Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

32
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong luận văn này sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii như một cách tiếp cận để đưa ra các điều kiện đủ đảm bảo sự ổn định của hệ phương trình vi phân suy biến có trễ. Các điều kiện được đưa ra dưới dạng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs). Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ————————- Đoàn Ngọc Hiển BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018
BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ————————- Đoàn Ngọc Hiển BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH VŨ NGỌC PHÁT Hà Nội - 2018
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tòi, học hỏi của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát. Mọi kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích dẫn cụ thể. Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kỳ một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công bố trên bất kỳ một phương tiện nào. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên. Hà nội, ngày 12 tháng 09 năm 2018 Người cam đoan Đoàn Ngọc Hiển
Lời cảm ơn Luận văn thạc sĩ này được thực hiện tại Học Viện khoa học và công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát. Tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát người thầy đã tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành được luận văn thạc sĩ. Trong những ngày tháng học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn thạc sĩ dưới sự hướng dẫn của thầy, tôi nhận ra rằng niềm đam mê nghiên cứu khoa học trong thầy, cùng sự quan tâm, chỉ bảo tận tình của thầy đã thôi thúc tôi cần cố gắng nhiều hơn nữa để hoàn thiện bản thân. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy, các cô trong phòng Tối ưu và Điều khiển đã ân cần chỉ bảo, dạy dỗ tôi từ khi tôi học Cao học cho tới khi tôi hoàn thành luận văn. Tôi xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô đã giảng dạy tôi trong những năm học cao học. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Học Viện Khoa học và Công nghệ và Viện Toán học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn, đã quan tâm, trao đổi, góp ý cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn thạc sĩ. Đặc biệt, tôi thực sự thấy hạnh phúc và tự hào khi họ luôn bên tôi, chia sẻ và động viên, là động lực để tôi cố gắng và hoàn thành luận án đó là bố, mẹ và em trai.
MỤC LỤC Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Giới thiệu cơ sở toán học 3 1.1 Hệ phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Hệ phương trình vi phân có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ . . . . . . . . . . . 5 1.2 Các bổ đề hỗ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân suy biến có trễ. 9 2.1 Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ hằng. . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ hằng với tham số không chắc chắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ biến thiên . . . . . . . . . 21 2.3.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3. Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4. Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Kí hiệu toán học R, C Tập các số thực và phức tương ứng. Rn Không gian thực n-chiều với tích vô hướng xT y. Rn×r Không gian các ma trận thực cỡ n × r. A−1 Nghịch đảo của ma trận vuông A. AT Ma trận chuyển vị của ma trận A. diag(A1 , A2 , ..., Ar ) Ma trận chéo với các khối A1 , A2 , ..., Ar nằm trên đường chéo. Ir Ma trận đơn vị cỡ (r × r) λ(A) Tập các giá trị riêng của ma trận A λmax (A) = max {Re(λ), λ ∈ λ(A)} λmin (A) = max {Re(λ), λ ∈ λ(A)} . C ([0, h] , Rn ) Tập hợp các hàm liên tục trên [0, h] giá trị trong Rn . C 1 ([a, b] , Rn ) Tập các hàm khả vi liên tục trên [a, b] giá trị trong Rn . ∗ Phần tử đối xứng trong một ma trận. A > 0, A > 0 Ma trận nửa xác định dương, ma trận xác định dương. A>B A − B là ma trận nửa xác định không âm. A>B A − B là ma trận xác định dương. kxk Chuẩn Euclide của véc tơ x ∈ Rn được xác định bởi v u n uX kxk =t xi 2 . i=1 kxt k Chuẩn trong không gian C ([−h, 0] , Rn ) được cho bởi kxt k = sup−h≤t≤0 kx(t)k .
