Dự thảo tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Xấp xỉ Và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi và không thích nghi trong không gian Besov

MỞ ĐẦU

Trong những năm gần đây, các phương pháp xấp xỉ hiện đại của toán học

được ứng dụng một cách triệt để và có hiệu quả vào trong lĩnh vực xử lý tín hiệu,

xử lý ảnh và thị giác máy tính. Bài toán khôi phục tín hiệu (hàm số) là một bài

toán hết sức quan trọng trong lĩnh vực xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, vì trong thực

tế không có một loại máy nào có thể cho ta thông tin chính xác của tín hiệu.

Một trong những vấn đề nền tảng được đặt ra là tìm phương pháp tối ưu để

khôi phục tín hiệu hoặc nén tín hiệu từ một số hữu hạn giá trị lấy mẫu. Lý thuyết

sóng nhỏ được hình thành và phát triển trong những năm 90 của thế kỷ trước, là

một trong những công cụ biểu diễn hiệu quả nhất trong xử lý tín hiệu, đặc biệt là

trong bài toán khôi phục hoặc nén tín hiệu từ giá trị lấy mẫu. Trong các bài toán

xử lý tín hiệu, xử lý ảnh và thị giác máy tính, tín hiệu được mô hình hóa như một

hàm số một biến hoặc nhiều biến.

Trước tiên chúng ta xét một số bài toán truyền thống về khôi phục hàm số từ

giá trị lấy mẫu. Vấn đề đặt ra là chúng ta cần khôi phục gần đúng tín hiệu nhiều

chiều f từ n giá trị lấy mẫu. Trên cơ sở thông tin này chúng ta xây dựng một

phương pháp để khôi phục. Trong các cách tiếp cận truyền thống thông tin về

giá trị lấy mẫu và phương pháp khôi phục không thích nghi với hàm số, nghĩa là

các điểm lấy mẫu và phương pháp khôi phục tín hiệu được chọn giống nhau cho

mọi tín hiệu. Các phương pháp khôi phục không thích nghi với hàm số từ giá

trị lấy mẫu tối ưu được nghiên cứu bởi các tác giả từ Đại học Quốc gia Hà Nội,

Đại học Tổng hợp South Carolina, Hoa Kỳ, Đại học Tổng hợp Jena, CHLB Đức. . .

Các tác giả của các công trình này đã tính được tốc độ hội tụ của các đại lượng

đặc trưng cho các phương pháp khôi phục không thích nghi với hàm từ giá trị

lấy mẫu tối ưu. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp các phương pháp khôi phục

không thích nghi không mềm dẻo linh hoạt vì dáng điệu của các tín hiệu rất khác

nhau.

Đề tài Luận án sẽ nghiên cứu một cách tiếp cận mới cho bài toán khôi phục tín

hiệu nhiều chiều từ giá trị lấy mẫu bằng cách buộc thông tin về giá trị lấy mẫu và

1

phương pháp khôi phục phải thích nghi với tín hiệu. Cách tiếp cận này do Giáo

sư Đinh Dũng đề xuất và nghiên cứu. Cụ thể là các điểm lấy giá trị thử và phương

pháp khôi phục tín hiệu được chọn sao cho chúng thích nghi với từng tín hiệu.

Đề tài sẽ tập trung nghiên cứu các phương pháp khôi phục thích nghi với tín

hiệu từ giá trị lấy mẫu tối ưu bằng các tín hiệu đơn giản từ các tập hợp có dung

lượng hữu hạn được đo bằng số các phần tử hay giả chiều (pseudo-dimension)

của chúng, hoặc bằng các tín hiệu đơn giản là tổ hợp tuyến tính của n số hạng từ

một từ điển. Đề tài sẽ nghiên cứu những đại lượng đặc trưng cho những phương

pháp khôi phục tối ưu có liên quan đến (cid:101)-entropy, các độ dày phi tuyến và xấp xỉ

bằng n số hạng. Ngoài ra đề tài luận án cũng nghiên cứu các phương pháp xấp xỉ

và khôi phục không thích nghi tốt nhất, trong đó có phương pháp tuyến tính. Để

xây dựng phương pháp khôi phục thích nghi và không thích nghi với tín hiệu từ

giá trị lấy mẫu tối ưu Đề tài Luận án sẽ xây dựng các biểu diễn sóng nhỏ giả nội

suy của hàm số. Các phương pháp khôi phục thích nghi với hàm số từ giá trị lấy

mẫu tối ưu sẽ cho bậc tiệm cận của sai số xấp xỉ tốt hơn các phương pháp khôi

phục không thích nghi đã được nghiên cứu. Tuy nhiên, độ phức tạp tính toán của

phương pháp thích nghi đôi khi lớn hơn các phương pháp không thích nghi, đặc

biệt là các phương pháp tuyến tính.

Ngoài phần Mở đầu, luận án gồm 3 chương, Kết luận và kiến nghị, Danh mục

công trình của tác giả liên quan đến luận án, và Tài liệu tham khảo.

Chương 1: Nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản liên quan đến luận

án. Phát biểu và chứng minh các định lý biểu diễn: Định lý biểu diễn giả nội suy

qua giá trị lấy mẫu và Định lý biểu diễn qua đa thức lượng giác.

Chương 2: Nghiên cứu Khôi phục và xấp xỉ hàm số bằng phương pháp tuyến

tính.

Chương 3: Nghiên cứu vấn đề khôi phục và xấp xỉ hàm số bằng phương pháp

phi tuyến.

Các kết quả của luận án này đã được báo cáo tại:

- Xêmina bộ môn Giải tích, xêmina bộ môn Toán giải tích, Khoa Toán - Cơ -

Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội.

- Xêmina tại phòng thư viện, Viện nghiên cứu cao cấp về Toán.

2

-Xêmina tại bộ môn Toán giải tích, Khoa KHTN, Trường ĐH Hồng Đức.

Các kết quả chính của luận án đã được đăng trên các tạp chí Acta Mathematica

Vietnamica , Journal of Computer Science and Cybernetics, Southeast Asian Bulletin of

Mathematics.

3

Chương 1

CÁC ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN BẰNG GIÁ TRỊ LẤY MẪU

Chương này tôi trình bày một định lý và một bổ đề là một trong những kết

quả mới của luận án, đó là định lý biểu diễn một hàm số thuộc không gian Besov

thành chuỗi bởi các B-spline và đa thức lượng giác, chứng minh tương đương

chuẩn.

