 f − α 1 f − α

(cid:129)p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø hai cho h(cid:160)m F v(cid:160) c¡c gi¡ tr(cid:224) 0, 1, ∞, ta c(cid:226)

(cid:1) + N(cid:0)r,

(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f )).

(cid:1) − N0

T (r, F ) ≤ N (r, F ) + N(cid:0)r, (3.23) 1 F 1 F − 1 1 F (cid:48)

(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f )),

(cid:0)r,

V… α l(cid:160) h(cid:160)m nh(cid:228) so v(cid:238)i f n¶n ta c(cid:226) c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc sau

(cid:1) ≤ N2(r, f ) + o(T (r, f )), 1 f

N2 N2(r, F ) ≤ N2(r, f ) + N2 (cid:1) ≤ N2 1 α (cid:1) + N2(r, α) ≤ N2 1 f 1 F

(cid:1) ≤ N(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f )),

v(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) ta c(cid:226)

N (r, F ) ≤ N (r, f ) + o(T (r, f )), N(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, g)).

(cid:1) ≤ N2

1 F (cid:0)r, 1 f (cid:0)r, N2(r, G) ≤ N2(r, g) + o(T (r, g)), N2 1 g 1 G

K‚t hæp c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc tr¶n v(cid:238)i (3.12), (3.13), (3.14), (3.16) v(cid:160) c¡c b§t (cid:31)ﬂng

(cid:1)

(cid:0)r,

(cid:1) + N (r, g) + N(cid:0)r,

(cid:1) + N2

thøc tł (3.20) (cid:31)‚n (3.23), ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:16)

1 f 1 g 1 g

T (r, F ) ≤ N2(r, f ) + N2(r, g) + N2 (cid:1)(cid:17) + o(T (r, f )) + o(T (r, g)). N (r, f ) + N(cid:0)r, + 2 (3.24) 1 f

M(cid:176)t kh¡c, ta l⁄i c(cid:226)

(cid:1) ≥ T (r, f ) − T (r, α) + O(1).

T (r, F ) = T (cid:0)r, (3.25) f α

K‚t hæp (3.24) v(cid:160) (3.25), ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (i) th(cid:228)a m¢n.

Gi£ sß H ≡ 0. Tł (3.11) suy ra

F = , (b + 1)G + a − b − 1 bG + a − b

trong (cid:31)(cid:226) a, b l(cid:160) c¡c sŁ phøc hœu h⁄n v(cid:160) a (cid:54)= 0.

N‚u b (cid:54)= 0, −1 th…

F − = − . b + 1 b a b(bG + a − b)

b , ∞, ta c(cid:226)

(cid:129)p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø hai cho h(cid:160)m F v(cid:160) c¡c gi¡ tr(cid:224) 0, b+1

(cid:1) + N(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f ))

T (r, F ) ≤ N (r, F ) + N(cid:0)r, 1 F − b+1 b

1 F (cid:1) + o(T (r, f )). ≤ N (r, F ) + N (r, G) + N(cid:0)r, 1 F

Do (cid:31)(cid:226), ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:1) + o(T (r, f )) + o(T (r, g)).

T (r, f ) ≤ T (r, F ) + o(T (r, f ))

≤ N (r, f ) + N (r, g) + N(cid:0)r, 1 f

Ta th§y b§t (cid:31)ﬂng thøc tr¶n th(cid:228)a m¢n khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (i) th(cid:228)a m¢n.

N‚u b = 0 th… F = G+a−1 . Khi (cid:31)(cid:226), n‚u a = 1 th… F = G, v(cid:160) tł (cid:31)(cid:226) suy ra khﬂng

(cid:31)(cid:224)nh (ii) th(cid:228)a m¢n. N‚u a (cid:54)= 1 th… b‹ng c¡ch ¡p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø hai cho

a , ∞, ta c(cid:226)

(cid:1) + o(T (r, f ))

(cid:1) + N(cid:0)r,

h(cid:160)m F v(cid:160) c¡c gi¡ tr(cid:224) 0, a−1

≤ N (r, F ) + N (r, 1 F (cid:1) + o(T (r, f ))

≤ N (r, f ) + N (r, T (r, f ) ≤ T (r, F ) + o(T (r, f )) 1 ≤ N (r, F ) + N(cid:0)r, F − a−1 a 1 1 ) + N(cid:0)r, F G 1 1 ) + N(cid:0)r, (cid:1) + o(T (r, f )) + o(T (r, g)). f f

Tł b§t (cid:31)ﬂng thøc tr¶n suy ra khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (i) th(cid:228)a m¢n.

a+1−G . Khi (cid:31)(cid:226), n‚u a (cid:54)= −1 th… b‹ng c¡ch ¡p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254)

N‚u b = −1 th… F = a

a+1, ∞, ta c(cid:226)

(cid:1) + o(T (r, f ))

(cid:1) + N(cid:0)r,

c(cid:236) b£n thø hai cho h(cid:160)m F v(cid:160) c¡c gi¡ tr(cid:224) 0, a

1 F (cid:1) + o(T (r, f )) ≤ N (r, F ) + N(cid:0)r,

≤ N (r, f ) + N(cid:0)r, T (r, f ) ≤ T (r, F ) + o(T (r, f )) 1 ≤ N (r, F ) + N(cid:0)r, F − a a+1 1 1 (cid:1) + N(cid:0)r, G F 1 1 (cid:1) + o(T (r, f )) + o(T (r, g)). (cid:1) + N(cid:0)r, g f

Tł (cid:31)(cid:226), suy ra khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (i) th(cid:228)a m¢n. N‚u a = −1 th… F G ≡ 1 v(cid:160) tł (cid:31)(cid:226) suy ra

khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (iii) th(cid:228)a m¢n. Nh(cid:247) v“y, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.5 (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

Ch(cid:243) (cid:254) 3.1.6. Khi x†t v§n (cid:31)• c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh chung mºt h(cid:160)m nh(cid:228), ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p

quen thuºc cıa c¡c nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c l(cid:160) quy b(cid:160)i to¡n v• tr(cid:247)(cid:237)ng hæp c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh

chung gi¡ tr(cid:224) 1 b‹ng vi»c sß d(cid:246)ng khﬂng (cid:31)(cid:224)nh sau: (cid:16)N‚u c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh F v(cid:160)

α v(cid:160) G

α chung gi¡ tr(cid:224) 1(cid:17). Tuy nhi¶n, khﬂng (cid:31)(cid:224)nh n(cid:160)y kh(cid:230)ng

G chung h(cid:160)m nh(cid:228) α th… F

z + ez, G(z) = 1

z v(cid:160) α = 1

z + ez

(cid:31)(cid:243)ng, v‰ d(cid:246) (cid:31)(cid:236)n gi£n v(cid:238)i c¡c h(cid:160)m F (z) = 1

α = 1 + zez v(cid:160) G

z cho th§y α = 1 + ez kh(cid:230)ng chung gi¡ tr(cid:224) 1. Mºt sŁ k‚t qu£ (cid:31)¢ m›c ph£i sai lƒm khi sß d(cid:246)ng khﬂng (cid:31)(cid:224)nh tr¶n

F v(cid:160) G chung h(cid:160)m nh(cid:228) α t‰nh c£ bºi, nh(cid:247)ng F

trong chøng minh, trong (cid:31)(cid:226) c(cid:226) k‚t qu£ cıa ch(cid:243)ng t(cid:230)i trong b(cid:160)i b¡o [6] m(cid:160) (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc

sßa l⁄i trong b(cid:160)i b¡o [8].

Khi x†t b(cid:160)i to¡n v• c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh chung mºt h(cid:160)m nh(cid:228) ch(cid:243)ng ta s‡ ¡p d(cid:246)ng

d(cid:246)ng tr(cid:252)c ti‚p (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.2 v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.5 thay v… sß d(cid:246)ng khﬂng (cid:31)(cid:224)nh tr¶n. V…

v“y, ch(cid:243)ng ta c(cid:226) th” kh›c ph(cid:246)c (cid:31)(cid:247)æc c¡c sai lƒm m(cid:160) mºt sŁ nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c (cid:31)¢ m›c

ph£i nh(cid:247) (cid:31)¢ n(cid:226)i (cid:240) tr¶n.

3.2 C¡c (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh

chung mºt h(cid:160)m nh(cid:228)

Cho Q(z) l(cid:160) mºt (cid:31)a thøc b“c q v(cid:238)i h» sŁ trong C v(cid:160) k l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng.

l (cid:89)

Gi£ sß

i=1

Q(cid:48)(z) = b (z − ζi)mi

v(cid:238)i b ∈ C∗. B‹ng c¡ch thay (cid:31)Œi v(cid:224) tr‰, kh(cid:230)ng m§t t‰nh tŒng qu¡t gi£ sß

m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mυ > k ≥ mυ+1 ≥ · · · ≥ ml,

m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mh ≥ k > mh+1 ≥ · · · ≥ ml,

trong (cid:31)(cid:226) υ v(cid:160) h l(cid:160) c¡c ch¿ sŁ th(cid:228)a m¢n 1 ≤ υ ≤ h ≤ l. Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n, ch(cid:243)ng t(cid:230)i xem

x†t b(cid:160)i to¡n v• t‰nh duy nh§t cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp c¡c (cid:31)a thøc

vi ph¥n cıa ch(cid:243)ng chung mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh nh(cid:228) t‰nh c£ bºi.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.1. Cho f v(cid:160) g l(cid:160) c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng, v(cid:160) α l(cid:160) mºt h(cid:160)m

i=υ+1 mi th… mºt trong c¡c khﬂng (cid:31)(cid:224)nh sau th(cid:228)a m¢n:

kh¡c kh(cid:230)ng, nh(cid:228) so v(cid:238)i f. Gi£ sß [Q(f )](k) v(cid:160) [Q(g)](k) chung α t‰nh c£ bºi. N‚u q > k + 6 + 2υ(k + 1) + 2 (cid:80)l

(i) Q(f ) = Q(g) + c, v(cid:238)i h‹ng sŁ c n(cid:160)o (cid:31)(cid:226).

(ii) [Q(f )](k)[Q(g)](k) = α2.

Tr(cid:247)(cid:238)c h‚t, (cid:31)” chøng minh (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) tr¶n ch(cid:243)ng ta cƒn chøng minh c¡c bŒ (cid:31)• sau.

BŒ (cid:31)• 3.2.2. Cho Q l(cid:160) mºt (cid:31)a thøc b“c q trong C v(cid:160) k l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng.

l (cid:89)

Cho

i=1 v(cid:238)i b ∈ C∗. Gi£ sß f v(cid:160) g l(cid:160) c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng th(cid:228)a m¢n (cid:31)ﬂng thøc

Q(cid:48)(z) = b (z − ζi)mi

[Q(f )](k) = [Q(g)](k). N‚u q − 2l − 2k − 4 > 0 th… Q(f ) = Q(g) + c, v(cid:238)i h‹ng sŁ c

n(cid:160)o (cid:31)(cid:226).

Chøng minh. V… [Q(f )](k) = [Q(g)](k) n¶n Q(f ) = Q(g) + φ trong (cid:31)(cid:226) φ l(cid:160) mºt (cid:31)a

thøc b“c nhi•u nh§t k − 1. Do (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

qT (r, g) ≤ qT (r, f ) + T (r, φ) + O(1),

v(cid:160)

f (cid:48)Q(cid:48)(f ) = g(cid:48)Q(cid:48)(g) + φ(cid:48). (3.26)

N‚u k = 1 th… φ = c l(cid:160) mºt h‹ng sŁ.

N‚u k ≥ 2 v(cid:160) φ kh¡c h‹ng th… φ(cid:48) (cid:54)≡ 0. Khi (cid:31)(cid:226), tł (cid:31)ﬂng thøc (3.26) suy ra (cid:31)ﬂng

thøc sau g(cid:48)Q(cid:48)(g) = f (cid:48)Q(cid:48)(f ) φ(cid:48) φ(cid:48) + 1.