1 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết ổn định các hệ phương trình vi phân là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng, có nhiều ứng dụng trong thực tế kĩ thuật. Các công trình nghiên cứu về nó được bắt đầu từ những năm cuối thế kỉ XIX bởi nhà toán học người Nga A. M. Lyapunov khi ông nghiên cứu tính ổn định của một chuyển động. Do lý thuyết ổn định được nghiên cứu xuất phát từ những đòi hỏi thực tiễn và nhu cầu phát triển của một số ngành khoa học nên đã hơn một thế kỷ trôi qua nhưng lý thuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực toán học được quan tâm và có nhiều kết quả được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như cơ học, vật lý toán, khoa học kỹ thuật công nghệ, sinh thái học . . . Hầu hết các quá trình vật lý, sinh học, hóa học, kinh tế đều liên quan đến độ trễ thời gian. Không những thế, độ trễ thời gian còn là nguyên nhân trực tiếp dẫn đến tính không ổn định và hiệu suất kém của các hệ động lực. Do đó lớp hệ phương trình vi phân có trễ thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà toán học. Mặt khác, các bài toán xuất phát từ thực tế thường được mô tả bởi các hệ phương trình vi phân suy biến. Vì thế, giải quyết được bài toán về sự ổn định của hệ phương trình vi phân suy biến có trễ sẽ góp phần giải quyết được hàng loạt các bài toán thực tiễn có tính ứng dụng cao. Trong luận văn này chúng tôi sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii như một cách tiếp cận để đưa ra các điều kiện đủ đảm bảo sự ổn định của hệ phương trình vi phân suy biến có trễ. Các điều kiện được đưa ra dưới dạng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs). Ngoài ra chúng tôi còn trình bày vấn đề tính ổn định vững của hệ suy biến không chắc chắc với trễ hằng. Chúng tôi sử dụng phương pháp ổn định Lyapunov để giải quyết bài toán ổn định vững cho hệ suy biến không chắc chắn có trễ. Luận văn gồm hai chương. Chương 1 Giới thiệu cơ sở toán học trình bày một số khái niệm và kết quả cơ sở về hệ phương trình vi phân có trễ, hệ phương trình vi phân suy biến có trễ, giới
2 thiệu về bài toán ổn định của hệ phương trình vi phân, phương trình vi phân suy biến có trễ. Đồng thời trình bày các mệnh đề bổ trợ sẽ được dùng để chứng minh các tiêu chuẩn ổn định ở chương hai. Chương 2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân suy biến có trễ trình bày các định lý về ổn định của hệ phương trình vi phân suy biến có trễ hằng cũng như của hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên và các ví dụ minh họa cho các định lý.
