Luận án tiến sĩ Toán học: Tính ổn định và ổn định hóa đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng

BË GI(cid:129)O DÖC V€ (cid:30)€O T„O

TR×ÍNG (cid:30)„I HÅC S× PH„M H€ NËI 2

(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:21)

NGUY™N VI˜T TU…N

T(cid:157)NH ÊN (cid:30)ÀNH V€ ÊN (cid:30)ÀNH HÂA

(cid:30)ÈI VÎI MËT SÈ PH×ÌNG TRœNH TI˜N HÂA

TRONG CÌ HÅC CH‡T LÄNG

LUŠN (cid:129)N TI˜N Sž TO(cid:129)N HÅC

H€ NËI - 2019

BË GI(cid:129)O DÖC V€ (cid:30)€O T„O

TR×ÍNG (cid:30)„I HÅC S× PH„M H€ NËI 2

(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:21)

NGUY™N VI˜T TU…N

T(cid:157)NH ÊN (cid:30)ÀNH V€ ÊN (cid:30)ÀNH HÂA

(cid:30)ÈI VÎI MËT SÈ PH×ÌNG TRœNH TI˜N HÂA

TRONG CÌ HÅC CH‡T LÄNG

Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t½ h

M¢ sè: 9 46 01 02

LUŠN (cid:129)N TI˜N Sž TO(cid:129)N HÅC

NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC

PGS.TS. Cung Th¸ Anh

H€ NËI - 2019

LÍI CAM (cid:30)OAN

Tæi xin am (cid:31)oan (cid:31)¥y l æng tr¼nh nghi¶n ùu õa tæi d÷îi sü h÷îng d¨n

õa PGS.TS. Cung Th¸ Anh. C¡ k¸t qu£ vi¸t hung vîi ¡ t¡ gi£ kh¡ , (cid:31)·u

(cid:31)¢ (cid:31)÷ñ sü nh§t tr½ õa ¡ (cid:31)çng t¡ gi£ khi (cid:31)÷a v o luªn ¡n. C¡ k¸t qu£ n¶u

trong luªn ¡n l ho n to n trung thü v khæng h· tròng l°p vîi b§t ù mët

æng tr¼nh n o kh¡ .

Nghi¶n ùu sinh

Nguy¹n Vi¸t Tu¥n

LÍI CƒM ÌN

Luªn ¡n n y (cid:31)÷ñ thü hi»n t¤i Bë mæn Gi£i t½ h - Khoa To¡n - Tr÷íng

(cid:30)¤i hå S÷ ph¤m H Nëi 2, d÷îi sü h÷îng d¨n õa PGS.TS. Cung Th¸ Anh.

T¡ gi£ xin b y tä sü k½nh trång v láng bi¸t ìn s¥u s (cid:31)èi vîi Thy, ng÷íi

(cid:31)¢ giao (cid:31)· t i v tªn t¼nh h÷îng d¨n t¡ gi£ ho n th nh luªn ¡n n y.

T¡ gi£ tr¥n trång gûi líi £m ìn (cid:31)¸n Ban Gi¡m hi»u, Pháng Sau (cid:30)¤i hå ,

Ban Chõ nhi»m Khoa To¡n, òng to n thº (cid:31)ëi ng gi£ng vi¶n Khoa To¡n,

Tr÷íng (cid:30)¤i hå S÷ ph¤m H Nëi 2 v· sü quan t¥m gióp (cid:31)ï trong qu¡ tr¼nh

hå tªp v nghi¶n ùu õa t¡ gi£.

T¡ gi£ xin (cid:31)÷ñ b y tä láng bi¸t ìn (cid:31)¸n PGS.TS. Trn (cid:30)¼nh K¸, PGS.TS.

Khu§t V«n Ninh, PGS.TS. Nguy¹n N«ng T¥m, TS. Trn V«n B¬ng, TS. (cid:30) o

Trång Quy¸t, TS. V M¤nh Tîi (cid:31)¢ trang bà ki¸n thù v truy·n ho t¡ gi£

nhi·u kinh nghi»m quþ b¡u trong nghi¶n ùu khoa hå .

T¡ gi£ xin gûi líi £m ìn h¥n th nh (cid:31)¸n Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng (cid:30)¤i hå

Sao (cid:30)ä, ¡ anh hà (cid:31)çng nghi»p æng t¡ t¤i Khoa Khoa hå ì b£n, Tr÷íng

(cid:30)¤i hå Sao (cid:30)ä (cid:31)¢ luæn gióp (cid:31)ï v t¤o (cid:31)i·u ki»n thuªn lñi (cid:31)º t¡ gi£ ho n

th nh h÷ìng tr¼nh nghi¶n ùu sinh. (cid:30)çng thíi t¡ gi£ xin gûi (cid:31)¸n ¡ anh hà

nghi¶n ùu sinh huy¶n ng nh To¡n Gi£i t½ h õa Khoa To¡n, Tr÷íng (cid:30)¤i hå

S÷ ph¤m H Nëi 2, ¡ b¤n b± gn xa, líi £m ìn h¥n th nh v· t§t £ nhúng

sü gióp (cid:31)ï, (cid:31)ëng vi¶n m t¡ gi£ (cid:31)¢ nhªn (cid:31)÷ñ trong suèt thíi gian qua.

Líi £m ìn sau òng, xin d nh ho gia (cid:31)¼nh õa t¡ gi£, nhúng ng÷íi (cid:31)¢

d nh ho t¡ gi£ t¼nh y¶u th÷ìng trån vµn, tøng ng y hia s´, (cid:31)ëng vi¶n t¡

gi£ v÷ñt qua måi khâ kh«n (cid:31)º ho n th nh luªn ¡n.

Mö lö

Líi am (cid:31)oan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Líi £m ìn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mö lö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mët sè k½ hi»u dòng trong luªn ¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M (cid:30)†U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Là h sû v§n (cid:31)· v l½ do hån (cid:31)· t i

. . . . . . . . . . . . . . . .

2. Mö (cid:31)½ h nghi¶n ùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(cid:30)èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n ùu . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ph÷ìng ph¡p nghi¶n ùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. K¸t qu£ õa luªn ¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C§u tró õa luªn ¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ch÷ìng 1. MËT SÈ KI˜N THÙC CHU‰N BÀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1. C¡ khæng gian h m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1. Khæng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2. C¡ khæng gian Lp(0, T ; Y ) v C([0, T ]; Y ) . . . . . . . .

1.1.3. C¡ khæng gian h m H v V . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

1.1.4. C¡ khæng gian h m Hg v Vg

1.2. C¡ to¡n tû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1. To¡n tû A, B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2. To¡n tû Ag , Bg v Cg . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3. Mët sè k¸t qu£ v· gi£i t½ h ng¨u nhi¶n . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1. Chuyºn (cid:31)ëng Brown trong khæng gian Hilbert . . . . . .

1.3.2. T½ h ph¥n ng¨u nhi¶n trong khæng gian Hilbert . . . . .

1.3.3. Mët sè k¸t qu£ trong l½ thuy¸t x¡ su§t

. . . . . . . . .

1.4. Mët sè k¸t qu£ th÷íng dòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.1. Mët sè b§t (cid:31)¯ng thù th÷íng dòng . . . . . . . . . . . .

1.4.2. Mët sè bê (cid:31)· v (cid:31)ành l½ quan trång . . . . . . . . . . . .

Ch÷ìng 2. ÊN (cid:30)ÀNH HO(cid:129) H› NAVIER-STOKES-VOIGT BA CHI—U . . 30

2.1. (cid:30)°t b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2. T½nh duy nh§t v t½nh ên (cid:31)ành m õa nghi»m døng . . . . . .

2.3. Ên (cid:31)ành hâa nghi»m døng b¬ng (cid:31)i·u khiºn ph£n hçi â gi¡ b¶n

trong mi·n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4. Ên (cid:31)ành hâa nghi»m døng b¬ng nhi¹u Ito nh¥n t½nh . . . . . .

Ch÷ìng 3. ÊN (cid:30)ÀNH HO(cid:129) H› g -NAVIER-STOKES HAI CHI—U . . . . . . . . 45

3.1. (cid:30)°t b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2. Sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t v t½nh ên (cid:31)ành m õa nghi»m døng

3.3. Ên (cid:31)ành hâa nghi»m døng b¬ng (cid:31)i·u khiºn ph£n hçi â gi¡ b¶n

trong mi·n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4. Ên (cid:31)ành hâa nghi»m døng b¬ng (cid:31)i·u khiºn ph£n hçi húu h¤n

hi·u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5. Ên (cid:31)ành hâa b¬ng ngo¤i lü dao (cid:31)ëng nhanh theo bi¸n thíi gian 64

Ch÷ìng 4. T(cid:157)NH ÊN (cid:30)ÀNH NGHI›M CÕA H› g -NAVIER-STOKES NGˆU

NHI–N HAI CHI—U VÎI TR™ HÚU H„N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.1. (cid:30)°t b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2. Sü tçn t¤i duy nh§t nghi»m døng õa h» t§t (cid:31)ành . . . . . . . .

4.3. T½nh ên (cid:31)ành m õa h» ng¨u nhi¶n . . . . . . . . . . . . . . .

K˜T LUŠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

1. K˜T QUƒ (cid:30)„T (cid:30)×ÑC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. KI˜N NGHÀ MËT SÈ V‡N (cid:30)— NGHI–N CÙU TI˜P THEO .

DANH MÖC C(cid:129)C CÆNG TRœNH CÆNG BÈ (cid:30)×ÑC SÛ DÖNG TRONG

LUŠN (cid:129)N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

T€I LI›U THAM KHƒO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

MËT SÈ K(cid:157) HI›U TH×ÍNG DÒNG TRONG LUŠN (cid:129)N

¡ khæng gian h m dòng (cid:31)º nghi¶n ùu h»

Navier-Stokes-Voigt (xin xem hi ti¸t ð tr. 17-

18)

¡ khæng gian h m dòng (cid:31)º nghi¶n ùu h»

H, V

Hg, Vg

khæng gian (cid:31)èi ng¨u õa khæng gian V , Vg

g -Navier-Stokes (xin xem hi ti¸t ð tr. 18)

t½ h væ h÷îng v hu©n trong khæng gian H

V ′, V ′ g

t½ h væ h÷îng v hu©n trong khæng gian V

), , (

· (( · , | · | )),

t½ h væ h÷îng v hu©n trong khæng gian Hg

t½ h væ h÷îng v hu©n trong khæng gian Vg

hu©n trong khæng gian V ′

(cid:31)èi ng¨u giúa V v V ′

, V ′ g , giúa Vg v V ′ g

· , ( · )g, k · k | · |g

hu©n trong khæng gian Lp(

¡ to¡n tû dòng (cid:31)º nghi¶n ùu h» Navier-

Stokes-Voigt (xin xem hi ti¸t ð tr. 18-19)

¡ to¡n tû dòng (cid:31)º nghi¶n ùu h» g -Navier-

k · kg k · k∗ , ·ig ), vîi 1 p O ≤ ≤ ∞ · · (( , ))g, · · k · kV ′ , , ·i, h· h· | · |p A, B

Stokes (xin xem hi ti¸t ð tr. 19-21)

Ag, Bg, Cg

hëi tö y¸u

D(A), D(Ag) mi·n x¡ (cid:31)ành õa to¡n tû A, Ag

⇀

h m tr¹ ut(

nûa kho£ng ¡ h Hausdorff giúa hai tªp A, B

khæng gian x¡ su§t

dist(A, B) , P)

ut ) x¡ (cid:31)ành bði ut(s) = u(t + s) ·

hu h h n

(Ω,

F h.c.c

M (cid:30)†U

1. Là h sû v§n (cid:31)· v l½ do hån (cid:31)· t i

C¡ ph÷ìng tr¼nh (cid:31)¤o h m ri¶ng ti¸n hâa lo¤i paraboli xu§t hi»n nhi·u

trong ¡ qu¡ tr¼nh õa vªt l½, ì hå v sinh hå , h¯ng h¤n trong ì hå

h§t läng, ¡ qu¡ tr¼nh truy·n nhi»t v khu¸ h t¡n, ¡ mæ h¼nh qun thº

trong sinh hå , . . . (xem [60℄). Vi» nghi¶n ùu nhúng lîp ph÷ìng tr¼nh n y

â þ ngh¾a quan trång trong khoa hå v æng ngh». Ch½nh v¼ vªy nâ (cid:31)¢ v

(cid:31)ang thu hót (cid:31)÷ñ sü quan t¥m õa nhi·u nh khoa hå tr¶n th¸ giîi. Sau khi

nghi¶n ùu t½nh (cid:31)°t (cid:31)óng õa b i to¡n, vi» nghi¶n ùu d¡ng (cid:31)i»u ti»m ªn

õa nghi»m khi thíi gian ra væ òng r§t quan trång v¼ nâ ho ph²p ta hiºu v

dü (cid:31)o¡n xu th¸ ph¡t triºn õa h» (cid:31)ëng lü trong t÷ìng lai, tø (cid:31)â â nhúng

(cid:31)i·u h¿nh th½ h hñp (cid:31)º (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ k¸t qu£ mong muèn. Mët trong nhúng ¡ h

ti¸p ªn hi»u qu£ ho v§n (cid:31)· n y l nghi¶n ùu sü tçn t¤i v t½nh ên (cid:31)ành õa

nghi»m døng. V· m°t to¡n hå , nghi»m døng t÷ìng ùng vîi tr¤ng th¡i døng

õa qu¡ tr¼nh v l nghi»m õa b i to¡n ellipti t÷ìng ùng. Khi nghi»m døng

õa h» khæng ên (cid:31)ành, ng÷íi ta t¼m ¡ h ên (cid:31)ành hâa nâ b¬ng ¡ h dòng ¡

(cid:31)i·u khiºn th½ h hñp â gi¡ b¶n trong mi·n ho° â gi¡ tr¶n bi¶n, ho° dòng

nhúng nhi¹u ng¨u nhi¶n phò hñp.

Trong nhúng n«m gn (cid:31)¥y, b i to¡n ên (cid:31)ành v ên (cid:31)ành hâa nghi»m døng

(cid:31)¢ (cid:31)÷ñ nghi¶n ùu nhi·u ho h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes v mët v i lîp

ph÷ìng tr¼nh paraboli phi tuy¸n (xin xem uèn huy¶n kh£o gn (cid:31)¥y [13℄ v

¡ b i b¡o ti¶u biºu [11, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 33, 53℄ v· h÷îng nghi¶n ùu

thíi sü n y). Tuy nhi¶n, ¡ k¸t qu£ t÷ìng ùng (cid:31)èi vîi ¡ lîp ph÷ìng tr¼nh

kh¡ trong ì hå h§t läng v ¡ h» ph÷ìng tr¼nh paraboli v¨n án ½t. (cid:30)¥y

(cid:31)ang l v§n (cid:31)· thíi sü, â nhi·u þ ngh¾a v thu hót (cid:31)÷ñ sü quan t¥m õa

nhi·u nh to¡n hå tr¶n th¸ giîi.

D÷îi (cid:31)¥y, hóng ta (cid:31)iºm qua mët sè lîp h» ph÷ìng tr¼nh trong ì hå h§t

läng (cid:31)÷ñ nghi¶n ùu nhi·u trong nhúng n«m gn (cid:31)¥y.

(cid:30)u ti¶n, hóng ta x²t h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes-Voigt (trong mët sè

t i li»u án vi¸t l Voight) ba hi·u trong mi·n trìn bà h°n vîi (cid:31)i·u ki»n bi¶n

Diri hlet thun nh§t sau (cid:31)¥y:

trong O ×

(1)

ν∆u + (u )u + p = f R+, ut − · ∇ ∇  R+, α2∆ut − u = 0

trong O × tr¶n ∂

∇ · u(x, t) = 0 R+,

trong O

O × , u(x, 0) = u0(x)

trong (cid:31)â u = u(x, t) = (u1, u2, u3), p = p(x, t) t÷ìng ùng l h m ve tì vªn tè

v h m ¡p su§t n t¼m, ν > 0 l h» sè nhît, α l tham sè (cid:31)° tr÷ng ho (cid:31)ë

(cid:31) n hçi õa h§t läng v u0 l vªn tè ban (cid:31)u.

H» (1) (cid:31)÷ñ giîi thi»u bði Oskolkov trong [48℄ nh÷ mët mæ h¼nh mæ t£

huyºn (cid:31)ëng õa ¡ h§t läng lo¤i Kelvin-Voigt, nhît, khæng n²n (cid:31)÷ñ . H»

(1) ng (cid:31)¢ (cid:31)÷ñ (cid:31)· xu§t bði Cao, Lunasin v Titi trong [18℄ nh÷ mët ¡ h

x§p x¿, khi tham sè α nhä, h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes ba hi·u, v gióp

mæ phäng sè trü ti¸p h» ph÷ìng tr¼nh n y. (cid:30)° bi»t, n¸u α = 0, (1) trð th nh

h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes ba hi·u ê (cid:31)iºn, v n¸u ν = 0 ta (cid:31)÷ñ mæ

h¼nh Bardina (cid:31)ìn gi£n hâa, mæ t£ huyºn (cid:31)ëng õa ¡ h§t läng khæng nhît.

Trong thü t¸, h» n y thuë lîp α-mæ h¼nh trong ì hå h§t läng, xem [37℄

ho ¡ mæ h¼nh kh¡ trong lîp n y.

Trong nhúng n«m gn (cid:31)¥y, ¡ v§n (cid:31)· to¡n hå li¶n quan (cid:31)¸n h» Navier-

Stokes-Voigt ba hi·u (cid:31)¢ thu hót (cid:31)÷ñ sü hó þ õa nhi·u nh to¡n hå . Sü

tçn t¤i v d¡ng (cid:31)i»u ti»m ªn õa nghi»m thæng qua sü tçn t¤i tªp hót õa h»

 

Navier-Stokes-Voigt ba hi·u trong mi·n bà h°n ho° khæng bà h°n nh÷ng

thäa m¢n b§t (cid:31)¯ng thù Poin ar² (cid:31)÷ñ nghi¶n ùu rëng r¢i trong [7, 26, 29,

36, 41, 64, 65℄. Tè (cid:31)ë ph¥n r¢ õa nghi»m theo bi¸n thíi gian õa lîp h» n y

khi x²t tr¶n to n bë khæng gian (cid:31)÷ñ nghi¶n ùu gn (cid:31)¥y trong [8, 47, 66℄. B i

to¡n ên (cid:31)ành hâa d¡ng (cid:31)i»u ti»m ªn nghi»m õa h» Navier-Stokes-Voigt b¬ng

¡ h dòng ngo¤i lü dao (cid:31)ëng nhanh theo bi¸n thíi gian (cid:31)÷ñ nghi¶n ùu gn

(cid:31)¥y trong [6℄, sû döng ¡ h ti¸p ªn (cid:31)· xu§t trong æng tr¼nh [30℄. Mö (cid:31)½ h

(cid:31)u ti¶n õa hóng tæi trong luªn ¡n n y l nghi¶n ùu t½nh ên (cid:31)ành v b i

to¡n ên (cid:31)ành hâa nghi»m døng m¤nh õa h» (1).

Ti¸p theo, hóng ta x²t h» ph÷ìng tr¼nh g -Navier-Stokes hai hi·u â d¤ng

nh÷ sau:

trong O ×

(2)

trong O × tr¶n ∂

ν∆u + (u )u + p = f R+, ∂u ∂t − · ∇ ∇  (gu) = 0 R+,

R+, ∇ · u(x, t) = 0

trong O

O × , u(x, 0) = u0(x),

trong (cid:31)â u = u(x, t) = (u1, u2), p = p(x, t) t÷ìng ùng l h m ve tì vªn tè v

h m ¡p su§t n t¼m, ν > 0 l h» sè nhît, u0 l vªn tè ban (cid:31)u.

Nh÷ (cid:31)÷ñ gi£i th½ h trong [55, 56℄, h» g -Navier-Stokes hai hi·u xu§t hi»n

mët ¡ h tü nhi¶n khi hóng ta nghi¶n ùu h» Navier-Stokes ba hi·u trong

 

mi·n mäng Og =

hi·u s³ gióp ½ h ho vi» nghi¶n ùu h» Navier-Stokes trong mi·n mäng ba

hi·u Og . Trong thªp ni¶n vøa qua, sü tçn t¤i v d¡ng (cid:31)i»u ti»m ªn õa nghi»m thæng qua sü tçn t¤i tªp hót õa h» g -Navier-Stokes hai hi·u (cid:31)¢ (cid:31)÷ñ

nghi¶n ùu rëng r¢i trong £ hai tr÷íng hñp æ-tæ-næm v khæng æ-tæ-næm (xem

[1, 3, 38, 39, 40, 42, 43, 51, 52, 56, 62, 63℄). Tuy nhi¶n, v¨n án nhi·u v§n (cid:31)·

mð n (cid:31)÷ñ nghi¶n ùu li¶n quan (cid:31)¸n lîp h» (2), h¯ng h¤n:

1) B i to¡n ên (cid:31)ành hâa nghi»m døng m¤nh õa h»;

(0, g) v ¡ t½nh h§t tèt õa h» g -Navier-Stokes hai O ×

2) B i to¡n ên (cid:31)ành hâa d¡ng (cid:31)i»u ti»m ªn õa nghi»m khi thíi gian ra væ

òng.

Chóng tæi s³ nghi¶n ùu nhúng v§n (cid:31)· (cid:31)â trong luªn ¡n n y.

Cuèi òng, hóng ta x²t h» ph÷ìng tr¼nh g -Navier-Stokes ng¨u nhi¶n hai

hi·u vîi tr¹ húu h¤n sau (cid:31)¥y:

(3)

du = [ν∆u (u )u p + f + F (u(t ρ(t)))]dt − − ∇  − + G(u(t · ∇ ρ(t)))dW (t), , t > 0, x − ∈ O

(gu) = 0, , t > 0, x

∇ · u(x, t) = 0, , t > 0, ∈ O ∂ x ∈

trong (cid:31)â u = u(x, t) = (u1, u2), p = p(x, t) t÷ìng ùng l h m ve tì vªn tè v

u(x, t) = ϕ(x, t), x O , t [ τ, 0], ∈ O ∈ −

h m ¡p su§t n t¼m, ν > 0 l h» sè nhît, u0 l vªn tè ban (cid:31)u, f = f (x)

l ngo¤i lü khæng phö thuë thíi gian v khæng hùa tr¹, F (

 

hùa tr¹, G(u(t

) l ngo¤i lü · ρ(t)))dW (t) l nhi¹u ng¨u nhi¶n hùa tr¹, W (t) l qu¡ tr¼nh

tè ban (cid:31)u khi thíi gian t

Sü tçn t¤i v t½nh ên (cid:31)ành õa nghi»m døng õa h» Navier-Stokes hai

hi·u t§t (cid:31)ành â tr¹ (cid:31)¢ (cid:31)÷ñ nhi·u t¡ gi£ nghi¶n ùu trong nhúng n«m gn

(cid:31)¥y, h¯ng h¤n, Caraballo v Han [19℄, Caraballo v Real [24, 25℄, Garrido-

Atienza v Mar½n-Rubio [35℄, Mar½n-Rubio, Real v Valero [46℄, Planas [50℄,

Tanigu hi [58℄; xem th¶m b i b¡o têng quan gn (cid:31)¥y õa Caraballo v Han

[20℄. Tr÷íng hñp h» Navier-Stokes hai hi·u ng¨u nhi¶n â tr¹ (cid:31)÷ñ nghi¶n ùu

trong [27, 61℄.

Sü tçn t¤i v t½nh ên (cid:31)ành õa nghi»m døng õa h» g -Navier-Stokes hai

hi·u khæng/ â tr¹ (cid:31)¢ (cid:31)÷ñ nghi¶n ùu trong ¡ æng tr¼nh [2, 51℄.

Tuy nhi¶n, theo hiºu bi¸t õa hóng tæi, h÷a â k¸t qu£ n o v· t½nh ên

(cid:31)ành nghi»m õa h» (3), tr÷íng hñp â £ sè h¤ng ng¨u nhi¶n v sè h¤ng hùa

− Wiener væ h¤n hi·u, h m ρ : [0, + ) [0, τ ] l bà h°n v (cid:31)o (cid:31)÷ñ , ϕ l vªn ∞ → [ τ, 0], trong (cid:31)â τ l sè d÷ìng è (cid:31)ành. ∈ −

tr¹. Chóng tæi s³ hån v§n (cid:31)· n y l m mët nëi dung nghi¶n ùu õa luªn ¡n.

Xu§t ph¡t tø nhúng l½ do tr¶n, hóng tæi lüa hån (cid:31)· t i nghi¶n ùu õa

luªn ¡n l (cid:16)T½nh ên (cid:31)ành v ên (cid:31)ành hâa (cid:31)èi vîi mët sè ph÷ìng tr¼nh

ti¸n hâa trong ì hå h§t läng(cid:17) .

2. Mö (cid:31)½ h nghi¶n ùu

Luªn ¡n tªp trung nghi¶n ùu t½nh ên (cid:31)ành v ên (cid:31)ành hâa õa mët sè ph÷ìng

tr¼nh (cid:31)¤o h m ri¶ng ti¸n hâa xu§t hi»n trong ì hå h§t läng.

3. (cid:30)èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n ùu

tr¼nh (cid:31)¤o h m ri¶ng ti¸n hâa xu§t hi»n trong ì hå h§t läng, ö thº

l h» Navier-Stokes-Voigt ba hi·u, h» g -Navier-Stokes hai hi·u, h» g -

Navier-Stokes ng¨u nhi¶n hai hi·u vîi tr¹ húu h¤n.

• (cid:30)èi t÷ñng nghi¶n ùu: T½nh ên (cid:31)ành v ên (cid:31)ành hâa õa mët sè ph÷ìng

• Ph¤m vi nghi¶n ùu õa Luªn ¡n bao gçm ¡ nëi dung sau:

1) Sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t v t½nh ên (cid:31)ành m õa nghi»m døng

m¤nh.

2) Ên (cid:31)ành hâa nghi»m døng m¤nh b¬ng (cid:31)i·u khiºn ph£n hçi â

gi¡ b¶n trong mi·n ho° b¬ng nhi¹u ng¨u nhi¶n phò hñp.

◦ Nëi dung 1: H» Navier-Stokes-Voigt ba hi·u:

1) Sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t v t½nh ên (cid:31)ành m õa nghi»m døng

m¤nh.

2) Ên (cid:31)ành hâa nghi»m døng m¤nh b¬ng (cid:31)i·u khiºn ph£n hçi â

gi¡ b¶n trong mi·n v b¬ng (cid:31)i·u khiºn ph£n hçi húu h¤n hi·u.

3) Ên (cid:31)ành hâa d¡ng (cid:31)i»u ti»m ªn õa nghi»m b¬ng ngo¤i lü

dao (cid:31)ëng nhanh theo bi¸n thíi gian.

◦ Nëi dung 2: H» g -Navier-Stokes hai hi·u:

h¤n:

1) Sü tçn t¤i v t½nh duy nh§t õa nghi»m døng y¸u õa h» t§t

(cid:31)ành t÷ìng ùng.

2) T½nh ên (cid:31)ành m theo b¼nh ph÷ìng trung b¼nh v t½nh ên (cid:31)ành

m hu h h n õa nghi»m y¸u õa h» ng¨u nhi¶n.

4. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n ùu

◦ Nëi dung 3: H» g -Navier-Stokes ng¨u nhi¶n hai hi·u vîi tr¹ húu

ph¡p x§p x¿ Galerkin v ph÷ìng ph¡p ompa t [44℄.

• Nghi¶n ùu sü tçn t¤i nghi»m v sü tçn t¤i nghi»m døng: Sû döng ph÷ìng

¡ (cid:31)¡nh gi¡ n«ng l÷ñng v b§t (cid:31)¯ng thù kiºu Gronwall.

• Nghi¶n ùu t½nh ên (cid:31)ành õa nghi»m døng v nghi»m tun ho n: Sû döng

(cid:31)i·u khiºn to¡n hå [9, 13℄ v Gi£i t½ h ng¨u nhi¶n [21, 22℄.

5. K¸t qu£ õa luªn ¡n

Luªn ¡n (cid:31)¢ (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ nhúng k¸t qu£ h½nh sau (cid:31)¥y:

• Nghi¶n ùu b i to¡n ên (cid:31)ành hâa: Sû döng ¡ ph÷ìng ph¡p õa L½ thuy¸t

(cid:31)÷ñ t½nh ên (cid:31)ành m õa nghi»m døng m¤nh; hùng minh (cid:31)÷ñ (cid:31)i·u

ki»n ên (cid:31)ành hâa nghi»m døng m¤nh b¬ng (cid:31)i·u khiºn ph£n hçi â gi¡

b¶n trong mi·n v b¬ng nhi¹u ng¨u nhi¶n Ito nh¥n t½nh phò hñp. (cid:30)¥y

l nëi dung õa Ch÷ìng 2.

• (cid:30)èi vîi h» Navier-Stokes-Voigt ba hi·u trong mi·n bà h°n: Chùng minh

(cid:31)÷ñ sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t v t½nh ên (cid:31)ành m õa nghi»m døng

m¤nh; hùng minh (cid:31)÷ñ (cid:31)i·u ki»n ên (cid:31)ành hâa nghi»m døng m¤nh b¬ng

(cid:31)i·u khiºn ph£n hçi â gi¡ b¶n trong mi·n v b¬ng (cid:31)i·u khiºn ph£n hçi

húu h¤n hi·u; hùng minh (cid:31)÷ñ (cid:31)i·u ki»n ên (cid:31)ành hâa d¡ng (cid:31)i»u ti»m

• (cid:30)èi vîi h» g -Navier-Stokes hai hi·u trong mi·n bà h°n: Chùng minh

ªn õa nghi»m b¬ng ngo¤i lü dao (cid:31)ëng nhanh theo bi¸n thíi gian. (cid:30)¥y

l nëi dung õa Ch÷ìng 3.

mi·n bà h°n: Chùng minh (cid:31)÷ñ sü tçn t¤i v t½nh duy nh§t õa nghi»m

døng y¸u õa h» t§t (cid:31)ành; hùng minh (cid:31)÷ñ t½nh ên (cid:31)ành m b¼nh ph÷ìng

trung b¼nh v t½nh ên (cid:31)ành m hu h h n õa nghi»m y¸u õa h»

ng¨u nhi¶n. (cid:30)¥y l nëi dung õa Ch÷ìng 4.