φ(cid:48)

(cid:16)

(cid:17)

v(cid:160) 0, 1, ∞, ta c(cid:226) (cid:129)p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø hai cho h(cid:160)m f (cid:48)Q(cid:48)(f )

(cid:1) ≤ N(cid:0)r,

(cid:1) + N(cid:0)r,

(cid:1) + N

(cid:1)

T (cid:0)r, r, + o(T (r, f )) f (cid:48)Q(cid:48)(f ) φ(cid:48) φ(cid:48) f (cid:48)Q(cid:48)(f ) φ(cid:48) g(cid:48)Q(cid:48)(g)

(cid:1) + o(T (r, f ))

f (cid:48)Q(cid:48)(f ) φ(cid:48) (cid:1) + N (r, f ) + N(cid:0)r, ≤ N(cid:0)r, 1 f (cid:48)Q(cid:48)(f )

l (cid:88)

(cid:1)

1 φ(cid:48) + N(cid:0)r, 1 g(cid:48)Q(cid:48)(g)

(cid:1) + N (r, f ) + N(cid:0)r,

(cid:1) +

i=1

≤ N(cid:0)r, N(cid:0)r, 1 φ(cid:48) 1 f (cid:48) 1 f − ζi

l (cid:88)

(cid:1) +

(cid:1) + o(T (r, f )) + o(T (r, g))

i=1

+ N(cid:0)r, N(cid:0)r, 1 g(cid:48) 1 g − ζi

≤ T (r, φ(cid:48)) + (3 + l)T (r, f ) + (2 + l)T (r, g)

+ o(T (r, f )) + o(T (r, g))

≤ (3 + l)T (r, f ) + (2 + l)T (r, g) + (k − 2) log r

+ o(T (r, f )) + o(T (r, g)), (3.27)

trong (cid:31)(cid:226) b§t (cid:31)ﬂng thøc cuŁi c(cid:242)ng suy ra tł (cid:247)(cid:238)c l(cid:247)æng T (r, φ(cid:48)) ≤ (k − 2) log r + O(1).

M(cid:176)t kh¡c, theo t‰nh ch§t cıa h(cid:160)m (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng ta c(cid:226)

(cid:1) ≥ T (cid:0)r, f (cid:48)Q(cid:48)(f )(cid:1) − T (cid:0)r, φ(cid:48)(cid:1) + O(1)

T (cid:0)r, f (cid:48)Q(cid:48)(f ) φ(cid:48) 1

f (cid:48) ) − T (cid:0)r, φ(cid:48)(cid:1) + O(1)

1 ≥ T (r, f (cid:48)Q(cid:48)(f ) f (cid:48) ) − T (r, ≥ T (r, Q(cid:48)(f )) − 2T (r, f ) − T (cid:0)r, φ(cid:48)(cid:1) + O(1) ≥ (q − 3)T (r, f ) − T (cid:0)r, φ(cid:48)(cid:1) + O(1). (3.28)

K‚t hæp c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc (3.27) v(cid:160) (3.28), ta (cid:31)(cid:247)æc

(q − l − 6)T (r, f ) ≤ (2 + l)T (r, g) + 2(k − 2) log r + o(T (r, f )) + o(T (r, g)).

V… g l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng n¶n ta c(cid:226) T (r, g) ≥ log r + O(1). Do (cid:31)(cid:226), tł

b§t (cid:31)ﬂng thøc tr¶n ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc b§t (cid:31)ﬂng thøc sau

(q − l − 6)T (r, f ) ≤ (l + 2k − 2)T (r, g) + o(T (r, f )) + o(T (r, g)). (3.29)

Chøng minh t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) tr¶n ta c(cid:226)

(q − l − 6)T (r, g) ≤ (l + 2k − 2)T (r, f ) + o(T (r, f )) + o(T (r, g)). (3.30)

K‚t hæp c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc (3.29) v(cid:160) (3.30) ta (cid:31)(cid:247)æc

(q − 2l − 2k − 4)(T (r, f ) + T (r, g)) ≤ o(T (r, f )) + o(T (r, g)).

(cid:30)i•u n(cid:160)y l(cid:160) m¥u thu¤n v(cid:238)i gi£ thi‚t f v(cid:160) g l(cid:160) c¡c h(cid:160)m kh¡c h‹ng khi q−2l−2k−4 > 0.

V… v“y, ta ph£i c(cid:226) φ = c v(cid:238)i c l(cid:160) mºt h‹ng sŁ n(cid:160)o (cid:31)(cid:226).

BŒ (cid:31)• 3.2.3. Gi£ sß f v(cid:160) g l(cid:160) c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng v(cid:160) α l(cid:160) mºt h(cid:160)m nh(cid:228)

i=υ+1 mi + 6 th… T (r, f ) = O(T (r, g)), T (r, g) = O(T (r, f )). H(cid:236)n nœa, α c(cid:244)ng l(cid:160)

so v(cid:238)i f. Gi£ sß [Q(f )](k) v(cid:160) [Q(g)](k) chung α kh(cid:230)ng t‰nh bºi. N‚u q > υ(k + 1) + (cid:80)l

mºt h(cid:160)m nh(cid:228) so v(cid:238)i g.

Chøng minh. (cid:30)(cid:176)t

F := [Q(f )](k), F1 := Q(f ),

G := [Q(g)](k), G1 := Q(g).

Theo t‰nh ch§t cıa h(cid:160)m (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø nh§t, ta c(cid:226)

T (r, F ) ≤ kT (r, Q(f )) + N (r, Q(f )) + o(T (r, f ))

≤ (kq + 1)T (r, f ) + o(T (r, f )).

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra o(T (r, F )) = o(T (r, f )). T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252), ta c(cid:226) o(T (r, G)) = o(T (r, g)).

(cid:1) = T (r, f (cid:48)Q(cid:48)(f )) ≥ T (cid:0)r, f (cid:48)Q(cid:48)(f )

(cid:1) − T (cid:0)r,

(cid:1) + O(1)

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) b§t (cid:31)ﬂng thøc (3.28) trong chøng minh cıa BŒ (cid:31)• 3.2.2, ta c(cid:226)

T (cid:0)r, F (cid:48) 1 1 f (cid:48) 1 f (cid:48)

≥ (q − 3)T (r, f ) + O(1). (3.31)

(cid:1) + N(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f ))

(cid:129)p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø hai cho F v(cid:160) 0, ∞ v(cid:160) α, ta c(cid:226)

(cid:1) + N(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f )).

T (r, F ) ≤ N (r, f ) + N(cid:0)r,

(3.32) ≤ N (r, f ) + N2 1 F 1 (cid:0)r, F 1 F − α 1 G − α

1)(k−1) = F, ta c(cid:226)

(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f )).

(cid:0)r,

M(cid:176)t kh¡c, ¡p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 3.1.3 v(cid:238)i (F (cid:48)

(cid:1) − Nk+1

1) + N2

T (r, F ) ≥ T (r, F (cid:48) (3.33) 1 F 1 F (cid:48) 1

K‚t hæp c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc (3.31), (3.32), (3.33) v(cid:160) ch(cid:243) (cid:254) r‹ng

T (r, G) ≤ q(k + 1)T (r, g) + o(T (r, g)),

ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f ))

(cid:1) + Nk+1

(q − 3)T (r, f ) ≤ N (r, f ) + N(cid:0)r, 1 G − α 1 F (cid:48) 1

υ (cid:88)

(cid:1)

(cid:1) + (k + 1)

i=1

l (cid:88)

(cid:1) + o(T (r, f )) + o(T (r, g))

N(cid:0)r, ≤ N (r, f ) + T (r, G) + N(cid:0)r, 1 f (cid:48) 1 f − ζi

i=υ+1

(cid:17)

(cid:16)

l (cid:88)

+ miN(cid:0)r, 1 f − ζi

i=υ+1

T (r, f ) + q(k + 1)T (r, g) ≤ 3 + υ(k + 1) + mi

+ o(T (r, f )) + o(T (r, g)).

(cid:16)

(cid:17)

l (cid:88)

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra b§t (cid:31)ﬂng thøc sau

i=υ+1

q − υ(k + 1) − T (r, f ) ≤ q(k + 1)T (r, g) + o(T (r, f )) + o(T (r, g)). mi − 6

i=υ+1 mi + 6. Chøng minh t(cid:247)(cid:236)ng

Do (cid:31)(cid:226), T (r, f ) = O(T (r, g)) n‚u q > υ(k + 1) + (cid:80)l

t(cid:252), ta (cid:31)(cid:247)æc T (r, g) = O(T (r, f )) v(cid:160) do (cid:31)(cid:226) α c(cid:244)ng l(cid:160) mºt h(cid:160)m nh(cid:228) so v(cid:238)i g.

Chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.1. (cid:30)(cid:176)t

F := [Q(f )](k), F1 := Q(f ),

G := [Q(g)](k), G1 := Q(g).

D„ d(cid:160)ng th§y r‹ng

o(T (r, F )) = o(T (r, f )), v(cid:160) o(T (r, G)) = o(T (r, g)).

Theo BŒ (cid:31)• 3.2.3 ta c(cid:226) α c(cid:244)ng l(cid:160) mºt h(cid:160)m nh(cid:228) so v(cid:238)i g.

V… F v(cid:160) G chung α t‰nh c£ bºi n¶n theo (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.2 ta c(cid:226) mºt trong c¡c tr(cid:247)(cid:237)ng

(cid:1) + N2

(cid:1) + N2(r, F ) + N2(r, G) + o(T (r, F )) + o(T (r, G)),

hæp sau th(cid:228)a m¢n:

(cid:0)r, 1 F

(cid:0)r, 1 G

(i) T (r, F ) ≤ N2

b§t (cid:31)ﬂng thøc t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i T (r, G);

(ii) F ≡ G;

(iii) F G ≡ α2.

N‚u tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (ii) th(cid:228)a m¢n th… theo BŒ (cid:31)• 3.2.2 ta c(cid:226) Q(f ) = Q(g) + c v(cid:238)i c l(cid:160)

mºt h‹ng sŁ n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). (cid:30)i•u n(cid:160)y c(cid:226) ngh(cid:190)a l(cid:160) ch(cid:243)ng ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc k‚t lu“n thø nh§t

cıa (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254). N‚u tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (iii) th(cid:228)a m¢n th… ch(cid:243)ng ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc k‚t lu“n thø hai

cıa (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254). Do (cid:31)(cid:226), ch(cid:243)ng ta s‡ chøng minh r‹ng v(cid:238)i c¡c (cid:31)i•u ki»n cıa (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) th…

tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (i) kh(cid:230)ng th” x£y ra. Th“t v“y, gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (i) (cid:240) tr¶n

(cid:0)r,

(cid:1) + N2

(cid:1) + N2(r, F ) + N2(r, G)

th(cid:228)a m¢n. Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

T (r, F ) ≤ N2 1 F 1 G

+ o(T (r, f )) + o(T (r, g)). (3.34)

(cid:1)

(cid:0)r,

(cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 3.1.3, ta c(cid:226)

(cid:1) = N2

(cid:0)r,

N2 1 G (G(cid:48)

(cid:1) + o(T (r, f )).

1) + Nk+1

1 1)(k−1) ≤ (k − 1)N (r, G(cid:48) (3.35) 1 G(cid:48) 1

(cid:1)

(cid:0)r,

(cid:1) + (k − 1)N (r, G(cid:48)

(cid:0)r,

K‚t hæp c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc (3.34) v(cid:160) (3.35), ta (cid:31)(cid:247)æc

1) + Nk+1

T (r, F ) ≤ N2 1 F 1 G(cid:48) 1 (3.36) + N2(r, F ) + N2(r, G) + o(T (r, f )) + o(T (r, g)).

M(cid:176)t kh¡c, ta c(cid:226)

Q(z) − R(z) = a(z − β)Q(cid:48)(z)

trong (cid:31)(cid:226) a (cid:54)= 0 v(cid:160) β l(cid:160) c¡c h‹ng sŁ, v(cid:160) R(z) l(cid:160) mºt (cid:31)a thøc c(cid:226) b“c nhi•u nh§t l(cid:160)

(cid:1)

(cid:1) = m(cid:0)r,

q − 2. (cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• (cid:31)⁄o h(cid:160)m logarit, ta c(cid:226)

(cid:1) + m(cid:0)r,

(cid:1) + O(1)

· m(cid:0)r, 1 Q(f ) − R(f ) (Q(f ))(cid:48) Q(f ) − R(f )

≤ m(cid:0)r, 1 (Q(f ))(cid:48) 1 F (cid:48) 1

(cid:1) + o(T (r, f )).