1.1 Không gian Besov

Định nghĩa 1.1. Cho f ∈ Lp(Id), toán tử sai phân cấp l được định nghĩa bởi

(−1)l−j

h f (x) :=

l ∑ j=0

(cid:19) ∆l f (x + jh). (cid:18)l j

Định nghĩa 1.2. Nếu f ∈ Lp(Id), thì

(cid:13) (cid:13)∆l h f (cid:13) (cid:13)p,Id(lh) ωl( f , t)p := sup |h|

(cid:110) được gọi là modul trơn cấp l của f , ở đây Id(lh) := x : x, x + lh ∈ Id(cid:111) .

Cho hàm số Ω : R+ → R+ thỏa mãn các điều kiện

(i) Ω(t) > 0, ∀t > 0,

(ii) Ω(t) ≤ c.Ω(t(cid:48)), ∀t, t(cid:48) ∈ R+, t ≤ t(cid:48),

Ω p,θ được định nghĩa là tập

(iii) ∀γ ≥ 1, ∃C(cid:48) = C(cid:48)(γ) sao cho Ω(γt) ≤ C(cid:48).Ω(t), t ∈ R+.

Định nghĩa 1.3. Cho 0 < p, θ ≤ ∞, không gian Besov B hợp các hàm f ∈ Lp(Id) sao cho chuẩn Besov sau là hữu hạn

Ω p,θ

Ω p,θ

, (cid:13) (cid:13) f := (cid:107) f (cid:107)p + | f |B (cid:13) (cid:13)B

4

Ω p,θ

là nửa chuẩn Besov, xác định bởi ở đây | f |B

 (cid:32) (cid:33) 1 θ

θ < ∞ (cid:8)ωl( f , t)p (cid:14)Ω(t)(cid:9)θ dt t

(cid:82) I

| f |B

Ω p,θ

:=

(cid:14)Ω(t)(cid:9) θ = ∞. (cid:8)ωl( f , t)p   sup t∈I

Định nghĩa 1.4. Hàm số tuần hoàn trên Rd có chu kỳ 2π theo từng biến được định nghĩa như hàm số trên hình xuyến d chiều Td := [0, 2π]d với các điểm mút

đồng nhất.

h và được xác định bởi

Định nghĩa 1.5. Cho f là một hàm số tuần hoàn thuộc không gian Lq(Td), e là tập con bất kỳ của [d] := {1, 2, . . . , d}, toán tử sai phân bậc (l, e) của hàm số nhiều biến xác định trên Td kí hiệu là ∆l,e

h := ∏ ∆l,e

h = I,

i∈e

, ∆l,Ø ∆l hi

là toán tử sai phân tương ứng với hàm số khi xem f là hàm số ở đây toán tử ∆l hi

một biến của biến xi với các biến còn lại cố định. Đặt

l ( f , t)p := sup

|hi|

ωe (cid:13) (cid:13)∆l,e h f (cid:13) (cid:13)p, t ∈ Td,

l ( f , t)p = (cid:107) f (cid:107)p.

là modun trơn hỗn hợp bậc (l, e) của f . Đặc biệt, ωØ

+. Chúng ta xây dựng

Cho 1 ≤ p ≤ ∞, 0 < θ ≤ ∞, a = (a1, a2, . . . , ad) ∈ Rd

p,θ

của hàm số f ∈ Lp(Td) xác định bởi nửa chuẩn | f |Ba,e

(cid:82)

−ai i ωe

l ( f , t)p

 (cid:32) (cid:33)1/θ (cid:26) (cid:27)θ t , θ < ∞, t−1 i dt ∏ i∈e ∏ i∈e

Td

| f |Ba,e

p,θ

−ai i ωe

l ( f , t)p

:= (cid:26) (cid:27) t , θ = ∞.   ∏ i∈e sup t∈Td

Ba,Ø p,θ

= (cid:107) f (cid:107)p, l là một số tự nhiên thỏa mãn l > max 1≤i≤d

Trường hợp đặc biệt, | f |

Không gian Ba ai. p,θ là tập hợp tất cả các hàm số f ∈ Lp(Td) sao cho chuẩn Besov sau

đây là hữu hạn

(cid:107) f (cid:107)Ba

| f |Ba,e

p,θ

p,θ

. := ∑ e⊂[d]

5

+. Kí hiệu BA

p,θ là không gian Besov của tất cả các hàm trên Td, với chuẩn

(cid:107) f (cid:107)Ba

(cid:107) f (cid:107)BA

p,θ

p,θ

Trong suốt luận án này chúng ta luôn giả thiết rằng A là một tập con hữu hạn của Rd

:= ∑ a∈A

p,θ là hình cầu đơn vị của BA p,θ.

hữu hạn. Kí hiệu U A

1.2 Biểu diễn giả nội suy qua giá trị lấy mẫu

d ∑ i=1

+ := {x ∈ Rd

+ : (a, x) ≤ 1, a ∈

d ∑ i=1

+}, s := dim{x ∈ Ao

+ :

(a, x) là hàm giá của A.

|xi|. Cho một tập con A ⊂ Rd, ký hiệu Ao |x|1 = A} và α = α(A), s = s(A), ở đây 1/α := sup{|x|1 : x ∈ Ao |x|1 = 1/α}. Đặt S(A, x) := sup a∈A

xiyi và Cho x = (x1, x2, . . . , xd), y = (y1, y2, . . . , yd) ∈ Rd, ký hiệu (x, y) =

Ký hiệu An( f ) (cid:28) Bn( f ) nếu An( f ) ≤ C.Bn( f ) ở đây C là hằng số độc lập

với n và f ∈ W; An( f ) (cid:16) Bn( f ) nếu An( f ) (cid:28) Bn( f ) và Bn( f ) (cid:28) An( f ).

∞ (cid:90)

Định nghĩa 1.6. Ký hiệu Nr là B-spline bậc r với các nút tại các điểm 0, 1, . . . , r được xác định như sau: N1 là hàm đặc trưng trên nửa khoảng [0, 1); với r ≥ 2, Nr được định nghĩa bởi tích chập

−∞

Nr(x) := Nr−1(x − y)N1(y)dy.

Đặt Mr(x) := Nr(x + r/2) được gọi là B-spline trung tâm bậc r.

