Nội dung nghiên cứu của luận án là vận dụng phương pháp nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh để giải bài toán tìm điểm bất động chung cho một họ vô hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert. Phương pháp này là sự kết hợp giữa nguyên lý bài toán phụ, được đề xuất bởi Cohen vào năm 4 1980 và phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov. Mời các bạn tham khảo nội dung chi tiết đề tài!
THÁI NGUYÊN – 2013
THÁI NGUYÊN - 2013
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của GS. TS. Nguyễn Bường và GS. TS. Yeol Je Cho.
Các kết quả trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa
từng được công bố trong các công trình của người khác.
Nghiên cứu sinh
Lâm Thùy Dương
ii
LỜI CẢM ƠN
Luận án này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm thuộc Đại
học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của GS. TS. Nguyễn Bường và GS.
TS. Yeol Je Cho. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới các thầy.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn tới các Thầy, Cô: GS. TSKH.
Phạm Kỳ Anh, PGS. TS. Phạm Hiến Bằng, PGS. TS. Phạm Việt Đức,
TS. Nguyễn Công Điều, GS. TSKH. Lê Dũng Mưu, GS. TSKH. Nguyễn
Xuân Tấn, TS. Nguyễn Thị Thu Thủy đã chỉ bảo tận tình và cho những ý
kiến đóng góp quí báu trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin chân thành cảm ơn tới Ban Giám đốc Đại học Thái Nguyên,
Ban Sau đại học, Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm, Phòng Sau
đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Giáo dục Tiểu học và Ban Chủ nhiệm khoa
Toán trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện
thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu sinh.
Tác giả xin chân thành cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp, anh chị em
nghiên cứu sinh đã trao đổi, giúp đỡ, động viên và khích lệ tác giả trong
quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận án.
Tác giả xin kính tặng những người thân yêu trong gia đình của mình
niềm vinh hạnh to lớn này.
Nghiên cứu sinh
Lâm Thùy Dương
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Một số khái niệm và kiến thức chuẩn bị
10 1.1. Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert . . . . . 10 Bất đẳng thức biến phân cổ điển . . . . . . . . . . . 11
1.1.1. 1.1.2. Một số phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức
biến phân cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2. Một số phương pháp lặp tìm điểm bất động cho một họ các
ánh xạ giả co chặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.1. Một số phương pháp lặp cơ bản . . . . . . . . . . . 25 1.2.2. Một số phương pháp lặp khác . . . . . . . . . . . . 30
Chương 2. Nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh cho một họ vô
37
hạn các ánh xạ giả co chặt 2.1. Phương pháp nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh dựa trên
tổng vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2. Phương pháp nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh dựa trên
ánh xạ Wn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Chương 3. Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động
71
chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn 3.1. Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của
họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert 71
3.2. Phương pháp KM-HSD cho họ hữu hạn các ánh xạ không
giãn trong không gian Hilbert
iii
. . . . . . . . . . . . . . . . 80 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
iv
MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
R tập hợp số thực
N tập hợp số tự nhiên
không gian Hilbert H H
không gian Banach E E
không gian liên hợp của E E∗
ánh xạ đơn vị I
miền xác định của ánh xạ T D(T )
tích vô hướng của x và y (cid:104)x, y(cid:105)
chuẩn của x trong không gian X (cid:107)x(cid:107)X
F (X) cận dưới lớn nhất của tập {F (x) : x ∈ X} inf x∈X
F (X) cận trên nhỏ nhất của tập {F (x) : x ∈ X} sup x∈X
không gian các dãy số hội tụ tới 0 với chuẩn sup c0
X ∩ Y X giao với Y
xn (cid:42) x dãy xn hội tụ yếu tới x
xn → x dãy xn hội mạnh tới x
phần tử không θ
phép chiếu mêtric lên C PC
F ix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T
ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian Banach E J
Trong toán học người ta thường gặp bài toán tìm một phần tử thuộc vào
giao của một họ các tập lồi đóng Ci trong không gian Hilbert hay Banach, với i = 1, 2, . . ., ở đây mỗi tập Ci có thể cho dưới dạng hiện như: hình cầu, không gian con cũng như nửa không gian hoặc dưới dạng ẩn như: tập điểm
bất động của một ánh xạ không giãn Ti, tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân với ánh xạ đơn điệu Ai, hay tập nghiệm của bài toán cân bằng với song hàm Gi(u, v). Bài toán này thường được gọi là bài toán Chấp nhận lồi và nó có ứng dụng rộng rãi trong lĩnh vực xử lý ảnh như phục chế lại và
tạo ảnh dựa vào các dữ liệu liên quan trực tiếp hay gián tiếp đến vật thể
cần xây dựng ảnh (xem [6], [26], [35], [63]). Lĩnh vực này còn có nhiều ứng
dụng trong y học, quân đội, công nghiệp và đặc biệt là trong thiên văn hay
k=1 và {yk}∞
công nghệ sinh học.
Trong trường hợp cardG = 2 và C1, C2 là các không gian con của H, bài toán này đã được Neumann J. V. [53] nghiên cứu vào năm 1949. Xuất phát từ một điểm x bất kỳ, ông xây dựng hai dãy {xk}∞ k=1 như sau:
(0.1) y0 = x, xk = PC1(yk−1), yk = PC2(xk), k = 1, 2, ...,
và đã chứng minh được rằng cả hai dãy này hội tụ mạnh đến PC(x) khi k → ∞, ở đây C = C1 ∩ C2 và PC(x) là phép chiếu mêtric lên C. Khi C1, C2 là các tập con lồi đóng bất kỳ của H, năm 1965, Bregman L. M. [13] chứng
minh được sự hội tụ yếu của các dãy lặp xác định như trên đến PC(x).
1
Trong trường hợp cardG ≥ 2 và mỗi tập Ci cho dưới dạng là tập điểm bất động của ánh xạ không giãn Ti, thì bài toán trên là bài toán tìm điểm
2
bất động chung cho một họ các ánh xạ không giãn {Ti}i≥2 và đã được các nhà toán học Ceng L. C. [19]−[20], Maingé P. E. [43], Marino G., Takahashi
W. [64] − [66], Xu H. K. [47], [48], ... nghiên cứu.
Mục đích của đề tài luận án là nghiên cứu một phương pháp giải mới để
tìm điểm bất động chung cho một họ các ánh xạ giả co chặt, chứa trường
hợp riêng là một họ các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.
Đối với ánh xạ λ-giả co chặt T trong không gian Hilbert được xác định
bởi
(cid:107) T (x) − T (y) (cid:107)2≤(cid:107) x − y (cid:107)2 +λ (cid:107) (I − T )(x) − (I − T )(y) (cid:107)2, (0.4)
với 0 ≤ λ < 1, Browder F. E. và Petryshyn W.V. [14], năm 1967, đã chứng
minh sự hội tụ yếu của phương pháp lặp Mann
(0.5) xn+1 = αxn + (1 − α)T (xn)
tới một điểm bất động của T , khi λ < α < 1.
Năm 1979, Reich S. [59] đã cải tiến kết quả trên cho lớp các ánh xạ
không giãn trong không gian Banach lồi đều và dãy lặp {xn} được xác định theo công thức:
n=0 thỏa mãn 0 < αn < 1 và (cid:80)∞
(0.6) xn+1 = αnxn + (1 − αn)T (xn).
Với điều kiện dãy số {αn}∞ n=0 αn(1−αn) = ∞, tác giả đã chứng minh được sự hội tụ yếu của dãy lặp (0.6) tới một điểm
bất động của ánh xạ không giãn T .
Ta thấy rằng các kết quả trên chỉ cho được sự hội tụ yếu, thậm chí với
cả ánh xạ không giãn. Để nhận được sự hội tụ mạnh đến điểm bất động
của ánh xạ không giãn T trong không gian Hilbert, Nakajo K. và Takahashi
W. [52] đã đề xuất phương pháp lai ghép sau:
3
x0 ∈ C,
yn = αxn + (1 − α)T (xn),
(0.7) Cn = {z ∈ C : (cid:107)yn − z(cid:107) ≤ (cid:107)xn − z(cid:107) ,
Qn = {z ∈ C : (cid:104)xn − z, x0 − xn(cid:105) ≥ 0},
xn+1 = PCn∩Qn(x0),
n=0 thỏa mãn điều kiện supn≥0 αn < 1. Năm 2007, Marino G. và Xu H. K. [48] mở rộng kết quả của Nakajo K.
ở đây, dãy số {αn}∞
và Takahashi W. [52] cho ánh xạ giả co chặt và thu được kết quả hội tụ
mạnh của dãy lặp tới một điểm bất động của ánh xạ giả co chặt T trong
không gian Hilbert. Sau này, một số tác giả khác mở rộng hơn nữa kết quả
trên cho một họ các ánh xạ giả co chặt (xem [3], [68], [16], [21]).
Năm 2010, Cho Y. J. [21] giới thiệu một phương pháp lặp để tìm điểm
bất động chung cho một họ vô hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian
Banach như sau:
∀n ≥ 1, (0.8) x0 ∈ C, xn = αnxn−1 + βnTn(xn) + γnun,
ở đây C là tập lồi đóng của không gian Banach E, {Tn}∞ n=1 : C → C là họ vô hạn các ánh xạ giả co chặt, {αn}, {βn} và {γn} là các dãy số thực trong đoạn [0, 1] sao cho αn + βn + γn = 1, còn {un} là một dãy bị chặn trong C. Với các điều kiện thích hợp cho tham số tác giả đã chứng minh được sự hội
tụ mạnh của dãy lặp (0.8) tới một điểm bất động chung của một họ vô hạn các ánh xạ giả co chặt {Tn}∞ n=1. Gần đây, bài toán này cũng được Song Y. L. [62], Xu W. và Wang Y. [76] nghiên cứu.
Trong luận án này, chúng tôi vận dụng phương pháp nguyên lý bài toán
phụ hiệu chỉnh để giải bài toán tìm điểm bất động chung cho một họ vô
hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert. Phương pháp này là
sự kết hợp giữa nguyên lý bài toán phụ, được đề xuất bởi Cohen vào năm
4
1980 và phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov. Phương pháp nguyên
lý bài toán phụ được đề xuất để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển: tìm u∗ ∈ C sao cho
(cid:104)F (u∗), v − u∗(cid:105) ≥ 0 v ∈ C, (0.9)
ở đây F : C → H là ánh xạ đơn điệu mạnh, liên tục Lipschitz và C là
một tập con lồi đóng của không gian Hilbert H. Khi ánh xạ F không có
tính đơn điệu mạnh, năm 2000, Baasansuren J. và Khan A. A. đã kết hợp
nguyên lý bài toán phụ với phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov để
được phương pháp Nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh. Cho một họ vô hạn các ánh xạ λi-giả co chặt {Ti}∞ i=1 từ một tập lồi đóng C của không gian Hilbert H vào H. Giả sử rằng F = (cid:84)∞ i=1 F ix(Ti) (cid:54)= ∅, ở đây F ix(Ti) là tập điểm bất động của ánh xạ Ti. Ta xét bài toán: tìm một phần tử
u∗ ∈ F. (0.10)
Để vận dụng phương pháp trên cho bài toán (0.10), trước tiên chúng tôi
xây dựng nghiệm hiệu chỉnh uα, là nghiệm của bất đẳng thức biến phân sau: tìm uα ∈ C sao cho
i=1
(cid:43) (cid:42) ∞ (cid:88) ≥ 0 ∀v ∈ C, (0.11) γiAi(uα) + αuα, v − uα
∞ (cid:88)
ở đây, Ai = I − Ti, α > 0 là tham số hiệu chỉnh đủ nhỏ dần đến 0 và {γi} là dãy số thực thỏa mãn điều kiện:
i=1
= γ < ∞, . γi > 0; (cid:101)λi = 1 − λi 2 γi (cid:101)λi
n=0 và {αn}∞
Thuật toán nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh được thiết lập như sau: Cho ϕ : H → R là một phiếm hàm lồi chính thường và khả vi Gâteaux, n=0 là hai
với ϕ(cid:48) đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz. Cho {(cid:15)n}∞ dãy số thực dương.
5
Lấy tùy ý z0 ∈ C và các tham số (cid:15)0, α0, ta xét bài toán sau: tìm z ∈ C
sao cho
i=1
(cid:40) (cid:42) (cid:33) (cid:43)(cid:41) (cid:32) ∞ (cid:88) ϕ(z) + . (0.12) (cid:15)0 γiAi(z0) + α0z0 − ϕ(cid:48)(z0), z min z∈C
Ta ký hiệu z1 là nghiệm của bài toán (0.12). Tiếp tục thay z0, (cid:15)0 và α0 tươngứng vởi z1, (cid:15)1 và α1. Từ đó dẫn đến thuật toán sau: • Thuật toán
(i) Tại bước k = 0, lấy tùy ý z0 ∈ C và các tham số (cid:15)0 và α0. (ii) Tại bước k = n, giải bài toán phụ sau: tìm z ∈ C sao cho
i=1
(cid:40) (cid:42) (cid:33) (cid:43)(cid:41) (cid:32) ∞ (cid:88) . (0.13) ϕ(z) + − ϕ(cid:48)(zn), z (cid:15)n γiAi(zn) + αnzn min z∈C
Gọi zn+1 là nghiệm của bài toán (0.13). (iii) Dừng, nếu (cid:107)zn+1 − zn(cid:107) nhỏ hơn một sai số cho trước. Ngược lại,
n=0 thỏa mãn các điều kiện
Khi các dãy số {(cid:15)n}∞ thay n ← n + 1 và trở về bước (ii). n=0 và {αn}∞
∞ (cid:88)
∞ (cid:88)
∞ (cid:88)
0 < (cid:15)n ≤ 1; 0 < αn+1 ≤ αn ≤ 1; αn → 0 khi n → ∞;
n=0
n=0
n=0
< ∞, (cid:15)nαn = ∞; (cid:15)2 n < ∞; (αn − αn+1)2 α3 n(cid:15)n
chúng tôi đã chứng minh được sự hội tụ mạnh của các dãy {uα} và {zn} tới nghiệm duy nhất u∗ của bài toán (0.10).
i=1 là một họ vô hạn các ánh xạ không giãn từ C vào H. Khi đó, bài toán (0.10) là bài
Trong bài toán (0.10), khi λi = 0 với mọi i ≥ 1, thì {Ti}∞
toán: tìm điểm bất động chung cho một họ vô hạn các ánh xạ không giãn
trong không gian Hibert và đã được nghiên cứu trong [43], [20], [66],[19],
[64]. Tuy nhiên, một mở rộng nữa của bài toán này là bài toán: tìm một
phần tử là nghiệm của bất đẳng thức biến phân và đồng thời là điểm bất
6
động chung của một họ (hữu hạn hoặc vô hạn) các ánh xạ không giãn trong
không gian Hilbert.
Cho T : C → C là ánh xạ không giãn trên tập lồi đóng C của không
gian Hilbert H và F : C → H là ánh xạ η-ngược đơn điệu mạnh. Giả sử
rằng S = V I(F, C) ∩ F ix(T ) (cid:54)= ∅, ở đây V I(F, C) ký hiệu là tập nghiệm
của bất đẳng thức biến phân (0.9). Xét bài toán: tìm một phần tử
u∗ ∈ S. (0.14)
Để giải bài toán (0.14), năm 2003, Takahashi W. và Toyoda M. [66] đã xây
dựng dãy lặp như sau:
(0.15) xn+1 = αnxn + (1 − αn)T PC(xn − λnF (xn)), n ≥ 0,
trong đó {αn} ⊂ (0, 1) và {λn} ⊂ (0, 2η). Với điều kiện thích hợp cho tham số, họ đã chứng minh dãy lặp {xn} xác định bởi (0.15) hội tụ yếu đến nghiện u∗ của bài toán (0.14).
Năm 2004, Iiduka H. và Takahashi W. [32] đã cải tiến kết quả trên. Khi
điều kiện của bài toán không thay đổi, bằng phương pháp lai ghép đã xây
dựng dãy lặp xác định như sau:
x0 ∈ C,
yn = αnxn + (1 − αn)T PC(xn − λnF (xn))
(0.16) Cn = {z ∈ C : (cid:107)z − yn(cid:107) ≤ (cid:107)z − xn(cid:107) ,
Qn = {z ∈ C : (cid:104)xn − x0, z − xn(cid:105) ≥ 0},
xn+1 = PCn∩Qn(x0), n ≥ 0
trong đó 0 ≤ αn ≤ c < 1; 0 < a ≤ λn ≤ b < 2η và họ đã chứng minh được sự hội tụ mạnh của dãy lặp (0.16) tới phần tử PV I(F,C)∩F ix(T )(x0).
Sau này, bài toán trên cũng được Nadezhkina N. và Takahashi W. nghiên
cứu và cho được các kết quả hội tụ yếu cũng như kết quả hội tụ mạnh (xem
[50], [51]).
7
Trong luận án, chúng tôi vận dụng nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh,
dựa trên ánh xạ loại-W , được tạo bởi từ một họ hữu hạn các ánh xạ không
giãn Tn, Tn−1, ... , T1 và các số thực γn, γn−1, ... , γ1, để giải bài toán tổng quát hơn: tìm một phần tử là nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ điển
và đồng thời là điểm bất động chung của một họ vô hạn các ánh xạ không
giãn trong không gian Hilbert.
Ngoài các kết quả trên, trong luận án chúng tôi còn xét bài toán: tìm
nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ điển (0.9) trên tập điểm bất động
chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.
Bài toán này đã được Yamada I. [77] nghiên cứu vào năm 2001. Ông
k=0 xác định như sau:
đề xuất một phương pháp mới, với tên gọi Hybrid Steepest Descent (HSD). Với phương pháp này dãy lặp {uk}∞
(0.17) uk+1 = T[k+1]uk − λk+1µF (T[k+1]uk),
L2
(cid:1), với η và L là các hằng số đơn điệu
u0 ∈ H, trong đó T[n] = Tn mod N , µ ∈ (cid:0)0, 2η mạnh là liên tục Lipschitz của ánh xạ F .
Với giả thiết thích hợp cho các tham số, Yamada đã chứng minh được k=0 tới nghiệm duy nhất u∗ của bất đẳng
i=1 F ix(Ti).
sự hội tụ mạnh của dãy lặp {uk}∞ thức biến phân cổ điển (0.9), với C = (cid:84)N
Gần đây bài toán này cũng có một số nhà toán học quan tâm nghiên
cứu như Xu H. K. và Kim T. H. [73], Zeng L. C. [80], [82], [84], Marino G.,
Xu H. K. [47], Liu X., Cui Y. [42].
Để giải bài toán trên, chúng tôi giới thiệu một phương pháp mới, là sự
n=0 được xác định như sau:
kết hợp giữa phương pháp HSD với phép lặp dạng Krasnoselskij-Mann. Với x0 tùy ý thuộc H, dãy lặp {xn}∞
0 = x0,
x0 ∈ H, y0
k)yi−1
k = (1 − βi yi
kTi(yi−1 k
k + βi
(0.18) ), i = 1, 2, · · · , N,
k)xk + β0
k(I − λkµF )yN
k , k ≥ 0,
xk+1 = (1 − β0
8
k, i = 0, . . . , N , thỏa mãn điều kiện: λk ∈
k ∈ (α, β), với α, β ∈ (0, 1) và k ≥ 0,
∞ (cid:88)
trong đó, các tham số λk và βi (0, 1), βi
k+1 − βi k
k=0
λk = ∞; λk = 0; (cid:12) (cid:12)βi (cid:12) (cid:12) = 0. lim k→∞ lim k→∞
i=1 F ix(Ti).
Với các điều kiện trên, chúng tôi đã chứng minh được sự hội tụ mạnh của dãy lặp (0.18) đến nghiệm duy nhất u∗ của bất đẳng thức biến phân cổ điển (0.9), với C = (cid:84)N
Nội dung của luận án được trình bày trong ba chương:
Chương 1 nhắc lại một số khái niệm và kiến thức chuẩn bị. Trong chương
này chúng tôi trình bày sơ lược về bất đẳng thức biến phân cổ điển và bài
toán điểm bất động. Chúng tôi hệ thống một số phương pháp tìm nghiệm
cho bất đẳng thức biến phân cổ điển như: phương pháp điểm bất động,
phương pháp đạo hàm tăng cường (Extragradient) và phương pháp nguyên
lý bài toán phụ. Phần cuối của chương chúng tôi trình bày một số phương
pháp lặp để tìm điểm bất động cho họ các ánh xạ giả co chặt trong không
gian Hilbert.
Chương 2 dành cho việc trình bày phương pháp nguyên lý bài toán phụ
hiệu chỉnh cho một họ vô hạn các ánh xạ giả co chặt và một họ vô hạn các
ánh xạ không giãn. Chúng tôi xây dựng thuật toán nguyên lý bài toán phụ
hiệu chỉnh, dựa trên tổng vô hạn các ánh xạ, để tìm điểm bất động chung
cho một họ vô hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert. Cùng
với kết quả đó, chúng tôi xây dựng thuật toán nguyên lý bài toán phụ hiệu
chỉnh dựa trên ánh xạ Wn, xác định từ một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn, để tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ điển và đồng thời là
điểm bất động chung của một họ vô hạn các ánh xạ không giãn hay một
9
họ vô hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert.
Chương 3 chúng tôi trình bày phương pháp lặp HSD và một số cải tiến
của phương pháp đó, để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển
trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn
trong không gian Hilbert. Kết quả chính của chương, chúng tôi giới thiệu
một phương pháp mới, là sự kết hợp giữa phương pháp HSD cho bất đẳng
thức biến phân với phép lặp dạng Krasnoselskij - Mann cho bài toán điểm
bất động.
Các kết quả trong luận án đã được báo cáo tại:
- Seminar của bộ môn Giải tích, khoa Toán trường Đại học Sư phạm -
Đại học Thái Nguyên.
- Các hội nghị NCS của khoa Toán trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên các năm 2009-2012.
- Hội thảo quốc gia lần thứ XV: Một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ
thông tin và truyền thông - Hà Nội, 03-04/12/2012.
Trong chương này chúng tôi đề cập đến các vấn đề sau. Trong mục 1.1.
chúng tôi giới thiệu sơ lược về bất đẳng thức biến phân cổ điển và một số
phương pháp tìm nghiệm cho bài toán. Mục 1.2. trình bày một số phương
pháp tìm điểm bất động cho họ các ánh xạ giả co chặt và họ các ánh ánh
xạ không giãn trong không gian Hilbert.
Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều được
giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1966 bởi các nhà toán học Italia là Stam-
pacchia và Hartman [37]. Những nghiên cứu đầu tiên về bài toán này liên
quan đến việc giải các bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên có
dạng của phương trình đạo hàm riêng. Từ đó bài toán bất đẳng thức biến
phân đã có những bước phát triển mạnh và thu hút được sự quan tâm của
nhiều nhà nghiên cứu. Trong phần mở đầu, chúng tôi đã giới thiệu sơ lược
về bất đẳng thức biến phân cổ điển. Để tiện cho việc trình bày, trong phần
này chúng tôi nêu lại bài toán, trình bày điều kiện tồn tại nghiệm và một
10
số phương pháp tìm nghiệm cho bài toán.
11
1.1.1. Bất đẳng thức biến phân cổ điển
Trong luận án chúng ta luôn giả thiết H là không gian Hilbert thực với
tích vô hướng được kí hiệu là (cid:104)., .(cid:105) và chuẩn được kí hiệu là (cid:107).(cid:107).
Cho C là một tập lồi, đóng của H và F : C −→ H là một ánh xạ liên
tục. Bất đẳng thức biến phân cổ điển của ánh xạ đơn trị được phát biểu
như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho
(cid:104)F (x∗), x − x∗(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ C. (1.1)
Tập hợp những điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.1) được gọi là tập nghiệm của
bài toán và kí hiệu là V I(F, C).
Bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) có mối quan hệ mật thiết với một
số bài toán khác như là: bài toán quy hoạch lồi, bài toán bù phi tuyến và
bài toán điểm bất động.
• Bài toán quy hoạch lồi Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của H và f : C −→ R là một
phiếm hàm lồi trên C. Bài toán quy hoạch lồi được phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho
f (x∗) = min{f (x)|x ∈ C}. (1.2)
Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán quy hoạch lồi và
bất đẳng thức biến phân cổ điển.
Mệnh đề 1.1 (xem [37]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H và f : C −→ R là một phiếm hàm lồi, khả vi trên C. Khi đó, x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của bài toán (1.1), với f (cid:48)(x) = F (x).
• Bài toán bù phi tuyến
Trước khi phát biểu bài toán bù phi tuyến chúng ta cần nhắc lại một
vài khái niệm sau.
12
Một tập C của không gian Hilbert H được gọi là nón nếu, với mọi x ∈ C
và hằng số λ > 0 ta có λx ∈ C. Một nón được gọi là nón lồi nếu nó là một
tập lồi.
Như vậy, một tập lồi C là một nón lồi khi và chỉ khi có các tính chất
sau:
(i) λC ⊆ C;
(ii) C + C ⊆ C.
Cho C là một nón lồi trong không gian Hilbert H và F : C −→ H là
một ánh xạ liên tục. Bài toán bù phi tuyến của ánh xạ đơn trị được phát
biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho
(cid:104)F (x∗), x∗(cid:105) = 0, (1.3)
trong đó F (x∗) ∈ C ∗, với C ∗ là nón đối ngẫu của C được định nghĩa:
C ∗ = {x ∈ H : (cid:104)x, y(cid:105) ≥ 0 ∀y ∈ C}.
Ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.2 (xem [37]) Nếu C là một nón lồi đóng trong không gian
Hilbert H thì bài toán (1.3) tương đương với bài toán (1.1).
• Bài toán điểm bất động
Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H và
T : C −→ C là một ánh xạ liên tục. Bài toán điểm bất động của ánh xạ
đơn trị được phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho
x∗ = T (x∗). (1.4)
Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán điểm bất động với
bất đẳng thức biến phân cổ điển.
Mệnh đề 1.3 (xem [37]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không
gian Hilbert H và T : C −→ C là một ánh xạ liên tục. Nếu ánh xạ F xác
13
định bởi
F (x) := x − T (x) ∀x ∈ C
thì bài toán điểm bất động (1.4) tương đương với bất đẳng thức biến phân
cổ điển (1.1).
Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) phụ thuộc
vào ánh xạ F và miền ràng buộc C. Định lý sau đây là điều kiện đủ cho sự
tồn tại nghiệm của bài toán (1.1) trong không gian Hilbert.
Định lý 1.1 (xem [37]) Cho C là một tập lồi, compact của không gian
Hilbert H và F : C −→ H là một ánh xạ liên tục trên C. Khi đó, bài toán
(1.1) tồn tại ít nhất một nghiệm.
Trong Định lý 1.1, đòi hỏi tập C phải là một tập compact. Tuy nhiên,
khi tập C không phải là một tập compact thì bài toán (1.1) vẫn tồn tại
nghiệm khi thỏa mãn điều kiện sau:
Định lý 1.2 (xem [38]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không
gian Hilbert H và F : C −→ H là một ánh xạ liên tục trên C. Giả sử tồn
tại một tập compact U khác rỗng thuộc C sao cho: với mọi u ∈ C \U , tồn
tại v ∈ U thỏa mãn
(cid:104)F (u), u − v(cid:105) > 0.
Khi đó, bài toán (1.1) có ít nhất một nghiệm.
Thông thường nghiệm của bất đẳng thức biến phân không phải là duy
nhất. Tuy nhiên vẫn có điều kiện để đảm bảo cho sự duy nhất của nghiệm. Ta giả sử rằng x(cid:48) và x(cid:48)(cid:48) là hai nghiệm khác nhau của bài toán (1.1). Khi đó
ta có:
x(cid:48) ∈ C : (cid:104)F (x(cid:48)), x − x(cid:48)(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ C,
và
x(cid:48)(cid:48) ∈ C : (cid:104)F (x(cid:48)(cid:48)), x − x(cid:48)(cid:48)(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ C.
14
Trong bất đẳng thức thứ nhất ta chọn x = x(cid:48)(cid:48) và trong bất đẳng thức thứ hai ta chọn x = x(cid:48), sau đó cộng vế tương ứng của hai bất đẳng thức ta
được:
(cid:104)F (x(cid:48)) − F (x(cid:48)(cid:48)), x(cid:48) − x(cid:48)(cid:48)(cid:105) ≤ 0.
Do đó, điều kiện đủ để bài toán (1.1) có nghiệm duy nhất là:
(cid:104)F (x(cid:48)) − F (x(cid:48)(cid:48)), x(cid:48) − x(cid:48)(cid:48)(cid:105) > 0 ∀x(cid:48), x(cid:48)(cid:48) ∈ C và x(cid:48) (cid:54)= x(cid:48)(cid:48). (1.5)
Từ điều kiện (1.5) suy ra bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) có nghiệm
duy nhất. Điều kiện (1.5) được gọi là điều kiện đơn điệu chặt.
1.1.2. Một số phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến
phân cổ điển
Trong mục trên chúng ta vừa trình bày sự tồn tại nghiệm của bất đẳng
thức biến phân cổ điển trong không gian Hilbert. Trong phần này chúng
ta sẽ trình bày một số phương pháp để tìm nghiệm cho bài toán đó. Trước
hết chúng ta nhắc lại một số khái niệm sau.
Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập lồi đóng khác rỗng
của H và F : C → H là một ánh xạ từ C vào H.
• Ánh xạ F được gọi là đơn điệu trên C nếu, với mọi x, y ∈ C ta có:
(cid:104)F (x) − F (y), x − y(cid:105) ≥ 0.
• Ánh xạ F được gọi là giả đơn điệu trên C nếu, với mọi x, y ∈ C ta có:
(cid:104)F (y), x − y(cid:105) ≥ 0 suy ra (cid:104)F (x), x − y(cid:105) ≥ 0.
• Ánh xạ F được gọi là a-đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng
số a > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:
(cid:104)F (x) − F (y), x − y(cid:105) ≥ a (cid:107)x − y(cid:107)2 .
15
• Ánh xạ F được gọi là α-ngược đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một
hằng số α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:
(cid:104)F (x) − F (y), x − y(cid:105) ≥ α (cid:107)F x − F y(cid:107)2 .
• Ánh xạ F được gọi là h-liên tục trên C nếu F (x + ty) (cid:42) F (x) khi
t → 0+ với mọi x, y ∈ C.
• Ánh xạ F được gọi là L-liên tục Lipschitz trên C, nếu tồn tại một
hằng số L > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có:
(cid:107)F (x) − F (y)(cid:107) ≤ L (cid:107)x − y(cid:107) .
Nếu L = 1 thì ánh xạ F là một ánh xạ không giãn trên C, tức là ánh
xạ F thỏa mãn
(cid:107)F (x) − F (y)(cid:107) ≤ (cid:107)x − y(cid:107) ,
với mọi x, y ∈ C.
Dễ dàng thấy rằng, nếu ánh xạ F là α-ngược đơn điệu mạnh thì ánh xạ
F là một ánh xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz. Sau đây là một số phương
pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) trong không
gian Hilbert.
Phương pháp điểm bất động
Với mỗi x ∈ H sẽ tồn tại duy nhất một điểm thuộc y ∈ C sao cho
(cid:107)x − y(cid:107) ≤ (cid:107)x − η(cid:107) , (1.6)
với mọi η ∈ C. Phần tử y thỏa mãn (1.6) được gọi là hình chiếu của x lên
C và kí hiệu là y = PC(x).
Chú ý rằng PC(x) = x, với mọi x ∈ C và ánh xạ PC : H → C được gọi
là phép chiếu mêtric từ H vào C. Ta có bổ đề sau.
Bổ đề 1.1 (xem [37]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian
Hilbert H. Với mỗi x ∈ H và y ∈ C thỏa mãn bất đẳng thức
(cid:104)y − x, η − y(cid:105) ≥ 0 ∀η ∈ C (1.7)
16
khi và chỉ khi y = PC(x). Từ Bổ đề 1.1 suy ra
(cid:104)x − PC(x), PC(x) − η(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ H, η ∈ C
và
∀x ∈ H, η ∈ C. (cid:107)x − η(cid:107)2 ≥ (cid:107)x − PC(x)(cid:107)2 + (cid:107)η − PC(x)(cid:107)2
Bổ đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán (1.1) và bài toán điểm
bất động.
Bổ đề 1.2 (xem [41]) x∗ ∈ C là nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ
điển (1.1) nếu và chỉ nếu thỏa mãn
(1.8) x∗ = PC(x∗ − λF (x∗))
ở đây λ > 0 là một hằng số.
Từ Bổ đề 1.2 dễ dàng thấy rằng, sử dụng phép chiếu mêtric đã thiết
lập được sự tương đương giữa bất đẳng thức biến phân cổ điển và bài toán
điểm bất động. Dựa vào kết quả này, năm 1967 Lions J. L. và Stampacchia
G. [41] đã đề xuất Phương pháp điểm bất động, để xác định nghiệm cho bất
đẳng thức biến phân cổ điển (1.1). Với phương pháp này dãy lặp được xác
định như sau:
(1.9) x0 ∈ C, xn+1 = PC(xn − λF (xn)), n = 0, 1, 2, · · ·
Ở đây họ đã chứng minh được dãy lặp {xn} xác định bởi (1.9) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất x∗ của bài toán (1.1).
Gần đây, Bnouhachem A. và các cộng sự [12] cũng đề xuất một kết quả
mới để tìm nghiệm cho bài toán (1.1). Họ xây dựng dãy lặp xác định như
sau:
(1.10) x0 ∈ C, xn+1 = PC(xn − λF (xn+1)), n = 0, 1, 2, · · ·
17
và chứng minh được dãy lặp (1.10) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất x∗
của bài toán (1.1).
Cần lưu ý ở đây, các dãy lặp (1.9) và (1.10) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất x∗ của bài toán (1.1) với điều kiện ánh xạ F đơn điệu mạnh và liên
tục Lipschitz.
Phương pháp đạo hàm tăng cường (Extragradient)
Như đã biết, phương pháp điểm bất động chỉ hội tụ mạnh khi ánh xạ F
đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz. Khi điều kiện giảm nhẹ, một số nhà
toán học đã áp dụng mở rộng phương pháp đạo hàm tăng cường, được đề
xuất bởi Korpelevich G. M. [39], để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến
phân cổ điển (1.1) và đã chứng minh được các phương pháp này hội tụ
mạnh khi ánh xạ F chỉ có tính chất đơn điệu, thậm chí là giả đơn điệu
(xem [54], [55]). Với phương pháp này dãy lặp được xác định theo công
thức sau:
x0 = x ∈ C,
(1.11) yn = PC(xn − λF (xn)),
xn+1 = PC(xn − λF (yn)), n = 0, 1, 2, · · ·
trong đó λ ∈ (0, 1/L), với L là hằng số liên tục Lipschitz của ánh xạ F và
họ đã chứng minh được sự hội tụ mạnh của các dãy lặp {xn} và {yn} xác định bởi (1.11) tới nghiệm x∗ của bài toán (1.1).
Năm 2006, cải tiến phương pháp đạo hàm tăng cường, Nadezhkina N. và
Takahashi W. [50] đã đề xuất một phương pháp mới để tìm nghiệm chung
cho bất đẳng thức biến phân cổ điển và bài toán điểm bất động của một
ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Kết quả đó được trình bày
trong định lý sau.
Định lý 1.3 (xem [50]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không
gian Hilbert H, F : C → H là một ánh xạ đơn điệu và L-liên tục Lip-
schitz trên C. Giả sử T : C → C là một ánh xạ không giãn, sao cho
18
F ix(T ) (cid:84) V I(F, C) (cid:54)= ∅. Với x0 tùy ý thuộc C, các dãy lặp {xn} và {yn} xác định bởi:
x0 = x ∈ C,
(1.12) yn = PC(xn − λnF (xn)),
xn+1 = αnxn + (1 − αn)T PC(xn − λnF (yn)), n = 0, 1, 2, · · ·
trong đó, λn ⊂ [a, b], với a, b ∈ (0, 1/L) và {αn} ⊂ [c, d], với c, d ∈ (0, 1). Khi đó, các dãy lặp {xn} và {yn} hội tụ yếu tới x∗ ∈ F ix(T ) (cid:84) V I(F, C), với
PF ix(T ) (cid:84) V I(F,C)(xn). x∗ = lim n→∞
Cùng với kết quả của Nadezhkina N. và Takahashi W., năm 2006 Zeng
L. C. và Yao J. C. [83] cũng có một kết quả khác. Kết quả đó được trình
bày trong định lý sau.
Định lý 1.4 (xem [83]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không
gian Hilbert H, F : C → H là một ánh xạ đơn điệu và L-liên tục Lip-
schitz trên C. Giả sử T : C → C là một ánh xạ không giãn, sao cho F ix(T ) (cid:84) V I(F, C) (cid:54)= ∅. Với x0 tùy ý thuộc C, các dãy lặp {xn} và {yn} xác định bởi:
x0 = x ∈ C,
(1.13) yn = PC(xn − λnF (xn)),
xn+1 = αnx0 + (1 − αn)T PC(xn − λnF (yn)), n = 0, 1, 2, · · ·
trong đó các dãy số {λn} và {αn} thỏa mãn các điều kiện sau:
(i)
n=0 αn = ∞ và limn→∞ αn = 0.
(ii) {λnL} ⊂ (0, 1 − δ) với δ ∈ (0, 1); {αn} ⊂ (0, 1), (cid:80)∞
Khi đó, các dãy {xn} và {yn} hội tụ mạnh tới phần tử PF ix(T ) (cid:84) V I(F,C)(x0), với điều kiện
(cid:107)xn − xn+1(cid:107) = 0. lim n→∞
19
Phương pháp nguyên lý bài toán phụ
Phương pháp nguyên lý bài toán phụ được Cohen G. [22] giới thiệu lần
đầu tiên vào năm 1980 khi nghiên cứu các bài toán tối ưu. Năm 1988,
Cohen G. [24] vận dụng phương pháp nguyên lý bài toán phụ để xác định
nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển. Để trình bày kết quả đó trước
hết chúng ta trình bày phương pháp nguyên lý bài toán phụ tổng quát.
Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H và J là
một phiếm hàm lồi trên H.
Giả thiết Λ
Ta nói rằng phiếm hàm J thỏa mãn giả thiết Λ nếu với mọi dãy {uk}k∈N ⊂
C sao cho (cid:107)uk(cid:107) → +∞ thì J(uk) → +∞.
Hiển nhiên phiếm hàm J thỏa mãn giả thiết Λ nếu C là một tập bị chặn. Ta kí hiệu J (cid:48)(u) là đạo hàm Gâteaux của phiếm hàm J tại u. Ta xét bài
toán tối ưu sau:
Tìm u∗ ∈ C sao cho
J(u) (1.14) J(u∗) = min u∈C
ở đây, J là phiếm hàm lồi, liên tục và khả vi Gâteaux.
Sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.14) dược trình bày trong Bổ đề sau:
Bổ đề 1.3 (xem [22]) Nếu phiếm hàm J thỏa mãn giả thiết Λ thì bài toán (1.14) tồn tại ít nhất một nghiệm u∗. Hơn nữa, nghiệm u∗ là duy nhất nếu J (cid:48) đơn điệu mạnh.
Ta cho ϕ : H → R là một phiếm hàm lồi và khả vi Gâteaux. Với mỗi
v ∈ C và (cid:15) > 0 xác định một phiếm hàm sau:
G : u (cid:55)→ ϕ(u) + (cid:104)(cid:15)J (cid:48)(v) − ϕ(cid:48)(v), u(cid:105) . (1.15)
Khi đó, G (cid:48)(v) = (cid:15)J (cid:48)(v). Do đó, nếu v ∈ C là nghiệm của bài toán (1.14)
thì v là nghiệm của bài toán:
(1.16) {ϕ(u) + (cid:104)(cid:15)J (cid:48)(v) − ϕ(cid:48)(v), u(cid:105)}. min u∈C
20
Từ đó dẫn đến thuật toán sau:
Cho {(cid:15)n}n∈N là một dãy số thực dương.
Thuật toán cơ bản.
(i) Tại bước k = 0, chọn tùy ý (cid:15)0 và u0 ∈ C. (ii) Tại bước k = n, biết (cid:15)n và un, giải bài toán phụ sau: tìm u ∈ C sao
cho
(1.17) {ϕ(u) + (cid:104)(cid:15)nJ (cid:48)(un) − ϕ(cid:48)(un), u(cid:105)}. min u∈C
Gọi un+1 là nghiệm của bài toán (1.17).
(iii) Dừng, nếu (cid:107)un+1 − un(cid:107) nhỏ hơn một sai số cho trước. Ngược lại,
thay n ← n + 1 và trở về bước (ii).
Sự tồn tại nghiệm của các bài toán (1.14) và (1.17) được trình bày trong
định lý sau:
Định lý 1.5 (xem [22]) Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) Phiếm hàm J thỏa mãn giả thiết Λ; (ii) J là một phiếm hàm lồi, với đạo hàm Gâteaux J (cid:48) là một ánh xạ
L-liên tục Lipschitz trên C;
(iii) ϕ là một phiếm hàm lồi, với đạo hàm Gâteaux ϕ(cid:48) là ánh xạ b-đơn
điệu mạnh và B-liên tục Lipschitz trên C.
Khi đó, bài toán (1.14) tồn tại nghiệm u∗ và bài toán (1.17) có duy nhất
nghiệm un+1, với mọi n ∈ N.
Giả sử, nếu (cid:15)n thỏa mãn điều kiện
với α, β > 0 (1.18) , α < (cid:15)n < 2b L + β
thì dãy {J(un)} giảm nghiêm ngặt (trừ khi un = u∗, ∀n ∈ N) và hội tụ tới J(u∗). Hơn thế nữa, mọi điểm tụ yếu của dãy {un} là nghiệm của bài toán (1.14).
Nếu giả thiết thêm rằng
21
(iv) J (cid:48) là một ánh xạ a-đơn điệu mạnh trên C,
thì dãy {un} hội tụ mạnh tới u∗ và u∗ là nghiệm duy nhất của bài toán (1.14). Và ta có:
(cid:19) + L (1.19) (cid:107)un+1 − un(cid:107) . (cid:107)un+1 − u∗(cid:107) ≤ 1 a (cid:18) B (cid:15)n
Để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1), Cohen G. [24]
đã tiến hành như sau: lấy tùy ý u0 ∈ C và (cid:15)0 > 0, xét bài toán phụ:
(1.20) {ϕ(u) + (cid:104)(cid:15)0F (u0) − ϕ(cid:48)(u0), u(cid:105)}. min u∈C
Gọi u1 là nghiệm của bài toán (1.20). Thay u0 và (cid:15)0 bởi u1 và (cid:15)1 để tìm u2. Tiếp tục quá trình đó dẫn đến thuật toán sau:
• Thuật toán 1
(i) Tại bước n = 0, bắt đầu với u0 và (cid:15)0. (ii) Tại bước thứ n, giải bài toán phụ: tìm u ∈ C sao cho
(1.21) {ϕ(u) + (cid:104)(cid:15)nF (un) − ϕ(cid:48)(un), u(cid:105)}. min u∈C
Gọi un+1 là nghiệm của bài toán (1.21).
(iii) Dừng, nếu (cid:107)un+1 − un(cid:107) nhỏ hơn một sai số cho trước, nếu không
đạt mức độ đó ta thay n ← n + 1 và trở về bước (ii).
Chú ý 1.1 Tại mỗi bước lặp của thuật toán trên, un là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân:
(cid:104)Fn(un), u − un(cid:105) ≥ 0 ∀u ∈ C,
ở đây, Fn là xấp xỉ của F , với
Fn(u) = (cid:15)nF (un) + ϕ(cid:48)(u) − ϕ(cid:48)(un) ∀u ∈ C.
Ta có định lý sau:
22
Định lý 1.6 (xem [24]) Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập
lồi đóng khác rỗng của H. Giả sử rằng ánh xạ F : C −→ H thỏa mãn các
điều kiện sau:
(i) F là ánh xạ liên tục trên C;
(ii) F là ánh xạ a-đơn điệu mạnh trên C.
Khi đó, bài toán (1.1) có duy nhất nghiệm u∗. Nếu giả thiết thêm rằng:
(iii) ϕ : C −→ R là phiếm hàm lồi và khả vi Gâteaux; (iv) ϕ(cid:48) là ánh xạ đơn điệu mạnh với hằng số b trên C.
Thế thì bài toán phụ (1.21) có duy nhất một nghiệm un+1.
Hơn nữa, nếu (v) F là ánh xạ L-liên tục Lipschitz trên C và 0 < (cid:15)n < 2ab/L2
thì dãy nghiệm {un} của bài toán phụ (1.21) hội tụ mạnh tới nghiệm u∗ của bài toán (1.1).
Trước khi trình bày một số phương pháp lặp để tìm điểm bất động cho
họ các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert, chúng ta sẽ giới thiệu
ánh xạ giả co chặt và sự tồn tại điểm bất động của lớp các ánh xạ này
trong không gian Hilbert.
Cho E là một không gian Banach. Kí hiệu Jq(q > 1) là ánh xạ đối ngẫu
từ E vào 2E∗ và được xác định bởi:
(cid:110) f ∈ E∗| (cid:104)f, x(cid:105) = (cid:107)x(cid:107)q và (cid:107)f (cid:107) = (cid:107)x(cid:107)q−1(cid:111) , Jq(x) =
ở đây, E∗ là kí hiệu không gian liên hợp của không gian E. Trong trường
hợp q = 2 thì J2 được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc và kí hiệu là J.
• Cho X, Y là hai không gian Banach. Ánh xạ T : X −→ Y được gọi là
23
d-compact, nếu {xn} là một dãy bị chặn trong X sao cho dãy {T (xn) − xn} hội tụ mạnh thì tồn tại một dãy con {xnk} của dãy {xn} cũng hội tụ mạnh. • Cho X là một không gian mêtric bất kỳ. Ánh xạ T : X −→ X được
gọi là ánh xạ co, nếu tồn tại một số θ ∈ [0; 1) sao cho
(cid:107)T (x) − T (y)(cid:107) ≤ θ (cid:107)x − y(cid:107)
Như vậy, ánh xạ co là một trường hợp riêng của ánh xạ liên tục Lipschitz
và hiển nhiên là liên tục.
Định nghĩa 1.1 (xem [14]) Cho E là một không gian Banach, C là một
tập lồi đóng của E. Ánh xạ T : C −→ E được gọi là k - giả co chặt, nếu với
mọi x, y ∈ D(T ), miền xác định của ánh xạ T , tồn tại một hằng số k > 0
và j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho:
(cid:104)T (x) − T (y), j(x − y)(cid:105) ≤ (cid:107)x − y(cid:107)2−k(cid:107)(x − y) − (T (x) − T (y))(cid:107)2, (1.22)
trong đó j(x) là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc. Nếu I là ánh xạ đồng nhất
trong E thì bất đẳng thức (1.22) được viết dưới dạng sau:
(cid:104)(I − T )(x) − (I − T )(y), j(x − y)(cid:105) ≥ k(cid:107)(I − T )(x) − (I − T )(y)(cid:107)2,
(1.23)
với mọi x, y ∈ D(T ) và j(x − y) ∈ J(x − y).
Trong không gian Hilbert bất đẳng thức (1.22) (và cả (1.23)) tương
đương với bất đẳng thức sau:
(cid:107) T (x) − T (y) (cid:107)2≤(cid:107) x − y (cid:107)2 +λ (cid:107) (I − T )(x) − (I − T )(y) (cid:107)2, (1.24)
với mọi x, y ∈ D(T ) và λ = 1 − k. Lúc này, ánh xạ T được gọi là λ-giả co
chặt, với 0 ≤ λ < 1.
Nhận xét 1.1 Khi λ = 0 thì bất đẳng thức (1.24) có dạng:
(cid:107)T (x) − T (y) (cid:107)≤(cid:107) x − y (cid:107) ∀x, y ∈ D(T ). (1.25)
24
Như vậy, lớp các ánh xạ giả co chặt chứa lớp các ánh xạ không giãn
và lớp ánh xạ không giãn là một mở rộng của lớp ánh xạ co. Ta biết rằng
nếu T là một ánh xạ co từ không gian mêtric đủ X vào chính nó, thì T
có duy nhất một điểm bất động và dãy lặp {xn} xác định bởi x0 ∈ X, xn+1 = T (xn) hội tụ mạnh về điểm bất động của T . Tuy nhiên, nếu T là một ánh xạ không giãn từ một tập con lồi đóng C vào chính nó thì tập
điểm bất động của T có thể là tập rỗng. Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1.1 Kí hiệu B là hình cầu đơn vị đóng trong c0 (c0 là không gian các dãy số hội tụ tới 0 với chuẩn sup). Ánh xạ T : B −→ B được cho bởi
T x = (1, x1, x2, . . .), với x = (x1, x2, x3, . . .) ∈ B. Khi đó, T là một ánh xạ không giãn trong B mà không có điểm bất động. Thật vậy, nếu x∗ = T x∗
thì ta có:
1, x∗
2, x∗
3, . . .) = (1, x∗
1, x∗
2, x∗
3, . . .).
(x∗
i = 1 với mọi i, nên x∗ không thuộc c0. Vậy T không có
Nhưng khi đó x∗
điểm bất động.
Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn đòi hỏi thêm điều kiện
khác, như tính giới nội của tập C. Định lý sau đây cho ta biết về sự tồn
tại điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.
Định lý 1.7 (xem [11]) Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập lồi
đóng và giới nội của H, T : C −→ C là một ánh xạ không giãn. Khi đó, T
có ít nhất một điểm bất động trong C.
Định lý dưới đây cho ta biết tính chất tập điểm bất động của ánh xạ
không giãn trong không gian Hilbert.
Định lý 1.8 (xem [11]) Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập
lồi đóng và giới nội của H. Giả sử rằng T : C −→ C là một ánh xạ không
giãn và d-compact. Khi đó, tập điểm bất động của ánh xạ T là một tập lồi
khác rỗng.
25
Sau đây chúng ta trình bày kết quả về sự tồn tại điểm bất động của ánh
xạ giả co chặt và tính chất tập điểm bất động của ánh xạ giả co chặt trong
không gian Hilbert.
Định lý 1.9 (xem [11]) Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập
lồi đóng và giới nội trong H. Giả sử T : C −→ C là một ánh xạ λ-giả co
chặt. Khi đó, T có ít nhất một điểm bất động trong C.
Định lý 1.10 (xem [28]) Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập
lồi đóng bị chặn của H và T : C −→ C là một ánh xạ λ-giả co chặt. Khi
đó, tập điểm bất động của ánh xạ T là một tập lồi, khác rỗng.
1.2.1. Một số phương pháp lặp cơ bản
Trong phần này chúng ta trình bày một số phương pháp lặp cơ bản để
tìm điểm bất động cho họ các ánh xạ giả co chặt và họ các ánh xạ không
giãn trong không gian Hilbert.
• Phương pháp lặp Mann
Phương pháp lặp Mann được Mann W. R. [45] đề xuất vào năm 1953.
n=0 được xác định như sau:
Với phương pháp này dãy lặp {xn}∞
(1.26) x0 ∈ C, xn+1 = (1 − αn)xn + αnT xn, n = 0, 1, 2, . . . ,
n=0 ⊂ (0, 1).
ở đây, {αn}∞
Để ý rằng, khi αn = γ, với mọi n, thì dãy lặp Mann trở về dãy lặp
Krasnoselskij.
n=0 ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện (cid:80)∞ n=0 hội tụ yếu tới một điểm bất động của ánh xạ T, với T là ánh xạ không giãn từ một tập lồi đóng
Mann đã chứng minh rằng, nếu dãy số {αn}∞ n=0 αn(1 − αn) = ∞ thì dãy lặp {xn}∞
khác rỗng C của không gian Hilbert H vào chính nó.
Năm 1967, Browder F. E. và Petryshyn W. V. [14] là những người đầu
tiên vận dụng phương pháp lặp Mann để đưa ra được kết quả hội tụ mạnh
26
n=0 tới một điểm bất động của ánh xạ giả co chặt trong
cho dãy lặp {xn}∞ không gian Hilbert. Kết quả đó được trình bày trong định lý sau.
