LUẬN VĂN:PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU HOÁ ĐÀN KIẾN

Chia sẻ: Lan Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

374
lượt xem 128
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương pháp tối ưu hóa đàn kiến (Ant Colony Optimization – ACO) là một phương pháp mới mà ngày nay người ta rất quan tâm vì những hiệu quả nổi trội của nó so với các phuoeng pháp khác trong giải quyết các bài toán tối ưu hóa tổ hợp (Combinatorial optimization problems). Khóa luận này trình bày một cách khái quát về phương pháp tối ưu hóa đàn kiến (Ant Colony Optimization), và trình bày một phương pháp áp dụng của thuật toán tối ưu hóa đàn kiến cho bài toán người chào hàng động (Dynamic Travelling Salesman...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: LUẬN VĂN:PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU HOÁ ĐÀN KIẾN

TRƯỜNG …………………. KHOA………………………. ---------- Báo cáo tốt nghiệp Đề tài: PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU HOÁ ĐÀN KIẾN
TÓM TẮT Phương pháp tối ưu hóa đàn kiến (Ant Colony Optimization – ACO) là một phương pháp mới mà ngày nay người ta rất quan tâm vì những hiệu quả nổi trội của nó so với các phuoeng pháp khác trong giải quyết các bài toán tối ưu hóa tổ hợp (Combinatorial optimization problems). Khóa luận này trình bày một cách khái quát về phương pháp tối ưu hóa đàn kiến (Ant Colony Optimization), và trình bày một phương pháp áp dụng của thuật toán tối ưu hóa đàn kiến cho bài toán người chào hàng động (Dynamic Travelling Salesman Problem - DTSP) đã được công bố. Khóa luận đã cài đặt và kiểm chứng hiệu quả của thuật toán đồng thời đưa ra một cải tiến đối với thuật toán để nâng cao hiệu quả trong trường hợp bài toán đầu vào có kích thước lớn.
MỤC LỤC TÓM TẮT .................................................................................................................... BẢNG TỪ VIẾT TẮT ................................................................................................. MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1 CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP ACO................................................. 3 1.1. Giới thiệu .......................................................................................................... 3 1.2. Quá trình phát triển............................................................................................ 6 1.3. Một số thuật toán ACO áp dụng cho bài toán TSP ............................................. 9 1.3.1. Bài toán TSP ............................................................................................. 10 1.3.2. Ant System (AS)......................................................................................... 12 1.3.3. Max-Min Ant System (MMAS) ................................................................... 15 1.3.4. Ant Colony System (ACS) ......................................................................... 17 1.3.5. Hệ kiến đa mức (xem [15]) ....................................................................... 19 1.4. Các nguyên tắc khi áp dụng tối ưu đàn kiến..................................................... 20 1.4.2. Xác định các vệt mùi................................................................................. 21 1.4.3. Các thông tin heuristic .............................................................................. 22 1.4.4. Kết hợp tìm kiếm địa phương.................................................................... 22 1.4.5. Điều chỉnh giữa sự học tăng cường và sự khám phá .................................. 23 1.4.6. Sử dụng giới hạn danh sách láng giềng ..................................................... 24 1.5. Các ứng dụng của ACO ................................................................................... 