Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán biên dạng tuần hoàn với toán tử thuần nhất dương cho phương trình hàm

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:61

Thêm vào BST

Báo xấu

60
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán biên dạng tuần hoàn với toán tử thuần nhất dương cho phương trình hàm là nhằm tiếp tục mở rộng các kết quả của các tác giả I.Kiguradze, A.Lomatidtaze, B.Puza, Robert Hakl trong các công trình.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán biên dạng tuần hoàn với toán tử thuần nhất dương cho phương trình hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ____________ Huỳnh Thị Bình BÀI TOÁN BIÊN DẠNG TUẦN HOÀN VỚI TOÁN TỬ THUẦN NHẤT DƯƠNG CHO PHƯƠNG TRÌNH HÀM Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh - 2008
LỜI CẢM ƠN Trước hết, cho tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy NGUYỄN ANH TUẤN, Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh đã dành thời gian và công sức tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin gởi lời cảm ơn đến các quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc và đóng góp ý kiến giúp cho bài luận văn của tôi được hoàn chỉnh hơn. Cho tôi gởi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Sư Phạm TP.Hồ Chí Minh, Phòng KHCN Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán và quý thầy cô đã tham gia giảng dạy tôi trong suốt khóa học qua. Cuối cùng tôi xin cảm ơn sự giúp đỡ tận tình cũng như những lời động viên của Ban giám hiệu và đồng nghiệp Trường THPT Lộc Thanh đã dành cho tôi trong suốt thời gian tôi tham gia khóa học này. Trong quá trình viết luận văn này, khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc. Tôi xin chân thành cảm ơn.
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lyù thuyeát baøi toaùn bieân cho phöông trình vi phaân thöôøng ra ñôøi töø theá kyû 18 nhö moät coâng cuï ñeå giaûi quyeát caùc baøi toaùn vaät lyù, cô hoïc. Tuy nhieân cho ñeán nay noù vaãn coøn phaùt trieån maïnh nhôø caùc öùng duïng roäng raõi vaø to lôùn trong caùc lónh vöïc cuûa cuoäc soáng nhö vaät lyù, cô hoïc, kyõ thuaät, noâng nghieäp, kinh teá vaø sinh hoïc… Chính vì thế việc tiếp tục nghiên cứu và mở rộng các phạm vi ứng dụng của nó là cần thiết và cấp bách. Bài toán biên cho phương trình vi phân thường với điều kiện biên dạng tuần hoàn đã được nghiên cứu từ lâu và đến nay vẫn tiếp tục được nghiên cứu. Tuy nhiên việc nghiên cứu bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình hàm và từ đó áp dụng cho phương trình vi phân đối số chậm thực sự được phát triển mạnh trong nhưng năm gần đây. 2. Mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, chúng tôi tiếp tục mở rộng các kết quả của các tác giả I.Kiguradze, A.Lomatidtaze, B.Puza, Robert Hakl trong các công trình [1],[2],[3],… 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu điều kiện đủ cho tính giải được của bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm với vế phải là toán tử thuần nhất dương. 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Luận văn là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên sau đại học có quan tâm nghiên cứu về tính giải được của bài toán biên dạng tuần hoàn