Định lý 1.11 (xem [14]) Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập
n=0 xác định bởi:
lồi đóng bị chặn của H và T : C −→ C là một ánh xạ λ-giả co chặt. Khi đó, với mỗi γ ∈ (1 − λ, 1), dãy {xn}∞
x0 ∈ C, xn+1 = γxn + (1 − γ)T xn (1.27)
= [γI + (1 − γ)T ]n(x0), n = 0, 1, 2, . . .
hội tụ yếu tới điểm bất động của T . Hơn nữa, nếu T là d-compact thì dãy
(1.27) hội tụ mạnh tới điểm bất động của T .
Năm 1974, Rhoades B. E. [60] đưa ra kết quả sau:
Định lý 1.12 (xem [60]) Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập
n=0 là một dãy số thực thỏa mãn các điều kiện:
lồi, compact của H và T : C −→ C là một ánh xạ λ-giả co chặt. Giả sử rằng {αn}∞
(ii) 0 < αn < 1, n ≥ 1;
n=1 αn = ∞; (iv) lim n→∞
αn = α < 1 − λ.
n=0 xác định bởi (1.26) hội tụ mạnh đến điểm bất động
(i) α0 = 1; (iii) (cid:80)∞ Khi đó, dãy {xn}∞
của T .
Năm 2006, Marino G. và Xu H. K. [47] đưa ra kết quả hội tụ yếu của
dãy (1.26) tới điểm bất động của ánh xạ λ-giả co chặt trong không gian Hilbert, khi dãy số {αn}∞ n=0 thỏa mãn các điều kiện:
n=0(αn − λ)(1 − αn) = ∞.
(i) λ < αn < 1; (ii) (cid:80)∞
• Phương pháp lặp Ishikawa
Phương pháp lặp Ishikawa được đề xuất bởi Ishikawa S. [33] vào năm n=0 được xác
1974. Với phương pháp này, lấy tùy ý x0 ∈ C dãy lặp {xn}∞ định như sau:
27
x0 ∈ C
(1.28) yn = (1 − βn)xn + βnT xn,
xn+1 = (1 − αn)xn + αnT yn, n = 0, 1, 2, . . .
n=0 là các dãy số thực trong [0, 1].
n=0 và {βn}∞
trong đó, {αn}∞
Để ý rằng khi βn = 0, với mọi n, thì dãy lặp Ishikawa trở về dãy lặp
Mann.
Với phương pháp này, tác giả đã chứng minh cho sự hội tụ mạnh của dãy
lặp (1.28) tới một điểm bất động của toán tử giả co Lipschitz trên một tập n=0 và {βn}∞ lồi, compact của không gian Hilbert H, khi các dãy số {αn}∞ n=0 thỏa mãn điều kiện:
n=0 αnβn = ∞.
βn = 0; (iii) (cid:80)∞
(i) 0 ≤ αn ≤ βn ≤ 1; (ii) lim n→∞ • Phương pháp lặp Halpern
Phương pháp lặp Halpern được Halpern B. [30] đề xuất vào năm 1967.
n=0 được xác định bởi:
Với phương pháp này dãy lặp {xn}∞
(1.29) x0 ∈ C, xn+1 = αnu + (1 − αn)T xn, n = 0, 1, 2, . . .
trong đó, u là một phần tử tùy ý thuộc C, {αn}∞ n=0 là một dãy số thực trong đoạn [0, 1] và T : C −→ C là một ánh xạ không giãn trên tập lồi
đóng bị chặn C của không gian Hilbert H. Ông đã có kết quả sau:
Định lý 1.13 (xem [30]) Cho C là một tập lồi đóng bị chặn của không
gian Hilbert H và T : C −→ C là một ánh xạ không giãn trên C. Khi đó, với u ∈ C và dãy số thực {αn}∞ n=0 ⊂ [0, 1] sao cho αn = n−θ, θ ∈ (0, 1), thì dãy lặp {xn}∞ n=0 xác định bởi (1.29) hội tụ mạnh tới điểm bất động của T . Năm 1977, Lions J. L. [40] đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp
n=0 thỏa mãn các điều kiện:
(1.29) đến một điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không gian Hilbert H, khi dãy số {αn}∞
28
n=0 αn = ∞ và (L3):
= 0. (L1): αn = 0; (L2): (cid:80)∞ lim n→∞ lim n→∞ | αn − αn+1 | α2 n Năm 1992, Wittmann R. [71] cũng có kết quả cho sự hội tụ mạnh của
n=0 | αn+1 − αn |< ∞.
dãy lặp (1.29) đến một điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không gian Hilbert, khi dãy số {αn}∞ n=0 thỏa mãn các điều kiện: (L1), (L2) và (L4): (cid:80)∞
Sau này, Bauschke H. H. [9] là người đầu tiên vận dụng phương pháp
lặp Halpern để tìm điểm bất động chung cho một họ hữu hạn các ánh xạ
không giãn trong không gian Hilbert, bằng cách thay điều kiện (L4) bằng điều kiện (L5): (cid:80)∞ n=0 | αn+N − αn |< ∞. Kết quả đó được trình bày trong định lý sau.
Định lý 1.14 (xem [9]) Cho C là một tập lồi khác rỗng trong không gian Hilbert H và {Ti}N i=1 : C −→ C là một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn,
N (cid:84) i=1
sao cho F = F ix(Ti) (cid:54)= ∅ và thỏa mãn
F = F ix(TN TN −1 . . . T1)
= F ix(T1TN . . . T2)
n=0 là một dãy số thực thỏa mãn các điều kiện: (L1), (L2)
= · · · = F ix(TN −1TN −2 . . . T1TN )
n=0 xác định bởi:
Giả sử rằng {αn}∞ và (L5). Khi đó, với u và x0 tùy ý thuộc C, dãy {xn}∞
(1.30) xn+1 = αn+1u + (1 − αn+1)T[n+1]xn, n ≥ 0,
trong đó T[n] = Tn mod N , hội tụ mạnh tới PF u.
Từ kết quả của Bauschke H. H. [9], Takahashi W. [65] đã mở rộng kết quả
trên ra không gian Banach lồi đều. Sau này O’Hara J. G. [56] lại có một kết
= 1 quả khác bằng việc thay điều kiện (L5) bằng điều kiện (L6): lim n→∞ αn αn+N
= 0 để có kết quả sau: hoặc lim n→∞ αn − αn+N αn+N
29
Định lý 1.15 (xem [56]) Cho C là một tập lồi khác rỗng trong không gian Hilbert H và {Ti}N i=1 : C → C là một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn,
N (cid:84) i=1
sao cho F = F ix(Ti) (cid:54)= ∅ và
F = F ix(TN TN −1 . . . T1)
= F ix(T1TN . . . T2)
= · · · = F ix(TN −1TN −2 . . . T1TN )
n=0 là một dãy các số thực thỏa mãn các điều kiện: (L1), n=0 xác định bởi
Giả sử rằng {αn}∞ (L2) và (L6). Khi đó, với u và x0 tùy ý thuộc C, dãy {xn}∞
(1.31) xn+1 = αn+1u + (1 − αn+1)T[n+1]xn, n ≥ 0,
ở đây T[n] = Tn mod N , hội tụ mạnh tới PF u. • Phương pháp lặp HSD (Hybrid Steepest Descent)
Phương pháp lặp HSD được Yamada I. [77] đề xuất vào năm 2001.
Phương pháp này được tác giả đề xuất để tìm nghiệm cho bất đẳng thức
biến phân cổ điển trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong
không gian Hilbert.
Cho H không gian Hilbert và T : H −→ H là một ánh xạ không giãn sao
n=1 λn = +∞ và (C3):
= 0. cho C = F ix(T ) (cid:54)= ∅. Giả sử F : H → H là một ánh xạ η-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz trên T (H). Cho µ ∈ (0, 2η L2 ) và {λn}n≥1 ⊂ (0, 1] là một dãy số thực thỏa mãn các điều kiện: λn = 0; (C2): (cid:80)∞ (C1): lim n→+∞ lim n→+∞
Lấy tùy ý x0 ∈ H, dãy lặp {xn}∞ λn − λn+1 λ2 n+1 n=0 được xác định như sau:
(1.32) xn+1 = T (xn) − λn+1µF (T (xn)), n = 0, 1, 2, . . .
Với giả thiết trên, Yamada đã chứng minh rằng, dãy lặp (1.32) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất x∗ của bài toán (1.1).
30
Ở đây có thể chọn một dãy {λn}n≥1 thỏa mãn các điều kiện (C1) − (C3)
là λn = 1/nσ với 0 < σ < 1.
Yamada mở rộng kết quả trên cho một họ hữu hạn các ánh xạ không
i=1. Với giả thiết C =
N (cid:84) i=1
F ix(T i) (cid:54)= ∅, thì dãy lặp được xác định
giãn {Ti}N như sau:
(1.33) xn+1 = T[n+1](xn) − λn+1µF (T[n+1](xn)), n = 0, 1, 2, . . .
trong đó T[k] = Tk mod N , với k ≥ 1. Kết quả đó được trình bày trong định lý sau:
Định lý 1.16 (xem [77]) Cho H là một không gian Hilbert, Ti : H −→ H, với i = 1, 2, ..., N , là một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trên H sao cho
N (cid:84) i=1
C = F ix(T i) (cid:54)= ∅ và thỏa mãn điều kiện:
C = F ix(TN TN −1 . . . T1)
= F ix(T1TN . . . T3T2)
= · · · = F ix(TN −1TN −2 . . . T1TN )
Giả sử rằng F : H → H là một ánh xạ đơn điệu mạnh với hằng số η và liên tục Lipschitz với hằng số L trên (cid:83)N i=1 Ti(H). Khi đó, với tùy ý x0 ∈ H, µ ∈ (0, 2η L2 ) và {λn}n≥1 ⊂ (0, 1] thỏa mãn các điều kiện (C1), (C2) và (C4) : (cid:80)∞ n=1 | λn − λn+N |< ∞, thì dãy lặp {xn}n≥0 xác định bởi (1.33) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất x∗ của bài toán (1.1).
Có thể chọn một dãy {λn}n≥1 thỏa mãn các điều kiện (C1), (C2) và (C4)
là λn = 1/n.
1.2.2. Một số phương pháp lặp khác
Từ phương pháp lặp Mann-Ishikawa, một số tác giả đã có những cải tiến
cho lớp các ánh xạ không giãn và lớp các ánh xạ giả co chặt.
31
Năm 2004, Xu H. K. [75] đã trình bày một cải tiến cho lớp các ánh xạ n=0 xác định theo
không giãn. Lấy tùy ý x0 ∈ C và xây dựng dãy lặp {xn}∞ công thức sau:
(1.34) xn+1 = (1 − αn)f (xn) + αnT (xn), n = 0, 1, 2, . . .
trong đó T : C −→ C là ánh xạ không giãn và f : C −→ C là ánh xạ co
trên một tập con lồi đóng C của không gian Hilbert H. Ông đã chứng minh
rằng, khi dãy số {αn} thỏa mãn điều kiện thích hợp thì dãy lặp (1.34) hội tụ mạnh đến một điểm x∗ ∈ F ix(T ) và x∗ là nghiệm của bất đẳng thức
biến phân
n=0
(cid:104)(I − f )x∗, x − x∗(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ F ix(T ).
Năm 2008, Zhou H. [85] mở rộng kết quả của Kim T. H. và Xu H. K. [36] cho lớp các ánh xạ giả co chặt. Lấy một điểm tùy ý x0 ∈ C, dãy {xn}∞ được xác định bởi:
x0 ∈ C
(1.35) yn = PC[αnxn + (1 − αn)T (xn)],
n = 0, 1, 2, . . . xn+1 = βnu + (1 − βn)yn
ở đây, u là một giá trị tùy ý thuộc C. Ta có định lý sau:
n=0 và {βn}∞
Định lý 1.17 (xem [85]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không
gian Hilbert H và T : C −→ C là một ánh xạ λ-giả co chặt, sao cho F ix(T ) (cid:54)= ∅. Giả sử rằng {αn}∞ n=0 là các dãy số thực trong khoảng (0, 1) thỏa mãn các điều kiện:
(ii) λ ≤ αn ≤ βn < 1, n ≥ 1;
n=1 | αn+1 − αn |< ∞;
n=1 βn = ∞; (iv) (cid:80)∞
(i) βn −→ 0; (iii) (cid:80)∞
n=1 | βn+1 − βn |< ∞ hoặc
(v) (cid:80)∞ → 1 khi n → ∞. βn βn+1
32
n=0 xác định bởi (1.35)
Khi đó, với u và x0 tùy ý thuộc C, dãy lặp {xn}∞
hội tụ mạnh tới điểm bất động z của ánh xạ T , với z = PF ix(T )u.
n=0
Bên cạnh các kết quả trên, Nakajo K. và Takahashi W. [52] cũng đã đề
xuất một phương pháp lặp để xác định điểm bất động cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Lấy tùy ý x0 ∈ C, xây dựng dãy lặp {xn}∞ xác định bởi:
x0 ∈ C
yn = αnxn + (1 − αn)T (xn),
(1.36) Cn = {z ∈ C : (cid:107)yn − z(cid:107) ≤ (cid:107)xn − z(cid:107)},
Qn = {z ∈ C : (cid:104)xn − z, x0 − xn(cid:105) ≥ 0},
xn+1 = PCn∩Qn(x0),
n=0 thỏa mãn điều kiện supn≥0 αn < 1.
và đã chứng minh dãy lặp (1.36) hội tụ mạnh tới điểm bất động của xạ không giãn T , khi dãy số {αn}∞
Sau này, Marino G. và Xu H. K. [48] đã mở rộng kết quả của Nakajo K.
và Takahashi W. ra lớp các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert và
dãy lặp được xác định theo công thức:
x0 ∈C
yn =αnxn + (1 − αn)T (xn),
Cn ={z ∈ C : (cid:107)yn − z(cid:107)2 ≤ (cid:107)xn − z(cid:107)2 + (1 − αn)(λ − αn) (cid:107)xn − T (xn)(cid:107)2},
Qn ={z ∈ C : (cid:104)xn − z, x0 − xn(cid:105) ≥ 0},
xn+1 =PCn∩Qn(x0).
(1.37)
Ta có định lý sau:
Định lý 1.18 (xem [48]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không
gian Hilbert H và T : C −→ C là ánh xạ λ-giả co chặt, với F ix(T ) (cid:54)= ∅.
33
n=0 là một dãy số thực thỏa mãn điều kiện αn < 1, ∀n ∈ N, thì n=0 xác định bởi (1.37) hội tụ mạnh tới
Nếu {αn}∞ với x0 tùy ý thuộc C, dãy lặp {xn}∞ PF ix(T )x0.
Năm 2010, Yao Y. và Chen R. [79] cải tiến kết quả của Marino G., Xu
n=0 xác định bởi:
H. K. [48]. Với x0 tùy ý thuộc C, dãy lặp {xn}∞
x0 ∈ C
yn = αnxn + (1 − αn)[δxn + (1 − δ)T (xn)],
(1.38) Cn = {z ∈ C : (cid:107)yn − z(cid:107) ≤ (cid:107)xn − z(cid:107) ,
Qn = {z ∈ C : (cid:104)xn − z, x0 − xn(cid:105) ≥ 0},
xn+1 = PCn∩Qn(x0)
và kết quả được trình bày trong định lý sau:
Định lý 1.19 (xem [79]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không
gian Hilbert H và T : C −→ C là ánh xạ λ-giả co chặt, với F ix(T ) (cid:54)= ∅. n=0 ⊂ [0, 1) là một dãy số thực sao cho αn < 1, với ∀n ∈ N và Giả sử {αn}∞ δ ∈ (λ, 1), thì với x0 tùy ý thuộc C, dãy lặp {xn}∞ n=0 xác định bởi (1.38) hội tụ mạnh tới PF ix(T )x0. Đặt
βn = (1 − δ)αn + δ ∈ [δ, 1)
thì dãy lặp (1.38) có dạng sau:
x0 ∈ C
yn = βnxn + (1 − βn)T (xn),
(1.39) Cn = {z ∈ C : (cid:107)yn − z(cid:107) ≤ (cid:107)xn − z(cid:107) ,
Qn = {z ∈ C : (cid:104)xn − z, x0 − xn(cid:105) ≥ 0},
xn+1 = PCn∩Qn(x0).
34
và từ Định lý 1.19 Yao Y. và Chen R. [79] rút ra những hệ quả sau:
Hệ quả 1.1 (xem [79]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không
gian Hilbert H và T : C −→ C là ánh xạ λ-giả co chặt, với F ix(T ) (cid:54)= ∅. Giả sử dãy số {βn} được chọn sao cho δ ≤ αn < 1, với ∀n ∈ N và δ ∈ (λ, 1). Khi đó, với x0 tùy ý thuộc C, dãy lặp {xn}∞ n=0 xác định bởi (1.39) hội tụ mạnh tới PF ix(T )x0.
Hệ quả 1.2 (xem [79]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không
n=0 và {γn}∞
n=0 , {βn}∞
gian Hilbert H và T : C −→ C là ánh xạ không giãn, với F ix(T ) (cid:54)= ∅. Giả sử dãy số {βn} được chọn sao cho δ ≤ αn < 1, với ∀n ∈ N và δ ∈ (λ, 1). Khi đó, với x0 tùy ý thuộc C, dãy lặp {xn}∞ n=0 xác định bởi (1.39) hội tụ mạnh tới PF ix(T )x0.
n=0 được xác định bởi:
Cùng với các kết quả trên, Yao Y. và Chen R. [79] lại có một kết quả nữa. Cho {αn}∞ n=0 là các dãy số thực trong đoạn [0, 1] sao cho αn + βn + γn = 1, với mọi n ≥ 0. Khi đó, với x0 tùy ý thuộc C và δ ∈ (λ, 1), dãy {xn}∞
(1.40) xn+1 = αnf (xn) + βnxn + γn[δxn + (1 − δ)T xn], n = 0, 1, 2, . . .
Ta có định lý sau:
n=0, {βn}∞
Định lý 1.20 (xem [79]) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của
không gian Hilbert H và T : C −→ C là một ánh xạ λ-giả co chặt, với F ix(T ) (cid:54)= ∅. Giả sử f : C −→ C là một ánh xạ co và {αn}∞ n=0, {γn}∞ n=0 là các dãy số thực trong đoạn [0, 1] sao cho αn + βn + γn = 1, ∀n ≥ 0, và thỏa mãn các điều kiện:
(i) limn→∞ αn = 0; (ii) (cid:80)∞ n=0 αn = ∞; (iii) 0 < lim infn→∞ βn < lim supn→∞ βn < 1.
Khi đó, dãy lặp (1.40) hội tụ đến một điểm x∗ ∈ F ix(T ) và x∗ là nghiệm
35
của bất đẳng thức biến phân
(cid:104)(I − f )x∗, x − x∗(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ F ix(T ).
Rất gần đây, Song Y. L. [62] đề xuất một phương pháp lặp để tìm điểm
bất động chung cho một họ vô hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian
Hilbert. Với tùy ý x0 ∈ C, dãy lặp được xác định như sau:
∞ (cid:88)
x0 =x,
i=1
(1.41) yn =PC[βnxn + (1 − βn) µ(n) i Ti(xn)],
xn+1 =αnf (xn) + γnxn + ((1 − γn)I − αnF )(yn),
trong đó, Ti : C → C là ánh xạ λi-giả co chặt, F : C → C là ánh xạ đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz và f : C → C là ánh xạ co. Với các điều
kiện thích hợp cho tham số tác giả đã đưa ra được kết quả hội tụ mạnh
i=1.
của dãy (1.41) đến một điểm bất động chung của họ vô hạn đếm được các ánh xạ giả co chặt {Ti}∞
Bên cạnh đó, Xu W. và Wang Y. [76] cũng đưa ra một phương pháp
mới. Họ xây dựng dãy lặp theo công thức sau:
x0 =x ∈ C
∞ (cid:88)
yn =βnS(xn) + (1 − βn)xn, (1.42)
i=1
xn+1 =PC[αnf (xn) + (1 − αn) µ(n) i Ti(yn)], n ≥ 0.
∞ (cid:92)
ở đây, f : C → H là ánh xạ co, S : C → C là một ánh xạ không giãn và {Ti}∞ i=1 : C → H là họ vô hạn các ánh xạ giả co chặt. Với điều kiện thích hợp cho tham số Xu và Wang đã chứng minh dãy lặp (1.42) hội tụ mạnh tới một điểm x∗ ∈ (cid:84)∞ i=1 F ix(Ti), đồng thời x∗ là nghiệm của bất đẳng thức biến phân
i=1
(cid:104)(I − f )x∗, x − x∗(cid:105) ≥ 0, ∀x ∈ F ix(Ti).
36
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong Chương 1 chúng tôi đã trình bày một số khái niệm và kiến thức
chuẩn bị. Nội dung của chương này có tính chất bổ trợ cho các Chương 2
và Chương 3. Chúng tôi giới thiệu bất đẳng thức biến phân cổ điển, mối
quan hệ mật thiết giữa bất đẳng thức biến phân cổ điển với một số bài
toán khác trong giải tích và trình bày sự tồn tại nghiệm của bài toán trong
không gian Hilbert. Chúng tôi đã trình bày một số phương pháp để tìm
nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển như là: phương pháp điểm
bất động, phương pháp đạo hàm tăng cường và phương pháp nguyên lý bài
toán phụ. Phần cuối của chương chúng tôi trình bày một số phương pháp
lặp để tìm điểm bất động cho lớp các ánh xạ giả co chặt và lớp các ánh xạ
không giãn trong không gian Hilbert.
Trong chương này chúng tôi đề cập đến những vấn đề sau. Mục 2.1. dành
cho việc trình bày phương pháp nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh cho một
họ vô hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert dựa trên việc xét
tổng vô hạn. Mục 2.2. chúng tôi trình bày phương pháp nguyên lý bài toán
phụ hiệu chỉnh cho một họ vô hạn ánh xạ không giãn trong không gian
Hilbert dựa trên ánh xạ Wn. Các kết quả này đã được công bố trên các tạp chí: Tạp chí Khoa học và Công nghệ - Đại học Thái Nguyên, International
Journal of Mathematical Analysis và Applied Mathematical Sciences
Trong mục này chúng ta xét bài toán tìm điểm bất động chung cho một
họ vô hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert.
Như chúng ta đã biết, một trong những phương pháp để tìm nghiệm
cho bất đẳng thức biến phân cổ điển là phương pháp nguyên lý bài toán
phụ. Để giải bài toán đó, đòi hỏi ánh xạ F phải đơn điệu mạnh và liên tục
Lipschitz. Vậy khi ánh xạ F không đơn điệu mạnh mà chỉ đơn điệu thì có
phương pháp nào có thể tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển?
Câu hỏi này đã được các nhà toán học là Baasansuren A. J. và Khan A. A.
37
[8] giải đáp vào năm 2000. Họ đề xuất một phương pháp mới, là sự kết hợp
38
giữa nguyên lý bài toán phụ với phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov
để được phương pháp Nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh. Sau đây chúng ta
trình bày phương pháp đó.
Xét bài toán sau: Tìm u∗ ∈ C sao cho
(cid:104)F (u∗), u − u∗(cid:105) ≥ 0 ∀u ∈ C. (2.1)
trong đó, F : C −→ H là một ánh xạ liên tục từ một tập lồi đóng C của
không gian Hilbert H vào H.
Để xác định nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển (2.1) trước
hết cần giải bài toán sau:
Tìm uα ∈ C sao cho
(2.2) (cid:104)F (uα) + αuα, v − uα(cid:105) ≥ 0 ∀v ∈ C.
Nghiệm uα của bài toán (2.2) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của bài toán (2.1). Sự tồn tại nghiệm hiệu chỉnh uα được trình bày trong định lý sau đây.
Định lý 2.1 (xem [8]) Cho H là một không gian Hilbert thực và C là một
tập lồi đóng khác rỗng của H. Giả sử rằng F : C −→ H là một ánh xạ đơn
điệu và h-liên tục. Khi đó,
(i) với mỗi α > 0, bài toán (2.2) có nghiệm duy nhất uα.
Hơn nữa, nếu F liên tục Lipchitz thì
(cid:107)uα − u∗(cid:107) = 0, lim α→0
ở đây u∗ là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (2.1).
(ii) , với αn, αm > 0, (cid:107)uαn − uαm(cid:107) ≤ M |αn − αm| αn trong đó M > 0 là hằng số.
với đạo hàm ϕ(cid:48) đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz. Cho {(cid:15)n}∞ Cho ϕ : H → R là một phiếm hàm lồi chính thường và khả vi Gâteaux, n=0 và {αn}∞ n=0
39
là hai dãy số thực dương. Với α0 > 0 và (cid:15)0 > 0, lấy tùy ý z0 ∈ C, xét bài toán phụ: tìm z ∈ C sao cho
(2.3) {ϕ(z) + (cid:104)(cid:15)0(F (z0) + α0z0) − ϕ(cid:48)(z0), z(cid:105)}. min z∈C
Gọi z1 là nghiệm của bài toán (2.3). Thay α0, (cid:15)0 và z0 bởi α1, (cid:15)1 và z1, ta tìm được z2. Tiếp tục quá trình đó dẫn đến thuật toán sau: • Thuật toán 2
(i) Tại bước k = 0, bắt đầu với z0, (cid:15)0 và α0. (ii) Tại bước k = n, biết zn, (cid:15)n và αn, giải bài toán phụ sau: tìm z ∈ C
sao cho
(2.4) {ϕ(z) + (cid:104)(cid:15)n(F (zn) + αnzn) − ϕ(cid:48)(zn), z(cid:105)}. min z∈C
Gọi zn+1 là nghiệm của bài toán (2.4).
(iii) Dừng, nếu (cid:107)zn+1 − zn(cid:107) nhỏ hơn một sai số cho trước. Ngược lại,
thay n ← n + 1 và trở về bước (ii).
n=0 và {αn}∞
n=0 là hai dãy số thực thỏa mãn điều kiện:
Giả sử rằng {(cid:15)n}∞
n < ∞.
Điều kiện Ψ
n=0 (cid:15)nαn = ∞; (cid:80)∞ (αn − αn+1)2 α3 n(cid:15)n
(i) 0 < (cid:15)n ≤ 1; 0 < αn+1 ≤ αn ≤ 1; αn → 0 khi n → ∞. (ii) (cid:80)∞ n=0 (cid:15)2 (iii) (cid:80)∞ < ∞. n=0
Ta có thể chọn các dãy số {(cid:15)n}n≥0 và {αn}n≥0 thỏa mãn điều kiện Ψ như
sau:
và (cid:15)n = (1 + n)−k1 αn = (1 + n)−k2,
với 1/2 < k1 < 1, k2 > 0 và k1 + k2 < 1.
Sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.4) được trình bày trong định lý sau:
Định lý 2.2 (xem [8]) Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một
tập lồi đóng khác rỗng của H và F : C −→ H là một ánh xạ đơn điệu, h-liên tục trên C. Giả sử rằng ϕ : H −→ R là một phiếm hàm lồi chính
40
n=0 là hai dãy số thực thỏa mãn điều kiện
Hơn nữa, nếu {(cid:15)n}∞ thường và khả vi Gâteaux, với ϕ(cid:48) đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz. Khi đó, với mỗi n ∈ N, bài toán (2.4) có nghiệm duy nhất zn+1. n=0 và {αn}∞
Ψ và F ánh xạ liên tục Lipschitz thì:
lim (cid:107)zn+1 − u∗(cid:107) = 0,
trong đó u∗ là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (2.1).
Chúng ta vận dụng phương pháp Nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh để
tìm điểm bất động chung cho một họ vô hạn các ánh xạ giả co chặt trong
không gian Hilbert.
Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập lồi đóng khác rỗng i=1 là một họ vô hạn các ánh xạ λi-giả co chặt từ C
i=1 F ix(Ti) (cid:54)= ∅.
của H. Giả sử cho {Ti}∞ vào H thỏa mãn điều kiện F = (cid:84)∞
Xét bài toán:
Tìm u∗ ∈ F. (2.5)
Để vận dụng phương pháp trên cho bài toán (2.5), trước hết chúng tôi
xác định nghiệm hiệu chỉnh uα trên cơ sở giải bài toán sau: tìm một phần tử uα ∈ C sao cho
i=1
(cid:43) (cid:42) ∞ (cid:88) ≥ 0 ∀v ∈ C, γiAi(uα) + αuα, v − uα (2.6)
i=1 là dãy
i ≥ 1. Ai = I − Ti,
i=1
trong đó, α > 0 là tham số hiệu chỉnh đủ nhỏ dần đến 0 và {γi}∞ số thực thỏa mãn điều kiện: ∞ (cid:88) = γ < ∞, . (2.7) γi > 0; (cid:101)λi = 1 − λi 2 γi (cid:101)λi
Cho ϕ : H → R là một phiếm hàm lồi chính thường và khả vi Gâteaux, với đạo hàm ϕ(cid:48) đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz. Giả sử rằng {(cid:15)n}n≥0 và {αn}n≥0 là hai dãy số thực dương thỏa mãn điều kiện Ψ.
41
Lấy tùy ý z0 ∈ C và các tham số α0 > 0, (cid:15)0 > 0. Ta xét bài toán sau:
∞ (cid:88)
tìm z ∈ C sao cho
i=1
(2.8) {ϕ(z) + (cid:104)(cid:15)0(B(z0) + α0z0) − ϕ(cid:48)(z0), z(cid:105)}, với B = γiAi. min z∈C
Ký hiệu z1 là nghiệm (duy nhất) của bài toán (2.8). Tiếp tục thay z0, α0 và (cid:15)0 bởi z1, α1 và (cid:15)1 để tìm z2. Ta có thuật toán sau: • Thuật toán 3
(i) Tại bước k = 0, bắt đầu với z0, (cid:15)0 và α0. (ii) Tại bước k = n, biết zn, (cid:15)n và αn, giải bài toán phụ sau: tìm z ∈ C
sao cho
(2.9) {ϕ(z) + (cid:104)(cid:15)n(B(zn) + αnzn) − ϕ(cid:48)(zn), z(cid:105)}. min z∈C
Gọi zn+1 là nghiệm của bài toán (2.9). (iii) Dừng, nếu (cid:107)zn+1 − zn(cid:107) nhỏ hơn một sai số cho trước. Ngược lại,
thay n ← n + 1 và trở về bước (ii).
Để trình bày kết quả cho sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.6) và bài
toán (2.9) trước hết chúng ta cần nêu lại một số kết quả bổ trợ sau đây.
Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H và
G : C ×C −→ (−∞, +∞) là một song hàm thỏa mãn điều kiện G(u, u) = 0,
∀u ∈ C. Bài toán cân bằng được phát biểu như sau:
Tìm u∗ ∈ C sao cho
G(u∗, v) ≥ 0 ∀v ∈ C. (2.10)
Giả sử song hàm G thỏa mãn các điều kiện sau:
Điều kiện E:
(E1) G(u, v) + G(v, u) ≤ 0 ∀(u, v) ∈ C × C; (E2) Với mọi u ∈ C, G(u, ·) : C → (−∞, +∞) là hàm lồi và nửa liên
tục dưới;
(E3) limt→+0 G((1 − t)u + tz, v) ≤ G(u, v) ∀(u, z, v) ∈ C × C × C.
42
Bổ đề 2.1 (xem [25]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian
Hilbert H và G : C ×C → (−∞, +∞) là một song hàm xác định trên C ×C
và thỏa mãn điều kiện E. Khi đó, với x tùy ý thuộc H và r > 0 tồn tại
z ∈ C thỏa mãn điều kiện sau:
G(z, v) + (cid:104)z − x, v − z(cid:105) ≥ 0 ∀v ∈ C. 1 r
Bổ đề 2.2 (xem [25]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian
Hilbert H và G : C ×C → (−∞, +∞) là một song hàm xác định trên C ×C
và thỏa mãn điều kiện E. Với r > 0 và x ∈ H, ánh xạ Tr : H → C được định nghĩa như sau:
(cid:104)z − x, v − z(cid:105) ≥ 0 ∀v ∈ C}. Tr(x) = {z ∈ C : G(z, v) + 1 r
Khi đó,
(i) Tr là ánh xạ đơn trị; (ii) Tr là một ánh xạ thỏa mãn:
(cid:107)Tr(x) − Tr(y)(cid:107)2 ≤ (cid:104)Tr(x) − Tr(y), x − y(cid:105) ;
với mọi x, y ∈ H
(iii) F ix(Tr) = EP (G); ở đây, EP (G) là tập nghiệm của bài toán cân bằng (2.10).
(iv) EP (G) là một tập lồi và đóng.
Từ (ii), dễ thấy rằng Tr là một ánh xạ không giãn.
Bổ đề 2.3 (xem [57]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian
Hilbert H. Giả sử T : C −→ H là ánh xạ λ-giả co chặt. Khi đó, ánh xạ
I − T là demi-đóng tại 0.
Tức là, nếu dãy {xn} trong C hội tụ yếu tới x ∈ C và dãy {(I − T )(xn)}
hội tụ mạnh tới 0, thì suy ra (I − T )(x) = 0.
43
Bổ đề 2.4 (xem [27]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian
Hilbert H. Giả sử T : C −→ H là một ánh xạ λ-giả co chặt. Khi đó, T là
ánh xạ L-liên tục Lipschitz, với hằng số L = . 1 + λ 1 − λ
Bổ đề 2.5 (xem [27]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian
Hilbert H. Giả sử T : C −→ H là ánh xạ λ-giả co chặt. Khi đó, I − T là
. một ánh xạ ngược đơn điệu mạnh với hằng số (cid:101)λ = 1 − λ 2 Định lý sau đây là kết quả cho sự tồn tại nghiệm hiệu chỉnh của bài toán
(2.6) và tính hội tụ mạnh tới nghiệm u∗ của bài toán (2.5).
Định lý 2.3 Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H và {Ti}∞ i=1 là một họ vô hạn các ánh xạ λi-giả co chặt từ C vào H sao cho F = (cid:84)∞ i=1 F ix(Ti) (cid:54)= ∅. Giả sử rằng {γi}∞ i=1 là một dãy số thực thỏa mãn điều kiện (2.7). Khi đó,
(i) Với mỗi α > 0, bài toán (2.6) có duy nhất một nghiệm uα. (ii)
uα = u∗, u∗ ∈ F, (cid:107)u∗(cid:107) ≤ (cid:107)y(cid:107) , ∀y ∈ F. lim α→0
(iii)
i=1.
(cid:107)u∗(cid:107) , α, β > 0. (cid:107)uα − uβ(cid:107) ≤ |α − β| α
Chứng minh. (i) Gọi y là điểm bất động chung của họ các ánh xạ λi-giả co chặt {Ti}∞ Khi đó, với x ∈ C ta có:
γi (cid:107)Ai(x)(cid:107) = γi (cid:107)Ai(x) − Ai(y) + Ai(y)(cid:107) (2.11)
≤ γi (cid:107)Ai(x) − Ai(y)(cid:107) + γi (cid:107)Ai(y)(cid:107) ;
ở đây, Ai = I − Ti.
Vì y ∈ F nên Ti(y) = y, hay Ai(y) = 0. Theo Bổ đề 2.5, vì A là ánh xạ
ngược đơn điệu mạnh nên
(cid:107)x − y(cid:107) = (cid:107)x − y(cid:107) . γi (cid:107)Ai(x)(cid:107) ≤ γi 2 1 − λi γi (cid:101)λi
44
i=1 γiAi(x), hội tụ tuyệt đối với mỗi x ∈ C.
= γ < ∞, nên suy ra ánh xạ B, được định Theo điều kiện (2.7), (cid:80)∞ i=1 γi (cid:101)λi nghĩa bởi B(x) = (cid:80)∞
Mặt khác, vì mỗi ánh xạ Ai là ánh xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz nên
B cũng là ánh xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz với hằng số LB = γ. Đặt
i ≥ 1. Gi(u, v) = (cid:104)γiAi(u), v − u(cid:105) ,
Từ (2.6) ta có:
i=1
(cid:43) (cid:42) ∞ (cid:88) + α (cid:104)uα, v − uα(cid:105) ≥ 0 ∀v ∈ C. γiAi(uα), v − uα
∞ (cid:88)
Đặt
i=1
Gi(u, v) = (cid:104)B(u), v − u(cid:105) (cid:101)G(u, v) =
và
Gα(u, v) = (cid:101)G(u, v) + α (cid:104)u, v − u(cid:105)
Khi đó bài toán (2.6) có dạng: Tìm uα ∈ C sao cho
(2.12) Gα(uα, v) ≥ 0 ∀v ∈ C.
Ta thấy với mỗi i ≥ 1, hàm (cid:101)Gi(u, v) thỏa mãn điều kiện E. Do đó, hàm (cid:101)G(u, v) cũng thỏa mãn điều kiện E. Theo Bổ đề 2.1 và Bổ đề 2.2, với 1 = α > 0 và x = 0, bài toán (2.12) có nghiệm duy nhất uα. Điều đó chứng r tỏ rằng với mỗi α > 0, bài toán (2.6) có nghiệm duy nhất uα. (ii) Trước hết chúng ta chứng minh rằng
(2.13) (cid:107)uα(cid:107) ≤ (cid:107)y(cid:107) ∀y ∈ F.
Thật vậy, vì y ∈ F nên Ai(y) = 0, i ≥ 1. Mặt khác, uα là nghiệm của bài toán (2.6) nên ta có:
(2.14) (cid:104)B(uα), y − uα(cid:105) + α (cid:104)uα, y − uα(cid:105) ≥ 0 ∀y ∈ F.
45
Nhưng ánh xạ Ai là ánh xạ đơn điệu nên
(cid:104)γiAi(uα), y − uα(cid:105) ≥ 0 ∀y ∈ F, i ≥ 1.
Vậy
(cid:104)uα, y − uα(cid:105) ≥ 0 ∀y ∈ F.
Hay
∀y ∈ F. (cid:107)uα(cid:107) ≤ (cid:107)y(cid:107)
Từ đó suy ra dãy {uα} bị chặn. Khi đó, tồn tại một dãy con {uαk} của dãy {uα} hội tụ yếu tới một phần tử u∗ ∈ C. Tiếp theo, ta cần chứng minh u∗ ∈ F.
Thật vậy, theo Bổ đề 2.5, thì Ai là các ánh xạ ngược đơn điệu mạnh với
, tức là ∀x, y ∈ C ta có: hằng số (cid:101)λi = 1 − λi 2
(2.15) (cid:104)Ai(x) − Ai(y), x − y(cid:105) ≥ (cid:107)Ai(x) − Ai(y)(cid:107)2 . 1 − λi 2
Do đó, với một chỉ số l nào đó thì Al cũng là một ánh xạ ngược đơn điệu mạnh với hằng số . Hơn nữa Al(y) = 0, nên từ (2.15) suy ra: 1 − λl 2
∞ (cid:88)
0 < γl (cid:107)Al(uαk)(cid:107)2 ≤ (cid:104)γlAl(uαk), uαk − y(cid:105) 1 − λl 2
i=1
≤ (cid:104)γiAi(uαk), uαk − y(cid:105)
(2.16) ≤ αk (cid:104)uαk, y − uαk(cid:105)
≤ αk (cid:104)y, y − uαk(cid:105)
≤ 2αk (cid:107)y(cid:107)2 −→ 0 khi k → ∞.
Vậy
(cid:107)Al(uαk)(cid:107) = 0. lim k→∞
46
Theo Bổ đề 2.3, suy ra Al(u∗) = 0, hay u∗ ∈ F ix(Tl). Lại theo Bổ đề 2.2, vì F ix(Ti) (i ≥ 1) là các lập lồi đóng nên F = (cid:84)∞ i=1 F ix(Ti) cũng là một tập lồi đóng. Mặt khác, mọi điểm tụ yếu đều là nghiệm có chuẩn nhỏ nhất, do vậy là duy nhất. Do đó, mọi dãy con {uαk} đều hội tụ yếu tới u∗. Từ đó suy ra dãy {uα} cũng hội tụ yếu tới u∗, khi α → 0.
Trong (2.13), ta thay y bởi u∗ và vận dụng tính chất Ephimov-Stechkin
trong không gian Hilbert (hay tính chất E − S, tức là trong không gian
H từ sự hội tụ yếu của các phần tử (xn (cid:42) x) và sự hội tụ của chuẩn ((cid:107)xn(cid:107) → (cid:107)x(cid:107)) luôn kéo theo sự hội tụ mạnh ((cid:107)xn − x(cid:107) → 0), ta có: uα (cid:42) u∗ và (cid:107)uα(cid:107) → (cid:107)u∗(cid:107) thì suy ra (cid:107)uα − u∗(cid:107) → 0 khi α → 0, tức là:
uα = u∗. lim α→0
(iii) Theo (2.14) và tính chất đơn điệu của ánh xạ B, nên với mỗi α, β > 0
ta có:
α (cid:104)uα, uβ − uα(cid:105) + β (cid:104)uβ, uα − uβ(cid:105) ≥ 0
⇔ β (cid:104)uβ, uα − uβ(cid:105) ≥ α (cid:104)uα, uβ − uα(cid:105) ⇔ β (cid:104)uβ, uα − uβ(cid:105) − α (cid:104)uβ, uα − uβ(cid:105) ≥ α (cid:104)uα, uβ − uα(cid:105) − α (cid:104)uβ, uα − uβ(cid:105) ⇔ (β − α) (cid:104)uβ, uα − uβ(cid:105) ≥ α (cid:107)uα − uβ(cid:107)2. Từ đó suy ra
(cid:107)u∗(cid:107) . (cid:107)uβ(cid:107) ≤ (cid:107)uα − uβ(cid:107) ≤ |α − β| α |α − β| α
Vậy
(cid:107)u∗(cid:107) , với α, β > 0. (cid:107)uα − uβ(cid:107) ≤ |α − β| α
Định lý được chứng minh.
Định lý tiếp theo sau đây là kết quả cho sự tồn tại nghiệm của bài toán
(2.9).
Định lý 2.4 Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H và {Ti}∞ i=1 là một họ vô hạn các ánh xạ λi-giả co chặt từ C vào H sao
47
i=1 F ix(Ti) (cid:54)= ∅. Giả sử rằng {γi}∞
cho F = (cid:84)∞ i=1 là một dãy số thực thỏa mãn điều kiện (2.7) và ϕ : H −→ R là một hàm lồi chính thường, khả vi Gâteaux trên H, với đạo hàm ϕ(cid:48) là ánh xạ đơn điệu mạnh và liên tục
Lipschitz. Khi đó, với mỗi n ≥ 0, bài toán (2.9) có duy nhất một nghiệm
zn+1. Hơn nữa, nếu các dãy số {(cid:15)n}n≥0 và {αn}n≥0 thỏa mãn điều kiện Ψ thì
zn = u∗ ∈ F. lim n→∞
Chứng minh.
Bài toán (2.9) tương đương với bài toán: tìm zn+1 ∈ C sao cho
(2.17) (cid:104)ϕ(cid:48)(zn+1) + (cid:15)n(B(zn) + αnzn) − ϕ(cid:48)(zn), v − zn+1(cid:105) ≥ 0 ∀v ∈ C.
Theo giả thiết ϕ(cid:48) là ánh xạ đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz, nên bất
đẳng thức biến phân (2.17) có một nghiệm duy nhất zn+1.
Sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có:
(cid:107)zn+1 − u∗(cid:107) ≤ (cid:107)zn+1 − uαn(cid:107) + (cid:107)uαn − u∗(cid:107) ,
ở đây, uαn là nghiệm của bài toán (2.6), với α = αn và αn → 0 khi n → ∞.
Do đó, để chứng minh limn→∞ zn+1 = u∗ ta cần chứng minh
(2.18) (cid:107)zn+1 − uαn(cid:107) = 0. lim n→∞
Muốn vậy ta xét một hàm sau:
Φ(u, z) = ϕ(u) − ϕ(z) − (cid:104)ϕ(cid:48)(z), u − z(cid:105) ,
ở đây, u và z tương ứng như là uαn và zn.
Theo giả thiết, vì ϕ(cid:48) là ánh xạ đơn điệu mạnh, nên ta có:
(cid:107)u − z(cid:107)2 (2.19) ϕ(u) − ϕ(z) ≥ (cid:104)ϕ(cid:48)(z), u − z(cid:105) + m 2
trong đó, m là hằng số đơn điệu mạnh của ϕ(cid:48) trên C.
48
Và ϕ(cid:48) là ánh xạ liên tục Lipschitz, nên ta có:
ϕ(u) − ϕ(z) ≤ (cid:104)ϕ(cid:48)(z), u − z(cid:105) + (cid:107)u − z(cid:107)2 (2.20) M 2
trong đó, M là hằng số liên tục Lipschitz của ϕ(cid:48) trên C.
Từ (2.19) và (2.20) suy ra:
(cid:107)u − z(cid:107)2 ≤ Φ(u, z) ≤ (cid:107)u − z(cid:107)2 . m 2 M 2
Đặt
(cid:52)n = (cid:13) (cid:13)zn − uαn−1 (cid:13) (cid:13) .
n=1 bị chặn. Thật vậy, ta có
Sau đây ta sẽ chứng minh rằng dãy {(cid:52)n}∞
đánh giá sau:
Φ(uαn−1, zn)−Φ(uαn, zn+1)
(cid:11)} = {ϕ(uαn−1) − ϕ(zn) − (cid:10)ϕ(cid:48)(zn), uαn−1 − zn
− {ϕ(uαn) − ϕ(zn+1) − (cid:104)ϕ(cid:48)(zn+1), uαn − zn+1(cid:105)}
(cid:11) = ϕ(uαn−1) − ϕ(uαn) + (cid:104)ϕ(cid:48)(zn+1), uαn − zn+1(cid:105) + ϕ(zn+1) − ϕ(zn) − (cid:10)ϕ(cid:48)(zn), uαn−1 − zn
= ϕ(uαn−1) − ϕ(uαn) + (cid:104)ϕ(cid:48)(zn+1), uαn − zn+1(cid:105)
(cid:11) + ϕ(zn+1) − ϕ(zn) − (cid:104)ϕ(cid:48)(zn), zn+1 − zn(cid:105) − (cid:10)ϕ(cid:48)(zn), uαn−1 − zn+1
= {ϕ(zn+1) − ϕ(zn) − (cid:104)ϕ(cid:48)(zn), zn+1 − zn(cid:105)}
(cid:11)} (cid:11) + (cid:104)ϕ(cid:48)(zn+1), uαn − zn+1(cid:105)
+ {ϕ(uαn−1) − ϕ(uαn) − (cid:10)ϕ(cid:48)(uαn−1), uαn−1 − uαn + (cid:10)ϕ(cid:48)(uαn−1), uαn−1 − uαn − (cid:10)ϕ(cid:48)(zn), uαn−1 − uαn (cid:11) − (cid:104)ϕ(cid:48)(zn), uαn − zn+1(cid:105)
49
≥ (cid:107)zn+1 − zn(cid:107)2 − (cid:13) (cid:13)uαn−1 − uαn (cid:13) 2 (cid:13) M 2 m 2
(cid:11) (2.21) + (cid:10)ϕ(cid:48)(uαn−1) − ϕ(cid:48)(zn), uαn−1 − uαn
+ (cid:104)ϕ(cid:48)(zn+1) − ϕ(cid:48)(zn), uαn − zn+1(cid:105)
Từ (2.6) thay v bởi zn+1 và thay α bởi αn ta được:
(2.22) (cid:104)B(uαn) + αnuαn, zn+1 − uαn(cid:105) ≥ 0.
Từ (2.17) thay v bởi uαn ta được:
(2.23) (cid:104)ϕ(cid:48)(zn+1) + (cid:15)n(B(zn) + αnzn) − ϕ(cid:48)(zn), uαn − zn+1(cid:105) ≥ 0.
Từ các bất đẳng thức (2.22) và (2.23) suy ra:
(cid:104)ϕ(cid:48)(zn+1) − ϕ(cid:48)(zn), uαn − zn+1(cid:105) ≥(cid:15)n (cid:104)B(uαn) + αnuαn, uαn − zn+1(cid:105)
− (cid:15)n (cid:104)B(zn) + αnzn, uαn − zn+1(cid:105) .
Lại vì B là ánh xạ liên tục Lipschitz với hằng số γ, nên với mọi x1,
x2 ∈ C ta có:
(cid:107)(B(x1) + αnx1) − (B(x2) + αnx2)(cid:107) = (cid:107)(B(x1) − B(x2)) + αn(x1 − x2)(cid:107)
≤ γ (cid:107)x1 − x2(cid:107) + αn (cid:107)x1 − x2(cid:107)
≤ (γ + α0) (cid:107)x1 − x2(cid:107) = L (cid:107)x1 − x2(cid:107) ,
với L = γ + α0. Từ đó suy ra
(2.24) Φ(uαn−1, zn) − Φ(uαn, zn+1) ≥ E1 + E2 + E3 + E4,
trong đó
E1 = (cid:15)n (cid:104)(B(zn) + αnzn) − (B(uαn) + αnuαn), zn+1 − zn(cid:105)
+ (cid:107)zn − zn+1(cid:107)2 m 2
50
(cid:11) = (cid:15)n
(cid:11)
+ (cid:10)(B(zn) + αnzn) − (B(uαn−1) + αnuαn−1), zn+1 − zn (cid:10)(B(uαn−1) + αnuαn−1) − (B(uαn) + αnuαn), zn+1 − zn (cid:107)zn − zn+1(cid:107)2
≥ (cid:107)zn − zn+1(cid:107)2 (cid:13) 2 − (cid:13) (cid:13) (cid:13)zn − uαn−1 m 4
− (cid:107)zn − zn+1(cid:107)2 (cid:13) (cid:13)uαn − uαn−1
nL2 (cid:15)2 m m (cid:13) 2 − (cid:13) 4 L2 (cid:13) (cid:13)uαn − uαn−1 m
≥ (cid:13) (cid:13)zn − uαn−1 (cid:13) 2 − (cid:13) (cid:13) 2 ; (cid:13)
(cid:11) E2 = (cid:15)n
(cid:11) = (cid:15)n
(cid:11) + (cid:15)n
≥ r(cid:15)nαn (cid:13) (cid:13)zn − uαn−1 (cid:13) 2 − (cid:13) + (cid:15)n m 2 m (cid:107)zn − zn+1(cid:107)2 − 2 nL2 (cid:15)2 m nL2 (cid:15)2 m (cid:10)(B(zn) + αnzn) − (B(uαn) + αnuαn), zn − uαn−1 (cid:10)(B(zn) + αnzn) − (B(uαn−1) + αnuαn−1), zn − uαn−1 (cid:10)(B(uαn−1) + αnuαn−1) − (B(uαn) + αnuαn), zn − uαn−1 (cid:13) (cid:13)zn − uαn−1 (cid:13) 2 − (cid:13) (cid:13) (cid:13)uαn − uαn−1 (cid:13) 2 ; (cid:13) (cid:15)nL2 M M 4
với 0 < r ≤ 1;
2
(cid:11)
− (cid:13) (cid:13)
(cid:11) = (cid:15)n
2
(cid:11)
2 −
− (cid:10)(B(zn) + αnzn) − (B(uαn) + αnuαn), uαn−1 − uαn E3 = (cid:15)n M (cid:13) (cid:13)uαn − uαn−1 2 (cid:10)(B(zn) + αnzn) − (B(uαn−1) + αnuαn−1), uαn−1 − uαn (cid:10)(B(uαn−1) + αnuαn−1) − (B(uαn) + αnuαn), uαn−1 − uαn (cid:13) (cid:13)uαn − uαn−1 (cid:13) (cid:13) + (cid:15)n M 2
≥ r(cid:15)nαn (cid:13) (cid:13)uαn − uαn−1 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)zn − uαn−1 (cid:13) 2 ; (cid:13) (cid:13) 2 − (cid:13) L2(cid:15)2 n M 3M 4
(cid:11) (cid:13) (cid:13)uαn − uαn−1 E4 = (cid:10)ϕ(cid:48)(uαn−1) − ϕ(cid:48)(zn), uαn − uαn−1
≥ − M (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)uαn−1 − zn (cid:13) (cid:13)
(cid:13) (cid:13)uαn − uαn−1 M 2 (cid:13) (cid:13) 2 (cid:13) ; ≥ − c(cid:15)nαn (cid:13) (cid:13)uαn−1 − zn (cid:13) 2 − (cid:13) (cid:13)uαn − uαn−1 4c(cid:15)nαn
51
với θ = r − c > 0.