3 Chương 1 Giới thiệu cơ sở toán học Trong chương này chúng tôi trình bày kiến thức cơ sở về hệ phương trình vi phân có trễ, hệ phương trình vi phân suy biến có trễ, bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ và bài toán ổn đinh hệ phương trình vi phân suy biến có trễ. Chúng tôi cũng trình bày một số bổ đề kỹ thuật cần thiết cho việc chứng minh các định lý trong chương tiếp theo. Nôi dung chương này trình bày từ các tài liệu [1],[2],[3]. 1.1 Hệ phương trình vi phân hàm 1.1.1 Hệ phương trình vi phân có trễ Như chúng ta đã biết, phương trình vi phân x(t) ˙ = f (t, x(t)) mô tả mối quan hệ giữa biến thời gian t, trạng thái x(t) của hệ thống và tốc độ thay đổi của trạng thái x(t) tại cùng một thời điểm t. Tuy nhiên, trong thực tế, các quá trình xảy ra trong tự nhiên thường có sự liên quan với quá khứ và ít nhiều mang tính di truyền. Vì vậy lớp hệ phương trình vi thường không miêu tả được hết các quá trình này. Do đó, để mô tả một cách chính xác các quá trình này, người ta thường miêu tả chúng bằng các phương trình vi phân hàm - phương trình vi phân có trễ. Giả sử h là một số thực không âm. Ký hiệu C = C([−h, 0], Rn ) là không gian Banach các hàm liên tục trên đoạn [−h, 0], nhận giá trị trong không gian Rn và chuẩn của một phần tử ϕ ∈ C được cho bởi kϕk = sup kϕ(θ)k. Với t0 ∈ R, σ ≥ 0 −h6θ60
4 và x ∈ ([t0 −h, t0 +σ] , Rn ), hàm xt ∈ C với t ∈ [t0 −h, t0 +σ] được xác định bởi xt (s) := x(t + s), s ∈ [−h, 0]. Như vậy, xt là một quỹ đạo trên đoạn [t − h, t] của hàm x(.) với chuẩn trong C được xác định bởi kxt k = sup kx(t + s))k . Cho −h6θ60 n n D ∈ R × C là một tập mở và hàm f : D → R . Một phương trình vi phân có trễ trên D là phương trình dạng  x(t) ˙ = f (t, xt ), t > 0,  (1.1) x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0] .  Cho trước t0 ∈ R, φ ∈ C, ta nói x(t0 , φ, f ) là một nghiệm của phương trình (1.1) nếu nó thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = φ(t0 ), t0 ∈ [−h, 0] và phương trình (1.1). Giả sử f (t, 0) = 0, với mọi t ∈ R+ nghĩa là ta luôn giả thiết hệ có nghiệm cân bằng x = 0. Khi đó ta có các định nghĩa về tính ổn định của nghiệm như sau. Định nghĩa 1.1.1. Giả sử f (t, 0) = 0 với mọi t ∈ R, (i) Nghiệm x(t) = 0 của phương trình (1.1) được gọi là ổn định nếu với bất kì t0 ∈ R, > 0, tồn tại δ = δ(t0 , ) sao cho nếu kφkc ≤ δ thì kx(t, t0 , φ)kc ≤ với t ≥ t0 . (ii) Nghiệm x(t) = 0 của phương trình (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại b0 = b0 (t0 ) > 0 sao cho nếu kφkc 6 b0 thì limt→∞ x(t, t0 , φ) = 0. (iii) Giả sử f (t, 0) = 0, t ∈ R và α > 0 cho trước. Khi đó, nghiệm x(t) = 0 của phương trình (1.1) được gọi là α - ổn định mũ nếu tồn tại hằng số M > 0 sao cho mọi nghiệm x(t, t0 , φ) của hệ (1.1) thỏa mãn kx(t, t0 , φ)k 6 M e−α(t−t0 ) kφkc , ∀t ≥ t0 , số M được gọi là hệ số ổn định Lyapunov, α được gọi là số mũ ổn định. α, M cũng được gọi chung là các chỉ số ổn định Lyapunov. Định lý 1.1.1. (Định lý tồn tại duy nhất nghiệm địa phương) Giả sử Ω là một tập mở của R × C, f (t, .) : Ω → Rn liên tục theo t và f (t, φ) là