≤ m(cid:0)r, f (cid:48) a(f − β) 1 F (cid:48) 1

Tł (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø nh§t v(cid:160) b§t (cid:31)ﬂng thøc tr¶n ta (cid:31)(cid:247)æc

1) = m(r,

T (r, F (cid:48) ) + N (r, ) + O(1) 1 F (cid:48) 1 1 F (cid:48) 1

(cid:1) − N(cid:0)r,

(cid:1) + N(cid:0)r,

(cid:1) + O(1)

(cid:1) − N(cid:0)r,

≥ T (cid:0)r, 1 Q(f ) − R(f )

(cid:1) + N(cid:0)r,

1 F (cid:48) 1 (cid:1) + O(1). ≥ qT (r, f ) − N(cid:0)r, 1 Q(cid:48)(f ) 1 Q(f ) − R(f ) 1 f − β

1 (ch(cid:243) (cid:254) r‹ng (F (cid:48)

(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f ))

Do (cid:31)(cid:226), ¡p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 3.1.3 cho h(cid:160)m F (cid:48) 1 F (cid:48) 1 1)(k−1) = F ), ta c(cid:226)

(cid:1) − Nk+1

1) + N2

(cid:1)

(cid:1) − N(cid:0)r,

(cid:1) + N(cid:0)r,

T (r, F ) ≥ T (r, F (cid:48) 1 F

≥ qT (r, f ) − N(cid:0)r, 1 F (cid:48) 1

(cid:0)r,

(cid:1) − Nk+1

1 Q(cid:48)(f ) (cid:0)r, 1 F (cid:48) 1 1 f − β (cid:1) + o(T (r, f )). (3.37) + N2 1 F 1 F (cid:48) 1

(cid:0)r,

K‚t hæp c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc (3.36) v(cid:160) (3.37), ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:1) + N2(r, G)

1) + Nk+1

(cid:1)

qT (r, f ) ≤ (k − 1)N (r, G(cid:48)

(cid:1) − N(cid:0)r,

(cid:0)r,

(cid:1) + S(r)

1 G(cid:48) 1 (cid:1) + N(cid:0)r, + N2(r, F ) + N(cid:0)r, 1 f − β 1 Q(cid:48)(f ) 1 F (cid:48) 1

υ (cid:88)

(cid:1)

(cid:1) + (k + 1)

+ Nk+1 1 F (cid:48) 1

i=1

l (cid:88)

(cid:1)

≤ (k + 1)N (r, g) + N(cid:0)r, N(cid:0)r, 1 g(cid:48) 1 g − ζi

(cid:1) + 2N (r, f ) + N(cid:0)r,

i=υ+1

υ (cid:88)

l (cid:88)

+ miN(cid:0)r, 1 f − β 1 g − ζi

(cid:1) +

(cid:1) + S(r)

i=1

i=υ+1

l (cid:88)

+ (k + 1) N(cid:0)r, miN(cid:0)r, 1 f − ζi 1 f − ζi

(cid:1)T (r, g)

i=υ+1

l (cid:88)

≤ (cid:0)k + 3 + υ(k + 1) + mi

(cid:1)T (r, f ) + S(r),

i=υ+1

+ (cid:0)3 + υ(k + 1) + mi

l (cid:88)

(cid:0)q − 3 − υ(k + 1) −

(cid:1)T (r, f )

trong (cid:31)(cid:226) S(r) := o(T (r, f )) + o(T (r, g)). Tł (cid:31)(cid:226) suy ra b§t (cid:31)ﬂng thøc sau

i=υ+1

l (cid:88)

(cid:1)T (r, g) + S(r).

i=υ+1

≤ (cid:0)k + 3 + υ(k + 1) + (3.38) mi

l (cid:88)

(cid:1)T (r, g)

(cid:0)q − 3 − υ(k + 1) −

Chøng minh t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) ta (cid:31)(cid:247)æc

i=υ+1

l (cid:88)

(cid:1)T (r, f ) + S(r).

i=υ+1

≤ (cid:0)k + 3 + υ(k + 1) + (3.39) mi

l (cid:88)

(cid:0)q − k − 6 − 2υ(k + 1) − 2

(cid:1)(T (r, g) + T (r, f )) ≤ S(r).

K‚t hæp c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc (3.38) v(cid:160) (3.39) ta c(cid:226)

i=υ+1

i=υ+1 mi ta c(cid:226) b§t (cid:31)ﬂng thøc tr¶n m¥u thu¤n v(cid:238)i gi£ thi‚t f v(cid:160) g l(cid:160) c¡c h(cid:160)m kh¡c h‹ng. (cid:30)i•u (cid:31)(cid:226) chøng t(cid:228) tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (i) (cid:240) tr¶n

Do (cid:31)(cid:226), khi q > k + 6 + 2υ(k + 1) + 2 (cid:80)l

kh(cid:230)ng x£y ra.

K‚t lu“n (ii) trong (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.1 c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)æc b(cid:228) (cid:31)i n‚u ch(cid:243)ng ta (cid:31)(cid:176)t ra c¡c h⁄n

ch‚ th¶m v• sŁ c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m bºi cıa Q(cid:48)(z) ho(cid:176)c gi£ thi‚t th¶m r‹ng f v(cid:160) g chung

∞ kh(cid:230)ng t‰nh bºi. (cid:30)i•u n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)a ra trong c¡c (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) sau.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.4. Cho f v(cid:160) g l(cid:160) c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng, v(cid:160) α l(cid:160) mºt h(cid:160)m kh¡c

i=υ+1 mi v(cid:160) mºt trong c¡c (cid:31)i•u ki»n sau th(cid:228)a m¢n

kh(cid:230)ng, nh(cid:228) so v(cid:238)i f. Gi£ sß [Q(f )](k) v(cid:160) [Q(g)](k) chung α t‰nh c£ bºi. Gi£ sß r‹ng q > k + 6 + 2υ(k + 1) + 2 (cid:80)l

(i) h ≥ 4;

(ii) h = 3 v(cid:160) q (cid:54)= 2m1 − 2k + 2, q (cid:54)= 3m1−2k+3 , v(cid:160) q (cid:54)= 3mi − 2k + 3, v(cid:238)i m(cid:229)i

i = 1, 2, 3; ho(cid:176)c

(iii) h = 2 v(cid:160) f v(cid:160) g chung ∞ kh(cid:230)ng t‰nh bºi.

Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226) Q(f ) = Q(g) + c v(cid:238)i h‹ng sŁ c n(cid:160)o (cid:31)(cid:226).

Tr(cid:247)(cid:238)c khi chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.4 ch(cid:243)ng ta cƒn chøng minh bŒ (cid:31)• sau (cid:31)¥y.

BŒ (cid:31)• 3.2.5. Gi£ sß f, g l(cid:160) c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng v(cid:160) α ((cid:54)≡ 0, ∞) l(cid:160) mºt

h(cid:160)m nh(cid:228) so v(cid:238)i f v(cid:160) g. N‚u

[Q(f )](k)[Q(g)](k) = α2,

th… mºt trong c¡c tr(cid:247)(cid:237)ng hæp sau th(cid:228)a m¢n

(i) h ≤ 2;

(ii) h = 3 v(cid:160) q = 2m1 − 2k + 2, ho(cid:176)c q = 3m1−2k+3 , ho(cid:176)c q = 3mi − 2k + 3 v(cid:238)i

i = 1, 2, 3.

N‚u gi£ thi‚t th¶m r‹ng f v(cid:160) g chung ∞ kh(cid:230)ng t‰nh bºi th… h = 1.

Chøng minh. Tł (cid:31)ﬂng thøc

[Q(f )](k)[Q(g)](k) = α2,

ta c(cid:226)

[f (cid:48)Q(cid:48)(f )](k−1)[g(cid:48)Q(cid:48)(g)](k−1) = α2. (3.40)

l (cid:89)

V…

i=1 trong (cid:31)(cid:226) b ∈ C∗ v(cid:160) m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mh ≥ k > mh+1 ≥ · · · ≥ ml, n¶n (cid:31)ﬂng thøc

Q(cid:48)(z) = b (z − ζi)mi,

h (cid:89)

(3.40) c(cid:226) th” vi‚t (cid:31)(cid:247)æc nh(cid:247) sau

i=1

(f − ζi)mi−k+1 (g − ζi)mi−k+1R(f, f (cid:48), . . . , f (k)) (cid:101)R(g, g(cid:48), . . . , g(k)) = α2,

(3.41)

trong (cid:31)(cid:226) R(f, f (cid:48), . . . , f (k)) v(cid:160) (cid:101)R(g, g(cid:48), . . . , g(k)) l(cid:160) c¡c (cid:31)a thøc vi ph¥n. Gi£ sß z ∈ C th(cid:228)a m¢n f (z) − ζi = 0 (v(cid:238)i i ∈ {1, ..., h}). Khi (cid:31)(cid:226), tł (3.40) ta th§y z l(cid:160) mºt c(cid:252)c

(cid:31)i”m cıa g ho(cid:176)c z l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa α. Do (cid:31)(cid:226), ¡p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø

h (cid:88)

hai cho f v(cid:160) c¡c gi¡ tr(cid:224) ζi, i = 1, ..., h, ta c(cid:226)

(cid:1) + o(T (r, f ))

i=1

(cid:1) + o(T (r, f ))

N(cid:0)r, (h − 2)T (r, f ) ≤ 1 f − ζi

≤ N (r, g) + N(cid:0)r, 1 α

≤ T (r, g) + T (r, α) + o(T (r, f ))

≤ T (r, g) + o(T (r, f )).

Chøng minh t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) ta c(cid:226)

(h − 2)T (r, g) ≤ T (r, f ) + o(T (r, f )).

Do (cid:31)(cid:226), ta (cid:31)(cid:247)æc

(h − 3)(T (r, f ) + T (r, g)) ≤ o(T (r, f )).

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra h ≤ 3.

Ti‚p theo ch(cid:243)ng ta x†t tr(cid:247)(cid:237)ng hæp h = 3. V(cid:238)i i ∈ {1, 2, 3}, gi£ sß z0 l(cid:160) mºt

kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa f − ζi c§p si v(cid:160) kh(cid:230)ng ph£i l(cid:160) kh(cid:230)ng (cid:31)i”m v(cid:160) c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa α. Khi

(cid:31)(cid:226), z0 l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng (cid:31)i”m c§p (mi + 1)si − 1 cıa f (cid:48)Q(cid:48)(f ). Tł (3.41) ta th§y z0 ph£i

l(cid:160) mºt c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa g c(cid:226) c§p l(cid:160) ti ≥ 1. Do (cid:31)(cid:226), tł (3.40) ta c(cid:226)

(mi + 1)si − k = qti + k,

v(cid:160) do (cid:31)(cid:226)

(3.42) (mi + 1)si = qti + 2k.

Hi”n nhi¶n, si > ti ≥ 1. Do si l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n n¶n ta c(cid:226) si ≥ 2.

N‚u si ≥ 4 v(cid:238)i m(cid:229)i i = 1, 2, 3 th…

(cid:1) ≤

N(cid:0)r, T (r, f ) + o(T (r, f )) 1 4 1 f − ζi

v(cid:238)i m(cid:229)i i = 1, 2, 3. (cid:129)p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø hai cho h(cid:160)m f v(cid:160) c¡c gi¡ tr(cid:224) ζ1, ζ2, ζ3,

(cid:1) + N(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f ))

ta c(cid:226)

T (r, f ) ≤ N(cid:0)r, 1 f − ζ1 1 f − ζ2 1 f − ζ3

≤ T (r, f ) + o(T (r, f )). 3 4

(cid:30)i•u n(cid:160)y l(cid:160) v(cid:230) l(cid:254).

N‚u t(cid:231)n t⁄i si = 2 th… ti = 1. Khi (cid:31)(cid:226), tł (3.42) ta c(cid:226) q = 2mi − 2k + 2 >

m1 + m2 + m3. Theo gi£ thi‚t ta c(cid:226) m1 ≥ m2 ≥ m3, do (cid:31)(cid:226) ch¿ c(cid:226) th” x£y ra tr(cid:247)(cid:237)ng

hæp q = 2m1 − 2k + 2.

N‚u t(cid:231)n t⁄i si = 3 th… ti = 1 ho(cid:176)c ti = 2. N‚u ti = 1 th… tł (3.42) ta ph£i

c(cid:226) q = 3mi − 2k + 3 v(cid:238)i i ∈ {1, 2, 3} n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). N‚u ti = 2 th… tł (3.42) ta (cid:31)(cid:247)æc

. 2q = 3mi − 2k + 3. Theo gi£ thi‚t ta c(cid:226) m1 ≥ m2 ≥ m3, do (cid:31)(cid:226) ch¿ c(cid:226) duy nh§t mºt tr(cid:247)(cid:237)ng hæp x£y ra (cid:31)(cid:226) l(cid:160) q = 3m1−2k+3

, ho(cid:176)c q = Nh(cid:247) v“y, n‚u h = 3 th… q = 2m1 − 2k + 2, ho(cid:176)c q = 3m1−2k+3

3mi − 2k + 3, i = 1, 2, 3.