Thay E1, E2, E3 và E4 vào (2.24) ta được:
Φ(uαn−1, zn)−Φ(uαn, zn+1)
≥ θ(cid:15)nαn (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) 2 − (cid:13) (cid:13) (cid:13)uαn−1 − zn (cid:13) (cid:13)uαn−1 − zn L2(cid:15)2 n
− (cid:13) (cid:13)uαn − uαn−1 (M + 2m) mM (cid:13) 2 + r(cid:15)nαn (cid:13) (cid:13) (cid:13)uαn − uαn−1 (cid:13) 2 (cid:13)
≥ θ(cid:15)nαn (cid:13) (cid:13)uαn−1 − zn (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) 2 − (cid:13) L2(cid:15)2 n
(M + 2m) mM (cid:13) 2 (cid:13) · − (M m + L2)2 4rm2 (M m + L2) m (cid:13) (cid:13)uαn−1 − zn (cid:13) (cid:13)uαn − uαn−1 (cid:15)nαn
Từ đó suy ra
Φ(uαn, zn+1) ≤ Φ(uαn−1, zn) + [θ(cid:15)nαn (cid:13) (cid:13)uαn−1 − zn (cid:13) 2 (cid:13)
(cid:13) 2 (cid:13) ]; (cid:13) (cid:13)uαn−1 − zn (cid:13) 2 + C2 (cid:13) + C1(cid:15)2 n (cid:13) (cid:13)uαn − uαn−1 (cid:15)nαn
. trong đó C1 = và C2 = (M + 2m)L2 mM (M m + L2)2 4rm2 Từ bất đẳng thức trên, cho n chạy từ 0 tới N , rồi lấy tổng N bất đẳng
N (cid:88)
thức đó, kết hợp với (2.21) ta thu được:
n+1 ≤ (
1 +
n=1
)(cid:52)2 ) (cid:52)2 ( [−θ(cid:15)nαn(cid:52)2 n m 2 M 2 (2.25)
n (cid:52)2
n +C2(
+ C1(cid:15)2 )2 · (cid:107)u∗(cid:107)2 ((cid:15)nαn)−1]. αn − αn+1 αn
Chứng minh tương tự như trong Định lý 3.1 của Baasansuren A. J. và
n=1. Từ đó suy ra
∞ (cid:88)
Khan A. A. [8], từ (2.25) kết hợp với điều kiện Ψ và Bổ đề 2.5 trong [23] suy ra tính bị chặn của dãy {(cid:52)n}∞
n < ∞.
n=1
θ(cid:15)nαn(cid:52)2
52
n=1 (cid:15)nαn = ∞ nên từ đánh giá trên suy ra
Mặt khác, theo điều kiện Ψ, (cid:80)∞
(cid:52)n = 0, lim n→∞
hay
(cid:107)zn+1 − uαn(cid:107) = 0. lim n→∞
Từ đó suy ra
(cid:107)zn+1 − u∗(cid:107) = 0. lim n→∞
Định lý được chứng minh.
Để minh họa cho thuật toán đã đề xuất, chúng tôi đưa ra một ví dụ
[0,1].
trong không gian L2
[0;1] và giả sử Ci = (cid:8)x ∈ L2
[0;1] : (cid:104)x, φi(cid:105) = µi
(cid:9) với
i , i = 1, 2, · · · . Xét bài toán sau:
Ví dụ 2.1 Cho H = L2 φi = ti−1 và µi = 1
i=1Ci
Tìm x∗ ∈ ∩∞ (2.26)
Vận dụng thuật toán (2.9), ta xác định các ánh xạ PCi : H → Ci, là các
phép chiếu mêtric từ H lên Ci, với i = 1, 2, · · · , như sau:
1 (cid:82)
(2.27) φi. PCi(x) = x − (cid:104)x, φi(cid:105) − µi (cid:107)φi(cid:107)2
[0;1] nên (cid:107)φi(cid:107)2 =
0
(ti−1)2dt = Vì φi ∈ L2 . Do đó, phép chiếu PCi : Khi đó PCi là một ánh xạ không giãn, đồng thời x ∈ Ci khi và chỉ khi x = PCi(x) và bài toán (2.26) trở thành bài toán tìm điểm bất động chung cho một họ vô hạn các ánh xạ không giãn PCi. 1 2i − 1
H → Ci có thể viết lại như sau:
1 (cid:90)
0 Chọn phiếm hàm ϕ : H → R xác định bởi:
x.si−1ds − (2.28) PCi(x) = x − (2i − 1)ti−1 1 i
(cid:107)x(cid:107)2 . ϕ(x) = 1 2
53
Khi đó, ϕ là một phiếm hàm lồi và khả vi Gâteaux, với ϕ(cid:48) là ánh xạ đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz với hằng số 1. Ta chọn các dãy số thực {(cid:15)n}n≥0 và {αn}n≥0 thỏa mãn điều kiện Ψ xác định như sau:
và (cid:15)n = (1 + n)−3/4 αn = (1 + n)−1/8.
Áp dụng thuật toán nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh (2.9), xét bài toán
phụ sau:
i=1
(cid:40) (cid:42) (cid:33) (cid:43)(cid:41) (cid:32) ∞ (cid:88) ϕ(z) + , (2.29) (cid:15)n γiAi(zn) + αnzn − ϕ(cid:48)(zn), z min z∈H
0
(cid:18) 1 (cid:82) (cid:19) . x.si−1ds − ở đây Ai(x) = (I − PCi)x = (2i − 1)ti−1 1 i
i=1 thỏa mãn điều kiện (2.7)
1 Chọn γi = (2i − 1)2 , thế thì dãy số {γi}∞
Đặt
i=1
(cid:33) (cid:43) (cid:42) (cid:32) ∞ (cid:88) . (2.30) Θ(z) = ϕ(z) + − ϕ(cid:48)(zn), z γiAi(zn) + αnzn (cid:15)n
Khi đó
1 (cid:90)
∞ (cid:88)
(cid:43) (cid:42)
i=1
0
Θ(z) = . (cid:107)z(cid:107)2+ ti−1 (cid:15)n zn.si−1ds − − zn, z + αnzn 1 2 1 2i − 1 1 i
(2.31)
Ta có
1 (cid:90)
∞ (cid:88)
i=1
0
ti−1 Θ(cid:48)(z) = z + (cid:15)n zn.si−1ds − + αnzn − zn. (2.32) 1 2i − 1 1 i
Do đó, Θ(cid:48)(z) = 0 khi và chỉ khi
1 (cid:90)
∞ (cid:88)
i=1
0
ti−1 (2.33) z = −(cid:15)n zn.si−1ds − + αnzn + zn. 1 2i − 1 1 i
54
∞ (cid:88)
Với α0 = 1 và (cid:15)0 = 1, lấy tùy ý z0 = 0. Thay α0, (cid:15)0 và z0 vào (2.33) ta được:
i=1
ti−1. z1 = (cid:15)0 1 (2i − 1)i
∞ (cid:88)
Hay
j=0
z1 = C1,jtj,
. với C1,j =
j=0 Cn,jtj, với z0 = 0 và C0,j = 0. Khi đó, zn+1 được
(cid:15)0 (j + 1)(2j + 1) Giả sử rằng zn = (cid:80)∞
xác định như sau:
1 (cid:90)
∞ (cid:88)
∞ (cid:88)
∞ (cid:88)
i=1
j=0
j=0
0
∞ (cid:88)
zn+1 = − (cid:15)n Cn,jsj.si−1ds − Cn,jtj + αn ti−1 2i − 1 1 i
j=0
+ Cn,jtj
∞ (cid:88)
∞ (cid:88)
j=0
(cid:33) (cid:32) ∞ (cid:88) − + (1 − αn(cid:15)n) Cn,jtj = − (cid:15)n tk 2k + 1 Cn,j j + k + 1
k=0 ∞ (cid:88)
j=0 (cid:32) ∞ (cid:88)
∞ (cid:88)
1 k + 1 (cid:33)
i=0
i=0 (cid:32)
− = − (cid:15)n + (1 − αn(cid:15)n) Cn,iti ti 2i + 1 Cn,j j + i + 1 1 i + 1
∞ (cid:88)
j=0 (cid:32) ∞ (cid:88)
(cid:33) (cid:33)
i=0
j=0
− ti = − . + (1 − αn(cid:15)n)Cn,i (cid:15)n 2i + 1 Cn,j j + i + 1 1 i + 1
(2.34)
Đặt
j=0
(cid:33) (cid:32) ∞ (cid:88) − (2.35) Cn+1,i = − + (1 − αn(cid:15)n)Cn,i, (cid:15)n 2i + 1 Cn,j j + i + 1 1 i + 1
∞ (cid:88)
thì
i=0
(2.36) zn+1 = Cn+1,iti.
55
Chúng tôi viết chương trình thực nghiệm thuật toán nguyên lý bài toán
phụ hiệu chỉnh bằng ngôn ngữ Matlab và thử nghiệm chạy trên máy tính
cá nhân Dell với Ram 2,5 GHz. Kết quả tính toán được cho trong bảng sau
đây:
t z0 z300.000 z500.000 z1.000.000 z2.000.000
0.11111 0.7789 0.7875 0.7987 0.8093 0
0.22222 0.7921 0.8006 0.8118 0.8223 0
0.33333 0.8065 0.8150 0.8261 0.8366 0
0.44444 0.8225 0.8310 0.8419 0.8523 0
0.55555 0.8405 0.8489 0.8598 0.8700 0
0.66666 0.8613 0.8696 0.8802 0.8902 0
0.77777 0.8861 0.8941 0.9044 0.9139 0
0.88888 0.9174 0.9251 0.9347 0.9435 0
0.99999 0.9648 0.9713 0.9792 0.9862 0
Dựa vào kết quả trong bảng trên, ta thấy zn xấp xỉ 1 - nghiệm đúng của bài toán (2.26) khi n đủ lớn.
Trên đây chúng tôi vừa trình bày phương pháp nguyên lý bài toán phụ
hiệu chỉnh để tìm điểm bất động chung cho một họ vô hạn các ánh xạ giả
co chặt trong không gian Hilbert. Trên mỗi bước lặp, chúng tôi đã giải một bài toán phụ hiệu chỉnh với ánh xạ đơn điệu B = (cid:80)∞ i=1 γiAi, được xác định từ một tổng vô hạn các ánh xạ Ai, trong đó Ai = I − Ti. Mà ta biết rằng, tính tổng vô hạn là một vấn đề phức tạp. Để khắc phục sự khó khăn này,
trong mục tiếp theo chúng tôi vận dụng ánh xạ loại-W , được tạo bởi từ
một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn, để giải một bài toán phức tạp
hơn: tìm một phần tử là nghiệm của bất đẳng thức biến phân và đồng thời
là điểm bất động chung của một họ vô hạn các ánh xạ không giãn trong
không gian Hilbert.
56
Trước tiên trong mục này chúng ta sẽ trình bày ánh xạ loại -W , được
đề xuất bởi Takahashi W. [64] vào năm 1997.
Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập lồi đóng khác rỗng
của H. Giả sử T1, T2, . . . là các ánh xạ không giãn trên C và γ1, γ2, . . . là các số thực sao cho 0 < γi < 1, với i = 1, 2, . . .. Với mỗi n ∈ N, ánh xạ Wn : C −→ C xác định như sau:
Un,n+1 = I,
Un,n = γnTnUn,n+1 + (1 − γn)I,
Un,n−1 = γn−1Tn−1Un,n + (1 − γn−1)I,
...
(2.37) Un,k = γkTkUn,k+1 + (1 − γk)I,
Un,k−1 = γk−1Tk−1Un,k + (1 − γk−1)I,
...
Un,2 = γ2T2Un,3 + (1 − γ2)I,
Wn = Un,1 = γ1T1Un,2 + (1 − γ1)I.
Ánh xạ Wn xác định như trên được gọi là ánh xạ loại - W , xác định bởi các ánh xạ không giãn Tn, Tn−1, ..., T1 và các số thực γn, γn−1, ..., γ1. Ta có bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.6 (Xem [64]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không
gian Hilbert H và T1, T2, . . . là các ánh xạ không giãn trên C sao cho F = (cid:84)∞ i=1 F (Ti) (cid:54)= ∅. Giả sử rằng γ1, γ2, . . . là các số thực sao cho 0 < γi < 1,
57
n (cid:92)
với i = 1, 2, . . .. Cho Wn : C −→ C là ánh xạ loại - W xác định bởi các ánh xạ Tn, Tn−1, ..., T1 và các số thực γn, γn−1, ..., γ1. Khi đó, ta có
i=1
F ix(Wn) = F ix(Ti).
Với ánh xạ Wn xác định như trên, Takahashi đã đưa ra được kết quả hội tụ yếu của dãy lặp {xn}n≥1, xác định bởi xn+1 = Wnxn, đến một điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn {Ti}n i=1 và sau này, năm 2001, Takahashi W. và Shimoji K. [61] đã có kết quả sau:
Bổ đề 2.7 (xem [61]) Cho C là một tập lồi đóng của không gian Hilbert H, {Ti}∞ i=1 là một họ vô hạn các ánh xạ không giãn trên C sao cho F = (cid:84)∞ i=1 F ix(Ti) (cid:54)= ∅ và {γi} ⊂ (0, γ] là một dãy số dương, với γ ∈ (0, 1). Khi
đó, với mỗi x ∈ C và i ≥ 1, tồn tại limn→∞ Un,ix.
Từ Bổ đề 2.7, với mỗi i ∈ N và x ∈ C, các ánh xạ U∞,i : C −→ C và
W : C −→ C được định nghĩa như sau:
Un,ix, U∞,ix := lim n→∞
Wnx. W x := lim n→∞
Ánh xạ W xác định như trên được gọi là ánh xạ loại - W , xác định bởi các
ánh xạ T1, T2, ... và các số thực γ1, γ2, ...
Rõ ràng, Wn, Un,i, U∞,i và W là các ánh xạ không giãn. Hơn nữa, nếu
{xn} là một dãy bị chặn trong C, thì ta có (xem [20]):
(cid:107)W (xn) − Wn(xn)(cid:107) = 0. lim n→∞
Bổ đề 2.8 (xem [61]) Cho C là một tập lồi đóng của không gian Hilbert H. Giả sử {Ti}∞ i=1 là một họ vô hạn các ánh xạ không giãn trên C sao cho F = (cid:84)∞ i=1 F ix(Ti) (cid:54)= ∅ và {γi} ⊂ (0, γ] là một dãy số dương, với γ ∈ (0, 1). Khi đó,
F ix(W ) = F.
58
Sau đây chúng tôi xét bài toán tìm một phần tử là nghiệm của bất đẳng
thức biến phân cổ điển và đồng thời là điểm bất động chung cho một họ
vô hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.
Cho A : C −→ H là một ánh xạ đơn điệu, liên tục Lipschitz và {Ti}∞ i=1
là một họ vô hạn các ánh xạ không giãn trên C sao cho
i=1 F ix(Ti) và V I(A, C) là tập nghiệm của bài toán: tìm u ∈ C
S = V I(A, C) ∩ F (cid:54)= ∅ (2.38)
ở đây F = (cid:84)∞ sao cho
(cid:104)A(u), v − u(cid:105) ≥ 0 ∀v ∈ C.
Xét bài toán sau:
Tìm u∗ ∈ S. (2.39)
Để giải bài toán (2.39), trước hết chúng tôi xác định nghiệm hiệu chỉnh
un, trên cơ sở giải bất đẳng thức biến phân sau:
Tìm un ∈ C sao cho
nAn(un) + αnun, v − un(cid:105) ≥ 0 ∀v ∈ C,
(2.40) (cid:104)A(un) + αµ
trong đó An = I − Wn, αn > 0 là tham số hiệu chỉnh đủ nhỏ dần đến 0 và µ ∈ (0, 1).
Cho ϕ : H → R là một phiếm hàm lồi và khả vi Gâteaux, với đạo hàm ϕ(cid:48) đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz. Giả sử rằng {(cid:15)n}n≥1, {αn}n≥1 là các dãy số thực dương thỏa mãn điều kiện Ψ.
Lấy tùy ý phần tử z1 ∈ C và các tham số α1 > 0, (cid:15)1 > 0, ta xét bài toán
phụ sau: tìm z ∈ C sao cho
(ϕ(z) + (cid:104)(cid:15)1(A1(z1) + α1z1) − ϕ(cid:48)(z1), z(cid:105)); min z∈C (2.41)
1 A1, A1 = I − W1.
A1 = A + αµ
Gọi z2 là nghiệm của bài toán (2.41). Thay z1, α1 và (cid:15)1 bởi z2, α2 và (cid:15)2 để tìm z3. Tiếp tục quá trình đó dẫn đến thuật toán sau:
59
• Thuật toán 4
(i) Tại bước k = 1, bắt đầu với z1, (cid:15)1 và α1. (ii) Tại bước k = n, giải bài toán phụ sau: tìm z ∈ C sao cho
(ϕ(z) + (cid:104)(cid:15)n(An(zn) + αnzn) − ϕ(cid:48)(zn), z(cid:105)); min z∈C (2.42)
nAn, An = I − Wn.
An = A + αµ
Gọi zn+1 là nghiệm của bài toán (2.42).
(iii) Dừng, nếu (cid:107)zn+1 − zn(cid:107) nhỏ hơn một sai số cho trước. Ngược lại,
thay n ← n + 1 và trở về bước (ii).
Trước khi trình bày kết quả chính, chúng ta cần nêu lại kết quả bổ trợ
sau:
Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H và
G : C × C −→ (−∞, +∞) là một song hàm sao cho G(u, u) = 0, ∀u ∈ C.
Giả sử rằng song hàm G thỏa mãn các điều kiện E.
Mệnh đề 2.1 (xem [25])
(i) Nếu với mỗi v ∈ C, phiếm hàm G(·, v) : C −→ R là h-liên tục trên
C và song hàm G đơn điệu trên C × C, tức là G thỏa mãn điều kiện:
G(u, v) + G(v, u) ≤ 0 ∀(u, v) ∈ C × C,
thì U ∗ = V ∗ và đó là các tập lồi đóng;
trong đó,
U ∗ là tập nghiệm của bài toán G(u∗, v) ≥ 0 ∀v ∈ C và V ∗ là tập nghiệm của bài toán G(u, v∗) ≤ 0 ∀u ∈ C. (ii) Nếu với mỗi v ∈ C, phiếm hàm G(·, v) : C −→ R là h-liên tục trên C và song hàm G đơn điệu mạnh trên C × C, tức là tồn tại một hằng số
dương τ sao cho:
G(u, v) + G(v, u) ≤ −τ (cid:107)u − v(cid:107)2 ∀(u, v) ∈ C × C,
60
thì U ∗ có duy nhất một phần tử.
Ta có kết quả sau đây.
Định lý 2.5 Cho H là một không gian Hilbert thực và C là một tập lồi
đóng của H. Cho A : C −→ H là một ánh xạ đơn điệu, h-liên tục và {Ti}∞ i=1 là một họ vô hạn các ánh xạ không giãn trên C sao cho S := V I(C, A) (cid:84) F (cid:54)= ∅. Khi đó, ta có
(i) Với mỗi αn > 0, bài toán (2.40) có một nghiệm duy nhất un. (ii)
un = u∗, u∗ ∈ S, (cid:107)u∗(cid:107) ≤ (cid:107)y(cid:107) , ∀y ∈ S. lim n→∞
(iii)
nAn(u), v − u(cid:105), khi đó bài toán (2.40) có dạng
(cid:107)u∗(cid:107) , αn, αm > 0. (cid:107)un − um(cid:107) ≤ |αn − αm| αn
Chứng minh (i) Đặt Gn(u, v) = (cid:104)A(u) + αµ sau:
Tìm un ∈ C sao cho
(2.43) (cid:102)Gn(un, v) ≥ 0 ∀v ∈ C,
trong đó, (cid:102)Gn(u, v) = Gn(u, v) + αn (cid:104)u, v − u(cid:105).
Dễ thấy, với mỗi n ≥ 1, hàm Gn(u, v) thỏa mãn điều kiện E. Do đó, hàm (cid:102)Gn(u, v) cũng thỏa mãn điều kiện E và là hàm đơn điệu mạnh với mỗi hằng số αn > 0. Do đó, bài toán (2.43) có duy nhất một nghiệm un với mỗi αn > 0. (ii) Trước hết chúng ta chứng minh rằng
(2.44)
i=1 F ix(Ti). i=1 F ix(Ti) nên y ∈ F ix(Wn). Do vậy, ta
(cid:107)un(cid:107) ≤ (cid:107)y(cid:107) ∀y ∈ S. Thật vậy, vì y ∈ S nên y ∈ F. Do đó, y ∈ (cid:84)n
Theo Bổ đề 2.6, vì F ix(Wn) = (cid:84)n có:
An(y) = y − Wn(y) = 0.
61
Mặt khác, un là nghiệm của của bài toán (2.43)
nAn(un), y − un(cid:105) + αn (cid:104)un, y − un(cid:105) ≥ 0 ∀y ∈ S.
(cid:104)A(un) + αµ
Nhưng ánh xạ A + An đơn điệu nên
nAn(un), y − un(cid:105) ≥ 0 ∀y ∈ S
(cid:104)A(un) + αµ
suy ra
(cid:104)un, y − un(cid:105) ≥ 0 ∀y ∈ S.
Vậy
(cid:107)un(cid:107) ≤ (cid:107)y(cid:107) ∀y ∈ S.
Điều này chứng tỏ {un} là một dãy bị chặn. Khi đó, tồn tại một dãy con {uk} của dãy {un} hội tụ yếu tới một điểm u∗ ∈ H, khi k → ∞. Mặt khác, vì C là một tập con lồi đóng trong không gian Hilbert H nên C là đóng yếu. Do đó, u∗ ∈ C.
Sau đây chúng ta sẽ chứng minh u∗ ∈ S. Để chứng minh điều đó trước
hết chứng minh u∗ ∈ V I(A, C).
Thật vậy, vì A là ánh xạ đơn điệu nên
(cid:104)A(uk) − A(v), uk − v(cid:105) ≥ 0 ∀v ∈ C.
Suy ra
(cid:104)A(v), uk − v(cid:105) ≤ (cid:104)A(uk), uk − v(cid:105) ∀v ∈ C.
Theo (2.40), ta có
kAk(uk) + αkuk, v − uk(cid:105) ≥ 0 ∀v ∈ C
(cid:104)A(uk) + αµ
nên
k (cid:104)Ak(uk), v − uk(cid:105) + αk (cid:104)uk, v − uk(cid:105) ∀v ∈ C.
(cid:104)A(uk), uk − v(cid:105) ≤ αµ
Theo tính chất đơn điệu của Ak ta có
(cid:104)Ak(uk), v − uk(cid:105) ≤ (cid:104)Ak(v), v − uk(cid:105) ,
62
nên suy ra
k (cid:104)Ak(v), v − uk(cid:105) + αk (cid:104)uk, v − uk(cid:105)
(cid:104)A(v), uk − v(cid:105) ≤αµ
(2.45) ≤αµ
k
k (cid:104)Ak(v), v − uk(cid:105) + αk (cid:104)v, v − uk(cid:105) k((cid:107)Ak(v)(cid:107) + α1−µ
(cid:107)v(cid:107))((cid:107)v(cid:107) + (cid:107)y(cid:107)), ≤αµ
với mọi v ∈ C, y ∈ S.
Mặt khác,
(cid:107)v − Wk(v)(cid:107) = (cid:107)v − W (v)(cid:107) , lim k→∞ (cid:107)Ak(v)(cid:107) = lim k→∞
nên từ (2.45) ta có
(cid:104)A(u∗), u∗ − v(cid:105) ≤ 0 ∀v ∈ C.
Vậy u∗ ∈ V I(A, C).
Tiếp theo sau đây, chúng ta sẽ chứng minh u∗ ∈ F. Thật vậy, vì Ak =
, nên ta có: I − Wk là ánh xạ ngược đơn điệu mạnh với hằng số 1 2
∀y ∈ S. (cid:107)Ak(uk) − Ak(y)(cid:107)2 (cid:104)Ak(uk) − Ak(y), uk − y(cid:105) ≥ 1 2
Do y ∈ S nên theo Bổ đề 2.6, ta có:
Ak(y) = y − Wk(y) = 0.
Do đó,
k (cid:104)Ak(uk), uk − y(cid:105)
∀y ∈ S. (2.46) (cid:107)Ak(uk)(cid:107)2 ≤ αµ αµ k 1 2
Mặt khác, uk là nghiệm của của bài toán (2.43) nên
kAk(uk) + αkuk, y − uk(cid:105) ≥ 0 ∀y ∈ S
(cid:104)A(uk) + αµ
do đó,
k (cid:104)Ak(uk), uk − y(cid:105) ≤ (cid:104)A(uk), y − uk(cid:105) + αk (cid:104)uk, y − uk(cid:105)
αµ ∀y ∈ S. (2.47)
63
Từ (2.46) và (2.47) suy ra
(cid:107)Ak(uk)(cid:107)2 ≤ (cid:104)A(uk), y − uk(cid:105) + αk (cid:104)uk, y − uk(cid:105) αµ k 2
≤ (cid:104)A(y), y − uk(cid:105) + αk (cid:104)y, y − uk(cid:105) .
Nhưng vì, y ∈ S nên (cid:104)A(y), y − uk(cid:105) ≤ 0. Vậy ta có
k
(cid:104)y, y − uk(cid:105) . 0 ≤ (cid:107)Ak(uk)(cid:107)2 ≤ 2α1−µ
Hay
k
0 ≤ (cid:107)uk − Wk(uk)(cid:107)2 ≤ 2α1−µ (cid:104)y, y − uk(cid:105)
k (cid:107)y(cid:107)2 −→ 0 khi k → ∞.
≤ 2αµ
Vì vậy (cid:107)uk − Wk(uk)(cid:107) → 0 khi k → ∞, và do đó (cid:107)uk − W (uk)(cid:107) → 0 khi k → ∞. Nhưng ánh xạ I − W là demi-đóng nên suy ra (I − W )(u∗) = 0, tức là u∗ ∈ F ix(W ). Mà theo Bổ đề 2.8, F ix(W ) = F nên u∗ ∈ F.
(cid:84)∞
Lại theo Bổ đề 2.2, vì F ix(Ti) (i ≥ 1) là các lập lồi đóng nên F = i=1 F ix(Ti) cũng là một tập lồi đóng. Hơn nữa, V I(A, C) là một tập lồi, do đó S là một tập lồi đóng. Mặt khác, mọi điểm tụ yếu đều là nghiệm
có chuẩn nhỏ nhất, do vậy là duy nhất. Do đó, mọi dãy con {uk} đều hội tụ yếu tới u∗. Từ đó suy ra dãy {un} hội tụ yếu tới phần tử u∗ ∈ S khi n → ∞.