[−r, r] và các nốt là các điểm nguyên −r, . . . , 0, . . . r,. Định nghĩa d-biến B-spline

Cho một số nguyên dương r, gọi M là một B - spline trung tâm bậc 2r với giá

như sau

d ∏ i=0

M(x) := (1.1) M(xi), x = (x1, x2, . . . , xd),

và định nghĩa B - spline sóng nhỏ

Mk,s(x) := M(2kx − s),

cho một số không âm k và s ∈ Zd. Ký hiệu M là tập hợp tất cả Mk,s không triệt tiêu trên Id. Cho λ = {λ(j)}j∈P(µ) là dãy chẵn hữu hạn, tức là λ(j) = λ(−j), ở

6

đây Pd(µ) := {j ∈ Z : |j| ≤ µ} và µ ≥ r − 1. Chúng ta định nghĩa toán tử tuyến tính Q cho hàm f trên Rd bởi

Λ( f , s)M(x − s), (1.2) Q( f , x) := ∑ s∈Zd

ở đây

j∈Pd(µ)

Λ( f , s) := ∑ λ(j) f (s − j). (1.3)

Khi đó, từ định nghĩa của B-spline suy ra toán tử Q bị chặn trên C(Rd) và

(cid:13)Q( f )(cid:13) (cid:13) (cid:13)C(Rd) ≤ (cid:107)Λ(cid:107)(cid:107) f (cid:107)C(Rd),

|λ(j)|.

j∈Pd(µ)

trong đó (cid:107)Λ(cid:107) = ∑

Một toán tử Q được xác định từ (1.2 − 1.3) tái tạo lại P2r−1, tức là

Q(p) = p, p ∈ P2r−1,

được gọi là một toán tử giả nội suy trong C(Rd).

Giả sử Q là một toán tử giả nội suy từ (1.2 − 1.3), cho h > 0 và một hàm f xác

định trên Rd, chúng ta xác định toán tử Q(.; h) bởi

Q( f ; h) := σh ◦ Q ◦ σ1/h( f ),

ở đây σh( f , x) = f (x/h). Từ định nghĩa của Q( f ; h), ta có

Λ( f , k; h)M(h−1x − k), Q( f , x; h) = ∑ k

j∈Pd(µ)

với Λ( f , k; h) = ∑ λ(j) f (cid:0)h(k − j)(cid:1).

Toán tử Q(.; h) có các tính chất tương tự như toán tử Q, cũng được gọi là một toán tử giả nội suy trong C(Rd). Nhưng Q(.; h) không được định nghĩa cho f trên Id, và do đó không khôi phục được hàm số f với các điểm lấy mẫu trong Id. Một cách tiếp cận để xây dựng toán tử giả nội suy cho một hàm số trên Id là mở

rộng nó bằng các đa thức nội suy Lagrange.

Cho một số nguyên không âm k, đặt xj = j2−k,

j ∈ Z. Nếu f là một hàm số trên I, Ký hiệu Uk( f ) và Vk( f ) lần lượt là các đa thức nội suy Lagrange tại 2r

7

điểm bên trái x0, x1, . . . , x2r−1 và 2r điểm bên phải x2k−2r+1, x2k−2r+3, . . . , x2k trên đoạn I được xác định bởi:

(x − xj),

2−k f (x0) s!

2r−1 ∑ s=1

s−1 ∏ j=0

2sk∆s Uk( f , x) := f (x0) +

2−k f (x2k−2r+1)

(x − x2k−2r+1+j).

2r−1 ∑ s=1

s−1 ∏ j=0

2sk∆s Vk( f , x) := f (x2k−2r+1) + s!

Hàm số f được định nghĩa là hàm số mở rộng của f trên R như sau:

 x < 0, Uk( f , x),

f (x), 0 ≤ x ≤ 1, f k(x) =

  x > 1. Vk( f , x),

Nếu f liên tục trên I thì f liên tục trên R. Giả sử Q là một toán tử giả nội suy (1.2 − 1.3) trong C(R). Chúng ta xây dựng toán tử Qk xác định bởi

Qk( f , x) := Q(cid:0) f k, x; 2−k(cid:1), x ∈ I,

với hàm f trên I. Khi đó,

(cid:110) (cid:111) s ∈ Z, −r < s < 2k + r ak,s( f )Mk,s(x), ∀x ∈ I, J(k) := Qk( f , x) = ∑ s∈J(k)

và

|j|≤µ

(cid:0)2−k(s − j)(cid:1). ak,s( f ) := Λ(cid:0) f k, s; 2−k(cid:1) = ∑ λ(j) f k

Chúng ta nhận thấy Qk cũng là toán tử giả nội suy trên C(I).

Cho f là hàm số trên Id. Giả sử Q là một toán tử giả nội suy có dạng (1.2)-(1.3)

trong C(Rd). Chúng ta xây dựng toán tử đa biến Qk xác định bởi

ak,s( f )Mk,s(x), ∀x ∈ Id, Qk( f , x) = ∑ s∈J(k)

(cid:110) (cid:111) là tập hợp các giá trị s ∈ Zd, −r < si < 2k+k0 + r, i = 1, 2, . . . , d

( f ))),

ở đây J(k) := của s sao cho Mk,s không đồng nhất bằng 0 trên Id. Chú ý rằng

((ak,s2

(. . . ak,sd

(1.4) ak,s( f ) = ak,s1

8

ở đây các hàm hệ số ak,si được áp dụng tương tự cho hàm số một biến khi xem f là hàm số một biến xi với các biến còn lại cố định.

Tương tự như toán tử Q và Q(.; h), thì toán tử Qk là tuyến tính bị chặn trên

C(Id) và tái tạo P2r−1. Đặc biệt, chúng ta có:

(1.5) (cid:13)Qk( f )(cid:13) (cid:13) (cid:13)C(Rd) ≤ C(cid:107)Λ(cid:107)(cid:107) f (cid:107)C(Rd),

∀ϕ ∈ P2r−1,

với mỗi f ∈ C(Id), với hằng số C không phụ thuộc k và,

Qk(ϕ∗) = ϕ,

ở đây ϕ∗ là hạn chế của ϕ trên Id. Toán tử nhiều biến Qk được gọi là toán tử giả nội suy trên C(Id).

Cho k ∈ Z+, đặt qk := Qk − Qk−1 với quy ước Q−1( f ) = 0. Ta định nghĩa Qk

bởi

qk(cid:48). Qk = ∑ k(cid:48)≤k

Bổ đề 1.1. Giả sử f ∈ C(Id). Khi đó, ta có

(cid:107) f − Qk ( f )(cid:107)∞ ≤ Cω2r( f , 2−k)∞.