cho phương trình vi phân hàm với vế phải là toán tử thuần nhất dương. 5. Cấu trúc luận văn Nội dung của luận văn gồm hai chương: Trong chương I, chúng tôi nghiên cứu điều kiện đủ cho tính giải được của bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm với vế phải là toán tử thuần nhất dương, nghĩa là bài toán : u(t )  H (u, u)(t )  Q(u)(t ) (0.1) u(a)  u(b)  h(u) (0.2) trong đó H : C  a, b  ; R   C  a, b  ; R   L  a, b  ; R  là toán tử liên tục, thuần nhất dương không giảm đối với biến thứ nhất và không tăng đối với biến thứ hai. Q :C  a , b  ; R   L  a , b  ; R  , h : C  a , b  ; R   R là toán tử liên tục thoả điều kiệnCarathéodory,    0,1  . Chương II, gồm hai phần. Trong phần 1 ta xét các tính chất của các tập Vab   ,   , Vab   ,   , Wab   ,   , Wab   ,   (xem định nghĩa 0.1 – 0.4 được giới thiệu trong phần sau), và thiết lập các điều kiện cần và đủ cho các bao hàm H  Vab   ,   , H  Vab   ,   , H  Wab   ,   và H  Wab   ,   . (0.3) Trong phần 2, ta cũng xét các bao hàm (0.3) trong trường hợp đặc biệt của toán tử H với H được định nghĩa: H  u, v  t   p  t  max u  s  :  1  t   s   2  t    g  t  max v  s  : 1  t   s  2  t  với hkn t   a, b  (0.4) trong đó p, g  L   a, b  ; R  ,  i , i  M ab (i  1,2) và  1 (t )   2 (t ), 1 (t )  2 (t ) với hầu khắp nơi t   a, b
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU  N : Tập hợp các số tự nhiên.  R : Tập hợp các số thực.  R   0,   , R   , 0 . 1 1   x   2  x  x  ,  x    x  x  . 2  C  a, b ; R  là không gian Banach của các ánh xạ liên tục u :  a, b   R trên  a; b  với chuẩn u C  max  u (t ) : t   a, b  .  C  a, b  ; D   u  C  a, b  ; R  : u (t )  D, t   a, b  trong đó D  R .  C  a, b  ; D  với D  R là tập hợp các ánh xạ liên tục tuyệt đối u :  a, b   D .  L  a, b ; R  là không gian Banach của những hàm p :  a, b   R khả b tích Lebesgue trên  a; b  với chuẩn p L   p  s  ds . a  L  a, b ; D    p  L  a, b; R  : p  t   D vôùi t   a,b hkn trong đó D  R .  M ab là tập hợp các hàm đo được  :  a, b    a, b .  H ab là tập hợp các toán tử liên tục H : C  a, b  ; R   C  a, b  ; R   L  a, b  ; R  thỏa các điều kiện sau: 1. Với mọi u, v, w  C  a, b ; R  , ta có: Nếu u  t   v  t  với t   a, b thì H  u, w  t   H  v, w  t  với hầu khắp nơi t   a, b . Nếu u  t   v  t  với t   a, b thì H  w, u  t   H  w, v  t  với hầu khắp nơi t   a, b .
2. Với mọi  u, v   C  a, b  ; R   C  a, b  ; R  và hằng số   0 , ta có H  u, v  t    H  u, v  t  với hầu khắp nơi t   a, b  .  K ab là tập hợp các toán tử liên tục F : C  a, b; R   L  a, b; R  thỏa mãn điều kiện Carathéodory, nghĩa là : Với mỗi r  0 , tồn tại qr  L  a, b  ; R  sao cho:   F  v  t   qr  t  với hkn t   a, b  , v  C  a, b  ; R , v C r.  K   a, b   A; B  ,trong đó A  R , B  R là tập hợp các ánh xạ f :  a, b   A  B thỏa mãn điều kiện Carathéodory, nghĩa là: . f  ., x  :  a, b   B là hàm đo được với mỗi x  A , . f  t,. : A  B là liên tục hầu khắp nơi với mọi t   a, b và với mỗi r  0 , tồn tại qr  L  a, b; R  sao cho: f  t, x   qr  t  với hkn t   a, b  , x  A , x  r .  F K ab là toán tử Volterra nếu với mọi c   a, b  , u, v  C  a, b; R  thỏa: u  t   v  t  với t   a, c  thì F  u  t   F  v  t  với hkn t   a, c  . Trong luận văn này, ta đưa ra các khái niệm sau:  Định nghĩa 0.1 Ta nói rằng toán tử H  H ab thuộc vào tập Vab   ,   nếu với mỗi hàm u  C  a, b , R  thỏa: u  t   H  u,0  t  với hầu khắp nơi t   a, b  và u  a    u  b   0 (0.5) Thì ta có: u  t   0 với t   a, b  .