5 Lipschitz theo φ trong mỗi tập con compact của Ω. Nếu (t0 , φ) ∈ Ω thì tồn tại duy nhất nghiệm đi qua điểm (t0 , φ) của phương trình (1.1). Định lý 1.1.2. (Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục). Cho f : [0, +∞) × P C([−h, 0], Rn ) → Rn , thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Với bất kỳ H > 0, tồn tại M (H) > 0 sao cho kf (t, φ)k 6 M (H), (t, φ) ∈ [0, ∞) × P C([−h, 0], Rn ), kφkC 6 H; (ii) Hàm f (t, φ) là hàm liên tục theo cả hai biến; (iii) Hàm f (t, φ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là tồn tại hằng số Lipschitz L(H) > 0 sao cho kf (t, φ1 ) − f (t, φ2 )k 6 L(H) kφ1 − φ2 kC , với mọi t > 0,φi ∈ P C([−h, 0], Rn ), kφi kC 6 H, i = 1, 2. (iv) kf (t, φ)k 6 η(kφkC ), t > 0, φi ∈ P C([−h, 0], Rn ) trong đó η(r), r ∈ [0, +∞) là hàm liên tục, không giảm và sao cho với r0 > 0 bất kỳ điều kiện sau thỏa mãn ZR dr lim = +∞. R→∞ η(r) r0 Khi đó, với t0 > 0 và φ ∈ P C([−h, 0], Rn ) cho trước, hệ (1.1) có duy nhất nghiệm x(t0 , φ, f ) xác định trên [t0 −h, +∞) với điều kiện ban đầu xt0 = φ. 1.1.2 Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến có trễ sau:  E x(t) ˙ = Ax(t) + Ad x(t − h(t)), t ≥ 0,  (1.2) x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], 
6 trong đó E ∈ Rn×m là ma trận suy biến, rankE = r < n, A và Ad là các ma trận hệ số với số chiều thích hợp. Khi đó ta có các định nghĩa về sự ổn định của hệ (1.2) như sau. Định nghĩa 1.1.2. Hệ suy biến (1.2) được gọi là chính quy (regular) nếu ∃s ∈ C sao cho đa thức đặc trưng det(sE − A) là không bằng không. Định nghĩa 1.1.3. Hệ suy biến (1.2) được gọi là impulse-free nếu ∃s ∈ C : deg(det(sE − A)) = rank(E). Định nghĩa 1.1.4. Hệ suy biến (1.2) được gọi là ổn định tiệm cận nếu với bất kỳ ε > 0, tồn tại một số δ(ε) > 0 sao cho với bất kỳ hàm điều kiện ban đầu thỏa mãn kφk 6 δ(ε), nghiệm x(t) của (1.2) thỏa mãn kx(t)k 6 ε với t ≤ 0 và lim x(t) = 0. t→∞ Định nghĩa 1.1.5. Hệ (1.2) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại số α > 0 và γ > 0 sao cho với bất kỳ nghiệm x(t, φ) của hệ suy biến có trễ thỏa mãn điều kiện sau kx(t, φ)k 6 γ kφk e−αt , ∀t ≥ 0. Mệnh đề 1.1.1. [3, 4] Nếu hệ phương trình (1.2) là chính quy và impulse−free thì tồn tại duy nhất một nghiệm liên tục trên [0, +∞]. Mệnh đề 1.1.2. [3, 4] Hệ suy biến E x(t) ˙ = Ax(t), t ≥ 0, là chính quy, impulse-free và ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu tồn tại ma trận P sao cho E P T = P E T > 0, và A P T +P AT < 0.
7 1.2 Các mệnh đề bổ trợ Chúng tôi trình bày các mệnh đề và bổ đề kỹ thuật ([3, 4, 5]) sẽ được sử dụng để chứng minh các đinh lý trong chương tiếp theo. Bổ đề 1.2.1. Với bất kỳ hai ma trận M, N ∈ Rn×n , M = M T > 0, x, y ∈ Rn . Khi đó 2xT N y ≤ xT M x + y T N T M −1 N y. Bổ đề 1.2.2. Với bất kì ma trận đối xứng xác định dương M , số γ > 0 và hàm vectơ ω : [0, γ] → Rn khả tích, khi đó bất đẳng thức sau thỏa mãn  γ T Zγ  γ  Z Z  ω(s)ds M ω(s)ds 6 γ  ω T (s)M ω(s)ds . 