C¡ k¸t qu£ tr¼nh b y trong luªn ¡n l mîi, â þ ngh¾a khoa hå , v gâp

phn ho n thi»n vi» nghi¶n ùu b i to¡n ên (cid:31)ành v ên (cid:31)ành hâa ¡ ph÷ìng

tr¼nh ti¸n hâa trong ì hå h§t läng. Nâi ri¶ng, ¡ k¸t qu£ (cid:31)èi vîi h» g -

Navier-Stokes, trong tr÷íng hñp (cid:31)° bi»t khi g = onst > 0, ¡p döng (cid:31)÷ñ ho

h» Navier-Stokes hai hi·u. M°t kh¡ , hóng ta bi¸t r¬ng, ¡ ph÷ìng tr¼nh

trong ì hå h§t läng â nguçn gè tø ¡ b i to¡n thü t¸ khi nghi¶n ùu

huyºn (cid:31)ëng õa h§t l÷u, do (cid:31)â ¡ k¸t qu£ (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ trong luªn ¡n ng gâp

phn t«ng kh£ n«ng ùng döng trong thü ti¹n.

C¡ k¸t qu£ h½nh õa luªn ¡n (cid:31)¢ (cid:31)÷ñ æng bè trong 04 b i b¡o khoa hå

tr¶n ¡ t¤p h½ huy¶n ng nh què t¸ v (cid:31)¢ (cid:31)÷ñ b¡o ¡o t¤i:

• (cid:30)èi vîi h» g -Navier-Stokes ng¨u nhi¶n hai hi·u vîi tr¹ húu h¤n trong

Nëi 2;

• X¶mina õa Bë mæn Gi£i t½ h, Khoa To¡n, Tr÷íng (cid:30)¤i hå S÷ ph¤m H

ì b£n, Tr÷íng (cid:30)¤i hå Sao (cid:30)ä, 2016;

• Hëi th£o khoa hå (cid:16)Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n v ùng döng(cid:17) , Khoa Khoa hå

To¡n, Tr÷íng (cid:30)¤i hå S÷ ph¤m H Nëi 2, 2017.

6. C§u tró õa luªn ¡n

Ngo i phn mð (cid:31)u, k¸t luªn, danh mö ¡ æng tr¼nh (cid:31)÷ñ æng bè v

danh mö t i li»u tham kh£o, luªn ¡n gçm 4 h÷ìng:

• Hëi th£o khoa hå (cid:16)To¡n hå trong sü nghi»p (cid:31)êi mîi gi¡o dö (cid:17) , Khoa

ni»m v ¡ ki¸n thù ì sð n thi¸t (cid:31)÷ñ sû döng trong luªn ¡n.

• Ch÷ìng 1. Mët sè ki¸n thù hu©n bà. Ch÷ìng n y tr¼nh b y ¡ kh¡i

tr¼nh b y k¸t qu£ v· t½nh ên (cid:31)ành m v ên (cid:31)ành hâa nghi»m døng m¤nh

õa h» Navier-Stokes-Voigt ba hi·u.

• Ch÷ìng 2. Ên (cid:31)ành hâa h» Navier-Stokes-Voigt ba hi·u. Ch÷ìng n y

b y ¡ k¸t qu£ v· sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t v t½nh ên (cid:31)ành m õa

nghi»m døng m¤nh; k¸t qu£ ên (cid:31)ành hâa nghi»m døng m¤nh v ên (cid:31)ành

hâa d¡ng (cid:31)i»u ti»m ªn nghi»m õa h» g -Navier-Stokes hai hi·u.

• Ch÷ìng 3. Ên (cid:31)ành hâa h» g-Navier-Stokes hai hi·u. Ch÷ìng n y tr¼nh

hi·u vîi tr¹ húu h¤n. Ch÷ìng n y tr¼nh b y k¸t qu£ v· sü tçn t¤i v

t½nh duy nh§t õa nghi»m døng y¸u õa h» t§t (cid:31)ành t÷ìng ùng vîi h»

ng¨u nhi¶n; hùng minh (cid:31)i·u ki»n ên (cid:31)ành m theo b¼nh ph÷ìng trung

b¼nh v ên (cid:31)ành m hu h h n õa nghi»m y¸u õa h» ng¨u nhi¶n.

• Ch÷ìng 4. T½nh ên (cid:31)ành nghi»m õa h» g-Navier-Stokes ng¨u nhi¶n hai

Ch÷ìng 1

MËT SÈ KI˜N THÙC CHU‰N BÀ

Trong h÷ìng n y, hóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ li¶n

quan (cid:31)¸n ¡ khæng gian h m, ¡ to¡n tû, Gi£i t½ h ng¨u nhi¶n, ¡ (cid:31)¡nh

gi¡ n thi¸t (cid:31)º xû l½ sè h¤ng phi tuy¸n trong ph÷ìng tr¼nh v mët sè k¸t

qu£ th÷íng dòng ( ¡ b§t (cid:31)¯ng thù , ¡ bê (cid:31)· ompa t) (cid:31)÷ñ sû döng trong

hùng minh ¡ k¸t qu£ h½nh õa luªn ¡n ð ¡ h÷ìng sau.

1.1. C¡ khæng gian h m

Trong mö n y, ta nh l¤i mët sè k¸t qu£ v· ¡ khæng gian h m s³ (cid:31)÷ñ sû

döng trong luªn ¡n. Chóng ta x²t O l mi·n bà h°n trong Rn(n = 2, 3) vîi bi¶n trìn ∂

1.1.1. Khæng gian Sobolev

Cho 1

O .

khæng gian ¡ h m kh£ t½ h bª p vîi (cid:31)ë (cid:31)o Lebesgue dx = dx1 . . . dxn . Khi

(cid:31)â Lp(

p ) l ≤ ∞ v m l mët sè nguy¶n khæng ¥m. Ta k½ hi»u Lp( O ≤

), 1 p O ≤ ≤ ∞, l khæng gian Bana h vîi hu©n

1/p

pdx

u , 1 p < , | kLp = k ≤ ∞ (cid:19) (cid:18)ZO |

N¸u p = 2, th¼ L2(

u u(x) . k kL∞ = esssupO| |

) l khæng gian Hilbert vîi t½ h væ h÷îng O

(u, v) = u.vdx,

v hu©n k · kL2 x¡ (cid:31)ành nh÷ sau: k

u ZO 2 L2(O) = (u, u). k

(cid:30)ành ngh¾a 1.1. Khæng gian Sobolev W m,p(

) (cid:31)÷ñ x¡ (cid:31)ành nh÷ sau O

vîi hu©n

W m,p( ) = u Lp( ) : Dγu Lp( ) vîi måi 0 γ m , O { ∈ O ∈ O ≤ | | ≤ }

1/p

Dγu u .

p Lp

(cid:30)ành l½ 1.1. ([54, (cid:30)ành l½ 5.4, tr. 114℄) Khæng gian Sobolev W m,p(

gian Bana h.

N¸u p = 2 ta â

 k k kW m,p = k X|γ|≤m   ) l khæng O

l khæng gian Hilbert vîi t½ h væ h÷îng

H m( ) = W m,2( ) O O

(Dγu, Dγv). ((u, v))Hm =

Ta (cid:31)ành ngh¾a H m 0 (

1.1.2. C¡ khæng gian Lp(0, T ; Y ) v C([0, T ]; Y )

Cho Y l khæng gian Bana h thü vîi hu©n || · ||. (cid:30)ành ngh¾a 1.2. Khæng gian Lp(0, T ; Y ), 1 p

) trong H m( ). X|γ|≤m ) l bao (cid:31)âng õa khæng gian C∞ 0 ( O O O

(cid:31)o (cid:31)÷ñ φ : [0, T ]

≤ ≤ ∞, gçm t§t £ ¡ h m Y vîi hu©n →

T

1/p

< i) φ(s)

pds

p < , ∞ vîi 1 kLp(0,T ;Y ) := φ k k ≤ ∞

0 k

Khi (cid:31)â Lp(0, T ; Y ) l mët khæng gian Bana h, v nâ l ph£n x¤ n¸u 1 < p <

(cid:17) φ(t) < . ii) ∞ || (cid:16) Z kL∞(0,T ;Y ) := esssup0≤t≤T || φ k

Khæng gian li¶n hñp õa Lp(0, T ; Y ) l Lq(0, T ; Y ′) vîi 1/p + 1/q = 1.

(cid:30)ành ngh¾a 1.3. Khæng gian C([0, T ]; Y ) gçm t§t £ ¡ h m li¶n tö φ :

∞.

[0, T ] Y vîi hu©n →

φ(t) < . kC([0,T ];Y ) := max φ

0≤t≤T ||

k || ∞

Khi (cid:31)â C([0, T ]; Y ) l mët khæng gian Bana h.

(cid:30)ành ngh¾a 1.4. L2

R vîi gi¡ trà

loc(R; Y ) l khæng gian ¡ h m φ(s), s

trong Y , m b¼nh ph÷ìng kh£ t½ h (cid:31)àa ph÷ìng (theo ngh¾a Bo hner), tù l ,

∈

t2

R. φ(s)

2ds <

vîi måi kho£ng ompa t [t1, t2]

, ⊂ k ∞

t1 k

1.1.3. C¡ khæng gian h m H v V

vîi bi¶n trìn ∂

Gi£ sû O l mi·n bà h°n trong R3 O . Sau (cid:31)¥y, hóng ta giîi thi»u ¡ khæng gian h m H v V dòng (cid:31)º nghi¶n ùu h» Navier-Stokes-Voigt.

K½ hi»u

3

(L2( ))3, (u, v) := ujvj dx, u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) ∈ O ZO

j=1 X

3

((u, v)) := ))3, vj dx, u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) (H 1 0 ( O ∈ uj · ∇ ∇ ZO

j=1 X

2 := (u, u),

2 := ((u, u)).

v hu©n t÷ìng ùng |

(cid:30)°t

u | k k

= u ))3 : u = 0 . (C∞ 0 ( ∈

, trong (cid:31)â ¡ ph²p nhóng l trò mªt v

. D¹ th§y V

, v h·

. C¡ khæng gian tr¶n (cid:31)·u l khæng gian Hilbert.

li¶n tö . Ta dòng k½ hi»u k · kV ′ giúa V v V ′

Ta (cid:31)÷a ra mët hu©n Hilbert mîi trong V nh÷ sau

(cid:8) (cid:9) ))3 ∇ · , v V l bao (cid:31)âng õa V trong O ))3 H ′ V ′ H V O K½ hi»u H l bao (cid:31)âng õa V trong (L2( (H 1 0 ( O ⊂ ≡ ⊂ ho hu©n trong V ′ , ·i ho °p (cid:31)èi ng¨u

u u

2 + α2

2, α > 0,

2 α : =

hu©n n y t÷ìng (cid:31)÷ìng vîi hu©n k · k th÷íng dòng trong V bði v¼

k k | | k k

2

u u α−2 u

2 α,

2 α ≤ k

k k k k ≤ λ1 1 + α2λ1 k

trong (cid:31)â λ1 > 0 l gi¡ trà ri¶ng (cid:31)u ti¶n õa to¡n tû Stokes trong O (tù l to¡n tû A (cid:31)÷ñ (cid:31)ành ngh¾a trong Mö 1.2.1 d÷îi (cid:31)¥y).

1.1.4. C¡ khæng gian h m Hg v Vg

(cid:30)º nghi¶n ùu h» g -Navier-Stokes hai hi·u, hóng ta x²t O l mi·n bà h°n trong R2 , g) =

vîi bi¶n trìn ∂

v H1 0(

, vîi t½ h væ h÷îng ln l÷ñt l

, g) = (L2( ))2 O . K½ hi»u L2( O O O ))2 (H 1 0 ( O

2

L2( , g), ujvjg dx, u = (u1, u2), v = (v1, v2) (u, v)g := ∈ O ZO

j=1 X

2

, g), ((u, v))g := vjgdx, u = (u1, u2), v = (v1, v2) H1 0( uj · ∇ ∇ ∈ O ZO

j=1 X

2

u u

2 g = ((u, u))g . Tø gi£ thi¸t õa h m g

v hu©n t÷ìng ùng |

g = (u, u)g , ||

(cid:31)÷ñ x²t trong luªn ¡n (xin xem hi ti¸t ð Mö 3.1, Ch÷ìng 3) d¹ th§y hu©n

v trong

| ||

(cid:30)°t

))2 O ))2 | · |g v k · kg t÷ìng (cid:31)÷ìng vîi hu©n thæng th÷íng trong (L2( (H 1 0 ( O

u ))2 : (gu) = 0 . (C∞ 0 ( Vg = ∈

(cid:8) (cid:9)

O ∇ · , g), v Vg l bao (cid:31)âng õa Vg trong H ′

g , trong (cid:31)â ¡ ph²p nhóng l trò mªt

g ⊂

O , g). D¹ th§y Vg ⊂ ,

g , v h·

·ig h¿ (cid:31)èi ng¨u

O K½ hi»u Hg l bao (cid:31)âng õa Vg trong L2( H1 V ′ Hg ≡ 0( v li¶n tö . Ta dòng k½ hi»u k · k∗ ho hu©n trong V ′ giúa Vg v V ′

g . C¡ khæng gian tr¶n (cid:31)·u l khæng gian Hilbert.

1.2. C¡ to¡n tû

1.2.1. To¡n tû A, B

Ta (cid:31)ành ngh¾a ¡ to¡n tû li¶n quan (cid:31)¸n h» Navier-Stokes-Voigt nh÷ sau.

x¡ (cid:31)ành bði

(cid:30)°t to¡n tû Stokes A : V

V ′ →

K½ hi»u D(A) = (H 2(

Au, v = ((u, v)), vîi måi u, v V. h i ∈

l¶n khæng gian H .

x¡ (cid:31)ành bði

Ta (cid:31)ành ngh¾a to¡n tû B : V

V v Au = ))3 u D(A), trong (cid:31)â P l O − ∩ ∈ P ∆u, ∀ ph²p hi¸u trü giao Leray-Helmholtz tø (L2(Ω))3

V V ′ × →

trong (cid:31)â

(B(u, v), w) = b(u, v, w), vîi måi u, v, w V, ∈

3

b(u, v, w) = wj dx. ui ∂vj ∂xi

i,j=1 ZO X

D¹ th§y n¸u u, v, w

V , th¼ ∈

Do (cid:31)â

b(u, v, w) = b(u, w, v). −

K¸t qu£ sau (cid:31)¥y s³ (cid:31)÷ñ sû döng nhi·u ln trong Ch÷ìng 2.

Bê (cid:31)· 1.1 ([28, 54℄). Ta â

b(u, v, v) = 0, u, v V. ∀ ∈

1/4

3/4

1/4

u c u v w w

3/4,

trong (cid:31)â c l ¡ h¬ng sè th½ h hñp.

1.2.2. To¡n tû Ag , Bg v Cg

Ta (cid:31)ành ngh¾a ¡ to¡n tû li¶n quan (cid:31)¸n h» g -Navier-Stokes nh÷ sau.

 

V ′

g l to¡n tû x¡ (cid:31)ành bði

(cid:30)°t Ag : Vg →

u, v Agu, v Vg. ig = ((u, v))g, ∀ ∈ h

Khi (cid:31)â Ag = giao tø L2(

, g) Pg∆ v D(Ag) = H2( Vg , trong (cid:31)â Pg l ph²p hi¸u trü O ∩

− , g) l¶n Hg . Ta k½ hi»u η1 l gi¡ trà ri¶ng (cid:31)u ti¶n õa to¡n tû Ag . O

V ′

g x¡ (cid:31)ành bði

Ta (cid:31)ành ngh¾a to¡n tû Bg : Vg ×

Vg →

trong (cid:31)â

u, v, w Bg(u, v), w Vg, ig = bg(u, v, w), ∀ ∈ h

2

ui bg(u, v, w) = wjgdx. ∂vj ∂xi

i,j=1 ZO X

D¹ th§y n¸u u, v, w

Vg , th¼ ∈

bg(u, v, w) = bg(u, w, v), bg(u, v, v) = 0. −

(cid:30)°t Cg : Vg →

Hg l to¡n tû x¡ (cid:31)ành bði

, u, v), v Vg. (Cgu, v)g = (( ∇ g )u, v)g = bg( ∇ g g g · ∇ ∀ ∈

ta â

( g )u = ∆u )u, ( ∇ 1 g ∇ · ∇ − g g · ∇ − −

B¥y gií, ta nh l¤i ¡ (cid:31)¡nh gi¡ n thi¸t (cid:31)º xû l½ sè h¤ng phi tuy¸n trong

h» g -Navier-Stokes (cid:31)÷ñ x²t trong luªn ¡n. Ta â b§t (cid:31)¯ng thù kiºu Poin ar²

sau (cid:31)¥y

(1.1)

u, v ( )u, v)g = Agu, v )u, v)g, Vg. ∆u, v)g = ((u, v))g+(( ∇ g g ·∇ ig +(( ∇ g g ·∇ ∀ ∈ h −

u u u Vg,

2 g,

2 g ≥

(1.2)

| ∀ ∈

u k Agu D(Ag),

2 g,

trong (cid:31)â η1 > 0 l gi¡ trà ri¶ng (cid:31)u ti¶n õa to¡n tû g -Stokes Ag .

B¥y gií hóng ta nh l¤i mët sè k¸t qu£ (cid:31)¢ bi¸t s³ (cid:31)÷ñ sû döng trong

phn ti¸p theo.

k 2 g ≥ η1| u η1k | k ∀ | ∈

Bê (cid:31)· 1.2 ([1℄). Ta â

w w , u u v u, v, w

1/2 g

Vg, k k k |  u u v ∀ u w k 1/2 g

1/2 g

kg| 1/2 g | k Agv ∈ Vg, v D(Ag), w Hg, | ∈ bg(u, v, w) | | ≤ k v u | w | u k 1/2 g

1/2 g

k k Agu |g, ∈ ∀ D(Ag), v ∈ Vg, w Hg, | ∀ ∈

| w u | v | |g, , u

1/2 g

kg| k 1/2 Agw g Hg, v ∈ Vg, w ∈ D(Ag), |gk kg| | | | ∀ ∈ ∈ ∈ c1| c2| c3| c4|

trong (cid:31)â ci, i = 1, . . . , 4, l ¡ h¬ng sè x¡ (cid:31)ành.

Bê (cid:31)· 1.3 ([12℄). Cho u

 

L2(0, T ; Vg). Khi (cid:31)â h m Cgu x¡ (cid:31)ành bði ∈

thuë khæng gian L2(0, T ; Hg), v do (cid:31)â ng thuë L2(0, T ; V ′

, u, v), v Vg, (Cgu(t), v)g = (( ∇ g )u, v)g = bg( ∇ g g g · ∇ ∀ ∈

g ). Hìn núa,

u(t) (0, T ), |∇ |∞ Cgu(t) kg, vîi h.k. t · k | |g ≤ ∈ g m0

1.3. Mët sè k¸t qu£ v· gi£i t½ h ng¨u nhi¶n

Trong mö n y, hóng ta nh l¤i mët sè k¸t qu£ v· l½ thuy¸t x¡ su§t, huyºn

(cid:31)ëng Brown hay qu¡ tr¼nh Wiener v t½ h ph¥n ng¨u nhi¶n s³ (cid:31)÷ñ sû döng

trong luªn ¡n. Mö n y tr¼nh b y düa tr¶n ¡ t i li»u [31, 32℄.

1.3.1. Chuyºn (cid:31)ëng Brown trong khæng gian Hilbert

(0, T ). u(t) Cgu(t) k k∗ ≤ ∈ kg, vîi h.k. t · k g |∞ |∇ m0η1/2 1

(cid:31)÷ñ gåi l (cid:31)ë (cid:31)o x¡ su§t ).

(cid:30)u ti¶n, ta nh l¤i (cid:31)ành ngh¾a huyºn (cid:31)ëng Brown hay qu¡ tr¼nh Wiener

mët hi·u Wt nh÷ sau.

F , P) l khæng gian x¡ su§t, vîi khæng gian m¨u Ω, σ -(cid:31)¤i sè F bao Cho (Ω, gçm ¡ tªp on õa Ω ( ng (cid:31)÷ñ gåi l ¡ bi¸n è ), v x¡ su§t P ( ng

(cid:30)ành ngh¾a 1.5. [32, tr. 24℄ Chuyºn (cid:31)ëng Brown hay qu¡ tr¼nh Wiener mët

hi·u Wt l mët qu¡ tr¼nh ng¨u nhi¶n Gauss tr¶n khæng gian x¡ su§t (Ω,

Tù l , {

, P). F

Wt} thäa m¢n ¡ (cid:31)i·u ki»n sau (cid:31)¥y:

i) W0 = 0 h. . ,

ii) W â quÿ (cid:31)¤o li¶n tö , h. . ,

iii) W â sè gia (cid:31)ë lªp,

B¥y gií ta (cid:31)ành ngh¾a huyºn (cid:31)ëng Brown hay qu¡ tr¼nh Wiener trong

khæng gian Hilbert.

(0, t s), 0 s < t < . iv) Wt − Ws ∼ N − ≤ ∞

Cho khæng gian Hilbert thü t¡ h (cid:31)÷ñ K , vîi hu©n k

hi»u B

u, u u kK = h i . K½ (K) l σ -(cid:31)¤i sè Borel õa K , tù l , σ -(cid:31)¤i sè nhä nh§t hùa t§t £ ¡ p

h¼nh u mð. Méi phn tû õa B

Mët bi¸n ng¨u nhi¶n trong khæng gian Hilbert K (tù l , nhªn gi¡ trà trong

(K) gåi l mët tªp Borel trong K .

K ) l mët ¡nh x¤ (cid:31)o (cid:31)÷ñ Borel

tù l , vîi méi tªp Borel A trong K , ta â X −1(

X : Ω K, →

T÷ìng tü nh÷ ¡ bi¸n ng¨u nhi¶n nhªn gi¡ trà thü , k¼ vång to¡n õa X

(cid:31)÷ñ (cid:31)ành ngh¾a d÷îi d¤ng t½ h ph¥n vîi bi¸n (cid:31)ë (cid:31)o x¡ su§t

) = ω Ω : X(ω) . A { ∈ ∈ A} ∈ F

E(X) = X(ω)dP(ω).

(cid:30)ành ngh¾a 1.6. [32, tr. 34℄ Bi¸n ng¨u nhi¶n X : Ω

ZΩ Ta (cid:31)ành ngh¾a bi¸n ng¨u nhi¶n Gauss trong khæng gian Hilbert K .

Hilbert K gåi l bi¸n ng¨u nhi¶n Gauss n¸u vîi méi a

væ h÷îng h

K trong khæng gian → K , bi¸n ng¨u nhi¶n ∈ X, a i l bi¸n ng¨u nhi¶n Gauss væ h÷îng.

N¸u X l bi¸n ng¨u nhi¶n Gauss l§y gi¡ trà trong khæng gian Hilbert K ,

th¼ tçn t¤i ve tì m trong K v to¡n tû (cid:31)èi xùng x¡ (cid:31)ành d÷ìng Q : K

sao ho vîi måi a, b

K → K , ∈

i) E X, a = m, a , i

Ta gåi m l ve tì trung b¼nh v Q l to¡n tû hi»p ph÷ìng sai õa X . Bi¸n

ng¨u nhi¶n Gauss X , vîi ve tì trung b¼nh m v to¡n tû hi»p ph÷ìng sai Q,

(cid:31)÷ñ k½ hi»u bði X

h ii) E( X h m, a i X ) = . h − ih m, b i − Qa, b i h

B¥y gií ta (cid:31)ành ngh¾a huyºn (cid:31)ëng Brown hay qu¡ tr¼nh Wiener trong

(m, Q). ∼ N

khæng gian Hilbert K . Ta x²t to¡n tû tuy¸n t½nh x¡ (cid:31)ành d÷ìng, (cid:31)èi xùng ∞, ta nâi Q l to¡n tû â v¸t húu h¤n. Khi

(cid:31)â, tçn t¤i mët ì sð trü hu©n t¤o th nh bði ¡ ve tì ri¶ng õa Q

Q trong K . N¸u v¸t tr(Q) < +

∞ n=1

trong K v mët d¢y ¡ sè thü khæng ¥m (gi¡ trà ri¶ng õa Q) λ′

en} {

n sao ho

Qen = λ′

nen, n = 1, 2, . . .

trong (cid:31)â

n <

∞ n=1 λ′

∞.

(cid:30)ành ngh¾a 1.7. [32, tr. 35℄ Qu¡ tr¼nh ng¨u nhi¶n W (t) nhªn gi¡ trà trong

(cid:31)i·u ki»n sau (cid:31)¥y thäa m¢n:

K , vîi t 0, gåi l qu¡ tr¼nh Wiener vîi to¡n tû hi»p ph÷ìng sai Q n¸u ¡ ≥

i) W (0) = 0 h. . ,

ii) W â quÿ (cid:31)¤o li¶n tö , h. . ,

iii) W â sè gia (cid:31)ë lªp,

(cid:30)æi khi, W (t) ng (cid:31)÷ñ gåi l qu¡ tr¼nh Q-Wiener.

Gi£ sû βn(t), n = 1, 2, . . . , l mët d¢y ¡ huyºn (cid:31)ëng Brown (cid:31)ë lªp mët

hi·u gi¡ trà thü tr¶n (Ω,

iv) W (t) W (s) (0, (t s)Q), 0 s < t < . − ∼ N − ≤ ∞

(0, t), n = 1, 2, . . . . Khi (cid:31)â, , P), tù l , βn(t) F ∼ N

mët qu¡ tr¼nh Q-Wiener W (t), t

0 nhªn gi¡ trà trong K â biºu di¹n d¤ng ≥

∞

(1.3)

W (t) = t 0, λ′ nβn(t)en, ≥

n=1 X

trong (cid:31)â

, h λ′ n > 0, W (t), eni λ′ n

1.3.2. T½ h ph¥n ng¨u nhi¶n trong khæng gian Hilbert

0, p λ′ n = 0.

Trong mö n y, ta (cid:31)÷a ra (cid:31)ành ngh¾a t½ h ph¥n ng¨u nhi¶n trong khæng gian

Hilbert

βn(t) =   

T

Φ(t, ω)dW (t),

trong (cid:31)â h m l§y t½ h ph¥n Φ(t, ω) th÷íng l to¡n tû tuy¸n t½nh

vîi U l khæng gian Hilbert v W (t) l huyºn (cid:31)ëng Brown nhªn gi¡ trà trong

khæng gian Hilbert K .

Tø biºu di¹n õa huyºn (cid:31)ëng Brown W trong (1.3), ta (cid:31)ành ngh¾a t½ h

ph¥n Ito

Φ : K U, →

T

Φ(t, ω)dW (t)

x¡ (cid:31)ành bði

T

∞

Φ(t, ω)dW (t) = Φ(t, ω)endβn(t), λ′ n

Z0 Z0

n=1 X

T

trong (cid:31)â méi sè h¤ng,

Eu lid R.

Φ(t, ω)endβn(t) l t½ h ph¥n Ito trong khæng gian

0 R

K½ hi»u L(K, Hg) l khæng gian gçm t§t £ ¡ to¡n tû tuy¸n t½nh bà h°n

tø K v o Hg . Ta s³ sû döng (cid:31)ành ngh¾a sau trong [31℄.

(cid:30)ành ngh¾a 1.8. To¡n tû µ : K

Hg gåi l to¡n tû Q-Hilbert-S hmidt n¸u →

∞

µ := tr(µQµ∗) = < ,

2 g

2 L0 2

k k λ′ nµen| | ∞ ( )

n=1 X

v k½ hi»u L0

p 2(K, Hg) l khæng gian gçm t§t £ ¡ to¡n tû Q-Hilbert-S hmidt

B¥y gií ho qu¡ tr¼nh Φ(t, ω), 0

µ : K Hg . →

t T , nhªn gi¡ trà trong L0

2(K, Hg),

≤

T

t½ h ph¥n ng¨u nhi¶n

≤ Φ(t, ω)dW (t) ng (cid:31)÷ñ x¡ (cid:31)ành n¸u

0 R

T

tr(Φ(t)QΦ(t)∗)dt <

E . Φ(t) dt = E

2 L0 2

∞ k

0 k

0

1.3.3. Mët sè k¸t qu£ trong l½ thuy¸t x¡ su§t

Trong phn n y, hóng ta nh l¤i mët sè k¸t qu£ ì b£n trong l½ thuy¸t x¡

su§t (cid:31)÷ñ dòng (cid:31)º hùng minh ¡ k¸t qu£ õa luªn ¡n.

Cho p

Z Z

(1, ) v Lp = Lp(Ω; K) l hå ¡ bi¸n ng¨u nhi¶n X vîi ∈ ∞ E X

p K <

k k ∞. Ta â b§t (cid:31)¯ng thù Cheby hev:

P ω : X(ω) c c−pE X (c > 0, X Lp).

p K ,

Cho {

¡ tªp {

{ k kK ≥ } ≤ k k ∈

Ak} l mët d¢y ¡ tªp trong F . (cid:30)ành ngh¾a giîi h¤n tr¶n õa d¢y Ak} bði

∞

Ta â bê (cid:31)· sau (cid:31)¥y.

Bê (cid:31)· 1.4. (Bê (cid:31)· Borel-Cantelli)([45 , Bê (cid:31)· 2.4, Ch÷ìng 1℄) N¸u {

Ai. Ak = lim sup k→∞ [i=k \k=1

Ak} ⊂ F

P(Ak) <

∞ i=1

∞, th¼

Tù l , tçn t¤i mët tªp Ω0 ∈ F vîi P(Ω0) = 1 v mët bi¸n ng¨u nhi¶n â gi¡ trà nguy¶n k0 sao ho vîi måi ω

P Ak) = 0. P(lim sup k→∞

Ak vîi k k0(ω). Ω0 , ta â ω / ∈ ∈ ≥

Bê (cid:31)· 1.5. (Bê (cid:31)· Burkholder-Davis-Gundy)([32, Bê (cid:31)· 3.24, Ch÷ìng 3℄) Cho

r 1 v Φ(t) L0 [0, T ], ta â ≥ ∈ ∈

s

2(K, Hg), t s

r

2r

E Φ(τ ) ds Φ(τ )dW (τ ) , 0 t T, CrE

2 L0 2

k k ≤ ≤ ≤ sup 0≤s≤t k

0 k

0

trong (cid:31)â

Z (cid:16) (cid:17) (cid:17) (cid:16) Z

2r2

D÷îi (cid:31)¥y ta nh l¤i kh¡i ni»m martingale trong [31, tr. 73℄.