25 CHƯƠNG 2. GIỚI THIỆU BÀI TOÁN DTSP....................................................... 26 2.1. Bài toán DTSP ................................................................................................. 26 2.2. Các phương pháp giải bài toán DTSP .............................................................. 26 CHƯƠNG 3. SỬ DỤNG THUẬT TOÁN AS ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN DTSP .................................................................................................................................. 28 3.1. Phân tích bài toán ............................................................................................ 28 3.2. Cải tiến AS cho phù hợp .................................................................................. 29 CHƯƠNG 4. THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ .................................................... 31 4.1. Thực nghiệm trên tsplib eil51 .......................................................................... 32 4.2. Nhận xét .......................................................................................................... 34 PHẦN 5. KẾT LUẬN .............................................................................................. 37 THAM KHẢO ......................................................................................................... 38
BẢNG TỪ VIẾT TẮT STT Từ viết tắt Từ hoặc cụm từ Ant Colony Optimization ACO 1 (Tối ưu hóa đàn kiến) Ant System AS 2 (Hệ kiến AS) Ant Colony System ACS 3 (Hệ kiến ACS) Max-Min Ant System MMAS 4 (Hệ kiến MMAS) Multi-level Ant System MLAS 6 (Hệ kiến đa mức MLAS) Travelling Salesman Problem TSP 9 (Bài toán người chào hàng) Job shop scheduling JSS 10 (Bài toán lập lịch sản xuất) g-best global-best 11 i-best iteration-best 12
MỞ ĐẦU Hiện nay có rất nhiều bài báo, luận văn, cũng như các công trình nghiên cứu đề cập đến vấn đề tối ưu tổ hợp. Nhiều phương pháp mới mẻ đã được đưa ra và đạt hiệu quả cao. Tuy nhiên phần lớn các bài toán tối ưu tổ hợp được giải từ trước tới nay đều là các bài toán tĩnh. So với bài toán tĩnh thì bài toán động phức tạp hơn và ứng dụng của nó trong thực tế là nhiều hơn. Chẳng hạn các ứng dụng trong định tuyến các gói tin trên mạng internet, trong các tổng đài điện thoại. Một trong những cách tiếp cận có hiệu quả đối với bài toán tối ưu tổ hợp tĩnh đó là phương pháp tối ưu hóa đàn kiến (Ant Colony Optimization- ACO). ACO là một phương pháp metaheuristic mới và đang được nhiều người quan tâm. Thuật toán ACO đầu tiên (1991) đã mang lại nhiều ý tưởng và cảm hứng với mục đích cải tiến các thuật toán ACO để có thể áp dụng nó cho nhiều bài toán khác nhau. Luận văn này trình bày một cách khái quát về các thuật toán ACO và kiểm chứng một phương pháp áp dụng ACO việc giải quyết bài toán ngươi chào hàng động (Dynamic Travelling Salesman Problem- DTSP) một dạng bài toán tối ưu tổ hợp động. DTSP thực chất là mở rộng của bài toán người chòa hàng (Travelling Salesman Problem - TSP) nổi tiếng. Đồng thời luận văn cũng chỉ ra nhược điểm của thuật toán và đề xuất một cải tiến cho thuật toán nhằm nâng cao hiệu quả khi phải giải quyết bài toán có kích thước lớn. Các kết quả thực nghiệm sẽ được đưa ra làm rõ cho cho hiệu quả của cải tiến thuật toán. Luận văn gồm có 5 chương. Chương 1 giới thiệu phương pháp tối ưu hóa đàn kiến: quá trình phát triển, các thuật toán ACO áp dụng cho bài toán người chào hàng (Travelling Salesman Problem - TSP), và một số ứng dụng của ACO. Chương 2 luận văn giới thiệu về bài toán DTSP và các phương pháp để giải bài toán này. Chương 3 luận văn đề cập đến một phương pháp sử dụng thuật toán Hệ kiến (Ant System - AS) là một thuật toán trong lớp các thuật toán ACO, để giải quyết bài toán DTSP, chương này cũng đề cập đến một điều chỉnh thuật toán được đề xuất để cải tiến hiệu quả thuật toán. 1
