Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới giải bài toán Dirichlet đối với phương trình Elliptic

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

83
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày lại một số kiến thức cơ bản của toán học giải tích, đưa ra được khái niệm về tập hợp nón thứ tự, phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới và phương pháp xấp xỉ liên tiếp và có một số ví dụ minh họa áp dụng vào phương trình vi phân. Từ đó đi vào trình bày về phương pháp nghiệm trên yếu, nghiệm dưới yếu của bài toán Dirichlet đối với phương trình Elliptic, trình bày được một số ví dụ áp dụng của phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới vào các bài toán biên Elliptic nửa tuyến tính.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới giải bài toán Dirichlet đối với phương trình Elliptic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------ Bùi Thị Oanh PHƯƠNG PHÁP NGHIỆM TRÊN NGHIỆM DƯỚI GIẢI BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. HOÀNG QUỐC TOÀN HÀ NỘI - 2014
Mục lục Mở đầu 3 1 Cơ sở toán học 6 1.1 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Khái niệm về không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Không gian H01 (Ω) và H −1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Toán tử vi phân đạo hàm riêng elliptic tuyến tính cấp hai . . . . . 9 1.3 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Nguyên lý cực đại cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 Bất đẳng thức Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.4 Toán tử −∆ của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.5 Các tính chất của toán tử −∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Phương pháp biến phân ứng dụng vào bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic nửa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Nghiệm trên nghiệm dưới và phương pháp lặp đơn điệu trong không gian Banach 16 2.1 Tập hợp nón thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới và phép xấp xỉ liên tiếp . 19 2.3 Áp dụng vào phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.1 Bài toán Dirichlet đối với phương trình vi phân nửa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới và bài toán biên Dirich- let nửa tuyến tính đối với toán tử Laplace 27 3.1 Phương pháp nghiệm trên, nghiệm dưới . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Phương pháp nghiệm trên yếu, nghiệm dưới yếu . . . . . . . . . . 33 3.3 Một số ví dụ áp dụng của phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới vào các bài toán biên Elliptic nửa tuyến tính . . . . . . . . . . . . 40 Kết luận 49 1
Tài liệu tham khảo 50 2
Mở đầu Trong luận văn này chúng tôi tìm hiểu và nghiên cứu về: "Phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới giải bài toán Dirichlet đối với phương trình Elliptic". Nguyên tắc của phương pháp này dựa vào nguyên lý cực đại của nghiệm của phương trình elliptic. Bản luận văn này gồm ba chương trong đó gồm phần kiến thức cơ bản và hai chương chính: Chương 1. Cơ sở toán học Trong chương này, một số kiến thức cơ bản được nhắc lại. Đó là: - Không gian Sobolev - Toán tử vi phân đạo hàm riêng Elliptic tuyến tính cấp hai - Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace: Phương trình Laplace, nguyên lý cực đại cực tiểu, bất đẳng thức Harnck, toán tử −∆ và các tính chất của toán tử −∆ - Phương pháp biến phân ứng dụng vào bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic nửa tuyến tính. Chương 2. Nghiệm trên nghiệm dưới và phương pháp lặp đơn điệu trong không gian Banach Ở chương này, luận văn đi vào trình bày khái niệm về tập hợp nón thứ tự, từ đó dẫn đến phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới và phương pháp xấp xỉ liên tiếp. Thông qua đó tác giả luận văn đã có một số ví dụ minh họa áp dụng vào phương trình vi phân để giải bài toán Dirichlet đối với phương trình vi phân nửa tuyến tính. Chương 3. Phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới và bài toán biên Dirichlet nửa tuyến tính đối với toán tử Laplace Ở chương này, luận văn đề cập hai mảng: Nghiệm trên, nghiệm dưới và nghiệm trên yếu, nghiệm dưới yếu. Trong chương này chúng tôi giới thiệu khái niệm 3