2r . 1))r Cr = (r(2r 2r 1 − (cid:19) (cid:18) −

Cho E l mët khæng gian Hilbert t¡ h (cid:31)÷ñ , (Ω, x¡ su§t v I l mët kho£ng trong R. Mët hå tòy þ X =

ng¨u nhi¶n.

N¸u E

, P) l mët khæng gian F X(t) { }t∈I ¡ bi¸n ng¨u nhi¶n X(t) x¡ (cid:31)ành tr¶n Ω v nhªn gi¡ trà trong E gåi l mët qu¡ tr¼nh

Mët qu¡ tr¼nh ng¨u nhi¶n kh£ t½ h v t÷ìng th½ h X(t), t

trong E gåi l mët martingale n¸u

X(t) < I th¼ qu¡ tr¼nh ng¨u nhi¶n gåi l kh£ t½ h. k k ∞ vîi måi t ∈ I, nhªn gi¡ trà ∈

vîi måi t, s

E(X(t) h.c.c. |Fs) = X(s), P −

tr¶n t÷ìng (cid:31)÷ìng vîi

I, t s. Theo (cid:31)ành ngh¾a õa k¼ vång â (cid:31)i·u ki»n, (cid:31)¯ng thù ∈ ≥

1.4. Mët sè k¸t qu£ th÷íng dòng

1.4.1. Mët sè b§t (cid:31)¯ng thù th÷íng dòng

D÷îi (cid:31)¥y l mët sè b§t (cid:31)¯ng thù sì §p nh÷ng r§t quan trång v th÷íng

xuy¶n (cid:31)÷ñ sû döng trong luªn ¡n:

X(t)dP = X(s)dP, F t, s, t I. ∀ ∈ Fs, s ≤ ∈ ZF ZF

• B§t (cid:31)¯ng thù Cau hy : ab + . a2 2 b2 2 ≤

• B§t (cid:31)¯ng thù Cau hy vîi ǫ:

ǫa2 + ab , (ǫ > 0). b2 4ǫ ≤

+ = 1. Khi (cid:31)â 1 p 1 q • B§t (cid:31)¯ng thù Young : Cho 1 < p, q < ∞,

+ , (a, b > 0). ab ap p bq q ≤

• B§t (cid:31)¯ng thù Young vîi ǫ:

vîi C(ǫ) = (ǫp)−q/pq−1

ǫap + C(ǫ)bq, (a, b, ǫ > 0), ab ≤

+ = 1. Khi (cid:31)â n¸u p, q 1 p 1 q ≤ ≤ ∞, ) th¼ ta â Lp( ), v u • B§t (cid:31)¯ng thù H(cid:4)older : Gi£ sû 1 Lq( ∈ O O ∈

: Gi£ thi¸t 1

uv dx u v | kLp(O)k kLq (O). ≤ k ZO |

. Gi£ sû u

s r t ≤ ∞ 1 θ + = Ls( ) Lt( ≤ ). Khi (cid:31)â u ≤ Lr( ≤ ) v − t 1 r θ s • B§t (cid:31)¯ng thù nëi suy (cid:31)èi vîi hu©n Lp ∩ O ∈ O ∈ O

u u u

1−θ Lt(O).

k kLr (O) ≤ k k

θ Ls(O)k

• B§t (cid:31)¯ng thù Gronwall : Gi£ sû x(t) l mët h m li¶n tö tuy»t (cid:31)èi tr¶n [0, T ] v thäa m¢n

vîi hu kh p t,

trong (cid:31)â g(t) v h(t) l ¡ h m kh£ t½ h tr¶n [0, T ]. Khi (cid:31)â

g(t)x + h(t), dx dt ≤

t

x(t) x(0)eG(t) + eG(t)−G(s)h(s)ds, ≤

0

vîi 0

t T , ð (cid:31)â

t

≤ ≤ G(t) = g(r)dr.

0

Nâi ri¶ng, n¸u a v b l ¡ h¬ng sè v

th¼

ax + b, dx dt ≤

)eat . x(t) (x(0) + b a b a − ≤

• B§t (cid:31)¯ng thù Gronwall d¤ng t½ h ph¥n: Cho ξ(t) l mët h m kh£ t½ h, khæng ¥m tr¶n [0, T ] v thäa m¢n vîi hu kh p t b§t (cid:31)¯ng thù t½ h ph¥n

t

ξ(t) ξ(s)ds + C2, C1 ≤

0

vîi C1 , C2 l ¡ h¬ng sè khæng ¥m. Khi (cid:31)â

vîi hu kh p t, 0

ξ(t) C2(1 + C1teC1t) ≤

B§t (cid:31)¯ng thù t½ h ph¥n sau (cid:31)¥y l æng ö ì b£n (cid:31)º nghi¶n ùu t½nh ên

(cid:31)ành nghi»m õa h» ph÷ìng tr¼nh g -Navier-Stokes ng¨u nhi¶n hai hi·u â tr¹

trong Ch÷ìng 4.

Bê (cid:31)· 1.6 ([27℄). Cho h m u : [

t T . ≤ ≤

τ, + ) [0, + ) v gi£ sû γ, α1, α2 l ¡ ∞ ∞ →

− sè d÷ìng thäa m¢n α2 < γ . N¸u b§t (cid:31)¯ng thù sau (cid:31)¥y thäa m¢n

t

u(s + θ)ds, 0 t α1e−γt + α2

0 e−γ(t−s)

th¼ ta â

≥ sup θ∈[−τ,0] u(t) ≤ R t [ τ, 0], α1e−γt, ∈ −

  

trong (cid:31)â µ

u(t) τ, α1e−µt, t ≤ ≥ −

(0, γ) thäa m¢n ∈

α2 eµτ = 1. γ µ −

1.4.2. Mët sè bê (cid:31)· v (cid:31)ành l½ quan trång

Sau (cid:31)¥y ta s³ nh l¤i mët sè bê (cid:31)· v (cid:31)ành l½ quan trång (cid:31)÷ñ sû döng hùng

minh ¡ k¸t qu£ õa luªn ¡n.

Bê (cid:31)· 1.7 (Bê (cid:31)· Aubin-Lions). ([44℄) Cho Y0, Y v Y1 l ba khæng gian

Bana h vîi Y0 v Y1 l khæng gian ph£n x¤. Gi£ sû Y0 nhóng ompa t trong

Y v Y nhóng li¶n tö trong Y1 . Vîi 1 < p, q < ∞, ta (cid:31)°t

Khi (cid:31)â Z nhóng ompa t trong Lp(0, T ; Y ).

(cid:30)ành l½ 1.2 ((cid:30)ành l½ (cid:31)iºm b§t (cid:31)ëng Ty honoff). ([49℄) Gi£ sû V l mët khæng

gian ve tì tæpæ lçi (cid:31)àa ph÷ìng. Khi (cid:31)â, vîi måi tªp lçi ompa t khæng réng X

trong V , h m li¶n tö f : X

Z = u ˙u . Lp(0, T ; Y0) Lq(0, T ; Y1) { ∈ | ∈ }

(cid:30)ành l½ 1.3 ((cid:30)ành l½ (cid:31)iºm b§t (cid:31)ëng Brouwer). ([49℄) Gi£ sû u : B(0, 1) → B(0, 1) l h m li¶n tö , trong (cid:31)â B(0, 1) l h¼nh u (cid:31)âng (cid:31)ìn và trong Rn

Khi (cid:31)â u â (cid:31)iºm b§t (cid:31)ëng.

Bê (cid:31)· sau (cid:31)¥y l mët h» qu£ õa (cid:30)ành l½ 1.3 v th÷íng (cid:31)÷ñ sû döng khi

hùng minh sü tçn t¤i nghi»m døng õa ¡ ph÷ìng tr¼nh trong ì hå h§t

läng.

Bê (cid:31)· 1.8. ([59, Bê (cid:31)· 1.4, Ch÷ìng II℄) Gi£ sû Y l mët khæng gian Hilbert

húu h¤n hi·u vîi t½ h væ h÷îng [

X â (cid:31)iºm b§t (cid:31)ëng. →

, ] v hu©n [ ]. Gi£ sû ¡nh x¤ li¶n tö · · · R : Y Y thäa m¢n →

Khi (cid:31)â, tçn t¤i ξ

[R(ξ), ξ] > 0 vîi [ξ] = k > 0.

Y , [ξ] k, sao ho ∈ ≤

R(ξ) = 0.

Ch÷ìng 2

ÊN (cid:30)ÀNH HO(cid:129) H› NAVIER-STOKES-VOIGT BA CHI—U

Trong h÷ìng n y, hóng tæi x²t h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes-Voigt ba

hi·u trong mi·n trìn bà h°n vîi (cid:31)i·u ki»n bi¶n Diri hlet thun nh§t. Tr÷î

ti¶n, hóng tæi nghi¶n ùu (cid:31)i·u ki»n (cid:31)£m b£o t½nh duy nh§t v ên (cid:31)ành m

õa nghi»m døng m¤nh õa b i to¡n. Sau (cid:31)â hóng tæi h¿ ra r¬ng nghi»m

døng m¤nh khæng ên (cid:31)ành b§t k¼ õa h» â thº (cid:31)÷ñ ên (cid:31)ành hâa b¬ng ¡ h sû

döng mët (cid:31)i·u khiºn ph£n hçi â gi¡ (cid:31)õ lîn b¶n trong mi·n ho° mët nhi¹u

Ito nh¥n t½nh â ÷íng (cid:31)ë (cid:31)õ m¤nh.

Nëi dung õa h÷ìng n y düa tr¶n b i b¡o 3 trong Danh mö æng tr¼nh

khoa hå õa t¡ gi£ li¶n quan (cid:31)¸n luªn ¡n.

2.1. (cid:30)°t b i to¡n

vîi bi¶n trìn ∂

Cho O l mi·n bà h°n trong R3

tr¼nh Navier-Stokes-Voigt ba hi·u nh÷ sau:

O . Chóng ta x²t h» ph÷ìng

trong O ×

(2.1)

trong O × tr¶n ∂

R+, )u + p = f ν∆u α2∆ut + (u · ∇ ∇ ut − −  R+, u = 0

R+, ∇ · u(x, t) = 0

trong O

O × , u(x, 0) = u0(x)

trong (cid:31)â u = u(x, t) = (u1, u2, u3), p = p(x, t) t÷ìng ùng l h m ve tì vªn tè

v h m ¡p su§t n t¼m, ν > 0 l h» sè nhît, α l tham sè (cid:31)° tr÷ng ho (cid:31)ë

(cid:31) n hçi õa h§t läng, f = f (x) l h m ngo¤i lü v u0 l vªn tè ban (cid:31)u.

Sû döng ¡ to¡n tû A, B (cid:31)÷ñ (cid:31)ành ngh¾a trong Ch÷ìng 1, Mö 1.2.1, ta

 

â thº vi¸t b i to¡n (2.1) d÷îi d¤ng ph÷ìng tr¼nh to¡n tû nh÷ sau

+ νAu + B(u, u) = f + α2A

V.   du du dt dt u(0) = u0 ∈

Trong h÷ìng n y, hóng ta s³ nghi¶n ùu ¡ v§n (cid:31)· sau (cid:31)èi vîi b i to¡n

(2.1):

1) Thi¸t lªp (cid:31)i·u ki»n (cid:31)õ (cid:31)£m b£o t½nh duy nh§t v t½nh ên (cid:31)ành m õa

nghi»m døng m¤nh.

2) Ên (cid:31)ành hâa nghi»m døng m¤nh (khi nâ khæng ên (cid:31)ành) b¬ng ¡ h dòng

(cid:31)i·u khiºn ph£n hçi â gi¡ b¶n trong mi·n ho° dòng nhi¹u ng¨u nhi¶n

phò hñp.

2.2. T½nh duy nh§t v t½nh ên (cid:31)ành m õa nghi»m døng

Tr÷î ti¶n, ta (cid:31)ành ngh¾a nghi»m døng m¤nh õa b i to¡n (2.1).

(cid:30)ành ngh¾a 2.1. Gi£ sû f



ho tr÷î . H m u∗

l nghi»m døng m¤nh õa b i to¡n (2.1) n¸u

(2.2)

(L2( ))3 D(A) (cid:31)÷ñ gåi ∈ O ∈

(cid:30)ành l½ sau (cid:31)¥y l k¸t qu£ h½nh trong mö n y.

. Khi (cid:31)â

(cid:30)ành l½ 2.1. Gi£ sû f

νAu∗ + B(u∗, u∗) = f trong (L2( ))3. O

õa b i to¡n (2.1) thäa m¢n

a) Tçn t¤i ½t nh§t mët nghi»m døng m¤nh u∗

(2.3)

(L2( ))3 O ∈

b) Hìn núa, n¸u (cid:31)i·u ki»n sau (cid:31)¥y thäa m¢n

(2.4)

f . u∗ | k k ≤ 1 λ1/2 1 ν |

, ν2 > c0| f | λ3/4 1

trong (cid:31)â c0 l h¬ng sè nhä nh§t thäa m¢n b§t (cid:31)¯ng thù trong Bê (cid:31)· 1.1,

th¼ nghi»m døng m¤nh õa b i to¡n (2.1) l duy nh§t v ên (cid:31)ành m to n

ö .

Chùng minh. (i) Sü tçn t¤i. D¹ th§y r¬ng nghi»m døng m¤nh õa h» Navier-

Stokes-Voigt ng l nghi»m døng m¤nh õa h» Navier-Stokes t÷ìng ùng, do

l k¸t qu£ ê (cid:31)iºn v (cid:31)¢ bi¸t

(cid:31)â hùng minh sü tçn t¤i nghi»m døng m¤nh u∗

b¬ng ¡ h sû döng ph÷ìng ph¡p Galerkin (xem [28, 34, 59℄). (cid:31)¥y ta h¿

hùng minh (cid:31)¡nh gi¡ (2.3).

v hó þ r¬ng

L§y t½ h væ h÷îng trong H £ hai v¸ õa (2.2) vîi u∗

ta thu (cid:31)÷ñ

(B(u∗, u∗), u∗) = b(u∗, u∗, u∗) = 0,

ν u∗

2 = ν((u∗, u∗)) = (f, u∗)

V¼ vªy ta â (2.3).

(ii) T½nh duy nh§t v ên (cid:31)ành m. Gi£ sû u(

f u∗ f u∗ . k k ≤ | || | ≤ | |k k 1 λ1/2 1

, ta â

b i to¡n (2.1). (cid:30)°t w(t) = u(t)

) l nghi»m b§t k¼ õa · u∗ −

(w(t), v) + α2((w(t), v)) + ν((w(t), v)) + b(u(t), u(t), v) b(u∗, u∗, v) = 0, 1 2 d dt −

vîi måi h m thû v

(cid:3) (cid:2) V. Thay v bði w(t) v hó þ r¬ng ∈

ta â

b(u(t), u(t), w(t)) b(u∗, u∗, w(t)) = b(w(t), u∗, w(t)), −

(w(t), w(t)) + α2((w(t), w(t))) + 2ν w(t)

2 + 2b(w(t), u∗, w(t)) = 0.

d dt k k

Ta (cid:31)÷a v o sè h¤ng eλt

, trong (cid:31)â λ l sè d÷ìng è (cid:31)ành (cid:31)÷ñ hån sau. Bði Bê

(cid:31)· 1.1, ta â

(cid:3) (cid:2)

2

eλt w(t)

2 + α2

w(t) d dt | k k (cid:16) | (cid:16) (cid:17)(cid:17)

2

= eλt λ( w(t)

2 + α2

w(t)

2)

2ν w(t) 2b(w(t), u∗, w(t)) k k − k k | | h i

2

u∗ w(t) eλt λ( w(t)

2 + α2

w(t)

2)

2ν w(t) − 2 + k kk k ≤ k k − k k | | 2c0 λ1/4 1 i h

2

eλt u∗ w(t) + λα2 2ν + ≤ k k k k − λ λ1 h

eλt + λα2 2ν + i w(t)

2,

ð (cid:31)¥y ta sû döng (cid:31)¡nh gi¡ (2.3) ho nghi»m døng u∗

N¸u (cid:31)i·u ki»n (2.4) thäa m¢n, th¼ ta â thº hån λ > 0 (cid:31)õ nhä sao ho

≤ − k k λ λ1 2c0 λ1/4 1 2c0| f | λ3/4 1 ν h i

v ta thu (cid:31)÷ñ

< 0, + λα2 2ν + − λ λ1 2c0| f | λ3/4 1 ν

2

eλt w(t)

2 + α2

Do (cid:31)â

w(t) 0. d dt | k k ≤ (cid:16) | (cid:16) (cid:17)(cid:17)

2

w(t)

2 + α2

w(t) e−λt w(0)

2 + α2

V¼ vªy, ta suy ra

(2.5)

w(0) , vîi måi t 0. | | k k ≤ | k ≥ k | (cid:17) (cid:16)

w(t) e−λt w(0)

2 α,

2 α ≤

v (cid:31)i·u n y hùng tä t½nh ên (cid:31)ành m õa nghi»m døng u∗

Gi£ sû v∗

l nghi»m døng m¤nh kh¡ õa b i to¡n (2.1). Ta th§y u(t) := v∗

. Khi (cid:31)â, ¡p

ng l nghi»m y¸u õa b i to¡n (2.1) vîi (cid:31)i·u ki»n ban (cid:31)u v∗

. (cid:30)i·u n y suy ra t½nh

döng (cid:31)¡nh gi¡ (2.5) vîi w = v∗

k k |k k

, ta suy ra u∗ = v∗

duy nh§t õa nghi»m døng m¤nh.

(cid:30)ành l½ (cid:31)÷ñ hùng minh.

Chó þ 2.1. (cid:30)ành l½ 2.1 ð tr¶n tr¼nh b y ¡ k¸t qu£ v· sü tçn t¤i, t½nh duy

nh§t v t½nh ên (cid:31)ành õa nghi»m døng m¤nh õa h» Navier-Stokes-Voigt.

Trong tr÷íng hñp nghi»m døng y¸u, ¡ k¸t qu£ t÷ìng ùng nhªn (cid:31)÷ñ trong

u∗ −

(cid:30)ành l½ 4.1 trong [5℄; xem th¶m (cid:30)ành l½ 4.1 v 4.2 trong [4℄ trong tr÷íng hñp

têng qu¡t hìn l â th¶m sè h¤ng hùa tr¹. Chó þ r¬ng (cid:31)º thu (cid:31)÷ñ ¡ k¸t

qu£ (cid:31)èi vîi nghi»m døng y¸u, ta h¿ n gi£ thi¸t y¸u hìn õa ngo¤i lü , ö

thº l f

2.3. Ên (cid:31)ành hâa nghi»m døng b¬ng (cid:31)i·u khiºn ph£n hçi â gi¡ b¶n trong

mi·n

l mët nghi»m døng m¤nh õa b i to¡n (2.1). Tø k¸t qu£ õa Mö

Gi£ sû u∗

2.2, ta th§y n¸u (cid:31)i·u ki»n (2.4) khæng thäa m¢n, th¼ nghi»m døng m¤nh õa

â thº khæng ên

b i to¡n (2.1) â thº khæng duy nh§t v do (cid:31)â nghi»m u∗

b¬ng ¡ h sû döng

(cid:31)ành. Trong mö n y, hóng ta s³ ên (cid:31)ành hâa nghi»m u∗

(cid:31)i·u khiºn ph£n hçi â gi¡ (cid:31)õ lîn b¶n trong mi·n.

Chóng ta x²t h» (cid:31)i·u khiºn Navier-Stokes-Voigt ba hi·u sau (cid:31)¥y:

V ′ ∈

trong O ×

(2.6)

R+, ν∆u )u + α2∆ut + (u p = 1ωh + f − · ∇ ∇  R+, u = 0

trong O × tr¶n ∂

∇ · u(x, t) = 0 R+,

trong O

O × , u(x, 0) = u0(x)

trong (cid:31)â 1ω l h m (cid:31)° tr÷ng õa mi·n on ω

v u0 ∈

ut −   ⊂ O vîi bi¶n trìn ∂ω , f ∈ V ho tr÷î , h = h(x, t) l h m (cid:31)i·u khiºn. (L2( ))3

døng m¤nh u∗

(2.6) (cid:31)¡nh gi¡ sau (cid:31)¥y thäa m¢n

O Ta nâi r¬ng h m (cid:31)i·u khiºn h L∞(0, + ; H) ên (cid:31)ành hâa m nghi»m ∈ ∞ n¸u tçn t¤i sè δ > 0 sao ho vîi méi nghi»m y¸u u õa b i to¡n

Ta (cid:31)°t

u(t) u∗ Ce−δt, t 0. k − k ≤ ∀ ≥

ω,

O\ u u = 0 . (C∞ 0 ( Oω = Vω = Oω))3 : ∈ ∇ ·

(cid:8) (cid:9)

, v Vω l bao (cid:31)âng õa Vω

K½ hi»u Hω l bao (cid:31)âng õa Vω trong (L2( trong (H 1 0 (

))3 O ))3 O

1(ω) l gi¡ trà

, vîi hu©n t÷ìng ùng | · |ω v k · kω . Gåi Aω l to¡n tû Stokes (cid:31)ành ngh¾a tr¶n Oω . Ta k½ hi»u λ∗

ri¶ng (cid:31)u ti¶n õa to¡n tû Aω :

3

ϕ2

2dx : ϕ

Vω,

i dx = 1

λ∗ 1(ω) = inf ϕi| ∈ ) ( ZOω

i=1 X

= inf ϕ .

i=1 ZOω |∇ X (Aωϕ, ϕ)ω :

2 ω = 1

(cid:31)¥y (

X²t (cid:31)i·u khiºn ph£n hçi d¤ng

(cid:8) (cid:9) , | )ω v | · |ω ln l÷ñt l t½ h væ h÷îng v hu©n trong Hω . · ·

v h» (cid:31)âng t÷ìng ùng

h = k(u u∗), k R+, − − ∈

trong O ×

(2.7)

ν∆u )u α2∆ut + (u ut − − · ∇  R+, + u∗) = f p + 1ωk(u ∇ −

R+, u = 0

trong O × tr¶n ∂

∇ · u(x, t) = 0 R+,

trong O

Ta n bê (cid:31)· sau.

O × . u(x, 0) = u0(x)

Bê (cid:31)· 2.1 ([15℄). Vîi méi ε > 0, tçn t¤i k0 = k0(ε) sao ho vîi måi k

 

k0 , ≥

(νλ∗

2,

ε) u u V. (νAu + kP (1ωu), u)

1(ω)

Ta bi¸t r¬ng (xem [28, tr. 50℄),

| | − ∀ ∈ ≥

b(u, v, w) γ u v w , vîi måi u (H β( ))3 V, w Vω, v Vω, | | ≤ |k ∈ | | | O ∩ ∈ ∈

= 3. Ta (cid:31)°t kH β trong (cid:31)â γ (cid:31)ë lªp vîi Oω v β > 5/2 n¸u dim O

Ta tr¼nh b y k¸t qu£ h½nh õa mö n y trong (cid:31)ành l½ sau (cid:31)¥y.

γ∗(u∗) := sup b(u, u∗, u) : u = 1 γ u∗ {| | | | } ≤ k kH α .

(cid:30)ành l½ 2.2. Gi£ sû u∗

k¼ õa (2.1) thäa m¢n

(H β( ))3, β > 5/2, l nghi»m døng m¤nh b§t V O ∈ ∩

νλ∗

1(ω) > γ∗(u∗).

Khi (cid:31)â, vîi méi u0 ∈ C([0, y¸u u

V v k k0 (cid:31)õ lîn nh÷ng (cid:31)ë lªp vîi u0 , tçn t¤i nghi»m ≥ ); V ) õa (2.7) thäa m¢n ∈ ∞

u(t) u∗ e−ηt u∗ t 0, k − kα ≤ u0 − k kα, ∀ ≥

u u u

2 + α2

2. 2 α :=

s³

vîi η > 0 n o (cid:31)â. (cid:31)¥y, k Nhªn x²t 2.1. i) Do (cid:30)ành l½ IX.5.2 trong [34℄, gi£ thi¸t u∗

k k k | |

. Khi (cid:31)â (cid:30)ành l½ 2.2 h¿ ra r¬ng

thäa m¢n n¸u ∂

v f

theo ¡ gi£ thi¸t tr¶n, â mët (cid:31)i·u khiºn ph£n hçi vîi gi¡ b¶n trong ω

s³ ên (cid:31)ành hâa m nghi»m døng m¤nh u∗

ii) Bði b§t (cid:31)¯ng thù Poin ar², ta â

(H β( ))3 ∈ O C β (H β−2( ))3 ∈ O O ∈ R+ ×

−2

dist(x, ∂

V¼ vªy λ∗

C ) . λ∗ 1(ω) ≥ O sup x∈Oω (cid:18) (cid:19)

¯ω

1(ω) â thº l m lîn tuý þ b¬ng ¡ h l§y mi·n h¼nh khuy¶n Oω =

â thº ên (cid:31)ành

(cid:31)õ mäng. Do (cid:31)â, tø (cid:30)ành l½ 2.2 nghi»m døng m¤nh b§t k¼ u∗ m n¸u Oω (cid:31)õ (cid:16)mäng(cid:17), tù l khi mi·n (cid:31)i·u khiºn ω (cid:31)õ lîn.

v vi¸t l¤i (2.7) d÷îi d¤ng

Chùng minh. (cid:30)°t z = u

O \

u∗ −

trong O ×

)z + (z )u∗ ν∆z α2∆zt + ((z + u∗) · ∇ · ∇ zt −  + R+, − p + 1ωkz = 0

∇ z = 0 R+,

trong O × tr¶n ∂

R+, ∇ · z(x, t) = 0

trong O

O × . u∗ z(0) = u0 −

 

H» n y t÷ìng (cid:31)÷ìng vîi

(2.8)

z′ + νAz + α2Az′ + B(z, z) + B0z + kP (1ωz) = 0,

z(0) = u(0) u∗ =: z0,   −

trong (cid:31)â P l ph²p hi¸u trü giao tø (L2(

l¶n H , v B0z x¡ (cid:31)ành bði

 ))3 O

(cid:30)º hùng minh (cid:31)ành l½, ta n h¿ ra sü tçn t¤i v ph¥n r¢ vîi tè (cid:31)ë m õa

nghi»m z(

V. (B0z, w) = b(u∗, z, w) + b(z, u∗, w), vîi måi w ∈

B÷î 1: Sü tçn t¤i õa z .

). ·

∞ j=1 l ì sð õa D(A) gçm

Ta s³ sû döng ph÷ìng ph¡p Galerkin. Gåi {

¡ ve tì ri¶ng õa to¡n tû Stokes A. (cid:30)u ti¶n, ta sû döng x§p x¿ Galerkin n

wj}

n

hi·u zn =

znj(t)wj. Ph÷ìng tr¼nh ho zn nh÷ sau

j=1 P

n + νAzn + α2Az′ z′

n + B(zn, zn) + B0zn + kP (1ωzn) = 0,

(2.9)

zn(0) = Pnz0.  

B¥y gií, l§y t½ h væ h÷îng õa ph÷ìng tr¼nh (cid:31)u ti¶n trong (2.9) vîi zn ta thu

(cid:31)÷ñ



(z′

n, zn) + ν(Azn, zn) + k(P (1ωzn), zn) + α2(Az′

n, zn) + (B0zn, zn) = 0,

ð (cid:31)¥y ta sû döng k¸t qu£ h

= b(zn, zn, zn) = 0. Do (cid:31)â B(zn, zn), zni

2 +

2 + ((ν

ε)Azn + kP (1ωzn), zn) 1 2 α2 2 d dt | zn| d dt k znk

2 + ε k

znk −

hay

+ b (u∗, zn, zn) + b (zn, u∗, zn) = 0,

2 +

2 + ((ν

ε)Azn + kP (1ωzn), zn) = b (zn, zn, u∗) , 1 2 α2 2 d dt | zn| d dt k znk

2 + ε k

znk −

do b (u∗, zn, zn) = 0 v −

(cid:129)p döng Bê (cid:31)· 2.1, ta â

b (zn, u∗, zn) = b (zn, zn, u∗).

2 2 +

2 + ((ν

ε)λ∗ ε) 1 2 α2 2 d dt | zn| d dt k znk

2 + ε k

znk − zn| |

1 −

(2.10)

L§y t½ h ph¥n hai v¸ tø 0 (cid:31)¸n t, t

b (zn, zn, u∗) . ≤

[0, T ], T > 0 b§t k¼, ta thu (cid:31)÷ñ ∈

t

2ds

2 + α2

2 + 2ε

2ds + 2

(ν ε)λ∗ ε zn(s) zn(t) zn(t) zn(s) | | k k | k

1 −

−

0 |

0 k

t

(cid:1)

2 2 + α2

Z b (zn(s), zn(s), u∗) ds + zn(0) (cid:0) zn(0) ≤ | | k k

0 t

2γ∗(u∗)

2ds +

z(0)

2 + α2

z(0)

2.

zn(s) ≤ | k | | k

0 | Z

V¼ vªy, vîi måi t

[0, T ], ∈

t

2 + α2

2 + 2ε

2ds

zn(t) zn(t) zn(s) | | k k k

0 k

T

2

+ 2 (νλ∗ γ∗(u∗) ελ∗ ε)

2ds

z(0)

2 + α2

z(0) zn(s)

1 −

− | ≤ | | k k |

0

vîi ε > 0 (cid:31)÷ñ hån (cid:31)õ nhä sao ho

νλ∗ γ∗(u∗) ελ∗ ε > 0.