 Định nghĩa 0.2 Ta nói rằng toán tử H  H ab thuộc vào tập Vab   ,   nếu với mỗi hàm u  C  a, b , R  thỏa: u  t   H  u,0  t  với hầu khắp nơi t   a, b  và u  a    u  b   0 (0.6) Thì ta có u  t   0 với t   a, b  .  Định nghĩa 0.3 Ta nói rằng toán tử H  H ab thuộc vào tập Wab   ,   nếu với mỗi    0,1 , y  C  a, b  ; R  và mỗi u, v  C  a, b  , R  thỏa: u  t    H  y, u  t   v  t    H  y, v  t  với hầu khắp nơi t   a, b  (0.7) và u  a   u  b   v  a    v  b  (0.8) Thì ta có u  t   v  t  với (0.9)  Định nghĩa 0.4 Ta nói rằng toán tử H  H ab thuộc vào tập Wab   ,   nếu với mỗi    0,1 , y  C  a, b  ; R  và mỗi hàm u, v  C  a, b  , R  thỏa (0.7), (0.8) thì ta có (0.9).
Chương 1: CÁC ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM Trong các kết quả sau, ta luôn giả thiết q  K  a, b   R , R  và thỏa mãn điều kiện: b 1 q  s, x ds  0 x  x  lim (1.1) a Xét bài toán : u(t )  H (u, u)(t )  Q(u)(t ) (0.1) u(a)  u(b)  h(u) (0.2) 1.1 . Các định lý Sau đây là các kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán (0.1), (0.2): Định lý 1.1.1 Cho H  Vab   ,    Wab   ,   và nếu tồn tại c  R sao cho với mọi v  C  a, b  , R  , ta có các bất đẳng thức:  q  t, v C   Q  v  t   0 với hkn t   a, b và c  h  v   0 Thì bài toán (0.1), (0.2) có ít nhất một nghiệm không dương. Định lý 1.1.2 Cho H  Vab   ,    Wab   ,   và nếu tồn tại c  R sao cho với mọi v  C  a, b , R  , ta có các bất đẳng thức: 0  Q  v  t   q  t, v C  với hầu khắp nơi t   a, b và 0  h  v   c Thì bài toán (0.1), (0.2) có ít nhất một nghiệm không âm. Định lý 1.1.3 Cho H  Vab   ,    Vab   ,   và H  Wab   ,   hoặc H  Wab   ,   . Hơn
nữa nếu tồn tại c  R sao cho với mọi v  C  a, b , R  , ta có các bất đẳng thức: Q  v  t   q  t, v C  với hầu khắp nơi t   a, b  và h  v   c Thì bài toán (0.1), (0.2) có ít nhất một nghiệm . Hơn nữa :  Nếu h  v   0 , Q  v  t   0 hầu khắp nơi trên  a, b  và với mọi  v  C  a, b  , R  (1.1.1) Thì bài toán (0.1), (0.2) có ít nhất một nghiệm không dương.  Nếu h  v   0 , Q  v  t   0 hầu khắp nơi trên  a, b  , và với mọi  v  C  a, b  , R  (1.1.2) Thì bài toán (0.1), (0.2) có ít nhất một nghiệm không âm. Để chứng minh các định lí trên, trước hết ta cần chứng minh các bổ đề bổ trợ sau: 1.2. Các bổ đề bổ trợ Trước hết ta nhắc lại một kết quả của I.Kiguradze và B.Puza trong [6]: Bổ đề 1.2.1 Cho F  K ab , c  R , nếu tồn tại một số   0 sao cho với mọi    0,1 và mọi hàm u  C  a, b  ; R  thỏa : u   t    F  u  t  với hkn t   a, b  , u  a   u  b    c (1.2.1) ta đều có u C  (1.2.2) Khi đó bài toán u   t   F  u  t  , u  a    u  b   c có ít nhất một nghiệm.