B¥y gi(cid:237) ch(cid:243)ng ta x†t tr(cid:247)(cid:237)ng hæp khi f v(cid:160) g chung ∞ kh(cid:230)ng t‰nh bºi. Khi (cid:31)(cid:226),

n‚u z0 l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa f (z) − ζi (v(cid:238)i i ∈ {1, ..., h}), th… z0 kh(cid:230)ng th” l(cid:160) c(cid:252)c

(cid:31)i”m cıa g. Do (cid:31)(cid:226), tł (3.41) ta c(cid:226) z0 l(cid:160) mºt c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa α. N‚u z0 l(cid:160) mºt c(cid:252)c

(cid:31)i”m cıa f th… z0 c(cid:244)ng l(cid:160) mºt c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa g, do (cid:31)(cid:226) tł (3.41) ta c(cid:244)ng c(cid:226) z0 l(cid:160) mºt

c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa α. (cid:129)p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø hai cho f v(cid:160) c¡c gi¡ tr(cid:224) ζi, i = 1, ..., h,

h (cid:88)

(cid:1) + N (r, f ) + o(T (r, f ))

ta c(cid:226)

i=1

N(cid:0)r, (h − 1)T (r, f ) ≤ 1 f − ζi

(cid:1) + o(T (r, f ))

≤ N (r, α) + N(cid:0)r,

1 α ≤ T (r, α) + o(T (r, f )) ≤ o(T (r, f )).

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra h = 1. Nh(cid:247) v“y, bŒ (cid:31)• (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

Chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.4. Chøng minh tłng b(cid:247)(cid:238)c t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.1 ta

(cid:31)(cid:247)æc c¡c khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (i) ho(cid:176)c (ii). (cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 3.2.5 ta th§y khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (ii)

trong (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.1 kh(cid:230)ng x£y ra. Nh(cid:247) v“y, ch(cid:243)ng ta ho(cid:160)n th(cid:160)nh chøng minh (cid:30)(cid:224)nh

l(cid:254) 3.2.4.

N‚u bŒ sung th¶m gi£ thi‚t h(cid:160)m nh(cid:228) α c(cid:226) hœu h⁄n kh(cid:230)ng (cid:31)i”m v(cid:160) c(cid:252)c (cid:31)i”m th…

ch(cid:243)ng ta c(cid:244)ng c(cid:226) th” nghi¶n cøu tr(cid:247)(cid:237)ng hæp h = 1. C(cid:246) th” nh(cid:247) sau.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.6. Cho f v(cid:160) g l(cid:160) c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng. Cho α l(cid:160) mºt h(cid:160)m

nh(cid:228) so v(cid:238)i f, c(cid:226) nhi•u nh§t hœu h⁄n kh(cid:230)ng (cid:31)i”m v(cid:160) c(cid:252)c (cid:31)i”m. Gi£ sß [Q(f )](k)

i=υ+1 mi v(cid:160) h ≥ 1, l ≥ 2, th…

v(cid:160) [Q(g)](k) chung α t‰nh c£ bºi v(cid:160) f v(cid:160) g chung ∞ kh(cid:230)ng t‰nh bºi. N‚u q > k + 5 + 2υ(k + 1) + 2 (cid:80)l

Q(f ) = Q(g) + c

v(cid:238)i h‹ng sŁ c n(cid:160)o (cid:31)(cid:226).

Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n, ch(cid:243)ng ta cƒn chøng minh bŒ (cid:31)• sau

BŒ (cid:31)• 3.2.7. Cho f v(cid:160) g l(cid:160) c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng. Cho α ((cid:54)≡ 0, ∞) l(cid:160) h(cid:160)m

nh(cid:228) so v(cid:238)i f v(cid:160) g, c(cid:226) hœu h⁄n kh(cid:230)ng (cid:31)i”m v(cid:160) c(cid:252)c (cid:31)i”m. Gi£ sß f v(cid:160) g chung ∞

kh(cid:230)ng t‰nh bºi v(cid:160) th(cid:228)a m¢n

[Q(f )](k)[Q(g)](k) = α2. (3.43)

Khi (cid:31)(cid:226), n‚u h ≥ 1 th… l = 1.

Chøng minh. Ch(cid:243)ng ta c(cid:226) th” vi‚t

Q(z) − Q(ζ1) = cm1+1(z − ζ1)m1+1 + cm1+2(z − ζ1)m1+2 + · · · + cq(z − ζ1)q, (3.44)

trong (cid:31)(cid:226) cj l(cid:160) c¡c h‹ng sŁ th(cid:228)a m¢n cm1+1 (cid:54)= 0 v(cid:160) cq (cid:54)= 0. Rª r(cid:160)ng [Q(z)](k) = [Q(z) − Q(ζ1)](k). V… th‚, tł (3.43) v(cid:160) (3.44) ta c(cid:226)

(3.45) [(f − ζ1)m1+1R(f )](k)[(g − ζ1)m1+1R(g)](k) = α2,

trong (cid:31)(cid:226) R(z) l(cid:160) mºt (cid:31)a thøc b“c q − m1 − 1, v(cid:160) R(ζ1) (cid:54)= 0. V… f v(cid:160) g chung ∞

kh(cid:230)ng t‰nh bºi n¶n c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa f v(cid:160) g ch¿ c(cid:226) th” nh“n (cid:31)(cid:247)æc tł c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m

cıa α. Theo gi£ thi‚t α c(cid:226) hœu h⁄n c(cid:252)c (cid:31)i”m n¶n f v(cid:160) g c(cid:244)ng ch¿ c(cid:226) hœu h⁄n c(cid:252)c

(cid:31)i”m. M(cid:176)t kh¡c, theo gi£ thi‚t m1 ≥ k, ta c(cid:226) v‚ tr¡i cıa (3.45) c(cid:226) mºt nh¥n tß

f − ζ1. Do (cid:31)(cid:226), n‚u z0 l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa f − ζ1 th… z0 ph£i l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng (cid:31)i”m

cıa α. V… α c(cid:226) hœu h⁄n kh(cid:230)ng (cid:31)i”m n¶n f − ζ1 c(cid:244)ng ch¿ c(cid:226) hœu h⁄n kh(cid:230)ng (cid:31)i”m.

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252), ta c(cid:226) g − ζ1 ch¿ c(cid:226) hœu h⁄n kh(cid:230)ng (cid:31)i”m. Nh(cid:247) v“y, f − ζ1 v(cid:160) g − ζ1 c(cid:226) hœu

h⁄n kh(cid:230)ng (cid:31)i”m v(cid:160) c(cid:252)c (cid:31)i”m.

B¥y gi(cid:237) ch(cid:243)ng ta x†t hai tr(cid:247)(cid:237)ng hæp sau.

Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 1. Gi£ sß f ho(cid:176)c g l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t. Kh(cid:230)ng m§t t‰nh

tŒng qu¡t, ta c(cid:226) th” gi£ sß r‹ng f l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh si¶u vi»t. V… f − ζ1 ch¿ c(cid:226)

hœu h⁄n kh(cid:230)ng (cid:31)i”m v(cid:160) c(cid:252)c (cid:31)i”m n¶n ta c(cid:226) th” vi‚t f − ζ1 = heβ, trong (cid:31)(cid:226) β l(cid:160) mºt

h(cid:160)m nguy¶n kh¡c h‹ng v(cid:160) h l(cid:160) mºt h(cid:160)m hœu t(cid:27) kh¡c kh(cid:230)ng. Do (cid:31)(cid:226)

(3.46) [cj(f − ζ1)j](k) = Pj(β(cid:48), β(cid:48)(cid:48), . . . , β(k), h, h(cid:48), . . . , h(k))ejβ,

trong (cid:31)(cid:226) Pj, (j = m1 + 1, . . . , q), l(cid:160) c¡c (cid:31)a thøc cıa h, c¡c (cid:31)⁄o h(cid:160)m cıa h v(cid:160) c¡c

(cid:31)⁄o h(cid:160)m cıa β v(cid:160) Pm1+1 (cid:54)≡ 0. Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng β l(cid:160)m mºt h(cid:160)m nguy¶n v(cid:160) h l(cid:160) mºt h(cid:160)m

hœu t(cid:27) kh¡c kh(cid:230)ng. Do (cid:31)(cid:226),

(cid:1) + o(T (r, f )) = o(T (r, f ))

T (r, β(j)) = m(r, β(j)) = m(r, β(cid:48)) + o(T (r, f ))

(cid:1) + m(cid:0)r,

= m(cid:0)r, h(cid:48) h (heβ)(cid:48) heβ

v(cid:238)i j = 1, 2, . . . , k. Tł (cid:31)(cid:226) suy ra

T (r, Pj) = o(T (r, f )),

hay n(cid:226)i c¡ch kh¡c Pj l(cid:160) c¡c h(cid:160)m nh(cid:228) so v(cid:238)i f. Tł (3.45), (3.46) v(cid:160) gi£ thi‚t f v(cid:160) g

chung ∞ kh(cid:230)ng t‰nh bºi, suy ra

(cid:1) ≤ N(cid:0)r,

(cid:1) = o(T (r, f )).

N(cid:0)r, 1 α 1 Pqe(q−m1−1)β + · · · + Pm1+1

Gi£ sß l ≥ 2. Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226) q > m1 + 1. (cid:129)p d(cid:246)ng (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø hai cho c¡c

h(cid:160)m nh(cid:228) 0, −Pm1+1, ∞ v(cid:160) BŒ (cid:31)• 1.1.9, ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:1)

(q − m1 − 1)T (r, f ) ≤ T (r, Pqe(q−m1−1)β + · · · + Pm1+2eβ) + o(T (r, f ))

(cid:1)

≤ N(cid:0)r,

+ N(cid:0)r, 1 Pqe(q−m1−1)β + · · · + Pm1+2eβ 1 Pqe(q−m1−1)β + · · · + Pm1+1

+ N (r, Pqe(q−m1−1)β + · · · + Pm1+2eβ) + o(T (r, f ))

(cid:1) + o(T (r, f ))

≤ N(cid:0)r,

1 Pqe(q−m1−2)β + · · · + Pm1+2 ≤ (q − m1 − 2)T (r, f ) + o(T (r, f )).

(cid:30)i•u n(cid:160)y m¥u thu¤n v(cid:238)i gi£ thi‚t v• c¡c h(cid:160)m f v(cid:160) g. Do (cid:31)(cid:226), l = 1.

Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 2. Gi£ sß f v(cid:160) g l(cid:160) c¡c h(cid:160)m hœu t(cid:27). Khi (cid:31)(cid:226), α l(cid:160) mºt h‹ng sŁ kh¡c

kh(cid:230)ng. V… f v(cid:160) g chung ∞ kh(cid:230)ng t‰nh bºi v(cid:160) m1 ≥ k n¶n f − ζ1 v(cid:160) g − ζ1 kh(cid:230)ng

c(cid:226) kh(cid:230)ng (cid:31)i”m v(cid:160) c(cid:252)c (cid:31)i”m. (cid:30)i•u n(cid:160)y l(cid:160) kh(cid:230)ng th” v… f v(cid:160) g l(cid:160) c¡c h(cid:160)m kh¡c h‹ng.

Nh(cid:247) v“y, BŒ (cid:31)• 3.2.7 (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

Chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.6. Chøng minh cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.6 (cid:31)(cid:247)æc th(cid:252)c hi»n tłng b(cid:247)(cid:238)c

t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) trong chøng minh cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.1, nh(cid:247)ng b‹ng c¡ch sß d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh

l(cid:254) 3.1.4 thay cho (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.2 v(cid:160) k‚t hæp v(cid:238)i vi»c sß d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 3.2.7 (cid:31)¢ chøng

minh (cid:240) tr¶n.

B‹ng c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p chøng minh nh(cid:247) tr¶n, ch(cid:243)ng t(cid:230)i (cid:31)(cid:247)a ra c¡c k‚t qu£ v•

t‰nh duy nh§t cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp c¡c (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa

c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh (cid:31)(cid:226) chung mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh nh(cid:228) kh(cid:230)ng t‰nh bºi. K‚t qu£ cıa

ch(cid:243)ng t(cid:230)i nh(cid:247) sau.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.8. Cho f v(cid:160) g l(cid:160) c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng, v(cid:160) α l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n

i=υ+1 mi th… mºt trong c¡c khﬂng (cid:31)(cid:224)nh sau l(cid:160)

h…nh kh¡c kh(cid:230)ng, nh(cid:228) so v(cid:238)i f. Gi£ sß [Q(f )](k) v(cid:160) [Q(g)](k) chung α kh(cid:230)ng t‰nh bºi. N‚u q > 4k + 12 + υ(5k + 2) + 5 (cid:80)l

(cid:31)(cid:243)ng:

(i) Q(f ) = Q(g) + c, v(cid:238)i h‹ng sŁ c n(cid:160)o (cid:31)(cid:226).

(ii) [Q(f )](k)[Q(g)](k) = α2.

Chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.8. (cid:30)(cid:176)t

F := [Q(f )](k), F1 := Q(f ),

G := [Q(g)](k), G1 := Q(g).

D„ th§y

o(T (r, F )) = o(T (r, f )), v(cid:160) o(T (r, G)) = o(T (r, g)).

Theo BŒ (cid:31)• 3.2.3, ta c(cid:226) α c(cid:244)ng l(cid:160) mºt h(cid:160)m nh(cid:228) so v(cid:238)i g.