1 −

−

1 − zn} bà h°n trong L∞(0, T ; V ). Do (cid:31)â, d¹ th§y {

(cid:30)i·u n y suy ra { B(zn, zn)

Azn} v

{

} bà h°n trong L2(0, T ; V ′). Do (I + α2A) = B(zn, zn) kP (1ωzn), dzn dt νAzn − − B0zn − −

(I + α2A) dzn

dzn dt } bà h°n trong

dt } bà h°n trong L2(0, T ; V ′), tù l , {

suy ra { L2(0, T ; V ).

Tø ¡ (cid:31)¡nh gi¡ tr¶n, sû döng bê (cid:31)· ompa t Aubin-Lions v lªp luªn

t÷ìng tü trong [7℄, ta â thº tr½ h ra mët d¢y on õa { zn}, thäa m¢n

zn}, v¨n k½ hi»u l

{

zn ⇀∗ z trong L∞(0, T ; V ),

z trong L2(0, T ; H),

dzn dt

zn → dz dt trong L2(0, T ; V ), ⇀ B(zn, zn) ⇀ B(z, z) trong L2(0, T ; V ′),

Do (cid:31)â, ta â

B0zn ⇀ B0z trong L2(0, T ; V ′).

+ νAz + α2Az′ + B(z, z) + B0z + kP (1ωz) = 0 trong L2(0, T ; V ′). (2.11) dz dt

(cid:30)º hùng minh z(0) = z0 , ta hån h m thû ϕ

L§y t½ h væ h÷îng õa (2.11) vîi ϕ v t½ h ph¥n tøng phn theo t, ta thu (cid:31)÷ñ

C 1([0, T ] ; V ) vîi ϕ(T ) = 0. ∈

T

((z(t), ϕ′(t))) dt ((z(t), ϕ(t))) dt + α2 (z(t), ϕ′(t)) dt + ν − Z0 Z0 T Z0 T

T

b (z(t), u∗, ϕ(t)) dt + k b (z(t), z(t), ϕ(t)) dt + + (P (1ωz(t)), ϕ(t)) dt

(2.12)

Z0 Z0 Z0

Thü hi»n t÷ìng tü vîi d¢y nghi»m x§p x¿ Galerkin, ta â

= (z(0), ϕ(0)) + α2 ((z(0), ϕ(0))) .

T

((zn(t), ϕ′(t))) dt ((zn(t), ϕ(t))) dt + α2 (zn(t), ϕ′(t)) dt + ν − Z0 Z0 T Z0 T

T

+ (P (1ωzn(t)), ϕ(t)) dt b (zn(t), u∗, ϕ(t)) dt + k b (zn(t), zn(t), ϕ(t)) dt +

Z0 Z0 Z0

Qua giîi h¤n khi n

= (zn(0), ϕ(0)) + α2 ((zn(0), ϕ(0))) .

→ ∞, ta (cid:31)÷ñ

T

((z(t), ϕ′(t))) dt ((z(t), ϕ(t))) dt + α2 (z(t), ϕ′(t)) dt + ν − Z0 Z0 T Z0 T

T

b (z(t), u∗, ϕ(t)) dt + k b (z(t), z(t), ϕ(t)) dt + + (P (1ωz(t)), ϕ(t)) dt

Z0 Z0 Z0

(2.13)

= (z0, ϕ(0)) + α2 ((z0, ϕ(0))) ,

do zn(0) = Pnz0 →

Tø (2.12) v (2.13) suy ra

z0 .

tù l ,

(z(0), ϕ(0)) + α2 ((z(0), ϕ(0))) = (z0, ϕ(0)) + α2 ((z0, ϕ(0))) ,

Do (cid:31)â, z(0) = z0 v (cid:31)i·u n y suy ra z l nghi»m y¸u õa (2.8).

B÷î 2: Sü ph¥n r¢ m õa z .

Lªp luªn t÷ìng tü nh÷ khi thi¸t lªp (2.10), ta (cid:31)÷ñ

((z(0), ϕ(0)))α = ((z0, ϕ(0)))α.

2

z(t)

2 +

z(t) z(t)

2 + ((ν

ε)λ∗ ε) z(t) d dt | | d dt k k −

1 −

| |

α2 1 2 2 b (z(t), z(t), u∗) k γ∗(u∗)

2 + ε k 2.

Do (cid:31)â

z(t) | | ≤ ≤

2

z(t)

2 + α2

z(t) 2 (νλ∗ γ∗(u∗) ελ∗ ε) z(t) z(t) d dt | k | | − 2ε k k

1 −

k ≤ − − | (cid:16) (cid:17)

1 − 2

2η z(t)

2 + α2

z(t) , ≤ − k k | | (cid:16) γ∗(u∗) ελ∗ ε v (cid:17) trong (cid:31)â η > 0 (cid:31)÷ñ hån (cid:31)õ nhä sao ho η < νλ∗ 1 −

1 −

− ηα2 < ε. Tø (cid:31)¥y ta thu (cid:31)÷ñ

2

z(t)

2 + α2

z(t) e−2ηt( z(0)

2 + α2

z(0)

2),

(cid:30)ành l½ (cid:31)÷ñ hùng minh.

2.4. Ên (cid:31)ành hâa nghi»m døng b¬ng nhi¹u Ito nh¥n t½nh

Trong mö n y, ta s³ hùng minh k¸t qu£ ên (cid:31)ành hâa nghi»m døng m¤nh khi

ta th¶m mët nhi¹u Ito nh¥n t½nh phò hñp v o h» t§t (cid:31)ành Navier-Stokes-Voigt

t > 0. | | k k ≤ | | k k ∀

ba hi·u. Cö thº hìn, ta x²t h» Navier-Stokes-Voigt ng¨u nhi¶n ba hi·u sau

(cid:31)¥y

trong O ×

(2.14)

d(u α2∆u) + [ ν∆u + (u p]dt )u + − · ∇  − = f dt + σ(I ∇ α2∆)(u R+, u∗)dWt − −

R+, u = 0

trong O × tr¶n ∂

∇ · u(x, t) = 0 R+,

trong O

O × , u(x, 0) = u0(x)

trong (cid:31)â σ > 0, Wt : Ω

õa b i to¡n (2.1) ng l nghi»m õa b i to¡n â

nhi¹u (2.14).

l nghi»m døng m¤nh õa

N¸u u(x, t) l nghi»m õa b i to¡n (2.14) v u∗

, ta â

b i to¡n (2.1) thu (cid:31)÷ñ trong Mö 2.2, th¼ (cid:31)°t φ(x, t) = u(x, t)

R, l qu¡ tr¼nh Wiener mët hi·u. D¹ th§y R, t   ∈ → r¬ng nghi»m døng m¤nh u∗

u∗ −

trong O ×

(2.15)

d(φ α2∆φ) + [ ν∆φ + (u )u (u∗ )u∗]dt − · ∇  R+, − = σ(I · ∇ − α2∆)φdWt −

φ = 0 R+,

trong O × tr¶n ∂

R+, ∇ · φ(x, t) = 0

trong O

hay ð d¤ng t÷ìng (cid:31)÷ìng

u∗(x) O × , φ(x, 0) = u0(x) −

 

(2.16)

d(φ + α2Aφ) + [νAφ + B(u, u) B(u∗, u∗)]dt = σ(I + α2A)φdWt −

v o hai v¸ õa ph÷ìng tr¼nh (cid:31)u ti¶n trong

u∗.  

(2.16) ta nhªn (cid:31)÷ñ

φ(0) = u0 −  T¡ (cid:31)ëng to¡n tû (I + α2A)−1

dφ + (I + α2A)−1[νAφ + B(u, u) B(u∗, u∗)]dt = σφdWt −

u∗.   φ(0) = u0 −



(cid:30)i·u n y d¹ th§y nh§t b¬ng ¡ h x²t ph÷ìng tr¼nh Stratonovi h t÷ìng (cid:31)÷ìng

ð (cid:31)¥y sü ên (cid:31)ành tuy¸n t½nh rã r ng (cid:31)¢ (cid:31)÷ñ t«ng ÷íng bði sè h¤ng mîi

dφ + (I + α2A)−1[νAφ + B(u, u) B(u∗, u∗)]dt + σ2φdt = σφ dWt, 1 2 − ◦

, ta thu (cid:31)÷ñ mët hå ¡ ph÷ìng tr¼nh khæng æ-tæ-næm

(cid:30)êi bi¸n v = φe−σWt(ω)

vîi tham sè ω :

σ2φ. 1 2

hay t÷ìng (cid:31)÷ìng

σ2vdt = 0, dv + (I + α2A)−1[νAv + e−σWt(ω)(B(u, u) B(u∗, u∗))]dt + 1 2 −

(2.17)

d(v + α2Av)+[νAv + e−σWt(ω)(B(u, u) B(u∗, u∗))]dt −

(cid:30)ành l½ 2.3. N¸u

+ σ2(v + α2Av)dt = 0. 1 2

(2.18)

trong (cid:31)â c0 l h¬ng sè nhä nh§t thäa m¢n b§t (cid:31)¯ng thù trong Bê (cid:31)· 1.1, th¼

õa b i to¡n (2.14) ên (cid:31)ành m to n ö . Tù l , tçn t¤i N

σ2α2 , ν > f + λ−3/4 1 σ2α2 4 4 − c0| | r

nghi»m u∗ vîi P(N ) = 0, sao ho vîi ω / ∈

to¡n (2.14), (cid:31)¡nh gi¡ sau (cid:31)¥y thäa m¢n

Ω ⊂ N â T (ω) (cid:31)º vîi nghi»m b§t k¼ u(t) õa b i

u(t) u∗ u(0) u∗ t T (ω),

αe−ℓt, 2

2 α ≤ k

vîi ℓ > 0 n o (cid:31)â.

Chùng minh. Nh¥n ph÷ìng tr¼nh (2.17) vîi v , ta thu (cid:31)÷ñ

k − − k ∀ ≥

( v

2 + α2

2) + ν

2+

σ2( v

2 + α2

v v

2)

(2.19)

v 1 2 d dt 1 2 | | k k | | k k k

Chó þ r¬ng

k b(u∗, u∗, φ)]e−2σWt = 0. + [b(u, u, φ) −

b(u, u, φ) b(u∗, u∗, φ) = b(φ, u∗, φ), −

v sû döng Bê (cid:31)· 1.1, ta â

(2.20)

f v

2,

b(φ, u∗, φ) e−2σWt u∗

2e−2σWt

. Sû döng (2.19) v

ð (cid:31)¥y ta sû döng (cid:31)¡nh gi¡ (2.3) ho nghi»m døng m¤nh u∗

(2.20), ta d¨n (cid:31)¸n

c0λ−1/4 1 |k k | | k φ k kk ≤ ≤ c0 λ3/4 1 ν |

2

( v

2 + α2

2) + 2(ν +

σ2α2 v f ) v 0. d dt 1 2 | | k k − | k k ≤ c0 λ3/4 1 ν |

2

Chó þ r¬ng

v sû döng (2.18), d¹ th§y

( v

2 + α2

2)

v v | | k k ≤ k k λ1 1 + α2λ1

2 + α2

2) + 2ℓ(

2 + α2

2)

v 0, ( v k k | | k k ≤ | |

trong (cid:31)â ℓ :=

(ν + σ2α2 ) > 0 do (cid:31)i·u ki»n (2.18). Do (cid:31)â f 1 2 − | d dt λ1 1 + α2λ1

u(t) u∗ c0 λ3/4 1 ν | u∗ u(0)

αe2σWte−2ℓt. 2

2 α ≤ k

Do P-hu h h n

k − − k

tçn t¤i N

= 0, lim t→+∞ Wt t

ên (cid:31)ành

V¼ vªy d¹ th§y r¬ng n¸u (cid:31)i·u ki»n (2.18) thäa m¢n th¼ nghi»m u∗

Nhªn x²t 2.2. Trong tr÷íng hñp t§t (cid:31)ành, nh÷ (cid:31)¢ th§y trong (cid:30)ành l½ 2.1,

nghi»m døng m¤nh u∗

â thº khæng ên (cid:31)ành vîi ν

N â T (ω) sao ho vîi måi Ω vîi P(N ) = 0, sao ho vîi ω / ∈ ⊂ T (ω), t ≥ 2σWt ℓ. t ≤

nhi¹u Ito nh¥n t½nh ên (cid:31)ành hâa nghi»m døng m¤nh u∗

f c0λ−3/4 1 ≤ |. Nh÷ vªy, q | vîi ν trong kho£ng

ng d i. Hìn núa, vîi b§t

k¼ ν > 0 ho tr÷î , ta luæn â thº hån gi¡ trà õa σ sao ho (2.18) thäa m¢n,

l ên (cid:31)ành (cid:31)èi vîi ph÷ìng tr¼nh (2.15).

tù l , nghi»m u∗

σ2α2 , . + f f λ−3/4 1 λ−3/4 1 σ2α2 4 4 − c0| | c0| | r i (cid:16) q Tham sè σ ng lîn, mi·n ên (cid:31)ành õa nghi»m u∗

Ta ng l÷u þ r¬ng vi» ëng th¶m nhi¹u Ito nh¥n t½nh phi tuy¸n ng â

thº â hi»u qu£ ên (cid:31)ành hâa (xem [23℄). Tuy nhi¶n, mö (cid:31)½ h õa hóng ta ð

(cid:31)¥y l hùng minh r¬ng sü ên (cid:31)ành hâa â thº (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ b¬ng ¡ h sû döng

mët nhi¹u Ito nh¥n t½nh r§t (cid:31)ìn gi£n, ö thº l nhi¹u tuy¸n t½nh.

K˜T LUŠN CH×ÌNG 2

Trong h÷ìng n y, hóng tæi (cid:31)¢ nghi¶n ùu h» Navier-Stokes-Voigt ba hi·u

trong mi·n bà h°n. C¡ k¸t qu£ (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ bao gçm:

1) Thi¸t lªp (cid:31)÷ñ (cid:31)i·u ki»n (cid:31)õ (cid:31)£m b£o t½nh duy nh§t v ên (cid:31)ành m õa

nghi»m døng m¤nh ((cid:30)ành l½ 2.1).

2) Chùng minh (cid:31)÷ñ (cid:31)i·u ki»n ên (cid:31)ành hâa nghi»m døng m¤nh b¬ng (cid:31)i·u

khiºn ph£n hçi â gi¡ (cid:31)õ lîn b¶n trong mi·n ((cid:30)ành l½ 2.2) ho° b¬ng

nhi¹u ng¨u nhi¶n Ito nh¥n t½nh â ÷íng (cid:31)ë (cid:31)õ m¤nh ((cid:30)ành l½ 2.3).

Ch÷ìng 3

ÊN (cid:30)ÀNH HO(cid:129) H› g-NAVIER-STOKES HAI CHI—U

Chóng tæi x²t h» ph÷ìng tr¼nh g -Navier-Stokes trong mi·n hai hi·u bà

h°n O vîi bi¶n trìn. (cid:30)u ti¶n, hóng tæi nghi¶n ùu sü tçn t¤i v t½nh ên

(cid:31)ành m õa nghi»m døng m¤nh d÷îi mët sè (cid:31)i·u ki»n nh§t (cid:31)ành. Ti¸p theo,

hóng tæi hùng minh r¬ng nghi»m døng m¤nh khæng ên (cid:31)ành b§t k¼ â thº

(cid:31)÷ñ ên (cid:31)ành hâa b¬ng (cid:31)i·u khiºn ph£n hçi â gi¡ b¶n trong mët tªp on mð

hi·u, trong (cid:31)â (cid:31)i·u khiºn ph£n hçi (cid:31)÷ñ thi¸t k¸ düa tr¶n sè l÷ñng húu h¤n

¡ tham sè x¡ (cid:31)ành, h¯ng h¤n ¡ mode Fourier x¡ (cid:31)ành ho° ¡ phn tû

thº t½ h x¡ (cid:31)ành. Cuèi òng, hóng tæi ên (cid:31)ành hâa d¡ng (cid:31)i»u ti»m ªn õa

nghi»m b¬ng ngo¤i lü dao (cid:31)ëng nhanh theo bi¸n thíi gian b¬ng ¡ h h¿ ra

trong tr÷íng hñp n y tçn t¤i duy nh§t mët nghi»m tun ho n theo thíi gian

v måi nghi»m õa h» ti¸n dn tîi nghi»m tun ho n n y khi thíi gian ti¸n ra

væ òng.

Nëi dung õa h÷ìng n y düa tr¶n ¡ b i b¡o 1 v 4 trong Danh mö æng

tr¼nh khoa hå õa t¡ gi£ li¶n quan (cid:31)¸n luªn ¡n.

3.1. (cid:30)°t b i to¡n

vîi bi¶n trìn ∂

Cho O l mi·n bà h°n trong R2

ω ω (cid:31)õ (cid:16)mäng(cid:17) ho° b¬ng mët (cid:31)i·u khiºn ph£n hçi húu h¤n ⊂ O thäa m¢n O\

Stokes hai hi·u sau:

O . Chóng ta x²t h» g -Navier-

trong O ×

(3.1)

ν∆u + (u )u + p = f R+, ∂u ∂t − · ∇ ∇  R+, (gu) = 0

trong O × tr¶n ∂

∇ · u(x, t) = 0 R+,

trong O

O × , u(x, 0) = u0(x),

 

trong (cid:31)â u = u(x, t) = (u1, u2), p = p(x, t) t÷ìng ùng l h m ve tì vªn tè v

h m ¡p su§t n t¼m, ν > 0 l h» sè nhît, u0 l vªn tè ban (cid:31)u.

Trong h÷ìng n y, hóng ta s³ nghi¶n ùu v§n (cid:31)· ên (cid:31)ành v ên (cid:31)ành hâa

õa nghi»m døng m¤nh õa (3.1). (cid:30)º l m (cid:31)i·u n y, ta gi£ sû h m g thäa m¢n

gi£ thi¸t sau:

(G1) g W 1,∞( ) thäa m¢n ∈ O

g(x) g , M0 vîi måi x = (x1, x2)

1

trong (cid:31)â η1 > 0 l gi¡ trà ri¶ng (cid:31)u ti¶n õa to¡n tû g -Stokes trong O (tù l to¡n tû Ag (cid:31)÷ñ (cid:31)ành ngh¾a trong Ch÷ìng 1, Mö 1.2.2).

Sû döng ¡ to¡n tû Ag, Bg, Cg (cid:31)÷ñ (cid:31)ành ngh¾a trong Ch÷ìng 1, Mö

1.2.2, ta â thº vi¸t b i to¡n (3.1) d÷îi d¤ng sau

0 < m0≤ ≤ , v |∇ |∞ < m0η1/2 ∈ O

+ νAgu + νCgu + Bg(u, u) = f

Hg.   du dt u(0) = u0 ∈

D÷îi ¡ (cid:31)i·u ki»n phò hñp õa ngo¤i lü f , hóng tæi s³ nghi¶n ùu ¡

v§n (cid:31)· sau (cid:31)èi vîi b i to¡n (3.1):



• Sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t v t½nh ên (cid:31)ành m õa nghi»m døng m¤nh.

trong mi·n v b¬ng (cid:31)i·u khiºn ph£n hçi húu h¤n hi·u.

• Ên (cid:31)ành hâa nghi»m døng m¤nh b¬ng (cid:31)i·u khiºn ph£n hçi â gi¡ b¶n

nhanh theo bi¸n thíi gian.

3.2. Sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t v t½nh ên (cid:31)ành m õa nghi»m døng

Tr÷î ti¶n, ta (cid:31)ành ngh¾a nghi»m døng m¤nh õa b i to¡n (3.1).

• Ên (cid:31)ành hâa d¡ng (cid:31)i»u ti»m ªn õa nghi»m b¬ng ngo¤i lü dao (cid:31)ëng

(cid:30)ành ngh¾a 3.1. Gi£ sû ngo¤i lü f

õa b i to¡n (3.1) l phn tû u∗

L2(Ω, g) ho tr÷î . Nghi»m døng m¤nh ∈

D(Ag) thäa m¢n ∈

B¥y gií ta tr¼nh b y k¸t qu£ v· sü tçn t¤i duy nh§t v t½nh ên (cid:31)ành m

õa nghi»m døng m¤nh (cid:31)èi vîi b i to¡n (3.1). (cid:30)ành l½ d÷îi (cid:31)¥y l mët £i ti¸n

nhä õa k¸t qu£ tr÷î (cid:31)â trong [51℄, theo ngh¾a l (cid:31)i·u ki»n õa ngo¤i lü nhµ

hìn mët hót (f

, g). νAgu∗ + νCgu∗ + Bg(u∗, u∗) = f trong L2( O

minh (cid:31)çng thíi t½nh duy nh§t v t½nh ên (cid:31)ành, thay v¼ hùng minh ri¶ng r³

hai k¸t qu£ n y nh÷ ð trong [51℄).

(cid:30)ành l½ 3.1. N¸u f

, g) thay ho f L2( Hg ) v hùng minh gån hìn ( hùng ∈ O ∈

thäa m¢n

m¤nh u∗

, g) th¼ b i to¡n (3.1) â ½t nh§t mët nghi»m døng L2( ∈ O

(3.2)

1 f u∗ |g. | k kg ≤ η1/2 1 ν

|∇g|∞ m0η1/2

−

1 (cid:19)

Hìn núa, n¸u (cid:31)i·u ki»n sau (cid:31)¥y thäa m¢n

1 (cid:18)

2

(3.3)

trong (cid:31)â c1 l h¬ng sè trong Bê (cid:31)· 1.2, th¼ nghi»m døng m¤nh õa b i to¡n

(3.1) l duy nh§t v ên (cid:31)ành m to n ö .

, ν2 1 > |g − f c1| η1 g |∞ |∇ m0η1/2 1 !

wj} Chùng minh. (i) Sü tçn t¤i. Gåi { ri¶ng õa to¡n tû g -Stokes Ag . Vîi méi m

∞ j=1 l ì sð õa D(Ag) gçm ¡ ve tì w1, ..., wm}

õa (3.1) bði

v ta (cid:31)ành ngh¾a nghi»m døng m¤nh x§p x¿ um

1, k½ hi»u Vm = span{ ≥

m

um = γmiwj,

j=1 X

thäa m¢n

(3.4)

v ν((um, v))g + ν(Cgum, v)g + bg(um, um, v) = (f, v)g, Vg. ∀ ∈

(cid:30)º hùng minh sü tçn t¤i õa um

, ta (cid:31)ành ngh¾a to¡n tû Rm : Vm →

(cid:31)ành bði

Vm x¡

Vîi måi u

u, v ((Rmu, v))g = ν Agu, v (f, v)g, Vm. h ig + ν(Cgu, v)g + bg(u, u, v) − ∀ ∈

Vm , ∈

((Rmu, u))g = ν Agu, u (f, u)g h

ν u f u

2 g

2 g −

k k ≥ kg − |gk | k k

f u u = ν 1 | |gk kg.

2 g −

V¼ vªy, n¸u ta l§y

k − ig + ν(Cgu, u)g − 1 ν g |∞ u |∇ m0η1/2 η1/2 1 1 1 η1/2 1 g |∞ |∇ m0η1/2 1 ! k

f β = , ) | η1/2 1 ν(1

0 vîi måi u u |g |∇g|∞ m0η1/2 − 1 Vm thäa m¢n || ∈

ta thu (cid:31)÷ñ ((Rmu, u))g ≥ theo Bê (cid:31)· 1.8, vîi méi m umkg ≤

trong (3.4), ta (cid:31)÷ñ

Thay v = um

||g = β . Do (cid:31)â, Vm sao ho Rm(um) = 0, vîi 1 tçn t¤i um ∈ ≥ β . k

Sû döng Bê (cid:31)· 1.3, ta â

ν((um, um))g + ν(Cgum, um)g = (f, um)g.

um f um ν um

2 g,

| |gk kg + k k k

2 g ≤

v¼ vªy

k 1 η1/2 1 g ν |∞ |∇ m0η1/2 1

(3.5)

1 um f k kg ≤ |g. ) | η1/2 1 ν(1

|∇g|∞ m0η1/2 1

trong (3.4) v sû döng ¡ Bê (cid:31)· 1.2 v 1.3, ta thu

Khi (cid:31)â, thay v = Agum

(cid:31)÷ñ

−

2

ν Agum bg(um, um, Agum) |

g =(f, Agum)g −

| ν(Cgum, Agum)g −

ν um f |∞ Agum Agum |g ≤| g |∇ m0

um |g + um . k Agum kg| 3/2 g |g| + c3| | | kg|

1/2 g k

(cid:129)p döng ¡ b§t (cid:31)¯ng thù Cau hy v Young, ta suy ra

1

ν f um |∇ Agum Agum Agum

2 g +

2 g

| | |

2 g ≤

| | 1 2ǫ | | k k |∞η1/2 g 4m0

um + Agum

g + c′ 2

ν g |∞ |∇ m0η1/2 1 6 g ǫ 2 | ǫ 2 | |

3k

1

f um |∇ Agum Agum

2 g + ǫ

2 g +

2 g

2 g +

1 2ǫ | | | | k k ≤ | | |∞η1/2 g 4m0 k g ν |∞ |∇ m0η1/2 1

+ c′ um

6 g.

3k

K¸t hñp vîi (3.5), ta â

ε) C( f g ν(1 Agum − | |

2 g ≤

trong (cid:31)â ε > 0 (cid:31)õ nhä sao ho

| |g, ν, η1, |∞), |∇ − g |∞ |∇ m0η1/2 1

1 ε > 0. − − g |∞ |∇ m0η1/2 1

′

um → } ⊂ {

l nghi»m døng m¤nh õa b i to¡n (3.1).

Do (cid:31)â, d¢y { D(Ag) ֒ Vg , ta â thº tr½ h ra mët d¢y on { D(Ag) v hëi tö m¤nh trong Vg tîi phn tû u∗ trong (3.4) thu (cid:31)÷ñ u∗

Khi (cid:31)â, tø (3.5) ta suy ra (3.2) thäa m¢n, tù l

} bà h°n trong D(Ag), v bði t½nh ompa t õa ph²p nhóng um } hëi tö y¸u trong D(Ag). Chuyºn qua giîi h¤n ∈

1 f u∗ |g. | k kg ≤ η1/2 1 ν

|∇g|∞ m0η1/2

−

1 (cid:19)

(ii) T½nh duy nh§t v ên (cid:31)ành m. Gi£ sû u(

1 (cid:18)

, ta â

b i to¡n (3.1). (cid:30)°t w(t) = u(t)

) l nghi»m b§t k¼ õa · u∗ −

(w(t), v)g + ν((w(t), v))g + ν(Cgw(t), v)g d dt

Thay v bði w(t) v hó þ r¬ng

v + bg(u(t), u(t), v) bg(u∗, u∗, v) = 0, Vg. − ∀ ∈

ta â

bg(u(t), u(t), w(t)) bg(u∗, u∗, w(t)) = bg(w(t), u∗, w(t)), −

Bði ¡ Bê (cid:31)· 1.2 v 1.3, ta â

(w(t), w(t))g + ν((w(t), w(t)))g + ν(Cgw(t), w(t))g + bg(w(t), u∗, w(t)) = 0. d dt

w(t) (eλt

2 g)

| |

2ν w(t) λ w(t) d dt = eλt 2bg(w(t), u∗, w(t)) k k | |

2

w(t) 2ν w(t) h λ eλt w(t) u∗ w(t) i w(t)

2 g − 2 g +

| ≤

2 g − 2 g −

| k k k k

g + 2c1k

kg| |gk kg h i

eλt 2ν + + u∗ w(t)

2 g

≤ k k λ η1 − 2ν(Cgw(t), w(t))g − 2ν g |∞ |∇ m0η1/2 1 2c1 η1/2 1 h

eλt + w(t) 2ν +

2 g,

ð (cid:31)¥y ta (cid:31)¢ sû döng (cid:31)¡nh gi¡ (3.5) ho nghi»m døng m¤nh u∗

N¸u (cid:31)i·u ki»n (3.3) thäa m¢n, th¼ ta â thº hån λ > 0 sao ho

≤ k k λ η1 − ) η1ν(1 2ν g |∞ |∇ m0η1/2 1 g 2ν |∞ |∇ m0η1/2 1 h i kg k i f 2c1| |g |∇g|∞ m0η1/2 − 1

V¼ vªy, ta suy ra

(3.6)

+ < 0. 2ν + λ η1 − ) η1ν(1 2ν g |∞ |∇ m0η1/2 1 f |g |∇g|∞ m0η1/2 1 2c1| −

w(t) e−λt w(0)

2 g,

2 g ≤

v (cid:31)i·u n y hùng tä sü ên (cid:31)ành m õa nghi»m døng m¤nh u∗

Gi£ sû v∗

l nghi»m døng m¤nh kh¡ õa b i to¡n (3.1). Ta th§y u(t) := v∗

. Khi (cid:31)â, ¡p döng

ng l nghi»m õa b i to¡n (3.1) vîi (cid:31)i·u ki»n ban (cid:31)u v∗

. (cid:30)i·u n y suy ra t½nh duy

(cid:31)¡nh gi¡ (3.6) vîi w = v∗

| | |

, ta suy ra u∗ = v∗

nh§t õa nghi»m døng m¤nh.

(cid:30)ành l½ (cid:31)÷ñ hùng minh.

u∗ −

3.3. Ên (cid:31)ành hâa nghi»m døng b¬ng (cid:31)i·u khiºn ph£n hçi â gi¡ b¶n trong

mi·n

l mët nghi»m døng m¤nh õa b i to¡n (3.1). Tø k¸t qu£ õa Mö

Gi£ sû u∗

3.2, ta bi¸t r¬ng n¸u (cid:31)i·u ki»n (3.3) khæng thäa m¢n, th¼ nghi»m døng m¤nh

â thº khæng ên

õa b i to¡n (3.1) â thº khæng duy nh§t v do (cid:31)â nghi»m u∗

b¬ng ¡ h sû döng

(cid:31)ành. Trong mö n y, hóng ta s³ ên (cid:31)ành hâa nghi»m u∗

(cid:31)i·u khiºn â gi¡ (cid:31)õ lîn b¶n trong mi·n.