(1.6)

Do đó,

(cid:107) f − Qk ( f )(cid:107)∞ → 0, k → ∞.

(1.7)

Cho bất kỳ f ∈ C(Id), từ (1.7), f có thể biểu diễn thành chuỗi

(1.8) ck,s( f )Mk,s, f = ∑ k∈Z+ qk( f ), qk( f ) = ∑ s∈J(k)

chuỗi này hội tụ theo chuẩn trong L∞(Id), ở đây ck,s là các hàm hệ số của f , được xác định như dưới đây. Đầu tiên xác định ck,s cho hàm số một biến (d = 1). Cụ thể,

k,s( f ), k ≥ 0,

ck,s( f ) := ak,s( f ) − a(cid:48)

(cid:19)

0,s( f ) := 0,

k,s( f ) := 2−2r+1 ∑ a(cid:48)

(m,j)∈Cr(k,s)

ak−1,m( f ), k > 0, a(cid:48) (cid:18)2r j

ở đây

Cr(k, s) := {(m, j) : 2m + j − r = s, m ∈ J(k − 1), 0 ≤ j ≤ 2r} ,

9

với k > 0, Cr(0, s) := {0} .

Trong trường hợp hàm nhiều biến, chúng ta xác định ck,s tương tự như (1.4)

( f ))),

((ck,s2

cho ak,s, tức là,

(. . . ck,sd

ck,s( f ) = ck,s1

ở đây các hàm hệ số ck,si áp dụng cho hàm số một biến f khi xem f là hàm số với biến xi với các biến còn lại cố định.

Cho k ∈ Z+, ký hiệu Σ(k) là không gian các B-splines Mk,s, s ∈ J(k). Nếu

0 < p ≤ ∞, thì g ∈ Σ(k) được biểu diễn bởi

as Mk,s, g = ∑ s∈J(k)

và

(cid:107)g(cid:107)p (cid:16) 2−dk/p(cid:13)

(1.9) (cid:13) {as} (cid:13) (cid:13)p,k,

1/p

ở đây 

|as|p

, (cid:13) {as} (cid:13) (cid:13)  (cid:13)p,k :=   ∑ s∈J(k)

với vế phải thay bằng supremum khi p = ∞.

Từ (1.9) cho hàm số liên tục f trên Id, chúng ta có các nửa chuẩn sau đây tương

đương với nhau

(cid:107)qk( f )(cid:107)p/Ω(2−k)

(cid:33)1/θ (cid:32) (cid:111)θ (cid:110) , B2( f ) :=

∑ k∈Z+

(cid:32) (cid:33)1/θ (cid:111)θ (cid:110) . B3( f ) := 2−dk/p(cid:107) (cid:8)ck,s( f )(cid:9) (cid:107)p,k/Ω(2−k)

∑ k∈Z+

Định lý 1.1. Cho 0 < p, θ ≤ ∞ và hàm số Ω sao cho tồn tại các hằng số µ, ρ > 0 và

C1, C2 thỏa mãn

Ω(t(cid:48)).t(cid:48)−µ, t ≤ t(cid:48); t, t(cid:48) ∈ I, (1.10) Ω(t).t−µ ≤ C1

Ω(t(cid:48)).t(cid:48)−ρ, t ≤ t(cid:48); t, t(cid:48) ∈ I. (1.11) Ω(t).t−ρ ≥ C2

Khi đó, chúng ta có

10

p và ρ < 2r thì một hàm số f ∈ B

Ω p,θ có thể biểu diễn thành chuỗi (1.8)

(i) Nếu µ > d

và

Ω p,θ

. (1.12) B2( f ) (cid:28) (cid:107) f (cid:107)B

p ) và g là một hàm số được biểu diễn bởi

(ii) Nếu ρ < min(2r, 2r − 1 + 1

ck,s Mk,s g = ∑ k∈Z+ gk = ∑ k∈Z+

∑ s∈J(k)

< ∞,

thỏa mãn (cid:33)1/θ (cid:32) (cid:111)θ (cid:110)(cid:13) (cid:14)Ω(2−k) B4(g) := (cid:13)gk (cid:13) (cid:13)p

∑ k∈Z+

Ω p,θ và

(cid:28) B4(g).

(cid:107)g(cid:107)B

Ω p,θ

p và ρ < min(2r, 2r − 1 + 1

thì g ∈ B

p ) thì một hàm số f xác định trên Id thuộc (iii) Nếu µ > d Ω p,θ khi và chỉ khi f có thể biểu diễn thành chuổi có dạng (1.8) thỏa mãn điều kiện B (1.12). Hơn nữa, chuẩn (cid:107) f (cid:107)B

Ω p,θ

là tương đương với chuẩn B2( f ).

1.3 Biểu diễn lượng giác qua giá trị lấy mẫu

Trong phần này chúng ta sẽ biểu diễn một hàm số thuộc không gian Besov

BA p,θ thành chuỗi các đa thức lượng giác và chứng minh đẳng thức tương đương chuẩn. Cho f ∈ Lp(Td), như đã biết, (cid:98)f (k) là hệ số Fourier thứ k của f ∈ Lp với +. Đặt Pk := {s ∈ Zd : (cid:98)2kj−1(cid:99) ≤ |sj| < 2kj, j = 1, ..., d}, 1 ≤ p ≤ ∞. Cho k ∈ Zd ở đây (cid:98)a(cid:99) là phần nguyên a ∈ R+. Cho k ∈ Zd +, chúng ta định nghĩa toán tử δk

như sau

(cid:98)f (s)ei(s,·).

δk( f ) := ∑ s∈Pk Chúng ta nhắc lại tương đương chuẩn đã biết. Cho 1 < p < ∞ và θ ≤ ∞. Khi đó,

(cid:16)

(cid:107) f (cid:107)BA

p,θ

(cid:32) (cid:33)1/θ (cid:110) (cid:111)θ , (1.13) 2S(A,k)(cid:107)δk( f )(cid:107)p

∑ k∈Z+

trường hợp θ = ∞ thì vế phải đẳng thức trên được thay bằng supremum.

11

Cho số nguyên không âm m, nhân de la Vallée Poussin Vm bậc m được xác

định như sau:

2m−1 ∑ k=m

, Vm(t) := Dk(t) = 1 3m2 sin(mt/2) sin(3mt/2) 3m2 sin2(t/2)

ở đây

eikt Dm(t) := ∑ |k|≤m

là nhân Dirichlet một biến bậc m. Đặt V0 = 1.