Chương 4 là phần cài đặt thực nghiệm kiểm chứng đánh giá thuật toán cũng như đánh giá hiệu quả của cải tiến được đề xuất. Ở đây luận văn sử dụng thư viện TSP chuẩn được cung cấp trên mạng để làm đầu vào. Chương 5 là phần kết luận cuối cùng. 2
CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP ACO Bài toán tối ưu hóa tổ hợp là bài toán hấp dẫn và thú vị bởi vì phần lớn chúng đều dễ để hình dung nhưng khó mà tìm ra lời giải cho chúng. Nhiều bài toán tối ưu tổ hợp là các bài toán NP-khó và chúng không thể giải được trong thời gian đa thức. Trên thực tế người ta thường giải quyết các bài toán này bằng các phương pháp xấp xỉ, chúng có nghiệm gần tối ưu và thời gian chạy khá ngắn. Các thuật toán thuộc lại này tạm gọi là các thuật toán heuristic , chúng được sử ụng để giải quyết các bài toán cụ thể . Mở rộng của chúng là các thuật toán metaheuristic có thể giải quyết được cả một lớp các bài toán rộng lớn. ACO là một phương pháp theo hướng tiếp cận như thế. 1.1. Giới thiệu Phương pháp tối ưu hóa đàn kiến (Ant Colony Optimization - ACO) là một mô hình để thiết kế các thuật toán metaheuristic cho việc giải quyết bài toán tối ưu hóa tổ hợp (Combinatorial optimization problems). Bài toán tối ưu hóa tổ hợp Bài toán tối ưu hóa tổ hợp được định nghĩa như sau: Cho một tập C = {c1, c2, ...cn}. Một tập con S của C là một phương án để giải quyết bài toán. Tập F  2C là tập tất cả các phương án có thể, vì thế S là một phương án khả thi nếu S  F. Một hàm giá trị z xác định như sau, z : 2C  R, mục tiêu là tìm phương án khả thi S* có giá trị nhỏ nhất: S*  F và z(S*)  z(S),  S  F. Nhiều bài toán tối ưu quan trọng trong lý thuyết và thực tế là các bài toán thuộc loại tối ưu hóa tổ hợp. Ví dụ, bài toán tìm đường đi ngắn nhất, cũng như nhiều bài toán có ý nghĩa quan trọng khác trên thực tế như bài toán người chào hàng, bài toán phân công lao động, bài toán định tuyến mạng, bài toán lập lịch công việc, bài toán lập lịch bay cho các hãng hàng không, và nhiều bài toán khác nữa. 3
Một bài toán tối ưu hóa tổ hợp hoặc thuộc loại tìm giá trị nhỏ nhất hoặc là thuộc loại bài toán tìm giá trị lớn nhất. Các phương pháp giải loại bài toán này phần lớn là các phương pháp tìm kiếm heuristic (các thuật toán metaheuristic). Sau đây là các thuật toán đã được sử dụng: Thuật toán tìm kiếm cục bộ (Local search)  Thuật toán mô phỏng luyện kim (Simulated annealing)  Thuật toán GRASP(Greedy Randomized Adaptive Search Procedure)  Thuật toán bầy đàn (Swarm intelligence)  Thuật toán tìm kiếm theo bảng(Tabu search)  Thuật toán di truyền (Genetic algorithms)  Thuật toán tối ưu hóa đàn kiến (Ant colony optimization)  Metaheuristic Metaheuristic là một tập các lý thuyết thuật toán được dùng để xác định các phương pháp heuristic sao cho nó phù hợp với một lớp bài toán rộng lớn. Nói cách khác metaheuristic có thể được xem như là một phương pháp heuristic có tính tổng quát, nó được thiết kế để hướng dẫn các heuristic trong các bài toán cơ bản hướng về những miền hứa hẹn trong không gian tìm kiếm các phương án tối ưu. Một metaheuristic là khung thuật toán tổng quát có thể áp dụng cho nhiều loại bài toán tối ưu khác nhau tất nhiên là cùng với những điều chỉnh nho nhỏ để làm cho chúng trở nên phù hợp với các bài toán cụ thể. Tối ưu hóa đàn kiến (ACO) ACO là một metaheuristic có thể áp dụng để giải quyết rất nhiều bài toán tối ưu tổ hợp, thuật toán đầu tiên đã được phân loại trong lớp các thuật toán ACO được đưa ra năm 1991(tham khảo [2], [3]) và kể từ đó nguyên tắc căn bản đã có nhiều thay đổi khác nhau. Đặc điểm cơ bản của các thuật toán ACO là sự kết hợp giữa thông tin heuristic dựa vào đặc điểm của phương án có nhiều hứa hẹn và thông tin nhận được qua các phương án tốt đã tìm được ở bước trước. Các thuật toán metaheuristic là các thuật toán để tránh hiện tượng tối ưu cục bộ, nó điều chỉnh các heuristic: hoặc là heuristic tạo ra bắt đầu từ một phương án trống sau đó thêm các thành phần để nó trở 4