Chóng ta x²t h» (cid:31)i·u khiºn g -Navier-Stokes hai hi·u sau:

trong O ×

(3.7)

ν∆u + (u )u + R+, p = 1ωh + f · ∇ ∇ ∂u ∂t −  (gu) = 0 R+,

trong O × tr¶n ∂

R+, ∇ · u(x, t) = 0

trong O

O × , u(x, 0) = u0

  L2( , g) ⊂ O vîi bi¶n trìn ∂ω , f ∈ O

trong (cid:31)â 1ω l h m (cid:31)° tr÷ng õa tªp on ω v u0 ∈

Ta nâi r¬ng h m (cid:31)i·u khiºn h

Hg ho tr÷î , h = h(x, t) l h m (cid:31)i·u khiºn.

døng m¤nh u∗

L∞(0, + ; Hg) ên (cid:31)ành hâa m nghi»m ∈ ∞ n¸u tçn t¤i nghi»m y¸u u õa b i to¡n (3.7) v δ > 0 sao ho

Ta (cid:31)°t

u(t) u∗ Ce−δt, t 0. | − |g ≤ ∀ ≥

ω,

O\ u (gu) = 0 . (C∞ 0 ( ∈ ∇ ·

(cid:8) (cid:9)

, g), v Vgω l bao (cid:31)âng õa Vgω O

Oω = Oω))2 : Vgω = K½ hi»u Hgω l bao (cid:31)âng õa Vgω trong L2( trong H1 0( O

1(ω) l gi¡ trà

, g), vîi hu©n t÷ìng ùng | · |gω v k · kgω . Gåi Agω l to¡n tû g -Stokes x¡ (cid:31)ành tr¶n Oω . Ta k½ hi»u η∗

ri¶ng (cid:31)u ti¶n õa to¡n tû Agω :

2 2gdx : ϕ

ϕ2 Vgω, η∗ 1(ω) = inf

i gdx = 1

ϕi| ∈ ( ) ZOω

i=1 X

(3.8)

= inf ϕ .

i=1 ZOω |∇ X (Agωϕ, ϕ)gω :

2 gω = 1

| |

(cid:31)¥y (

X²t (cid:31)i·u khiºn ph£n hçi

(cid:8) (cid:9) , )gω v | · |gω ln l÷ñt l t½ h væ h÷îng v hu©n trong Hgω . · ·

v h» (cid:31)âng t÷ìng ùng

h = k(u u∗), k R+, − − ∈

trong O ×

(3.9)

ν∆u + (u u∗) + p = f R+, )u + 1ωk(u ∂u ∂t − · ∇ − ∇  R+, (gu) = 0

trong O × tr¶n ∂

∇ · u(x, t) = 0 R+,

trong O

O × . u(x, 0) = u0(x)

Tr÷î ti¶n, hóng ta hùng minh bê (cid:31)· sau ho to¡n tû Ag .

Bê (cid:31)· 3.1. Vîi méi ε > 0, tçn t¤i k0 = k0(ε) sao ho vîi måi k

 

(3.10)

k0 , ≥

(νη∗ ε) u u Vg.

1(ω)

2 g,

(νAgu + kPg(1ωu), u)g ≥ | | − ∀ ∈

Chùng minh. Vîi méi k

, k½ hi»u µk

R+

1 l gi¡ trà ri¶ng (cid:31)u ti¶n õa to¡n tû

∈

vîi mi·n x¡ (cid:31)ành D(Agk) = D(Ag). Ta â

(3.11)

Agku = νAgu + kPg(1ωu)

u . µk ν u Vg,

2 ggdx : u

1 = inf

2 g + k

Tø (3.8) ta th§y

(3.12)

ϕk 1| |g = 1 | ∈ k k (cid:27) (cid:26) Zω |

νη∗ N∗, k

1(ω),

µk 1 ≤ ∀ ∈

bði v¼ måi h m u

l d¢y t«ng.

h m thuë Vg . Hìn núa, d¢y

Vgω â thº (cid:31)÷ñ mð rëng b¬ng 0 qua bi¶n ∂ω th nh mët ∈

K½ hi»u ϕk

µk 1

(cid:8) (cid:9) D(Ag) l ve tì ri¶ng õa õa Agk ùng vîi µk

1 , tù l ,

1 ∈

(3.13)

νAgϕk

1 + kPg(1ωϕk

1) = µk

1ϕk 1.

Ta l§y |

ϕk 1|g = 1. Bði (3.12) v (3.13), ta (cid:31)÷ñ

ν νη∗

ggdx = µk 2

1(ω),

ϕk 1

2 g + k

ϕk 1|

1 ≤

v do (cid:31)â vîi mët d¢y on phò hñp ta â

Zω | (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

ϕk ϕ1 y¸u trong Vg v m¤nh trong Hg,

1 →

µ∗,

0 khi k .

2 ggdx

µk 1 → ϕk 1| → → ∞

V¼ vªy ϕ1 ∈

Vgω, Zω | ϕ1|g = 1, v |

Tø (3.12), µ∗

νAgωϕ1 = µ∗ϕ1.

νη∗

1(ω) v η∗

1(ω) l gi¡ trà ri¶ng (cid:31)u ti¶n õa Agω , ta suy ra

≤ µ∗ = νη∗

1 (ω). Ta (cid:31)¢ hùng minh (cid:31)÷ñ

1 = νη∗ µk

1 (ω).

Khi (cid:31)â, do (3.11) ta nhªn (cid:31)÷ñ (3.10).

Bði Bê (cid:31)· 1.2, ta th§y r¬ng

lim k→∞

trong (cid:31)â γg (cid:31)ë lªp vîi Oω . Ta (cid:31)°t g (u∗) = sup γ∗

K¸t qu£ h½nh õa mö n y (cid:31)÷ñ tr¼nh b y trong (cid:31)ành l½ sau.

: u u∗ bg(u, u, u∗) {| |g = 1 | | } ≤ γg k kD(Ag) .

(cid:30)ành l½ 3.2. Gi£ sû u∗

(3.14)

D(Ag) l nghi»m døng m¤nh õa (3.7) thäa m¢n ∈

1(ω) > γ∗ η∗

g (u∗).

− 1 g |∞ |∇ m0η1/2 1 !

Khi (cid:31)â, vîi méi u0 ∈ C([0, + y¸u u

Hg v k k0 (cid:31)õ lîn nh÷ng (cid:31)ë lªp vîi u0 , tçn t¤i nghi»m

L2 ); Hg) ; Vg) õa (3.9) thäa m¢n ≥ loc(0, + ∈ ∞ ∩ ∞

vîi δ > 0 n o (cid:31)â.

, ta â

Chùng minh. (cid:30)°t z = u

u(t) u∗ e−δt u∗ t 0, | − |g ≤ u0 − | |g, ∀ ≥

u∗ −

z′ + νAgz + νCgz + Bg(z, z) + B0

g z + kPg(1ωz) = 0,

(3.15)

z(0) = u(0) u∗ =: z0,   −

trong (cid:31)â Pg l ph²p hi¸u trü giao tø L2(

 , g) l¶n Hg , v B0

g z x¡ (cid:31)ành bði

B0 Vg.

g z, w

B¥y gií ta hùng minh sü tçn t¤i õa nghi»m y¸u z õa b i to¡n (3.15) b¬ng

¡ h sû döng ph÷ìng ph¡p Galerkin.

ig = bg(u∗, z, w) + bg(z, u∗, w), vîi måi w ∈ h

∞ j=1 l ì sð õa D(Ag) gçm ¡ ve tì ri¶ng õa to¡n tû g -Stokes

Gi£ sû {

wj}

n

znj(t)wj. Ph÷ìng Ag . (cid:30)u ti¶n, ta sû döng x§p x¿ Galerkin n hi·u zn =

j=1 P

tr¼nh ho zn nh÷ sau

z′ n + νAgzn + νPnCgzn + PnBg(zn, zn)

(3.16)

 +PnB0

g zn + kPnPg(1ωzn) = 0,

zn(0) = Pnz0,

trong (cid:31)â

 

n

Pnz = (z, wj)wj.

j=1 X

Ta h¿ ra | þ r¬ng Pnzn = zn v h

zn|g bà h°n (cid:31)·u theo n. L§y t½ h væ h÷îng õa (3.16) vîi zn v hó

Bg(zn, zn), znig = 0, ta â

(z′

n, zn)g + ν(Agzn, zn)g + k(Pg(1ωzn), zn)g + ν(Cgzn, zn)g + (B0

g zn, zn)g = 0,

hay

2 g + ν

2 g + k(Pg(1ωzn), zn)g

1 2 d dt |

Sû döng bg (u∗, zn, zn) = 0 v Bê (cid:31)· 1.3, ta â

= bg (u∗, zn, zn) bg (zn, u∗, zn) . znk , zn, zn zn| νbg k g ∇ g − − − (cid:19) (cid:18)

2

bg (zn, u∗, zn) .

2 g + ν

1 2 d dt | zn| znk k

g + k(Pg(1ωzn), zn)g ≤

znk k

2 g −

Do (cid:31)â

g |∞ ν |∇ m0η1/2 1

2

bg (zn, zn, u∗) .

2 g + ν

1 2 znk

g + k(Pg(1ωzn), zn)g ≤

(cid:30)i·u n y suy ra

d dt | zn| − 1 g |∞ |∇ m0η1/2 1 ! k

ν Agzn + kPg(1ωzn), zn

2 g +

1 2 d dt | zn|

2 g + ε k

znk − 1 " ε # ! g |∞ |∇ m0η1/2 1 ! −

L§y t½ h ph¥n hai v¸ tø 0 (cid:31)¸n t v sû döng (3.10), ta (cid:31)÷ñ

bg (zn, zn, u∗) . ≤

t

ν 1 zn(s) zn(s) zn(t)

2 gds

2 gds + 2

2 g + 2ε

| | η∗ 1 − k − k | | ε # ε # "" g |∞ |∇ m0η1/2 1 ! − Z0 Z0

t

2 bg (zn(s), zn(s), u∗) ds + zn(0)

2 g

| | ≤ Z0

t

z(0) 2γ∗ zn(s)

2 gds +

2 g.

g (u∗)

| | | | ≤ Z0

Do (cid:31)â, vîi måi t

[0, T ], ∈

t

zn(s) zn(t)

2 gds

2 g + 2ε

k k | | Z0

T

+ 2 ν z(0) εη∗ zn(s)

2 gds

2 g.

g (u∗) γ∗

− | | | ≤ | η∗ 1 −

1 −

Do (3.14), ta â thº hån ε (cid:31)õ nhä sao ho sè h¤ng thù ba b¶n v¸ tr¡i l d÷ìng

− 1 " ε # g |∞ |∇ m0η1/2 1 ! Z0

v (cid:31)i·u n y suy ra r¬ng {

T½nh bà h°n (cid:31)·u n y ho ph²p ta sû döng (cid:30)ành l½ Alaoglu (cid:31)º thu (cid:31)÷ñ d¢y

on (ta v¨n k½ hi»u l zn ) sao ho

L2 (0, T ; Vg) . zn} bà h°n trong L∞ (0, T ; Hg) ∩

trong L∞(0, T ; Hg),

zn ⇀∗ z

trong L2(0, T ; Vg).

Ti¸p theo, ta hùng minh t½nh bà h°n õa (cid:31)¤o h m

zn ⇀ z

dzn dt . Tø

= PnBg(zn, zn) PnB0 kPnPg(1ωzn), dzn dt νAgzn − νPnCgzn − −

g zn −

−

dzn dt } bà h°n trong

sû döng ¡ Bê (cid:31)· 1.2 v 1.3, ta â thº th§y r¬ng { L2(0, T ; V ′

dzn

g ), ¡p

g ). zn} bà h°n trong L2(0, T ; Vg) v {

Do {

dt } bà h°n trong L2(0, T ; V ′

döng bê (cid:31)· ompa t Aubin-Lions (Bê (cid:31)· 1.7), tçn t¤i d¢y on, v¨n k½ hi»u

l zn , hëi tö m¤nh (cid:31)¸n z trong L2(0, T ; Hg). Do (cid:31)â, lªp luªn t÷ìng tü trong

tr÷íng hñp h» Navier-Stokes (xem [54, tr. 248℄), ta â

trong L2(0, T ; V ′

PnBg(zn, zn) ⇀ Bg(z, z)

g ),

trong L2(0, T ; V ′

PnB0

g zn ⇀ B0 g z

g ).

Nh÷ vªy, ta â

+ νAgz + νCgz + Bg(z, z) + B0

g ). (3.17)

g z + kPg(1ωz) = 0 trong L2(0, T ; V ′

dz dt

Cuèi òng, (cid:31)º hùng minh z(0) = z0 , ta hån h m thû ϕ

vîi ϕ(T ) = 0. L§y t½ h væ h÷îng õa (3.17) vîi ϕ v t½ h ph¥n tøng phn theo

C 1([0, T ] ; Vg) ∈

t sè h¤ng (cid:31)u ti¶n, ta â

T

, z(t), ϕ(t) dt bg ((z(t), ϕ(t)))g dt + ν (z(t), ϕ′(t))g dt + ν g ∇ g − (cid:18) (cid:19) Z0 Z0

T

Z0 T

+ bg (z(t), u∗, ϕ(t)) dt + k bg (z(t), z(t), ϕ(t)) dt + (Pg(1ωz(t)), ϕ(t))g dt Z0 Z0 Z0

Thü hi»n t÷ìng tü vîi d¢y nghi»m x§p x¿ Galerkin, ta â

= (z(0), ϕ(0))g .

T

dt bg , zn(t), ϕ(t) ((zn(t), ϕ(t)))g dt + ν (zn(t), ϕ′(t))g dt + ν g ∇ g − (cid:18) (cid:19) Z0 Z0

T

Z0 T

+ bg (zn(t), u∗, ϕ(t)) dt bg (zn(t), zn(t), ϕ(t)) dt +

Z0 Z0

T

v khi ho n

+ k (Pg(1ωzn(t)), ϕ(t))g dt = (zn(0), ϕ(0))g , Z0

T

→ ∞, ta (cid:31)÷ñ T

T

, z(t), ϕ(t) dt bg ((z(t), ϕ(t)))g dt + ν (z(t), ϕ′(t))g dt + ν g ∇ g − (cid:18) (cid:19) Z0 Z0

T

Z0 T

+ bg (z(t), u∗, ϕ(t)) dt + k bg (z(t), z(t), ϕ(t)) dt + (Pg(1ωz(t)), ϕ(t))g dt Z0 Z0 Z0

= (z0, ϕ(0))g ,

do zn(0) = Pnz0 →

õa (3.15).

Ti¸p theo, tø (3.15) v sû döng bg(z, z, z) = bg(u∗, z, z) = 0, ta d¨n (cid:31)¸n

z0 . V¼ vªy, z(0) = z0 , v (cid:31)i·u n y suy ra z l nghi»m y¸u

z(t) z(t)

2 g + ν

2 g + k(Pg(1ωz(t)), z(t))g

1 2 d dt | | k k

, z(t), z(t)) bg(z(t), u∗, z(t)) g νbg( ∇ g ≤ − −

Sû döng Bê (cid:31)· 1.3, ta thu (cid:31)÷ñ

, z(t), z(t)). = bg(z(t), z(t), u∗) g νbg( ∇ g −

z(t) z(t)

2 g + ν

2 g + k(Pg(1ωz(t)), z(t))g

1 2 d dt | | k k

bg(z(t), z(t), u∗) + ν |∇ z(t)

2 g

k k ≤

z(t) z(t)

g (u∗) γ∗

2 g + ν |∇

2 g,

v do (cid:31)â

| | ≤ k k g |∞ m0η1/2 1 g |∞ m0η1/2 1

2

z(t) z(t) z(t)

2 g + ν

γ∗ g (u∗)

2 g.

1 2 d dt | | − k

g + k(Pg(1ωz(t)), z(t))g ≤

Suy ra

| | 1 g |∞ |∇ m0η1/2 1 ! k

z(t) ν z(t) Agz(t) + kPg(1ωz(t)), z(t)

2 g +

g (u∗) γ∗

2 g.

V¼ vªy, theo Bê (cid:31)· 3.1, vîi méi k

1 2 d dt | | − | | ≤ 1 g |∞ |∇ m0η1/2 1 ! !g

k0(ε), ta â ≥

z(t) ν z(t) z(t)

2 g +

η∗ 1(ω) γ∗ g (u∗)

2 g.

1 2 d dt | | − − |

2 g ≤

Do vªy,

| | 1 " ε # | g |∞ |∇ m0η1/2 1 !

2

z(t) ν z(t) η∗ 1(ω)

g (u∗) γ∗

2 g.

1 2 d dt | | − − − |

g ≤ − "

(cid:30)i·u n y suy ra

1 ε # | g |∞ |∇ m0η1/2 1 !

z(t) e−2δt z(0)

2 g,

| |

2 g ≤

hay

| |

u(t) u∗ u∗ e−2δt

2 g,

| −

2 g ≤

trong (cid:31)â δ = ν

u0 − |

ε > 0 n¸u ε > 0 (cid:31)÷ñ hån (cid:31)õ η∗ 1(ω) | γ∗ g (u∗) | |∇g|∞ m0η1/2 − − −

1 (cid:19)

nhä. (cid:30)ành l½ (cid:31)÷ñ hùng minh.

1 (cid:18)

Nhªn x²t 3.1. Bði b§t (cid:31)¯ng thù Poin ar², ta â

−2

dist(x, ∂

V¼ vªy η∗

C ) . η∗ 1(ω) ≥ O sup x∈Oω (cid:18) (cid:19)

¯ω

1(ω) â thº l§y lîn tòy þ b¬ng ¡ h l§y mi·n h¼nh khuy¶n Oω =

â thº ên (cid:31)ành

(cid:31)õ mäng. Do (cid:31)â, tø (cid:30)ành l½ 3.2, nghi»m døng m¤nh b§t k¼ u∗ m n¸u mi·n Oω (cid:31)õ (cid:16)mäng(cid:17), tù l khi mi·n (cid:31)i·u khiºn ω (cid:31)õ lîn.

3.4. Ên (cid:31)ành hâa nghi»m døng b¬ng (cid:31)i·u khiºn ph£n hçi húu h¤n hi·u

l mët nghi»m døng m¤nh õa b i to¡n (3.1). Bði (cid:30)ành l½ 3.1, ta

Gi£ sû u∗

th§y n¸u (cid:31)i·u ki»n (3.3) khæng thäa m¢n, tù l khi

O \

2

th¼ nghi»m døng m¤nh õa b i to¡n (3.1) â thº khæng duy nh§t v do (cid:31)â

â thº khæng ên (cid:31)ành. Trong mö n y, hóng ta s³ ên (cid:31)ành hâa

nghi»m u∗

nghi»m døng m¤nh u∗

b¬ng ¡ h sû döng to¡n tû nëi suy Ih phò hñp l m (cid:31)i·u

khiºn ph£n hçi.

Chóng ta x²t h» (cid:31)i·u khiºn g -Navier-Stokes hai hi·u vîi to¡n tû nëi suy

, ν2 1 |g ≤ − f c1| η1 g |∞ |∇ m0η1/2 1 !

Ih nh÷ sau:

trong O ×

(3.18)

ν∆u + (u )u + p = u∗) + f R+, µIh(u ∂u ∂t − ∇ − − · ∇  R+, (gu) = 0

trong O × tr¶n ∂

∇ · u(x, t) = 0 R+,

trong O

O × , u(x, 0) = u0

trong (cid:31)â f = f (x)

  ∈

to¡n tû (cid:31)çng nh§t vîi sai sè §p h, tù l , nâ thäa m¢n (cid:31)¡nh gi¡ sau (cid:31)¥y

(3.19)

Hg l to¡n tû nëi suy x§p x¿ Hg ho tr÷î . Ta gi£ sû r¬ng (cid:31)i·u khiºn ph£n hçi Ih : Vg →

ϕ ϕ ϕ Ih(ϕ) Vg,

0h2 c2

2 g,

| −

2 g ≤

| k k ∀ ∈ M0 m0

trong (cid:31)â h¬ng sè d÷ìng c0 > 0 (cid:31)÷ñ hån sao ho c2

γ0 vîi γ0 thäa m¢n

0 ≥

(cid:31)¡nh gi¡ sau (cid:31)¥y trong [10℄

(3.20)

ϕ ϕ Ih(ϕ) γ0h2

2 L2(O)2

2 H 1(O)2 ,

vîi måi ϕ

k − k k k ≤

. Mët v½ dö (cid:31)iºn h¼nh õa to¡n tû Ih thäa m¢n (3.20) l

ph²p hi¸u trü giao l¶n ¡ mode Fourier (xin xem hi ti¸t trong [10℄ v ¡

v½ dö kh¡ v· to¡n tû Ih trong (cid:31)â).

thu (cid:31)÷ñ trong (cid:30)ành l½ 3.1 ng l nghi»m

D¹ th§y nghi»m døng m¤nh u∗

õa h» (3.18) vîi (cid:31)i·u ki»n ban (cid:31)u u∗

. Chóng ta s³ ên (cid:31)ành hâa nghi»m u∗

(cid:30)ành l½ sau (cid:31)¥y l k¸t qu£ h½nh õa mö n y.

l nghi»m døng m¤nh õa (3.1) nhªn (cid:31)÷ñ

(cid:30)ành l½ 3.3. Gi£ sû f

H 1( )2 O ∈

trong (cid:30)ành l½ 3.1. Gi£ sû r¬ng Ih thäa m¢n (3.19), µ v h l ¡ tham sè d÷ìng

thäa m¢n

Hg v u∗ ∈

2 g

2 ∞

(3.21)

c2 1| + 2 µc2

0h2 < ν v µ > 2ν |∇

2 .

M0 m0 g | m2 0 η1ν3 | |∇g|∞ m0η1/2 −

1 (cid:19)

Khi (cid:31)â, vîi méi u0 ∈ (3.18) sao ho vîi måi T > 0,

1 (cid:18) Hg ho tr÷î , tçn t¤i duy nh§t mët nghi»m y¸u u õa h»

u L2(0, T ; V ′ C([0, T ]; Hg) L2(0, T ; Vg),

g ),

(3.22)

∈ ∩ du dt ∈

u(t) u∗ e−ηt u∗ t 0,

2 g,

| |

2 g ≤

| ∀ ≥

2 g

trong (cid:31)â η = µ

2 2ν |∇

2 > 0 bði (cid:31)i·u ki»n (3.21).

− − 2 g ∞ | m2 0 − η1ν3 u0 − | c2 f 1| | |∇g|∞ m0η1/2 −

1 (cid:19)

v vi¸t l¤i h» (3.18) d÷îi d¤ng

Chùng minh. (cid:30)°t z = u

1 (cid:18)

u∗ −

z′ + νAgz + νCgz + Bg(z, z) + B0

g z + µPgIh(z) = 0,

(3.23)

z(0) = u(0) u∗ =: z0,   −



trong (cid:31)â Pg l ph²p hi¸u trü giao tø L2(Ω, g) l¶n Hg , v B0

g z x¡ (cid:31)ành bði

B0 Vg.

g z, w

(i) Sü tçn t¤i. Chóng ta hùng minh sü tçn t¤i õa nghi»m y¸u z õa b i

to¡n (3.23) b¬ng ¡ h sû döng ph÷ìng ph¡p Galerkin.

Gi£ sû {

∈ h ig = bg(u∗, z, w) + bg(z, u∗, w), vîi måi w

wj}

∞ j=1 l ì sð õa D(Ag) gçm ¡ ve tì ri¶ng õa to¡n tû g -Stokes n

nh÷ sau

Ag . Sû döng x§p x¿ Galerkin n hi·u zn = znj(t)wj , ph÷ìng tr¼nh ho zn

j=1 P

n + νAgzn + νPnCgzn + PnBg(zn, zn) + PnB0 z′

g zn

(3.24)

 + µPnPgIh(zn) = 0,

zn(0) = Pnz0,

trong (cid:31)â

 

n

(z, wj)wj. Pnz =

j=1 X

Ta h¿ ra | þ r¬ng Pnzn = zn v h (z′

zn|g bà h°n (cid:31)·u theo n. L§y t½ h væ h÷îng õa (3.24) vîi zn v hó

n, zn)g + ν

hay

Bg(zn, zn), znig = 0, ta â B0 g zn, znig + µ(Ih(zn), zn)g = 0 Agzn, znig + ν(Cgzn, zn)g + h h

2 g + ν

g + ν(Cgzn, zn)g + bg (u∗, zn, zn) 2

zn| d dt | znk k

So bg (u∗, zn, zn) = 0 ta â

1 2 + bg (zn, u∗, zn) + µ(Ih(zn), zn)g = 0.

bg (zn, u∗, zn) µ(Ih(zn), zn)g. (3.25)

2 g + ν

2 g =

Sû döng (3.19) v b§t (cid:31)¯ng thù Cau hy, ta â

1 2 d dt | zn| znk k ν(Cgzn, zn)g − − −

2 g

µ(Ih(zn), zn)g = µ(zn − Ih(zn), zn)g − zn| | −

µ Ih(zn)

2 g

zn| ≤

Ih(zn) | 2 g ≤ |g | 2 g − |

0h2

(3.26)

2 g.

zn|g − µ zn| 2 | µ 2 | zn| znk

2 g −

Hìn núa, bði b§t (cid:31)¯ng thù Cau hy, (cid:31)¡nh gi¡ (cid:31)u ti¶n trong Bê (cid:31)· 1.2 v Bê

(cid:31)· 1.3, ta â

k ≤ zn − µ | µ zn − 2 | M0µc2 2m0

bg (zn, u∗, zn)

u∗ | ≤

zn|gk u∗ ≤ znkg ν(Cgzn, zn)g − − Cgzn|g | ν g |∞ ν |∇ m0 k

2 g

2 ∞

(3.27)

2 g +

2 g + ν |∇

2 g.

Tø (3.25), k¸t hñp vîi (3.26) v (3.27), ta suy ra

znkg zn|gk kg| u∗ c2 1k ν zn| | ν 2 k znk | zn| ≤ zn|g + c1k kg| zn|g + c1k znkg | g | m2 0

2 g

2 ∞

c2 1k k

2 g + ν

2 g + ν |∇

2 g

2 g +

1 2 u∗ ν d dt | zn| ν 2 k zn| | znk k

2 g ≤

| g | m2 0

0h2

2 g.

zn| µ 2 | zn| znk

2 g −

Do (cid:31)â

k znk M0µc2 2m0

µc2

2 g +

2 g

0h2

d dt | zn| znk − M0 m0 ν (cid:18)

k 2 g

2 ∞

(3.28)

c2 1k k + 2 µ + 2ν |∇

2 g.

T½ h ph¥n hai v¸ tø 0 (cid:31)¸n t, ta (cid:31)÷ñ

(cid:19) u∗ ν zn| g | m2 0 ! | ≤ −

t

ν µc2 zn(s) zn(t)

2 gds

0h2

2 g +

− k | | M0 m0 (cid:18) (cid:19) Z

t

2 g

0 k c2 1k

k z(0) 2 + µ 2ν |∇ zn(s)

2 gds

2 g,

u∗ ν | | ≤ | −

0 |

2 g ∞ | m2 0 −

v¼ vªy

! Z

t

µc2 zn(s) zn(t)

2 gds

0h2

2 g +

k | | − M0 m0

0 k

ν (cid:18) (cid:19) Z

t

2 g

 c2 1| 2 z(0) 2ν |∇ zn(s)

2 gds

2 g, (3.29)

2

− | ≤ | |

0 |

2 g ∞ | m2 0 −

Z 1 η1ν3 | |∇g|∞ m0η1/2 −

1 (cid:19)

ð (cid:31)¥y ta sû döng (cid:31)¡nh gi¡ (3.2) ho nghi»m døng u∗

Bði gi£ thi¸t (3.21), sè h¤ng thù hai v thù ba ð v¸ tr¡i õa (3.29) l d÷ìng

(cid:18) +  µ        

v (cid:31)i·u n y suy ra {

h°n (cid:31)·u n y ho ph²p ta sû döng (cid:30)ành l½ Alaoglu (cid:31)º thu (cid:31)÷ñ d¢y on (ta

v¨n k½ hi»u l zn ) sao ho

L2 (0, T ; Vg) . T½nh bà zn} bà h°n trong L∞ (0, T ; Hg) ∩

trong L∞(0, T ; Hg),

trong L2(0, T ; Vg).

zn ⇀∗ z

Ti¸p theo, ta hùng minh t½nh bà h°n õa (cid:31)¤o h m

zn ⇀ z

Chó þ r¬ng tø (3.19) ta ng thu (cid:31)÷ñ

dzn dt .

Ih(zn) Ih(zn) | |g ≤ |

|g + | znkg + zn|g zn|g. | c0h k zn − M0 m0 ≤ r

= PnBg(zn, zn) PnB0 µPnPgIh(zn), dzn dt νAgzn − νPnCgzn − −

g zn −

sû döng ¡ Bê (cid:31)· 1.2 v 1.3, ta â thº th§y r¬ng { L2(0, T ; V ′

−

dzn dt } bà h°n trong g ). Do (cid:31)â, sû döng lªp luªn t÷ìng tü nh÷ trong hùng minh (cid:30)ành l½ zn} hëi tö m¤nh

3.1, ta â thº tr½ h ra mët d¢y on õa { (cid:31)¸n z trong L2(0, T ; Hg), thäa m¢n

trong L2(0, T ; V ′

zn}, v¨n k½ hi»u l {

PnBg(zn, zn) ⇀ Bg(z, z)

g ),

trong L2(0, T ; V ′

PnB0

g ).

g zn ⇀ B0 g z

Nh÷ vªy, ta â

+ νAgz + νCgz + Bg(z, z) + B0

g ). (3.30)

g z + µPgIh(z) = 0 trong L2(0, T ; V ′

dz dt

Cuèi òng, sû döng lªp luªn t÷ìng tü nh÷ trong hùng minh (cid:30)ành l½ 3.1, ta

thu (cid:31)÷ñ z(0) = z0 , v (cid:31)i·u n y suy ra z l nghi»m y¸u õa (3.23).

. Sû

(ii) Sü ên (cid:31)ành hâa. B¥y gií ta hùng minh t½nh ên (cid:31)ành m õa u∗

döng (3.23) v bg(z, z, z) = bg(u∗, z, z) = 0, ta â

(3.31)

z z bg(z, u∗, z) µ(Ih(z), z)g.