"nghiệm trên nghiệm dưới" của bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace, chứng minh định lý cơ bản của phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới. Và đã đưa ra được một số ví dụ áp dụng của phương pháp nghiệm trên nghiệm trên nghiệm dưới vào các bài toán biên elliptic nửa tuyến tính. Mặc dù bản thân đã cố gắng và nghiêm túc trong học tập và nghiên cứu khoa học nhưng do thời gian có hạn, kiến thức bản thân còn hạn chế nên trong quá trình thực hiện luận văn không tránh khỏi những sơ suất. Rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn. 4
Lời cảm ơn Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Hoàng Quốc Toàn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình tôi thực hiện đề tài. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Sau đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội; các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2011-2013 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình đã luôn động viên tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Học viên Bùi Thị Oanh 5
Chương 1 Cơ sở toán học 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Khái niệm về không gian Sobolev Giả sử Ω là miền bị chặn trong Rn , với biên ∂Ω. Ký hiệu C0∞ (Ω) là không gian tuyến tính các hàm ϕ(x) khả vi vô hạn và có giá compact trong Ω. Rõ ràng: C0∞ (Ω) ⊂ Wk,p (Ω) Giả sử Ω ⊂ Rn là một miền mở liên thông, ta định nghĩa không gian Sobolev: W k,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) : Dα (u) ∈ Lp (Ω), ∀α :| α |≤ k} với chuẩn : X kukpWk,p = kDα ukpLp |α|≤k và kukpWk,+∞ = M ax kDα ukL+∞ |α|≤k Ta chú ý rằng phép đạo hàm của hàm suy rộng là liên tục theo nghĩa hội tụ yếu trong L1loc (Ω). Nhiều tính chất của không gian Lp (Ω) cũng đúng trong không gian W k,p (Ω). Nhận xét 1.1. • Với p = 2 : H k (Ω) = W k,2 (Ω), k = 1, 2, ... là không gian Hilbert. 6
• H 0 (Ω) ≡ L2 (Ω). Định lý 1.1. Với k ∈ N, 1 ≤ p ≤ +∞, W k,p (Ω) là một không gian Banach. Không gian W k,p (Ω) là không gian phản xạ nếu và chỉ nếu 1 < p < +∞. Hơn nữa W k,2 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng: XZ hu, viWk,2 = Dα uDα vdx |α|≤k Ω Với 1 ≤ p ≤ +∞, W k,p (Ω) là không gian tách được. Định lý 1.2. Định lý nhúng Sobolev Giả sử Ω ⊂ Rn là miền bị chặn với biên Lipchitz, k ∈ N, 1 ≤ p ≤ +∞. Khi đó: np i) Nếu k, p < n, 1 ≤ q ≤ thì ta có phép nhúng: W k,p (Ω) ,→ Lq (Ω) là liên n − kp n.p tục và phép nhúng là compact nếu q < . n − k.p k n ii) Nếu 0 ≤ m < k − < m + 1, 0 ≤ α ≤ k − m − thì phép nhúng liên tục p p k,p m,α n W (Ω) ,→ C (Ω) và phép nhúng là compact nếu α < k − m − p Tính compact của phép nhúng W k,p (Ω) ,→ Lq (Ω) là hệ quả của định lý Rellich KondraKov. Nhận xét 1.2. Định lý nhúng Sobolev vẫn đúng với các không gian W k,p (Ω) trên mọi miền Ω bị chặn. 1.1.2 Không gian H01 (Ω) và H −1 (Ω) Giả sử Ω là miền bị chặn trong RN với biên ∂Ω. Ký hiệu C0∞ (Ω) là không gian tuyến tính các hàm ϕ(x) khả vi vô hạn và có giá compact trong Ω. Trong C0∞ (Ω) ta đưa vào tích vô hướng và chuẩn như sau: Dϕ1 .Dϕ2 dx, với ϕ1 (x), ϕ2 (x) ∈ C0∞ (Ω) R (ϕ1 , ϕ2 ) = (1.1) Ω 7
|Dϕ|2 dx, ϕ(x) ∈ C0∞ (Ω) R kϕkH01 (Ω) = (1.2) Ω trong đó Dϕ là véc tơ đạo hàm (hay là vectơ gradient) của hàm ϕ(x), x ∈ Ω. ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ Dϕ = ( , , ..., ) ∂x1 ∂x2 ∂xn n X ∂ϕ1 ∂ϕ2 Dϕ1 .Dϕ2 = . ∂xi ∂xi i=1 n
∂ϕ
2
2 X |Dϕ| =
∂xi