V… [Q(f )](k) v(cid:160) [Q(g)](k) chung α kh(cid:230)ng t‰nh bºi n¶n theo (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.5 ta c(cid:226)

(cid:1)(cid:1)+

(cid:1)+N2

mºt trong c¡c tr(cid:247)(cid:237)ng hæp sau th(cid:228)a m¢n:

(cid:0)r, 1 F

(cid:0)r, 1 G

(cid:1)+2(cid:0)N (r, F )+N(cid:0)r, 1 F

(a) T (r, F ) ≤ N2(r, F )+N2(r, G)+N2

G) + o(T (r, f )) + o(T (r, g)), v(cid:160) b§t (cid:31)ﬂng thøc t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) c(cid:244)ng

N (r, G) + N (r, 1

(cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i T (r, G);

(b) F ≡ G;

N‚u tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (b) x£y ra th… theo BŒ (cid:31)• 3.2.2 ta c(cid:226) Q(f ) = Q(g) + c, v(cid:238)i c

l(cid:160) mºt h‹ng sŁ n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). Nh(cid:247) v“y, khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (i) trong (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n. N‚u

tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (c) x£y ra th… ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc khﬂng (cid:31)(cid:224)nh (ii) trong (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254). Do (cid:31)(cid:226), ta ch¿

cÆn ph£i x†t tr(cid:247)(cid:237)ng hæp khi (a) x£y ra. Trong phƒn ti‚p theo cıa chøng minh ch(cid:243)ng

ta s‡ (cid:31)i xem x†t tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n(cid:160)y.

(cid:0)r,

(cid:1) + N (r, G)

(cid:0)r,

Gi£ sß tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (a) th(cid:228)a m¢n. Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

T (r, F ) ≤ N2(r, F ) + N2(r, G) + N2 1 G

(cid:1)(cid:1) + o(T (r, f )) + o(T (r, g)).

(cid:1) + N2 1 F

1 F (cid:1) + 2(cid:0)N (r, F ) + N(cid:0)r, + N(cid:0)r, 1 G

(cid:1)

(cid:0)r,

(cid:1) = N2

(cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 3.1.3, ta c(cid:226)

N2 1 G (G(cid:48)

(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, g)),

1) + Nk+1

(cid:1)

1 1)(k−1) ≤ (k − 1)N (r, G(cid:48) 1 G(cid:48) 1

(cid:0)r,

(cid:1) = N1

(cid:0)r,

N(cid:0)r, 1 F (F (cid:48)

(cid:1) + o(T (r, f )),

1) + Nk

1 1)(k−1) ≤ (k − 1)N (r, F (cid:48) 1 F (cid:48) 1

v(cid:160)

(cid:1) ≤ (k − 1)N (r, G(cid:48)

(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, g)).

1) + Nk

N(cid:0)r, 1 G 1 G(cid:48) 1

(cid:1)

(cid:0)r,

(cid:1) + (k − 1)N (r, G(cid:48)

(cid:0)r,

Tł c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc tr¶n ta (cid:31)(cid:247)æc

1) + Nk+1

(cid:1)(cid:1)

(cid:0)r,

T (r, F ) ≤ N2 1 F

1) + Nk

1 G(cid:48) 1 + N2(r, F ) + N2(r, G) + 2(cid:0)(k − 1)N (r, F (cid:48)

(cid:0)r,

1) + Nk

+ 2N (r, F ) + (k − 1)N (r, G(cid:48) 1 F (cid:48) 1 (cid:1) + N (r, G) 1 G(cid:48) 1 + o(T (r, f )) + o(T (r, g)). (3.47)

M(cid:176)t kh¡c, ta c(cid:226) th” vi‚t

Q(z) − R(z) = a(z − β)Q(cid:48)(z),

trong (cid:31)(cid:226) a (cid:54)= 0 v(cid:160) β l(cid:160) c¡c h‹ng sŁ v(cid:160) R(z) l(cid:160) mºt (cid:31)a thøc c(cid:226) b“c nhi•u nh§t l(cid:160)

(cid:1)

q − 2. (cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• (cid:31)⁄o h(cid:160)m logarit, ta c(cid:226)

(cid:1) = m(cid:0)r,

m(cid:0)r, · 1 Q(f ) − R(f ) (Q(f ))(cid:48) Q(f ) − R(f )

(cid:1) + O(1)

1 (Q(f ))(cid:48) (cid:16) (cid:1) + m r, ≤ m(cid:0)r, 1 F (cid:48) 1

(cid:1) + o(T (r, f )).

≤ m(cid:0)r, f (cid:48) a(f − β) 1 F (cid:48) 1

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra

1) = m(r,

(cid:1)

T (r, F (cid:48) ) + N (r, ) + O(1) 1 F (cid:48) 1

≥ T (cid:0)r, 1 F (cid:48) 1 (cid:1) − N(cid:0)r, 1 Q(f ) − R(f )

(cid:1)

(cid:1) − N(cid:0)r,

1 Q(f ) − R(f ) (cid:1) + O(1) + N(cid:0)r, 1 F (cid:48) 1

≥ qT (r, f ) − N(cid:0)r, 1 Q(cid:48)(f ) 1 f − β

(cid:1) + O(1).

+ N(cid:0)r, 1 F (cid:48) 1

1, ta c(cid:226)

(cid:0)r,

(cid:1) + o(T (r, f ))

(cid:0)r,

Do (cid:31)(cid:226), ¡p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 3.1.3 cho h(cid:160)m F (cid:48)

(cid:1) − Nk+1

1) + N2

(cid:1)

T (r, F ) ≥ T (r, F (cid:48) 1 F

(cid:1) − N(cid:0)r,

(cid:1) + N(cid:0)r,

≥ qT (r, f ) − N(cid:0)r, 1 F (cid:48) 1

(cid:0)r,

(cid:1) − Nk+1

1 F (cid:48) 1 1 f − β (cid:1) + o(T (r, f )). 1 Q(cid:48)(f ) (cid:0)r, (3.48) + N2 1 F 1 F (cid:48) 1

(cid:0)r,

K‚t hæp c¡c B§t (cid:31)ﬂng thøc (3.47) v(cid:160) (3.48), ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:1) + N2(r, G) + N2(r, F )

1) + Nk+1

qT (r, f ) ≤ (k − 1)N (r, G(cid:48)

(cid:1)(cid:1) + 2N (r, F )

1) + Nk

(cid:1)

+ 2(cid:0)(k − 1)N (r, F (cid:48)

(cid:0)r,

1) + Nk

1 G(cid:48) 1 1 (cid:0)r, F (cid:48) 1 (cid:1) + N (r, G) + N(cid:0)r, + (k − 1)N (r, G(cid:48) 1 f − β 1 G(cid:48) 1

(cid:1)

(cid:1) − N(cid:0)r,

(cid:0)r,

(cid:1) + Nk+1

υ (cid:88)

(cid:1)

+ N(cid:0)r, 1 Q(cid:48)(f ) 1 F (cid:48) 1 1 F (cid:48) 1 + o(T (r, f )) + o(T (r, g))

(cid:1) + (2k + 1)

i=1

l (cid:88)

(cid:1)

N(cid:0)r, ≤ (2k + 1)N (r, g) + 2N(cid:0)r, 1 g(cid:48) 1 g − ζi

(cid:1) + (2k + 2)N (r, f ) + 2N(cid:0)r,

i=υ+1

υ (cid:88)

l (cid:88)

(cid:1)

+ 2 miN(cid:0)r, 1 f (cid:48) 1 g − ζi

(cid:1) + 3

i=1

i=υ+1

(cid:1) + o(T (r, f )) + o(T (r, g))

N(cid:0)r, + (3k + 1) miN(cid:0)r, 1 f − ζi 1 f − ζi

l (cid:88)

+ N(cid:0)r, 1 f − β

(cid:1)T (r, g)

i=υ+1

l (cid:88)

(cid:1)T (r, f )

≤ (cid:0)2k + 5 + υ(2k + 1) + 2 mi

i=υ+1

+ (cid:0)2k + 7 + υ(3k + 1) + 3 mi

+ o(T (r, f )) + o(T (r, g)).

l (cid:88)

(cid:0)q − 2k − 7 − υ(3k + 1) − 3

(cid:1)T (r, f )

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra

i=υ+1

l (cid:88)

(cid:1)T (r, g)

i=υ+1

≤ (cid:0)2k + 5 + υ(2k + 1) + 2 mi

+ o(T (r, f )) + o(T (r, g)). (3.49)

l (cid:88)

(cid:0)q − 2k − 7 − υ(3k + 1) − 3

(cid:1)T (r, g)

Chøng minh t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) b§t (cid:31)ﬂng thøc tr¶n cho h(cid:160)m g, ta c(cid:226)

i=υ+1

l (cid:88)

(cid:1)T (r, f )

i=υ+1

≤ (cid:0)2k + 5 + υ(2k + 1) + 2 mi

+ o(T (r, f )) + o(T (r, g)). (3.50)

l (cid:88)

(cid:1)(T (r, g) + T (r, f )) ≤ o(T (r, f )) + o(T (r, g)).

(cid:0)q − 4k − 12 − υ(5k + 2) − 5

K‚t hæp c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc (3.49) v(cid:160) (3.50), ta (cid:31)(cid:247)æc

i=υ+1

i=υ+1 mi ta c(cid:226) m¥u thu¤n v(cid:238)i gi£ thi‚t v•

Do (cid:31)(cid:226), khi q > 4k + 12 + υ(5k + 2) + 5 (cid:80)l

c¡c h(cid:160)m f v(cid:160) g. Nh(cid:247) v“y, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.8 (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

K‚t lu“n (ii) trong (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.8 c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)æc b(cid:228) (cid:31)i n‚u ta bŒ sung th¶m c¡c r(cid:160)ng

buºc v• sŁ kh(cid:230)ng (cid:31)i”m bºi cıa Q(cid:48)(z) ho(cid:176)c n‚u th¶m gi£ thi‚t f v(cid:160) g chung c(cid:252)c (cid:31)i”m

kh(cid:230)ng t‰nh bºi.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.9. Cho f v(cid:160) g l(cid:160) c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng, v(cid:160) α l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n

i=υ+1 mi v(cid:160) mºt trong c¡c (cid:31)i•u ki»n sau

h…nh kh¡c kh(cid:230)ng, nh(cid:228) so v(cid:238)i f. Gi£ sß [Q(f )](k) v(cid:160) [Q(g)](k) chung α kh(cid:230)ng t‰nh bºi. Gi£ sß r‹ng q > 4k + 12 + υ(5k + 2) + 5 (cid:80)l

th(cid:228)a m¢n

(i) h ≥ 4;

q (cid:54)= 3m1−2k+3 (ii) h = 3 v(cid:160) q (cid:54)= 2m1 − 2k + 2, , v(cid:160) q (cid:54)= 3mi − 2k + 3, v(cid:238)i m(cid:229)i

i = 1, 2, 3; ho(cid:176)c

(iii) h = 2 v(cid:160) f v(cid:160) g chung ∞ kh(cid:230)ng t‰nh bºi.

Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226) Q(f ) = Q(g) + c, v(cid:238)i h‹ng sŁ c n(cid:160)o (cid:31)(cid:226).

Chøng minh. (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.9 (cid:31)(cid:247)æc suy ra tł (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.8 v(cid:160) BŒ (cid:31)• 3.2.5.

Ch(cid:243) (cid:254) 3.2.10. Mºt (cid:31)a thøc Q ∈ C[z] (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) mºt (cid:31)a thøc duy nh§t cho mºt

l(cid:238)p h(cid:160)m F n‚u v(cid:238)i hai h(cid:160)m f, g ∈ F b§t k(cid:253) th(cid:228)a m¢n Q(f ) = Q(g) k†o theo f = g.

Trong c¡c k‚t qu£ tr¶n ta c(cid:226) th” suy ra (cid:31)(cid:247)æc Q(f ) = Q(g) v(cid:238)i c¡c (cid:31)i•u ki»n th‰ch

hæp. Do (cid:31)(cid:226), n‚u x†t Q l(cid:160) mºt (cid:31)a thøc duy nh§t cho c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh th… c(cid:226) th”

k‚t lu“n r‹ng f = g.

K‚t qu£ ti‚p theo ch(cid:243)ng t(cid:230)i s‡ nghi¶n cøu tr(cid:247)(cid:237)ng hæp Q(f ) = Q(g) + c trong

c¡c (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) tr¶n. Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n, ch(cid:243)ng t(cid:230)i nh›c l⁄i (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a sau (cid:31)¥y.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 3.2.11. (cid:30)a thøc Q(z) ∈ C[z] (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) th(cid:228)a m¢n Gi£ thi‚t I n‚u

Q(ζi) (cid:54)= Q(ζj)

v(cid:238)i i (cid:54)= j; i, j = 1, 2, . . . , l, trong (cid:31)(cid:226) ζ1, . . . , ζl l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m ph¥n bi»t cıa Q(cid:48)(z).