Áp dụng bổ đề trên, ta có kết quả sau: Bổ đề 1.2.2 Cho H  H ab và nếu với mọi   0,1 , bài toán u   t    H  0, u  t  , u  a   u  b   0 (1.2.3) chỉ có nghiệm tầm thường. Khi đó với mỗi    0,1 , y  C  a, b  ; R  , q0  L  a, b  ; R  và c  R , bài toán u   t    H  y, u  t   q0  t  , u  a    u  b   c có ít nhất một nghiệm. Chứng minh: Cho    0,1 , y  C  a, b ; R  , q0  L  a, b  ; R  và c  R cố định Đặt F  v  t    H  y, u  t   q0  t  với hkn t   a, b  Theo bổ đề 1.2.1, ta chỉ cần chứng minh rằng với mọi    0,1 và mọi hàm u  C  a, b  ; R  là nghiệm của bài toán (1.2.1) thì ta có đánh giá (1.2.2). Giả sử ngược lại với mỗi n  N , tồn tại  n   0,1 và hàm un  C  a, b  ; R  sao cho: un  t    n  H  y, un  t   q0  t   với t   a, b  hkn (1.2.4) thỏa điều kiện biên un  a    un  b    n c (1.2.5) và un C n (1.2.6) Khi đó, đặt un  t  vn  t   với t   a, b  , n  1, 2,... (1.2.7) un C
Ta có vn C 1 với n  1, 2,... (1.2.8) Từ (1.2.4) và (1.2.5) ta có 1 vn  t    n  H  y, un  t   q0  t   un C  Do H là toán tử thuần nhất dương nên   y  1  vn  t    n  H  , vn   t   q0  t   (1.2.9)   un  un C   C  với hkn t   a, b  , n  1, 2,... và  nc vn  a    vn  b   với n  1, 2,... (1.2.10) un C Lấy tích phân hai vế của (1.2.9) ta có: t  y  t vn  t   vn  s    H  , vn    d   q0   d với s, t   a, b  , n  1, 2,...  un  s  C  s Ta chứng minh:  y  H  un , vn   H  y C   , 1  H  y C ,1   C  Thật vậy, nếu  y   y  H , vn   H  , vn   un   un   C   C  Thì  y   y  H  un , vn   H    un , 1  H  y C , 1   C   C  H y C   , 1  H  y C ,1  Nếu
 y   y  H , vn    H  , vn   un   un   C   C  Thì  y  H  un  , vn   H  y C , vn  H  y C ,1      C  Suy ra  y  H   un  , vn    H  y C ,1  H  y C ,1 .      C  Mặt khác H y C  , 1  H y C  , 0  H  0, 0   0 Nên  y  H   un , vn   H  y C   , 1  H  y C ,1 .   C  Vậy  y  H  un , vn   H  y C  , 1  H  y C ,1   C  Do đó t vn  t   vn  s    w   d với s, t   a, b  , n  1, 2,... s trong đó w  H  y C , 1  H   y C ,1  q0 Dễ thấy   t  là khả tích Lebegue nên từ bất đẳng thức cuối, kết hợp với (1.2.8) ta có dãy hàm vn n 1 bị chặn đều trên  a, b  và đẳng liên tục.  Theo định lý Ascoli, và không mất tính tổng quát ta có thể giả sử tồn tại  0   0,1 và v0  C  a, b  ; R  sao cho : lim  n   0 (1.2.11) n 
và lim vn  v0 C 0 (1.2.12) n  Do H liên tục nên chuyển qua giới hạn và từ (1.2.6), ta có: t  y  t lim  n  H  , vn   d    0  H  0, v0  d (1.2.13) n   un  a  C  a n t lim n  un  q   d   0 0 (1.2.14) C a  nc lim 0 (1.2.15) n  un C Lấy tích phân của (1.2.9) từ a đến t ta có: t  y   t vn  t   vn  a    n  H  , vn    d   n  q0  d với t   a, b  , n  1, 2,...  un  un C a a  C  Cho n   cùng với (1.2.10), (1.2.12) - (1.2.15) ta có t v0  t   v0  a    0  H  0, v0   d  với t   a, b  (1.2.16) a v0  a    v0  b   0 Hơn nữa theo (1.2.8) và (1.2.12) ta có v0 C  1 (1.2.17) Vì vậy từ (1.2.16), v0  C  a, b ; R  và v0 là nghiệm không tầm thường của (1.2.3) với    0 , điều này mâu thuẫn với giả thiết bài toán (1.2.3) chỉ có nghiệm tầm thường. □ Bổ đề 1.2.3 Cho yn , y0 , un  C  a, b ; R   n  0,1, 2,... sao cho: lim yn  y0 C 0 (1.2.18) n  và tập un n 1 là tâp compắc tương đối . 