i=1 Khi đó C0∞ (Ω) trở thành không gian tiền Hilbert. Ta ký hiệu H01 (Ω) là bổ sung đủ của C0∞ (Ω) theo chuẩn (1.2). Khi đó H01 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng (1.1) và chuẩn (1.2). Hơn nữa H01 (Ω) ⊂ L2 (Ω). Theo đinh lý nhúng Sobolev thì phép nhúng H01 (Ω) vào L2 (Ω) là compact nghĩa là nếu M ⊂ H01 (Ω) là một tập bị chặn thì M là tập compact tương đối trong L2 (Ω). Ký hiệu H −1 (Ω) là đối ngẫu của H01 (Ω), có nghĩa là H −1 (Ω) là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trong H01 (Ω). f : H01 (Ω) → R u 7→ hf, ui h., .i ký hiệu là phép toán f tác động vào hàm u ∈ H01 (Ω). |hf, ui| kf k−1 = sup u∈H01 (Ω) kukH01 (Ω) Định lý 1.3. Bất đẳng thức Poicaré Giả sử Ω là miền bị chặn trong RN , d là đường kính của Ω, u ∈ H01 (Ω). Khi đó Z Z 2 |u| dx ≤ d 2 |Du|2 dx Ω Ω Từ đó ta có định lý sau: 8
Định lý 1.4. Giả sử Ω ⊂ RN là miền bị chặn thuộc lớp C 1 , tồn tại một hằng số c = c(Ω) sao cho với mọi u ∈ H01 (Ω) ta có: Z Z Z 2 2 |u| dx ≤ c ( 2 |Du| dx + |u|2 dσ) Ω Ω ∂Ω 1.2 Toán tử vi phân đạo hàm riêng elliptic tuyến tính cấp hai Trong miền Ω ⊂ Rn ta xét toán tử vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai có dạng : n n X ∂ 2u X ∂u (A) : Lu := − aij (x) + bi (x) + c(x).u ∂xi ∂xj ∂xj i,j=1 i=1 hoặc dạng tự liên hợp (Divergence) n X ∂ ∂u (B) : Lu := − (aij (x) ) + c(x).u ∂xi ∂xj i,j=1 với các hệ số bi chặn aij (x) = aji (x), bi (x), c(x). Toán tử vi phân đạo hàm riêng L được gọi là elliptic tại điểm x ∈ Ω nếu: n X L0 (ξ) = aij (x)ξi ξj 6= 0, ∀ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) 6= 0, ξ ∈ Rn i,j=1 Nếu L là elliptic tại mọi điểm x ∈ Ω thì L được gọi là toán tử elliptic trong Ω. Khi đó L0 (ξ) giữ nguyên dấu + hoặc − tại x ∈ Ω với mọi ξ 6= 0, ξ ∈ Rn . Như vậy không giảm tổng quát ta có thể giả thiết L0 (ξ) > 0, ∀ξ ∈ Rn , ∀x ∈ Ω Do đó sẽ tồn tại λ > 0 sao cho: n X aij (x)ξi ξj ≥ λ |ξ|2 , ∀ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) ∈ Rn , ∀x ∈ Ω. i,j=1 9
1.3 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace 1.3.1 Phương trình Laplace Giả sử Ω là tập mở trong Rn , ϕ(x) ∈ C 2 (Ω). Ta ký hiệu: n X ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∆ϕ(x) = = + 2 + ... + 2 ∂x2i ∂x21 ∂x2 ∂xn i=1 Toán tử vi phân: n X ∂2 ∆= ∂x2i i=1 được gọi là toán tử Laplace hay thường gọi là Laplacian. ∆ϕ: là biểu thức Laplacian của hàm ϕ(x). Phương trình ∆ϕ = 0, x ∈ Ω được gọi là phương trình Laplace và phương trình vi phân không thuần nhất: ∆ϕ = f (x), x ∈ Ω được gọi là phương trình poisson. Hàm u(x) ∈ C 2 (Ω) được gọi là hàm điều hòa trong Ω nếu: ∆u(x) = 0 với mọi x∈Ω Hàm u(x) ∈ C 2 (Ω) được gọi là hàm điều hòa dưới trong Ω nếu ∆u(x) ≥ 0( hay −∆u ≤ 0), x ∈ Ω và được gọi là hàm điều hòa trên trong Ω nếu ∆u(x) ≤ 0( hay −∆u ≥ 0), x ∈ Ω Nếu Ω0 là miền bị chặn trong Rn với biên trơn ∂Ω0 , → − ν là vectơ pháp tuyến đơn vị ngoài của Ω0 , khi đó với mọi trường vectơ w = (w1 , w2 , ...wn ) ∈ C 1 (Ω0 ), ta có công thức Oxtrogradski: Z Z divwdx = w.vds Ω0 Ω Thay w = Du, u ∈ C 2 (Ω0 ) ta có công thức Green đối với toán tử Laplace: Z Z ∂u ∆udx = ds ∂ν Ω0 ∂Ω 10
1.3.2 Nguyên lý cực đại cực tiểu Giả sử Ω là một miền trong Rn ( nói cách khác Ω là một tập mở và liên thông trong Rn ). Khi đó nguyên lý cực đại đối với hàm điều hòa dưới và nguyên lý cực tiểu đối với hàm điều hòa trên như sau: Định lý 1.5. Giả sử Ω là miền bị chặn và u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) sao cho: i) ∆u ≥ 0 trong Ω. Khi đó: sup u = sup u, x ∈ Ω Ω ∂Ω ii) ∆u ≤ 0 trong Ω. Khi đó: inf u = inf u Ω ∂Ω iii)u là hàm điều hòa trong Ω. Khi đó: inf u ≤ u(x) ≤ sup u, x ∈ Ω ∂Ω ∂Ω Hệ quả 1.1. Nếu u, v ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) sao cho: ( ∆u = ∆v trong Ω u = v trên ∂Ω Khi đó u(x) = v(x) với mọi x ∈ Ω. 1.3.3 Bất đẳng thức Harnack Giả sử Ω là miền trong Rn .u(x) là hàm điều hòa không âm trong Ω. Khi đó với mọi miền con bị chặn Ω0 ⊂⊂ Ω tồn tại hằng số c = c(u, Ω0 , Ω) > 0 sao cho sup u ≤ c. inf0 u Ω Ω 1.3.4 Toán tử −∆ của bài toán Dirichlet Ta kí hiệu: −∆ là toán tử: −∆ : H01 (Ω) → H −1 (Ω) (1.3) xác định theo công thức: (−∆u; v) = (Du; Dv), ∀u, v ∈ H01 (Ω) (1.4) 11