Khi c¡c (cid:31)a thøc P v(cid:160) Q th(cid:228)a m¢n Gi£ thi‚t I v(cid:160) c(cid:226) c(cid:242)ng b“c, T. T. H. An v(cid:160)

N. T. N. Di»p [4, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 4] (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra mºt (cid:31)i•u ki»n cƒn v(cid:160) (cid:31)ı (cid:31)” (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cong x¡c

(cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh P (x) − Q(y) = 0 kh(cid:230)ng c(cid:226) c¡c th(cid:160)nh phƒn b§t kh£ quy giŁng

0 ho(cid:176)c 1. K‚t qu£ cıa h(cid:229) nh(cid:247) sau.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.12 ([4]). Cho P v(cid:160) Q l(cid:160) c¡c (cid:31)a thøc c(cid:242)ng b“c n th(cid:228)a m¢n Gi£ thi‚t

l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m ph¥n bi»t cıa P (cid:48)(x) v(cid:238)i c¡c bºi t(cid:247)(cid:236)ng øng l(cid:160)

I. G(cid:229)i α1, . . . αl p1, . . . , pl v(cid:160) β1, . . . , βh l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m ph¥n bi»t cıa Q(cid:48)(x) v(cid:238)i c¡c bºi t(cid:247)(cid:236)ng øng

l(cid:160) q1, . . . qh. Khi (cid:31)(cid:226), (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cong P (x) − Q(y) c(cid:226) th(cid:160)nh phƒn b§t kh£ quy c(cid:226) giŁng 0

ho(cid:176)c 1 khi v(cid:160) ch¿ khi P v(cid:160) Q th(cid:228)a m¢n mºt trong c¡c (cid:31)i•u ki»n sau.

(1) P (x) − Q(y) c(cid:226) nh¥n tß tuy‚n t‰nh.

(2) n = 2 ho(cid:176)c n = 3.

(3) n = 4 v(cid:160) t(cid:231)n t⁄i ‰t nh§t hai ch¿ sŁ i sao cho P (αi) = Q(βi) ho(cid:176)c ch¿ t(cid:231)n t⁄i

mºt ch¿ sŁ i sao cho P (αi) = Q(βi) v(cid:160) |pi − qi| = 2.

(4) n = p1 + 1, l = 1, h = 2, p1 = q1 + 1, q2 = 1 v(cid:160) P (α1) = Q(β1); ho(cid:176)c n =

p1 + 2, l = 2, h = 1, q1 = p1 + 1, p2 = 1 v(cid:160) P (α1) = Q(β1).

(5) l = h = 2, p2 = q2 = 1, p1 = q1, n = p1 + 2 v(cid:160) P (α1) = Q(β1).

(6) n = 5, l0 = l = h = 3, p3 = q3 = p2 = q2 = 1, p1 = q1 = 2 v(cid:160) P (αi) = Q(βi)

v(cid:238)i i = 1, 2, 3, trong (cid:31)(cid:226) l0 l(cid:160) sŁ phƒn tß cıa t“p

A0 := {(i, j)|1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ h, P (αi) = Q(αj)}.

(7) n = 5, l0 = l = h = 2, pi = qi = 2, P (αi) = Q(βi) v(cid:238)i i = 1, 2.

Sß d(cid:246)ng c¡c (cid:31)i•u ki»n (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)a ra trong (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) tr¶n, ch(cid:243)ng t(cid:230)i c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)a

ra c¡c (cid:31)i•u ki»n (cid:31)ı (cid:31)” nghi¶n cøu ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh h(cid:160)m Q(f ) = Q(g) + c. K‚t qu£ cıa

ch(cid:243)ng t(cid:230)i (cid:31)(cid:247)æc ph¡t bi”u nh(cid:247) sau.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.13. Cho f v(cid:160) g l(cid:160) c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng, Q(z) l(cid:160) mºt (cid:31)a thøc

b“c ‰t nh§t 7. Gi£ sß Q(f ) = Q(g) + c v(cid:238)i h‹ng sŁ c n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226) c¡c khﬂng

(cid:31)(cid:224)nh sau.

2 , th… c = 0.

(i) N‚u t(cid:231)n t⁄i i (1 ≤ i ≤ l) sao cho mi > q+1

(ii) N‚u Q(z) th(cid:228)a m¢n Gi£ thi‚t I th… f = g, ngo⁄i trł tr(cid:247)(cid:237)ng hæp Q(z) =

(z − ζ1)m1(z − ζ2).

2 . Do (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226) th” vi‚t

Chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.13. (i) Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n(cid:160)y, t(cid:231)n t⁄i i, (1 ≤ i ≤ l), sao cho ζi l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa Q(cid:48)(z) v(cid:238)i bºi mi > q+1

(3.51) Q(z) − Q(ζi) = (z − ζi)mi+1R(z),

trong (cid:31)(cid:226) R(z) l(cid:160) mºt (cid:31)a thøc b“c q − mi − 1 v(cid:160) R(ζi) (cid:54)= 0. Ta c(cid:226)

Q(f ) = Q(g) + c, (3.52)

suy ra

T (r, f ) = T (r, g) + O(1), (3.53)

v(cid:160)

(3.54) (f − ζi)mi+1R(f ) = Q(g) − Q(ζi) + c.

Gi£ sß c (cid:54)= 0, khi (cid:31)(cid:226) tł (3.51), (3.53), (3.54) v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø hai ¡p d(cid:246)ng cho

h(cid:160)m Q(g) − Q(ζi) + c v(cid:238)i c¡c gi¡ tr(cid:224) 0, −c, ∞, ta c(cid:226)

) + N (r, ) + N (r, g) + o(T (r, g)) qT (r, g) ≤ N (r, 1 Q(g) − Q(ζi) + c

≤ N (r, ) + N (r, ) + N (r, ) + N (r, ) 1 R(f ) 1 R(g) 1 f − ζi 1 Q(g) − Q(ζi) 1 g − ζi

+ N (r, g) + o(T (r, g))

≤ (2q − 2mi + 1)T (r, g) + o(T (r, g)).

Do (cid:31)(cid:226),

(2mi − q − 1)T (r, g) ≤ o(T (r, g)),

2 . Tł (cid:31)(cid:226), suy ra c = 0. Nh(cid:247) v“y, khﬂng

(cid:31)i•u n(cid:160)y m¥u thu¤n v(cid:238)i gi£ thi‚t mi > q+1

(cid:31)(cid:224)nh (i) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

(ii) V… gi£ thi‚t q ≥ 7 n¶n ta ch¿ ph£i x†t c¡c Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 1 v(cid:160) 5 trong (cid:30)(cid:224)nh

l(cid:254) 3.2.12.

Tr(cid:247)(cid:238)c h‚t ch(cid:243)ng ta x†t Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 1 cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.12. V…

Fc(X, X) = Q(X) − Q(X) − c = −c,

n¶n X − Y l(cid:160) mºt nh¥n tß tuy‚n t‰nh cıa Fc(X, Y ) khi c = 0. Gi£ sß Y − rX − s

l(cid:160) mºt nh¥n tß tuy‚n t‰nh cıa Fc(X, Y ) v(cid:238)i (r, s) (cid:54)= (1, 0). Khi (cid:31)(cid:226) r (cid:54)= 0 v(cid:160)

Q(X) = Q(rX + s) + c. (3.55)

l (cid:89)

Do (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

i=1

Q(cid:48)(X) = rQ(cid:48)(rX + s) = r (rX + s − αi)mi.

Do t‰nh duy nh§t cıa t“p nghi»m cıa mºt (cid:31)a thøc n¶n t(cid:231)n t⁄i mºt ho¡n v(cid:224) τ cıa

r = ατ (i). Tł (3.55) ta c(cid:226)

{1, . . . , l} sao cho αi−s

Q(ατ (i)) = Q(rατ (i) + s) + c = Q(αi) + c,

i=1 Q(ατ (i)) = (cid:80)l

i=1 Q(αi), ta c(cid:226)

l (cid:88)

v(cid:238)i 1 ≤ i ≤ l. Tł (cid:31)ﬂng thøc tr¶n v(cid:160) ch(cid:243) (cid:254) r‹ng (cid:80)l

i=1

Q(αi) + lc = Q(αi). Q(ατ (i)) =

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra c = 0.

B¥y gi(cid:237) ch(cid:243)ng ta x†t Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 5 cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.12. Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n(cid:160)y,

ta c(cid:226) Q(ζ1) = Q(ζ1) + c. Suy ra c = 0.

Nh(cid:247) v“y, trong t§t c£ c¡c tr(cid:247)(cid:237)ng hæp ch(cid:243)ng ta (cid:31)•u c(cid:226) c = 0.

M(cid:176)t kh¡c, n‚u c = 0 th… tł gi£ thi‚t q ≥ 7 v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1 trong [9], ta c(cid:226) f = g

n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u l ≥ 2, trł tr(cid:247)(cid:237)ng hæp khi Q(cid:48)(z) = b(z − ζ1)m1(z − ζ2). Nh(cid:247) v“y, (cid:31)(cid:224)nh

l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

(cid:30)(cid:176)c bi»t, khi x†t (cid:31)a thøc c(cid:226) d⁄ng Q(z) = znP (z), ch(cid:243)ng ta thu (cid:31)(cid:247)æc c¡c k‚t

qu£ (cid:31)¢ bi‚t trong [40, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1] nh(cid:247) sau.

H» qu£ 3.2.14 ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1, [40]). Cho f v(cid:160) g l(cid:160) c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh kh¡c h‹ng, α

l(cid:160) mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh kh¡c kh(cid:230)ng nh(cid:228) so v(cid:238)i f v(cid:160) P l(cid:160) mºt (cid:31)a thøc b“c m. Gi£ sß

[f nP (f )](k) v(cid:160) [gnP (g)](k) chung α t‰nh c£ bºi. N‚u n > 3k + m + 8 th… mºt trong

c¡c tr(cid:247)(cid:237)ng hæp sau th(cid:228)a m¢n

(i) f nP (f ) = gnP (g); ho(cid:176)c

(ii) [f nP (f )](k)[f nP (f )](k) = α2.

l (cid:89)

Chøng minh. (cid:30)(cid:176)t Q(z) := znP (z) v(cid:160) q := deg Q = n + m. Gi£ sß

j=2

Q(cid:48)(z) = bzn−1 (z − ζj)mj

, cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.8. Th“t v“y, ta c(cid:226) n > 3k + m + 8 = 3k + q − n + 8, do d(cid:226) n > v(cid:238)i b ∈ C∗. Ch(cid:243)ng ta s‡ chøng minh c¡c gi£ thi‚t cıa h» qu£ th(cid:228)a m¢n c¡c gi£ thi‚t q + 1 2

υ (cid:88)

l (cid:88)

v(cid:160)

j=2

j=υ+1

l (cid:88)

q = n + m > 3k + 2m + 8 = 3k + 2 mj + 2 mj + 8

j=υ+1

l (cid:88)

≥ 3k + 8 + 2(υ − 1)(k + 1) + 2 mj

j=υ+1

= k + 6 + 2υ(k + 1) + 2 mj,

Do (cid:31)(cid:226), c¡c (cid:31)i•u ki»n trong (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.1 (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n. Nh(cid:247) v“y, H» qu£ 3.2.14 (cid:31)¢

(cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

3.3 K‚t lu“n

Trong phƒn (cid:31)ƒu cıa ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra (cid:31)(cid:247)æc c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc th”

hi»n mŁi quan h» giœa h(cid:160)m (cid:31)‚m v(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp c¡c h(cid:160)m ph¥n

h…nh chung mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh nh(cid:228) t‰nh c£ bºi (xem (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.2) v(cid:160) kh(cid:230)ng t‰nh

bºi (xem (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.5). C¡c k‚t qu£ n(cid:160)y l(cid:160) m(cid:240) rºng cıa c¡c (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng cıa h(cid:160)m

ph¥n h…nh chung mºt gi¡ tr(cid:224) (t‰nh c£ bºi ho(cid:176)c kh(cid:230)ng t‰nh bºi). Tr(cid:247)(cid:238)c (cid:31)¥y, khi xem

x†t c¡c b(cid:160)i to¡n li¶n quan (cid:31)‚n h(cid:160)m nh(cid:228), nhi•u t¡c gi£ th(cid:247)(cid:237)ng quy v• tr(cid:247)(cid:237)ng hæp

h‹ng (cid:31)” c(cid:226) th” ¡p d(cid:246)ng c¡c (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh chung mºt gi¡ tr(cid:224).