Khi đó lim H ( yn , un )  H ( y0 , un ) L  0 . (1.2.19) n  Chứng minh: Giả sử (1.2.19) không thoả. Khi đó tồn tại  0  0 , dãy con y        yn n 1 và unk  un n 1 sao cho:   nk k 1 k 1 lim H ( ynk , unk )  H ( y0 , unk )   0 với k  1, 2,... (1.2.20) n  L Rõ ràng un k 1 cũng là tập compắc tương đối. Vì vậy tồn tại dãy con  k hội tụ um k 1  un k 1 .   k k Gọi u0  C  a, b  ; R  sao cho lim umk  u0 0 (1.2.21) n  C Theo (1.2.20) ta có lim H ( ymk , umk )  H ( y0 , umk )   0 với k  1, 2,... (1.2.22) n  L Mặt khác do (1.2.18),(1.2.21) và giả thiết H  H ab , ta có H ( ymk , umk )  H ( y0 , umk )  H ( ymk , umk )  H ( y0 , u0 )  H ( y0 , u0 )  H ( y0 , umk )  0 L L L khi k   . Điều này mâu thuẫn với (1.2.22). Do đó (1.2.19) được chứng minh. □ Bổ đề 1.2.4 Cho Tn : C  a.b  ; R   C  a.b  ; R  (n  0,1, 2,...) T0 là toán tử liên tục và compắc. Giả sử u0  C  a, b  ; R  là điểm bất động duy nhất của T0 và nếu tồn tại r  0 sao cho với mỗi n  N , ta có ít nhất một điểm bất động un trong tập:
v  C  a, b; R  : v  u 0 C  r . Khi đó lim un  u0 C 0 (1.2.23) n  nếu và chỉ nếu lim Tn (un )  T0 (un ) C  0 . n  Chứng minh: Chứng minh của bổ đề có thể tìm thấy trong [7]. Bổ đề 1.2.5 Cho H  Wab   ;   và giả sử tồn tại một số   0 sao cho với mọi    0,1 và với mọi u  C  a, b  ; R  thỏa: u  t     H  u, u  t   Q  u  t    vôùi hkn t   a, b  (1.2.24) u  a   u  b    h  u  ta có đánh giá (1.2.2). Hơn nữa , nếu Q  v  t   0 với t   a, b  hkn, và với mọi v  C  a, b  ; R  (1.2.25) h  v   0 với mọi v  C  a, b  ; R  (1.2.26) Thì bài toán (0.1), (0.2) có ít nhất một nghiệm không dương. Chứng minh: 1 nÕu 0  s     s Đặt  s   2  nÕu 
và với hàm y  C  a, b ; R  cố định bất kỳ, ta xét bài toán : u   t     y  H  y, u  t   Q  y  t   C (1.2.29)  u  a   u  b   h  y  Vì H  Wab   ;   nên ta có với mọi    0,1 , bài toán (1.2.3) chỉ có nghiệm tầm thường. Theo bổ đề 1.2.2 và (1.2.27) và do H  Wab   ;   nên bài toán (1.2.29) có duy nhất nghiệm. Hơn nữa do (1.2.25), (1.2.26) nên: u  t     y  H  y, u  t     y  H  0, u  t  C C , u  a   u  b   0 Do H  Wab   ;   nên u  t   0 với t   a, b  . (1.2.30) Gọi  là toán tử xác định như sau: với mỗi y  C  a, b ; R  ,   y  là nghiệm của bài toán (1.2.29). Theo (1.2.27) và (1.2.28), tồn tại q2   L  a, b ; R  , M 2   R sao cho: Q  v  t   q2   t  với t   a, b  hkn, v  C  a, b  ; R  (1.2.31) h  v   M 2  với v  C  a, b  ; R  (1.2.32) Lấy y  C  a, b ; R  , u    y  ta có (1.2.30) và t u  t   u  a      y  C  H  y, u    Q  y   d với t   a, b  . a t u t   u  a      y   C  H  y, u    Q  y   d a t 1   h  y    u  b   1   a   y  C  H  y, u    Q  y   d  t   y 1   a   C  H  y, u    Q  y   d