Trong (2.44), ta thay y bởi u∗ và vận dụng tính chất Ephimov-Stechkin (hay tính chất E−S) trong không gian Hilbert, khi un (cid:42) u∗ và (cid:107)un(cid:107) → (cid:107)u∗(cid:107) thì suy ra
un = u∗. lim n→∞
(iii) Từ (2.40), (2.44) và tính chất đơn điệu của các ánh xạ A và An ta có
αn (cid:104)un, um − un(cid:105) + αm (cid:104)um, un − um(cid:105) ≥ 0
64
hay
αm (cid:104)um, un − um(cid:105) ≥ αn (cid:104)un, un − um(cid:105)
(αm − αn) (cid:104)um, un − um(cid:105) ≥ αn (cid:107)un − um(cid:107)2 .
Vậy
αn (cid:107)un − um(cid:107)2 ≤ |αn − αm| (cid:107)um(cid:107) (cid:107)un − um(cid:107) (cid:107)un − um(cid:107)2
≤ (cid:107)um(cid:107)
(cid:107)u∗(cid:107) . ≤ |αn − αm| αn |αn − αm| αn
Do đó, ta suy ra
(cid:107)u∗(cid:107) ∀αn, αm > 0. (cid:107)un − um(cid:107)2 ≤ |αn − αm| αn
Vậy định lý đã được chứng minh.
Sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.42) được trình bày trong định lý sau
đây.
Định lý 2.6 Cho C là một tập lồi đóng của không gian Hilbert thực H, A : C −→ H là một ánh xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz trên C. Cho {Ti}∞ i=1 là một họ vô hạn các ánh xạ không giãn trên C sao cho S := V I(C, A) (cid:84) F (cid:54)= ∅. Giả sử rằng ϕ : H −→ R là một phiếm hàm lồi chính thường và khả vi Gâteaux, với đạo hàm ϕ(cid:48) đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz. Khi đó, với
mỗi n ≥ 1, bài toán (2.42) có nghiệm duy nhất zn+1. Hơn nữa, nếu các dãy số {αn}n≥1 và {(cid:15)n}n≥1 thỏa mãn điều kiện Ψ thì
zn = u∗. lim n→∞
Chứng minh
Bài toán (2.42) tương đương với bài toán sau: tìm zn+1 ∈ C sao cho
(2.48) (cid:104)ϕ(cid:48)(zn+1) + (cid:15)n(A(zn) + αnzn) − ϕ(cid:48)(zn), v − zn+1(cid:105) ≥ 0 ∀v ∈ C.
65
Theo giả thiết ϕ(cid:48) là ánh xạ đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz nên bài
toán (2.48) có nghiệm duy nhất zn+1. Theo bất đẳng thức tam giác ta có
(cid:107)zn+1 − u∗(cid:107) ≤ (cid:107)zn+1 − un(cid:107) + (cid:107)un − u∗(cid:107) ,
ở đây, un là nghiệm của bài toán (2.40), với α = αn và αn → 0. Để chứng minh limn→∞ zn+1 = u∗ , ta sẽ đi chứng minh
(cid:107)zn+1 − un(cid:107) = 0. lim n→∞
Muốn vậy ta xét một hàm sau:
Φ(u, z) = ϕ(u) − ϕ(z) − (cid:104)ϕ(cid:48)(z), u − z(cid:105) ,
ở đây, u và z tương ứng như là un và zn.
Theo giả thiết, vì ϕ(cid:48) là ánh đơn điệu mạnh, nên ta có:
ϕ(u) − ϕ(z) ≥ (cid:104)ϕ(cid:48)(z), u − z(cid:105) + (cid:107)u − z(cid:107)2 (2.49) m 2
trong đó m là hằng số đơn điệu mạnh của ϕ(cid:48) trên C. Và ϕ(cid:48) là ánh xạ liên tục Lipschitz, nên ta có:
ϕ(u) − ϕ(z) ≤ (cid:104)ϕ(cid:48)(z), u − z(cid:105) + (cid:107)u − z(cid:107)2 (2.50) M 2
trong đó M là hằng số liên tục Lipschitz của ϕ(cid:48) trên C.
Từ (2.49) và (2.50) suy ra:
(cid:107)u − z(cid:107)2 ≤ Φ(u, z) ≤ (cid:107)u − z(cid:107)2 . m 2 M 2
Đặt
(cid:52)n = (cid:107)zn − un−1(cid:107) .
n=1 bị chặn. Thật vậy, ta có:
Sau đây ta sẽ chứng minh rằng dãy {(cid:52)n}∞
66
Φ(un−1, zn) − Φ(un, zn+1)
= {ϕ(un−1) − ϕ(zn) − (cid:104)ϕ(cid:48)(zn), un−1 − zn(cid:105)}
− {ϕ(un) − ϕ(zn+1) − (cid:104)ϕ(cid:48)(zn+1), un − zn+1(cid:105)}
= ϕ(un−1) − ϕ(un) + (cid:104)ϕ(cid:48)(zn+1), un − zn+1(cid:105) + ϕ(zn+1) − ϕ(zn)
− (cid:104)ϕ(cid:48)(zn), zn+1 − zn(cid:105) − (cid:104)ϕ(cid:48)(zn), un−1 − zn+1(cid:105)
= {ϕ(zn+1) − ϕ(zn) − (cid:104)ϕ(cid:48)(zn), zn+1 − zn(cid:105)} + {ϕ(un−1) − ϕ(un)
− (cid:104)ϕ(cid:48)(un−1), un−1 − un(cid:105)} + (cid:104)ϕ(cid:48)(un−1), un−1 − un(cid:105)
+ (cid:104)ϕ(cid:48)(zn+1), un − zn+1(cid:105) − (cid:104)ϕ(cid:48)(zn), un−1 − un(cid:105) − (cid:104)ϕ(cid:48)(zn), un − zn+1(cid:105)
≥ (cid:107)zn+1 − zn(cid:107)2 − (cid:107)un − un−1(cid:107)2 M 2 m 2
+ (cid:104)ϕ(cid:48)(un−1) − ϕ(cid:48)(zn), un−1 − un(cid:105) + (cid:104)ϕ(cid:48)(zn+1) − ϕ(cid:48)(zn), un − zn+1(cid:105) .
(2.51)
Từ (2.40) thay v bởi zn+1 và thay α bởi αn ta được:
(2.52) (cid:104)An(un) + αnun, zn+1 − un(cid:105) ≥ 0.
Từ (2.48) thay v bởi un ta được:
(2.53) (cid:104)ϕ(cid:48)(zn+1) + (cid:15)n(An(zn) + αnzn) − ϕ(cid:48)(zn), un − zn+1(cid:105) ≥ 0.
Từ các bất đẳng thức (2.52) và (2.53) suy ra:
(cid:104)ϕ(cid:48)(zn+1) − ϕ(cid:48)(zn), un − zn+1(cid:105)
≥ (cid:15)n (cid:104)An(un) + αnun, un − zn+1(cid:105) − (cid:15)n (cid:104)An(zn) + αnzn, un − zn+1(cid:105)
= (cid:15)n (cid:104)(An(un) + αnun) − (An(zn) + αnzn), un − zn+1(cid:105) .
Đặt (cid:101)L = L + 2 + α. Khi đó, với mọi x1, x2 ∈ C, ta có
67
(cid:107)(An(x1) + αnx1) − (An(x2) + αnx2)(cid:107) = (cid:107)(An(x1) − An(x2)) + αn(x1 − x2)(cid:107)
≤ (cid:101)L (cid:107)x1 − x2(cid:107)
Từ đó suy ra
(2.54) Φ(un−1, zn) − Φ(un, zn+1) ≥ E1 + E2 + E3 + E4.
Tính toán tương tự như trong Định lý 2.4 ta được:
E1 = (cid:15)n (cid:104)(An(zn) + αnzn) − (An(un) + αnun), zn+1 − zn(cid:105)
+ (cid:107)zn − zn+1(cid:107)2
≥ (cid:107)zn − un−1(cid:107)2 − (cid:107)un − un−1(cid:107)2 ; m 2 n (cid:101)L2 (cid:15)2 m (cid:101)L2 m
E2 = (cid:15)n (cid:104)(An(zn) + αnzn) − (An(un) + αnun), zn − un−1(cid:105)
≥ r(cid:15)nαn (cid:107)zn − un−1(cid:107)2 − (cid:107)zn − un−1(cid:107)2 − (cid:107)un − un−1(cid:107)2 ; (cid:15)n (cid:101)L2 M M 4
với 0 < r ≤ 1
E3 = (cid:15)n (cid:104)(An(zn) + αnzn) − (An(un) + αnun), un−1 − un(cid:105)
− (cid:107)un − un−1(cid:107)2 M 2
≥ r(cid:15)nαn (cid:107)un − un−1(cid:107)2 − (cid:107)un − un−1(cid:107)2 − (cid:107)zn − un−1(cid:107)2 ; 3M 4 (cid:101)L2(cid:15)2 n M
E4 = (cid:104)ϕ(cid:48)(un−1) − ϕ(cid:48)(zn), un − un−1(cid:105)
; ≥ − c(cid:15)nαn (cid:107)un−1 − zn(cid:107)2 − M 2 (cid:107)un − un−1(cid:107)2 4c(cid:15)nαn
với θ = r − c > 0.
Thay E1, E2, E3 và E4 vào (2.54) ta được:
68
Φ(un−1, zn) − Φ(un, zn+1)
n (cid:107)un−1 − zn(cid:107)2
≥ θ(cid:15)nαn (cid:107)un−1 − zn(cid:107)2 − (cid:101)L2(cid:15)2 (M + 2m) mM
− (cid:107)un − un−1(cid:107)2 + r(cid:15)nαn (cid:107)un − un−1(cid:107)2 (M m + (cid:101)L2) m
n (cid:107)un−1 − zn(cid:107)2
≥ θ(cid:15)nαn (cid:107)un−1 − zn(cid:107)2 − (cid:101)L2(cid:15)2
− · (M m + (cid:101)L2)2 4rm2 (M + 2m) mM (cid:107)un − un−1(cid:107)2 (cid:15)nαn
Từ đó suy ra
Φ(un, zn+1) ≤ Φ(un−1, zn) + [−θ(cid:15)nαn (cid:107)un−1 − zn(cid:107)2
n (cid:107)un−1 − zn(cid:107)2 + C2
]; + C1(cid:15)2 (cid:107)un − un−1(cid:107)2 (cid:15)nαn
. trong đó C1 = và C2 = (M + 2m)(cid:101)L2 mM (M m + (cid:101)L2)2 4rm2 Từ bất đẳng thức trên, cho n chạy từ 0 tới N , rồi lấy tổng N bất đẳng
N (cid:88)
thức đó, kết hợp với (2.51) ta thu được:
N +1 ≤ (
1 +
n +C1(cid:15)2
n(cid:52)2 n
)(cid:52)2 ) (cid:52)2 ( [−θ(cid:15)nαn (cid:52)2 m 2 M 2 (2.55)
n=1 αn − αn+1 αn
+ C2( )2 · (cid:107)u∗(cid:107)2 ((cid:15)nαn)−1].
Chứng minh tương tự như trong Định lý 3.1 của Baasansuren A. J. và
n=1. Từ đó suy ra
∞ (cid:88)
Khan A. A. [8], từ (2.55), kết hợp với điều kiện Ψ và Bổ đề 2.5 trong [23] suy ra tính bị chặn của dãy {(cid:52)n}∞
n < ∞.
n=1
θ(cid:15)nαn(cid:52)2
n=1 (cid:15)nαn = ∞ nên từ đánh giá trên suy ra
Mặt khác, theo điều kiện Ψ, (cid:80)∞
(cid:52)n = 0, lim n→∞
69
hay
(cid:107)zn − un−1(cid:107) = 0. lim n→∞
Từ đó suy ra
(cid:107)zn − u∗(cid:107) = 0. lim n→∞
Vậy định lý được chứng minh.
Nhận xét 2.1 Nếu cho S : C −→ C là một ánh xạ λ-giả co chặt, tức là
ánh xạ S thỏa mãn:
(cid:107)S(x) − S(y)(cid:107)2 ≤ (cid:107)x − y(cid:107)2 + λ (cid:107)(I − S)(x) − (I − S)(y)(cid:107)2
với x, y ∈ C và λ ∈ (0, 1] thì ánh xạ (cid:101)T , xác định bởi
(cid:101)T (x) = αx + (1 − α)S(x) ∀x ∈ C,
i=1.
i=1 cho một họ vô hạn các ánh xạ giả co chặt {Si}∞
với α ∈ (λ, 1), là một ánh xạ không giãn trên C và F ix( (cid:101)T ) = F ix(S). Do vậy, từ kết quả trên ta có thể mở rộng từ một họ vô hạn các ánh xạ không giãn {Ti}∞
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
Trong chương này chúng tôi đã vận dụng thuật toán nguyên lý bài toán
phụ hiệu chỉnh để tìm điểm bất động chung cho một họ vô hạn các ánh
xạ giả co chặt, chứa trường hợp riêng là một họ các ánh xạ không giãn,
trong không gian Hilbert. Để giải các bài toán này, trước tiên chúng tôi
xây dựng phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder-Tikhonov. Sau đó, chúng
tôi đề xuất hai phương pháp mới, là các cải biên của thuật toán nguyên lý
bài toán phụ hiệu chỉnh, được đề xuất bởi Baasansuren J. và Khan A. A..
Các phương pháp này được xây dựng trên cơ sở tính tổng vô hạn các ánh
xạ và ánh xạ Wn, được đề xuất bởi Takahashi W.
70
Bằng các phương pháp đã đề xuất, chúng tôi đã đưa ra được cách xác
định điểm bất động chung cho một họ vô hạn các ánh xạ giả co chặt và
cách xác định một phần tử là nghiệm của bất đẳng thức biến phân với ánh
xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz, đồng thời là điểm bất động chung của
một họ vô hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Để minh
họa cho phương pháp đã đề xuất, chúng tôi đã trình bày một ví dụ minh
họa.
Trong chương này chúng tôi đề cập đến những vấn đề sau. Mục 3.1. giới
thiệu một số phương pháp lặp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân
cổ điển trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ
không giãn trong không gian Hilbert. Mục 3.2. là mục cuối của luận án,
chúng tôi trình bày một phương pháp mới, là sự kết hợp giữa phép lặp
dạng Krasnoselskij-Mann và phương pháp HSD, để tìm nghiệm cho bất
đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung cho một họ hữu hạn
các ánh xạ không giãn và mở rộng hơn cho một họ hữu hạn các ánh xạ giả
co chặt trong không gian Hilbert. Kết quả này đã được công bố trên tạp
chí: Journal of Optimization Theory and Applications.
Trong phần này chúng ta nêu lại bài toán bất đẳng thức biến phân cổ
điển đã được đề cập ở Chương 1.
71
Cho C là một tập lồi, đóng của không gian Hilbert H và F : C −→ H
72
là một ánh xạ liên tục. Bất đẳng thức biến phân cổ điển là bài toán:
Tìm x∗ ∈ C sao cho
(cid:104)F (x∗), x − x∗(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ C. (3.1)
Kí hiệu là V I(F, C) là tập nghiệm của nghiệm của bài toán (3.1).
Như chúng ta đã biết, một trong những phương pháp để xác định nghiệm
cho bài toán (3.1) là phương pháp điểm bất động. Phương pháp điểm bất
động có liên quan đến phép chiếu mêtric PC : H → C, mà vấn đề giải bài toán đó không phải dễ dàng, do tính phức tạp của tập lồi C. Do đó, để
tránh phải sử dụng phép chiếu phức tạp PC, năm 2001 Yamada I. [77] đã đề xuất phương pháp lặp HSD, bằng cách thay ánh xạ PC bằng một ánh xạ không giãn T : H → H.
Cho H là không gian Hilbert, T : H → H là một ánh xạ không giãn
trên H, sao cho C = F ix(T ) (cid:54)= ∅; F : H → H là một ánh xạ η-đơn điệu
mạnh và L-liên tục Lipschitz trên T (H). Lấy u0 tùy ý thuộc H, dãy lặp {un} được xác định theo thuật toán sau:
(3.2) un+1 = T (un) − λn+1µF (T (un)), n ≥ 0;
trong đó, µ ∈ (0,
điều kiện: (C1): λn = 0; (C2): (cid:80)∞ 2η L2 ) và {λn} ⊂ (0; 1] là một dãy số thực thỏa mãn các n=1 λn = +∞ và lim n→+∞
n+1
= 0. (C3) : lim n→+∞ λn − λn+1 λ2
Với giả thiết trên, Yamada đã chứng minh được ánh xạ T λ xác định bởi:
T λ(x) = T (x) − λµF (T (x)), ∀x ∈ H
là một ánh xạ co với hằng số τ = 1 − (cid:112)1 − µ(2η − µL2). Do đó, theo nguyên lý ánh xạ co Banach thì dãy lặp {un}n≥0 xác định bởi (3.2) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất u∗ của bài toán (3.1).
73
Mở rộng kết quả trên, Yamada xét cho một họ hữu hạn các ánh xạ không
i=1. Giả sử rằng C = (cid:84)N
i=1 F ix(Ti) (cid:54)= ∅ và thỏa mãn:
giãn {Ti}N
C = F ix(TN TN −1 . . . T1)
= F ix(T1TN . . . T3T2)
= · · · = F ix(TN −1TN −2 . . . T1TN )
Cho F : H → H là một ánh xạ η-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz trên (cid:83)N i=1 Ti(H). Khi đó, với u0 tùy ý thuộc H, dãy lặp {un} xác định theo thuật toán sau:
(3.3) un+1 = T[n+1](un) − λn+1µF (T[n+1](un)),
trong đó T[k] = Tk mod N , với k = 1, 2, · · · , N .
Với giả thiết µ ∈ (0,
2η L2 ); {λn} ⊂ [0; 1] là một dãy số thực thỏa mãn các điều kiện (C1), (C2) và (C4) : (cid:80)∞ k=n |λn − λn+N | < ∞, Yamada đã chứng minh được rằng, dãy lặp {un} xác định bởi (3.3) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất u∗ của bài toán (3.1).
Năm 2003, Xu H. K. và Kim T. H. [73] cải tiến điều kiện của Yamada.
Họ thay điều kiện (C3) bởi điều kiện:
3):
= 1 hoặc = 0 (C (cid:48) limn→∞ limn→∞ λn λn+1 λn − λn+1 λn+1
và chứng minh được, nếu dãy số thực {λn} ⊂ (0; 1) thỏa mãn các điều kiện (C1), (C2) và (C (cid:48) 3) thì dãy lặp {un} xác định bởi (3.2) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất u∗ của bài toán (3.1).
4):
hoặc = 1 = 0 (C (cid:48) limn→∞ limn→∞ Tiếp tục, thay điều kiện (C4) bởi điều kiện: λn λn+N λn − λn+N λn+N
và có kết quả sau đây.
Định lý 3.1 (xem [73]) Cho H là một không gian Hilbert và {Ti}N i=1 : H −→ H là một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trên H, sao cho
74
C = (cid:84)N
i=1 F ix(Ti) (cid:54)= ∅. Giả sử F : C −→ H là một ánh xạ đơn điệu mạnh 2η L2 ) và {λn}n≥0 ⊂ (0; 1) là một dãy số thực thỏa mãn các điều kiện (C1), (C2), (C (cid:48)
4) và giả sử
N (cid:92)
với hằng số η và liên tục Lipschitz với hằng số L trên C. Cho µ ∈ (0,
i=1
C = F ix(Ti) = F ix(T1T2 . . . TN )
(3.4) = F ix(TN T1T2 . . . TN −1)
= . . . = F ix(T2T3 . . . TN T1).
Khi đó, dãy lặp {un} xác định bởi (3.3) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất u∗ của bài toán (3.1).
Năm 2006, Zeng L. C. [80] đề xuất các phương pháp mới. Giả thiết 2η L2 ). Lấy tùy ý u0 ∈ H họ đã {αn}n≥0 ⊂ [0; 1), {λn}n≥0 ⊂ (0; 1) và µ ∈ (0, xây dựng các dãy lặp xác định như sau:
(3.5) (I) : un+1 = αnun + (1 − αn)[T (un) − λn+1µF (T (un))], n ≥ 0,
và
(II) : un+1 = αnun + (1 − αn)[T[n+1](un) − λn+1µF (T[n+1](un))], n ≥ 0.
(3.6)
Với điều kiện {αn}n≥0 ⊂ [0; 1) thỏa mãn các điều kiện (C1), (C4) và {λn}n≥0 ⊂ (0; 1) thỏa mãn các điều kiện (C1), (C2), (C (cid:48) 3) họ đã chứng minh được dãy lặp {un} xác định bởi (3.5) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất u∗ của bài toán (3.1).
Khi {αn}n≥0 ⊂ [0; 1) thỏa mãn các điều kiện (C1), (C4) và {λn}n≥0 ⊂ 4) thì dãy lặp {un} xác định
(0; 1) thỏa mãn các điều kiện (C1), (C2), (C (cid:48) bởi (3.6) cũng hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất u∗ của bài toán (3.1).
Gần đây, Zeng L. C. [84] lại có một cải tiến khác. Họ đã xây dựng dãy
lặp sau:
(3.7) un+1 = T[n+1](un) − λn+1µn+1F (T[n+1](un)), n ≥ 0.
75
Kết quả đó được trình bày trong định lý sau đây.
Định lý 3.2 (xem [84]) Cho H là một không gian Hilbert, {Ti}N i=1 : H → H là một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn, sao cho C = (cid:84)N i=1 F ix(Ti) (cid:54)= ∅. Giả sử F : C → H là một ánh xạ đơn điệu mạnh với hằng số η và liên tục 2η L2 ), với n ∈ N, và giả sử các Lipschitz với hằng số L trên C. Cho µn ∈ (0, điều kiện sau được thỏa mãn
n=1 λn = ∞, trong đó {λn}n≥0 ⊂ (0; 1); (cid:12)µn − η/L2(cid:12)
(cid:12) ≤ (cid:112)η2 − cL2/L2, với mọi c ∈ (0; η2/L2);
(µn+N − (λn/λn+N )µn) = 0.
i=1 F ix(Ti) thỏa mãn điều kiện
(i): (cid:80)∞ (ii): (cid:12) (iii): lim n→∞ Hơn nữa giả thiết thêm rằng tập C = (cid:84)N
(3.4). Khi đó, nếu
(cid:11) ≤ 0 (3.8) (cid:10)T[n+N ] . . . T[n+1]un − un+N , T[n+N ] . . . T[n+1]un − un lim sup n→∞
thì dãy lặp {un} xác định bởi (3.7) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất u∗ của bài toán (3.1).
Khi F x = Ax − u, với A là một ánh xạ tuyến tính bị chặn và đơn điệu
mạnh, Xu H. K. [74] đề xuất dãy lặp sau:
(3.9) un+1 = (I − λn+1A)T[n+1](un) + λn+1u,
ở đây, I là ánh xạ đồng nhất trên H.
Định lý 3.3 (xem [74]) Cho H là một không gian Hilbert, {Ti}N i=1 : H → H là một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn, sao cho C = (cid:84)N i=1 F ix(Ti) (cid:54)= ∅. Cho A : H → H là một ánh xạ đơn điệu mạnh với hằng số η và liên tục
Lipschitz với hằng số L. Giả sử rằng {λn}n≥0 ⊂ (0; 1) là một dãy số thực thỏa mãn các điều kiện (C1), (C2), (C3), (C4) và hơn nữa C = (cid:84)N i=1 F ix(Ti) thỏa mãn điều kiện (3.4). Khi đó, với u tùy ý thuộc H, dãy lặp {un} xác định bởi (3.9) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất u∗ của bài toán (3.1).
76
Chú ý rằng thuật toán (3.9) là một cải tiến của thuật toán lặp Halpern
un+1 = (1 − λn)T (un) + λnu,
cho bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn T trên tập con lồi đóng
C của không gian Hilbert H.
Trên đây là một số các kết quả hội tụ mạnh của các phương pháp lặp
hiện. Bên cạnh các kết quả đó, cũng có một số nhà toán học khác đề xuất
các phương pháp ẩn để đưa ra được các kết quả sau:
Zeng L. C. và Yao J. C. [82] đã xây dựng dãy lặp {un} xác định bởi
(3.10) un = αnun−1 + (1 − αn)[T[n](un) − λnµF (T[n](un))], n ≥ 1.
và có định lý sau:
Lipschitz với hằng số L. Cho µ ∈ (0, Định lý 3.4 (xem [82]) Cho H là một không gian Hilbert, {Ti}N i=1 : H → H là một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn, sao cho C = (cid:84)N i=1 F ix(Ti) (cid:54)= ∅. Giả sử F : H → H là một ánh xạ đơn điệu mạnh với hằng số η và liên tục 2η L2 ), {λn}n≥1 ⊂ [0; 1) và {αn}n≥1 ⊂
(0; 1) thỏa mãn các điều kiện n=1 λn < ∞;
(i): (cid:80)∞ (ii): α ≤ αn ≤ β, n ≥ 1 và α, β ∈ (0; 1). Khi đó, với u0 ∈ H, dãy {un} xác định bởi (3.10) hội tụ yếu đến một i=1 : H −→ H. Hơn nữa, dãy
điểm bất động chung của họ các ánh xạ {Ti}N (3.10) hội tụ mạnh nếu và chỉ nếu
d(un, C) = 0, lim inf n→∞
ở đây, d(un, C) là khoảng cách meetric từ xn tới C.