Tuy nhi¶n, trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n(cid:160)y, c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc s‡ xu§t hi»n th¶m c¡c kh(cid:230)ng

(cid:31)i”m v(cid:160) c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa h(cid:160)m nh(cid:228). Do (cid:31)(cid:226), mºt sŁ t¡c gi£ (cid:31)¢ c(cid:226) nhœng t‰nh to¡n

sai trong qu¡ tr…nh chøng minh. (cid:30)” tr¡nh sai lƒm n(cid:160)y, mºt sŁ t¡c gi£ kh¡c l⁄i t…m

c¡ch thay (cid:31)Œi (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a v• c¡c h(cid:160)m chung nhau mºt h(cid:160)m nh(cid:228), ho(cid:176)c th¶m c¡c (cid:31)i•u

ki»n (cid:31)” c(cid:226) th” tri»t ti¶u c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m, c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa h(cid:160)m nh(cid:228) trong c¡c b§t (cid:31)ﬂng

thøc. Vi»c chøng minh (cid:31)(cid:247)æc c¡c (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.2 v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.5 th(cid:252)c s(cid:252) c(cid:226) (cid:254) ngh(cid:190)a

v(cid:160) cƒn thi‚t v… nh(cid:237) (cid:31)(cid:226) ch(cid:243)ng ta kh(cid:230)ng cƒn quy b(cid:160)i to¡n v• tr(cid:247)(cid:237)ng hæp h‹ng, kh(cid:230)ng

cƒn ph£i thay (cid:31)Œi (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a, v(cid:160) kh(cid:230)ng cƒn th¶m gi£ thi‚t v(cid:160)o b(cid:160)i to¡n.

(cid:129)p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.2 v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.5, trong phƒn sau cıa ch(cid:247)(cid:236)ng ch(cid:243)ng t(cid:230)i

(cid:31)(cid:247)a ra c¡c k‚t qu£ v• t‰nh duy nh§t cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh khi c¡c (cid:31)a thøc vi ph¥n

cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh (cid:31)(cid:226) chung mºt h(cid:160)m nh(cid:228) t‰nh c£ bºi (xem (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.1, 3.2.4

v(cid:160) 3.2.6) v(cid:160) kh(cid:230)ng t‰nh bºi (xem (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.8 v(cid:160) 3.2.9). Th¶m nœa, trong phƒn n(cid:160)y

ch(cid:243)ng t(cid:230)i c(cid:244)ng (cid:31)(cid:247)a ra c¡c (cid:31)i•u ki»n (cid:31)ı (cid:31)” nghi¶n cøu ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh h(cid:160)m c(cid:226) d⁄ng Q(f ) = Q(g) + c, trong (cid:31)(cid:226) Q l(cid:160) (cid:31)a thøc v(cid:238)i h» sŁ tr¶n C v(cid:160) c l(cid:160) h‹ng sŁ.

K‚t lu“n cıa lu“n ¡n

Lu“n ¡n nghi¶n cøu ph¥n bŁ gi¡ tr(cid:224) cıa mºt sŁ d⁄ng (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh tr¶n tr(cid:247)(cid:237)ng sŁ phøc C v(cid:160) (cid:31)(cid:247)a ra mºt sŁ k‚t qu£ v• s(cid:252) x¡c (cid:31)(cid:224)nh duy nh§t

cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp c¡c (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n

h…nh (cid:31)(cid:226) chung nhau mºt h(cid:160)m nh(cid:228). C¡c k‚t qu£ ch‰nh cıa lu“n ¡n l(cid:160):

1. (cid:30)(cid:247)a ra mŁi li¶n h» giœa h(cid:160)m (cid:31)‚m c¡c c(cid:252)c (cid:31)i”m cıa mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh tr¶n tr(cid:247)(cid:237)ng sŁ phøc C v(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)‚m c¡c kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa h(cid:160)m ph¥n

h…nh (cid:31)(cid:226) (xem (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.2.1). (cid:30)¥y l(cid:160) mºt m(cid:240) rºng cıa gi£ thuy‚t Gol’dberg cho

tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh. K‚t qu£ cıa Yamanoi l(cid:160) mºt h»

qu£ tr(cid:252)c ti‚p cıa (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) n(cid:160)y (xem H» qu£ 1.2.4).

2. (cid:30)(cid:247)a ra quan h» sŁ khuy‚t cıa mºt (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh v(cid:160) c¡c

sŁ phøc hœu h⁄n v(cid:238)i ch(cid:176)n tr¶n b‹ng 1 (xem (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1.1). (cid:30)¥y l(cid:160) mºt m(cid:240) rºng cıa

gi£ thuy‚t Mues m(cid:160) gƒn (cid:31)¥y (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc gi£i quy‚t ho(cid:160)n to(cid:160)n b(cid:240)i Yamanoi.

3. Xem x†t ph¥n bŁ gi¡ tr(cid:224) cıa mºt sŁ d⁄ng (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh.

(cid:30)(cid:247)a ra (cid:31)i•u ki»n v• mŁi li¶n h» giœa b“c, sŁ kh(cid:230)ng (cid:31)i”m ph¥n bi»t, sŁ bºi cıa c¡c

nghi»m cıa c¡c (cid:31)a thøc v(cid:160) c§p cıa (cid:31)⁄o h(cid:160)m, (cid:31)” tł (cid:31)(cid:226) khﬂng (cid:31)(cid:224)nh r‹ng c¡c (cid:31)a thøc

vi ph¥n c(cid:226) d⁄ng [Q(f )](k), Φ = Q0(f )Q1(f (cid:48)) . . . Qk(f (k)) nh“n mØi gi¡ tr(cid:224) hœu h⁄n

kh¡c kh(cid:230)ng v(cid:230) sŁ lƒn (xem (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.1 v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.7) v(cid:160) (cid:31)a thøc vi ph¥n c(cid:226)

d⁄ng P (f ) + Q(f (k)) c(cid:226) v(cid:230) sŁ kh(cid:230)ng (cid:31)i”m (xem (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.5).

4. (cid:30)(cid:247)a ra c¡c (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh chung mºt h(cid:160)m ph¥n h…nh nh(cid:228)

t‰nh c£ bºi (xem (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.2) v(cid:160) kh(cid:230)ng t‰nh bºi (xem (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.5). C¡c k‚t qu£

n(cid:160)y l(cid:160) m(cid:240) rºng cho tr(cid:247)(cid:237)ng hæp c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh chung mºt gi¡ tr(cid:224) (cid:31)¢ bi‚t tr(cid:247)(cid:238)c

(cid:31)(cid:226). C¡c k‚t qu£ n(cid:160)y c(cid:244)ng gi(cid:243)p ch(cid:243)ng ta tr¡nh (cid:31)(cid:247)æc nhœng sai lƒm th(cid:247)(cid:237)ng g(cid:176)p trong

mºt sŁ v§n (cid:31)• li¶n quan (cid:31)‚n c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh chung mºt h(cid:160)m nh(cid:228).

5. (cid:30)(cid:247)a ra c¡c (cid:31)i•u ki»n v• b“c cıa (cid:31)a thøc v(cid:160) sŁ nghi»m bºi cıa (cid:31)⁄o h(cid:160)m cıa

(cid:31)a thøc (cid:31)(cid:226) (cid:31)” tł (cid:31)(cid:226) k‚t lu“n v• t‰nh duy nh§t cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh trong tr(cid:247)(cid:237)ng

hæp c¡c (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh (cid:31)(cid:226) chung nhau mºt h(cid:160)m nh(cid:228).

C¡c c(cid:230)ng tr…nh c(cid:230)ng bŁ li¶n quan (cid:31)‚n lu“n ¡n

1. T. T. H. An and N. V. Phuong, Zeros of differential polynomials of meromor-

phic functions, Acta Mathematica Vietnamica 47 (2022), 211 - 221.

2. T. T. H. An and N. V. Phuong, Uniqueness theorems for differential polyno-

mials sharing a small function, Computational Methods and Function Theory

17 (2017), 613 - 634.

3. T. T. H. An and N. V. Phuong, A Note on Hayman’s Conjecture, International

Journal of Mathematics Vol. 31 (2020), No. 06, 2050048.

4. T. T. H. An and N. V. Phuong, A lemma about meromorphic functions shar-

ing a small function, Computational Methods and Function Theory 22 (2022),

No. 02, 277 - 286.

5. N. V. Phuong, Normality and uniqueness property of meromorphic function

in terms of some differential polynomials, Vietnam Journal of Mathematics 49

(2021), 1317 - 1332.

C¡c k‚t qu£ trong lu“n ¡n (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc b¡o c¡o t⁄i c¡c hºi ngh(cid:224):

• Hºi ngh(cid:224) nghi¶n cøu sinh cıa Vi»n To¡n h(cid:229)c: 10/2016, 11/2017, 11/2018,

11/2019, 11/2020 v(cid:160) 11/2021

• Hºi ngh(cid:224) (cid:30)⁄i sŁ - L(cid:254) thuy‚t sŁ - H…nh h(cid:229)c v(cid:160) T(cid:230) p(cid:230) th¡ng 12/2019 t⁄i B(cid:160) R(cid:224)a

- V(cid:244)ng T(cid:160)u.

• Seminar (cid:30)⁄i sŁ v(cid:160) L(cid:254) thuy‚t sŁ - Vi»n To¡n h(cid:229)c.

T(cid:160)i li»u tham kh£o

Ti‚ng Vi»t

[1] T⁄ Th(cid:224) Ho(cid:160)i An, V• t“p x¡c (cid:31)(cid:224)nh duy nh§t v(cid:160) (cid:31)a thøc duy nh§t cho c¡c h(cid:160)m

ph¥n h…nh, Lu“n ¡n Ti‚n s(cid:190) To¡n h(cid:229)c - (cid:30)HSP Vinh, 2001.

[2] Nguy„n Th(cid:224) Ng(cid:229)c Di»p, Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)a thøc tr¶n tr(cid:247)(cid:237)ng c¡c h(cid:160)m hœu t(cid:27) v(cid:160)

øng d(cid:246)ng, Lu“n ¡n Ti‚n s(cid:190) To¡n h(cid:229)c - (cid:30)HSP Vinh, 2014.

[3] H(cid:160) Trƒn Ph(cid:247)(cid:236)ng, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) c(cid:236) b£n thø hai v(cid:238)i bºi c›t c(cid:246)t v(cid:160) t“p x¡c (cid:31)(cid:224)nh duy nh§t,

Lu“n ¡n Ti‚n s(cid:190) To¡n h(cid:229)c - Vi»n To¡n h(cid:229)c, 2009.

Ti‚ng Anh

[4] T. T. H. An and N. T. N. Diep, Genus one factors of curves defined by sepa-

rated variable polynomials, Journal of Number Theory, 133 (2013), 2616 - 2634.

[5] T. T. H. An and N. V. Phuong, Zeros of differential polynomials of meromor-

phic functions, Acta Mathematica Vietnamica 47 (2022), 211 - 221.

[6] T. T. H. An and N. V. Phuong, Uniqueness theorems for differential polynomi-

als sharing a small function, Computational Methods and Function Theory 17

(2017), 613 - 634.

[7] T. T. H. An and N. V. Phuong, A Note on Hayman’s Conjecture, International

Journal of Mathematics Vol. 31 (2020), No. 06, 2050048.

[8] T. T. H. An and N. V. Phuong, A lemma about meromorphic functions sharing

a small function, Computational Methods and Function Theory 22 (2022), No.

02, 277 - 286.

[9] T. T. H. An and J. T. Y. Wang, Uniqueness polynomials for complex meromor-

phic functions, International Journal of Mathematics 13(10) (2002), 1095 - 1115.

[10] W. Bergweiler and A. Eremenko, On the singularities of the inverse to a mero-

morphic function of finite order, Revista Matem¡tica Iberoamericana 11 (1995),

no. 2, 355 - 373.

[11] S. S. Bhoosnurmatha and R. S. Dyavanal, Uniqueness and value-sharing of

meromorphic functions, Computers and Mathematics with Applications 53

(2007), 1191 - 1205.

[12] K. Boussaf, A. Escassut and J. Ojeda, Complex meromorphic functions

f (cid:48)P (cid:48)(f ), g(cid:48)P (cid:48)(g) sharing a small function, Indagationes Mathematicae 24

(2013), 15 - 41.

[13] W. Cherry and Z. Ye, Nevanlinna’s theory of value distribution. The second

main theorem and its error terms, Springer Monographs in Mathematics.

Springer-Verlag, Berlin, 2001. xii+201 pp.

[14] H. H. Chen and M. L. Fang, On the value distribution of f nf (cid:48), Science in China

Series A 38 (1995), 789 - 798.

[15] W. Doeringer, Exceptional values of differential polynomials, Pacific Journal of

Mathematics, 98 (1982), no. 1, 55 - 62.