(cid:90)

Cho hàm số một biến f ∈ Lp(T). Chúng ta định nghĩa hàm số Um( f ) bởi

Um := f ∗ Um = 3πm f (t) Vm(· − t)dt,

T

và hàm số Vm( f ) bởi

+, toán tử Vm của

(1.14) f (hk) Vm(· − hk), Vm( f ) := ∑ k∈Pm

ở đây h = 2π/3m và Pm := {k ∈ Z : 0 ≤ k < 3m}. Nếu m ∈ Zd hàm số nhiều biến f ∈ Lp(Td) được xác định bởi

d ∏ j=1

Vm( f ) := Vmj( f ),

ở đây toán tử một biến Vmj áp dụng tương tự khi xem f là một hàm số biến xj với các biến còn lại cố định. Chú ý rằng Vm( f ) là đa thức lượng giác bậc không vượt quá 2mj − 1 với mỗi biến xj, và

(1.15) Vm( f , hk) = f (hk), k ∈ Pd m,

m := {k ∈ Zd : 0 ≤ kj < 3mj, j = 1, . . . , d}.

1 , . . . , m−1

d ), Pd

ở đây h = (2π/3)(m−1

Chúng ta nhận được

(cid:107)Vm( f )(cid:107)p (cid:16)

(cid:107){ f (hk)}(cid:107)lν

p, 1 ≤ p ≤ ∞,

−1/p j

d ∏ j=1

m| = 3d ∏d

j=1 mj. Ký hiệu Tm là không gian các đa thức lượng giác

m (1.16)

ở đây ν = |Pd bậc không vượt quá mj với mỗi biến xj, j = 1, . . . , d. Dễ dàng kiểm tra được

(1.17) Vm( f ) = f , ∀ f ∈ Tm.

12

Tiếp theo, cho hàm số một biến f ∈ Lp(T), chúng ta định nghĩa

v0( f ) := V1( f ),

+, định nghĩa toán tử vk cho hàm nhiều biến trong Lp(Td) tương tự

vk( f ) := V2k( f ) − V2k−1( f ), k = 1, 2, . . . .

+là tương tự khi thay Vm( f ) bởi Um( f ).

Cho k ∈ Zd như toán tử Vm . Toán tử uk, k ∈ Zd

1/θ

Bổ đề 1.2. Cho 1 < p < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và α(A) > 1/p. Chúng ta có

(cid:16)

(cid:107) f (cid:107)BA

p,θ

 (cid:110) (cid:111)θ ,  2S(A,k)(cid:107)vk( f )(cid:107)p

  ∑ k∈Zd +

với vế phải được thay bằng supremum cho trường hợp θ = ∞.

Đặt ϕk,s := Vmk(· − shk), và

Qk := {s ∈ Zd : 0 ≤ sj < 3.2kj, j = 1, . . . , d}.

ở đây mk := (2k1, . . . , 2kd), hk := (2π/3)(2−k1, . . . , 2−kd).

Từ Bổ đề 1.2 và (1.14)-(1.17) chúng ta suy ra được biểu diễn bằng đa thức lượng p,θ như sau. Đặt 1 ≤ p ≤ ∞, 0 < θ ≤

p,θ có thể biểu diễn thành chuỗi

giác với giá trị lấy mẫu trong không gian BA ∞, và α > 0. Thì mỗi f ∈ BA

(1.18) fk,s ϕk,s

∑ s∈Qk

f = ∑ k∈Zd +

trong đó có tương đương chuẩn sau đây

(cid:16)

(cid:107) f (cid:107)BA

p,θ

l

|Qk| p

(cid:32) (cid:26) (cid:27)θ(cid:33)1/θ (cid:9) (cid:107) (1.19) 2S(A,k)−|k|1/p(cid:107) (cid:8) fk,s

∑ k∈Z+

cho θ < ∞, với tổng ở vế phải được thay bằng supremum khi θ = ∞. Dựa trên

biểu diễn (1.18)-(1.19), chúng ta có thể mở rộng của không gian Besov với độ trơn hỗn hợp cho một tập hợp hữu hạn A ⊂ Rd và 0 < p, θ ≤ ∞, là không gian tất cả các hàm số f xác định trên Td có thể biễu diễn thành chuỗi (1.18) sao cho nửa chuẩn rời rạc vế phải của (1.19) hữu hạn. Chúng ta cũng dùng ký hiệu Bp,θ = BA p,θ cho A = {(0, . . . , 0)}.

13

Chương 2

KHÔI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH

Trong chương này chúng ta nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ hàm số trong

Ω p,θ bằng phương pháp tuyến tính, xây dựng được phương pháp tuyến tính và đánh giá được tốc độ hội tụ của phương pháp đó qua đại

không gian Besov B

lượng ρn. Đây cũng là kết quả mới được công bố và là một trong những nội dung

chính của luận án.

2.1 Định nghĩa

j=1 là n điểm của Id, Φn = (cid:8)ϕj

(cid:9)n Định nghĩa 2.1. Đặt Xn = {xj}n j=1 là họ n hàm số thuộc không gian Lq(Id). If f ∈ Lq(Id), để khôi phục hàm số f từ các giá trị lấy mẫu f (x1), . . . , f (xn), chúng ta định nghĩa phương pháp tuyến tính dựa trên giá trị lấy mẫu Ln(Xn, Φn, .) bởi công thức sau đây

n ∑ j=1

(2.1) Ln(Xn, Φn, f ) := f (xj)ϕj.

Cho W ⊂ Lq(Id). Chúng ta nghiên cứu tính tối ưu của phương pháp tuyến tính có dạng (2.1) để khôi phục hàm số f ∈ W từ n giá trị lấy mẫu trên bằng đại lượng

(cid:107) f − Ln(Xn, Φn, f )(cid:107)q.

sau

ρn(W, Lq(Id)) := inf Xn,Φn sup f ∈W

Định nghĩa 2.2. Cho số nguyên không âm m, đặt K(m) := {(k, s) : k ∈ Z+, k ≤ m, s ∈ Id(k)}, ở đây Id(k) = {s ∈ Zd + : 0 ≤ si ≤ 2k, i = 1, . . . , d} và ký hiệu M(m) là tập hợp gồm các B-splines Mk,s, k ≤ m, s ∈ J(k). Chúng ta định nghĩa

14

Ω p,θ bởi

toán tử Rm của các hàm số f ∈ B

ck,s( f )Mk,s, Rm( f ) := ∑ k≤m qk( f ) = ∑ k≤m

∑ s∈J(k)

và các lưới G(m) của các điểm trong Id,

G(m) := {2−ks : (k, s) ∈ K(m)}.