2 g + ν

2 g =

V¼ vªy, t÷ìng tü nh÷ ¡ (cid:31)¡nh gi¡ (3.26)-(3.28), tø (3.31) ta thu (cid:31)÷ñ

1 2 d dt | | k k − ν(Cgz, z)g − −

2 g

c2 1k k 2 z 0. z µc2 z µ 2ν |∇

2 g +

0h2

2 g +

u∗ ν

2 g ≤

| d dt | | − k k − M0 m0

2 g ∞ | m2 0 −

Sû döng gi£ thi¸t (3.21) v (cid:31)¡nh gi¡ (3.2), ta â

! | ν (cid:18) (cid:19)

2 g

 c2 1| z 0. 2 z 2ν |∇

2 2 g ≤

| | − d dt | |

2 g ∞ | m2 0 −

1 η1ν3 | |∇g|∞ m0η1/2 −

1 (cid:19)

(cid:18)    

g +  2 µ    

(cid:30)i·u n y suy ra

z(t) e−ηt z(0)

2 g,

2 g ≤

trong (cid:31)â

| | |

2 g

c2 1| 2 η = µ 2ν |∇

2 > 0.

−

2 g ∞ | m2 0 −

η1ν3 | |∇g|∞ m0η1/2 −

1 (cid:19)

Do (cid:31)â, b§t (cid:31)¯ng thù (3.22) (cid:31)óng. (cid:30)ành l½ (cid:31)÷ñ hùng minh.

3.5. Ên (cid:31)ành hâa b¬ng ngo¤i lü dao (cid:31)ëng nhanh theo bi¸n thíi gian

Trong mö n y, hóng ta x²t h» sau (cid:31)¥y

1 (cid:18)

trong O ×

(3.32)

ν∆u + (u )u + R+, p = F (x, ω0t) · ∇ ∇ ∂u ∂t −  R+, (gu) = 0

trong O × tr¶n ∂

Ta (cid:31)÷a ra gi£ thi¸t sau (cid:31)¥y v· ngo¤i lü .

∇ · u(x, t) = 0 R+. O ×

 

ho n theo bi¸n thíi gian vîi hu k¼ Tper â §u tró nh÷ sau: Tçn t¤i mët

h m h(x, ω0t) tun ho n theo bi¸n thíi gian vîi hu k¼ Tper sao ho

(F1) Vîi méi h¬ng sè d÷ìng ω0 > 0, ta gi£ sû ngo¤i lü F (x, ω0t) l h m tun

trong O ×

(3.33)

trong O × . tr¶n ∂

R+, ht(x, ω0t) = F (x, ω0t) − 1 ω0  (gh) = 0 R+,

Ta ng gi£ sû r¬ng

∇ · h = 0 O

 

F F L∞ (0, Tper; D(Ag)) v k kL∞(0,Tper;D(Ag)) vîi ªn tr¶n (cid:31)ë lªp vîi

Hìn núa, ta gi£ sû r¬ng h

∈ ω0 .

L∞ (0, Tper; D(Ag)) v tçn t¤i h¬ng sè d÷ìng ∈

(3.34)

Lh (cid:31)ë lªp vîi ω0 sao ho

2 L∞(0,Tper;D(Ag)).

h k k

2 L∞(0,Tper;D(Ag)) ≤

Chóng ta (cid:31)÷a ra v½ dö v· h m ngo¤i lü F . Cho

Lhk k

trong (cid:31)â f

F (x, ω0t) = f (x) sin ω0t,

D(Ag) v ω0 l h¬ng sè d÷ìng. Khi (cid:31)â h(x, ω0t) â d¤ng ∈

D¹ th§y r¬ng h

h(x, ω0t) = f (x) cos ω0t.

L∞(0, Tper; D(Ag)) v h thäa m¢n (3.34), trong (cid:31)â Tper = ∈

Têng qu¡t hìn, hóng ta â thº l§y ngo¤i lü F â d¤ng F (x, ω0t) =

2π/ω0 .

tun ho n vîi hu k¼ T . Khi (cid:31)â, F thäa m¢n gi£ thi¸t (F1) vîi Tper = T /ω0 .

(cid:30)u ti¶n, hóng ta hùng minh sü tçn t¤i õa nghi»m tun ho n theo bi¸n

thíi gian õa (3.32).

D(Ag) v ϕ(t) l h m gi¡ trà thü , li¶n tö v f (x)ϕ(ω0t), trong (cid:31)â f ∈

0 > 0 phö ω′

0 , h»

(cid:30)ành l½ 3.4. Gi£ sû gi£ thi¸t (F1) (cid:31)÷ñ thäa m¢n. Khi (cid:31)â, tçn t¤i ω′ kL∞(0,Tper;D(Ag)) sao ho vîi måi ω0 ≥ thuë v o ν, c1, c3, η1, Lh v k (3.32) â nghi»m uper tun ho n vîi hu k¼ Tper thäa m¢n

(3.35)

trong (cid:31)â c1, c3 l ¡ h¬ng sè trong Bê (cid:31)· 1.2.

1 , vîi måi t uper(t) [0, Tper], − k kg ≤ ∈ νη1/2 1 2c1 g |∞ |∇ m0η1/2 1 !

L2 (0, Tper; Hg). Do (cid:31)â, vîi méi ∈

Chùng minh. Tø gi£ thi¸t (F1) ta â F (cid:31)i·u ki»n ban (cid:31)u u0 ∈ C([0, Tper]; Vg) õa h» (3.32) thäa m¢n u(0) = u0 (xem [3℄).

B¥y gií hóng ta hùng minh h» (3.32) â ½t nh§t nghi»m tun ho n uper ∈

Vg ho tr÷î , tçn t¤i nghi»m m¤nh duy nh§t u ∈

(3.36)

L∞ (0, Tper; Vg) vîi hu k¼ Tper thäa m¢n (3.35). (cid:30)°t

v vi¸t l¤i h» (3.32) d÷îi d¤ng sau

u = y h(x, ω0t), − 1 ω0

trong O ×

ν∆y + (y )y + p = ht(x, ω0t) + F (x, ω0t) ∂y ∂t − ∇  R+, (h )h + ∆h [(y )h + (h )y] − · ∇ − · ∇ · ∇ ν ω0 1 ω0 1 ω0 · ∇ 1 ω2 0

(gy) = 0 R+,

trong O × tr¶n ∂

Sû döng (3.33), ta thu (cid:31)÷ñ

∇ · y = 0 R+. O ×

 

trong O ×

ν∆y + (y )y + p ∂y ∂t − · ∇ ∇  R+, = (h )h + ∆h [(y )h + (h )y] − · ∇ − · ∇ · ∇ ν ω0 1 ω0 1 ω2 0

(gy) = 0 R+,

trong O × tr¶n ∂

hay

R+, ∇ · y = 0 O ×

 

(3.37)

Agh + Cgh y′ + νAgy + νCgy + Bg(y, y) = ν ω0 ν ω0

B0 Bg(h, h) +

g h,

trong (cid:31)â B0

− 1 ω0 1 ω2 0

g h x¡ (cid:31)ành bði

B0 Vg.

g h, v

h ig = bg(y, h, v) + bg(h, y, v), vîi måi v ∈

L§y t½ h væ h÷îng õa (3.37) vîi y v hó þ r¬ng h

Bg(y, y), y ig = 0, ta â

(y′, y)g + ν Agy, y Agh, y (Cgh, y)g h ig + ν(Cgy, y)g = ν ω0

B0 ig + Bg(h, h), y

g h, y

hay

ig + ig, − 1 ω0 h ν ω0 h 1 ω2 0 h

y y (Cgh, y)g Agh, y

2 g + ν

2 g + ν(Cgy, y)g =

1 2 d dt | | k k ν ω0

Do bg(h, y, y) = 0 ta â

bg(y, h, y) + bg(h, y, y). ig + bg(h, h, y) + − 1 ω0 1 ω0 ν ω0 h 1 ω2 0

y y ν(Cgy, y)g + Agh, y (Cgh, y)g

2 g + ν

2 g =

(3.38)

1 2 d dt | | k k − ν ω0

Sû döng Bê (cid:31)· 1.3 v ¡ b§t (cid:31)¯ng thù Poin ar² (1.1), (1.2) ta (cid:31)÷ñ

(3.39)

bg(h, h, y) + ig + bg(y, h, y). − ν ω0 h 1 ω0 1 ω2 0

y y ν y y ν |∇ ν |∇ Cgy

2 g,

kg | |g ≤ ν(Cgy, y)g ≤ | |g | |g ≤ k k g |∞ m0 k g |∞ m0η1/2 1

y (Cgh, y)g ≤ h kg| |g ν ω0

(3.40)

y Agh |g |g| | ≤

y |∇ h kL∞(0,Tper;D(Ag))k kg. ≤ ν g |∞ |∇ ω0m0 k ν g |∞ |∇ ω0m0η1/2 1 ν g |∞ ω0m0η1 k

Bði Bê (cid:31)· 1.2 v ¡ b§t (cid:31)¯ng thù Poin ar² (1.1), (1.2), ta â

y y y y bg(y, h, y)

1/2 g

1/2 g k

h kg|

1/2 g k

| k k | ≤ 1 ω0

(3.41)

y y Agh ≤ |gk kg |g| |

2 g,

≤ h kL∞(0,Tper;D(Ag))k k c1 ω0 | c1 ω0η1/2 1 c1 ω0η1 k

y y bg(h, h, y)

1/2 g

− h | ≤

1/2 g k

h k

1/2 g k

h kg|

1/2 g k

| k 1 ω2 0

y y Agh

1/2 g

1/2 g k

(3.42)

| k |g| ≤

y h k

2 L∞(0,Tper;D(Ag))k

kg. k ≤ c1 ω2 0 | c1 0η5/4 ω2 1 c1 0η3/2 ω2

1

Ta ng â

h ygdx Agh, y · ∇ ig = ν ω0 h

y ≤ kg

(3.43)

y Agh ≤ |gk kg |

Tø (3.38)-(3.43) suy ra

y k h kL∞(0,Tper;D(Ag))k kg. ≤ ν ω0 ZO ∇ ν h kgk ω0 k ν ω0η1/2 1 ν ω0η1/2 1

y y y y

2 g + ν

2 g +

1 2 d dt | |

2 g ≤

k k k h kL∞(0,Tper;D(Ag))k k kg k ν ω0η1/2 1

+ y |∞ |∇ h kL∞(0,Tper;D(Ag))k kg g |∞ ν |∇ m0η1/2 1 ν g ω0m0η1 k

y + k h k

2 L∞(0,Tper;D(Ag))k

1

+ y

2 g.

Do (cid:31)â

k c1 0η3/2 ω2 c1 h kL∞(0,Tper;D(Ag))k ω0η1 k

2

y y

2 g

1 2 d dt |

g + νk0k

| k

(3.44)

y y |∇ |∞ h kL∞(0,Tper;D(Ag))k kg h kL∞(0,Tper;D(Ag ))k kg + ≤

+ y y

2 g,

h k

2 L∞(0,Tper;D(Ag))k

k kg + h kL∞(0,Tper;D(Ag))k k ν g ω0m0η1 k c1 ω0η1 k ν ω0η1/2 k 1 c1 0η3/2 ω2

1

. Sû döng (3.34), ta â

trong (cid:31)â k0 = 1

(3.45)

− g |∞ |∇ m0η1/2 1

y F y

2 g.

h kL∞(0,Tper;D(Ag ))k k

2 g ≤

Bði b§t (cid:31)¯ng thù Cau hy, ta (cid:31)÷ñ

kL∞(0,Tper;Vg )k k c1 ω0η1 k c1√Lh ω0η1 k

2

(3.46)

y y νk0 8 k k h kL∞(0,Tper;D(Ag))k k kg ≤ ν ω0η1/2 1

2 L∞(0,Tper;D(Ag)),

h k 2ν 0k0η1 k

y y |∞ |∇

2 g

(3.47)

h kL∞(0,Tper;D(Ag))k kg ≤ g ν ω0m0η1 k

2 L∞(0,Tper;D(Ag)),

h k

1 k

y y ω2 νk0 8 k k 2 2ν g ∞ |∇ | 0k0η2 0m2 ω2 νk0 2 g 8 k h k k

2 L∞(0,Tper;D(Ag))k

kg ≤ c1 0η3/2 ω2

1

(3.48)

4 L∞(0,Tper;D(Ag)).

h k

1 k

L§y

(3.49)

k 2c2 1 0νk0η3 ω4

khi (cid:31)â (3.45) trð th nh

(3.50)

F kL∞(0,Tper;D(Ag)), ω0 ≥ 8c1√Lh νk0η1 k

y y

2 g.

h kL∞(0,Tper;D(Ag))k k

2 g ≤

Tø (3.44), (3.46)-(3.48) v (3.50), ta suy ra

νk0 8 k k c1 ω0η1 k

2

y y

2 L∞(0,Tper;D(Ag))

ω2

g + νk0k

2 g ≤

d dt | |

2 L∞(0,Tper;D(Ag))

h k 4ν h 0k0η1 k k 2 4ν g ∞ |∇ | 0k0η2 0m2 ω2

1 k

(3.51)

4 L∞(0,Tper;D(Ag)).

h k 4c2 1 0νk0η3 ω4

1 k

(cid:129)p döng (3.34), tø (3.51) ta â

2

(3.52)

y y N0, d dt |

g + νk0k

| k

2 g ≤

trong (cid:31)â

F ν 4Lhk k ν+ N0 =

2 L∞(0,Tper;D(Ag)) ω2

0k0η1

(3.53)

(cid:16) F

2 g ∞ |∇ | m2 0η1 c2 1Lhk

k + .

2 L∞(0,Tper;D(Ag)) 0νη2 ω2 1

Do (cid:31)â, sû döng b§t (cid:31)¯ng thù Poin ar² (1.1), ta (cid:31)÷ñ

(cid:17)

2

y y N0. d dt |

g + νk0η1|

2 g ≤

Bði b§t (cid:31)¯ng thù Gronwall, ta â

(3.54)

. y(t) y(0) 1 e−νk0η1t

ge−νk0η1t + 2

2 g ≤ |

(cid:30)°t R =

. Ta s³ hùng minh r¬ng vîi b§t k¼ y(0)

| | − N0 νk0η1 (cid:1) (cid:0)

1 νη1/2 1 c1

thäa m¢n |

(3.49), ta â tø (3.54)

(3.55)

1 √12 " y(0) y(Tper) R. Thªt vªy, vîi ω0 thäa m¢n g |∞ |∇ m0η1/2 − 1 !# R, ta ng â | |g ≤ |g ≤

e−νk0η1Tper R2 + 1 e−νk0η1Tper . y(Tper) |

2 g ≤

Tø (cid:31)ành ngh¾a õa N0 trong (3.53), ta â thº t¼m (cid:31)÷ñ ω1 > 0 (cid:31)õ lîn sao ho

| − N0 νk0η1 (cid:0) (cid:1)

(3.56)

V¼ vªy, k¸t hñp vîi (3.55), ta nhªn (cid:31)÷ñ

N0 R2, ω1. ω0 ≥ ∀ νk0η1 ≤

vîi

(3.57)

R y(Tper) |g ≤ |

F . max ω1, kL∞(0,Tper;D(Ag )) ω0 ≥ 8c1√Lh νk0η1 k (cid:27) (cid:26)

V¼ h¼nh u {| · |g ≤

ompa t theo tæpæ y¸u. Do (cid:31)â, sû döng (cid:30)ành l½ Ty honoff ta suy ra ¡nh x¤

R Hg l tªp lçi trong khæng gian Hilbert, v nâ l } ⊂

. Khi (cid:31)â nghi»m yper õa h» (3.37) vîi

(cid:31)i·u ki»n ban (cid:31)u y∗

l mët nghi»m tun ho n hu k¼ Tper thäa m¢n

y(0) y(Tper) â (cid:31)iºm b§t (cid:31)ëng y∗ 7→

Khi (cid:31)â, bði (3.54) v (3.56), ta thu (cid:31)÷ñ

R. yper(0) |g ≤ |

(3.58)

N0 t R2, e−νk0η1tR2 + 1 e−νk0η1t [0, Tper], yper(t) ∀ ∈ |

2 g ≤

vîi ω0 (cid:31)õ lîn thäa m¢n (3.57).

B¶n ¤nh (cid:31)â, t½ h ph¥n (3.52) tr¶n [0, Tper] theo bi¸n thíi gian v x²t t½nh

tun ho n theo bi¸n thíi gian õa yper , ta (cid:31)÷ñ

| − νk0η1 ≤ (cid:0) (cid:1)

Tper

. yper(t)

2 gdt

k k ≤ N0Tper νk0

0

Do (cid:31)â, tçn t¤i t∗

(3.59)

[0, Tper) sao ho ∈

. yper(t∗) k

2 g ≤

B¥y gií l§y t½ h ph¥n (3.52) tr¶n [t∗, Tper] ta nhªn (cid:31)÷ñ

k N0 νk0

Tper

t yper(t) N0Tper, [t∗, Tper]. yper(Tper) yper(t∗)

2 gdt

2 g + νk0

k k ≤ ∀ ∈ |

2 g − |

| |

t∗

Do (cid:31)â, sû döng (3.58), ta â

Tper

(3.60)

, t yper(t) [t∗, Tper].

2 gdt

k k ≤ ∈ N0Tper + R2 νk0

t∗

T½ h ph¥n tø 0 (cid:31)¸n t trong (3.52) ta (cid:31)÷ñ

t

yper(s) yper(0) yper(t)

2 gds

2 g + N0Tper

2 g + νk0

k ≤ | | | |

0 k

t R2 + N0Tper, [0, Tper], ≤ ∀ ∈

v v¼ vªy

t

(3.61)

, t yper(s) [0, Tper].

2 gds

k ≤ ∀ ∈ N0Tper + R2 νk0

0 k

L§y t½ h væ h÷îng õa (3.37) vîi Agyper , ta â

ν(Cgyper, Agyper)g + (Cgh, Agyper)g

2 g + ν

2 g =

1 2 d dt k yperk Ayper| | − ν ω0

bg(yper, yper, Agyper) bg(h, h, Agyper) − −

(3.62)

+ bg(yper, h, Agyper) + bg(h, yper, Agyper) 1 ω2 0 1 ω0

Sû döng Bê (cid:31)· 1.3 v b§t (cid:31)¯ng thù Poin ar² (1.2), ta thu (cid:31)÷ñ

+ (Agh, Agyper)g. 1 ω0 ν ω0

(3.63)

ν |∇ yperkg| Agyper|g ν(Cgyper, Agyper)g ≤ −

2 g,

Agyper| | ≤ g |∞ m0 k g |∞ ν |∇ m0η1/2 1

(Cgh, Agyper)g ≤ h kg| Agyper| ν ω0

(3.64)

Agh Agyper| |g| | ≤

Bði Bê (cid:31)· 1.2 v ¡ b§t (cid:31)¯ng thù Poin ar² (1.1), (1.2), ta thu (cid:31)÷ñ

(3.65)

≤ h kL∞(0,Tper;D(Ag))| Agyper|g. k ν g |∞ |∇ ω0m0 k g ν |∞ |∇ ω0m0η1/2 1 ν g |∞ |∇ ω0m0η1/2 1

, bg(yper, yper, Agyper)

3/2 g

−

1/2 g k

≤

bg(h, h, Agyper)

1/2 g

Agyper| yperkg| h kg|

1/2 g k

Agh | | Agyper|g yper| h | ≤ − 1 ω2 0

≤ Agh |

2 g|

(3.66)

Agyper|g

2 L∞(0,Tper;D(Ag))|

Agyper|g, h k ≤ c3| c3 ω2 0 | c3 ω2 0η1 | c3 ω2 0η1 k

bg(yper, h, Agyper)

1/2 g

1/2 g k

Agyper|g ≤

Agyper| Agh

1/2 g

3/2 g

(3.67)

| yper| | |g| h kg| Agyper| | ≤

1/2 g

3/2 g

bg(h, yper, Agyper)

1/2 g

3/2 g

h |

1/2 g k

h k

1/2 g k

≤

Agh

1/2 g

3/2 g

(3.68)

1/2 g

3/2 g

Ta â

h kL∞(0,Tper;D(Ag))k yperk k Agyper| | ≤ 1 ω0 c2 ω0 | c2 ω0η3/4 1 c3 ω0η3/4 1

(3.69)

Agh (Agh, Agyper)g ≤ Agyper|g |g| ν ω0

Tø (3.62)-(3.69) ta suy ra

≤ h kL∞(0,Tper;D(Ag))| Agyper|g. ν ω0 | ν ω0 k

2

1 2 Agyper|g k h kL∞(0,Tper;D(Ag))| d dt k yperk

g + νk0|

Agyper|

2 g ≤

3/2 g

yperkg|

Agyper|g

3/2 g

yper|

1/2 g k

| h kL∞(0,Tper;D(Ag))| Agyper|

1/2 g

3/2 g

(3.70)

h kL∞(0,Tper;D(Ag))k k yperk Agyper| |

Sû döng b§t (cid:31)¯ng thù Cau hy, ta (cid:31)÷ñ

(3.71)

Agyper|g k

2 g +

2 L∞(0,Tper;D(Ag)),

Agyper| h k ≤ h kL∞(0,Tper;D(Ag))| 2 g ∞ | 0k0η1 k 2ν |∇ 0m2 ω2

2 L∞(0,Tper;D(Ag))|

(3.72)

Agyper|g h k

2 g +

4 L∞(0,Tper;D(Ag)),

1 k

(3.73)

h kL∞(0,Tper;D(Ag))| Agyper|g

2 g +

2 L∞(0,Tper;D(Ag)).

(cid:129)p döng b§t (cid:31)¯ng thù Young, ta â

(3.74)

ν ω0 k νk0 8 | Agyper| h k ≤ 2ν ω2 0k0 k

2 g +

4 g,

νk0 8 | Agyper| yper|

2 gk

yperk c3| yper|

1/2 g k

yperkg| Agyper|

3/2 g ≤

54c4 3 ν3k3 0 |

1/2 g

3/2 g

(3.75)

h kL∞(0,Tper;D(Ag))k yperk k Agyper| |

2 g,

2 g +

h k

4 L∞(0,Tper;D(Ag))k

yperk c2 ω0η3/4 1 νk0 8 | Agyper| ≤ 54c4 2 0η3 0ν3k3 ω4

1 k

3/2 g

yper| |

1/2 g k

(3.76)

Agyper|

2 g +

4 L∞(0,Tper;D(Ag)).

yper|

2 gk

Thay th¸ ¡ (cid:31)¡nh gi¡ tø (3.71) (cid:31)¸n (3.76) v o (3.70), ta (cid:31)÷ñ

h k c3 ω0η1/2 1 νk0 8 | Agyper| ≤ h kL∞(0,Tper;D(Ag ))| 54c4 3 0η2 0ν3k3 ω4 1 |

2 2 g +

2 L∞(0,Tper;D(Ag))

1 2 d dt k yperk h k Agyper|

g + νk0|

Agyper|

2 g ≤

2ν |∇ 0m2 ω2

2 g ∞ | 0k0η1 k

4 L∞(0,Tper;D(Ag ))

h k

1 k

2 g

h k

4 L∞(0,Tper;D(Ag))k

yperk 3νk0 4 | 2c2 3 0νk0η2 ω4 54c4 2 0η3 0ν3k3 ω4

1 k

4 g

2 L∞(0,Tper;D(Ag)) +

yper|

2 gk

yperk h k 54c4 3 ν3k3 0 |

4 L∞(0,Tper;D(Ag)).

yper|

2 gk

V¼ vªy

h k 2ν ω2 0k0 k 54c4 3 0η2 0ν3k3 ω4 1 |

2 g

2 g +

1 2 νk0| d dt k

2 +

2 L∞(0,Tper;D(Ag)) +

≤ h k

1 k

Agyper| 2c2 3 0νk0η2 ω4 2ν ω2 0k0

h +

2 L∞(0,Tper;D(Ag))

h k h k k

1 k

3R2

2 g +

4 g.

h k i 4 L∞(0,Tper;D(Ag))k yperk yperk k yperk 2 g 2ν ∞ | |∇ 0m2 ω2 0k0η1 3R2 54c4 0ν3k3 0η2 ω4 108c4 2 0η3 0ν3k3 ω4

1 k

(cid:31)¥y ta sû döng (3.58). V do (cid:31)â

108c4 ν3k3 0

2 g +

2 g

1 2

F yperk F Agyper| ν νk0| 2 L∞(0,Tper;D(Ag)) c2 3Lhk k d dt k 4Lhk k + ≤

2 g ∞ |∇ | m2 0η1

2 L∞(0,Tper;D(Ag)) 0νη2 ω2 1

ω2 0k0 27c4 3Lhk + ν + R2

0η2 1

108c4

2 F L∞(0,Tper;D(Ag)) k 0ν3k2 ω2 4 L∞(0,Tper;D(Ag))

2L2 hk

+ R2

4 g

do (3.34). Bä qua sè h¤ng

i 2 g + yperk k yperk k 108c4 3 ν3k3 0

2 g , ta th§y r¬ng

(3.77)

F k 0ν3k3 0η3 ω4 1 1 2 νk0| Agyper|

R2 N1 + N2 +

2 g

2 g,

yperk k d dt k yperk

2 g ≤

trong (cid:31)â

yperk k 108c4 3 ν3k3 0 (cid:16) (cid:17)

F F ν

2 L∞(0,Tper;D(Ag))

4Lhk k c2 3Lhk k + N1 = ω2

0k0

2 g ∞ |∇ | m2 0η1

h 27c4

3Lhk

R2 , + ν +

2 L∞(0,Tper;D(Ag)) 0νη2 ω2 1 2 F L∞(0,Tper;D(Ag)) k 0ν3k2 ω2

0η2 1

108c4

4 L∞(0,Tper;D(Ag))

2L2 hk

. N2 = F k 0ν3k3 ω4

0η3 1

Do (cid:31)â, tø (3.77), sû döng b§t (cid:31)¯ng thù Gronwall, ta â vîi måi t

[t∗, Tper], ∈

Tper

dτ R2 yper(τ ) N2 + yper(Tper) yper(t∗)

2 g

2 g exp

k k k k

2 g ≤ k

t∗

(cid:16) Z

Tper

(cid:0) Tper (cid:1) 2 + R2 (cid:17) dτ ds. N1 exp N2 + yper(τ ) k k

t∗

V¼ vªy, tø (3.59), (3.60) khi ω0 thäa m¢n (3.57), ta â

108c4 3 ν3k3 0 108c4 3 ν3k3 0 Z (cid:16) Z (cid:17) (cid:0) (cid:1)

yper(Tper) N3, k

2 g ≤

trong (cid:31)â

exp (N0Tper + R2)R2 N2Tper + N3 = N0 νk0 108c4 3 ν4k4 0 (cid:17) (cid:16)

Do (cid:31)â, tø yper(Tper) = yper(0), ta â

. + N1Tper exp N2Tper + (N0Tper + R2)R2 108c4 3 ν4k4 0 (cid:16) (cid:17)

yper(0) N3. k

2 g ≤

(cid:129)p döng b§t (cid:31)¯ng thù Gronwall ho (3.77), ta â vîi måi t

[0, Tper], ∈

t

dτ R2 yper(τ ) N2 + yper(t) yper(0)

2 g

2 g exp

k k k

2 g ≤ k

k k

0

108c4 3 ν3k3 0

t

(cid:16) Z t

+ (cid:1) dτ (cid:17) ds R2 N1 exp (cid:0) N2 + yper(τ )

2 g

k k

0

108c4 3 ν3k3 0 (cid:17) (cid:1) (N0Tper + R2)R2

0 Z N3 exp

(3.78)

(cid:16) Z (cid:0) N2Tper + ≤ 108c4 3 ν4k4 0 (cid:17) (cid:16)

vîi ω0 thäa m¢n (3.57). (cid:31)¥y ta sû döng (cid:31)¡nh gi¡ (3.61).

+ N1Tper exp N2Tper + (N0Tper + R2)R2 108c4 3 ν4k4 0 (cid:16) (cid:17)

Theo (cid:31)ành ngh¾a õa N0, N1, N2, N3 v Tper , ta â thº l§y ω0 ≥

lîn sao ho

ω2 > 0 (cid:31)õ

(N0Tper + R2)R2 N3 exp N2Tper + 108c4 3 ν4k4 0 (cid:16) (cid:17)

Do (cid:31)â, tø (3.78) ta suy ra

(3.79)

R2. (N0Tper + R2)R2 + N1Tper exp N2Tper + ≤ 108c4 3 ν4k4 0 (cid:17) (cid:16)

R2, t yper(t) [0, Tper],

2 g ≤

k ∀ ∈

. Tø (3.36) th¼ uper =

vîi ω0 ≥ 1 yper − ω0 (cid:31)¯ng thù (a + b)2

F max kL∞(0,Tper;D(Ag)), ω1, ω2 k 8c1√Lh νk0η1 k (cid:27) (cid:26) h(x, ω0t) l nghi»m tun ho n hu k¼ Tper õa (3.32). Sû döng b§t

2(a2 + b2) v (3.79), ta thu (cid:31)÷ñ ≤

2 uper(t) yper(t)

2 g

2 g +

h k k

2 g ≤

k k k 1 ω2 0 k (cid:19)

(cid:18) 2R2 +

2 L∞(0,Tper;D(Ag))

(3.80)

h k ≤

2R2 + F

2 L∞(0,Tper;D(Ag)).

B¥y gií, n¸u ω0 thäa m¢n

≤ k 2 ω2 0η1 k 2Lh ω2 0η1 k

th¼ bði (3.80) ta thu (cid:31)÷ñ

F k kL∞(0,Tper;D(Ag)) ω0 ≥ √2Lh Rη1/2 1

2

1 3R2 = , t uper(t) [0, Tper], − k

2 g ≤

k ∀ ∈ νη1/2 1 2c1 " g |∞ |∇ m0η1/2 1 !#

ω′

0 , trong (cid:31)â

vîi ω0 ≥

ω′ . F F

0 = max

(cid:30)i·u n y suy ra (3.35). (cid:30)ành l½ (cid:31)÷ñ hùng minh.