thành phương án hoàn chỉnh và tốt, hoặc là heuristic tìm kiếm cục bộ bắt đầu từ một phương án hoàn chỉnh sau đó thay đổi lại một số thành phần để đạt được một phương án tốt hơn. ACO (tham khảo [5]) bao gồm một lớp các thuật toán trong đó thuật toán đầu tiên là Ant System (AS) được đề xuất bởi Colorni, Dorigo và Maniezzo (tham khảo [2], [3], [4]). Ý tưởng chính làm cơ sở của thuật toán là lấy cảm hứng từ hành vi của đàn kiến trong tự nhiên, đó là quá trình tìm kiếm các lời giải song song dựa vào các dữ liệu cục bộ và dựa vào cấu trúc động chứa các thông tin thu được qua các bược giải trước. Sự tổng hợp các hành vi nổi trội từ quá trình giao tiếp giữa các phần tử trong quá trình tìm kiếm của chúng thực sự là có hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán tối ưu hóa tổ hợp. Các con kiến đã giao tiếp với nhau như thế nào và làm sao để chúng lựa chọn được con đường tốt hơn để đi. Qua các nghiên cứu người ta biết được rằng các con kiến trong tự nhiên để lại một vết hóa chất (pheromone trail), chúng có khả năng ứ đọng, bay hơi và có thể nhận biết bởi các con kiến khác, các vệt mùi chính là phương tiện giao tiếp báo cho các con kiến khác thông tin về đ ường đi đó một cách gián tiếp. Các con kiến sẽ lựa chọn đường đi nào có cường độ mùi lớn nhất tại thời điểm lựa chọn để đi, nhờ cách giao tiếp mang tính gián tiếp và cộng đồng này mà đàn kiến trong tự nhiên tìm được đường đi ngắn nhất. Dựa vào ý tưởng trên, các thuật toán ACO sử dụng thông tin heuristic (chính là thông tin có được do các dữ liệu đầu vào của bài toán) kết hợp thông tin từ các vết mùi của các con kiến nhân tạo (artificial ant) để giải các bài toán tối ưu tổ hợp khó bằng cách đưa về bài toán tìm đường đi tối ưu trên đồ thị cấu trúc tương ứng được xây dựng từ đặc điểm của từng bài toán. Mỗi con kiến nhân tạo xây dựng lời giải của chúng dựa vào luật phân phối xác suất của các vết mùi nhân tạo và các thông tin heuristic. Lược đồ thuật toán ACO tổng quát áp dụng cho bài toán tối ưu tổ hợp tĩnh: procedure ACOMetaheuristicStatic Set parameters, initialize pheromone trails while (termination condition not met) do ConstructAntsSolutions ApplyLocalSearch (optional) UpdatePheromones end-while 5
end-procedure Như đã nhận định ở trên ACO thực chất là tìm kiếm ngẫu nhiên dựa vào thông tin heuristic kết hợp với thông tin học tăng cường. So với các thuật toán heuristic cổ điển ACO mở rộng thêm quá trình học tăng cường, các con kiến tỏ ra thích nghi hơn với môi trường dựa vào các vệt mùi tích lũy trên các cạnh đồ thị. 1.2. Quá trình phát triển Thuật toán Ant System (AS) là thuật toán đầu tiên trong lớp các thuật toán ACO được đề xuất bởi Dorigo trong luận án tiến sỹ của ông năm 1991(tham khảo [2], [3]). Thuật toán AS hướng đến giải quyết bài toán tìm đường đi tối ưu trong đồ thị. Mặc dù thuật toán AS vẫn còn thua kém các thuật toán tốt nhất trong việc giải quyết bài toán trên, tuy nhiên ý tưởng của nó thực sự là mới mẻ và tỏ ra có triển vọng. Về sau đã có rất nhiều cải tiến của thuật toán này do chính Dorigo đề xuất, cũng như rất nhiều các thuật toán ACO khác đều dựa trên ý tưởng của thuật toán AS song đã khắc phục được một số nhược điểm của thuật toán này. Có thể kể tên 2 cải tiến nổi trội nhất của thuật toán AS là thuật toán ACS và thuật toán MMAS mà ta sẽ trình bày sau. Bảng 1. Một số các thuật toán ACO theo thứ tự xuất hiện ACO algorithms Tác giả Ant System Dorigo Maniezzo, & Colorni (1991) Elitist AS Dorigo (1992); Dorigo, Maniezzo, & Colorni (1996) Ant-Q Gambardella & Dorigo (1995); Dorigo & Gambardella (1996) Ant Colony System Dorigo & Gambardella (1996) Max-Min AS Stutzle & Hoos (1996, 2000); Stutzle (1999) Rank-based AS Bullnheimer, Hartl, & Strauss (1997, 1999) ANTS Maniezzo (1999) 6
Hyper-cube AS Blum, Roli, & Dorigo (2001); Blum & Dorigo (2004) Thí nghiệm cầu đôi Hành vi tìm thức ăn của các con kiến là dựa trên giao tiếp gián tiếp qua các vết mùi (chất pheromone). Khi di chuyển từ nguồn thức ăn trở về tổ các con kiến để lại mùi trên mặt đất, các con kiến có thể cảm nhận được mùi và chúng có khuynh hướng chọn theo xác suất các con đường mà được đánh dấu tập trung nhiều mùi nhất. Một số nghiên cứu để tìm hiểu hành vi của loài kiến đã được tiến hành mà một trong những thí nghiệm nổi tiếng nhất là thí nghiệm của Deneubourg và các cộng sự của ông năm 1989 (xem [7]), thí nghiệm này là cơ sở lý thuyết đầu tiên và cũng tạo ra ý tưởng cho thuật toán ACO mà Dorigo đưa ra sau này. Ông sử dụng một cầu đôi nối giữa một cái tổ của loài kiến Argentine là I. humilis với nguồn thức ăn. Ông đã thực hiện thí nghiệm nhiều lần và thay đổi tỉ số r giữa độ dài của 2 nhánh cầu. Hình 1. a – cầu đôi với 2 nhánh bằng nhau, b – cầu đôi với tỉ số các nhánh là 2 7
Biểu đồ 1. a – tỉ lệ các con kiến chọn 1 nhánh trong các lần thí nghiệm với trường hợp 2 nhánh bằng nhau. b – tỉ lệ các con kiến chọn 1 nhánh ngắn các lần thí nghiệm với trường hợp 1 nhánh dài gấp đôi nhánh kia. Trong thí nghiệm đầu tiên hai nhánh cầu có chiều dài bằng nhau (xem hình 1a) . Khi bắt đầu các con kiến di chuyển tự dâo giữa tổ và nguồn thức ăn, người ta quan sát tỉ lệ phần trăm các con kiến chọn các nhánh trong 2 nhánh qua thời gian. Kết quả thu được như sau (xem đồ thị 1a), cho dù giai đoạn khởi đầu các lựa chọn ngẫu nhiên xảy ra, song cuối cùng thì các con kiến đều hầu như chỉ đi qua một nhánh. Kết quả này có thể được giải thích như sau. Khi bắt đầu một lần thử không có vệt mùi nào trên cả 2 nhánh cầu, sau đó các con kiến sẽ không có cái gì đề làm căn cứ lựa chọn và chúng sẽ chọn ngẫu nhiên với cùng một xác suất bất kì nhánh nào trong 2 nhánh. Còn nữa, vì các con kiến để lại mùi khi di chuyển, nên nhánh nào có số lượng lớn hơn các con kiến thì sẽ có lượng mùi để lại lớn hơn. Đồng thời với lượng mùi lớn hơn thì nhánh đó cũng thu hút nhiều hơn các con kiến chọn nó. Và cuối cùng các con kiến sẽ gần như chỉ kéo về một nhánh duy nhất. Quá trình trên là một quá trình nội bộ, tự vận động là một ví dụ của hành vi tự tổ chức (self-organizing) của loài kiến. Quá trình lựa chọn một đường đi duy nhất của loài kiến thể hiện hành vi mang tính tập thể của chúng dựa trên cơ sở các tương tác cục bộ giữa các con kiến đơn lẻ trong đàn. Đây cũng là một ví dụ của loại giao tiếp stigmergy: các con kiến thay đổi hành động của chúng sử dụng giao tiếp gián tiếp bằng cách thay đổi môi trường trong khi di chuyển. Thuật ngữ stigmergy được đưa ra bởi 8
Grasse để mô tả hình thức giao tiếp gián tiếp bằng cách thay đổi môi trường cái mà ông đã quan sát được trong khi nghiên cứu sự phân cấp trong xã hội của 2 loài mối. Trong thí nghiệm thứ 2 tỉ số giữa độ dài của 2 nhánh được thay đổi r=2. Trong trường hợp này, ở phần lớn các lần thử thì sau 1 thời gian tất cả các con kiến chỉ chọn nhánh ngắn hơn (xem sơ đồ 2b). Cũng như trong thí nghiệm đầu các con kiến sẽ phải lựa chọn một trong 2 nhánh để đi. Khi bắt đầu thì cả 2 nhánh đối với các con kiến là như nhau và chúng sẽ chọn ngẫu nhiên. Vì thế xét trung bình thì một nửa số kiến sẽ chọn nhánh ngắn và nửa còn lại chọn nhánh dài. Ở thí nghiệm này ta sẽ thấy một sự khác biệt lớn so với thí nghiệm trước. Vì một nhánh ngắn hơn nhánh kia do đó các con kiến chọn nhánh ngắn hơn sẽ đến nguồn thức ăn trước và chúng sẽ bắt đầu trở về tổ. Tuy nhiên chúng sẽ phải chọn giữa nhánh ngắn và nhánh dài, mức nồng độ mùi cao hơn ở nhánh ngắn sẽ làm cho quyết định của kiến lệch về phía chúng. Vì thế mùi sẽ bắt đầu tích lũy nhanh hơn trên nhánh ngắn, cuối cùng hầu hết các con kiến sẽ chọn nhánh này theo như sự tương tác giữa các con kiến được mô tả ở thí nghiệm trước. Điều thú vị quan sát được là thậm chí khi một nhánh dài gấp đôi nhánh kia thì không phải tất cả các con kiến sử dụng nhánh ngắn hơn mà có một lượng nhỏ kiến chọn nhánh dài hơn. Đây là cách để kiến có thể khám phá được những con đường mới. 1.3. Một số thuật toán ACO áp dụng cho bài toán TSP Bài toán Travelling Salesman Problem (TSP) là bài toán tối ưu tổ hợp kinh điển và nổi tiếng. Bài toán này đóng một vai trò quan trọng trong nghiên cứu các thuật toán ACO. TSP được chọn làm bài toán tối ưu tổ hợp điển hình và để áp dụng các thuật toán ACO bởi vì: nó là một bài toán NP-khó và thường nảy sinh nhiều trong các ứng dụng, dễ dàng áp dụng các thuật toán ACO ; nó cũng là một bài toán rất trực quan, dễ hiểu không như nhiều bài toán NP-khó khác; các bước thực thi của thuật toán ACO trên bài toán TSP là dễ hình dung, không có nhiều khó khăn về mặt kỹ thuật. Phần này ta sẽ giới thiệu chi tiết về các thuật toán AS, MMAS, ACS thông qua việc ứng dụng nó vào giải quyết bài toán TSP. 9
1.3.1. Bài toán TSP Nội dung bài toán như sau: Một người chào hàng xuất phát từ thành phố của anh ta, anh ta muốn tìm một đường đi ngắn nhất đi qua tất cả các thành phố của khách hàng mỗi thành phố đúng một lần sau đó trở về thành phố ban đầu. TSP được phát biểu vào thế kỷ 17 bởi hai nhà toán học vương quốc Anh là Sir William Rowan Hamilton và Thomas Penyngton Kirkman, và được ghi trong cuốn gsiáo trình Lý thuyết đồ thị nổi tiếng của Oxford. Nó nhanh chóng trở thành bài toán khó thách thức toàn thế giới bởi độ phức tạp thuật toán tăng theo hàm số mũ (trong chuyên ngành thuật toán người ta còn gọi chúng là những bài toán NP-khó). Người ta bắt đầu thử và công bố các kết quả giải bài toán này trên máy tính từ năm 1954 (49 đỉnh), cho đến năm 2004 bài toán giải được với số đỉnh lên tới 24.978, và dự báo sẽ còn tiếp tục tăng cao nữa. Bài toán TSP có thể phát biểu dưới dạng đồ thị như sau: Cho G = (N, A,) là đồ thị có hướng đầy đủ có trọng số, trong đó N là tập hợp của n = |N| nút (thành phố) , A = {(i,j)| (i,j) є VxV} là tập tất cả các cung của đồ thị. Mỗi cung (i, j) được gán một trọng số dij để biểu diễn khoảng cách giữa 2 thành phố i và j. Bài toán TSP trở thành bài toán tìm chu trình Hamilton có độ dài ngắn nhất trên đồ thị G. Ta cần phân biệt hai loại TSP, symmetric TSP có khoảng cách giữa các thành phố không phụ thuộc vào hướng dij = dji với mọi thành phố i, j và asymmetric TSP – ATSP tồn tại ít nhất một cặp cạnh sao cho dij ≠ dji. Đối với đồ thị không đối xứng có (n-1)! đường đi chấp nhận được còn đối với đồ thị đối xứng có (n-1)!/2 đường đi có khả năng. Khi n lớn ta không thể tìm được lời giải tối ưu bằng các thuật toán vét cạn, hướng đi giải quyết bài toán là tìm các lời giải xấp xỉ tối ưu bằng các thuật toán heuristic, hoặc các thuật toán tiến hóa. Hình sau đây (hình 2.a và 2.b) đưa ra 2 ví dụ về bài toán TSP, được lấy từ TSPLIB website (xem [14]). 10
Hình 2.a – Thể hiện các đỉnh trong thư viện TSP att532, tương ứng với 532 thành phố của Mỹ. Hình 2.b – Thể hiện các đỉnh trong TSPLIB pcb1173 biểu diễn 1173 lỗ trên một bảng mạch in. Bảng 2. Một số thuật toán ACO và khả năng giải quyết bài toán TSP ACO algorithms TSP Ant System Yes Elitist AS Yes Ant-Q Yes Ant Colony System Yes Max-Min AS Yes Rank-based AS Yes ANTS No Hyper-cube AS No 11
1.3.2. Ant System (AS) Thuật toán Ant System (AS) như đã giới thiệu là thuật toán đầu tiên trong lớp các thuật toán ACO được đề xuất bởi Dorigo trong luận án tiến sỹ của ông năm 1991(tham khảo [2], [3]). AS và cũng như nhiều thuật toán ACO cải tiến từ AS đều chọn TSP làm bài toán thực nghiệm đầu tiên. Phương pháp giải TSP bằng AS Đầu tiên là xây dựng đồ thị, n đỉnh biểu diễn cho n thành phố. Vệt mùi: mỗi cạnh được (i, j) được gắn một vệt mùi τij. Thông tin heuristic: ηij là nghịch đảo khoảng cách giữa hai thành phố (i, j) ηij = 1/ dij Trong phần lớn các thuật toán ACO cho bài toán TSP người ta đều sử dụng thông tin heuristic như trên. Có hai quá trình chính trong thuật toán AS là quá trình xây dựng lời giải và quá trình cập nhật các vệt mùi. Xây dựng lời giải: Có m con kiến nhân tạo được đặt khởi tạo ngẫu nhiên tại các đỉnh, và tại mỗi bước lặp của thuật toán, mỗi con kiến sẽ xây dựng lời giải riêng của nó bằng cách chọn một đỉnh mà chúng chưa thăm để đi. Ban đầu các vệt mùi được khởi tạo bởi giá trị τ0, mỗi con kiến được đặt ngẫu nhiên tại một đỉnh xuất phát và lần lượt đi thăm các đỉnh còn lại để xây dựng đường đi với theo quy tắc như sau (gọi là quy tắc random proportional), con kiến thứ k đang ở đỉnh i sẽ chọn đỉnh j tiếp theo với xác suất:        ij (t )  ij k  j Ni Pijk (t )   lN k  il (t )  il    (1.1) i  0 ngược lại trong đó cường độ vệt mùi τij(t) và thông tin heuristic ηij ta đã giới thiệu ở trên. 12
Hai tham số α và β là hai tham số xác định sự ảnh hưởng của vệt mùi và thông tin heuristic : nếu α = 0 các thành phố gần nhất có nhiều khả năng được chọn, thuật toán trở nên giống với thuật toán heuristic thông thường, nếu β = 0 chỉ có thông tin về cường độ vệt mùi được sử dụng mà không hề có bất kỳ một thông tin heuristic nào làm cho kết quả tìm kiếm được nghèo nàn và bài toán đễ rơi vào trường hợp cực tiểu địa phương. Nik là các láng giềng có thể đi của con kiến k khi nó ở đỉnh i, đó là tập các đỉnh chưa được con kiến thứ k đi qua (xác suất chọn một đỉnh nằm ngoài Nik là 0). Với luật xác suất này, thì xác suất để chọn một cạnh (i, j) tăng lên khi mà mùi τij và thông tin heuristic ηij tương ứng của cạnh đó tăng. Mỗi con kiến có một bộ nhớ Mk chứa danh sách các thành phố mà chúng đã đến thăm theo thứ tự. Nó được dùng để tính toán tập các láng giềng chưa thăm Nik trong công thức xác suất (1.1) ở trên. Mk cũng cho phép các con kiến tính toán quãng đường mà nó đã đi được và giúp kiến xác định được cạnh nó đi qua để cập nhật mùi. Chú ý rằng trong khi xây dựng lời giải, có hai cách cài đặt nó: song song và tuần tự. Với cách cài đặt song song, tại mỗi bước xây dựng lời giải tất cả các con kiến đều di chuyển từ thành phố của chúng đến thành phố tiếp theo. Trong khi đó với phương pháp cài đặt tuần tự thì sau khi một con kiến hoàn tất đường đi của nó, con kiến tiếp theo mới bắt đầu xây dựng đường đi của nó. Đối với thuật toán AS thì cả hai cách cài đặt trên là tương đương, tức là chúng không gây ra ảnh hưởng quan trọng gì đến thuật toán. Sau này ta sẽ thấy với thuật toán AS thì không như thế. Cập nhật mùi Sau khi tất cả các con kiến xây dựng xong các lời giải của chúng, các vệt mùi sẽ được cập nhật. Đây là hình thực cập nhật offline sẽ nói đến sau. Đầu tiên tất cả các cạnh sẽ bị mất đi một lượng mùi (do bị bay hơi), sau đó những cạnh mà có các con kiến đi qua sẽ được tăng cường thêm một lượng mùi. Công thức thức bay hơi mùi:  ij (t  1)  (1   ) ij (t ) (i, j )  L (1.2) trong đó 0 < ρ
tồi ở bước trước. Nếu một cạnh không được chọn bởi bất kì con kiến nào thì cường độ mùi của nó sẽ bị giảm theo hàm mũ của số vòng lặp. Sau khi bay hơi mùi tất cả các con kiến sẽ tăng cường mùi cho những cạnh mà chúng đã đi qua theo công thức: m k  ij (t  1)   ij (t )    ij (t ) (1.3) k 1 1  k nếu (i,j) thuộc Tk và ngược lại trong đó  ij (t )   C k (1.4) 0  Ck là độ dài của tuyến đường Tk được xây dựng bởi con kiến k. Với công thức (1.4), tuyến đường của những con kiến nào mà càng tốt hơn thì nó càng được tăng cường thêm nhiều mùi. Nói tóm lại thì những cạnh mà được nhiều con kiến lựa chọn thì sẽ nhận được nhiều mùi hơn và có nhiều khả năng hơn sẽ được lựa chọn bởi các con kiến trong các vòng lặp tiếp theo của thuật toán. Ưu điểm của AS: Việc tìm kiếm ngẫu nhiên dựa vào trên các thông tin heuristic làm cho phép tìm kiếm linh hoạt và mềm dẻo trên không gian rộng hơn phương pháp heuristic sẵn có, do đó cho ta lời giải tốt hơn và có thể tìm được lời giải tối ưu. Sự kết hợp với học tăng cường (reinforcement learning) trong đó những lời giải tốt hơn sẽ được sự tăng cường hơn thông qua thông tin về cường độ vết mùi cho phép ta từng bước thu hẹp không gian tìm kiếm và vẫn không loại bỏ các lời giải tốt, do đó nâng cao chất lượng thuật toán. Nhược điểm của AS: Hiệu suất của nó giảm đột ngộ so với nhiều thuật toán metaheuristic khác khi mà kích thước của bài toán tăng lên. Bởi vì khi số đỉnh của đồ thị lớn thì cường độ vệt mùi trên những cạnh không thuộc lời giải tốt (hoặc ít được con kiến lựa chọn) sẽ nhanh chóng giảm dần về 0, làm cho cơ hội khám phá hay tìm kiếm ngẫu nhiên của thuật toán sẽ giảm mà đây là một trong những điểm mạnh của các thuật toán mô phỏng tiến hóa tự nhiên nên thuật toán hệ kiến AS kém hiệu quả. 14