2.2 Khôi phục hàm số bằng phương pháp tuyến tính

Định lý 2.1. Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞, Ω thỏa mãn các điều kiện của định lý 1.1 và µ > d/p, ρ < min(2r, 2r − 1 + 1/p). Giả sử với mỗi n ∈ Z+, m là số lớn nhất thỏa

|G(m)| ≤ n

mãn

(2.2)

Ω p,θ, Lq) như

Thì Rm xác định phương pháp tuyến tính lấy mẫu tối ưu cho ρn := ρn(U

sau

n, Φ∗

n, f ) = ∑

(k,s)∈K(m)

(2.3) Rm( f ) = Ln(X∗ f (2−ks)ψk,s,

n := (cid:8)ψk,s

n := G(m) = {2−ks : (k, s) ∈ K(m)}, Φ∗

(k,s)∈K(m) , và chúng ta có

(cid:9) ở đây X∗

đánh giá tiệm cận sau đây

(cid:107) f − Rm( f )(cid:107)q (cid:16) ρn (cid:16) Ω(n−1/d)n(1/p−1/q)+.

(2.4)

sup Ω f ∈U p,θ

15

Chương 3

XẤP XỈ VÀ KHÔI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÍCH NGHI

3.1 Các đại lượng xấp xỉ và khôi phục hàm số

Định nghĩa 3.1. Cho B là một tập hợp con trong Lq, chúng ta sẽ định nghĩa

phương pháp khôi phục với các điểm giá trị lấy mẫu và hàm để khôi phục thích

n là một phương pháp khôi phục

n ( f ) để khôi phục hàm f . Khi đó SB

nghi từ B theo từng hàm f ∈ W. Cụ thể là đối với từng hàm f ∈ W ta chọn n điểm x1, . . . , xn, dựa trên thông tin về giá trị lấy mẫu f (x1), . . . , f (xn) ta chọn hàm g = SB

thích nghi.

n ( f ) được định nghĩa chính xác như sau. Đặt In là tập hợp bao gồm các tập hợp con ξ trong Id có số phần tử không quá n, Vn là tập hợp mà mỗi phần tử là một bộ các số thực aξ = {a(x)}x∈ξ , ξ ∈ In, a(x) ∈ R. Gọi In là một ánh xạ từ W đến In và P là ánh xạ từ Vn đến B. Khi đó cặp (In, P) xác định một ánh xạ SB n từ W đến B cho bởi công thức

Toán tử SB

{ f (x)}x∈In( f )

(cid:16) (cid:17) . (3.1) SB n ( f ) := P

Định nghĩa 3.2. Cho một tập hợp B các hàm số xác định trên tập Ω, khi đó giả

chiều của B được định nghĩa là số nguyên n lớn nhất sao cho tồn tại các điểm a1, a2, . . . , an trong Ω và b ∈ Rn để số phần tử của tập hợp

(cid:110) (cid:16) (cid:17) (cid:111) sgn (y) : y = , f ∈ B f (a1) + b1, f (a2) + b2, . . . , f (an) + bn

là 2n, ở đây sgn (x) = 1 với t > 0, sgn (x) = −1 với t ≤ 0 và cho x ∈ Rn, sgn (x) = ( sgn (x1), sgn (x2), . . . , sgn (xn)).

16

Định nghĩa 3.3. Cho B là một họ các tập con B trong Lq, khi đó sai số của phương

(cid:107) f − SB

pháp khôi phục thích nghi tối ưu được đo bằng đại lượng

n ( f )(cid:107)q,

(3.2) Rn(W, B)q := inf B∈B inf SB n sup f ∈W

n là tất cả các ánh xạ được định nghĩa ở (3.1).

trong đó SB

Ký hiệu Rn(W, B)q bằng en(W)q nếu B là họ tất cả các tập hợp con B trong Lq sao cho |B| ≤ 2n, và bằng rn(W)q nếu B là họ tất cả các tập hợp con B trong Lq có giả chiều không quá n.

Định nghĩa 3.4. Giả sử B và W là các tập hợp con của Lq. Chúng ta xấp xỉ các

(cid:107) f − ϕ(cid:107)q.

phần tử trong W từ B bởi

inf ϕ∈B E(W, B, Lq) := sup f ∈W

Cho họ B các tập con trong Lq, chúng ta xem xét xấp xỉ tốt nhất của B ∈ B qua

đại lượng sau

(3.3) E(W, B, Lq).

d(W, B, Lq) := inf B∈B Nếu B trong (3.3) là họ tất cả các tập con B của Lq thỏa mãn |B| ≤ 2n, thì d(W, B, Lq) ký hiệu là (cid:101)n(W, Lq). Nếu B trong (3.3) là họ tất cả các tập con B của Lq sao cho dimp(B) ≤ n, thì d(W, B, Lq) kí hiệu là ρn(W, Lq).

3.2 Khôi phục hàm số không tuần hoàn bằng phương pháp

thích nghi

Trong phần này, chúng ta sẽ xây dựng phương pháp xấp xỉ và khôi phục thích

Ω p,θ. Hơn nữa chúng ta đánh giá tiệm cận được tốc độ hội tụ của phương pháp thông

nghi giá trị lấy mẫu tối ưu hàm số một biến(d = 1) thuộc không gian Besov B

qua các đại lượng en, rn. Từ kết quả chính vừa nêu trên, chúng ta có thể tổng quát

cho trường hợp nhiều biến bằng kỹ thuật tương tự. kết quả chính được trình bày

thông qua các định lý sau đây.

Định lý 3.1. Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞, Ω thỏa mãn các điều kiện của định lý 1.1, ρ < min(2r, 2r − 1 + 1/p). Thì chúng ta có

(cid:29) Ω(1/n).

≥ ρn

Ω p,θ

Ω p,θ

q

q

(cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:16) U U (cid:101)n

17

Sau đây là các kết quả chính nhận được khi chúng tôi nghiên cứu xấp xỉ và

khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi với giá trị lấy mẫu tối ưu.