[16] M. Fang and W. Hong, A unicity theorem for entire functions concerning dif-

ferential polynomials, Indian Journal of Pure and Applied Mathematics 32 (9)

(2001), 1343 - 1348.

[17] M. Fang and X. H. Hua, Entire functions that share one value, J. Nanjing Univ.

Math. Biq. 13 (1) (1996), 44 - 48.

[18] G. Frank and G. Weissenborn, Rational deficient functions of meromorphic

functions, Bull. London Math. Soc. 18 (1986), no. 1, 29 - 33.

[19] A. Gol’dberg and I. Ostrovskii, Value Distribution of Meromorphic Functions,

Translations of Mathematical Monographs. American Mathematical Society,

Providence (2008)

[20] W. K. Hayman, On the characteristic of functions meromorphic in the plane

and of their integrals, Proceedings of the London Mathematical Society 3.1

(1965), 93 - 128.

[21] W. K. Hayman, Picard values of meromorphic functions and their derivatives,

Annals of Mathematics 70 (1959), 9 - 42.

[22] W. K. Hayman, Meromorphic Functions, Oxford Mathematical Monographs,

Clarendon Press, Oxford, 1964.

[23] K. Ishizaki, Some remarks on results of Mues about deficiency sums of deriva-

tives, Archiv der Mathematik (Basel) 55 (1990), 374 - 379.

[24] Y. Jiang and B. Huang, A note on the value distribution of f 1(f (k))n, Hi-

roshima Mathematical Journal 46.2 (2016), 135 - 147.

[25] J. K. Langley, The second derivative of a meromorphic function of finite order,

Bulletin of the London Mathematical Society 35 (2003), 97 - 108.

[26] R. J. Li, L. Qiu and Z. X. Xuan, Uniqueness of meromorphic functions sharing

one small function, Journal of Computational and Applied Mathematics 263

(2014), 225 - 235.

[27] W. C. Lin and H. X. Yi, Uniqueness theorems for meromorphic functions con-

cerning fixed-points, Complex Variables, Theory and Application: An Interna-

tional Journal 49 (11) (2004), 793 - 806.

[28] N. V. Phuong, Normality and uniqueness property of meromorphic function

in terms of some differential polynomials, Vietnam Journal of Mathematics 49

(2021), 1317 - 1332.

[29] M. Ru, Nevanlinna theory and its relation to Diophantine approximation, World

Scientific, 2001.

[30] Y. F. Wang, On Mues conjecture and Picard values, Science in China Series A

36, 28 - 35 (1993)

[31] J. F. Xu, F. L(cid:4)u and H. X. Yi, Fixed-points and uniqueness of meromorphic

functions, Computers and Mathematics with Applications 59 (2010), 9 -17.

[32] K. Yamanoi, The second main theorem for small functions and related problems,

Acta mathematica 192 (2004), no. 2, 225 - 294.

[33] K. Yamanoi, Zeros of higher derivatives of meromorphic functions in the com-

plex plane, Proceedings of the London Mathematical Society (3) 106 (2013), 703

- 780.

[34] C. C. Yang, On deficiencies of differential polynomials II, Mathematische

Zeitschrift 149 (1972), 107 - 112.

[35] C. C. Yang and X. Hua, Uniqueness and value sharing of meromorphic func-

tions, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 22 (1997), 395 - 406.

[36] L. Yang, Precise estimate of total deficiency of meromorphic derivatives, Jour-

nal d’Analyse Mathematique 55 (1990), 287 - 296.

[37] L. Yang and Y. F. Wang, Drasin’s problems and Mues’s conjecture, Sci. China

Ser. A 35 (1992), 1180 - 1190.

[38] J. L. Zhang, Uniqueness theorems for entire functions concerning fixed-points,

Computers and Mathematics with Applications 56 (2008), 3079 - 3087.

[39] J. L. Zhang and L. Z. Yang, Some results related to a conjecture of R. Br¨uck,

Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 8 (1) (2007), Art. 18.

[40] X. B. Zhang and J. F. Xu, Uniqueness of meromorphic functions sharing a

small function and its applications, Computers and Mathematics with Appli-

cations 61 (2011), 722 - 730.

Ti‚ng (cid:30)øc

[41] E. Mues, Uber eine Defekt-und Verzweigungsrelation f ur die Ableitung mero-

morpher Funktionen (German), Manuscripta mathematica 5.3 (1971), 275 - 297.

[42] E. Mues, Uber ein Problem von Hayman (German), Mathematische Zeitschrift

164 (1979), no. 3, 239 - 259.

[43] G. P(cid:226)lya, Uber die Nullstellen sukzessiver Derivierten, Mathematische

Zeitschrift 12.1 (1922), 36 - 60.

Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số vấn đề của lý thuyết Nevanlinna ứng dụng cho đa thức vi phân

VI(cid:155)N H(cid:128)N L(cid:133)M KHOA H¯C V(cid:128) C˘NG NGH(cid:155) VI(cid:155)T NAM VI(cid:155)N TO(cid:129)N H¯C

NGUY(cid:153)N VI(cid:155)T PH(cid:215)(cid:204)NG

M¸T S¨ V(cid:135)N (cid:30)(cid:151) C(cid:213)A L(cid:222) THUY(cid:152)T NEVANLINNA V(cid:128) (cid:217)NG D(cid:214)NG CHO (cid:30)A TH(cid:217)C VI PH(cid:133)N

LU(cid:138)N (cid:129)N TI(cid:152)N S(cid:158) TO(cid:129)N H¯C

H(cid:160) Nºi - 2022

VI(cid:155)N H(cid:128)N L(cid:133)M KHOA H¯C V(cid:128) C˘NG NGH(cid:155) VI(cid:155)T NAM VI(cid:155)N TO(cid:129)N H¯C

NGUY(cid:153)N VI(cid:155)T PH(cid:215)(cid:204)NG

M¸T S¨ V(cid:135)N (cid:30)(cid:151) C(cid:213)A L(cid:222) THUY(cid:152)T NEVANLINNA V(cid:128) (cid:217)NG D(cid:214)NG CHO (cid:30)A TH(cid:217)C VI PH(cid:133)N

L(cid:237)i cam (cid:31)oan

L(cid:237)i c£m (cid:236)n

M(cid:246)c l(cid:246)c

M(cid:240) (cid:31)ƒu

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1

Kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa c¡c (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh

1.1 Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n b(cid:224)

1.1.1 L(cid:254) thuy‚t Nevanlinna cŒ (cid:31)i”n

1.1.2 Mºt sŁ k‚t qu£ cıa Yamanoi

1.2 (cid:215)(cid:238)c l(cid:247)æng kh(cid:230)ng (cid:31)i”m cıa (cid:31)a thøc vi ph¥n

cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh

1.3 K‚t lu“n

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2

Ph¥n bŁ gi¡ tr(cid:224) cıa (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa h(cid:160)m ph¥n h…nh

2.1 Quan h» sŁ khuy‚t cıa (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa

h(cid:160)m ph¥n h…nh

2.2 M(cid:240) rºng cıa gi£ thuy‚t Hayman cho mºt sŁ

d⁄ng (cid:31)a thøc vi ph¥n

2.3 K‚t lu“n

Ch(cid:247)(cid:236)ng 3

T‰nh duy nh§t cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp c¡c (cid:31)a thøc vi ph¥n chung mºt h(cid:160)m nh(cid:228)

3.1 C¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh chung mºt h(cid:160)m nh(cid:228)

3.2 C¡c (cid:31)a thøc vi ph¥n cıa c¡c h(cid:160)m ph¥n h…nh

chung mºt h(cid:160)m nh(cid:228)

3.3 K‚t lu“n

K‚t lu“n cıa lu“n ¡n

C¡c c(cid:230)ng tr…nh c(cid:230)ng bŁ li¶n quan (cid:31)‚n lu“n ¡n

C¡c k‚t qu£ trong lu“n ¡n (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc b¡o c¡o t⁄i c¡c hºi ngh(cid:224):

T(cid:160)i li»u tham kh£o

Ti‚ng Vi»t

Ti‚ng Anh

Ti‚ng (cid:30)øc

Có thể bạn quan tâm

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu các yếu tố ảnh hưởng đến sự phát triển nguồn nhân lực du lịch trong các cơ sở lưu trú tại Hà Nội

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu các yếu tố ảnh hưởng đến sự phát triển nguồn nhân lực du lịch trong các cơ sở lưu trú tại Hà Nội

Luận án Tiến sĩ: Giáo dục đạo đức sinh thái cho sinh viên các trường đại học tại Thành phố Hồ Chí Minh hiện nay

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Giáo dục đạo đức sinh thái cho sinh viên các trường đại học tại Thành phố Hồ Chí Minh hiện nay

Luận án Tiến sĩ: Công tác hoằng pháp và hoạt động của đạo tràng Phật giáo tỉnh Lào Cai hiện nay

Luận án Tiến sĩ: Hành vi nguy cơ ảnh hưởng đến sức khỏe tâm thần của học sinh trung học phổ thông tại Hà Nội hiện nay

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Hành vi nguy cơ ảnh hưởng đến sức khỏe tâm thần của học sinh trung học phổ thông tại Hà Nội hiện nay

Luận án Tiến sĩ: Đảng bộ tỉnh Đồng Nai lãnh đạo công tác bảo tồn và phát huy giá trị các di tích lịch sử - văn hóa từ năm 1996 đến năm 2015

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Đảng bộ tỉnh Đồng Nai lãnh đạo công tác bảo tồn và phát huy giá trị các di tích lịch sử - văn hóa từ năm 1996 đến năm 2015

Luận án Tiến sĩ: Thực hiện Pháp lệnh thực hiện dân chủ ở xã, phường, thị trấn vùng dân tộc thiểu số tỉnh Quảng Nam hiện nay

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Thực hiện Pháp lệnh thực hiện dân chủ ở xã, phường, thị trấn vùng dân tộc thiểu số tỉnh Quảng Nam hiện nay

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Công tác hoằng pháp và hoạt động của đạo tràng Phật giáo tỉnh Lào Cai hiện nay

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu chất lượng dịch vụ viễn thông di động tại Tổng công ty viễn thông Viettel

Luận án Tiến sĩ: Nâng cao chất lượng cơ sở vật chất các trường đại học tư thục trên địa bàn thành Hà Nội

Luận án Tiến sĩ: Năng lực cạnh tranh của doanh nghiệp nhỏ và vừa trên địa bàn tỉnh Phú Thọ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu các yếu tố ảnh hưởng tới sự thành công trong khởi sự kinh doanh của phụ nữ khu vực miền Bắc

Luận án Tiến sĩ: Kiểm soát nội bộ tại Tập đoàn xăng dầu Việt Nam

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Kiểm soát nội bộ tại Tập đoàn xăng dầu Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu giải pháp phát triển trung tâm logistics quốc tế cho khu vực kinh tế trọng điểm phía Bắc

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu các nhân tố ảnh hưởng đến mức độ công bố thông tin trên báo cáo thường niên của các ngân hàng thương mại Việt Nam

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng thuật toán thích nghi và học tăng cường cấu trúc Actor - Critic điều khiển bám quỹ đạo cho robot di động đa hướng mecanum

Luận án Tiến sĩ: Cơ cấu bệnh tim mạch và chất lượng cuộc sống của người cao tuổi mắc suy tim, rung nhĩ điều trị tại Bệnh viện Thống Nhất, thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng giải pháp đảm bảo an toàn thông tin cho quá trình học liên kết dựa trên mật mã

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phát triển năng lực đánh giá công nghệ cho học sinh trong dạy học môn Công nghệ 11 ở trường trung học phổ thông

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phân loại chi cầu diệp – Bulbophyllum Thouars (Orchidaceae) ở vùng Tây Nguyên bằng phương pháp hình thái và phân tử

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đặc điểm phân bố và dinh dưỡng của các loài lưỡng cư ở Vườn Quốc gia Bến En và Khu bảo tồn thiên nhiên Pù Luông, tỉnh Thanh Hóa

Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp luật dẫn và điều khiển cho một lớp tên lửa đối hải trên cơ sở ứng dụng mạng nơ ron và hệ mờ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hệ điều khiển góc Pitch tua bin gió trong điều kiện có nhiễu tác động

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hóa học lipid của hai loài san hô thủy tức Millepora dichotoma và Millepora platyphylla ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu kiểm soát phân phối công suất kéo trên cầu chủ động của ô tô con bằng ABS

Luận án Tiến sĩ: Ứng dụng phản ứng Domino vào tổng hợp các dẫn xuất Podophyllotoxin, Pyrimidine và đánh giá hoạt tính sinh học của các chất tổng hợp được

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và một số hoạt tính sinh học của cây chùm ngây (Moringa oleifera)

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và ứng dụng ức chế ăn mòn cho thép của cao chiết xuất từ cây Lộc vừng thuộc họ Lecythidaceae

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu