Luận văn: Mối liên hệ tiếp tuyến và đạo hàm - Nghiên cứu khoa học luận, sư phạm (Thạc sĩ Giáo dục học)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Bùi Thị Thu Hiền

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2007

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS Lê Văn

Tiến, người đã tận tình chỉ bảo tôi về mặt nghiên cứu khoa học và hướng

dẫn tôi hoàn thành luận văn này.

Xin trân trọng cảm ơn: GS. Claude Comiti, GS. Annie Bessot, GS.

Alain Birebent, PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, TS. Đoàn Hữu Hải và các quí

thầy cô đã tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành didactic toán

khóa 15.

Xin chân thành cảm ơn: TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình

giúp đỡ tôi dịch luận văn này sang tiếng Pháp.

Xin chân thành cảm ơn: Ban Giám Hiệu và các đồng nghiệp trong tổ

Toán trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa (TPHCM) đã giúp đỡ và tạo điều

kiện cho tôi hoàn thành luận văn này.

Xin chân thành cảm ơn các bạn cùng lớp Didactic khóa 15 đã luôn

động viên và chia sẻ những vui buồn và khó khăn trong suốt thời gian học tập

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và những bạn bè thân

thiết đã luôn bên cạnh, ủng hộ và động viên tôi trong suốt thời gian qua.

Bùi Thị Thu Hiền

MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Theo truyền thống, tiếp tuyến luôn là chủ đề quan trọng trong chương trình toán ở trường phổ

thông Việt Nam, đặc biệt là trong chương trình hình học sơ cấp ở THCS và chương trình Giải tích ở

THPT. Trong phạm vi Giải tích, việc nghiên cứu khái niệm tiếp tuyến luôn gắn với khái niệm đạo hàm.

Trong luận văn tốt nghiệp đại học của mình, nhan đề: « Tiếp tuyến và đạo hàm phải chăng là một

cặp ?», hai sinh viên người Pháp N. Chaboud và D. Hedde (2000) cũng đã chỉ ra sự gắn kết của hai

khái niệm này trong lịch sử giảng dạy ở Pháp từ năm 1993 đến năm 1999.

Từ đó, chúng tôi thấy cần thiết đặt ra các câu hỏi khởi đầu sau đây:

Tại sao khái niệm tiếp tuyến luôn gắn liền với khái niệm đạo hàm? Chúng kết hợp với nhau thế nào?

Vai trò, ý nghĩa của mỗi khái niệm trong sự kết hợp đó ?

Có được câu trả lời cho những câu hỏi này sẽ cho phép chúng tôi – những giáo viên toán THPT -

hiểu rõ hơn đối tượng kiến thức cần giảng dạy, để từ đó có những vận dụng thích hợp trong quá trình

thực hành nghề nghiệp của mình. 2. Phạm vi lí thuyết tham chiếu

Lí thuyết nhân chủng học của Didactic toán với các khái niệm mấu chốt như “mối quan hệ thể

chế”, “Mối quan hệ cá nhân” sẽ là công cụ lí thuyết mà chúng tôi sử dụng trong nghiên cứu của mình.

Trong phạm vi lí thuyết này và từ các câu hỏi khởi đầu nêu trên, chúng tôi trình bày hệ thống câu

hỏi nghiên cứu của luận văn như sau :

Q1: Trong lịch sử phát triển của Toán học, mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến đã được thiết lập

trong những tình huống nào? Đặc trưng cơ bản của mối quan hệ này? Có đối tượng nào khác luôn gắn

liền với chúng ? Mỗi đối tượng có vai trò và chức năng gì trong mối quan hệ đó?

Q2: Trong hệ thống dạy học toán ở trường phổ thông, mối quan hệ thể chế với đạo hàm và tiếp tuyến,

cũng như quan hệ giữa chúng hình thành ra sao ? Với những đặc trưng cơ bản nào so với quan hệ của

chúng trong lịch sử ? Có những ràng buộc thể chế nào trên chúng?

Q3: Mối quan hệ thể chế nêu trên ảnh hưởng thế nào lên mối quan hệ cá nhân học sinh?

3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu

Mục đích của luận văn này là tìm câu trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra ở mục 2.

Để đạt được điều đó, chúng tôi sẽ tiến hành các nghiên cứu sau đây :

- Phân tích, tổng hợp một số tài liệu hay công trình đã biết về lịch sử hay khoa học luận để làm rõ

đặc trưng của mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến, đặc biệt là vai trò, chức năng của mỗi đối tượng

trong sự kết hợp này. Kết quả của chương này là cơ sở tham chiếu cho phân tích mối quan hệ thể chế

tiếp ngay sau đó.

- Phân tích, tổng hợp một số kết quả chính trong luận văn của hai sinh viên Pháp là N. Chaboud, D.

Hedde (2000) và phân tích chi tiết một SGK của Pháp nhằm mục tiêu làm tham chiếu cho phân tích CT

và SGK Việt Nam.

- Trên cở sở các nghiên cứu trên, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích CT và SGK toán lớp 9 và SGK

THPT hiện hành ở Vịêt Nam nhằm tìm câu trả lời cho các câu hỏi đặt ra trong Q2, mục 2.

- Triển khai một thực nghiệm để kiểm chứng về ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế gắn liền với

đạo hàm và tiếp tuyến lên mối quan hệ cá nhân tương ứng của học sinh.

Đặc biệt, chúng tôi sẽ đưa vào thử nghiệm giả thuyết nghiên cứu sau đây (kết quả rút ra từ phân

tích CT và SGK Việt Nam) :

Giả thuyết :”Ở bậc THPT, học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, giữa

đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong mối

quan hệ cá nhân của học sinh”.

4. Tổ chức của luận văn

Luận văn gồm 5 phần : Phần mở đầu, 3 chương và phần kết luận chung.

- Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày những ghi nhận ban đầu, lợi ích của đề tài; mục đích và

phương pháp nghiên cứu; tổ chức của luận văn.

- Chương 1 dành cho việc trình bày kết quả phân tích và tổng hợp các công trình nghiên cứu về

khoa học luận và lịch sử để làm rõ đặc trưng của mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến trong lịch sử

hình thành và tiến triển của chúng.

- Trong chương 2, chúng tôi phân tích CT và SGK Việt Nam để làm rõ mối quan hệ giữa hai đối

tượng nêu trên. Nhưng trước đó, chúng tôi đã chọn phân tích một số tư liệu của thể chế dạy học của

Pháp để làm tham chiếu cho việc phân tích SGK Việt Nam.

- Chương 3 giới thiệu một thực nghiệm nghiên cứu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên mối

quan hệ cá nhân tương ứng của học sinh và kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu nêu trong mục 3.

- Trong phần kết luận, chúng tôi tóm tắt các kết quả đạt được ở chương 1, 2, 3 và nêu một số

hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn.

Chương 1: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA MỐI QUAN HỆ GIỮA TIẾP

TUYẾN VÀ ĐẠO HÀM

1.1. Mục tiêu của chương

Mục đích chủ yếu của chương này là phân tích và tổng hợp một số công trình nghiên cứu lịch sử, khoa học luận về tiếp tuyến và đạo hàm để làm rõ các đặc trưng của mối liên hệ giữa hai khái niệm này.

Cụ thể, dựa vào các công trình đánh số [1], [2], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20] (xem

phần Tài liệu tham khảo) chúng tôi cố gắng tìm câu trả lời cho những câu hỏi sau đây:

Đối tượng đạo hàm và tiếp tuyến xuất hiện trong những tình huống nào của lịch sử toán học? Chúng quan hệ với nhau như thế nào? Đặc trưng cơ bản của mối quan hệ này? Mỗi đối tượng có vai trò và chức năng gì trong mối quan hệ đó?

1.2. Đặc trưng khoa học luận của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm

1.2.1. Giai đoạn 1: Trước thế kỉ XVII

 Khái niệm tiếp tuyến Trong [2], tác giả Vũ Đức đã rút ra một số đặc trưng khoa học luận sau đây của khái niệm tiếp

tuyến trong giai đoạn này của lịch sử. - Khái niệm tiếp tuyến xuất hiện và được nghiên cứu trước hết trong phạm vi hình học sơ cấp với các đặc trưng: tiếp tuyến là một đường thẳng có duy nhất một điểm chung và tiếp xúc với đường cong. Tiếp tuyến của đường tròn còn có thêm đặc trưng vuông góc với bán kính của đường tròn tại tiếp điểm. Tiếp tuyến được định nghĩa hoàn toàn theo lối mô tả trực giác hình học và sử dụng một số thuật - ngữ khá mơ hồ, không được giải thích như “chạm”, “đi qua phía bên kia”, “rơi”...Các định nghĩa mô tả này không cho phép đưa ra một phương pháp tổng quát để xác định tiếp tuyến. - Cách xác định tiếp tuyến luôn được trình bày thông qua dựng hình và phụ thuộc nhiều vào hình vẽ và tính chất của đường cong.

 Nhận xét về mối quan hệ của hai khái niệm

Trong giai đoạn này tiếp tuyến chỉ xuất hiện ở phạm vi hình học sơ cấp, bài toán xác định tiếp tuyến được giải quyết dựa vào dựng hình. Khái niệm đạo hàm chưa xuất hiện (dù dưới dạng ngầm ẩn) và do đó, chưa có mối liên hệ nào giữa hai khái niệm được thiết lập.

1.2.2. Giai đoạn 2: Nửa đầu thế kỉ XVII

Trong thời điểm này, việc phát minh ra hình học giải tích đồng thời và độc lập bởi Descartes (1596-1650) và Fermat (1601-1665) đã ảnh hưởng mạnh mẽ đến sự phát triển của giải tích. Nhiều phương pháp mới xác định tiếp tuyến ra đời tạo mầm mống cho sự hình thành phép tính vi phân.

 Tiếp tuyến và đạo hàm trong phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

Fermat

Phần trình bày này dựa trên tài liệu [13] và [14]. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất được biết đến từ năm 1629 qua các bức thư của Fermat. Nhưng đến năm 1642 tác phẩm “Phương pháp khảo sát các số lớn nhất và nhỏ nhất” mới được xuất bản. Trong tác phẩm này, Fermat đề xuất qui tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất qua bài toán sau:

Chia đường AC (hình 1.1) bởi điểm B sao cho vật thể, được xây dựng trên hình vuông AB và đường BC là lớn nhất(*)

Hình 1.1

(A+E)2(B-A-E) = A2(B-A)

2A(B–A) –A2 = 0 hay 2AB = 3A2

Fichtegôn giải thích phương pháp của Fermat như sau ([14, tr.355]): Đặt đoạn AC đã cho là B, đoạn AB phải tìm là A. Đối với thể tích lớn nhất ta được biểu thức A2(B-A) Sau khi thế A+E vào biểu thức trên thay cho A (Fermat dùng chữ E làm kí hiệu chuẩn cho số gia của lượng đang xét A).Ta cho cả hai biểu thức bằng nhau (trên thực tế là không bằng nhau): Giản ước các vế ta được: 2A(B –A) – A2 + E(B–A–E) –2AE = 0 Bỏ những số hạng còn chứa E, kết quả ta có: Biểu thức này, theo cách diễn đạt của Fermat, là đẳng thức “đúng”, trong khi đó các đẳng thức trên chỉ

2 3 Nếu dùng các kí hiệu về hàm số, “qui tắc Fermat” dưới dạng tổng quát sẽ như sau:

là “tưởng tượng ra” hay “gần đúng”. Từ đẳng thức cuối cùng ta xác định được A = B

Để tìm giá trị A, mà tại đó biểu thức f(A) có giá trị lớn nhất hay bé nhất, Fermat dựa vào nguyên lý đã biết trước đó: tại thời điểm mà đại lượng đạt giá trị bé nhất hay lớn nhất, lượng đó hầu như dừng lại trong quá trình biến thiên.

f (A)



 Fermat viết các biểu thức “gần đúng”: f (A+E) = f(A) hay f (A+E) - f(A) = 0 với E rất nhỏ

 0

f (A E)  E

 Đơn giản những số hạng giống nhau ở hai vế, rồi chia cho E ta được:

 Bỏ đi những số hạng còn chứa E, tức là đặt E = 0 (mà điều này tương đương với việc chuyển

(*) Giá trị lớn nhất của vật thể được hiểu là thể tích lớn nhất của hình hộp chữ nhật có ba cạnh lần lượt là A, A và B-A.

qua giới hạn khi E  0). Cuối cùng, ta được đẳng thức :

f (A)





f (A E)  E

  

  

E 0 

. Từ đó xác định được giá trị A cần tìm.

Nhận xét

Trong phương pháp trên có những chỗ bất hợp lí: lúc thì cho E là một số hữu hạn khác 0 (bằng cách chia hai vế cho E) sau đó lại cho E = 0. Fichtegôn cũng nhận xét: “phương pháp của Fermat không có cơ sở nào”.

f (A)



Rõ ràng, Fermat đã gặp khó khăn với phép lấy giới hạn và khái niệm vô cùng bé. Tuy nhiên, trong



f (A E)  E

  

  

E 0 

f (A)



phương pháp trên đã hiện diện tư tưởng của giới hạn và khái niệm đạo hàm:

= 0 hay f’(A) = 0)

lim E 0 

f (A E)  E

Theo ngôn ngữ hiện nay, phương pháp trên dựa trên tính chất: « Hàm số f(x) có đạo hàm tại a và đạt cực đại hay cực tiểu tại điểm đó thì f’(a) =0. Về mặt hình học,

(tương đương với các với cách viết hiện nay là

Tuy nhiên, trong phương pháp trên, Fermat cũng chưa biết rằng f’(a) = 0 chỉ là điều kiện cần chứ

chưa phải là điểu kiện đủ để có cực trị Còn lời giải có thể mô tả như sau: Gọi V là thể tích của hình hộp chữ nhật nêu trên, x là độ dài đoạn AB và a là độ dài đoạn AC, ta

2 V x a x (

)





x   

3  



  

và

(vì x > 0).

có:

a 2 3

Từ đó, ta có bảng biến thiên sau:

0 2a/3 a

V(x)

x 

V đạt giá trị lớn nhất khi

hay AB =

a 2 3

2 3

Trong cùng tác phẩm trên, Fermat cũng đề nghị phương pháp xác định tiếp tuyến của đường

cong, được mô tả như sau đây (theo [13]).

tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đạt cực đại hay cực tiểu thì song song với trục hoành »

đường cong (C). trục xuống

M’

Gọi M’ là điểm khác M nằm trên X, X’ lần lượt là hình chiếu của M, M’ hoành

cần xác định cắt (Hình tại N

Giả sử tiếp tuyến tại điểm M mà ta trục hòanh tại T. X’M’ cắt tiếp tuyến MT 1.2).

X’

tìm tiếp ảnh TX. X’N bằng xấp

Hình 1.2

Để xác định tiếp tuyến MT, Fermat Do  TXM và  TX’N đồng dạng và thay xỉ, ta có: A: XM = E: (X’M’-XM)

Xác định tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M.

Theo cách kí hiệu thông thường hiện nay, nếu kí hiệu đường cong (C) bằng công thức y = F(x) thì đẳng thức trên trở thành:

A : F(x) = E : (F(x+E)-F(x))

 A =

F(x).E F(x E) F(x)  



Chia biểu thức trên cho E ta được:

F(x) F(x E) F(x)   E

Cho E bằng 0, tìm được A

Cách dựng tiếp tuyến của Fermat thể hiện một quan điểm rất khác về tiếp tuyến so với các quan điểm trước đó. Trong phương pháp trên, khi điểm M’ dần đến vị trí của M thì cát tuyến M’M dần đến vị trí của tiếp tuyến MT. Như vậy, Fermat đã xem tiếp tuyến của đường cong như là vị trí giới hạn của

Nhận xét

Có thể thấy cả hai bài toán trên của Fermat cùng thống nhất trong một phương pháp giải, trong đó đã xuất hiện ngầm ẩn “khái niệm đạo hàm”.Tuy nhiên, ông không tiến xa hơn được vì khó khăn trong việc hiểu “giới hạn” và “vô cùng bé”.

Tóm lại, quan niệm rất mới về tiếp tuyến như là “vị trí giới hạn của cát tuyến” đã dẫn tới một phương pháp tổng quát để xác định tiếp tuyến mặc dù phương pháp đó còn nhiều chỗ “bất hợp lí” như đã phân tích ở trên. Đạo hàm đã xuất hiện ngầm ẩn và đóng vai trò công cụ cho phép giải quyết bài toán xác định tiếp tuyến của đường cong. Mối liên hệ giữa đạo hàm ngầm ẩn và tiếp tuyến cũng được thiết lập:

cát tuyến.



(Phương pháp trên tương đương với cách viết hiện nay:

hay F’(x) =

)

F(x) A

F(x) F'(x)

« Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm »

Theo [14], một cách độc lập và gần như đồng thời, cả hai nhà bác học này đã đưa ra phương pháp tìm tiếp tuyến của đường cong bằng cách dùng “hình bình hành vận tốc” (những nghiên cứu của họ được công bố lần đầu tiên năm 1644). Roberval quan niệm:

 Phương pháp xác định tiếp tuyến của Roberval (1602-1675) và Torricelli (1608-1674)

Cụ thể nếu đường cong biểu diễn được như là quĩ đạo chuyển động của điểm, chuyển động đó gồm hai chuyển động đơn giản hơn mà đối với chúng vận tốc (theo giá trị và hướng) được cho một cách trực tiếp, thì hướng của vận tốc của chuyển động hợp (và cùng với nó cả hướng của tiếp tuyến với quĩ đạo) đựơc xác định theo “qui tắc hình bình hành”, như sau:

“Phương chuyển động của điểm vạch nên đường cong là tiếp tuyến của đường cong tại mỗi vị trí điểm của nó”

(hình 1.3) và thời gian) dọc chiều theo trong hình vẽ,

Giả sử tại thời điểm ban đầu chất điểm nằm ở O rơi tự do theo gia tốc g (có nghĩa là với vận tốc gt, t là theo đường thẳng đứng, mà chất điểm đó lại dời chỗ ngang với vận tốc u không đổi. Khi đó, theo kí hiệu tại thời điểm t ta có :

; y = ut

x =

1 2



vậy quĩ đạo

. Như

Từ đó, sau khi khử t ta tìm được

u g

của chất điểm nhận được là một parabol ( mà dựa theo

cách chọn u có



vận tốc thẳng

thể đồng nhất với parabol tùy ý

2px

). Tỉ số giữa

đến sự đồng



. Do đó- chú ý

đứng và nằm ngang bằng

Hình 1.3

gt u

gt ut

2x y

dạng của các tam giác, ta chứng minh được rằng tiếp tuyến cắt trục parabol về phía sau đỉnh của nó một đoạn là x.

Phương pháp của Roberval và Torricelli không đựơc xem là phương pháp tổng quát vì những khó khăn trong việc xác định chuyển động thành phần. Quan niệm về tiếp tuyến của Roberval theo quan điểm động học có ý nghĩa về mặt lịch sử vì đề cập đến phương tức thời của chuyển động, là ý tưởng liên quan đến giới hạn, đánh dấu sự phát triển của giải tích. Cách làm này cho thấy ông đã thấy được mối liên hệ mật thiết giữa vận tốc (đạo hàm của khoảng cách còn ngầm ẩn) với tiếp tuyến : Tỉ số giữa

Nhận xét :

2x y

Theo ngôn ngữ hiện nay thì mối liên hệ đó là : «hệ số góc của tiếp tuyến bằng

» (với Ox là

dy dx

trục hoành, Oy là trục tung).  Phương pháp xác định tiếp tuyến của Barrow Phần trình bày này dựa theo [19]. Phương pháp xác định tiếp tuyến của Barrow được trình bày trong « bài giảng về quang học và hình học » (1660-1670). Phương pháp này cũng tương tự như phương pháp của Fermat nhưng có những bước hoàn thiện hơn và có thể diễn tả như sau :

Giả sử ta có đường cong s (hình 1.4). Đường thẳng

nằm ngang AP cắt đường cong tại A, đường thẳng thẳng đứng PM cắt đường cong tại M.

Giả sử MT là tiếp tuyến cần xác định của đường

cong tại M, cắt AP tại T.

Xét cung MN vô cùng nhỏ là phần trùng nhau của

Q P

vận tốc thẳng đứng và nằm ngang bằng .

Hình 1.4

đường thẳng MT và đường cong s. Vẽ NQ // MP, NR //AP.

Đặt MP = m; PT = t; MR = a; NR = e Để xác định tiếp tuyến MT ta sẽ tính lượng PT = t

Vì M, N cùng nằm trên đường cong nên cùng nghiệm đúng tính chất đặc trưng của đường cong đó. Từ tính chất này, ta tìm mối liên hệ giữa các đại lượng a, e và m qua một đẳng thức I nào đó. Trong đẳng thức này, ta sẽ bỏ đi các số hạng có dạng lũy thừa của a và e (các số hạng này được xem như:có giá trị không đáng kể hay vô cùng bé trong phép tính)

. Thay vào I, ta sẽ tính được t.

Dựa vào định lý Thales ta có

  

a e m t

e t a m

Như vậy tiếp tuyến MT hòan tòan được xác định

Theo Perrin, phương pháp xác định tiếp tuyến của Barrow dựa vào ý tưởng xem tiếp tuyến tại một

Phương pháp của ông, theo ngôn ngữ hiện đại, trong lân cận của tiếp điểm có thể “xấp xỉ” đường

cong bởi tiếp tuyến tại điểm đó.

Trong phương pháp trên, nguyên lí bỏ qua những số hạng vô cùng bé (a,e) có bậc cao hơn 1 được nêu ra: “bỏ đi các số hạng có dạng lũy thừa của a và e vì các số hạng này được xem như có giá trị không đáng kể hay vô cùng bé trong phép tính” (ở Fermat thì nguyên lí này chỉ có thể ngầm hiểu).

được thay bằng tỉ số

mà e, a là các vô cùng bé đã ngầm

Việc tìm hệ số góc của tiếp tuyến

a e

m t

ẩn khái niệm ”vi phân”.

Theo cách làm hiện nay, nếu chọn A làm gốc tọa độ và trục hòanh là AP, trục tung là đường

chính là

và

chính là hệ số góc của tiếp tuyến.

thẳng qua A và song song với PM thì

dy dx

m t

a e

Như vậy, mối quan hệ giữa tiếp tuyến và vi phân (còn ngầm ẩn) đã được thiết lập:

“Hệ

số

”.

góc của tiếp tuyến bằng tỉ số hai vi phân

dy dx

Tuy nhiên, cũng như Fermat, phương pháp của Barrow cũng chưa có cơ sở lí thuyết rõ ràng.  Những đặc trưng khoa học luận cơ bản của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong giai

điểm của đường cong như là đường thẳng trùng với một phần vô cùng nhỏ của đường cong tại điểm đó.

- Quan niệm rất mới về tiếp tuyến : “vị trí giới hạn của cát tuyến” và “đường thẳng trùng với phần vô cùng nhỏ của đường cong tại tiếp điểm” đã dẫn đến phương pháp tổng quát để xác định tiếp tuyến. Tiếp tuyến bắt đầu xuất hiện trong phạm vi giải tích và mở đường cho việc hình thành các ý tưởng liên quan đến đạo hàm và vi phân. Đạo hàm và vi phân xuất hiện như công cụ ngầm ẩn để giải bài toán xác định tiếp tuyến. Việc xuất hiện đạo hàm và vi phân trong tư tưởng xấp xỉ. - Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, tiếp tuyến và vi phân cũng xuất hiện ngầm ẩn:

đoạn này có thể tóm lược như sau :

«Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm »

dy dx

«Hệ số góc của tiếp tuyến bằng tỉ số của hai vi phân »

Nói cách khác, nhờ việc tìm lời giải cho bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong mà nhiều nhà toán học trong giai đoạn này đã tiến đến hiểu biết rất gần với khái niệm đạo hàm, vi phân. Tuy nhiên, việc giải các bài toán tiếp tuyến chưa có cơ sở rõ ràng và được giải quyết vẫn dựa vào hình vẽ.

Phân tích trong phần này dựa vào [14], [15] và . Sự phát triển của giải tích được tạo ra bởi Newton(1642-1727) và Leibniz (1646-1716) - cả hai hoạt động độc lập với nhau từ những năm 1660- do việc phát minh ra phép tính vi tích phân.

1.2.3.Giai đoạn 3: Nửa cuối thế kỉ XVII đến cuối thế kỉ XVIII

1.2.3.1.Tiếp tuyến và đạo hàm trong phương pháp làm chảy (fluxi) của Newton Phương pháp làm chảy của Newton được trình bày chi tiết trong “Phương pháp fluxi và các chuỗi vô hạn(1736)”

Newton xem một đường được sinh ra bởi chuyển động liên tục của một điểm và đưa ra một số

khái niệm mới.

 Khái niệm về đạo hàm, vi phân ([14], [15]).

Những vận tốc, mà theo đó chúng tăng, được gọi là “những đạo hàm” (fluxion) của chúng và

cũng được kí hiệu bằng những chữ đó, nhưng thêm dấu chấm u, x, y, z

    .

Thực ra, Newton chú ý rằng ở đây thời gian được hiểu không phải theo đúng nghĩa đen của nó, “thời gian” có thể được hiểu là lượng bất kỳ chẳng hạn x, tăng một cách đều cùng với thời gian thực sự chẳng hạn sao cho x =1. Nhưng cần nhớ rằng mọi thông lượng đều phụ thuộc vào “thời gian” này, tức là vào cùng một biến độc lập phổ dụng.

“Vi phân” cũng được Newton đưa vào với tên gọi là moment của đại lượng chảy. Moment của đại

, mà lượng x sẽ tăng (hay giảm) trong khoảng thời gian vô cùng bé 0.

lượng chảy x, kí hiệu là x0

Về sau Newton đã đưa vào đạo hàm của đạo hàm, tức là đạo hàm thứ hai: u, x, y, z

Các lượng biến thiên Newton gọi là “thông lượng” (“tức là các lượng chạy”) (fluente) và kí hiệu bằng các chữ cuối cùng của bảng chữ cái Latinh: u, x, y, z ; chúng được khảo sát như những lượng tăng (giảm) theo thời gian.

đạo hàm cấp cao.

    , và cả những

Bài toán cơ bản thứ nhất của Newton gắn liền với phép tính vi phân: “Theo hệ thức đã cho giữa

 Phép lấy đạo hàm của Newton ( [14, tr.360])



, thay y bằng y + y0

Trong phương trình trên thay x bằng x + x0 Đơn giản hệ thức trên và chia từng số hạng cho 0



Cuối cùng bỏ qua những số hạng mà vẫn còn chứa 0 thì ta được:

 3x2 x – 2ax x + ay x + ax y – 3y2 y =0

Newton giải thích việc bỏ qua các số hạng chứa 0 : “vì ta đã giả thiết 0 là lượng vô cùng bé,… cho nên những số hạng, mà được nhân với nó, có thể xem như không đáng kể so với các đại lượng khác”.

các thông lượng hãy xác định hệ thức giữa các đạo hàm” Newton chỉ giải quyết trực tiếp đối với các phương trình đại số. Để ví dụ, ông lấy phương trình: x3 – ax2 + axy – y3 =0. Cách làm như sau:

Theo Fichtegôn, nguyên lí mà Newton phát biểu và cách làm không phải là mới nhưng cái thực sự mới ở đây là: “kết quả được khẳng định đối với các thông lượng bất kì, không phải từng bài toán cá biệt”.

Newton đã áp dụng cách tính các đạo hàm cho một số bài toán quan trọng trong đó có bài toán:

“Dựng tiếp tuyến với đường cong” Ở đây chúng tôi trình bày tóm tắt cách giải quyết bài toán tiếp tuyến của Newton :

Trong trường hợp cơ bản, khi cho trực tiếp phương trình giữa các tọa độ Descartes x, y của điểm biến thiên của đường cong, Newton lý luận như Barrow (đã trình bày ở phần tiếp tuyến), chỉ khác là các số gia (giảm) vô cùng bé e và a ông đã thay bằng các mốc x0

, y0 Do đó ( nếu giữ nguyên kí hiệu ở hình 1.4 thì : PM : TP = y : x Còn tỉ số giữa các đạo hàm được xác định từ phương trình của đường cong theo qui tắc trên. Ngày nay, điều đó có nghĩa là: “hệ số góc của tiếp tuyến bằng y : x ” Như vậy, từ vận tốc Newton đã đưa vào khái niệm đạo hàm rồi dùng khái niệm này giải quyết bài

toán tiếp tuyến.

 Phương pháp tìm tiếp tuyến của Newton( [14, tr.361])

tr. 6-8])

Cũng trong cuốn “Phương pháp fluxi và các chuỗi vô hạn(1736)”, Newton đã áp dụng phương

pháp bỏ qua các vô cùng bé để tìm nghiệm gần đúng của phương trình.

 Tiếp tuyến và đạo hàm trong phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình ( [17,

Cho phương trình y3 – 2y – 5 = 0, dùng một số chẳng hạn là số 2, mà không khác lắm với giá trị

Ta có thể mô tả bài toán và lời giải theo quan điểm hiện nay như sau :

Cho hàm số f(x) = x3– 2x– 5 có đồ thị là (C) Đồ thị này cắt trục hoành tại điểm khá gần với 2. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là: x3– 2x– 5 = 0 (1) Đặt x = 2 + p thì (1) trở thành p3 + 6 p2 + 10p – 1 = 0 và f’(2) =10 . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại x = 2 là ∆: y = 10(x-2) – 1 Phương trình hoành độ giao điểm của ∆ và trục hoành là:

đúng của nghiệm, và đặt 2 + p = y Thay 2 + p bởi y vào phương trình cho sẵn, chúng ta sẽ có: p3 + 6p2 + 10p – 1 = 0; Bỏ đi p3 + 6p2 rất nhỏ ta được 10p – 1 = 0, hay p = 0,1, cái này là một giá trị rất gần với giá trị đúng của p; Vì thế việc viết dưới dạng 0,1 + q = p và cũng làm như trên, ta có : q3 + 6,3q2 + 11,23q + 0,061 = 0, bỏ đi hai lựơng đầu tiên không đáng kể, còn lại : 11,23q + 0,061 = 0, hay q = - 0,0054 tốt hơn là ta đạt được trước đây, và ta tiếp tục quá trình này đến khi ưng ý. ……………………………………….. Nhận xét :

10(x-2)-1 = 0 hay 10p – 1 = 0 hay p = 0,1

Ta có nghiệm gần đúng là x1 = 2 + p = 2,1 Và cứ tiếp tục như thế, đặt p = 0,1 + q (nghĩa là x = 2,1+ q) thì (1) trở thành:

q3 + 6,3q2 + 11,23q + 0,061 = 0 f’(2,1) = 11,23

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại x = 2,1 là (∆’): y = 11,23(x-2,1) + 0,061 Phương trình hoành độ giao điểm của ∆’ và trục hoành là: 11,23(x-2,1) + 0,061 = 0 hay 11,23q+ 0,061 = 0 hay q = - 0,0054. Vậy ta có nghiệm gần đúng là x2 = 2,1+ q = 2,0964 Và cứ tiếp tục đến khi ưng ý……

Ở đây, theo cách của Newton, ông đã bỏ đi lượng không đáng kể p3 + 6p2 (dựa nguyên lí:” bỏ qua

những số hạng vô cùng bé có bậc cao hơn 1”) để f(2+p)  10p – 1 hay f(2+p)  f(2) + f’(2)p.

Trong đó, f(2)+f’(2)p là một hàm affine và cũng chính là tiếp tuyến của hàm số y= f(x) tại x = 2 .

Như vậy, theo quan điểm hiện nay, có thể tóm tắt phương pháp của Newton theo như sau :

Xét phương trình f(x) =0 và x0 là một nghiệm gần đúng của phương trình.

Nếu f là một hàm số có đạo hàm trên khỏang I, đường cong của nó là (C) có một tiếp tuyến tại mỗi điểm M0(x0; f(x0)). Bắt đầu ở điểm M0(x0 ; f(x0).

- Dựng tiếp tuyến T0 của đường cong (C) tại điểm M0 và tìm hoành độ giao điểm của T0 và trục hoành ta được nghiệm gần đúng x1

- Dựng tiếp tuyến T1 của đường cong (C) tại điểm M1(x1,f(x1)) và tìm hoành giao điểm của T1 và trục hoành ta được nghiệm gần đúng x2

và cứ tiếp tục như thế…ta xây dựng được dãy (xn ) các nghiệm gần đúng của phương trình.

1.2.3.2. Từ tiếp tuyến đến phương pháp vi phân của Leibniz

Trong phương pháp giải này ngầm ẩn mối quan hệ giữa đạo hàm và xấp xỉ affine: “hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì có thể xấp xỉ f(x) bằng một hàm affine và đó chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hòanh độ là a”. Phân tích trong phần này dựa vào [14] và [13].

ông

Cùng với Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) được xem như người khai sinh ra phép tính vi phân và giải tích vô cùng bé. Nếu như Newton từ vận tốc, đưa vào khái niệm đạo hàm rồi dùng khái niệm này giải quyết bài toán tiếp tuyến thì xây dựng khái niệm tiếp tuyến và tìm tiếp tuyến bằng các “vi Kể từ năm 1673, việc nghiên cứu các vấn đề tổ hợp các vấn đề vi phân của toán học. Tuy nhiên, các nguyên tính vi phân chỉ công bố năm 1684 trong hồi kí đầu tiên Phương pháp mới về các số lớn nhất và bé nhất, cùng

Leibnitz phân”. đã đưa ông tới của phép tắc “ của tiếp những

Hình 1.5

Leibniz viết: “Giả sử YY là đường cong tùy ý (hình 1.5). Y là điểm biến thiên trên đó với hoành độ AX = x và tung độ YX = y, Leibniz kí hiệu dx đơn giản là đoạn thẳng được lấy tùy ý. Nếu YD là tiếp tuyến của đường cong tại điểm Y, thì đoạn thẳng mà tỉ lệ với dx cũng như là tung độ y tỉ lệ với XD (tiếp ảnh) được gọi là dy”.



Như vậy, vi phân của hàm số- dy- được xác định bởi đẳng thức:

dy dx

y XD

Sau đó, Leibniz đã đưa ra các qui tắc tính toán liên quan đến việc lấy vi phân của hằng số, hiệu, tích, thương, căn số. Từ phương trình của đường cong, bằng các qui tắc đó, Leibniz xác định được tỉ số

, từ đó xác định được tiếp ảnh XD.

tuyến, mà các đại lượng phân số, vô tỉ không phải là trở ngại cho phương pháp đó” được xuất bản.

dy dx Nhận xét :

Như vậy, Leibnit cũng quan niệm “tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến”và hệ số góc của

dy dx

Về bản chất thì các phương pháp của Newton và Leibniz là tổng hợp các phương pháp của Fermat và Barrow, nhưng chặt chẽ hơn và có hệ thống hơn vì có cơ sở lý thuyết là các khái niệm vi phân và đạo hàm. Việc trình bày các qui tắc tính vi phân và đạo hàm đã giúp cho việc xác định tiếp tuyến của đường cong trở nên dễ dàng hơn rất nhiều. Đến đây, bài toán xác định tiếp tuyến của đường cong tổng quát xem như được giải quyết.

Tuy nhiên, cả Newton và Leibniz đều chưa xây dựng được cơ sở vững chắc cho các phép tính của mình vì cả hai chưa làm rõ được những cơ sở cho việc bỏ qua các đại lượng vô cùng bé và các vấn đề liên quan đến giới hạn.

tiếp tuyến là tỉ số của các vi phân ”.

Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và vi phân, tiếp tuyến và đạo hàm đã xuất hiện tường minh

dưới dạng: “hệ số góc của tiếp tuyến là tỉ số của

Tóm tắt những đặc trưng khoa học luận của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong giai đoạn này: - Việc tìm kiếm phương pháp tổng quát xác định tiếp tuyến của đường cong dẫn đến sự nảy sinh khái niệm đạo hàm và vi phân. Bên cạnh đó khái niệm đạo hàm cũng sớm được xuất hiện như là công cụ cho việc tìm vận tốc tức thời trong chuyển động cơ học. Sau đó, đạo hàm và vi phân đóng vai trò công cụ tường minh cho việc xác định tiếp tuyến của đường cong. -

y  x 

” và “hệ số góc của tiếp tuyến là tỉ số của các vi

dy dx

Vấn đề liên quan đến tiếp tuyến và đạo hàm cũng đã dẫn đến việc hình thành tư tưởng xấp - xỉ. Khái niệm xấp xỉ affine xuất hiện ngầm ẩn trong việc tìm nghiệm gần đúng của phương trình bậc 3 của Newton và trong cách tìm tiếp tuyến của Barrow, Newton :“đường cong xấp xỉ với tiếp tuyến trong lân cận tiếp điểm”. Mối liên hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine cũng được thiết lập: “hàm số

”. phân

f(x) có đạo hàm tại a thì có thể xấp xỉ f(x) bằng một hàm affine và đó chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hòanh độ là a”

Thuật ngữ “Đạo hàm” do Lagrange đưa ra vào cuối thế kỉ XVIII và đầu thế kỉ XIX. Cauchy là người đầu tiên đưa ra định nghĩa đạo hàm theo lí thuyết cổ điển của giới hạn và ông cũng đưa vào định nghĩa vi phân dựa trên khái niệm đạo hàm.

Định nghĩa đạo hàm của hàm một biến (từ điển toán học [9] ) :

1.2.4. Giai đoạn 4: Từ đầu thế kỉ XIXđến nay Ở thế kỉ XVIII, một số nhà toán học đã cho định nghĩa tổng quát về giới hạn. Sau đó, từ khái niệm giới hạn, các nhà toán học ở thế kỉ XIX – đặc biệt là Cauchy (1789- 1857) mới lập nên nền tảng thực sự cho việc xây dựng tiếp theo của toàn bộ giải tích toán học, cho phép tính vi tích phân nói riêng. Tuy nhiên, trong nền tảng này vẫn còn có lỗ hổng- vẫn chưa có đủ cơ sở chặt chẽ cho chính khái niệm số thực và việc chứng minh tính liên tục của phạm vi các số thực. Việc khắc phục khiếm khuyết này được thực hiện trong suốt thế kỉ XIX.

f(x)

f(x ) 0

Cho hàm số f xác định trên khoảng (a,b). Đạo hàm của hàm f tại điểm x0  (a,b) là giới hạn, nếu có,

  x x

)

của tỉ số khi x dần tới x0( x (a,b), x ≠ x0)

x 0(

df dx

Còn định nghĩa tiếp tuyến, cho trong từ điển toán học năm 1993 của nhà xuất bản Mir Moscou

như sau :

(kí hiệu của Leibniz) Đạo hàm tại x0 được kí hiệu là f’(x0) (kí hiệu Newton) hay

Cho f là một hàm số xác định trong lân cận U(x0) của điểm x0 và liên tục tại x0. Cho M(x0,f(x0)), M(x,f(x)) trong đó x U(x0). Tiếp tuyến tại điểm M của đường cong biểu diễn cho hàm số f là vị trí giới hạn của cát tuyến M0M khi x tiến về x0, hay nói cách khác là khi M  M0. Nếu f khả vi tại x0 thì tiếp tuyến có phương trình là : y – f(x0) = f’(x0) (x – x0) ( hệ số góc của tiếp tuyến bằng f’(x0))

Trong giai đoạn này, phép tính vi phân đã có cơ sở lí thuyết chặt chẽ. Đạo hàm đóng vai trò công

Nhận xét:

f(x)

f(x ) 0

Ngoài ra, từ công thức f’(x0) =

suy ra được f(x)  f’(x0)(x-x0) + f(x0), trong đó y =

lim  x x

  x x

cụ tường minh trong việc tìm lời giải bài toán xác định tiếp tuyến. Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm xuất hiện tường minh. Đặc trưng của mối quan hệ này là: “hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hòanh độ tiếp điểm”

f’(x0)(x-x0) + f(x0) chính là phương trình tiếp tuyến của đường cong có phương trình y = f(x) tại điểm có hoành độ là x0 . Như vậy, mối liên hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine cũng được thiết lập tường minh: “hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì có thể xấp xỉ f(x) bằng một hàm affine và đó chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hòanh độ là a” 1.3. Kết luận

Khái niệm tiếp tuyến xuất hiện trước và rất lâu trong lịch sử rồi mới đến khái niệm đạo hàm và vi phân. Nhu cầu tìm kiếm phương pháp tổng quát xác định tiếp tuyến của đường cong (mà qua đó khái niệm tiếp tuyến được ngầm định nghĩa) là động lực thúc đẩy cho việc hoàn thiện khái niệm tiếp tuyến và đồng thời là một trong các nhân tố dẫn đến sự nảy sinh khái niệm đạo hàm và vi phân. Bên cạnh đó khái niệm đạo hàm cũng sớm xuất hiện như là công cụ cho việc tìm vận tốc tức thời trong chuyển động cơ học. Khi khái niệm đạo hàm hình thành và hoàn thiện thì lại tác động ngược lại để giải quyết các bài toán tiếp tuyến một cách triệt để. Trong mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm cũng có sự hình thành của khái niệm xấp xỉ affine : ”xấp xỉ hàm số bằng hàm affine, về mặt hình học là xấp xỉ đường cong bởi tiếp tuyến trong lân cận tiếp điểm”.

1.3.1. Tóm tắt tiến triển của mối liên hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến

Trong giai đoạn này, các quan niệm về tiếp tuyến được mô tả bằng trực giác hình học rất mơ hồ nên chỉ cho phép nghiên cứu tiếp tuyến ở một số hình hình học đơn giản. Tư tưởng về đạo hàm chưa xuất hiện do đó không có mối liên hệ nào giữa tiếp tuyến và đạo hàm.

 Giai đoạn 1: Trước thế kỉ XVII

+ Quan niệm của Fermat (QNF) : Tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến. + Quan niệm của Torricelli và Roberval (QNT) : Phương tức thời của chuyển động (quan điểm

+ Quan niệm của Barrow (QNB): Tiếp tuyến là đường thẳng gần trùng với đường cong trong lân

- Việc phát minh ra hình học giải tích được tạo ra bởi Descarte và Fermat đã dẫn đến sự phát triển vượt bậc của toán học. Tiếp tuyến đã chuyển vào phạm vi hình học giải tích và bước đầu tiến vào lĩnh vực giải tích nhờ các quan niệm rất mới của một số nhà toán học tiên phong. Các quan niệm về tiếp tuyến trong giai đoạn này: động học). cận tiếp điểm. QNT không giải quyết triệt để bài toán tiếp tuyến do khó khăn trong việc xác định chuyển động thành phần. QNF, QNB đã mở ra con đường cho giải tích phát triển cụ thể là việc nảy sinh ra các khái niệm đạo hàm và vi phân. - Những tư tưởng đầu tiên về đạo hàm xuất hiện trong bài toán tìm GTLN, GTNN và tìm tiếp tuyến của đường cong bởi nhà toán học Pháp Pierre de Fermat. Trong giai đoạn này, thuật ngữ “đạo hàm” xuất hiện đầu tiên trong vật lí bởi Torricelli và Barrow: “Đạo hàm của khoảng cách là vận tốc”. Tuy nhiên, đạo hàm không được nghiên cứu sâu hơn trong toán học. Đạo hàm xuất hiện trong toán học chỉ như một công cụ ngầm ẩn trong các bài toán xác định tiếp tuyến của đường cong. Nó lấy cơ chế của một khái niệm protomathématique (không tên, không định nghĩa). - Khái niệm xấp xỉ affine cũng xuất hiện ngầm ẩn trong quan niệm về tiếp tuyến của Barrow: ”tiếp tuyến gần trùng với đường cong trong lân cận tiếp điểm”. Tư tưởng xấp xỉ gắn liền với việc hình thành khái niệm tiếp tuyến và cũng tạo điều kiện cho việc hình thành phép tính vi phân. - Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm và xấp xỉ affine Tiếp tuyến dẫn đến việc hình thành các ý tưởng của phép tính đạo hàm và vi phân. Trong giai đoạn này, đạo hàm và vi phân đóng vai trò công cụ ngầm ẩn cho việc giải bài toán tiếp tuyến. Đặc trưng của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm và xấp xỉ affine:

 Giai đoạn 2: nửa đầu thế kỉ XVII (giai đoạn ngầm ẩn mối liên hệ)

“Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hòanh độ tiếp điểm” “Tiếp tuyến xấp xỉ với đường cong trong lân cận tiếp điểm”

Trong giai đoạn này, đạo hàm và vi phân nảy sinh và phát triển nhờ công lao to lớn của hai nhà toán học Newton và Leibnit. Nhờ đó bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong cũng được giải quyết triệt để. - Quan niệm về tiếp tuyến: Cả Newton và Leibnit đều có quan niệm về tiếp tuyến giống với Fermat và Barrow. - Quan niệm về đạo hàm:

+ Newton cho định nghĩa đạo hàm (fluxion) trong vật lí : Đạo hàm là vận tốc của lượng chạy

+ Leibnit hiểu về đạo hàm: Đạo hàm được hiểu là tỉ số của các vi phân

dy dx

Trong giai đoạn này, đạo hàm và vi phân vẫn lấy cơ chế công cụ và đã bắt đầu là đối tượng nghiên cứu. Nói cách khác, đạo hàm lấy cơ chế của một khái niệm paramathématique. - Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm: Việc xác định tiếp tuyến dẫn đến sự xuất hiện khái niệm vi phân. Đạo hàm và vi phân được dùng như công cụ tường minh để giải bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong. Đặc trưng của mối liên hệ: “Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hòanh độ tiếp điểm”

 Giai đoạn 3: Từ nửa sau thế kỉ XVII đến cuối thế kỉ XVIII

dy dx

“Hệ số góc của tiếp tuyến bằng tỉ số hai vi phân ”

 Giai đoạn 4: Từ cuối thế kỉ XIX đến nay

- Quan niệm về tiếp tuyến Tiếp tuyến của đường cong vẫn dựa trên quan điểm về tiếp tuyến giống Fermat và Barrow. - Quan niệm về đạo hàm Giới hạn của tỉ số số gia của hàm số và đối số. Đến đây, đạo hàm lấy cơ chế của một khái niệm toán học. Đạo hàm vẫn tiếp tục là công cụ hữu hiệu để giải bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong. Ngòai ra, đạo hàm còn dùng như là công cụ để định nghĩa khái niệm tiếp tuyến - Đặc trưng của sự kết hợp giữa tiếp tuyến và đạo hàm: “Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hòanh độ tiếp điểm”

(Hình học sơ cấp)

Tiếp tuyến

1.3.2. Tóm tắt tiến trình xuất hiện các khái niệm và quan hệ giữa chúng  Giai đoạn ngầm ẩn (đầu thế kỉ XVII)

Tiếp tuyến

(Hình học giải tích )

(ngầm ẩn)

Xấp xỉ affine

Tiếp tuyến (Giải tích vô cùng bé )

(ngầm ẩn)

Đạo hàm, vi phân

Sơ đồ 1.1. Tiến trình xuất hiện tiếp tuyến và đạo hàm đầu thế kỉ XVII.

 Giai đoạn tường minh (nửa cuối thế kỉ XVII đến thế kỉ XVIII)

Bài toán Tiếp tuyến (GTVCB )

vật lí

Đạo hàm, vi phân Xấp xỉ affine

(ngầm ẩn)

Sơ đồ 1.2. Tiến trình xuất hiện tiếp tuyến và đạo hàm nửa cuối thế kỉ XVII đến thế kỉ XVIII.

(tường minh)

 Giai đoạn thế kỉ XIX :

Giới hạn tỉ số số gia

Đạo hàm Tiếp tuyến

Sơ đồ 1.3. Tiến trình xuất hiện tiếp tuyến và đạo hàm đầu thế kỉ XIX

xấp xỉ afin (tường minh)

Chương 2: MỐI QUAN HỆ GIỮA KHÁI NIỆM TIẾP TUYẾN VÀ ĐẠO HÀM Ở

CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY

+ Khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm kết hợp với nhau trong những tình huống nào? Đặc trưng của

mối quan hệ này? Trong các tình huống đó, mỗi khái niệm lấy nghĩa gì?

Mục đích và phương pháp phân tích Đặt cơ sở trên kết quả phân tích ở chương 1, chương này có mục tiêu nghiên cứu mối quan - hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm ở cấp độ tri thức cần giảng dạy trong thể chế dạy học toán ở Việt Nam. Cụ thể hơn, chúng tôi đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau:

- Ở thời điểm chúng tôi tiến hành nghiên cứu, SGK Việt Nam gồm 3 bộ sau :

+ Sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000 + Sách giáo khoa thí điểm bộ 1 gồm hai ban: ban KHTN và ban KHXH + Sách giáo khoa thí điểm bộ 2 gồm hai ban: ban KHTN và ban KHXH Để nghiên cứu, chúng tôi chọn chương trình và SGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000 (đang được sử dụng đại trà) kết hợp với việc so sánh, đối chiếu với SGK thí điểm bộ 2. Trong bộ sách thí điểm này, sự khác nhau giữa hai ban không nhiều nên chúng tôi chọn ban KHTN để phân tích.

Ngoài ra, để thấy rõ hơn mối quan hệ giữa khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm trong SGK Việt Nam,

+ Vai trò của khái niệm tiếp tuyến đối với khái niệm đạo hàm và ngược lại? + Có những ràng buộc nào của thể chế lên mối quan hệ giữa hai khái niệm này? Hệ quả của nó?

chúng tôi chọn phân tích một số SGK của thể chế dạy học ở Pháp. Phần phân tích sau dựa vào các tài liệu đánh số từ [2] đến [12] và [18] (xem Tài liệu tham khảo). Phần A

Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong SGK Pháp

Theo phân tích ở chương 1, khái niệm tiếp tuyến xuất hiện trước trong phạm vi hình học sơ cấp (HHSC) thông qua khái niệm tiếp tuyến với đường tròn, sau đó mới xuất hiện trong giải tích và mở đường cho việc hình thành khái niệm đạo hàm và vi phân.

Phân tích chương trình và SGK của Pháp cũng cho thấy tiếp tuyến xuất hiện đầu tiên trong phạm vi HHSC. Sau đó, khái niệm tiếp tuyến với đường cong tổng quát đuợc đưa vào cùng với khái niệm đạo hàm. Sau đây chúng tôi sẽ phân tích theo 2 giai đoạn :

2.1. Tiếp tuyến trong phạm vi HHSC

Chúng tôi dựa vào kết quả trong [2]

Khái niệm tiếp tuyến với đường tròn được đưa vào ở lớp 10 với các đặc trưng: là đường thẳng có ”một điểm chung”,” tiếp xúc”,”vuông góc với bán kính qua tiếp điểm”. Việc xác định tiếp tuyến chủ yếu dựa vào phương pháp dựng hình và phương pháp vectơ tọa độ.

2.2. Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong phạm vi giải tích

a) Trong khóa luận tốt nghiệp (mémoire professionnel) của mình, hai sinh viên Pháp N.Chaboud và D. Hedde đã làm rõ bốn tiến trình đưa vào khái niệm đạo hàm thể hiện trong một số SGK thuộc các ban khác nhau ở Pháp (từ năm 1993 đến năm 1999). Bảng dưới đây tổng hợp những đặc trưng chính của khái niệm đạo hàm và mối quan hệ của nó với khái niệm tiếp tuyến trong các tiến trình này[25, tr.3].

Bảng 2.1: Những điểm chính của mỗi tiến trình đưa vào khái niệm tiếp tuyến, đạo hàm

2.2.1. Những đặc trưng chủ yếu của tiến trình đưa vào khái niệm đạo hàm và tiếp tuyến

Tiến trình 1

Tiến trình 2

Tiến trình 3

Tiến trình 4

Ghi

Xấp xỉ afin ( dưới hình thức khai triển giới hạn cấp 1) và giới hạn của tỉ

Tiếp tuyến (khái niệm trực giác)

Hàm số đạo hàm ( khái niệm trực giác)

Giới hạn tại 0 của tỉ số số gia

số số gia

Số đạo hàm

Số đạo hàm Hàm số đạo hàm

Số đạo hàm Hàm số đạo hàm và khái

Tiếp tuyến ( khái niệm được

Hàm số đạo hàm và tiếp tuyến (khái niệm được định nghĩa)

niệm tiếp tuyến ( khái niệm được định nghĩa)

định nghĩa) Khái niệm giới hạn

Chuyển từ địa phương tới tổng thể

Chuyển từ tổng thể địa tới phương

lí

Xấp xỉ affine là cơ sở của phần thuyết (cours)

Xấp xỉ affine được đề cập theo kiểu ”bổ sung” (thường là cuối công đoạn)

Xấp xỉ affine không được đề cập hoặc hầu như không được xử lí

affine xỉ Xấp được xếp vào một công đoạn sau khi nghiên cứu về giới hạn

- ”Số đạo hàm” chính là đạo hàm của hàm số tại một điểm - Nghiên cứu địa phương một hàm số là nghiên cứu hàm số đó trong một lân cận khá bé của một điểm nào đó. Nghiên cứu tổng thể một hàm số là nghiên cứu nó trong một khoảng xác định.

chú

b) Nhận xét

- Trong các tiến trình ở trên thì khái niệm tiếp tuyến có thể xuất hiện trước hay sau khi đưa vào khái

niệm số đạo hàm : Trong tiến trình 1, nó được đưa vào một cách trực giác trước khái niệm số đạo hàm. Trong các tiến trình 2, 3, 4 tiếp tuyến luôn được định nghĩa sau số đạo hàm. Như vậy, tiếp tuyến có khi là phương tiện và động cơ để đưa đến khái niệm đạo hàm, có khi nó lại được định nghĩa nhờ vào khái niệm đạo hàm.

- Trừ tiến trình 1, xấp xỉ affine luôn được đề cập (có khi đóng vai trò quan trọng, có khi đóng vai trò

bổ sung) trong các tiến trình đưa vào khái niệm đạo hàm.

Để làm sáng tỏ và bổ sung thêm những gì trình bày ở trên chúng tôi chọn phân tích một bộ SGK của Pháp. Cụ thể ở đây chúng tôi chọn một bộ SGK hiện hành của Pháp là “Déclic Maths - Hachette livre 2002”

Để thuận tiện cho phân tích, chúng tôi trình bày dưới đây cấu trúc của mỗi chương trong bộ SGK

này .

2.2.2. Phân tích bộ SGK Déclic Maths - Hachette livre 2002

Mỗi chương của bộ sách này gồm 6 phần sau:

 Hoạt động (Activités) Những hoạt động được đưa vào đa dạng nhằm đề cập đến : - Một khía cạnh văn hóa

- Nhắc lại những khái niệm cần thiết hay những kĩ thuật cơ bản - Tiếp cận các khái niệm sẽ được đề cập trong chương.

 Lí thuyết (cours)

Trình bày những kiến thức lí thuyết mới (định nghĩa, định lí, ví dụ, phương pháp....)

 Bài tập giải sẵn (Exercises résolus)

Bài tập có trình bày sẵn lời giải và phương pháp để giải chúng được tổng kết ở bảng « kĩ năng » (savoir-faire) cuối mục này.

 Bài tập có hướng dẫn (Travaux dirigés) Bao gồm những bài tập mẫu có hướng dẫn giải.

 Tổng hợp (Synthèse)

Điểm lại những điểm cần nhớ và những kĩ năng cần thiết

 Bài tập tự giải (Exercises)

Cấu trúc của chương

Bài tập được đưa vào theo thứ tự giống tiến trình của cours. 2.2.2.1. Phân tích SGK Déclic Maths - Premierè S (P1) Khái niệm đạo hàm được đề cập lần đầu tiên trong chương III “Số đạo hàm” của “Déclic Maths -

Premierè S”.

a) Phần hoạt động (activité).

Phần này đưa vào nhiều hoạt động để đem lại nghĩa cho khái niệm đạo hàm. Chúng tôi chỉ quan tâm đến các tình huống có mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm hoặc mối liên hệ tiếp tuyến, đạo hàm và xấp xỉ affine.

 Quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine. Ta xét một tình huống trong hoạt động 4 chương III [P1, tr.74] :

Cho hàm f xác định trên R bởi công thức f(x) = x2 – 3x

1) Vẽ parabol (P) có phương trình y = f(x) bằng MTBT, sau đó thực hiện việc phóng to (Zoom in) tập trung tại điểm A (2;-2) của (P), để đạt được hình vẽ như dưới đây.

“Đường thẳng hay đường cong”

b) c)

2) a) Chứng minh rằng đường thẳng D có phương trình y = (x – 2) – 2 Biểu diễn đừơng thẳng D lên màn hình của MTBT Quay trở lại màn hình ban đầu (Zoom out). Đường thẳng D có vị trí nào? = 0.

3) Xác định hàm  sao cho f(2+h) = f(2) + h + h  (h) và chứng minh rằng

lim (h)  h 0 

Đường cong (P) có khuynh hướng thành đường thẳng D đi qua điểm A và có hệ số góc là 1

2) a) Đường thẳng D đi qua điểm A (2; -2) và có hệ số góc k = 1 có phương trình là:

y = - 2 + 1( x – 2)  y = ( x – 2) – 2

b) c) Hình vẽ trên màn hình MTBT sẽ có dạng sau:

= 0.

Phương trình hòanh độ giao điểm của D và (C ) là : x2 – 3x = ( x – 2) – 2  x2 – 4x + 4 = 0  x = 2 Đường thẳng D cắt đồ thị hàm số tại một điểm A( 2; -2) 3) f(2+h) = (2+h)2 – 3(2+h) = h2 + h – 2 = f(2) + h + h. h Đặt  (h) = h thì f(2+h) = f(2)+h+h  (h) và lim h h 0 

lim (h)  h 0 

 Lời giải dự kiến:

 Nhận xét

Với sự hỗ trợ của MTBT, tình huống này đã mang lại hình ảnh rất trực quan về mối quan hệ giữa

tiếp tuyến và xấp xỉ affine.

Trước hết, việc phóng to đường cong trong lân cận của điểm A(2; -2) (“zoom in” tại điểm A) cho hình ảnh: “Đường cong (P) có khuynh hướng thành đường thẳng D”. Điều đó có thể diễn tả là: Nếu xét một đường cong trong trong lân cận điểm A thì nó gần như là một đường thẳng.

Sau đó, ở câu 2, đường thẳng D ở trên được xác định bằng phương trình và được vẽ cụ thể trên hệ trục toạ độ. Việc vẽ đồ thị của D và đường cong trên cùng hệ trục tọa độ và câu hỏi “đường thẳng D có vị trí nào?” dường như thể hiện mong đợi của thể chế: thể hiện ngầm ẩn đặc trưng “tiếp xúc” và có “một điểm chung” của đường thẳng D với đường cong. Đặc trưng “có một điểm chung” không chỉ dựa vào trực giác mà còn có thể chứng minh được.

Các đặc trưng trên tương tự như đặc trưng của tiếp tuyến với đường tròn. Tuy nhiên, ở đây, cách

mô tả đường thẳng D rất khác: D gần trùng với phần đường cong trong lân cận điểm A.

Tình huống này ngầm đem đến cho tiếp tuyến một nghĩa mới “tiếp tuyến là đường thẳng xấp xỉ với đường cong trong lân cận tiếp điểm” và tạo ra được sự nối khớp giữa khái niệm tiếp tuyến ở lớp 10 với khái niệm tiếp tuyến sắp đề cập trong phần lí thuyết sau đó.

Cuối cùng, ở câu 3, việc tính gần đúng giá trị của hàm số f(x) tại điểm x gần với 2 ( x = 2 +

h, h rất nhỏ) cho kết quả: “Chúng ta rút ra f(2)+ h là giá trị gần đúng của f(2+h) khi h dần đến 0 hay cũng có f(2) + (x – 2 ) là giá trị gần đúng của f(x) khi x là điểm trong lân cận của 2” (P1,tr. 74)

Dễ thấy y = f(2) + (x – 2 ) là một hàm affine và cũng chính là phương trình của đường thẳng D đã

được đề cập ở câu trên.

Như vậy, trong tình huống này, ngoài việc đem lại cho tiếp tuyến một nghĩa mới theo quan điểm địa phương thì “khái niệm xấp xỉ affine” và mối liên hệ của nó với tiếp tuyến đã xuất hiện ngầm ẩn: Trong lân cận của điểm A, xấp xỉ hàm số y = f(x) bằng một hàm affine, về mặt hình học là xấp xỉ đồ thị của hàm f(x) bằng tiếp tuyến của nó

Tình huống liên quan đến tiếp tuyến và đạo hàm xuất hiện lần đầu tiên trong hoạt động 5 chương III [P1, tr.75]:

 Quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm

đến điểm A trên parabol P.

Vị trí giới hạn của cát tuyến Hàm f xác định trên R được cho bởi công thức: f(x) = - x2 + 4 và (P) là đừơng cong của nó trong hệ trục tọa độ trực chuẩn Chúng ta sẽ xác định hệ số góc của cát tuyến của (P) đi qua điểm A có tọa độ (1;3) 1) Xác định hệ số góc của đừơng thẳng (AB) và (AC). 2) h là số thực khác không và M là một điểm trên parabol (P) có hoành độ 1+h a) Tính hệ số góc m của đường thẳng (AM) với mỗi giá trị 0,5 và -0,1 của h b) Dùng GEOPLANW Vẽ một parabole (P), những điểm A và M, và cho hiển thị hệ số góc m của đường thẳng (AM) c) Dịch chuyển điểm M trên P, dự đoán vị trí của cát tuyến (AM) khi điểm M tiến dần

3) a) Cho

h ≠

chứng minh

rằng

f (1)



   2 h

f (1 h)  h

b) Khi điểm M tiến gần điểm A, h tiến dần về 0. Hệ số góc của cát tuyến (AM) sẽ tiến đến giá trị nào? Minh họa bằng đồ thị kết quả trên. Về mặt hình học, khi điểm M tiến gần đến điểm A của (C) có hoành độ là a, cát tuyến (AM) quay quanh điểm A.

f (1)



f (1 h)  h

f (1,5)

f (1)

= -2,5

Với h = 0,5 thì m =

 0,5

f (1)

Với h = -0,1 thì m =

= -1,9

 0,1

f (0,9) 

b) và c ) Khi M tiến đến gần A trên (P) thì (AM) có hình ảnh như sau:

Dự đóan: (AM) cắt (P) tại một điểm và “tiếp xúc” với (P) khi M tiến đến gần A. 3)

f (1)

4 3



 

 





   2 h

f (1 h)  h

(1 h) h

 h

b) Khi h tiến về 0 thì hệ số góc của đường thẳng (AM) tiến về -2

 Lời giải dự kiến: 1) Hệ số góc của (AB) và (AC) là: -1 và -3 2) a) Đường thẳng (AM) đi qua điểm A(1;3) và M(1+h; f(1+h)) nên có hệ số góc là: m =

Việc dịch chuyển điểm M trên (P) ở câu 2c nhằm mục đích gì? Theo chúng tôi, nó cho hình ảnh trực giác: khi điểm M dần đến điểm A trên (P), đường thẳng AM

tiến dần đến vị trí của đường thẳng D

Sau đó, yêu cầu: “dự đoán vị trí của cát tuyến (AM) khi điểm M tiến dần đến điểm A trên parabol P” đem lại cho đường thẳng D đặc trưng rất quen thuộc của tiếp tuyến của đường tròn là:“tiếp xúc” và “một điểm chung”. Tuy nhiên, tiếp tuyến ở đây cũng không được mô tả như trước mà thông qua hình

 Nhận xét:

ảnh “giới hạn” của cát tuyến. Như vậy, hoạt động này tạo ra được sự nối khớp giữa khái niệm tiếp tuyến ở lớp 10 với khái niệm tiếp tuyến sắp định nghĩa: “vị trí giới hạn của cát tuyến”.

Cuối cùng, ở câu 3, chứng minh được: hệ số góc của đường thẳng (AM) tiến tới -2 khi h tiến về 0

(tương ứng về mặt đồ thị là điểm M tiến về A hay đường thẳng AM tiến đến D).

Sau hoạt động trên, ta có hình ảnh: D là tiếp tuyến của (P) và hệ số góc của đường thẳng D là

f (a)



lim h 0 

f (a h)  h

Như vậy, việc đưa vào khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm ở đây rất giống tiến trình trong lịch sử: Với quan niệm về tiếp tuyến “vị trí giới hạn của cát tuyến” đã dẫn đến sư xuất hiện ngầm ẩn của

f (a)



khái niệm đạo hàm. Đạo hàm xuất hiện dưới dạng giới hạn của tỉ số

f (a h)  h

và đóng vai trò

Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm cũng được thiết lập ngầm ẩn: “hệ số góc của tiếp tuyến bằng số đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm” và đạo hàm mang nghĩa là: độ nghiêng của tiếp tuyến.

Sau hoạt động trên, khái niệm tiếp tuyến đã được định nghĩa chính thức, [P1, tr.75] viết:

f (a)



đạt

Nếu hệ số góc của cát tuyến

f (a h)  h

công cụ ngầm ẩn để tìm hệ số góc của tiếp tuyến.

được giới hạn xác định khi h tiến đến 0, thì cát tuyến (AM) đạt vị trí giới hạn gọi là tiếp tuyến tại điểm A của đường cong (C). Hệ

tuyến này

số góc

tiếp

của

là:

f (a)



lim h 0 

f (a h)  h

Tiếp tuyến với nghĩa “tiếp xúc” và "một điểm chung” trước đây chính thức được thay bằng nghĩa mới “vị trí giới hạn của cát tuyến”. Đạo hàm ngầm ẩn dưới dạng giới hạn của tỉ số số gia và đóng vai trò công cụ để định nghĩa tiếp tuyến. Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm ngầm ẩn xuất hiện chính

f (a)



” (

chính là số đạo hàm của

thức: “Hệ số góc của tiếp tuyến này là:

lim h 0 

f (a h)  h

hàm số tại a còn ngầm ẩn)

- Trong hai tình huống trên, tiếp tuyến xuất hiện với 2 nghĩa mới: “vị trí giới hạn của cát tuyến” (tường minh) và “xấp xỉ đường cong trong lân cận tiếp điểm” (ngầm ẩn). Việc làm này đã tạo ra bước chuyển khái niệm tiếp tuyến vào lĩnh vực giải tích tạo điều kiện cho sự xuất hiện của đạo hàm và xấp xỉ affine theo như tiến trình trong lịch sử. Phần họat động cũng mang lại nghĩa cho khái niệm đạo hàm và xấp xỉ affine sẽ xuất hiện trong phần lí thuyết. Giai đoạn này có thể xem như là giai đoạn ngầm ẩn của khái niệm đạo hàm và xấp xỉ affine.

 Kết luận phần hoạt động

Đạo hàm và xấp xỉ affine chưa được định nghĩa nhưng nội hàm của chúng đã được thể hiện.

Đặc trưng của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine cũng đã

- Đạo hàm đóng vai trò công cụ ngầm ẩn để giải bài tóan tiếp tuyến và định nghĩa khái niệm tiếp tuyến. - được thiết lập.

b) Phần lí thuyết (cours)

Thời điểm đầu tiên xuất hiện thuật ngữ đạo hàm ở mục 2 chương III (P1,tr. 77): Định nghĩa số đạo hàm của hàm f tại a

f (a)



f (a h)  h

Hàm số f có đạo hàm tại a khi và chỉ khi giới hạn tại 0 của tồn tại và

f (a)



f '(a)



hữu hạn. Giới hạn này là số đạo hàm của hàm f tại a và được kí hiệu là f’(a)

lim h 0 

f (a h)  h

f có đạo hàm tại a 

f (x)

f (a)

f '(a)



Đặt a + h = x, khi h tiến đến 0, khi đó x tiến đến a thì

 x a 

lim 

f (a)



Giới hạn tại 0 của

đã được đề cập trong phần hoạt động 5 ở trên bây giờ đã được nêu

f (a h)  h

tên là “số đạo hàm”.

f có đạo hàm tại a 

Việc xuất hiện thuật ngữ “số đạo hàm” dẫn đến mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm đã được

thiết lập ở họat động 5 được diễn đạt lại như sau:

 Quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến

 (C) là đồ thị của hàm số f trong hệ trục tọa độ R, A là một điểm của( C) có hoành độ là a và M là một điểm có hoành độ là a + h

f (a)



Giải thích đồ thị của số đạo hàm tại a.

f (a h)  h

Cho h khác 0, thuơng số là hệ số góc của

đường thẳng (AM)

f (a)



Khi hàm f có đạo hàm tại a, thì hệ số góc

 f (a h)  h

đạt được giới hạn f’(a) khi h tiến đến 0

 u

Theo đồ thị, điểm M tiến gần đến điểm A và đường thẳng (AM) có khuynh hướng tiến đến vị trí giới hạn ∆ Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường cong C tại A Định lí: f là hàm số có đạo hàm tại a, thì số đạo hàm của f tại a là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong C tại điểm A có hoành độ là a

1 f '(a)

  

  

Tiếp tuyến này được cho bởi vectơ chỉ phương

Phần này có thể xem như là tổng kết chính thức cho hoạt động 5 được trình bày ở trên. Đạo hàm ở

đây đóng vai trò công cụ tường minh để giải quyết bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong.

Sau định lí trên có phần chú ý [P1, tr.78]:

Đồ thị của hàm số có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là a không nhất thiết phải là hàm số có đạo hàm tại a.

Đặc biệt, đường cong có phương trình y = x có một tiếp tuyến thẳng đứng đi qua

x không có đạo hàm tại 0.

Việc xác định tiếp tuyến trong ví dụ trên nhờ sự hỗ trợ của đồ thị và cũng chẳng có lí thuyết nào trong P1 cho phép khẳng định đường thẳng đó chính là tiếp tuyến của đường cong. Vậy P1 đưa vào chú ý này nhằm mục đích gì?

Để giải thích ý định của noosphère, chúng tôi trích mục tiêu của chương III: “Dựng tiếp tuyến của

một đường cong của hàm số có đạo hàm”. (P1, tr.71)

Như vậy, chú ý được đưa vào nhằm bổ sung cho mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong trường hợp không tồn tại số đạo hàm nhưng không làm rõ khái niệm tiếp tuyến khi nó không có hệ số góc.

Định lí và chú ý trên bổ sung thêm vai trò của tiếp tuyến và đạo hàm:

gốc tọa độ), nhưng hàm số x

Tiếp tuyến là công cụ để tìm số đạo hàm, hoặc chứng minh sự tồn tại của đạo hàm. Trong trường hợp tiếp tuyến đóng vai trò công cụ để chứng minh sự tồn tại của đạo hàm phải nhờ vào sự hỗ trợ của đồ thị.

Quan hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine

Thuật ngữ “xấp xỉ affine” cũng được chính thức đưa vào ở phần giải thích về phương diện số của

số đạo hàm [P1,tr.79]:

Giải thích về phương diện số của số đạo hàm Định lí: Cho f là một hàm xác định trên một khoảng I và một số thực a thuộc khoảng này. Hàm số f có đạo hàm tại a là f’(a) nghĩa là: Tồn tại một số thực  và một hàm số  tiến về 0 khi h tiến về 0, như vậy : cho bất

cứ số thực nào sao cho a + h  I, ta có:

f(a+h) = f(a) + h  + h  (h) và  =f’(a)

Chú ý



f có đạo hàm tại a, số đạo hàm là f’(a) tồn tại một hàm  tiến về 0 khi h tiến về a

f (a)

f '(a)(x a)





như vậy, với tất cả những số thực thuộc khoảng I: f(x) = f(a) + f’(a)(x-a) + (x-a)  (x) và  lim (x) 0 x 



là xấp xỉ affine tốt nhất của f trong lân cận điểm a. Hàm số x

Đặc trưng “tiếp tuyến là đường thẳng xấp xỉ của đường cong trong lân cận tiếp điểm” trong hoạt động 4 được trình bày chính thức. Khái niệm tiếp tuyến xuất hiện ở đây mang đặc trưng địa phương - một điểm khác biệt so với khái niệm tiếp tuyến được tiếp cận theo quan điểm tổng thể được biết trước đây.

Đến thời điểm này mối quan hệ giữa đạo hàm và xấp xỉ affine cũng được thiết lâp: Đạo hàm là công cụ để xấp xỉ hàm số bằng hàm affine và ngược lại có thể tính được đạo hàm nhờ việc khai triển giới hạn bậc nhất hàm số.

Ngoài ra, P1cũng tạo ra sự liên hệ về phương diện hình học và phương diện số của số đạo hàm: Hàm số có đạo hàm thì có thể xấp xỉ f bởi một hàm số affine và đó chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong lân cận tiếp điểm.

Có thể mô tả mối liên hệ giữa tiếp tuyến, đạo hàm và xấp xỉ affine trong phần lí thuyết theo sơ đồ

Sự thể hiện hình học là tiếp tuyến của đường cong tại điểm có hoành độ là a.

Đạo hàm

Tiếp tuyến

Xấp xỉ affine

Sơ đồ 2.1: Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong P1

Có một điểm trong phần lí thuyết cần nhắc đến để dễ dàng cho việc phân tích các kĩ thuật giải bài

tập liên quan đến tiếp tuyến và đạo hàm là:

 Khái niệm “hàm số đạo hàm”

Khái niệm này được đưa vào trong phần lí thuyết ở chương IV [P1, tr.98 ]: Hàm số đạo hàm Cho f là một hàm số có đạo hàm tại tất cả x trong khỏang I của tập xác định Df. Hàm số mà, tại mỗi số thực x thuộc I cho một số đạo hàm của f tại x, là hàm số đạo hàm của f và kí hiệu là f’ f’: x  f’(x)

Sau khi đưa vào định nghĩa hàm số đạo hàm thì các công thức tính đạo hàm của một số hàm thông dụng và các phép toán của đạo hàm cũng được đưa vào. Sau đó, việc tính “số đạo hàm”có thể dựa vào các công thức được cho sẵn. Để làm rõ hơn mối quan hệ thể chế, chúng tôi tiến hành phân tích tổ chức tóan học chung quanh hai khái niệm này. c) Tổ chức toán học xung quanh khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm trong P1

 Kiểu nhiệm vụ T1 : Viết phương trình tiếp tuyến T của đường cong (C) có phương trình y = f(x)

) tại điểm có hòanh độ là a



- Tính f’(a) (tính bằng định nghĩa số đạo hàm hoặc tính đạo hàm bằng công thức rồi thay a vào) - Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(a; f(a)) và có hệ số góc là f’(a).

Kĩ thuật

 : Định lí giải thích hình học số đạo hàm; kiến thức về đường thẳng đi qua một điểm

Công nghệ

và có hệ số góc là k. Ví dụ: Bài 22 [P1 ,tr.88]

Xác định phương trình tiếp tuyến của parabole (P) có phương trình y = x2 – 3x tại điểm có hoành độ là -1

2

- Chứng minh đường thẳng d đi qua điểm A(a;b). - Tính f’(a) và chứng tỏ rằng f’(a) = k.

 Kiểu nhiệm vụ T2 : Chứng minh rằng đường thẳng d có phương trình y = kx+h là tiếp tuyến của đường cong (C) có phương trình y = f(x) tại điểm A(a; b) Kĩ thuật

2 : Định lí giải thích hình học số đạo hàm

Công nghệ

Ví dụ: Bài 24 [P1,tr.88]

Chứng minh rằng đường thẳng d có phương trình : y =10x - 17 là tiếp tuyến của đường cong có phương trình y = x3 – 2x – 1 tại điểm A có toạ độ là (2;3)  Kiểu nhiệm vụ T3: Tính số đạo hàm bằng đồ thị Kĩ thuật

3

- Dùng đồ thị để xác định hệ số góc k của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là a - Kết luận: f’(a) = k

3 : Định lí giải thích hình học của số đạo hàm

Công nghệ

Bằng đồ thị hãy tính f’(-3,5); f’(-2); f’(0); f’(2)

Ví dụ: Bài 18 [P1 ,tr.87] Những đường thẳng được vẽ là những tiếp tuyến của đường cong (C) có phương trình y = f(x)

Đặc trưng của T3: - Các hàm số được cho bằng đồ thị, tiếp tuyến của nó được vẽ sẵn - Đồ thị được vẽ trên giấy kẻ ô vuông. - Tiếp tuyến đi qua những điểm có tọa độ nguyên nên hệ số góc của tiếp tuyến rất dễ xác định.

 Kiểu nhiệm vụ T4: Chứng minh hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) có chung một tiếp tuyến tại

điểm có hoành độ là a

4

Kĩ thuật

- Chứng minh hai đồ thị có cắt nhau tại một điểm có hòanh độ là a - Chứng minh f’(a) = g’(a) Công nghệ 4 : Định lí giải thích đồ thị của số đạo hàm

Ví dụ: Bài 31 [P1, tr.116] Chứng minh rằng hai parabole có phương trình là: y = - x2 + 4x – 2 và y = x2 – 8x + 16 cắt nhau tại một điểm và chứng minh rằng tại điểm này chúng có một tiếp tuyến chung

 Kiểu nhiêm vụ T5 :Giải phương trình f’(x) = 0 bằng đồ thị

5 :

Kĩ thuật

- Dựa vào đồ thị, tìm những điểm mà tại đó tiếp tuyến song song với trục hoành. - Hoành độ tiếp điểm của những điểm đó chính là nghiệm của phương trình f’(x) = 0 Công nghệ 5 : Định lí giải thích đồ thị số đạo hàm

Đặc trưng của T5 : Giống T3 Ví dụ: [P1 ,tr.106] Đừơng cong (Cf) có phương trình y = f(x), với f là một hàm có đạo hàm trên [-6; 6]. Ta vạch các tiếp tuyến của đường cong (Cf), song song với trục hoành. Giải bằng đồ thị phương trình: f’(x)=0 Lời giải Đường cong (Cf) có bốn điểm mà tại đó tiếp tuyến song song với trục hòanh; vì thế phương trình f’(x) = 0 có bốn nghiệm: - 4; -2; 1; 4

 Kiểu nhiệm vụ T6 : Tìm các tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số

1 :

- Gọi điểm M(a;b) là tiếp điểm của tiếp tuyến đó với đồ thị hàm số - Dựa vào đề bài, tìm hệ số góc k của tiếp tuyến - Dựa vào công thức k = f’(a) để tính a. Từ đó suy ra tiếp điểm M.

Kĩ thuật

6 : Định lí giải thích đồ thị của số đạo hàm

Công nghệ 1

Ví dụ: Bài 28(10) [P1 ,tr.115] Cho f là hàm xác định trên R được cho bởi công thức f(x) = -x2 + 5x – 4 và (P) là parabole biểu diễn cho f trong hệ trục toạ độ Tại điểm nào thì tiếp tuyến của (P) song song với đường thẳng có phương trình y = - x + 1

 Kiểu nhiệm vụ T7 : Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng có hệ số góc k tiếp xúc với đường

7 :

cong (C) có phương trình y = f(x) tại điểm có hoành độ là a Kĩ thuật 1

- Tính f’(a) theo tham số - Giải phương trình f’(a) = k để tìm ra điều kiện của tham số. Công nghệ 7 : Định lí giải thích đồ thị của số đạo hàm

Cho a là một số thực dương và hàm f: x 

x  a 

Xác định a để đồ thị hàm số f có một tiếp tuyến nằm ngang tại điểm có hoành độ là 1

Ví dụ: Bài 36(20) [P1,tr.116]

 Kiểu nhiệm vụ T8 : Xấp xỉ hàm f(x) bằng hàm số affine

8 :

- Tìm f(a), f’(a)

- Thay f(a), f’(a) và công thức f(x)  f(a)+f’(a)h khi h dần đến 0 để có được xấp xỉ của f(x) trong lân

cận điểm a.

Kĩ thuật

Công nghệ 8 : Định lí giải thích số của số đạo hàm

Đặc trưng của T8:

Thường gắn với việc yêu cầu so sánh giá trị của hàm f(x) và hàm affine với một vài giá trị của h bằng MTBT (hoặc là so sánh thêm với hàm số affine khác) để thấy đựơc hàm f(a)+ f’(a)h là xấp xỉ của hàm f ( và là xấp xỉ tốt nhất). Qua đó, đặc trưng của tiếp tuyến “xấp xỉ tốt nhất của đường cong trong lân cận tiếp điểm” được nêu trong lí thuyết cũng ngầm được nhấn mạnh.

1) Tìm số đạo hàm của hàm số căn bậc hai tại 1

1 h

  

khi h dần đến 0

2) Từ đó suy ra:

1 2



So sánh 1 h và

với h  { 1; 10-1; 10-2; 10-3;10-4;10-5}

1 2



3) So sánh các giá trị

 ; y2 = 1 + 0,5x; y3 =1 + 0,4x và y4 =1 + 0,6x bẳng 1 x

MTBT bắt đầu từ x = 0 và không vượt quá 0,001

Ví dụ: Bài 29(20) [ P1, tr.89]

9

- Tách a = b+h với h khá nhỏ, b là số nguyên

 Kiểu nhiệm vụ T9: Tính giá trị gần đúng của f(x) tại một điểm a Kĩ thuật

- Tính f(b), f’(b) rồi thay vào công thức f(a)  f(b)+f’(b)h để có được giá trị gần đúng của hàm f tại x =

9 : Định lí giải thích số của số đạo hàm

Công nghệ

Cho f xác định trên (0; +  ) bởi f(x) =

4  x

Chúng tôi yêu cầu Lydie tính f(2,003). Sau một hồi suy nghĩ và không dùng máy tính, cho kết quả là 4,997!

Bằng cách nào cô ấy nghĩ ra kết quả đó?

Vì dụ: Bài 30 [P1, tr. 89]

Bảng 2.2: Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ trong P1

Ví dụ và bài tập giải sẵn

Bài tập



Kiểu nhiệm vụ và kĩ thuật 

33,33%

23,8 1%





33,33%

28,5 7%



16,67 %



4,76 %



33,33%

2,38 %





9,52 %

7

2,38 %



9,52 %



2,38 %

Tổng

100%

100 %

Bảng 2.3: Bảng thống kê các tổ chức toán hoc địa phương trong P1

Kiểu nhiệm vụ

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8

Kĩ thuật



1

2

3

4

5

8

9

6

Công nghệ chủ yếu

Định lí giải thích đồ thị số đạo hàm

Định lí giải thích số của số đạo hàm.

100% - 88,1%

0% - 11,9%

% VD-BT

Đánh giá tổ chức toán học

 Có hai tổ chức toán học địa phương :

 OM1 chiếm tỉ lệ lớn nhất (chiếm 100% ví dụ và 88,1 % bài tập) dựa trên công nghệ chủ yếu là: Định lí giải thích đồ thị số đạo hàm. Qua đó, ta thấy đặc trưng của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm được nhấn mạnh là: ”hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hoành độ tiếp điểm”.

 OM2 được bổ sung vào trong bài tập với lượng tương đối ít so với OM1. OM2 (chiếm 0% ví dụ và 11,9 % bài tập) dựa trên công nghệ là: Định lí giải thích số của số đạo hàm gồm 2 kiểu nhiệm vụ T8, T9 . Kiểu nhiệm vụ T8 “Xấp xỉ hàm f(x) bằng hàm số affine” được chú trọng hơn kiểu nhiệm vụ T9: ”Tính giá trị gần đúng một hàm số”. Kiểu nhiệm vụ T9 được đưa vào với một bài duy nhất dưới dạng toán đố chỉ như một bổ sung cho lợi ích của xấp xỉ affine. Điều đó cũng hợp lí vì với sự hỗ trợ của MTBT thì kiểu nhiệm vụ đó được thực hiện bằng kĩ thuật đơn giản hơn rất nhiều.

Đạo hàm là công cụ để giải bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong (chiếm 69,04% bài tập gồm các kiểu nhiệm vụ T1, T2, T4, T6, T7). Tiếp tuyến cũng đóng vai trò là công cụ để tìm số đạo hàm (chiếm 19,05% bài tập gồm kiểu nhiệm vụ T3 và T5). Đạo hàm còn là công cụ để xấp xỉ một hàm số bằng hàm affine( chiếm 11,9 % bài tập). Tuy nhiên, mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không được để cập trong bài tập của P1 2.2.2.2. Phân tích SGK Déclic Maths Terminal S (P2)

Ở lớp 12, đạo hàm và mối liên hệ với tiếp tuyến được đưa vào trong bài ”Nhắc lại về đạo hàm và

 Mối quan hệ giữa tiếp tuyến, đạo hàm, xấp xỉ affine trong các kiểu nhiệm vụ:

mối liên hệ với tiếp tuyến » ở chương I và bài ”Hoàn tất về đạo hàm » ở chương III. a) Phần hoạt động (activité) Phần này chỉ gồm các hoạt động nhắc lại các kiến thức cũ đã được đề cập ở lớp 11. b) Phần lí thuyết

Chúng ta xem một phương pháp được đưa vào trong chương IV ở phần “Travaux dirigés” [P2 ,tr.

72] :

Phương pháp Euler

Nếu f là một hàm số có đạo hàm trên khỏang I, đường cong của nó là (C) có một tiếp tuyến tại mỗi điểm M (x0; f(x0)) cho phép đạt được giá trị gần đúng của f(x) trong lân cận của x0. Ta có :

Với h trong lân cận của 0, f(x0 + h)  f(x0) + f’(x0)h

Mở rộng kết quả này, ta có thể xấp xỉ đường cong (C) bởi một đường dựng trên các đoạn thẳng, mà

đại diện cho hàm affine trên một khoảng.

 x1 = x0 + h và dựng điểm P1(x1 ; y1) trên tiếp tuyến T0 của đường cong (C) tại

Cho h là một số dương khá bé. Bắt đầu ở điểm M0(x0 ; f(x0)) mà ở đó f’(x0) khác không, ta đặt :

 x2 = x1 + h và dựng điểm P2(x2 ; y2) trên đường T’1 đi qua P1 và song song với tiếp tuyến T1 của đường cong (C) tại điểm M1(x1 ; f(x1)) ; ta có : y2 = y1 + f’(x1)h

 và cứ tiếp tục như thế…..

điểm M0 ; thế thì ta có : y1 = y0 + f’(x0)h

Chúng ta xây dựng được dãy những điểm Pn(xn ;yn) mà

x n+1 = xn+ h và yn+1 = yn + f’(xn)h

Tại sao cách dựng như trên lại tìm được hàm g xấp xỉ cho hàm f và là hàm affine theo từng

khỏang ?

Ta có thể diễn giải phương pháp trên như sau :

Cho h là một số dương khá bé. Đặt x1 = x0 + h ; x2 = x1 + h ; …

P1(x1 ; y1) thuộc tiếp tuyến T0 có phương trình y = y0 + f’(x0)(x-x0) nên y1 = y0 + f’(x0)h

P2(x2 ; y2) thuộc đường T’1 có phương trình y = y1 + f’(x1)(x-x1) nên y2 = y1+ f’(x1)h

Cứ tiếp tục như thế ………………………………………………………….

Bằng cách nối những điểm M0, P1 ,P2, .... ta đạt được đường cong biểu diễn của một hàm g là hàm affine trên từng khoảng

Với x thuộc đoạn [x0 , x1] thì f(x)  f(x0) + f’(x0)(x- x0) . Suy ra f(x1)  y1 và trong đoạn [x0 , x1]

có thể xấp xỉ hàm số f bằng phương trình của tiếp tuyến T0

Với x thuộc đoạn [x1 , x2] thì f(x)  f(x1) + f’(x1) (x- x1)  y1+ f’(x1) (x- x1).

Suy ra f(x2)  y2 và có thể xấp xỉ hàm số f bằng phương trình của T’1

Cứ tiếp tục như thế…………………………………………………………..

Nối những điểm M0, P1 ,P2, .... ta được đường xấp xỉ cho hàm f là hàm affine trên một khoảng.

Như vậy, phương pháp trên dựa vào mối liên hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine đã được

đề cập ở lớp 11.

Dựa vào công thức f(x0 + h)  f(x0) + f’(x0)h ( h trong lân cận của 0)

c) Tổ chức tóan học chung quanh khái niệm tiếp tưyến và đạo hàm trong P2 Trong P2 ta gặp lại nhiều kiểu nhiệm vụ đã xuất hiện ở P1. Ngòai ra, trong P2 có xuất hiện vài kiểu

nhiệm vụ mới mà chúng tôi sẽ trình bày sau đây :

T : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có phương trình y = f(x) biết tiếp tuyến

 Kỉểu nhiệm vụ

này đi qua điểm A và có hòanh độ là a (A không thuộc đồ thị hàm số)

Kĩ thuật 10 :

- Viết phương trình tiếp tuyến với ( C) tại điểm M0 có hòanh độ x0 - Thay tọa độ điểm A vào phương trình tiếp tuyến để tìm giá trị x0 - Thay x0 vào phương trình tiếp tuyến ở trên. Công nghệ 1 : Định lí giải thích hình học của số đạo hàm

Ví dụ: 23 [P2 , tr.26 ]

 , j

), cho đường cong (C) là

 Trong mặt phẳng được trang bị hệ trục tọa độ ( O, i

;

[ 

đường cong đại diện cho hàm f xác định trên [

bởi : f(x) =  x

 

Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một đường thẳng đi qua gốc tọa độ là tiếp tuyến của đường cong (C). Hãy xác định phương trình đường thẳng này.

T : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có phương trình y = f(x) biết hệ số góc k

 Kỉểu nhiệm vụ

của tiếp tuyến

Kĩ thuật 11 :

- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M0 có hòanh độ x0 - Tìm giá trị của x0 từ đẳng thức f’(x0) = k - Thay x0 vào phương trình tiếp tuyến ở trên. Công nghệ 1 : Định lí giải thích hình học của số đạo hàm Ví dụ : Bài 22(20) [P2 , tr.26]

 Trong mặt phẳng được trang bị hệ trục tọa độ (O, i

 , j

) , cho đường cong (C) là

 , bởi

đường cong đại diện cho hàm f xác định với mọi số thực x khác

1 2



f(x) =

x x  

Chứng minh rằng tồn tại hai tiếp tuyến với đường cong (C) mà song song vói đường thẳng có phương trình : 4x – 9y + 1 =0 Hãy xác định phương trình các tiếp tuyến đó.

 Kiểu nhiệm vụ T12: Dùng đồ thị kiểm tra hàm số có đạo hàm tại điểm a không

Dựa vào đồ thị để kiểm tra hàm số có đạo hàm tại a không bằng cách:

Kĩ thuật 12 :

- Nếu đồ thị hàm số không có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ a hoặc có tiếp tuyến thẳng đứng thì

hàm số không có đạo hàm tại a

- Nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ a có hệ số góc m thì hàm số có đạo hàm tại a

và f’(a) = m.

12 : Định lí giải thích đồ thị của số đạo hàm và chú ý sau định lí này trong P1

Công nghệ

Ví dụ: 4 [P2 ,tr.23] Trong những trường hợp cho dưới đây, đường cong (C) là đường cong đại diện cho hàm f xác định trên đoạn [-1;3]

Hàm f có đạo hàm tại 2 không? Chứng tỏ điều đó

 Kiểu nhiệm vụ T13: Dùng phương pháp Euler để tìm xấp xỉ của đường cong đại diện cho hàm f

Kĩ thuật 13 : Vận dụng phương pháp Euler.

13 : Định lí giải thích số của số đạo hàm

Công nghệ

Ví dụ: Bài 2a mục 3.2 [P2 ,tr.73]

Hãy dùng phương pháp của Euler , tìm một xấp xỉ của đường cong đại diện cho nguyên hàm F của hàm f trên khoảng được cho

f : x



1   1 x x

Bảng 2.4: Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ trong P2

trên[0;5]; F(0)=1

Bài tập

Kiểu nhiệm vụ và kĩ thuật

Ví dụ và bài tập giải sẵn

  

1 1 1

 1

25 %

50 %

 0

3 3

2 2

 

0 %

 0

0 %

6,25 %

 0

0 %

9,38 %

 0

0 %

 0



0 %

12,5 %

 0



0 %

3,13 %

 0

0 %

3,13 %

 0

0 %

T10

 0

0 %

3,13 %

T11

 0

0 %

6,25 %

T12

 0

0 %

6,25 %

T13

 3

0 %

75 %

4

32

Bảng 2.5: Bảng thống kê các tổ chức toán hoc địa phương trong P2

T1 T3 T4 T6 T7 T10

T11 T12 T8

T13

100 % 100 % Tổng

Kiểu nhiệm vụ



1

3

4

11

13









10

Định lí giải thích đồ thị số đạo hàm

Kĩ thuật

Định lí giải thích số của số đạo hàm

25%- 96,89%

75%- 3,11%

Công nghệ

% VD-BT

Đánh giá tổ chức toán học

 OM1 (chiếm 25% ví dụ và 96,89% bài tập) có bổ sung thêm kiểu nhiệm vụ T10 , T11 , T12 . Kiểu

nhiệm vụ T2 , T5 biến mất.

 Có hai tổ chức toán học địa phương giống như ở lớp 11

 OM2 (chiếm 75% ví dụ và 3,11%bài tập) có bổ sung thêm kiểu nhiệm vụ T13. Kiểu nhiệm vụ này dựa trên cơ sở mối liên hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine ”tiếp tuyến là đường thẳng xấp xỉ tốt nhất của đường cong trong lân cận tiếp điểm” Kiểu nhiệm vụ T9: ”Tính giá trị gần đúng một hàm số” biến mất . Điều này cũng hợp lí vì theo như chúng tôi đã phân tích ở trên.

Đạo hàm vẫn là công cụ chủ yếu để giải bài toán tiếp tuyến. Tiếp tuyến cũng là công cụ để tìm số đạo hàm (kiểu nhiệm vụ T3) và chứng minh sự tồn tại của đạo hàm (kiểu nhiệm vụ T12 ). Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine cũng được đề cập.

 Mối quan hệ giữa tiếp tuyến, đạo hàm, xấp xỉ affine trong các kiểu nhiệm vụ:

2.3. Kết luận về SGK Pháp

 Tiến trình đưa vào khái niệm tiếp tuyến, đạo hàm và xấp xỉ affine

Xấp xỉ affine

Giới hạn của tỉ số số gia

(ngầm ẩn)

Số đạo hàm

Tiếp tuyến

Tiếp tuyến (được định nghĩa)

(ngầm ẩn)

Tiếp tuyến

Giai đoạn tường minh

Hàm số đạo hàm và xấp xỉ affine

Sơ đồ 2.2: Tiến trình đưa vào khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm trong SGK Pháp

Giai đoạn chuẩn bị

Tiến trình đưa vào khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm rất gần với kiểu 3 (đã trình bày ở mục 2.1). Có một điểm khác biệt là tiếp tuyến được định nghĩa thông qua “ giới hạn của tỉ số số gia” (thực chất là số đạo hàm ngầm ẩn). Khái niệm xấp xỉ affine được đề cập chính thức trong lí thuyết và có mối quan hệ với khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm. Tiến trình đưa vào hai khái niệm này giống như tiến trình xuất hiện của nó trong lịch sử.  Mối liên hệ giữa hai khái niệm

 Trong lí thuyết và bài tập đều nhấn mạnh đặc trưng của mối liên hệ giữa khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm: ”hệ số góc của tiếp tuyến bằng số đạo hàm tại hoành độ tiếp điểm”. Đặc biệt, SGK Pháp có làm rõ mối quan hệ về phương diện hình học và phương diện số của số đạo hàm tức là mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine.

 Tiếp tuyến lần đầu tiên được đưa vào theo quan điểm giải tích. Nhờ thế tiếp tuyến phương tiện để đưa vào khái niệm đạo hàm và nó cũng mang lại nghĩa cho khái niệm đạo hàm và xấp xỉ affine liên quan đến giới hạn bậc nhất. Ngoài ra, tiếp tuyến còn có vai trò là công cụ để tìm số đạo hàm và chứng minh sự tồn tại của đạo hàm.

 Đạo hàm đóng vai trò công cụ cho việc tìm tiếp tuyến, số đạo hàm ngầm ẩn giúp cho việc định

nghĩa tiếp tuyến. Đạo hàm cũng là công cụ để xấp xỉ một hàm số bằng hàm affine và ngược lại. Mối quan hệ giữa tiếp tuyến, đạo hàm và xấp xỉ affine có thể tóm tắt theo sơ đồ 2.1 Vai trò của mỗi khái niệm giống trong lịch sử.

Phần B Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong SGK Việt Nam

Khái niệm tiếp tuyến đã được đưa vào từ lớp 9 thông qua khái niệm tiếp tuyến với đường tròn và có các đặc trưng giống với SGK Pháp. Việc xác định tiếp tuyến chủ yếu dựa vào phương pháp dựng hình. (dựa theo [6])

2.4. Tiếp tuyến trong phạm vi HHSC

Theo truyền thống, cấu trúc của mỗi bài trong SGK Việt Nam gồm 2 phần:

 Phần lí thuyết: trình bày các kiến thức lí thuyết mới. Trong phần này có xen thêm một số hoạt động để tiếp cận kiến thức mới và một số ví dụ để cung cấp kĩ thuật cho các kiểu nhiệm vụ ở bài tập.

 Phần bài tập: gồm các bài tập tự giải, các bài tập này được giải hoặc hướng dẫn trong SGV và

SBT

2.5. Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong SGK THPT

2.5.1 Phân tích SGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000 (V1)

a) Phần lí thuyết V1 cũng đưa vào một số bài toán trước khi định nghĩa chính thức khái niệm đạo hàm nhưng không

có tình huống nào liên quan đến tiếp tuyến. Thời điểm đầu tiên xuất hiện thuật ngữ đạo hàm ở mục 2 chương I (V1,tr. 5) với đặc trưng ”giới hạn của tỉ số số gia”:

f (x

f (x ) 0

Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 (a;b). Giới hạn, nếu có, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x0, khi số gia của đối số dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 và kí hiệu là f’(x0) hoặc y’(x0)

hay y’(x0) =

lim x 0  

x)    x 

y  x 

lim x  

Khái niệm tiếp tuyến của đường cong được đưa vào ngay sau đó ở mục 7 chương I (V1,tr.8) :

f’(x0) =

Khái niệm tiếp tuyến của đường cong phẳng Cho một đường cong (C) và một điểm cố định M0 trên (C). Kí hiệu M là một điểm di chuyển trên (C); đường thẳng M0M là một cát tuyến của (C)

Định nghĩa

Nếu cát tuyến M0M có vị trí giới hạn M0T khi điểm M di chuyển trên (C) và dần tới điểm M0 thì đường thẳng M0T được gọi là tiếp tuyến của đừơng cong (C) tại M0 ( hình bên) Điểm M0 được gọi là tiếp điểm

Khái niệm tiếp tuyến ở đây cũng được đưa vào theo quan điểm giải tích với đặc trưng “ vị trí giới hạn của cát tuyến”. Tuy nhiên, khác với SGK Pháp và lịch sử, V1 bỏ qua vai trò của tiếp tuyến trong việc hình thành khái niệm đạo hàm.

Mặc dù tiếp tuyến được đưa vào sau khi định nghĩa « đạo hàm tại một điểm » nhưng V1 lại đưa ra định nghĩa về tiếp tuyến hoàn toàn độc lập với khái niệm đạo hàm. Nghĩa là , khác SGK Pháp và tiến trình lịch sử, V1 cũng bỏ qua vai trò của đạo hàm trong việc định nghĩa khái niệm tiếp tuyến.

Ngoài ra, tiếp tuyến ở đây được đưa vào với một nghĩa hoàn toàn mới so với tiếp tuyến ở THCS mà không có một hoạt động nào để nối khớp chúng lại như SGK Pháp. Vậy, định nghĩa này có tạo ra sự ngắt quãng với khái niệm tiếp tuyến ở THCS không?

Mối quan hệ giữa khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm được thiết lập ở mục ” ý nghĩa hình học của

đạo hàm” (V1,tr.8) :

 Quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến

Định lí 1. Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của (C) tại điểm M0( x0, f(x0)), tức là:

f’(x0) = hệ số góc của tiếp tuyến M0T

Định lí 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số f(x) tại điểm

M0 (x0, f(x0)) là :

Đến đây, đạo hàm xuất hiện như công cụ tường minh để giải quyết bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong. Đặc trưng của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm cũng được thiết lập: ”hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm”

Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm tiếp tục được đề cập ở chương II ”Ứng dụng của đạo

hàm” với hai định lí sau đây:

y – y0 = f’(x0)(x –x0) trong đó y0 = f(x0)

f (a)

f (b)

a) hay f’(c) =

Định lí Lagrange(V1, tr. 48) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì tồn tại một điểm c (a;b) sao cho f(b) - f(a) = f’(c)(b-

 b a  Ý nghĩa hình học của định lí Lagrange Nếu hàm số y = f(x) thỏa mãn các giả thiết của định lí thì trên đồ thị tồn tại điểm C, tại đó tiếp tuyến song song với dây cung AB.

Ý nghĩa hình học của hai định lí này chỉ được trình bày trong phần lí thuyết mà không có ví dụ hoặc bài tập nào trong SGK hay SBT. Vậy chúng được đưa vào nhằm mục đích gì? Tiếp tuyến có vai trò gì trong định lí trên?

SGV1,tr. 19 viết: “Chúng tôi thừa nhận, không chứng minh định lí Lagrange và chỉ đưa ra ý nghĩa

Định lí Fermat (V1 ,tr. 54): Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f’(x0) = 0 Ý nghĩa hình học của định lí Fermat Nếu f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại đó thì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M(x0, f(x0)) song song với trục hoành.

Theo chúng tôi, tiếp tuyến ở đây đóng vai trò minh họa hình học thay cho việc chứng minh định lí

hình học của chúng”

Lagrange và Fermat.

Thuật ngữ “ xấp xỉ affine” không được đưa vào chính thức trong V1 nhưng khái niệm xấp xỉ

 Quan hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine

affinne ngầm ẩn trong phần ”Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng” (V1. tr40 ) Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng Theo định nghĩa của đạo hàm, ta có:

f x '(



. Do đó với x đủ nhỏ thì

)

y  f’(x)= lim x x  

y  x 

y  

f x '(

hay

  f(x0+∆x)-f(x0)  f’(x0)∆x  f(x0+∆x)  f(x0) + f’(x0)∆x )



Đó là công thức tính gần đúng đơn giản nhất.

Đến thời điểm này mối quan hệ giữa đạo hàm và xấp xỉ affine (ngầm ẩn) đã được thiết lâp chính thức: Đạo hàm là công cụ để tính xấp xỉ hàm số bằng hàm affine. Tuy nhiên, không có mối liên hệ

ngược lại như SGK Pháp. Còn mối liên hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine có được thiết lập giống trong lịch sử và SGK Pháp không?

Ta nhìn lại cách viết trong SGK Pháp:



 lim (x) 0 x 

f (a)

f '(a)(x a)





f(x) = f(a) + f’(a)(x-a) + (x-a)  (x) và



là xấp xỉ affine tốt nhất của f trong lân cận của a. Về mặt Hàm số x

f '(a)(x a)







chính là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm

Rõ ràng trong công thức này, y f (a)

số tại điểm có hoành độ là a.

Còn cách viết của SGK Việt Nam: f(x0+∆x)  f(x0) + f’(x0)∆x chỉ cho thấy được giá trị của hàm

số tại một điểm gần với x0 là f(x0) + f’(x0)∆x

Nghĩa là, V1 chỉ quan tâm đến vai trò của đạo hàm trong việc tính gần đúng giá trị của hàm số chứ không tạo ra sự liên hệ về phương diện hình học và phương diện số của số đạo hàm:“Hàm số có đạo hàm thì có thể xấp xỉ f bởi một hàm số affine và đó chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong lân cận tiếp điểm”

Có thể mô tả mối quan hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine trong V1 theo sơ đồ sau:

hình học là tiếp tuyến của đồ thị (Cf) tại điểm có hoành độ a.

Đạo hàm tại một điểm

Tiếp tuyến

Xấp xỉ affine (ngầm ẩn)

Sơ đồ 2.3: Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong V1

Một điểm cần chú ý là thay vì ở Pháp đưa vào khái niệm ”hàm số đạo hàm”, V1 đưa vào khái

niệm: “ Đạo hàm trên một khỏang ” ( ở mục 5 trang 6)

Sau khi đưa vào định nghĩa “ đạo hàm trên một khỏang ” thì các công thức tính đạo hàm của một

số hàm thông dụng và các qui tắc tính đạo hàm cũng được đưa vào ở bài 2

Định nghĩa Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khỏang (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khỏang đó.

b) Tổ chức toán học xung quanh khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm trong SGK

 Những kiểu nhiệm vụ giống với SGK Pháp:

 Kiểu nhiệm vụ T1: Viết phương trình tiếp tuyến T của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm có

hoành độ là a”

 Kiểu nhiêm vụ T6 : Tìm các tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x)

Ngoài kĩ thuật giống SGK Pháp, V1 còn có thêm

 Kiểu nhiệm vụ T7: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng tiếp xúc với đường cong

7 :

- Gọi f(x) và g(x) lần lượt là công thức của hàm số và tiếp tuyến của đồ thị của nó.

từ đó suy ra điều kiện của tham số

- Giải hệ

f (x) g(x)  f '(x) g '(x) 

  

Kĩ thuật

7 : Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Công nghệ 2

Ví dụ: Bài 1.36 [SBT1, tr.12] Tìm b và c sao cho đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c tiếp xúc với đường thẳng y = x tại điểm (1 ;1).

Hai đường y = ax2 + bx + c và y = x tiếp xúc với nhau tại (x0 ; y0) khi và chỉ khi (x0 ; y0) là nghiệm của hệ

bx c

 

 x b    

 x  



Vì (1 ; 1) là tiếp điểm nên từ đó :

   

b c       b     

b   c 

 Kiểu nhiệm vụ T9: Tính gần đúng giá trị của f(x) tại một điểm a  Kỉểu nhiệm vụ

T : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có phương trình y = f(x) biết tiếp tuyến

Lời giải

nhiệm vụ

T

này đi qua điểm A và có hòanh độ là a (A không thuộc đồ thị hàm số) Ngòai các kĩ thuật giống SGK Pháp thì V1 còn cung cấp thêm một kĩ thuật nữa để giải quyết kiểu

10 :

- Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A (x1, y1) : y = k(x- x1) + y1

f x ( )

k x (

)







x 1

y 1

để suy ra k

- Giải hệ phương trình của điều kiện tiếp xúc của (C) và T

x '( )



  

Kĩ thuật *

Công nghệ: Ý nghĩa hình học của đạo hàm

T : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có phương trình y = f(x) biết hệ số góc k

 Kỉểu nhiệm vụ

của tiếp tuyến

 Những kiểu nhiệm vụ khác với SGK Pháp

 Kiểu nhiệm vụ T14: Tính hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Thực ra kiểu nhiệm vụ này xuất hiện như một phần kĩ thuật của kiểu nhiệm vụ T1. Ngòai ra, nó còn xuất

hiện như một kĩ thuật của kiểu nhiệm vụ sau : T*14 « Tìm góc tạo bởi trục hoành và tiếp tuyến của đồ thị hàm số »

Bảng 2.6: Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ trong bộ sách chỉnh lí 2000

bài



16,67%

35,56%

 

2,22%

7

6,67%



16,67%

15,56%

T10



16,67%

24,44%

T11



33,33%

11,11%

và

Bài tập (V1) Bài tập (SBT1) Ví dụ (V1) 1 Tổng tập 16 Kiểu nhiệm vụ và kĩ thuật T1

16.67%

4,44%



45

6 T14 T*14 Tổng

100%

17

28

T1 T6 T7 T10 T11

T14

T*14



Kiểu nhiệm vụ

7











Bảng 2.7: Bảng thống kê các tổ chức toán học địa phương trong bộ sách chỉnh lí 2000

Ừng dụng của vi phân

Kĩ thuật

Công nghệ Ý nghĩa hình học của đạo hàm.

83,34% -84,44%

16,66%-15,56%

%VD-BT

Đánh giá tổ chức toán học

 OM1 (chiếm 83,34% ví dụ và 84,44% bài tập) trong đó có rất ít kiểu nhiệm vụ so với SGK

Pháp.

 OM2 ( chiếm 16,66% ví dụ và 15,56% bài tập) với tỉ lệ ví dự và bài tập khá nhiều so với SGK Pháp nhưng chỉ có một kiểu nhiệm vụ T9 mà nó không làm rõ vai trò của đạo hàm là công cụ để xấp xỉ hàm số bằng hàm affine và cũng không làm rõ mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine. Theo chúng tôi đã phân tích ở trên, với sự hỗ trợ của MTBT thì kiểu nhiệm vụ và kĩ thuật trên không có đất sống.

 Có 2 tổ chức toán học địa phương :

Đạo hàm là công cụ để giải bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong. Đạo hàm còn là công cụ để tính gần đúng giá trị một hàm số (xấp xỉ affine ngầm ẩn). Tuy nhiên, mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không được đề cập trong bài tập của của bộ SGK này.

 Mối quan hệ giữa tiếp tuyến , đạo hàm, xấp xỉ affine trong các kiểu nhiệm vụ:

Theo chương trình thí điểm, khái niệm đạo hàm và tiếp tuyến của đường cong tổng quát được đưa vào chính thức trong sách toán lớp 11. Sau đó, phần ứng dụng của đạo hàm được tiếp tục ở lớp 12. Ở đây chúng tôi chỉ so sánh đối chiếu với V1.

2.5.2. Phân tích SGK thí điểm bộ 2

Các khái niệm đạo hàm, tiếp tuyến, mối liên hệ giữa chúng tương tự như V1

2.5.2.1. Phân tích SGK thí điềm bộ 2 lớp 11(V2)  Những điểm giống với V1

 Khác với V1 , trước khi đưa vào khái niệm tiếp tuyến thì SGK đưa vào hoạt động: [V2, tr.174]

Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) =



2x 2

 Tính f’(1)

 Những điểm khác với V1

 Vẽ đường thẳng đi qua điểm M(1;

1 2

) và có hệ số góc bằng f’(1). Nêu

nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng này và đồ thị hàm số .

Hướng dẫn giải

f’(1) = 1

Câu trả lời mong đợi của thể chế cho câu hỏi: “nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng này

SGV không trình bày lời giải cụ thể mà đưa vào mục đích của hoạt động: “tập cho học sinh biết vẽ một đường thẳng qua một điểm với hệ số góc cho trước và giới thiệu hình ảnh của một tiếp tuyến” (SGV2. tr188)

Vậy, theo chúng tôi câu trả lời mong đợi là học sinh dựa vào hình vẽ và nhận xét: “Đường thẳng

và đồ thị hàm số” là gì?

Hoạt động này với mục đích giới thiệu hình ảnh của tiếp tuyến với đặc trưng mới ”hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hòanh độ tiếp điểm” sắp được đề cập . Nó cũng tạo ra sự nối khớp với khái niệm tiếp tuyến ở THCS ”tiếp xúc” và ”một điểm chung”. Tuy nhiên, hoạt động đó không giúp cho việc mô tả khái niệm tiếp tuyến sắp đề cập như là ”vị trí giới hạn của cát tuyến”

 Khái niệm về tiếp tuyến được đưa vào giống V1 chỉ khác với V1 là V2 không gọi đó là định

nghĩa mà chỉ trình bày dưới dạng mô tả và các định lí được thừa nhận mà không chứng minh.

Tại sao SGK không đưa vào định nghĩa khái niệm tiếp tuyến như V1? Chúng tôi trích quan điểm của noosphère: “Muốn nói đến hệ số góc của tiếp tuyến, trước hết phải có khái niệm tiếp tuyến. Rất khó đưa ra định nghĩa chính xác về tiếp tuyến cho nên ở đây ta chỉ xét khái niệm này bằng mô tả trực quan”.[SGV2, tr.188]

Như vậy, các tác giả cho rằng định nghĩa khái niệm tiếp tuyến như V1 là không chính xác nên không gọi đó là định nghĩa mà chỉ xem như là mô tả trực quan. Vậy tại sao các tác giả không đưa vào định nghĩa chính xác khái niệm tiếp tuyến nhờ vào khái niệm đạo hàm như SGK Pháp và lịch sử?

Đây có lẽ là một lựa chọn mang tính sư phạm của các tác giả SGK. Theo chúng tôi, có lẽ các tác giả lưỡng lự giữa tính “trực quan” và tính “chính xác” của khái niệm tiếp tuyến. Có thể thấy, phần hoạt động đưa vào trong SGK và quan điểm trên thể hiện noosphère muốn nhấn mạnh đến đặc trưng“hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm”. Đặc trưng này cũng được nhấn mạnh trong các kiểu nhiệm vụ mà chúng tôi sẽ trình bày ở phần sau. Còn đặc trưng “vị trí giới hạn của cát tuyến” chỉ được đề cập một lần duy nhất trong phần lí thuyết của SGK, hoàn tòan rời rạc và ngắt quãng với tiếp tuyến ở THCS. Cách trình bày của SGK không giúp cho việc hình thành khái niệm đạo hàm như phần phân tích ở V1. Như vậy, việc lựa chọn đặc trưng đó chỉ vì “tính trực quan”của nó.

Bảng 2.8: Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ trong bộ sách thí điểm lớp 11

Bài tập (SBT2)

Ví dụ (V2)

Bài tập (V2)

Ví dụ (SBT2) 1

Tổng ví dụ Tổng bài tập 13

3 2

Kiểu nhiệm vụ và kĩ thuật T1



40%

37,1%

1 0

 

2,86%

0 0



2,86%

1 0



8,57%

này có một điểm chung và tiếp xúc với đồ thị hàm số”

6 2



40%

25,7%

T10

0 0



T11

1 0



14,3%

2 1

20%

8,57%

T14và T*14

Tổng



14 5

2

21

3

Bảng 2.9 : Bảng thống kê tổ chức toán hoc địa phương trong bộ sách thí điểm lớp 11

T8 T9

100% 100%



Kiểu nhiệm vụ T1 T6 T7 T11 T14

 ;











1 ; 8

3 8





Ý nghĩa hình học của đạo hàm.

Ứng dụng của vi phân

Kĩ thuật

40%- 34,29%

Công nghệ

%VD-BT 60%- 65-71%

Khác với V1, kiểu nhiệm vụ T8 được bổ sung vào tổ chức toán học OM2. Tuy nhiên, kiểu nhiệm vụ T8 thường xuất hiện như là một kiểu nhiệm vụ con của T9. Như vậy đạo hàm như công cụ để xấp xỉ affine một hàm số được đề cập trong bài tập rất khiêm tốn.

 Nhận xét:

hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số”  Những điểm giống với V1 Định lí Lagrange và ý nghĩa hình học cũng được đưa vào.  Những điểm khác với V1 Định lí Fermat và ý nghĩa hình học của nó không được trình bày. Định nghĩa và điều kiện tiếp xúc giữa hai đường cong được trình bày chính thức trong phần lí

2.5.2.2. Phân tích SGK thí điểm bộ 2 lớp12(V3) Ở lớp 12 đạo hàm và tiếp tuyến lại một lần nữa được đề cập trong Chương I: "Ứng dụng của đạo

thuyết [V3, tr.56] Định nghĩa Nếu tại điểm chung A, hai đường cong (C1) và (C2) có chung một tiếp tuyến thì ta nói (C1) và (C2) tiếp xúc với nhau tại A.

Điều kiện tiếp xúc Giả sử y = f(x) và y =g(x) là các hàm số có đạo hàm trên tập xác định. Kí hiệu (C1) ,(C2) lần lượt là đồ thị của các hàm số đó. Khi đó: Điều kiện cần và đủ để (C1) và (C2) tiếp xúc với nhau là hệ phương trình sau có

f (x) g(x)  f '(x) g '(x) 

  

nghiệm:

Qua đó cũng có chú ý, điều kiện tiếp xúc có thể sử dụng cho một đường thẳng tiếp xúc với đường

cong.

Nghiệm x0 nếu có của hệ phương trình trên là hoành độ của tiếp điểm

Chú ý: Nếu g(x) = ax+b thì đường thẳng y =ax+b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x).

f (x) f '(x)

ax b  a

 

  

Thực ra, điều kiện tiếp xúc và chú ý trên dựa vào công nghệ là “ý nghĩa hình học của đạo hàm”. Ở V1, chú ý trên được ngầm hiểu còn định nghĩa và định lí chỉ được giới thiệu ở phần mở rộng trong phương pháp tìm tiếp tuyến.

Nghiệm của hệ là hoành độ của tiếp điểm

c) Tổ chức toán học chung quanh khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm

Kiểu nhiệm vụ và kĩ thuật khác với SGK chỉnh lí hợp nhất 2000

Ngòai kĩ thuật

1 giống V1 và lớp 11, ở lớp 12 còn có thêm hai kĩ thuật sau :

 Kiểu nhiêm vụ T6 : Tìm các tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x)

6 :

Kĩ thuật 2

f (x) g(x)  f '(x) g '(x) 

để suy ra hoành độ tiếp điểm Giải hệ

   6 : Chú ý sau định lí điều kiện tiếp xúc

Công nghệ 2

6

Kĩ thuật

- Sử dụng định lí Lagrange, ta có f(b) – f(a)=f’(c)(b – a ) với a

- Tìm đoạn [a,b] mà tại đó hàm số liên tục và có đạo hàm trên (a,b)

6 : Định lí Lagrange và ý nghĩa hình học của nó.

Công nghệ 3

Bài 1.7 [SBT3 ,tr. 7] Hãy tìm trên đồ thị của hàm số f(x) = x3 – x những điểm tại đó tiếp tuyến song song với dây cung nối các điểm có hòanh độ là 10 và 12 Lời giải Hàm số f(x) = x3 – x liên tục trên đọan [10; 12] và có đạo hàm trên khỏang (10;12) nên theo định lí Lagrange ta có:

f(12) – f(10) = f’(c)(12 – 10) với 10

Nhưng f’(x) = 3x2 – 1 nên 3c2 – 1 = 363  c =



3 6 4 3

Từ đó suy ra những điểm cần tìm là (c; f(c) )

Khác với V2, ý nghĩa hình học của định lí Lagrange đóng vai trò công nghệ cho việc xác định hệ

số góc của tiếp tuyến.

 Kiểu nhiệm vụ T15 :Tìm điều kiện của tham số để hai đường cong tiếp xúc với nhau

- Gọi f(x) và g(x) lần lượt là công thức của hai đường cong.

từ đó suy ra điều kiện tham số.

- Giải hệ

f (x) g(x)  f '(x) g '(x) 

  

Kĩ thuật 15 :

Công nghệ 15 : Định lí về điều kiện tiếp xúc

Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của các hàm số

x3 - 3x + m

Cho các hàm số y =

(C1) và y = x2

(C2)

1 3

Tiếp xúc với nhau ?

Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong đó.

Bảng 2.10: Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ bộ sách thí điểm lớp 12.

tập

Tổng ví dụ Tổng bài tập



Ví dụ (V3) 2

Ví dụ (SBT3) 1

Bài (V3) 8

Bài (SBT3) 5

Kiểu nhiệm vụ và kĩ thuật T1



42,86%

50%



 ; 

 0

3,846%



; 

 0

14,29%

11,54%





T10



3,846%

T11



28,57%

19,23%

T14



Bài 8 [V3,tr. 61]

T15



14,29%

11,54%

Tổng

100%

Bảng 2.11 : Bảng thống kê tổ chức toán hoc địa phương trong bộ sách thí điểm lớp 12

T10

T11

T15



Kiểu nhiệm vụ T1 T6 T7



; 











1 ; 8

3 8

Ý nghĩa hình học của đạo hàm.

Kĩ thuật

100%- 100%

Công nghệ

%VD-BT

 OM2 hoàn toàn biến mất

 OM1 chiếm 100% ví dụ và bài tập và thêm kiểu nhiệm vụ T15 . Các kiểu nhiệm vụ T1, T6 ,T7 , T10 , T11, T15 đều liên quan đến phương trình tiếp tuyến của đường cong và đựơc giải quyết dựa vào công cụ duy nhất là đạo hàm.

Nhận xét

2.6. Kết luận về SGK Việt Nam

 Tiến trình đưa vào khái niệm đạo hàm và tiếp tuyến trong SGK THPT Việt Nam

Giới hạn của tỉ số số gia

Đạo hàm tại một điểm

Khái niệm tiếp tuyến (vị trí giới hạn của cát tuyến)

Sơ đồ 2.4: Tiến trình đưa vào khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm trong SGK Việt Nam

Tiến trình đưa vào hai khái niệm này không giống tiến trình lịch sử  Mối liên hệ giữa hai khái niệm

Vi phân (xấp xỉ affine ngầm ẩn)

 Tiếp tuyến lần đầu tiên được đưa vào theo quan điểm giải tích. Tuy nhiên, SGK Việt Nam không làm rõ vai trò của tiếp tuyến là công cụ để đưa vào khái niệm đạo hàm như trong lịch sử và SGK Pháp. Ngoài ra, khái niệm này được đưa vào không có sự nối khớp với khái niệm tiếp tuyến ở THCS.

Những kết quả của phân tích thể chế dẫn chúng tôi đặt ra những câu hỏi và giả thuyết

 Đạo hàm đóng vai trò công cụ cho việc tìm tiếp tuyến nhưng không là công cụ để định nghĩa tiếp tuyến như SGK Pháp và lịch sử. Đạo hàm cũng là công cụ để xấp xỉ hàm số bằng hàm affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine cũng không được đề cập. Mối quan hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine có thể mô tả theo sơ đồ 2.3: nghiên cứu sau:

- Có sự ngắt quãng giữa tiếp tuyến ở THCS và tiếp tuyến xuất hiện trong phạm vi giải tích ở THPT? - Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine có tồn tại trong mối quan hệ cá nhân của học sinh Việt

Nam?

 Câu hỏi:

 Giả thuyết nghiên cứu:

“Học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, giữa đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của học sinh”

Chương 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM

3.1. Mục đích thực nghiệm

Chương này có mục đích nghiên cứu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế về đạo hàm, tiếp tuyến và mối quan hệ giữa chúng lên mối quan hệ cá nhân tương ứng của học sinh. Đặc biệt, nó nhằm kiểm chứng tính thích đáng của giả thuyết nghiên cứu sau đây, được đặt ra ở cuối chương 2.

Giả thuyết: “Học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, giữa đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của họ”

3.2. Đối tượng, hình thức, nội dung thực nghiệm

 Thực nghiệm được tiến hành dưới hình thức học sinh trả lời các câu hỏi hay giải các bài tập và diễn ra vào khoảng giữa tháng 9, sau khi phần “Ứng dụng của đạo hàm” đã được giảng dạy. Trước phần thực nghiệm này chúng tôi yêu cầu học sinh tự ôn tập lại nội dung về khái niệm vi phân trình bày trong SGK.

Việc chọn thực nghiệm với học sinh thuộc ba trình độ và thuộc hai trường dạy theo hai chương trình

khác nhau cho phép nghiên cứu toàn diện hơn và chính xác hơn quan hệ cá nhân của học sinh.

 Thực nghiệm được tiến hành trên học sinh lớp 12 của trường THPT Trần Đại Nghĩa (dạy theo chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000) và THPT Lê Quí Đôn (dạy theo chương trình thí điểm) thuộc khu vực TP.HCM, đồng thời trên cả ba loại đối tượng học sinh : Giỏi, khá và trung bình.

 Nội dung thực nghiệm (phụ lục số 1)

PHA 1 (45 phút)

Không dùng MTBT, hãy tính gần đúng giá trị của 1, 002 .

Bài toán 1

(xem hình dưới đây) :

1 2

Bài tóan 2 Cho hàm số y = f(x) xác định trên R. Tiếp tuyến (T) của đồ thị hàm số tại điểm A(1;1) có hệ số góc là

y

A

1 (T)

O

a) Tính gần đúng giá trị của f(x0) với x0 = 1,05 b) Hãy biểu diễn điểm M(x0 ; y0) lên mặt phẳng tọa độ đã cho ở trên, với x0 = 1,05 và y0 là giá trị gần đúng của f(x0) mà em tính được ở câu a.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên R. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm B(5;8) có phương trình là: y = 3x – 7 Có thể tính gần đúng giá trị của f(5,001) được hay không ?

- Nếu có hãy tính gần đúng giá trị đó. - Nếu không hãy giải thích tại sao?

Bài toán 3

PHA 2 (15 phút)

(C)

(T)

Bài toán 4 Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). Tiếp tuyến (T) của đồ thị hàm số tại điểm M(2;1) có hệ số góc k = 1 và được cho như hình vẽ.

M(2;1)

Tính gần đúng giá trị của hàm số y = f(x) tại x = 2,01 Sau đây là lời giải bài toán trên của bốn bạn học sinh lớp 11. a) Lời giải của bạn An

Vì hệ số góc của tiếp tuyến (T) là đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm, nên ta có : f ’(2) = k = 1 Mặt khác, điểm M(2; 1) thuộc đồ thị hàm số nên f(2) = 1.

Áp dụng công thức tính gần đúng : f(x0 + x)  f(x0) + f ’(x0). x , ta suy ra :

f(2,01) = f(2 + 0,01)  f(2) + f’(2). 0,01

 f(2,01)  1+ 1. 0,01

y

 f(2,01)  1,01

(C)

(T)

b) Lời giải của bạn Bình

N

1 M(2;1)

2 O

x

- Dựng hệ trục tọa độ Oxy như trên - Trên trục Ox, lấy điểm có hoành độ 2,01 - Dựng đường thẳng đi qua điểm đó song song với trục tung và cắt đồ thị hàm số tại điềm N - Từ điểm N ta dựng đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung tại một điểm, đó chính là

giá trị cần tìm.

Từ hình vẽ ta có : f(2,01)  1,01

- Tiếp tuyến (T) đi qua điểm M (2 ; 1) và có hệ số góc k = 1 nên có phương trình là: y -1 = x-2

hay y = x -1

(1)

- Thay x = 2,01 vào (1) ta có : y = 2,01 - 1 = 1,01

Suy ra : f(2,01)  1,01.

c) Lời giải của bạn Hạnh

Ta có: 2,01  2 và 2,01 > 2 nên f(2,01)  f(2) và f(2,01) > f(2) (1)

Mặt khác, điểm M(2; 1) thuộc đồ thị hàm số nên f(2) = 1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: f(2,01)  1,01

d) Lời giải của bạn Phúc

Lời giải

Điểm

Giải thích vì sao em đánh giá như vậy

Lời giải của bạn An.

Lời giải của bạn Bình.

Lời giải của bạn Hạnh

Lời giải của bạn Phúc

Em hãy cho điểm lời giải bài toán của bốn bạn học sinh trên (theo thang điểm 10) và giải thích vì sao em đánh giá như vậy.

3.3. Phân tích tiên nghiệm

Các bài toán thực nghiệm xoay quanh kiểu nhiệm vụ “Tính gần đúng giá trị của một hàm số”. Đó là kiểu nhiệm vụ có sự xuất hiện đồng thời mối quan hệ qua lại giữa cả ba đối tượng: Đạo hàm, tiếp tuyến và vi phân.

3.3.1. Xây dựng bài toán thực nghiệm

Các bài toán được chọn trên cơ sở các biến didactic và biến tình huống sau đây.  Biến V1 - Ràng buộc MTBT : Được sử dụng hay không được sử dụng ?  Biến V2 - Cách cho hàm số Các giá trị được chọn của biến là : - Hàm số được cho bằng biểu thức giải tích. - Hàm số được cho bằng đồ thị. - Hàm số được cho bằng bảng biến thiên.

- Hàm số được cho bằng cách mô tả sự tương ứng.  Biến V3 - Bản chất của hàm số : Hàm số hữu tỉ hay không là hàm hữu tỉ (chẳng hạn, như

hàm lượng giác, căn thức, logarit....).

 (công thức, 0): hàm số được cho bằng công thức, không cho biết về tiếp tuyến.

 (công thức, công thức): hàm số và tiếp tuyến đều được cho bằng công thức.

 (công thức, đồ thị): Hàm số cho bằng công thức và tiếp tuyến cho bằng đồ thị.

 (0, công thức): Không cho hàm số f, cho công thức của tiếp tuyến

 (đồ thị, công thức): Hàm số được cho bằng đồ thị và tiếp tuyến được cho bởi công thức.

 (đồ thị, 0): Hàm số được cho bằng đồ thị, không cho biết tiếp tuyến.

 (0 , đồ thị): Không cho hàm số f mà chỉ cho đồ thị của tiếp tuyến.

 (đồ thị, đồ thị): Cả hàm số và tiếp tuyến đều được cho bằng đồ thị.

 Biến V4 - Bản chất của cặp đối tượng (hàm số, tiếp tuyến) Cặp (Hàm số, Tiếp tuyến) là kí hiệu chỉ cách cho hàm số và tiếp tuyến của nó. Cặp này có thể nhận các giá trị sau:

Biến này chỉ tác động trong trường hợp hàm số được cho bằng đồ thị. Các giá trị có thể của biến là:

- Có hệ trục tọa độ - Không có hệ trục tọa độ.  Biến V6 – Kịch bản thực nghiệm - Tách pha 1 và pha 2 thành hai pha riêng biệt. - Gộp chung cả hai pha.

Chúng tôi lựa chọn giá trị của biến V6 như sau: Thực nghiệm được chia thành 2 pha riêng biết:

Pha 1 (45 phút): Học sinh làm việc cá nhân để giải 3 bài toán 1, 2 và 3. Pha 2 (15 phút): Học sinh giải bài toán 4 bằng cách cho điểm và đánh giá các lời giải giả định của

các học sinh khác.

Sau khi thu lại phiếu bài tập ở pha 1, chúng tôi mới phát phiếu bài tập ở pha 2 để tránh việc các lời

 Biến V5 - Hệ trục tọa độ

giải giả định cho trong bài toán 4 có thể gợi ý cho học sinh đưa ra câu trả lời các bài toán 1, 2, 3. 3.3.2. Các chiến lược

Bốn bài toán trên thuộc kiểu nhiệm vụ “tính gần đúng giá trị của hàm số” nên chúng tôi có thể dự

đoán các chiến lược sau:

Tìm các cách thử để ra được giá trị gần đúng của hàm số.

 SMM : Chiến lược “tính mò mẫm”

Thay giá trị của biến vào công thức của hàm số để tính ra giá trị gần đúng của hàm số nhờ sự hỗ trợ của MTBT.

 SMT: Chiến lược “máy tính bỏ túi”

Thay x vào công thức của hàm số và vận dụng các phép tính đại số để tính giá trị gần đúng.

 ST : Chíến lược “thế”

 SVP: Chiến lược “vi phân”

Dùng công thức xấp xỉ trong phần ứng dụng của vi phân:

Với x đủ nhỏ thì: f(x0+∆x)  f(x0) + f’(x0).∆x

Tìm cách tìm lại công thức của hàm số y = f(x) trong trường hợp hàm số không cho bằng biểu thức giải tích.

 SCT: Chíến lược “công thức”

Vận dụng tính chất: Đường cong xấp xỉ với tiếp tuyến của nó trong lân cận tiếp điểm.

 SXX : Chiến lược “xấp xỉ”:

Tìm giá trị gần đúng của hàm số bằng cách dựa vào đồ thị của hàm số.

 SĐT: Chíến lược “đồ thị”

3.3.3. Phân tích chi tiết các bài toán thực nghiệm

3.3.3.1. Bài toán 1

Giá trị của các biến được chọn trong bài toán 1 là :

 Mục đích : Bài toán 1 có mục đích nghiên cứu mối quan hệ cá nhân của học sinh về mối quan hệ giữa đạo hàm và xấp xỉ affine. Cụ thể, học sinh có biết dùng đạo hàm để tính gần đúng giá trị của hàm số không?

Không sử dụng MTBT

Hàm số được cho bằng biểu thức giải tích

Hàm số là hàm căn thức

Chỉ cho công thức hàm số, không cho tiếp tuyến

Với sự lựa chọn của biến V2: “Hàm số được cho bằng biểu thức giải tích” thì chiến lược tối ưu là sử dụng MTBT. Tuy nhiên, giá trị của biến V1: “Không sử dụng MTBT” ngăn chặn hoàn toàn chiến lược này. Ngòai ra, giá trị của biến V3 cũng gây khó khăn cho các chiến lược thế giá trị của x vào hàm số để tìm giá trị gần đúng. Nói cách khác, việc lựa chọn các giá trị của các biến như trên chỉ tạo thuận lợi cho sự xuất hiện của chiến lược “vi phân”.  Các chiến lược có thể và những cái có thể quan sát được

Biến Giá trị của biến

002

Giá trị gần đúng của

là một số gần với 1 nên có thể thử :

1,01. 1,01 = 1,0201 1,001.1,001 = 1,002001

Những cái có thể quan sát được

002

là 1,001.

Vậy giá trị gần đúng của

Bấm máy tính và cho ra giá trị gần đúng là 1,001

lược ”máy

Chíến lược SMM Chiến lược ” tính mò mẫm”

SMT Chiến tính bỏ túi”

Thay x vào công thức của hàm số để tính giá trị gần đúng bằng phép khai căn bậc hai.

Xét hàm số y = f(x) = x

lược “vi

f ’(x) =

 f’(1) =

1 2

ST Chíến lược “thế”

11 

f(1) = Áp dụng công thức tính gần đúng ta có:

f(1,002)  f(1) + f ’(1). 0,002 = 1 +

.0,002 = 1,001

1 2

Có thể dự đoán, đối với học sinh lớp 12 chiến lược “tính mò mẫm” rất ít có khả năng xuất hiện vì

kĩ thuật tính toán đó chỉ phù hợp với những học sinh ở các lớp tiểu học và THCS.

SVP Chiến phân”

3.3.3.2. Bài tóan 2

 Mục đích : Kiểm tra xem mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine có hiện diện hay không trong mối quan hệ cá nhân của học sinh ? Học sinh có vận dụng chúng trong giải toán hay không?

tuyến” của biến V4 và giá trị: “Cho hệ trục tọa độ” của biến V5. Giá trị được chọn của biến V4 không tạo thuận lợi hoàn toàn cho chiến lược SVP như ở câu 1. Giá trị được chọn của biến V5, biến V4 cũng tạo cơ hội ngang bằng cho sự xuất hiện của nhiều chiến lược khác chiến lược vi phân như : SCT, Sxx , SĐT.  Các chiến lược có thể và những cái có thể quan sát được của bài 2a:

Những cái có thể quan sát được

Tìm cách tìm lại công thức của hàm số y = f(x) có tiếp tuyến cho như hình vẽ.

Do điểm A(1; 1) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) nên f(1) = 1

Theo định lí ý nghĩa hình học của đạo hàm, ta có: f’(1) = k =

Câu 2a được chọn trên cơ sở của việc lựa chọn giá trị “Không cho hàm số f, cho đồ thị của tiếp

Chíến lược SCT Chíến lược “công thức” SVP Chiến lược “vi phân”

1 2

Áp dụng công thức tính gần đúng, ta có: f(1,05) = f(1+0,05)  f(1) + f’(1).0,05

f(1,05)  1+

.0,05= 1,025

1 2

góc k =

là: y – 1 =

(x-1) suy ra y =

x +

1 2

Lời giải 1: Phương trình tiếp tuyến (T) của đồ thị hàm số tại điểm A(1; 1) có hệ số SXX Chiến lược “xấp xỉ”

Vì trong lân cận tiếp điểm đường cong xấp xỉ với tiếp tuyến nên ta có

.1,05 +

= 1,025

Giá trị gần đúng của hàm số f(x) tại x = 1, 05 là

1 2

Lời giải 2 Từ đồ thị, lấy điểm có hòanh độ 1,05 và vẽ đường thẳng song song với trục tung cắt tiếp tuyến T tại M. Từ M vẽ đường thẳng song song với trục hòanh cắt tiếp tuyến tại một điểm. Xác định tung độ của điểm M đó chính là giá trị gần đúng của hàm số tại x = 1,025

Với x đủ nhỏ thì: f(x0+∆x)  f(x0) + f’(x0).∆x

(1)

Hay với x rất gần x0 thì: f(x)  f(x0) + f’(x0)( x- x0 ) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hòanh độ x0 là: (2)

y = f(x0) + f’(x0)( x- x0 )

Theo đề bài, ta tìm được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là:

y =

x +

(3)

1 2

Từ (1), (2) và (3) suy ra f(x) 

x +

1 2

.1,05 +

= 1,025

Vậy giá trị gần đúng của hàm số f(x) tại x = 1, 05 là:

1 2

Học sinh tìm cách dựng đồ thị của hàm số y = f(x) rồi dựa vào đồ thị để xác định giá trị gần đúng.

Lời giải 3

Việc yêu cầu học sinh học sinh biểu diễn điểm M(x0; y0) (y0 là giá trị gần đúng của f(x0)) sẽ giúp chúng tôi quan sát được mối quan hệ cá nhân của học sinh về mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine (học sinh có biết về nó không?)

Tuy nhiên, vẫn có khả năng học sinh không biết về mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine nhưng học sinh vẫn biểu diễn được điểm M thuộc (T) ( bằng cách viết phương trình đường thẳng (T) ) và thay tọa độ điểm M vào thấy thỏa hoặc vẽ đúng số đo). Điều đó cũng tạo điều kiện thuận lợi cho việc hình thành tư tưởng xấp xỉ cho học sinh và tạo thuận lợi cho sự xuất hiện chiến lược xấp xỉ ở các bài toán 3 và 4.

SĐT Chíến lược “đồ thị” Câu 2b

3.3.3.3. Bài toán 3

V4: “Không cho biết về hàm số f, chỉ cho biết công thức của tiếp tuyến”

Giá trị được chọn của biến V4 không tạo thuận lợi hoàn toàn cho chiến lược vi phân như ở câu 1. Nó tạo thêm cơ hội cho sự xuất hiện của chiến lược công thức và xấp xỉ. Trong tất cả các chiến lược có

 Mục đích : giống bài toán 2a Chúng tôi chọn giá trị của các biến như sau:

thể thì chiến lược xấp xỉ là tối ưu hơn cả. Ngoài ra, chúng tôi cũng hi vọng những học sinh ở bài 2b biểu diễn được M thuộc (T) có thể sử dụng chiến lược xấp xỉ trong bài toán này.

 Các chiến lược có thể và những cái có thể quan sát được:

lược

Những cái có thể quan sát được

- Có thể tính được giá trị gần đúng của f(5,0001) bằng cách tìm công thức của hàm f. - Không thể tính được giá trị gần đúng của f(5,0001) vì với dữ kiện đã cho thì ta chỉ có công thức tiếp tuyến của đồ thị hàm số chứ không biết được công thức của hàm số.

Chíến lược SCT Chíến “công thức”

Phương trình tiếp tuyến (T) của đồ thị hàm số tại điểm B(5; 8) là y = 3x -7 nên Theo định lí ý nghĩa hình học của đạo hàm, ta có: f ’(5) = 3 Mặt khác, điểm B( 5;8) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) nên f(5) = 8 Áp dụng công thức tính gần đúng, ta có: f(5,001) = f(5+0,001)  f(5) + f’(5).0,001 Vậy f(5,001)  8 + 3.0,001= 8, 003

SVP Chiến lược “vi phân”

Phương trình tiếp tuyến (T) của đồ thị hàm số tại điểm B(5; 8) là: y = 3x -7 Vì trong lân cận tiếp điểm đường cong xấp xỉ với tiếp tuyến nên ta có Vậy f(5,001)  3.5,001 – 7 = 8, 003

SXX Chiến lược “xấp xỉ”:

3.3.3.4. Bài toán 4

Trong các bài toán trên, với yêu cầu tính gần đúng giá trị của hàm số thì khi trình bày lời giải học sinh thường lựa chọn lời giải mà thể chế mong đợi. Do đó, nó chỉ cho phép kiểm tra xem học sinh có vận dụng “mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affinne” trong giải toán hay không chứ không thể hiện được: học sinh có biết về mối quan hệ đó hay không?

Trong bài toán này, chúng tôi đưa ra yêu cầu “cho điểm và đánh giá lời giải giả định”. Học sinh không cần tính ra giá trị gần đúng của hàm số mà phải dùng lập luận để chứng minh cho sự lựa chọn của mình. Trong các lời giải này có sử dụng các chiến lược vi phân, xấp xỉ, đồ thị,...và các lời giải đều cho cùng một kết quả. Việc học sinh tham gia làm thực nghiệm cho điểm cao lời giải của An và cho điểm thấp lời giải của Hạnh sẽ giúp khẳng định giả thuyết. Phần đánh giá, bình luận về cách giải sẽ làm rõ hơn quan hệ cá nhân của học sinh trước mối quan hệ đạo hàm, tiếp tuyến, xấp xỉ afinne.

Ngoài ra, chúng tôi chọn giá trị của các biến didactic như sau:

V4: “Cho đồ thị của hàm số và tiếp tuyến” V5: “Không cho hệ trục tọa độ”

 Mục đích:

Giá trị của biến V4 tạo cơ hội thuận lợi cho sự xuất hiện của chiến lược xấp xỉ và đồ thị. Giá trị của biến V5 làm ngăn cản một phần chiến lược SĐT. Vậy sự lựa chọn giá trị của các biến didactic ở trên đem đến cơ hội tốt nhất cho sự xuất hiện của chiến lược xấp xỉ.  Phân tích các lời giải giả định

- Đây là lời giải theo chiến lược vi phân

- Lời giải này chính xác

Lời giải của An

- Đây là lời giải theo chiến lược đồ thị

- Lời giải này không chính xác vì sai số nhiều trong việc dựng hệ trục tọa độ và việc xác định

hoành độ của các điểm

Lời giải của Bình

- Đây là lời giải theo chiến lược xấp xỉ

- Lời giải này chính xác nhưng chưa giải thích rõ vì sao có thể thay giá trị của x vào phương trình

tiếp tuyến để ra được giá trị gần đúng của hàm số f.

Việc học sinh đánh giá về lời giải này sẽ cho phép chúng tôi hiểu được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine có hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của học sinh hay không?

Lời giải của Hạnh

- Đây là lời giải theo một chiến lược khác.

- Lời giải này sai.

Lời giải của Bình và Phúc được đưa thêm vào để đem lại nhiều lời giải cùng một kết quả. Điều đó, tạo sự lưỡng lự buộc học sinh phải đọc kĩ lời giải để xem suy luận nào là đúng hay sai chứ không thể chỉ nhìn vào kết quả để cho điểm. Nếu các lời giải sai lại được cho điểm cao hơn lời giải theo quan điểm xấp xỉ thì càng cho thấy rõ học sinh hoàn toàn xa lạ với phương pháp xấp xỉ.

Lời giải của Phúc

Vấn đề không phải là điểm số học sinh cho mà trong khi đánh giá các lời giải học sinh thể hiện được quan điểm của mình: học sinh có biết rõ về mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến thông qua việc học sinh có chấp nhận và hiểu về phương pháp xấp xỉ (lời giải của Hạnh)?

Chúng tôi chỉ quan sát việc học sinh đánh giá lời giải của An và Hạnh. Còn lời giải của Bình và Phúc chỉ quan sát để bổ sung thêm trong phân tích.

 Những cái cần quan sát

- Đồng ý và cho điểm cao vì:

+ Bạn đã sử dụng tính chất: trong lân cận tiếp điểm, một phần đường cong gần trùng với tiếp tuyến của nó ( mã hóa bởi Sa)

 Những câu trả lời có thể liên quan đến lời giải của Hạnh

+ Học sinh nhầm với việc tính giá trị của tiếp tuyến (mã hóa bởi Sb)

+ Học sinh giải thích: vì kết quả đúng hoặc không giải thích hoặc giải thích không rõ ràng (mã hóa bởi Sc)

- Không đồng ý và cho điểm thấp (mã hóa bởi Sd)

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên 159 học sinh lớp 12 của hai trường THPT là: THPT Trần

Đại Nghĩa và THPT Lê Quí Đôn TPHCM.

3.4. Phân tích hậu nghiệm

Bảng 3.1: Bảng thống kê các chiến lược được sử dụng cho bài toán 1

Chiến lược

Số lượng

Tỉ lệ (%)

155

97,5%

SVP Chiến lược vi phân Không trả lời

2,5%

3.4.1. Phân tích sản phẩm thu thập được của bài toán 1

đã dự đoán trong phần phân tích a priori.

Như vậy, hầu hết các học sinh đều biết dùng đạo hàm để tính gần đúng, nghĩa là: Học sinh thiết

Nhận xét Số học sinh trả lời chiếm 97,5% và đều sử dụng chiến lược vi phân (trong đó chỉ có 4 em cho làm sai). Không có học sinh nào sử dụng chiến lược thế hay mò mẫm. Điều này cũng hợp lí như chúng tôi

lập được mối quan hệ giữa đạo hàm và xấp xỉ affine (ngầm ẩn).

Bảng 3.2: Bảng thống kê các chiến lược được sử dụng cho bài toán 2

Chiến lược

Số lượng

Tỉ lệ %

120

75,5%

0,6%

4,4%

Svp Chiến lược vi phân Sxx Chiến lược xấp xỉ SCT Chíến lược công thức Chiến lược khác

12,6%

Không trả lời

6,9%

3.4.2. Phân tích sản phẩm thu thập được của bài toán 2

 Nhận xét mở đầu Trong bài toán này, có sự xuất hiện thêm nhiều chiến lược hơn so với bài toán 1 trong đó chiến lược vi phân vẫn chiếm ưu thế (75,5%). Ngòai ra còn có sự xuất hiện thêm chiến lược rất gần với hình

Tổng 100% 159

thức của chiến lược xấp xỉ mà chúng tôi gọi những chiến lược đó là chiến lược khác. Chiến lược này nằm ngoài dự đoán của chúng tôi trong phân tích apriori.

nên: f’(1) =

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A(1;1) có hệ số góc là

1 2

f(1,05) = f(1+0,05)  f(1) + f’(1).0,05

f(1,05)  1+

.0,05= 1,025”

1 2

Số lượng học sinh sử dụng Sxx chiếm tỉ lệ rất thấp 1/159 học sinh (0,6%). Thực ra, học sinh đó tiến rất gần với tư tưởng xấp xỉ trong khi tìm cách giải bài 2a bằng chiến lược vi phân. Chúng tôi trích dẫn lời giải của học sinh đó:

; y = f(x), x thuộc R

- H8 cho lời giải: “f’(1) =

1 2

f(1,05) = f(1+0,05) = f(1) + f’(1).0,05 Phương trình tiếp tuyến tại A:

y = g(x) =

(x – 1) + 1=

x +

 g(1) =1

(x – x0) +y0 =

1 2

.0,05= 1,025 ”

 Phân tích chi tiết Mặc dù, trong bài toán này chúng tôi đã lựa chọn giá trị của biến V2 không làm thuận lợi cho chiến lược vi phân như bài toán 1 mà tạo điều kiện bình đẳng cho sự xuất hiện các chiến lược: SVP, SXX, SCT, SĐT .Tuy nhiên, các chiến lược vi phân vẫn chiếm ưu thế, chiến lược đồ thị không xuất hiện, còn chiến lược xấp xỉ xuất hiện rất khiêm tốn. 75,5% đã vận dụng chiến lược vi phân và sau đây là giải thích của một trong các học sinh đó cho thấy họ hiểu rất rõ về các mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến, đạo hàm và xấp xỉ affine(ngầm ẩn): - H54: “Điểm A(1; 1) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) nên f(1) = 1 1 2

1 2

Chúng tôi nhận thấy ở học sinh xuất hiện tư tưởng xấp xỉ mặc dù chưa chính xác: “x0 – x <<1 f(1,05)  g(1,05) ”. Tuy nhiên học sinh không dùng chúng trong bài giải mà vẫn quay về với chíến

lược vi phân: g(x0+x)  g(x0) + g’(x0).x. Như vậy thực chất chiến lược trên không hòan toàn là chiến lược xấp xỉ mà chúng tôi đã xét đến trong phân tích a priori. Ngoài ra, học sinh cũng không chú ý việc sử dụng dấu  trong công thức gần đúng trên.

x = x0 – x <<1 f(1,05)  g(1,05) = g(1) +

Có 20 học sinh (chiếm12.6%) giải theo chiến lược về hình thức rất gần với chiến lược xấp xỉ. Tuy nhiên theo chúng tôi có thể do học sinh nhầm lẫn nên chúng tôi gọi những chiến lược đó là chiến lược khác. Một số trích dẫn về lời giải của các học sinh: - H28 : “ Phương trình tiếp tuyến (T): y = f’(x0)(x- x0) + y0

Mà (T) là tiếp tuyến tại A(1;1) và có hệ số góc là

nên x0 = 1; y0 = 1; f’(x0) =

1 2

Vậy y =

(1,05 -1) +1= 1,025”

1 2

Có lẽ học sinh này nhầm lẫn công thức của tiếp tuyến là công thức hàm số hoặc là nhầm lẫn tính giá trị của điểm thuộc tiếp tuyến. Vì nếu học sinh hiểu được tư tưởng xấp xỉ thì ở trên phải kí hiệu dấu

 và phải giải thích vì sao có thể thay 1,05 vào phưong trình tiếp tuyến để tính ra giá trị gần đúng của hàm số tại x =1,05. - H46: “Phương trình tiếp tuyến (T): y - y0 = k(x- x0)

y - y0 =

(x- x0)

1 2

A(1;1) thuộc (T) nên: 1- y0 =

(1- 1,05)  y0 =1,025”

1 2

Ở đây học sinh nhầm lẫn giá trị cần tìm tại M (x0; y0) với kí hiệu quen thuộc là tiếp tuyến tại điểm

M(x0; y0). Do đó học sinh đi tìm tung độ của tiếp điểm M Như vậy, những học sinh cho điểm cao lời giải của Hạnh trong các trường hợp trên là do nhầm lẫn chứ không biết mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine.

Qua phân tích các câu trả lời cho thấy chiến lược xấp xỉ xuất hiện quá khiêm tốn trong khi chúng tôi đã tạo điều kiện rất thuận lợi cho chiến lược đó xuất hiện. Chỉ có duy nhất học sinh H8 thể hiện tư tưởng xấp xỉ trong bài làm nhưng cuối cùng lại trình bày bài giải theo chiến lược vi phân. Điều này cho phép khẳng định chiến lược xấp xỉ không được các học sinh vận dụng trong giải toán nghĩa là: học sinh không vận dụng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine trong việc giải toán.

Vậy học sinh có biết về mối quan hệ đó không? Học sinh biết nhưng không trình bày lời giải theo chiến lược đó hay hoàn toàn không biết gì về mối quan hệ đó? Chúng tôi sẽ phân tích câu trả lời của những bài toán ở phía sau để làm rõ điều đó. Câu 2 b

Bảng 3.3: Bảng thống kê việc biểu diễn điểm M trên hệ trục tọa độ

Biểu diễn điểm M

Số lượng

Tỉ lệ %

Điểm M thuộc T

57,9%

Điểm M không thuộc T

30,8%

Không trả lời

11,3%

Tổng

159

100%

xỉ. Vậy tại sao học sinh vẫn biểu diễn được điểm M thuộc (T). Điều này có thể giải thích là:

- Học sinh có biết về mối quan hệ tiếp tuyến và xấp xỉ affine nhưng không vận dụng chúng để

trình bày lời giải cho bài toán 2a.

- Hoặc học sinh viết phương trình tiếp tuyến của (T) và thay tọa độ của điểm M vào thấy thỏa nên

biểu diễn M thuộc (T). - Hoặc học sinh vẽ đúng tỉ lệ. - Hoặc học sinh nhầm lẫn ở câu 2a theo kiểu trên (gồm 11 học sinh)

Nhận xét: Số lượng học sinh chọn chiến lược vi phân chiếm ưu thế và không có sự xuất hiện chiến lược xấp

Tóm lại, có thể một số các em biểu diễn được M thuộc (T) đã tồn tại tư tưởng xấp xỉ. Vậy những em biểu diễn được M thuộc (T) mà chưa biết về tư tưởng xấp xỉ liệu có nghi ngờ về mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine? Chúng tôi sẽ phân tích kĩ hơn đánh giá của những em này trong bài toán 4 để thấy rõ hơn.

Bảng 3.4: Bảng thống kê các chiến lược được sử dụng cho bài toán 3

Chiến lược

Số lượng

Tỉ lệ %

126

79,2%

SVP Chiến lược vi phân

Sxx Chiến lược xấp xỉ

3,8%

SCT Chíến lược công thức Chiến lược khác

2,5%

Không trả lời

14,5%

3.4.3. Phân tích sản phẩm thu thập được của bài toán 3

159 100% Tổng

Số lượng học sinh không trả lời gia tăng so với câu 1 và 2, chiến lược xấp xỉ hoàn toàn biến mất.

Chiến lược vi phân vẫn chiếm ưu thế (78%)  Phân tích chi tiết

Với sự lựa chọn biến trong bài toán không thuận lợi cho chiến lược vi phân như ở câu 1 và câu 2a mà dành nhiều cơ hội cho chiến lược xấp xỉ. Tuy nhiên, chiến lược vi phân gia tăng so với bài toán 2a và chiến lược xấp xỉ lại hoàn toàn biến mất trong khi chiến lược công thức vẫn không thay đổi đáng kể. Điều đáng lưu ý là học sinh H8 cho lời giải rất gần với chiến lược xấp xỉ ở bài 2a lại trình bày bài

này theo chiến lược vi phân.

Ngoài ra, có hai học sinh phát hiện ra mối liên hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine nhưng lại quay

trở lại phủ định nó. Chúng tôi trích lời giải của hai hoc sinh này: - H44; H65:”Phương trình tiếp tuyến (T) của đồ thị hàm số tại điểm B(5; 8) là y = 3x -7 nên ta có:f ’(5) = 3 và f(5) = 3.5-7 = 8 f(5,001) = f(5+0,001)  f(5) + f’(5).(5,001-5) Vậy f(5,001)  8 + 3.0,001= 8, 003 Ta có điểm M(5,001; 8, 003) thuộc tiếp tiếp tuyến của đồ thị do 3. 5,001-7 = 8,003 (vô lí) Suy ra không tính được giá trị gần đúng”.

Chúng tôi xem bài 2, cả hai học sinh này đều làm theo chiến lược vi phân ở câu 2a và trong câu 2b

họ biểu diễn điểm M không thuộc (T). Tại sao hai học sinh này lại cho rằng điểm M thuộc (T) là vô lí? Chúng tôi tìm được lí do trả lời cho câu hỏi này ở bài toán 4 của một học sinh tương tự.

 Nhận xét mở đầu

: Lời giải

Đồng ý

Không đồng ý

156 98.1%

3 1.9%

Lời giải của An

Lời giải của Bình

56 35.2%

103 64.8%

Lời giải của Hạnh

48 30.2%

111 69.8%

Lời giải củaPhúc

7 4.4%

152 95.6%

 Nhận xét mở đầu

Số học sinh chấp nhận lời giải của An (lời giải theo chiến lược vi phân) chiếm gần như tuyệt đối. Số học sinh chấp nhận lời giải của Hạnh chiếm tỉ lệ khá thấp (30,2%) , thấp hơn số học sinh chấp nhận lời giải theo chiến lược đồ thị của Bình (35,2%)  Phân tích chi tiết

3.4.4. Phân tích sản phẩm thu thập được của bài toán 4 Bảng 3.5: Bảng thống kê các chiến lược được sử dụng cho bài toán 4

Hầu hết các học sinh đều cho rằng lời giải của An là đúng vì đã áp dụng vi phân để tính gần đúng.

Chỉ có 3/159 học sinh không đồng tình mà chúng tôi sẽ trích dẫn lời giải thích sau đây: - H84 cho 0 điểm với giải thích: “Vì bạn đó làm giống cách của em, mà cách của em là sai do nếu theo cách đó thì điểm mà ta cần tìm chắc chắn thuộc đường thẳng (T)”. Lí do mà học sinh này đưa ra giống với H44 và H65 đã nêu ra ở bài toán 3

Cả 3 học sinh này nhận ra được điểm cần tìm thuộc (T) nhưng không cho rằng điều đó là hợp lí

mà lại quay trở lại phủ nhận cách làm.. - H123 cho 0 điểm với giải thích: “Chưa tính được f’(x) sao lại thế vào đề bài bằng 1” - H125: cho 6 điểm và không giải thích.

Trong 3 học sinh không chấp nhận lời giải của An, trừ 2 học sinh H123 và H125 cho lời giải thích không rõ ràng, thì H84 vẫn theo chiến lược vi phân và bắt đầu phát hiện ra mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine. Nhưng rất tiếc là học sinh đó lại quay lại phủ nhận cả chiến lược vi phân và chiến lược xấp xỉ. Điều đó cho thấy học sinh hiểu rõ về ứng dụng của vi phân để tính gần đúng nhưng rất khó chấp nhận mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine.

 Nhóm câu trả lời liên quan đến lời giải của An

Bảng 3.6:Bảng thống kê các chiến lược được sử dụng trong việc đánh giá lời giải của Hạnh

Chiến lược

Số lượng

Tỉ lệ %

8.8%

 Nhóm câu trả lời liên quan đến lời giải của Hạnh

16.4%

111

69.8%

Tổng

159

100%

Trong số các học sinh chấp nhận lời giải của Hạnh thì chỉ có 8 em (5%) theo chiến lược Sa tức là hiểu được tư tưởng xấp xỉ hay gần tiến đến tư tưởng xấp xỉ .Chúng tôi trích dẫn một số câu trả lời của các học sinh này: - H14 cho 9 điểm với giải thích: “Bạn Hạnh cần phải giải thích rõ về vi phân, khi chia ra nhiều đoạn rất nhỏ thì đồ thị sẽ là những đoạn thẳng trùng với tiếp tuyến của đồ thị” - H15 cho 8 điểm với giải thích: “Cần suy ra từ công thức tính gần đúng:

f(x0 +x) - f(x0) = f’(x0).x suy ra y – y0 = k( x – x0)” - H26 cho 8 điểm với giải thích: “Lời giải có thể chấp nhận được vì 2,01 rất gần với 2 nên dựa trên đồ thị có thể nhận xét được f(2,01)  g(2,01) với g(x) = x – 1 là phương trình tiếp tuyến”. - H50 cho 8 điểm với giải thích: “Cần giải thích thêm rằng vì điểm M rất gần với điểm N nên có thể xem điểm N cũng gần như cũng nằm trên tiếp tuyến”.

Trừ những học sinh có quan điểm rõ ràng như trên, các em còn lại mặc dù có tư tưởng xấp xỉ nhưng giải thích còn chưa rõ ràng. Ngoài ra, có một số em vẫn có khuynh hướng quay trở lại chiến lược vi phân. Chúng tôi trích một số giải thích của học sinh: - H65 cho 8 điểm với giải thích: “Bài làm cho kết quả đúng nhưng chưa giải thích rõ lí do vì sao từ việc thế x = 2,01 vào phương trình tiếp tuyến dẫn đến kết luận f(2,01) 1,01. Điều này có thể giải thích là vì trong quá trình tính gần đúng ta đã bỏ qua phần sai số. Điều này dẫn đến giá trị gần đúng cần tính bằng với giá trị có được khi thế vào phương trình tiếp tuyến”.

Có một sự tiến triển trong mối quan hệ cá nhân của học sinh này. Ở bài toán 2, theo học sinh thì

điểm M thuộc tiếp tuyến là vô lí còn ở đây thì đồng ý là điểm đó thuộc tiếp tuyến. - H54 cho 4 điểm với giải thích: “Vì chỉ tính gần đúng, trên phương trình tiếp tuyến, M có thể có các lân cận điểm gần đúng với f(x). Tuy nhiên chưa có sự chứng minh rõ ràng, tốt hơn là làm cách của An”.

Chúng tôi cũng trích ra đây một số lời giải theo chiến lược Sb để thấy rằng học sinh cho điểm cao

lời giải của Hạnh vì nhầm lẫn chứ không biết về mối liên hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine. - H36 cho điểm 8 với giải thích: “Không nói rõ là tiếp tuyến tại x = 2 gần như trùng với tiếp tuyến tại x = 2,01 mới thế được vào công thức (1)” - H45 cho điểm 9 với giải thích: “Bạn đó tính ra kết quả là 1,01 nhưng lại ghi gần đúng f(2,01) 1,01 và trong toàn bài em không thấy chỗ nào là gần đúng”. - H81 cho điểm 9 với giải thích: “sai cách tính vì thế thẳng vào f(x) là ra giá trị chính xác”. - H91; H95 cho điểm 10 với giải thích:“Sử dụng đúng công thức y – y0 = k( x – x0)”

Ngòai ra, một số lời giải theo chiến lược Sc cũng không cho phép chúng tôi kết luận học sinh biết

về mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine. Vài trích dẫn về câu trả lời của học sinh: - H113 cho 8 điểm với giải thích: “bài giải gọn dễ hiểu”

- H51 cho 9 điểm với giải thích: “Cần giải thích thêm vì sao có thể biết được đường đó có nằm trên đường tiếp tuyến hay không vì thực tế điểm đó chỉ tiến đến đường tiếp tuyến”. - H67 cho 8 điểm với giải thích: “cần giải thích rõ hơn vì sao có f(2,01) 1,01” - H147 cho 9 điểm với giải thích: “cũng đúng nhưng trong trường hợp này còn trường hợp khác thì không được”.

Một tỉ lệ khá cao (69,8%) không chấp nhận lời giải của Hạnh và cho điểm rất thấp. Ngoài ra, trong số 92 học sinh biểu diễn được điểm M thuộc (T) ở câu 2b thì chỉ có 26 em cho điểm cao lời giải của bạn Hạnh ở bài toán 4 và chỉ có 5 em sử dụng chiến lược Sa cho bài toán 4. Như vậy có đến 66 học sinh biểu diễn được M thuộc (T) ở câu 2b nhưng lại không chấp nhận mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine ở bài toán 4.

Chúng tôi trích dẫn một số câu trả lời kiểu Sd để hiểu thêm về quan niêm của học sinh:

- H84 cho 0 điểm với giải thích: “Vì cách này giống cách bạn An mà qua một điểm trên đồ thị ta chỉ có thể vẽ được một tiếp tuyến duy nhất"

Như vậy chúng tôi tìm được lí do vì sao học sinh này cho lời giải của An là sai và học sinh H44,

H65 cho rằng điểm M thuộc (T) ở bài toán 3 là vô lí: Học sinh cho rằng điểm M phải thuộc đồ thị hàm số, mà M lại thuộc tiếp tuyến nên vô lí vì “qua một điểm trên đồ thị ta chỉ có thể vẽ được một tiếp tuyến duy nhất”

Vậy quan niệm của các học sinh này gắn liền với việc tính đúng giá trị của hàm số tại một điểm.

Mặc dù học sinh vẫn dùng công thức vi phân để tính gần đúng nhưng lại nhầm lẫn với tính đúng.

Qua lời giải thích trên chúng tôi còn nhận thấy học sinh Việt Nam chưa quen thuộc với phép tính

gần đúng mà chịu ảnh hưởng rất nặng nề của phép tính đúng. - H19 cho 5 điểm với giải thích: “Kết quả đúng nhưng chưa hiểu bản chất của tiếp tuyến. Vì x = 2,01 thuộc đồ thị của hàm số f(x) chứ không thuộc tiếp tuyến (T) nên không thể thế x = 2,01 vào phương trình của (T)” - H22 cho 0 điểm với giải thích: “lầm tưởng giá trị cần tìm thuộc tiếp tuyến, nếu đường cong có độ cong lớn thì sẽ sai biệt lớn”. - H32 cho 1 điểm với giải thích: “đúng đáp số nhưng lời giải sai hoàn toàn”. - H53 cho 0 điểm với giải thích: “Sai vì đề bài hỏi tính giá trị gần đúng của hàm số y = f(x) tại x = 2,01 chứ không hỏi tính giá trị gần đúng của phương trình tiếp tuyến tại x = 2,01. Ra đáp số đúng là vì đề bài cho số không chênh lệch nhiều”

Những lời giải thích theo kiểu Sd cho thấy học sinh không thể chấp nhận lời giải theo tư tưởng xấp xỉ vì không biết về mối quan hệ đó. Ngoài ra, lí do để học sinh khó khăn trong việc chấp nhận mối quan hệ đó là do họ chịu ảnh hưởng nặng nề của phép tính gần đúng. Điều này cũng được thể hiện rõ qua việc học sinh không ý thức trong việc sử dụng dấu  trong công thức tính gần đúng. Số học sinh sử dụng dấu “=” thay cho dấu  chiếm số lượng khá cao trong các bài toán.

3.5 Kết luận về thực nghiệm - Việc phân tích các câu trả lời của các bài toán thực nghiệm đã cho chúng tôi trả lời câu hỏi đặt ra ở chương 2 : Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine có tồn tại trong mối quan hệ cá nhân của học

sinh Việt Nam? Đặc bịêt, kết quả từ các bài toán trên cho phép chúng tôi khẳng định giả thuyết nghiên cứu: “Học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, giữa đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của họ” - Ngoài ra, thực nghiệm còn cho thấy:

 Một số học sinh nhận ra được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine nhưng rất khó khăn trong việc chấp nhận chúng.

 Học sinh không chú ý đến việc tính đúng hay tính gần đúng nên không chú ý trong việc sử dụng kí hiệu  và thường nhầm lẫn với việc tính đúng. Điều đó gây khó khăn cho việc chấp nhận các lời giải dựa trên tư tưởng xấp xỉ. Vậy, thực nghiệm cũng cho chúng tôi thấy được ảnh hưởng mạnh mẽ của quan điểm đại số trong thể chế dạy học của Việt Nam làm cản trở sự hình thành tư tưởng xấp xỉ ở học sinh. Đặc biệt, nó gây khó khăn cho học sinh trong việc chấp nhận mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine.

KẾT LUẬN

 Kết quả đạt được

Kết quả nghiên cứu đã được trình bày trong ba chương của luận văn. Sau đây là một số điểm

chính trong các kết quả nghiên cứu đã đạt được: - Ở chương 1, chúng tôi đã phân tích, tổng hợp một số tài liệu và công trình đã biết về lịch sử hay khoa học luận để làm rõ đặc trưng của mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến, đặc biệt là tiến trình xuất hiện cùng với vai trò, chức năng của mỗi đối tượng trong sự kết hợp này. - Trong chương 2, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm ở cấp độ tri thức cần giảng dạy trong thể chế dạy học toán ở Việt Nam. Đặc biệt, chúng tôi đã xác định được:

+ Tiến trình đưa vào hai khái niệm này trong SGK. Sơ đồ tóm tắt tiến trình này được trình bày ở

chương 2 cho thấy tiến trình đưa vào hai khái niệm này không giống với tiến trình lịch sử.

+ Vai trò của tiếp tuyến là đối tượng đưa vào khái niệm đạo hàm không được đề cập như trong lịch sử. Ngoài ra, khái niệm tiếp tuyến được đưa vào trong giải tích ở THPT không có sự nối khớp với khái niệm đó ở THCS.

+ Đạo hàm đóng vai trò công cụ cho việc tìm tiếp tuyến nhưng không là công cụ để định nghĩa tiếp tuyến. Đạo hàm cũng là công cụ để xấp xỉ hàm số bằng hàm affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine cũng không được đề cập như lịch sử.

+ Những ràng buộc của thể chế ảnh hưởng lên mối quan hệ giữa hai khái niệm này thông qua việc

phân tích các tổ chức toán học hiện diện trong SGK và SBT.

Kết quả phân tích trên dẫn chúng tôi đặt ra câu hỏi và giả thuyết nghiên cứu sau:

Có sự ngắt quãng giữa tiếp tuyến ở THCS và tiếp tuyến xuất hiện trong phạm vi giải tích ở THPT? Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine có tồn tại trong mối quan hệ cá nhân của học sinh Việt Nam?

Giả thuyết sẽ được kiểm chứng đầy đủ hơn nếu chúng tôi thực nghiệm cả trên hai chủ thể của hệ

thống dạy học: giáo viên và học sinh. Tuy nhiên vì lí do về thời gian nên chúng tôi không thể thực nghiệm trên đối tượng giáo viên.  Hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn:

Giả thuyết nghiên cứu: “Học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, giữa đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của họ” - Trong chương 3, nghiên cứu thực nghiệm đã giúp chúng tôi kiểm chứng tính thích đáng của giả thuyết đã được đặt ra. Ngoài ra, thực nghiệm cũng cho chúng tôi thấy được ảnh hưởng mạnh mẽ của quan điểm đại số trong thể chế dạy học của Việt Nam gây khó khăn cho sự hình thành tư tưởng xấp xỉ ở học sinh.  Hạn chế của đề tài:

Từ kết quả thực nghiệm và phân tích ở chương 2 cho thấy: Tiến trình đưa vào hai khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm trong SGK làm hạn chế bớt nghĩa của khái niệm đạo hàm, tiếp tuyến và không có sự nối khớp giữa khái niệm tiếp tuyến ở THCS và THPT. Từ đó, chúng tôi thấy có thể có một số hướng nghiên cứu mới sau đây:

- Xây dựng một tiểu đồ án didactic để từ khái niệm tiếp tuyến dẫn đến việc hình thành khái niệm đạo hàm (trong đó có tính đến cả xấp xỉ affine).

- Xây dựng một tiểu đồ án didactic để điều chỉnh mối quan hệ cá nhân của học sinh với đạo hàm và tiếp tuyến theo quan điểm xấp xỉ và đem lại cho tiếp tuyến một nghĩa mới theo tư tưởng xấp xỉ.

- Xây dựng thực nghiệm nhằm trả lời cho câu hỏi đặt ra ở chương 2: “Có sự ngắt quãng giữa tiếp tuyến ở THCS và tiếp tuyến xuất hiện trong phạm vi giải tích ở THPT?”

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Văn Như Cương(1977), Lịch sử hình học, NXBGD.

2. Trần Vũ Đức(2004), Khái niệm tiếp tuyến- Một nghiên cứu khoa học luận và

sư phạm, Luận văn tốt nghiệp, ĐHSP, TP.HCM.

3. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)(2004), Đại số và giải tích 11- Ban khoa học tự

nhiên, NXBGD.

4. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)(2004), Bài tập Đại số và giải tích 11- Ban khoa

học tự nhiên, NXBGD.

5. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)(2004), Sách giáo viên Đại số và giải tích 11-

Ban khoa học tự nhiên, NXBGD.

6. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)(2006), Đại số và giải tích 12- Ban khoa học tự

nhiên, NXBGD.

7. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)(2006), Bài tập Đại số và giải tích 12- Ban khoa

học tự nhiên, NXBGD, Hà Nội.

8. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)(2006), Sách giáo viên Đại số và giải tích 12-

Ban khoa học tự nhiên, NXBGD.

9. Ngô Thúc Lanh, Đoàn Quỳnh, Nguyễn Đình Trí (2002), Từ điển toán học

thông dụng, NXBGD.

10. Ngô Thúc Lanh (chủ biên)(2002), Giải tích 12, NXBGD.

11. Ngô Thúc Lanh (chủ biên)(2002), Bài tập Giải tích 12, NXBGD.

12. Ngô Thúc Lanh (chủ biên)(2000), Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 12,

NXBGD.

Tiếng Anh

13. Arthur Rosenthal (1951), “The history of calculus”, The American

Mathematical Monthly, 58 (2), pp.75-86.

14. G.M.Fichtengon(1977), Cơ sở giải tích toán học tập 1, NXB ĐHMN.

15. Howard Eves (1993) (Nguyễn Đức Thuần dịch), Giới thiệu lịch sử toán học,

NXB Khoa học và kĩ thuật.

16. Tom m. Apostol, Calculus-volume 1, John Wiley & Son Inc- New York.

Tiếng Pháp

17. Newton (1740) (traduction de M. de Buffon), La Méthode des Fluxions et des

Suites infininies, Paris.

18. Nadège Chaboud, Dominique Hedde(2000), La tangente et la dérive font-

ellles la paire?, Mémoire professionnel des mathémathiques, UFM de

l’Académie de Grenoble.

19. Perrin Patrick(1992), Prenons la tangente avant de dériver, Histoire d’infini,

commission inter-IREM.

20. http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_calculus.

Phụ lục 1: NỘI DUNG BÀI TOÁN THỰC NGHIỆM

Họ và tên : Lớp :

Trường : STT :

PHA 1 (45 phút)

Bài toán 1

. Không dùng MTBT, hãy tính gần đúng giá trị của 1, 002

Lời giải

.........................................................................................................................................................................

Bài tóan 2

Cho hàm số y = f(x) xác định trên R . Tiếp tuyến (T) của đồ thị hàm số tại điểm

1 2

(T)

(xem hình dưới đây) : A(1;1) có hệ số góc là

1

a) Tính gần đúng giá trị của f(x0) với x0 = 1,05

b) Hãy biểu diễn điểm M(x0 ; y0) lên mặt phẳng tọa độ đã cho ở trên, với

x0 = 1,05 và y0 là giá trị gần đúng của f(x0) mà em tính được ở câu a.

Lời giải

.........................................................................................................................................................................

Bài toán 3

Cho hàm số y = f(x) xác định trên R. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm B(5;8)

có phương trình là: y = 3x – 7

Có thể tính gần đúng giá trị của f(5,001) được hay không ?

- Nếu có hãy tính gần đúng giá trị đó.

- Nếu không hãy giải thích tại sao?

Lời giải

.........................................................................................................................................................................