0 0 0 Bổ đề 1.2.3. (Schur complement lemma). Cho các ma trận đối xứng hằng X, Y, Z với số chiều tương thích thỏa mãn X = X T , Y = Y T > 0. Khi đó   T X Z   < 0, Z −Y khi và chỉ khi X < 0 và X + Z T Y −1 Z < 0. Bổ đề 1.2.4. Cho hai ma trận A ∈ Rm×n và B ∈ Rn×m , nếu AB + AT B T < 0. Khi đó, A, B lần lượt là các ma trận full-row rank và full-column rank. r Cho r thỏa mãn 1 6 r 6 n. Chúng ta định nghĩa Mblock (Rn×n ) là tập hợp các ma trận r − block     r n×n  n×n A11 A12 r×r (n−r)×(n−r)  Mblock (R ) = A ∈ R |A =   , A11 ∈ R , A22 ∈ R .  A21 A22  r Bổ đề 1.2.5. Cho các ma trận A, B, C ∈ Mblock (Rn×n ), A = AT , C = C T và   A B   < 0. T B C
8 Khi đó,   A22 B22   < 0. T B22 C22 Bổ đề 1.2.6. Giả sử hàm ρ(t) thỏa mãn 0 6 ρ(t) 6 γ ρ¯τ (t) + δ, t ≥ 0, trong đó τ > 0, δ > 0, γ ∈ (0, 1), ρ¯τ (t) = sup ρ(t + s). Khi đó −τ 6s60 δ ρ(t) 6 γ ρ¯τ (0) + , ∀t ≥ 0. 1−γ Bổ đề 1.2.7. Giả sử các số thực dương thỏa mãn τ, λ, δ1 , δ2 , δ1 eλτ < 1 và f (t) là hàm liên tục thỏa mãn 0 6 f (t) 6 δ1 f¯τ + δ2 e−λt , t ≥ 0, trong đó f¯τ (t) = sup f (t + s). Khi đó −τ 6s60 δ 2 f (t) 6 δ1 eλt f¯τ + e−λt , ∀t ≥ 0. 1 − δ1 eλt Bổ đề 1.2.8. Cho hàm ϕ : R+ → R. Nếu ϕ˙ bị chặn trên đoạn [0, +∞) nghĩa là, tồn tại một số α > 0 sao cho kϕ(t)k ˙ 6 α, ∀t ∈ [0, +∞). Khi đó ϕ là hàm liên tục đều trên đoạn [0, +∞). Bổ đề 1.2.9. (Babarlat’s lemma [4]) + R∞ Cho hàm ϕ : R → R. Nếu ϕ là hàm liên tục đều và ϕ(s)ds < ∞. Khi đó, 0 lim ϕ(t) = 0 t→∞
9 Chương 2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân suy biến có trễ. Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định của hệ suy biến có trễ và đồng thời đưa ra một tiêu chuẩn để hệ là ổn định, nội dung chủ yếu trình bày từ tài liệu [4],[5]. 2.1 Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ hằng. Xét hệ phương trình vi phân có trễ hằng sau E x(t) ˙ =Ax(t) + Ad x(t − τ ), t ≥ 0, (2.1) x(t) =φ(t), t ∈ [−τ, 0], trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, E ∈ Rn×n là ma trận suy biến, Rank(E) = r < n, A, Ad là các ma trận hằng số thực với số chiều thích hợp, φ(t) là hàm liên tục trên [−τ, 0]. Định nghĩa 2.1.1. (i) Bộ (E,A) được gọi là chính qui nếu ∃s ∈ C, det(sE − A) không bằng không. (ii) Bộ (E,A) được gọi là impulse-free nếu ∃s ∈ C : deg(det(sE − A)) = rank(E).
10 Định nghĩa 2.1.2. (i) Hệ (2.1) được gọi là chính qui và impulse−free nếu bộ (E, A) là chính qui và impulse−free. (ii) Hệ (2.1) được gọi là ổn định nếu ∀ε > 0 thì tồn tại δ(ε) sao cho với bất kỳ điều ban đầu φ(t) thỏa mãn Sup kφ(t)k 6 δ(ε) thì nghiệm của hệ (2.1) sẽ −τ 6t60 thỏa mãn kx(t)k 6 ε, t > 0. Hơn nữa lim x(t) = 0. t→∞ Bổ đề 2.1.1. ([4]) Giả sử bộ (E, A) là chính qui và impulse−free, khi đó hệ (2.1) có nghiệm duy nhất trên đoạn [0, +∞). Định lý 2.1.1. ([4]) Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ hằng (2.1) là chính qui, impulse–free