Từ kết quả của Zeng L. C. và Yao J. C., Ceng L. C. [19] có một đề xuất mới. Với điều kiện như trong Định lý 3.4, thêm vào C = (cid:84)N i=1 F ix(Ti) thỏa mãn điều kiện (3.4). Khi đó, với u0 ∈ H, dãy {un} xác định bởi (3.10) hội
77
tụ yếu đến một điểm thuộc C. Hơn nữa, nếu F là một ánh xạ liên tục từ
một tôpô yếu tới một tôpô mạnh thì dãy {un} hội tụ yếu tới nghiệm duy nhất u∗ của bài toán (3.1) khi và chỉ khi
(cid:10)F (T[n](un)), un − u∗(cid:11) ≤ 0. lim inf n→∞
n=1 ⊂ (0; 1), {βn}∞
n=1 ⊂ [0; 1) và µ ∈ (0,
Sau này, Ceng L. C. [20] cũng có đề xuất kết mới. Với giả thiết A : H →
H là một ánh xạ α-ngược đơn điệu mạnh, F : H → H là một ánh xạ η-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz. Cho {αn}∞ n=1 ⊂ (0; 2α], 2η {λn}∞ L2 ). Lấy tùy ý u0 ∈ H, dãy {un} xác định bởi: un = αnun−1+(1−αn)[Tn(un−βnA(un))−λnµF ◦Tn(un−βnA(un))], (3.11)
với mọi n ≥ 1 và có kết quả sau:
n=1 ⊂ [0; 1) và µ ∈ (0,
Định lý 3.5 (xem [20]) Cho H là một không gian Hilbert, A : H → H
là ánh xạ α-ngược đơn điệu mạnh và F : H → H là một ánh xạ η-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz. Giả sử {Ti}N i=1 : H −→ H là một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn, sao cho C = (cid:84)N i=1 F ix(Ti) (cid:54)= ∅. Cho 2η {αn}∞ n=1 ⊂ (0; 2α], {λn}∞ n=1 ⊂ (0; 1), {βn}∞ L2 ) thỏa mãn các điều kiện: (cid:80)∞ n=1 λn < ∞, βn ≤ λn và a ≤ αn ≤ b, ∀n ≥ 1 và a, b ∈ (0; 1). Khi đó,
(i) Dãy {un} xác định bởi (3.11) hội tụ yếu đến một điểm thuộc C. (ii) Nếu (cid:107)un − Tn( ˜un)(cid:107) = ◦(βn) thì dãy {un} hội tụ yếu tới u∗ ∈ V I(A, C),
ở đây ˜u = u − sA(u), với s ∈ (0; 2α].
(iii) Dãy {un} hội tụ mạnh tới u∗ ∈ V I(A, C) nếu và chỉ nếu
d(un, C) = 0. lim inf n→∞
Gần đây, Wang F. [70] cũng đề xuất các phương pháp lặp ẩn và hiện, và
đều cho được kết quả hội tụ mạnh. Kết quả đó được trình bày trong các
định lý sau.
78
i=1 : H →
Định lý 3.6 (xem [70]) Cho H là một không gian Hilbert và {Ti}N
N (cid:84) i=1
H là một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn, sao cho C = F ix(Ti) (cid:54)= ∅.
n=0 ⊂ (0, 1) và {λn}∞
Cho µ ∈ (0; Giả sử F : H → H là một ánh xạ η-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz. n=0 ⊂ 2η L2 ) và α0 = 1. Giả sử rằng {αn}∞ (0, 1) là các dãy số thực thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) αn là một dãy số giảm nghiêm ngặt; (ii) lim n→∞ (iii) (cid:80)∞ αn = 0; n=1 λn = ∞.
n=0 xác định bởi:
n (cid:88)
Khi đó, lấy u0 tùy ý thuộc H, dãy {un}∞
i=1
(3.12) un = αn(un−1 − λnµF (un−1)) + (αi−1 − αi)Ti(un),
với n ≥ 1, hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất u∗ của bài toán (3.1).
i=1 : H →
Định lý 3.7 (xem [70]) Cho H là một không gian Hilbert và {Ti}N
N (cid:84) i=1
H là một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn, sao cho C = F ix(Ti) (cid:54)= ∅.
n=0 ⊂ (0, 1) và {λn}∞
Cho µ ∈ (0; Giả sử F : H → H là một ánh xạ η-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz. n=0 ⊂
2η L2 ) và α0 = 1. Giả sử rằng {αn}∞ [λ, 1), với λ ∈ (0; 1) thỏa mãn các điều kiện sau:
αn = 0;
(1 − ) = 1;
(i) αn là một dãy số giảm nghiêm ngặt; (ii) lim n→∞ (iii) lim n→∞ (iv) (cid:80)∞
n=0 xác định bởi:
n (cid:88)
αn−1 αn n=1 | λn − λn−1 |< ∞. Khi đó, lấy u0 tùy ý thuộc H, dãy {un}∞
i=1
(3.13) (αi−1 − αi)Ti(un), un+1 = αn(un − λnµF (un)) +
với n ≥ 1, hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất u∗ của bài toán (3.1).
79
Bên cạnh các kết quả của Wang F. [70], Buong Ng. [18] đã đề xuất một
phương pháp lặp ẩn để xác định nghiệm của bất đẳng thức biến phân trên
tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn. Ông
xây dựng dãy lặp ẩn xác định như sau:
0 T k
N . . . T k 1 ,
(3.14) xk = T kxk, T k := T k
i được xác định bởi:
trong đó T k
i x =(1 − βi T k
k)x + βi
kTix,
i = 1, 2, . . . , N, (3.15)
k} ⊂ (0; 1), k ∈ (0; 1), là các dãy số thực thỏa mãn các điều kiện: βi k < 1 với i = 1, 2, · · · , N .
và ∀x, y ∈ H, T k 0 y =(I − λkµF )y,
k→∞ Kết quả đó được trình bày trong định lý sau.
βi k ≤ lim sup với {λk}, {βi λk → 0 khi k → 0 và 0 < lim inf k→∞
i=1 F ix(Ti) (cid:54)= ∅. Cho µ ∈ (0, 2η
Định lý 3.8 (xem [18]) Cho H là một không gian Hilbert và F : H →
k < 1 với i = 1, 2, · · · , N .
k ≤ lim supk→∞ βi
H là một ánh xạ đơn điệu mạnh với hằng số η và liên tục Lipschitz với hằng số L. Giả sử {Ti}N i=1 : H −→ H là một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn, sao cho C = (cid:84)N L2 ) và {λk}, {βi k} ⊂ (0; 1), k ∈ (0; 1), thỏa mãn các điều kiện: λk → 0 khi k → 0 và 0 < lim infk→∞ βi
Khi đó, dãy {xk} xác định bởi (3.14) − (3.15) hội tụ mạnh tới nghiệm
duy nhất u∗ của bài toán (3.1).
Trên đây chúng tôi đã trình phương pháp lặp HSD và một số cải biên của
phương pháp, để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân trên tập điểm
bất động chung cho một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không
gian Hilbert. Để giải quyết bài toán đó, mục tiếp theo sau đây chúng tôi đề
xuất một phương pháp mới, gọi là Phương pháp KM-HSD. Phương pháp là
sự kết hợp giữa phương pháp HSD với phép lặp dạng Krasnoselskij-Mann.
80
Cho H là một không gian Hilbert, F : H −→ H là một ánh xạ đơn điệu i=1 là một họ hữu hạn các ánh xạ
i=1 F ix(Ti) (cid:54)= ∅. Xét bài toán:
mạnh và liên tục Lipschitz. Giả sử {Ti}N không giãn trên H sao cho F = (cid:84)N
Tìm p∗ ∈ F sao cho
(cid:104)F (p∗), p − p∗(cid:105) ≥ 0 ∀p ∈ F. (3.16)
Để giải bài toán (3.16) chúng ta xây dựng dãy lặp xác định như sau: lấy
tùy ý x0 ∈ H, khi đó dãy {xn} được xác định bởi:
0 = x0,
x0 ∈ H, y0
k = (1 − βi yi
k)yi−1
k + βi
kTi(yi−1 k
(3.17) ), i = 1, 2, · · · , N,
k)xk + β0
k(I − λkµF )yN
k , k ≥ 0,
k}, với i = 0, 1, . . . , N , là các dãy số thực thỏa mãn
xk+1 = (1 − β0
k ∈ (α, β) với α, β ∈ (0, 1), k ≥ 0 và
∞ (cid:88)
ở đây {λk} và {βi λk ∈ (0, 1), βi
k+1 − βi k
k=0
(3.18) λk = 0; λk = ∞; (cid:12) (cid:12)βi (cid:12) (cid:12) = 0. lim k→∞ lim k→∞
Dãy lặp (3.17) có thể viết lại dưới dạng sau:
k)xk + β0
kT k
0 · T k
N · · · T k
1 xk,
kTi, với i = 1, 2, . . . , N là ánh xạ Krasnoselskij-
(3.19) xk+1 = (1 − β0
i = (1 − βi k)I + βi 0 = I − λkµF là ánh xạ HSD.
trong đó T k Mann và T k
Để trình bày kết quả chính trong mục này, chúng tôi cần nêu lại một số
kết quả bổ trợ sau đây.
Bổ đề 3.1 (xem [34]) Cho H là một không gian Hilbert. Khi đó, với mọi
x, y ∈ H ta có:
81
(i) (cid:107)x + y(cid:107)2 ≤ (cid:107)x(cid:107)2 + 2 (cid:104)y, x + y(cid:105); (ii) (cid:107)(1 − t)x + ty(cid:107)2 = (1 − t) (cid:107)x(cid:107)2 + t (cid:107)y(cid:107)2 − t(1 − t) (cid:107)x − y(cid:107)2,
với mỗi t ∈ [0, 1].
(cid:13)T λx − T λy(cid:13)
(cid:13) ≤ (1−λτ ) (cid:107)x − y(cid:107), với λ ∈ (0, 1) và µ ∈ (cid:1), trong đó τ = 1 − (cid:112)1 − µ(2η − µL2) ∈ (0, 1) và T λx = (I − λµF )x,
Bổ đề 3.2 (xem [7]) (cid:13) 2η (cid:0)0, L2 ∀x ∈ H.
Bổ đề 3.3 (xem [48]) Cho {xk}k∈N và {zk}k∈N là các dãy bị chặn trong không gian Banach E sao cho xk+1 = (1 − βk)xk + βkzk, với βk ∈ [0, 1], k ≥ 0 và thỏa mãn điều kiện
k→∞
βk < lim sup βk < 1. 0 < lim inf k→∞
Giả sử rằng
(cid:107)zk+1 − zk(cid:107) − (cid:107)xk+1 − xk(cid:107) ≤ 0. lim sup k→∞
Khi đó,
(cid:107)xk − zk(cid:107) = 0. lim k→∞
∞ (cid:88)
Bổ đề 3.4 (xem [74]) Cho {ak}k∈N là một dãy số thực không âm sao cho ak+1 ≤ (1 − bk)ak + bkck, trong đó, {bk}k∈N và {ck}k∈N là các dãy số thực thỏa mãn:
k→∞
k=0
bk ∈ [0, 1] bk = ∞ và lim sup ck ≤ 0.
Khi đó,
ak = 0. lim k→∞
Bổ đề 3.5 (xem [28]) Cho T là một ánh xạ không giãn trên tập con lồi
đóng C của không gian Hilbert H. Nếu T có ít nhất một điểm bất động thì
I − T là demi-đóng.
Ta có kết quả sau.
82
Định lý 3.9 Cho H là một không gian Hilbert, F : H −→ H là một ánh xạ L-liên tục Lipschitz và η-đơn điệu mạnh. Giả sử {Ti}N i=1 là một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trên H sao cho F = (cid:84)N i=1 F ix(Ti) (cid:54)= ∅. Khi đó, dãy {xk}k∈N xác định bởi (3.17) và thỏa mãn điều kiện (3.18) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất p∗ của bất đẳng thức biến phân
(cid:104)F (p∗), p − p∗(cid:105) ≥ 0 ∀p ∈ F.
Chứng minh
Trước hết chúng ta sẽ chứng minh dãy {xk}k∈N bị chặn. Thật vậy, theo
(3.17), với mỗi p ∈ F và k ≥ 1 ta có:
k − p(cid:13)
k)y0
k + β1
kT1y0
(cid:13) (cid:13)y1 (cid:13)(1 − β1
(cid:13) = (cid:13) = (cid:13)
k − p(cid:13) (cid:13) k(T1y0 (cid:13) (cid:13)y0
k − p) + β1 k − p(cid:13)
k − T1p)(cid:13) (cid:13) k − p(cid:13) (cid:13)
(cid:13)y0 (cid:13) + β1 k
k)(y0 (cid:13)(1 − β1 k) (cid:13) ≤ (1 − β1 k − p(cid:13) = (cid:13)
(cid:13)y0 (cid:13) = (cid:107)xk − p(cid:107) .
Do đó
k − p(cid:13)
k(Tiyi−1 (cid:13) (cid:13)yi−1
(cid:13) (cid:13)yi (cid:13) = (cid:13)
k − p) + βi k − p(cid:13)
k − Tip)(cid:13) (cid:13) (cid:13) = (cid:13) k − p(cid:13)
k − p(cid:13) (cid:13)
(cid:13)yi−1 (cid:13) + βi k
≤ (1 − βi ≤ · · · ≤ (cid:13) (cid:13)(1 − βi k)(yi−1 k) (cid:13) (cid:13)y0 (cid:13) = (cid:107)xk − p(cid:107) , i = 1, 2, . . . , N. (cid:13)yi−1 k − p(cid:13)
Theo Bổ đề 3.2 ta có:
k)xk + β0
k(I − λkµF )yN
(cid:13)(1 − β0
k)(xk − p) + β0
(cid:13)(1 − β0
k)(xk − p) + β0 k
(cid:107)xk+1 − p(cid:107) = (cid:13) = (cid:13) = (cid:13) (cid:13)(1 − β0
k − p(cid:13) (cid:13) k − p](cid:13) k[(I − λkµF )yN (cid:13) k − T λkp + λkµF (p)(cid:3)(cid:13) (cid:2)T λkyN (cid:13) k − p(cid:13) (cid:2)(1 − λkτ ) (cid:13) (cid:13) + λkµ (cid:107)F (p)(cid:107) (cid:3)
k) (cid:107)xk − p(cid:107) + β0 k
≤ (1 − β0 (cid:13)yN
83
k) (cid:107)xk − p(cid:107) + β0 k
≤ (1 − β0 (cid:2)(1 − λkτ ) (cid:107)xk − p(cid:107) + λkµ (cid:107)F (p)(cid:107) (cid:3)
kλkτ ) (cid:107)xk − p(cid:107) + β0
kλkτ
= (1 − β0 (cid:107)F (p)(cid:107) . µ τ
Đặt
(cid:107)F (p)(cid:107)} Mp = max{(cid:107)x0 − p(cid:107) , µ τ
k − p(cid:13)
(cid:13) ≤ Mp với
thì ta có (cid:107)x0 − p(cid:107) ≤ Mp. Do đó, nếu (cid:107)xk − p(cid:107) ≤ Mp thì (cid:13) (cid:13)yi i = 1, 2, . . . , N . Vì vậy,
kλkτ )Mp + β0
kλkτ Mp = Mp.
k )}k∈N, k }k∈N đều bị chặn. Vậy, tồn tại một hằng số dương M1 sao (cid:13) (cid:13) ≤ M1 và (cid:13) (cid:13) (cid:13)F (yN (cid:13) ≤ M1 với k ≥ 0
(cid:107)xk+1 − p(cid:107) ≤ (1 − β0
k )(cid:13)
(cid:13) ≤ M1; (cid:13) (cid:13)yi k (cid:13)Tiyi−1 k
Điều đó chứng tỏ dãy {xk}k∈N bị chặn. Từ đó suy ra các dãy {F (yN k}k∈N và {Tiyi−1 {yi cho (cid:107)xk(cid:107) ≤ M1; (cid:13) và i = 1, 2, . . . , N .
Đặt
zk = (I − λkµF )yN k .
Khi đó, từ (3.17) ta có
k)xk + β0
kzk
xk+1 = (1 − β0
và
(cid:107)zk+1 − zk(cid:107) = (cid:13) (cid:13)(I − λk+1µF )yN (cid:13) (cid:13)
k+1 − (I − λkµF )yN k (cid:13) (cid:13)
k − λk+1µF yN k+1
k ) + λkµF yN k+1 − yN (cid:13) (cid:13) + M1(λk + λk+1)µ
(cid:13)(yN
k+1 − yN k
(cid:13)yN
k+1)yN −1
k+1TN yN −1
k )yN −1
k+1 + βN
k+1 ] − [(1 − βN
k + βN
k TN yN −1 k
= (cid:13) ≤ (cid:13) = (cid:13) (cid:13)[(1 − βN ](cid:13) (cid:13)
k
k+1 − TN yN −1
k
k+1 − yN −1
(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)TN yN −1 (cid:13) (cid:13) + βN k+1
≤(1 − βN + 2 (cid:12)
k+1 − βN k
k+1 − yN −1
k
≤ (cid:13) + M1(λk + λk+1)µ k+1) (cid:13) (cid:13)yN −1 (cid:12) k+1 − βN (cid:12)βN (cid:12) M1 + M1(λk + λk+1)µ k (cid:13) (cid:13) + 2M1 (cid:13)yN −1 (cid:12) (cid:12)βN (cid:12) (cid:12) + M1(λk + λk+1)µ
84
N (cid:88)
k+1 − βi k
k+1 − y0 k
i=1
N (cid:88)
≤ · · · ≤ (cid:13) (cid:12) (cid:12)βi (cid:12) (cid:12) + M1(λk + λk+1)µ (cid:13)y0 (cid:13) (cid:13) + 2M1
k+1 − βi k
i=1
= (cid:107)xk+1 − xk(cid:107) + 2M1 (cid:12) (cid:12)βi (cid:12) (cid:12) + M1(λk + λk+1)µ.
N (cid:88)
Vì vậy
k+1 − βi k
i=1
(cid:107)zk+1 − zk(cid:107) − (cid:107)xk+1 − xk(cid:107) ≤ 2M1 (cid:12) (cid:12)βi (cid:12) (cid:12) + M1(λk + λk+1)µ.
k+1 − βi k
(cid:12) (cid:12) = 0 với i = (cid:12) (cid:12)βi
Theo điều kiện (3.18), limk→∞ λk = 0 và limk→∞ 1, 2, . . . , N , nên ta có:
(cid:107)zk+1 − zk(cid:107) − (cid:107)xk+1 − xk(cid:107) ≤ 0. lim sup k→∞
Theo Bổ đề 3.3 suy ra
(cid:107)xk − zk(cid:107) = 0, lim k→∞
hay
(cid:13) (cid:13) = 0. (cid:13) (cid:13)xk − (I − λkµF )yN k lim k→∞
Mặt khác, ta lại có
k + λkµF yN
k − λkµF yN k
(cid:13)xk − yN (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)xk − yN k
(cid:13) (cid:13) (cid:13)xk − (I − λkµF )yN
(cid:13) (cid:13) (cid:13)xk − (I − λkµF )yN k (cid:13)F yN k
k − λkµF yN k (cid:13) + λkµ (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) + λkµM1 −→ 0 khi k → ∞.
(cid:13) = (cid:13) (cid:13) = (cid:13) ≤ (cid:13) ≤ (cid:13) (cid:13)xk − (I − λkµF )yN k
Do đó
(cid:13) (cid:13) −→ 0 khi k → ∞. (cid:13) (cid:13)xk − yN k
Tiếp theo ta sẽ chứng minh
(cid:107)xk − Tixk(cid:107) −→ 0, với i = 1, 2, . . . , N.
85
Để chứng minh điều đó, trước hết chúng tôi sẽ chỉ ra
k − Tiyi−1
k
(cid:13) (cid:13)yi−1 (cid:13) (cid:13) −→ 0.
Gọi {xl}l∈N là một dãy con của dãy {xk}k∈N sao cho
l − Tiyi−1
l
k − Tiyi−1
k
(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)yi−1 (cid:13) (cid:13)yi−1 (cid:13) (cid:13) = lim l→∞ lim sup k→∞
và gọi {xkj}j∈N là một dãy con của dãy {xl}l∈N sao cho
(cid:13)xkj − p(cid:13) (cid:13) (cid:13) . (cid:107)xl − p(cid:107) = lim j→∞ lim sup l→∞
Ta có
kj
− p (cid:13)xkj − p(cid:13) (cid:13) (cid:13) = (cid:13) (cid:13) (cid:13)
kj
≤ (cid:13) (cid:13) (cid:13) + (cid:13) (cid:13) (cid:13)
kj
≤ (cid:13) − p (cid:13)xkj − zkj (cid:13) (cid:13)xkj − zkj + (I − λkjµF )yN (cid:13) (cid:13) (cid:13)(I − λkjµF )yN (cid:13) (cid:13)xkj − zkj (cid:13) (cid:13)yN (cid:13) − p (cid:13) (cid:13) (cid:13) + λkjµ (cid:107)F (p)(cid:107)
kj
≤ (cid:13) − p (cid:13) (cid:13) + (cid:13)xkj − zkj (cid:13) (cid:13) + (1 − λkjτ ) (cid:13) (cid:13) (cid:13) + λkjµ (cid:107)F (p)(cid:107)
kj
≤ (cid:13) − p (cid:13)xkj − zkj (cid:13) (cid:13) + (cid:13) (cid:13) (cid:13) + λkjµ (cid:107)F (p)(cid:107) (cid:13) (cid:13)yN (cid:13) (cid:13) (cid:13)yN −1 (cid:13)
≤ · · · ≤ (cid:13) (cid:13)xkj − zkj (cid:13) + (cid:13) (cid:13) (cid:13)xkj − p(cid:13) (cid:13) + λkjµ (cid:107)F (p)(cid:107) .
Do đó
kj
2
− p (3.20) (cid:13)xkj − p(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)yi (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) , i = 1, 2, . . . , N. lim j→∞ (cid:13) = lim j→∞
kj
kj
− p = − p + βi kj )yi−1 kj Tiyi−1 kj Theo Bổ đề 3.1 ta có: (cid:13) (cid:13)yi (cid:13) (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
= − p)
kj
kj
kj
− p − p (cid:13) (cid:13)(1 − βi (cid:13) (cid:13) (cid:13)(1 − βi (cid:13) =(1 − βi ) kj + βi kj (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13)
2
− p) + βi kj (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)yi−1 (cid:13)
kj
kj
≤ − p ) (1 − βi kj − βi kj − Tiyi−1 kj − βi kj (cid:13) (cid:13)yi−1 (cid:13) )(yi−1 kj kj (cid:13) (cid:13)yi−1 (cid:13) (1 − βi ) kj (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (Tiyi−1 kj (cid:13) (cid:13)Tiyi−1 (cid:13) (cid:13) 2 − Tiyi−1 (cid:13) (cid:13) kj (cid:13) (cid:13)yi−1 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
86
≤ · · · (3.21)
kj
. ) ≤ (cid:13) (cid:13)xkj − p(cid:13) 2 − βi (cid:13) kj (1 − βi kj − Tiyi−1 kj (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)yi−1 (cid:13)
2
Do đó
2 −
kj
kj
. ≤ (cid:13) − p α(1 − β) (cid:13)xkj − p(cid:13) (cid:13) − Tiyi−1 kj (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)yi−1 (cid:13) (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)yi (cid:13)
kj
Theo (3.20) ta có
− Tiyi−1 kj (cid:13) (cid:13)yi−1 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) −→ 0 khi j → ∞.
Vì vậy,
k − Tiyi−1
k
(cid:13) (cid:13)yi−1 (cid:13) (cid:13) −→ 0 khi k → ∞, với i = 1, 2, . . . , N.
Sau đây chúng ta sẽ chứng minh
(cid:107)xk − Tixk(cid:107) −→ 0 khi k → ∞ với i = 1, 2, . . . , N.
Thật vậy, hiển nhiên trong trường hợp i = 1 ta có:
k − T1y0 k
(cid:107)xk − T1xk(cid:107) = (cid:13) (cid:13)y0 (cid:13) (cid:13) −→ 0.
k − xk
k − T1y0 k
(cid:13)y1 (cid:13) (cid:13)y0 (cid:13) (cid:13) −→ 0 Khi i = 2 ta có: (cid:13) −→ 0 và (cid:13) (cid:13) k − T2y1 k (cid:13) (cid:13) = β1 k
(cid:13) (cid:13)y1 nên suy ra
(cid:107)xk − T2xk(cid:107) −→ 0.
Như vậy, cứ quy nạp như trên ta có
(cid:107)xk − Tixk(cid:107) −→ 0,
với i = 1, 2, . . . , N .
Cuối cùng chúng ta chứng minh
(3.22) (cid:104)F (p∗), xk − p∗(cid:105) ≥ 0. lim sup k→∞
87
Gọi {xkj}j∈N là một dãy con của dãy {xk}k∈N hội tụ yếu tới ˜p sao cho
(cid:10)F (p∗), xkj − p∗(cid:11) . (cid:104)F (p∗), xk − p∗(cid:105) = lim j→∞
(cid:13)xkj − Tixkj lim sup k→∞ (cid:13) (cid:13) −→ 0, với i = 1, 2, . . . , N , nên theo Bổ đề 3.5 ta có ˜p ∈ F.