Định lý 3.2. Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞, Ω thỏa mãn các điều kiện của định lý 1.1. Nếu µ > 1/p, ρ < min(2r, 2r − 1 + 1/p), thì

Ω p,θ)q (cid:16) Ω(1/n).

(3.4) rn(U

n thỏa mãn

(cid:107) f − SB

Ngoài ra, chúng ta xây dựng được tập hợp B trong Σn(M) sao cho dimp(B) ≤ n và một phương pháp SB

n ( f )(cid:107)q (cid:16) Ω(1/n).

(3.5)

sup Ω f ∈U p,θ

Định lý 3.3. Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞, Ω thỏa mãn điều kiện của định lý 1.1. Nếu µ > 1/p, ρ < min(2r, 2r − 1 + 1/p), chúng ta có

(cid:16) Ω(1/n).

Ω p,θ

q

(cid:17) (cid:16) U (3.6) en

n dạng (3.1) sao cho

(cid:16) Ω(1/n).

Đặc biệt, chúng ta xây dựng được tập hợp B trong Σn(M) có |B| ≤ 2n và một phương pháp SB

n ( f )(cid:13) (cid:13)q

(3.7) (cid:13) (cid:13) f − SB

sup Ω f ∈U p,θ

Bằng cách chứng minh tương tự, chúng ta có thể tổng quát các kết quả cho trường hợp hàm số nhiều biến f ∈ Łq(Id), d > 1, cụ thể có thể phát biểu dưới các định lý sau đây.

Ω

Định lý 3.4. Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞, Ω là hàm số thỏa mãn điều kiện của Định lý 1.1. nếu µ > d/p, ρ < min(2r, 2r − 1 + 1/p), thì

p,θ)q (cid:16) Ω(n−1/d).

rn(U

n thỏa mãn

(cid:107) f − SB

n ( f )(cid:107)q (cid:16) Ω(n−1/d).

Hơn nữa, chúng ta xây dựng được tập hợp con B trong Σn(M) sao cho dimp(B) ≤ n và một phương pháp khôi phục giá trị lấy mẫu SB

sup Ω f ∈U p,θ

18

Định lý 3.5. Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞, Ω thỏa mãn điều kiện của Định lý 1.1. Nếu µ > d/p, ρ < min(2r, 2r − 1 + 1/p), thì chúng ta có

(cid:16) Ω(n−1/d).

Ω p,θ

q

(cid:17) (cid:16) U en

n của (3.1) sao cho

(cid:16) Ω(n−1/d).

Ngoài ra, chúng ta xây dựng được một tập hợp con B trong Σn(M) có |B| ≤ 2n và một phương pháp khôi phục giá trị lấy mẫu SB

n ( f )(cid:13) (cid:13)q

(cid:13) (cid:13) f − SB

sup Ω f ∈U p,θ

3.3 Xấp xỉ và khôi phục hàm số tuần hoàn có độ trơn hỗn hợp

bằng phương pháp thích nghi

Trong phần này, chúng ta nghiên cứu một trong những phương pháp khôi

p,θ, Lq) và độ dày phi tuyến ρn(U A

p,θ(xem Định nghĩa 3.12). Chúng ta xây dựng được phương pháp xấp xỉ và khôi phực hàm số, đồng thời đánh giá tiệm cận được tốc độ hội tụ qua các đại lượng entropy (cid:101)n(U A p,θ, Lq). Trường hợp A = {a} chúng ta đề xuất được cách chứng minh đơn giản hơn so với trường

phục thích nghi đó là phương pháp phi tuyến, lớp hàm số mà chúng ta xét đến là lớp các hàm số f ∈ BA

hợp tổng quát.

Đặt Φ = {ϕk}k∈Q là một họ các phần tử trong Lq. Ký hiệu Mn(Φ) là một đa tạp ak ϕk, trong đó K là phi tuyến tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính có dạng ϕ = ∑ k∈K

một tập hợp con của Q có số phần tử là n. Chúng ta gọi n-term Lq-approximation của một phần tử f ∈ Lq liên quan đến họ Φ là xấp xỉ Lq-approximation của f bởi các phần tử từ Mn(Φ). Để đánh giá cận trên cho các ước lượng tiêm cận của (cid:101)n(U A p,θ, Lq), chúng ta sử dụng một xấp xỉ phi tuyến n-term Lq-approximation đối với họ

+

. V := {ϕk,s}s∈Qk,k∈Zd

Chú ý rằng họ V được xây dựng từ tịnh tiến bản nguyên của các cặp đôi tích hỗn

hợp tensor nhân nhiều biến de la Vallée Poussin.

19

3.3.1 Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp phi tuyến

trong không gian Ba

p,θ

p,θ được phát biểu

Các kết quả chính khi chúng tôi nghiên cứu phương pháp xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp phi tuyến trong không gian Besov Ba

các định lý sau đây.

Định lý 3.6. Cho 1 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và r > 1/p. Thì chúng ta có rằng

p,θ, Lq) (cid:28) (n/ logs n)−r(log n)s(1/2−1/θ).

p,θ, Lq) ≤ en(Ua

n : Ua

(3.8) (cid:101)n(Ua

(cid:107) f − SB

Ngoài ra, chúng ta có thể xây dựng được một tập con hữu hạn V∗ của V, một tập hợp con B trong Mn(V∗) có |B| ≤ 2n, và một ánh xạ SB p,θ → B có dạng (3.1) thỏa mãn

n ( f )(cid:107)q (cid:28) (n/ logs n)−r(log n)s(1/2−1/θ).

p,θ, B, Lq) ≤ sup f ∈Ua p,θ

E(Ua

Định lý 3.10 được suy ra từ định lý sau đây.

Định lý 3.7. . Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞, 0 < τ ≤ θ và r > 1/p. Thì, chúng ta có

p,θ, Bq,τ) ≤ en(Ua

p,θ, Bq,τ) (cid:28) Eθ,τ(n),

(3.9) (cid:101)n(Ua

ở đây Eθ,τ(n) = (n/ logs n)−r(log n)s(1/τ−1/θ).

p,θ → B có dạng (3.1) thỏa mãn

trong Mn(V∗) có |B| ≤ 2n và một ánh xạ SB Ngoài ra, chúng ta có thể xây dựng một tập hợp con V∗ trong V, một tập hợp con B n : Ua

(cid:107) f − SB

n ( f )(cid:107)Bq,τ (cid:28) Eθ,τ(n).

p,θ, B, Bq,τ) ≤ sup f ∈Ua p,θ

E(Ua (3.10)

p,θ, Lq) nhận được từ định lý sau đây.