và ổn định mũ nếu tồn tại ma trận Q > 0 và ma trận P thỏa mãn EP T = P E T ≥ 0, (2.2) AP T + P AT + Ad P T Q−1 P ATd + Q < 0. (2.3) Chứng minh. Chứng minh Định lý (2.1.1) Giả sử (2.2) và (2.3) đúng với mọi ma trận Q > 0. Khi đó từ (2.3) ta dễ dàng thấy rằng AP T + P AT < 0. (2.4) Sử dụng mệnh đề (1.1.2), từ (2.2) và (2.4) suy ra bộ (E, A) là chính qui và impulse−free. Bước tiếp theo chúng ta chứng minh tính ổn định của hệ phương trình vi phân suy biến có trễ hằng (2.1). Theo chứng minh trên ta có bộ (E, A) là chính qui và impulse−free do đó tồn tại hai ma trận khả nghịch G và H ∈ Rn×n sao cho     Ir 0 A1 0 E¯ := GEH =  , A¯ := GAH =  . (2.5) 0 0 0 In−r Trong đó Ir ∈ Rr×r và In−r ∈ R(n−r)×(n−r) là các ma trận đơn vị, A1 ∈ Rr×r . Dựa vào (2.5) ta đặt   Ad11 Ad12 A¯d := GAd H =  , Ad21 Ad22
11   P¯11 ¯ P12 P¯ := GP H −T =  , P¯21 P¯22   ¯ Q ¯ Q12 Q¯ := GQGT =  11  (2.6) ¯T Q Q¯ 22 12 Khi đó, từ (2.2) và (2.3) ta có E¯ P¯ T = P¯ E¯ T ≥ 0, (2.7) A¯P¯ T + P¯ A¯T + A¯d P¯ T Q ¯ −1 P¯ A¯Td + Q ¯ < 0. (2.8) Áp dụng bổ đề (1.2.3) (Schur complement lemma), từ (2.8) suy ra rằng   ¯ ¯ T ¯ AP + P A + Q ¯ T ¯ ¯ Ad P¯ T   0 và P¯21 = 0, do đó P¯ có thể biểu diễn lại như sau   ¯ ¯ P11 P12 P¯ =  . (2.10) 0 P¯22 Thay thế (2.5), (2.6) và (2.10) vào (2.9) ta được   P¯11 AT1 + A1 P¯11 + Q¯ 11 P¯12 + Q ¯ 12 Ad11 P¯11 + Ad12 P¯12 T Ad12 P¯22 T    P¯ T + Q¯ T P¯22 + ¯ P T + Q ¯ 22 A P¯ d21 11 + A ¯ P T d22 12 A P¯ T d22 22  12 12 22  < 0,   P¯11 AT + P¯12 AT ¯11 AT + P¯12 AT ¯ 11 ¯ 12    d11 d12 P d21 d22 − Q − Q  P¯22 Ad12 T P¯22 Ad22 T −Q¯ T 12 −Q ¯ 22 (2.11) Do đó   ¯ ¯ T ¯ ¯ T P + P22 + Q22 Ad22 P22  22  0 và bất đẳng thức (2.12) đúng, chúng ta suy ra rằng P¯22 là khả nghịch. Do Q Do đó từ bất đẳng thức (2.12) ta suy ra   ˜ − Q22 T ¯ −1 Ad22 P22   < 0, ¯ −T ¯ −1 ¯ −T P22 Ad22 P22 + P22 + Q22 ˜
12 trong đó ˜ 22 = P¯ −1 Q Q ¯ 22 P¯ −T . (2.13) 22 22 Sử dụng [5, Th.1], từ (2.13) suy ra rằng ˜ 22 Ad22 − Q ATd22 Q ˜ 22 < 0. (2.14) Do đó ρ(Ad22 ) < 1. (2.15) Bây giờ, ta đặt   ζ1 (t) ζ(t) =   = H −1 x(t), ζ2 (t) trong đó ζ1 (t) ∈ Rr , ζ2 (t) ∈ Rn−r . Sử dụng cách đặt của (2.5) và (2.6) thì hệ suy biến có trễ hằng (2.1) có thể được biểu diễn lại dưới dạng sau (ΣD ) : ζ˙ 1 (t) = A1 ζ1 (t) + Ad11 ζ1 (t − τ ) + Ad12 ζ2 (t − τ ), (2.16) 0 = ζ2 (t) + Ad21 ζ1 (t − τ ) + Ad22 ζ2 (t − τ ). (2.17) Dễ dàng thấy rằng tính ổn định của hệ (2.1) là tương đương với tính ổn định của hệ (ΣD ). Do đó thay vì chứng minh tính ổn định của hệ (2.1) ta sẽ chứng minh tính ổn định của hệ (ΣD ). Từ P¯11 = P¯ T > 0 và 11 P¯11 AT1 + A1 P¯11 + Q ¯ 11 < 0, ta suy ra P¯11 > 0. Định nghĩa Zt T −1 T −1 ¯ ¯ −T V (ζt ) = ζ1 (t) P¯ 11 ζ1 (t) + ζ(s) P¯ Q P ζ(s)ds, t−τ trong đó, ζt = ζ(t + β), β ∈ [ − τ, 0]. Nhắc lại, cho ba trận K1 , K2 , K3 với số chiều thích hợp và K2 > 0 ta có T T T T −1 K1 K3 +K 3 K1 6 K1 K 2 K1 + K3 K2 K3 .