Vì (cid:13) Từ đó suy ra
(cid:104)F (p∗), xk − p∗(cid:105) ≥ 0. lim sup k→∞
Ta lại có:
k)xk + β0
k(I − λkµF )yN
k − p∗(cid:13) 2 (cid:13)
(cid:107)xk+1 − p∗(cid:107)2 = (cid:13) (cid:13)(1 − β0
k) (cid:107)xk − p∗(cid:107)2 (cid:13) (cid:13)(I − λkµF )(yN
≤(1 − β0
k − p∗) − λkµF (p∗)(cid:13) 2 (cid:13)
+ β0 k
≤(1 − β0
k(1 − λkτ ) (cid:107)xk − p∗(cid:107)2 k − p∗(cid:11) − λkµ (cid:10)F (p∗), F (yN
− 2β0
k) (cid:107)xk − p∗(cid:107)2 + β0 kλkµ[(cid:10)F (p∗), yN kλkτ ) (cid:107)xk − p∗(cid:107)2 − 2β0
kλkµ[(cid:10)F (p∗), yN
k )(cid:11)] k − p∗(cid:11)
=(1 − β0
− λkµ (cid:10)F (p∗), F (yN
k )(cid:11)] kλkτ ) (cid:107)xk − p∗(cid:107)2
≤(1 − β0
kλkτ [
(cid:10)F (p∗), yN − β0 (cid:107)F (p∗)(cid:107) M1] 2µ τ
kλkτ ) (cid:107)xk − p∗(cid:107)2 + β0
kλkτ [
≤(1 − β0 2µ2 τ (cid:104)F (p∗), p∗ − xk(cid:105)
k − xk
k − p∗(cid:11) − λk 2µ τ 2µ2 τ
+ (cid:107)F (p∗)(cid:107) (cid:13) (cid:107)F (p∗)(cid:107) M1]. (cid:13)yN (cid:13) (cid:13) + λk 2µ τ
kλkτ ,
Theo Bổ đề 3.4, với ak = (cid:107)xk − p∗(cid:107), bk = β0
k − xk
(cid:107)F (p∗)(cid:107) (cid:13) ck = (cid:104)F (p∗), p∗ − xk(cid:105) + (cid:107)F (p∗)(cid:107) M1 (cid:13)yN (cid:13) (cid:13) + λk 2µ τ 2µ2 τ
và (cid:13) (cid:13) (cid:13) −→ 0 khi λk → 0 thì ta có 2µ τ (cid:13)xk − yN k
(cid:107)xk − p∗(cid:107) −→ 0.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
88
Nhận xét 3.1 Nếu cho S : H −→ H là một ánh xạ γ-giả co chặt trên H,
thì ánh xạ (cid:101)T , xác định bởi
(cid:101)T (x) = αx + (1 − α)S(x) ∀x ∈ H,
với α ∈ (γ, 1), là một ánh xạ không giãn trên H và F ix( (cid:101)T ) = F ix(S). Do vậy, ta có một mở rộng kết quả trên trong trường hợp F = (cid:84)N i=1 F ix(Si), trong đó mỗi Si là ánh γi-giả co chặt, như sau.
i=1 là một họ hữu hạn các ánh xạ γi-giả co chặt và αi ∈ (γi, 1).
Cho {Si}N
i=1 F ix( (cid:101)Ti), trong đó
Ta ký hiệu F = (cid:84)N
(3.23) (cid:101)Ti = αiI + (1 − αi)Si,
là một ánh xạ không giãn, i = 1, 2, . . . , N . Ta có kết quả sau đây.
Định lý 3.10 Cho H là một không gian Hilbert, F : H −→ H là một ánh xạ L-liên tục Lipschitz và η-đơn điệu mạnh. Cho {Si}N i=1 là một họ hữu hạn các ánh xạ γi-giả co chặt trên H sao cho F = (cid:84)N i=1 F ix(Si) (cid:54)= ∅. Cho 2η L2 ). Giả sử rằng {λk}k∈N ⊂ (0, 1) αi ∈ (γi, 1), với i = 1, 2, . . . , N và µ ∈ (0, và {βi k}k∈N ⊂ (α, β), với α, β ∈ (0, 1) và i = 1, 2, . . . , N , là các dãy số thực thỏa mãn điều kiện (3.18). Khi đó, dãy {xk}k∈N xác định bởi (3.17), với Ti được thay thế bởi (cid:101)Ti, hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất p∗ của bài toán (3.16).
i=1 là các tập lồi đóng i=1 Ci (cid:54)= ∅. Giả sử ϕ : C → R là một phiếm hàm lồi
Để minh họa cho phương pháp đã đề xuất, sau đây ta xét một ví dụ.
Ví dụ 3.1 Cho H là một không gian Hilbert, (Ci)N của H sao cho C = (cid:84)N và khả vi Gâteaux. Xét bài toán sau:
Tìm p∗ ∈ C sao cho
ϕ(p∗) = min{ϕ(p)|p ∈ C}. (3.24)
Ta biết rằng, bài toán bài toán quy hoạch lồi có mối quan hệ với bất đẳng thức biến phân cổ điển. Do đó, p∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (3.24)
89
khi p∗ là nghiệm của bất đẳng thức biến phân sau:
(cid:104)F (p∗), p − p∗(cid:105) ≥ 0 ∀p ∈ C. (3.25)
với F = ϕ(cid:48).
Vì Ci là tập lồi đóng của không gian Hilbert H nên phép chiếu mêtric
PCi : H → Ci là một ánh xạ không giãn và đồng thời Ci = F ix(PCi).
Để minh họa cho kết quả của Định lý 3.9, chúng ta xét trường hợp
N = 2.
Giả sử cho
C1 = {(x1, x2) : −3 ≤ x1 ≤ 3; −1 ≤ x2 ≤ 1},
C2 = {(x1, x2) : −1 ≤ x1 ≤ 1; −2 ≤ x2 ≤ 2}
(cid:107)x(cid:107)2, trong đó ta định nghĩa và bài toán đặt ra là cần tìm một phần tử thuộc x ∈ C1 ∩ C2 là cực tiểu của phiếm hàm ϕ(x) = 1 2 (cid:113) (cid:107)x(cid:107) = x2 1 + x2 2.
Dễ thấy
C1 ∩ C2 = {(x1, x2) : −1 ≤ x1, x2 ≤ 1}
k = 1/2 với 1, xk i = 0; 1; 2 và λk = 1/(k +1) ta sẽ xác định được nghiệm xấp xỉ xk = (xk 2) theo công thức (3.17). Ở đây, F là ánh xạ liên tục Lipschitz và đơn điệu
và (0, 0) là điểm duy nhất thuộc C1 ∩ C2 mà có chuẩn nhỏ nhất. Áp dụng Định lý 3.9, với Ti = PCi và F (x) = ϕ(cid:48)(x), βi
mạnh với hằng số bằng 1.
Chúng tôi viết chương trình thực nghiệm bằng ngôn ngữ Matlab và thử
nghiệm chạy trên máy tính cá nhân Dell với Ram 2,5 GHz. Chọn µ = 3/4
thì kết quả tính toán được cho trong bảng sau đây:
k 1 300 600 1000 1500 2000 3000
xk 1 2.5 0.176875 0.136416 0.112644 0.096759 0.086865 0.074614
xk 2 2.0 0.153437 0.118339 0.097717 0.083937 0.075353 0.064727
90
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3
Trong chương này chúng tôi đã trình bày phương pháp lặp HSD và một
số cải biên của phương pháp HSD, để tìm nghiệm của bất đẳng thức biến
phân cổ điển trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ
không giãn trong không gian Hilbert. Phần cuối của chương chúng tôi trình
bày một đề xuất mới. Phương pháp chúng tôi trình bày là sự kết hợp giữa
phương pháp HSD với phép lặp dạng Krasnoselskij-Mann để tìm nghiệm
của bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ
hữu hạn các ánh xạ không giãn và mở rộng hơn là một họ hữu hạn các ánh
xạ giả co chặt trong không gian Hilbert. Với phép lặp chúng tôi đề xuất đã
cho được kết quả hội tụ mạnh của dãy lặp tới nghiệm của bất đẳng thức
biến phân với một số điều kiện giảm nhẹ hơn so với một số phương pháp
của các tác giả khác được đề xuất trước đó. Chúng tôi đã đưa ra một ví
dụ đơn giản để làm sáng tỏ phương pháp đã đề xuất.
Luận án đã đề cập đến các vấn đề sau:
• Nghiên cứu một số phương pháp lặp để tìm điểm bất động chung cho
một họ các ánh xạ không giãn và một họ các ánh xạ giả co chặt trong
không gian Hilbert.
• Nghiên cứu sự kết hợp giữa nguyên lý bài toán phụ với phương pháp
hiệu chỉnh Browder-Tikhonov để được phương pháp nguyên lý bài toán
phụ hiệu chỉnh.
• Nghiên cứu sự kết hợp giữa phương pháp lặp hybrid steepest descent
với phép lặp dạng Krasnoselskij-Mann để được phương pháp KM-HSD.
Các kết quả nhận được trong luận án gồm:
1. Thiết lập được thuật toán nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh cho một
họ vô hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert. Xây dựng được
phương pháp tìm điểm bất động chung cho một họ vô hạn các ánh xạ giả
co chặt và chứng minh được sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh.
2. Thiết lập được thuật toán nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh để xác
định một phần tử là nghiệm của bất đẳng thức biến phân và đồng thời là
điểm bất động chung của một họ vô hạn các ánh xạ không giãn hay một
họ vô hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert.
3. Xây dựng được phương pháp lặp tìm nghiệm của bất đẳng thức biến
91
phân cổ điển trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ
92
không giãn hay một họ hữu hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian
Hilbert.
Những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu
1. Xây dựng thuật toán nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh cho một họ
vô hạn các ánh xạ giả co chặt và một họ vô hạn các ánh xạ không giãn
trong không gian Banach.
2. Tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp trên tập điểm bất
động chung của một họ vô hạn các ánh xạ không giãn trong không gian
Banach.
3. Trong luận án chúng tôi đã xây dựng thuật toán nguyên lý bài toán
i=1 γiAi trong thuật toán đó được không?
phụ hiệu chỉnh cho một họ vô hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert. Tại mỗi bước lặp đã sử dụng ánh xạ đơn điệu B = (cid:80)∞ i=1 γiAi được xác định từ một tổng vô hạn các ánh xạ Ai, với Ai = I − Ti. Vấn đề đặt ra liệu có thể sử dụng ánh xạ Sn = (cid:80)n i=1 γiAi thay cho thay cho ánh xạ B = (cid:80)∞
i thì các kết quả thu được trong
4. Khi các ánh xạ Ti cho xấp xỉ bởi T h
luận án có tương tự hay không?
5. Có thể mở rộng các kết quả của Chương 2 trong trường hợp họ vô
hạn không đếm được các ánh xạ không giãn, hay nửa nhóm không giãn
được không?
1. Buong Ng., Thuy N. T. T., Duong L. T. (2009), "Regularization
for common fixed points of a countably infinite family of non-self strictly
pseudocontractive mappings in Hilbert spaces", Tạp chí Khoa học và Công
nghệ Đại học Thái Nguyên, 49(1), pp. 27-31.
2. Buong Ng., Duong L. T. (2009), "Regularization auxiliary problem
algorithm for common fixed points of a countably infinite family of non-self
strictly pseudocontractive mappings", International Journal of Mathemat-
ical Analysis, 3(11), pp. 535-547.
3. Buong Ng., Duong L. T. (2011), "An explicit iterative algorithm for a
class of variational inequalities in Hilbert spaces", Journal of Optimization
Theory and Applications, 3(151), pp. 513-524.
4. Buong Ng., Duong L. T. (2012), "Regularization auxiliary problem
algorithm for a common element of the set of solutions for a variational in-
equality problem and the set of common fixed points for an infinite family of
nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Applied Mathematical Sciences,
93
6(63), pp. 3119-3132.
[1] Phạm Kì Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh, Nhà
xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Nguyễn Bường (2001), Hiệu chỉnh các bài toán bằng phương pháp toán
tử đơn điệu, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[3] Acedo G. L., Xu H. K. (2007), "Iterative methods for strict pseudo-
contractions in Hilbert space", Nonlinear Analysis, 67, pp. 2258-2271.
[4] Alber Ya. I. (1975), "On solving nonlinear equation involving monotone
operators in Banach spaces", Sibiriaan Mathematics Journal, 26, pp.
3-11.
[5] Alber Y., Ryazantseva I. (2006), Nonlinear Ill-Posed Problems of
Monotone Types, Springer Verlag.
[6] Andrews H. C., Hunt B. R. (1977), Digital Image Rrestoration, Engle-
wood Clifs, N.J.: Prentice-Hall.
[7] Aoyama K., Iiduka H., Takahashi W. (2006), "Weak convergence of
an iterative sequence for accretive operators in Banach spaces", Fixed
Point Theory and Applications , 2006, pp. 1-13.
[8] Baasansuren A. J., Khan A. A. (2000), "Regularization auxiliary prob-
lem principle for variational inequalities", Computers and Mathematics
94
with applications, 40, pp. 995-1002.
95
[9] Bauschke H. H. (1996), "The approximation of fixed points of compo-
sitions of nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Journal of Math-
ematical Analysis and Applications, 202, pp. 150-159.
[10] Bauschke H. H., Combettes P. L., Reich S. (2005), "The asymptotic
behavior of the composition of two resolvents", Nonlinear Analysis:
Theory, Methods and Applications, 60, pp. 283-301.
[11] Berinde V. (2007), Iterrative Approximaton of Fixed Points, Springer
Verlag Berlin Heidesberg.
[12] Bnouhachem A., Noor M. A., Al-Said E., Khalfaoui M., Zhaohan S.
(2011), "Extragradient method for variational inequalities", Hacettepe
Journal of Mathematics and Statistics, 40, pp. 839-854.
[13] Bregman L. M. (1965), "The method of successive projection for find-
ing a common point of convex sets" , Soviet Mathematics Doklady, 6,
pp. 688-692.
[14] Browder F. E., Petryshyn W. V. (1967), "Construction of fixed points
of nonlinear mappings in Hilbert spaces", Journal of Mathematical
Analysis and Applications, 20, pp. 197-228.
[15] Buong Ng. (2006), "Regularization for unconstrained vector optimiza-
tion of convex functionals in Banach spaces", Computational Mathe-
matics and Mathematical Physics, 46, pp. 354-360.
[16] Buong Ng., Son P. V. (2007), "Regularization extragradient method
for common fixed point of a finite family of strictly pseudocontractive
mappings in Hilbert spaces", International Journal of Mathematical
Analysis , 1, pp. 1217-1226.
[17] Buong Ng. (2007), "Iterative regularization method of zero order for
Lipschitz continuous mappings and strictly pseudocontractive map-
96
pings in Hilbert spaces", International Mathematical Forum, 2, pp.
3053-3061.
[18] Buong Ng., Anh N. T. Q. (2011), "An implicit iteration method for
variational inequalities over the set of common fixed points for a fi-
nite family of nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Fixed Point
Theory and Applications, 3, pp. 535-547.
[19] Ceng L. C., Yao J. C. (2008), "Hybrid viscosity approximation schemes
for equilibrium problems and fixed point problems of infinitely many
nonexpansive mappings", Applied Mathematics and Computation, 198,
pp. 729-741.
[20] Ceng L. C., Yao J. C., Ansari Q. H. (2010), "Hybrid pseudoviscosity
approximation schemes for equilibrium problems and fixed point prob-
lems of infinitely many nonexpansive mappings", Nonlinear Analysis:
Theory, Methods and Applications, 4, pp. 743-754.
[21] Cho Y. J., Kang S. M., Qin X. (2010), "Strong convergence of an im-
plicit iterative process for an infinite family of strict pseudocontractions
", Bulletin of the Korean Mathematical Society, 47, pp. 1259-1268.
[22] Cohen G. (1980), "Auxiliary problem principle and decomposition of
optimization problems", Journal of Optimization Theory and Applica-
tions, 32, pp. 277-305.
[23] Cohen G., Zhu D. L. (1984), "Decomposition coordination methods in
large scale optimization problem: The nondifferentiable case and the
use of augmented lagrangians", In Advances in Large Scale Systems,
(Edited by J.B. Cruz, Jr.) , Jai Press Greenwich, CT, pp. 203-266.
[24] Cohen G. (1988), "Auxiliary problem principle extended to variational
inequalities", Journal of Optimization Theory and Applications, 59 ,
pp. 305-325.
97
[25] Combettes P. L., Hirstoaga S. A. (2005), "Equilibrium programming
in Hilbert spaces", Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 6, pp.
117-136.
[26] Demoment G. (1985) , "Image reconstraction and restoration:
Overview of common estimation structures and problems", IEEE
Transactions on Acoustics, Speech and signal Processing, 37. pp. 243-
253.
[27] Farouq N. E. (2011), "Psedomonotone variational inequalities: Con-
vergence of the auxiliary problem method", Journal of Optimization
Theory and Applications, 111, pp. 305-326 .
[28] Goebel K., Kirk W. A. (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory,
Cambridge University Press, Cambridge.
[29] Hadamard J. (1932), Le probléme de Caushy et les équations aux
dérivées partielles linéaires hyperpoliques, Hermann, Paris.
[30] Halpern B. (1967), "Fixed points of nonexpansive maps", Bulletin of
the American Mathematical Society, 3, pp. 957- 961.
[31] Hartman P., Stampacchia G. (1966), "On some non-linear elliptic
differential-functional equations", Acta Mathematica, 115, pp. 271-
310.
[32] Iiduka H., Takahashi W. (2004), "Strong convergence theorems for non-
expansive nonself mappings and inverse-strongly monotone mappings",
Journal of Convex Analysis, 11, pp. 69-79.
[33] Ishikawa S. (1974), "Fixed points by a new iteration method", Pro-
ceedings of the American Mathematical Society, 44, pp. 147-150.
98
[34] Jung J. S. (2011), "A general iterative scheme for k-strictly pseudo-
contractive mappings and optimization problems", Applied Mathemat-
ics and Computation, 217, pp. 5581-5588.
[35] Katsaggelos K. (Ed.), (1991), Digital Image Restoration, New York:
Springer-Verlage.
[36] Kim T. H., Xu H. K. (2005), "Strong convegence of modified Mann
iterations", Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 61,
pp. 51-60.
[37] Kinderlehrer D., Stampacchia G. (1980), An Introduction to Varia-
tional Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York.
[38] Konnov I. (2001), Combined Relaxation Methods for Variational In-
equalities, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, New York.
[39] Korpelevich G. M. (1976), "The extragradient method for finding sad-
dle points and other problems", Ekonomika i Matematcheskie Metody,
12, pp. 747-756.
[40] Lions J. L. (1977), "Approximation de point fixed de contraction",
Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, 284, pp. 1357-1359.
[41] Lions J. L., Stampacchia G. (1967), "Variational inequalities", Com-
munications on Pure and Applied Mathematics, 20, pp. 493-512
[42] Liu X., Cui Y. (2010), "The common minimal-norm fixed point of a
finite family of nonexpansive mappings", Nonlinear Analysis: Theory,
Methods and Applications, 73, pp. 76-83.
[43] Maingé P. E. (2007), "Approximation methods for common fixed
points of nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Journal of Math-
ematical Analysis and Applications, 325, pp. 469-479.
99
[44] Maingé P. E. (2008) , " Extension of the hybrid steepest descent
method to a class of variational inequalities and fixed point problems
with nonself-mappings", Numerical Functional Analysis and Optimiza-
tion, 29, pp. 820-834.
[45] Mann W. R. (1953), " Mean value methods in iteration", Proceedings
of the American Mathematical Society, 4, pp. 506-510.
[46] Miao Y., Li J. (2008), "Weak and strong convergence of an itera-
tive method for nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Applicable
Analysis and Discrete Mathematics, 2, pp. 197-204.
[47] Marino G., Xu H. K. (2006), "A general iterative method for nonex-
pansive mappings in Hilbert spaces", Journal of Mathematical Analysis
and Applications, 318, pp. 43-52.
[48] Marino G., Xu H. K. (2007), "Weak and strong convergence theorems
for strict pseudo-contractions mappings in Hilbert spaces", Journal of
Mathematical Analysis and Applications, 329, pp. 336-346.
[49] Mastroeni G. (2000), "On auxiliary principle for equilibrium prob-
lems", Technical Report of the department of mathematics of Pisa Uni-
versity, Italy, 3, pp. 1244-1258.
[50] Nadezhkina N., Takahashi W. (2006), "Weak convergence theorem by
an extragradient method for nonexpansive mappings and monotone
mappings", Journal of Optimization Theory and Applications, 128,
pp. 191-201.
[51] Nadezhkina N., Takahashi W. (2006), "Strong convergence theorem by
a hybrid method for nonexpansive mappings and Lipschitz continuous
monotone mappings", SIAS Journal on Optimization, 26, pp. 1230-
1241.
100
[52] Nakajo K., Takahashi W. (2003), "Strong convergence theorems for
nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups", Journal of
Mathematical Analysis and Applications, 279, pp. 372-379.
[53] Neumann J. V. (1949), "On rings of operators. Reduction theory" ,
Annals of Mathematics, 50, pp. 401- 485.
[54] Noor M. A. (2003), "Extragradient methods for pseudomonotone varia-
tional inequalities", Journal of Optimization Theory and Applications,
117, pp. 475-488.
[55] Noor M. A. (2003), "New extragradient-type methods for general vari-
ational inequalities", Journal of Mathematical Analysis and Applica-
tions, 277, pp. 379-394.
[56] O’Hara J. G., Pillay P., Xu H. K. (2003), "Iterative approaches to find-
ing nearest common fixed points of nonexpansive mappings in Hilbert
spaces", Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications , 54,
pp. 1417-1426.
[57] Osilike M. O., Udomene A. (2001), "Demiclosedness principle and con-
vergence theorems for strictly pseudocontractive mappings", Journal
of Mathematical Analysis and Applications, 256, pp. 431-445.
[58] Rassias T. M., Verma R. U. (2002), "General auxiliary problem prin-
ciple and solvability of a class of nonlinear mixed variational inequal-
ities involving partially relaxed monotone mappings", Mathematical
inequalities and Applications, 5, pp. 163-170.
[59] Reich S. (1979), "Weak convergence theorems for nonexpansive map-
pings in Banach spaces", Journal of Mathematical Analysis and Appli-
cations, 67, pp. 274-276.
101
[60] Rhoades B. E. (1974), "Comments on two fixed point iteration meth-
ods", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 196, pp.
161-176.
[61] Shimoji K., Takhashi W. (2001) , "Strong convergence to common fixed
points of infinite nonexpansive mappings and applications", Taiwanese
Journal of Mathematics, 5, pp. 387-404.
[62] Song Y. L., Hu H. Y., Wang Y. Q., Zeng L. C., Hu C. H. (2012),
"Strong convergence of a new general iterative method for variational
inequality problems in Hilbert", Fixed Point Theory and Applications,
2012, doi:10.1186/1687-1812.
[63] Stark H. (Ed.), (1987), Image revovery: Theory and Application, San
Diego, CA: Academic Press.
[64] Takahashi W. (1997), "Weak and strong convergence theorems for fam-
ilies of nonexpansive mappings and their applications", Annales Uni-
versitatis Mariae Curie-Sklodowska Sectio A, 51, pp. 277-292.
[65] Takahashi W., Tamura T., Toyoda M. (2002), "Approximation of com-
mon fixed points of family of finite nonexpansive mappings in Banach
spaces", Scientiae Mathematicae Japonicae, 56, pp. 475-480.
[66] Takahashi W., Toyoda M. (2003), "Weak convergence theorems for
nonexpansive mappings and monotone mappings" , Journal of Opti-
mization Theory and Applications, 118, pp. 417-428.
[67] Tan K. K., Xu H. K. (1993), "Approximating fixed points of nonex-
pansive mappings by the Ishikawa iteration proces", Journal of Math-
ematical Analysis and Applications, 178, pp. 301-308.
[68] Wang F., Peng J., Lee H. J. (2007), "Implicit iteration proces with
mean errors for common fixed point of a family of strictly pseudocon-
102
tractive maps", International Journal of Mathematical Analysis, 1, pp.
89-99.
[69] Wang L., Yao S. S. (2007) , "Hybrid iteration method for fixed points
of nonexpansive mappings", Taiwanese Journal of Mathematics, 5, pp.
183-190.
[70] Wang F. (2011), "Implicit and explicit iterative schemes for variational
inequalities and fixed point problems of a countable family of strict
pseudo-contractions", Mathematica Aeterna, 1, pp. 563-576.
[71] Wittmann R. (1992), "Approximation of fixed points of nonexpansive
mappings", Archiv der Mathematik,58, pp. 486-491.
[72] Xu H. K. (2002), "Iterative algorithms for nonliner operators", Journal
of the London Mathematical Society, 66, pp. 240-256.
[73] Xu H. K., Kim T. H. (2003), "Convergence of Hybrid steepest-descent
methods for variational Inequality", Journal of Optimization Theory
and Applications, 119, pp. 185-201.
[74] Xu H. K. (2003), "An iterative approach to quadratic optimization",
Journal of Optimization Theory and Applications, 116, pp. 659- 678.
[75] Xu H. K. (2004), "Viscosity approximation methods for nonexpansive
mappings", Journal of Mathematical Analysis and Applications,298,
pp. 279-291.
[76] Xu W., Wang Y. (2012), "Strong convergence of the iterative methods
for Hierarchical fixed point problems of an infinite family of strictly
nonself pseudocontractions", Abstract and Applied Analysis, 2012, doi:
10.1155/2012/457024.
[77] Yamada I. (2001), "The hybrid steepest descent method for the vari-
ational inequality problem over the intersection of fixed point sets of
103
nonexpansive mappings", Studies in Computational Mathematics, In-
herently Parallel Algorithms in Feasibility and Optimization and their
Applications, 8, pp. 473-504.
[78] Yao Y., Chen R., Yao J. C. (2008), "Strong convergence and certain
control conditions for modified Mann iterations", Nonlinear Analysis:
Theory, Methods and Applications, 68, pp. 1687-1693.
[79] Yao Y., Chen R. (2010), "Strong convergence theorems for strict pseu-
docontractions in Hilbert space", Journal of Applied Mathematics and
Computing, 32, pp. 69-82.
[80] Zeng L. C., Ansari Q. H., Wu S. Y. (2006), "Strong convergence the-
orems of relaxed Hybrid Steepest-Descent methods for variational In-
equalies", Taiwanese Journal of Mathematics, 10, pp. 13-19.
[81] Zeng L.C., Lin L. J., Hao J. C., Verma R. U. (2006), "Auxiliary problem
method for mixed variational like inequalities", Taiwanese Journal of
Mathematics, 10, pp. 515-529.
[82] Zeng L. C., Yao J. C. (2006), "Implicit iteration scheme with perturbed
mapping for common fixed points of a finite family of nonexpansive
mappings", Nonlinear Analysis Theory, Methods and Applications, 64,
pp. 2507-2515.
[83] Zeng L. C., Yao J. C. (2006), "Strong convergence theorem by an ex-
tragradient method for fixed point problems and variational inequality
problems", Taiwanese Journal of Mathematics, 10, pp. 1293-1303.
[84] Zeng L.C., Wong N. C., Yao J. C. (2007), "Convergence analysis of
modified hybrid steepest-descent methods with variable parameters
for variational inequalities", Journal of Optimization Theory and Ap-
plications, 132, pp. 51-69.
104
[85] Zhou H. (2008), "Convergence theorems of fixed points for k- strict
pseudocontractions in Hilbert space", Nonlinear Analysis: Theory,
Methods and Applications, 69, pp. 456-462.
[86] Zhu D. L., Marcotte P. (1995), "Coupling the auxiliary problem prin-
ciple with descent methods of pseudoconvex programming", European
Journal of Operational Research, 83, pp. 670-685.