Nhªn x²t 3.2. Khi hùng minh sü tçn t¤i õa nghi»m tun ho n theo bi¸n

k kL∞(0,Tper;D(Ag)) kL∞(0,Tper;D(Ag )), ω1, ω2, 8c1√Lh νk0η1 k ( ) √2Lh Rη1/2 1

thíi gian yper thäa m¢n (3.35), ta n (cid:31)¡nh gi¡ sè h¤ng bg(h, h, Agyper) trong (3.66) v sè h¤ng (Agh, Agyper)g trong (3.69). Khi (cid:31)â, ph¡t sinh sè h¤ng | v v¼ vªy ta n gi£ thi¸t F

Agh

giúa h v F .

|g , L∞(0, Tper; D(Ag)) do mèi t÷ìng quan (3.34) ∈

B¥y gií ta hùng minh t½nh ên (cid:31)ành m to n ö õa nghi»m tun ho n

theo bi¸n thíi gian uper .

(cid:30)ành l½ 3.5. Gi£ sû gi£ thi¸t (F1) thäa m¢n v u0 ∈ nghi»m u(

Vg ho tr÷î . Khi (cid:31)â,

) õa h» (3.32) vîi (cid:31)i·u ki»n ban (cid:31)u u0 thäa m¢n ·

u(t) e−ηt 0, uper(t) uper(0)

2 g, t

| −

2 g ≤

| u0 − | | ≥

trong (cid:31)â η = νη1

1 > 0 v uper l nghi»m tun ho n theo bi¸n

|∇g|∞ m0η1/2

− (cid:18)

1 (cid:19)

thíi gian nhªn (cid:31)÷ñ trong (cid:30)ành l½ 3.4. Nâi ri¶ng, nghi»m tun ho n uper õa

h» (3.32) ph£i l duy nh§t.

Chùng minh. (cid:30)°t z = u

uper , ta â −

z′ + νAgz + νCgz + Bg(z, z) + B0

g z = 0,

trong (cid:31)â B0

uper(0),   z(0) = u0 −

 g z x¡ (cid:31)ành bði

B0 Vg.

g z, v

∈ h

ta â

ig = bg(z, uper, v) + bg(uper, z, v), vîi måi v Nh¥n ph÷ìng tr¼nh (cid:31)u ti¶n vîi z v sû döng bg(z, z, z) = bg(uper, z, z) = 0,

z z bg(z, uper, z).

2 g + ν

2 g =

Sû döng ¡ Bê (cid:31)· 1.2, 1.3 v b§t (cid:31)¯ng thù Poin ar² (1.1), ta suy ra

1 2 d dt | | k k ν(Cgz, z)g − −

z z z z z z ν |∇

2 g + ν

1 2 kg | kgk uperkg d dt | |

2 g ≤

k k

z z |g + c1| c1k ν |∇

2 g +

2 g.

Sû döng (cid:31)¡nh gi¡ (3.35) vîi nghi»m tun ho n uper v b§t (cid:31)¯ng thù Poin ar²

(1.1), ta â

k k k k ≤ g |∞ m0 k g |∞ m0η1/2 1 |gk uperkg η1/2 1

z 0. z

2 g + νη1

2 g ≤

| d dt | | − 1 g |∞ |∇ m0η1/2 1 ! |

(cid:30)i·u n y suy ra

z(t) e−ηt z(0) t 0,

2 g,

2 g ≤

trong (cid:31)â

| | | ∀ ≥

(cid:30)ành l½ (cid:31)÷ñ hùng minh.

K˜T LUŠN CH×ÌNG 3

Trong h÷ìng n y, hóng tæi nghi¶n ùu b i to¡n ên (cid:31)ành hâa h» g -Navier-

Stokes hai hi·u trong mi·n bà h°n. C¡ k¸t qu£ (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ bao gçm:

1) Thi¸t lªp (cid:31)÷ñ (cid:31)i·u ki»n (cid:31)õ ho sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t v t½nh ên (cid:31)ành

m õa nghi»m døng m¤nh ((cid:30)ành l½ 3.1).

2) Chùng minh (cid:31)÷ñ (cid:31)i·u ki»n ên (cid:31)ành hâa nghi»m døng m¤nh b¬ng (cid:31)i·u

khiºn ph£n hçi â gi¡ b¶n trong mi·n ((cid:30)ành l½ 3.2) v b¬ng (cid:31)i·u khiºn

ph£n hçi húu h¤n hi·u ((cid:30)ành l½ 3.3).

3) Chùng minh (cid:31)÷ñ sü tçn t¤i õa nghi»m tun ho n theo bi¸n thíi gian

((cid:30)ành l½ 3.4) v (cid:31)i·u ki»n ên (cid:31)ành hâa d¡ng (cid:31)i»u ti»m ªn õa nghi»m

b¬ng ngo¤i lü dao (cid:31)ëng nhanh theo bi¸n thíi gian ((cid:30)ành l½ 3.5).

> 0. η = νη1 − 1 g |∞ |∇ m0η1/2 1 !

Ch÷ìng 4

T(cid:157)NH ÊN (cid:30)ÀNH NGHI›M CÕA H› g-NAVIER-STOKES

NGˆU NHI–N HAI CHI—U VÎI TR™ HÚU H„N

Trong h÷ìng n y, hóng tæi s³ x²t h» ph÷ìng tr¼nh g -Navier-Stokes ng¨u

nhi¶n hai hi·u vîi tr¹ húu h¤n. (cid:30)u ti¶n, hóng tæi nghi¶n ùu sü tçn t¤i

õa nghi»m døng y¸u õa h» t§t (cid:31)ành t÷ìng ùng vîi h» ng¨u nhi¶n b¬ng ¡ h

sû döng ph÷ìng ph¡p ompa t, v khi h» sè nhît (cid:31)õ (cid:16)lîn(cid:17), hóng tæi hùng

minh nghi»m døng y¸u n y l duy nh§t. Sau (cid:31)â, hóng tæi nghi¶n ùu t½nh ên

(cid:31)ành m theo b¼nh ph÷ìng trung b¼nh v t½nh ên (cid:31)ành m hu h h n õa

nghi»m y¸u õa h» g -Navier-Stokes ng¨u nhi¶n hai hi·u vîi tr¹ húu h¤n.

Nëi dung õa h÷ìng n y düa tr¶n b i b¡o 2 trong Danh mö æng tr¼nh

khoa hå õa t¡ gi£ li¶n quan (cid:31)¸n luªn ¡n.

4.1. (cid:30)°t b i to¡n

vîi bi¶n trìn ∂

Cho O l mi·n bà h°n trong R2

Stokes hai hi·u ng¨u nhi¶n vîi tr¹ húu h¤n sau:

O . Chóng ta x²t h» g -Navier-

(4.1)

du = [ν∆u (u )u p + f + F (u(t ρ(t)))]dt − − ∇  − + G(u(t · ∇ ρ(t)))dW (t), x , t > 0, − ∈ O

(gu) = 0, , t > 0, x

∇ · u(x, t) = 0, , t > 0, x ∈ O ∂ ∈

u(x, t) = ϕ(x, t), x O , t [ τ, 0], ∈ O ∈ −

trong (cid:31)â u = u(x, t) = (u1, u2), p = p(x, t) t÷ìng ùng l h m ve tì vªn tè v

h m ¡p su§t n t¼m, ν > 0 l h» sè nhît, u0 l vªn tè ban (cid:31)u, f = f (x)

 

l ngo¤i lü khæng phö thuë thíi gian v khæng hùa tr¹, F (

hùa tr¹, G(u(t

) l ngo¤i lü · ρ(t)))dW (t) l nhi¹u ng¨u nhi¶n hùa tr¹, W (t) l qu¡ tr¼nh

tè ban (cid:31)u khi thíi gian t

thi¸t ö thº ho ¡ h m f, F, G s³ (cid:31)÷ñ (cid:31)÷a ra trong Mö 4.2 v Mö 4.3 d÷îi

(cid:31)¥y.

Sû döng ¡ to¡n tû (cid:31)ành ngh¾a trong Mö 1.2.2, h» g -Navier-Stokes hai

hi·u ng¨u nhi¶n (4.1) â thº vi¸t d÷îi d¤ng sau

− Wiener væ h¤n hi·u, h m ρ : [0, + ) [0, τ ] l bà h°n v (cid:31)o (cid:31)÷ñ , ϕ l vªn ∞ → [ τ, 0], trong (cid:31)â τ l sè d÷ìng è (cid:31)ành. C¡ gi£ ∈ −

du = [ ρ(t)))]dt νAgu(t) νCgu(t) Bg(u(t), u(t)) + f + F (u(t

(4.2)

 − + G(u(t − − ρ(t)))dW (t), − t > 0,

− L2(Ω, C([ θ [ τ, 0], u0(θ) = ϕ τ, 0]; Hg)), − ∈ ∈ −

nhi¶n (cid:31)o (cid:31)÷ñ , b¼nh ph÷ìng kh£ têng v nhªn gi¡ trà trong C([

  ð (cid:31)¥y ta k½ hi»u L2(Ω, C([ τ, 0]; Hg)) l khæng gian t§t £ ¡ qu¡ tr¼nh ng¨u −

hu©n

τ, 0]; Hg) vîi −

2

ϕ ϕ(θ)

0 = E sup

2 g.

k k |

θ∈[−τ,0] |

H» t§t (cid:31)ành t÷ìng ùng õa (4.2) nh÷ sau:

(4.3)

u(t) = νAgu(t) νCgu(t) Bg(u(t), u(t)) d dt − − −  +f + F (u(t ρ(t))), t > 0,

C([ θ [ τ, 0]. u0(θ) = ϕ − τ, 0]; Hg), ∈ − ∈ −

Ta (cid:31)ành ngh¾a nghi»m y¸u õa h» (4.2).

(cid:30)ành ngh¾a 4.1. Mët qu¡ tr¼nh ng¨u nhi¶n u(t), t

 

õa h» (4.2) n¸u

(i) u(t) l Ft -t÷ìng th½ h;

(ii) u

τ , gåi l nghi»m y¸u ≥ −

L∞( L2( τ, T ; Hg) τ, T ; Vg) hu h h n vîi måi T > 0; ∈ − ∩ −

(iii) ph÷ìng tr¼nh sau thäa m¢n nh÷ mët (cid:31)çng nh§t thù hu h h n trong

V ′ [0, + ),

g , vîi t

∞ ∈

u(t) =u(0)

t

+ [ ρ(s)))] ds νAgu(s) νCgu(s) Bg(u(s), u(s)) + f + F (u(s − − − −

0 t

+ G(u(s ρ(s)))dW (s). −

0

Ti¸p theo, ta thi¸t lªp mët æng thù Ito phò hñp ho b i to¡n.

vîi ¡ t½nh h§t sau:

K½ hi»u C (1,2)([0, Hg →

(1) Ψ(t, u) kh£ vi theo t

) Hg, R+) l khæng gian gçm t§t £ ¡ h m Ψ : ∞ × R+ ) [0, × ∞

[0, ) v kh£ vi Fr² het §p hai theo u vîi ∞

(2) Ψ(t,

Ψt(t, ), Ψu(t, ) bà h°n (cid:31)àa ph÷ìng tr¶n Hg ; ∈ ) v Ψuu(t, · · ·

(3) T§t £ ¡ lîp to¡n tû v¸t Z, tr(Ψuu(t,

), Ψt(t, ) v Ψu(t, ) li¶n tö tr¶n Hg ; · · ·

(4) n¸u v

)Z) li¶n tö tø Hg v o R; ·

Vg th¼ Ψu(t, v) Vg, v x Ψu(t, x), v∗ ig li¶n tö vîi méi ∈ 7→ h v∗ ∈ V ′ g ; ∈

(5) k

Bê (cid:31)· 4.1 (Cæng thù Ito). ([31℄) Gi£ sû Ψ

v Ψu(t, v) C0(t)(1 + Vg. kg ≤ k ∈

qu¡ tr¼nh ng¨u nhi¶n u(t) l nghi»m y¸u õa (4.2), th¼

kg), C0(t) > 0 vîi måi v C (1,2)([0, ) Hg, R+). N¸u ∈ ∞ ×

t

LΨ(s, u(s))ds Ψ(t, u(t)) = Ψ(0, u(0)) +

t

+ (Ψu(s, u(s)), G(u(s ρ(s)))dW (s))g , − Z0

trong (cid:31)â

LΨ(s, u(s))

= νCgu(s) Bg(u(s), u(s)) + f + F (u(s ρ(s))), Ψu(s, u(s)) h− − − − ig

(cid:31)¥y Ψu v Ψuu l (cid:31)¤o h m Fr² het, Ψt l (cid:31)¤o h m ri¶ng theo bi¸n thíi gian,

v ∗ l k½ hi»u õa to¡n tû li¶n hñp.

Trong h÷ìng n y, hóng ta s³ nghi¶n ùu nhúng v§n (cid:31)· sau:

+ ρ(s)))QG(u(s tr(Ψuu(s, u(s))G(u(s ρ(s)))∗) + Ψt(s, u(s)). νAgu(s) 1 2 − −

• Sü tçn t¤i v t½nh duy nh§t õa nghi»m døng y¸u õa h» t§t (cid:31)ành.

h h n õa nghi»m y¸u õa h» ng¨u nhi¶n â tr¹.

4.2. Sü tçn t¤i duy nh§t nghi»m døng õa h» t§t (cid:31)ành

Trong mö n y, hóng ta nghi¶n ùu h» (4.3), (cid:31)â l h» t§t (cid:31)ành t÷ìng ùng õa

h» ng¨u nhi¶n (4.2). (cid:30)º l m (cid:31)i·u n y, hóng ta (cid:31)÷a ra gi£ thi¸t sau:

• T½nh ên (cid:31)ành m theo b¼nh ph÷ìng trung b¼nh v t½nh ên (cid:31)ành m hu

(F2) H m F : Hg →

Hg li¶n tö Lips hitz vîi h¬ng sè Lips hitz LF , tù l ,

F (u) F (v) u v u, v Hg. | − |g ≤ LF | |g, − ∀ ∈

Ta (cid:31)÷a ra mët v½ dö v· ¡nh x¤ F thäa m¢n gi£ thi¸t (F2). Gi£ sû F : R2

l mët h m Lips hitz vîi h¬ng sè Lips hitz LF , h¯ng h¤n l§y F (x1, x2) =

R2 →

Hg (cid:31)ành ngh¾a bði (sin x1, cos x2). Khi (cid:31)â ¡nh x¤ Nemytski t÷ìng ùng (theo truy·n thèng, v¨n k½ hi»u l ) F : Hg →

s³ thäa m¢n gi£ thi¸t (F2) vîi òng h¬ng sè Lips hitz LF .

Tr÷î ti¶n, hóng ta (cid:31)ành ngh¾a nghi»m døng y¸u õa b i to¡n (4.3).

(F (u))(x) = F (u(x)), u Hg, ∈

(cid:30)ành ngh¾a 4.2. Gi£ sû ngo¤i lü f

V ′

g ho tr÷î . Nghi»m døng y¸u õa

b i to¡n (4.3) l phn tû u∗

(4.4)

∈ Vg sao ho ∈

Ta hùng minh k¸t qu£ sau (cid:31)¥y.

(cid:30)ành l½ 4.1. Cho f trong V ′

νAgu∗ + νCgu∗ + Bg(u∗, u∗) = f + F (u∗) trong V ′ g .

g . Gi£ sû ¡ gi£ thi¸t (G1) v (F2) thäa m¢n.

Khi (cid:31)â

(i) n¸u

(4.5)

th¼ tçn t¤i mët nghi»m døng y¸u u∗

, > ν − LF η1 1 g |∞ |∇ m0η1/2 1 !

(4.6)

Vg õa (4.3) thäa m¢n ∈

(ii) hìn núa, n¸u (cid:31)i·u ki»n sau (cid:31)¥y thäa m¢n

ν u∗ f − kg ≤ k k∗. 1 " LF η1 # k g |∞ |∇ m0η1/2 1 ! −

2

(4.7)

trong (cid:31)â c1 l h¬ng sè trong Bê (cid:31)· 1.2, th¼ nghi»m døng y¸u õa (4.3) l duy

nh§t.

> ν f − k∗, k LF η1 # 1 " g |∞ |∇ m0η1/2 1 ! − c1 η1/2 1

Chùng minh. (i) Sü tçn t¤i. G¿a sû { ri¶ng õa to¡n tû Ag . Vîi méi m

wj}

∞ j=1 l ì sð õa Vg gçm ¡ ve tì w1, . . . , wm} v ta

õa (4.3) bði

(cid:31)ành ngh¾a nghi»m døng y¸u x§p x¿ um

1, k½ hi»u Vm = span{ ≥

m

um = γmjwj,

j=1 X

thäa m¢n

(4.8)

ν((um, v))g + ν(Cgum, v)g+bg(um, um, v)

= f, v v Vg. h ig + (F (um), v)g, ∀ ∈

(cid:30)º hùng minh sü tçn t¤i õa um

, ta (cid:31)ành ngh¾a to¡n tû Rm : Vm →

(cid:31)ành bði

Vm x¡

((Rmu, v))g = ν Agu, v h

Vîi måi u

f, v u, v (F (u), v)g, − h ig + ν(Cgu, v)g + bg(u, u, v) Vm. ig − ∈ ∀

Vm , ∈

f, u ((Rmu, u))g = ν Agu, u (F (u), u)g h i

u ν u u

2 g

k∗k kg −

2 g − k

k k ≥ k ig − 2 u g − k k LF η1 k

= ν 1 u f u −

2 g − k

N¸u ta (cid:31)°t

k k∗k kg. " + ν(Cgu, u)g − h g ν |∞ f |∇ m0η1/2 1 LF η1 # k g |∞ |∇ m0η1/2 1 ! −

f , β = k

ν − LF η1 1 k∗ g |∞ |∇ m0η1/2 1 ! −

0 vîi måi u u ∈ Vm thäa m¢n k

s³ thu (cid:31)÷ñ ((Rmu, u))g ≥ theo Bê (cid:31)· 1.8, vîi méi m umkg ≤

trong (4.8), ta â

Thay v = um

kg = β . Do (cid:31)â, Vm sao ho Rm(um) = 0, vîi 1 tçn t¤i um ∈ ≥ β . k

(cid:129)p döng Bê (cid:31)· 1.3 ta â

f, um ν((um, um))g + ν(Cgum, um)g = ig + (F (um), um)g. h

um um ν um f um

2 g +

2 g,

k k k k

2 g ≤ k

v¼ vªy

(4.9)

k k∗k kg + LF η1 k g ν |∞ |∇ m0η1/2 1

f um ν k∗. kg ≤ k − 1 "

g |∞ |∇ m0η1/2 1 ! − um

′

Do (cid:31)â sû döng (4.5) ta suy ra d¢y { õa ph²p nhóng Vg ֒

um um LF η1 # k } bà h°n trong Vg , v bði t½nh ompa t } hëi } ⊂ { Hg , ta â thº tr½ h ra mët d¢y on { →

l nghi»m døng y¸u õa b i to¡n (4.3). (cid:30)¡nh

tö y¸u trong Vg v hëi tö m¤nh trong Hg tîi phn tû u∗ giîi h¤n trong (4.8) thu (cid:31)÷ñ u∗

thu (cid:31)÷ñ ngay tø (4.9).

gi¡ (4.6) õa u∗

l hai nghi»m døng y¸u õa b i to¡n

(ii) T½nh duy nh§t. Gi£ sû u∗, v∗

(4.3). Ta â

Vg . Chuyºn qua ∈

ν Agu∗ Agv∗, v bg(v∗, v∗, v) + ν(Cgu∗ Cgv∗, v)g h − ig + bg(u∗, u∗, v)

, ta thu (cid:31)÷ñ

Thay v = u∗

− = (F (u∗) − v F (v∗), v)g, Vg. − ∀ ∈

v∗ −

ν v∗ Agu∗ Agv∗, u∗ ν(Cgu∗ Cgv∗, u∗ v∗)g − h − − −

Do (cid:31)â

ig = bg(v, v∗, v) + (F (u∗) − F (v∗), u∗ v∗)g. − −

u∗ v∗ ν u∗ v∗ u∗ v∗ v∗ u∗ v∗

2 g,

2 g +

c1η−1/2 1 k − k

2 g ≤

k − k

2 gk

bði vªy

k kg + − k k − LF η1 k g ν |∞ |∇ m0η1/2 1

u∗ v∗ u∗ v∗ v∗ ν c1η−1/2 1

2 g ≤

k − k

2 gk

(cid:30)i·u n y suy ra

k kg. − − LF η1 # k 1 " g |∞ |∇ m0η1/2 1 ! −

2

u∗ v∗ u∗ f v∗ ν 1

2 g,

c1η−1/2 1 k

2 g ≤

. Do (cid:31)i·u ki»n (4.7), ta suy ra t½nh duy

ð (cid:31)¥y ta sû döng (cid:31)¡nh gi¡ (4.6) õa v∗

nh§t õa nghi»m døng y¸u.

4.3. T½nh ên (cid:31)ành m õa h» ng¨u nhi¶n

Trong mö n y hóng ta s³ nghi¶n ùu t½nh ên (cid:31)ành õa nghi»m y¸u õa h»

k − k k∗k k − − LF η1 # " g |∞ |∇ m0η1/2 1 ! −

Ta gi£ thi¸t:

g -Navier-Stokes ng¨u nhi¶n hai hi·u vîi tr¹ húu h¤n (4.2).

(G2) H m G : Hg →

L(K, Hg) li¶n tö Lips hitz, tù l ,

G(u) G(v) u v u, v Hg, kL0 − k

2 ≤

l nghi»m døng y¸u nhªn (cid:31)÷ñ

|g, − ∀ ∈

trong (cid:30)ành l½ 4.1.

õa ph÷ìng tr¼nh t§t (cid:31)ành (4.3) ng l

Nhªn th§y r¬ng nghi»m døng y¸u u∗

) do

mët nghi»m õa ph÷ìng tr¼nh ng¨u nhi¶n (4.2) (vîi (cid:31)i·u ki»n ban (cid:31)u u∗

gi£ thi¸t G(u∗) = 0. Trong mö n y hóng ta s³ nghi¶n ùu t½nh ên (cid:31)ành m

õa nghi»m u∗

Theo ¡ (cid:31)i·u ki»n (G1), (F2) v (G2), b¬ng ¡ h sû döng ph÷ìng ph¡p

Galerkin, ta â thº hùng minh sü tçn t¤i v t½nh duy nh§t õa nghi»m y¸u

to n ö u(

LG| v thäa m¢n G(u∗) = 0, trong (cid:31)â u∗

hñp h» Navier-Stokes). Do mö (cid:31)½ h h½nh ð (cid:31)¥y l nghi¶n ùu t½nh ên (cid:31)ành

m õa nghi»m døng y¸u, n¶n hóng ta s³ khæng tr¼nh b y hùng minh k¸t

qu£ v· sü tçn t¤i v t½nh duy nh§t õa nghi»m y¸u to n ö ð (cid:31)¥y.

Tr÷î ti¶n ta (cid:31)÷a ra (cid:31)i·u ki»n ên (cid:31)ành theo b¼nh ph÷ìng trung b¼nh õa

nghi»m døng y¸u u∗

l nghi»m døng y¸u õa (4.3) sao ho

(cid:30)ành l½ 4.2. Gi£ sû f

) õa b i to¡n (4.2) (xem [17℄ v· k¸t qu£ t÷ìng tü trong tr÷íng ·

g v u∗ V ′

(4.10)

∈

v gi£ sû ¡ gi£ thi¸t (G1), (F2) v (G2) thäa m¢n. Khi (cid:31)â, nghi»m y¸u

theo b¼nh

b§t k¼ u(t) õa (4.2) hëi tö theo tè (cid:31)ë m tîi nghi»m døng y¸u u∗

ph÷ìng trung b¼nh. Tù l , tçn t¤i hai sè thü α0, C0 > 0 thäa m¢n

, 2ν 1 > 2 u∗ − k kg + 2LF + L2 G η1 g |∞ |∇ m0η1/2 1 ! c1 η1/2 1

E u(t) u∗ 0. t C0e−α0t, |

2 g ≤

Chùng minh. Do (4.10), ta â thº hån sè d÷ìng λ thäa m¢n

| − ≥

2 u∗ λ 2ν > 0. η1 k kg − − − 2LF + L2 G η1 " 1 # g |∞ |∇ m0η1/2 1 ! − c1 η1/2 1

u(t) u∗

2 g , ta â

(cid:129)p döng æng thù Ito vîi h m | t

− |

u(t) u∗ u(0) u∗ 2 u∗ νAgu(s), u(s)

2 g =

| − | |

2 g −

| igds −

0 h

− t

t

2 u∗ 2 Z νBg(u(s)), u(s) (Cgu(s), u(s) u∗)gds − igds − − −

0

Z Z

0 h t

t

+ 2 (f, u(s) F (u(s ρ(s))), u(s) u∗ u∗)gds + 2 − igds − −

0 h

0 Z t

+ G(u(s ρ(s))) ds

2 L0 2

k − Z

0 k t

+ 2 (u(s) u∗, G(u(s ρ(s)))dW (s))g, − −

0

v do (cid:31)â

t

u(t) u∗ u(0) u∗ 2 u∗), u(s) u∗ νAg(u(s)

2 g =

| | | −

2 g −

| − igds −

0 h

− t

2 u∗ Z Bg(u(s)) Bg(u∗)), u(s) − igds − − Z

0 h t

2 u∗), u(s) (νCg(u(s) u∗)gds − − −

0 t

+ 2 (F (u(s ρ(s))) F (u∗), u(s) u∗)gds − − −

0 Z t

+ G(u(s ρ(s))) ds

2 L0 2

− k Z

0 k t

+ 2 (u(s) u∗, (G(u(s ρ(s)))dW (s))g. − −

0

V¼ vªy,

t

u(t) u∗ u(0) u∗ 2 ν u(s) u∗

2 g =

2 gds

| − | |

2 g −

| k k −

0

Z − t

2 u∗, u∗, u(s) u∗)ds bg(u(s) − − −

0 t

2 u∗), u(s) (νCg(u(s) u∗)gds − − −

0 t

+ 2 (F (u(s ρ(s))) F (u∗), u(s) u∗)gds − − −

0 Z t

+ G(u(s ρ(s))) ds

2 L0 2

− k

0 k

t

+ 2 (u(s) u∗, (G(u(s ρ(s)))dW (s))g. − −

0

(cid:129)p döng æng thù Ito (cid:31)èi vîi eλt

u(t) u∗

2 g , ta thu (cid:31)÷ñ

| − | t

eλt u(t) u∗ u(0) u∗ eλs u(s) u∗

2 g =

2 g + λ

2 gds

| − | | | | | −

0

Z − t

2 eλs u∗ νAgu(s), u(s) − igds − h

0 t

2 eλs u∗ Bg(u(s)), u(s) − igds − h

0 t

2 eλs(νCgu(s), u(s) u∗)gds − −

0 t

+ 2 eλs f, u(s) u∗ igds − h

0 t

+ 2 eλs(F (u(s ρ(s))), u(s) u∗)gds − −

0 t

+ 2 eλs(u(s) u∗, G(u(s ρ(s)))dW (s))g − −

0 Z t

+ eλs G(u(s ρ(s))) ds.

2 L0 2

k k −

0

Sû döng (4.4), ta â

t

eλs u∗ eλs u∗ νAgu∗, u(s) Bg(u∗), u(s) igds + − h h igds −

0

Z Z

t

+ eλs(F (u∗), u(s) eλs(νCgu∗, u(s) u∗)gds u∗)gds − − −

0

= f, u(s) u∗ Z t eλs h igds. −

0

Do (cid:31)â, sû döng t½nh h§t

ta thu (cid:31)÷ñ

u∗ u∗, u∗, u(s) u∗), Bg(u(s)) Bg(u∗)), u(s) h − ig = bg(u(s) − − −

eλt u(t) u∗

2 g

| |

t

eλs u(s) u∗ − u∗ = u(0)

2 gds

2 g + λ

| | − | − |

0 Z

t

2 eλs u∗), u(s) u∗ νAg(u(s) − h igds − −

0 t

2 u∗, u∗, u(s) u∗)ds eλsbg(u(s) − − −

0 t

2 u∗), u(s) eλs(νCg(u(s) u∗)gds − − −

0 t

+ 2 eλs(F (u(s ρ(s))) F (u∗), u(s) u∗)gds − − −

0 Z t

+ eλs G(u(s ρ(s))) G(u∗) ds

2 L0 2

k − k −

0 t

(4.11)

+ 2 eλs(u(s) u∗, (G(u(s ρ(s))) G(u∗))dW (s))g, − − −

0

do gi£ thi¸t G(u∗) = 0.

t

V¼

u∗, G(u(s ρ(s)))dW (s))g l mët martingale (xem [57℄),

0 eλs(u(s)

ta â

− −

t

(4.12)

E eλs(u(s) u∗, (G(u(s ρ(s))) G(u∗))dW (s))g = 0. − − −

0 Z

K¸t hñp (4.11) v (4.12), ta suy ra

t

2

eλtE u(t) u∗ u(0) u∗ Eeλs u(s) u∗

g = E

2 g + λ

2 gds

| − | | | | | −

0

Z − t

2ν eλsE u(s) u∗

2 gds

− k − k

0 Z t

2 u∗, u∗, u(s) u∗)ds eλsEbg(u(s) − − −

0 t

2 u∗), u(s) eλsE(νCg(u(s) u∗)gds − − −

0 t

+ 2 eλsE(F (u(s ρ(s))) F (u∗), u(s) u∗)gds − − −

0 Z t

(4.13)

+ eλsE G(u(s ρ(s))) G(u∗) ds.

2 L0 2

k − k −

0

Sû döng Bê (cid:31)· 1.2, ta â

t

2 u∗, u∗, u(s) u∗)ds eλsEbg(u(s) − − −

0 t

(4.14)

eλsE u(s) u∗ u∗ 2

2 gds.

k k − k kg ≤

0

Do Bê (cid:31)· 1.3, ta thu (cid:31)÷ñ

c1 η1/2 1 Z

t

2 u∗), u(s) eλsE(νCg(u(s) u∗)gds − − −

t

(4.15)

eλsE u(s) u∗ Z 2ν |∇

2 gds.