Vì thế, thực tế là các nghiên cứu về ACO ngày nay tập trung vào việc làm thế nào để cải tiến AS. 1.3.3. Max-Min Ant System (MMAS) MMAS và một số thuật toán khác như Elitist AS, Rank-Based AS là các thuật toán có được hiệu suất cao hơn nhiều so với thuật toán AS nhờ vào những thay đổi nhỏ trong thuật toán AS, đây được coi là các thuật toán kế thừa trực tiếp từ thuật toán AS vì chúng về cơ bản là không khác gì nhiều so với AS. MMAS đưa ra bốn thay đổi chính đối với AS. Thứ nhất, nó chú trọng nhiều vào những tuyến đường tốt nhất được tìm thấy : MMAS, chỉ cho phép con kiến tốt nhất hoặc là tại vòng lặp hiện tại iteration-best , hoặc tính từ thời điểm bắt đầu best-so-far được phép cập nhật mùi. Tuy nhiên việc này sẽ dẫn đến hiện tượng ứ đọng, tập trung (stagnation) quá nhiều khi mà tất cả các con kiến đều cùng chọn một tuyến đường đi, do sự tăng lên quá thừa của cường độ các vết mùi trên các cạnh tốt. Để tránh hiện tượng trên một cải tiến thứ hai là MMAS giới hạn cường độ mùi trong một khoảng cố định [τmax , τmin]. Tất cả vệt mùi trên các cạnh đều nằm trong khoảng này. Thứ ba, các vệt mùi được khởi tạo là cận trên của vệt mùi τmax , cùng với việc một tỉ lệ bay hơi mùi nhỏ sẽ làm tăng khả năng khám phá cho các con kiến ngay từ khi bắt đầu. Cuối cùng, trong thuật toán MMAS các vệt mùi sẽ được khởi tạo lại nếu như hệ thống rơi vào trạng thái stagnation, hoặc không thể cải thiện được tuyến đường đã tạo ra sau một số lượng các vòng lặp liên tiếp. Cập nhật mùi Cũng như thuật toán AS, sau khi tất cả các con kiến xây dựng xong lời giải của chúng tất cả các vết mùi đều bay hơi một lượng phụ thuộc vào tham số bay hơi mùi (xem công thức 1.2). 15
Sau đó cường độ mùi trên mỗi cạnh có con kiến tốt nhất đi qua được cập nhật một lượng theo công thức :  ij   ij   ij est b (1.5) Với  ij  1 , với Cbest hoặc là độ dài của tuyến đường tốt nhất tại vòng best C best lặp hiện tại, hoặc là độ dài của tuyến đường tốt nhất từ khi bắt đầu thuật toán. Khi ta sử dụng luật update best-so-far thì quá trình tìm kiếm sẽ tập trung nhanh chóng vào tuyến đường tốt nhất từ đầu đến hiện tại. Còn khi sử dụng update iteration-best thì số lượng các cạnh được tăng cường mùi là nhiều hơn và sự tìm kiếm cũng phân tán hơn. Các kết quả thực nghiệm cho thấy rằng, với những bài toán TSP nhỏ thì tốt nhất là chỉ sử dụng update iteration-best . Trong khi đó với những bài toán TSP lớn khoảng vài trăm đỉnh thì hiệu suất tốt nhất đạt được với việc sử dụng chú trọng đến update best-so-far. Giới hạn vết mùi MMAS sử dụng hai cận trên (τmax) và cận dưới (τmin) để khống chế nồng độ mỗi mùi trên mỗi cạnh với mục đích tránh cho thuật toán khỏi hiện tượng tắc nghẽn tìm kiếm. Cụ thể hơn, giới hạn của vệt mùi sẽ làm cho xác suất pij của việc chọn thành phố j khi kiến ở thành phố i bị giới hạn trong khoảng [pmin, pmax]. Nhược điểm của thuật toán này là sẽ tập trung tìm kiếm vào các cạnh thuộc lời giải tốt nhất tìm được, vì vậy hạn chế khả năng khám phá nếu τmin chọn bé. Ngoài ra khi chọn τmin bé thì gần như các thông tin heuristic được tận dụng triệt để, còn các cường độ mùi sẽ bị giảm nhanh và không có tác dụng mấy. Còn nếu chọn τmin lớn thì thuật toán sẽ gần với tìm kiếm ngẫu nhiên và ít phụ thuộc vào các thông tin heuristic đồng thời khả năng học tăng cường cũng giảm theo. 16