13 Đạo hàm theo biến thời gian t của V (ζt ) sau đó thế (2.16) và (2.17) vào công thức đạo hàm. Ta có T ¯ −1 ¯ T −1 ¯ ¯ −T V (ζt ) = dt ζ(t) P Eζ(t) + ζ(t) P¯ Q ˙ d P ζ(t) T −1 ¯ ¯ −T − ζ(t − τ ) P¯ Q P ζ(t − τ ) −1 T −1 ˙ T E¯ T P¯ ζ(t) + ζ(t)T P¯ −1 Q ˙ + ζ(t) = ζ(t) P¯ E¯ ζ(t) ¯ P¯ −T ζ(t) T −1 ¯ ¯ −T − ζ(t − τ ) P¯ Q P ζ(t − τ ) T −1 ¯ T −1 ¯ ¯ −T T −1 = 2 ζ(t) P¯ Aζ(t) + ζ(t) P¯ Q P ζ(t) + 2 ζ(t) P¯ A¯d ζ(t − τ ) T −1 ¯ ¯ −T − ζ(t − τ ) P¯ Q P ζ(t − τ ) T ¯ −1 T T T ¯ −1 ¯ ¯ T −T 6 ζ(t) P A P +P A + Ad P Q P Ad +Q × P¯ ζ(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Kết hợp bất đẳng thức trên với bất đẳng thức (2.8) ta suy ra rằng V˙ (ζt ) < 0 và 2 T −1 λ kζ1 (t)k −V (ζ0 ) 6 ζ1 (t) P¯ 11 ζ1 (t) − V (ζ0 ) Zt T −1 T −1 ¯ ¯ −T 6 ζ1 (t) P¯ 11 ζ1 (t) + ζ(s) P¯ Q P ζ(s)ds − V (ζ0 ) t−τ Zt Zt Zt 2 2 = V˙ (ζs )ds 6 − λ2 kζ(s)k ds 6 − λ2 kζ1 (s)k ds < 0 (2.18) 0 0 0 trong đó −1 λ1 = λmin (P¯ 11 )> 0, ¯ ¯ ¯ T ¯ ¯ T ¯ ¯ T ¯ −1 ¯ ¯ T ¯ = λ2 λmax [ P −1 A P +P A + A d P Q P A d + Q × P¯ −T ] > 0. Từ bất đẳng thức (2.18) ta suy ra rằng Zt 2 2 λ kζ1 (t)k + λ2 kζ1 (t)k ds 6 V (ζ0 ). 0 Do đó 2 kζ1 (t)k < m1 , (2.19) và Zt 2 kζ1 (t)k ds 6 m2 , (2.20) o
14 trong đó 1 1 m1 = V (ζ0 ) > 0, m2 = V (ζ0 ) > 0 λ1 λ2 Do đó kζ1 (t)k bị chặn. Kết hợp điều này với (2.15) ta có thể suy ra từ (2.17) là ˙ kζ2 (t)k cũng bị chặn. Do vậy từ (2.16) ta suy ra được ζ 1 (t) bị chặn. Từ đó ta có dt 2 2 t kζ1 (t)k cũng bị chặn. Áp dụng bổ đề (1.2.8) ta có kζ1 (t)k liên tục đều. Kết hợp (2.20) với bổ đề (2.1.2) (Barbalat’s lemma) ta có lim kζ1 (t)k = 0. (2.21) t→∞ Chú ý rằng, với mọi số t > 0 tồn tại một số nguyên dương k sao cho kτ − τ 6 t < kτ, và từ (2.17) ta có k k X i−1 ζ2 (t) = (−Ad22 ) ζ2 (t − kτ ) − (− Ad22 ) Ad21 ζ1 (t − iτ ). i=1 Kết hợp đẳng thức trên với (2.15) và (2.21) ta có lim kζ2 (t)k = 0. t→∞ Vậy hệ (ΣD ) ổn định, từ đó suy ra hệ (2.1) ổn định. 2.2 Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ hằng với tham số không chắc chắn. Xét hệ suy biến có trễ với tham số không chắc chắn sau (Σ) : E x(t) ˙ = (A + ∆A)x(t) + (Ad +∆ Ad )x(t − τ ) + (B + ∆B)u(t), (2.22) x(t) = φ(t), t ∈ [ − τ, 0]. (2.23) Trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, E ∈ Rn×n là ma trận có thể suy biến, A, Ad và B là các ma trận hằng số thực với số chiều thích hợp, φ(t) là hàm vectơ thực