t 1   1   a   y  C  H  y, u    Q  y   d  h  y   u b   b   y 1   a   C  H  y, u    Q  y   d   b   y 1   t   C  H  y, u    Q  y   d t 1   1   a   y  C  H  y, u    Q  y   d   H  y, u    Q  y   d  h  y   u  b   1  u  b   u  a  b   1     y C t t 1   1   a   y  C  H  y, u    Q  y   d   H  y, u    Q  y   d  h  y   1  h  y  b   1     y C t t 1   1   a   y  C  H  y, u    Q  y   d   H  y, u    Q  y   d  h  y   1  h  y  b   1     y C t h  y  1  t  1   1   a   y  C  H  y, u    Q  y   d   b   y 1   t   C  H  y, u    Q  y   d với t   a, b  Từ (1.2.30) - (1.2.32) suy ra u C M (1.2.33) Trong đó M 1 1   M 2   2  H  1, 0  L  q2  L . Vậy ta có: t t u t   u  s    s y C  H  y, u   d   Q  y   d s t      d  với s, t   a, b  (1.2.34) s
Trong đó   MH  0, 1  2  H  1, 0   q2  . Vì vậy từ (1.2.33), (1.2.34) và theo bổ đề Arzela - Ascoli, tập   C  a, b  ; R  là tập con compắc tương đối trong C   a, b  ; R  . Lấy yn , yo  C  a, b ; R  sao cho: lim yn  y0 C  0. n  Với mỗi n  0,1, 2,... đặt un    yn  , ta định nghĩa: h  yn  1  t Tn  v  t   1   1   a   yn  C  H  y , v    Q  y   d n n  b    yn 1   t   C  H  y , v    Q  y   d n n với t   a, b  Theo bổ đề 1.2.3 ta có: lim H ( yn , un )  H ( y0 , un ) L  0 . n  Theo bổ đề 1.2.4 và do tính liên tục của  , Q, h nên ta có : lim un  u0 C  0. n  Do vậy  là toán tử liên tục biến tập C  a, b ; R  thành tập con compắc tương đối. Theo định lý điểm bất động Schauder, tồn tại u  C  a, b ; R  sao cho u    u  hay u  C  a, b ; R  và từ (1.2.29) ta có u  t    u  C   H  u, u  t   Q  u  t  với hkn t   a, b  u  a   u  b    u  C  h u  Theo (1.2.27) và giả thiết của bổ đề ta có u C  và u là nghiệm không dương của bài toán (0.1), (0.2). Bổ đề đã được chứng minh. □
Chứng minh một cách tương tự, ta có các bổ đề sau: Bổ đề 1.2.6 Cho H  Wab   ;   và giả sử tồn tại một số   0 sao cho với mọi    0,1 , và mọi hàm u  C  a, b  ; R  thỏa: u  t     H  u , u  t   Q  u  t   với hkn t   a, b  , u  a   u  b    h  u  ta có đánh giá (1.2.2). Hơn nữa , nếu Q  v  t   0 với hkn t   a, b  , với mọi v  C  a, b  ; R  , h  v   0 với mọi v  C  a, b  ; R  . Thì bài toán (0.1), (0.2) có ít nhất một nghiệm không âm. Bổ đề 1.2.7 Cho H  Vab   ;   , c  R và  Q  v  t   q t , v C  với hkn t   a, b , v  C  a, b; R   (1.2.35) h  v   c với v  C  a, b  ; R  (1.2.36) Khi đó tồn tại một số   0 sao cho với mọi    0,1 và mọi hàm u  C  a, b  ; R  thoả u  t     H  u, u  t   Q  u  t   u  a   u  b    h  u  với mọi    0,1 Thì đánh giá (1.2.2) xảy ra. Chứng minh: Giả sử ngược lại tồn tại  n   0,1 với n  1,2,... và un  C  a, b ; R  sao cho:
un  t    n  H  un , un  t   Q  un  t   với hkn t   a, b  (1.2.37) un  a    un  b    n h  un  (1.2.38) và un C n Khi đó, đặt un  t  vn  t   với t   a, b  , n  1,2,... un C Ta có vn C 1 với n  1,2,... Do H thuần nhất dương nên un  t   1  vn  t     n  H  vn , vn  t   Q  un  t   (1.2.39) un C  un C  với t   a, b  hkn, n  1,2,... n vn  a    vn  b   h  un  với n  1,2,... (1.2.40) un C Do vn  C  a, b ; R  và định nghĩa toán tử H ta có H  vn , vn   H  0, vn   H  0, 1 và H  1,0   H  0,0   0 nên  H  1,0   0 Vậy H  vn , vn   H  0, 1  H  1,0  Tích phân hai vế của (1.2.39) và theo (1.2.35) ta có: t t vn  t   vn  s    H  0, 1   H  1,0   d  1 un C s q  , un  C d s với s, t   a, b  , n  1,2,...