Cận dưới của ρ(Ua

Định lý 3.8. Cho 1 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và r > 1/p. Thì chúng ta có

p,θ, Lq) (cid:29) (n/ logs n)−r(log n)s(1/2−1/θ).

ρ(Ua

Sau đây chúng ta phát biểu và chứng minh kết quả chính của phần này.

Định lý 3.9. Cho 1 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và r > 1/p. Thì

p,θ, Lq) (cid:16) ρn(Ua

p,θ, Lq) (cid:16) n−r(log n)s(r+1/2−1/θ).

(cid:101)n(Ua

Hơn nữa, chúng ta cũng đánh giá tiệm cận của phương pháp khôi phục thích nghi với

giá trị lấy mẫu tối ưu

p,θ, Lq) (cid:16) rn(Ua

p,θ, Lq) (cid:16) n−r(log n)s(r+1/2−1/θ).

en(Ua

20

3.3.2 Xấp xỉ và khôi phục hàm số trong không gian BA p,θ

Trong phần này chúng ta nghiên cứu xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương

+, không gian này có thể xem là giao của các không gian Ba

p,θ với A là một tập con p,θ. Kết quả chính nhận được là chúng ta xây dựng được các phương pháp phi tuyến và đánh giá được tốc độ hội tụ thông qua các đại lượng (cid:101)-entropy (cid:101)n(U A p,θ, Lq) và độ dày phi tuyến ρn(U A p,θ, Lq). Ngoài ra chúng ta cũng nhận được các ước lượng tiệm cận sai số của phương pháp khôi phục thích nghi giá trị lấy mẫu tối ưu qua các đại lượng en(U A

p,θ, Lq), rn(U A

p,θ, Lq).

pháp phi tuyến trong không gian Besov tổng quát hơn BA hữu han trong Rd

Định lý 3.10. Cho 1 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và α = α(A) > 1/p, s = s(A). Khi đó

chúng ta có

p,θ, Lq) ≤ en(U A

p,θ, Lq) (cid:28) (n/ logs n)−α(log n)s(1/2−1/θ).

(3.11) (cid:101)n(U A

n : U A

p,θ → B có dạng (3.1) sao cho

Ngoài ra, chúng ta có thể xây dựng tường minh một tập con hữu hạn V∗ của V, một tập con B trong Mn(V∗) có |B| ≤ 2n, và một ánh xạ SB

(cid:107) f − SB

n ( f )(cid:107)q (cid:28) E(n),

p,θ, B, Lq) ≤ sup f ∈U A p,θ

E(U A

trong đó E(n) là ký hiệu vế phải của (3.11).

Chứng minh của định lý này sẽ được suy ra từ định lý sau.

Định lý 3.11. . Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞, 0 < τ ≤ θ và α = α(A) > 1/p, s = s(A). Khi

đó,

p,θ, Bq,τ) ≤ en(U A

p,θ, Bq,τ) (cid:28) Eθ,τ(n),

(3.12) (cid:101)n(U A

n : U A

trong đó Eθ,τ(n) = (n/ logs n)−α(log n)s(1/τ−1/θ).

Ngoài ra, chúng ta có thể xây dựng tường minh một tập con hữu hạn V∗ của V, một p,θ → B có dạng (3.1) sao

tập con B trong Mn(V∗) có |B| ≤ 2n, và một ánh xạ SB cho

(cid:107) f − SB

n ( f )(cid:107)Bq,τ (cid:28) Eθ,τ(n).

p,θ, B, Bq,τ) ≤ sup f ∈U A p,θ

E(U A (3.13)

Định lý 3.12. Cho 1 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và α > 1/p. Khi đó chúng ta có

p,θ, Lq) (cid:29) (n/ logs n)−α(log n)s(1/2−1/θ).

ρ(U A (3.14)

21

Chứng minh của định lý này sẽ được suy ra từ định lý sau đây.

Định lý 3.13. Cho 0 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và α > 1/p. Khi đó chúng ta có

p,θ, Bq,τ) (cid:29) (n/ logs n)−α(log n)s(1/τ−1/θ).

ρ(U A

Từ các Định lý 3.10, 3.12 chúng ta suy ra một trong những kết quả chính của luận

án:

Định lý 3.14. Cho 1 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và α = α(A) > 1/p, s = s(A). Đặt

γn là một trong số các đại lượng en, rn, (cid:101)n và ρn. Thì chúng ta có ước lượng tiệm cận sau

đây

p,θ, Lq) (cid:16) n−α(log n)s(α+1/2−1/θ).

γn(U A

22

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Các kết quả chính của luận án bao gồm:

1. Phát biểu và chứng minh các định lý biểu diễn: Định lý biểu diễn giả nội

suy qua giá trị lấy mẫu và Định lý biểu diễn qua đa thức lượng giác.

2. Nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ hàm số bằng phương pháp tuyến tính:

Chúng tôi xây dựng được phương pháp tuyến tính, đánh giá được tốc độ

hôi tụ, đồng thời xây dựng được phương pháp khôi phục thích nghi giá trị

lấy mẫu tối ưu và ước lượng tiệm cận mức độ sai số của phương pháp trong

Ω p,θ.

không gian Besov B

3. Xây dựng được phương pháp phi tuyến để xấp xỉ và khôi phục hàm số,

p,θ.

đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp phi tuyến trong không gian Besov BA

Có thể phát triển các kết quả của luận án như sau:

p,θ mà tập hợp A

1. Nghiên cứu vấn đề trên đối với các không gian Besov BA

compact trong Rd +.

23

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ

LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

1. N. M. Cuong and M. X. Thao, Adaptive sampling recovery of functions with

bounded modulus of smoothness, Acta Math. Vietnamica. 42(2017), 113-127.

2. N. M. Cuong and M. X. Thao, Quasi-interpolation representation and sam-

pling recovery of multivariate functions, Acta Math. Vietnamica. 43(2018),

373-389.

3. N.M. Cuong, Nonlinear approximations of functions having mixed smooth-

ness, Journal of Computer Science and Cybernetics, V.35, N.2 (2019), 1{DOI

10.15625/1813-9663/35/2/13578}.

4. N.M. Cuong, Adaptive sampling recovery and nonlinear approximations

of multivariate functions in Besov-type spaces, Southeast Asian Bulletin of

Mathematics, accepted 30-4-2019.

24