≤ k k −

0 0 g |∞ m0η1/2 1

Tø gi£ thi¸t (F2), ta â

t

2 eλsE(F (u(s ρ(s))) F (u∗), u(s) u∗)gds − − −

0 t

2 eλsE( F (u(s ρ(s))) F (u∗) u(s) u∗ ≤ − − |g| |g)ds − |

0 t

eλsE( u(s ρ(s)) u∗ u(s) u∗ )ds Z 2LF | − − || − | ≤

t

0 Z t

eλsE u(s ρ(s)) u∗ eλsE u(s) u∗ LF

2 gds

2 gds + LF

| − | − | − | ≤

0 t

(4.16)

eλsE u((s ρ(s)) u∗ eλsE u(s) u∗

2 gds,

Z 2 gds + LF | − − | k k − ≤

0

ð (cid:31)¥y hóng ta sû döng b§t (cid:31)¯ng thù Cau hy. Bði gi£ thi¸t (G2),

Z LF η1 Z

t

eλsE G(u(s ρ(s))) G(u∗) ds

2 L0 2

k k − −

0 t

(4.17)

eλsE u(s ρ(s)) u∗

2 gds.

Z L2 G − − | | ≤

0

Do (cid:31)â, tø (4.13)-(4.17) suy ra

eλtE u(t) u∗

2 g

| |

t

E u(0) − u∗ Eeλs u(s) u∗

2 g + λ

2 gds

| ≤ − | | | −

0 t

+ u∗ eλsE u(s) u∗ + 2ν 1

2 gds

kg + k k k − − − LF η1

0

(4.18)

2c1 η1/2 1 i Z h (cid:16)

Z g |∞ |∇ m0η1/2 1 (cid:17) t eλsE u(s ρ(s)) u∗ + (LF + L2

2 gds.

G)

| − − |

0

Bði

v tø (4.18), ta suy ra

u∗ + < 0, 2ν 1 k kg + − − LF η1 2c1 η1/2 1 g |∞ |∇ m0η1/2 1 (cid:17) (cid:16)

eλtE u(t) u∗

2 g

| −

t

E u(0) | u∗ eλsE u(s ρ(s)) u∗

2 g + (LF + L2 G)

2 gds

≤ | | − | − − |

0 Z

t

eλsE u(s) u∗ u∗ + λ 2ν η1

2 gds

| | − k k − − −

0

" 1 g |∞ |∇ m0η1/2 1 ! − 2c1 η1/2 1 LF η1 !# Z

E u(0) u∗

2 g

| ≤ | −

+ λ u∗ 2ν η1 − k kg − − 2LF + L2 G η1 " 1 !# g |∞ |∇ m0η1/2 1 ! − 2c1 η1/2 1

t

eλsE sup u(s + θ) u∗

2 gds.

× − |

θ∈[−τ,0] |

0

Do (cid:31)â

E E u(t) u∗ u(θ) u∗

ge−λt 2

2 g ≤

| − | − | sup θ∈[−τ,0]

+ λ 2ν u∗ η1 − − k kg − 2LF + L2 G η1 " 1 !# g |∞ |∇ m0η1/2 1 ! − 2c1 η1/2 1

t

(4.19)

e−λ(t−s)E sup u(s + θ) u∗ t 0.

2 gds,

× − | ∀ ≥

θ∈[−τ,0] |

0

D¹ th§y

(4.20)

E E u(t) u∗ u(θ) u∗ t [ τ, 0].

ge−λt, 2

2 g ≤

Tø (4.19), (4.20), v

| − | − | ∈ − sup θ∈[−τ,0]

k¸t hñp vîi Bê (cid:31)· 1.6, ta â

u∗ > 0, 2ν 1 k kg − − 2LF + L2 G η1 g |∞ |∇ m0η1/2 1 ! − 2c1 η1/2 1

E u(t) u∗ t 0, M0e−α0t, |

2 g ≤

| − ≥

trong (cid:31)â α0 ∈

(0, λ) v

E u(θ) u∗ C0 = max α0)

2 g(λ

| | − − sup θ∈[−τ,0] n

−1

eα0τ , ) u∗ λ 2ν(1 η1 − k kg − − − 2LF + L2 G η1 !# ! " g |∞ |∇ m0η1/2 1 2c1 η1/2 1

E u(θ) u∗ > 0.

2 g

(cid:30)ành l½ (cid:31)÷ñ hùng minh.

(cid:30)ành l½ 4.3. Gi£ sû ¡ gi£ thi¸t õa (cid:30)ành l½ 4.2 (cid:31)÷ñ thäa m¢n. Khi (cid:31)â,

theo

nghi»m y¸u b§t k¼ u(t) õa b i to¡n (4.2) hëi tö tîi nghi»m døng y¸u u∗

tè (cid:31)ë m hu h h n. Tù l , tçn t¤i mët sè thü γ > 0 sao ho

| | − sup θ∈[−τ,0] o

log u(t) u∗ γ, h. . .. lim t→+∞ 1 t |

2 g ≤ −

Chùng minh. Gi£ sû n

| −

ta â

1 l mët sè tü nhi¶n. Bði æng thù Ito, v vîi t nτ , ≥ ≥

u(t) u∗ u∗

2 g =

2 g

| | − | | − u(nt0) t

t

2 u∗ 2 u∗ νAgu(s), u(s) Bg(u(s)), u(s) − igds − − igds − Z Z

nt0h t

nt0 h t

2 f, u(s) u∗ (νCgu(s), u(s) u∗)gds + 2 − − igds −

nt0 h

nt0 t

+ 2 (F (u(s ρ(s))), u(s) Z u∗)gds − −

nt0 Z t

+ G(u(s ρ(s))) ds

2 L0 2

k − Z

nt0 k t

+ 2 (u(s) u∗, G(u(s ρ(s)))dW (s))g, − −

nt0

hay

u(t) u∗ u∗

2 g =

2 g

| | − | | − u(nt0) t

2 u∗), u(s) u∗ νAg(u(s) − − igds −

nt0 h

t

u∗ Bg(u(s)) Bg(u∗), u(s) − − igds − Z

nt0 h t

2 u∗), u(s) (νCg(u(s) u∗)gds − − − Z

nt0 t

+ 2 (F (u(s ρ(s))) F (u∗), u(s) u∗)gds − − −

nt0 Z t

+ G(u(s ρ(s))) ds

2 L0 2

− k Z

nt0 k t

(4.21)

+ 2 (u(s) u∗, G(u(s ρ(s)))dW (s))g. − −

nt0

Hìn núa, theo Bê (cid:31)· 1.5 (Bê (cid:31)· Burkholder-Davis-Gundy), ta â

t

(u(s) u∗, G(u(s 2E ρ(s))))gdW (s) − −

nt0

# "

1/2

sup nt0≤t≤(n+1)t0 Z (n+1)t0 u(s) u∗ G(u(s ρ(s))) ds n1E

2 L0 2

≤ |

2 gk

| − − k

nt0

# "Z

1/2

(n+1)t0

u(s) u∗ G(u(s ρ(s))) ds n1E

2 g

2 L0 2

≤ | − k − k sup nt0≤s≤(n+1)t0 |

nt0

" # Z

E u(s) u∗

2 g

1 2 ≤ | − sup nt0≤s≤(n+1)t0 | !

(n+1)t0

(4.22)

E G(u(s ρ(s))) ds, + n2

2 L0 2

k − k

nt0

trong (cid:31)â n1, n2 l ¡ h¬ng sè d÷ìng.

Theo (cid:30)ành l½ 4.2, ta â

(n+1)t0

(4.23)

E u(s ρ(s)) u∗ C1eα0τ e−α0nt0 .

2 gds

| − | − ≤

nt0

Do (cid:31)â, tø (4.10) v (4.21)-(4.23) ta suy ra

E u(s) u∗

2 g

| − sup nt0≤s≤(n+1)t0 | (cid:17) E u∗ (cid:16) u(nt0)

2 g

≤ | | −

(n+1)t0

E + 2ν 1 u(s) u∗ + u∗

2 gds

− − k k − kg + k LF η1

nt0

2c1 η1/2 1 h (cid:16) g |∞ |∇ m0η1/2 1 (cid:17) i Z

(n+1)t0

E u(s ρ(s)) u∗ +

2 gds

LF + (1 + n2)L2 G | − | −

nt0

Z (cid:1) E u(s) u∗ +

2 g

(cid:0) 1 2 | − sup nt0≤s≤(n+1)t0 | !

E u∗ u(nt0)

2 g

| ≤ | −

(n+1)t0

E 2ν 1 u(s) u∗ u∗ η1

2 gds

− − | | − − k kg − LF η1

nt0

2c1 η1/2 1 (cid:16) g |∞ |∇ m0η1/2 1 (cid:17)

i Z E + u(s) u∗ C1eα0τ e−α0nt0 + h LF + (1 + n2)L2 G

2 g

1 2 | − sup nt0≤s≤(n+1)t0 | ! (cid:1) E u∗ (cid:0) u(nt0) C1eα0τ e−α0nt0

2 g +

LF + (1 + n2)L2 G | ≤ − |

(cid:0) (cid:1) E u(s) u∗ . +

2 g

V¼ vªy, ta thu (cid:31)÷ñ

1 2 | − sup nt0≤s≤(n+1)t0 | !

E u(s) u∗

2 g

| − sup nt0≤s≤(n+1)t0 |

(cid:16) 2E u∗ u(nt0) C1eα0τ e−α0nt0

2 g + 2

(cid:17) LF + (1 + n2)L2 G ≤ | −

(cid:0) (cid:1) | 2C0e−α0nt0 + 2 C1eα0τ e−α0nt0 LF + (1 + n2)L2 G

trong (cid:31)â M = 2

(cid:0) (cid:1) ≤ = M e−α0nt0,

(cid:30)ành l½ 4.2.

C0 + C1eα0τ > 0 v α0 (cid:31)÷ñ ho trong LF + (1 + n2)L2 G

(cid:129)p döng b§t (cid:31)¯ng thù Cheby hev, ta â

h i (cid:0) (cid:1)

−ǫ)nt0

2

trong (cid:31)â M ′

l mët h¬ng sè d÷ìng ((cid:31)ë lªp vîi n, t, t0) v ǫ

P ω : M ′e− ǫnt0 u(t) u∗ , ≤ |g > e− (α0 − sup nt0≤t≤(n+1)t0 | (cid:26) (cid:27)

(cid:31)· 1.4, tçn t¤i sè nguy¶n d÷ìng n0 = n0(ω) thäa m¢n

(0, α0). Tø Bê ∈

−ǫ)nt0

2

, h. . ., u(t) u∗ e− (α0 − |g ≤ sup nt0≤t≤(n+1)t0 |

vîi måi n

Tø (cid:31)â suy ra

n0 . ≥

log u(t) u∗ , h. . .. lim t→+∞ 1 t α0 2 |

2 g ≤ −

(cid:30)ành l½ (cid:31)÷ñ hùng minh.

Nhªn x²t 4.1. C¡ k¸t qu£ trong h÷ìng n y ng â thº (cid:31)÷ñ mð rëng ho

| −

g . Tuy nhi¶n,

g â thº (cid:31)÷ñ

tr÷íng hñp to¡n tû F x¡ (cid:31)ành v li¶n tö Lips hitz tø Hg v o V ′ V ′ hóng ta v¨n h÷a bi¸t tr÷íng hñp têng qu¡t hìn F : Vg →

xû l½ b¬ng ph÷ìng ph¡p n y hay khæng. Nh÷ (cid:31)÷ñ (cid:31)· ªp (cid:31)¸n trong [20, 27℄,

k¾ thuªt düa tr¶n vi» ¡p döng bê (cid:31)· Gronwall ho ph²p h m tr¹ theo thíi

gian ρ(

th÷íng.

Khi G

) h¿ n (cid:31)o (cid:31)÷ñ , khæng nh§t thi¸t kh£ vi li¶n tö nh÷ gi£ thi¸t thæng ·

(4.3), v khi £ G

õa h» g -Navier-Stokes hai hi·u. Khi g = onst > 0, hóng ta thu (cid:31)÷ñ ¡

k¸t qu£ t÷ìng ùng (cid:31)èi vîi h» Navier-Stokes hai hi·u ng¨u nhi¶n â tr¹ trong

[27℄.

K˜T LUŠN CH×ÌNG 4

Trong h÷ìng n y, hóng tæi nghi¶n ùu h» g -Navier-Stokes ng¨u nhi¶n hai

hi·u vîi tr¹ húu h¤n. C¡ k¸t qu£ (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ bao gçm:

1) Chùng minh (cid:31)÷ñ sü tçn t¤i v t½nh duy nh§t õa nghi»m døng y¸u õa

h» t§t (cid:31)ành ((cid:30)ành l½ 4.1).

2) Chùng minh (cid:31)÷ñ t½nh ên (cid:31)ành m theo b¼nh ph÷ìng trung b¼nh ((cid:30)ành

l½ 4.2) v t½nh ên (cid:31)ành m hu h h n õa nghi»m y¸u õa h» ng¨u

nhi¶n â tr¹ ((cid:30)ành l½ 4.3).

0, hóng ta â (cid:31)÷ñ (cid:31)i·u ki»n ên (cid:31)ành õa h» t§t (cid:31)ành t÷ìng ùng ≡ 0 v F 0, hóng ta thu (cid:31)÷ñ (cid:31)i·u ki»n ên (cid:31)ành (cid:31)¢ bi¸t ≡ ≡

K˜T LUŠN

1. K˜T QUƒ (cid:30)„T (cid:30)×ÑC

Trong luªn ¡n n y hóng tæi nghi¶n ùu t½nh ên (cid:31)ành v ên (cid:31)ành hâa (cid:31)èi vîi

mët sè ph÷ìng tr¼nh ti¸n hâa trong ì hå h§t läng. Luªn ¡n (cid:31)¢ (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ ¡

k¸t qu£ sau:

1. (cid:30)èi vîi h» Navier-Stokes-Voigt ba hi·u trong mi·n bà h°n: (cid:30)÷a ra (cid:31)i·u

ki»n (cid:31)õ (cid:31)£m b£o t½nh duy nh§t v t½nh ên (cid:31)ành m õa nghi»m døng

m¤nh; thi¸t lªp (cid:31)÷ñ (cid:31)i·u ki»n ên (cid:31)ành hâa nghi»m døng m¤nh b¬ng

(cid:31)i·u khiºn ph£n hçi â gi¡ b¶n trong mi·n ho° b¬ng nhi¹u ng¨u nhi¶n

nh¥n t½nh phò hñp.

2. (cid:30)èi vîi h» g -Navier-Stokes hai hi·u trong mi·n bà h°n: Chùng minh

(cid:31)÷ñ sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t v t½nh ên (cid:31)ành m õa nghi»m døng

m¤nh; thi¸t lªp (cid:31)÷ñ (cid:31)i·u ki»n ên (cid:31)ành hâa nghi»m døng m¤nh b¬ng

(cid:31)i·u khiºn ph£n hçi â gi¡ b¶n trong mi·n v b¬ng (cid:31)i·u khiºn ph£n hçi

húu h¤n hi·u; hùng minh (cid:31)÷ñ (cid:31)i·u ki»n ên (cid:31)ành hâa d¡ng (cid:31)i»u ti»m

ªn õa nghi»m b¬ng ngo¤i lü dao (cid:31)ëng nhanh theo bi¸n thíi gian.

3. (cid:30)èi vîi h» g -Navier-Stokes ng¨u nhi¶n hai hi·u vîi tr¹ húu h¤n trong

mi·n bà h°n: Chùng minh (cid:31)÷ñ sü tçn t¤i v t½nh duy nh§t õa nghi»m

døng y¸u õa h» t§t (cid:31)ành; hùng minh (cid:31)÷ñ t½nh ên (cid:31)ành m theo b¼nh

ph÷ìng trung b¼nh v t½nh ên (cid:31)ành m hu h h n õa nghi»m y¸u

õa h» ng¨u nhi¶n.

2. KI˜N NGHÀ MËT SÈ V‡N (cid:30)— NGHI–N CÙU TI˜P THEO

B¶n ¤nh ¡ k¸t qu£ (cid:31)¢ (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ trong luªn ¡n, mët sè v§n (cid:31)· mð n ti¸p

tö nghi¶n ùu nh÷:

(cid:31)i·u khiºn ph£n hçi húu h¤n hi·u.

• Nghi¶n ùu b i to¡n ên (cid:31)ành hâa h» Navier-Stokes-Voigt ba hi·u b¬ng

Stokes b¬ng ¡ (cid:31)i·u khiºn â gi¡ tr¶n bi¶n õa mi·n. (cid:30)¥y l nhúng v§n

(cid:31)· â þ ngh¾a thü ti¹n lîn nh÷ng tä ra r§t khâ.

• Nghi¶n ùu b i to¡n ên (cid:31)ành hâa h» Navier-Stokes-Voigt v h» g -Navier-

DANH MÖC CÆNG TRœNH KHOA HÅC CÕA T(cid:129)C GIƒ

LI–N QUAN (cid:30)˜N LUŠN (cid:129)N

1. D.T. Quyet and N.V. Tuan, On the stationary solutions to 2D g -Navier-

Stokes equations, A ta Math. Viet. 42 (2017), 357-367.

2. C.T. Anh, N.V. Thanh and N.V. Tuan, On the stability of solutions

to sto hasti 2D g -Navier-Stokes equations with finite delays, Random

Oper. Sto h. Equ. 25 (2017), no. 4, 211-224.

3. C.T. Anh and N.V. Tuan, Stabilization of 3D Navier-Stokes-Voigt equa-

tions, Georgian Math. J. (2018), DOI: 10.1515/gmj-2018-0067.

4. N.V. Tuan, Stabilization of 2D g -Navier-Stokes equations, Commun. Ko-

rean Math. So . (2019), DOI: 10.4134/CKMS. 180265.

100

T i li»u tham kh£o

[1℄ C.T. Anh and D.T. Quyet (2012), Long-time behavior for 2D non-

autonomous g -Navier-Stokes equations, Ann. Pol. Math. 103, 277-302.

[2℄ C.T. Anh and D.T. Quyet (2012), g -Navier-Stokes equations with infinite

delays, Vietnam J. Math. 40, 57-78.

[3℄ C.T. Anh, D.T. Quyet and D.T. Tinh (2013), Existen e and finite time

approximation of strong solutions of the 2D g -Navier-Stokes equations,

A ta Math. Vietnam. 28, 413-428.

[4℄ C.T. Anh and D.T.P. Thanh (2018), Existen e and long-time behavior

of solutions to Navier-Stokes-Voigt equations with infinite delay, Bul l.

Korean Math. So . 55, 379-403.

[5℄ C.T. Anh and N.V. Thanh (2019), On the existen e and long-time be-

havior of solutions to sto hasti three-dimensional Navier-Stokes-Voigt

equations, Sto hasti s 91, 485-513.

[6℄ C.T. Anh and V.M. Toi (2017), Stabilizing the long-time behavior of the

Navier-Stokes-Voigt equations by fast os illating-in-time for es, Bul l. Pol.

A ad. S i. Math. 65, 177-185.

[7℄ C.T. Anh and P.T. Trang (2013), Pull-ba k attra tors for three-

dimensional Navier-Stokes-Voigt equations in some unbounded domains,

Pro . Roy. So . Edinburgh Se t. A 143, 223-251.

101

[8℄ C.T. Anh and P.T. Trang (2016), De ay rate of solutions to the 3D Navier-

spa es, Appl. Math. Lett. 61, 1-7.

Stokes-Voigt equations in H m

[9℄ A. Azouani and E.S. Titi (2014), Feedba k ontrol of nonlinear dissipative

systems by finite determining parameters - A rea tion-diffusion paradigm,

Evol. Equa. Control Theory 3, 579-594.

[10℄ A. Azouani, E. Olson and E.S. Titi (2014), Continuous data assimilation

using general interpolant observables, J. Nonlinear S i. 24, 277-304.

[11℄ M. Badra and T. Takahashi (2011), Stabilization of paraboli nonlinear

systems with finite dimensional feedba k or dynami al ontrollers: appli-

ation to the Navier-Stokes system, SIAM J. Control Optim. 49, 420-463.

[12℄ H. Bae and J. Roh (2004), Existen e of solutions of the g -Navier-Stokes

equations, Taiwanese J. Math. 8, 85-102.

[13℄ V. Barbu (2011), Stabilization of Navier-Stokes Flows, Communi ations

and Control Engineering Series, Springer, London.

[14℄ V. Barbu (2013), Note on the internal stabilization of sto hasti paraboli

equations with linearly multipli ative Gaussian noise, ESAIM Control Op-

tim. Cal . Var. 19, 1055-1063.

[15℄ V. Barbu and C. Lefter (2003), Internal stabilizability of the Navier-Stokes

equations, Systems Control Lett. 48, 161-167.

[16℄ V. Barbu and G. Wang (2003), Internal stabilization of semilinear

paraboli systems, J. Math. Anal. Appl. 285, 387-407.

[17℄ H.I. Bre kner (1999), Approximation and Optimal Control of the Sto has-

ti Navier-Stokes Equation, PhD dissertation, Martin-Luther University,

Halle-Wittenberg.

102

[18℄ Y. Cao, E.M. Lunasin and E. S. Titi (2006), Global well-posedness of

the three-dimensional vis ous and invis id simplified Bardina turbulen e

models, Commun. Math. S i. 4, 823-848.

[19℄ T. Caraballo and X. Han (2014), Stability of stationary solutions to 2D-

Navier-Stokes models with delays, Dyn. Partial Differ. Equ. 11, 345-359.

[20℄ T. Caraballo and X. Han (2015), A survey on Navier-Stokes models with

delays: existen e, uniqueness and asymptoti behavior of solutions, Dis-

rete Contin. Dyn. Syst. Ser. S 8, 1079-1101.

[21℄ T. Caraballo and P.E. Kloeden (2010), Stabilization of evolution equa-

tions by noise, Re ent development in sto hasti dynami s and sto hasti

analysis, 43-66, Interdis ip. Math. S i., 8, World S i. Publ., Ha kensa k,

NJ.

[22℄ T. Caraballo, P.E. Kloeden and B. S hmalfuss (2006), Stabilization of

stationary solutions of evolution equations by noise, Dis rete Contin. Dyn.

Syst. Ser. B 6, 1199-1212.

[23℄ T. Caraballo, K. Liu and X. Mao (2001), On stabilization of partial dif-

ferential equations by noise, Nagoya Math. J. 161, 155-170.

[24℄ T. Caraballo and J. Real (2001), Navier-Stokes equations with delays, R.

So . Lond. Pro . Ser. A Math. Phys. Eng. S i. 457, 2441-2453.

[25℄ T. Caraballo and J. Real (2003), Asymptoti behaviour of Navier-Stokes

equations with delays, R. So . Lond. Pro . Ser. A Math. Phys. Eng. S i.

459, 3181-3194.

[26℄ A.O. Celebi, V.K. Kalantarov and M. Polat (2009), Global attra tors for

2D Navier-Stokes-Voight equations in an unbounded domain, Appl. Anal.

88, 381-392.

103

[27℄ H. Chen (2012), Asymptoti behavior of sto hasti two-dimensional

Navier-Stokes equations with delays, Pro . Indian A ad. S i. (Math. S i.)

122, 283-295.

[28℄ P. Constantin and C. Foias (1988), Navier-Stokes Equations, Chi ago Le -

tures in Mathemati s, University of Chi ago Press, Chi ago.

[29℄ M. Coti Zelati and C.G. Gal (2015), Singular limits of Voigt models in

fluid dynami s, J. Math. Fluid Me h. 17, 233-259.

[30℄ J. Cyranka, P.B. Mu ha, E.S. Titi and P. Zgli zy(cid:1)nski (2018), Stabilizing

the long-time behavior of the for ed Navier-Stokes and damped Euler

systems by large mean flow, Phys. D 369, 18-29.

[31℄ G. Da Prato and J. Zab zyk (2014), Sto hasti Equations in Infinite Di-

mensions, se ond edition, Cambridge University Press, Cambridge.

[32℄ J. Duan and W. Wang (2014), Effe tive Dynami s of Sto hasti Partial

Differential Equations, Elsevier, Amsterdam.

[33℄ A.V. Fursikov (2014), Stabilization of the simplest normal paraboli equa-

tion, Commun. Pure Appl. Anal. 13, 1815-1854.

[34℄ G.P. Galdi (2011), An Introdu tion to the Mathemati al Theory of the

Navier-Stokes Equations. Steady-State Problems, se ond edition, Springer,

New York.

[35℄ M.J. Garrido-Atienza and P. Mar½n-Rubio (2006), Navier-Stokes equations

with delays on unbounded domains, Nonlinear Anal. 64, 1100-1118.

[36℄ J. Gar ½a-Luengo, P. Mar½n-Rubio and J. Real (2012), Pullba k attra -

tors for three-dimensional non-autonomous Navier-Stokes-Voigt equa-

tions, Nonlinearity 25, 905-930.

104

[37℄ M. Holst, E. Lunasin and G. Tsogtgerel (2010), Analysis of a general

family of regularized Navier-Stokes and MHD models, J. Nonlinear S i.

20, 523-567.

[38℄ J. Jiang and Y. Hou (2009), The global attra tor of g -Navier-Stokes equa-

, Appl. Math. Comp. 215, 1068-1076.

tions with linear dampness on R2

[39℄ J. Jiang and Y. Hou (2010), Pullba k attra tor of 2D non-autonomous

(Engl. Ed.) 31, 697-708.

[40℄ J. Jiang and X. Wang (2013), Global attra tor of 2D autonomous g -

Navier-Stokes equations, Appl. Math. Me h. (English Ed.) 34, 385-394.

[41℄ V.K. Kalantarov and E.S. Titi (2009), Global attra tor and determining

modes for the 3D Navier- Stokes-Voight equations, Chin. Ann. Math. Ser.

B 30, 697-714.

[42℄ M. Kwak, H. Kwean and J. Roh (2006), The dimension of attra tor of the

2D g -Navier-Stokes equations, J. Math. Anal. Appl. 315, 436-461.

[43℄ H. Kwean and J. Roh (2005), The global attra tor of the 2D g -Navier-

Stokes equations on some unbounded domains, Commun. Korean Math.

So . 20, 731-749.

[44℄ J.-L. Lions (1969), Quelques M²thodes de R²solution des Probl±mes aux

Limites Non Lin²aires, Dunod, Paris.

[45℄ X. Mao (2008), Sto hasti Differential Equations and Appli ations, Se ond

edition, Horwood Publishing Limited, Chi hester.

[46℄ P. Mar½n-Rubio, J. Real and J. Valero (2011), Pullba k attra tors for a

two-dimensional Navier-Stokes model in an infinite delay ase, Nonlinear

Anal. 74, 2012-2030.

g -Navier-Stokes equations on some bounded domains, App. Math. Me h.

105

[47℄ C.J. Ni he (2016), De ay hara terization of solutions to Navier-Stokes-

Voigt equations in terms of the initial datum, J. Differential Equations

260, 4440-4453.

[48℄ A.P. Oskolkov (1973), The uniqueness and solvability in the large of

boundary value problems for the equations of motion of aqueous solutions

of polymers, Zap. Nau hn. Sem. Leningrad. Otdel. Math. Inst. Steklov.

(LOMI) 38, 98-136.

[49℄ V. Pata (2019), Fixed Point Theorems and Appli ations, Springer.

[50℄ G. Planas and E. Hernandez (2008), Asymptoti behavior of two-

dimensional time-delayed Navier-Stokes equations, Dis rete Contin. Dy-

nam. Syst. 31, 1245-1258.

[51℄ D.T. Quyet (2014), Asymptoti behavior of strong solutions to 2D g -

Navier-Stokes equations, Commun. Korean Math. So . 29, 505-518.

[52℄ D.T. Quyet (2015), Pullba k attra tors for strong solutions of 2D non-

autonomous g -Navier-Stokes equations, A ta Math. Vietnam. 40, 637-651.

[53℄ J.-P. Raymond and L. Thevenet (2010), Boundary feedba k stabilization

of the two dimensional Navier-Stokes equations with finite dimensional

ontrollers, Dis rete Contin. Dyn. Syst. 27, 1159-1187.

[54℄ J.C. Robinson (2001), Introdu tion to Infinite-Dimensional Dynami al

Systems, Cambridge University Press, Cambridge.

[55℄ J. Roh (2001), g-Navier-Stokes equations, PhD Thesis, University of Min-

nesota, 178 pp.

[56℄ J. Roh (2005), Dynami s of the g -Navier-Stokes equations, J. Differential

Equations 211, 452-484.

106

[57℄ S.S. Sritharan and P. Sundar (2006), Large derivations for the two-

dimensional Navier-Stokes equations with multipli ative noise, Sto h.

Pro . Appl. 116, 1636-1659.

[58℄ T. Tanigu hi (2005), The exponential behavior of Navier-Stokes equations

with time delay external for e, Dis . Cont. Dyna. Syst. 15, 997-1018.

[59℄ R. Temam (1979), Navier-Stokes Equations: Theory and Numeri al Anal-

ysis, 2nd edition, Amsterdam: North-Holland.

[60℄ R. Temam (1997), Infinite-Dimensional Dynami al Systems in Me hani s

and Physi s, 2nd ed., Springer-Verlag, New York.

[61℄ L. Wan and Q. Zhou (2011), Asymptoti behaviors of sto hasti two-

dimensional Navier-Stokes equations with finite memory, J. Math. Phys.

52, 042703, 15 pp.

[62℄ D. Wu (2009), The finite-dimensional uniform attra tors for the nonau-

tonomous g -Navier-Stokes equations, J. Appl. Math., Art. ID 150420, 17

pp.

[63℄ D. Wu and J. Tao (2012), The exponential attra tors for the g-Navier-

Stokes equations, J. Fun t. Spa es Appl., Art. ID 503454, 12 pp.

[64℄ X.G. Yang, L. Li and Y. Lu (2018), Regularity of uniform attra tor for

3D non-autonomous Navier-Stokes-Voigt equation, Appl. Math. Comput.

334, 11-29.

[65℄ G. Yue and C.K. Zhong (2011), Attra tors for autonomous and nonau-

tonomous 3D Navier-Stokes-Voight equations, Dis rete. Cont. Dyna. Syst.

Ser. B 16, 985-1002.

[66℄ C. Zhao and H. Zhu (2015), Upper bound of de ay rate for solutions to the

, Appl. Math. Comput. 256, 183-191.

Navier-Stokes-Voigt equations in R3